3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex"

Transcript

1 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x B x T + 3x K + 4x Γ + x B x T + 2x K + 5x Γ + 10x B 800 x T, x K, x Γ, x B 0 Με την εισαγωγή των βοηθητικών μεταβλητών το πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή εκφράζεται ως εξής: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B +0S 1 + 0S 2 + 0S 3 5x T + x K + 9x Γ + 12x B + S 1 =1500 2x T + 3x K + 4x Γ + x B + S 2 = x T + 2x K + 5x Γ + 10x B + S 3 = 800 x T, x K, x Γ, x B, S 1, S 2, S 3, 0 Πρώτος πίνακας Simplex: βασικές z x Τ x Κ x Γ x B S 1 S 2 S 3 β S S S z Δεύτερος πίνακας Simplex βασικές z x Τ x Κ x Γ x B S 1 S 2 S 3 β S 1 0-2/5-13/ /5 60 S 2 0-2/5 7/ /5 360 x Γ 0 3/5 2/ /5 160 z Τρίτος πίνακας Simplex βασικές z x Τ x Κ x Γ x B S 1 S 2 S 3 β S /15 2/3-14/ /3 500/3 S /15 2/3-17/ / /3 x Τ 0 1 2/3 5/3 10/ /3 800/3 z

2 Η βέλτιστη εφικτή λύση του προβλήματος είναι: x T = 800/3, x B = 0, x Γ = 0, x B = 0, S 1 = 500/3, S 2 = 1400/3, S 3 = 0 και z = Οικονομική εξήγηση της λύσης του παραδείγματος. Η βέλτιστη εφικτή λύση μας λέει ότι: x T = 800/3, δηλαδή ότι πρέπει να παραχθούν 800/3 τραπέζια (δεν περιοριζόμαστε σε ακέραιες λύσεις - υπόθεση διαιρετότητας). S 1 = 500/3, δηλαδή 500/3 μονάδες μαλακού ξύλου δεν χρησιμοποιήθηκαν. S 2 = 1400/3, δηλαδή 1400/3 μονάδες σκληρού ξύλου δεν χρησιμοποιήθηκαν. z = , δηλαδή το κέρδος από τη πώληση 800/3 τραπεζιών είναι χρηματικές μονάδες. x K, x Γ, x B, S 3 = 0, δηλαδή δεν πρέπει να παράγουμε καρέκλες, γραφεία ή βιβλιοθήκες και η βέλτιστη λύση κάνει χρήση όλων των διαθέσιμων ανθρωποωρών. Οι συντελεστές στην αντικειμενική δηλώνουν το ρυθμό με τον οποίο θα μειωθεί η αντικειμενική αν μια μονάδα από την αντίστοιχη μεταβλητή παραχθεί, δηλαδή το 150 που αντιστοιχεί στο x K σημαίνει ότι αν παράγουμε μία καρέκλα η αντικειμενική θα μειωθεί κατά 150 χρηματικές μονάδες. Παράδειγμα 2ο: Μια ασφαλιστική εταιρεία διαθέτει ένα κεφάλαιο χρηματικών μονάδων το οποίο μπορεί να επενδύσει με δύο διαφορετικούς τρόπους: την επένδυση τύπου Χ και την επένδυση τύπου Υ. Η επένδυση τύπου Χ δίνει ετήσιο εισόδημα (τόκοι) 10% ενώ η επένδυση τύπου Υ δίνει ετήσιο εισόδημα 15%. Η εκλογή της εταιρείας περιορίζεται από την κυβέρνηση που επιβάλει να επενδυθεί τουλάχιστον το 25% του κεφαλαίου στην επένδυση τύπου Χ. Επίσης η πολιτική της εταιρείας είναι ότι η αναλογία του κεφαλαίου που επενδύεται στην επένδυση τύπου Υ προς το κεφάλαιο που επενδύεται στην επένδυση τύπου Χ δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερη του 1.5:1. Πως πρέπει η εταιρεία να επενδύσει το κεφάλαιό της. Διατυπώστε το πρόβλημα σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και να ευρεθεί η λύση με τη χρήση της μεθόδου Simplex. Λύση: Μεταβλητές απόφασης είναι οι x 1 και x 2 που είναι τα κεφάλαια σε χρηματικές μονάδες που θα επενδύσει η εταιρεία στην επένδυση τύπου Χ και στην επένδυση τύπου Υ αντίστοιχα. Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος είναι: max z = 0.1x x 2 x 1 + x x x x 2 0 x1 x2 x x 1 + x 2 0 x 1 x 1, x

3 Το πρόβλημα με την είσοδο των βοηθητικών μεταβλητών S 1, S 2, S 3 σε τυποποιημένη μορφή εκφράζεται ως εξής: max z = 0.1x x 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 x 1 + x 2 + S 1 = x x 2 + S 2 = 0-1.5x 1 + x 2 + S 3 =0 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 Πρώτος πίνακας Simplex Δεύτερος πίνακας Simplex Τρίτος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S S 2 0-3/4 1/ S 3 0-3/ z 1-2/20-3/ βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S x S 3 0 3/ z 1-11/ /5 0 0 βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S /3-8/ x x /3 2/3 0 z /60 22/60 0 Τέταρτος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S /20 1-2/ x /5 0 2/ x /5 0-2/ z / /

4 Η βέλτιστη εφικτή λύση του προβλήματος είναι: x 1 = 40000, x 2 = 60000, S 1 = 0, S 2 = 15000, S 3 = 0 και z = Δηλαδή η εταιρεία πρέπει να επενδύσει χρηματικές μονάδες στην επένδυση τύπου Χ και χρηματικές μονάδες στην επένδυση τύπου Υ για να πετύχει το μέγιστο ετήσιο εισόδημά της που είναι χρηματικές μονάδες. Παράδειγμα 3ο: Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Simplex: max z = 5x 1-4x 2 x 1 - x 2 6 3x 1-2x x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2 0 Λύση: Πρώτα μετατρέπουμε το πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή εισάγοντας τις βοηθητικές S 1, S 2, S 3, οπότε γίνεται: max z = 5x 1-4x 2 +0S 1 + 0S 2 + 0S 3 x 1 - x 2 + S 1 = 6 3x 1-2x 2 + S 2 = 24-2x 1 + 3x 2 +S 3 = 9 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 Πρώτος πίνακας Simplex Δεύτερος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S S S z βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β x S S z

5 Τρίτος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β x x S z Η βέλτιστη εφικτή λύση του προβλήματος είναι: x 1 = 12, x 2 = 6, S 1 = 0, S 2 = 0, S 3 = 15 και z = 36. Παράδειγμα 4ο: Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Simplex: max z = 48x x 2 4x 1 + 3x x 1 + x x 1 + 4x x 1, x 2 0 Λύση: Πρώτα μετατρέπουμε το πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή εισάγοντας τις βοηθητικές S 1, S 2, S 3, οπότε γίνεται: max z = 48x x 2 +0S 1 + 0S 2 + 0S 3 4x 1 + 3x 2 + S 1 = 120 4x 1 + x 2 + S 2 = 80 2x 1 + 4x 2 +S 3 = 120 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 Πρώτος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S S S z

