p 2 -p 1 = -ρg(z 2 -z 1 )=-γ(z 2 -z 1 )

Transcript

1 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΤΑΤΙΚΟ ΡΕΥΣΤΟ VΙΙ Η καανοµή πίεσης σε ένα σαικό ρεσό µπορεί να περιγραφεί µε ην βασική δροσαική εξίσωση (hydostatic eqation): d d ρ g g Για ις περισσόερες παρκικές εφαρµογές ο g εωρείαι ανεξάρηο από ο ψόµερο εκός από πολύ µεγάλες ψοµερικές διαφορές. Η πκνόηα ο γρού µπορεί επίσης να εωρηεί σαερή. d d ρ g const. Αή η εξίσωση µπορεί να ολοκληρωεί µεαξύ δύο σηµείων για να δώσει. ρg( )γ( ) Οµως για α αέρια ο ρ αλλάζει σηµανικά µε ην πίεση και αό πρέπει να ληφεί π όψιν. Αό α σζηήσοµε παρακάω.

2 VΙΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΣΥΜΠΙΕΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ (ΑΕΡΙΑ) Η δροσαική εξίσωση είναι: d d ρ g Για σµπιεσά ρεσά ο νόµος ων ιδανικών αερίων µπορεί να χρησιµποποιηεί: ρ R T όπο R έχει διαφορεική ιµή για ο κάε αέριο. Αό είναι ίσον µε ην παγκόσµια σαερά ων αερίων διαιρεµένη µε ο µοριακό βάρος ο εκάσοε αερίο. Σνδιάζονας ις δύο εξισώσεις, ή d d R T d g Για να ολοκλήρώσοµε ην ανω εξίσωση, χρειαζόµασε ην εξάρηση ο Τ από ο, TT(). Μία προσεγγισική εξίσωση για ισόερµη αµόσφαιρα είναι: g( ) ex RT TT o constant o Οµως για εφαρµογές πο περιλαµβάνον µεγάλες ψοµερικές διαφορές, η εξής γραµµική ερµοκρασιακή εξίσωση µπορεί να χρησιµοποιηεί: ln o d P g R d T g R T d

3 VΙΙ 3 T T 0 B Note that T with όπο T o είναι η ερµοκρασία σο επίπεδο άλλασσας και B µία σαερά (lase ate). T o o R88.6 K 5 o C B o R/ft K/m Το καώερο σρώµα ης αµόσφαιρας λέγεαι ροπόσφαιρα. Η εξίσωση πο προκύπει µεά από ολοκλήρωση είναι: g /( RB) B g a whee T 0 RB 5.6 ( ai) The US standad atmoshee παροσιάζεαι σο σχήµα. Η πίεση είναι σχεδόν 0 σε ύψος 30 Km. Μεαβολές ης ερµοκρασίας και πίεσης σην αµόσφαιρα.

4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΝΟΜΕΤΡΙΑΣ VΙΙ 4

5 VΙΙ 5 ρg(h h ) ρg( )

6 VΙΙ 6

7 VΙΙ 7

8 VΙΙ 8 c d c d c a ρ glρ gh d b ρ glρ gh

9 VΙΙ 9 C D _ c D c A γ W (5cm) D B γ me (7cm) oil (6cm)

10 ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΑΚΑΜΠΤΗ ΚΙΝΗΣΗ (RIGIDBODY) VIII Μέχρι ώρα έχοµε εξεάσει καανοµή πίεσης µέσα σε ρεσά πο βρίσκοναι σε σαική ισορροπία.. Ρεσά λέγοναι όι βρίσκοναι σε σαική ισορροπία ακόµα και άν είναι κάω από άκαµπη µεαόπιση και περισροφή (nde solidbodylike otation and tanslation). Παραδείγµαα εµφανίζοναι σο Σχήµα ΙΧ. Σχήµα IX. Περιπώσεις σαικής ισορροπίας κάω από µηκινηση, άκαµπη περισροφή (solidlikebody otation) και άκαµπη µεαόπιση και παράλληλη περισροφή (nde solidlikebody otation and tanslation). Σε προηγούµενη σζήηση είχαµε αναπύξει ην εξής σχέση (ισοζύγιο δύναµης): ρ ( g a) µ V B( x, y,, t) Σην αποσία ιξωδών άσεων η εξίσωση µπορεί να απλοποιηεί ως εξής: ρ( g a) ή ρ g ρ a

11 ρg ρa δύναµη πίεσης ανά µονάδα όγκο σωµαική δύναµη ανά µονάδα όγκο VIII [µάζα ανά µονάδα όγκο] [επιάχνση ο ρεσού σαν σερεό]. Γράφονας ις σνισώσες αής ης διανσµαικής εξίσωσης προκύπει όι: x diection x ρ g x ρ a x y diection y ρ g y ρ a y diection ρ g ρ a Παίρνονας ο σαν ην κάεη καεύνση, g x g y 0 and g g. Αές οι εξισώσεις µπορούν να χρησιµοποιηούν για ον πολογισµό ων µεαβολών πίεσης σε ένα ρεσό ο οποίο επιαχύνεαι γραµµικά a(a x, a y, a ).

12 VIII 3 Εάν πάρχει άκαµπη περισροφή γύρω από ένα άξονα σε απόσαση απο ο σηµείο όπο η πιεση είναι (βλέπε σχήµα), µε γωνιακή αχύηα Ω έσι ώσε η φγόκενρη επιάχνση να είναι: α Ω όε η µεαβολή ης πίεσης καά µήκος ο λόγω ης περισροφής είναι: d ρ Ω d Ειδική περίπωση: Ενα γρό επιαχύνεαι σην xκαεύνση (a a y 0, a x α), και αόχρονα περισρέφεαι γύρω από ον άξονα σµµερίας, όε οι εξισώσεις για ην µεαβολή ης πίεσης:

13 VIII 4 g 0 y x Ω ρ ρ ρ α Η ολική µεαβολή ης πίεσης µπορεί να βρεεί από ον chain le of diffeentiation (x,y,,) d d y d y x d x d Ανικαισώνας: d d g dx 0 dy d ρ Ω ρ ρα ή

14 VIII 5 d g d α dx Ω ρ d 0 Η εξίσωση µπορεί να ολοκληρωεί µααξύ δύο σηµείων σε ένα ρεσό για να πάροµε. d g ( ) α ( x x ) Ω ( ρ ) 0 Σ αή ην περίπωση επειδή ο άξονας περισροφής είναι ο άξονας όε: x και x.

