ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις

Transcript

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ.. Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις. α III, β IV, γ I, δ II. α Γ, β Α, γ Β, δ Γ. α IV, β I, γ III, δ II Ερωτήσεις Κατανόησης ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) Έστω x ο αριθμός. Η ζητούμενη παράσταση είναι x+. β) Έστω x, y οι δύο αριθμοί. Η παράσταση είναι 9(x+y) γ) Έστω x m το μήκος του. Τότε το πλάτος του είναι x m και η περίμετρός του είναι x+(x ) m. α) Έστω ότι το κιλό πατάτες κοστίζει x. Τότε για τα κιλά θα πληρώσουμε x. β) Έστω x η αναγραφόμενη τιμή του προϊόντος. Τότε η τελική του τιμή είναι: 9 x+ x x+ 09, x 9, x 00. α) 7x, β) α, γ)7y, δ)ω, ε) x+, στ) β. α) x y+x+yx+x y+yx y β) ω ω+α+ω+αω ω+ω+α+α7ω+α γ) x+y x yx x+y y x y δ) 8x+ω+ω+x x 8x+x x+ω+ω 7x+ω. α) A(x+y) (x+y)x+y x y x+y +( ) 8 9 β) Β(α β)+(β α)0α β+β α7α β7( ). α) Α(α β)+(α+β)α β+α+βα 0,00, β) B( x+)+( y x+) y y x y x y y x+9 y9( x+)9 y 9 7. α) Ο αριθμός B υ για τον Γιώργο είναι: B , 08 υ 7, 0, algevra_teliko.indd //008 :7: πµ

3 Επειδή το 8,08 βρίσκεται στο διάστημα 9,9 ο Γιώργος κατατάσσεται στον πρώτο βαθμό παχυσαρκίας. β) Ο αριθμός B υ για την Αλέκα είναι: B, 7. Επειδή ο αριθμός,7 υ, 0, είναι μεγαλύτερος από 0, η Αλέκα κατατάσσεται στον τρίτο βαθμό παχυσαρκίας... Εξισώσεις α βαθμού Ερωτήσεις κατανόησης. α) 0 β) 7 γ) δ) ε) 9 στ) 7. α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ. α) III β) IV γ) δ) II ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) Για να είναι το x 7 λύση της εξίσωσης x+ πρέπει ( 7)+ ή + ή 7 αδύνατο β) Επειδή 0,+7,,+7,,7, αδύνατο το x0, δεν είναι λύση της εξίσωσης x+7, γ) Επειδή +7 ή που ισχύει το x είναι λύση της εξίσωσης x+7x. α) x++x ή x x ή x β) 9+ 7y + y y γ) t (+) t t+( t+)+ 7y + y + y + 9 t t t+ t+ + 0y 0 t+ t 0 y 0 t t. α) ( x+ ) ( x ) ( x + ) 8x+ x+ x + 8x x x x x β) ( y + ) + ( y ) y ( y ) y + + y 8 y y + y + y + 8 y y algevra_teliko.indd //008 :7: πµ

4 γ) ( ω+ ) + ( ω ) ω+ ω+ 8 ω+ ω 8 8ω ω 8. α) x+ x x+ x ( x+ ) x x+ x x x x β) 7 x x+ 7 ( x ) ( x+ ) 8x x+ 8x x + x 0 x 0 γ) ( x ) x x x ( x ) x x 8 x x + x + 8 7x 9 9 x 7. α) x+ x x x+ x x ( x+ ) ( x ) x 0 x+ x+ 0 x 0 x x+ x 0 0 x β) y y + 7 y y + y y + y 7 y + ( y ) ( y + 7) y + ( y) y y 7 y + 9y y + 9y y y γ) ω ( ω+ ) 7 ( ω) ω ( ω+ ) ( ω) ( ω+ ) 9 ( ω) + 7( ω ) 7ω ω+ 7ω ω ω ω algevra_teliko.indd //008 :7: πµ

5 . α) x x x x x x + + x x x + 8 x x x + 8 9x x+ x 9x x+ x 8x 9 9 x 8 7. α) + x + + x + + x ( + x) ( + x) + x x x x t + + t β) + t + t t + + t t t + + t+ + t t + t + 0 ( t + ) ( + t) 7 t+ t + 0 t t 7 t + t + t t + t t t t β) t t + t t + t t ( t ) ( t) t t ( t ) ( t) t 0 t t+ t 0+ t t 7 algevra_teliko.indd //008 :7: πµ

6 8. α) A B x x x+ x + 7x x 7 β) A B x ( x ) + + ( x ) + + x x x x x + 9 0x 9 0x x 9, 9. α) Για μ η εξίσωση γίνεται: β) Για x7 η εξίσωση γίνεται: ( x+ ) ( ) x+ µ ( 7+ ) ( µ ) 7+ x+ x+ µ µ 7+ x+ 0 x+ µ µ 7+ + x x 0 µ x 8 µ x 8 γ) Για μ η εξίσωση γίνειται: ( x+ ) ( ) x+ x+ x+ αδύνατη 0. α) Πρέπει ΑΒΑΓ ή x+x+ ή x+x άρα x Τότε ΑΒ +7, ΑΓ+7 και ΒΓ + β) Πρέπει ΑΓΒΓ ή x+x+ ή x x ή x ή x. Τότε ΑΒ +, ΑΓ+9 και ΒΓ9. γ) Πρέπει ΑΒΒΓ ή x + x + ή αδύνατη. Πρέπει x, y + y x y + y x + y + y x y x y ο και ω 0 90 ο ω 0 90 ο ω ω 0 0 ω ο ω ο ο ο ο ο 7 algevra_teliko.indd 7 //008 :7: πµ

7 .. Επίλυση τύπων Ερωτήσεις Κατανόησης Γ, Β, Γ, Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ. L πρ ή L πρ ή ρ L π π π. Ρ x+ y ή P x y ή y P x. E πρυ ή Ε πρυ ή ρ Ε πυ πυ πυ x. αx+ βy + γ 0 ή βy αx γ ή y α γ β. Ε ( xy + yω+ xω ) ή E xy ω( y + x) E xy y x + ω+ ω ή E xy ( y + x)ω ή E xy ή ω E xy y + x ( y + x) s. u ή u t s ή u t s s ή t t u u u ( β+ Β) υ 7. Ε β υ Ε Β υ υ υ ή Ε β υ+ Β υ ή Ε Β υ β υ ή άρα Ε Β υ β υ α 8. S λ ή S ( λ) α ή S S λ α ή S α Sλ ή S α Sλ α άρα λ S S S S 9. Ρ Ρ0 + εh ή Ρ Ρ0 εh ή ε h ε ε Ρ Ρ 0 ε Ρ Ρ 0 ή h 0. Q m c θ ή Q m c θ mθ m θ ή c Q m θ 8 algevra_teliko.indd 8 //008 :7:7 πµ

8 . F K q q c ή F r r K q q c ή F r Kc q q r r ή F r Kc q Kc q q Kc q ή q F r Kc q. s u0 t+ gt ή s s gt gt u0 t ή u0 t ή u t 0 t s gt t ή u 0 s gt t. α) θ V V0 + 7, θ V0 + V 7, V V 0 V θ + V 7, 0 θ V 0 V 7, V θ V0 V 7, V 7, ( V0 V) θ V β) 7, 0 ( ) θ ή 7, 7, θ ή θ, Η ζητούμενη θερμοκρασία είναι, ο C. α) για h0 είναι D0, 0+ Οπότε σ έναν παραθαλάσσιο τόπο χιονίζει ημέρες. β) D0, h+ ή D 0, h ή D 0, h 0, 0, D ή h 0, 80 9 Για D 80 είναι h 090, m 0, 0, 0 9 Για D 0 είναι h, m 0, 0,.. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Ερωτήσεις Κατανόησης. Δ. Β 9 algevra_teliko.indd 9 //008 :7:9 πµ

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω x o μία οξεία γωνία. Τότε η άλλη είναι x o. Ισχύει: x+ x x x x 0 0 Άρα οι δύο οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου είναι 0 o και 0 o.. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: x+(x 7)x+x x Η περίμετρος του τριγώνου είναι: x. Πρέπει x x x x x Τότε το ορθογώνιο έχει μήκος και πλάτος 77.. Έστω ότι x χρόνια μετά, η ηλικία του πατέρα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου. Τότε, ο πατέρας είναι +x ετών και ο γιος 8+x ετών. Ισχύει: +x(8+x) +x+x x x x 0 x0. Έστω x το αρχικό ποσό. Τότε ο πρώτος πήρε το x, ο δεύτερος το x και ο τρίτος το x Ισχύει: x+ x+ x+ 00 x x+ x+ x+ 00 x x+ x+ x+00 x x 00 x 00. Το αρχικό ποσό ήταν 00, από τα οποία, ο πρώτος πήρε 00 00, ο δεύτερος πήρε και ο τρίτος algevra_teliko.indd 0 //008 :8:00 πµ

10 . Έστω ότι το ρεζερβουάρ του ου αυτοκινήτου περιέχει x λίτρα βενζίνης. Τότε το ρεζερβουάρ του ου, περιέχει x λίτρα βενζίνης. Είναι x x 7 x x 7+ x7 Το δεύτερο αυτοκίνητο περιέχει 7 λίτρα και το πρώτο λίτρα βενζίνης.. Έστω x τα λεωφορεία των 8 ατόμων. Τότε τα λεωφορεία των ατόμων είναι x. Τα x λεωφορεία των 8 ατόμων μεταφέρουν 8x άτομα και τα x λεωφορεία των ατόμων μεταφέρουν ( x) άτομα. Είναι: 8x+ ( x) 8x+ 8 x 8x x 8 x x 7 Τα λεωφορεία των 8 ατόμων είναι 7 και των ατόμων είναι. 7. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι E 8 9m. Έστω ότι η μικρή διάσταση αυξάνεται κατά x m. Τότε η μεγάλη διάσταση είναι m+ m m και το εμβαδόν του είναι: 8 ( + xm ). Πρέπει: ( 8+ x) 9 8+ x 9 x 9 8 x x m 8. Έστω ότι ο Σάκης αμείβεται με x την ώρα. Τότε ο Πέτρος αμείβεται με x+. Όταν ο Πέτρος εργάζεται 7 ώρες αμείβεται με 7(x+) και ο Σάκης για τις ώρες αμείβεται με x. Επειδή ο Σάκης κερδίζει λιγότερα από τον Πέτρο, έχουμε: x 7( x+ ) x 7x+ x 7x x x Οπότε ο Σάκης αμείβεται με την ώρα και ο Πέτρος με 8 την ώρα. 9. Έστω x όλα τα στυλό. Επειδή όλα εκτός από είναι μπλε, τα μπλε στυλό είναι x. Όμοια τα κόκκινα είναι x και τα μαύρα x. algevra_teliko.indd //008 :8:00 πµ

11 Επειδή όλα τα στυλό είναι x, έχουμε: x + x + x x Έχω στυλό. x+ x+ x x + + x x 0. α) Επειδή ο αγώνας ποδηλασίας γίνεται σε τετραπλάσια απόσταση απ αυτήν του αγώνα δρόμου, η απόσταση στον αγώνα ποδηλασίας είναι x Km. Επειδή ο αγώνας δρόμου γίνεται σε απόσταση που είναι κατά 8,Km μεγαλύτερη από την απόσταση στον αγώνα κολύμβησης, η απόσταση στον αγώνα κολύμβησης είναι x 8,Km. β) Ισχύει x 8, + x+ x, x, + 8, x 0 0 x 0Km Ο αθλητής στην κολύμβηση διάνυσε 0 8,,Km, στην ποδηλασία διάνυσε 00Km και στον αγώνα δρόμου 0Km... Ανισώσεις α βαθμού Ερωτήσεις Κατανόησης. α) x + < β) x < γ) x > δ) x ε) x στ) x < ζ) x > η) x. α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ, στ) Λ, ζ) Σ, η) Λ, θ) Λ. algevra_teliko.indd //008 :8:0 πµ

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) 8x+ + x 8x x x x β) x + > x > x > γ) ( x) > x + x > x x x > 0 x > 0 x < 0 δ) 7x+ x 7x+ x x x. α) ( ω ) > ω ω > ω ω ω> + ω > ω > β) x+ ( x ) x x+ x+ x x x+ x x 0 x 0 γ) y ( y + ) < ( y + ) + y y < y + + y y y < y < 8 ισχύει για κάθε y. δ) ( t + ) < t t+ 0< t t t < 0 t < t t < < 8 algevra_teliko.indd //008 :8:0 πµ

13 . α) x x > x x > ( x ) ( x) > 9x 8+ x > 9x+ x > x > x x > > x β) ( x+ ) ( x+ ) > x ( x+ ) ( x+ ) > x+ x > x x x x > 0x > ισχύει για κάθε x. x x γ) x > 0 x+ x+ x + + > 0 x+ 8+ ( x+ ) ( x + ) > 0 x+ 8+ x+ x > 0 x+ x x > 8 + 7x > x > 7 δ) x+ x+ x > x+ x+ x > x+ x+ x > ( x+ ) + ( x+ ) ( x + 7) > x+ + x+ x > x > + x > x > ε) ω ω ω ω < ω ω ω ω < ω ( ω ) < ( ω ) (ω ) ω ω+ < ω ω+ ω ω ω+ ω < + ω < t t t στ) t > t+ t t 8 t + 8 > t+ 7( t+ )> ( t ) + 7t 8t+ 7t+ 7> 8t + 7t 8t+ 7t 8t 7t > 7 0t > ισχύει για κάθε t. algevra_teliko.indd //008 :8:0 πµ

14 . α) x < x < + x < και x < x < x < x > β) ( x+ ) + x > x x+ + x > x x+ x+ x > x > x > και 7x 8> ( x+ ) + 7 7x 8> x x x > x > x > άρα < x < άρα x > γ) x > ( x) + 7 και ( x) x > x+ 7 x+ x > + 7+ x > 0 x x x 0 x > x Οι ανισώσεις δεν έχουν κοινές λύσεις. δ) y > ( y + ) y > ( y + ) y 7 > y + y y > + 7 y > y > και y < y y < y 7 y < y + 0 y y < 0+ 7y < 0 0 y > 7 άρα y > 79 algevra_teliko.indd //008 :8:0 πµ

15 ε) x < 7 x < 7+ x < 8 8 x < και ( x ) > x > x > + x > x > και x ( x ) x x x x x x άρα < x στ) x x+ > x x+ > ( x ) > ( x+ ) 9x > x+ 9x x > + x > x > και ( x ) + x > ( x + ) x + x > x 0 x+ x+ x > 0 + 9x > 9 9 x > 9 και + x < ( x ) + x < x x x < x < 9 x > 9 άρα x > 9. α) 7< x + 9 β) < x < 7< x + 7 < x x > 8 και x + 9 x 9 x 8 < x x < + x < και x < x < x < > 8 8 x x 9 x < x > άρα < x 9 άρα < x < algevra_teliko.indd //008 :8:07 πµ

16 γ) x + 8 x + και x + 8 x + x 8 x x 7 x 7 x x άρα 7 x. Πρέπει Α<0 ή ( µ ) < 0 µ < 0 µ 0< 0 µ < 0 0 µ < Επειδή ο μ είναι θετικός ακέραιος και μ<, είναι: μ ή ή ή. 7. Επειδή η ανίσωση έχει λύση τον αριθμό, ισχύει: α+ > α ( ) α+ > α α α > α > α < 8. Έστω ότι η Μαρία έχει x. Επειδή η Άννα έχει τριπλάσια χρήματα, έχει x Επειδή η Άννα ξόδεψε, της έμειναν x Είναι x < x x x < x < x < 7 Δηλαδή η Μαρία έχει λιγότερα από Έστω ότι ο βαθμός του Γιώργου στο τρίτο διαγώνισμα είναι x. Ο μέσος όρος των βαθμών του είναι: + + x + x 7 algevra_teliko.indd 7 //008 :8:08 πµ

17 Πρέπει + x > ή + x > ή + x > ή x > Στο τρίτο διαγώνισμα πρέπει να γράψει πάνω από. 0. Έστω ότι κάποιος πελάτης θα μιλήσει x λεπτά. Τότε το κόστος στο πρώτο πακέτο είναι: 0, x + 7,, ενώ στο δεύτερο πακέτο είναι: 00, x+. Για να συμφέρει το δεύτερο πακέτο πρέπει: 00, x+ < 0, x+ 7, 00, x 0, x < 7, 000, x < 7, 7, x > 0 00, Από 0 λεπτά και πάνω χρόνου ομιλίας, συμφέρει το δεύτερο πακέτο.. Έστω x m το πλάτος του ορθογωνίου. Επειδή είναι περίμετρος < 0m, ισχύει: x + 80 < 0 x + 0 < 0 x < 0 0 x < x < 0 Επειδή είναι: εμβαδόν>000m, ισχύει: 80 x > x > 80 x > 7, Οπότε το πλάτος πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 7,m και μικρότερο από 0m. 8 algevra_teliko.indd 8 //008 :8:09 πµ

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Ερωτήσεις Κατανόησης. α) Α β) Α γ) Β. Γ. 9,,,,. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ στ) Λ ζ) Λ η) Σ θ) Λ ι) Λ.. Β. Β. Ε. Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) 8 9, 0, 8 09,, β), 00, 0,, 00 0, γ),,,, 00 0, 00, 0, δ) ,, 9, 7. α) γιατί β) ( ) γ) δ) 8 8. α) Έστω ότι β) Έστω ότι x x, τότε: x ή x 9 άρα x 9. Δηλαδή 9 ( ), τότε x, αφού γ) Έστω ότι x +, τότε: x + ή x + ή x. Άρα + δ) Έστω ότι x +, τότε x ή x 9 άρα x 9 8, γιατί 8 9 ε) Έστω ότι x 0, τότε x, και x γιατί ( ) + στ) Έστω ότι x y. Τότε x+ y 9 algevra_teliko.indd 9 //008 :8: πµ

19 Επειδή ο x είναι θετικός ακέραιος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του. Οπότε: αν x0 τότε 0+ y ή y άρα y αν x τότε + y ή y άρα y αν x τότε + y ή y άρα y αν x τότε + y ή y άρα y 9 αν x τότε + y ή y άρα y αν x τότε + y ή y άρα y αν x τότε + y ή y 0 άρα y 0. α) β) γ) Είναι x άρα x 00 0 Είναι y + ή y 9 άρα y Είναι β + ή β 9 άρα β Είναι α άρα α 8 9 (9 8) Είναι γ + 7 ή γ 7 9 άρα γ ( ) Είναι ω + 8 ή ω ή ω 99, άρα ω (77 99) 0 algevra_teliko.indd 0 //008 :8: πµ

20 . α) Επειδή 9, είναι: x 9 ή x ή x β) Επειδή, είναι: x ή x ή x γ) Επειδή 8, είναι: x ή x 8 ή x8 δ) Επειδή , είναι 00 0 x ή x 8 9 ή x Έστω υ το ύψος του τριγώνου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, έχουμε ΑΔ +ΔΓ ΑΓ ή υ +,,7 ή υ,7,,9,, Άρα υ,, γιατί,,. 8. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε ΑΓ ΑΒ +ΒΓ ή δ +7 + ή δ Άρα δ m αφού Έστω x ο θετικός αριθμός. Το τετράγωνό του αυξημένο κατά 8, είναι ο αριθμός x +8. Επειδή το τριπλάσιο του τετραγώνου του είναι ο x, ισχύει: x + 8 x x x 8 x 8 8 x άρα x 0. Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στα διάφορα ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος, έχουμε: α + + 9, άρα α. β γ + α ή β + 9 ή β 9. β άρα γ. x + γ 7 ή x + 89 ή x 89 άρα x 8. algevra_teliko.indd //008 :8:9 πµ

21 . α) Για α είναι: και α οπότε α < α < α Για α9 είναι: 9 και α 9 8 οπότε α < α < α Για α είναι: και α οπότε α < α < α β) Για α είναι α και α, οπότε α < α < α. Για α είναι α 9 9 και α, οπότε α < α < 8 α. Για α είναι α και α, οπότε α < α < α.. α β α β α β αβ Συμπεραίνουμε ότι α β αβ α β α β α β α β Συμπεραίνουμε ότι α β α β. Συμπεραίνουμε ότι α + β α+ β α β α β α + β α+ β algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

22 .. Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί Ερωτήσεις Κατανόησης. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ στ) Σ. α) Δ β) Ε γ) Γ δ) Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) ρητός: γιατί: και άρρητος: β) ρητός: 9 γιατί: 9 γ) άρρητος είναι ο 8 και ρητοί οι και άρρητος: 8 9 και α) Είναι < < οπότε < <. Επειδή 7,, 89 και 8,,, είναι 7, < < 8, Επειδή 7,, 999 και 7,, 07, είναι 7, < < 7,, οπότε 7,. β) Είναι < < 9 οπότε < < 9, δηλαδή < <. Επειδή,, 8 και, 9,, είναι, < <, Επειδή,, 979 και,, 9, είναι, < <,. Οπότε,. γ) Είναι < 7< 9 οπότε < 7 < 9, δηλαδή < 7 <. Επειδή,, 7 και 7, 79,, είναι, < 7 <, 7 Επειδή,, 99 και, 7, 0, είναι, < 7 <,. Οπότε 7,. δ) Είναι < 8< 9 οπότε < 8 < 9, δηλαδή < 8 <. Επειδή, 8 7, 8 και 9, 8,, είναι 8, < 8 <, 9 Επειδή, 8 7, 9 και, 8 8, 0089, είναι 8, < 8 < 8,. Οπότε 8, 8.. α) x 0 άρα x 0 β) x άρα x ± γ) x αδύνατη δ) x 7 άρα x ± 7. Έστω α cm η πλευρά του τετραγώνου. Το εμβαδόν του είναι: E α Πρέπει α άρα α Επειδή 9< <, είναι 9 < < ή < < Επειδή,, και,,, είναι, < <, algevra_teliko.indd //008 :8:7 πµ

23 Επειδή, 97, και 7, 009,, είναι, < <, 7, οπότε,. Άρα α, cm. Έστω α cm η πλευρά του τετραγώνου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε: α + α ή α ή α 7 α) Επειδή < 7 < 8, είναι < 7 < 8 δηλαδή 8< 7 < 9 Επειδή 8, 70, και 8, 7, 080, είναι 8, < 7 < 8, Επειδή 8, 8 790, και 89, 7, 080, είναι 88, < 7 < 8, 9, οπότε 7 88, και α 7 88, cm β) Ε α 7cm.. Προβλήματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: ΑΒ +ΑΓ ΒΓ ή x +(x) 0 ή x +x 00 ή x άρα x 80 Το σχήμα αποτελείται από ίσα τετράγωνα πλευράς xcm, που το καθένα έχει εμβαδόν: E x 80cm Οπότε το εμβαδόν του σχήματος είναι: E 80 00cm. Έστω x η πλευρά του τετραγώνου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: ΑΒ +ΒΓ ΑΓ ή x +x 0 ή 00 x 00 άρα x 0 ή x 0 707, Το ανάπτυγμα της πυραμίδας αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευράς x και από ίσα ισοσκελή τρίγωνα. algevra_teliko.indd //008 :8:0 πµ

24 Το τετράγωνο έχει εμβαδόν E τετρ x 0 Έστω υκζ το ύψος του τριγώνου ΚΑΒ. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΖ, έχουμε: KZ + AZ KA x υ+ 8 x υ + 0 υ υ,. Άρα υ, 77, Το καθένα από τα ισοσκελή τρίγωνα έχει εμβαδόν: x E υ 707, 7, 7 τριγ, Οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι: E 0 +, 0+ 0,,.. Είναι ΚΛ ΚΑ + ΑΛ + +, ΚΜ ΟΚ + ΟΜ + +, ΛΜ ΛΒ + ΒΜ Επειδή ΚΛ + ΚΜ + 0 ΛΜ, λόγω του πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο στο Κ.. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ, έχουμε: Α + Β ΑΒ Α + Α + Α 08 Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΕ, έχουμε Α ΒΕ Β + Ε + Α Άρα ΒΕ 7, 9cm algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

25 . Αν οι κάθετες πλευρές του τριγώνου έχουν μήκος 8cm, 0cm αντίστοιχα, τότε από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: x , άρα x 8, cm. Αν η υποτείνουσα του ορθογωνίου είναι 0cm και η μία κάθετη πλευρά του 8cm, τότε από το πυθαγόρειο, έχουμε: x ή x 00 άρα x cm. α) Ι. Το τμήμα ΑΒ έχει μήκος cm γιατί από το πυθαγόρειο ισχύει: ΑΒ + + άρα ΑΒ. ΙΙ. Το ΓΔ έχει μήκος cm γιατί από το πυθαγόρειο έχουμε: Γ + + άρα Γ cm ΙΙΙ. Το ΕΖ έχει μήκος 8 γιατί από το πυθαγόρειο έχουμε: EZ άρα EZ cm β) Ι. Το τετράγωνο είναι το ΗΘΙΚ ΙΙ. Το ΛΜΝΞ 7. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΓ, έχουμε: ΚΓ +ΑΓ ΚΑ ή ΚΓ +0 0 ή ΚΓ ή ΚΓ Άρα ΚΓ 700, 9cm algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

26 Η απόσταση του Κ από το έδαφος είναι το ΚΔ, για το οποίο ισχύει: Κ ΚΓ + Γ, 9cm + m, 9m 8. Έστω ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, έχουμε: Α + Γ ΑΓ ή Α +(0,) (,) ή Α +0,09, ή Α, 009,,m Άρα Α, m, 08m Για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει: E 0, 08, τριγ 0, m, dm Το ορθογώνιο έχει εμβαδόν: Ε ορθ 0,, 0, m dm Οπότε το συνολικό εμβαδόν του ενός βέλους, είναι:, + 08, dm Επειδή 0:08,, με το κιλό κίτρινου χρώματος μπορούμε να βάψουμε περίπου βέλη. 9. Για να μπορέσει το φορτηγό να κάνει αναστροφή πρέπει η διαγώνιος του δ να είναι μικρότερη από τα 8m που είναι το πλάτος του δρόμου. Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: δ 7, +,, + 7, 0, άρα δ, 0 787, m< 8m. Οπότε το φορτηγό μπορεί να κάνει αναστροφή. 7 algevra_teliko.indd 7 //008 :8:7 πµ

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. Η έννοια της συνάρτησης Ερωτήσεις Κατανόησης. β,. γ,. γ,. β. ( α) ii, ( β) i, ( γ) iii ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) Αν x τότε y ( ) Αν x τότε y ( ) 8 Αν x τότε y ( ) Αν x0 τότε y 0 Αν x τότε y β) Αν x τότε y 0 Αν x0 τότε y Αν x τότε y Αν x τότε y Αν x τότε y x 0 y 8 x 0 y. α) Αν x τότε y( ) +0 Αν x τότε y( ) + Αν x0 τότε y(0) + Αν x τότε y + Αν x τότε y + β) Αν x τότε y( ) +( ) Αν x τότε y( ) +( ) Αν x0 τότε y0 + 0 Αν x τότε y + Αν x τότε y + x 0 y 0 x 0 y 8 algevra_teliko.indd 8 //008 :8:8 πµ

28 . Αν η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι x, τότε ο φόρος που το επιβαρύνει είναι και η νέα του τιμή, είναι y x+ 008, x 08, x x 008, x. Τα χρήματα που εισπράττει ο πωλητής όταν το ποσό των πωλήσεων που πραγματοποιεί είναι 7 x, είναι: x 007, x. 00 Επειδή έχει και μισθό 00, το συνολικό ποσό που εισπράττει είναι: y 00+ 0, 07x.. α) Αν η περίμετρός του είναι 0cm, ισχύει ότι: x+ y 0 ή y 0 x ή y 0 x ή y 0 x β) Επειδή το εμβαδόν του είναι: Ex y, έχουμε: x y 00 ή x y x 00 x ή y 00 x. Πx+x+x+xx και Ex Για x είναι Ε και Π Για x είναι Ε και Π 8 Για x, είναι Ε,, και Π,0 Για x είναι Ε και Π 0 Για x0, είναι Ε0, 0,09 και Π 0,, x, 0, Ε, 0,09 Π 8 0 0, 7. Για x είναι y Για y7 είναι 7x ή x7+ ή x ή x Για x είναι y ( ) 9 Για y είναι x ή x + ή x ή x x y 7 8. α) Επειδή κινείται με 70 χιλιόμετρα την ώρα, σε ώρες θα έχει διανύσει: 700Km και σε ημέρες 0 ώρες θα έχει διανύσει: Km. β) Σε t ώρες η απόσταση S που θα έχει διανύσει είναι S70t 9 algevra_teliko.indd 9 //008 :8:9 πµ

29 .. Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική Παράσταση συνάρτησης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Α (,), Β (, ), Γ (, ), (, ). Σημείο Α Συμμετρικό του Α Συμμετρικό του Α Συμμετρικό του Α ως προς τον x x ως προς τον y y ως προς τον O (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,). Από το πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε: ΑΓ ΑΔ +ΓΔ + + άρα ΑΓ Στο τρίγωνο ΑΕΒ έχουμε: ΑΒΑΕ+ΕΒ++ άρα ΑΒ Οπότε ΑΒ<ΑΓ. α) Έστω ΑΔ ύψος του τριγώνου. Από το πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε: ΑΒ Α + Β + 0 Στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε: ΑΓ Α + Γ + 0 Επειδή ΒΓ+70, ισχύει ότι ΑΒ + ΑΓ ΒΓ οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ ικανοποιεί το πυθαγόρειο θεώρημα, επομένως είναι ορθογώνιο με Α 90. Απάντηση: Β Α β) εφθ. Απάντηση: Δ Γ γ) ΑΒ ΑΓ 0. Απάντηση: Β Α δ) εφφ. Απάντηση: Γ Β. α) Γ, β) Δ, γ) Δ, δ) Α 0 algevra_teliko.indd 0 //008 :8: πµ

30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Α(,), Β(,0), Γ(,), Δ(0, ), Ε(, ), Ζ(, ), Η(,), Θ(,0).. Το συμμετρικό του Α ως προς τον x x είναι το Α (, ), ως προς τον y y είναι το Α (,) ως προς τον Ο είναι το Α (, ). Το συμμετρικό του Β ως πρός τον x x, είναι το Β, 7 7 ως πρός τον y y, είναι το Β, ως πρός τον Ο, είναι το Β, 7. α) Α(,), Β(, ), Γ(,) β) Ι) Α, ΙΙ) Β γ) ΑΓ +ΒΓ + 9+ ΑΒ, άρα ΑΒ. Η απόσταση του Α από τον x x είναι η ΑΔ και από τον y y είναι η ΑΕ. Η απόσταση του Β από τον x x είναι η ΒΗ και από τον y y είναι η ΒΖ. Η απόσταση του Γ από τον x x είναι η ΓΟ και από τον y y είναι μηδέν. algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

31 . α) ( ΑΒ ) ( ) + ( ) + ( ) + 0 β) ( ΑΒ ) ( ( )) + ( ) + ( ) + γ) ( ΑΒ ) ( ) + ( ( )) ( ) + 0 δ) ( ΑΒ ) ( ( )) + ( ( 7)) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΠΚΛ, έχουμε: ΠΛ ΠΚ + ΚΛ άρα ΠΛ 89 7 Δηλαδή το πλοίο απέχει από το λιμάνι Λ, 7 μίλια. Επειδή κινείται με ταχύτητα 8 μίλια την ώρα, και σε t ώρες διανύει 8t μίλια, ισχύει: 8t t ώρες ή t ώρες Όμως το 8 της ώρας είναι 0min:87,min ή 7min0sec. Οπότε ο συνολικός χρόνος είναι ώρες 7 λεπτά και 0 δευτερόλεπτα. 8. β) Το σημείο της γραφικής παράστασης που έχει h, έχει Ρ. Οπότε η πίεση σε ύψος,km είναι cm Hg. γ) Το σημείο της γραφικής παράστασης που έχει Ρ70 έχει h0,7. Οπότε η πίεση είναι 70cm Hg σε ύψος 0,7Km ή 70 μέτρων. 9. β) Το σημείο της γραφικής παράστασης που έχει h00m0,km έχει Τ9 ο C. γ) Το σημείο που έχει Τ ο C έχει αντίστοιχο h,km algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

32 0... Η συνάρτηση yα x. α) x β) Γ y 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Η ευθεία του πρώτου σχήματος που διέρχεται από το σημείο (,). δ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) Είναι y x. Οπότε για x είναι y Για x είναι y ή y ή y x 7 0 y 0 Για y είναι x ή χ ή x 7 Για y0 είναι 0 x ή χ0 ή x 0 0 β) Επειδή y x είναι y x. γ) Η ευθεία y x διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από τα σημεία (,), (,), (,), (7,), (0,0) που προκύπτουν από τον πίνακα τιμών. algevra_teliko.indd //008 :8:8 πµ

33 . y x y y x 0 y 0 x x 0 y 0 x x 0 y 0. y x x 0 y 0 y x x 0 y 0. Επειδή το κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα m sec, σε sec διανύει απόσταση m, και σε t sec, διανύει απόσταση t m. Άρα St. t 0 S 0. Αν η ευθεία έχει κλήση α, η εξίσωσή της είναι: yαx. Επειδή διέρχεται από το σημείο Α(,), ισχύει: α ή α ή α ή α. Άρα είναι η y x. algevra_teliko.indd //008 :8:0 πµ

34 . Η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλήση είναι η y x. Για x είναι y, δηλαδή η ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο (,). 7. Αν η ευθεία έχει κλίση α, η εξίσωσή της είναι η yαx. Επειδή διάρχεται από το σημείο Α(,), ισχύει: α ( ) ή α ή α. Άρα η ευθεία έχει κλίση. 8. Η αύξηση των τιμών των προϊόντων είναι: 0 x 0, x. Οι νέες τιμές είναι όσο οι παλιές συν 00 την αύξηση. Δηλαδή y x+ 0, x, x. β) x 0 y 0 γ) Ι. Αν x7 τότε y, 78, II. Αν y7 τότε 7, x, x 7,., x 8,. 9. α) Είναι y x 00 ή y x, ή y, x β) Το εισιτήριο που κοστίζει 0, σε δολάρια κοστίζει 80$. γ) Το εισιτήριο που κοστίζει 0$, η τιμή του σε ευρώ είναι 0 περίπου... Η συνάρτηση yαx+β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Γ. ε y x +, ε y x, ε y x. AB y, ΑΓ x, Γ y, Β x. α) Β, β) Δ, γ) Β. Γ algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

35 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. y x x 0 y 0 y x+ x 0 y y x x 0 y. y x+ α) x 0 y β) Για y 0 είναι: 0 x + ή x ή x Η y x+ τέμνει τον x x στο A, 0 και για x 0 ή γραφική της παράσταση είναι η ημιευθεία του διπλανού σχήματος. algevra_teliko.indd //008 :8: πµ

36 γ) Για x είναι y ( ) + 8 και για x είναι y +. Η γραφική παράσταση της y x+ όταν x είναι το τμήμα ΒΓ, όπου Β(,8) και Γ(, ).. Έστω ότι η ζητούμενη ευθεία έχει κλίση α και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0,β). Η εξίσωσή της είναι η yαx+β. Όμως η ζητούμενη ευθεία έχει κλίση και τέμνει τον y y στο σημείο (0, ), οπότε: α, β και η εξίσωσή της είναι η y x.. α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: ΑΒ ΑΓ + ΒΓ + + άρα ΑΒ ος τρόπος: ( ΑΒ ) ( ) + ( ) +. β) Επειδή τα σημεία Α(,) και Β(,) επαληθεύουν την y x η ευθεία αυτή διέρχεται από τα Α και Β.. Για μια διαδρομή x χιλιομέτρων θα πληρώσουμε 0,x και 0, για τη σημαία. Δηλαδή y 0, x+ 0,.. Για y 0 είναι x ή x. Η ευθεία τέμνει τον άξονα x x στο σημείο (,0). Για x0 είναι: y ή y. Η ευθεία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0, ). 7. Για x 0 είναι y και για y 0 είναι x. Η ευθεία τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(0,) και Β(,0). 7 algevra_teliko.indd 7 //008 :8:9 πµ

37 8. Είναι Α(,), Β(,), Γ(,) και Δ(,). Για το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου έχουμε ΕΑΒ ΒΓ. Όμως ΑΒ+ και ΒΓ, οπότε E. 9. α) Για την κατασκευή x υπολογιστών, το κόστος είναι 00x. Επειδή το εργοστάσιο έχει και έξοδα 00 για την ενοικίαση μιας αποθήκης, τα συνολικά έξοδα y, είναι: y 00x+ 00 ημερησίως. β) x 0 0 y α) Αν x είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων, τότε 0 x είναι οι λανθασμένες απαντήσεις. άρα ω0 x. β) Για τις σωστές απαντήσεις κερδίζει 00x, ενώ για τις λάθος χάνει: 0 ( 0 x) 000 0x. Άρα το συνολικό κέρδος του παίκτη είναι: y x ( 000 0x) ή y x x 0 x με 0 x 0. γ) x 0 0 y Η συνάρτηση yα/χ υπερβολή. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. α, γ. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Σ. α y, β y, γ y x x x 8 algevra_teliko.indd 8 //008 :9:0 πµ

38 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επειδή τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, ισχύει: x y ή y x Για x είναι y. Για x είναι y. Για x είναι y. Για x είναι y. Για x είναι y. x y. α) y x x y β) y x x 0 0 y γ) y 0 x x 0 0 y algevra_teliko.indd 9 //008 :9:0 πµ

39 . y x x y y x x y. α) Αν ο πύραυλος κινείται με υ Km/h, τότε σε t ώρες θα έχει διανύσει απόσταση Sυ t. Επειδή είναι t ημέρες 7h, και S80.000Km, έχουμε: υ 7 ή 7 υ ή υ 77, 78Km h. β) Είναι Sυ t ή υ t ή υ t t t ή υ ṫ Km h.. α) Επειδή τα ορθογώνια έχουν εμβαδόν cm, ισχύει: x y ή y x 8 y 8 9 Για x είναι y. Για x είναι y 8. Για x είναι y. Για x είναι y 9.. x 0 algevra_teliko.indd 0 //008 :9:0 πµ

40 Για x είναι y. Για x είναι y. Για x8 είναι y. 8 Για x είναι y. β) y x γ) algevra_teliko.indd //008 :9:07 πµ

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΔΕΙΓΜΑ ΕΡΩΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ σελ. 88. γ). δ). β) ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 89. α) 7 β) 0 γ) 0 δ) 7 ε) στ) 7. α) β) γ) δ) 0 ε) 9 στ) 0. (β) του αριθμού 0. (α) το % Το άθροισμα των ατόμων που ρητήθηκαν είναι Το ποσοστό του Α υποψηφίου είναι 0 0, ή % 800 Το ποσοστό του Β υποψηφίου είναι 80 0, ή % 800 Το ποσοστό του Γ υποψηφίου είναι 0 0, ή 0% Συνολικά στο σχολείο φοιτούν μαθητές α) Το ποσοστό των κοριτσιών στο σχολείο είναι: 80 0, ή 0% 00 β) Το ποσοστό των μαθητών της Β Γυμνασίου είναι: 90 0, ή 0% Ο πληθυσμός είναι το σύνολο των οπαδών που υποστηρίζουν τις ομάδες ποδοσφαίρου. Το δείγμα είναι τα 000 άτομα που ρωτήσαμε στον Πειραιά. Το δείγμα δεν είναι αξιόπιστο γιατί ρωτήσαμε άτομα από συγκεκριμένη περιοχή τα οποία προφανώς στης πλειοψηφία τους θα υποστηρίζουν μια ομάδα της περιοχής αυτής. 9. Θα πρέπει να ρωτήσει άτομα από διαφορετικές ηλικές και σε διάφορες περιοχές. algevra_teliko.indd //008 :9:08 πµ

42 .. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ σελ. 9.. Γ,. Β,. Β,. Δ,. Γ,. Β.. Α,. Β,. Β,. Γ,. Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 9. Έτος Αρ. Βιβλίων α) Σύνολο: β) 0, περίπου,% Σύνολο γ). Από το εικονόγραμμα προκύπτει ο παρακάτω πίνακας Τρόπος Μετακίνησης Αριθ. Μαθητών Λεωφορείο 7 Αυτοκίνητο Ποδήλατο Παπάκι 8 Με τα πόδια 0 Σύνολο 00 γ) α) Έχει συνολικά 00 μαθητές β) 7 0, ή % 00 algevra_teliko.indd //008 :9:09 πµ

43 . α) Για τον τύπο Α η αντίστοιχη γωνία του κυκλικού διαγράμματος είναι: 0 o o 0 00 Για το τύπο Β είναι 0 00 Για το τύπο Γ είναι 0 00 Για το τύπο Δ είναι 0 00 o 0 08 o 0 o 0 7 Οπότε έχουμε το διπλανό κυκλικό διάγραμμα. o o o β) Από τον τύπο Α υπάρχουν: τηλέφωνα. Από τον τύπο Β υπάρχουν: τηλέφωνα. Από τον τύπο Γ υπάρχουν: τηλέφωνα. Από τον τύπο Δ υπάρχουν: τηλέφωνα.. α) Είναι ++8+7, οπότε ημέρες απουσίασαν 0 7 μαθητές. Το ποσοστό των μαθητών που απουσίασαν ημέρες είναι 00, ή %. 0 β) Θα υπολογίσουμε τις γωνίες του κυκλικού διαγράμματος: Για τις 0 ημέρες είναι o o. Για τις ημέρα είναι o o. algevra_teliko.indd //008 :9: πµ

44 Για τις ημέρες είναι 8 0 o 0 8 o. Για τις ημέρες είναι 0 0 o o. Για τις ημέρες είναι o o.. α) Η γωνία ω είναι: 7 o 0 0 β) φωνήεντα σύμφωνα o. α) β) Τουλάχιστον 90 λεπτά μελετούν το 80% των αγοριών και το 8% των κοριτσιών. Το πολύ 0 λεπτά μελετά το 8% των αγοριών και το 7% των κοριτσιών... ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ σελ 00.. Γ,. Α,. Β,. Δ,. Α. Συχνότητες Σχετ. συχνότητες (%) Σύνολο algevra_teliko.indd //008 :9: πµ

45 ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 00. Αριθ. Παιδιών Συχνότητα Σχετ. Συχν. % Σύνολο 0 00 Αρ. Απουσιών Συχνότητα Σχετ. Συχν. % 0 8 7, 0 0 0, Σύνολο α) Έτος Συχνότητα Σχετ. Συχν. % ,, 0 Σύνολο β) γ) Αύξηση παρουσίασαν τα έτη 00, 00 ενώ μείωση παρουσίασαν τα έτη 00, 00. algevra_teliko.indd //008 :9: πµ

46 . α) Ελαττωμ. Προϊόντα Συχνότητα Σχετ. Συχν. % Σύνολο 0 00 β) Οι γωνίες του κυκλικού διαγράμματος είναι: 0 ελαττωματικά: o ελαττωματικά: 0 0 o ελαττωματικά: o γ). α) Αποτελ. Συχνότητα Σχετ. Συχν. % Η Ν Ι 8 8 8,,,9 Σύνολο 00 β) 8 o o 0 87, 8 o 0 90, o 7 algevra_teliko.indd 7 //008 :9: πµ

47 . α) β) Περισσότερα από μηνύματα ήταν: +++ ημέρες. γ) Το ποσοστό των ημερών που τα μηνύματα ήταν το πολύ είναι:,+,+,8+,,% δ) Αρ. Μηνυμ. Συχνότητα Σχετ. Συχν. % 0 7 8,,,8,, 9,,, Σύνολο 00. α) Ομάδα Αίματος Συχνότητα Σχετ. Συχν. % Ο Α Β ΑΒ 0 Σύνολο 00 β) Το ποσοστό των μαθητών που έχουν ομάδα αίματος Α ή Β είναι +8%. γ) Στο δείγμα εμφανίζεται λιγότερο η ομάδα αίματος ΑΒ με ποσοστό % 7. α) Σωστές Απαντήσεις Σχετ. Συχν. % 0 8,,7,7 8, Σύνολο 00 β) Βαθμολογία μικρότερη ή ίση του 0 θα έχουν οι μαθητές που απάντησαν σωστά το πολύ σε ερωτήσεις. Το ποσοστό αυτών είναι: 8,++,77% 8 algevra_teliko.indd 8 //008 :9: πµ

48 8. α) Η εταιρεία πούλησε συνολικά: υπολογιστές β) Μάρκα Η/Υ Συχνότητα Σχετ. Συχν. % Α Β Γ Δ Σύνολο γ) Το ποσοστό των υπολογιστών που δεν είναι μάρκα Α ή Β θα είναι το άθροισμα των ποσοστών που είναι Γ ή Δ δηλαδή 0+%.. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ σελ 0.. Β,. Γ,. Δ. Κλάσεις Συχνότητες Σχετ. συχν. 0,0 0, 0, 0, 0, ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ 0. α) Είναι ++89 β) Οπότε η συχνότητα που λείπει είναι 0 9. α) Κλάσεις Συχνότητα β) Σύνολο 0 9 algevra_teliko.indd 9 //008 :9:7 πµ

49 . α) Κλάσεις Συχνότητα β) Σύνολο 0. α) Κλάσεις Συχνότητα β) Σύνολο 0. Ημέρες Ασθένειας Ποστοστό 0 0 Συχνότητα Είναι , , 80 00, ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ σελ. 0. Δ,. Γ,. Β. α) Α, β) Γ, γ) Δ. Δ. α) x 7 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ β) x , 0 algevra_teliko.indd 0 //008 :9:9 πµ

50 γ) x δ) x α),,,,, οπότε η διάμεσος δ είναι δ +, β),,,,,, άρα δ γ) 98, 99, 00, 0, 0, 0, 0 οπότε δ0 δ),,, 0,, και δ + 0. α) Ο μέσος όρος της βαθμολογίας του Α μαθητή είναι: xα Ενώ ο μέσος όρος της βαθμολογίας του Β μαθητή είναι: xβ β) Καλύτερη επίδοση έχει ο Β μαθητής. 7, 9 8, γ) Για τη διάμεσο του Α μαθητή έχουμε:,, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, οπότε η διάμεσος είναι δ Α 8 Για το μαθητή Β αντίστοιχα έχουμε: 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 0, οπότε η διάμεσος είναι δ Α 9. α) Το μέσο ύψος της ομάδας είναι: x 99, 9cm algevra_teliko.indd //008 :9:0 πµ

51 β) Για να βρούμε τη διάμεσο διατάσουμε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά: 9, 97, 97, 98, 98, 00, 00, 0, 0, 0, 0, 0 οπότε η διάμεσος είναι δ 00 γ) Το νέο μέσο ύψος θα είναι: x 00, 8cm.. α) Θερμοκρασία Συχνότητα Σχετ. Συχν. % ,7,7 0 0, 0 Σύνολο 0 00 β) Η μέση τιμή της θερμοκρασίας το μήνα Νοέμβριο είναι x 0 0 Για να βρούμε τη διάμεσο διατάσουμε τις θερμοκρασίες κατά αύξουσα σειρά: 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7, 7, 8, 8, 8 + και η διάμεσος είναι δ. α) Ηλικία Παιδιών Συχνότητα Σχετ. Συχν. % Σύνολο β) Η μέση ηλικία των παιδιών είναι 0 x , algevra_teliko.indd //008 :9: πµ

52 7. Η μέση τιμή της ηλικίας των φιλάθλων είναι x 00 00, 7 έτη 8. α) i) Τιμές Συχνότητα Σύνολο 0 ii) Η μέση τιμή είναι Μ 0 0 9, 9 β) i) Κλάσεις Συχνότητα Σύνολο 0 ii) Η μέση τιμή είναι Μ 0 0 iii) Η πραγματική μέση τιμή είναι Μ9,9 0, algevra_teliko.indd //008 :9: πµ