6 Δεύτερος πίνακας Simplex Τρίτος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β S 1 0 5/ /4 30 S 2 0 7/ /4 50 x 2 0 1/ /4 30 z βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 β x /5 0-3/10 12 S /5 1 8/10 8 x /5 0 4/10 24 z /5 0 48/ Η βέλτιστη εφικτή λύση του προβλήματος είναι: x 1 = 12, x 2 = 24, S 1 = 0, S 2 = 8, S 3 = 0 και z =

7 3.8 Ειδικές Περιπτώσεις Ισοβαθμία στην Εισερχόμενη Μεταβλητή Ως εισερχόμενη βασική μεταβλητή επιλέγεται η μη βασική μεταβλητή με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή αρνητικού συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής. Ας υποθέσουμε ότι δύο ή περισσότερες μη βασικές έχουν την ίδια μεγαλύτερη απόλυτη τιμή στους αρνητικούς συντελεστές τους. Για παράδειγμα αυτό θα γινόταν στο παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max z = 3x 1 + 3x 2 x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1, x 2 0 όπου στο πρώτο πίνακα Simplex στην γραμμή της αντικειμενικής θα υπήρχαν δύο αρνητικοί συντελεστές (-3) με την ίδια μεγαλύτερη απόλυτη τιμή που αντιστοιχούν στις δύο x 1 και x 2. Στην περίπτωση αυτή η επιλογή μεταξύ των υποψηφίων για εισαγωγή στη βάση μεταβλητών γίνεται αυθαίρετα. Η βέλτιστη λύση θα βρεθεί τελικά, άσχετα από τη μεταβλητή που επιλέγεται και δεν υπάρχει κατάλληλη μέθοδος που να προβλέπει ποια επιλογή θα οδηγήσει στην άριστη λύση γρηγορότερα. Στο παράδειγμά μας η μέθοδος Simplex θα φτάσει στην βέλτιστη λύση σε τρεις επαναλήψεις αν επιλεχτεί ως εισερχόμενη μεταβλητή η x 1, ενώ αν επιλεχτεί η x 2 σε δύο επαναλήψεις. Εκφυλισμένη Βέλτιστη Λύση Ας υποθέσουμε τώρα ότι σε δύο ή περισσότερες βασικές αντιστοιχεί το ίδιο μικρότερο πηλίκο, που σημαίνει ότι οποιαδήποτε από τις αυτές μπορεί να είναι η εξερχόμενη βασική μεταβλητή. Δημιουργείται το ερώτημα αν έχει σημασία ποια από τις θα επιλεχτεί. Θεωρητικά έχει μεγάλη σημασία σε αντίθεση με την επιλογή της εισερχόμενης μεταβλητής που είδαμε πριν για τους παρακάτω λόγους: Πρώτον, όλες οι βασικές που ισοβαθμούν για εξερχόμενες φτάνουν στο μηδέν ταυτόχρονα καθώς η εισερχόμενη μεταβλητή αυξάνεται. Έτσι εκείνες που δεν θα επιλεχτούν να είναι η εξερχόμενη μεταβλητή θα έχουν τιμή μηδέν στη νέα βασική εφικτή λύση. Οι αυτές ονομάζονται εκφυλισμένες βασικές και η νέα λύση εκφυλισμένη. Αυτός ο εκφυλισμός της λύσης μας δηλώνει ότι ένας (ή περισσότεροι) περιορισμός είναι πλεονάζων. Δεύτερον, αν μια από τις εκφυλισμένες διατηρήσει την τιμή μηδέν μέχρι να επιλεχτεί ως εξερχόμενη μεταβλητή τότε η τιμή του z δεν αλλάζει. Για να μελετήσουμε καλύτερα την περίπτωση της εκφυλισμένης βέλτιστης λύσης ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού: max z = 3x 1 + 9x 2 x 1 + 4x 2 8 x 1 + 2x 2 4 x 1, x

8 Στη γραφική λύση του προβλήματος βλέπουμε ότι ένας περιορισμός, ο πρώτος είναι πλεονάζον αφού η περιοχή εφικτών λύσεων ορίζεται από τον δεύτερο περιορισμό και τους δύο άξονες. x 2 x 1 + 4x 2 8 x 1 + 2x 2 4 x 1 Μετατρέπουμε το πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή εισάγοντας τις βοηθητικές S 1 και S 2 : max z=3x 1 +9x 2 + 0S 1 + 0S 2 x 1 +4x 2 +S 1 =8 x 1 +2x 2 +S 2 =4 x 1,x 2,S 1,S 2 0. Πρώτος πίνακας Simplex Δεύτερος πίνακας Simplex βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 b S S z βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 b x 2 0 1/4 1 1/4 0 2 S 2 0 1/2 0-1/2 1 0 z 1-3/4 0 9/ Εδώ παρατηρούμε ότι μια βασική μεταβλητή (S 2 ) έχει τιμή 0. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας πλεονάζων περιορισμός. Μια τέτοια βασική εφικτή λύση η οποία έχει τουλάχιστον μία βασική μεταβλητή ίση με μηδέν λέγεται εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση. 50

9 Τρίτος πίνακας Simplex Άρα έχουμε εκφυλισμένη βέλτιστη λύση την : x 1 =0, x 2 =2, S 1 =0, S 2 =0 και z = 18. βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 b x /2-1/2 2 x z /2 3/2 18 Αν η τιμή του z παραμένει ίδια, αντί να αυξάνεται σε κάθε επανάληψη, η μέθοδος Simplex μπορεί να περιπέσει σε βρόχο, δηλαδή να επαναλαμβάνει περιοδικά την ίδια αλληλουχία λύσεων και να μην αυξάνεται το z για την εύρεση της άριστης λύσης. Αυτό είναι γνωστό ως το φαινόμενο της ανακύκλωσης (cycling ή circling) και μας πληροφορεί ότι υπάρχουν πλεονάζοντες περιορισμοί. Σ αυτή την περίπτωση είναι δυνατόν να σταματήσει κάποιος πριν τη τελική βέλτιστη λύση, επειδή το z και η λύση συνήθως δεν αλλάζουν. Εναλλακτικές Βέλτιστες Λύσεις Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να έχει περισσότερες από μία βέλτιστες λύσεις. Αυτό συμβαίνει όταν η αντικειμενική είναι παράλληλη σε κάποιο περιορισμό. Σύμφωνα με την θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού κάθε τέτοιο πρόβλημα έχει τουλάχιστον δύο βέλτιστες λύσεις και οι λύσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθεί κάθε άλλη βέλτιστη λύση. Όταν ένα πρόβλημα έχει περισσότερες από μία βέλτιστές λύσεις, τουλάχιστον μία από τις μη βασικές έχει συντελεστή μηδέν στη γραμμή της αντικειμενικής, έτσι μπαίνοντας αυτή η μεταβλητή στη βάση δεν αλλάζει η τιμή του z. Οι άλλες βέλτιστες λύσεις μπορούν να βρεθούν κάνοντας επιπρόσθετες επαναλήψεις της μεθόδου Simplex, κάθε φορά επιλέγοντας σαν εισερχόμενη βασική μεταβλητή μία μη βασική μεταβλητή με συντελεστή μηδέν στην γραμμή της αντικειμενικής. Έστω ότι έχουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max z=2x 1 +4x 2 x 1 +2x 2 5 x 1 +x 2 4 x 1,x 2 0. Πρώτα μετατρέπουμε το πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή, οπότε γίνεται : max z=2x 1 +4x 2 x 1 +2x 2 +S 1 =5 x 1 +x 2 +S 2 =4 x 1,x 2,S 1,S