15 VIII 6

16 VIII 7

17 VIII 8

18 VIII 9 B h Ω g B

19 VIII 0

20 IX ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΟΥ (Μικροσκοπική Περιγραφή Ροή Ρεσού) Σύσηµα και Περιβάλλον Η µελέη διεργασιών διεκολύνεαι µε ην εώρηση ο σσήµαος και ο περιβάλλονός ο. Σύσηµα µπορεί να είναι οιδήποε πο ακολοεί ορισµένος κανόνες άξης. Σην ρεσοδναµική ορίζοµε σαν σύσηµα ο ποσύνολο ενός σνεχούς µέσο (sbset of a continm) ο οποίο µπορεί να σµπεριλαµβάνει ρεσά ή οιχώµαα ή και α δύο, α οποία ακολοούν ορισµένος κανόνες διαήρησης (διαήρηση µάζας, ορµής και ενέργειας ). Σαν παράδειγµα, µία λίµνη µπορεί να είναι ο σύσηµα, οι διεπιφάνειες νερόαέρας και νερόχώµα είναι α όρια ο σσήµαος και οιδήποε πάνω από α όρια ανήκον σο περιβάλλον ο σσήµαος. Οι ακόλοες αλλαγές µπορούν να σµβούν. Ροή ρεσού µέσα σο σύσηµα (βροχή), ροή ρεσού έξω από ο σύσηµα (δια µέσο ο πορώδος εδάφος και λόγω εξάµισης), η µάζα µπορεί να αλλάξει καάσαη (σχηµαισµός πάγο ή σε άλλα σσήµαα χηµικές αλλαγές µπορούν να σµβούν). Για να περιγράψοµε έοιες αλλαγές χρησιµοποιούµε ην αρχή διαήρησης µάζας (incile of consevation of mass), ην οποία µπορούµε να

21 IX γράψοµε σε µαηµαική µορφή. Παρόµοια, µπορούµε να χρησιµοποιήσοµε ην αρχή διαήρησης ης ορµής (incile of the consevation of momentm) εωρώνας όλες ις δνάµεις πο δρούν πάνω σο σύσηµα, όπως ην βαρική σωµαική δύναµη, και ις επιφανειακές δνάµεις πο µπορούν να αναλούν σε διαµηικές και κάεες δνάµεις. Εάν εωρήσοµε ο σύσηµα σαν µία ολική ονόηα και εφαρµόσοµε ις αρχές διαήρησης, µπορούµε να πάροµε α µακροσκοπικά ισοζύγια. Αά α ισοζύγια δίνον πληροφορίες για ην µακροσκοπική σµπεριφορά ο σσήµαος. Για παράδειγµα σην ροή δια µέσο κλινδρικού αγωγού µε α µακροσκοπικά ισοζύγια µπορούµε να πολογίσοµε:

22 ΙX 3 Ογκοµερική παροχή (flow ate): QA V avg Την ισχύ άνλησης (ming owe): Q Σ αές ις περιπώσεις ενδιαφερόµασε να πολογίσοµε µακροσκοπικές ποσόηας και όχι λεποµέρεις ης ροής. Οµως πάρχον περιπώσεις όπο ενδιαφερόµασε σε έοιες λεποµέρειες Μερικά παραδείγµαα ακολοούν (µικροσκοπικη περιγραφή). Καανοµή αχύηας: (ψύξη ρεσού σε ροή σε αγωγό) Λεποµερή γνώση ης καανοµής αχύηας επιρέπει ακριβή πολογισµό ο σνελεσή µεαφοράς ερµόηας (heat tansfe coefficient ) ο οποίο µεά α επιρέψει ον πολογισµό ο µήκος ο σωλήνα πο απαιείαι για να ψύξοµε ένα ρεύµα γρού από T σε T εάν η ερµοκρασία σο οίχωµα είναι T w (σχεδιασµός εναλλάκη ερµόηας).

23 ΙX 4 Πάχος σρώµαος (Film thickness): (εναλλαγή µάζας και ερµόηας σε λεπά σρώµαα) Λεπά σρώµαα χρησιµοποιούναι σε διεργασίας µεαφοράς µάζας και ερµόηας επειδή προσφέρον µεγάλη επιφάνεια. Εφαρµογές περιλαµβάνον επίσρωση µεάλλων (coating of metals), πλασικών (lastics), και χαριού (hotogahic and magnetic films). Σε όλες αές ις περιπώσεις χρειαζόµασε α µικροσκοπικά ισοζύγια για να πολογίσοµε καανοµές αχύηας, πίεσης, ερµοκρασίας και σγκένρωσης. Αά α ισοζύγια µπορούν να παραχούν µε ην εφαρµογή ων αρχών διαήρησης σε διαφορικούς όγκος ελέγχο (diffeential contol volme) ή (DCV) µέσα ση ροή α οποία δεν διαέµνον α όρια ο σσήµαος.

24 ΙX 5 Το DCV έχει α ακόλοα χαρακηρισικά:. Σάσιµο (stationay) και διαπεραό (enetable).. Εχει γεωµερία όµοια µε η γεωµερία ης µακροσκοπικής ροής. 3. Βρίσκεαι σο εσωερικό ης ροής µακριά από α όρια ο σσήµαος. 4. Εχει απειροελάχισες διασάσεις (infinitesimal dimensions). Ο πίνακας παρακάω δίνει παραδείγµαα DCV πο α χρησιµοποιήσοµε: Το πρώο DCV χρησιµοποιείαι ση ροή µεαξύ δύο πλακών σε ορογώνιο κανάλι και ο δεύερο σε ροή δια µέσο κλινδρικού αγωγού.

25 ΙX 6 ΤΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΜΑΖΑΣ καεύνσεις ανίσοχα. Θεωρούµε ένα Καρεσιανό σύσηµα σνεαγµένων και ένα διαφορικό σοιχείο, όγκο dxdyd. Αό είναι ο DCV. Οι σνισώσες ης αχύηας, V, είναι (,, w) σις x, y, και Οι αχύηας σχεδιάζοναι να δείχνον προς α µέσα σα επίπεδα xx, yy, και Οι αχύηας σχεδιάζοναι να δείχνον προς α έξω σα επίπεδα xxdx, yydy, και d. Το πεδίο αχύηας είναι V (,, w) Εφαρµόζοµε ην αρχή διαήρησης µάζας σο DCV: {Mass flow ate in} {Mass flow ate ot} {Accmlation} Θεωρούµε σαν {In} ις παροχές πο δείχνον προς ις εικές καεύνσεις x, y, και

26 ΙX 7 xdiection: ρ dy d ρ x ( ρ ) dx dyd Οι µονάδες ο κάε όρο είναι: kg/m 3 m/s m kg/s {παροχή µάζας} ydiection: ρ dx d ρ y ( ρ) dy dxd diection: ρ wdxdy ρ w ( ρ w) d dxdy Σσσώρεση (accmlation): ( ρ Volme t ) ρ (Volme) t dx dy d ρ t Προσέονας όλος ο όρος και διαιρώνας µε ο dxdyd παίρνοµε: ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ w) t x y 0 ή

27 ΙX 8 ρ. ρ t ( V) 0 όπο V(,, w). Αή είναι η δοαφορική έξισωση ισοζγίο µάζας σε καρεσιανές σνεαγµένες. Αναφέρεαι και σαν εξίσωση σνεχείας (the eqation of continity). Μερικές ειδικές περιπώσεις: Μόνιµες ροές (steadystate flows): ρ 0 t ths ( ρ ) ( ρ ) ( ρ w) x y 0 o. ( ρv) 0 Ασµπίεση ροή (incomessible flid ρconst): x y w 0 o. V 0 Τα γρά εωρούναι ασµπίεσα, όπως επίσης και α αέρια σε αχύηες µικρόερες από 0.3 Ma (Mach) όπο one Mach είναι η αχύηα ο ήχο.

28 ΙX 9 Η εξίσωση σνεχείας σε άλλα σσήµαα σνεαγµένων είναι: Κλινδρικές (cylindical) V(,, ): ρ t ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) 0 Όπο οι σνισώσες ης αχύηας είναι: V(,, ) Σφαιρικές (sheical), V(,, φ ): ρ t ( ρ ) ( ) ( ) 0 ρ sin ρ φ sin sin φ

29 ΙX 0 THE DIFFERENTIAL MASS BALANCE (The Eqation of Continity) Catesian Coodinates V(,, w): 0 w) ( y ) ( x ) ( t ρ ρ ρ ρ Cylindical, V(,, ): 0 ) ( ) ( ) ( t ρ ρ ρ ρ Sheical, V(,, φ ): ) 0 ( ) ( ) ( t ρ φ ρ ρ ρ φ sin sin sin

30 ΙX

31 ΙX

32 ΙX 3

33 ΙX 4

34 ΙX 5

35 X H ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Για να γράψοµε ο δεύερο νόµο ο Νεύωνα (Newton s second law) για ένα σοιχείο ρεσού, χρειαζόµασε να πολογίσοµε ο πεδίο ο διανύσµαος ης επιάχνσης a, βασιζόµενοι σο πεδίο αχύηηας V, ο οποίο σε καρεσιανές σνεαγµένες είναι: V ijkw Παίρνονε ην ολική παράγωγο ο V: dv d d a i j k dt dt dt dw dt Κάε σνισώσα ης αχύηας είναι σνάρηση ο (x, y,, t) και ο κανόνας (chain le of diffeentiation) µπορεί να χρησιµοποιηεί. Για παράδειγµα, d dt t x dx dt y dy dt d dt ή d dt w ( V ) t x y t Οµοιες σχέσεις µπορούν να γραφούν και για ις άλλες σνισώσες.

36 X Για ην ολική επιάχνση a dv dt V t Local V x V y Convective V w V t ( V. ) V Το ολικό διαφορικό dv/dt επίσης λέγεαι οσιαική παράγωγος (sbstantial o mateial deivative). Μερικές φορές γράφεαι και σαν DV/Dt. Φσική σηµασία: Εάν αξήσοµε σαδιακά ην ογκοµερική παροχή, η οπική αχύηα σο σηµειο Α α αρχίσει να αξάνει και η επιάχνση αή δίνεαι από ο V / t. Απο ην άλλη πλερά, ακόµα και αν κραήσοµε ην παροχή σαερή, πάρχει επιάχνση επειδή σωµαίδια µεακινούναι από χαµηλές αχύηες (Α) σε ψηλόερες αχύηες (Β). Αή η επιάχνση δίνεαι από ην σναγωγική επιάχνση (convective acceleation), V V wv x y x.

37 X 3 ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΟΡΜΗΣ Θεωρούµε ένα σύσηµα καρεσιανών σνεαγµένων και ένα διαφορικό σοιχείο ρεσού µε όγκο dxdyd. Η αχύηα είναι V µε σνισώσες (,, w) σις καεύνσεις x, y, και ανίσοιχα. Ο νόµος ο Νεύωνα (Newton s second law) για ο DCV είναι: F ma dv ρ dt dxdyd Οι δνάµεις πάνω σο σοιχείο είναι δύο ειδών, η σωµαική δύναµη (βαρύηα) και οι επιφανειακές δνάµεις (διαµηικές και κάεες). Πρώα η σωµαική δύναµη: df gav ρg dxdyd Οι επιφανειακές δνάµεις επιδρούν πάνω σις πλερές ο κβικού

38 X 4 σοιχείο. Αές είναι ο άροισµα ηε δροσαικής πίεσης,, και ων ιξωδών άσεων, ij. x x x y x σ ij y x y y y x y Σην πραγµαικόηα, οι κλίσεις ων άσεων µπορούν να προκαλέσον µία δύναµη (net foce) πάνω σο διαφορικό σοιχείο:

39 X 5 Θεωρούµε πρώα ην ολική δύναµη σην xκαεύνση: σ xx σ x xx σ σ dxdyd x dx dyd σ xx x xx dyd σ yx σ y dy dxd σ dxd σ x d dxdy σ x dxdy σ yx σ x P xx yx x dxdyd y x x y Παρόµοιες εκφράσεις µπορούν να γραφούν και για ις άλλες καεύνσεις. Σνοψίζονας, yx yx

40 X 6 Επιφανειακή δύναµη σην καεύνση x x xx x yx y x dxdyd Επιφανειακή δύναµη σην καεύνση y y xy x yy y y dxdyd Επιφανειακή δύναµη σην καεύνση x x y y dxdyd Εσι η ολική επιφανειακή δύναµη µπορεί να γραφεί ως: df ( ) dxdyd ij Ανικαισώνας σον νόµο ο Νεύωνα F df gav df dv ρ dt dxdyd ή dv ( ) dxdyd ρ dxdyd ρ g dxdyd ij dt ή

41 X 7 dt d ij V g ρ ρ όπο ( )V V V V V V V V. t w y x t dt d Αή η εξίσωση λέγεαι εξίσωση ορµής (momentm eqation), ή εξίσωση Cachy ή απλά ισοζύγιο δώναµεων (foce balance). Υποδηλώνει: Βαρύηα ανά µονάδα όγκο δύναµη πίεσης ανά µονάδα όγκο ιξώδης δύναµη ανά µονάδα όγκο πκνόηα X επιάχνση Αή η εξίσωση είναι διανσµαική και µπορεί να διασπασεί σις σνισώσες ης ως εξής: g y x w w y w x w t w g y x y w y x t g y x x w y x t y x y y yy xy x x yx xx ρ ρ ρ ρ ρ ρ Οι ανωέρω εξισώσεις ισχύον για όλα α ρεσά.

42 X 8 Αριβη Ροή (Inviscid Flow): Η εξίσωση Ele Η εξίσωση ορµής µπορεί να γίνει χρήσιµη ση λύση προβληµάων ροής εάν έχοµε διαεσιµες εκφράσεις για ις ιξώδεις άσεις σαν σναρήσεις ων κλίσεων ης αχύηας. Η απλούσερη πόεση είναι άριβη ροή (fictionless flow) όπο 0. ij ρ g dv ρ dt Αή λέγεαι εξίσωση ο Ele για άριβη ροή (inviscid flow). Μπορεί κάποιος να ολοκληρώσει αή ην εξίσωση καά µήκος µιας ροικής γραµµής για να πάρει ην εξίσωση Benolli. Νεώνειο Ρεσό (Newtonian): Οι Εξισώσεις NavieStokes Για να λύσοµε προβλήµαα χρησιµοποιώνας ην εξίσωση ορµής χρειαζόµασε εκφράσεις για ις διάφορες άσεις σαν σναρήσεις ων κλίσεων αχύηας (velocity gadients) και ων ιδιοήων ων ρεσών. Για Νεώνεια ρεσά. οι εξής εκφράσεις ισχύον (ασµπίεσα ρεσά):

43 X 9 x w y w x y w y x x x y y yx xy yy xx µ µ µ µ µ µ Ανικαισώνας αές ις σχέσεις σις εξισώσεις ορµής, οι εξισώσεις NavieStokes για Νεώνεια ρεσά σαερής πκνόηας και ιξώδος. g w y w x w w w y w x w t w g y x y v w y x t v g y x x w y x t y x ρ µ ρ ρ µ ρ ρ µ ρ Λύση προβληµάων για ις 4 άγνωσες ποσόηες (,, w, ):. Εξίσωση σνεχείας (ισοξύγιο µάζας). Οι εξισώσεις NavieStokes σις ρείς καεύνσεις 3. Οριακές σνήκες

44 X 0 Οι πιο σνηισµένες οριακές σνήκες (Bonday Conditions) είναι:. Σις διεπιφάνειες σερεώνρεσών η αχύηα ο ρεσού είναι ίση µε ην αχύηα ης σερεάς επιφάνειας. Εάν η σερεά επιφάνεια είναι ακίνηη, όε η οριακή σνήκη µηολίσησης (no sli) προκύπει.. Σις διεπιφάνειες γρώναερίων, ο flx ορµής ή διαρµηική άση είναι σχεδόν µηδέν.

45 X 3. Σις διεπιφάνειες γρώνγρών, ο flx ης ορµής κάεο σην διεπιφάνεια και η αχύηα είναι σνεχείς σναρήσεις. Το µέγισαο σην αχύηα παίρνεαι σο ρεσό µε ο µικρόερο ιξώδες. Υπάρχει µόνο ένα µέγισο. Γιαί? Υποσηµειώνεαι όι η ογκοµερική παροχή για ο ρεσό ΙΙ είναι µικρόερη. Οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να γραφούν και σε άλλα σσήµαα σνεαγµένων, π.χ. σε κλινδρικές.

46 X CAUCHY EQUATION IN CYLINDRICAL COORDINATES (,, ) comonent t ρ g ) ( ρ σ σ σ σ comonent t ρ ρ σ σ σ g ) ( comonent t ρ g ) ( ρ σ σ σ

47 X 3 COMPONENTS OF IN CYLINDRICAL COORDINATES (,, ) µ µ /) ( µ µ µ µ

48 X 4 NAVIERSTOKES EQUATIONS IN CYLINDRICAL COORDINATES (,, ), ρ, µ constant comonent t ρ g ) ( ρ µ comonent t ρ ρ µ g ) ( comonent t ρ g ρ µ

49 X 5 EXAMPLE PROBLEM Steady, D, incomessible flow thogh the conveging channel shown below x V V i on x axis L Find: (a) The acceleation of a aticle moving along the x axis. (b) Fo the aticle located at x0 at t0, an exession fo its () osition x as a fnction of time () x comonent of acceleation a x as a fnction of time The acceleation of a aticle moving in this velocity field is given by DV Dt V x V y The xcomonent of acceleation is: V w V t D w Dt t t t t Fo the aticle on x axis, thee is only the comonent V ( x / L)

50 Ths, D Dt x V L x L X 6 In the second at of the oblem, we ae inteested in following a single aticle located at x0 at t0 as it flows along the centeline. The aticle at x0 and t0 will have a velocity V. At the exit, the location is xl and the aticle will have a velocity V. dx x V dt L o ( dx x / L) V dt x dx t Vdt ( x / L) and o 0 x Lln Vt L Solving fo x x L ( V / ) t L e The x comonent of acceleation of this aticle is then a x d dt dx dt o a x d x dt V L e V t / L

51 X 7 We now have two diffeent ways of exessing the acceleation of the aticle that has located at x0 at t0. Note that althogh the field is steady, when we follow a aticla aticle, its osition and acceleations ae fnctions of time. We check to see that both exessions fo acceleation give the same eslts.

52 X 8 Eleian Descition: Points within a domain whee a flid is flowing ae assigned a aticla velocity and acceleation i.e. VV(x, y,, t). This is efeed in Flid mechanics Langangian Descition: The motion of individal aticles is followed. Ths, the acceleation, osition and velocity of individal aticles ae secified as a fnction of time only.

53 XΙ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΕΣ (FULLY DEVELOPED) ΙΞΩ ΙΚΕΣ (VISCOUS) ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ (LAMINAR) ΡΟΕΣ Πλήρως Ανεπγµένη: Θεωρούµε ροή σην είσοδο ενός κλινδρικού αγωγού. Σην είσοδο η καανοµή ης αχύηας αναπύσσεαι/αλλάζει σνεχώς σο αρχικό µήκος ο αγωγού (entance length). Πέραν αού ο αρχικού µήκος όπο η ροή αναπύσσεαι πλήρως, η καανοµή ης αχύηας δεν αλλάζει άλλο και η ροή λέγεαι πλήρως αναεπγµένη (flly develoed flow). Η πλήρως αναπγµένη ροή οσιασικά είναι µία παραβολική καανοµή όπως α αποδείξοµε παρακάω και ισχύει όι: ()

54 XΙ Γραµµική (Lamina) vess Τρβώδος (Tblent) Ροής: Η γραµµική ροή είναι η ροή όπο α σωµαίδια ο ρεσού ακολοούν ροικές γραµµές και µονοπάια καορισµένα, όπως αά πο σζηήηκαν σην κινηµαική. Αή η ροή σε κλινδρικούς αγωγούς παίρνεαι για αριµούς Reynolds, ReV avg D ρ/µ,00 (βλέπε ο πείραµα ο Reynolds). Σην ρβώδη ροή πάρχει χαοική µίξη ων γειονικών σρωµάων ο ρεσού (chaotic mixing of adjacent flid layes). Τα σωµαίδια ο ρεσού δεν ακολοούν καορισµένα µονοπάια. Υπάρχει επίσης και µία χαία σνισώσα πο προσίεαι σην αχύηα παρ όι η ροή µπορεί να είναι µόνιµη. Η διαφορά φαίνεαι σο σχήµα παρακάω, όπο η αχύηα σε καποιο σηµείο ο ρεσού απεικονίζεαι για µόνιµη γραµµική και ρβώδη ροή.

55 XΙ 3 ΡΟΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ (ΓΡΑΜΜΙΚΗ, ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΗ) Θεωρούµε ροή δια µέσο κλινδρικού αγωγού. Καορίσε ην καανοµή αχύηας, ην µέγιση αχύηα και ην έση ης, ην ογκοµερική παροχή και ην µέση αχύηα για µόνιµη, πλήρως ανεπγµένη ροή για ένα ασµπίεσο Νεώνειο ρεσό. Soltion: Χρησιµοποιούµε κλινδρικές σνεαγµένες Παραδοχές: (i) Μόνιµη ροή (όλες οι χρονικές παράγωγοι είναι µηδέν) (ii) Πλήρως ανεπγµένη ροή ( /0, δεν είναι σνάρηση ο ). (iii) Ασµπίεση ροή, ρconst. and µconst. (iv) Λόγω ης σµµερίας, δεν πάρχει λόγος να ποέσοµε όι πάρχον άλλες σνισώσες ης αχύηας, έσι ( 0).

56 XΙ 4 Από ην εξίσωση σνεχείας (ισοζύγιο µάζας): 0 ) ( ) ( ) ( t ρ ρ ρ ρ Επειδή 0 και χρησιµοποιώνας ην παραδοχή ης ασµπίεσης ροής: 0 Η οποία µας λέει όι έχοµε πλήρως ανεπγµένη ροή. Για να πάροµε ην καανοµή αχύηας χρησιµοποιούµε ο ισοζύγιο ορµής σην καεύνση ης ροής και ο όι (). t ρ g ρ µ ή < 0 constant d d d d d d µ Από ις, σνισώσες παίρνοµε όι d/d d/d0 έσι ώσε (). Η κλίση πίεσης dp/dconst. πο οδηγεί ην ροή είναι σνήως γνωσή και δίνεαι σαν η διαφορά πίεσης µεαξύ δύο σηµείων σε απόσαση L

57 XΙ 5 (γραµµική). 0 L L L 0 d d B A B A > Εάν B είναι η έξοδος, όε L B 0 (gage esse), όε L ) ( 0 Τώρα ο ισοζύγιο ορµής µπορεί να ολοκληρωεί δύο φορες, ) ln( 4 C C d d µ

58 XΙ 6 όπο C και C είναι σαερές. Αές µπορούν να πολογισούν χρησιµοποιώνας ις οριακές σνήκες: d R BC: at R (οίχωµα): 0 C ln( R) C d 4µ (nosli) BC: at o (άξονα σµµ.) finite 0 C ln(0) C Η δεύερη σνήκη δίνει C 0 και η πρώη ης αχύηας γίνεαι: C d R d 4µ. Η καανοµή R 4 µ d d (παραβολική) R

59 XΙ 7 Μέγιση αχύηα: Η µέγιση αχύηα είναι σον άξονα σµµερίας, όπο 0, έσι ώσε V max d d R 4 µ Η καανοµή αχύηας µπορεί να γραφεί ως: R 4 µ d d R V max R Ογκοµερική παροχή: Q da π R 4 π R d d 8 A 0 0 µ L όπο / L d / d.αή είναι η περίφηµη εξίσωση HaagenPoiseille πο σσχείζει ην ογκοµερική παροχή µε ην διαφορά πίεσης και είναι πολύ χρήσιµη σο σχεδιασµό δικύων αγωγών. Μέση αχύηα: V avg A A da da π R 0 0 π R 0 d d 0 d d d d R 8 µ Vmax Q πr

60 XΙ 8 Καανοµή διαµηικής άσης: Η µόνη µηµηδενική σνισώσα ης άσης είναι η µ o L wall R L < 0 Αή η σχέση πονοεί όι η διαµηική άση είναι αρνηική και σύµφωνα µε ην σνήκη προσήµο πρέπει να δείχνει προς ην εική καεύνση επειδή εξασκείαι πάνς σε ένα αρνηικό επίπεδο (βλέπε ο σχήµα). Αές οι εξισώσεις ισχύον µόνο για γραµµική ροή, όπο: ρv avg D Re D <,00 µ Η διαµηική άση είναι µέγιση σο οίχωµα και µηδέν σον άξονα σµµερίας.

61 XΙ 9

62 XΙ 0

63 Ths, since Re<,00 the flow is lamina. XΙ

64 XII ΡΟΗ COUETTE ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Θεωρούµε ιξώδη ροή µεαξύ δύο παράλληλων πλακών πο βρίσκοναι σε απόσαση h όπως φαίνεαι σο σχήµα. Υποέοµε όι οι πλάκες είναι πολύ πλαιές έσι ώσε η ροή να εωρείαι αξονική µε w0. εν πάρχει κλίση πίεσης και η οδηγούσα δύναµη ης ροής είναι η κίνηση ης πλάκας. Από ην εξίσωση σνεχείας για ασµπίεσο ρεσό, x w y x 0 o only y ) ( Η εξίσωση ορµής σην x καεύνση (καεύνση ροής). g y x x w y x t x ρ µ ρ

65 XII Αή απλοποιείαι και δίνει: d dy 0 ή C y C Εφαρµόζοµε ις δύο οριακές σνήκες BC: σο yh VC hc BC: σο yh 0C (h)c Λύνονας η καανοµή ης αχύηας πο προκύπει είναι: V V y (γραµµική) h Η µόνη µη µηδενική σνισώσα ης άσης είναι η µ V yx constant όπο d / dy V / h h yx µ d / dy. Η γεωµερία αή χρησιµοποιείαι πολύ σην ρεολογία µελέη ροής και παραµόρφωσης λικών. Το ρεόµερο πο βασίζεαι σ αή η γεωµερία λέγεαι ρεόµερο παράλληλης πλάκας (sliding late heomete).

66 XII 3 ΡΟΗ ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΑΠΕΙΡΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ Υπολογίσε ην καανοµή ης αχύηας µεαξύ δύο παράλληλων πλακών απείρο πλάος για ένα Νεώνειο ρεσό. Θεωρήσε γραµµική, µόνιµη, ασµπίεση και πλήρως ανεπγµένη ροή. Παραδοχές: (i) Ροή µόνιµη, έσι όλες οι χρονικές παράγωγοι είναι µηδέν. (ii) Η ροή ση καελνση x (καενση ροής) είναι πλήρως ανεπγµένη, έσι (x) ή /x0. (iii) εν πάρχει ροή ση καεύνση, έσι w0

67 XII 4 Παίρνοµε ην εξίσωση σνεχείας σε καρεσιανές σνεαγµένες: 0 w y x Χρησιµοποιώνας w0: ) flow Flly develoed ( 0 x Παίρνοµε ην εξίσωση NavieStokes σε καρεσινανές σνεαγµένες: x comonent g y x x w y x t x ρ µ ρ Χρησιµοποιώνας ις παραδοχές: y x 0 µ Οι αλλες δύο NavieStokes σνισώσες µπορούν να απλοποιηούν σε: y comonent g y 0 ρ comonent 0 Επειδή η βαρύηα δεν είναι σην καεύνση ροής δεν ην επηρεάζει.

68 XII 5 Οµως ακόµα και αν ήαν σην καεύνση ροής (κάεος αγωγός) γενικά η βαρύηα α µπορούσε να αγνοηεί λόγω ης µικρής σνεισφοράς ης σγκρινόµενη µε ην ανίσοιχη σνεισφορά ης κλίσης πίεσης. Εσι έχοµε να λύσοµε: µ y x ( y ) ( x ) Για να ισχύει η ισόηα σην πρώη εξίσωση, οι δύο πλερές πρέπει να είναι ίσες µε µια σαερά, K. Γιαί? Εσι µ y x d dx const ant Ολοκληρώνοµε δύο φορές d y C y C µ dx Εφαρµόζοµε ις δύο οριακές σνήκες:

69 XII 6 BC.. At xh 0 BC.. At xh (nosli) 0 (nosli) Λύνονας παίρνοµε ην καανοµή αχύηας: d dx h y h µ, Βλέπε όι d/dx<0 Η καανοµή αχύηας είναι παραβολική. Μέγιση αχύηα: Η σνήκη είναι d/dy0, πο ην δίνει σο σηµείο y0. Η ιµή ης είναι: max d dx h µ Η καανοµή µπορεί να γραφεί ως: max y h

70 XII 7 Ογκοµερική παροχή: Q A da 0 h h dy d h h dy όπο W είναι ο πλάος ο καναλιού W h 3 µ Q 3 d dx Αή η εξίσωση ειναι σποδαία για ον σχεδιασµό δικύων αγωγών. Μέση αχύηα: V avg A A da da Q W h h 3Wµ d dx Καανοµή διαµηικής άσης: µ o yx y yx d dx y

71 XII 8 At y h yx d dx h <0 At y 0 yx 0 At y b yx d dx h >0 Για να πολογίσοµε ην δύναµη ο ρεσού πάνω σε µία από ις πλάκες W L d F yx da y dx dy W L y h dx A 0 0 d ( d / dx y ) WL h > 0 dx

72 XII 9 ΡΟΗ ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΟΜΟΚΕΝΤΡΩΝ ΚΥΛΙΝ ΡΩΝ Θεωρούµε ρεσό µε σαερές φσικές ιδιόηες (ρ, µ) µεαξύ δύο οµόκενων κλίνδρων όπως φαίνεαι σο σχήµα. Ο εσωερικός κύλινδρος περισρέφεαι µε γωνιακή αχύηα Ω i. Επειδή οι κύλινδροι έχον µεγάλο µήκος, οι επιδράσεις ων άκρων µπορούν να αγνοηούν. Επίσης λόγω ης σµµερίας, η αχύηα δεν αλλάζει µε ο αλλά µόνο µε ο. D flow () Η εξίσωση σνεχείας µε 0 είναι: ( ) ( ) 0 d d ( ) ή const Επειδή είναι µηδέν σην επιφάνεια ων δύο κλίνδρων, σµπεραίνοµε όι πρέπει να είναι µηδέν πανού.

73 XII 0 Εσι η µόνη µηµηδενική σνισώσα ης αχύηας είναι η η οποία είναι σνάρηση ης καεύνσης. Θεωρούµε ην σνισώσα ης εξίσωσης ορµής, t ρ ρ µ g ) ( Απλοποιείαι σε: 0 ) ( µ o C C BC: At o 0 BC: At i Ω I i Η ελική λύση είναι: o i i o o i i / / / / 0 Ω

74 ΜΟΝΟΚΑΤΕΥΘΥΝΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Αναλικές λύσεις για ροές ρεσών µπορούν να βρεούν µόνο για περιορισµένο αριµό ροών. Οι επόµενες κλάσεις ων µονοκεενικών ροών µπορούν να προσεγγισούν αναλικά.. Ακινικές ροές (adial flows). Εύγραµµες ροές σε κλινδρικό αγωγό (ie), δακύλιο (annls) και ορογώνιο αγωγό (channel) 3. Ροές λεπού ποσρώµαος (thinfilm flows) 4. Περισροφικές ροές (tosional flows) Σε όλες αές ις ροές πάρχει γενικά µία µηµηδενική σνισώσα πο αλλάζει σε µία καεύνση. Αή η σνισώσα οδηγεί η µονοκαενική ροή.

75 XIII. ΑΚΤΙΝΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (RADIAL FLOWS) Ακινικές ροές ενός ρεσού όπως οι ροές γύρω από αναπσσόµενες (gowing) ή κααρρέοσες (collasing) φσσαλίδες (bbbles). Θεωρούµε µία αναπσσόµενη φσαλίδα µε ρµό, R &. Χρησιµοποιώνας ην εξίσωση σνεχείας µπορούµε να πολογίσοµε ην ακινική σνισώσα ης αχύηας (η µόνη µηµηδενική σνισώσα). R& R όπο R & dr / dt. Εσι η αχύηα µειώνεαι µε ο (απόσαση από ο κένρο ης φσσαλίδας η οποία ποίεαι σφαιρική). Η εξίσωση σνεχείας είναι: ( ) ( ) ( ) 0 sin φ sin sin φ Λόγω σµµερίας, φ 0 η εξίσωση γίνεαι: d ( ) 0 o ( ) 0 o C d Εσι, C/. Για να πολογίσοµε ο C χρησιµοποιούµε ο ρµό ανάπξης ης φσσαλιδας:

76 XIII3 dr dt R& όπο R είναι η ακίνα ης φσσαλίδας. Εσι, C At R R& o R & o C R& R R Ανικαισώνας ην ιµή ο C σην καανοµή αχύηας, R& R βλέπε Σε ακινικές ροές όαν οι ροϊκές γραµµές είναι εύγραµµες, η εξισωση σνεχείας καορίζει ο πεδίο αχύηας. Ση σνέχεια οι εξισώσεις NavieStokes µπορούν να χρησιµποποιηούν για ον καορισµό ης καανοµής πίεσης.

77 XIII4. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΡΟΕΣ (RECTILINEAR FLOWS) Αές είναι ροές µεαξύ παράλληλων πλακών, ροές σε αγωγούς και ροές σε δακλίος. Σ αές ις ροές οι ροϊκές γραµµές είναι εύγραµµες και η κλίση πίεσης είναι επίσης γραµµική. Η οδηγούσα δύναµη σ αές ις ροές µπορεί να είναι: i. Η κίνηση µίας σερεάς επιφάνειας (δεν πάρχει κλίση πίεσης): V(y/H) Η έκφραση αή είναι λίγο διαφορεική από ην προηγούµενη λόγω ο διαφορεικού ορισµού ο σσήµαος σνεαγµένων. ii. Η δύναµη µιας ανλίας όπο δηµιοργεί µία κλίση πίεσης d/d constant; είναι η καεύνση ης ροής: d ( R 4 µ d )

78 XIII5 iii. Η βαρύηα σην καεύνση σην οποία d/d0 και ρg 0 w ρ g µ ( H y ) (παραβολική καανοµή) iv. Με σνδασµό ων ανωέρω δνάµεων Ροή µεαξύ δύο παράλληλων πλακών µε παράλληλη µεαόπιση ης επάνω πλάκας. Για να πάροµε ην καανοµή χρησιµοποιούµε επαλλήλία ων ροών όπως φαίνεαι σο σχήµα.

79 XIII6 3. ΡΟΕΣ ΣΕ ΛΕΠΤΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ (THINFILM FLOWS) Ενα παράδειγµα είναι η ελεύερη ροή ρεσού σε κεκλιµένο επίπεδο λόγω βαρύηας η οποία έχει εφαρµογές σε διεργασίες εξάµισης και σµπύκνωσης. ρ g sin δ µ y δ y δ B.C. B.C. y 0 y δ 0 y 0

80 XIII7 4. ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (TORSIONAL FLOWS) Θεωρούµε µία κλινδρική ράβδο απείρο µήκος και ακίνας R να περισρέφεαι σε ένα γρό µε γωνιακή αχύηα Ω. Υπολογίσε ην καανοµή αχύηας. ροή, από ην εξίσωση σνεχείας παίρνοµε: Η µόνη µηµηδενική σνισώσα ης αχύηας είναι η 0 µε 0. Υποέονας ασµπίεση 0 Εσι, (). Θεωρούµε ην σνισώσα ης εξίσωσης ορµής για να πάροµε: d d d d ( ) 0 Ολοκληρώνοµε για να πάροµε: d d ( ) C o d d ( ) C ή

81 XIII8 C C o C C Σο, 0, έσι C 0 Σο R, ΩR (µηολίσηση), έσι C ΩR. Ανικαισώνας, η καανοµή ης αχύηας είναι: Ω R Οι άλλες δύο σνισώσες ης αχύηας σις και καεύνσεις µπορούν επίσης να χρησιµοποιηούν. Αές δίνον: ρ 0 ρ g 0 Ολοκληρώνονας µπορούµε να γράψοµε: ρ g f () C 4 Ω f ()C ρ R Σνδιάζονας ις δύο εξισώσεις :

82 XIII9 ρ (, ) ρ g R 4 Ω C Οµως, σο R και 0, (R, 0 )0 (ελεύερη επιφάνεια) Εσι, C ρ g 0 ρ Ω R Και ελικά ανικαισώνας ρ (,) ρg( ) Ω R R 0 Refeence oint

83 XIII0 TWOLAYER COUETTE FLOW ύο µη αναµίξιµα γρά, A και B, µε πκνόηες ρ A >ρ B και ιξώδη µ A <µ B, ρέον µεαξύ δύο παράλληλων πλακών πλάος W και απείρο µήκος (βλέπε σχήµα).το πάχος ων σρςµάων είναι H A και H B, ανίσοιχα. Η κάω πλάκα είναι ακίνηη, ενώ η επάνω µεακινείαι µε αχύηα V. Κάω από αές ις σνήκες η πίεση είναι σαερή πανού. (a) Βρέσε ην καανοµή αχύηας σε κάε σρώµα (b) Επαληεύσε α αποελέσµαα απο ο (a) εωρώνας µία απλή περίπωση. (c) Υπολογίσε ην διαµηική δύναµη ανά µονάδα µήκος ης επάνω πλάκας. (d) Ποιά είαι η διαµηική άση ανά µονάδα µήκος ης κάω απιφάνειας?

84 XIII (a).καανοµές αχύηας. Οι εξισώσεις ορµής σην καεύνση x για κάε γρό είναι: και A d 0 µ A, 0 y H A d y B d 0 µ B, H A y H A H B d y Ολοκληρώνονας, A C A y C A και B C B y C B Οι εξής οριακές σνήκες ισχύον: B.C.. y0, A 0 (nosli) B.C.. yh A H B B V (nosli) B.C.3. yh A A B (σνέχεια αχήων) B.C.4. yh A A yx B yx o µ A d A /dyµ B d B /dy (σνέχεια διαµηικών άσεων)

85 XIII Χρησιµοποιώνας αές ις 4 οριακές σνήκες, µπορούµε να πολογίσοµε ις έσσερεις σαερές ολοκλήρωσης C A, C B, C A, και C B. Αές είναι οι εξής: ) H H ( C V C 0 C ) H / H ( ) / ( H V/ C ) / )( H / H ( H V C B A B B A A B A B A b B A A B A A µ µ µ µ / Οι καανοµές αχύηας είναι: H H y H, ] V ) H H y ( [ H H H V H y 0 y, ) / )( H / H ( H V/ B A A B A A B A B A B A B A A B A A µ µ µ µ Επαληεύονας, οι οριακές σνήκες ικανοποιούναι: A (y0)0, B (yh A H B )V, A (yh A ) B (yh A ), yx A (yh A ) yx B (yh A ) (b) Απλή περίπωση: Για H A H B H και µ A µ B µ (π.χ., ένα σρώµα) ) H y ( H V y, H V B A

86 XIII3 (c) Καανοµές διαµηικής άσης: A yx µ A d dy A µ A ( H B V/ H A / H A )( µ / µ ) A B B yx µ B d dy B µ A ( H B V/ H A / H A )( µ / µ ) A B ιαµηική άση σην επάνω πλάκα: U yx B yx yh H A B >0 Αή η άση ασκείαι σε αρνηικό επίπεδο και επειδή έχει αρνηικό πρόσηµο, πρέπει να δείχνει προς ην αρνηική καεύνση. (d) Eξωερική δύναµη σην επάνω πλάκα: F L 0 W 0 U yx dx d B yx LW <0 Η άση ασκείαι από ο γρό σην κάω επιφάνεια: L A yx yx y0 >0

87 XIII4 Αή η άση ασκείαι σε εικό επίπεδο και επειδή έχει εικό πρόσηµο, πρέπει να δείχνει πρός ην εική καεύνση (βλέπε σχήµα). Eξωερική δύναη σην κάω πλάκα: F L 0 W 0 L yx dx dy A yx LW >0

88 ΤΥΡΒΩ ΗΣ ΡΟΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΥΡΒΩ ΗΣ ΡΟΗ Ρεσά ρέον µέσα σε αγωγούς και κανάλια κάω από ην επίδραση εξωερικών δνάµεων όπως βαρύηα (ροή σε κεκλιµένο επίπεδο), διαµηική δύναµη (επάλειψη βούρο σο ψωµί) και διαφορά πίεσης µεαξύ εισόδο και εξόδο. Q Θεωρούµε ροή σε κλινδρικό αγωγό µεαξύ δύο σηµείων σε απόσαση L όπο η διαφορά πίεσης µεριέαι PP P σαν σνάρηση ης ογκοµερικής παροχής V & ή Q.

89 XIV Απεικονίζοµε P/ L vess Q, και παραηρούµε ρεις διαφορεικές περιοχές ροής.. Γραµµική ροή (Lamina flow) P/ L είναι ανάλογη ο Q ή V&.. εν πάρχει αναπαραγώγιµο αποέλασµα. 3. Τρβώδης περιοχή ροής (Tblent flow egime) P/ L είναι ανάλογη ο Q o V& (oghly).

90 XIV 3 Η δοµή ης ροής µπορεί να εξηγηεί µε ο περίφηµο πείραµα ο Si Osbone Reynolds, όπο ένα ρεσό ρέει µέσα σε διαφανή σωλήνα.. Για χαµηλές ογκοµερικές παροχές, η χρωσική οσία (injected dye) διαηρεί ην ακεραιόηα ης σαν ενα µακρύ νηµάιο (long filament) πο ρέει µε ο ρεσό. Τα σωµαίδια ο νηµαίο ρέον καά µήκος ων ροικών γραµµών.. Για µεγάλες ογκοµερικές παροχές µία χαοική µίξη παραηρείαι. Η χρωσική οσία σχηµαίζει ασαείς δίνες οι οποίες αναµιγνύοναι γρήγορα µε ο ρεσό και όλο ο ρεσό γίνεαι αέαο. Ο Reynolds σσχέισε α αποελέσµαα µε ένα αδιάσαο αριµό πο περιλαµβάνει ave, ρ, µ and D και φσικά φέρει ο όνοµά ο: ρ ave D Re µ V& ave π D /4 Q π D Επίσης βρήκε όι για Re<,00 η ροή είναι γραµµική σε κλινδρικό αγωγό. / 4

91 XIV 4 Η διαφορά σην δοµή ης γραµµικής από ην ρβώδη ροή επεξηγείαι σην εικόνα, όπο η αχύηα σε κάποιο σηµείο ης ροής απεικονίζεαι σαν σνάρηση ο χρόνο για γραµµική και ρβώδη ροή. (a) Γραµµική (b) Μεαβαική ροή (c) Τρβώδης

92 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ XIV 5

93 XIV 6 Ροή ρεσού από ένα σωλήνα: (a)µεγάλο ιξώδες, χαµηλο Re γραµµική ροή (b)χαµηλό ιξώδες, µεγάλο Re,ρβώδης ροή

94 XIV 7 FIGURE: Ροή ήγµαος πολελενίο δια µέσο ριχοειδούς σςλήνα Τα ήγµαα πολµερών έχον πολύ µεγάλα ιξώδη και η ροή είναι πάνα γραµµική.

95 ΡΟΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ XIV 8 (a) (b) Γραµµική (παραβολική καανοµή) Τρβώδης ροή (σχεδόν επίπεδη καανοµή)