Θερμικές Ιδιότητες Στερεών. (Με βάση το πλέγμα)

Transcript

1 Θερμικές Ιδιότητες Στερεών (Με βάση το πλέγμα)

2 Εισαγγή Σχέσεις διασποράς β uα + Dα uβ β ( ) ( ) Ενέργεια κάθε τρόπου (φνόνιο) Αυτή την ενέργεια μπορεί να ανταλλάξει. Ανεξάρτητα από τους υπολοίπους E ( + ),,, E ( + ) M < s > t < > ρος s t χρονικός µ έσος ό Κβαντική έκφραση Το συνδέεται με κλασσικό πλάτος ταλάντσης. Θερμική ενέργεια ενός στερεού /όγκο Ενέργεια κάθε τρόπου (Πλάτος) Φάσμα συχνοτήτν Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

3 Πυκνότητα καταστάσεν mu + Φ u mβ α α mβ mβ Ν κυψελίδες r άτομα /κυψελίδα rn λύσεις Διαφορετικές! Επιβολή λύσεν επιπέδν κυμάτν: u u ( ) ( ) r t α α Επαναληψιμότητα λύσεν : Αντίφαση M a Αντίφαση: Παράκαμψη: Αυτή η θεώρηση: Πλήρη συμμετρία μετατόπισης (άπειρος κρύσταλλος) Ν κυψελίδν πεπερασμένο Θεώρηση πεπερασμένου όγκου, με Ν κυψελίδες. Όμς Τμήμα περιοδικής διάταξης που εκτείνεται στο άπειρο!! Διατήρηση έννοιας πεπερασμένου κρυστάλλου. Συμμετρία μετατόπισης ( Επίπεδα κύματα λύσεις). Παράβλεψη επιφανειών!!! Επιβολή περιορισμού στις τιμές του. Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

4 Πυκνότητα καταστάσεν Ζ() Επανάληψη μετά από Ν κυψελίδες Επανάληψη s μετά από Ν / απόσταση Περιοδική συνθήκη ( r t) N / / [ ( r+ N ( a + a + a )) t)] ( a + a + a ) π µε / N N /,,,...( ), ±, ± εντός της µοναδιαίας κυψε λίδας του αντιστρόϕου πλέγµατος / ης G G εντός της ζ ώνης Brllou Συνολικός αριθμός ισούται με τον αριθμό τν κυψελίδν Ν Πυκνότητα καταστάσεν, Z() Αυτή η θεώρηση: N N N L Z ( ) * c ( π) / c ( π) / ( / N) ( π) π π d L d π π π / a g / Z( ) L N a N N / / / ( ) Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 4

5 Πυκνότητα καταστάσεν Ζ() Συνήθς ζητείται Ζ(). Μέσ τν σχέσεν διασποράς. Z( ) d Z( ) d d Συνολικ ές καταστ άσεις ( π ) ( ) σταθερά d dsd d( ) grad( ) d ( ) + d( ) Γενικά df Z( ) d d d ( ) ( ) d ( π ) grad ( ) Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 5 + d σταθερό Μεγάλο Ζ(). Μικρό το grad () Κρίσιμα σημεία (Ανμαλίες va Hov grad () Η πυκνότητα καταστάσεν δεν αποτελεί ίδιον της κρυσταλλικότητας!! Έχουν και τα άμορφα (οφείλεται στη γειτνίαση τν ατόμν) Όχι πολύ διαφορετική τν κρυσταλλικών. Όχι ανμαλίες a Hov. Η γραμμική αλυσίδα εμφανίζει κρίσιμα σημεία αφού grad () για και ±π/α ενώ ακόμη και () για.

6 Διατομική αλυσίδα (DOS) M/m Οπτικός Κλάδος A' B' d Z( ) π d d ( ) ( ) / σταθερό Χάσμα Συχνοτήτν Z() π N N f πm M + m f M f M m Frucy () m f( M + m) mm Ακουστικός Κλάδος π/α Κρίσιμα σημεία (Crtcal Pots) - a Hov sgularts Κυκλικές συχνότητες στις οποίες μηδενίζεται ( απειρίζεται) η ταχύτητα ομάδος (η πυκνότητα καταστάσες) προς κάποια διεύθυνση. ( Όχι για όλες) Προκαλείται από κάποιο γεμετρικό τόπο σταθεράς στο χώρο και ο οποίος τόπος αλλάζει χαρακτήρα σε σχέση με το όριο της ζώνης του Brllou. π/α A π/α Wavvctor B π/α Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 6

