2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε κλσμτική εξίσση κάθε εξίσση που έχει άγνστο στον προνομστή. 7 6 Γι πράδειγμ οι εξισώσεις + 5, + είνι κλσμτικές ενώ οι εξισώσεις 5 +, + δεν είνι κλσμτικές 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΙΑΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η διδικσί που κολουθούμε γι την λύση μις κλσμτικής εξίσσης είνι η εξής: Κάνουμε πργοντοποίηση προνομστών. Πίρνουμε περιορισμούς γι τους προνομστές(ν μην είνι μηδέν). Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών. Κάνουμε πλοιφή προνομστών πολλπλσιάζοντς κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις οπότε μετά τις πράξεις προκύπτει μι εξίσση πρώτου ή δευτέρου βθμού. Λύνουμε την εξίσση που προκύπτει κτά τ γνστά. Εξετάζουμε ν οι λύσεις είνι δεκτές ή πορρίπτοντι λόγ τν περιορισμών που θέσμε.

2 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτ προτάσεις με (Σ), ν είνι σστές, ή με (Λ), ν είνι λνθσμένες : 6 ) Οι όροι της εξίσσης + 8 ορίζοντι ν 0 κι. β) Ο ριθμός 0 είνι λύση της εξίσσης γ) Αν πλείψουμε τους προνομστές της εξίσσης +, τότε υτή γράφετι 5 +. δ) Οι όροι της εξίσσης ορίζοντι γι κάθε πργμτικό ριθμό + κι ο ριθμός 0 είνι λύση της. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) Οι όροι της εξίσσης γι ν ορίζοντι πρέπει 0 κι. (Σ) β) Ο ριθμός 0 δεν είνι λύση της εξίσσης γιτί 0 (ο είνι προνομστής)(λ) γ) Αν πλείψουμε τους προνομστές της πρπάν εξίσσης τότε προκύπτει η 5 +.(Λ) δ) Πράγμτι ορίζετι γι κάθε γιτί +>0 άρ κι + 0. ( + ) ( + ) ( + ) 0 Επίσης είνι + + [ ( + ) ] 0 ( ) Άρ είνι σστό (Σ). Αν διιρέσουμε ένν ριθμό με τον ριθμό που είνι κτά μονάδες μεγλύτερος βρίσκουμε. Ποι πό τις πρκάτ εξισώσεις εκφράζει την πρπάν πρότση ;. + ) β) γ) δ) - + ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η σστή πάντηση είνι η γ + +. Η εξίσση + 6 έχει ς λύση τον ριθμό + ) β) γ) 0 δ)

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 05 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι λύσεις που ποκλείοντι κτρχάς είνι οι ) κι β) γιτί μηδενίζουν τους προνομστές τν δύο κλσμτικών πρστάσεν κι επομένς υτές δεν ορίζοντι. Η τρίτη λύση 0 ν ντικτστθεί στην εξίσση μς δίνει -+6 που είνι λάθος, ενώ η ν ντικτστθεί στην εξίσση μς δίνει +6 που είνι ληθής. Επομένς η πρπάν εξίσση έχει ς λύση την δ).. Ένς μθητής γι ν λύσει την εξίσση, έκνε πλοιφή προνομστών κι λύνοντς την εξίσση που προέκυψε, βρήκε ς λύση τον ριθμό. Η πάντησή του είνι σστή ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είνι λάθος γιτί λόγ τν προνομστών πρέπει ν υπάρχει ο περιορισμός. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 7 + 9, β), γ) δ) , ε), στ) ) ) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε.Κ.Π(-, ) (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε - 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Ε.Κ.Π ( ) ( -) Προκύπτει μι εξίσση πρώτου βθμού Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους κι βρίσκουμε την λύση.

4 06 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 β) γ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 δ) ε) ( ) ( ) + ( ) β) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π(-,) (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Ε. Κ. Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Προκύπτει μι εξίσση πρώτου βθμού οπότε χρίζουμε γνστούς πό γνώστους κι βρίσκουμε κτά τ γνστά την λύση της, η οποί είνι δεκτή. γ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[-,- ] - ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: - 0 οπότε Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Ε. Κ. Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις Προκύπτει μι εξίσση πρώτου βθμού οπότε χρίζουμε γνστούς πό γνώστους κι βρίσκουμε κτά τ γνστά την λύση της, η οποί πορρίπτετι γιτί μηδενίζει τους προνομστές. Επομένς η εξίσση είνι δύντη. δ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[5,0, ] 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0 0 οπότε 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Προκύπτει μι εξίσση βθμού την ο- ποί κι λύνουμε. Η λύση που βρίσκουμε είνι δεκτή. ε) Αλλάζουμε το πρόσημο στο τελευτίο κλάσμ γι ν φτιάξουμε τον προνομστή κοινό με του πρώτου κλάσμτος. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[-,- ] -. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: - 0 οπότε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Προκύπτει μι εξίσση βθμού η οποί είνι όριστη ή τυτότητ, δηλδή έχει σν λύση οποιοδήποτε ριθμό εκτός του.

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ στ) 5 6 ( ) ( ) ( ) o 5 6 στ) Αλλάζουμε το πρόσημο στο τελευτίο κλάσμ γι ν φτιάξουμε τον προνομστή κοινό με του πρώτου κλάσμτος. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[-,- ] -. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: - 0 οπότε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Προκύπτει μι εξίσση βθμού η οποί είνι δύντη ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 7 6, β) +, γ), + δ) , ε) +, στ) ( ) ( ) ( ) ). + 0 Στην εξίσση + 0 έχουμε,β -,γ,οπότε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ (- ) 6 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: + ( ) δεκτή β ± β γ ± ±,. δεκτή ) Βρίσκουμε το Ε. Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ.Π [,,]. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0, οπότε 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι επειδή προκύπτει μι εξίσση β βθμού μετφέρουμε όλους τους όρους σε έν μέλος κι την λύνουμε όπς φίνετι πρκάτ.

6 08 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 β) + 5 5( -) + ( -) ( -) + ( -) ( - ) β) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[,-,] (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. Στην εξίσση είνι,β,γ 5,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( ) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:, β ± β γ ( ) ±. 7 6 γ) + 7 ( + ) ( + ) + 6 ( + ) 7( + ) 6( + ) Στην εξίσση δεκτή 8 ± 9 9 δεκτή γ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ.Π[,+, ] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. είνι,β 8,γ -,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ 8 ( ) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 09, β ± β γ 8 ± δεκτή δεκτή 8 δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Στην εξίσση ( ) ( ) δ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[(-),-,] (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Εφρμόζουμε την τυτότητ (β) -β+β Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. είνι -,β,γ -6,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( ) ( 6) + 5 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:, ε) β ± ( + ) 6 6 ( + ) β ( + ) γ ( + ) + ( + ) ( + )( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ±. 0 ή - πορρίπτοντι κι οι δύο + 5 δεκτή 5 ± 5 5 δεκτή ε) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[(+),,+] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με την βοήθει της πργοντοποίησης κι της ιδιότητς.β0 τότε ο ή β 0. Λόγ τν περιορισμών οι δύο λύσεις πορρίπτοντι κι η εξίσση είνι δύντη.

8 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ στ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) ( + ) στ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[,+,(+)] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την τυτότητ -β ( +β)(-β). Κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. Στην εξίσση 0 είνι,β,γ -,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( ) ( ) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:, β ± β γ ( ) ±. ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ), β) γ), δ) δεκτή 5 5 πορρίπτετι λόγ τν περιορισμών

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + ) Πργοντοποιούμε τους προνομστές. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ.Π(+5)(-5,+5) (+5)(- 5). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+5)(-5) 0, οπότε είνι -5 κι 5. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πράξεις εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ. Προκύπτει μι εξίσση βθμού. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους Η λύση 0 είνι δεκτή 5 ) ( + 5)( - 5) ( + 5)( - 5) ( + 5)( - 5) ( + 5)( - 5) ( 5) β) ( + )( ) + + ( + )( ) ( + ) o 0 ( + )( ) ( )( ) β)πργοντοποιούμε τον πρώτο προνομστή που είνι τριώνυμο με δοκιμές. Εδώ ψάχνουμε ν βρούμε δύο ριθμούς που έχουν γινόμενο - κι άθροισμ.αυτοί είνι το κι το -. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[(+)(-),-](+)(- ). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 Οπότε έχουμε κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι διώχνουμε την πρένθεση. Η εξίσση πρώτου βθμού που προκύπτει είνι όριστη. Δέχετι σν λύσεις όλους τους πργμτικούς ριθμούς εκτός του - κι το.

10 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ γ) + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 5 ( + 5) πορρίπτετι λόγ τν περιορισμών δ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )( ) δεκτή ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) - 0, β) + γ), δ)+ +, + + γ)πργοντοποιούμε τον πρώτο προνομστή Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[(-),-,](-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 Οπότε έχουμε 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Η εξίσση πρώτου βθμού που προκύπτει είνι δύντη γιτί η μονδική λύση που έχει πορρίπτετι λόγ τν περιορισμών. + δ) Πργοντοποιούμε τον πρώτο προνομστή Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[(-),, -](- ). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 Οπότε έχουμε 0 κι.πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Η εξίσση πρώτου βθμού που προκύπτει έχει μονδική λύση που είνι δεκτή

11 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ) ( -) ( -)- ( -) ( -) 0( -) ( ) ( ) 0 ( -) ή ( ) 0 0 πορρίπτετι ή δεκτή β) + + ( + ) + ( + ) ( + ) + + ή ( ) ( ) + 6 ( + ) 0 οπότε 0 ή - ή + ή + 0 ) Πργοντοποιούμε τον δεύτερο προνομστή Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[,,(-)] (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με την βοήθει της πργοντοποίησης κι της ιδιότητς.β0 τότε ο ή β 0. Λόγ τν περιορισμών η μί πό τις δύο λύσεις πορρίπτετι κι η εξίσση έχει ς μονδική λύση την β) Πργοντοποιούμε τους προνομστές Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[(+),+] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Από τις δύο λύσεις κμί δεν είνι δεκτή λόγ τν περιορισμών Επομένς ή εξίσση είνι δύντη.

12 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ γ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) + - ( ) ( + )( ) ( + )( ) + ( )( ) ( ) 0 0 ή + δ) ( )( ) ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + ( ) Στην εξίσση γ) Πργοντοποιούμε τους προνομστές (ο πρώτος είνι νάπτυγμ κι ο δεύτερος διφορά τετργώνν. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε.Κ.Π [(-),(-)(+)] (-) (+) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) (+) 0 οπότε κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Οι λύσεις είνι κι οι δύο δεκτές. Πργοντοποιούμε τους προνομστές ο δεύτερος βρίσκετι με την μέθοδο τν δοκιμών(ψάχν δύο ριθμούς με άθροισμ - κι γινόμενο ). Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε.Κ.Π [-,(-)(-)] (-)(-) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-)(-) 0 οπότε κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού είνι,β -7,γ -,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( 7) ( ) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:

13 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5, β ± β γ ( 7) ±. 8 7 ± πορρίπτετι δεκτή ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ), β) ) ή - - ή ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( )( ) 6 0 ( ) ή ή - ή + ή ( + )( ) 0 6 ) Στο κλάσμ του πρώτου μέλους κάνουμε τις πράξεις στον προνομστή Αφού κάνουμε ομώνυμες τις κλσμτικές πρστάσεις κι τις προσθέσουμε κάνουμε το σύνθετο κλάσμ πλό. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που είνι Ε. Κ. Π[(+)(-),] (+)(-) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 κι 0(λόγ του προνομστή του σύνθετου κλάσμτος) οπότε κι - κι 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Ε. Κ. Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Οι λύσεις είνι κι οι δύο δεκτές.

14 6 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 β) ή ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ) ( + ) ( 6) 0 οπότε 0 ή ή 6 0 β) Στο πρώτο κλάσμ του πρώτου μέλους κάνουμε τις πράξεις στον προνομστή Αφού κάνουμε ομώνυμες τις κλσμτικές πρστάσεις κι τις προσθέσουμε κάνουμε το σύνθετο κλάσμ πλό. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που είνι Ε. Κ.Π[(+),(-),(+)(- )] (+)(-) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 κι 0(λόγ του προνομστή του σύνθετου κλάσμτος) οπότε κι - κι 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Ε. Κ.Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Από τις λύσεις μόνο η δεύτερη είνι δεκτή ΑΣΚΗΣΗ 6 Ν λύσετε τους τύπους: m ) p ς προς V β) Ε V P V P V δ) ς προς T, T T στ) + ς προς, ζ) β γ υ η) S - λ ς προς λ βγ ε) ς προς, β + + γ γ) l ρ S ς προς, ς προς υ, ς προς S,

15 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 ) p V.p m V m p m V ή ή V.p p V.p m V. V m p ) Βρίσκουμε το Ε.Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(V,) V Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου p 0. βγ β) Ε βγ.ε. γ) βγ E ή S. l ρ S ή S. S. ρ.l ή ή E. βγ P V P V δ) T T P V T T T T T T P V T P V T P V T P V P V P V ε) l S.ρ S ρ.l T ή ή T S ρ.l T P V P V β) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,). Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. γ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[,S]S. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. δ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[T,T ] T T Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το P V Κάνουμε πλοποιήσεις. + Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. ε) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[,, ] Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Ο άγνστος μς είνι στο δεύτερο μέλος. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ + Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου.

16 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + ( ) ή + στ) + β γ βγ βγ + βγ β γ γ βγ + β ή γ β βγ βγ ( γ β) βγ ή γ β ζ) + υ β γ υ β γ υ υ β γ β + υ β γ ( + ) γ β γ υ γ + υ β υ ( γ β β γ + ) γ + β γ + β β γ υ γ + β η) S ή ( - λ) S ( - λ) - λ - λ ( - λ) S ή S - λs S - λs S - ή λ S ΑΣΚΗΣΗ 7 στ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[β,, γ] βγ Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Ο άγνστος μς είνι στο πρώτο κι δεύτερο μέλος. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. ζ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[υ, β, γ ] υ β γ. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Ο άγνστος μς είνι στο δεύτερο μέλος. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. η) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[, -λ] -λ. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. ) Ν βρείτε δύο ντίστροφους ριθμούς που έχουν άθροισμ 7.

17 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 9 β) Ποιον ριθμό πρέπει ν προσθέσουμε στους όρους του κλάσμτος 5 γι ν βρούμε τον ριθμό 5. γ)ν βρείτε δύο διδοχικούς άρτιους φυσικούς ριθμούς που έχουν λόγο. ) Αν είνι ο ριθμός, τότε ο ντίστροφος του θ είνι οπότε είνι Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,,). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0 οπότε 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση είνι,β 7,γ,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-7) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: ( ) Δεκτή. β ± β γ 7 ± 5 8,. 7 5 Δεκτή. 8 + β) Αν είνι ο ριθμός, τότε Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(5+,5) 5(5+) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 5(5+) 0 οπότε ( 5 + ) 5( 5 + ) ( ) ( ) ή 5 Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Η λύση που βρίσκουμε είνι δεκτή.

18 0 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ γ) Έστ ο ένς άρτιος, τότε ο άλλος θ είνι + οπότε είνι +. + ( + ) ( + ) 6 + ( + ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(+,) (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 5(+) 0 οπότε -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Η λύση που βρίσκουμε είνι δεκτή. Άρ οι δύο διδοχικοί άρτιοι είνι οι 6,8 ΑΣΚΗΣΗ 8 Τ έξοδ ενός γεύμτος ήτν 8 ευρώ. Μετξύ τν τόμν που γευμάτισν ήτν κι πιδιά, οπότε οι υπόλοιποι ενήλικες συμφώνησν, προκειμένου ν κλύψουν τ έξοδ τν πιδιών, ν πληρώσει κθένς 9 ευρώ πρπάν πό υτά που έπρεπε ν πληρώσει. Πόσ ήτν τ άτομ που γευμάτισν ; Έστ τ άτομ που γευμάτισν. Εφόσον τ πιδιά ήτν, οι ενήλικες ήτν -. Δημιουργούμε μι εξίσση με τ χρήμτ που θ πληρώσουν οι ενήλικες γι ν κλύψουν το ποσό τν 8 ευρώ. 8 8 ( ). + 9( ). 8 ( ) ( ) ( ) + 9. ( ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,,). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0 Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση 8 0 είνι,β,γ -8,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (- )..( 8) 9 + > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:

19 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + ( ) 7 Δεκτή. β ± β γ ±, πορρίπτετι Επομένς τ άτομ που γευμάτισν ήτν 7.( ενήλικες- πιδιά) ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο διχειριστής μις πολυκτοικίς γόρσε πυροσβεστήρες γι την πυρσφάλει του κτιρίου κι έδσε 0 ευρώ. Πριν πό ρκετούς μήνες, που η τιμή κάθε πυροσβεστήρ ήτν ευρώ μικρότερη, με τ ίδι χρήμτ θ γόρζε πυροσβεστήρες περισσότερους. Ν βρείτε πόσους πυροσβεστήρες γόρσε. Έστ οι πυροσβεστήρες που γόρσε. Δημιουργούμε μι εξίσση με τ χρήμτ που πλήρσε ν γοράσει τον έν πυροσβεστήρ. 0 Τώρ τον γοράζει, ενώ σύμφν με το πρόβλημ πριν γόρζε πρπάν + κι η τιμή τους ήτν μικρότερη κτά ευρώ, δηλδή 0 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι + + Ε. Κ. Π(,+,) (+). 0 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 ( + ) ( + ) + ( + ) κι - + Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της 0( + ) 0 + ( + ) εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος ή Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση είνι,β,γ -0,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ..( 0) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: + 0 Δεκτή. β ± β γ ± 8,. πορρίπτετι Επομένς γόρσε 0 πυροσβεστήρες.

20 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 0 Ανμειγνύουμε gr ενός διλύμτος Α με 5 gr ενός διλύμτος Β κι σχημτίζουμε 5 cm ενός διλύμτος Γ. Ν βρεθεί η πυκνότητ του διλύμτος Α, ν η πυκνότητ του διλύμτος Β είνι 0, gr/cm μικρότερη. Έστ η πυκνότητ του διλύμτος Α τότε ο όγκος του διλύμτος Α m σύμφν με τον τύπο v (όγκος μάζ/ πυκνότητ) θ είνι κι ο ρ 5 όγκος του διλύμτος Β θ είνι. Ο συνολικός όγκος που είνι το 0, άθροισμ υτών τν δύο είνι 5 cm. Η εξίσση τν όγκν είνι: , 5 ( 0,) + ( 0,) 5( 0,) 0, ( 0,) + 5 5( 0,), , 0 5 +, 0 5 +, Στην εξίσση 5 +, 0 είνι 5,β -,γ,,οπότε έ- χουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-).5.(,0) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: + 8 ( ), Δεκτή. β ± β γ ± 78 50, Επομένς η πυκνότητ του διλύμτος Α είνι, gr/cm. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,-0,,) (-0,). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-0,) 0 οπότε 0 κι 0, Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους ό- ρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. 0,08 πορρίπτετι

21 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Οι υπάλληλοι μις βιοτεχνίς έπρεπε ν συσκευάσουν 0 προϊόντ μις πργγελίς. Απουσίσν όμς υπάλληλοι, οπότε κθένς πό τους υ- πόλοιπους υπλλήλους υποχρεώθηκε ν συσκευάσει προϊόντ πρπάν γι ν κλυφθεί η πργγελί. Ν βρείτε πόσοι είνι οι υπάλληλοι της βιοτεχνίς. Έστ οι υπάλληλοι της βιοτεχνίς. Δημιουργούμε μι εξίσση με την ποσότητ τν προϊόντν που θ συσκευάσει κάθε υπάλληλος πριν κι μετά την πουσί τν συνδέλφν τους. 0 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,-,) (-). 0 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε 0 ( ) ( ) ( ) κι Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το 0( ) Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση είνι,β -6,γ -0,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-6)..( 0) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: ( ) 0 Δεκτή. β ± β γ 6 ± 96 6, πορρίπτετι 6 Επομένς οι υπάλληλοι της βιοτεχνίς είνι 0. ΑΣΚΗΣΗ Οι φίλθλοι μις ομάδς τξιδεύοντς με έν πούλμν έπρεπε ν δινύσουν μι πόστση 0 Km γι ν δουν την γπημένη τους ομάδ Υπολόγιζν ν φτάσουν στον προορισμό τους μισή ώρ πριν την ένρξη του γών. Ο οδηγός όμς, λόγ ολισθηρότητς του δρόμου, μείσε τη μέση τχύτητ κτά 0 Km/h κι έτσι έφτσν στο γήπεδο κριβώς την ώρ που άρχιζε ο γώνς. Ν βρείτε τη μέση τχύτητ με την οποί διήνυσν τελικά την πόστση.

22 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έστ η μέση τχύτητ με την οποί διήνυσν τελικά την πόστση, τότε σύμφν με το πρόβλημ. Δημιουργούμε μι εξίσση με τον χρόνο σύμφν με τον τύπο t, όπου s το διάστημ κι u η τχύτητ. s u ( + 0) ( + 0) ( + 0) + 0 0( + 0) 0 ( + 0) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,+0,) (+0). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+0) 0 οπότε 0 κι -0 Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους ό- ρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση είνι -,β -0,γ 00,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-0).( ) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: ( ) 70 Απορρίπτετι. β ± β γ 0 ± 6800,.( ) Δεκτή Επομένς η μέση τχύτητ του πούλμν ήτν 60 km/h. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Η τχύτητ με την οποί κινήθηκε Α Β Γ ένς ποδηλάτης πό τη θέση Α στη km 5 km θέση Β είνι km/h μικρότερη πό την τχύτητ με την οποί κινήθηκε πό τη θέση Β στη θέση Γ. Κτά την επιστροφή πό το Γ στο Α κινήθηκε με τχύτητ ίση με το ημιάθροισμ τν προηγούμενν τχυτήτν. Ν βρείτε τις τχύτητες με τις οποίες κινήθηκε ο ποδηλάτης ν, ο χρόνος μετάβσης κι επιστροφής είνι ο ίδιος.

23 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Έστ η τχύτητ με την οποί κινείτι ο ποδηλάτης πό τη θέση Β στη θέση Γ. Τότε η τχύτητ με την οποί κινήθηκε πό τη θέση Α στη θέση Β είνι -. Ενώ η τχύτητ με την οποί κινήθηκε κτά την επιστροφή είνι +, άρ σύμφν με την εκφώνηση του προβλήμτος έχουμε την κλσμτική εξίσση: 5 9 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν + προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,-,-) 5 (-)(-). ( )( ) + ( )( ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-)(-) 0 οπότε 0 κι κι Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο 9 ( )( ) μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. ( ) + 5( )( ) 9( ) Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους ό ρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι βθμού εξίσση km/h Άρ η τχύτητ με την οποί κινήθηκε ο ποδηλάτης πό τη θέση Β στη θέση Γ είνι 0 km/h κι η τχύτητ με την οποί κινήθηκε πό τη θέση Α στη θέση Β είνι 0-8 km/h ενώ τέλος η τχύτητ με την οποί κινήθηκε κτά την επιστροφή είνι 0-9 km/h.. Έν ποτμόπλοιο εκτελεί τη διδρομή πό το Α στο Β (ΑΒ km) κι επιστρέφει στο σημείο Α κάνοντς συνολικά χρόνο 5 ώρες. Κτά την μετάβση πό το Α στο Β προστίθετι κι η τχύτητ km/h με την οποί κινείτι το νερό του ποτμού, ενώ κτά την επιστροφή φιρείτι. Ν βρείτε με ποι τχύτητ κινείτι το ποτμόπλοιο. Έστ η τχύτητ του πλοίου οπότε η τχύτητ του ότν πηγίνει σύμφν με το ρεύμ του ποτμού θ είνι + κι η τχύτητ του ότν πηγίνει ντίθετ με το ρεύμ του ποτμού θ είνι -. Σύμφν με τον τύπο s t της φυσικής δημιουργούμε την κλσμτική εξίσση: u + 5 +

24 6 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ( + )( ) + ( + )( ) + 5( + )( ) ( ) + ( + ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(-,+) (+)(-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 οπότε - κι Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση είνι -5,β 8,γ 0,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ 8.( 5) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: Απορρίπτετι. β ± β γ 8 ± ,.( 5) Δεκτή 0 Επομένς η τχύτητ του πλοίου ήτν 0 km/h.. Ένς έμπορος πλήρσε 000 ευρώ κι προμηθεύτηκε CD ενός κλλιτέχνη. Πούλησε ορισμέν πό υτά κι εισέπρξε 800 ευρώ κερδίζοντς πό το κάθε CD ευρώ. Επειδή του έμεινν διάθετ κόμ 00 CD, νγκάστηκε ν τ πουλήσει στην τιμή που τ προμηθεύτηκε. Ν βρείτε σε ποι τιμή πούλησε ο έμπορος τ τελευτί 00 CD. Έστ η τιμή που πούλησε ο έμπορος τ τελευτί 00 CD τότε σύμφν με την εκφώνηση του προβλήμτος έχουμε την κλσμτική εξίσση:

25 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ( + ) ( + ) + 00( + ) ( + ) ( + ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,+) (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι - Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση είνι -,β 9,γ 90,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ 9.( ) > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: Απορρίπτετι. β ± β γ 9 ±,.( ) 9 5 Δεκτή Επομένς η τιμή που πούλησε τ τελευτί 00 CD ήτν 5 ευρώ.

26 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσση; ( μονάδες) Β. Αν διιρέσουμε ένν κέριο ριθμό με τον προηγούμενο κέριο βρίσκουμε τον ριθμό. Ποι πό τις πρκάτ εξισώσεις εκφράζει την προηγούμενη πρότση; + - ), β), γ), δ) ( μονάδες) Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτ προτάσεις με (Σ) ν είνι σστές ή με (Λ) ν είνι λνθσμένες. 6 0 ) Οι όροι της εξίσσης + έχουν νόημ ν κι + β) Ο ριθμός - είνι λύση της εξίσσης ( + ) γ) Η εξίσση + 9 γράφετι ( ) + 5( + ) 9 (μονάδες) ΘΕΜΑ 0 Ν λύσετε την εξίσση: + 9. (7 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο Ν βρείτε τρεις διδοχικούς κέριους ριθμούς τέτοιους ώστε το πηλίκο του πρώτου προς τον δεύτερο υξημένο κτά το πηλίκο του δεύτερου προς τον τρίτο ν ισούτι με 6 7. (6 μονάδες)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)] Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνί: Σάββτο 7 Ινουρίου 07 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Ν συµπληρώσετε τους τύπους: i. ii....,... =...,... β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ 1.1. Κάθε πρότση της μορφής f(x) = φ(x), όπου f κι φ είνι λγερικές πρστάσεις της μετλητής

Διαβάστε περισσότερα

Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)

Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα) Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην προσπάθει μς ν επιλύσουμε λγερικά έν σύστημ δύο εξισώσεων θμού με δύο γνώστους θ έχουμε σν στόχο ν πλείψουμε πό την μί πό τις δύο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα α λυκείου 1

άλγεβρα α λυκείου  1 άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ριθµοί - 3,4,599-5 3 π3,4-73 9,8 - -453 6,03. 0 3 4 00 5-3 -0 3 e,7-7% - - 4 8 0,7 9-0 3 0 79 ν -30% -ν 6 0 9 967-65 κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)

Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα) Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Ε. Εισαγωγή. μ χ χ, μ, ν, ν 0 ν χ χ 0 ή χ 0 ή χ 0

Ε. Εισαγωγή. μ χ χ, μ, ν, ν 0 ν χ χ 0 ή χ 0 ή χ 0 Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Αριθμοσύνολ Σύνολ Αριθμών * ) Φυσικοί ριθμοί Ν 0,,,,..., ν, ν, ν, ν, ν,... Ν Ν 0 ) Ακέριοι ριθμοί Ζ..., ν, ν, ν,...,,,,0,,,,..., ν, ν, ν,... + * Ζ Ν,,,..., ν, ν,

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α

1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α 1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ηµ + συν = 1. Α. Ν σημειώσετε το σωστό Σ ή το λάθος Λ

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΙΝΑΚΕΣ 1Δ-2Δ Άσκηση 1 Μί ετιρεί πσχολεί 30 υπλλήλους. Οι μηνιίες ποδοχές κάθε υπλλήλου κυμίνοντι πό 0 έως κι 3.000. Α. Ν γράψετε λγόριθμο που γι κάθε

Διαβάστε περισσότερα