10 Πρώτος πίνακας Simplex: Δεύτερος πίνακας Simplex: βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 β S S z βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 β x 2 0 1/2 1 1/2 0 5/2 S 2 0 1/2 0-1/2 1 3/2 z Άρα η βέλτιστη λύση είναι: z=10, x 1 =0, x 2 =5/2, S 1 =0 και S 2 =3/2. Εδώ όμως παρατηρούμε ότι η μεταβλητή x 1 έχει συντελεστή μηδέν στην γραμμή της αντικειμενικής, άρα μπορεί να εισαχθεί στη βάση χωρίς να αλλάζει η τιμή του z, και επομένως να έχουμε μια δεύτερη βέλτιστη λύση. Τρίτος πίνακας Simplex: βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 β x x z Άρα έχουμε μια δεύτερη βέλτιστη λύση την : z=10, x 1 =3, x 2 =1, S 1 =0, S 2 =0. Παρατηρούμε στον τελευταίο πίνακα ότι η μη βασική μεταβλητή S 2 έχει συντελεστή μηδέν στη γραμμή της αντικειμενικής. Αυτό είναι αναπόφευκτο αφού η εισερχόμενη βασική μεταβλητή έχει συντελεστή μηδέν στην γραμμή της αντικειμενικής και άρα η γραμμή της αντικειμενικής παραμένει ίδια και έτσι κάθε εξερχόμενη μεταβλητή διατηρεί τον συντελεστή μηδέν στην γραμμή της αντικειμενικής. Η βέλτιστη λύση μας θα είναι ένας κυρτός γραμμικός συνδυασμός των δύο πιο πάνω λύσεων. Δηλαδή εάν u=(x 1,x 2 ) η πρώτη βέλτιστη λύση, δηλ. u=(0,5/2) και v=(x 1, x 2 ) η δεύτερη βέλτιστη λύση, δηλ. v=(3,1), τότε η βέλτιστη λύση θα είναι της μορφής: λu+(1-λ)v με λ [0,1] δηλαδή για λ=0 η βέλτιστη λύση είναι η v ενώ για λ=1 η βέλτιστη λύση είναι η u. Μη Φραγμένη Λύση Σε μερικά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού οι τιμές των μεταβλητών μπορούν να αυξάνονται χωρίς να παραβιάζουν τους περιορισμούς, τότε η περιοχή εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένη. 52

11 Έστω το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max z = 2x 1 + x 2 x 1 - x x 1 40 x 1, x 2 0 Πρώτος πίνακας Simplex: βασικές z x 1 x 2 S 1 S 2 β S S z Στον πρώτο πίνακα Simplex βλέπουμε ότι οι συντελεστές στους περιορισμούς της μεταβλητής x 2 είναι αρνητικοί ή μηδέν αυτό σημαίνει ότι η μεταβλητή x 2 μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα χωρίς να παραβιάζει τους περιορισμούς. Αφού για κάθε μονάδα που αυξάνει η x 2 το z αυξάνει κατά 1, τότε μια άπειρη αύξηση της x 2 προκαλεί μια απεριόριστη αύξηση του z. Έτσι χωρίς επιπλέον περιορισμούς συμπεραίνουμε ότι το πρόβλημά μας δεν έχει φραγμένη λύση. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να το δει κανείς στο παρακάτω σχήμα, όπου η περιοχή των εφικτών λύσεων είναι μη φραγμένη προς τη κατεύθυνση της x 2 και η τιμή του z μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα. x 2 z 1 z z 3 Μη φραγμένη περιοχή εφικτών λύσεων x 1 - x x 1 40 x 1 Γενικά εάν σε κάποιο πίνακα Simplex οι συντελεστές στους περιορισμούς μια μη βασικής μεταβλητής είναι μη θετικοί ( 0), τότε η περιοχή των εφικτών λύσεων είναι μη φραγμένη προς την κατεύθυνση της μεταβλητής. Επιπλέον, εάν ο αντίστοιχος συντελεστής στη γραμμή της αντικειμενικής είναι αρνητικός στην περίπτωση της μεγιστοποίησης ή θετικός στην περίπτωση της ελαχιστοποίησης τότε και το z είναι μη φραγμένο. 53

12 Μη Εφικτή Λύση Εάν σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού όλοι οι περιορισμοί δεν ικανοποιούνται ταυτόχρονα τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση και άρα λύση. Αυτό δεν συμβαίνει όταν όλοι οι περιορισμοί είναι αφού οι βοηθητικές πάντα ορίζουν μια εφικτή λύση. Στις άλλες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε τεχνητές για να εξασφαλίσουμε μια εφικτή λύση για το αρχικό μας πρόβλημα. Αλλά και σε αυτές τις περιπτώσεις για να υπάρχει εφικτή λύση πρέπει οι τεχνητές να μπορούν να γίνουν μηδέν. Έτσι εάν μια τουλάχιστον τεχνητή μεταβλητή δεν γίνεται μηδέν τότε δεν έχουμε εφικτή λύση και άρα λύση. Ένα παράδειγμα προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού που δεν έχει εφικτή λύση είναι το παρακάτω: max z = 3x 1-2x 2 x 1 + x 2 1 2x 1 + 2x 2 4 x 1, x 2 0 x x 1 + x x 1 + 2x 2 4 x 1 54

13 3.9 Μέθοδος των δύο φάσεων Μέχρι τώρα παρουσιάσαμε τη μέθοδο Simplex με την υπόθεση ότι το πρόβλημα είναι στην τυποποιημένη μορφή. Σ αυτήν την παράγραφο θα αναπτύξουμε προσαρμογές που χρειάζονται να γίνουν για άλλες μορφές του μοντέλου του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προσαρμογές γίνονται στο αρχικό βήμα και έτσι η μέθοδος Simplex εφαρμόζεται κανονικά από εκεί και πέρα, όπως ακριβώς έχει παρουσιασθεί σε προηγούμενες παραγράφους. Το μόνο πρόβλημα που βάζουν οι άλλες μορφές των λειτουργικών περιορισμών (=,, ή β i 0) είναι η εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης. Στην περίπτωση που οι λειτουργικοί περιορισμοί είναι και τα β i 0, η αρχική λύση βρίσκεται αρκετά εύκολα θεωρώντας τις βοηθητικές ως τις αρχικές βασικές Η συνηθισμένη προσέγγιση για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης, όταν αυτή δεν είναι προφανής, είναι η χρησιμοποίηση των τεχνητών μεταβλητών (artificial variables). Με την τεχνική αυτή κατασκευάζουμε ένα πιο κατάλληλο αναθεωρημένο πρόβλημα εισάγοντας σε κάθε περιορισμό που χρειάζεται μια τεχνητή μεταβλητή, προκειμένου να είναι η αρχική βασική μεταβλητή της εξίσωσης. Οι περιορισμοί της μη αρνητικότητας μπαίνουν και σε αυτές τις. Έστω ότι έχουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε τυποποιημένη μορφή με n και m εξισώσεις, αλλά χωρίς αρχική βασική εφικτή λύση. Πιο συγκεκριμένα έστω ότι χρειάζονται m τεχνητές για να δημιουργήσουμε μια αρχική βασική εφικτή λύση. Τότε το αρχικό σύστημα των περιορισμών: n j 1 α ij x j = β i, i = 1,..., m (α) x j 0, j = 1,..., n με την προσθήκη των m τεχνητών μεταβλητών R i, i = 1,..., m γράφεται ως: n j 1 α ij x j + R i = β i, i = 1,..., m (β) x j 0, R i 0,, j = 1,..., n, i =1,..., m. Το σύστημα των εξισώσεων (β) που ονομάζονται και περιορισμοί της φάσης Ι δεν είναι προφανώς ισοδύναμο με το σύστημα (α), Στην πρώτη φάση εφαρμόζουμε τη μέθοδο Simplex για να ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση r = R R m (β). Η r ονομάζεται και αντικειμενική συνάρτηση φάσης Ι. Από τα παραπάνω εύκολα προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: Αν ( ~ x 1,..., ~ x n ) ικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων (α) τότε το R 1 =0,..., R m =0) ικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων (β). Επειδή οι τεχνητές είναι μη αρνητικές και από το γεγονός ότι το άθροισμα μη αρνητικών αριθμών είναι μη αρνητικός αριθμός, έπεται ότι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κατά την διάρκεια της πρώτης φάσης είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Από το γεγονός ότι η r παίρνει μη αρνητικές τιμές στο σύνολο των εφικτών λύσεων της φάσης Ι, προκύπτει ότι κάθε εφικτή λύση της φάσης Ι που έχει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ίση με μηδέν πρέπει να είναι βέλτιστη. Επομένως αν το αρχικό πρόβλημα έχει μία εφικτή λύση η ελάχιστη τιμή της r στη φάση Ι είναι ίση με μηδέν. 55

14 Αντίστροφα αν η ελάχιστη τιμή της r στη φάση Ι είναι μηδέν τότε υπάρχει μια εφικτή λύση ( ~ x 1,..., ~ x n, ~ R 1,..., ~ R m ) η οποία μηδενίζει την τιμή της r. Από τον περιορισμό R i 0, i = 1,... m προκύπτει ότι το άθροισμα R R m = 0 ικανοποιείται μόνο όταν R i = 0, i = 1,..., m. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το αρχικό πρόβλημα έχει λύση αν και μόνο αν η ελάχιστη τιμή της r στην φάση Ι είναι μηδέν, δηλαδή αν οι τεχνητές έχουν στο τέλος της φάσης Ι την τιμή 0. Αυτό σημαίνει ότι αν η ελάχιστη τιμή της r στο τέλος της φάσης Ι είναι μεγαλύτερη από το μηδέν τότε το αρχικό πρόβλημα δεν έχει λύση. Στην περίπτωση όπου r = 0 στο τέλος της φάσης Ι μια βασική εφικτή λύση του αρχικού προβλήματος προκύπτει από τον τελικό πίνακα αν αφαιρέσουμε τις τεχνικές. Από το γεγονός ότι σε επόμενες επαναλήψεις η τιμή της r θα πρέπει να είναι μηδέν έπεται ότι καμιά μη βασική τεχνητή μεταβλητή δεν θα πρέπει να γίνει βασική κατά τη διάρκεια της φάσης ΙΙ. Αυτό σημαίνει ότι στο τέλος της φάσης Ι κάθε μη βασική τεχνητή μεταβλητή δεν θα πρέπει να γίνει βασική κατά τη διάρκεια της φάσης ΙΙ. Προκύπτει λοιπόν, ότι στο τέλος της φάσης Ι κάθε μη βασική τεχνητή μεταβλητή καθώς και αντίστοιχο διάνυσμα απαλείφονται από τον πίνακα Simplex. Επίσης, αφού η τιμή της r θα πρέπει να είναι μηδέν σε κάθε επόμενη επανάληψη, έπεται ότι η τιμή κάθε βασικής τεχνητής μεταβλητής θα πρέπει να είναι μηδέν κατά τη διάρκεια της φάσης ΙΙ. Δηλαδή τεχνητές που ήταν στη βάση με τιμή μηδέν στο τέλος της φάσης Ι παραμένουν με τιμή μηδέν κατά τη διάρκεια της φάσης ΙΙ έως ότου αντικατασταθούν από μη τεχνητές στη βάση. Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο των δύο φάσεων στο παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min z=-3x 1 +x 2 +x 3 x 1-2x 2 +x x 1 +x 2 +2x 3 3-2x 1 +x 3 =1 x 1,x 2,x 3 0. Πρώτα μετατρέπουμε το πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή, οπότε γίνεται : min z=-3x 1 +x 2 +x 3 x 1-2x 2 +x 3 +S 1 =11-4x 1 +x 2 +2x 3 -S 2 =3-2x 1 +x 3 =1 x 1,x 2,x 3,S 1,S 2 0 Εδώ όμως βλέπουμε ότι δεν υπάρχει αρχική βασική λύση, αφού δεν υπάρχει ο μοναδιαίος πίνακας 3x3. Γι αυτό θα εισάγουμε, κατά τη διάρκεια της φάσης Ι, δύο τεχνητές στον 2ο και 3ο περιορισμό αντίστοιχα, για να δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο πίνακα 3x3. 56

15 Φάση Ι. Εισάγουμε τις τεχνητές R 1 και R 2 στον 2ο και 3ο περιορισμό αντίστοιχα, οπότε έχουμε να λύσουμε το εξής πρόβλημα : min r=r 1 +R 2 x 1-2x 2 +x 3 +S 1 =11-4x 1 +x 2 +2x 3 -S 2 +R 1 =3-2x 1 +x 3 +R 2 =1 x 1,x 2,x 3,S 1,S 2,R 1,R 2 0 Επειδή οι R 1 και R 2 είναι στην αρχική βασική λύση θα τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση από μη βασικές με τη βοήθεια του 2ου και του 3ου περιορισμού. Αντικαθιστώντας η αντικειμενική μας συνάρτηση γίνεται : min r= (3+4x 1 -x 2-2x 3 +S 2 ) + (1+2x 1 -x 3 ) = 6x 1 -x 2-3x 3 +S Τότε ο πρώτος πίνακας Simplex της Φάσης Ι είναι : βασικές r x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 R 1 R 2 β S R R r Επειδή στην αντικειμενική συνάρτηση της φάσης Ι έχουμε min, ως εισερχόμενη μεταβλητή επιλέγουμε αυτή που έχει τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής. Δεύτερος πίνακας Simplex Φάσης Ι: Τρίτος πίνακας Simplex Φάσης Ι: βασικές r x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 R 1 R 2 β S R x r βασικές r x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 R 1 R 2 β S x x r

16 Επειδή r=0 και R 1,R 2 =0 μπορούμε να περάσουμε στην Φάση ΙΙ. Φάση ΙΙ. Από το τελευταίο ταμπλό της Φάσης Ι αν αφαιρέσουμε τις στήλες των τεχνητών μεταβλητών παίρνουμε τους εξής περιορισμούς : 3x 1 +S 1-2S 2 =12 x 2 -S 2 =1-2x 1 +x 3 =1 που είναι ισοδύναμοι με τους αντίστοιχους του αρχικού προβλήματος στην τυποποιημένη μορφή του. Άρα το αρχικό πρόβλημα γίνεται : min z=-3x 1 +x 2 +x 3 3x 1 +S 1-2S 2 =12 x 2 -S 2 =1-2x 1 +x 3 =1 x 1,x 2,x 3,S,S 2 0 Επειδή οι x 2 και x 3 είναι στην αρχική βασική λύση θα τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση από μη βασικές με τη βοήθεια του 2ου και του 3ου περιορισμού. Αντικαθιστώντας η αντικειμενική μας συνάρτηση γίνεται : Τότε ο πρώτος πίνακας της Φάσης ΙΙ είναι : min z=-3x 1 + (1+S 2 ) + (1+2x 1 ) = -x 1 +S 2 +2 βασικές z x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 β S x x z Επειδή στην αντικειμενική συνάρτηση της φάσης ΙΙ και άρα στην αντικειμενική συνάρτηση του αρχικού μας προβλήματος έχουμε min, ως εισερχόμενη μεταβλητή επιλέγουμε αυτή που έχει τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής. 58

17 Δεύτερος πίνακας Simplex Φάσης ΙΙ: βασικές z x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 β x /3-2/3 4 x x /3-4/3 9 z /3-1/3-2 Επειδή στην γραμμή της αντικειμενικής δεν υπάρχει κανένας θετικός συντελεστής δεν μπορούμε να επιλέξουμε νέα εισερχόμενη μεταβλητή στη βάση και άρα η βασική εφικτή λύση που έχουμε βρει είναι και η βέλτιστη. Επομένως η βέλτιστη λύση του παραπάνω προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι η εξής : x 1 =4, x 2 =1, x 3 =9, και z=-2. 59

18 3.10 Δυϊκότητα Μια από τις μεγαλύτερες επιτεύξεις στα πρώτα στάδια ανάπτυξης του γραμμικού προγραμματισμού ήταν η έννοια της δυϊκότητας (duality). Σύμφωνα με αυτή κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με ένα άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, που ονομάζεται δυϊκό (dual). Στη παράγραφο αυτή, αρχικά, θα δείξουμε πως προκύπτει το δυϊκό πρόβλημα από ένα αρχικό (primal) πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Στη συνέχεια θα λύσουμε το δυϊκό πρόβλημα και θα συγκρίνουμε τις λύσεις του με τις λύσεις του αρχικού προβλήματος. Έστω ότι έχουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού υπό μορφή πινάκων: με περιορισμούς όπου max z = C T X A X B X O C = (c 1, c 2,..., c n ) T X = (x 1, x 2,..., x n ) T A = (α ij ) mxn B = (β 1, β 2,..., β m ) T O = (0) nx1. Το δυϊκό πρόβλημα του παραπάνω αρχικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα έχει τόσες u 0, όσοι είναι και οι περιορισμοί του αρχικού και περιορισμούς όσες οι του αρχικού προβλήματος. Γενικά το δυϊκό πρόβλημα του παραπάνω αρχικού προβλήματος θα είναι το εξής: με περιορισμούς όπου min y = B T U A T U C U O C = (c 1, c 2,..., c n ) T U = (u 1, u 2,..., u m ) T A = (α ij ) mxn B = (β 1, β 2,..., β m ) T O = (0) mx1. Παρατηρούμε, με μια πρώτη, ότι το δυϊκό πρόβλημα είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης (ενώ το αρχικό πρόβλημα είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης), ενώ υπάρχει εναλλαγή ρόλων μεταξύ δευτέρου μέλους και συντελεστών αντικειμενικής συνάρτησης από το ένα πρόβλημα (αρχικό) στο άλλο (δυϊκό). Τώρα θα παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα δημιουργίας δυϊκού προβλήματος από ένα αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. 60

19 Έστω ότι έχουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 -x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1, x 2 0 Εφαρμόζοντας τον ορισμό του δυϊκού προβλήματος που είδαμε στην προηγούμενη σελίδα, το δυϊκό πρόβλημα του παραπάνω προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα είναι: min y = 6u 1 + 8u 2 + u 3 + 2u 4 u 1 + 2u 2 u 3 3 2u 1 + u 2 + u 3 + u 4 2 u 1, u 2, u 3, u 4 0. Ο ορισμός του δυϊκού προβλήματος που δόθηκε στην προηγούμενη σελίδα και εφαρμόσθηκε εδώ μπορεί να επεκταθεί εύκολα σε κάθε δυνατή μορφή προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού πέρα από τη τυποποιημένη. Αρκεί να παρατηρηθεί ότι μια ανισότητα της μορφής μπορεί να αλλάξει πρόσημο πολλαπλασιάζοντας επί 1 και μια ισότητα μπορεί να μετατραπεί σε δύο ανισότητες της μορφής και. Στην πρώτη περίπτωση, η δυϊκή μεταβλητή είναι αρνητική (u 0), ενώ στη δεύτερη πρέπει να οριστούν δύο, μία θετική και μία αρνητική, για τον ίδιο περιορισμό και συνεπώς η αντίστοιχη δυϊκή μεταβλητή δεν έχει περιορισμό ως προς το πρόσημο. Γενικά, στη δημιουργία ενός δυϊκού προβλήματος από ένα αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ισχύουν οι αμφίδρομες αντιστοιχίες του παρακάτω πίνακα. Αρχικό πρόβλημα Δυϊκό πρόβλημα πρόβλημα μεγιστοποίησης (max z) πρόβλημα ελαχιστοποίησης (min y) περιορισμός i της μορφής δυϊκή μεταβλητή u i 0 περιορισμός i της μορφής δυϊκή μεταβλητή u i 0 περιορισμός i της μορφής = δυϊκή μεταβλητή u i χωρίς περιορισμό προσήμου μεταβλητή x j 0 περιορισμός j της μορφής μεταβλητή x j 0 περιορισμός j της μορφής μεταβλητή x j χωρίς περιορισμό προσήμου περιορισμός j της μορφής = συντελεστής αντικειμενικής συνάρτησης σταθερά του β μέλους του περιορισμού σταθερά του β μέλους του περιορισμού συντελεστής αντικειμενικής συνάρτησης Σημείωση: Για πρόβλημα ελαχιστοποίησης (min z) ισχύουν ακριβώς τα αντίστροφα ως προς τις φορές των ανισοτήτων. 61

20 Για παράδειγμα αν έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: min z = 25x 1 + 2x 2 + 1,6x 3 + 6x x 5 0,1x 1 + 0,05x 3 + x 5 = 0,08 0,8x 1 + 0,05x 2 + 0,06x 3 + 0,3x 4 = 0,22 x 1, x 2 0 τότε η δημιουργία του αντίστοιχου δυϊκού προβλήματος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος συνίσταται στην απ ευθείας εφαρμογή των αντιστοιχιών του προηγούμενου πίνακα. Δηλαδή, ορίζουμε δύο δυϊκές u 1 και u 2, μία για κάθε περιορισμό, οι οποίες είναι ελεύθερες ως προς το πρόσημο, αφού αντιστοιχούν και οι δύο σε ισότητες. Σ αυτή την περίπτωση το αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα θα είναι το εξής: max y = 0,08u 1 + 0,22u 2 0,1u 1 + 0,8u ,05u 2 2 0,05u 1 + 0,06u 2 1,6 0,3u 2 6 u 1 12 Ο δεύτερος τρόπος, ενίοτε πιο πρακτικός από πλευράς επίλυσης με τη μέθοδο simplex, συνίσταται στη μετατροπή των ισοτήτων του αρχικού προβλήματος σε ανισότητες. Η πρώτη ισότητα γράφεται ισοδύναμα ως εξής: 0,1x 1 + 0,05x 3 + x 5 0,08 0,1x 1 + 0,05x 3 + x 5 0,08 0,1x 1 + 0,05x 3 + x 5 0,08-0,1x 1-0,05x 3 - x 5-0,08 ενώ η δεύτερη ισότητα γράφεται ως εξής: 0,8x 1 + 0,05x 2 + 0,06x 3 + 0,3x 4 0,22 0,8x 1 + 0,05x 2 + 0,06x 3 + 0,3x 4 0,22 0,8x 1 + 0,05x 2 + 0,06x 3 + 0,3x 4 0,22-0,8x 1-0,05x 2-0,06x 3-0,3x 4-0,22 Σ αυτή τη περίπτωση το δυϊκό πρόβλημα θα είναι το εξής: max y = 0,08u 1 0,08u 2 + 0,22u 3 0,22u 4 0,1u 1 0,1u 2 + 0,8u 3 0,8u ,05u 3-0,05u 4 2 0,05u 1-0,05u 2 + 0,06u 3 0,06u 4 1,6 0,3u 3 0,3u 4 6 u 1 u 1 12 u 1, u 2, u 3, u 4 0. Στη συνέχεια θα λύσουμε το πρώτο δυϊκό πρόβλημα (σελ. 61) που δημιουργήσαμε και θα συγκρίνουμε τις λύσεις του με τις αντίστοιχες λύσεις του αρχικού του προβλήματος. 62

21 Αρχικά μετατρέπουμε το δυϊκό πρόβλημα σε τυποποιημένη μορφή εισάγοντας βοηθητικές, οπότε αυτό γίνεται : min y = 6u 1 + 8u 2 + u 3 + 2u 4 u 1 + 2u 2 u 3 S 1 = 3 2u 1 + u 2 + u 3 + u 4 S 2 = 2 u 1, u 2, u 3, u 4, S 1, S 2 0. Εδώ όμως βλέπουμε ότι δεν υπάρχει αρχική βασική λύση, αφού δεν υπάρχει ο μοναδιαίος πίνακας 2x2, γι αυτό θα επιλύσουμε το πρόβλημα με τη μέθοδο των δύο φάσεων. Κατά τη διάρκεια της φάσης Ι, μία τεχνητή μεταβλητή στον 1ο περιορισμό, για να δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο πίνακα 2x2. Φάση Ι Εισάγουμε τη τεχνητή μεταβλητή R 1 στον 2ο περιορισμό, οπότε έχουμε να λύσουμε το εξής πρόβλημα : min r = R 1 u 1 + 2u 2 u 3 S 1 + R 1 = 3 2u 1 + u 2 + u 3 + u 4 S 2 = 2 u 1, u 2, u 3, u 4, S 1, S 2, R 1 0. Επειδή η R 1 είναι στην αρχική βασική λύση θα τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση από μη βασικές με τη βοήθεια του 1ου περιορισμού. Αντικαθιστώντας η αντικειμενική μας συνάρτηση γίνεται : min r= 3 u 1 2u 2 + u 3 + S 1 Τότε ο πρώτος πίνακας Simplex της Φάσης Ι είναι : βασικές r u 1 u 2 u 3 u 4 S 1 S 2 R 1 β R u r Επειδή στην αντικειμενική συνάρτηση της φάσης Ι έχουμε min, ως εισερχόμενη μεταβλητή επιλέγουμε αυτή που έχει τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής. Δεύτερος πίνακας Simplex Φάσης Ι: βασικές r u 1 u 2 u 3 u 4 S 1 S 2 R 1 β u 2 0 1/2 1-1/2 0-1/2 0 1/2 3/2 u 4 0 3/2 0 3/2 1 1/2-1 -1/2 ½ r

22 Επειδή r=0 και R 1 =0 μπορούμε να περάσουμε στην Φάση ΙΙ. Φάση ΙΙ Από το τελευταίο ταμπλό της Φάσης Ι αν αφαιρέσουμε τη στήλη της τεχνητής μεταβλητής παίρνουμε τους εξής περιορισμούς : 1/2u 1 + u 2 1/2u 3 1/2S 1 = 3/2 3/2u 1 + 3/2u 3 + u 4 + 1/2S 1 S 2 = ½ που είναι ισοδύναμοι με τους αντίστοιχους του δυϊκού προβλήματος στην τυποποιημένη μορφή του. Άρα το δυϊκό πρόβλημα γίνεται : min y = 6u 1 + 8u 2 + u 3 + 2u 4 1/2u 1 + u 2 1/2u 3 1/2S 1 = 3/2 3/2u 1 + 3/2u 3 + u 4 + 1/2S 1 S 2 = ½ u 1, u 2, u 3, u 4, S 1, S 2 0. Επειδή οι u 2 και u 4 είναι στην αρχική βασική λύση θα τις αντικαταστήσουμε στην αντικειμενική συνάρτηση από μη βασικές με τη βοήθεια του 1ου και του 2ου περιορισμού. Αντικαθιστώντας η αντικειμενική μας συνάρτηση γίνεται : Τότε ο πρώτος πίνακας της Φάσης ΙΙ είναι : min y = 13 u 1 + 2u 3 + 3S 1 + 2S 2 βασικές y u 1 u 2 u 3 u 4 S 1 S 2 β u 2 0 1/2 1-1/2 0-1/2 0 3/2 u 4 0 3/2 0 3/2 1 1/2-1 1/2 y Επειδή στην αντικειμενική συνάρτηση της φάσης ΙΙ έχουμε min, ως εισερχόμενη μεταβλητή επιλέγουμε αυτή που έχει τον μεγαλύτερο θετικό συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής. Δεύτερος πίνακας Simplex Φάσης ΙΙ: βασικές y u 1 u 2 u 3 u 4 S 1 S 2 β u /3-2/3 1/3 4/3 u /3 1/3-2/3 1/3 y /3-10/3-4/3 38/3 Επειδή στην γραμμή της αντικειμενικής δεν υπάρχει κανένας θετικός συντελεστής δεν μπορούμε να επιλέξουμε νέα εισερχόμενη μεταβλητή στη βάση και άρα η βασική εφικτή λύση που έχουμε βρει είναι και η βέλτιστη. 64

23 Επομένως η βέλτιστη λύση του παραπάνω δυϊκού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι η εξής : u 1 = 1/3, u 2 = 4/3, u 3 = 0, u 4 = 0, y = 38/3. Τέλος συγκρίνοντας τον τελευταίο πίνακα (σελ. 64) που δίνει τη λύση στο δυϊκό πρόβλημα με τον πίνακα (σελ. 41) που δίνει τη λύση στο αρχικό πρόβλημα, μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: 1. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και στους δύο πίνακες είναι ίδια (z = y = 38/3). 2. Οι μη μηδενικοί συντελεστές στην γραμμή της αντικειμενικής στον πίνακα του αρχικού προβλήματος εμφανίζονται στη στήλη των σταθερών όρων στον πίνακα του δυϊκού προβλήματος. 3. Οι τιμές στη στήλη των σταθερών όρων στον πίνακα του αρχικού προβλήματος εμφανίζονται με αντίθετο πρόσημο στην γραμμή της αντικειμενικής στον πίνακα του δυϊκού προβλήματος 65

24 3.11 Ανάλυση Ευαισθησίας Η δουλειά του ερευνητή επιχειρησιακής έρευνας δεν τελειώνει με την εύρεση της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος. Όπως αναφέραμε στην παράγραφο 3.3 μια από τις υποθέσεις του γραμμικού προγραμματισμού είναι ότι όλοι οι παράμετροι του μοντέλου (τα α ij, β i και c j ) είναι γνωστές σταθερές. Στην πραγματικότητα όμως, οι τιμές των παραμέτρων είναι συνήθως εκτιμήσεις βασισμένες σε προβλέψεις μελλοντικών συνθηκών. Οι παράμετροι του μοντέλου που προέρχονται από αυτές οι εκτιμήσεις μπορεί για διάφορους λόγους να έχουν κάποιο βαθμό αβεβαιότητας. Γι αυτό το λόγο ο ερευνητής της επιχειρησιακής έρευνας διατηρεί κάποιο βαθμό σκεπτικισμού για τα αποτελέσματα που βγαίνουν από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή και πολλές φορές τα θεωρεί ως το σημείο αναφοράς για μια παραπέρα ανάλυση του προβλήματος. Μια βέλτιστη λύση είναι βέλτιστη μόνο σε σχέση με το μοντέλο που χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει το πραγματικό πρόβλημα. Μια τέτοια λύση γίνεται αξιόπιστος οδηγός για τη λήψη των αποφάσεων μόνο εφόσον έχει επαληθευτεί ότι αποδίδει καλά και σε άλλες λογικές αναπαραστάσεις του προβλήματος. Για τους παραπάνω λόγους είναι σπουδαίο να γίνει η ανάλυση ευαισθησίας για να διερευνηθεί η επίδραση που θα έχουν στην βέλτιστη λύση αλλαγές των τιμών των παραμέτρων. Με την ανάλυση ευαισθησίας υπολογίζεται το κατώτατο και το ανώτερο όριο του διαστήματος στο οποίο μπορεί να παίρνει τιμές μια σταθερά ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (είτε αυτή είναι συντελεστής αντικειμενικής, είτε δεξιό μέλος περιορισμών) χωρίς να μεταβάλλεται η βέλτιστη λύση. Σύμφωνα με τη θεωρία της μεθόδου Simplex κάθε αλλαγή στις παραμέτρους του μοντέλου ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού αντιστοιχεί σε αλλαγή των τιμών στον τελευταίο πίνακα της Simplex. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα στην ανάλυση ευαισθησίας να μην χρειάζεται να εφαρμοστεί πάλι η μέθοδος Simplex για να διερευνηθεί κάθε νέα αλλαγή σε μια τιμή μιας παραμέτρου αλλά δουλεύουμε μόνο με τον τελευταίο πίνακα Simplex ο οποίος δίνει την βέλτιστη λύση. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις ανάλυσης ευαισθησίας που αναφέρονται σε μεταβολές των δεξιών μελών των περιορισμών και των συντελεστών της αντικειμενικής Μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών Σ' αυτή την παράγραφο θα καθορίσουμε το πεδίο μεταβολής των τιμών των δεξιών μελών των περιορισμών που αντιστοιχούν σε δυϊκές τιμές διάφορες του μηδενός. Οι λύσεις ενός δυϊκού προβλήματος είναι οι τιμές των βοηθητικών μεταβλητών στην γραμμή της αντικειμενικής του τελευταίου πίνακα του αντίστοιχου αρχικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Επομένως εδώ εμείς θα μελετήσουμε την μεταβολή των δεξιών μελών των περιορισμών που οι αντίστοιχες βοηθητικές στο τελικό πίνακα Simplex έχουν στην γραμμή της αντικειμενικής τιμή διάφορη του μηδενός, δηλαδή είναι μη βασικές στην βέλτιστη λύση του προβλήματος. 66

25 Έστω ότι έχουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 -x 1 + x x 2 2 x 1, x 2 0. Ο τελευταίος πίνακας της μεθόδου Simplex ο οποίος μας δίνει τη βέλτιστη λύση είναι ο ακόλουθος : βασικές x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 b x /3-1/ /3 x /3 2/ /3 s s /3 1/ /3 z 0 0 1/3 4/ /3 Άρα η λύση του αντίστοιχου δυϊκού προβλήματος είναι: y 1 =1/3, y 2 =4/3, y 3 =0, y 4 =0. Εμείς τώρα θα προσπαθήσουμε να βρούμε το πεδίο μεταβολής του δεξιού μέλους του 1ου περιορισμού, έτσι ώστε να μην μεταβάλλεται η βέλτιστη λύση. Προσθέτουμε μια σταθερά d 1 στο δεξιό μέλος του πρώτου περιορισμού. Η σταθερά αυτή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Τώρα στους πίνακες της μεθόδου Simplex η στήλη των δεξιών μελών θα έχει την εξής μορφή: Εξισώσεις Πίνακας 1 Πίνακας 2 Πίνακας 3 (τελικός) 1 6+d 1 2+d 1 4/3+2/3d /3-1/3d d /3-2/3d 1 z /3+1/3d 1 Άρα οι λύσεις του νέου προβλήματος είναι: x 2 =4/3+2/3d 1 x 1 =10/3-1/3d 1 s 3 =3-d 1 s 4 =2/3-2/3d 1 z=38/3+1/3d 1 67

26 Από τους περιορισμούς μη αρνητικότητας έχουμε : x 2 =4/3+2/3d 1 0 (1) x 1 =10/3-1/3d 1 0 (2) s 3 =3-d 1 0 (3) s 4 =2/3-2/3d 1 0. (4) Για να καθορίσουμε το πεδίο μεταβολής της d 1 εργαζόμαστε ως εξής : Περίπτωση 1: d 1 0. Η (1) ισχύει πάντα. Από την ικανοποίηση των (2), (3) και (4) έχουμε d 1 10, d 1 3, d 1 1. Επομένως οι σχέσεις (2), (3) και (4) ικανοποιούνται για d 1 1. Περίπτωση 2: d 2 0. Οι (2), (3) και (4) ισχύουν πάντα.. Από την ικανοποίηση της (1) έχουμε d 1-2. Από τις περιπτώσεις 1 και 2 έχουμε ότι το πεδίο μεταβολής της d 1 είναι : -2 d 1 1. Επομένως η λύση του δυϊκού προβλήματος y 1 =1/3 (άρα και ο συντελεστής 1/3 της μεταβλητής s 1 στην γραμμή της αντικειμενικής του τελευταίου πίνακα) παραμένει σταθερός όταν το δεξιό μέλος του περιορισμού μεταβάλλεται μεταξύ 6-2=4 και 6+1= Μεταβολή των συντελεστών της αντικειμενικής Στην περίπτωση αυτή δεν αλλάζουν οι τιμές της βέλτιστης λύσης, αλλάζει όμως η τιμή του z. Δηλαδή επηρεάζεται μόνο η τιμή της αντικειμενικής στον τελικό πίνακα της μεθόδου Simplex (ο οποίος δίνει και τη βέλτιστη λύση). Βασικές Όποιες αλλαγές γίνουν στους αρχικούς συντελεστές των βέλτιστων βασικών μεταβλητών στην αντικειμενική θα επηρεάσουν τους συντελεστές των μη βασικών μεταβλητών στην γραμμή της αντικειμενικής και άρα την βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής. Έστω ότι στο παραπάνω παράδειγμα προσθέτω μια σταθερά d 1 στον συντελεστή στην αντικειμενική της μεταβλητής x 1. Η σταθερά αυτή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Τώρα η αντικειμενική θα γίνει : z = (3+d 1 )x 1 + 2x 2, ενώ ο τελευταίος πίνακας της μεθόδου Simplex που δίνει την βέλτιστη λύση θα έχει την μορφή: 68

27 βασικές x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 β x /3-1/ /3 x /3 2/ /3 s s /3 1/ /3 z 0 0 1/3-1/3d 1 4/3+2/3d /3+10/3d 1 Οι μόνες αλλαγές που έχουν γίνει σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι στους συντελεστές των s 1 και s 2 (μη βασικές ). Αυτές οι αλλαγές υπολογίζονται εάν πολλαπλασιαστούν οι μη βασικοί συντελεστές της x 1 επί d 1 και προστεθούν στους αντίστοιχους συντελεστές της αντικειμενικής. Για να διατηρηθεί η βέλτιστη λύση πρέπει 1/3-1/3d 1 0 και 4/3+2/3d 1 0. Δηλαδή d 1 1 και d 1-2. Άρα το πεδίο μεταβολής της d 1 θα είναι: -2 d 1 1. Επομένως για να μην μεταβληθεί η βέλτιστη λύση πρέπει ο συντελεστής στην αντικειμενική της μεταβλητής x 1 να μεταβάλλεται μεταξύ 3-2=1 και 3+1=4. Το z όμως αλλάζει ανάλογα με το d 1. Μη βασικές Έστω ότι έχουμε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού max z = 5x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 -x 1 + x x 2 2 x 1, x 2 0. Ο τελευταίος πίνακας της μεθόδου Simplex ο οποίος μας δίνει τη βέλτιστη λύση είναι ο ακόλουθος : βασικές x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 β s 1 0 3/2 1-1/ x 1 1 1/2 0 1/ s 3 0 3/2 0 1/ s z 0 1/2 0 5/ Εδώ παρατηρούμε ότι η x 2 δεν είναι βασική. 69

28 Έστω ότι θέλουμε να αλλάξουμε τον συντελεστή στην αντικειμενική της μεταβλητής x 2 προσθέτοντας σ αυτόν μια σταθερά d 2, και θέλουμε να υπολογίσουμε το πεδίο της d 2 για το οποίο η συγκεκριμένη βέλτιστη λύση παραμένει ίδια. Σ αυτή την περίπτωση κάθε αλλαγή στον συντελεστή στην αντικειμενική μιας μη βασικής μεταβλητής επηρεάζει μόνο τον συντελεστή της μη βασικής μεταβλητής στην γραμμή αντικειμενικής στον τελευταίο πίνακα που δίνει τη βέλτιστη λύση, δηλαδή από 1/2 θα γίνει 1/2-d 2. Γενικά η αλλαγή d 2 στην αρχική αντικειμενική ενός συντελεστή μιας μη βασικής μεταβλητής καταλήγει σε μείωση του αντίστοιχου συντελεστή στην γραμμή της αντικειμενικής στον τελευταίο πίνακα που δίνει τη βέλτιστη λύση κατά d 2. Ο συγκεκριμένος τελευταίος πίνακας θα δίνει πάλι την βέλτιστη λύση εάν 1/2-d 2 0 d 2 1/2. Επομένως για να μην μεταβληθεί η βέλτιστη λύση πρέπει ο συντελεστής στην αντικειμενική της μεταβλητής x 2 να είναι μικρότερος από 1/2+2=5/2. Εάν τώρα το d 2 πάρει τιμές μεγαλύτερες από 1/2 τότε η x 2 γίνεται «κερδοφόρα» διότι ο συντελεστής της στην αντικειμενική γίνεται αρνητικός (περίπτωση max). Χωρίς αλλαγές όμως για κάθε μονάδα της x 2 που παρασκευάζεται χάνονται 1/2 μονάδες από τη βέλτιστη τιμή του z. Οι συντελεστές στην γραμμή της αντικειμενικής των μη βασικών μεταβλητών ονομάζονται γι αυτό το λόγο reduced costs. 70

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 69 2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να λαμβάνει υπόψη το δυναμικό περιβάλλον των συνεχών αλλαγών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΜΠΣ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός Διπλωματική εργασία της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα