6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí

Transcript

1 ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x = in x; < x (ç f åðåêôåßíåôáé ðåñéïäéêü óå üëï ôï R. Õðüäåéîç: Õðïëïãßóôå ðñþôá ôïõò óõíôåëåóôýò a ; a 1 ; b 1. ºóùò óáò ñçóéìåýóïõí ïé ôáõôüôçôåò in x co nx = 1 (in(n + 1x in(n 1x 2 êáé in x in nx = 1 (co(n 1x co(n + 1x. 2 (ii Ç óåéñü Fourier ôçò óõíáñôþóåùò g(x = x 2 óôï [ ; ] åßíáé (1 ìïí ( 1 n 3 n 2 co(nx: Íá âñåèåß ç óåéñü Fourier ôçò g(x óôï [ 2; 2]. 2. Íá ëõèåß ôï ðáñáêüôù ðñüâëçìá áñ éêþí ôéìþí ìå ôç âïþèåéá ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý (15 ìïí. Laplace Õðüäåéîç: Âñåßôå A; B; ôýôïéá þóôå y (t 4y (t + 3y(t = 6; y( = y ( = : 6 ( 1( 3 = A + B Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí (3 ìïí. ; t < 1 (i f(t = 2t co(2t (ii g(t = 2t; 1 t < 2 t + 1; 2 t 4. Íá âñåèåß ï áíôßóôñïöïò ìåô/ìüò Laplace ôùí óõíáñôþóåùí ( (2 ìïí. 1 (i F ( = (ii G( = 2 e Ãéá ôï êýêëùìá ôïõ äéðëáíïý ó Þìáôïò õðïèýôïõìå üôé R = 2 Ohm, L = 1 Henry êáé (12 ìïí. = 1/2 Farad êáé v(t = 3 Volt ãéá êüèå t >. ñçóéìïðïéþíôáò ôïí äåýôåñï íüìï ôïõ Kirchho âëýðïõìå üôé ç Ýíôáóç i(t ðïõ äéáññýåé ôï êýêëùìá ôçí ñïíéêþ óôéãìþ t éêáíïðïéåß ôçí åîßóùóç di Äßíïíôáé: dt + 2i + 2 Âñåßôå ôçí Ýíôáóç i(t; i(d + v c ( = 3: i(t v(t + - R L t åðéëýïíôáò ôçí ðáñáðüíù åîßóùóç ìå ôç ñþóç ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý Laplace, áí i L ( = 1 A êáé v c ( = 2 V (ìå v c óõìâïëßæïõìå ôçí ðôþóç ôüóçò óôá Üêñá ôïõ ðõêíùôþ. L{e at } = 1 a ; L{eat in(bt} = b ( a 2 +b 2 ; L{e at co(bt} = a ( a 2 +b 2 ; L{t n } = n! n+1 ; L{ (n (t} = n ; L{t n f(t} = ( 1 n F (n (; i(t= v (t; L{u c (tf(t} = e c L{f(t + c}; ÊáëÞ åðéôõ ßá L{f (t} = L{f(t} f(; L{f (t} = 2 L{f(t} f( f (;

2 Εξετάσεις στο μάθημα Εϕαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Ηλεκτρολογίας, Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου, 26/1/21 Διδάσκων: Αχιλλέας Συνεϕακόπουλος Θ 1. (i Υπολογίστε τη σειρά Fourier S f (x της συναρτήσεως [2] { x, x < f(x = 2, x < π (η f επεκτείνεται περιοδικά σε όλο το R. Που συγκλίνει η σειρά για x [, π]; Λύση. Είναι a = 1 π και για n 1, a n = 1 π b n = 1 π Συνεπώς, ( ( f(x dx = 1 π xσυν(nx dx + xημ(nx dx + ( x dx + S f (x = a 2 + (a n ημ(nx + b n συν(nx = 1 π ( 1 n ημ(nx + n 2 π 2συν(nx dx = = 1 π 2 dx = = 2 π 2, ( ( 1 n + 1 n 2, 2ημ(nx dx = = 1 ( ( 1 n 2( 1 n + 2, π n ( 1 n 2( 1 n + 2 συν(nx. nπ (ii Η σειρά Fourier της συναρτήσεως g(x = 2x στο [, π] είναι 4( 1 n ημ(nx. Εξηγήστε γιατί στην παραπάνω σειρά εμϕανίζονται μόνο [1] n όροι ημιτόνων. Να βρεθεί η σειρά Fourier της g(x στο [ 5, 5]. Λύση. Εμϕανίζονται μόνο όροι ημιτόνων διότι η g(x είναι περιττή. Είναι g ( 5x = 2 5x π π = 5 π 2x 5 π 4( 1 n ημ(nx n στο [, π]. Άρα, στο [ 5, 5]. 2( 1 n g(x nπ ημ( nπx 5

3 Θ 2. (i Βρείτε τον αντίστροϕο μετ/μό Laplace L 1 {F (} της συναρτήσεως [1.5] F ( = (Υπόδειξη: Δείξτε πρώτα ότι = (2 2 3( Λύση. Η δοθείσα σχέση μπορεί να δειχθεί με διαίρεση πολυωνύμων (κάντε το για εξάσκηση. Είναι F ( = = (22 3( = (22 3( = Εϕαρμόζοντας τον L 1 και λόγω της γραμμικότητάς του παίρνουμε L 1 {F (} = 2L 1 { 2 } 3L 1 {1} + L 1 { } 2 = 2δ (t 3δ(t + co(4t (ii Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα αρχικών τιμών με τη βοήθεια του μετασχη- [1.5] ματισμού Laplace: y (t 5y (t + 6y(t = 2e t, y( =, y ( = 1. ( Υπόδειξη: Βρείτε A, B, τέτοια ώστε +1 ( 1( 2( 3 = A 1 + B Λύση. Εϕαρμόζοντας τον L στην παραπάνω εξίσωση και λόγω της γραμμικότητάς του παίρνουμε [ 2 Y ( y( y (] 5[Y ( y(] + 6Y ( = όπου Y ( = L{f(t}. Από τις δοθείσες αρχικές συνθήκες y( =, y ( = 1, η παραπάνω εξίσωση γίνεται που είναι ισοδύναμη με την [ 2 Y ( 1] 5Y ( + 6Y ( = 2 1, ( Y ( = = Αϕού = ( 2( 3 λύνοντας ως προς Y ( παίρνουμε Y ( = + 1 ( 1( 2( 3. Ακολουθώντας την υπόδειξη, βρίσκουμε A, B, τέτοια ώστε + 1 ( 1( 2( 3 = A 1 + B

4 Είναι A = 1, B = 3 και = 2, οπότε Y ( = Εϕαρμόζοντας τον L 1 και λόγω της γραμμικότητάς του παίρνουμε y(t = L 1 {(Y (} = L 1 { 1 1 } 3L 1 { 1 2 } + 2L 1 { 1 3 } = e t 3e 2t + 2e 3t Θ 3. Να βρεθεί ο μετ/μός Laplace των παρακάτω συναρτήσεων, t < 2 2t, 2 t < 3 (i f(t = συν(5t + 1 (ii g(t = t + 1, 3 t < 5, 5 t Λύση. (i Είναι f (t = 5ημ(5t + 1 και f (t = 25συν(5t + 1 = 25f(t, οπότε L{f (t} = 25L{f(t}. [ ] Αλλά L{f (t} = 2 L{f(t} f( f ( = 2 L{f(t} συν(1 + 5ημ(1, αϕού είναι f( = συν(1 και f ( = 5ημ(1. Συνεπώς, 2 L{f(t} συν(1 + 5ημ(1 = 25L{f(t}. Λύνοντας ως προς L{f(t} παίρνουμε L{f(t} = συν(1 5ημ( (ii Είναι g(t = (u 2 (t u 3 (t 2t + (u 3 (t u 5 (t (t + 1 = u 2 (t 2t u 3 (t [2t (t + 1] u 5 (t (t + 1 = u 2 (t 2t u 3 (t (t 1 u 5 (t (t + 1 Εϕαρμόζοντας τον L και λόγω της γραμμικότητάς του παίρνουμε L{g(t} = L{u 2 (t 2t} L{u 3 (t (t 1} L{u 5 (t (t + 1} = e 2 L{2t + 4} e 3 L{t + 2} e 5 L{t + 6} = e 2 ( e 3 ( e 5 (

5 Θ 4. Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος υποθέτουμε ότι R = 2 Ohm, L = [2] 1 Henry και = 1/2 Farad και v(t = 3 Volt για κάθε t >. Χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff δείξτε ότι η ένταση i(t που διαρρέει το κύκλωμα την χρονική στιγμή t ικανοποιεί την εξίσωση di dt + 2i + 2 i(τdτ + v c ( = 3. v(t - + i(t Βρείτε την ένταση i(t, t επιλύοντας την παραπάνω εξίσωση με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace, αν i L ( = 1 A και v c ( = 2 V (με v c συμβολίζουμε την πτώση τάσης στα άκρα του πυκνωτή. έπεται Λύση. Από R i R + L di L dt + 1 v R + v L + v = v Αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές παίρνουμε di dt + 2i + 2 R i (τdτ + v ( = v i(τdτ + v c ( = 3. Εστω I( = L{i(t} και V ( = L{v(t}. Εϕαρμόζοντας τον L και λόγω της γραμμικότητάς του παίρνουμε L R I( + L (I( i L ( + 1 Λύνοντας ως προς I( παίρνουμε I( + v ( = V ( I( = V ( v ( + L i L ( L 2 + R + 1 Είναι V ( = L{v(t} = L{3} = 3, οπότε από τις δοθείσες συνθήκες έχουμε I( = = + 1 ( Συνεπώς, i(t = e t συν(t

6 Εξετάσεις στο μάθημα Εϕαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Ηλεκτρολογίας, Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου, 9/2/21 Διδάσκων: Αχιλλέας Συνεϕακόπουλος Θ 1. Υπολογίστε τη σειρά Fourier S f (x της συναρτήσεως [2] f(x = x, x < π (η f επεκτείνεται περιοδικά σε όλο το R. Βρείτε την τιμή της σειράς (που συγκλίνει για κάθε x [, π] και υπολογίστε το άπειρο άθροισμα Θ 2. Να βρεθεί ο μετ/μός Laplace των παρακάτω συναρτήσεων, t < 2 3t, 2 t < 4 (i f(t = ημ(2t + 3 (ii g(t = 2t + 1, 4 t < 6, 6 t Θ 3. (i Βρείτε τον αντίστροϕο μετ/μό Laplace L 1 {F (} της συναρτήσεως [1.5] F ( = Υπόδειξη: Δείξτε πρώτα ότι = ( 2 3( [ ] (ii Να επιλυθεί το παρακάτω σύστημα με τη βοήθεια του μετασχηματισμού [1.5] Laplace. { } x (t = x(t 2y(t, x( = 1 y (t = x(t y(t, y( = Θ 4. Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος υποθέτουμε ότι R = 6 Ohm, L = 2 [2 ] Henry, και = 1/4 Farad. Χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff δείξτε ότι η πτώση τάσης v(t στα άκρα του πυκνωτή την χρονική στιγμή t ικανοποιεί την διαϕορική εξίσωση v (t + 3v (t + 2v(t =. i(t Βρείτε την πτώση τάσης v(t στα άκρα του πυκνωτή, επιλύοντας την παραπάνω εξίσωση με τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace, αν v( = 1 Volt και i( = 2 Ampere (με i(t συμβολίζουμε την ένταση που διαρρέει το κύκλωμα. R L Δίνονται: L{e at } = 1 a, L{eat ημ(bt} = b, L{e at συν(bt} = ( a 2 +b 2 a, L{t n } = ( a 2 +b 2 n!, n+1 L{δ(t} = 1, L{δ (t} =, L{δ (t} = 2,, i(t= v (t, L{u c (tf(t} = e c L{f(t + c}, L{f (t} = L{f(t} f(, L{f (t} = 2 L{f(t} f( f (, Καλή επιτυχία