ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ. Τα Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση και η Διδασκαλία τους
|
|
- Θεοδώρα Βερενίκη Αλεξάνδρου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Τα Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση και η Διδασκαλία τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2013
2 Ιωάννης Παπαδόπουλος & Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας Θεσσαλονίκη 2013 ISBN Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας Εγνατία 156, Θεσσαλονίκη Τηλ Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο αναπαραγωγή του συνόλου ή μέρους του παρόντος, με οποιοδήποτε μέσο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό ή άλλο, χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα, συμφώνως με τον Νόμο 2121/1993 και τους κανόνες του Διεθνούς Δικαίου που ισχύουν στην Ελλάδα. Επιμέλεια παραγωγής: Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας Το εικαστικό του εξωφύλλου φιλοτέχνησε η Άννα Παπαδοπούλου
3
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ v Εισαγωγή... ix Κεφάλαιο 1. Φυσικοί αριθμοί Μερικές ιστορικές σημειώσεις Η αξία θέσης στο δεκαδικό σύστημα Πρόσθεση και Αφαίρεση φυσικών αριθμών Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση φυσικών αριθμών Προτεραιότητα πράξεων Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...21 Κεφάλαιο 2. Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών Μερικές ιστορικές σημειώσεις Παράγοντας Πολλαπλάσιο Κανόνες/Κριτήρια Διαιρετότητας Πρώτοι και Σύνθετοι Αριθμοί Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Αντιπροσωπευτικές Ασκήσεις...41 Κεφάλαιο 3. Κλάσματα...43 Μέρος Α Μερικές ιστορικές σημειώσεις Η έννοια του κλάσματος Η ισότητα στα κλάσματα Ισοδύναμα κλάσματα Σύγκριση και Πυκνότητα στα κλάσματα Αντιπροσωπευτικές Ασκήσεις...57 Πράξεις στα κλάσματα Η Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων Διδακτικοί προβληματισμοί στην πρόσθεση και στην αφαίρεση κλασμάτων Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...63 Μέρος Β Ο Πολλαπλασιασμός και η Διαίρεση κλασμάτων Λίγη εξάσκηση Τα κλάσματα σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...74
5 vi ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ Κεφάλαιο 4. Δεκαδικοί αριθμοί Μερικές ιστορικές σημειώσεις Βασικά σημεία στην κατανόηση των δεκαδικών Διάταξη δεκαδικών Ισότητα Ανισότητα Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας δεκαδικούς με δυνάμεις του Πρόσθεση και Αφαίρεση δεκαδικών Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση δεκαδικών Μετατροπή από δεκαδικό σε κλάσμα και αντίστροφα Οι δεκαδικοί σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις...97 Κεφάλαιο 5. Λόγοι - Αναλογίες - Ποσοστά Μερικές ιστορικές σημειώσεις Αναλογίες Ποσοστά Η έννοια Υπολογισμοί με ποσοστά Λύνοντας προβλήματα ποσοστών Οι αναλογίες σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής Τα ποσοστά σε εφαρμογές της καθημερινής ζωής Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις Κεφάλαιο 6. Μεταβλητές - Εξισώσεις Μερικές ιστορικές σημειώσεις Η έννοια της μεταβλητής Εισαγωγή των μαθητών στην έννοια της μεταβλητής Μεταφράζοντας τις λέξεις σε σύμβολα και αντίστροφα Το σύμβολο της ισότητας. Σημαίνει πάντα το ίδιο; Εισαγωγή στην εξίσωση Λύνοντας εξισώσεις Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις Κεφάλαιο 7. Έννοιες Στατιστικής Μερικές ιστορικές σημειώσεις Διαχείριση δεδομένων Θέτοντας ερωτήματα Συλλέγοντας τα δεδομένα...153
6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii Οργάνωση Ανάλυση δεδομένων Παρουσίαση των δεδομένων Μέσος Όρος Διάμεσος Επικρατούσα τιμή Παραπλανητικά γραφήματα Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις Κεφάλαιο 8. Επίπεδα σχήματα Μερικές ιστορικές σημειώσεις Πολύγωνα Τρίγωνα Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις Τετράπλευρα Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις Κύκλος Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις Κεφάλαιο 9. Εμβαδόν - Περίμετρος Μερικές ιστορικές σημειώσεις Λίγα λόγια για τις μονάδες μέτρησης Περίμετρος Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στην περίμετρο Εμβαδόν Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στα εμβαδά Ο κύκλος (μήκος κύκλου, εμβαδόν) Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στον κύκλο Εμβαδόν σύνθετων σχημάτων Κεφάλαιο 10. Γεωμετρία των στερεών Μερικές ιστορικές σημειώσεις Πολύεδρα Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στα στερεά Εμβαδόν παράπλευρης/ολικής επιφάνειας Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στο εμβαδόν επιφάνειας των στερεών Μέτρηση όγκου Αντιπροσωπευτικές ασκήσεις στους όγκους Βιβλιογραφία...265
7 λευκή σελίδα
8 ix Εισαγωγή Πολύ συχνά τα μαθηματικά στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση αποτελούν θύμα μιας διπλής παρεξήγησης. Από τη μια, υπάρχει εκείνη η μερίδα υποψηφίων ή εν ενεργεία δασκάλων, που εκ προοιμίου δηλώνουν πως δεν έχουν καθόλου καλή σχέση με το αντικείμενο, επειδή «τα μαθηματικά είναι δύσκολα». Από την άλλη, υπάρχει εκείνη η μερίδα, που θεωρεί ότι τα μαθηματικά, ειδικά της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, δεν είναι άξια λόγου από την άποψη του επιπέδου δυσκολίας και συχνά ειρωνικά αναφέρονται σε αυτά ως τα μαθηματικά του «ένα και ένα κάνουν δύο». Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να δώσει απαντήσεις και στις δυο μερίδες. Για τη μεν πρώτη, προσπαθεί να παρουσιάσει τις θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες που διαπραγματεύεται η πρωτοβάθμια εκπαίδευση με τρόπο εύληπτο και ταυτόχρονα αυστηρά μαθηματικό, στοχεύοντας στο να ανατρέψει την προκατάληψη των μαθηματικών που προορίζονται για λίγους. Για τη δεύτερη, το βιβλίο προσπαθεί να αναδείξει το γεγονός ότι η επιφανειακή γνώση ή οι παρανοήσεις που έχουν οι δάσκαλοι, πολλές φορές για συγκεκριμένες έννοιες, τους οδηγεί στο να διδάσκουν μια έννοια κατά τρόπο περιοριστικό ή λανθασμένο. Έτσι, για τις περιπτώσεις αυτές επιχειρείται μια σε βάθος προσέγγιση των κατά τα άλλα «εύκολων» εννοιών. Το υλικό για το βιβλίο αυτό προέκυψε τόσο από την εμπειρία των περίπου είκοσι ετών διδακτικής παρουσίας στην τάξη του δημοτικού σχολείου, όσο και από την σχετικά σύντομη εμπειρία διδασκαλίας σε φοιτητές του Παιδαγωγικού Τμήματος. Σημαντική θεωρώ και για το λόγο αυτό τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως τη συμβολή του κ. Τσιπούρα Στυλιανού, σχολικού συμβούλου στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, που δεν δίστασε εν μέσω πολλών υποχρεώσεων να εξασφαλίσει τον απαραίτητο χρόνο για να διαβάσει τα δοκίμια και να κάνει χρήσιμες υποδείξεις. Ιωάννης Παπαδόπουλος
9 λευκή σελίδα
10 1 Φυσικοί Αριθμοί
11 λευκή σελίδα
12 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μερικές ιστορικές σημειώσεις Τα γραπτά σύμβολα για τους αριθμούς πιθανόν αναπτύχθηκαν πριν τη χρήση αντίστοιχων λέξεων δεδομένου ότι ήταν πολύ ευκολότερο για τους ανθρώπους να χαράξουν εγκοπές σε μια ξύλινη ράβδο παρά να προβούν στην επινόηση μιας φράσης για να αναφερθούν σε έναν αριθμό. Τα πρώτα συστήματα αρίθμησης αναπτύχθηκαν βασισμένα στην ιδέα της απλής απαρίθμησης, όπου τα σύμβολα Ι, ΙΙ, και ΙΙΙ αντιστοιχούσαν στους αριθμούς 1, 2 και 3. Σε τέτοια συστήματα όμως οι υπολογισμοί με μεγάλους αριθμούς ήταν αργοί. Οι Αιγύπτιοι εξελίσσουν τα συστήματα αρίθμησης αφού τα ιερογλυφικά τους σύμβολα αναπαριστούν πια ομάδες αντικειμένων (με βάση το 10) και έτσι αναφέρονται με πολύ πιο εύκολο τρόπο σε μεγάλους αριθμούς. Έτσι, αν έχουμε υπόψιν μας την παρακάτω εικόνα τότε μας είναι εύκολο να αντιληφθούμε ότι ο είναι ο και ο ο Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλώνιων (περίπου σύγχρονο των Αιγυπτίων) αξιοποιεί για πρώτη φορά την αξία θέσης (place value) και έτσι μειώνει σημαντικά τον απαιτούμενο αριθμό διαφορετικών συμβόλων. Το σύστημά τους (για αριθμούς μεγαλύτερους από το 59) έχει ως βάση τον αριθμό 60 και δυο σύμβολα: το για το 10, και το για το 1. Έτσι μέχρι το 59 οι αριθμοί γράφονται με επαναλαμβανόμενη χρήση των συμβόλων και και γι αυτό ο αριθμός 32 γράφεται. Η αξία θέσης παίζει ρόλο σε αριθμούς μεγαλύτερους από το 59. Τα ίδια σύμβολα έχουν διαφορετική αξία ανάλογα με τη θέση
13 4 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ στην οποία βρίσκονται. Συνεπώς, για να γράψω τον αριθμό 135, σκέφτομαι ότι έχει μέσα του 2 φορές τον αριθμό 60, μια φορά τον αριθμό 10 και 5 μονάδες. Επομένως θα γραφεί ως εξής: (δηλ [κενό] 1 10 και 5 1). Μεταξύ του 300 και 900 μ.χ., σε έναν άλλο πολιτισμό, αυτόν των Mayas, έχουμε ένα άλλο αριθμητικό σύστημα με βάση το 20 με το καινοτόμο χαρακτηριστικό ότι το σύστημα αυτό περιλαμβάνει και το μηδέν. Για τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 19 χρησιμοποιούσαν τα σύμβολα στην παρακάτω εικόνα: και η αξία θέσης λαμβάνει χώρα για μεγαλύτερους αριθμούς, οι οποίοι γράφονται κατακόρυφα στη βάση του 20. Έτσι, ο αριθμός 326 γράφεται ως: Γνωστότερο σε μας είναι το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης, που το βλέπουμε ακόμη περιστασιακά να χρησιμοποιείται και το οποίο βασίζεται στο 10 και κά-
14 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 νει χρήση των παρακάτω συμβόλων: Έτσι ο αριθμός γράφεται ως MMCCCXXXXII και ο 1996 ως ΜDCCCCLXXXXVI. To ελληνικό σύστημα βασιζόταν στη χρήση γραμμάτων και έτσι ο αριθμός 153 γραφόταν ως ρνγ, ο 780 ως ψπ και ο 306 ως τς. Το σημερινό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιείται από το μεγαλύτερο τμήμα του σύγχρονου κόσμου είναι το ινδο-αραβικό σύστημα Η αξία θέσης στο δεκαδικό σύστημα Στο δικό μας ινδο-αραβικό σύστημα χρησιμοποιούμε ως βάση το 10. Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί κατασκευάζονται με τη χρήση δυνάμεων του δέκα: 10=10 1, 100=10 2, 1000=10 3, κλπ. Η θέση στην οποία είναι τοποθετημένα τα ψηφία μέσα στον αριθμό είναι ενδεικτική του πλήθους τέτοιων δυνάμεων του 10. Έτσι, για παράδειγμα, και προχωρώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά, στον 3627 το 7 αναπαριστά 7 μονάδες, το 2 αναπαριστά 2 δεκάδες, το 6 αναπαριστά 6 εκατοντάδες και το 3 τις χιλιάδες (ή ορθότερα τις μονάδες χιλιάδες). Γι αυτό και η ανάλυση του αριθμού σε δυνάμεις του 10 (αναπτυγμένη μορφή) γίνεται ως εξής: = = =3627 Ας σημειωθεί ότι κάθε μια από τις δυνάμεις του 10 είναι δέκα φορές μεγαλύτερη από την προηγούμενή της. Η 100άδα ισούται με 10 δεκάδες, η 1000άδα με 10 εκατοντάδες κ.ο.κ. Αυτό σημαίνει ότι όταν συσσωρεύονται 10 στις μονάδες μπορεί να γίνει ανταλλαγή με μια δεκάδα στην επόμενη θέση. Αυτή η δυνατότητα να ανταλλάσεις «10 από αυτά με 1 από εκείνα» καθώς μετακινείσαι από
15 6 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ τα αριστερά προς τα δεξιά αποτελεί ένα σημαντικό γνώρισμα του συστήματος της αξίας-θέσης και είναι ουσιαστικό στοιχείο στην κατανόηση του τρόπου με τον οποίο μετρούμε. Επισημαίνεται ότι στην αρχή αυτή στηρίζεται και η αρχή του «κρατούμενου» στους αριθμητικούς υπολογισμούς. Τη δυνατότητα να παρουσιάσουμε αποτελεσματικά και να εξηγήσουμε το πώς δουλεύει το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε μας τη δίνουν δυο μοντέλα. Αυτά είναι α) το δεκαδικό πλέγμα και β) τα νομίσματα του 1 λεπτού, των 10 λεπτών και του 1 ευρώ. (α) Βασισμένοι στην παραπάνω εικόνα μπορούμε να αντιληφθούμε πως 10 από το κάθε είδος (π.χ. 10 μονάδες, 10 δεκάδες, 10 εκατοντάδες) μπορούν να ανταλλαχθούν με ένα από το επόμενο είδος. Στηριζόμενοι σε αυτό το μοντέλο εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι ο παρακάτω εικονιζόμενος αριθμός είναι ο 366. (β) Ανάλογα, με τη χρήση νομισμάτων μπορούμε να αντιληφθούμε τη σχέση 1 προς 10 που ισχύει μεταξύ των παρακάτω:
16 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Ο ίδιος αριθμός λοιπόν (ο 366) με το μοντέλο αυτό θα μπορούσε να αναπαρασταθεί ως Στο σημείο αυτό θεωρούμε σκόπιμο να αναφερθούμε ειδικά στη θέση του μηδενός στο σύστημα της αξίας θέσης. Το μηδέν, ως ψηφίο λειτουργεί σε τρία επίπεδα: α) για να δείξει ότι δεν υπάρχουν στοιχεία σε μια δοσμένη θέση, β) για να δείξει την αξία των γειτονικών ψηφίων, και γ) για να δείξει ακρίβεια στη μέτρηση (Stacey, 2005) 1. Αυτή ακριβώς η χρήση του μηδενός ως ψηφίου που καταλαμβάνει αξιακή θέση (place holder) αποτελεί πηγή δυσκολιών και σύγχυσης όχι μόνο σε μαθητές (Cockburn & Parslow-Williams, 2008) 2 αλλά και σε δασκάλους (Chick & Baker, 2005) 3. Μέρος αυτής της δυσκολίας πιθανόν να οφείλεται στο ότι το μηδέν θεωρείται (και πιθανόν λανθασμένα διδάσκεται) ως «τίποτε», κάτι χωρίς αξία. 1 Stacey, K. (2005). Travelling the road to expertise: a longitudinal study of learning. In Chick, H.L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 1, pp ). Melbourne: PME. 2 Cockburn, A., & Parslow-Williams, P. (2008). Zero: understanding an apparently paradoxical number. In A. Cockburn & G. Littler (Eds.), Mathematical Misconceptions (pp. 7-22), London: Sage Publication. 3 Chick, H., & Baker, M. (2005). Investigating teachers responses to student misconceptions. In Chick, H. L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 2, pp ). Melbourne: PME.
17 8 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ Στην παραπάνω εικόνα, αν χρησιμοποιούσαμε τον αριθμό χωρίς το «περιττό» μηδέν, θα γραφόταν 23 αντί για 203. Το μηδέν επομένως καταλαμβάνει θέση στο σύστημα της αξίας θέσης για να δείξει εδώ ότι δεν υπάρχουν δεκάδες. Σκεφτείτε τον αριθμό 300. Η θέση στην οποία έχει τοποθετηθεί το 3 είναι αυτή που μας δείχνει ότι έχουμε τρεις εκατοντάδες. Τα μηδενικά είναι ακριβώς για προσδιορίσουν με ακρίβεια αυτό το γεγονός δείχνοντας ταυτόχρονα ότι δεν υπάρχουν δεκάδες ή μονάδες. Άρα, όταν βλέπουμε έναν αριθμό όπως το 300 αποφεύγουμε να σκεπτόμαστε ότι τα δυο μηδενικά στο τέλος σημαίνουν εκατό και άρα έχω τρεις εκατοντάδες Πρόσθεση και Αφαίρεση Φυσικών Αριθμών Στην πρόσθεση οι βασικές κατηγορίες των αποκαλούμενων ρεαλιστικών (reallife) προβλημάτων είναι δύο: Στην πρώτη κατηγορία δυο (ή περισσότερες) ποσότητες συνδυάζονται σε μια και η πρόσθεση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τελικής ποσότητας. Συνήθως τα δυο σύνολα είναι διακριτά μεταξύ τους. Δεν υπάρχει επικάλυψη (π.χ. έχω ένα σύνολο από 12 βόλους και ένα άλλο από 13 βόλους). Όταν τα δυο σύνολα συνδυάζονται για να δημιουργήσουν ένα (όλοι οι βόλοι μαζί) αυτό που σχηματίζουν μπορούμε να το αποκαλέσουμε ένωση των (διακριτών) συνόλων. Αυτή η όψη της πρόσθεσης έχει να κάνει κυρίως με αυτό που στα μαθηματικά ονομάζουμε πληθικό αριθμό ή πληθάριθμο, δηλαδή η ιδέα του αριθμού ως ενός συνόλου αντικειμένων. Στη δεύτερη κατηγορία μια ποσότητα (αρχική τιμή παιχνιδιού: 9 ) αυξάνεται κατά ένα ορισμένο ποσό (αύξηση: 5 ) και η πρόσθεση χρησιμοποιείται προκειμένου να βρεθεί η αυξημένη τελική τιμή (9+5=14 ). Αυτή η προσθετική δομή βρίσκεται πίσω από την ιδέα της αριθμογραμμής.
18 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Για την αφαίρεση, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι υπάρχουν τέσσερις κατηγορίες προβλημάτων. Στην πρώτη κατηγορία μια ποσότητα με κάποιο τρόπο τη χωρίζω σε δυο μέρη, απομακρύνω το ένα μέρος και η αφαίρεση απαιτείται για τον υπολογισμό αυτού που μένει (παράδειγμα: σε ένα κουτί υπάρχουν 20 καραμέλες, παίρνω τις 7 και ζητώ να υπολογίσω πόσες μένουν). Στη δεύτερη κατηγορία έχουμε μια ποσότητα η οποία ελαττώνεται κατά ένα ποσό (Παράδειγμα: η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι 20 και την περίοδο των εκπτώσεων μειώνεται η τιμή κατά 7. Πόσο πωλείται;). Στην τρίτη κατηγορία έχουμε προβλήματα σύγκρισης. Η αφαίρεση χρειάζεται για να κάνουμε μια σύγκριση ανάμεσα σε δυο ποσότητες (Παράδειγμα: Ο Κώστας έχει ύψος 176 εκ. και ο Γιώργος 194 εκ. Πόσα εκατοστά ψηλότερος είναι ο Γιώργος από τον Κώστα;). Τέλος, στην τέταρτη κατηγορία έχουμε προβλήματα όπου πρέπει να βρεθεί ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί σε μια δοσμένη ποσότητα για να φτάσουμε σε μια συγκεκριμένη τιμή (Παράδειγμα: για να αγοράσω ένα βιβλίο χρειάζομαι 26. Έχω μόνο 19. Πόσα ακόμη χρειάζομαι για να μπορώ να αγοράσω το βιβλίο;) Ιδιότητες της πρόσθεσης - αφαίρεσης Πριν προχωρήσουμε στις ιδιότητες γενικά των πράξεων πρέπει να ξεκαθαρίσουμε την έννοια του κλειστού συνόλου ως προς μια πράξη. Όταν προσθέτουμε π.χ. δυο φυσικούς αριθμούς ξέρουμε ότι το αποτέλεσμα είναι και πάλι ένας φυσικός. Αυτή μας η «γνώση» είναι μια παραδοχή βασισμένη στην εμπειρία μας (επαγωγική επιχειρηματολογία) όμως η εμπειρία μας έχει καταπιαστεί με ένα μικρό αριθμό περιπτώσεων σε σχέση με όλα τα πιθανά αθροίσματα φυσικών αριθμών. Οι επιστήμονες και πιο συγκεκριμένα οι μαθηματικοί είναι πολύ επιφυλακτικοί στο να κάνουν τόσο γρήγορα κάποιες παραδοχές. Στην παραδοχή ότι το άθροισμα δυο φυσικών είναι φυσικός έχει αποδοθεί η ονομασία ότι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν σύνολο κλειστό ως προς την πρόσθεση. Σκεφτείτε το σύνολο των φυσικών αριθμών ως ένα «κιβώτιο». Υπάρχει μια ετικέτα στο κιβώτιο που γράφει «πρόσθεση». Αν όλες οι προσθέσεις των αριθμών που βρίσκονται στο κιβώτιο δίνουν απαντήσεις που και αυτές ήδη βρίσκονται μέσα στο κιβώτιο τότε λέμε ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, αλλιώς το σύνολό μας δεν είναι κλειστό ως προς τη συγκεκριμένη πράξη.
19 10 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ 1. Οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν σύνολο κλειστό ως προς την πρόσθεση όχι όμως ως προς την αφαίρεση Αν a, b Є N τότε και a+b Є N Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι όντως ένα σύνολο κλειστό ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Αυτό σημαίνει πως αν επιλεγούν οποιοιδήποτε 2 φυσικοί αριθμοί το άθροισμά τους θα είναι και αυτός φυσικός. Προφανώς με βάση αυτόν τον ορισμό είναι εύκολο να δει κανείς ότι οι φυσικοί δεν αποτελούν σύνολο κλειστό ως προς την αφαίρεση, ή ότι το σύνολο των περιττών αριθμών δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση σε αντίθεση με το σύνολο των άρτιων αριθμών. 2. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου 6 a! M ισχύει a+ 0 = 0+ a = a Το μηδέν θεωρείται το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και είναι το μοναδικό που έχει την ιδιότητα αυτή. 3. Αντιμεταθετική ιδιότητα 6 ab,! M ισχύει a+ b = b+ a Όταν έχω να προσθέσω δυο αριθμούς η σειρά με την οποία τους προσθέτω δεν έχει σημασία. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την αφαίρεση, δηλαδή το α-β δεν είναι πάντα ίσο με το β-α. 4. Προσεταιριστική ιδιότητα 6 abc,,! M ισχύει ^a+ bh+ c = a+ ^b+ ch Το αποτέλεσμα της πράξης α+β+γ δεν εξαρτάται από τη σειρά των όρων. Η ιδιότητα δεν ισχύει για την αφαίρεση.
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΟι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα
Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣτ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000
Διαβάστε περισσότεραΠρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών
Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται
Διαβάστε περισσότεραΑ.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =
Διαβάστε περισσότερα2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.
1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός
6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός Τα ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ περιγράφει: τα Μαθηματικά που αναμένουμε να κατανοήσουν οι μαθητές μέχρι το τέλος της σχολικής τους εκπαίδευσης, από το Νηπιαγωγείο μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή
Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά της Φύσης και της Ζωής
Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΎλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Διαβάστε περισσότερααριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ1.15 Αναπτύσσουν την έννοια του πολλαπλασιασμού ως αθροιστικής επανάληψης ίσων προσθετέων και διαισθητικά την έννοια της
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 6
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 6 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Διαβάστε περισσότερα7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.
ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ
ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:
Διαβάστε περισσότεραΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους
ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας
Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΛέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.
Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΠρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών
2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα
ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα Οι νοεροί υπολογισμοί απαιτούν ικανότητα οπτικοποίησης: να μπορείς να φανταστείς κάτι και να δουλέψεις με το νου.. Είναι ένα είδος νοητικού πειράματος, η νοερή
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ. ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα (!,!,!,!,! ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας,!!!!! χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες και εφαρμογίδια.
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 2, 5 ΚΑΙ 10. Αρ2.7 Ανακαλύπτουν, διατυπώνουν και εφαρμόζουν τα κριτήρια διαιρετότητας του 2, 5 και του 10.
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 2, 5 ΚΑΙ 10 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας αντικείμενα,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικα A Γυμνασιου
Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότερα1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών
ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα
Διαβάστε περισσότεραΟ πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).
Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 2016 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. i. Να αποδείξετε την προσεταιριστική ιδιότητα
ΘΕΜΑ 1 ο ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 016 i. Να αποδείξετε την προσεταιριστική ιδιότητα ( α β) γ α( β γ) =, όπου α,β,γ N και να την αναπαραστήσετε γεωμετρικά με ένα δικό σας παράδειγμα κατάλληλο για
Διαβάστε περισσότεραΚάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό.
A.1.1 Φυσικοί αριθμοί Διάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί OÚÈÛÌfi 1. Φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3,... και συμβολίζονται με το γράμμα Ν (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ1.15 Αναπτύσσουν την έννοια του πολλαπλασιασμού ως αθροιστικής επανάληψης ίσων προσθετέων και διαισθητικά την έννοια της
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΑΡΙΘΜΟΙ ΩΣ ΤΟ 100
ΑΡΙΘΜΟΙ ΩΣ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης, διαιρετέος,
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης
Διαβάστε περισσότερα1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.
Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 5. Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας
Μονοψήφιος πολλαπλασιασμός Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΣτόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης
Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το
Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος
Διαβάστε περισσότεραΠράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις - συμπληρώσεις )
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς
Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότερα2 ος. Γυμνασίου. ΘΕΜΑ 1 ο Με τα. αριθμός που μπορούμε να σχηματίσουμε ώστε. Απάντηση = β) Γνωρίζουμε ότι διψήφιο τμήμα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑ ΑΣ 2 ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά. «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2010 Α Γυμνασίου ΘΕΜΑ 1 ο Με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5 σχηματίζουμ
Διαβάστε περισσότεραΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ: Γ. Προτείνεται να αξιοποιηθούν διδακτικά τα παρακάτω «ψηφιακά δομήματα» από τα εμπλουτισμένα σχ. εγχειρίδια. Προτείνεται να μην
ΤΑΞΗ: Γ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ: Βιβλίο μαθητή, Μαθηματικά Γ Δημοτικού, 2015, ένα τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά Γ Δημοτικού, 2015, α τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά Γ Δημοτικού, 2015, β τεύχος Τετράδιο
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητής = Παρονομαστής
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα
Διαβάστε περισσότερα