Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης Διδακτικές σημειώσεις για το μάθημα Εισαγωγή στα Κυκλώματα του ου εξαμήνου Ιάκωβος Στ. Βενιέρης Καθηγητής Ε.Μ.Π Αθήνα, 003

2 /30 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ας ΤΑΞΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναπτύχθηκαν τεχνικές για τον υπολογισμό των αποκρίσεων γραμμικών κυκλωμάτων ης τάξης με ή χωρίς σταθερές πηγές. Στο κεφάλαιο αυτό, επεκτείνονται οι τεχνικές και στην περίπτωση κυκλωμάτων ας τάξης. Συχνά, αλλά όχι πάντα, ένα κύκλωμα ας τάξης περιλαμβάνει δύο δυναμικά στοιχεία, τα οποία μπορεί να είναι (,), (,) ή (,). Τα κυκλώματα ας τάξης χαρακτηρίζονται από ας τάξης διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση με τα κυκλώματα ης τάξης, των οποίων η απόκριση χωρίς διέγερση αποτελείται μόνο από πραγματικούς εκθετικούς όρους, τα κυκλώματα ας τάξης έχουν απόκριση ποικίλων κυματομορφών όπως εκθετικών, ταλαντώσεων, εκθετικά αποσβεννυμένων ταλαντώσεων, εκθετικά αυξανομένων ταλαντώσεων κ.ά. Ο μετασχηματισμός aplace, τον οποίο θα εξετάσουμε σε επόμενο κεφάλαιο, αποτελεί το γενικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για την μελέτη κυκλωμάτων ας τάξης, με τυχαίες αρχικές συνθήκες και τυχαίες διεγέρσεις. Για κυκλώματα ας τάξης χωρίς πηγές ή με σταθερές πηγές, μερικές επεκτάσεις των τεχνικών που χρησιμοποιήθηκαν για ης τάξης κυκλώματα είναι ικανές να δώσουν τις ζητούμενες αποκρίσεις. Η μελέτη των κυκλωμάτων ας τάξης ξεκινά με την παρουσίαση ενός απλού κυκλώματος ταλάντωσης.. ΕΚΦΟΡΤΙΣΗ ΠΥΚΝΩΤΗ ΜΕΣΩ ΠΗΝΙΟΥ Όπως δείξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, ένας φορτισμένος πυκνωτής συνδεδεμένος παράλληλα με έναν αντιστάτη, έχει μία τάση η οποία μειώνεται εκθετικά στο μηδέν. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται και η αποθηκευμένη του ενέργεια καταναλώνεται ως θερμότητα στον αντιστάτη. Στη συνέχεια εξετάζουμε την περίπτωση όπου ο αντιστάτης αντικαθίσταται από ένα πηνίο. Vo A δ c B ic c B i (a) (ß) Σχήμα. (α) φόρτιση, (β) εκφόρτιση πυκνωτή μέσω πηνίου

3 3/30 Στο σχήμα ο διακόπτης δ μετακινείται στην θέση Β τη χρονική στιγμή t=0. Το κύκλωμα για t 0 διαμορφώνεται όπως στο σχήμα (β). Στη συνέχεια θα καθορίσουμε μία έκφραση για την τάση του πυκνωτή c στο t 0. Οι σχέσεις -i για και και οι νόμοι NPK και ΝΤΚ δίνουν: i i = = (α) i = (β) = Σε μορφή μητρών έχουμε: 0 = i 0 i (γ) Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης καλείται εξίσωση κατάστασης του κυκλώματος. Οι άγνωστοι, i καλούνται μεταβλητές κατάστασης. Η διαφορική εξίσωση ας τάξης του κυκλώματος προκύπτει ως εξής: Παραγώγιση της (α) i =. Αντικαθιστούμε την (β) στην (α) και έχουμε = (). Στην εξίσωση () απαιτείται η δεύτερης τάξης παράγωγος της μεταβλητής να είναι ίση με τη μεταβλητή πολλαπλασιασμένη με μία αρνητική σταθερά. Ακόμα κι αν δεν υπάρχει η απαιτούμενη γνώση σε διαφορικές εξισώσεις η λύση της () μπορεί να προκύψει απλά, αρκεί να θυμηθούμε τις ιδιότητες διαφόρισης των ημιτονοειδών συναρτήσεων: si( ω t) = ω cos( ωt) και cos( ωt) = ω si( ωt) cos( ω t θ ) = ω cos( ω θ ) και si( ω t θ ) = ω si( ω θ ) Αμφότερες οι συναρτήσεις συνημιτόνου και ημιτόνου έχουν την επιθυμητή ιδιότητα: Η παράγωγος δευτέρας τάξης της συνάρτησης είναι ίση με τη συνάρτηση πολλαπλασιασμένη επί μία αρνητική σταθερά. Κατά συνέπεια είναι εύλογο να συμπεράνουμε ότι η λύση της () έχει την γενική μορφή:

4 4/30 Η παράγωγος της (t) είναι και με διαφόριση της (4) έχουμε = K cos( ω t θ ) = Αcos( ωt) Bsi( ωt) (3) = Kω si( ωt θ ) (4) Kω cos( ω θ ) = ω Με εξίσωση των συντελεστών της =. = και της (5) έχουμε ω = ή ω = (6) Απομένει να καθορίσουμε τις σταθερές Κ, θ (ή Α και Β) της εξίσωσης (3). Αυτές εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες ως εξής: Όταν ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση Α η τιμή της τάσης του πυκνωτή είναι i o ( 0 ) = V και το ρεύμα του πηνίου είναι ( 0 ) = 0. Μόλις ο διακόπτης πάει στη θέση Β (t= 0 ) η τάση του πυκνωτή και το ρεύμα του πηνίου δεν μεταβάλλονται, δηλαδή 0 ( ) = V και i ( 0 ) = 0. Η αρχική o τιμή της παραγώγου της τάσης του πυκνωτή ' (0 ) υπολογίζεται από την (α) ως εξής: Η (3) και (4) στο t= 0 δίνουν: Άρα η λύση της (t) είναι i (0 ) = (0 ) i (0 ) = = 0 '. V 0 = K cosθ (7α) και 0 = Κω siθ (7β) και Κ =V0, θ = 0. = V0 cos t (8). Παρατηρήσεις Η απόκριση τάσης και ρεύματος του κυκλώματος χωρίς πηγή του σχήματος είναι ημιτονοειδείς κυματομορφές με γωνιακή συχνότητα ίση με. Επειδή η ημιτονοειδής ταλάντωση παραμένει σταθερή το κύκλωμα λέγεται μη αποσβεννυμένο. Η γωνιακή συχνότητα ω = καλείται συχνότητα μη αποσβεννυμένης ταλάντωσης.

5 5/30 Η συχνότητα ημιτονοειδούς ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από τις τιμές,, ενώ το εύρος Κ και η φάση θ εξαρτώνται από τα, και τις αρχικές τιμές της τάσης του πυκνωτή και του ρεύματος πηνίου. Παρόλο που η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή και στο πηνίο μεταβάλλεται με τον χρόνο το άθροισμά τους παραμένει σταθερό. Υπάρχει δηλαδή μία συνεχής μεταφορά μεταξύ της ενέργειας που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου και αυτής που είναι αποθηκευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή. Στο σχήμα, εικονίζεται το απλούστερο κύκλωμα το οποίο παράγει ημιτονοειδείς κυματομορφές. Το ηλεκτρονικό κύκλωμα που παράγει ημιτονοειδείς κυματομορφές καλείται κύκλωμα ταλάντωσης. Στην πραγματικότητα η εκφόρτιση ενός πυκνωτή μέσω ενός πηνίου δεν παράγει αμιγείς ημιτονοειδείς ταλαντώσεις, αλλά ημιτονοειδείς κυματομορφές με προοδευτικά μειούμενα εύρη. Ο λόγος είναι ότι το πηνίο έχει μία μικρή αντίσταση εν σειρά και ο πυκνωτής μία μεγάλη αντίσταση παράλληλα. Το σχήμα εικονίζει το πραγματικό μοντέλο κυκλώματος, όπου έχει μία μικρή τιμή και μία μεγάλη τιμή. Αφού και οι δύο αντιστάτες καταναλώνουν ενέργεια, η συνολική ενέργεια στο μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο φθίνει συνοδευόμενη με μία σταδιακή μείωση του εύρους ταλάντωσης. ic i c Σχήμα. Πραγματικό μοντέλο κυκλώματος. 3. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ας ΤΑΞΗΣ ΧΩΡΙΣ ΠΗΓΗ Αν όλες οι ανεξάρτητες πηγές ενός κυκλώματος ας τάξης είναι μηδενισμένες, το κύκλωμα καλείται κύκλωμα χωρίς πηγή. Τα κυκλώματα χωρίς πηγή περιγράφονται με μία εκ των επομένων δύο εξισώσεων, όπου τα x είναι συνήθως οι τάσεις των πυκνωτών ή τα ρεύματα των πηνίων. α. Εξισώσεις κατάστασης x = a x a x (9)

6 6/30 x = ax ax β. Διαφορική εξίσωση ας τάξης x x σ ω 0 x = (0) Η σταθερά σ καλείται σταθερά απόσβεσης και η σταθερά ω κυκλική συχνότητα συντονισμού. Τα σχετικά μεγέθη των σ και ω καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της κυματομορφής απόκρισης, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Για ένα γενικευμένο κύκλωμα ας τάξης χωρίς πηγή, η διαφορική εξίσωση (0) προκύπτει αφού αρχικά γράψουμε τις εξισώσεις κατάστασης (9). Για απλά κυκλώματα, η διαφορική εξίσωση ας τάξης μπορεί να γραφτεί κατευθείαν χωρίς να περάσουμε από τις εξισώσεις κατάστασης. Το παράδειγμα αναφέρεται σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα Για τα εν σειρά και παράλληλα κυκλώματα του σχήματος 3 να γραφτεί η διαφορική εξίσωση ας τάξης και να ευρεθούν οι σταθερές παραμέτρους του κυκλώματος. ω και σ σε A I (a) Σχήμα 3. (α) Εν σειρά κύκλωμα (β) Παράλληλο κύκλωμα (ß) () Καθορισμός της διαφορικής εξίσωσης ας τάξης του κυκλώματος 3(α) Με ΝΤΚ στο βρόχο I έχουμε: i t i i( z) ( z) = 0. i i i Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε: = 0. i i Διαιρώντας με : i = 0 () () Καθορισμός παραμέτρων x(t), σ, ω της εξίσωσης (0)

7 7/30 x x σ ω 0 x = (0) 0.5 x(t)=i(t), ω =, σ = (3) Καθορισμός της διαφορικής εξίσωσης ας τάξης του κυκλώματος 3(β) Με ΝΡΚ στον κόμβο Α έχουμε: t ( z) ( z) = 0 Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε: Διαιρώντας με : = 0 = 0 () (4) Καθορισμός παραμέτρων x(t), σ, ω της εξίσωσης (0) x x σ ω 0 x = (0) 0.5 x(t)=(t), ω =, σ = ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ας ΤΑΞΗΣ Η μέθοδος εύρεσης λύσης της διαφορικής εξίσωσης (0) περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα Καθορισμός της διαφορικής εξίσωσης του κυκλώματος. Καθορισμός της χαρακτηριστικής εξίσωσης από την διαφορική εξίσωση και εύρεση των ριζών της. 3 Καθορισμός της γενικής μορφής της λύσης από τη φύση (πραγματικοί ή μιγαδικοί) των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η λύση περιέχει δύο άγνωστες παραμέτρους. 4 Υπολογισμός των άγνωστων παραμέτρων από τις αρχικές τιμές του κυκλώματος Για να δείξουμε μία αρχική εφαρμογή της μεθόδου, υποθέτουμε ότι στην (0) x x σ ω 0 x = έχουμε σ=0. Η γενική λύση έχει τη μορφή μίας ημιτονοειδούς

8 8/30 ή συνημιτονοειδούς συναρτήσεως όπως δίνεται από την εξίσωση (3) x = Kcos( ω ϑ) = Acos( ωt) Bsi( ωt) με άγνωστες παραμέτρους Κ, θ. Όταν το σ 0, η μορφή της λύσης δεν είναι συγκεκριμένη. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία των κυκλωμάτων ης τάξης, θεωρούμε μία λύση της μορφής : x = st Ke (3) και καθορίζουμε τις τιμές του s. Αντικαθιστώντας την (3) στην (0) έχουμε Ks Στην γενική περίπτωση Κ 0, ενώ e st st st Ksσ e ω Ke = Ke ( s σs ω ) = 0. st st e είναι πάντα διάφορο του μηδενός. Κατά συνέπεια για να αποτελεί η (3) λύση της διαφορικής εξίσωσης πρέπει s σs ω = 0. Οι ρίζες της (4) είνα s = σ σ ω και s =σ σ ω (5). Η εξίσωση s σs ω = 0 είναι η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικού κυκλώματος ας τάξης. Οι ρίζες της καλούνται φυσικές συχνότητες του κυκλώματος. Από τη στοιχειώδη άλγεβρα είναι γνωστό ότι η εξίσωση (4) μπορεί να έχει δύο πραγματικές ρίζες, δύο επαναλαμβανόμενες πραγματικές ρίζες ή δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες, ανάλογα αν η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη του μηδενός. Η λύση της (0) συνοψίζεται στις επόμενες τρεις περιπτώσεις ( Δ= 4 4 ) σ ω s σs ω = 0 (4) Περίπτωση Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες σ ω Αν οι ρίζες είναι πραγματικές και διακεκριμένες, τότε για τυχαίες σταθερές Κ, Κ αμφότερες οι st x x = Ke = και st x = K e ικανοποιούν την (0). Η (0) είναι γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση κι ως εκ τούτου το άθροισμα x() t = x() t x() t είναι επίσης λύση. Κατά συνέπεια η πιο γενική λύση της (4) είναι st st x Ke Ke = (6) όπου s s και s, sείναι πραγματικοί. Οι τυχαίες σταθερές Κ, Κ εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες του κυκλώματος. Τέτοια απόκριση καλείται υπεραποσβεννυμένη.

9 9/30 Περίπτωση Μιγαδικές διακεκριμένες ρίζες σ ω Οι μιγαδικές ρίζες της (4) δίνονται από τις σχέσεις όπου s = σ ± j ω σ = σ ± jω (7), ω = ω σ (8) καλείται συχνότητα απόσβεσης του κυκλώματος. Αφού s, s είναι συζυγείς μιγαδικοί, το ίδιο συμβαίνει για τους s t e και e s t στη (6). Για να είναι x(t) πραγματικός πρέπει οι σταθερές Κ, Κ να είναι επίσης συζυγείς μιγαδικοί. Δηλαδή Κ =Κ *. Με χρήση της σχέσης του Euler e jy = cos y jsi y έχουμε s( t) = K e st K e st = K e ( σ jω ) t ( σ jω ) t K e = = e [ K ω t) jk si( ω t) ] e [ K cos( ω t) jk si( ω )]= cos( = e σt [ Acos( ω t) Bsi( ω t) ] όπου οι Α = Κ Κ και Β = j Κ -jκ είναι δύο πραγματικοί αριθμοί. Κατά συνέπεια, όταν οι φυσικές συχνότητες του κυκλώματος είναι μιγαδικοί αριθμοί, η γενική λύση έχει μορφή: όπου [ Acos( ω t) Bsi( ω t) ] = Ke cos( ω t ) x = e θ B K = A B και θ = ta ( ) A Η απόκριση είναι αποσβεννυμένη ημιτονοειδής και το κύκλωμα λέγεται (9) υποασβεννυμένο. Σημειώνεται ότι στην (9) η γωνιακή συχνότητα είναι ω και η ταλάντωση περιορίζεται από τον φάκελο ± Ke ω αντί Περίπτωση 3 Πραγματικές, μη διακεκριμένες ρίζες σ = ω Στην περίπτωση αυτή οι δύο ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ίσες και η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δεν δίνεται από την (6). Η γενική λύση έχει τη μορφή Η απόκριση λέγεται κριτικά αποσβεννυμένη. x = ( A Bt) e (0).

10 0/30 Αποδεικνύουμε ότι η (0) αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης ας τάξης (0) όταν σ = ω x = e B σ ( A Bt) e x = σ σ ( ) σ e B e A Bt e B σ e B σe ( A Bt) σe x x σ ω 0 x = => B σbe σ e ( A Bt) σ ( A = Bt) e = 0 Στο σχήμα 4 εικονίζονται οι κυματομορφές των εξισώσεων (3) (μη αποσβεννυμένη ταλάντωση), (9) (υποαποσβεννυμένη ταλάντωση) και πιθανές κυματομορφές των εξισώσεων (6) (υπεραποσβεννυμένη ταλάντωση) και (0) (κριτικά αποσβεννυμένη ταλάντωση). Σχήμα 4. Πιθανές κυματομορφές για διαφόρους βαθμούς απόσβεσης (α) Μη αποσβεννυμένη ταλάντωση (β) Υπο-απόσβεση (γ) Υπερ-απόσβεση (δ) Κριτικά αποσβεννυμένη ταλάντωση.

11 /30 Η απόκριση ενός μη αποσβεννυμένου γραμμικού συστήματος ας τάξης είναι ημιτονοειδής κυματομορφή σταθερού εύρους. Η απόσβεση μειώνει το εύρος της ταλάντωσης και προκαλείται από στοιχεία του συστήματος, τα οποία καταναλώνουν ενέργεια. Στα ηλεκτρικά κυκλώματα, η παρουσία του αντιστάτη, προκαλεί το φαινόμενο της απόσβεσης. Όταν η ποσότητα της απόσβεσης είναι τόση όση χρειάζεται για να εμποδίσει την ταλάντωση το σύστημα είναι κριτικά αποσβεννυμένο. Λιγότερη απόσβεση αντιστοιχεί στο υποαποσβεννυμένο σύστημα, στο οποίο η ταλάντωση υπάρχει αλλά προοδευτικά φθίνει. Μεγαλύτερη απόσβεση αντιστοιχεί στο υπεραποσβεννυμένο σύστημα, όπου η κυματομορφή δεν είναι ταλάντωση. Ο πίνακας συνοψίζει τις γενικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης ας τάξης. ΠΙΝΑΚΑΣ. ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΠΗΓΗ ας ΤΑΞΗΣ Γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης x x σ ω 0 x = η οποία έχει χαρακτηριστική εξίσωση x σx ω = ( ss )( s s ) = 0 όπου s = σ ± σ ω, Περίπτωση Πραγματικές, διακεκριμένες ρίζες ( σ ω ) υπεραποσβεννυμένη απόκριση s t st x = Ae Be Περίπτωση Μιγαδικές, διακεκριμένες ρίζες ( σ ω ) υποαποσβεννυμένη απόκριση [ Acos( ω t) Bsi( ω t) ] = Ke cos( ω t ) x = e θ όπου s, = σ ± jω και ω = ω σ Περίπτωση 3 Πραγματικές, ταυτόσημες ρίζες ( σ = ω ) κριτικά αποσβεννυμένη απόκριση () = ( ) x t A Bt e Αφού βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης και επιλεγεί η έκφραση της γενικής λύσης από τον Πίνακα, απομένει να προσδιοριστούν οι δύο άγνωστες σταθερές. Αυτό επιτυγχάνεται με βάση τις τιμές των x ' (0) και x(0) παριστάνει την τάση πυκνωτή ή το ρεύμα πηνίου, η αρχική της τιμή x(0). Αφού η x(t) ή δίνεται ή

12 /30 προσδιορίζεται από την ιστορία του κυκλώματος. Από την άλλη πλευρά, η τιμή του x ' (0) είναι άγνωστη. Εν γένει πρέπει να υπολογιστεί ή από τις εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος ή από το κύκλωμα. Αν x = τότε x'(0 ) = ' i (0 ) = (0 ) και αν x = i τότε εύρεσης των x ' (0 ) x'(0 ' (0 ) ) = i (0 ) =. Κατά συνέπεια το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση των αρχικών τιμών του ρεύματος του πυκνωτή και της τάσης του πηνίου. Αφού οι αρχικές τιμές ( 0 ) και i ( 0 ) είναι γνωστές, μπορούμε να χειρισθούμε τον πυκνωτή σαν μία ανεξάρτητη πηγή τάσης τιμής ( 0 ) και το πηνίο σαν μία ανεξάρτητη πηγή ρεύματος i ( 0 ). Το κύκλωμά μας εκφυλίζεται σε ένα κύκλωμα αντιστάσεων, όπου οι τιμές των i ( 0 ) και ( 0 ) μπορούν να προσδιοριστούν εύκολα με τις συνηθισμένες μεθόδους ανάλυσης κυκλωμάτων με αντιστάσεις. Αφού βρεθούν οι τιμές των i ( 0 ) και ( 0 ) επιλύουμε ένα σύστημα εξισώσεων, το οποίο μας δίνει τις τιμές των παραμέτρων Α και Β. Παράδειγμα Ο διακόπτης δ βρίσκεται για πολύ χρόνο στη θέση Α. Τη χρονική στιγμή t=0 μετακινείται στη θέση Β. Να βρεθεί η (t) για t 0 για τις εξής τιμές της αντίστασης : = 0, = 80Ω, = 405Ω 0V 0 Ω 0mH A B 0 Ω δ =µf c (a) 0mH i (0 )=0 =µf c I i c (0 ) 0V c(0 ) (ß) (γ) Σχήμα 5 (α) φόρτιση πυκνωτή στο t 0, (β) κύκλωμα για t 0, (γ) κύκλωμα στο t = 0

13 3/30 Για t 0 το ισοδύναμο κύκλωμα εμφανίζεται στο σχήμα 5(β) με =. Στο κύκλωμα αυτό υπολογίζουμε τη διαφορική εξίσωση ας τάξης. Με ΝΤΚ έχουμε i i = 0 επίσης i = αντικαθιστούμε και διαιρούμε με συγκρίνοντας την () με την x x σ ω 0 x 4 0 sec = 0 () = (0) έχουμε ra 0.5 σ = =. ω = = και 50( 0) () = 0 : Έχουμε =0Ω, σ = άρα οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης 3 0 ω είναι μιγαδικοί. Η απόκριση είναι υποαποσβεννυμένη. Από τον πίνακα, η απόκριση έχει την μορφή με ω = ω σ = 9,950 ra/sec. [ Acos( ω t) Bsi( ω )] σt = e t () Προσδιορίζω τις σταθερές Α, Β της (). Για t = 0 έχουμε: Ισχύει ( 0 ) = A (3α) και με παραγώγιση της () ' (0 ) = σ A ω B (3β) Αφού ο διακόπτης δ ήταν στη θέση Α για μεγάλο χρονικό διάστημα, το κύκλωμα είχε φθάσει στη μόνιμη κατάσταση πριν ο διακόπτης μετακινηθεί στη θέση Β. Δηλαδή ( 0 ) = 0V και i ( 0 ) = 0. Η τάση του πυκνωτή και το ρεύμα του πηνίου δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία, άρα ( 0 ) = (0 ) = 0V και i ( 0 ) = ( 0 ) = 0. i ' i (0 ) i (0 ) Όμως (0 ) = = = 0. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (3) έχουμε σa Α=0 και B = =,005V ω [ 0cos(9,950t),005si(9,950t) ] 000t = e = 0,05e 000t cos(9,950t 5,7 o ) V (4)

14 4/30 () = 80Ω: Αν = 80Ω τότε = Ω σ = = ω. Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ταυτόσημες, πραγματικές ρίζες. Η απόκριση είναι κριτικά αποσβεννυμένη. Από τον πίνακα, η απόκριση έχει τη μορφή = ( A Bt) e (5) Προσδιορίζω τις σταθερές Α, Β. Για t=0 έχουμε ( 0 ) = A (6) και με παραγώγιση της (5) ' (0 ) = σa B (7) ' i (0 ) i (0 ) Όπως και πριν ισχύει ( 0 ) = (0 ) = 0V και (0 ) = = = 0 Αντικαθιστώντας στις (6) και (7) παίρνουμε Α=0V, 5 B σ A 0 V = = και = 0( 0 4 t) e 4 0 t V 4 (3) = 405Ω : Έχουμε = 45Ω και σ= 50 0 = ω. Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει διακεκριμένες χαρακτηριστικές ρίζες s = 50 ± = 50 ±, j Η απόκριση είναι υπεραποσβεννυμένη και έχει γενική μορφή 500t 40000t = Ae Be (9) 8750 Ισχύει ( 0 ) = A B (30α) και ' (0 ) = 500A 40000B (30β) ' i (0 ) i (0 ) Όπως και πριν ( 0 ) = (0 ) = 0V και (0 ) = = = 0 Αντικαθιστώντας στις (30) έχουμε Α=0,667 και Β=-0,667 και,500t 40,000t = 0,667e 0,667e V (3) 4. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ας ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ Όταν στο κύκλωμα υπάρχουν ανεξάρτητες πηγές, οι εξισώσεις του κυκλώματος είναι ίδιες όπως όταν δεν υπάρχουν πηγές, εκτός από έναν όρο που προστίθεται στο

15 5/30 δεξιό μέρος, ο οποίος δείχνει την επίδραση των διεγέρσεων. Τέτοια κυκλώματα περιγράφονται με μία εκ των δύο εξισώσεων που ακολουθούν α. Εξισώσεις κατάστασης x x = u( ) ax t ax = ax ax u ( t ) (3) β. Διαφορική εξίσωση ας τάξης x x σ ω ( ) x f t = (33) όπου u ( ) και u ( ) είναι αθροίσματα των διεγέρσεων και f(t) άθροισμα των t t εισόδων και των παραγώγων τους. Η λύση της (33) για τυχαίες εισόδους και αρχικές συνθήκες προκύπτει καλλίτερα με τη μέθοδο μετασχηματισμού aplace, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Για την ειδική περίπτωση σταθερών εισόδων, η λύση μπορεί να προκύψει εύκολα όπως στην περίπτωση που δεν έχουμε πηγές. Με σταθερές εισόδους η f(t) στο δεξιό μέρος της (33) είναι μία σταθερά την οποία συμβολίζουμε με F. Οι εκφράσεις του πίνακα αφορούν ομογενή διαφορική εξίσωση (0). Η γενική λύση της (33) προκύπτει προσθέτοντας μία σταθερά X f στις εκφράσεις του πίνακα. Η μορφή λοιπόν της γενικής λύσης της (33) είναι x = x (34) X f όπου x () t η x() t του πίνακα. Απομένει να καθορίσουμε τις Α, Β και X f. Η X f μπορεί να υπολογισθεί με μία από τις δύο μεθόδους που ακολουθούν Μέθοδος Η x = x X τοποθετείται στην (33) με f(t)=f f x x σ ω x ω X f F = Ισχύει από την ομογενή (0) x t () x() t σ ωx = 0, άρα X f F = ω

16 6/30 Μέθοδος Αφού η σταθερά x(t)=σταθερά=x f ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση, η X f παριστάνει σταθερή τάση πυκνωτή ή σταθερό ρεύμα πηνίου, τα οποία ικανοποιούν τους ΝΤΚ και ΝΡΚ και τη χαρακτηριστική -i του στοιχείου. Όταν ο πυκνωτής έχει σταθερή τάση το ρεύμα του είναι μηδενικό, και όταν το πηνίο έχει σταθερό ρεύμα η τάση του είναι μηδενική. Κατά συνέπεια η X f είναι η κατάλληλη τιμή της τάσης πυκνωτή ή του ρεύματος του πηνίου, η οποία υπολογίζεται όταν ο πυκνωτής είναι ανοιχτοκύκλωμα και το πηνίο βραχυκύκλωμα. Αφού βρεθεί η X f, οι A, B υπολογίζονται κατά τα γνωστά. Παράδειγμα 3 Να ευρεθεί η τάση (t) στα άκρα του πυκνωτή. Θεωρούμε ότι η τάση εισόδου είναι μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Επίσης =0,Ω, =Ω, =4,5Ω. H u(t)v i (t) F c(t) Σχήμα 6. Εν σειρά κύκλωμα με βηματική τάση εισόδου. Με ΝΤΚ έχουμε =, ισχύει εξίσωση s s ( s s )( s s ) = = 0. i = με χαρακτηριστική = Συγκρίνοντας με τον πίνακα έχουμε ω =, σ=0.5 και F=. =0.Ω: η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται: s s = s 0,s = 0, οι ρίζες είναι μιγαδικές s = 0, ± 0,995 και από τον πίνακα έχουμε, j [ Acos(0,995t) Bsi(0,995t ] X f t t = e 0, ( ) ) (35) Για τον προσδιορισμό της Χ f χρησιμοποιούμε τη μέθοδο. Ανοιχτοκυκλώνοντας τον πυκνωτή και βραχυκυκλώνοντας το πηνίο έχουμε X = = V. Για να καθορίσουμε f τις Α, Β χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες. Η πηγή τάσης είναι βηματική με

17 7/30 μηδενική τιμή για t<0. Κατά συνέπεια στο t = 0 όλη η ενέργεια που πιθανά είχε αποθηκευτεί στα, έχει δαπανηθεί στην. Δηλαδή ( 0 ) = 0 και i ( 0 ) = 0. Κατά συνέπεια ( 0 ) = (0 ) = 0 και i ( 0 ) = (0 ) = 0. i ' Από το σχήμα 6 έχουμε i = i = = άρα (0 ) = 0 αφού i ( 0 ) = 0. Υπολογίζοντας την τιμή της (35) και της παραγώγου της στο t = 0 έχουμε Α=0 (36α) -0,40,995Β=0 (36β). Το σύστημα των εξισώσεων δίνει Α=- και Β=-0,005. Η λύση της (t) για t>0 είναι: = e =,005e 0,t 0,t [ cos(0,995t) 0,005si(0,995t) ] cos(0.995t 74,3 o ) V = (37) =Ω: Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ταυτόσημες, δηλαδή η απόκριση του κυκλώματος είναι κριτικά αποσβεννυμένη. Από τον πίνακα η γενική μορφή της απόκρισης είναι όπου t) = ( A Bt) e ( X (38) X f = όπως στην προηγούμενη περίπτωση και σ=0,5=. Υπολογίζοντας την τιμή της (38) και της παραγώγου της στο t = 0 έχουμε ( 0 ) = A (39α) f ' (0 ) = σa B (39β) Επίσης ( 0 ' ) = 0 και (0 ) = 0 όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Επιλύοντας το σύστημα ως προς Α και Β βρίσκουμε Α=- και Β=-. Η λύση της (t) για t>0 είναι t = ( t) e V (40) =4.5Ω Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και διακεκριμένες. s, =.5 ±.5 =.5 ±.875

18 8/30 Η απόκριση είναι υπεραπόσβεση. Από τον πίνακα η γενική μορφή της απόκρισης είναι t t t) = Ae 0,5 Be 4 ( X (4) f όπου X f =, όπως πριν. Υπολογίζοντας την τιμή της (4) και της παραγώγου της στο t = 0 έχουμε ( 0 ) = A B (4α) ' (0 ) = 0,5A 4B (4β) Εξισώνοντας με ( 0 ' ) = 0 και (0 ) = 0 έχουμε από την επίλυση του συστήματος ως προς Α και Β, Α=-,0667 και Β=0,0667. Η λύση της (t) για t>0 είναι 0,5t 4t =,0667e 0,00667e V (43) 5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ας ΤΑΞΗΣ Τα παραδείγματα κυκλωμάτων ας τάξης των προηγούμενων κεφαλαίων ήταν μάλλον απλά κι ως εκ τούτου η εύρεση της εξίσωσης (0) ή (33) σχετικά εύκολη. Τα γενικευμένα κυκλώματα ας τάξης απαιτούν μία πιο συστηματική μέθοδο για την κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης ας τάξης. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζουμε μία τέτοια μέθοδο για γενικευμένα κυκλώματα ας τάξης που περιλαμβάνουν δύο πηνία ή δυο πυκνωτές ή ένα πηνίο και ένα πυκνωτή. Η μέθοδος έχει δύο στάδια: Στάδιο.Εύρεση εξισώσεων κατάστασης, δηλαδή δύο διαφορικών εξισώσεων ης τάξης, όπου οι άγνωστοι είναι οι τάσεις των πυκνωτών και/ή τα ρεύματα των πηνίων. Στάδιο. Εξάλειψη της μη ζητούμενης μεταβλητής από τις εξισώσεις κατάστασης. Εύρεση εξισώσεων κατάστασης. Εξετάζουμε τις εξισώσεις (9) και (3). Οι εξισώσεις κατάστασης περιέχουν μόνο τάσεις πυκνωτών, ρεύματα πηνίων, τις παραγώγους τους και τις εισόδους. Το πρώτο βήμα για την εύρεση των εξισώσεων κατάστασης είναι οι σχέσεις -i για τα και/ή. Η τάση του πυκνωτή και το ρεύμα πηνίου i παίρνονται ως μεταβλητές

19 9/30 κατάστασης. Το ρεύμα του πυκνωτή i και η τάση του πηνίου είναι μη ζητούμενες μεταβλητές που πρέπει να εξαλειφθούν. Η εξάλειψη γίνεται βρίσκοντας εκφράσεις για τα i και συναρτήσει των, i και των εισόδων. Αυτό είναι το δεύτερο βήμα. Στο τρίτο βήμα, αντικαθιστούμε τις εκφράσεις των i και εξισώσεις του πρώτου βήματος. Για να βρούμε εκφράσεις για τα i και στις στο δεύτερο βήμα, οι και i θεωρούνται γνωστές ποσότητες. Αντικαθιστούμε τον πυκνωτή με μία ανεξάρτητη πηγή τάσης με τιμή και το πηνίο με μία ανεξάρτητη πηγή ρεύματος τιμής i. Το απομένον κύκλωμα είναι ένα γραμμικό κύκλωμα αντιστάσεων με πολλαπλές πηγές. Το κύκλωμα επιλύεται με τους γνωστούς τρόπους ως προς i και. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει μία εφαρμογή της μεθόδου. Παράδειγμα 4 Να βρεθούν οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος. V i Ω - Ω i 3H i Ω V /3 F i c - i i A c i Ω (a) Σχήμα 7 (α) Κύκλωμα, (β) ενδιάμεσο γραμμικό κύκλωμα αντιστάσεων για την εύρεση των εκφράσεων των i και. (ß) Από τις εξισώσεις -i για τα, έχουμε i = i = 3i (44α) = = (44β) 3 Για να εκφράσουμε τις i και συναρτήσει των και i, αντικαθιστούμε την με μία πηγή τάσης και την με μία πηγή ρεύματος, όπως φαίνεται στο σχήμα 7β. Με NPK στο Α έχουμε i i = i, i = άρα i = 0, 5 i (45α)

20 0/30 Με NTK έχουμε = Vi i άρα i Vi = (45β). Αντικαθιστούμε τις (45) στις (44) και έχουμε i =,5 3i (46α) = 4i Vi (46β) 3 3 Μεθοδολογία κατάστρωσης διαφορικής εξίσωσης ας τάξης από τις εξισώσεις κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης ενός γραμμικού κυκλώματος ας τάξης είναι της μορφής x = ax ax u( ) (47α) t x = a ( x t ax u ) (47β) Σκοπός μας είναι να εξαλείψουμε μία εκ των μεταβλητών κατάστασης, π.χ. την x, και να καταστρώσουμε μία διαφορική εξίσωση ας τάξης για την x. Η μέθοδος που ακολουθούμε βασίζεται στο εξής σκεπτικό: Για να εξαλείψουμε μία μεταβλητή x από ένα ζεύγος γραμμικών εξισώσεων πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις με αριθμούς οι οποίοι κάνουν τους συντελεστές του x στις προκύπτουσες εξισώσεις ίσους. Στη συνέχεια αφαιρούμε ή προσθέτουμε ανάλογα με το αν οι συντελεστές είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Για να εφαρμόσουμε την παραπάνω μέθοδο σε διαφορικές εξισώσεις, οι πράξεις σε κάθε εξίσωση περιλαμβάνουν και διαφόριση εκτός του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό. Ξαναγράφουμε τις (47α) και (47β) ως εξής: a x ax = u( t) (48α) a ( x a x = u t) (48β) Για να εξαλείψουμε την x πολλαπλασιάζω την (48α) με a και την (48β) με a a ( a x a ax = a u t )

21 /30 a = και ax a a x au ( t x ) x x u ( a a ) aax a a ax = au (49α) x a ( ax a aax = au t) (49β) Προσθέτω την (49β) στην (49α) και παίρνω την διαφορική εξίσωση ας τάξης x Κατ αναλογία για την x x u ( a a ) ( aa aa) x = au au (50α) x x u ( a a ) ( aa aa) x = au au (50β) Λόγω συμμετρίας η (50β) μπορεί να προκύψει κατευθείαν από την (50α) με εναλλαγή των δεικτών και. x x σ ω ( ) x = f t Συγκρίνοντας την (50) με την (33) βρίσκουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για τις σ, Για x = x ( ) σ = 0.5 a a ω = a a a a ω, f(t) (5α) (5β) Για x = x u f = au( t) au ( t ) (5c) u f = au au( t ) (5) Παράδειγμα 5 Στο κύκλωμα του σχήματος 7α, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση ας τάξης ως προς την. Οι εξισώσεις κατάστασης έχουν βρεθεί στο παράδειγμα 4 ως: =,5 3i (46α)

22 /30 i Συγκρίνοντας με τις (47) έχουμε = 4i Vi (46β) 3 3 a =,5 a = 3 a = 4 a = 3 u = 0 V u = i 3 Αντικαθιστώντας στην (50β) έχουμε 5,5 7 = V i Παράδειγμα 6 Στο κύκλωμα του Σχήματος 8α, να ευρεθεί η διαφορική εξίσωση ας τάξης ως προς την V out. - ` i F i V i 0.0Ω ` - F i - 0.5Ω Vout V i 0.0Ω i - 0.5Ω Vout (a) Σχήμα 8 (α) Κύκλωμα τελεστικού ενισχυτή (op-amp) (β) Ενδιάμεσο κύκλωμα για την εύρεση των I και I c c Βήμα Εύρεση εξισώσεων κατάστασης Για πυκνωτές ισχύει 0, 5i = (5α) 0, 5i = (5β) (ß)

23 3/30 Για να εκφράσουμε τις i, i συναρτήσει των, και V i αντικαθιστούμε τους πυκνωτές με ανεξάρτητες πηγές τάσης όπως δείχνεται στο σχήμα 8(β). Αφού ο ιδανικός op-amp δεν επιτρέπει ροή ρεύματος στους ακροδέκτες εισόδου, το ρεύμα i είναι ίσο με το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση των 0.5Ω η c οποία βρίσκεται υπό τάση ). Δηλαδή ( i = ( ) (53α) 0,5 Το ρεύμα i είναι ίσο με το άθροισμα του i και του ρεύματος της αντίστασης των 0.0Ω. Λόγω της ιδιότητας της γείωσης του op-amp η τάση του αντιστάτη των 0.0Ω είναι Vi. Κατά συνέπεια i = 00V (53β) i ( / 0,0) Vi = 98 i Αντικαθιστώντας τις (53) στις (5) έχουμε = (54α) 49 = 50V (54β) i Βήμα Εύρεση διαφορικής εξίσωσης ας τάξης x Συγκρίνοντας την (54) με την (47) = a ( x t ax u ), x βρίσκουμε = ax ax u ( t ) a = a = u = 0 a = a = u = 50V i 49 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές στην (50α) έχουμε και στην (50β) 50 = 50V i (55α) V i 50 = 50 50V i (55β)

24 4/30 Από το σχήμα 8(α) ισχύει V out =. Για να βρούμε τη διαφορική εξίσωση της V out προσθέτουμε τις (55α) και (55β) και αντικαθιστούμε το V V 50V out out 50 out = V i με V out. 6. ΛΟΙΠΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μία σημαντική διαφορά των συμπεριφορών κυκλωμάτων πρώτου και δεύτερου βαθμού, είναι η πιθανότητα αποκρίσεων ταλάντωσης που υπάρχει στα τελευταία. Σε μερικές εφαρμογές, το κύκλωμα κατασκευάζεται για να παράγει ημιτονοειδείς ταλαντώσεις, ενώ σε άλλες εφαρμογές οι ταλαντώσεις δεν είναι επιθυμητές. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα, το οποίο παράγει μία ημιτονοειδή κυματομορφή τάσης σε μία ορισμένη συχνότητα. Όπως δείξαμε στα προηγούμενα, ο απλούστερος τρόπος είναι η εκφόρτιση ενός πυκνωτή μέσω ενός πηνίου. Στην πραγματικότητα όμως, αμφότερα το πηνίο και ο πυκνωτής έχουν απώλειες οι οποίες προκαλούν προοδευτική μείωση του εύρους ταλάντωσης μέχρι να εξαλειφθεί τελείως. Για να έχουμε αμιγώς ημιτονοειδή ταλάντωση, πρέπει με κάποιο τρόπο η ενέργεια που χάνεται στο κύκλωμα να συμπληρώνεται. Μία απλή μέθοδος είναι να συνδέσουμε ένα στοιχείο αρνητικής αντίστασης στο κύκλωμα. Ένα στοιχείο αρνητικής αντίστασης προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα. Χωρίς να αποτελεί αυτοτελές στοιχείο, η αρνητική αντίσταση κατασκευάζεται από εξαρτημένες πηγές ή op-amp, οι οποίες λειτουργούν τροφοδοτούμενες από πηγές συνεχούς. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει τη γενική αρχή που διέπει ένα κύκλωμα ταλάντωσης με αρνητική αντίσταση. Παράδειγμα 7 Στο παρακάτω κύκλωμα, η αντιπροσωπεύει την αντίσταση φορτίου και την e αντίσταση πυκνωτή. Η αντίσταση r αντιπροσωπεύει την αντίσταση του επαγωγέα. Να βρεθεί η τιμή της αρνητικής αντίστασης, η οποία απαιτείται για αμιγώς ημιτονοειδή ταλάντωση. Επίσης να βρεθεί η συχνότητα ταλάντωσης.

25 5/30 r i - e i c Σχήμα 9. Κύκλωμα ταλάντωσης με αρνητική αντίσταση. Ο παράλληλος συνδυασμός των αντιστάσεων = e //( ). και e συμβολίζεται με Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία για την κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης, όπως το παράδειγμα 4 έχουμε Με ΝΤΚ i i i = 0 άρα i i Με ΝΤΚ = = i i r = 0 Αντικαθιστώντας έχουμε i = i και = = i r = i (57α) i r = i (57β) x x u Από την εξίσωση (50α) ( a a ) ( aa aa) x = au au Γράφουμε την διαφορική εξίσωση του κυκλώματος ως εξής r r = 0 (58) Συγκρίνοντας με την (0) x x σ ω 0 x = έχουμε: r σ = (59α)

26 6/30 r ω = (59β) Για να έχουμε μη αποσβεννυμένη ταλάντωση πρέπει το σ να είναι μηδέν ισοδύναμα Ισχύει r = 0 (60) r = (6) = (6) Από τις (6), (6) βρίσκουμε τη συνθήκη αμιγούς ταλάντωσης ως = e c r e (63) Υπό την συνθήκη (6) η συχνότητα ταλάντωσης της (59β) γίνεται ω = r (64) Παράδειγμα 8 Στο παράλληλο ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος και το πηνίο αμαγνήτιστο. Ο διακόπτης δ κλείνει τη χρονική στιγμή t=0. Να ευρεθεί η τάση (t) του πυκνωτή αν 4. A V i =E δ c (t) i i i c (t) (a) (ß) Σχήμα 0 (α) Παράλληλο (β) Κύκλωμα χωρίς πηγές

27 7/30 Η χαρακτηριστική εξίσωση του κυκλώματος 0(α) μπορεί να βρεθεί από το ισοδύναμο κύκλωμα χωρίς πηγές 0 (β). Για να βρούμε τη χαρακτηριστική εξίσωση αρκεί να γράψουμε τη διαφορική εξίσωση για οποιαδήποτε τάση ή ρεύμα του κυκλώματος. Στο κύκλωμα 0 (β) επιλέγουμε το ρεύμα του πηνίου i (t). Με NPK στο Α έχουμε: Επίσης Συνεπώς i = και = = i i i i = 0 (65) i = = = = = = i i Αντικαθιστώντας στην (65) έχουμε i i i i i i = 0 => = 0 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι s s 0 = x x Συγκρίνοντας με την (0) σ ω 0 x = έχουμε σ = και 4 ω = Σύμφωνα με την εκφώνηση ισχύει άρα σ ω και έχουμε την περίπτωση των μιγαδικών ριζών που αντιστοιχεί σε υποαποσβεννυμένη ταλάντωση, με την σ ω = ω σ = ω = ω Οι ρίζες είναι s = σ ± jω, 4 Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης ας τάξης της τάσης πυκνωτή δίνεται από τον πίνακα ως [ Acos( ω ) Bsi( ] X f ( ) = ω ) σt x t e

28 8/30 όπου X f αντιπροσωπεύει τον όρο της λύσης λόγω της ύπαρξης πηγής. Η X f υπολογίζεται ως εξής: Η X f είναι εκείνη η τάση του πυκνωτή, ώστε ο πυκνωτής να συμπεριφέρεται ως ανοιχτοκύκλωμα και το πηνίο ως βραχυκύκλωμα στο σχήμα 0 (α). Παρατηρώ ότι όταν το πηνίο γίνεται βραχυκύκλωμα η τάση του πυκωντή είναι μηδενική, δηλαδή X f =0 Για t 0 ο πυκνωτής και το πηνίο έχουν εκφορτιστεί στην αντίσταση οπότε ισχύει ( 0 ) = 0 και i ( 0 ) = 0. Επειδή η τάση του πυκνωτή και το ρεύμα του πηνίου δεν αλλάζουν στιγμιαία, αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη ισχύει ( 0 ) = 0 και i ( 0 ) = 0. Παρατηρείστε ότι τη στιγμή που κλείνει ο διακόπτης ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα, αφού η μηδενική του τάση δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία, και το πηνίο ως ανοιχτοκύκλωμα, αφού το μηδενικό του ρεύμα δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. Μεε βάση αυτήν την παρατήρηση το ρεύμα του πυκνωτή στο t = 0 είναι E i ( 0 ) = Ισχύει ' i (0 ) (0 ) = άρα E Ισχύει = σ A Bω = και ( 0 ) = A = 0. ' E (0 ) = Από τις παραπάνω έχουμε Α=0, t 0 E B = ω και E t t e t ( ) = siω για ω Παράδειγμα 9 Στο παρακάτω κύκλωμα οι πυκνωτές είναι αφόρτιστοι στο t=0. Να βρεθεί η κυματομορφή εξόδου (t) όταν η τάση εισόδου είναι βηματικής μορφής Vi = Eu.

29 9/30 V i i II i A I i (t) Σχήμα. Κύκλωμα Ισχύει i =. Με ΝΤΚ στο βρόχο Ι έχουμε: ( t) = i( t) ( t) = = ( t) Ισχύει: i = = 4 Με ΝΡΚ στο Α έχουμε: i = i i = 4 3 Με ΝΤΚ στο βρόχο ΙΙ έχουμε: V i = i = 4 5 (66) Η χαρακτηριστική εξίσωση του κυκλώματος είναι Ισχύει s 5 s 4 4 = 0 5 με σ = και ω =. 8 σ ω άρα έχουμε υπεραπόσβεση και η γενική λύση της (66) έχει την μορφή s t s t t) = Ae Be ( X (67) όπου s = και s = 4 Κατά τα γνωστά η X f είναι εκείνη η τάση του πυκνωτή που τον κάνει να συμπεριφέρεται ως ανοιχτοκύκλωμα, δηλαδή X f =E. Για 0 t ισχύει ( 0 ) = 0 και επίσης ( ) f 0 = 0. Δηλαδή ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα. Το ίδιο ισχύει για τον πυκνωτή άρα όλο το ' ρεύμα περνάει από αυτόν και κατά συνέπεια i ( 0 ) = 0. Όμως i (0 ) = (0 ) άρα ' (0 ) = 0.

30 ' Εφαρμόζοντας τις αρχικές συνθήκες ( 0 ) = 0και ( ) 30/30 0 = 0στην (67) με X f =E έχουμε Η λύση της (66) γίνεται E A = και 3 B = 4E 3 ( ) t 4 t 4 t E = e e για t

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να αποδείξετε ότι η στιγμιαία τιμή i της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται σε συνάρτηση με το στιγμιαίο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 19Κ7-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία). Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση i.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα (RL και RC)

HMY 102 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα (RL και RC) Ths mag canno currnly b dsplayd. Τρία είναι τα βασικά παθητικά στοιχεία στη θεωρία γραμμικών κυκλωμάτων:, και HMY 12 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα ( και ) απορροφά ενέργεια και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή

1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή Εισαγωγικές ασκήσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις 1. Ιδανικό κύκλωμα L εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση q = 10 6 συν(10 ) (S.I.). Ο συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) = Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, 007008 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 008 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΘΕΜΑ. [0%] Για το κύκλωμα δεξιά, ένα λογισμικό ανάλυσης κυκλωμάτων έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα:

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑ LC ΣΤΟ ΑΛΛΟ. ΔΥΟ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΗΝΙΟ. Στο κύκλωμα του σχήματος το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = (A) (B) mh, ο πυκνωτής () έχει χωρητικότητα C = μf, ενώ ο πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0. Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

στη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη

στη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΠΗΓΗ. Στο διπλανό κύκλωμα η πηγή έχει ΗΕΔ = V και ο διακόπτης είναι αρχικά στη θέση. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση στη θέση και αρχίζουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

R eq = R 1 + R 2 + R 3 = 2Ω + 1Ω + 5Ω = 8Ω. E R eq. I s = = 20V V 1 = IR 1 = (2.5A)(2Ω) = 5V V 3 = IR 3 = (2.5A)(5Ω) = 12.5V

R eq = R 1 + R 2 + R 3 = 2Ω + 1Ω + 5Ω = 8Ω. E R eq. I s = = 20V V 1 = IR 1 = (2.5A)(2Ω) = 5V V 3 = IR 3 = (2.5A)(5Ω) = 12.5V Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Απαντήσεις στο 1 0 Homework στην Ανάλυση Κυκλωμάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Πλέσσας Φώτης 1 Πρόβλημα 1 Βρείτε τη συνολική αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,,

2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,, 1. Ο πυκνωτής του σχήματος έχει χωρητικότητα C=5μF και φορτίο Q=1μC, ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=2 mh. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις 2ο Σετ Ασκήσεων - Φθινόπωρο 2012

Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις 2ο Σετ Ασκήσεων - Φθινόπωρο 2012 Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις - Φθινόπωρο 2012 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α.1. Ποια µεταβολή ϑα έχουµε στην περίοδο ηλεκτρικών

Διαβάστε περισσότερα

Vout(s) Vout. s s s. v t t u t t u t t u t t u t Στη μορφή αυτή, η κυματομορφή είναι έτοιμη για μετασχηματισμό στο πεδίο συχνότητας:

Vout(s) Vout. s s s. v t t u t t u t t u t t u t Στη μορφή αυτή, η κυματομορφή είναι έτοιμη για μετασχηματισμό στο πεδίο συχνότητας: ΘΕΜΑ. [0 %] Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς Η(s) για το κύκλωμα στα δεξιά. Στη συνέχεια υπολογίστε την έξοδο vout(t) όταν η είσοδος v(t) έχει τη μορφή v V t s Η αναπαράσταση του κυκλώματος στο πεδίο συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.

Διαβάστε περισσότερα

Στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας.

Στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας. Αυτεπαγωγή Αυτεπαγωγή Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα που διαρρέει ένα κύκλωμα επάγει ΗΕΔ αντίθετη προς την ΗΕΔ από την οποία προκλήθηκε το χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα.στην αυτεπαγωγή στηρίζεται η λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19-10-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ6-1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ6-1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ6-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία) 2. Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά. 1. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /6/6 ΘΕΜΑ ο (5 μονάδες Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: =, = 6 kω, = kω και = = Ε = = kω, ενώ για το τρανζίστορ δίνονται: = 78, β

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης

Φυσική Γ' Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ο ΘΕΜΑ Α Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το χρονικό διάστημα μέσα σε μια περίοδο που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται ισούται με:

Το χρονικό διάστημα μέσα σε μια περίοδο που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται ισούται με: Κυκλώματα, Επαναληπτικό ΤΕΣΤ. ΘΕΜΑ Α. Στο κύκλωμα του σχήματος, ο πυκνωτής το χρονική στιγμή =0 που κλείνουμε το διακόπτη φέρει φορτίο q=q. Α. H ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι ίσος με

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Στοιχεία Δύο Ακροδεκτών Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγή Αντιστάτης Πηγές τάσης και ρεύματος Πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα Δύο Ακροδεκτών Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Τα ηλεκτρικά κυκλώματα ταξινομούνται σε διάφορες κατηγορίες,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 4: Μέθοδος Μικρών Μεταβολών Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων - Ορίζουσες Η μέθοδος των ρευμάτων των κλάδων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μέθοδος των τάσεων κόμβων

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος RC σε βηµατική και αρµονική διέγερση

1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος RC σε βηµατική και αρµονική διέγερση Ονοµατεπώνυµο: Αριθµός Μητρώου: Εξάµηνο: Υπογραφή Εργαστήριο Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων και Συστηµάτων 1η Εργαστηριακή Άσκηση: Απόκριση κυκλώµατος σε βηµατική και αρµονική διέγερση Μέρος Α : Απόκριση στο πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 4/11/2012

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 4/11/2012 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 4/11/01 ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις

Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις Όπου χρειάζεται, θεωρείστε ότι g = 10m/s 2 1. Σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας είναι Α = 30cm. Ο χρόνος που χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k,

Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ.1) με τα εξής χαρακτηριστικά: R 2.3 k, Να σχεδιαστεί ένας ενισχυτής κοινού εκπομπού (σχ) με τα εξής χαρακτηριστικά: 3 k, 50, k, S k και V 5 α) Nα υπολογιστούν οι τιμές των αντιστάσεων β) Να επιλεγούν οι χωρητικότητες C, CC έτσι ώστε ο ενισχυτής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt)

Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt) Θέμα 1 ο Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014 Για το κύκλωμα ΕΡ του διπλανού σχήματος δίνονται τα εξής: v ( ωt 2 230 sin (

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρθρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 26/01/2017

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 26/01/2017 ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/0/07 ΘΕΜΑ ο ( μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο ( μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 1, 0.7, 00 kω, 4 kω, h e. kω και β h 100. (α) Να προσδιορίσετε τις τιμές των αντιστάσεων και ώστε το σημείο λειτουργίας Q (, ) του τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

3 V. 0 10v 30 5v v 5000 i0 0 16v 5000 i

3 V. 0 10v 30 5v v 5000 i0 0 16v 5000 i ΗΛΕΚΤΡΙΚ ΚΥΚΛΩΜΤ ΚΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ, - ΦΕΡΟΥΡΙΟΣ ΘΕΜ. [%] Στο κύκλωμα στα δεξιά, προσδιορίστε την ενέργεια που αποδίδεται σε ημερήσια βάση (4 ώρες) στον δεξιό κλάδο (εξαρτημένη πηγή και αντίσταση kω). ΠΝΤΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

v(t) = Ri(t). (1) website:

v(t) = Ri(t). (1) website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 10 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη ηλεκτρικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα

Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα Κεφάλαιο Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα C Το κύκλωμα του Σχήματος. είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης V, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ. ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/01/2015

ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ. ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/01/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Η έξοδος του αισθητήρα του παρακάτω σχήματος είναι γραμμικό σήμα τάσης, το οποίο εφαρμόζεται για χρονικό διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Ως ισχύς ορίζεται ο ρυθμός παροχής ή κατανάλωσης ενέργειας. Η ηλεκτρική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα: p u i Ιδανικό πηνίο

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών

Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 3 Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Σύνδεση σε σειρά. Παράλληλη σύνδεση Ισοδυναμία τριγώνου και αστέρα Διαιρέτης τάσης Διαιρέτης ρεύματος Πραγματικές πηγές.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 26 DC Circuits-Συνεχή Ρεύματα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 26 DC Circuits-Συνεχή Ρεύματα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 26 DC Circuits-Συνεχή Ρεύματα Περιεχόμενα Κεφαλαίου 26 Ηλεκτρεγερτική Δύναμη (ΗΕΔ) Αντιστάσεις σε σειρά και Παράλληλες Νόμοι του Kirchhoff Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα EMF-Φόρτιση Μπαταρίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13

Περιεχόμενα. Πρόλογος...13 Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 21/01/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 21/01/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ /0/0 ΘΕΜΑ ο (5 μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 0 Ω, Ε kω, Β 00 kω, 4 kω, L kω, e 5 kω και 00 (α) Να προσδιορίσετε την ενίσχυση τάσης (A

Διαβάστε περισσότερα

C (3) (4) R 3 R 4 (2)

C (3) (4) R 3 R 4 (2) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 29/03/2016 Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχανικών Συντελεστής Βαρύτητας: 40%/ Χρόνος Εξέτασης: 3 Ώρες Γραπτή Ενδιάμεση Εξέταση στο Μάθημα: «ΜΜ604, Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές»

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

Δ1. Δ2. Δ3. Δ4. Λύση Δ1. Δ2. Δ3. Δ4.

Δ1. Δ2. Δ3. Δ4. Λύση Δ1. Δ2. Δ3. Δ4. 1) Δύο αντιστάτες με αντιστάσεις R 1 = 2 Ω, R 2 = 4 Ω, είναι μεταξύ τους συνδεδεμένοι σε σειρά, ενώ ένας τρίτος αντιστάτης R 3 = 3 Ω είναι συνδεδεμένος παράλληλα με το σύστημα των δύο αντιστατών R 1, R

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Φθίνουσες ταλαντώσεις

Φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/02/2013

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/02/2013 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: Β 90 kω, C kω, Ε E kω, kω, V CC V, V B 0.70 V και Ι Β 0 μα. Επίσης, για τα δύο τρανζίστορ του ενισχυτή δίνονται: β h e h e 00 και h

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εφόσον το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο, έχει περάσει στη μόνιμη κατάσταση και πρέπει να υπολογίσουμε την κατάστασή του αμέσως πριν το

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εφόσον το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο, έχει περάσει στη μόνιμη κατάσταση και πρέπει να υπολογίσουμε την κατάστασή του αμέσως πριν το 13 2019Κ1Φ-2 RC Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο Στο t = 0 η πηγή τάσης αντιστρέφει την πολικότητά της και η πηγή ρεύματος πέφτει στα 2 ma Να υπολογιστεί η τάση v o (t) για t 0 2019Κ1Φ-3 RC ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-0 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α

Διαβάστε περισσότερα

α) = β) Α 1 = γ) δ) Μονάδες 5

α) = β) Α 1 = γ) δ) Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19-10-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-ΚΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3-0-0 ΘΕΡΙΝ ΣΕΙΡ ΘΕΜ ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 16 Συνεχή ρεύματα και κανόνες του Kirchhoff ΦΥΣ102 1 Ηλεκτρεγερτική δύναμη Ένα ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6 Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Gree Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη Εισαγωγή στην ημιτονοειδή ανάλυση στην σταθερή κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 06/02/2009 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 06/02/2009 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες): Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: V 0V, V E 0.7 V, kω, 00 kω, kω, 0 kω, β h e 00, h e.5 kω. (α) Να προσδιορίσετε το σημείο λειτουργίας Q (I, V E ) του τρανζίστορ. (β)

Διαβάστε περισσότερα