7 Πυκνότητα καταστάσεν σε ελαστικό μέσο u σϕαίρα Ελαστικό ισότροπο μέσο: u / σταθερή Dby ( ) grad ( ) ( ) c df 4π σϕαίρα 4π c df d 4 d π grad π) c ( π) c σταθερό σταθερό π Z( ) d d df ( ) ( ) ( z df y Συνολική πυκνότητα καταστάσεν x d + + Z( ) d d ( π ) cl c c + ( π ) c c L d Παρατηρείστε ότι η πυκνότητα καταστάσεν στο χώρο τν συχνοτήτν δεν είναι σταθερή. Αυξάνεται τετραγνικά με το. Σταθερή στο χώρο. Z() /(π) (L/π). Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 7

8 Θερμική ενέργεια αρμονικού ταλανττή E + he ( + /) / K ( ) C P C C + x+ x + x + C ( x)... / P ( ) Κατανοµ ή Μέση Ενέργεια E + / E h P C ( Boltzma / ) Ε Ε Ε Ε Boltzma Πιθανότητα κατάληψης μιας κατάστασης ενέργειας Ε. N >>, διακριτά. N E σταθερ ά, Statstcs + / ( + /) ε EP / / (, ) ( ) ( ) x x ( x) ( x) ε (, ) + / +< > < ( ) > αναµεν όµενη µ έση τιµ ή Κατανοµ ή Bos Τα "μη αλληλεπιδρώντα" επίπεδα κύματα (, κλάδος ) "προσδιορίζονται" επίσης και από τον αριθμό τν "κυμάτν" <>. Κατανομή Bos Μέσος αριθμός κατάληψης μιας στάθμης από πολλά, μη διακρίσιμα σματίδια. Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 8

9 Ειδική θερμότητα Συνολική πυκνότητα ενέργειας Πυκνότητα καταστάσεν, Ζ(), x (Εστερική) Ενέργεια κάθε κατάστασης ε(,τ) U( ) Z( ) ε (, ) d Πρόβλημα: Απλή περίπτση: / D Z( ) ( π) grad ( ) σταθερό ε (, ) + / +< > Γνώση σχέσεν διασποράς. Αριθμητική ολοκλήρση Ελαστικό μέσο (Dby) + Συνεχής κατανομή (λ ) D U ε (, ) ε (, ) cυ ( ) Z( ) d d + (π ) c L c D 9rN d d KΘ D d y / rkn Θ / 4 y rkn y >> Θ dy y 4 Θ ( ) rkn 4π << Θ 5 Θ df rn Z( ) d D + ( π ) cl c D + ( π ) cl c D d Ορισμός (??) συχνότητος αποκοπής Dby Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 9

10 Ειδική θερμότητα c Μη μονοσήμαντος ορισμός Θ πειραµατικό υ rnk ΚΘ >> D Ανεξάρτητη του Τ ( ) 4 rkn 4π << Θ ισχύς Τ 5 Θ Νόμος Τ Νόμος Doulog Ptt Το Θ προσδιορίζει πλήρς την ειδική θερμότητα. Μεγάλες διαφοροποιήσεις Θ. Στερείται φυσικής σημασίας η Θ. Μεγάλη διακύμανση της Θ Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

11 Αναρμονικά φαινόμενα Οφείλονται στον αναρμονικό όρο στην ανάπτυξη της δυναμικής ενέργειας. Σταθερός όρος ισορροπίας Φ ( r a + u a ) Φ( r a ) + u u +... u u + + u ( ) t α uα M a ( r ) () Φ ( ra + ua ) 6 α r α rmβ roγk mβ oγ k Φ Φ Φ a mβ α mβ ' uo γk α r α r β 6 α r α rm β ro γk mβ mβ γ k Αρμονικός όρος o Αναρμονικοί όροι ( ± r ( )) t ( ± ' r ( ') t) ( ± '' r ( '' ) t) ( ± ± ' ± '') r [ ( ) t± ( ') t± ( '') t] ( m ) β ± '( rm r ) ± '' ( ro r ) Φ α α, mβ oγ k m ( ± ± ' ± '') r ( ( ) t± ( ') t± ( '') t) ( ± ± ' ± '') r ( ( ) t± ( ') t± ( '') t) o Φ mβ ( m ) β α Φ α ( ± ± ' ± '' ) r π ± ± ' ± '' ± ± ' ± '' G Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια από

12 Αναρμονικά φαινόμενα (Αλληλεπίδραση φνονίν) ' ' -' -' '' + ( G ) ιάσπαση '' + ( G ) ηµιουργ ία -'' + ( ) + ( ) Καταστροϕ ή τριών -'' + ( ) + ( ) ηµιουργ ία τριών Αναρμονικότητα Εισαγγή χρόνου ζής φνονίου! Διατηρείται η ενέργεια. Διατηρείται η ψευδο ορμή Αρµονικ ή θεώρηση c p c Δυνατές διαδικασίες (ενδιάμεσα στάδια) Δεν διατηρείται η ψευδο-ορμή!! ( p/ ) ( p/ ) cp ( p/ ) S κ S c ( p/ ) κ Ερμηνεύει: Θερμική διαστολή Ελαφρά αύξηση c v, Τ>Θ c v, c p, c kl () c kl (p) Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

13 α dl d l d α d α Θερμική διαστολή Αρμονικός ταλανττής ( αρμονική προσέγγιση) F F F(, ) U S df d + d du δq δw δq Pd ds Pd df du d( S) ds F F Pd S d Sd S P F(, ) l Z Z, E / για έναν ( + /)/ ταλανττ ή / Fs (, ) + l( ) Θερµική εν έργεια Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια ( / )/ / Στην αρμονική προσέγγιση η ΔΕΝ εξαρτάται από την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας επομένς η F s (, ) F s () df Sd Pd Σ υνολική εν έργεια υναµικ ή+ θερµική F Φ+ F Φ+ + / s(, ) l( ) p p p κ α p p p κ Αρµονικ ή θεώρηση F Φ( ) Fs ( ) + p p p p l s Μηδενικού Σηµείου

14 α dl d l d α d α Θερμική διαστολή Αναρμονικός ταλανττής ( μη αρμονική προσέγγιση) α "αρμονική" θέση ισορροπίας. α "αναρμονική" θέση ισορροπίας F Φ+ Fs Φ+ + ΦΦ + f ( a a) F ( ) Fs s Fs a + ( a a) a a / l( ) Για κάθε Τ F P Fs f ( a a) + a a καµ ία εξτερικ ή πίεση ε(, ) f ( a a) + da l ε (, ) a ( ) l ( a a ) ε (, ) a d fa l a fa l a a d fa κ l (, ) ε (, ) ( ) κ ( P ) d κ, l κ μέτρο ελαστικότητας όγκου γ (, ) c ( ) F s [ + Στις -διαστάσεις Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 4 / / ) ε + / / (, ) [ ] ε (, ) f ( a a) + Απομάκρυνση ανάλογος της θερμικής ενέργειας ε(,τ) Ο συντελεστής θερμικής διαστολής είναι ανάλογος της ειδικής θερμότητος

15 Θερμική διαστολή l (, ) ε (, ) a ( ) γ (, ) c ( ) κ, l κ, γ (, ) c ( ) γ (, ): Παράμετροι Grüs ~ Μαλακά υλικά (μικρό κ /συμπιεστότητα) μεγάλο θερμικό συντελεστή. Για μη κυβικά υλικά διαφοροποιείται στις επιμέρους κατευθύνσεις. Τα γ (, ) αποτελούν "δείκτες" της "ισχύος" τν δεσμών οι οποίοι "ελέγχουν " τις επιμέρους ταλαντώσεις. Μαλακά υλικά μεγάλα γ (, ). Επιτρέπουν τη διαπίστση "ιεραρχίας" δεσμών (δυνάμεν) στα στερεά. Αρνητικά γ οδηγούνε σε αρνητικό συντελεστή θερμικής διαστολής. S S Ο αρνητικός θερμικός συντελεστής σε χαμηλές θερμοκρασίες οφείλεται σε "αρνητικές" τιμές Grüs παραμέτρους κατά μήκος ορισμένν διευθύνσεν (ΓΧ). ( Η συχνότητα μειώνεται με τη μείση του όγκου. Κανονικά αυξάνεται με την πίεση) Στήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 5