Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Διδάσκων: Αν. Καθ. Ιωάννης Φούντος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης 2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

4 Εισαγωγή Στα γραφικά με υπολογιστή συχνά πρέπει να μεταβληθεί: Η μορφή των αντικειμένων Το σύστημα συντεταγμένων Παραδείγματα: Σε μια σκηνή, ένα ψηφιοποιημένο αυτοκίνητο μπορεί να χρησιμοποιείται σε διαφορετικά στιγμιότυπα: σε διάφορα σημεία, κατευθύνσεις και μεγέθη Στην συνθετική κίνηση, ένα αντικείμενο μεταβάλλεται μεταξύ των καρέ Καθώς αντικείμενα διασχίζουν την σωλήνωση γραφικών, αλλάζουν το σύστημα συντεταγμένων τους: Σύστημα Συντεταγμένων Αντικειμένου Σύστημα Συντεταγμένων Κόσμου Σύστημα Συντεταγμένων Κόσμου Σύστημα Συντεταγμένων Παρατηρητή Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων: - Εργαλεία για μεταβολή αντικειμένων - Το σημαντικότερο κομμάτι των γραφικών 2

5 Εισαγωγή (2) 3Δ σημεία στον Ευκλείδειο χώρο E 3 : 3 1 διανύσματα στήλες p p p p Γραμμικοί μετασχηματισμοί: πίνακες x y z - πολλαπλασιάζονται από αριστερά με σημείο, παράγοντας νέο σημείο p m m m p x x p m4 m5 m6 p y y p m z 7 m8 m 9 p z Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 3 3

6 Εισαγωγή (3) Αν αναπαριστούσαμε τα σημεία σαν διανύσματα γραμμής 1 3 p = [ px py pz] οι γραμμικοί μετασχηματισμοί θα έπρεπε να πολλαπλασιάζονται με το σημείο από δεξιά m1 m4 m 7 p p p px py p z m x y z 2 m5 m 8 m3 m6 m 9 Χρησιμοποιούμε δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων: Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 3 4

7 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί - Συνδυασμοί Μαθηματικά: Μετασχηματισμοί: απεικονίσεις με πεδίο ορισμού και τιμών το ίδιο σύνολο (π.χ. E 3 E 3 ) Γραφικά Υπολογιστή & Οπτικοποίηση: Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί: μετασχηματισμοί που διατηρούν αναλλοίωτες σημαντικές γεωμετρικές ιδιότητες των μεταβαλλόμενων αντικειμένων Οι Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί διατηρούν τους Συσχετισμένους Συνδυασμούς Παραδείγματα συσχετισμένων συνδυασμών : Ευθύγραμμα τμήματα, κυρτά πολύγωνα, τρίγωνα, τετράεδρα δομικά συστατικά των μοντέλων Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 3 5

8 Συσχετισμένοι Συνδυασμοί 3 Συσχετισμένος συνδυασμός των σημείων p 0,p 1,...,pn E είναι ένα 3 σημείο p E : n p ai pi όπου και a, a,..., an R 0 1 n i0 a i 1 i0 : συσχετισμένες συντεταγμένες του p ως προς τα Κυρτός συσχετισμένος συνδυασμός: Αν όλα τα a i 0, i = 0,1,,n p 0,p 1,...,pn Ο συσχετισμένος συνδυασμός p βρίσκεται εντός του κυρτού περιβλήματος των αρχικών σημείων p 0,...,pn π.χ. 1: Ευθ. Τμήμα μεταξύ των σημείων p 1 και p 2 είναι το σύνολο σημείων p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 με 0 a 1 1 και a 2 = 1 a 1 π.χ. 2: Τρίγωνο με κορυφές p 1, p 2, p 3 είναι το σύνολο σημείων p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 με 0 a 1, a 2, a 3 1 και a 1 + a 2 + a 3 = 1 Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 3 6

9 Συσχετισμένος Μετασχηματισμός: Μετασχηματισμός που διατηρεί τους συσχετισμένους συνδυασμούς Διατηρεί τη σχέση μεταξύ των σημείων Ένας μετασχηματισμός 3 3 : E E είναι συσχετισμένος αν n n ( p) ai( pi ) όπου p ai pi : συσχετισμένος συνδυασμός Η εφαρμογή ενός συσχετισμένου μετασχηματισμού στο αποτέλεσμα p συσχετισμένου συνδυασμού πρέπει να είναι ισοδύναμη με τον συσχετισμένο συνδυασμό του συσχετισμένου μετασχηματισμού των σημείων ορισμού με τα ίδια βάρη a i π.χ. Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί i0 i0 7

10 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί (2) Πρακτική συνέπεια: Τα εσωτερικά σημεία δεν χρειάζεται να μετασχηματιστούν Αρκεί ο μετασχηματισμός των σημείων ορισμού Π.χ. εφαρμογή συσχετισμένου μετασχηματισμού σε τρίγωνο: Μόνο στις 3 κορυφές και όχι στα (άπειρα) εσωτερικα σημεία Γενικός Συσχετισμένος Μετασχηματισμός Απεικόνιση μορφής ( ) p Ap t t είναι συσχετισμένος μετασχηματισμός στο E 3. (1) όπου A ένας 3 3 πίνακας ένας 3 1 πίνακας Απόδειξη: Θα δείξουμε ότι η (1) διατηρεί τους συσχετισμένους συνδυασμούς n n n n ( ap ) A( ap ) t aap at i i i i i i i i0 i0 i0 i0 n n a ( Ap t) a( p ). i i i0 i0 i i 8

11 2Δ Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Αποτελέσματα στις 2Δ γενικεύονται στις 3Δ 4 βασικοί συσχετισμένοι μετασχηματισμοί: Μεταφορά Αλλαγή Κλίμακας Περιστροφή Στρέβλωση 9

12 Μεταφορά στις 2Δ Ορίζει κίνηση συγκεκριμένης απόστασης και κατεύθυνσης, που ορίζονται από το διάνυσμα μεταφοράς Η μετατόπιση στις 2Δ ενός σημείου T p=[x,y] κατά διάνυσμα d = [ d, ] T x dy T δίνει ένα νεό σημείο p '=[x',y'] p pd Η μεταφορά είναι στιγμιότυπο του ( ) όπου (I είναι ο ταυτοτικός πίνακας 2 2) A= I t = d p Ap t και 10

13 Αλλαγή Κλίμακας στις 2Δ Αλλάζει το μέγεθος των αντικειμένων Συντελεστής αλλαγής κλίμακας: ορίζει μεταβολή διάσταση 2Δ: s x & s y είναι οι συντελεστές αλλαγής κλίμακας που πολλαπλασιάζουν τις αντίστοιχες συντεταγμένες του p=[x, y] T Αλλαγή κλίμακας στις 2Δ σημείου p=[x, y] T δίνει το p =[x, y ] T : s 0 x p S( sx, sy) p S( sx, sy) 0 sy p Ap t Η αλλαγή κλίμακας είναι στιγμιότυπο του ( ) όπου A= S( s, και s ) t = 0 x y 11

14 Αλλαγή Κλίμακας στις 2Δ (2) Αλλαγή κλίμακας σε σημείο δεν είναι παρατηρήσιμη Αν ο συντελεστής αλλαγής κλίμακας <1 συρρίκνωση αντικειμένου ο συντελεστής αλλαγής κλίμακας >1 μεγέθυνση αντικειμένου Παρενέργεια μεταφοράς (ανάλογη συντελεστή αλλαγής κλίμακας): Μετακίνηση αντικειμένου προς την αρχή του άξονα x (s x < 1) Μετακίνηση αντικειμένου μακριά από την αρχή του άξονα y (s y > 1) Ομοιόμορφη αλλαγή κλίμακας: Αν όλοι οι συντελεστές αλλαγής κλίμακας είναι ίσοι (στις 2Δ s x = s y ) Διατηρεί τις αναλογίες των αντικειμένων Κατοπτρισμός: Ειδική περίπτωση: Συντελεστής αλλαγής κλίμακας -1 Για τον άξονα x: S(1,-1) και για τον άξονα y: S(-1,1) 12

15 Περιστροφή στις 2Δ Περιστρέφει τα αντικείμενα γύρω από το κέντρο συντεταγμένων Αλλάζει ο προσανατολισμός αλλά όχι η απόσταση του αντικειμένου σε σχέση με το κέντρο Η αριστερόστροφη περιστροφή είναι θετική (αντίθετη δεικτών ρολ.) p [ x, y] T p = [ xy, ] T Το μπορεί να υπολογιστεί το από το : x lcos( ) l(cos cossin sin ) x cosy sin y lsin( ) l(cos sin sin cos ) x s in y cos Έτσι: p R( ) p 13

16 Περιστροφή στις 2Δ (2) Όπου: R( ) cos sin sin cos Η περιστροφή είναι στιγμιότυπο του όπου A R( ) και t = 0 ( p) Ap t 14

17 Στρέβλωση στις 2Δ Αυξάνει μια συντεταγμένη του αντικειμένου κατά ποσότητα ίση με μια άλλη συντεταγμένη επί τον παράγοντα στρέβλωσης Παράδειγμα: τραπουλόχαρτα που τοποθετούνται επίπεδα πάνω σε ένα τραπέζι και έπειτα τους προσδίδουμε κλίση χρησιμοποιώντας ένα σκληρό βιβλίο 15

18 Στρέβλωση στις 2Δ (2) p [ x, y] T Μπορούμε να υπολογίσουμε το από το : στρέβλωση στον άξονα x x x ay, y y στρέβλωση στον άξονα y x x, ybx y όπου α και b είναι οι αντίστοιχοι παράγοντες στρέβλωσης Σε μορφή πινάκων: p = [ xy, ] T στρέβλωση στον άξονα x στρέβλωση στον άξονα y 1 a p SHx( a) p, όπου SH x ( a) 0 1 p 1 0 SHy ( b) p, όπου SH y ( b) b 1 Η στρέβλωση είναι ένα στιγμιότυπο του συσχετισμένου μετασχηματισμού ( p) Ap t, όπου A = SHx( a) ή A SH ( b) και = y t = 0 16

19 Σύνθετοι Μετασχηματισμοί Πρακτικά, οι μετασχηματισμοί στα γραφικά και στην οπτικοποίηση σπάνια αποτελούνται από έναν απλό συσχετισμένο μετασχηματισμό Οι μετασχηματισμοί εφαρμόζονται σε όλα τα αντικείμενα της σκηνής Τα αντικείμενα ορίζονται από χιλιάδες ή εκατομμύρια κορυφές ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Περιστροφή 2Δ αντικειμένου κατά 45 o και έπειτα ισότροπη αλλαγή κλίμακας κατά παράγοντα 2 Εφαρμογή πίνακα περιστροφής: R(45 ) Έπειτα εφαρμογή του πίνακα αλλαγής κλίμακας: S(2, 2)

20 Σύνθετοι Μετασχηματισμοί (2) Εφαρμογή των πινάκων ακολουθιακά σε κάθε κορυφή p: S(2, 2) (R(45 o ) p) ΜΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟ Εναλλακτικά: Χρήση της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων & εφαρμογή του (προυπολογισμένου) αποτελέσματος στις κορυφές: (S(2, 2) R(45 o ) )p ΠΙΟ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟ Ο σύνθετος μετασχηματισμός υπολογίζεται μόνο μια φορά και εφαρμόζεται στις κορυφές Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός η σειρά πολλαπλασιασμού των πινάκων έχει σημασία Έχοντας επιλέξει αναπαράσταση των σημείων σαν στήλες οι πίνακες μετασχηματισμού πολλαπλασιάζουν από αριστερά τα σημεία ο σύνθετος πίνακας υπολογίζεται με αντίθετη σειρά από την σειρά εφαρμογής 18

21 Σύνθετοι Μετασχηματισμοί (3) Δηλαδή για την εφαρμογή των μετασχηματισμών T1,T2,...,Tm, υπολογίζουμε τον σύνθετο πίνακα Tm... T2 T1 Πρόβλημα με τον μετασχηματισμό μεταφοράς: Η μεταφορά δεν μπορεί να περιγραφεί από ένα πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού όπως: x ax by y cx dy Η μεταφορά δεν μπορεί να είναι μέρος σύνθετου μετασχηματισμού Λύση στο πρόβλημα αυτό ομογενείς συντεταγμένες 19

22 Ομογενείς Συντεταγμένες Οι ομογενείς συντεταγμένες χρησιμοποιούν μια επιπλέον διάσταση από το χώρο που αναπαρίσταται x w Χώρος 2Δ : y, όπου w η νέα συντεταγμένη που αναπαριστά την επιπλέον διάσταση. Ισχύει w 0 Θέτοντας w=1 διατηρούμε την αρχική μας χωρική διάσταση επιλέγοντας το «επίπεδο» w=1 Στις 2Δ χρησιμοποιείται το επίπεδο w=1 αντί του επιπέδου xy 20

23 Ομογενείς Συντεταγμένες (2) Σημεία των οποίων οι ομογενείς συντεταγμένες είναι πολλαπλάσιες, είναι ισοδύναμα: π.χ., τα [1,2,3] T και [2,4,6] T παριστούν το ίδιο σημείο Το ακριβές σημείο που παριστάνουν δίνεται από την μοναδική βασική αναπαράσταση, για την οποία ισχύει w = 1 και δίνεται από την διαίρεση όλων των συντεταγμένων με το w: [x/w, y/w, w/w] T = [x/w, y/w, 1] T Γενικά, η βασική αναπαράσταση χρησιμοποιείται για την παράσταση σημείων και εξασφαλίζουμε ότι οι μετασχηματισμοί την διατηρούν 21

24 Ομογενείς Συντεταγμένες (3) Πως λειτουργεί η μεταφορά με ομογενείς συντεταγμένες; Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι ισχύει w=1 για την αναπαράσταση της μεταφοράς σημείου p = [x, y, w] T κατά διάνυσμα d = [ dx, dy] σαν γραμμικό μετασχηματισμό: x 1x0ydw xd y 0x1yd w yd w 0x0y1w1 x y x y Ο μετασχηματισμός της w συντεταγμένης εξασφαλίζει ότι το προκύπτον p [ x, y, w] T σημείο έχει w 1 22

25 Ομογενείς Συντεταγμένες (4) Οι παραπάνω γραμμικές εκφράσεις συνοψίζονται σε μορφή πίνακα η μεταφορά λειτουργεί ακριβώς όπως και οι άλλοι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί Στους μη ομογενείς μετασχηματισμούς, η αρχή των αξόνων [0, 0] T είναι σταθερό σημείο: a b 0 0 c d 0 0 Άλλο πλεονέκτημα ομογενών συντεταγμένων: δεν υπάρχει σταθερό σημείο στους ομογενείς συσχετισμένους μετασχηματισμούς 23

26 Ομογενείς Συντεταγμένες (5) Αρχή των αξόνων στις 2Δ είναι [0, 0, 1] T & δεν είναι σταθερό σημείο Το σημείο [0, 0, 0] T είναι εκτός του επιπέδου w = 1 μη επιτρεπόμενο καθότι w = 0 Από εδώ και στο εξής τα σημεία θα αναπαρίστανται με τις ομογενείς τους συντεταγμένες: 2Δ [x, y, 1] T 3Δ [x, y, z, 1] T 24

27 Ομογενείς Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί στις 2Δ Ομογενής πίνακας μεταφοράς στις 2Δ: 1 0 dx Td ( ) 0 1 d y Χρήση μεταφοράς όπως και των άλλων βασικών συσχετισμένων μετασχηματισμών: p Td ( ) p Η τελευταία γραμμή του ομογενούς πίνακα μετασχηματισμών είναι πάντα [0, 0, 1] διατηρεί τιμή συντεταγμένης w (1) Ομογενής πίνακας αλλαγής κλίμακας στις 2Δ : s 0 0 x S( sx, sy) 0 sy

28 Ομογενείς Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί στις 2Δ (2) Ομογενής πίνακας περιστροφής στις 2Δ: Ομογενείς πίνακες στρέβλωσης στις 2Δ: Στρέβλωση στον άξονα x Στρέβλωση στον άξονα y cos sin 0 R( ) sin cos a 0 SH x ( a) SH y ( b) b

29 Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις 2Δ Συχνά είναι απαραίτητη η αντιστροφή ενός μετασχηματισμού Αντίστροφος ομογενής πίνακας μεταφοράς στις 2Δ: 1 0 d x -1 T ( d) T( -d) 0 1 d y Αντίστροφος ομογενής πίνακας αλλαγής κλίμακας στις 2Δ: -1 S s x ( sx, sy) S(, ) 0 0 sx sy sy

30 Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις 2Δ (2) Αντίστροφος ομογενής πίνακας περιστροφής στις 2Δ: -1 R cos sin 0 ( ) R( ) sin cos Αντίστροφος ομογενής πίνακας στρέβλωσης στις 2Δ: 1 a 0-1 στρέβλωση στον άξονα x SHx ( a) SHx( a) στρέβλωση στον άξονα x SH -1 y ( b) SHy( b) b

31 Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις 2Δ (3) Η εφαρμογή ενός μετασχηματισμού πάνω σε ένα αντικείμενο είναι ισοδύναμη με την εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού πάνω στο σύστημα συντεταγμένων (μετασχηματισμός αξόνων) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Η ισοτροπική αλλαγή κλίμακας σε ένα αντικείμενο κατά συντελεστή 2 είναι ισοδύναμη με την ισοτροπική αλλαγή κλίμακας στους άξονες του συστήματος συντεταγμένων κατά συντελεστή ½ (συρρίκνωση) 29

32 Ιδιότητες Ομογενών Πινάκων Ιδιότητες πινάκων ομογενών συσχετισμένων μετασχηματισμών: T( d1) T( d2) T( d2) T( d1) T( d1d2) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s s, s s ) x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 x1 x2 y1 y2 R( 1) R( 2) R( 2) R( 1) R( 12) S( sx, sy) R( ) R( ) S( sx, sy) μόνο για ισοτροπική αλλαγή κλίμακας (s x =s y ) 30

33 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 1: Περιστροφή γύρω από σημείο Προσδιορισμός του πίνακα μετασχηματισμού R(θ, p) που απαιτείται για την περιστροφή γύρω από σημείο p κατά γωνία θ Λύση: Βήμα 1: Μεταφορά κατά pt, ( p) Βήμα 2: Περιστροφή κατά θ, R(θ) Βήμα 3: Μεταφορά κατά ptp, ( ) 1 0 p x cos sin 01 0 p x cos sin pxpxcos pysin R(, p) 0 1 p y sin cos p y sin cos pypxsin pycos

34 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 2 Παράδειγμα 2: Περιστροφή τριγώνου γύρω από σημείο abc Περιστροφή τριγώνου κατά 45 o γύρω από σημείο p=[-1,-1] T, όπου a=[0,0]t, b=[1,1] T και c=[5,2] T Λύση: Το τρίγωνο αναπαρίσταται με τον πίνακα: T Εφαρμογή R(θ, p) [Παρ. 1] στο τρίγωνο: T 9 R(45,[ 1, 1] ) T Το προκύπτον τρίγωνο είναι το abc όπου a =[-1, 2 1] T, b =[-1, ] T και c =[ ] T 2 1,

35 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 3: Αλλαγή κλίμακας ως προς τυχαίο σημείο Κατασκευή πίνακα μετασχηματισμού S(s x,s y,p) για αλλαγή κλίμακας κατά s x και s y ως προς τυχαίο (σταθερό) σημείο p Λύση: Βήμα 1: Μεταφορά κατά pt, ( p) Βήμα 2: Αλλαγή κλίμακας κατά s x και s y, S(s x,s y ) Βήμα 3: Μεταφορά κατά ptp, ( ) 1 0 p x s 0 0 x 1 0 p x sx 0 pxps x x S( sx, sy, p) 0 1 p y 0 sy p y 0 sy pyps y y

36 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 4 Παράδειγμα 4: Αλλαγή κλίμακας τριγώνου ως προς σημείο abc Διπλασιασμός του μήκους των πλευρών τριγώνου κρατώντας σταθερή την κορυφή c. Οι συντεταγμένες των κορυφών είναι a=[0,0] T, b=[1,1] T, c=[5,2] T Λύση: Το τρίγωνο αναπαρίσταται από τον πίνακα T [Παρ. 2] Εφαρμογή πίνακα S(s x,s y,p) [Παρ. 3] στο τρίγωνο, θέτοντας τους παράγοντες αλλαγής κλίμακας =2 και p=c T S(2, 2,[5, 2,1] ) T Το νέο τρίγωνο είναι το abc με a =[-5,-2] T, b =[-3,0] T c =[5,2] T 34

37 Παράδειγμα 5: Μετασχηματισμός άξονα Έστω ότι το σύστημα συντεταγμένων μεταφέρεται κατά διάνυσμα v Λύση: 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 5 = [ v, v ] T x y. Κατασκευάστε τον πίνακα που περιγράφει το παραπάνω Ο ζητούμενος πίνακας μετασχηματισμού πρέπει να παράγει τις συντεταγμένες των αντικειμένων ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων. Αυτό επιτυγχάνεται με εφαρμογή τις αντίστροφης μεταφοράς στα αντικείμενα: 1 0 vx T( v ) 0 1 v y Όμοια, για οποιοδήποτε μετασχηματισμό άξονα: Ζητούμενο Εφαρμογή αντίστροφου μετασχηματισμού στα αντικείμενα 35

38 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 6 Παράδειγμα 6: Κατοπτρισμός σε τυχαίο άξονα Κατασκευή πίνακα μετασχηματισμού για κατοπτρισμό σε τυχαίο άξονα που ορίζεται από σημείο p=[p x,p y ] T και κατεύθυνση v = [ v, ] T x vy Λύση: Βήμα 1: Μεταφορά κατά pt, ( p) Βήμα 2: Περιστροφή κατά θ (φορά ρολογιού), R(-θ), θ η γωνία που σχηματίζει ο άξονας x και το διάνυσμα vy vx sin cos v v v x v και: (Τα 2 παραπάνω βήματα ταυτίζουν τον τυχαίο άξονα με τον x) Βήμα 3: Κατοπτρισμός στον άξονα x, S(1, -1) Βήμα 4: Περιστροφή κατά θ, R(θ) y x y v 36

39 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 6 (2) Βήμα 5: Μεταφορά κατά Συνεπώς έχουμε: M SYM ptp, ( ) 1 0 p x cos sin cos sin 01 0 p x 0 1 p y sin cos sin cos p y cos sin 2sin cos pxpx(cos sin ) 2 pysin cos sin cos sin cos pypy(sin cos ) 2 pxsin cos 37

40 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 7 Παράδειγμα 7: Κατοπτρισμός Πολυγώνου Δοθέντος ενός πολυγώνου, κατασκευάστε τον κατοπτρισμό του ως προς α) την γραμμή y=2 και (β) τον άξονα που ορίζεται από το σημείο p=[0,2] T και το διάνυσμα v = [1,1] T. Το πολύγωνο δίνεται από τις κορυφές του a=[-1,0] T, b=[0,-2] T, c=[1,0] T και d=[0,2] T Λύση: Το πολύγωνο αναπαρίσταται από τον πίνακα: Στην περίπτωση (α) p=[0,2] T και v = [1, 0] T έτσι θ=0 ο, sinθ=0, cosθ=1 και έχουμε: Π MΠSYM

41 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 7 (2) v = [1,1] T 1 2 Στην περίπτωση (β) p=[0,2] T και, έτσι sinθ = cosθ = και έχουμε: MΠSYM όπου M SYM είναι ο πίνακας του [Παρ. 6] 39

42 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 8 Παράδειγμα 8: Μετασχηματισμός Παράστασης Τα περιεχόμενα ενός 2Δ παραθύρου πρέπει να μεταφερθούν σε ένα 2Δ πεδίο παράστασης. Το παράθυρο και το πεδίο παράστασης είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα με πλευρές παράλληλες στους άξονες x, y. Προσδιορίστε τον πίνακα μετασχηματισμού παράστασης. Επίσης προσδιορίστε την παραμόρφωση των αντικειμένων με βάση τον Μετασχηματισμό αυτό. Λύση: Έστω ότι το παράθυρο και το πεδίο παράστασης ορίζονται από δυο T T T T κορυφές [ w, w ],[ w, w ] και [ v, v ],[ v, v ] xmin ymin xmax ymax xmin ymin xmax ymax Βήμα 1: Μεταφορά του [ w, ] T στην αρχή των αξόνων, xmin wymin χρησιμοποιώντας T( w ) με = [ w, w ] T min w min xmin ymin 40

43 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 8 (2) Βήμα 2: Αλλαγή κλίμακας του παραθύρου στο μέγεθος του πεδίου παράστασης, με S(s x, s y ) όπου vxmax v v xmin ymax vymin sx = sy = w w w w xmax xmin Βήμα 3: Μεταφορά του πεδίου παράστασης κατά την κορυφή με Tv ( min), όπου v [, ] T min = vxmin vymin Συνεπώς έχουμε: M = Tv ( ) S( s, s ) T( w ) WV min x y min ymax ymin vxmax v xmin 0 0 wxmax w xmin 1 0 v xmin 1 0 w xmin vymax v ymin 0 1 v ymin w ymin wymax w ymin [ v, v ] T xmin ymin 41

44 Τελικά: 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 8 (3) M WV v v v v 0 vxmin wxmin w w w w v v v v 0 vymin wymin w w w w xmax xmin xmax xmin xmax xmin xmax xmin ymax ymin ymax ymin ymax ymin ymax ymin 42

45 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 8 (4) M WV εκφράζει μη ισότροπη αλλαγή κλίμακας (s x s y ) παραμόρφωση αντικειμένων. Ο κύκλος μετατρέπεται σε έλλειψη και το τετράγωνο σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Οι λόγοι εικόνας του παραθύρου και του πεδίου παράστασης ορίζονται σαν οι λόγοι των διαστάσεών τους x, y: a w w w v v =, av = w w v v xmax xmin xmax xmin ymax ymin ymax ymin Αν a w a v τότε τα αντικείμενα παραμορφώνονται. Λύση χρήση του μεγαλύτερου δυνατού πεδίου παράστασης με τον ίδιο λόγο εικόνας με αυτόν του παραθύρου: Πχ: αλλαγή του συνόρου v xmax ή v ymax του πεδίου παράστασης ως εξής: Αν (a v >a w ) τότε v xmax = v xmin + a w *(v ymax v ymin ) Αλλιώς αν (a v <a w ) τότε ( vxmax vxmin ) vymax = vymin + a w 43

46 2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 9 Παράδειγμα 9: Περίπτωση Μετασχηματισμού Παράστασης Προσδιορισμός του μετασχηματισμού παράστασης από το παράθυρο: [ w, ] T [1,1] T,[, ] T [3,5] T xmin wymin = wxmax wymax = στο πεδίο παράστασης: [ v, v ] T = [0,0] T,[ v, v ] T = [1,1] T xmin ymin xmax ymax Αν υπάρχει παραμόρφωση, πως μπορεί να διορθωθεί; Λύση: Άμεση εφαρμογή του M WV [Παρ. 8] Για τα παραπάνω δεδομένα έχουμε: M WV Ισχύει a w = και a v = υπάρχει παραμόρφωση καθώς ( a 2 v > aw). 1 Μπορεί να διορθωθεί μειώνοντας το μέγεθος του πεδίου παράστασης ως εξής: 1 vxmax = vxmin + aw *( vymax vymin ) = 2 44

47 Μετασχηματισμοί 2Δ: Παράδειγμα 10 Παράδειγμα 10: Μετασχηματισμός Παράστασης με Κλίση Υποθέστε ότι το παράθυρο έχει κλίση και δίνεται από τις 4 κορυφές του a=[1,1] T, b=[5,3] T, c=[4,5] T και d=[0,3] T. Υπολογίστε το μετασχηματισμό που το απεικονίζει στο πεδίο παράστασης TILT M WV [ v, v ] = [0,0],[ v, v ] = [1,1] T T T T xmin ymin xmax ymax ΛΥΣΗ Βήμα1: Στροφή του παραθύρου κατά γωνία θ με σταθερό το σημείο a. Πίνακας μετασχηματισμού R(-θ, a) [Παρ. 1] όπου 1 2 sin cos 5 5 Βήμα 2: Εφαρμογή του μετασχηματισμού παράστασης M WV [Παρ. 8] 45

48 Μετασχηματισμοί 2Δ: Παράδειγμα 10 (2) Πριν το Βήμα 2 πρέπει να καθοριστούν οι μέγιστες x- και y- συντεταγμένες του περιστρεφόμενου παραθύρου, υπολογίζοντας: Έτσι c R(, a) c T [ w, w ] a,[ w, w ] xmin ymin xmax ymax T c, και έχουμε: TILT MWV MWV R(, a)

49 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ Ομογενείς συντεταγμένες 3Δ παρόμοιες με 2Δ 1 επιπλέον συντεταγμένη [x, y, z, w] T όπου w αντιστοιχεί στην επιπλέον διάσταση Σημεία των οποίων οι ομογενείς συντεταγμένες είναι πολλαπλάσια είναι ισοδύναμα π.χ. [1, 2, 3, 2] T και [2, 4, 6, 4] T Βασική παράσταση Μοναδική Έχει w = 1 Βρίσκεται με διαίρεση με w : [x/w, y/w, z/w, w/w] T = [x/w, y/w, z/w, 1] T, w 0 Παράδειγμα: T = = T T [,,, ] [,,, ] [,1,,1] Έχουμε 3Δ προβολή ενός 4Δ χώρου θέτοντας w=1 Σημεία: διανύσματα 4 1. Μετασχηματισμοί: πίνακες

50 3Δ Ομογενής Μεταφορά Ορίζεται με 3Δ διάνυσμα Μορφή πίνακα: d = [ dx, dy, dz] d x d y Td ( ) d z Td ( ) μπορεί να συνδυαστεί με άλλους συσχετισμένους μετασχηματισμούς με πολλαπλασιασμό πινάκων. Αντίστροφος μετασχηματισμός μεταφοράς: T 1 ( d) = T( d) T 48

51 3Δ Ομογενής Αλλαγή Κλίμακας 3 παράγοντες αλλαγής κλίμακας: s x, s y, s z Αν παράγοντας < 1 σμίκρυνση αντικειμένου στην αντίστοιχη διάσταση παράγοντας > 1 μεγέθυνση αντικειμένου Με μορφή πίνακα: s x 0 s 0 0 y S( sx, sy, sz) 0 0 sz Η αλλαγή κλίμακας έχει σαν παρενέργεια τη μετακίνηση του αντικειμένου, ανάλογα με τον παράγοντα αλλαγής κλίμακας 49

52 3Δ Ομογενής Αλλαγή Κλίμακας (2) Ισοτροπική Αλλαγή Κλίμακας: Αν s x = s y = s z Διατηρεί το σχήμα των αντικειμένων (γωνίες) Κατοπτρισμός: Σε ένα από τα κύρια επίπεδα (xy, xz, yz) Χρήση του -1 σαν παράγοντα αλλαγής κλίμακας Π.χ. κατοπτρισμός στο επίπεδο xy : S(1, 1, -1) Αντίστροφος μετασχηματισμός αλλαγής κλίμακας: S ( sx, sy, sz) = S(,, ) s s s x y z 50

53 3Δ Ομογενής Περιστροφή Διαφορετική από την περιστροφή 2Δ: περιστροφή γύρω από άξονα Βασικοί μετασχηματισμοί περιστροφής: γύρω από τους 3 κύριους άξονες x, y, z Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα: συνδυασμός βασικών περιστροφών Θετική περιστροφή γύρω από άξονα α: σε δεξιόστροφα συστήματα είναι η περιστροφή με κατεύθυνση αντίστροφη της φοράς των δεικτών του ρολογιού κοιτώντας από τον θετικό άξονα προς το κέντρο Θετική Περιστροφή γύρω από τον y 51

54 3Δ Ομογενής Περιστροφή(2) Δεν αλλάζει η απόσταση από τον άξονα περιστροφής Δεν επηρεάζεται η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής Πίνακες περιστροφής γύρω από τους κύριους άξονες: R x cos sin 0 ( ) 0 sin cos R y cos 0 sin ( ) sin 0 cos R z cos sin 0 0 sin cos 0 0 ( ) Αντίστροφη περιστροφή : R ( θ) = R και ( θ), R( )( θ) = R( ( ) θ) R θ = R θ x x y y z z Περιστροφές γίνονται και με τη βοήθεια των quaternions 52

55 3Δ Ομογενής Στρέβλωση Στρέβλωση αντικειμένου σε ένα από τα κύρια επίπεδα Αυξάνει 2 συντεταγμένες ανάλογα με την 3 η συντεταγμένη επί τον αντίστοιχο παράγοντα στρέβλωσης 3 είδη στρέβλωσης στις 3Δ: xy, xz, yz Στρέβλωση στο xy επίπεδο: αύξηση της x-συντεταγμένης κατά αύξηση της y-συντεταγμένης κατά Όμοια για xz & yz : SH xy 1 0 a b 0 ( ab, ) SH xz Αντίστροφη στρέβλωση: 1 a ( ab, ) 0 b SH SH SH -1 xy -1 xz -1 yz ( ab, ) = SH ( a, b), xy ( ab, ) = SH ( a, b), xz ( ab, ) = SH ( a, b) yz SH yz a ( ab, ) b a z b z 53

56 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11: Σύνθετη Περιστροφή - Καμπή Υπολογίστε τον πίνακα καμπής: Περιστροφή κατά γωνία θ x γύρω από x-άξονα Περιστροφή κατά γωνία θ y γύρω από y-άξονα Παίζει ρόλο η σειρά που γίνονται οι περιστροφές; ΛΥΣΗ 1. cosy 0 sin y cosy sin xsin y cosxsin 0 y cosx sin 0 x 0 cosx sin 0 x M ( y) ( x) BEND Ry R x sin y 0 cosy 0 0 sin x cosx 0 sin y sin xcosy cosxcos y Υπολογισμός με την αντίστροφη σειρά: cosy 0 sin 0 y cosy 0 sin 0 y 0 cosx sin x sin xsin y cosx sin xcos 0 y M ( x) ( y) BEND Rx R y 0 sin x cosx 0 sin y 0 cosy 0 cosxsin y sin x cosxcos y M BEND M' BEND οπότε η σειρά που εκτελούνται οι περιστροφές παίζει ρόλο 54

57 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12: Ευθυγράμμιση Διανύσματος με Άξονα Υπολογίστε τον μετασχηματισμό Av ( ) που ευθυγραμμίζει το διάνυσμα v = [ abc,, ] T με το μοναδιαίο διάνυσμα ˆk κατά μήκος του θετικού άξονα z ΛΥΣΗ v Αρχικά Βήμα 1 Βήμα 2 Χρησιμοποιούμε 2 περιστροφές: Βήμα 1: Στροφή γύρω από x-άξονα κατά θ 1 έτσι ώστε το να απεικονίζεται στο πάνω στο επίπεδο xz, R x (θ 1 ) v 1 v 1 Βήμα 2: Στροφή του γύρω από τον y-άξονα κατά θ 2 έτσι ώστε να ταυτισθεί με το ˆk, R y (θ 2 ) v 55

58 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 12 (2) ( ) ( ) ( ) Πίνακας ευθυγράμμισης Av ( ) : Av R y 2 R x 1 Υπολογισμός γωνίας θ 1 : θ 1 ισούται με τη γωνία που σχηματίζει η προβολή του v πάνω στο επίπεδο yz με τον άξονα z Η κορυφή p του v είναι p=[a, b, c] T Η κορυφή της προβολής πάνω στο yz είναι p =[0, b, c] T Έστω ότι τα b, c δεν είναι ταυτόχρονα 0 : sin b c, cos b c b c Οπότε, R x ( ) c b cos sin 0 b c b c sin 1 cos1 0 b c Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο b c b c

59 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 12 (3) Επιδρώντας με τον R x (θ 1 ) στο, προκύπτει η προβολή του στο xz Σημείωση: Υπολογισμός θ 2 : a a b 0 v ( 1) ( 1) 1 Rx vrx c 2 2 b c 1 1 v = v = a + b + c v v 1 sin Οπότε R y a 2 2, cos b c a b c a b c b c a cos2 0 sin 2 0 a b c a b c ( 2 ) sin cos2 0 a b c a b c a b c Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 3 57

60 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 12 (4) Υπολογισμός του Av ( ): ab ac 0 v v v c b 0 0 Av ( ) Ry( 2) Rx( 1) a b c 0 v v v v a b c b c Υπολογισμού του Av ( ) 1 (χρήσιμο για επόμενο παράδειγμα): a 0 0 v v ab c b ( ) ( ( 2) ( 1)) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) A v R y Rx Rx Ry Rx Ry v v ac b c 0 v v Αν b=c=0 τότε το v ταυτίζεται με τον άξονα x στροφή γύρω από y κατά 90 ή -90 σύμφωνα με το πρόσημο του α Av R y 2 a a ( ) ( ) a a

61 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13: Στροφή γύρω από τυχαίο άξονα με 2 Μεταφορές & 5 Στροφές Βρείτε το μετασχηματισμό που εκτελεί περιστροφή κατά γωνία θ ως προς τυχαίο άξονα που ορίζεται από διάνυσμα και σημείο p. ΛΥΣΗ Ο μετασχηματισμός Av ( )[Π.χ. 12] : Ευθυγραμμίζει ένα τυχαίο διάνυσμα με τον άξονα z Τον χρησιμοποιούμε για να μετασχηματίσουμε το π.χ. σε στροφή γύρω από το z T( p ) Βήμα 1: Μεταφορά του p στην αρχή των αξόνων, Βήμα 2: Ευθυγράμμιση του v με τον άξονα z, Av ( ) Βήμα 3: Στροφή γύρω από z κατά γωνία θ, R z ( ) -1 Βήμα 4: Αντιστροφή της ευθυγράμμισης, A ( v ) Βήμα 5: Αντιστροφή της μεταφοράς, Tp ( ) -1 M Tp ( ) A ( v) R ( ) Av ( ) T( p) ROT-AXIS z v 59

62 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14:Μετασχηματισμός Συντεταγμένων με 1 μεταφορά & 3 στροφές Βρείτε το μετασχηματισμό συν/νων με διανύσματα βάσης διανύσματα βάσης (,, ˆˆ i jkˆ ). που ευθυγραμμίζει ένα 3Δ σύστημα με το σύστημα συν/νων xyz με Η αρχή των αξόνων του 1 ου συστήματος σε σχέση με το xyz είναι O lmn. ΛΥΣΗ M ALIGN (, ˆlmn ˆ, ˆ) Μετασχηματισμός άξονα: ευθυγράμμιση της βάσης (, ˆlmn ˆ, ˆ) με τη βάση (,, ˆˆ i jkˆ ) αλλαγή του συστήματος αξόνων του αντικειμένου από σε Η λύση είναι επέκταση του Av ( (,, ˆˆ i jkˆ ) )[Παρ. 12] (, ˆlmn ˆ, ˆ) 60

63 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 14 (2) Βήμα 1: Μεταφορά κατά -O lmn για ταύτιση των 2 κέντρων, T( O lmn ) Βήμα 2: Ευθυγράμμιση του διανύσματος βάσης με το διάνυσμα βάσης, χρησιμοποιώντας τον Av ( ˆn ˆk ) του [Παρ. 12], An ( ˆ) Βήμα 3: Περιστροφή κατά φ γύρω από το άξονα z για να ευθυγραμμιστούν οι 2 άλλοι άξονες, R z ( ) M ˆ ALIGN Rz ( ) An ( ) T( O lmn) Μετασχηματισμός του ˆl ή του ˆm με An ( ˆ) για υπολογισμό της γωνίας φ. Π.χ. m An ( ˆ) mˆ : τα sinφ και cosφ θα είναι τα x και y του m 61

64 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 14(3) ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Τα διανύσματα της ορθοκανονικής βάσης των 2 συστημάτων αξόνων : ˆi 0, ˆj 1, kˆ 0 ; ˆ l, mˆ, nˆ Η αρχή των αξόνων για τα 2 συστήματα ταυτίζεται ( O lmn = [0.0.0] T ). Βρείτε το μετασχηματισμό. M ALIGN Τα διανύσματα βάσης του 2 ου συστήματος εκφράζονται ως προς το 1 ο Από τις συντεταγμένες του ˆn [Παρ. 12] έχουμε: a, bκαι λ, c ( ) b ( c )

65 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 14 (4) Υπολογισμός An ( ˆ) : Υπολογισμός m : An ( ˆ) mˆ An ( ˆ) mˆ An ( ˆ) Οπότε sin και cos

66 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 14 (5) Υπολογισμός ( ϕ) : Υπολογισμός T( lmn ): οι αρχές των αξόνων των 2 συστημάτων συντεταγμένων ταυτίζονται Άρα, R z O R z M R( ) An ( ˆ) T( O ) ALIGN z lmn ( ) T( O ) = ID ( ) ( ˆ) M % ALIGN Rz A n ID lmn 64

67 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15: Αλλαγή Βάσης Βρείτε το μετασχηματισμό M BASIS που χρειάζεται για την αλλαγή της ορθοκανονικής βάσης ενός συστήματος συντεταγμένων B 1 = ( ˆi ˆ ˆ 1, j 1, k 1 ) στην B 2 = ( ˆi, ˆ, ˆ 2 j 2 k 2 ) και αντίστροφα. ΛΥΣΗ Έστω ότι οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματος στις 2 βάσεις είναι v και v B1 B2 Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων βάσης Τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι: Γραφικά & Οπτικοποίηση:Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 3 ˆi ˆ ˆ 2,j 2,k2 a d p ˆi ˆ ˆ 2, B1 b j2, B1 e k 2, B1 q c f r a d p B b e q v v c f r 1 B2 στην B1 είναι: 65

68 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 15 (2) Έτσι, 1 M BASIS a d p b e q c f r B2 είναι ορθοκανονική βάση M 1 BASIS είναι ορθοκανονικός πίνακας M BASIS a b c p q r 1 Τ ( MBASIS ) d e f Σε ομογενή μορφή: M BASIS a b c 0 d e f 0 p q r

69 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16: Μετασχηματισμός συντεταγμένων με την αλλαγή βάσης Χρησιμοποιήστε την αλλαγή βάσης του παρ. 15 για να ευθυγραμμίσετε σύστημα συντεταγμένων με διανύσματα βάσης (, ˆlmn ˆ, ˆ) με το σύστημα συντεταγμένων xyz με διανύσματα βάσης (,, ˆˆ i jkˆ ) Η αρχή των αξόνων του 1 ου συστήματος σε σχέση με το xyz είναι O lmn. ΛΥΣΗ Είναι μετασχηματισμός άξονα: Αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων από (,, ˆˆ i jkˆ ) σε (, ˆlmn ˆ, ˆ) Η αλλαγή βάσης αντικαθιστά τις 3 περιστροφές του παρ. 14 Βήμα 1: Μεταφορά κατά O lmn για να ταυτιστούν τα 2 κέντρα: T Βήμα 2: Χρήση του για αλλαγή της βάσης από (,, ˆˆ i jkˆ ) σε M BASIS ( O ) lmn (, ˆlmn ˆ, ˆ) 67

70 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 16 (2) a b c ( aox boy co) z d e f ( dox eoy f oz) M ( ) ALIGN2 MBASIS T O lmn p q r ( pox qoy roz) Όπου τα διανύσματα βάσης (l,m,n) ˆ ˆ ˆ εκφρασμένα στη βάση (i, ˆˆj,k) ˆ είναι: ˆ T T T l = [, abc, ], mˆκαι = [ de,, f], [ nˆ, = [, pqr,], ] O lmn = o o o x y z ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ [Παρ. 14]: Οχι μεταφορά αφού ταυτίζονται τα 2 κέντρα. M BASIS σε ομογενή μορφή M BASIS

71 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17: Στροφή γύρω από τυχαίο άξονα με Αλλαγή Βάσης Χρησιμοποιήστε την αλλαγή βάσης του παρ.15 για να βρείτε έναν εναλλακτικό μετασχηματισμό για περιστροφή κατά γωνία θ γύρω από τυχαίο άξονα που ορίζεται με διάνυσμα v και σημείο p. ΛΥΣΗ Έστω a x p v b και p y p c z p Το επίπεδο που είναι κάθετο στο v μέσω του p: α(x-x p )+b(y-y p )+c(z-z p )=0 Έστω q ένα σημείου του επιπέδου αυτού: q p και m= q p και l = m v Κανονικοποίηση των l,m, v για εύρεση βάσης (l,m,n) ˆ ˆ ˆ με έναν άξονα τον v και τους άλλους 2 άξονες πάνω στο δοθέν επίπεδο Χρήση του M για ευθυγράμμιση με το xyz-σύστημα BASIS Εκτέλεση της περιστροφής κατά θ γύρω από τον z 69

72 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 17 (2) Βήμα 1: Μεταφορά του p στην αρχή των αξόνων, T( p ) Βήμα 2: Ευθυγράμμιση της βάσης (l,m, ˆ ˆ v) ˆ με τη βάση (i, ˆˆj,k) ˆ, Βήμα 3: Περιστροφή ως προς z κατά γωνία θ, Βήμα 4: Αντιστροφή της ευθυγράμμισης, Βήμα 5: Αντιστροφή της μεταφοράς, Tp ( ) R z -1 M BASIS 1 MROT AXIS2 Tp ( ) MBASIS Rz ( ) MBASIS T( p) ( ) M BASIS Ο αλγεβρικός υπολογισμός του M ROT AXIS2 είναι πιο απλός από τον M ROT AXIS 70

73 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18: Περιστροφή Πυραμίδας T T Περιστρέψτε την πυραμίδα που ορίζεται από τις κορυφές a= [0,0,0], b= [1,0,0], T T = [0,1,0] και = [0,0,1] κατά γωνία γύρω από τον άξονα που ορίζεται από το T σημείο c και το διάνυσμα v = [0,1,1] c d 45 ΛΥΣΗ Η πυραμίδα αναπαρίσταται με τον πίνακα P : Pa b c d

74 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 18 (2) Περιστροφή της πυραμίδας με χρήση του πίνακα -1 M Tp ( ) A ( v) R ( ) Av ( ) T( p) Οι υποπίνακες: M ROT-AXIS ROT-AXIS z ( ) Tc Av ( ) R (45 ) ( ) z A v Tc ()

75 Μετασχηματισμοί 3Δ: Παράδειγμα 18 (3) Συνδυασμός των υποπινάκων: M ROT AXIS Υπολογισμός της νέας πυραμίδας: P M ROT AXIS P Οι κορυφές της νέας πυραμίδας είναι: a[,, και ], b[1, [,,], ], c[0,1,0] d T T T T 73

76 ΩΣ ΕΔΏ!! 74

77 Quaternions Εναλλακτικός τρόπος για να εκφράσουμε τις περιστροφές Χρήσιμα για τις περιστροφές στη συνθετική κίνηση (animation) Ένα quaternion αποτελείται από 4 πραγματικούς : q = (s, x, y, z) s βαθμωτό κομμάτι του quaternion q v = ( xyz,, ) διανυσματικό κομμάτι quaternion q Έτσι ο εναλλακτικός τρόπος αναπαράστασης είναι: Είναι σαν προέκταση των σύνθετων αριθμών στις 4 διαστάσεις: Χρησιμοποιώντας φανταστικές μονάδες i, j και k: i 2 =j 2 =k 2 =-1 & ij=k, ji=-k κτλ μέσω κυκλικής μετάθεσης, το quaternion q γράφεται: q = s+ xi+ yj+ zk Ένας πραγματικός u εκφράζεται σαν quaternion: q = v Ένα διάνυσμα εκφράζεται σαν quaternion: q = (0, ) Ένα σημείο p γράφεται σαν quaternion: q = (0, p) q = (, s v ) ( u, 0 ) v 75

78 Quaternions (2) Πρόσθεση των quaternions: q + q = ( s, v ) + ( s, v ) = ( s + s, v + v ) Πολλαπλασιασμός των quaternions: q q = ( ss v v, sv + sv + v v ) = ( ss x x y y z z, s x + xs + y z z y, s1y2+ y1s2+ z1x2 x1z2, s1z2+ z1s2+ x1y2 y1x2) Ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστική πράξη Ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετική πράξη Το συζυγές quaternion του q ορίζεται ως: Ισχύει ότι: qq = qq Το μέτρο του q ορίζεται ως: q = qq = qq = s + v = s + x + y + z q = (, s v ) 76

79 Quaternions (3) Ισχύει ότι: qq q q Μοναδιαίο quaternion ονομάζεται εκείνο για το οποίο ισχύει: q =1 Το αντίστροφο quaternion του q ορίζεται ως: q Ισχύει ότι: qq q q 1 1 = = 1 1 = 1 q 2 q q =1 Αν τότε q 1 = q 77

80 Περιστροφή με τη χρήση quaternions Έστω περιστροφή κατά γωνία θ γύρω από άξονα που περνάει από την αρχή των αξόνων και η κατεύθυνσή του δίνεται από το μοναδιαίο διάνυσμα ˆn. Η περιστροφή εκφράζεται από το μοναδιαίο quaternion: q (cos, sin nˆ ) 2 2 Το μοναδιαίο quaternion εφαρμόζεται σε ένα σημείο p που έχει 1 γραφεί σαν quaternion p = (0, p) : p q pq q pq Έτσι: ( 2 p 0, ( s v v) p 2 v( v p) 2 s( vp) ). όπου s cos and vsin 2 2 Το quaternion p είναι το σημείο p αφού το βαθμωτό μέρος είναι 0 Το p είναι ακριβώς η προβολή του αρχικού σημείου p μετά από την περιστροφή του κατά θ γύρω από τον άξονα nˆ 78

81 Περιστροφή με τη χρήση quaternions (2) 2 διαδοχικές περιστροφές: q ( q p q ) q = ( q q ) p ( q q ) = ( q q ) p ( q q ) Η σύνθετη περιστροφή δίνεται με το μοναδιαίο quaternion: q = q 2 q 1 Ο πολλαπλασιασμός quaternions είναι απλός, έχει λιγότερες πράξεις και είναι αριθμητικά πιο συνεπής από την περιστροφή με πολλαπλασιασμό πινάκων. Απόδειξη για την περιστροφή quaternions: Έστω το μοναδιαίο διάνυσμα, ο άξονας περιστροφής και οι προβολές ˆv 0 1, του ˆv 0 μετά από 2 διαδοχικές περιστροφές κατά γωνία θ/2 γύρω από το ˆn Τα αντίστοιχα quaternions είναι: p = (0, vˆ ), p = (0, vˆ ), p = (0, vˆ ) Παρατηρούμε ότι: Άρα : q ( vˆ vˆ, vˆ vˆ ) p p Όμοια: q= p p ˆv ˆn ˆv 2 cos vˆ vˆ and sin nˆ vˆ vˆ

82 Περιστροφή με τη χρήση quaternions (3) Ισχύει: q p q = ( p p ) p ( p p ) = ( p p ) p p p = p p p = p αφού p p = ( 1, 0) = 1 επειδή = και ( 1) p = (0, vˆ ) = (0, vˆ ) = v p Άρα με qp q προκύπτει η περιστροφή του ˆv 0 κατά γωνία θ γύρω από το 0 ˆn Όμοια η πράξη, qp 1 qπεριστρέφει το ˆv 1, επειδήq (0, nˆ ) q είναι ίσο με, το οποίο συμφωνεί με το ότι ο είναι άξονας περιστροφής. ˆn ˆn 80

83 Περιστροφή με τη χρήση quaternions (4) Γενικεύοντας για τυχαίο διάνυσμα: ˆv 0, ˆv, ˆn είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Άρα το διάνυσμα γράφεται 1 p σαν γραμμικός συνδυασμός: p = λ0vˆ ˆ ˆ 0 + λ1v1+ λn Έτσι: q (0, p) q = q (0, λ vˆ + λvˆ + λnˆ ) q = q (0, λ vˆ ) q + q (0, λvˆ ) q + q (0, λnˆ ) q = λ ( q (0, vˆ ) q) + λ ( q (0, vˆ ) q) + λ( q (0, nˆ ) q) που είναι ένα quaternion με βαθμωτό μέρος 0 και διανυσματικό μέρος από συνιστώσες του p που έχουν περιστραφεί. 81

84 Μετατροπή Quaternions -- Πίνακες Περιστροφής Ο πίνακας περιστροφής που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή που ορίζεται με το μοναδιαίο quaternion q = (s, x, y, z) είναι : R q y z xy sz xz sy 2 2 2xy 2sz 12x 2z 2yz 2sx xz 2sy 2yz 2sx 12x 2y Αν ο παρακάτω πίνακας m00 m01 m02 0 m10 m11 m12 0 R m20 m21 m παριστάνει μια περιστροφή τότε το αντίστοιχο quaternion q = (s, x, y, z) υπολογίζεται ως εξής 82

85 Μετατροπή Quaternions -- Πίνακες Περιστροφής (2) Βήμα 1: 1 s = m00 + m11 + m Βήμα 2: m21 m12 m m m m x=, y =, z = 4s 4s 4s Αν s = 0 (ή κοντά στο 0), χρησιμοποιούνται διαφορετικές σχέσεις: τότε 1 m + m x= m00 m11 m22 + y = 2 4x m02 + m20 m21 m12 z =, s = 4x 4x ,, 83

86 Ένα Παράδειγμα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 19: Περιστροφή μιας πυραμίδας Δείτε το παράδειγμα 18, χρησιμοποιώντας quaternions. ΛΥΣΗ Βήμα 1: Μεταφορά κατά ct, ( c) ώστε ο άξονας να περνάει από την αρχή των αξόνων Βήμα 2: Περιστροφή με τη χρήση του R q. Το quaternion που εκφράζει την περιστροφή κατά 45 o γύρω από έναν άξονα με κατεύθυνση ˆv είναι: q όπου sin 22.5 sin 22.5 = ( cos,sin vˆ ) = (cos 22.5, 0,, ) cos cos = = = = cos 22.5,sin

87 Ένα Παράδειγμα (2) Οπότε: R Βήμα 3: Μεταφορά κατά Ο τελικός μετασχηματισμός είναι: M 3 = Tc () R T( c) = M q ctc, () ROT AXIS q ROT AXIS [Πχ. 18] 85

88 Γεωμετρικές Ιδιότητες Οι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί διατηρούν σημαντικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά των αντικειμένων. Γι αυτό χρησιμοποιούνται στα Γραφικά και στην Οπτικοποίηση Π.χ. έστω Φ ένας συσχετισμένος μετασχηματισμός και p, q σημεία, τότε: ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), που δείχνει ότι ο συσχετισμένος μετασχηματισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος με το Φ είναι επίσης ευθύγραμμο τμήμα Αναλογίες και αποστάσεις του τμήματος ( λ / (1-λ) ) διατηρούνται Κατηγορίες συσχετισμένων μετασχηματισμών: γραμμικοί ομοιότητας στερεοί p q p q [0,1] 86

89 Γεωμετρικές Ιδιότητες (2) Οι γραμμικοί μπορούν να παρασταθούν με έναν πίνακα A Γραμμικοί: όλοι οι ομογενείς συσχετισμένοι μετασχηματισμοί Οι μετασχ. ομοιότητας διατηρούν την ομοιότητα των αντικειμένων. Σαν αποτέλεσμα έχουν ένα αντικείμενο όμοιο με το αρχικό, με διαφορετικό ίσως μέγεθος Ομοιότητας: περιστροφή, μεταφορά, ισοτροπική αλλαγή κλίμακας Οι στερεοί διατηρούν όλες τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντικειμένων Στερεοί: περιστροφή και μεταφορά 87

90 Τέλος Ενότητας

91 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

92 Σημειώματα

93 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

94 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Αν. Καθ. Ιωάννης Φούντος. «Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

95 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.