2.. i) Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: α 2 + β 2 2αβ (ΒΑΣΙΚΗ) x ii) Aν x, y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: x y y

Transcript

1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ A ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ 1. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: α αβ + β, πότε ισχύει το ίσον;.. i) Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: α + β αβ (ΒΑΣΙΚΗ) x ii) Aν x, y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι: x y y y x xy ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΡΩΣΙΑΣ i) Για κάθε x > 0 να αποδείξετε ότι x + (ΒΑΣΙΚΗ) x 1 ii) Για κάθε x < 0 να αποδείξετε ότι x + (ΒΑΣΙΚΗ) x i) Aν α, β είναι ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: ii) Aν α, β είναι ετερόσημοι πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: 5. Για κάθε x, y, ω R να αποδείξετε ότι x + y + ω xy +xω + yω (ΒΑΣΙΚΗ) 6. Για κάθε α, β R, να αποδείξετε ότι α 4 + β α + β + α β (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την προηγούμενη ανισότητα) 1. ΛΥΣΕΙΣ

2

3 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ A ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ 7. Για κάθε x, y R να αποδείξετε ότι: i) x xy + y 0 (ΒΑΣΙΚΗ) ii) x + xy + y 0 (ΒΑΣΙΚΗ) 8. Aν α, β, γ > 0 και αβγ = 1, να αποδείξετε ότι α + β + γ + αβ + βγ + γα 6. 1 (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: χρησιμοποιήστε την βασική ανισότητα x για κάθε x > 0) x Με βάση τη βασική ταυτότητα έχουμε για τους θετικούς αριθμούς α, β και γ ότι Όπου με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: επειδή δε είναι αβγ = 1 η σχέση γίνεται ότι α + β + γ + αβ + βγ + γα 6

4 9. Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει: 1 1 [Ανισότητα Αριθμητικού Γεωμετρικού - Αρμονικού μέσου (ΑM GM HM)] ΒΑΣΙΚΗ 10 Aν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός, να αποδείξετε ότι: Aν α, β, γ > 0 να αποδείξετε ότι: (α + β)(β + γ)(γ + α) 8αβγ (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: χρησιμοποιήστε την βασική ανισότητα ΑΜ - GM )

5 1. Aν α, β, γ > 0 να αποδείξετε ότι: 8 (ΥΠΟΔΕΙΞΗ: χρησιμοποιήστε την βασική ανισότητα ΑΜ - GM )

6 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ A ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ 13. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς xy, ισχύει ότι xy 4, να αποδείξετε ότι : (x1) (y1) 5. x y Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΑΛΗΣ 01 Αρκεί να δείξουμε ότι Αρκεί 1 1 4(x y) 8 5 x y x x y 4 y 1 5 x Αρκεί x y Όμως είναι x y 1 xy 4 x(4 x) 4 x 4x x y xy (x ) 0 που ισχύει Από την τελευταία σχέση η ισότητα προκύπτει όταν x = y = y 14. Αν α και x είναι πραγματικοί αριθμοί και a 1 να δείξετε ότι ισότητα; x a. Πότε ισχύει η x a 1 x a Αρκεί να δείξουμε ότι 0 x a 1 x a ( x a 1) Αρκεί 0 x a 1 Όμως είναι a 1 x a x 1 1 Άρα x + α > 1 x x Επομένως αρκεί να δειχτεί ότι x a ( x a 1) 0 Δηλαδή αρκεί Αρκεί x a x a 0 x a x a 11 0 Αρκεί x a που ισχύει. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η ισότητα, ισχύει μόνο όταν x a x a ( 1) 0

7 Δηλαδή όταν x a άρα δεν μπορεί να ισχύει ποτέ. 15. Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y, z με xyz 1 ισχύει ( x y 1) ( y z 1) ( z x 1) x y z. z x y Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου προκύπτει ότι: x y 1 x y 1 z δηλαδή z z x y 1 x y 1 x y 1, z x y1 z z x y 1 (1). Με κυκλική εναλλαγή των μεταβλητών βρίσκουμε ότι: yz1 x zx1 y x y z 1 () και y z x 1 (3). Προσθέτοντας τις σχέσεις (1), () και (3) κατά μέλη, βρίσκουμε ότι: x y 1 y z 1 z x 1 3 x y z 6 (4). z x y Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι 3 x y z 6 x y z x y z 3, σχέση που προκύπτει άμεσα από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου: x y z xyz Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν x y z 1.

8 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος. Χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθ. τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του, και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθ. τμήματος, τότε το σημείο αυτό ανήκει στην μεσοκάθετο του ευθ. τμήματος. Δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα 180 ο Δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 90 ο. Δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφή, όταν έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μιας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης γωνίας. Οι κατακορυφή γωνίες είναι ίσες. 3. Αν δύο παράλληλες ευθείες (ε 1 ) και (ε ) τέμνονται από μια τρίτη ευθεία (η) σε δύο σημεία Α και Β σχηματίζονται τα παρακάτω είδη γωνιών: Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι παραπληρωματικές. 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι ορθές. Δηλαδή Α Β Γ =180 ο 5. Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου και η απόσταση των δύο αυτών βάσεων ονομάζεται ύψος του τραπεζίου. Ισοσκελές τραπέζιο ονομάζεται το τραπέζιο που οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες. 6. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται παραλληλόγραμμο, όταν έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες Οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου είναι: 1 Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3 Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. 4 Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.

9 7. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ορθογώνιο όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται ρόμβος όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ένα τετράπλευρο ονομάζεται τετράγωνο όταν έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες. 8. Το εμβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου της βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος. Δηλαδή Ε= 1 β.υ Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των καθέτων πλευρών του. Δηλαδή Ε= 1 β.γ 9. Το εμβαδό Ε του παραλληλογράμμου είναι Ε=β.υ όπου β είναι η βάση του και υ το ύψος του παραλληλογράμμου. 10. Το εμβαδό του τραπεζίου είναι: Ε= όπου Β και β είναι η μεγάλη και η μικρή του βάση και υ το ύψος του τραπεζίου. 11. TO ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του. Δηλαδή α =β +γ Το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος Όταν σ ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. Δηλαδή αν α > β, α > γ και α =β +γ τότε Α=90 ο 1. Μια γωνία ονομάζεται επίκεντρη,όταν η κορυφή της είναι στο κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της είναι ακτίνες του κύκλου. Στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους ισχύουν οι ιδιότητες Ισες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους. Ισα τόξα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες επίκεντρες χορδές τους. 13. Μια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη όταν η κορυφή της είναι πάνω σ ένα κύκλο και οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου. Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες εγγεγραμμένες γωνίες τους είναι ίσες.

10 14. Ένα πολύγωνο ονομάζεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του ίσες. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ: ρ η ακτίνα του κύκλου μέσα στο οποίο συνήθως σχεδιάζουμε κανονικό πολύγωνο δ η διάμετρος του προηγούμενου κύκλου. ν ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου λ η πλευρά ενός κανονικού πολυγώνου α το απόστημα (η κάθετη από το κέντρο του κύκλου στο μέσο της πλευράς) ενός κανονικού πολυγώνου. ω η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου φ η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου Ε το εμβαδό ενός κανονικού πολυγώνου Τ η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ 360 ω = λ = ρημ ή φ = 180 ο -ω λ = δημ δ = ρ α = ρσυν Ε = 1 νλα Τα = νλ ή Τα = νρημ ή Τα = νδημ 15. ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ-ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Γ = πρ και Γ = πδ S = και S = αρ 180 όπου Γ το μήκος ή η περίμετρος του κύκλου με ακτίνα ρ S το μήκος ενός τόξου μ ο ή α rad σε κύκλο με ακτίνα ρ 16. ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ - ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ Ε=πρ 1 Ετ = Ετ = Sρ ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ Όταν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς αυτές. 18. Το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και Ε μέσο της ΑΓ τότε ΔΕ = // B 19. Η ευθεία που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μια πλευρά του, διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και ΔΕ // ΒΓ τότε Ε μέσο της ΑΓ.

11 0. Αν η ΑΜ είναι διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, τότε B ΑΒ= 1. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στην μια είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης. AB δηλαδή ισχύει: A Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε μέρη ανάλογα. δηλαδή ισχύει: αν ΚΛ//ΒΓ τότε Κάθε ευθεία που χωρίζει δύο πλευρές ενός τριγώνου σε μέρη ανάλογα, είναι παράλληλη προς την Τρίτη πλευρά του. δηλαδή ισχύει: αν τότε ΚΛ//ΒΓ. ΟΜΟΙΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Δύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Το λόγο των αντίστοιχων πλευρών δύο όμοιων πολυγώνων τον λέμε λόγο ομοιότητας. Δύο ίσα σχήματα είναι και όμοια, ενώ δύο όμοια σχήματα δεν είναι κατ ανάγκη ίσα. Δύο ίσα σχήματα έχουν λόγο ομοιότητας 1. Δύο κανονικά πολύγωνα, που έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο της ομοιότητάς τους. 3. ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Δύο τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες; και τις πλευρές τους ανάλογες. 4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν δύο πλευρές του ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς δύο πλευρές του άλλου και οι περιεχόμενες γωνίες τους είναι ίσες. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο διπλανό τεταρτοκύκλιο να υπολογίσετε την ακτίνα του μικρού ημικυκλίου με κέντρο Ο, αν είναι γνωστό ότι το ημικύκλιο με κέντρο Ο1 έχει διάμετρο Βρείτε την απόσταση του Ο από την ευθεία που ορίζουν τα Ο1 και Ο. Υπολογίστε κατά προσέγγιση το εμβαδό του χωρίου με γκρι χρώμα. Δίνεται: εφ53 = 1,33 Στο ορθογώνιο τρίγωνο εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και έχουμε: και οπότε έχουμε: Για να βρούμε το γκρι εμβαδόν, θα αφαιρέσουμε το εμβαδόν των τομέων από το τρίγωνο. Παρατηρούμε πως και άρα το εμβαδόν του γκρι χωρίου είναι άρα

13 . Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABΓ (ΑΒ = ΑΓ) και γωνία Α = 0 ο. Πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΔΒΓ = 60 ο και πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΕΓΒ = 50 ο. Να βρεθεί η γωνία ΕΔΒ 3. Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών από 1 έως 1 στο παρακάτω σχήμα. Από αμερικάνικο διαγωνισμό 1 + =180 A = 180 B = 180 C = 180 D = 180 E = 180 F Αν ονομάσουμε S το ζητούμενο άθροισμα των γωνιών τότε: S = ( A + B + C + D + E + F) = ( 180 P +180 Q R) = [ (P +Q +R)] = ( ) = 70

14 4. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και Β = Γ. Να αποδείξετε ότι: β = γ(γ + α) από γερμανικό διαγωνισμό Αν ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β, τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. Οπότε: Επειδή ΒΔ = ΓΔ, έχουμε: άρα 5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ του ΑΒ, η προβολή Δ του Μ στην ΑΓ και το μέσο Ν του ΜΔ. Να αποδειχθεί ότι οι ΒΔ, ΓΝ τέμνονται κάθετα! 6. Να υπολογίσετε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, για το οποίο είναι γωνία Α = 105 ο, γωνία Β = 45 ο και η περίμετρός του είναι Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Η ΑΔ είναι το μισό της β, αφού Γ =30. Το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Από Πυθ. Θεώρημα στα ΑΓΔ και ΑΒΔ, εκφράζουμε όλες τις πλευρές συναρτήσει του β, οπότε: άρα β =6

15 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7. Έστω α και β τα μέτρα των βάσεων ενός ισοσκελούς τραπεζίου και δ το μέτρο κάθε διαγώνιου του. Αν ισχύει (α + β)² δ(α + β + 1) + δ² + 1 = 0, να βρείτε το εμβαδόν του. Α έστω άρα αν το ύψος του τραπεζίου τότε και Β Η ισότητα (α + β)² δ(α + β + 1) + δ² + 1 = 0 γράφεται: δ² δ(α + β + 1) + (α + β)² + 1 = 0. Έχει διακρίνουσα Δ =... = -4(α + β - 1)². Για να υπάρχουν τιμές του δ που να επαληθεύουν την (1), πρέπει Δ 0 άρα α + β = 1. Τότε, η (1) γράφεται: δ² - 4δ + = 0 ή (δ - 1)² = 0 άρα δ = 1. Στο ισοσκελές ΑΒΓΔ φέρνουμε ΓΚ κάθετη ΑΒ, ΔΛ κάθετη ΑΒ. Στο ΑΓΚ έχουμε: Άρα

16 8. Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ τέτοιο ώστε: ΑΒ = ΑΕ = ΓΔ = 1 και ΒΓ + ΔΕ = 1. Οι γωνίες Β και Ε είναι ορθές. Να βρείτε το εμβαδόν του. εμβαδό Ε = 1 (πολλές πράξεις!!!) Φέρνουμε ΑΔ, ΑΓ έστω ΕΔ = χ, ΒΓ = y με χ+y=1 (ΑΒΓΔΕ)=(ΑΔΕ)+(ΑΒΓ)+(ΑΔΓ)= οι πολλές πράξεις... για το (ΑΔΓ) =1/ +(ΑΔΓ) 9. Δίνονται οι κύκλοι (Ο, R), (Κ, ρ) και (Λ, ρ) του παρακάτω σχήματος. Αν οι κοινές τους εφαπτόμενες τέμνονται στα Α και Β, να δείξετε ότι ΚΛ // ΑΒ Στο παραπάνω σχήμα αν θεωρήσουμε (στην πάνω εφαπτομένη) τα σημεία επαφής να είναι Μ και Ν στους (Ο, R) και (Κ, ρ) θα έχουμε (από την φανερή ομοιότητα των τριγώνων ΟΑΜ και ΚΑΝ τριγώνων) : Όμοια Δηλαδή που σημαίνει ότι τα τρίγωνα ΟΚΛ και ΟΑΒ είναι όμοια και βεβαίως ΚΛ // ΑΒ

17 10. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ=ΑΒ και Β=Γ να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην Α Από το μέσον Μ της ΒΓ φέρνουμε τη μεσοκάθετο η οποία τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ν. Τα τρίγωνα ΑΒΝ και ΝΒΜ είναι ίσα διότι έχουν ΑΒ = ΒΜ ( το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΒΓ) BN ˆ NBA ˆ (επειδή είναι B ˆ, ˆ NB ˆ ˆ και το τρίγωνο ΒΝΓ είναι ισοσκελές) ΒΝ = ΒΝ κοινή πλευρά Άρα A = NMB = 90 o. Επομένως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. 11. Δίνεται το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ (αστέρι). Να αποδείξετε ότι: Α Β Γ Δ Ε 180 ο Έστω ΚΛΜΝΡ το εσωτερικό πεντάγωνο του σχήματος, τότε τα ζεύγη των παρακάτω γωνιών είναι ίσα

18 AK,,, ως κατακορυφή γωνίες. Οι εσωτερικές γωνίες του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ είναι οι o 180, o 180, o 180, o 180, o 180 και έχουν άθροισμα 5 4 = 6 ορθές ή 540 ο o o o o o είναι δηλαδή ( 180 )+( 180 )+( 180 )+( 180 )+( 180 )=540 ο (1) Είναι 360 () ως άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ. Από τα εξωτερικά τρίγωνα του «αστεριού» έχουμε τις ισότητες: A ή A (180 (180 (180 (180 ) ) ) ) 180 (180 ) προσθέτοντας κατά μέλη τις τελευταίες ισότητες λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (1) και () έχουμε: A B = o o o o o ( 180 )+( 180 )+( 180 )+( 180 )+( 180 )-( ) = 540 ο -360 ο = 180 ο 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο. Αν Β είναι το αντιδιαμετρικό του Β, ΟΔ κάθετη στην ΒΓ και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: α. Το τετράπλευρο ΑΗΓΒ είναι παραλληλόγραμμο. β. ΟΔ = ΑΗ

19 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13. Να υπολογιστεί η τιμή του α στο παρακάτω σχήμα. Το τετράπλευρο είναι ρόμβος. Υπολογίζοντας τις γωνίες του σχήματος, μέσα από τα ισοσκελή τρίγωνα που σχηματίζονται, καταλήγουμε ότι τα τρίγωνα με πλευρές 1, 1, α και α, α, α+1 είναι όμοια. Έτσι από όπου βρίσκουμε τελικά: Κατά σύμπτωση το α είναι ο χρυσός λόγος. 14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ ύψος του. (α) Αν υπάρχουν σημεία Ε και Ζ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν και ˆ ˆ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (β) Αν υπάρχουν σημεία Ε και Ζ στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ προς το μέρος του Α, αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν και ˆ ˆ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (α) Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΔΖ έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία (, ) και τις περιεχόμενες γωνίες των ίσων πλευρών ίσες, ˆ ˆ. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε θα έχουν και ˆ, ˆ δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. Στη συνέχεια συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ, τα οποία είναι ορθογώνια με ˆ ˆ 90 και έχουν την πλευρά ΑΔ κοινή και τις οξείες γωνίες ˆ και ˆ ίσες. Άρα τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι ίσα, οπότε θα έχουν και, δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (β) Ομοίως όπως στο ερώτημα (α) τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΔΖ είναι ίσα, οπότε θα έχουν ˆ. ˆ

20 Επειδή οι γωνίες ˆ και ˆ είναι ίσες ως κατά κορυφή, έπεται ότι: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ οπότε και στην περίπτωση αυτή προκύπτει ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ του τριγώνου ΑΒΓ. Στη συνέχεια προχωράμε όπως στο ερώτημα (α). Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε ως εξής: Από την ισότητα των τριγώνων ΑΔΕ και ΑΔΖ προκύπτει και η ισότητα ˆ ˆ, οπότε εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΔΓΖ είναι ίσα, οπότε θα είναι, η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ. Άρα είναι ΑΒ = ΑΓ. Και στις δύο περιπτώσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γνωστό θεώρημα της Γεωμετρίας, βάσει του οποίου, αν σε ένα τρίγωνο ένα ύψος του είναι και διχοτόμος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές

21

22

23 ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Αν α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας φυσικός μεγαλύτερος του1 ονομάζουμε νιοστή δύναμη του α (συμβολισμός α ν ) το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με α. ΔΗΛΑΔΗ α ν = Συνέπειες από τον ορισμό α 1 =α α 0 =1 (α 0) α -ν 1 = (α 0 και ν φυσικός) ν (-α) ν α αν ν άρτιος = ν - α αν ν περιττός v ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ α μ α ν = α μ+ν α μ :α ν =α μ-ν (α μ ) ν = α μν α ν β ν = (αβ) ν ΡΙΖΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με x και είναι ένας θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x Για κάθε πραγματικό αριθμό x 0 ισχύει: x x ΙΔΙΟΤΗΤΑ 1η Αν α 0 και β 0 τότε: α β α β ΙΔΙΟΤΗΤΑ η Αν α 0 και β>0 τότε x ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ταυτότητα ονομάζεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών. Βασικές ταυτότητες που ισχύουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (αβ) = α αβ + β (αβ) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 α 3 +β 3 = (α +β )(α -αβ+β ) α -β = (α - β)(α + β) α 3 -β 3 = (α - β)(α +αβ+β ) α β α β

24 α 4 -β 4 = (α-β)(α 3 +α β+αβ +β 3 ) α ν -β ν =(α-β)(α ν-1 +α ν- β+α ν-3 β +.+β ν-1 ) όπου ν είναι θετικός ακέραιος (α + β + γ) = α + β + γ + αβ + αγ + βγ Εκτός απ αυτές υπάρχουν και άλλες χρήσιμες στα μαθηματικά τις οποίες θα πρέπει να γνωρίζετε την «τεχνική» για να αποδεικνύεται ότι ισχύουν. Υπάρχουν δύο διαφορετική τρόποι με τους οποίους μπορούμε να αποδείξουμε μια ταυτότητα. Αρχικά η αλγεβρική παράσταση που βρίσκεται αριστερά του «=» ονομάζεται πρώτο μέλος και θα το συμβολίζουμε με Α και η αλγεβρική παράσταση που βρίσκεται δεξιά του «=» ονομάζεται δεύτερο μέλος και θα το συμβολίζουμε με Β. Έτσι κάθε ταυτότητα έχει μορφή Α = Β. Για την απόδειξη μιας ταυτότητας έχουμε δύο τρόπους: 1 ος ΤΡΟΠΟΣ Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος και αναπτύσσουμε γνωστές ταυτότητες αν αυτές εμφανίζονται, μετά κάνουμε τις σημειούμενες πράξεις έως ότου φτάσουμε στο δεύτερο μέλος. Α =.=..=..=..= Β ή ξεκινάμε από το Β μέλος και καταλήγουμε όπως προηγουμένως στο Α μέλος. Β =.=..=..=..= Α Η επιλογή του μέλους απ όπου θα ξεκινήσουμε εξαρτάται από εμάς, συνήθως ξεκινάμε από το μέλος που θεωρούμε περισσότερο πολύπλοκο. ος ΤΡΟΠΟΣ Εργαζόμαστε και με τα δύο μέλη χωριστά όπου αναπτύσσουμε γνωστές ταυτότητες αν αυτές εμφανίζονται, μετά κάνουμε τις σημειούμενες πράξεις έως ότου φτάσουμε το κάθε μέλος σε κάποιες ισότητες που συγκρινόμενες μεταξύ τους είναι ίσες. Α =.=..=..=..= Γ Β =.=..=..=..= Γ Άρα Α = Β Ταυτότητες υπό συνθήκη Υπάρχουν ταυτότητες όπου δεν επαληθεύονται για όλες τις τιμές των μεταβλητών τους, αλλά μόνο για συγκεκριμένες. Τέτοιας μορφής ταυτότητες ονομάζονται «ταυτότητες υπό συνθήκη» και έχουν γενική μορφή: Αν Α = Β τότε Γ = Δ. Για παράδειγμα μια τέτοια ταυτότητα είναι: Αν α + β + γ = 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Η απόδειξη μιας ταυτότητας υπό συνθήκη με γενική μορφή Αν Α = Β τότε Γ = Δ μπορεί να γίνει με τους παρακάτω τρόπους Ξεκινάμε από το Γ μέλος και με ισότητες προσπαθούμε να φτάσουμε στο Δ (ή αντίστροφα) το οποίο επιτυγχάνεται μόνο αν κατά την πορεία χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση της ταυτότητας δηλαδή την ισότητα Α = Β. Ξεκινάμε από την ισότητα Α = Β και με συνεπαγωγές προσπαθούμε να δείξουμε την ισότητα Γ = Δ. (η διαδικασία αυτή ονομάζεται ευθεία απόδειξη) Ξεκινάμε από μια άλλη ισότητα της μορφής Μ = Ν και με συνεπαγωγές προσπαθούμε να δείξουμε την ισότητα Γ = Δ που μπορεί να επιτευχθεί μόνο αν κατά την πορεία της απόδειξης χρησιμοποιηθεί η ισότητα Α = Β.

25 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Παραγοντοποίηση ή ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μια παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο. Όταν δοθεί για παραγοντοποίηση μια αλγεβρική παράσταση, θα πρέπει πρώτα να «εντοπίσουμε» από την μορφή της, σε ποια από τις περιπτώσεις παραγοντοποίησης εντάσσετε. Αυτό δεν είναι πάντοτε εύκολο. Απαιτείται καλή γνώση της θεωρίας, αρκετή κρίση και προπαντός εμπειρία που αποκτάται από την λύση ασκήσεων. Το πρώτο πράγμα που ελέγχουμε αν μας δοθεί μια αλγεβρική παράσταση είναι μήπως οι όροι της έχουν κοινό παράγοντα. Αν αυτό συμβαίνει τότε βγάζουμε κοινό παράγοντα έξω από μια παρένθεση ή αγκύλη (ανάλογα με την μορφή της αλγεβρικής παράστασης) και συνεχίζουμε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 6α β -1αβ + 4β = 6β(α α + 4) 3x 3 18x = 3x(x 4) = 3x(x-)(x+) (α+y) 3 α(α + y) +(α + y) = (α + y)[(α + y) α(α +y) + 1] = (α + y)(α +αy + y α αy +1) = (α +y)(y + αy + 1) Μερικές φορές ο κοινός παράγοντας είναι «κρυφός» τότε με κατάλληλες κινήσεις μπορούμε να τον φανερώσουμε.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α(x y) 3β(y x) = α(x y) + 3β(x y) = (x y)(α +3β) (x + 3)(3x ) + 9x 4 = ( x + 3)(3x ) + (3x )(3x + ) = (3x )[(x + 3) + (3x + )] =(3x -)( x x +) = (3x -)(5x +5) = =5(3x-)(x+1) Όταν «ξεμπερδέψουμε» με τον κοινό παράγοντα, ρωτάμε : πόσους όρους έχει η παράσταση; Αν η αλγεβρική παράσταση έχει δύο όρους προσέχουμε Α) Μήπως αυτή μπορεί να γραφτεί ως διαφορά τετραγώνων, οπότε αναλύεται με βάση την ταυτότητα α β = (α β)(α +β) προσοχή όμως το άθροισμα τετραγώνων α + β δεν αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x 49 = x 7 = (x -7)(x+7) δ 7 = δ - 7 = (δ - 7 )(δ + 7 ) 11α 64β = (11α) (8β) = (11α 8β)(11α +8β) 9x 4(x -y) = (3x) [(x -y)] = [3x (x y)][3x + (x -y)] = (3x -x + 4y)(3x +x 4y) = (3x + y)(3x y) Β) Μήπως αυτή μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ή διαφορά κύβων, οπότε αναλύεται με βάση τις ταυτότητες: α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ +β ) α 3 β 3 = (α β)(α + αβ +β ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x 3 15y 3 = x 3 (5y) 3 = (x 5y)[x - x 5y + ( 5y) ] = (x 5y)(x 5xy +5y ) α 3 + γ 6 = α 3 + (γ ) 3 = (α + γ )[α αγ + (γ ) ] = (α + γ )(α αγ + γ 4 )

26 Αν η αλγεβρική παράσταση έχει τρεις όρους, τότε εξετάζουμε μήπως είναι ή μπορεί να γραφτεί: Α) ως ανάπτυγμα τετραγώνου (ταυτότητα που λέτε..) α αβ +β = (α β). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x 6x + 9 = x - x = (x 3) 4x 4 + 1x y + 9y = (x ) + x 3y + (3y) = (x + 3y) B) ως τριώνυμο β βαθμού: x + (α + β)x + αβ = (x + α)(x + β) οπότε στην περίπτωση αυτή ψάχνουμε να βρούμε δύο αριθμούς με γινόμενο αβ και άθροισμα α + β με την τεχνική που παρουσιάσαμε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Γ) Αν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω εξετάζουμε μήπως διασπώντας κάποιον όρο οι σχηματιζόμενοι τέσσερεις όροι παραγοντοποιούνται με ομαδοποίηση.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜA x + 3xy +y = x + xy + xy + y = x(x +y) +y(x + y) = (x +y)(x +y) Δ) Αν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω εξετάζουμε μήπως προσθέτοντας και αφαιρώντας κατάλληλο όρο δημιουργείται ανάπτυγμα τετραγώνου ή γενικά παράσταση που μπορεί να παραγοντοποιηθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α α +36 = α 4 +11α +36 α + α = α 4 + 1α + 36 α = (α + 6) α = (α +6 α)(α + 6 +α) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4y 4 + 4x y 4x y = (x + y ) (xy) = (x + y -xy)(x + y + xy) E) Aν δεν συμβαίνουν τα παραπάνω εξετάζουμε μήπως αν τοποθετήσουμε δύο από τους τρείς όρους σε παρένθεση προκύπτει κοινός παράγοντας από τους δύο όρους που έχουν προκύψει. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (β 1)(β 3γ) β +3γ = (β -1)(β -3γ) (β -3γ) = (β -3γ)[(β -1) -1] = (β -3γ)( β -1 1) = (β -3γ)( β -) = (β -3γ)(β -1) Αν η αλγεβρική παράσταση έχει τέσσερεις όρους τότε κάνουμε ομαδοποίηση όρων. Α) Αρχικά εξετάζουμε τους όρους ανά δύο και προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 6x 4αx -9βx + 6αβ = (6x 4αx) (9βx - 6αβ) = =x(3x α) 3β(3x α) = (3x α)(x 3β) Β) Αν δεν συμβαίνει αυτό εξετάζουμε τους όρους παίρνοντας τους τρείς με έναν ή έναν με τρείς εξετάζοντας αν οι τρεις όροι αποτελούν ανάπτυγμα ταυτότητας.

27 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α β + γ -αγ = (α -αγ + γ ) β = (α γ) β = (α γ + β)(α γ β) 9α x +6x 9 = 9α (x 6x + 9) = (3α) ( x 3) = =[3α + (x 3)][3α (x 3)] = (3α + x 3)(3α x + 3) Αν η αλγεβρική παράσταση έχει πέντε ή έξι όρους τότε εργαζόμαστε ανάλογα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ x + y +x -y -xy = (x xy + y ) + (x y) = =(x y) +(x y) = (x y)(x y +) α + β γ δ αβ + γδ = (α αβ + β ) (γ γδ + δ ) = =(α β) (γ δ) = [(α β) (γ δ)][(α β ) + (γ δ)] = = (α β γ + δ)(α β + γ δ) Σε μερικές περιπτώσεις είναι αναγκαίο να κάνουμε πράξεις και στην συνέχεια παραγοντοποίηση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (α + β) 3 (α 3 + β 3 ) = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 α 3 β 3 = =3α β + 3αβ = 3αβ(α + β) α(α + 1) β(β + 1) = α + α β β = α β + (α β) = =(α + β)(α β) + (α β) = (α β)(α + β + 1)

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο και γ = β. Να αποδείξετε ότι α ν = 5β α ν, όπου ν φυσικός αριθμός με ν. Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: α = β + γ β = α γ β = α (β) β = α 4β 5β = α επομένως έχουμε: 5β α ν- = α α ν- = α + ν - = α ν Αν α 0 και μ, ν είναι ακέραιοι, τότε να αποδείξετε ότι: Έχουμε : = 3. Να γράψετε ως μια δύναμη την παράσταση: Κ = ( 0,5) 15 [( ) 3 ] 13 Κ = (-0,5) 15 [(-) 3 ] 13 = 39 = = 39 = = 9 = ( ) 4. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = 5 51 και β = ( ) = ( ) 39 = α = 5 51 = (5 3 ) 17 = β = = = 119 ( 1) = 119 = ( 7 ) 17 = επομένως έχουμε 15 < < α < β 39 ( ) = 15 = 5. Να βρεθεί ο αντίθετος και ο αντίστροφος του αριθμού Κ = (7 5) Κ = = = = = Επομένως ο αντίστροφος του Κ είναι ο ¼ και ο αντίθετος = 4 11

29 Να αποδείξετε ότι: Αν ονομάσουμε το κλάσμα x, τότε έχουμε, οπότε x x x = x x = x x x x = x = 4 x x x x x 7 Δίνεται η παράσταση x 8xy 19y 6y 3 Να υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών x, y και στη συνέχεια να προσδιορίσετε τις τιμές των x, y για τις οποίες το έχουμε την ελάχιστη αυτή τιμή. Έχουμε A x 8xy 19y 6y 3 ( x 8xy 16 y ) 3y 6y 3 ( x 4 y) 3( y y 1) ( x 4 y) 3( y 1) 0 η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι το 0 και γίνεται μηδέν όταν x 4y 0 x 4y x 4 y 1 0 y 1 y 1 8 Να δείξετε, όσο πιο σύντομα μπορείτε, την ταυτότητα a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a Αρκεί να αποδείξουμε ότι a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a 0 Πράγματι, έχουμε: a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b ( b c)( c a) ( b c)( c a) ( b c)( c a) 1 a b ( b c )( c a ) ( b c )( c a )

30 a b c( a b) c( b a) 0 a b ( b c)( c a) ( b c)( c a) Αν 0 να αποδειχθεί ότι : 1 Αν αντικαταστήσουμε στην παράσταση a αυτή γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( 3 ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1. ( )( ) 9 Αφού αποδείξετε την ταυτότητα: ότι αν 3xy 4 τότε 8 a b c d ac bd ad bc, να αποδείξετε x y. Πότε ισχύει η ισότητα; 5 Κάνοντας πράξεις και στα δύο μέλη της ταυτότητας έχουμε ισοδύναμα: a b c d ac bd ad bc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab ac bc ad ac ab bc ad abc abc 0 0 που ισχύει, συνεπώς ισχύει και η αρχική ισότητα από τη σχέση 3xy 4 λύνοντας ως προς το y και υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: y (4 3 x ) Επομένως έχουμε

31 x y x 4x 5 8 5x 60x (5x 6) 0 Η ισότητα ισχύει όταν 6 x, y Για τους πραγματικούς αριθμούς α, b ισχύει a b 1. Να αποδείξετε ότι 3 3 (4a 3 a) (3b 4 b ) 1. Απ τη δοσμένη σχέση παίρνουμε: 3 a a ab 1 και 3 b b a b (4a 3 a) (3b 4 b ) (4a 3 a) (4b 3 b ) 1, 4a 4ab 3a 4b 4a b 3b 4 4 a 8a b 16a b b 8a b 16a b a b a b b a

32 ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος δεύτερο) 7. Αν x = 5 1 1, να αποδείξετε ότι: x 0 x x 3 x x x 1 Θέτω x y τότε θα είναι x x y x y x x y x y x x και x x x x y x y x 3x 3x y 3 x x x x x x 3x 3 y x 3 x y x 3y y x x x x x x y 3y 3 x Τέλος έχουμε ότι: y x 5 1 x Επομένως x 5 x x y 3y 5(y ) y y 5y y 10 3 x x x y (y 5) (y 5) (y 5)(y ) (5 5)(5 ) 0 8. Αν α + β + γ = 1, α + β + γ = και α 3 + β 3 + γ 3 = 4,να υπολογίσετε το γινόμενο αβγ Από την ταυτότητα του Euler έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 ( ) ( ) 4 3 ( ) (1) Όμως είναι 1 ( ) ( ) 1 Επομένως η σχέση (1) γράφεται: ( ) 9. Αν α + β = 1, να αποδείξετε ότι: α 3 + β 3 + 3αβ = 1 Έχουμε α + β = 1 β = 1 α Επομένως α 3 + β 3 + 3αβ = α 3 + (1 α) 3 + 3α(1 α) = = α α + 3α α 3 + 3α 3α = 1 10 Αν οι πραγματικοί αριθμοί x, y και z ικανοποιούν τις ισότητες x y = z, y z = x, z x = y να αποδείξετε ότι: α) x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz β) Ένας τουλάχιστον από τους x, y και z ισούται με 0. α) Αρχικά προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις ισότητες και έχουμε επομένως έχουμε: x y z (x y z) x y z x y z 0 z (x y) (1) (1) x y z x y [ (x y)] x y x y 3xy(x y) 3xy( x) 3xyz β) από την ισότητα x + y + z = 0 προκύπτει ότι z = x y, οπότε η ισότητα x y = z γράφεται: x y = ( x y ) y xy + y y(y + x + 1) = 0 y = 0 ή y = x + 1 Aν y = 0 έχουμε x + y + z = 0 x + z = 0 x = z, οπότε από την δεύτερη και τρίτη σχέση που δόθηκε έχουμε x = x x = 0 ή x = οπότε έχουμε: τις τριάδες (x, y, z) = (0, 0, 0) ή (x, y, z) = (1, 0, 1)

34 Δηλαδή ένας τουλάχιστον από τους x, y και z ισούται με 0. Αν y = x + 1 έχουμε x + y + z = 0 z = x y = x + 1 Και με αντικατάσταση των y, z στις αρχικές σχέσεις προκύπτει η εξίσωση x(x +1) = 0 x = 0 ή x = 1 και έχουμε αντίστοιχα τις τριάδες (x, y, z) = (0, 1, 1), (x, y, z) = ( 1, 1, 0) Επομένως πάλι ένας τουλάχιστον από τους x, y και z ισούται με Αν α, β, γ πραγματικοί αριθμοί με (α β)(β γ)(γ α) 0, τότε να υπολογίσετε την τιμή της ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) παράστασης: Α = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1. Αν α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί, με κατάλληλο χωρισμό των όρων της σε ομάδες, να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: Α = α 4 + α 3 β + α β α β γ αβ 3 γ β 4 γ α γ + β γ 4. Έχουμε A = = α (α + αβ + β ) β γ (α + αβ + β ) α γ + β γ 4 = = α (α + β) β γ (α + β) α γ + β γ 4 = = (α + β) (α β γ ) α γ + β γ 4 = = (α + β) (α β γ ) γ (α + β γ ) = = (α β γ )[(α + β) γ ] = = (α βγ)(α + βγ)(α + β γ)(α +β + γ)

35 ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος τρίτο) ( )( ) K Να απλοποιηθεί η παράσταση : ( ) αν 0 και 1. ΘΑΛΗΣ K 3 3 a b a b ab b a b ( a b) a b ( )( ) ( a b)( a ab b ) ( a b)( a b) b( a b)( a b) ( a b) ( a b) ( a b)( a ab b a b ab b ) a b a b ( a b)( a b 1) a b 1 ( a b)( a b) ( a b) ( a b)( a b 1) ab a b 1 a b Να απλοποιηθεί η παράσταση: 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) Ax ( ) x x x x x x 1 x (1 x) 3(1 x ) (1 x ) x (1 x x) (1 x)(1 x x ) (1 x) Ax ( ) 1 x (1 x x) 3(1 x. ΘΑΛΗΣ (1 x ) x (1 x ) 4x 4 x(1 x) (1 x) (1 x x ) (1 x) (1 x ) x 3(1 x (1 x ) x x (1 x ) (1 )(3 3) x x 1 x x 3( x 1) (1 x x) 1x x (1 x) 1 x x 1 x x 15. Αν οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες αποδείξετε ότι: (α) x y z 3xyz. x y z, y z x, z x y, να

36 (β) Ένας τουλάχιστον από τους x, y, z ισούται με 0. ΘΑΛΗΣ Ονομάζουμε x y z (1) y z x () z x y (3) (α) προσθέτουμε τις σχέσεις κατά μέλη και έχουμε x y z 0 (4), από την ταυτότητα του euler με βάση την σχέση (4) προκύπτει ότι x y z 3xyz (β) Εξισώνοντας τις σχέσεις (1): (): x z y x y z έχουμε z y y z z y y z 0 ( z y)( z y) z y 0 ( z y)( z y 1) 0 οπότε zy 0 ή z y 1 1η περίπτωση Αν zy 0 από την (4) έχουμε x 0 η περίπτωση Αν z y 1 αντικαθιστώντας στην (3) και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε x1y και από την (1) έχουμε (1 y) y ( y 1) x y z 1 4y 4y y y y 1 3y 3y 0 3 yy ( 1) 0 οπότε y 0 ή y 1, άρα z Να βρείτε την τιμή της αριθμητικής παράστασης A (014 3)( ) ( ) (4 014) ΘΑΛΗΣ Θέτουμε x = 014 τότε η παράσταση Α γράφεται

37 18. Δίνονται οι παραστάσεις Α = (x + y + xy) και Β = [(x + y + xy) + x 4 + y 4 ] όπου x, y είναι ρητοί. α. Να γράψετε την παράσταση Α ως πολυώνυμο των μεταβλητών x, y διατεταγμένο προς τις φθίνουσες δυνάμεις του x. β. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός B είναι ρητός για οποιαδήποτε τιμή των ρητών αριθμών x,y. (α) Είναι ΘΑΛΗΣ A ( x ) ( y ) ( xy) x y x xy y xy x x y 3x y xy y (β) Είναι B x ( x 4xy 6x y 4 xy y ) y, ( x x y 3x y xy y ) 4( x xy y ) κι άρα B x xy y ( x xy y ), δηλ. ρητός.

38 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Εξίσωση 1ου βαθμού ονομάζεται κάθε ισότητα που έχει ή μπορεί να πάρει την μορφή αx = β Για την επίλυση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης ακολουθούμε τα παρακάτω: απαλείφουμε τους παρανομαστές (αν υπάρχουν ) κάνουμε τους σημειούμενους πολλαπλασιασμούς απαλείφουμε τις παρενθέσεις χωρίζουμε τους γνωστούς όρους από τους άγνωστους κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου, απλοποιούμε και υπολογίζουμε την τιμή του. Κάθε πρωτοβάθμια εξίσωση της μορφής αx = β έχει μοναδική λύση την x= όταν α0. Αν α=0 τότε έχουμε τις μορφές 0x=β (β0) που είναι αδύνατη εξίσωση και 0x=0 που είναι αόριστη εξίσωση. Εξίσωση ου βαθμού ονομάζεται κάθε εξίσωση που ο άγνωστος όρος της εμφανίζεται με μεγαλύτερη δύναμη την δεύτερη. Για την επίλυση μιας εξίσωσης ου βαθμού ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος της εξίσωσης Αναλύουμε το 1ο μέλος σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και το φέρνουμε στην μορφή αβ=0. Λύνουμε τις εξισώσεις α=0, β=0 Οι λύσεις των παραπάνω εξισώσεων αποτελούν και λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Εναλλακτικά οι λύσεις της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 (α 0, α, β, γ Â) δίνονται και από την σχέση : β Δ x= όπου Δ=β -4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Η διακρίνουσα Δ καθορίζει το είδος και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης αx +βx+γ=0 συνεπώς Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει ρίζες άνισες Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει 1 ρίζα διπλή (ή δύο ρίζες ίσες) Αν Δ<0 τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αν Δ=0 τότε το 1ο μέλος της εξίσωσης είναι ανάπτυγμα τετραγώνου... Η χρησιμοποίηση του τύπου x= είναι δυνατή μόνο όταν ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι στην μορφή αx +βx+γ=0. 3. Κάθε εξίσωση ου βαθμού που μπορεί να πάρει τις μορφές x = α ή (x + β) = α με α αρνητικό αριθμό, δεν έχει λύση συνεπώς είναι αδύνατη. Κλασματική ονομάζεται η εξίσωση που ο άγνωστος της περιέχεται και στον παρονομαστή. Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία :Παραγοντοποιούμε όλους τους παρονομαστές (αν αυτό γίνεται) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών Θέτουμε τον περιορισμό : Ε.Κ.Π. 0 και βρίσκουμε για ποιες τιμές του αγνώστου δεν έχουν έννοια τα κλάσματα που περιέχονται στην εξίσωση. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. και απλοποιούμε αυτό με τους

39 παρονομαστές. Εκτελούμε τις πράξεις που προκύπτουν και προκύπτει εξίσωση πρώτου ή δευτέρου βαθμού που αντιμετωπίζεται όπως παραπάνω. Απορρίπτουμε, τέλος από τις ρίζες εκείνες που αντιτίθεται στους περιορισμούς που αρχικά έχουμε θέσει. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση (x 3) 3 + (7 5x) 3 = (4 3x) 3. Να λυθεί η εξίσωση: (x 3 + 3x + 3x)(x 3 + 3x + 3x +) +1 = 0

40 3. Να λυθεί η εξίσωση x 4x = 0 4. Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση x(5α +3) + 5 = 10(x + 1) + 3 είναι αδύνατη. 5. Να λυθεί η εξίσωση x + ( 1)x + = 0 ΥΠΟΔΕΙΞΗ Με πράξεις και στην συνέχεια παραγοντοποίηση ή με αντιμετωπίζεται ως εξίσωση δευτέρου βαθμού. 6. Δίνονται οι εξισώσεις: (1) (λ )x = λ 4 () λ x(x+1) (x 1) = λ(λx +1) (3) λ x(x+1) (x+1) = λ(λx +1) Να αποδείξετε ότι: α) Αν η (1) αληθεύει για κάθε x (ταυτότητα), τότε το ίδιο συμβαίνει και για την () β) Αν η (3) είναι αδύνατη, τότε η (1) είναι ταυτότητα. Εύκολη. 7. Να λυθεί η εξίσωση: x x x Μια λύση είναι η τιμή x Οι μη μηδενικές λύσεις θα προκύψουν από τη λύση της 1x x.

41 Η τελευταία είναι ισοδύναμη με τις x 1 x x x x x x x x x x 1x x x x οπότε οι τιμές 0, 1,1 είναι όλες οι λύσεις. 8. Να λύσετε την εξίσωση: x ( x) Θέτουμε x1 y, οπότε η εξίσωση γράφεται (1 y) (1 y) 34 y 6y 16 0 y ή y 8. Η δεύτερη είναι αδύνατη, ενώ από την πρώτη βρίσκουμε y. Επομένως, η αρχική εξίσωση έχει τις λύσεις x Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθεί η εξίσωση. x 3 x Αρχικά για να έχουν έννοια τα κλάσματα πρέπει λ 0 Μετά την απαλοιφή των παρονομαστών η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: 3(λ + 3) + λ(x λ) = λ(λ + 3) (λ + 3)x = (λ + 3)(λ 3) Αν λ 3 η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = λ 3 Αν λ = 3 η εξίσωση γράφεται 0x = 9 και είναι αδύνατη για κάθε λ Να λυθεί η εξίσωση: (x + x 9) 5(x + x 8 ) = 1 (x +x-9) -5(x +x-9+1)-1=0 ή (x +x-9) -5(x +x-9)-5-1=0 (x +x-9) -5(x +x-9)-6=0 (x +x-9-6) (x +x-9+1)=0 (x +x-15) (x +x-8)=0 (x-3)(x+5)(x+4)(x-)=0 Άρα x = 3 ή x = -5 ή x = -4 ή x =

42 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (Μέρος Δεύτερο) 11. Δίνεται η εξίσωση x x (αβ 1) = 0. Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α + β, τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1 ΥΠΟΔΕΙΞΗ Ο αριθμός α + β επαληθεύει την εξίσωση. 1. Να βρείτε τους ακέραιους x ώστε να ισχύει: x(x 1)(x 1)(x ) 3 x(x 1)(x 1)(x ) 6 = x(x 1)(x 1)(x ) 15 x(x 1)(x 1)(x ) ΥΠΟΔΕΙΞΗ Θέτουμε την ποσότητα x(x-1)(x+1)(x+) = u 13. Να λυθεί η εξίσωση: x x 1 x x x 4 x Nα λυθεί η εξίσωση λ(λx +3) = λ 3 + λx ΘΑΛΗΣ

43 15. Nα προσδιορίσετε τους ακεραίους που είναι λύσεις του συστήματος εξίσωσης ανίσωσης x x 1 x 1 x(x 1) 5x = 14, 4 4 ΘΑΛΗΣ x 5x 14 x 5x 14 0 ( x 7)( x ) 0 x 7 ή x ακέραιες ρίζες x 1 x 1 x( x 1) x 1 x 1 x x ( x 1) ( x 1) ( x x) x x 1 x x 0 x x x x x x x Άρα δεκτή ακέραια λύση του συστήματος είναι ο αριθμός. 16. x x x x x 5 6 Aν θέσουμε a b c abc x x a 3 x , b, x x 5 c 6, οπότε η δοθείσα γράφεται: 3 0 (1) Από την ταυτότητα του Euler a b c 3 abc ( a b c)[( a b) ( a c) ( b c ) ] με βάση την σχέση (1) έχουμε: έχουμε ab c

44 Άρα ισχύει x x x 3 5 x x 5 6. Η τελευταία ισότητα δίνει: 5 x 5 x = 3 x 6 x x x 5 18, οπότε μόνο η τιμή x 0 την επαληθεύει, τιμή που ικανοποιεί και την αρχική εξίσωση. 17. Να λύσετε την εξίσωση: αx - (α + α +1)x + α +1= 0, α R i) Αν α 0 έχουμε 0x 1 x 1 0 x 1 ii) Αν α 0 η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού οπότε υπολογίζουμε την Διακρίνουσα Δ α α 1 4α (α 1) α α 1 4α 4α α α 1 α α α 4α 4α α α 1 α α α α α 1 β Δ Τότε οι ρίζες δίνονται από τον τύπο ρ1,, έτσι α 1 Δηλαδή ρ 1,ρ α 1 α ρ 1, α α 1 α α 1 α α α 1 α α 1 α α α 1 α α 1. α 18. Nα λυθεί η εξίσωση x(x +1)(x + x +1) = 4 Έχουμε Αν θέσουμε x(x 1)(x x 1) 4 (x x)(x x 1) 4 x x y, y R θα έχουμε: (y 7)(y 6) 0 y 7 ή y 6. Τότε x x 6(1) ή x x 7 (). Η εξίσωση (1) x x 6 (x 3)(x ) 0 x ή x 3. y(y 1) 4 y y 4 0 Η εξίσωση () δεν έχει ρίζες στο R γιατί Δ Επομένως η δοθείσα εξίσωση έχει ρίζες x 3, x. 19. Να λυθεί η εξίσωση x x x x x x 1 1 ( 5) 4

45 Αρχικά προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x 1 x 1 ( x 5) x x x 4 x 1 x x 4x 5 4 x x x x θέτοντας x 3 έχουμε ότι: ( 5) ( x 3) (( x 3) 5) ( x 3) ( x 6x 4) Επομένως η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την 4 ( 3) ( 6 4) 0 x x x που λύνεται εύκολα Μέσα στο τετράγωνο του σχήματος που έχει πλευρά ακέραιο αριθμό, μεγαλύτερο του 7, υπάρχουν δύο ορθογώνια με διαστάσεις 7cm και 6cm τοποθετημένα με τον ίδιο τρόπο στις δύο απέναντι γωνίες του τετραγώνου. Αν το εμβαδόν του κοινού ορθογωνίου που σχηματίζουν τα δύο αυτά ορθογώνια και είναι σημειωμένο με κόκκινο είναι το 8% του εμβαδού του τετραγώνου, βρείτε την πλευρά του τετραγώνου. Αν α είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε παίρνουμε την εξίσωση : που λύνεται εύκολα και δίνει ακέραια λύση α = 10

46 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (Μέρος τρίτο) 1. Να βρεθούν οι ακέραιοι x που είναι ρίζες της εξίσωσης xx ( ) 4 και το τετράγωνό τους δεν είναι μεγαλύτερο του 5. ΘΑΛΗΣ Έχουμε: x( x ) 4 x x 4 0 ( x 6)( x 4) 0 x 6 ή x 4 Οι παραπάνω ρίζες είναι ακέραιες ρίζες και οι δύο, όμως κι επειδή και ( 4) 16 5 απορρίπτεται το 6 και δεκτή λύση είναι το 4 ΣΧΟΛΙΟ: Η εξίσωση x x 4 0 μπορεί να λυθεί με χρήση της διακρίνουσας.. x x 3( x 1) (α) Αν ακέραιος, να λύσετε την εξίσωση : ( x ). 4 4 (β) Για ποιες τιμές του ακέραιου η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις; ΘΑΛΗΣ ) kx x 3( kx 1) kx ( ) kx x 4 k( x ) 3( kx 1) 4 4 x kx 8k 3 x(1 k) 8k 3 8k 3 x k 1 με k 1 ) Είναι 8k 3 8k 85 8k 8 5 8( k 1) 5 5 x 8 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 5 Για να είναι η τιμή του x ακέραιος αριθμός θα πρέπει το κλάσμα να είναι ακέραιος k 1 αριθμός. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν ο παρονομαστής διαιρεί τον αριθμητή του κλάσματος, δηλαδή όταν k 1 5, k 1 5, k 11, k 1 1 Επομένως η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις για k {4,0, 6, } 3. Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι μεγαλύτερο από το δεκαπλάσιο του αριθμού κατά 75. Να βρεθεί ο αριθμός. ΘΑΛΗΣ Έστω x 0 ο αριθμός που αναζητούμε Από την υπόθεση έχουμε ότι x 10x 75

47 Έτσι, αναγόμαστε στην εύρεση των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης x 10x 75 x 10x 75 x 10x ( x 5) 100 x 5 10 x 5 10 x 15 x 5 Από αυτές δεκτή είναι μόνο η x 15 διότι x 0 4. Αν στο 1 8 ενός αριθμού x προσθέσουμε το 1 4 του αριθμού αυτού προκύπτει αριθμός μικρότερος κατά 155 του αριθμού x. Να βρεθεί ο αριθμός x. ΘΑΛΗΣ x x x 155 x x 155 x Το τετράγωνο ενός αριθμού x ισούται με το διπλάσιο του αριθμού αυξημένο κατά 8. Επιπλέον το διπλάσιο του αριθμού είναι μεγαλύτερο του -. Να βρεθεί ο αριθμός x. ΘΑΛΗΣ Από την υπόθεση του προβλήματος έχουμε ότι: x x 8 x x 8 0 ( x 4)( x ) 0 x 4 ή x Όμως από την υπόθεση έχουμε πάλι ότι πρέπει να είναι : x x 1 Έτσι έχουμε ότι x = 4 η δεύτερη τιμή του x απορρίπτεται. 6. Το τετράγωνο ενός αριθμού ισούται με τον αριθμό αυξημένο κατά 7. Επιπλέον, αν από το 60 αφαιρέσουμε το διπλάσιο του αριθμού, λαμβάνουμε αριθμό μικρότερο του 5. Να βρεθεί ο αριθμός. ΘΑΛΗΣ x x 7 x x 7 0 x 8 ή x 9 x 9 60 x 5 x 4 x 4 7. Να λυθεί η εξίσωση 4 3 x x x x x x 1 0 x x 1 x 1 0 x 1 x x 1 0

48 3 3 x x x x x x x x xx x x 1 x x 1 0 x x x x x, αφού η x x 1 0 για κάθε x πραγματικό αριθμό. 8. Να λυθεί η εξίσωση x 8 x 7 x 6 x 000 x 001 x Η εξίσωση είναι πρώτου βαθμού, άρα θα ισχύει μόνο μία από τις παρακάτω περιπτώσεις : θα έχει μοναδική λύση, θα είναι αδύνατη, θα αληθεύει για κάθε πραγματικό. Παρατηρούμε ότι το x 008 την επαληθεύει, άρα δεν είναι αδύνατη. Επίσης, δεν ισχύει για κάθε πραγματικό αφού π.χ. το x 0 9. Να λυθεί η εξίσωση x x x x x 7 x x 1 6 x Για να έχουν τα εμφανιζόμενα κλάσματα νόημα πραγματικού αριθμού πρέπει και αρκεί x, x 7, x 1 και x 6 Έχουμε x 9 x x 1 8 x x 7 x x 1 6 x x 7 x x 1 6 x x x 1 6 x x x 1 7 x 6 x x x 8x 7 x 8x x 8 0 ή x 8x 7 x 8x 1 x 4 που είναι δεκτή, αφού η δεύτερη παρένθεση δίνει αδύνατη εξίσωση. 30. Να λυθεί η εξίσωση : x 1 x x x Η εξίσωση ορίζεται για x x 0. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 9 άρα x1, x. 1 Ισοδύναμα έχουμε x x x x.

49 1 Αν θέσουμε x x y έχουμε y 1 1. y ή y ή y 1 13 x x 1 x x 3 0, με 1 13 και ρίζες x 1, (δεκτές) 1 5 x x 1 x x 1 0, με 5 και ρίζες x 3,4 (δεκτές)

50 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Θεωρία αριθμών ΟΡΙΣΜΟΙ Άρτιος ονομάζεται κάθε ακέραιος που είναι πολλαπλάσιο του. Έχει τη μορφή κ όπου κz Περιττός ονομάζεται κάθε ακέραιος που δεν είναι άρτιος. Έχει την μορφή κ+1 (ή κ-1) όπου κz ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω α, β δύο ακέραιοι με β 0. Θα λέμε ότι ο β διαιρεί τον α όταν η διαίρεση του α με τον β είναι τέλεια. ΙΣΧΥΕΙ α = πολ β (πολλαπλάσιο του β) υπάρχει κz τέτοιο ώστε α = κ β ΟΝΟΜΑΣΙΕΣ ο β ονομάζεται διαιρέτης του α ή παράγοντας του. ο α ονομάζεται πολλαπλάσιο του β 1. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιος του 6.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y που επαληθεύουν την ισότητα: x + y x + 4y +5 = 0 3 Αν οι αριθμοί και είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι να αποδείξετε ότι ο ακέραιος είναι πολλαπλάσιο του 34. Η δεδομένη σχέση γράφεται στη μορφή 1 4 4, από την οποία προκύπτει ότι , Επομένως έχουμε που είναι πολλαπλάσιο του 34, αφού ο είναι θετικός ακέραιος.

51 4. Να προσδιορίσετε τους ακεραίους x, y, και που είναι τέτοιο ώστε: 0 x y z, και xyz +xy + yz + zx + x + y + z = Aν με ν! συμβολίζουμε το γινόμενο: 13 ν, τότε: 1) Να βρείτε σε ποιό ψηφίο τελειώνει ο αριθμός α = 1! +! + 3!+ 4! + 5! ! ) Είναι ο, ακέραιος; Να δικαιολογήσετε την απαντησή σας. α) =33+10κ όπου κ = Ο αριθμός 10κ τελειώνει σε μηδέν άρα ο αριθμός α = 33+10κ τελειώνει σε 3 β) Για να είναι ο αριθμός ακέραιος πρέπει και αρκεί ο αριθμός α να είναι της μορφής πράγμα που δεν ισχύει εφόσον ο αριθμός α τελειώνει σε 3 6. Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς x, y, z με x + y + z = 0, να αποδείξετε ότι η παράσταση είναι τετράγωνο ρητού αριθμού. x y z Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς x, y, z με x + y + z = 0 ισχύει ότι: άρα αν οι είναι ρητοί, τότε η παράσταση είναι τετράγωνο ρητού. x y z

52 4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Προβλήματα πρακτικής αριθμητικής 1. Μία βρύση Α γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) μία δεξαμενή σε τρεις ώρες. Μία δεύτερη βρύση Β γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή σε τέσσερις ώρες. Μία τρίτη τέλος βρύση Γ αδειάζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή (όταν βέβαια είναι γεμάτη) σε έξι ώρες. Ένας αυτόματος μηχανισμός ανοίγει με τυχαία σειρά και τις τρεις βρύσες με τον εξής τρόπο: ανοίγει μία βρύση, μετά από δύο ώρες ανοίγει μία άλλη και τέλος μετά από μία ώρα ανοίγει και την άλλη βρύση. Ένας άλλος μηχανισμός μετρά το χρόνο που χρειάζεται να γεμίσει η δεξαμενή και ξεκινά τη λειτουργία του μόλις πέσει νερό μέσα στη δεξαμενή. Ποια είναι εκείνη η σειρά με την οποία αν ανοίξει τις βρύσες ο μηχανισμός, o αριθμός των ωρών που θα χρειαστούν (για να γεμίσει η δεξαμενή) να είναι ακέραιος αριθμός; Ποιος είναι σε κάθε περίπτωση αυτός ο ακέραιος αριθμός;. Η Α τάξη ενός Λυκείου έχει 5 τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον 0 μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε 10 ευρώ. Έτσι δώσαμε 1090 ευρώ. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών. ΛΥΣΕΙΣ 1. Έστω x, ο αριθμός των ωρών που χρειάζονται για να γεμίσει η δεξαμενή. Τότε οι δυνατοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να ανοίξει τις βρύσες ο μηχανισμός (μαζί με τις αντίστοιχες εξισώσεις που δημιουργούνται) είναι: (1) Α-Β-Γ x x x x x () Β-Α-Γ x x x x x (3) Α-Γ-Β x x x x x (4) Β-Γ-Α x x x 3 1 5x x (5) Γ-Β-Α x x 1 x x 1 4 x (6) Γ-Α-Β x x 1 x 1 5x 1 3 x Ένας τρόπος ανοίγματος είναι Β-Γ-Α με αντίστοιχη διάρκεια x 4 ώρες (περίπτωση (4)). Ένας δεύτερος τρόπος ανοίγματος είναι Γ-Α-Β με αντίστοιχη διάρκεια x 3 ώρες (περίπτωση (6)).

53 Στη περίπτωση (4) (που ανοίγει πρώτα η βρύση Β), ο χρόνος αρχίζει να μετράει με το άνοιγμα της βρύσης Β. Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι ο απαιτούμενος χρόνος για να γεμίσει η δεξαμενή x είναι x ώρες, τότε η βρύση Β θα έχει γεμίσει τα της δεξαμενής. Στη 4 συνέχεια ανοίγει η βρύση Γ η οποία θα λειτουργήσει x ώρες και θα x αδειάσει τα της δεξαμενής. Τέλος θα ανοίξει η βρύση Α η οποία θα 6 λειτουργήσει x 3 ώρες και θα γεμίσει τα x 3 3 της δεξαμενής. Με αυτό τον τρόπο προκύπτει η εξίσωση (4). Στη περίπτωση (6) (που ανοίγει πρώτα η βρύση Γ), ο χρόνος αρχίζει να μετράει με το άνοιγμα της βρύσης Α (διότι ο μηχανισμός χρονομέτρησης αρχίζει μόλις πέσει νερό στη δεξαμενή). Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι ο απαιτούμενος χρόνος για να γεμίσει η δεξαμενή x είναι x ώρες, τότε η βρύση Α θα έχει γεμίσει τα της δεξαμενής. Στη 3 συνέχεια ανοίγει η βρύση Β η οποία θα λειτουργήσει x 1 ώρες και θα γεμίσει x 1 τα της δεξαμενής. 4 x Τέλος η βρύση Γ θα λειτουργήσει x ώρες, και θα αδειάσει τα της 6 δεξαμενής. Με αυτό τον τρόπο προκύπτει η εξίσωση (6). Ανάλογα εξηγούνται και οι υπόλοιπες περιπτώσεις..

54 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Προβλήματα που επιλύονται με εξισώσεις ΣΧΟΛΙΑ Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με την βοήθεια των εξισώσεων ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Διαβάζουμε με προσοχή το πρόβλημα για να καταλάβουμε τι μας δίνει και τι μας ζητάει. Συμβολίζουμε με x αυτό που μας ζητάει Με την βοήθεια της μεταβλητής x συμβολίζουμε και τα άλλα μεγέθη του προβλήματος. Σχηματίζουμε μία εξίσωση (που έχει τον x ως άγνωστο) που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος. Λύνουμε την εξίσωση Ελέγχουμε αν η λύση ανταποκρίνεται στο πρόβλημα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Στην λαϊκή του Χαλανδρίου ο κύριος Γιάννης πουλάει αυγά. Το πρώτο Σάββατο πούλησε τα μισά του αυγά και μισό αυγό χωρίς να σπάσει κανένα!!! Το δεύτερο Σάββατο πούλησε απ όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!! Το τρίτο Σάββατο πούλησε απ όσα του είχαν απομείνει τα μισά και μισό αυγό χωρίς πάλι να σπάσει κανένα!!! Στο τέλος αγόρασα και εγώ το τελευταίο του αυγό. Πόσα αυγά είχε συνολικά ο Γιάννης. Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι μεγαλύτερο από το δεκαπλάσιο του αριθμού κατά 75. Να βρεθεί ο αριθμός. 3 Αν στο 8 1 ενός αριθμού x προσθέσουμε το 4 1 του αριθμού αυτού προκύπτει αριθμός μικρότερος κατά 155 του αριθμού x. Να βρεθεί ο αριθμός x. 4 Δύο παιδιά συζητούν για αλγεβρικά προβλήματα. Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς x και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν μειώσω τον x κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται. Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη: Αν αυξήσεις τον αριθμό x κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 0, τότε πάλι το γινόμενό τους δεν μεταβάλλεται; Η Μαρία καταλήγει: Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες. Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε ο Γιάννης; 5. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το μισό της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το 1/8 της ζωής του. Πόσα χρόνια έζησε; ΛΥΣΕΙΣ 1. Έστω x τα αυγά Το πρώτο Σάββατο πούλησε x 1 x 1 αυγά και του έμειναν x ( ) κ.ο.κ Αν x είναι ο ζητούμενος αριθμός, τότε από τα δεδομένα του προβλήματος θα ικανοποιεί την εξίσωση x 10x 75 x 10x 75 0 x 15 ή x 5.