3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών"

Transcript

1 . αρακτηριστικές Παράετροι Κατανοών - Αναενόενη ή έση τιή ιας διακριτής τυχαίας εταβητής. Στο προηγούενο κεφάαιο είδαε ότι σε κάθε τ.. αντιστοιχεί ία κατανοή. Αν και η συνάρτηση κατανοής F ή ισοδύναα η σ.π./σ.π.π. για διακριτή/συνεχή περιγράφει επακριβώς την κατανοή αυτή δυστυχώς δεν δίνει άεσα κάποια πηροφορία σχετικά ε τις τιές που πορεί να πάρει η τ... Για παράδειγα θα ήταν αρκετά χρήσιο να γνωρίζουε «γύρω» από ποια τιή «κυαίνεται» η τ... Με άα όγια ενδιαφερόαστε για την τιή «γύρω» από την οποία είναι κατανεηένη η συνοική πιθανότητα της τ... Ας ονοάσουε την τιή αυτή «έση τιή» της τ... Ενδεχοένως θα πορούσε κανείς να προτείνει διάφορους ορισούς ιας τέτοιας «έσης τιής». Όπως θα φανεί και σε όσα ακοουθούν ένας ιδανικός τέτοιος ορισός είναι αυτός που θέτει ως «έση τιή» ιας κατανοής το «κέντρο βάρους» της κατανοής αυτής. Το «κέντρο βάρους» αυτό υποογίζεται θεωρώντας ότι η συνοική πιθανότητα είναι άζα που έχει κατανεηθεί είτε σε διάφορα σηεία του R αν πρόκειται για διακριτή τ.. είτε έχει απωθεί σε ένα διάστηα του R αν πρόκειται για συνεχή τ... Για παράδειγα αν ία τ.. παίρνει τιές και ε πιθανότητες / και / και / αντίστοιχα τότε η σ.π. της σχηατικά θα είναι / / / Θεωρώντας τώρα ότι στα σηείο υπάρχει άζα πιθανότητας εγέθους / / και / αντίστοιχα τότε το κέντρο βάρους θα είναι το 5. Συνεπώς θα θεωρούε ότι η έση τιή αυτής της τ.. θα είναι το 5/: / / / 5/ Ας δούε όως αρχικά για την διακριτή και στη συνέχεια για την συνεχή περίπτωση ποιος θα είναι ο αυστηρός ορισός της έσης τιής ιας τ.. Ορισός.. Μέση τιή διακριτής τ... Έστω ία διακριτή τ.. ε τιές στο σύνοο {α α...} και συνάρτηση πιθανότητας. Η ποσότητα a a a a υπό τον όρο ότι η παραπάνω σειρά συγκίνει απόυτα δη. αναενόενη τιή ή πηθυσιακός έσος της τ... Ω a a < θα καείται έση ή Σύφωνα οιπόν και ε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω η έση τιή ιας τ.. είναι στην ουσία το «κέντρο βάρους» της συνοικής άζας πιθανότητας που έχει κατανεηθεί στον R από τον Ω έσω της τ... Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 5

2 Προφανώς αν {...} τότε. Αξίζει σε αυτό το σηείο να αναφέρουε ένα σηαντικό αποτέεσα το οποίο θα διατυπωθεί αυστηρότερα και θα αποδειχθεί σε επόενο κεφάαιο. Το αποτέεσα αυτό δικαιοογεί και τον παραπάνω ορισό της έσης τιής ιας τ.. Παρατήρηση.. Νόος των εγάων αριθών. Έστω ότι εκτεούε ακριβώς το ίδιο τυχαίο πείραα φορές θεωρώντας ότι αυτά τα όοια πειράατα είναι εταξύ τους ανεξάρτητα και είναι η τ.. που εκφράζει το αποτέεσα του -πειράατος. π.χ. ρίχνουε ένα ζάρι φορές και θεωρούε την τ.. ή οποία εκφράζει το αποτέεσα της -ρίψης... Επειδή τα πειράατα είναι όοια οι τ.. θα έχουν την ίδια κατανοή F και την ίδια έση τιή Ε. Θεωρούε την νέα τ.. η οποία καείται και δειγατικός έσος στο παράδειγα ε το ζάρι είναι προφανώς ο έσος όρος των ενδείξεων στις ρίψεις. Σύφωνα ε το νόο των εγάων αριθών αποδεικνύεται ότι όσο το εγαώνει ο δειγατικός έσος συγκίνει στην έση τιή Ε. Ο νόος αυτός φυσικά ισχύει και για συνεχείς τ.. θα ορίσουε σε επόενη παράγραφο τη έση τιή ιας συνεχούς τ... Για παράδειγα έστω η τ.. που εκφράζει το ύψος ενός τυχαία επιεγένου ατόου από έναν πηθυσό έστω ότι η έχει σ.κ. F και έση τιή Ε. Αν ετρήσουε το ύψος ενός εγάου αριθού τυχαία επιεγένων ατόων και υποογίζουε τον αντίστοιχο έσο όρο τότε περιένουε αυτός να είναι περίπου ίσος ε την έση τιή Ε της κατανοής F. Αν το δηαδή «καταγράψουε» όο τον πηθυσό τότε ο έσος όρος θα είναι ίσος ε την Ε ε πιθανότητα και για το όγο αυτό ο έσος Ε καείται πηθυσιακός έσος. Ο είναι ο έσος όρος του δείγατος των ατόων και για αυτό καείται δειγατικός έσος. Συνήθως στη στατιστική ας ενδιαφέρει να «εκτιήσουε» τον πηθυσιακό από το δειγατικό έσο οι έθοδοι «εκτιήσεων» αποτεούν σηαντικό έρος του αθήατος Στατιστική ΙΙΙ. Παράδειγα... συνέχεια Άσκησης.9: Ένας παίκτης ρουέτας χρησιοποιεί το ακόουθο σύστηα. Ποντάρει στο κόκκινο χι και αν κερδίσει αποχωρεί. Αν χάσει ποντάρει ξανά στο κόκκινο αυτή τη φορά χι και ανεξάρτητα ε το αποτέεσα αποχωρεί. Θεωρώντας ότι η πιθανότητα να έρθει κόκκινο είναι ½ να βρείτε την πιθανότητα να αποχωρήσει ο παίκτης κερδισένος. Γιατί δεν χρησιοποιεί το σύστηα αυτό ο καθένας για να κερδίζει;. Ο δειγατικός χώρος του συγκεκριένου πειράατος πορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο Ω{ΚΚΚΜΜΚΜΜ} όπου π.χ. ΚΜ είναι το ενδεχόενο να έρθει Κόκκινο την πρώτη φορά και Μαύρο τη δεύτερη. Τα στοιχειώδη ενδεχόενα του δειγατικού χώρου είναι ισοπίθανα ε πιθ. /. Για παράδειγα {KK}Κόκκινο την πρώτη φορά και Κόκκινο τη δεύτερη φορά Κόκκινο την πρώτη φοράκόκκινο τη δεύτερη φορά. επειδή τα δύο ενδεχόενα αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα πειράατα πρώτο και δεύτερο «γύρισα» της ρουέτας. Το ίδιο θα ισχύει και για τα στοιχειώδη ενδεχόενα. Έστω τώρα Υ η τυ- Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 5

3 χαία εταβητή που είναι ίση ε αν αποχωρήσει ο παίκτης κερδισένος και διαφορετικά Έ- στω επίσης η τυχαία εταβητή που εκφράζει το κέρδος του παίκτη. Θα έχουε ότι στοιχ. ενδεχ. Υ KK πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ κέρδισε και αποχώρησε KM πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ κέρδισε και αποχώρησε MK πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ έχασε και ξαναπόνταρε στο Κ και κέρδισε MM πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ έχασε και ξαναπόνταρε στο Κ και ξαναέχασε. Εποένως Y { ω : Y ω } { K K K M M K} και ο παίκτης κερδίζει ε πιθανότητα / 75%. Αναφορικά ε το τεευταίο ερώτηα της άσκησης.9 παρατηρούε ότι ο παίκτης κερδίζει ε πιθανότητα 75% ενώ χάνει ε 5%. Όταν όως κερδίζει κερδίζει χι ενώ όταν χάνει χάνει χι. Μακροπρόθεσα οιπόν ο παίκτης αναένεται να κερδίσει στο 75% των περιπτώσεων διότι από το νόο των εγάων αριθών για το ποσοστό Y των περιπτώσεων που ο παίκτης κέρδισε π.χ. σε δοκιές θα ισχύει ότι Y Y a a a Y Y Y.75 Από την άη όως το ποσό που παίρνει κάθε φορά που κερδίζει είναι το / από το ποσό που πηρώνει κάθε φορά που χάνει. Για να δούε αν ακροπρόθεσα ο παίκτης χάνει ή κερδίζει πρέπει να βρούε το αναενόενο κέρδος Ε. Επειδή {} θα ισχύει ότι a a a Εποένως σε κάθε παιχνίδι το αναενόενο κέρδος του παίκτη είναι ηδενικό. Από το νόο των εγάων αριθών αναένεται ότι ετά από έναν εγάο αριθό από παιχνίδια θεωρητικά άπειρο το έσο κέρδος του παίκτη θα είναι περίπου ίσο ε. Άσκηση.. συνέχεια άσκ... Να βρεθούν οι έσες τιές των τ.. Υ Ζ ε αντίστοιχες σ.π. 5 α. β.... v γ v v Λύση. α Θα έχουε ότι a a β Όοια v v v Y a a v v v v γ Θα είναι Z a a. Είναι γνωστό ότι για < α < v v v v v v 6 Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 55

4 a a και παραγωγίζοντας και τα δυο έη ως προς α παίρνουε ότι και άρα τεικά a a Z. Άσκηση.. Η κατανοή των κερδών σε ία σειρά αχείων «Ξυστό» είναι σύφωνα ε τα αναγραφόενα στην πίσω πευρά του αχείου: Κατηγορία κέρδους δρχ Κερδίζοντα αχεία Σύνοο Λαχεία έκδοσης:.6. δρχ. η τιή του κάθε δετίου Αν είναι το κέρδος από την αγορά ενός τυχαία επιεγένου αχείου να βρεθεί η κατανοή της και το έσο κέρδος Ε. Λύση. Συνυποογίζοντας τις δρχ που κοστίζει κάθε αχείο θα ισχύει ότι και άρα Έτσι αν ένας παίκτης αγοράζει «Ξυστό» από σειρές ε την παραπάνω κατανοή κερδών τότε ακροπρόθεσα αναένεται να έχει έση ζηιά περίπου 65 δρχ. ανά αχείο. Βέβαια αυτό δεν ισχύει ε βεβαιότητα άα ε εγάη πιθανότητα. Για το όγο αυτό ο παίκτης συνεχίζει να παίζει επίζοντας ότι θα αποτεέσει την εξαίρεση και θα έχει κέρδος από το παραπάνω παιχνίδι. Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 56

5 Σε αρκετές περιπτώσεις ενώ είναι γνωστή η κατανοή ιας τ.. ζητείται ο υποογισός της έσης τιής ιας τ.. Y g που είναι συνάρτηση του. Σε αυτές τις περιπτώσεις πορούε έσω της εθόδου που αναπτύχθηκε στο τέος του προηγούενου κεφααίου να βρούε την κατανοή της νέας τ.. Y και στη συνέχεια να υποογίσουε έσω του γνωστού τύπου την ΕΥ. Στις περισσότερες περιπτώσεις όως είναι προτιότερο να χρησιοποιήσουε έ- ναν εναακτικό τρόπο υποογισού της ΕΥ που δεν προϋποθέτει τον ενδιάεσο υποογισό της κατανοής της τ.. Y. Συγκεκριένα ισχύει η επόενη πρόταση. Πρόταση.. Έστω ία διακριτή τ.. ε τιές στο σύνοο {α α...} και συνάρτηση πιθανότητας. Αν Υ g τότε Y g g a a. Απόδειξη. Έστω Β το σύνοο τιών της τ.. Υ. Από τον ορισό της έσης τιής της τ.. Υ θα είναι Y y Y y y g y y a y a y B y B : g a y y B g a a g a y B : g a y a. y B : g a y Άσκηση.. α Να βρεθεί η έση τιή των κατανοών που περιγράφονται από τους επόενους πίνακες συναρτήσεις πιθανότητας στις προηγούενες περι- β Ποιά είναι η έση τιή των τυχαίων εταβητών πτώσεις; Λύση. α Η έση τιή της τ.. θα είναι β Α τρόπος: Εάν χρησιοποιήσουε ως ενδιάεσο βήα τον υποογισό της σ.κ. της τ.. Υ θα έχουε ότι Υ {9} Y.5 Y. Y. Y 9 9. και άρα Y Y Y Y 9 Y Β Τρόπος. Θα αξιοποιήσουε την Πρόταση. g Y...9. Παρατηρούε ότι στην ουσία οι δύο τρόποι είναι ισοδύναοι. Για τη έση τιή της τ.. Z 5 θα έχουε ε τον Α τρόπο ότι Ζ {} Z 5.5 Z 5. Z 5. Z 9 5. Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 57

6 και άρα Z Z Y Y Y Β Τρόπος. Θα αξιοποιήσουε την Πρόταση. g 5 Τέος η έση τιή της τ.. Z 5 5 W... W θα είναι από την Πρόταση.: Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο εργαζόαστε και για την κατανοή που περιγράφεται από τον πίνακα. Η έση τιή ιας τ.. έχει τις ακόουθες ιδιότητες: Πρόταση.. Αν είναι ία διακριτή τ.. αb R και g g δύο πραγατικές συναρτήσεις τότε a a a b a b g g g g. Απόδειξη. Αν a δηαδή a τότε a a Ω a a. Από την Πρόταση.. θα ισχύει ότι a b a b a b a b. Θα ισχύει ότι g g Ω g g Ω g g Ω. Ω Ω g Ω g Άσκηση.. Έστω ότι σε ία κηρωτίδα παίνουν τα ονόατα παικτών ο καθένας από τους οποίους δίνει ένα χρηατικό ποσό α για να συετάσχει στο παιχνίδι. Ο παίκτης του οποίου το όνοα θα κηρωθεί κερδίζει όο το ποσό που έχει συγκεντρωθεί. Ποιο θα είναι το αναενόενο κέρδος ενός παίκτη; Αν αυτός που διενεργεί την κήρωση κρατάει ένα ποσοστό p γκανιότα από τα χρήατα που αζεύονται ποιο θα είναι τότε το αναενόενο κέρδος ενός παίκτη; Λύση. Έστω Ω{α α...α } τα ονόατα των παικτών. Θα ισχύει προφανώς ότι {ω}/ για κάθε ω Ω. Έστω ή ανάογα ε το αν κερδίσει ή όχι ένας συγκεκριένος π.χ. ο ος παίκτης. Θα είναι { a} και Το καθαρό κέρδος π.χ. του ου παίκτη θα είναι Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 5

7 a αν Y a a a αν Εποένως Y a a a a a a Το αναενόενο οιπόν κέρδος κάθε παίκτη θα είναι. Μακροπρόθεσα οιπόν το έσο κέρδος κάθε παίκτη θα είναι από το νόο των εγάων αριθών. Αυτό ήταν αναενόενο διότι κάθε παίκτης θα έχει το ίδιο έσο κέρδος και αν π.χ. αυτό ήταν θετικό τότε ακροπρόθεσα θα κέρδιζαν όοι οι παίκτες κάτι που δεν είναι φυσιοογικό διότι τα χρήατα που εξέρχονται από το παιχνίδι ως καθαρά κέρδη θα πρέπει να είναι ίσα ε αυτά που εισέρχονται αφού όοι θα κέρδιζαν. Στη δεύτερη τώρα περίπτωση το κέρδος π.χ. και πάι του ου παίκτη θα είναι a p a αν Y a p a a αν Εποένως Y a p a a p a a p a ap Το αναενόενο οιπόν κέρδος κάθε παίκτη θα είναι αp < άρα πρόκειται για ζηιά. Μακροπρόθεσα οιπόν το έσο κέρδος κάθε παίκτη θα είναι αp <. Και αυτό το αποτέεσα ήταν αναενόενο διότι στο παιχνίδι υπάρχει κάποιος αυτός που διενεργεί την κήρωση που κερδίζει ε βεβαιότητα. Εποένως οι υπόοιποι παίκτες θα πρέπει ακροπρόθεσα να χάνουν αφού θα πρέπει να έχουν το ίδιο έσο κέρδος. Διακύανση ή διασπορά διακριτής τ.. Έστω a a... τα σηεία της ευθείας των πραγατικών πάνω στα οποία παίρνει τιές η τ.. {a a...}. Αν θεωρήσουε άζες εγέθους a a... πάνω στα σηεία a a... αντίστοιχα τότε σύφωνα και ε όσα έχουν γραφεί παραπάνω η έση τιή Ε πορεί να θεωρηθεί ως το κέντρο βάρους της συνοικής άζας πιθανότητας που έχει κατανεηθεί στα σηεία a a.... Μπορούε οιπόν να θεωρήσουε ότι η συνοική πιθανότητα άζα κατά κάποιο τρόπο κατανέεται «γύρω» από τη έση τιή της κατανοής. Υπάρχουν όως κατανοές που ενώ έχουν ίσες έσες τιές είναι εταξύ τους αρκετά διαφορετικές. Υπάρχουν π.χ. κατανοές που βρίσκονται «γύρω» και «κοντά» από τη έση τιή ενώ υπάρχουν κατανοές που βρίσκονται «γύρω» αά «ακριά» από τη έση τιή. Π.χ. βέπουε στο παρακάτω σχήα διάφορες διακριτές κατανοές ε ίδια έση τιή. / / - 5 / / / - 5 / / / / / - 5 Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 59

8 Παρατηρούε ότι στην πρώτη περίπτωση η συνοική άζα πιθανότητα βρίσκεται κοντά στη έση τιή. Στη δεύτερη περίπτωση η άζα απώνεται σε εγαύτερη απόσταση γύρω από το ενώ στην τρίτη περίπτωση η άζα απώνεται ακόη περισσότερο. Θα ήταν οιπόν αρκετά χρήσιο αν πορούσαε να ποσοτικοποιήσουε τη «διασπορά» αυτή των τιών της τ.. γύρω από τη έση της τιή ορίζοντας κάποια νέα παράετρο της κατανοής F. Μία αρκετά βοική τέτοια παράετρος αντιστοιχεί στην «ροπή αδράνειας» γύρω από το κέντρο βάρους της κατανοής της τ... Ειδικότερα έχουε τον ακόουθο ορισό. Ορισός.. Έστω ία διακριτή τ.. Η ποσότητα [ ] καείται διασπορά ή διακύανση της τ.. ή της κατανοής της. Σηειώνουε ότι η έση τιή και η διασπορά ιας τ.. συβοίζονται συνήθως και ε σ. Επίσης είναι σηαντικό να παρατηρήσουε ότι η διασπορά ορίζεται όταν Ε <. Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς σ καείται τυπική απόκιση της τ.. ή της κατανοής της. Αν η τ.. παίρνει τιές στο {α α...} τότε από την Πρόταση.. προκύπτει ότι a Αν η τ.. παίρνει τιές στο {...} τότε προφανώς a Ω.. Άσκηση.5. Να υποογιστεί η έση τιή και η διασπορά των κατανοών που εφανίζονται στο παραπάνω γράφηα. Λύση. α Η συνάρτηση πιθανότητας στην πρώτη περίπτωση είναι και εποένως Ω Ω β Η συνάρτηση πιθανότητας στη δεύτερη περίπτωση είναι και εποένως Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6

9 Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6 Ω Ω γ Η συνάρτηση πιθανότητας στην τρίτη περίπτωση είναι 5 και εποένως 5 5 Ω 5 Ω Μερικές φορές ο τύπος του ορισού της διασποράς δεν είναι αρκετά εύχρηστος και για αυτό είναι προτιότερος ο υποογισός της διασποράς έσω του τύπου που δίνεται στην επόενη πρόταση. Πρόταση.. Η διασπορά ιας τ.. είναι ίση ε. Απόδειξη. Από τον ορισό της διασποράς και την Πρόταση.. θα έχουε ότι Ε Ε Ε όπου φυσικά Ε. Παρατηρούε ότι έσω της παραπάνω πρότασης αρκεί να υποογίσουε τη έση τιή Ε και την Ε η οποία καείται και η-κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της κατανοής της τ... H αντίστοιχα καείται κεντρική ροπή δευτέρας τάξης διότι όπως αναφέραε και παραπάνω αντιστοιχεί στην ροπή αδρανείας γύρω από το έσο. Γενικότερα η Ε k καείται η-κεντρική ροπή k-τάξης ή k-οστή ροπή της κατανοής της τ... Άσκηση.6. α Να βρεθεί η διασπορά των κατανοών που περιγράφονται από τους επόενους πίνακες συναρτήσεις πιθανότητας

10 στις προηγούενες περι- β Ποιά είναι η διασπορά των τυχαίων εταβητών πτώσεις; Λύση. Από την Άσκηση. βρήκαε ότι α Από την Πρόταση.. γνωρίζουε ότι η διασπορά της τ.. θα είναι και χρησιοποιώντας τα αποτεέσατα της άσκησης.. προκύπτει άεσα ότι β Για τη διασπορά της τ.. Υ θα είναι Από την Πρόταση.. θα είναι.. Y Y Y και άρα Για τη διασπορά της τ.. Ζ 5 θα είναι Από την Πρόταση.. θα είναι Z Z Z και άρα Για τη διασπορά της τ.. W θα είναι W W W και χρησιοποιώντας τα αποτεέσατα της άσκησης.. προκύπτει άεσα ότι Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο εργαζόαστε και για την κατανοή που περιγράφεται από τον πίνακα. Η επόενη πρόταση περιγράφει τις ιδιότητες της διακύανσης ιας τ.. Πρόταση.. Αν είναι ία διακριτή τ.. αb R τότε a a b a. Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6

11 Απόδειξη. Αν a δηαδή a τότε a a a a a. Από την Πρόταση. και την Πρόταση. θα ισχύει ότι a b ab a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b ab a b a a. Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι b. Αυτό ήταν αναενόενο διαισθητικά διότι αν ετακινήσουε την συνοική πιθανότητα της κατά b δη. πάρουε την κατανοή της b η διασπορά της θα παραείνει η ίδια ε την αρχική της. Παράδειγα. Στην Άσκηση.6. ζητήθηκε ο υποογισός της διασποράς 5 όπου η τ.. έχει σ.π. που δίνεται από τον πίνακα.5... Παρατηρούε ότι ο συγκεκριένος υποογισός πορεί να γίνει ευκοότερα αν χρησιοποιήσουε την Πρόταση.. Ειδικότερα θα έχουε ότι 5 5 και επειδή από την Άσκ..6.. προκύπτει άεσα ότι Το αποτέεσα αυτό όπως ήταν αναενόενο συπίπτει ε αυτό που βρήκαε χωρίς τη χρήση της Πρότασης. στην Άσκηση.6.. Μέση τιή και διασπορά συνεχών τυχαίων εταβητών κατανοών Στις προηγούενες παραγράφους που αφορούσαν διακριτές τ.. ή ισοδύναα διακριτές κατανοές εισαγάγαε δύο παραέτρους που προσφέρουν σηαντική πηροφορία για τη ορφή ιας διακριτής κατανοής. Ειδικότερα η έση τιή προσδιορίζει το «βαρύκεντρο» της κατανοής η τ.. παίρνει τιές «γύρω» από αυτήν ενώ η διακύανση εκφράζει τη «εταβητότητα» της τ.. γύρω από τη έση τιή. Είναι εύογο να αναζητήσουε ανάογες παραέτρους και για τις συνεχείς κατανοές. Όπως θα δούε αναυτικότερα στη συνέχεια η θεωρία που αντιστοιχεί στις συνεχείς τ.. είναι ανάογη ε τη θεωρία που αφορά διακριτές τ.. Η διαφορά είναι ότι όπου στις διακριτές κατανοές εφανίζεται άθροισα στις συνεχείς κατανοές εφανίζεται οοκήρωα. Ορισός.. Μέση τιή συνεχούς τ... Έστω ία συνεχής τ.. ε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η ποσότητα υπό τον όρο ότι τ... d < θα καείται έση ή αναενόενη τιή ή πηθυσιακός έσος της Ο παραπάνω ορισός της έσης τιής συπίπτει και πάι ε τον ορισό του κέντρου βάρους ιας άζας πιθανότητας κατανεηένης στον άξονα των πραγατικών ε πυκνότητα στο σηείο ίση ε R. Υπενθυίζεται ότι ο νόος των εγάων αριθών β. παρατήρηση. εξακοουθεί να ισχύει και για συνεχείς τ.. Έτσι αν είναι η συνεχής τ.. που εκφράζει Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6

12 το αποτέεσα του -πειράατος σε ία ακοουθία όοιων και ανεξάρτητων πειραάτων τότε ο δειγατικός έσος συγκίνει ε πιθανότητα όταν στον πηθυσιακό έσο Ε. Άσκηση.7. Να βρεθούν οι έσες τιές των τ.. Υ Ζ ε αντίστοιχες σ.π.π. α [ ] β [] γ > >. Λύση. α Σύφωνα ε τον ορισό.. θα είναι d d l l l l.65 d..5 /.5 l β Όοια d d d. γ Θα ισχύει ότι d d d ' d ' d d. - / / Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6

13 Όπως και στις διακριτές τ.. σε αρκετές περιπτώσεις ζητείται ο υποογισός της έσης τιής ιας τ.. Y g ενώ είναι γνωστή η κατανοή της συνεχούς τ... Σε αυτές τις περιπτώσεις πορούε και πάι έσω της εθόδου που αναπτύχθηκε στο τέος του προηγούενου κεφααίου να βρούε την κατανοή της νέας τ.. Y και στη συνέχεια να υποογίσουε την ΕΥ. Όπως όως ακριβώς είχαε παρατηρήσει και στη διακριτή περίπτωση β. Πρόταση. είναι προτιότερο να χρησιοποιήσουε την επόενη πρόταση η οποία δίνεται χωρίς απόδειξη. Πρόταση.5. Αν Υ g και είναι ία συνεχής τ.. ε σ.π.π. τότε Y g g d. Επίσης η έση τιή συνεχών τ.. έχει τις ίδιες ιδιότητες ε αυτές της έσης τιής διακριτών τ.. Πρόταση.6. Αν είναι ία συνεχής τ.. αb R και g g δύο πραγατικές συναρτήσεις τότε a b a b g g g g. Απόδειξη. Από την Πρόταση.5. θα ισχύει ότι a b a b d a d b d a b. Όοια ε τη διακριτή περίπτωση θα είναι g g g g d g d g d g g. Όπως ακριβώς και στη διακριτή περίπτωση η έση τιή Ε ιας συνεχούς τυχαίας εταβητής πορεί να θεωρηθεί ως το κέντρο βάρους της συνοικής άζας πιθανότητας που έχει κατανεηθεί στο R έσω της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Η συνοική οιπόν πιθανότητα άζα κατανέεται «γύρω» από τη έση τιή της συνεχούς κατανοής. Όπως είναι φυσικό και στη συνεχή περίπτωση υπάρχουν κατανοές που ενώ έχουν ίσες έσες τιές είναι εταξύ τους αρκετά διαφορετικές. Π.χ. βέπουε στο παρακάτω σχήα δύο σ.π.π. Y συνεχών κατανοών ε ίδια έση τιή 6. Y 6 Στην περίπτωση της κατανοής ε σ.π.π. η συνοική άζα πιθανότητα βρίσκεται κοντά στη έση τιή 6 ενώ στην περίπτωση της Y η άζα απώνεται σε εγαύτερη απόσταση γύρω από Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 65

14 το. H ποσοτικοποίηση της «διασποράς» αυτής των τιών ιας τ.. γύρω από τη έση της τιή πραγατοποιείται έσω του επόενου ορισού που είναι ακριβώς ίδιος ε τη διακριτή περίπτωση Ορισός.. Έστω ία συνεχής τ.. Η ποσότητα [ καείται διασπορά ή διακύανση της τ.. ή της κατανοής της. Η διασπορά αντιστοιχεί και πάι στην «ροπή αδράνειας» γύρω από το κέντρο βάρους της κατανοής της τ... Η έση τιή και η διασπορά ιας τ.. συβοίζονται συνήθως και ε σ. Επίσης όπως και στη διακριτή περίπτωση η διασπορά ορίζεται όταν Ε <. Αντίστοιχα ε τη διακριτή περίπτωση η σ καείται τυπική απόκιση της τ.. ή της κατανοής της. Από την Πρόταση.. προκύπτει ότι d ] Ανάογα ε τη διακριτή περίπτωση ισχύει ο παρακάτω τύπος. Πρόταση.7. Ισχύει ότι. Απόδειξη. Είναι ακριβώς ίδια ε αυτή που αφορά διακριτές τ.. Πρόταση.. Σηειώνεται επίσης ότι η Ε k καείται η-κεντρική ροπή k-τάξης ή k-οστή ροπή της κατανοής της τ... Η επόενη πρόταση είναι ίδια ε την.. που αφορούσε διακριτές τ.. Πρόταση.. Αν είναι ία συνεχής τ.. αb R τότε a b a Απόδειξη. Είναι ακριβώς ίδια ε αυτή που αφορά διακριτές τ.. Πρόταση.. Άσκηση.. Να βρεθούν οι διασπορές και οι τυπικές αποκίσεις των τ.. Υ Ζ ε αντίστοιχες σ.π.π. α [ ] β [] γ > > Λύση. α Από την Άσκηση.7. βρέθηκε ότι l. Βασιζόενοι στην Πρόταση.7. για τον υποογισό της αρκεί να υποογίσουε την Ε. Θα είναι και άρα d d d 9 l. σ.59 β Από την Άσκηση.7. βρέθηκε ότι Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 66

15 Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 67. Αποένει να υποογίσουε την d d d και άρα 9 9 σ γ Και πάι από την Άσκηση.7. βρέθηκε ότι. Επίσης ' d d d d ' d d και τεικά σ. Τυποποιηένες κατανοές Κάθε τ.. η οποία έχει έση τιή και διασπορά καείται τυπική κατανοή. Είναι ενδιαφέρουσα η παρατήρηση ότι κάθε τ.. πορεί να ετασχηατισθεί έτσι ώστε να είναι τυπική. Συγκεκριένα η ετασχηατισένη τ.. σ Y παρατηρούε ότι έχει σ σ σ Y Y και εποένως είναι τυπική. Για το όγο αυτό η τ.. καείται και τυποποιηένη τ..

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση Εκτίηση Σηείου Εκτίηση Σηείου Εισαγωγή Σε πολλές περιπτώσεις στη στατιστική έχουε συναντήσει προβλήατα για τα οποία απαιτείται να εκτιηθεί ια παράετρος. Η έθοδος που ακολουθεί στις περιπτώσεις αυτές κανείς

Διαβάστε περισσότερα

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων Κεφάαιο 4. Απά οντέα συστηάτων αναονής Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζουε απά οντέα αναονής (συστήατα ε ένα σταθό εξυπηρέτησης) ενώ τα οντέα δικτύων αναονής θα εξεταστούν σε επόενο κεφάαιο. 4. Μοντέα αναονής

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ Α. ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΠΟΛΛΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ Ορισένες φορές ένα ασφαλιστήριο καλύπτει περισσότερες από ία ζωές. Ένα προφανές παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου για δύο συζύγους, καθένας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης

Κεφάλαιο 3. Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης Κεφάλαιο Ιδιότητες ονάδων - συστήατος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης Έχουε ήδη αναφερθεί στην έννοια της «γήρανσης» ιας ονάδας ή ενός συστήατος κατά την ελέτη IF / DF χρόνων ζωής Συγκεκριένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων . Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετείται εισέλθει στο σύστηµα, ο πελάτης που εξυπηρετείται

εξυπηρετείται εισέλθει στο σύστηµα, ο πελάτης που εξυπηρετείται ΕΝΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΟΥΡΑΣ ΜΕ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ Υποθέσεις: Υπάρχουν s θέσεις εξυπηρέτησης Υπάρχουν Ν κατηγορίες προτεραιοτήτων (η κατηγορία έχει τη εγαύτερη προτεραιότητα και η κατηγορία Ν τη ικρότερη) Για κάθε κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Α Α Π Σ Δ 10: Δ Γ -Θ Καθ Γιάννης Γαροφαάκης ΜΔΕ Επιστήης και Τεχνοογίας Υποογιστών Τήα Μηχανικών Η/Υ & Πηροφορικής Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων Defini on (Birth-Death-Process (BDP)) Μία στοχαστική διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Περίηψη της Ύης της Επιχειρησιακής Έρευνας Ακαδηαϊκό Έτος 003-004 Πρόογος Το φυάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας KE 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Εκτίηση άγνωστων κατανοών πιθανότητας ΤήαΕπιστήης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήιο Πελοποννήσου 7 coas Tsaatsous Εισαγωγή Παραετρικές έθοδοι Μη παραετρικές

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4 Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές Στο προηγούμενο κεφάαιο εισαγάγαμε την έννοια της τυχαίας μεταβητής και είδαμε ότι σε κάθε τέτοια μεταβητή, έστω Χ, αντιστοιχεί μία κατανομή Είναι η κατανομή της

Διαβάστε περισσότερα

dn T dv T R n nr T S 2

dn T dv T R n nr T S 2 Τήα Χηείας Μάθηα: Φυσικοχηεία Ι Εξετάσεις: Περίοδος εκεβρίου 00- (0) Θέα (0 ονάδες) Α) ( ονάδες) Η θεελιώδης εξίσωση θεροδυναικού συστήατος δίνεται από την σχέση: l l όπου και σταθερές και και τα γνωστά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ. 2 ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV

ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ. 2 ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV Πίνακας Περιεχοένων Γενικά3 Εργοδικότητα 3 Πιθανότητες πρώτης ετάβασης Αναενόενος χρόνος8 4 Κλάσεις Ισοδυναίας Κατάταξη Καταστάσεων6 5 Γενική δοή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 2 η Σειρά ασκήσεων

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 2 η Σειρά ασκήσεων ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 8-9 Ηιαγωγοί και Ηιαγώγιες οές (7 ο Εξάηνο) Απαντήσεις στην η Σειρά ασκήσεων 1. α) Αν υποθέσουε ότι δύο ηιαγώγια υλικά, όπως τα S και G, έχουν περίπου ίδιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 34 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσία παράδοσης 6//7 Άσκηση Α) Οι δυνάεις που δρουν σε κάθε άζα φαίνονται στο Σχήα. Αναλύοντας σε ορθογώνιο σύστηα αξόνων (διακεκοένες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή 3 Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή Τα νετρίνα ανιχνεύονται από τηλεσκόπια Cherenkov έσω της παρατήρησης της ακτινοβολίας Cherenkov (βλέπε Παράγραφο 4.1) που εκπέπεται από τα φορτισένα σωάτια που παράγονται

Διαβάστε περισσότερα

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός. 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad)

Διαβάστε περισσότερα

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια ΦΥΣ 347: Υπολογιστική Φυσική Eβδοάδα 3 3. Μέθοδος etropols onte Carlo. Oι έθοδοι τύπου etropols onte Carlo εφαρόζονται για την ελέτη κλασσικών και κβαντικών συστηάτων (ε Ν>> βαθούς ελευθερίας σε ισορροπία.

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2 ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΝΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ... 3. Τα θεελιώδη θεωρήατα της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006 Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηα ασκήσεω //006 Μελέτη οοδιάστατου στοιχειακού στερεού ε δύο τροχιακά αά άτοο ε χρήση υβριδικώ ατοικώ τροχιακώ Θεωρούε δύο τροχιακά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

Martingales. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή Κεφάλαιο 4 Martingales 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαγάγουε την έννοια της δεσευένης έσης τιής για διακριτές τυχαίες εταβλητές και θα δούε πότε χαρακτηρίζουε ια στοχαστική διαδικασία διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ II Χ. Πετρίδου,. Σαψωνίδης Μέτρηση του χρόνου ζωής του ιονίου Σκοπός Το ιόνιο είναι το δεύτερο ελαφρύτερο λεπτόνιο στο standard Model ε ια άζα περίπου 106 MeV. Έχει spin ½

Διαβάστε περισσότερα

Μπαεσιανοί Ταξινοµητές (Bayesian Classifiers)

Μπαεσιανοί Ταξινοµητές (Bayesian Classifiers) KE 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Μπαεσιανοί Ταξινοητές Bayesan Classfers ΤήαΕπιστήης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήιο Πελοποννήσου 7 Ncolas Tsapatsouls Εισαγωγή Θεωρία Bayes και

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS)

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS) ΒΕΣ 6 Προσαροστικά Συστήατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαροστικοί Αλγόριθοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθου Least Mean Square (LMS) Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες

Διαβάστε περισσότερα

ας γ γ ν[ασ] ου ατ κα

ας γ γ ν[ασ] ου ατ κα ε α να [ηπ] τ κ ς α κ ησ ε ε ς π λ σ υ ε ' ωετ ρ ας ν[ασ] ου ατ κα [ ] ε λ [ ] ε λ 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ... 4 ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ... 8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ... 15 ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ & Η/Υ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ρ. Α. ΜΑΓΟΥΛΑΣ Επικ. Καθηγητης Σ.Ν.. 13 I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Συστήατα συντεταγένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR.

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR. Μάθηα 3 ο, Οκτωβρίο 008 (9:00-:00). ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR. Φάσα το δρογόνο (93) Γραικό φάσα Boh: εξήγησε την ακτινοβολία το ατόο Η. Ruthfod: πρήνας σγκεντρωένος σε ικρή περιοχή (D~0-5 ) Απόσπαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 5 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροπές µιας τυχαίας µεταβητής µπορούν να υποογιστούν µε τη βοήθεια κατάηων συναρτήσεων Αυτές οι συναρτήσεις καούνται ροπογεννήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας

Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας Ο δεύτερος νόος του Νεύτωνα για σύστηα εταβλητής άζας Όταν εξετάζουε ένα υλικό σύστηα εταβλητής άζας, δηλαδή ένα σύστη α που ανταλλάσσει άζα ε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είαστε πολύ προσεκτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

6.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

6.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 6.7 σκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 139 140 Ερτήσεις Κατανόησης 1. Ποιος είναι ο γεετρικός τόπος τν σηείν του επιπέδου που i) Έχουν απόσταση ρ από ένα σταθερό σηείο Ο ii) Ισαπέχουν από δύο σταθερά σηεία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμ. Εξαρτημ. λ Βλάβ./hr x10e-5. Αριθμ. Εξαρτημ.

Αριθμ. Εξαρτημ. λ Βλάβ./hr x10e-5. Αριθμ. Εξαρτημ. Rel-S-Jan-5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Κεφάαιο -. Ένα ηεκτρονικό εξάρτηα έχει σταθερό ρυθό βαβών ίσο ε.5% /hr και η ωφέιη περίοδος ζωής του είναι hr. α) Αν το εξάρτηα έχει επιβιώσει για 9 hr,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

t 0 με Ε[t] = 1/λ Εισαγωγικά Στοιχεία

t 0 με Ε[t] = 1/λ Εισαγωγικά Στοιχεία http://uer.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωία Γαών Αναονής (Queueig Theory) Πηγή Πεατών ιαδικασία Αφίξεων Ουά Αναονής Πειθαχία Μηχανισός Εξυπηέτησης Έξοδος Ιστοικά Στοιχεία Μαθηατικά οντέα για τη εέτη των

Διαβάστε περισσότερα

α τ κ ε να [ηπ] κ ς α ε η σ ς π λ ε σ α µ G µ µ [θη] ατ κ ω β γ ν[ασ ] ου ν υ M µ [ η] ατ κα G a µ γ κ. α [γ ]ε λ

α τ κ ε να [ηπ] κ ς α ε η σ ς π λ ε σ α µ G µ µ [θη] ατ κ ω β γ ν[ασ ] ου ν υ M µ [ η] ατ κα G a µ γ κ. α [γ ]ε λ ε α να [ηπ] τ κ ς α κ ησ ε ς π λ ε σ α [θη] ατ κω β ν[ασ] ου ν υ ατ κα ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ... 4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Επαναληπτική εξέταση στο άθηα Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ ΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν. ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

υναική του Συστήατος Lorenz

υναική του Συστήατος Lorenz ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΝ Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηατική Μοντελοποίηση Στις Φυσικές Επιστήες και τις Σύγχρονες Τεχνολογίες Μεταπτυχιακή Εργασία υναική του Συστήατος Lorenz ΚΟΛΑΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποθέτοντας ότι η τριβή είναι αρκετά μεγάλη, το σημείο επαφής θα έχει συνεχώς

1. Υποθέτοντας ότι η τριβή είναι αρκετά μεγάλη, το σημείο επαφής θα έχει συνεχώς Διονύσης Μητρόπουος Άνοδος κάθοδος κυιόμενου αρχικά σώματος σε κεκιμένο επίπεδο, με ή χωρίς οίσθηση ΕΚΦΩΝΗΣΗ Ένα «στρογγυό» σώμα έχει μάζα m, ακτίνα R και ροπή αδράνειας Ι cm m R². Οι τιμές του είναι ⅖

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Αριθµητικός Υπολογισµός των Κρίσιµων Εκθετών στο µαγνητικό µοντέλο 2D-Ising µε χρήση µεθόδου Monte Carlo

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Αριθµητικός Υπολογισµός των Κρίσιµων Εκθετών στο µαγνητικό µοντέλο 2D-Ising µε χρήση µεθόδου Monte Carlo ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αριθητικός Υπολογισός των Κρίσιων Εκθετών στο αγνητικό οντέλο D-Iing ε

Διαβάστε περισσότερα

(9.1) (9.2) B E = t (9.3) (9.4) (9.5) J = t

(9.1) (9.2) B E = t (9.3) (9.4) (9.5) J = t ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Λ. Περιβολαροπουλος ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL Σκοπός Το κεφάλαιο αυτό έχει τέσσερις βασικούς στόχους. Πρώτον, τη ελέτη των εξισώσεων του Maxwell στην τελική τους ορφή, όπου περιλαβάνεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Τήα Επιστήης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήιο Κρήτης Γιώργος Κιοσέογλου ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 4. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Τα κύρια συπεράσατα της κλασσικής θεωρίας τροποποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

2. Ποιά από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί στο νόµο του Ohm; (α) (β) (γ) (δ)

2. Ποιά από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί στο νόµο του Ohm; (α) (β) (γ) (δ) ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθό της ερώτησης και δίπλα το γράα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Πυκνωτής χωρητικότητας είναι φορτισένος ε φορτίο Q και η τάση στους οπλισούς

Διαβάστε περισσότερα

Q U A N T U M E L E C T R O D Y N A M I C S

Q U A N T U M E L E C T R O D Y N A M I C S Q U A N T U M E L E C T R O D Y N A M I C S ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράατος σπουδών. ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. ΣΦΑΕΛΟΣ 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κανόνες Feynman. Ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη 4 Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη Εισαγωγή Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουε τις φυσικές διαδικασίες που συνεισφέρουν στην απώλεια ενέργειας ενός ιονίου καθώς αυτό διαδίδεται σε ένα έσο, όπως το νερό ή ο πάγος.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ 6. Εισαγωγικά Το αγνητοστατικό πεδίο παράγεται από σταθερά (όνια) ρεύατα ή όνιους αγνήτες, χαρακτηριστικό του δε διάνυσα είναι η αγνητική επαγωγή ή πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ 6 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης Απρίλιος 8 ΜΕΡΟΣ Ι ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Πρόχειρες σηειώσεις στ είεδ ηλεκτρογνητικά κύτ ΠΡΙΧΟΜΝΑ Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στα πλαίσια του µαθήµατος των στοιχειωδών σωµατιδίων

Εργασία στα πλαίσια του µαθήµατος των στοιχειωδών σωµατιδίων Μη Αβελιανές Θεωρίες Βαθίδας Μηχανισός Hggs Η G.W.S θεωρία για τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις Εργασία στα πλαίσια του αθήατος των στοιχειωδών σωατιδίων Επιβλέπων καθηγήτρια: Στασινάκη Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy)

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy) Πεονασός Πηροφορικών Συστηάτων redundancy συστήατα ανεκτικά σε βάβες, έχουν την ικανότηταναανιχνεύσουν, να αοονώσουν και να αρακάψουν ια σειρά κοινών βαβών χωρίς την: ανθρώινη αρέβαση αξιοσηείωτη καθυστέρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

1. Μαγνητικό Πεδίο Κινούμενου Φορτίου. Το μαγνητικό πεδίο Β σημειακού φορτίου q που κινείται με ταχύτητα v είναι:

1. Μαγνητικό Πεδίο Κινούμενου Φορτίου. Το μαγνητικό πεδίο Β σημειακού φορτίου q που κινείται με ταχύτητα v είναι: 1. Μαγνητικό Πεδίο Κινούενου Φορτίου Το αγνητικό εδίο Β σηειακού φορτίου q ου κινείται ε ταχύτητα v είναι: qv u 4 qvsinφ 4 Το Β είναι ανάλογο του q και του 1/ όως και το Ε. Το Β δεν είναι ακτινικό, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 5 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος-Ειδικότητες: ΠΕ 15 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΦΥΣΙΚΩΝ ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ Επιβλέπων καθηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαγνητική ροπή. SI: Am 2

Μαγνητική ροπή. SI: Am 2 Μαγνητική ροπή Ι Ι Ι I S SI: Μαγνητική ροπή Η αγνητική διπολική ροπή είναι ια βασική ποσότητα για τον αγνητισό (όπως είναι το φορτίο για τον ηλεκτρισό) γιατί καθορίζει: (α) το αγνητοστατικό πεδίο που παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία. Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων

Διπλωματική Εργασία. Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ Εφαρμοσμένης Πηροφορικής Διπωματική Εργασία Θέμα Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Επιβέπον Καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τσαγκαρή Αθηνά

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.rmscotrol.fo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Χαρακτηριστικά - Ιδιότητες W Πρότυπο Weinberg Salam: Σχέση m z m Σχέση m, m t, m H Μέτρηση m Επιταχυντές pp (pp bar Επιταχυντές e - e + ba

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Χαρακτηριστικά - Ιδιότητες W Πρότυπο Weinberg Salam: Σχέση m z m Σχέση m, m t, m H Μέτρηση m Επιταχυντές pp (pp bar Επιταχυντές e - e + ba W mass Μπαλωενάκης Στέλιος ΑΕΜ 1417 W mass 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Χαρακτηριστικά - Ιδιότητες W Πρότυπο Weinberg Salam: Σχέση m z m Σχέση m, m t, m H Μέτρηση m Επιταχυντές pp (pp bar Επιταχυντές e - e + bar ) W

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία

Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία ΜΙΧΑΛΗΣ ΛΟΥΛΑΚΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών & Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία Συγγραφή Μιχάλης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο. Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυμάτων

Μάθημα 3 ο. Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυμάτων Μάθηα ο Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων Εξίσωση της Κίνησης Εξίσωση του Κύατος Εξίσωση Διανυσατικού Κύατος Στάσια Κύατα Ελαστικά Κύατα Χώρου Επιφανειακά Κύατα ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική & Έλεγχος

Ασαφής Λογική & Έλεγχος Τεχνητή Νοηοσύνη 7 σαφής Λογική & Έλεγχος Φώτης Κόκκορας ΤΕΙ Θεσσαλίας Τήα Μηχανικών Πληροφορικής (Fuzzy Logic Fuzzy Control) Η σαφής Λογική (Fuzzy Logic)......δεν είναι καθόλου...ασαφής ή ανακριβής, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Μαγνήτες, πόλοι, αγνήτιση Στην κλασική ιστορική θεώρηση των αγνητικών φαινοένων ία αγνητισένη ράβδος χαρακτηρίζεται από δύο πόλους, ένα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΓΩΝΙΣΜΩΝ η Εηνική Μαθηματική Ουμπιάδα "Ο ρχιμήδης" ΣΒΒΤΟ, ΦΕΒΡΟΥΡΙΟΥ 9 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ Θέματα μεγάων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜ Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου 9n n 7 είναι ρητός n

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικής Ε.Μ.Π Σχ.Σύµβουλος ΠΕ04 ( J)

( ) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικής Ε.Μ.Π Σχ.Σύµβουλος ΠΕ04 ( J) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικς Ε.Μ.Π Σχ.Σύβουλος ΠΕ4. Οι εξισώσεις Maxwell Η κατάσταση στην οποία βρισκόταν η ηλεκτροαγνητικ θεωρία πάνω από ένα αιώνα πριν

Διαβάστε περισσότερα

Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα και η αρχή της η επιτηδειότητας

Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα και η αρχή της η επιτηδειότητας Κεφάλαιο 1 Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα και η αρχή της η επιτηδειότητας 1.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα ιλήσουε για την αξία του χρήατος στον χρόνο, θα γνωρίσουε τα βασικότερα χρηατοοικονικά παράγωγα,

Διαβάστε περισσότερα

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων

4. Όρια ανάλυσης οπτικών οργάνων 4. Όρια ανάυσης οπτικών οργάνων 29 Μαΐου 2013 1 Περίθαση Οι αρχές ειτουργίας των οπτικών οργάνων που περιγράψαμε μέχρι στιγμής βασίζονται στη γεωμετρική οπτική, δηαδή την περιγραφή του φωτός ως ακτίνες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΑΣ Ουρές ή Γρές Ανονής: Φινόενο που δηιουργείτι ότν η τρέχουσ ζήτηση γι ί εξυπηρέτηση είνι εγύτερη πό την τρέχουσ ικνότητ εξυπηρέτησης του συστήτος Αντικειενικός σκοπός του προβήτος της ουράς:

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7: Μαγνητικά Υλικά και Ιδιότητες Ι. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 7: Μαγνητικά Υλικά και Ιδιότητες Ι. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχοή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πουτεχνείο Διηεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υικών Κεφάαιο 7: Μαγνητικά Υικά και Ιδιότητες Ι Λιαροκάπης Ευθύιος Άδεια Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης

αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός του κεφαλαίου είαι ια σύτοη αασκόπηση της ειδικής θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών

Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών Τα νετρίνα ως πηγή πληροφοριών Εισαγωγή Το Σύπαν έχει εξερευνηθεί έσω του ηλεκτροαγνητικού φάσατος, από ραδιοκύατα ως και ακτίνες γάα υψηλής ενέργειας. Η δυνατότητα εξερεύνησης του ε την χρήση ενός νέου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότητες ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων ΚΕΦ. Στατιτική ανάλυη ακραίων παρατηρήεων οντέλα ερηνείας εκτιήεων - προβλέψεων ακραίων υβάντων ε βάη πραγατικά δεδοένα Θα προπαθήουε ε βάη ιτορικά δεδοένα και όνο να δώουε απαντήεις ε ερωτήεις της ορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του

Διαβάστε περισσότερα