ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ. Τύποι - Βασικές έννοιες

Transcript

1 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Τύποι - Βασικές έοιες Έα κυρτό πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωίες ίσες µεταξύ τους. Κάθε καοικό πολύγωο είαι εγγράψιµο και περιγράψιµο σε δύο οµόκετρους κύκλους. Χαρακτηριστικά εός καοικού πολυγώου - Oρισµοί Κέτρο του καοικού πολυγώου λέγεται το κοιό κέτρο του εγγεγραµµέου και περιγεγραµµέου στο πολύγωο κύκλου. Ακτία του καοικού πολυγώου λέγεται κάθε A 3 A ακτία του περιγεγραµµέου κύκλου που καταλήγει í σε κορυφή του πολυγώου. Συήθως συµβολίζεται A O A 1 µε όπου το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου. v Απόστηµα του καοικού πολυγώου λέγεται η ακτία του εγγεγραµµέου κύκλου. Συήθως A í-1 A í συµβολίζεται µε α. Γωία του καοικού πολυγώου λέγεται η γωία που σχηµατίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του. Συµβολίζεται συήθως µε φ. Όλες οι γωίες του καοικού πολυγώου είαι ίσες. Η κάθε γωία ˆφ είαι εγγεγραµµέη σε ( ) ίσα τόξα. (Το κάθε τόξο ατιστοιχεί σε µια οποιαδήποτε πλευρά του πολυγώου). ο ο 360 Γι αυτές ισχύει ο τύπος ˆφ = 180 ( είαι ο αριθµός τω πλευρώ του πολυγώου). Κετρική γωία του καοικού πολυγώου λέγεται η γωία που σχηµατίζεται από δύο διαδοχικές ακτίες του πολυγώου. Συµβολίζεται µε ˆω. Κάθε κετρική γωία είαι επίκετρη και βαίει σε τόξο, το οποίο ατιστοιχεί σε µία από τις ίσες πλευρές του πολυγώου. 360 Για κάθε µία από τις ίσες κετρικές γωίες ισχύει ο τύπος ˆω = όπου ο αριθµός τω πλευρώ του πολυγώου. Η κετρική γωία και η γωία του πολυγώου είαι παραπληρωµατικές δηλ. φˆ + ωˆ = 180 ο

2 Τύποι - Βασικές έοιες 83. Εξωτερική γωία του καοικού πολυγώου λέγεται η οποιαδήποτε γωία σχηµατίζεται από µία πλευρά του πολυγώου και τη προέκταση µιας διαδοχικής πλευράς του. Όλες οι εξωτερικές γωίες είαι ίσες µεταξύ τους αφού είαι παραπληρωµατικές τω ατιστοίχω εσωτερικώ ίσω γωιώ. Για το ίδιο λόγο η εξωτερική γωία ισούται µε τη κετρική γωία του πολυγώου. Ισχύει δηλ. φˆ ˆ εξ = ω Ιδιότητες τω καοικώ πολυγώω. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι όµοια Η γωία του καθεός είαι 180 0, εποµέως έχου όλες τους τις γωίες ίσες. Οι πλευρές τους είαι αάλογες. Ο λόγος οµοιότητάς τους ισούται µε το λόγο τω πλευρώ τους, το λόγο τω ακτίω τους, το λόγο τω αποστηµάτω τους και το λόγο τω περιµέτρω τους. Ο λόγος τω εµβαδώ τους ως γωστό ισούται µε το τετράγωο του λόγου οµοιότητας. Κάθε ακτία διχοτοµεί τη ατίστοιχη γωία του καοικού πολυγώου. Α διαιρέσουµε περιφέρεια κύκλου σε ίσα τόξα: α. οι χορδές που ατιστοιχού σε αυτά τα τόξα σχηµατίζου καοικό - γωο εγγεγραµµέο στο κύκλο. β. οι εφαπτοµέες στα άκρα αυτώ τω τόξω σχηµατίζου καοικό -γωο περιγεγραµµέο στο κύκλο.

3 8. Τύποι - Βασικές έοιες Τύποι που συδέου τα στοιχεία εός καοικού πολυγώου. α λ + = όπου α το απόστηµα, λ η πλευρά και η ακτία του πολυγώου Ο τύπος αυτός συδέει τη πλευρά µε το απόστηµα και είαι πολύ χρήσιµος. P = λ όπου P η περίµετρος του - γώου (πολύγωο µε πλευρές). 1 Ε = P α όπου Ε το εµβαδό του πολυγώου. ω λ = ηµ ω α = συ όπου ω η γωία του πολυγώου. ( ) λ = α α = + α ( ) Τύποι του Αρχιµήδη Είαι οι τύποι που µας δίου τη πλευρά και το απόστηµα του - γώου συαρτήσει της ακτίας και του αποστήµατος του - γώου. (Το - γωο έχει διπλάσιο αριθµό πλευρώ από το - γωο). Στοιχεία βασικώ καοικώ πολυγώω εγγεγραµµέω σε κύκλο µε ακτία (συαρτήσει της ακτίας) και τρόπος κατασκευής τους (ο πίακας που ακολουθεί).

4 Τύποι - Βασικές έοιες 85. TåôñÜãùí Kííéêü åîüãùí Ióüðëåõñ ôñßãùí Kííéêü äåêüãùí Êííéêü ðåíôüãùí Kííéêü êôüãùí Ãùíß KåíôñéêÞ ãùíß ÐëåõñÜ ë í Áðüóôçì í EããñöÞ óå êýêë 90 ˆù 90 ë ÃñÜöõìå äý êüèåôåò äéìýôñõò êé åíþíõìå ô Üêñ ôõò ˆù6 60 ë6 6 3 Xùñßæõìå ôí êýêë óå 6 ßó äéä éêü ôüî, ðõ ç ñäþ ôõò éóýôé ìå ôçí êôßí ôõ êýêëõ ˆù 3 10 ë3 3 3 KôóêåõÜæõìå êííéêü åîüãùí êé åíþíõìå ôéò êñõöýò ôõ ìß ðñü ìß ˆù10 36 ë ùñßæõìå ôçí êôßí ôõ êýêëõ óå ìýó êé Üêñ ëüã. ÐëåõñÜ ôõ 10 - ãþíõ åßíé ô ìåãëýôåñ ðü õôü ô ôìþìô ˆù5 7 ë KôóêåõÜæõìå êííéêü 10 - ãùí êé åíþíõìå ôéò êñõöýò ôõ ìß ðñü ìß ˆù8 5 ë8 8 KôóêåõÜæõìå ôåôñüãùí åããåãñììýí óôí êýêë êé ðßñíõìå ô ìýó ôùí ôüîùí ðõ íôéóôé ýí óôéò ðëåõñýò ôõ. Ïé êñõöýò ôõ ôåôñãþíõ êé ô ìýó ôùí ôüîùí ðôåëýí ôéò êñõöýò ôõ êííéêý êôãþíõ,

5 Μέτρηση κύκλου