Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος"

Transcript

1 Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος Ιατρίδου Μαρία 1, Παπαδόπουλος Ιωάννης 2 1 Δρ Παιδαγωγικού Τμήμ. Ιωαννίνων 2 Δρ Τμήμ. Μαθηματικών Πατρών Περίληψη Στην εργασία αυτή δυο μαθητές της Α Λυκείου που έχουν μια συσσωρευμένη εμπειρία στην επίλυση προβλήματος αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της εύρεσης του τύπου του Pick για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε πλεγματικού πολυγώνου. Έμφαση στην εργασία αυτή δίνεται στο να αναδειχθεί το γεγονός ότι στα πλαίσια της επίλυσης προβλήματος υπάρχει διαθέσιμος χώρος ώστε οι μαθητές να αναπτύξουν συγκεκριμένες τεχνικές πειραματισμού που οδηγούν στη σωστή λύση του προβλήματος ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Πειραματισμός, επίλυση προβλήματος, θεώρημα Pick 1. Εισαγωγή Η εργασία αυτή έχει ως κύριο σκοπό της να αναδείξει τον πειραματισμό ως μια ουσιαστική συνιστώσα της επιτυχούς επίλυσης προβλήματος που συνήθως παραμένει κρυμμένη. Τα Μαθηματικά πάντα ήταν μια πειραματική επιστήμη. Ο σύγχρονος τρόπος παρουσίασης των μαθηματικών μέσα από το σύστημα «ορισμόςθεώρημα-απόδειξη-..» (επιρροή κυρίως των Burbaki), αφήνει στην αφάνεια τον πειραματισμό. Όμως είναι ενδιαφέρον ότι οι περισσότερες σύγχρονες θεωρίες της ψυχολογίας της μάθησης μιλούν για τον πειραματισμό ως έναν παράγοντα που διαδραματίζει σημαίνοντα ρόλο στη μάθηση (Freudenthal, 1979). Ήδη από το 1954 ο Polya στο βιβλίο του Plausible Reasoning έδωσε έμφαση στη σπουδαιότητα του πειραματισμού για την ανακάλυψη των μαθηματικών. Το κατέστησε σαφές λέγοντας ήδη από τον πρόλογο του βιβλίου του ότι «...Πρέπει να συνδυάσεις παρατηρήσεις και να ακολουθήσεις αναλογίες, πρέπει να δοκιμάσεις ξανά και ξανά..» (σ. iv). Σύμφωνα με τον de Villiers (2003) ο πειραματισμός εμπλέκεται όταν: (i) μαθηματικές εικασίες και/ή διατυπώσεις αξιολογούνται αριθμητικά ή εξεικονιστικά μέσα από ειδικές περιπτώσεις, γεωμετρικές κατασκευές και μετρήσεις, (ii) επιτυγχάνονται εικασίες, γενικεύσεις ή συμπεράσματα που βασίζονται πάνω στη διαίσθηση, την αναλογία ή την εμπειρία μέσω οποιασδήποτε από τις προηγούμενες μεθόδους. Ως συνέπεια οι λύτες παράγουν «αληθοφανείς κατασκευές» που πιθανόν να οδηγήσουν στη λύση. Αυτές οι κατασκευές ελέγχονται μέσα από την εφαρμογή τους. Έτσι, μια κατασκευή είναι ορθή εάν και μόνο εκτελώντας την παρέχει Μαθηματική Εκπαίδευση και Οικογενειακές Πρακτικές ΕΝΕΔΙΜ, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, 2009

2 320 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ τα επιθυμητά αποτελέσματα (Schoenfeld, 1985, σ. 161). Πράγματι με τον πειραματισμό μπορεί κανείς να πεισθεί σε πολύ μεγάλο ποσοστό ακόμη και αν απουσιάζει η αυστηρή απόδειξη (όπως για παράδειγμα η περίπτωση της αναπόδεικτης Υπόθεσης Riemann σε επίπεδο αριθμητικών ενδείξεων, Davis & Hersh, 1983). Ο Kutzler (2000) περιγράφει τη φάση του πειραματισμού ως μια σειρά από συγκεκριμένα βήματα. Πρώτα, παραγωγή παραδειγμάτων μέσω γνωστών αλγορίθμων. Μετά μέσα από τα παραδείγματα παρατηρούνται ιδιότητες. Τέλος οι ιδιότητες αυτές εκφράζονται ως εικασία. Αυτή η φάση του πειραματισμού είναι μια από τις τρεις φάσεις όπως αυτές παρουσιάζονται σε σπειροειδές σχήμα από τον Bruchberger (1996) με το οποίο σχήμα περιγράφει την πορεία της ανακάλυψης της μαθηματικής γνώσης. Οι υπόλοιπες δυο φάσεις είναι της ακριβούς περιγραφής (Exactification) και της εφαρμογής (Application). Όμως παρά το ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί «ξοδεύουν αρκετό από το χρόνο τους σκεπτόμενοι πως να αναλύσουν συγκεκριμένα παραδείγματα» που «θέτουν τα θεμέλια για μια ανάπτυξη θεωρίας στο μέλλον και δίνουν μια βαθύτερη κατανόηση της ήδη υπάρχουσας» (Epstein & Levy, 1995), είναι ενδιαφέρον ότι αυτή η όψη της μαθηματικής ανακάλυψης δεν συναντάται στο μεγαλύτερο μέρος της υπάρχουσας βιβλιογραφίας. Και το οφείλουμε στην εμφάνιση των υπολογιστών το ότι πρόσφατα αρχίζει και αναπτύσσεται ένα ενδιαφέρον για τον πειραματισμό. Τα υπολογιστικά περιβάλλοντα παρέχουν μια πληθώρα ευκαιριών για πειραματισμό και διατύπωση εικασιών λόγω του ότι σε αυτά ο χρήστης λαμβάνει μια άμεση ανατροφοδότηση των ενεργειών του (de Villiers, 2003; Knuth, 2002; Epstein & Levy, 1995). Έτσι, επιδίωξη της εργασίας αυτής είναι να φανεί ότι στα πλαίσια της επίλυσης προβλήματος υπάρχει χώρος για πειραματισμό. Πιο συγκεκριμένα: Μπορούν μαθητές με εμπειρία στην επίλυση προβλήματος να αναπτύξουν ευρετικές ή τεχνικές πειραματισμού; Διευκολύνει ο πειραματισμός την πορεία προς τη σωστή λύση; Στην επόμενη ενότητα θα περιγράψουμε το υπόβαθρο των μαθητών και το όλο στήσιμο της έρευνας. Κατόπιν θα ακολουθήσουν τα αποτελέσματα και ο σχολιασμός τους. Η εργασία κλείνει με κάποια συμπεράσματα και προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. 2. Υπόβαθρο μαθητών και περιγραφή της έρευνας Στην μελέτη περίπτωσης συμμετέχουν δυο μαθητές της Α Λυκείου (Νίκος και Κατερίνα). Σε αυτήν την τάξη οι μαθητές ξεκινούν να ασχολούνται με την τυπική α- πόδειξη με την έννοια ότι παρουσιάζεται σε αυτούς η εκφώνηση του θεωρήματος και ακολουθεί η απόδειξη. Αυτός ο τρόπος προσέγγισης δεν επιτρέπει στους μαθητές να πειραματιστούν με την υπό μελέτη έννοια που υπάρχει πίσω από το θεώρημα. Έτσι χάνουν ένα σημαντικό κομμάτι της όλης διαδικασίας που επιτρέπει σε κάποιον πρώτα να πεισθεί σχετικά με την ενδεχόμενη αλήθεια μιας πρότασης πριν προχωρήσει στην αυστηρή της απόδειξη. Πιστεύουμε ότι το πλαίσιο της επίλυσης προβλήματος θα μπορούσε να επιτρέψει την ανάπτυξη τέτοιων πρώιμων προσπαθειών προς την κατεύθυνση της διατύπωσης ενός θεωρήματος μέσω του πειραματισμού. Έτσι, ήταν σημαντικό το ότι οι δυο μαθητές είχαν συσσωρευμένη εμπειρία

3 Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 321 στην επίλυση προβλήματος. Κατά τη διάρκεια των δυο τελευταίων τάξεων του Δημοτικού και της πρώτης του Γυμνασίου συμμετείχαν σε ένα ερευνητικό εγχείρημα που υλοποίησαν οι Mamona-Downs και Papadopoulos (2006) που είχε δυο φάσεις. Η πρώτη αποσκοπούσε στο να ερευνήσει και να ενισχύσει την κατανόηση της έννοιας του εμβαδού από τους μαθητές με έμφαση στις τεχνικές επίλυσης προβλήματος για τον υπολογισμό του εμβαδού μη κανονικών σχημάτων. Κάποιες τεχνικές που θα μπορούσαμε να αναφέρουμε είναι η χρήση του πλέγματος, ο χωρισμός ενός σχήματος σε υποσχήματα, η χρήση μονάδων και υπομονάδων, η αποκοπή-και-επικόλληση και η χρήση εργαλείων μέτρησης μήκους βασισμένων στις τελείες του παρεχόμενου στην άσκηση πλέγματος. Στη δεύτερη φάση, δεδομένου ότι οι μαθητές ήδη κατείχαν το απαιτούμενο εννοιακό υπόβαθρο, έμφαση δόθηκε στο χειρισμό αυτών καθεαυτών των τεχνικών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές ήταν σε θέση: α) να αλλάζουν το περιβάλλον του προβλήματος προκειμένου να επιτρέψουν την υλοποίηση μιας εφαρμογής, β) να τροποποιούν τεχνικές, γ) να παράγουν νέες τεχνικές και δ) να συνδυάζουν επί το αυτό δυο γνωστές τεχνικές. Λαμβάνοντας υπόψιν την εμπειρία αυτή προκαλέσαμε τους μαθητές να ανακαλύψουν το Θεώρημα του Pick. Πιο συγκεκριμένα τους ζητήθηκε να ανακαλύψουν τον τύπο του Pick που επιτρέπει τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πλεγματικού πολυγώνου όπως θα εξηγήσουμε στη συνέχεια. Η ιδέα ήταν αντί να παρουσιαστεί ο τύπος ως ένα θεώρημα που συνοδεύεται από την απόδειξή του (όπως συμβαίνει στα σχολικά τους εγχειρίδια) να παρουσιάσουμε το θεώρημα ως ένα πρόβλημα που ζητά την εύρεση του απαραίτητου τύπου. Η εκφώνηση του προβλήματος που δόθηκε στους μαθητές ήταν ως εξής: Τα σημεία τομής των γραμμών ενός τετραγωνικού πλέγματος καλούνται πλεγματικά σημεία. Ένα πολύγωνο που έχει ως κορυφές του πλεγματικά σημεία καλείται πλεγματικό πολύγωνο. Το 1899 ο γνωστός μαθηματικός George Pick ( ) απέδειξε ότι υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε πλεγματικού πολυγώνου. Ο τύπος αυτός περιλαμβάνει το πλήθος των πλεγματικών σημείων που βρίσκονται στην περίμετρο του σχήματος όπως επίσης και το πλήθος των πλεγματικών σημείων στο εσωτερικό του. Προσπάθησε να βρεις τον τύπο αυτό. Πράγματι, σύμφωνα με το Θεώρημα του Pick, αν Ρ είναι ένα πλεγματικό πολύγωνο, Β το πλήθος των πλεγματικών σημείων στην περίμετρό του και Ι το πλήθος των σημείων αυτών στο εσωτερικό του, τότε ο τύπος για το εμβαδόν του Α(Ρ) είναι: Α(Ρ)=Ι+Β/2-1. Ο λόγος που επιλέξαμε το συγκεκριμένο πρόβλημα ήταν διπλός. Πρώτον, η διαπραγματευόμενη έννοια είναι το εμβαδόν και έτσι υπάρχει άμεση σύνδεση με την προηγηθείσα εμπειρία των μαθητών πάνω στην επίλυση προβλήματος σε σχέση με τη συγκεκριμένη έννοια. Δεύτερον, το πρόβλημα προσφέρεται για πειραματισμό αφού κανείς μπορεί να παραγάγει και να ελέγξει πλήθος παραδειγμάτων προκειμένου να φτάσει στον τύπο. Οι μαθητές εργάστηκαν ατομικά για μια ώρα ο καθένας χωρίς παρεμβάσεις από τη μεριά των ερευνητών. Τους ζητήθη-

4 322 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ κε να σκέφτονται μεγαλοφώνως καθόλη τη διάρκεια της προσπάθειάς τους (Thinking Aloud Protocol). Η ανάλυση πρωτοκόλλου στις περιπτώσεις μη-παρεμβατικών συνεδριών επίλυσης προβλήματος θεωρείται ως ιδιαίτερα πρόσφορη για τον εντοπισμό της παρουσίας ή απουσίας εκτελεστικού ελέγχου και λήψης αποφάσεων (executive control and decision making) στην επίλυση προβλήματος και καταδεικνύει τις συνέπειες των αποφάσεων αυτών (Schoenfeld, 1992). Όσα λέχθηκαν από τους μαθητές καταγράφηκαν σε ηχητικό αρχείο που μεταγράφηκε στη συνέχεια σε κείμενο για τις ανάγκες της έρευνας. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Η προσπάθεια της Κατερίνας για την εύρεση του τύπου του Pick Η Κατερίνα αρχικά κατανάλωσε κάποιο χρόνο προκειμένου να εξοικειωθεί με το πρόβλημα και να σιγουρευτεί ότι κατάλαβε καλά τι είναι τα πλεγματικά πολύγωνα. Έτσι ξεκίνησε σχεδιάζοντας μια σειρά από πολύγωνα. Προσδιορίζοντας κάθε φορά το πλήθος των πλεγματικών σημείων στην περίμετρο και στο εσωτερικό τους γρήγορα απέρριψε τα μεγάλα σχήματα λόγω της πολυπλοκότητας των απαιτούμενων υπολογισμών: Κ Σε αυτά τα σχήματα υπάρχουν τόσο μεγάλοι αριθμοί που δεν είναι εύκολο να κάνω τους απαραίτητους υπολογισμούς. Δοκίμασε να βρει κάποια σχέση ανάμεσα στο πλήθος των εσωτερικών (I) και περιμετρικών (Β) σημείων εκτελώντας διάφορες πράξεις όπως Β/Ι ή Β/2+Ι. Είναι αλήθεια ότι στη δεύτερη περίπτωση σχεδόν εντόπισε το σωστό τύπο όμως αυτό ήταν προϊόν τυχαίας διαδικασίας και γι αυτό δεν έτυχε της δέουσας προσοχής. Έ- τσι, αποφάσισε να οργανώσει τα δεδομένα της σε πίνακα δοκιμάζοντας να ελέγξει την εγκυρότητα της πρώτης της εικασίας: Ο λόγος (εμβαδόν σχήματος)/(αριθμός περιμετρικών σημείων) είναι σταθερός. Δουλεύοντας όμως με δυο πολύγωνα εμβαδού 9 και 4,5 βρήκε το πλήθος των πλεγματικών τους σημείων 12 και 9 αντίστοιχα γεγονός που την οδήγησε στο να απορρίψει την εικασία της. Βλέποντας ότι είναι δύσκολο να φτάσει σε κάποιο αποτέλεσμα σκέφτηκε να απαλείψει μια από τις συνιστώσες του ζητούμενου τύπου. Έτσι αποφάσισε να εργαστεί με πολύγωνα που θα είχαν το ίδιο πλήθος εσωτερικών σημείων. Αρχικά εξέτασε πολύγωνα χωρίς καθόλου εσωτερικά σημεία. Ξεκίνησε με ένα ορθογώνιο εμβαδού 2 (Εικ. 1). Εικόνα 1: Πολύγωνα με μηδέν εσωτερικά σημεία Συνέχισε αυξάνοντας το μήκος του ορθογωνίου ώστε να αυξάνεται συνεπακόλουθα και το εμβαδόν του, αλλά να εξακολουθεί να μην έχει εσωτερικά σημεία. Κάθε

5 Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 323 φορά που σχεδίαζε ένα πολύγωνο έκανε και τους απαραίτητους υπολογισμούς οργανώνοντας έναν πίνακα (Πϊνακας 1) Πίνακας 1: Δεδομένα για πολύγωνα χωρίς εσωτερικά σημεία Εμβαδόν Περιμετρικά Εσωτερικά Βλέποντας τους αριθμούς στον πίνακα, αυτό που πρώτα παρατήρησε ήταν ότι αυξανομένου του πλήθους των περιμετρικών σημείων αυξανόταν και το εμβαδόν. Γρήγορα βρήκε ότι: Κ Όταν το πλήθος των εσωτερικών σημείων είναι μηδέν τότε το εμβαδόν του πολυγώνου μπορεί να βρεθεί με τον τύπο Εμβαδόν = (Β/2)-1 Το επόμενό της βήμα ήταν να αυξήσει το πλήθος των εσωτερικών σημείων από μηδέν σε ένα. Ξεκίνησε με ένα τετράγωνο εμβαδού 4, με 8 περιμετρικά σημεία και 1 εσωτερικό. Εφάρμοσε τα προηγούμενά της ευρήματα: Κ Εμβαδόν 4, περιμετρικά 8, εσωτερικά 1. Κ Οπότε, περιμετρικά δια 2 ίσον 4, μείον 1 ίσον 3. Κ Άρα, για να βρω 4 για το εμβαδόν πρέπει στα προηγούμενα να προσθέσω 1. Το αποτέλεσμα είναι η δεύτερή της εικασία: Κ Όταν το πλήθος των εσωτερικών σημείων είναι 1, τότε ο τύπος είναι ό- μοιος με τον προηγούμενο (περιμετρικά δια 2, μείον 1) συν 1 (δηλ. ο αριθμός των εσωτερικών σημείων) Επαλήθευσε αυτό αποτέλεσμα για μια σειρά από πολύγωνα με διαφορετικό πλήθος περιμετρικών σημείων όμως πάντα με 1 εσωτερικό. Ανάλογα ευρήματα συναντούμε και σε αντίστοιχη έρευνα με φοιτητές Παιδαγωγικού που εργάστηκαν πάνω στην εύρεση του ίδιου τύπου (Koleza & Iatridou, 2004). Στο τέλος προχώρησε ένα βήμα παραπέρα: Κ Πρέπει να εφαρμόσω τα ίδια για άλλα πολύγωνα με διαφορετικό πλήθος εσωτερικών σημείων. Πράγματι επαλήθευσε την εγκυρότητα του τύπου της για πολύγωνα με περισσότερα του ενός εσωτερικά σημεία. Το συμπέρασμά της: Κ Λοιπόν, σε κάθε περίπτωση ο τύπος είναι: πλήθος περιμετρικών σημείων δια 2, μείον 1, συν τα εσωτερικά σημεία και βρίσκω το εμβαδόν.

6 324 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ 3.2 Η προσπάθεια του Νίκου για την εύρεση του τύπου του Pick Η πρώτη επιλογή του Νίκου ήταν να ξεκινήσει με μια σειρά από τετράγωνα. Ξεκίνησε με ένα τετράγωνο πλευράς 1 και συνέχισε αυξάνοντας προοδευτικά το μήκος της πλευράς κατά μια μονάδα κάθε φορά (Εικ. 2). Εξέτασε σχολαστικά κάθε νέο τετράγωνο και μετέφερε τις απαιτούμενες μετρήσεις σε έναν πίνακα. Παρατηρώντας τα νούμερα του πίνακα συμπέρανε ότι η μεταβολή στο πλήθος των περιμετρικών σημείων δεν συνεπάγεται απαραίτητα αλλαγή στο πλήθος των εσωτερικών. Εικόνα 2: Προσπάθεια του Νίκου με χρήση τετραγώνων Η δεύτερη επιλογή του ήταν να βρει το πολύγωνο με τον ελάχιστο αριθμό σημείων. Βρήκε ότι αυτή η συνθήκη ικανοποιείται με ένα πολύγωνο που έχει τρία περιμετρικά και κανένα εσωτερικό σημεία (βλέπε πρώτο τρίγωνο, Εικ. 3). Στη συνέχεια άρχισε να σχεδιάζει τρίγωνα με διαδοχικά αυξανόμενο αριθμό εσωτερικών σημείων διατηρώντας τον ίδιο αριθμό περιμετρικών σημείων. Η εμπειρία του στην επίλυση προβλημάτων σχετικών με εμβαδόν τον βοήθησε να υπολογίζει το εμβαδόν αυτών των τριγώνων με την εξής τεχνική: Για κάθε τρίγωνο σχεδίαζε το αντίστοιχο περιγεγραμμένο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και στη συνέχεια αφαιρούσε από το εμβαδόν του ορθογωνίου τα εμβαδά των τριγώνων που ήταν εξωτερικά του αρχικού.

7 Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 325 Εικόνα 3: Χρήση τριγώνων με αυξανόμενο πλήθος εσωτερικών σημείων Οργάνωσε τα δεδομένα του σε έναν πίνακα (εικ.2, δεξιά) και προσπάθησε να διακρίνει κάποιο μοτίβο σε αυτά: Ν.2.91 Υπάρχει ένας σταθερός ρυθμός στα νούμερα που προκύπτουν. Ν.2.95 Κάθε φορά που τα εσωτερικά σημεία αυξάνονται κατά ένα, το εμβαδόν του τριγώνου επίσης αυξάνεται κατά μια μονάδα. Η επόμενη επιλογή του ήταν να επαληθεύσει την εγκυρότητα των προηγούμενων ευρημάτων του ασχολούμενος τώρα με τετράπλευρα. Συμπλήρωσε έναν πίνακα (χωρίς να σχεδιάσει κανένα τετράπλευρο). Προέβλεψε το εμβαδόν του τετραπλεύρου στην περίπτωση που υπάρχουν 4 (ή 5) περιμετρικά σημεία ενώ τα εσωτερικά αυξάνονται σταδιακά, ξεκινώντας με μηδέν και φτάνοντας μέχρι 4. Αυτό τον βοήθησε να αντιληφθεί ότι στον ζητούμενο τύπο το πλήθος των εσωτερικών σημείων πάντοτε προστίθεται. Εξήγησε για παράδειγμα ότι: «στην περίπτωση (3, 0) (Εικ. 3) το εμβαδόν είναι 0,5 ενώ στην περίπτωση (3, 3) είναι 3,5. Αν αφαιρέσω τα δυο εμβαδά βρίσκω 3, που είναι το πλήθος των εσωτερικών σημείων στο δεύτερο σχήμα». Αυτό επαληθεύτηκε πολλές φορές και για μια ποικιλία από πολύγωνα. Αυτό που έμενε ήταν να βρεθεί η συμβολή των περιμετρικών σημείων στον τύπο. Για το λόγο αυτό αφαίρεσε το πλήθος των εσωτερικών σημείων από το εμβαδόν. Η πρόθεσή του ήταν να μαντέψει πως η διαφορά αυτή συνδέεται με το πλήθος των περιμετρικών σημείων. Έκανε μια παρατήρηση που αρχικά φαίνεται αυθαίρετη. Ξεκι-

8 326 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ νώντας από το πρώτο του τρίγωνο (περιμετρικά:3, εσωτερικά:0, εμβαδόν:0,5) εξήγησε: Ν Το τρίγωνο ορίζεται από δυο συγγραμμικά σημεία και ένα ακόμη σημείο. Ν Το τετράγωνο (περιμετρικά:4, εσωτερικά:0, εμβαδόν:1) ορίζεται από δυο συγγραμμικά σημεία και ακόμη δύο σημεία. Ν Για το τρίγωνο, βρίσκω 0,5 (δηλ. το εμβαδόν) αν διαιρέσω το ένα με το δύο. Ν Για το τετράγωνο βρίσκω 1 (δηλ. το εμβαδόν) αν διαιρέσω το δύο με το δύο. Ν Επομένως, ο τύπος είναι, Εμβαδόν=(Β-2)/2+Ι (ουσιαστικά ο τύπος του Pick) Μετά από αυτό ο Νίκος εφάρμοσε τον τύπο του σε μη κανονικά πολύγωνα (Εικ. 4) επαληθεύοντας την γενικότερη εγκυρότητά του. Εικόνα 4: Έλεγχος εγκυρότητας τύπου για μη κανονικά πολύγωνα Στο τέλος ακολούθησε μια αναδρομική θεώρηση της όλης του πορείας στην επίλυση του προβλήματος. Αξιολόγησε την πορεία του και έδωσε έμφαση στη σπουδαιότητα των αποφάσεών του: α) να εργαστεί ανεξάρτητα με τα περιμετρικά και τα εσωτερικά σημεία, β) να συγκεντρώσει και να οργανώσει τα δεδομένα σε πίνακες, γ) να ψάξει να βρει μοτίβα στα παραγόμενα νούμερα. 4. Σχολιασμός Αποτελεσμάτων Οι ευρετικές αποτελούν γενικές υποδείξεις που βοηθούν κάποιον να καταλάβει καλύτερα ένα πρόβλημα ή να σημειώσει πρόοδο στη λύση του προβλήματος (Scoenfeld, 1985). Οι τεχνικές σχετίζονται με συγκεκριμένες δομικές αναφορές και ως τέτοιες διαφέρουν από τις ευρετικές που τείνουν να δρουν ως γενικές υποδείξεις (Mamona-Downs, 2002). Συνεπώς, κανείς θα μπορούσε να θεωρήσει την κεντρική ιδέα πειραματισμού των μαθητών μας ως μια ευρετική στρατηγική. Η γενι-

9 Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 327 κή αυτή ιδέα πειραματισμού θα μπορούσε να περιγραφεί ως: Προσδιόρισε τα δομικά στοιχεία του προβλήματος. Μετά διατήρησε όλα πλην ενός σταθερά και πειραματίσου με αυτό μεταβάλλοντάς το ποικιλοτρόπως προκειμένου να προσδιορίσεις το ρόλο που μπορεί να παίξει στη λύση του προβλήματος. Κατόπιν διατήρησε το στοιχείο αυτό σταθερό και πειραματίσου με κάποιο άλλο και συνέχισε έτσι μέχρι να ξεκαθαριστεί ο ρόλος καθενός από αυτά στη λύση του προβλήματος. Οι δυο μαθητές κάτω από αυτή τη γενική ιδέα ανέπτυξαν διαφορετικές τεχνικές πειραματισμού. Η Κατερίνα αποφάσισε να αγνοήσει προσωρινά το πλήθος των εσωτερικών σημείων προκειμένου να προσδιορίσει πως τα περιμετρικά εμπλέκονται στον τύπο. Μετά άρχισε να αυξάνει κατά ένα το πλήθος των εσωτερικών. Εξετάζοντας τα δεδομένα που συγκέντρωσε κατάφερε να φτάσει στο σωστό τύπο. Ο Νίκος πρώτα όρισε αυτό που αποκαλεί «το απλούστερο σχήμα», ένα τρίγωνο δηλαδή με τρία περιμετρικά σημεία (οι κορυφές του) και καθόλου εσωτερικά. Αυτό από μόνο του αποτελεί μια σημαντική μαθηματική ενέργεια που δείχνει βαθιά επίγνωση των δομικών στοιχείων του προβλήματος. Βάσισε τη στρατηγική του στον προσδιορισμό του «απλούστερου σχήματος» που στην ουσία αποτελεί το βασικό σχήμα με το ελάχιστο πλήθος περιμετρικών και εσωτερικών σημείων. Στη συνέχεια διατήρησε σταθερό το πλήθος των περιμετρικών σημείων και αύξησε προοδευτικά τα εσωτερικά ανακαλύπτοντας το ρόλο που παίζουν στον ζητούμενο τύπο. Τέλος με όμοιο τρόπο εντόπισε το ρόλο των περιμετρικών σημείων. Σύμφωνα με την παλιότερη εμπειρία τους στην επίλυση προβλήματος και οι δυο μαθητές επέδειξαν ένα μεγάλο εύρος από σχετικές με αυτήν ενέργειες. Εφάρμοσαν συγκεκριμένες τεχνικές για τον υπολογισμό του εμβαδού μη κανονικών πολυγώνων. Αναφέρουμε για παράδειγμα την ανάλυση ενός σχήματος σε υποσχήματα ή τη χάραξη ενός ορθογωνίου περιγεγραμμένου στο πολύγωνο. Επίσης επαλήθευσαν συστηματικά τα ευρήματά τους. Έλεγξαν την εγκυρότητα των επιμέρους ευρημάτων τους εφαρμόζοντάς τα σε πολύγωνα με περισσότερα είτε περιμετρικά είτε εσωτερικά σημεία. Αισθάνθηκαν την ανάγκη να δουν αναδρομικά την όλη τους εργασία αξιολογώντας τη σημαντικότητα των αποφάσεών τους. Τέλος και οι δυο κατάφεραν να φτάσουν στον τύπο του Pick. 5. Συμπεράσματα Ο τρόπος που συνήθως διδάσκονται τα θεωρήματα είναι ο ακόλουθος: Παρουσιάζεται η εκφώνηση και ακολουθεί η αυστηρή απόδειξη. Προφανώς μια τέτοια προσέγγιση δεν αφήνει περιθώρια για πειραματισμό. Αντ αυτού παραλείψαμε τον τύπο από το θεώρημα και έτσι αυτό παρουσιάστηκε στους δυο μαθητές σαν ένα πρόβλημα που έπρεπε να λυθεί. Πράγμα που σημαίνει ότι πριν προχωρήσει κανείς στην απόδειξη πρέπει να προσδιορίσει τον τύπο. Αυτό επιτρέπει στους μαθητές να πειραματιστούν και έτσι μέσα από τον πειραματισμό να διατυπώσουν εικασίες και να τις ελέγξουν. Αφού πεισθούν για την εγκυρότητα της εικασίας τους τότε η προφανής ερώτηση «γιατί αυτό που παρατηρώ είναι αληθές;» μπορεί να οδηγήσει στην αυστηρή απόδειξη. Τα δεδομένα μας παρείχαν ενδείξεις ότι είναι πιθανόν για

10 328 3 ο Συνέδριο ΕΝΕΔΙΜ το λύτη να πειραματιστεί πάνω στη βάση κάποιων γενικών στρατηγικών που θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ευρετικές. Αν υπάρχει μια συσσωρευμένη εμπειρία πάνω στην επίλυση προβλήματος είναι δυνατόν ο λύτης να αναπτύξει συγκεκριμένες τεχνικές πειραματισμού που ενδεχόμενα θα οδηγήσουν στην ορθή λύση. Προφανώς δεν μπορούν να γίνουν γενικεύσεις αφού εργαστήκαμε με δυο μαθητές και η εργασία αυτή δεν είναι παρά μια μελέτη περίπτωσης. Όμως ο πλούτος των ευρημάτων μας δίνει μια μεγάλη υποστήριξη προς την κατεύθυνση του σχεδιασμού μιας μελλοντικής έρευνας με εστιασμό στη σημαντικότητα του πειραματισμού ως εγγενούς παράγοντα στην επιτυχή επίλυση προβλήματος. 6. Βιβλιογραφία Bruchberger, B. (1989). Why should students learn integration rules?, RISC-Linz Technical Report, Mo ,Univ of Linz, Austria. Davis, P. & Hersh, R. (1981). The Mathematical Experience, Boston, Birkhauser. De Villiers, M. (2003). The value of experimentation in Mathematics. In S. Jaffer & L. Burgess ( Eds.), Proc. 9 th Conf. of AMESA (pp ). Cape Town. Epstein, D. & Levy, S. (1995). Experimentation and proof in mathematics, Notices f the AMS, 42(6), Freudenthal, H. (1979). Mathematik als padägogische Aufgabe. Klett Stüdienbucher. Knuth, E. (2002). Teachers conceptions of proof in the context of secondary school mathematics, Journal of Mathematics Teacher Education, 5, Koleza, E. & Iatridou, M. (2004). Experimentation, the hidden part of problem solving. Paper presented in ICME-10, Denmark. Kutzler, B. (2000). The algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics, The International Journal for Technology in Mathematics Education, 7(1), Mamona-Downs, J. (2002). Accessing knowledge for problem solving. [electronic version]. In I. Vakalis, D. Hughes-Hallet, et al. (Compilers), Proceedings of the 2 nd Int. Conf. on the Teaching of Mathematics (At the undergraduate level), Crete Univ., Iraklion, Greece, New York: John Wiley Mamona-Downs, J. & Papadopoulos, I. (2006). The problem-solving element in young students work related to the concept of area. In J. Novotna et al. (Eds.), Proc.30 th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education (IV, pp ), Prague, Czech Republic. Polya, G. (1954). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and Analogy in Mathematics, Vol. I, Princeton: Princeton University Press.

11 Ιατρίδου Μαρία, Παπαδόπουλος Ιωάννης 329 Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Academic Press, Inc. Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research in Mathematics Teaching and learning (pp ). New York: MacMillan

«Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη

«Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη «Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη Παπαδόπουλος Ιωάννης Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση Περίληψη Στην εργασία αυτή υποστηρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια

Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια 1 Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια Ιωάννης Παπαδόπουλος Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών ypapadop@otenet.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή θα δώσουμε την περιγραφή μιας θεωρητικής προσέγγισης στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου

Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες. Βασίλης Παπαγεωργίου Εκπαιδευτικό Σενάριο: Αναλογίες Ιανουάριος 2011 1. Τίτλος Αναλογίες 2. Ταυτότητα Συγγραφέας: Γνωστική περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα, Γεωμετρία Θέμα: Αναλογίες Συντεταγμένες στο επίπεδο 3. Σκεπτικό 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μαριάννα Τζεκάκη Παρουσίαση των άρθρων:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ)

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) Σπύρος Φερεντίνος, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εργασία: Επίλυση προβλήματος Καθηγητής : Χαράλαμπος Λεμονίδης Όνομα φοιτήτριας: Μπεσικιώτη Ζωή, Α.Ε.Μ. 4385 από το σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Διαγωνισμός Μαθηματικών ικανοτήτων ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α και Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ο Από τους αριθμούς 12, 13, 14, 15, 17 αυτός που έχει τους περισσότερους

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016)

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016) Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΣΗΣ Αλεξάνδρα Κούκιου

ΜΑΘΗΣΗΣ Αλεξάνδρα Κούκιου Η ΜΕΤΑΤΡΟΠΉ ΜΙΑΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ Αλεξάνδρα Κούκιου ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΊΟΥ ΣΕ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΉΣ Στο σχολικό βιβλίο της Β τάξης γυμνασίου υπάρχει η διπλανή άσκηση. Στόχος της άσκησης είναι να εφαρμόζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εργασία: Επίλυση προβλήματος Καθηγητής : Χαράλαμπος Λεμονίδης Όνομα φοιτήτριας: Μπεσικιώτη Ζωή, Α.Ε.Μ. 4385 από το σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

των σχολικών μαθηματικών

των σχολικών μαθηματικών Μια σύγχρονη διδακτική θεώρηση των σχολικών μαθηματικών «Οι περισσότερες σημαντικές έννοιες και διαδικασίες των μαθηματικών διδάσκονται καλύτερα μέσω της επίλυσης προβλημάτων (ΕΠ)» Παραδοσιακή προσέγγιση:

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγνωστικές διαδικασίες και κοινωνική αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών στα μαθηματικά: ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων

Μεταγνωστικές διαδικασίες και κοινωνική αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών στα μαθηματικά: ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων Μεταγνωστικές διαδικασίες και κοινωνική αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών στα μαθηματικά: ο ρόλος των σχολικών εγχειριδίων Πέτρος Χαβιάρης & Σόνια Καφούση chaviaris@rhodes.aegean.gr; kafoussi@rhodes.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan)

Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) On-the-fly feedback, Upper Secondary Περιγραφή του εκπαιδευτικού/ μαθησιακού υλικού (Teaching plan) Τάξη: Β Λυκείου Διάρκεια ενότητας Μάθημα: Φυσική Θέμα: Ταλαντώσεις (αριθμός Χ διάρκεια μαθήματος): 6X90

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές διερευνούν τη χωρητικότητα κουτιών σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που προκύπτουν από ένα χαρτόνι συγκεκριμένων διαστάσεων. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Το παιγνίδι αυτό, αναπτύχθηκε στα πλαίσια του μαθήματος πληροφορικής της Γ τάξης, στην ενότητα που αφορά στο σχεδιασμό πολυγώνων, απ όλα τα παιδιά, της Γ τάξης του σχολείου μας.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Σύντοµη περιγραφή του σεναρίου Η βασική ιδέα του σεναρίου Το συγκεκριµένο εκπαιδευτικό σενάριο αναφέρεται στην εύρεση των τύπων µε τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /

Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: Υ404 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ( Β ΦΑΣΗ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α.) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΑΛΕΓΑΝΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΗΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΗΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΗΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΚΑΙ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ STEPHEN J. PAPE & CHUANG WANG Μάθημα: Ειδικά Θέματα ΔτΜ Διδάσκουσα: Μ. Τζεκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του ΜΚΔ και του ΕΚΠ στην MSWLogo

Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του ΜΚΔ και του ΕΚΠ στην MSWLogo Σχέδια μαθημάτων για την δημιουργία συναρτήσεων υπολογισμού του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) και του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλασίου (ΕΚΠ) δύο αριθμών, με την γλώσσα προγραμματισμού Logo Κογχυλάκης Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Ράνια Πετροπούλου

Δρ. Ράνια Πετροπούλου Δρ. Ράνια Πετροπούλου Σύμφωνα με τη δημοσίευση της έκθεσης με τον τίτλο Science Education Now: A renewed Pedagogy for the Future of Europe, η Ευρώπη χρειάζεται να δώσει μεγαλύτερη έμφαση στη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά Καργιωτάκης Γιώργος, Μπελίτσου Νατάσσα Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά στις τάξεις Β, Δ και Ε (μιας διδακτικής ώρας). ΣΤΟΧΟΣ ΒΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟ- ΧΡΟΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Αρχική αξιολόγηση επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ.

ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ. ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ. Ιωάννα Μαµωνά-Downs Ιωάννης Παπαδόπουλος Πανεπιστήµιο Πατρών Σωρεία

Διαβάστε περισσότερα

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου»

(18 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» (8 ο ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΑΓΩΓΗ - ΙI: «διάμεσος &θεσιακή επιλογή στοιχείου» Το πρόβλημα του διαμέσου στοιχείου: ένα θεμελιακό πρόβλημα Συναντήσαμε ήδη αρκετές φορές το πρόβλημα του να «κόψουμε» ένα σύνολο στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Προτιμήσεις εκπαιδευτικών στην επίλυση προβλημάτων με συμμετρία. Στόχος έρευνας

Προτιμήσεις εκπαιδευτικών στην επίλυση προβλημάτων με συμμετρία. Στόχος έρευνας Προτιμήσεις εκπαιδευτικών στην επίλυση προβλημάτων με συμμετρία Πουλιτσίδου Νιόβη- Χριστίνα Τζιρτζιγάνης Βασίλειος Φωκάς Δημήτριος Στόχος έρευνας Να διερευνηθούν οι παράγοντες, που επηρεάζουν την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους)

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) Όνομα Παιδιού: Ναταλία Ασιήκαλη ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ: Πως οι παράγοντες υλικό, μήκος και πάχος υλικού επηρεάζουν την αντίσταση και κατ επέκταση την ένταση του ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle

Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle 221 Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle Ιωάννης Παπαδόπουλος 1 Αλέξανδρος Παπαμιχαήλ 2 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΑΠΘ 1, 2 ypapadop@eled.auth.gr 1 avpapami@eled.auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΑ Ε & Στ ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΡΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ

ΦΥΣΙΚΑ Ε & Στ ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΡΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΦΥΣΙΚΑ Ε & Στ ΣΤΕΛΙΟΣ ΚΡΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ Φυσικές Επιστήμες Θεματικό εύρος το οποίο δεν είναι δυνατόν να αντιμετωπιστεί στο πλαίσιο του σχολικού μαθήματος. Έμφαση στην ποιότητα, στη συστηματική

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνέδριου της Εν.Ε.Δι.Μ.

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνέδριου της Εν.Ε.Δι.Μ. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΟΥΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ Ιωάννης Παπαδόπουλος Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Α.Π.Θ. ypapadop@eled.auth.gr Στην εργασία αυτή φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ 1ης ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ

ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ 1ης ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ Αναστοχασμός ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ 1ης ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ(A) : Βαρβιτσιώτης Ιωάννης ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ : Ελεύθερη πτώση επιτάχυνση της βαρύτητας g ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ. Το πρόβλημα. Δίνεται στους μαθητές το παρακάτω πρόβλημα:

ΜΙΚΡΟΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ. Το πρόβλημα. Δίνεται στους μαθητές το παρακάτω πρόβλημα: Περιγραφή ΜΙΚΡΟΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Περίληψη Η κάτοψη μιας κατοικίας είναι ένα σύνθετο θέμα. Οι αρχιτέκτονες πρέπει να σχεδιάσουν μια σειρά παραμέτρων όπως ο τρόπος διανομής του χώρου η θέση των δωματίων του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα