ALEISTER CROWLEY LIBER DXXXVI ASTROLOGY (SA STUDIJAMA O NEPTUNU I URANU)! * " ) # - ( $ ' % & HRUMACHIS XI OAZA ORDO TEMPLI ORIENTIS BEOGRAD 2009

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ALEISTER CROWLEY LIBER DXXXVI ASTROLOGY (SA STUDIJAMA O NEPTUNU I URANU)! * " ) # - ( $ ' % & HRUMACHIS XI OAZA ORDO TEMPLI ORIENTIS BEOGRAD 2009"

Transcript

1 ) KONX OM PAX (

2 ALEISTER CROWLEY LIBER DXXXVI ASTROLOGY (SA STUDIJAMA O NEPTUNU I URANU) *! " ) ( - # $ ' & % HRUMACHIS XI OAZA ORDO TEMPLI ORIENTIS BEOGRAD 2009

3 ASTROLOGY SADRŽAJ UVOD... 4 PRVI DEO - OSNOVNA NAČELA ASTROLOGIJE... 6 I Osnovna načela astrologije... 6 II Astrološki ključ III Formalni elementi astrologije a) Dvanaest kuća neba b) Planetarni aspekti IV Kako napaviti dijagram neba za astrološko tumačenje V Osnovna načela pri tumačenju dijagrama VI Osnovno značenje planeta, znakova i kuća a) Planete b) Znakovi c) Kuće neba VII Čovek i Univerzum DRUGI DEO - UČENJE O NEPTUNU VIII Neptun IX Neptun u znacima zodijaka... ) 36 X Neptun sa aspektima prema ostalim planetama XI Uticaj Neptuna u dvanaest kuća TREĆI DEO - UČENJE O URANU XII Uran ( XIII Uran u znacima zodijaka XIV Uticaj Urana u dvanaest kuća DODATAK Dodatne beleške o izradi dijagrama neba Natalna Karta Crowley-a Bodeov zakon Pluton An IV 16 Sol 6 Capricorn, Luna 10 Capricorn, Dies Saturnii. 3

4 ALEISTER CROWLEY UVOD Astrolozi ponekad greše. Iz ove činjenice, koju astrolozi čak bestidno osporavaju, proizilazi, matematički tačno, da astrologija nije nauka, već varka, šarlatanstvo i obmana. Uporedimo sramnu astrološku neizvesnost sa medicinom, gde ni jedan doktor nikada nije izgubio pacijenta; sa zakonodavstvom, gde ni jedan advokat nikada ne izgubi parnicu, pa čak i sa vojnom veštinom, gde ni jedan vojnik nikada nije izgubio bitku! Istina je da će u devet slučajeva, od mogućih deset, astrolog, pogledavši u neznanca, moći da odredi čas u koji se ovaj rodio. To mora biti nagađanje, pošto ne vidimo na koji je način posao obavljen, i da li je moguće da bude obavljen. Očigledno uporište racionalističke filozofije jeste da, ako tačno ne znamo na koji se način stvari dešavaju, moramo poreći činjenicu i da se one uopšte dešavaju, pa iako filozofija nije u stanju da zažmuri pred stvarnošću, moramo im dozvoliti da rizikuju. Promišljanje o ovoj preuzvišenoj mudrosti predstavlja garanciju ljudskog napretka; ona nas podseća na sunce koje izlazi iza vrha moćne piramide od stenja i leda, prekrivena večitim snegovima. Istina je da u svakoj prilici najdarovitiji astrolog daje, nadahnut božanskom mudrošću, dobar, srdačan, promišljen, nepristrasan i mudar savet, jer je činjenica da svoj život provodi razmišljajući o najplemenitijim prirodnim fenomenima, tako da njegova Duša ne može ništa drugo nego da daruje; tačno je i da eminentni astrolog može svojim savetom stotinama ljudi da sačuva život, čast i imanje. Ali, šta dokazuju ove činjenice? Šta bi trebalo da mislimo o čoveku koji je za svoj život nepošteno zarađivao kockajući se u Vol Stritu, krivotvoreći antikvarni nameštaj, trujući hranu, rušeći puteve ili proizvodeći ratno oružje? Zbog čega je takav čovek podlac, varalica? Besposleni bednik svoje dnevno "zlo" okončava za osamnaest sati, da bi narednih šest proćerdao u razvratnom snu. Šta činiti? Hvala bogu, naše, na neki način, izvitopereno doba poseduje prosečno delotvoran policijski sistem. U redu, onda pošaljimo detektivku astrologu; neka uđe očiju crvenih od plakanja; neka se trese i jecajući izgovori da je njeno dete na umoru i da su svi lekari izgubili nadu. Možda će astrolog, zbog svojih podlosti i prepredenosti, koje su mu omogućile da hiljadama ljudi otme novac, biti dovoljno lud da izusti nekoliko reči utehe. Zatim, stvar je jednostavna; pravda može da bude zadovoljena. Policija stupa u akciju, te slede kazne i zatvor. Detektivku hvale zbog mudrog smišljenog plana; plata joj se povećava, a Slobodni Ljudi paradiraju, pevajući na suncu i idući ka Gradu koji je Bog. Vreme je suviše prepredeno, sentimentalno, previše tolerantno da bi se oštro obračunalo sa zločinom. Danas čak i ubice imaju velikih šansi da izbegnu električnu stolicu; a astrolog je gori od ubice, jer on ne dodiruje samo gadno telo, nego i sam džep. Ne možemo izbeći smrt, ali možemo umreti bogati. Postoji, pored astrologovog zločina, još jedno bogohuljenje, koje nam je poznato kao Veliko i Moćno Biće, sa imenom suviše svetim da bi se lako izgovaralo - Dolar. Ipak zastanimo, može da postoji dobar razlog za naklonost zakona naspram astrologa. Očigledno je da svaka zajednica može da uništi svoje bespomoćne članove, posebno ako su to žene, vešajući ih ili spaljujući, dok izvesne zajednice poseduju izuzetne zapise i imaju veliko iskustvo sa vabljenjem veštica: država je napustila ove metode zarad drugih, na prvi pogled manje delotvornih, te raspravlja o nekim mudrijim zamislima, suptilnijim motivima, nekim uzvišenijim i blagorodnijim planovima za napredovanje ljudskog roda, nego što su oni koje nepromišljeni um može da spozna. Ali, stavimo se u položaj patriotski orijentisanog državnika! Sedimo, nabranog čela, u agoniji intenzivnog razmišljanja, dok nam je glava među šakama, dok nam brada dostojanstveno podrhtava od manje čovečanskih, a više božanskih emocija. Duboko razmišljamo o Istini, o Lepom; s vremena na vreme uzdahnemo, čim pomislimo na Nemerljivo, na Apsolut, ili na Svevišnjeg. Zurimo neustrašivo i smireno u svet, dok nam polu-izgovorene reči umiru na usnama sa božanskom tugom "Avaj, čovečanstvo!" I dok razmišljamo, dolazimo do zaključka da novac 4

5 ASTROLOGY nije puki blagoslov. Napredak teži da oslabi moralnost Običnih Ljudi. Vrlina cveta u zajednicama u kojima se ljudi jednostavno ponašaju, a nestaje kada raskoš raširi svoja vampirska krila; tada novac može da bude prokletstvo. Shvatamo da ga mnogi ljudi ne koriste mudro. Oni bi bili bolji bez njega. Na primer, oni koji proćerdaju svoje teško zarađene dolare na zlonamernog astrologa. Takođe nije dobro ni da ga astrolog poseduje. Želja za novcem ga je već odvela u zločin; njegovo prihvatanje postaje povreda božanskih i ljudskih zakona. Da bi se onemogućio astrolog, pribećiće se prvom, brzopletom i otmenom impulsu ogorčenosti, a novac će i dalje ostati u rukama onih koji su, bez sumnje, bolji bez njega. Dilema, zar ne! Zar političko mudrovanje nema rešenja? Iskra sija u tim očima; obrve se opuštaju sa olakšanjem, a osmeh lebdi na tim mirnim, odlučnim usnama. "Ja neću kinjiti astrologa", tako se Velika Ideja pomalja u veličanstvenom govoru: "Ja ću jednostavno predložiti Nacrt za njegovo mučenje. Onda ću ga tajno posavetovati kako sam mu ja Iskreni Prijatelj, i da mogu za samo nekoliko hiljada dolara da sprečim da Nacrt postane Zakon. Ako ne bude mogao da razume prednosti ovog plana, jer je njegov um, verovatno, otupeo od odanosti budalastom šarlatanstvu, u šta nema sumnje, jadno biće će poverovati da ću ga ja jednom, ili dvaput, progoniti i plašiti starim i blagim zakonom. Potom će se on sigurno pokoriti, i novac neće više biti tamo gde može da naudi, u džepovima Običnih Ljudi i zlobnih astrologa, već jedino tamo gde može da koristi - u džepu mudrog i patriotski nastrojenog Državnika." Ako je ovaj plan ponekad i propadao, kao što bi trebalo da bude, bilo je to iz razloga što je Astrolog vrlo često tvrdoglavo nepopustljiv pred zdravorazumskim stvarima, kao i što su mu nepristupačni lepo ponašanje i dobar ukus. On može čak i da izjavi, pakosno kao kuče, koje je banda nestašnih dečaka priterala u škripac, da bi pre išao u zatvor: "Nije baš uputno biti slobodan u zemlji sa takvim vladarima". Tako plahovit čovek je spreman na neoprostivi greh, na izvitoperenost duše, pretežno satansku. Takvi ljudi su opasni po Državu; oni možda mogu i da uzvrate udarac. Verovatno je da su naši strogi preci bili ipak mudriji; verovatno bi trebalo da jurimo za dolarima Običnih Ljudi na neki drugi način, i da poslujemo sa Astrologom oživljavajući metode neizbežnog Metjua Hopkinsa. Ako nešto slično i učinimo, ipak postoji opasnost da ta prezrena bića, Obični Ljudi, nisu u stanju da se bukvalno pomire, i trebalo bi se bojati da ćemo videti propast civilizacije zajedno sa njenom najvećom slavom, našim jedinstvenim političkim sistemom, i da ćemo postati nemoćni svedoci katastrofe - Trijumfa Astrologije. Aleister Crowley 5

6 ALEISTER CROWLEY PRVI DEO OSNOVNA NAČELA ASTROLOGIJE I Fizičko ustrojstvo svemira predstavlja osnovu astrologije. Da bismo objasnili iz kojih načela izvodimo naše teze o kretanjima u svemiru, moramo pokušati da steknemo jasnu predstavu o prirodi tih kretanja. Mnogi ljudi misle da je Sunčev sistem, više ili manje, sfernog oblika. To nije tačno. Grubo govoreći, on je ravan disk. Okreće se oko jedne ravni. Planete se neznatno udaljavaju od te ravni, ali samo neznatno. Već dugo postojeći problem astrologije - kako je nastao svemir - nije na zadovoljavajući način rešen. Mi ne znamo ni zbog čega, ni na koji način, ali osnovna pretpostavka jeste da je u jednom trenutku postojala ogromna užarena masa koja se okretala u svemiru. U toku vremena, usled gravitacione sile, neki teži delovi su se sjedinili, dok je drugi deo mase bio snažno odbačen u svemir, nastavljajući da se okreće u svemiru, ali i oko sopstvene ose. Ovo telo se postepeno skupljalo i smanjivalo, stalno zračeći toplotu u svemir. To prvo telo je bila planeta Neptun. U svakom slučaju, očigledno da je Neptun najudaljenija planeta. Studentima astrologije je dobro poznato kako je otkriven. Pri proučavanju Uranovog kretanja, otkrivene su izvesne eksplozije, koje nije bilo moguće pripisati ni jednoj od poznatih planeta. Tako su astronomi došli do zaključka kako mora postojati neko drugo telo, do tada neotkriveno, i koje se, verovatno, nalazi iza Urana. Proračuni su određivali mogući položaj planete, za kojim se potom tragalo sa najvećom mogućom pažnjom, da bi na kraju Adams i Leverrier otkrili granična mesta njenog eventualnog položaja sa takvom tačnošću, da bi ga konačno Galle od Berlin-a otkrio 1846 godine. Dalja promatranja i izračunavanja pokazuju da još uvek postoje neka kretanja Urana, koja se ne mogu pripisati Neptunu. Takođe ima i pomeranja na samom Neptunu, koja nagoveštavaju da postoji druga planeta iza Neptuna. 1 Ako je to zaista tačno, udaljenost je, verovatno, ogromna. Naši razlozi da u tako nešto verujemo, zasnovani su na Bodeovom Zakonu. Bode je bio nemački astronom koji je živeo u drugoj polovini osamnaestog i prvoj polovini devetnaestog veka, a zakon koji nosi njegovo ime bi se sastojao u sledećem (pogledati tablicu na kraju knjige, prim. prev.): ako broj 4 podelimo sa 10, dobićemo udaljenost Merkura od Sunca, u astronomskim jedinicama. Astronomska jedinica predstavlja osnovnu udaljenost Zemlje od Sunca. 1 Crowley-eva pretpostavka o tome da može da postoji planeta iza Neptuna se pokazala tačnom kad je godine otkriven Pluton. Iako, čak i sada, treba biti oprezan pri tvrđenju da je Pluton najudaljenija planeta, jer je ustanovljeno da Plutonovu putanju nije moguće objasniti uz pomoć trenutnog poznavanja planetarnog sistema. Takođe se pretpostavlja da Pluton ne vodi poreklo od Sunca, već da je, u stvari, veliki meteor, ili neko drugo telo van našeg Sunčevog sistema, koje je sunčevo gravitaciono polje privuklo. Astrolozi i dalje proučavaju Plutonov uticaj, i smatraju ga srodnim sa Marsom. Praktični rad o uticaju Plutona pokazuje da on u konjukciji sa Marsom saupravlja sazveždem Škorpiona. Vidi Dodatak.* * (Ovi komentari pripadaju Stivenu Skineru, priređivaču prvog izdanja "Astrologije" na engleskom jeziku - izdavač). 6

7 ASTROLOGY Sada dodajemo 3 4, zbir delimo sa 10 i dobijamo udaljenost Venere; dodamo 2 3 4, i dobićemo udaljenosti Zemlje; dodamo 2 2 3, to saberemo sa 4, i dobijamo udaljenst Marsa; dodamo 2 3, to saberemo sa 4, i dobijamo srednju vrednost udaljenosti asteroida. 2 Ista proporcija se nastavlja: množeći 3 2 4, dodajemo rezultat na 4, potom zbir delimo sa 10 i dobijemo srednju udaljenost Jupitera. Ako još jednom pomnožimo 3 sa 2, dobićemo udaljenost Saturna, onda još jednom - dobićemo udaljenost Urana. U slučaju Neptuna, zakon je podbacio. Po tom zakonu, njegova srednja udaljenost bi trebalo da bude 38.8, međutim, ona iznosi 30. Ne postoji realno objašnjenje ovog zakona, ali se ipak nadamo da će ovo pitanje biti protumačeno daljim istraživanjem nebeske mehanike i evolucije Sunčevog sistema. Ako ništa drugo, zakon je doveo do otkrića Asteroida, za koje se pretpostavlja da su delovi planete koja je eksplodirala. Posle ovog, ni jedno zadovoljavajuće tumačenje o izuzetku Neptuna u okviru ovog Zakona nije dato. 3 Isti proces se ponavljao nekoliko puta, i tako su nastali Uran, Saturn, Jupiter, Asteroidi, Mars, Zemlja, Venera i Merkur. I mnoga druga tela su nastala na potpuno isti način, ali im je nedostajala povezanost istog stepena, i uskoro su se, posle odvajanja od Sunca, raspala na asteroide i meteore, na nebrojive milione onih od kojih vrvi interplanetarni prostor. Čak šta više, neka od ovih tela su se ponašala kao i samo Sunce, odbacujući manja tela, koja nazivamo mesecima. Ona su bila vrlo mala u poređenju sa današnjim nebeskim telima, brzo su se hladila i prestajala da se okreću oko sopstvene ose. Na primer, Mesec se još uvek okreće oko Zemlje, ali ne i oko sopstvene ose, i uvek nam pokazuje isto lice. Najvažnije od svega je, da se ova složena kretanja (mi nemamo nameru da tu složenost objašnjavamo u detalje, već samo da damo osnovnu ideju) odigravaju u jednoj ravni nevelike debljine i u istom osnovnom pravcu. Sada se određene planete nalaze oko Sunca na nemerljivo većoj udaljenosti nego što je najudaljenija od njih. Ljudskom umu je nemoguće da stvori bilo kakvu predstavu o veličini svemira. Zvezde u potpunosti opkoljavaju Sunce; ne postoji nijedan deo neba na kom se one ne nalaze. Da upotrebimo poređenje sa točkom: ako pogledamo uzduž, po paocima točka, uočićemo tanak pojas zvezda, grupisanih u dvanaest sazvežđa i raspoređenih na otprilike jednakim udaljenostima. Zvezdama poklanjamo više pažnje, jer one leže u istoj ravni sa Sunčevim sistemom, dok se njihov uticaj dosledno i prirodno prepliće sa uticajem planeta. Odvajkada su njihovi uticaji proučavani sa najvećom pažnjom, a opisivali su ih i stari astrolozi. Sazvežđa su dobila sledeća imena: Ovan a, Bik b, Blizanci c, Rak d, Lav e, Devica f, Vaga g, Škorpija h, Strelac i, Jarac j, Vodolija k i Ribe l. Nazivi su dati simbolično, uglavnom po imenima životinja. Nije moguće uočiti bilo kakvu sličnost ovih životinja sa položajem koji zauzimaju zvezde. Imena su davana zbog astroloških značenja, što je jedan od mnogih dokaza da je astrologija starija nauka od astronomije. Škola filozofskog materijalizma je nastojala da pokaže kako mi imamo neko realno znanje o prirodi sila koje zapažamo oko nas. Takav utisak je u potpunosti pogrešan. Sve sile su po svojoj suštini tajanstvene. Posmatranjem, poređenjem i merenjem mi zaključujemo na koji način one deluju. Nismo u stanju da oformimo ni jedan razuman pojam o njihovom pravom karakteru. Da uzmemo kao primer gravitacionu silu. 2 Nemojte zaboraviti da svaki put delite sa Pogledati Dodatak zbog detaljnijeg grafikona ovog Zakona. 7

8 ALEISTER CROWLEY Da bi objasnio njeno delovanje, naučnik je morao da izmisli supstancu zvanu Etar. 4 Trebalo je da definiše Etar u okviru matematičkih pojmova. Etar je beskonačno određen, beskrajno rastegljiv, beskrajno beznačajan i nedokučiv. Tako reći, on ne predstavlja materiju u pravom smislu reči, jer ima osobenosti beskonačnog, pa je tako pre teorijski nego realan pojam. Isto tako, niko u suštini ne zna šta je elektricitet. Postoji priča o profesoru koji je studentima deklamovao predavanje o ovoj sili i, u jednom trenutku, dramatično zavikao: "Da li neko zna šta je elektricitet?" Student na kraju sale, savladan uzavrelošću diskusije, beše napola zaspao. Prenula ga je poslednja rečenica, te on iz navike skoči sa svog mesta. Susrevši se sa hladnim profesorovim pogledom, on se zbuni i reče zamuckujući: "Ja sam znao, gospodine, ali sam zaboravio." "Ma nemojte mi reći", uzvrati učeni profesor, "postojao je samo jedan čovek na celom svetu koji je znao, i on je zaboravio." Ako razmatramo, čak i običan fenomen, kao što je širenje tela na toploti, takođe se nalazimo u području tajanstvenog. Postoji teorija po kojoj se iz nekog razloga molekuli tela kreću mnogo brže ako se približe toploti, jer je toplota zamišljena kao vrsta ispoljavanja ili propratni atribut kretanja. Međutim, ovi molekuli su prilično teorijski. Njihovo postojanje je otkriveno da bi se objasnio određeni fenomen hemijskog delovanja. Zamišljeni molekuli se sastoje od mnogo imaginarnijih atoma, koji su definisani, kako samo ime govori, kao krajnje nedeljive čestice istorodne materije. Tako je bilo pre samo jednog veka, a od tada su proučene sve vrste fenomena, što je ujedno omogućilo da se atom više ne posmatra kao nedeljiva čestica. Od tog doba je nastala nova pretpostavka, ona o elektronima, i kada zapitate fizičara da li su i elektroni materija, on vam može odgovoriti kako je u celini najnerazumnija teorija ona po kojoj su elektroni jednostavno proceđeni u etru. Drugim rečima, nauka je postojeće stvari pretvorila u kombinacije nepostojećih. Ako zapitate savremenog hemičara, ili fizičara, da vam definišu materiju, odgovoriće vam u terminima - koji su skoro istovetni sa onima koje su upotrebljavali srednjevekovni filozofi definišući Duh. Astrolog je iskreniji od profesora drugih nauka. On ne nastoji da svoje neznanje prikrije detaljno istkanim velom metafizičkih fraza. On se zadovoljava prihvatanjem izreke Učenjaka: "Omnia exeunt in mysterium", kojom su želeli da kažu da ako se stalno pitate kako, zašto i šta, umesto da se zadovoljite površnim i polovičnim objašnjenjem, rezultat je uvek isti. Dolazite do praznine nepojmljivog. Ako u današnje vreme postoji makar jedna osoba, toliko neuka, da ne uviđa vrednost Astrologije, i koja svoje sudove zasniva na materijalističkim osnovama, dajte joj da pročita "First Principles" ("Osnovna načela") Herberta Spensera. U toj knjizi, koja može da se poredi sa delom Dejvida Hjuma, jednoj od najstručnijih studija o prirodi, posmatranoj sa naučnim skepticizmom, možemo da uočimo kako se sa zadivljujućom lucidnošću dokazuje da ni jedna moguća teorija o Bogu, ili prirodi, ne zadovoljava vaš um. Kao praktični ljudi, mi se nećemo mnogo zamarati metafizikom. Bolje da se pomirimo sa tvrdnjom kako je sve relativno i da se ograničimo na posmatranje i merenje sila čije dejstvo opažamo. Nije argument protiv Astrologije to što istražujemo zbog čega kretanje neke planete uslovljava određene posledice. Ne znamo više od lekara zbog čega se nerv grči u dodiru sa električnom strujom. Ne želimo naše istraživanje da predstavimo do te mere filozofskim. Nas jedino zanima da se informišemo da li se nešto slično dešava. A priori teorijska razmatranja nisu napredna ni u Astrologiji, ni u bilo kojoj drugoj nauci. Razmatranja te vrste su prokletstvo svake nauke. Ona usporavaju napredak nauke više od bilo kakve ljudske gluposti. Čitalac bi trebalo da prouči dela Tomasa Henrija Hakslija sa ovog stanovišta. 4 Pojam Etra se više ne koristi u naučne svrhe pri tumačenju gravitacije (osim u nekim malobrojnim krugovima), ali je ovo tvrđenje, ipak, još uvek relevantno, u smislu da priroda sile nije poznata, jedino se zna vrsta njenog delovanja. 8

9 ASTROLOGY U pređašnjim vremenima, ljudi bi započeli svoja zaključivanja onim za šta su pretpostavljali da predstavlja neoborivi dokaz o postojanju Boga. Kadgod bi se ispostavilo da se činjenice suprotstavljaju celovitosti ove, unapred smišljene ideje o Njegovoj suštini, pokušavali su da je iznova opravdaju. Pošto nisu želeli da prihvate činjenice i uvide da njihova kula u vazduhu mora da padne, dosledno su pribegavali spaljivanju živih ljudi, koji su želeli da otkriju nepoželjne činjenice. Prirodno, takva politika beše samoubilačka. Danas se Astrologija ne bavi bilo kojom teorijom prirode. Kao i svaka zdravorazumska nauka, ona se zadovoljava pravim naučnim metodom. Pretpostavimo da smo na strelištu - vidimo oblak dima i čujemo prasak. Neposredno posle toga, na drugom delu terena, čujemo kako zvoni zvono ili vidimo zastavicu. Nema razloga da prepostavimo kako postoji bilo kakva povezanost između ova dva događaja. To mogu biti samo puke slučajnosti. Pretpostavimo, zatim, da istu stvar vidimo kako se stotinu puta ponavlja; ili vidimo bljesak, čujemo pucanj po stoti put, i da potom, posle sedamdesetog ili osamdesetog puta usledi mahanje zastavice - situacija se u potpunosti menja. Tada imamo prava da kažemo da, najverovatnije, postoji neka uzročno-posledična veza. Iako će nam, i nadalje, biti nerazumljivo zbog čega bi bljesak na jednom kraju terena morao da uslovi mahanje zastavice na drugom. Ne postoji ništa što bi nam potvrdilo da postoji unapred smišljen dogovor između strelca i markera. Čak i da smo potom obavešteni da se nešto slično dogodilo, i dalje bi nam nedostajao motiv za takvu priču, a da bismo ga otkrili, morali bismo da prionemo na proučavanje raznorodnih nauka, kao što su balistika, istorija, etnologija, i ko zna kojih još. Na kraju bismo se našli pred velikim metafizičkim problemom, koji smo već odbacili kao neverovatan. Za onog koji posmatra bilo bi prilično uputno da izvuče neke praktične zaključke. Ako je zapazio da je zastavicom mahnuto u hiljadu uzastopnih prilika, odmah nakon pucnja, biće savršeno opravdano da predvidi kako će se posle bljeska pojaviti zastavica. Ovakvo predviđanje, kao i bilo koje drugo, ne bi trebalo da predstavlja očiglednu činjenicu. To bi bila samo vrlo ubedljiva verovatnoća, a ljudi po navici reaguju na verovatnoću ove vrste. Dok se šetam ulicom Bond, automobil može slučajno da se zanese, pođe u pogrešnom pravcu, da se razbije u komade i tako poremeti moju mirnu šetnju ulicom - ali bih ja bio velika budala ako bih iz tog razloga izbegavao ulicu. Drugim rečima, po navici predviđam da se takva nesreća neće dogoditi. A do sada su se stvari dešavale prema mojim očekivanjima. Kada astrolog predvidi da će osoba koja ima Mars u sedmoj kući imati nesrećan brak, ako se uopšte bude venčavala, onda se on vodi istim onim osobenostima zdravog razuma i prosuđivanja, koji se zasnivaju na naučnom posmatranju i upoređivanju bezbrojnih činjenica. On je razmislio, zabeležio i napravio spisak; među mnogim papirima se nalaze stotine horoskopa, gde se ista pozicija u svakom primeru ponavlja, pa će, tako, osoba rođena sa ovakvim položajem zvezda biti nesrećna u braku. Na taj način, on je u potpunosti uveren da će, kada bude video još jedan sličan dijagram, predskazati nesrećan brak. Ne bi trebalo shvatiti da i jedan odgovoran astrolog teži da bude u potpunosti u pravu. Proučavanje astrologije je izuzetno složeno. Izgleda da postoje neke nevidljive sile, koje mogu da utiču i na najočigledniji sud. Postoje primeri kada osoba prođe kroz loše aspekte ne osetivši negativne uticaje. Zbog nekog razloga određeni aspekti se nisu ispoljili. Ima na desetine teorija koje opravdavaju ovu očiglednu nepravilnost. U ovako kratkom uvodu nije moguće dati celovit uvid u njih, ali postoji tako mnogo jedva primetnih sila koje bi trebalo uzeti u obzir da je, uglavnom, nemoguće astrološki predskazati zbog čega bi neki dati događaj trebalo da se dogodi, čak i kada se, nakon što se dogodio, protumači i uzme u obzir. 9

10 ALEISTER CROWLEY Postoji još jedan veoma važan stav: "Spreman je onaj koji je unapred upozoren." Ako nam se čini da je neka osoba u opasnosti od davljenja, opasnost se može sprečiti tako što će se ovaj držati podalje od vode. To je jedna od najkorisnijih namena astrologije. Da pretpostavimo kako se može dogoditi da je astrolog pogrešio i da ne postoji nikakva opasnost od ranije nagoveštena, međutim njegovom klijentu neće naškoditi da se oprezno ponaša - a svaki dobar astrolog je oličenje ovozemaljske mudrosti i zdravog razuma. Ova razmatranja se posebno primenjuju i odnose na slučajeve izrazite opasnosti, kada se od astrologa očekuje da nekoga umiri zbog iscrpljenosti ili nevolja; takav prirodno dobar sud, koji konsultant može da dobije u ovakvim slučajevima, povezan je sa mentalnom uznemirenošću, pa savet astrologa može da bude samo dobrodošao. Međutim, bilo bi apsurdno omalovažavati težnju astrologa da pomogne ljudima. U najvažnijim slučajevima, kao što je povezanost spoljašnjeg izgleda sa znakom i vremenom rođenja, ili položajem Sunca u Zodijaku, pa kao što su uticaji Saturna u desetoj kući ili Marsa u Ascendentu (prvoj kući), i na hiljade drugih - verovatnoća uzroka i veza je do te mere izražena, da svaki pametan čovek koji, mudro i bez predrasuda, prouči činjenice, može da se uveri da je Astrologija pozitivna, konstruktivna, ali ne i nepogrešiva nauka. Sukcesivno nastajanje planeta određuje njihove različite prirode, kao što su i u slučaju funkcionalne destilacije prvi dimovi po svom karakteru drugačiji od onih koji nastaju u dodiru sa visokom temperaturom. Na stranicama ove knjige biće opisani i pažljivo proučeni njihovi (planetarni, prim. prev.) jedva primetni uticaji koje vrše u odnosu na Zemlju. Iz našeg svakodnevnog iskustva uviđamo razliku u dejstvu sunčevih i mesečevih zračenja, i treba samo da razvijemo ovu ideju, uključujući druge planete. Ali, postoji poteškoća a pr iori u prihvatanju postulata o tome da li aspekti planeta imaju bilo kakvog uticaja. Ovu stvar treba pažljivo da razmotrimo. Kao prvo, šta podrazumevamo pod aspektima planeta? Aspekt jedne planete u odnosu na drugu predstavlja ugao koji nastaje u oku posmatrača dok posmatra bilo koju od njih dve. Tako, kada je pun Mesec, kažemo da je Sunce u opoziciji prema Mesecu, a to znači da će, ako povučemo pravu liniju od Sunca do Zemlje, ona prolaziti kroz Mesec. Sada znamo da baš ovaj aspekt ima uticaja na zemlju, uticaj koji nastaje usled gravitacione sile. Kad su Mesec i Sunce u opoziciji, oni se tada kreću u suprotnim smerovima - u protivteži su. Zbog toga se Zemlja ne povlači mnogo iz položaja, kao u slučaju kada su u konjukciji, kada sarađuju. Uticaj se meri u odnosu na plimu i oseku. Ali, ovo nije celo učenje o aspektima. Kada Mesec izađe iz polja uticaja, ove sile deluju iz ugla koji se postepeno smanjuje, a uticaj na plimu i oseku takođe slabi na postepen i ujednačen način. Astrološki uticaji ne deluju na isti način. Uticaj nastaje u istom trenutku kada je stvorena opozicija. Čim se planeta udalji za 15 ili 20, uticaj više ne postoji, i vrlo je zbunjujuće, sa filozofske tačke gledišta, zbog čega se nešto slično dešava. Na primer, Mars se približava Uranovom kvadratu i desi se snažan zemljotres. Nedelju dana kasnije, aspekt je nestao, i mi očekujemo da se mogu dogoditi barem slabiji zemljotresi, ali zemljotresa nema. Neko će brzopleto reći kako to nema smisla, i postaviće argument protiv astrologije. Na sreću, imamo vrlo dobar primer iz optike. Uzmite dvogled, prinesite ga očima i pogledajte pejzaž - ceo je zamućen. Pomerajte zavrtanj napred-nazad, zamućenost će se povećavati ili smanjivati; ali postoji poseban položaj dvogleda koji odgovara vašem sočivu u oku, u kom se slika iznenada pojavljuje, oštra i svetla. Dvogled se nalazi u fokusu, ili van njega, pa će u odnosu prema tome neznatnom odstupanju zamućenje biti manje ili veće, sve dok ne nastane savršeno oštra demarkaciona linija. Ima i drugih analogija, kao što je, na primer, ključanje vode. Na 99 C voda još uvek ne ključa, dok na 100 C proključa. Sa 10

11 ASTROLOGY stanovišta fizike, postoji veća razlika između vode od 99 i 100 C, nego između vode od 99 i 1 C. Međutim, ne znamo zbog čega je zračenje planeta u međusobnoj zavisnosti, zbog čega utiču jedni na druge samo kada se u odnosu na Zemlju nalaze pod određenim uglom. Za sada se Astrologija, uglavnom, zasniva na posmatranju - znamo da određeni događaji zavise od položaja planeta na nebu. Zapazili smo da su ovakvi događaji do te mere učestali da smo sigurni kako postoji uzrok i njihova međusobna povezanost, ali ni jedan astrolog ne tvrdi da razume suštinu te povezanosti. Čitalac će se setiti Dejvida Hjuma, nikad opovrgnutog, koji je uzročnost smatrao ne samo za nedokazanu i nedokazivu, već i kao nepojmljivu. Postoji filozofska škola Kauzalista, koji su tvrdili kako je svaki događaj neposredna volja Božanstva. Kada se jabuka otkačila sa grane i pala na zemlju prvi razlog je bio da je Bog želeo da se ona otkači; a drugi - Bog je želeo da ona padne na zemlju. Oni tvrde da ne samo što nije filozofski, već predstavlja bogohuljenje, ograničiti volju Tvorca i tvrditi da jedan događaj uslovljava drugi. Ovakav stav nije moguće logički opovrgnuti, čak šta više, zdrav razum se protivi da ga prihvati. Važno je ukazati na ovakav stav da bismo pokazali kako je, sa stanovišta zdravog razuma, izjava da su plima i oseka u vezi sa Mladim Mesecom ni više ni manje apsurdna od tvrdnje da konjukcija Saturna i Marsa naslućuje propast carstva. Tek bi trebalo da se rodi logičar koji će uočiti logičku razliku između ova dva primera. Ako radije prihvatamo jedan od ova dva primera, to je zbog toga što je zasnovan na mnogo univerzalnijem razmišljanju, ali je i savršeno empirijski, i činjenica da smo o njemu smislili odličnu teoriju, ni na koji način ne uvećava prvobitnu verodostojnost koju zaslužuje. Čitalac će se možda setiti kada je kralj Čarls Drugi upitao članove Kraljevskog Društva, zbog čega se činija napunjena do vrha vodom u kojoj su žive zlatne ribice ne presipa, dok će se, kad one uginu, voda preliti. Savetovali su se i žestoko svađali oko problema na nadrinaučnički način, da bi, na kraju, ponovo stigli do "veselog monarha" (Merrie monarch), sa ništa manje nego devet umnih i zadovoljavajućih tumačenja. Ni jednom od njih nije palo na pamet da proveri istinitost kraljevog iskaza. S vremena na vreme, smišljanje teorija je bilo prokletstvo nauke. Postoji tendencija ka uopštavanju, formulisanju i hipotezama, bez dovoljno dokaza, samo u cilju da bi se oporekla ili zanemarila činjenica, koja se u takvo uopštavanje ne uklapa. Dokaz Emanuela Kanta da su takozvani zakoni prirode, u stvari, samo zakoni uma, jeste jedan od najvećih doprinosa ljudskoj misli. Nije tačno da su dva i dva četiri - jedino je tačno da mi moramo u to da verujemo. Za Astrologiju je veoma važna ovakva orijentacija. Astrologiji je neophodno mnogo humanije promišljanje. Astrolog mora da zaključuje na osnovu podataka koji su često netačni, a ponekad i namerno lažni. Ukratko, od njega se traži da zida kuću bez cigli. Na taj način on oblikuje savršenu piramidu istine, koja mu je od savršene koristi. Metod, primenjen u ovoj knjizi, biće strogo naučan. Prikupljeni su, odabrani i upoređeni podaci, dok smo se pri izvođenju zaključaka čvrsto pridržavali kanona istine, naučnog metoda i logičkih pravila. Svako naše tvrđenje je zasnovano na osnovama nagomilanog vekovnog iskustva, ovenčano je tradicijom i raspravama, dok je osnovno znanje proveravano stalno putem dokaza koji su se danima nagomilavali, u toku privatnog istraživanja. Ne treba se praviti da je ovakvo znanje dovršeno. Može se desiti da se svakog trenutka otkriju novi podaci, koji će promeniti dosadašnje mišljenje. U našem slučaju, otkrićem Urana i Neptuna astrologija je mnogo unapređena. Ovim otkrićima su rešeni mnogi problemi, koji su zbunjivali stare astrologe. U astrologiji još uvek postoji mnoštvo nerešenih problema. Daćemo jednostavan primer: kada Jupiter na svom putu prolazi kroz četvrtu kuću, on u tom slučaju može da donese nasledstvo. Ovako nešto može da se dogodi, u najvećem broju slučajeva, četiri od pet puta u čovekovom životu, ali se peti put neće dogoditi. Zbog čega? Postavljeno je na desetine pretpostavki. Ni jedna od njih nije zadovoljavala. Naravno, možemo da zamislimo kako otkriće 11

12 ALEISTER CROWLEY još jedne planete može da pruži jasno i očigledno rešenje. Astrologija je u poziciji bilo koje druge nauke. Veliki deo je poznat, ali mnogo veći nije. U krajnjem slučaju, izjednačena je sa ostalim naukama, zbog predanosti i veštine onih koji su joj posvećeni, zbog njihove kritičnosti i mudrosti, kao i zbog njihove težnje da ljudima pruže praktičnu korist od svog učenja. II ASTROLOŠKI KLJUČ a) Studente je Često zbunjivala činjenica kako male promene na nebu mogu da izazovu velike promene na zemlji. Svako ima jednak broj znakova i planeta, pa ipak jedan čovek može da postane niko - u stvari, većina ljudi je malo više od toga - dok je drugi polubog. Ni jedno proučavanje aspekata, slično ovom, ne bi moglo da objasni razlog. Oni manje-više funkcionišu kada su daleko od tačnosti; po teoriji verovatnoće bi izgledalo kao da je najmanje trećina čovečanstva plemenitog roda. U stvari, jedva da jedan čovek, od hiljadu, ostavi makar prolazan trag u svom životu. Kako to? Ovaj problem je oduvek zbunjivao astrologe i hrabrio njihove protivnike. Međutim, do sada se ni jedan astrolog time nije pošteno suočio. Ako mi to sada činimo, to je zbog toga što smo rešili problem i ljudima pružili odgonetku. b) Koja je razlika između amebe i slona? Ćelije slona se umnogome ne razlikuju od ćelija amebe. Razlika je u tome što su, u prvom slučaju, ćelije raznorodne i organizovane u harmoničnu zajednicu, dok je u drugom reč samo o jednoj ćeliji. Pođimo malo više na evolutivnoj lestivici - koja je razlika između majmuna i čoveka? Odgovor je jednostavan. Nisu u pitanju veličina i težina mozga; neki ljudi sa malim mozgovima behu intelektom nadmoćniji od onih sa velikim. Ali, ako izdvojimo od lobanje mozak čoveka i mozak majmuna, odmah će postati vidljiva suštinska razlika. Vijuge u mozgu majmuna su malobrojne i jednostavne; kod čoveka su brojne i složene. Tu leži velika tajna! Ljudi su usmerili sudbinu čovečanstva, najviše evoluirali i, na taj način, postali najsloženija vrsta. To nisu ljudi koji imaju mala interesovanja i neznatne uloge - oni su kreirali svaku stvar u svom bivstvovanju, svaki, pa i najmanji, njegov deo. Površno gledano, kompleks će se često ispoljavati u različitim pravcima, ali to je samo još jedan od uzroka kompleksnosti. Astrologija će sve objasniti. c) Ako pogledamo horoskope poznatih ljudi koje smo zabeležili, videćemo da, uopšteno govoreći, planete formiraju iste ili vrlo slične aspekte, a takođe, što je vrlo bitno, aspekti se međusobno prepliću. Ponekad uočavamo dva, ili tri, kompleksa po rođenju; možda čak i četiri. Ali, oni nisu bliže međusobno povezani. Tako izgledaju horoskopi običnih ljudi. Oni kao da u suštini imaju nekoliko "puteva" koji se nisu na pravi način ukrstili. Kao rezultat toga dolazi do neuspeha na poslu; kada taj aspekt prođe, drugi stupa na scenu. Nedostatak kontinuiteta je koban po svaki uspešan rad. Ako bi takva osoba i doživela slavu, to bi bio rezultat neke nagle promene ponašanja, ili puki slučaj. 12

13 Nekoliko primera iz horoskopa poznatih ljudi će potvrditi ove stavove. Da počnemo sa Šekspirom, koji je imao 9 planeta u samo jednom kompleksu ili stelijumu. 5 od njih su u aspektu od po 3, samo je jedna od njih udaljena više od 10 od najudaljenije planete. Za Dantea možemo reći da je imao dva kompleksa, jedan sa 5 planeta - sve unutar 6 ; drugi aspekt se sastojao od 4 planete unutar 9 ; kompleksi su jedan od drugog bili udaljeni svega 9. Mikelanđelo ima 6 planeta unutar 6, sedma je udaljena samo 4, dok je osma na udaljenosti od samo 3. Petrarka ima 6 planeta unutar 6.5, dok su sledeće 3 unutar 10. Gospodin Ričard Barton ima 7 planeta u okviru 10, a preostale dve, unutar 4. Edison ima 6 unutar 11, druge u okviru od 8. Šeli ima 5 unutar 8, 3 na 2.5, i po jednu na samo 6 od konjukcije sa jednim od većih kompleksa (stelijuma). Zola ima svih 9 planeta unutar 11. Kopernik 8 na istoj udaljenosti. ASTROLOGY Gete ima dva različita kompleksa, jedan se sastoji od 6 planeta unutar 13, a ostale 3 na po 7. Napoleon ima 3 planete na 1.5, 3 unutar 5.5, i 3 unutar 7. Njutn ima 3 planete na 1.5, 3 unutar 5.5, i 3 unutar 7. Balzak ima 4 unutar 9, pet u okviru 10, a 2 kompleksa su raspoređena na 7. Vagner ima 5 planeta unutar 5, 3 na 6 i poslednju na samo 5 udaljenosti. Bodler ima 5 planeta unutar 10, i naredne 4 takođe na 10 ; jedan kompleks od drugog je udaljen za 7 : Paster ima 6 planeta unutar 6.5, dve unutar 3, i Mesec koji je udaljen i koji je najmanje važan od velikog broja zvezda na nebu. Svinborn ima 6 planeta unutar 5, a ostatak u okviru 1 15'. Ako smo već izabrali da uključimo neznatne aspekte, kao što su oni od 45, i oni od 135, ili kvinkuks i kvintil, mogli bismo protumačiti i teže slučajeve, ali nije poželjno poklanjati toliko pažnje dokazu ove vrste; više bismo želeli da ga zasnujemo na neprikosnovenim i očiglednim činjenicama. d) Proučavajući bilo čiji natalni horoskop, nije uputno zadovoljiti se (kao što to obično čine) razmatranjem planeta u parovima. Tačno je da će nam one pružiti pojedinosti o rođenju, ali to pitanje zahteva da odlučimo na kom ćemo ga nivou tumačiti. Zola je imao Saturn u trigonu sa Merkurom, što mu je pomoglo da postane veliki stvaralac. Ali, u slučaju da ovaj aspekt nije bio samo deo moćnog kompleksa, on bi postao dobar trgovac, advokat, ili nešto slično tome. 13

14 Šelijeva konjukcija Marsa i Jupitera se na drugi način odrazila na aspekt u slučaju J.P. Morgana! Zašto? Zato što oni formiraju delove kompleksa potpuno različite po svojoj prirodi. Sama činjenica da je jedan rođen u znaku Lava, a drugi u znaku Vage, ne utiče na tu razliku. Moramo da naglasimo da je neophodno ne samo tražiti kompleks, već dati i njegovo tumačenje. Dva čoveka mogu da imaju identične aspekte, a opet da budu u potpunosti različiti, samo zbog toga što je u jednom slučaju Vladalac ascendenta Mars, a u drugom Venera. Nije uvek lako pronaći glavnu skrivenu tačku oko koje se kompleks okreće. Vladalac ascendenta je obično najvažnija tačka, ali ako postoji nekoliko planeta, ili jedna, ali snažna, planete (ili planeta) ga mogu nadvladati i prisvojiti njegovo mesto na nebu. Od najveće je važnosti da glavna planeta bude tačno otkrivena, pošto je velika razlika da li ćemo kao promenljivog smatrati Saturn ili Jupiter. Ako je rođenje u Saturnu, trigon sa Jupiterom će podržati njegove sebične planove: ako je u Jupiteru, trigon sa Saturnom će ograničiti i ublažiti njegovo oduševljenje. Konjukcija Sunca i Venere, zbog koje je Šeli otelovljenje blistavosti i Lepote, jedva da bi imala uticaja da je umesto Strelca imao Škorpiona u podznaku. Vladalac-Jupiter je kulminirao u konjukciji sa Marsom i Neptunom i odredio prirodnu naklonost, dok je nadmoćnost Sunca u Lavu i Veneri omogućila da se naklonost manifestuje u pravcu umetnosti. Da su ove planete bile pod uticajem Riba, naklonost bi se ispoljila na mnogo suptilniji i prikriveniji način. Za početak je bilo dovoljno rečeno o ovoj temi. Tokom našeg pisanja ćemo postavljati Peliom na Osu i Osu na Olimp, ne bi li prikazali tajnu astrološkog Kompleksa. 5 III FORMALNI ELEMENTI ASTROLOGIJE Koliko nam je poznato, materija se uvek sastoji od, ni manje ni više, tri dimenzije. I to od: dužine, širine i debljine. Sve ono što ne poseduje ove kvalitete je subjektivno. Čista matematika se bavi subjektivnim pojmovima. Ona se zasniva na nizu proizvoljnih pravila. Matematika je izum za uprošćavanje naših misli, putem predstavljanja objekata kao brojčanih relacija. Tačka ima svoj položaj, ali ne i delove i veličinu. Linija ima dužinu bez širine. ALEISTER CROWLEY Krug je linija u kontinuitetu, sa tačkom od koje sve povučene linije imaju jednaku dužinu. 5 Sve 3, Pelion, Osa i Olimp, behu svete planine. Na vrhu Peliona se nalazilo Zevsovo svetilište, gde su se polagale žrtve u doba letnje ravnodnevnice, dok se uzdizao Sirius (Sotis). Osa, takođe u Tesaliji, prekrivena je kestenovom i bukovom šumom. Olimp je u toj meri poznat da nije potrebno tumačenje. Crowley-evo poređenje vodi poreklo od mita koji se odnosi na blizance-gigante: Ota i Efijalta (poznatijih kao Aloadi) - Posejdonove sinove koji su nameravali da se uspnu na nebo, tako što će postaviti jednu svetu planinu na drugu. Njihov pokušaj je samo kao detalj pomenut u "Odiseji". 14

15 ASTROLOGY Sunčev sistem nije krug zbog jedne stvari - on je realan, objektivan, trodimenzionalan, dok je krug zamišljen, subjektivan i dvodimenzionalan, ali on odgovara na neki način krugu, po svojim opštim matematičkim osobinama. Tako je Neptunova putanja, bez sumnje, kružna, iako o njoj govorimo kao o krugu zbog konvencije. Sazvežđe, takođe, ni na koji način ne predstavlja krug, jer su zvezde, od kojih se sastoji, raspoređene na različitim udaljenostima od Sunca. Ali, i o njemu govorimo kao o krugu zbog konvencije. Matematičari su krug podelili na četiri kvadranta, zbog konvencije. Matematičari su, opet zbog konvencije, podelili krug na 360. Postoji i neka veza između ove podele i dužine godine, koja, u vreme kada je podela nastala, nije bila poznata. Postoje još neke proizvoljne podele, koje su uvedene zbog konvencije. Kao prvo - 12 znakova, raspoređenih na po 30, grubo odgovaraju osnovnim konstelacijama. Svaki znak je podeljen na 3 dela, koji se nazivaju dekanatima, i svaki sadrži po 10. Svaki znak je podeljen na 6 delova, nazvanih kvinarima, a svaki od njih sadrži po 5. 6 Stepeni su podeljeni na 60 jednakih delova, koji se nazivaju minutima, dok je svaki minut podeljen ponovo na 60 delova, koji se nazivaju sekundama. Kada se planeta koju posmatramo nalazi na onom delu neba gde i određeno sazvežđe, onda kažemo da je planeta u toj konstelaciji, iako je, naravno, planeta vrlo blizu, a sazvežđe veoma udaljeno. Međutim, zračenja planete i sazvežđa su paralelna, dok se usled toga njihovi uticaji kombinuju. Tako, ako kažemo da je Mars u Ovnu, mislimo da osoba koja sa Zemlje posmatra nebo, zapaža planetu Mars, koja se nalazi među zvezdama sazvežđa Ovna; 7 i, ako je uticaj Ovna u skladu sa boljom stranom Marsove prirode, trebalo bi Mars da nazovemo snažnim. a) Dvanaest kuća neba Ako posmatrač na zemlji vidi izlazak Sunca u trenutku proletnje ravnodnevnice, treba ovaj položaj Sunca da smatra za vrh Ascendenta i da vidljivu sunčevu putanju podeli na 12 kuća, tako da svaka od njih ima po 30. Prva kuća će imati 30 i nalaziće se neposredno ispod Sunca. Druga kuća od sledećih 30 itd.; 30 neposredno iznad Sunca, obrazuju dvanaestu kuću. U trenutku prolećne ravnodnevnice, Sunce ulazi u Ovna, i zbog ovog njegovog uspona kažemo da Ovan zauzima prvu kuću. Kada zauzme svoju poziciju, on je još uvek u Ovnu, ali pošto je suprotan znak Vage sada na istoku, kažemo da je Ascendent u Vagi. Budući da podela sazvežđa nije u potpunosti ujednačena, ni znaci u potpunosti ne odgovaraju kućama. Na primer, u Londonu, Vodolija se uzdiže za oko 1 čas i 8 minuta, a to znači da mu treba 1 sat i 8 minuta da bi se za 1 premestio u Ascendent Riba. 6 Savremeni astrolozi ne upotrebljavaju često kvinare, ali ovi potiču iz Crowley-eve beleške, nađene među astrološkim materijalima Zlatne Zore. 7 U stvari, ovaj zakon je izmenjen sa precesijom ravnodnevnice. Međutim, u svim slučajevima vežbanja, ovu rečenicu možemo smatrati tačnom. 15

16 ALEISTER CROWLEY Dok u slučaju premeštanja Lava u Devicu, vreme koje je za to neophodno iznosi 2 sata i 48 minuta. Podrobnije ćemo opisati astrološku važnost 12 kuća kada budemo objašnjavali dejstvo planeta. b) Planetarni aspekti Ako posmatrač sa Zemlje odredi položaj bilo koje dve planete na nebu, otkriće da mora da pomeri poziciju teleskopa pod određeni ugao. Kao što sam ranije objasnio, pod određenim uglovima uticaji dve planete su u suprotnosti, a ovi uglovi se nazivaju aspektima. Aspekti mogu biti sledeći: KONJUKCIJA. (Ã) Kada je ugao između planeta 0, kažemo da su u konjukciji. To znači da ne moramo uopšte da podešavamo teleskop prema ravni sazvežđa. POLU-SEKSTIL. (D) Aspekt polu-sekstila iznosi 30. POLU-KVADRAT. (G) Ugao iznosi 45. SEKSTIL. (Â) Ugao iznosi 60. KVADRAT ili KVARTIL. (À) Ugao iznosi 90. TRIGON ili TROUGAO. (B) Ugao iznosi 120. SESKVI-KVADRAT. (H) Ugao iznosi 135. OPOZICIJA. (Á)Ugao iznosi 180. Postoje i neki neznatniji aspekti: od 72, od 144 i od 150. Njihova je uloga vrlo mala i, uopšteno govoreći, može da bude i zanemarena. Aspekti polu-sekstila i polu-kvadrata 8 su, takođe, slabi, naročito oni polu-kvadrata. Isto važi i za seskvi-kvadrat. U zastareloj tradicionalnoj astrologiji, postojala je konvencija po kojoj su trigon, sekstil i polusekstil smatrani za povoljne. Kvartil i opozicija su bili loši aspekti, a konjukcija neizvesna. Savremena istraživanja su, međutim, izmenila ovu vrlo nedorađenu koncepciju. U ovoj knjizi će se naći veliki broj primera za odstupanje od ovog pravila, koje je puko grubo uopštavanje. Aspekti konjukcije su od velike, ali i prilično nerazumljive važnosti. Njena osnovna uloga je da učvrsti i ojača druge aspekte. Mnogo je delotvornije ako je konjukcija blizu nule. To bi značilo da su dve planete postavljene što bliže jedna drugoj, u okviru velike ravni koja objedinjuje sveukupne sile sunčevog sistema. IV KAKO NAPRAVITI DIJAGRAM NEBA ZA ASTROLOŠKO TUMAČENJE U fazi u kojoj se danas nalazi Astrologija nije neophodno, čak ni poželjno, težiti prevelikoj matematičkoj tačnosti, takvoj koja je neophodna astronomima. Razlozi za to su mnogobrojni. 1. Retko se zna tačno vreme rođenja. Niti je izvesno koji trenutak bi trebalo uzeti u obzir, pa čak i da pretpostavimo da se rođenje odigralo u observatoriji, zajedno sa svim astronomima ovog sveta, koji konsultuju majku na porođaju. 2. Nije čak izvesno ni koji tačno trenutak treba izabrati kao vreme stvaranja aspekta. Ponekad su efekti neznatno ubrzani, a ponekad kasne. 8 U praksi je polu-kvadrat (G) snažnijeg uticaja od polu-sekstila (D). 16

17 ASTROLOGY 3. Čak i da na zadovoljavajući način rešimo sva ova pitanja, sud stručnog astrologa zavisi od ljudskog faktora i od ličnog rešenja. Najbolji astrolozi nisu oni koji najviše pažnje poklanjaju matematičkim proračunavanjima, već oni čija se prirodna sklonost u ovom pravcu uvežbava i razvija putem iskustva. 9 Vrlo je lako postaviti prikladno figure na nebu za astrološko proračunavanje. Svaka osoba sa osrednjim znanjem matematike može ovo da nauči za 1 sat. Uputstva koja ću sada dati omogučiće mu da to čini sa lakoćom. Prva stvar koju bi trebalo uraditi jeste da sebi obezbedite kartu Efemerida, koju možete naći u bilo kojoj knjižari (sada naravno postoji i na internetu - prim.prev). Po pravilu, današnja generacija astrologa upotrebljava onu kartu koju je štampao "Rafael" i pretpostavljamo da bi student trebalo da je poseduje. Na levoj strani knjige naćićete datum i dan u nedelji. Izaberite dan koji vam odgovara. U sledećoj koloni je dato sideralno vreme. 10 Ne moramo sada da objašnjavamo šta ona predstavlja. Mi samo dajemo pravilo. Ako sat i minut figure koju izračunavate odgovara poslepodnevu, dodajte taj sat i minut sideralnom vremenu za taj dan. Ako je vreme pre dvanaest sati, pronađite koliko je pre tog vremena, oduzimajući sat i minut od dvanaest sati (tako 8 sati izjutra iznosi 4 sata pre podneva), a rezultat oduzmite od sideralnog vremena. Ako je, u prvom slučaju, dobijeni rezultat iznosio više od 24 časa, od njega oduzmite 24 časa. U drugom slučaju, ako je vreme pre 12 časova veće od sideralnog vremena, dodajte 24 sata na sideralno vreme. 11 Zatim, okrenite kraj knjige i pogledajte Tabelu Kuća da biste našli mesto na koje želite da postavite figuru. Sada uzmite prazan papir, sa krugom koji je podeljen na dvanaest delova. Na vrhu tabele sa kućama naćićete sideralno vreme označeno na levoj strani. Idite do dna kolone sve dok ne pronađete najbližu približnu vrednost novog sideralnog vremena, koje ste dobili sabirajući ili oduzimajući sate kako je napred objašnjeno. Sada, nasuprot kuće na vašem praznom dijagramu, koji je označen sa 10, označite stepen koji je dat u koloni do sideralnog vremena u Tabeli Kuća, i tako popunite i druge, sve do treće kuće. Od četvrte do devete kuće ni jedna figura ne postoji i nije neophodno da se ucrtavaju, jer je četvrta kuća jednaka i nalazi se nasuprot desete, peta nasuprot devete itd. Prema tome, 16 u Raku nalaziće se na vrhu desete kuće, dok će 16 u Jarcu biti na vrhu četvrte. Pošto ste ispunili svih dvanaest kuća na već naznačeni način, sada se možete vratiti drugom delu Efemerida. Nastavljate da dodajete ovom dijagramu planete sa njihovim tačnim položajima. Na primer, da pretpostavimo kako je Devica na 24 na vrhu jedanaeste kuće, i pronađete da je Sunce označeno sa 22 u Devici, tada ćete ga neznatno pomeriti ispred vrha. Ako je na 26 u Devici, malo ga pomerite unazad. Dnevno odstupanje Sunca uvek iznosi oko 3 minuta, pa je skoro nepotrebno praviti izračunavanja koja se odnose na sat u horoskopu. Sasvim je dovoljno uzeti podnevni položaj, tačno prema najbližem stepenu. 9 Kao što sam već naglasio, oblici i formalna preračunavanja u Astrologiji, slično postavljanju Tarota, jesu precizne operacije, ali se prava veština sastoji u intuitivnom tumačenju konačne figure. Oblik ove figure će ograničiti ili nagovestiti odgovor, ali neće najaviti pravo stanje stvari - to u mnogome zavisi od opažanja onog koji proračunava. 10 Sideralno vreme je period za koji se Zemlja okrene oko svoje ose; svaka 24 časa na satu predstavljaju 24 časa, 3 minuta i 56.5 sekundi sideralnog vremena. 11 Ako se izračunavanje odnosi na osobu koja je rođena istočno ili zapadno od Griniča, ili južno od ekvatora, treba izvršiti korekcije pri izračunavanju. Takođe treba obratiti pažnju na letnje vreme, ako je bilo na snazi u vreme rođenja. Detalje ovih korekcija možete pronaći u dodatku. 17

18 ALEISTER CROWLEY Pretpostavimo da je Vaga na 16 5'52'', u tom slučaju je možemo staviti u dijagram kao 16, čak iako je pravo vreme blizu ponoći. Potrebno je samo malo zdravog razuma. Sada razmatramo položaj Meseca. Mesečeva dnevna kretanja su veoma velika. Ponekad iznose više od 15, pa čak i malo više. Ponekad su na 12, čak i manja, ali se približno izračunavaju kao stepen, svaka 2 sata. U Efemeridama se nalaze podnevni i ponoćni položaj. Treba da uzmete podnevni ili ponoćni položaj u odnosu na to da li je sat horoskopa bliži jednom ili drugom. Dodajući pola stepena času, dobićete tačan Mesečev položaj, sa neprimetnom i neznatnom greškom. Pretpostavimo da je vreme koje vam treba 9 časova uveče, a da je Mesec tog dana u ponoć na 8 37' od Bika. Sve što treba da uradite jeste da oduzmete stepen i po, a to će iznositi 7 u Biku. Tada pogledajte na desnu stranu Efemerida, na kojoj se nalaze položaji drugih planeta. Neptun se ne pomera za više od minut ili dva za 24 časa. Heršel (drugo ime za Uran, koje je dobio prema Vilijamu Heršelu, koji ga je otkrio, prim. prev.) retko više od 2 minuta. Jupiter jedva više od 12 minuta. Mars jedva za više od 50, pa je tako u potpunosti nepotrebno da zapisujemo više od najbližeg stepena. Venera, međutim, pomera povremeno više od jednog stepena, i trebalo bi uzeti u obzir sat horoskopa dok odlučujete gde ćete je postaviti. Pretpostavimo da je na 19 39' u Ovnu, označićete je tada sa 19, ako je vreme koje ste tražili pre podneva, ili sa 20, ako je vreme bilo u poslepodnevnim časovima. Merkur se pomera brže, ponekad pokrivajući i preko 2 stepena za 24 sata, i prema tome bi trebalo da budete pažljiviji u određivanju njegovog mesta. U gornjem desnom uglu Efemerida su dati mesečevi Čvorovi; oni se kreću veoma sporo i neće vam predstavljati problem da ispravite njihov položaj u odnosu na sat u danu. 12 Beskorisno je i apsurdno proračunavati položaj planeta sa tačnošću u odnosu na minute i sekunde, jer izračunavanje aspekata dozvoljava variranje od 12, pa i više, stepeni. Zaustavljati se na sitnicama, a prelaziti preko važnih stvari jeste odlika "Licemera - piskarala i fariseja". Primetićemo da su neke od planeta označene kao retrogradne. To se nikada ne odnosi na Sunce ili Mesec, već je važno u slučajevima kada izrađujemo dijagram za Merkur i Veneru. Ako primetite da se brojevi u koloni pre smanjuju nego što se povećavaju, znaćete da je planeta retrogradna, i u tom slučaju, pozicija planete će biti pomerena malo unazad umesto unapred. Činjenica da je pomeranje Sazvežđa u suprotnom pravcu od kretanja planeta može uneti malo zabune. Naravno, to nije zaista u pitanju. Čak i ova, takozvana retrogradna pomeranja, nastaju zbog toga što se Zemlja kreće mnogo brže od ostalih planeta, pa izgleda kao da se one kreću unazad. To je jednostavno privid - kao što nam se čini da se točak kreće unazad. Ili slučaj sa običnim i ekspresnim vozovima, kada jedan prolazi pored drugog. Međutim, suština je u sledećem: zahvaljujući brzoj Zemljinoj revoluciji, posmatrač sa bilo kog mesta vidi novo Sazvežđe koje se pojavljuje svakog sata, ili dva, dok Sunce ostaje u znaku Sazvežđa u toku celog meseca. Tako, ako pravite dijagram neba za vreme sunčevog izlaska i dijagram u podne, izgledaće kao da se sve planete kreću unazad, dok se one, u suštini, kreću unapred. Nadamo se da će ovo jednostavno tumačenje razjasniti nejasnoće, koje mladi astrolog može imati pri izradi dijagrama. 12 Primetićete da su u Efemeridama dati i aspekti, naročito oni mesečevi, na desnoj strani. Bilo bi mudro da ih mladi astrolog zanemari i da ih sam proračuna, pošto su dati samo tačni aspekti, a mogu postojati mnogi aspekti, astrološki primenljivi, koji nisu zabeleženi baš na taj dan za koji se dijagram izračunava. 18

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα