Κώδικες LDPC (Low Density Parity Check): Ανάλυση της λειτουργίας και προσομοίωσή τους σε Matlab

Transcript

1 ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Κώδικες LDPC (Low Density Parity Check): Ανάλυση της λειτουργίας και προσομοίωσή τους σε Matlab ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαρία Μαυροδήμου (ΑΜ:Τ02805) Επιστήμη Τσιάμη (AM:Τ03161) Επιβλέπων: <Κωνσταντίνος Χαϊκάλης, Dr, Καθηγητής Εφαρμογών> ΛΑΡΙΣΑ 2014

2

3 «Εμείς οι Μαρία Μαυροδήμου και Επιστήμη Τσιάμη, δηλώνουμε υπεύθυνα ότι η παρούσα Πτυχιακή Εργασία με τίτλο Κώδικες LDPC (Low Density Parity Check): Ανάλυση της λειτουργίας και προσομοίωσή τους σε Matlab είναι δικιά μας και βεβαιώνουμε ότι: Σε όσες περιπτώσεις έχουμε συμβουλευτεί δημοσιευμένη εργασία τρίτων, αυτό επισημαίνεται με σχετική αναφορά στα επίμαχα σημεία. Σε όσες περιπτώσεις μεταφέρουμε λόγια τρίτων, αυτό επισημαίνεται με σχετική αναφορά στα επίμαχα σημεία. Με εξαίρεση τέτοιες περιπτώσεις, το υπόλοιπο κείμενο της πτυχιακής αποτελεί δικιά μας δουλειά. Αναφέρουμε ρητά όλες τις πηγές βοήθειας που χρησιμοποίησαμε. Σε περιπτώσεις που τμήματα της παρούσας πτυχιακής έγιναν από κοινού με τρίτους, αναφέρουμε ρητά ποια είναι η δικιά μας συνεισφορά και ποια των τρίτων. Γνωρίζουμε πως η λογοκλοπή αποτελεί σοβαρότατο παράπτωμα και είμαστε ενήμερες για την επέλευση των νομίμων συνεπειών» Μαρία Μαυροδήμου και Επιστήμη Τσιάμη

4 Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή Τόπος: Ημερομηνία: ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

5 1 Περίληψη Το αντικείμενο της συγκεκριμένης πτυχιακής είναι η ανάλυση και λειτουργία των γραμμικών κωδικών ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων. Αφού πρώτα αναλυθούν τα βασικά συστατικά ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος, η επίδραση του θορύβου κατά την μετάδοση της πληροφορίας και η ανάγκη για έλεγχο στον δέκτη για την ορθότητα της πληροφορίας που ελήφθει στον δέκτη, θα μελετηθούν οι γραμμικοί κωδικοί και ειδικότερα οι LDPC (Low Density Parity Check codes) με χρήση συγκεκριμένων παραδειγμάτων. Ακολουθεί η εξομοίωση τους σε περιβάλλον Matlab, η ανάλυση και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων εξομοίωσης και τέλος η εφαρμογή τους στην ψηφιακή τηλεόραση με μετάδοση του σήματος μέσω δορυφόρου (σύστημα DVB- S2).

6

7 2 Ευχαριστίες Μετά την εκπόνηση της πτυχιακής μας εργασίας, που αποτελεί την τελευταία υποχρέωση της φοιτητικής μας ζωής, θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε το εκπαιδευτικό προσωπικό του Τμήματος Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Λάρισας για τις γνώσεις που μας παρείχε και ιδιαίτερα τον κ. Χαϊκάλη, για την εμπιστοσύνη που μας έδειξε με το θέμα που μας ανέθεσε και την ουσιαστική βοήθεια που μας έδωσε για την ανάπτυξή του. Επίσης, θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τις οικογένειες μας που μας στήριξαν με κάθε τρόπο όλα αυτά τα χρόνια των σπουδών μας. Μαρία Μαυροδήμου και Επιστήμη Τσιάμη Οκτώβριος 2014

8

9 3 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... I ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... IIIII ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... V 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΔΟΜΗ ΕΝΟΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΥΛΟΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ - ΘΟΡΥΒΟΣ ΤΟ ΟΡΙΟ ΤΟΥ SHANNON ΈΛΕΓΧΟΣ ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κατηγορίες σφαλμάτων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΠΛΟΚ ΚΩΔΙΚΕΣ (LINEAR BLOCK CODES) Κυκλικοί κώδικες (Cyclic codes) Κώδικες BCH (Bose Chaudhuri - Hocquenghem) ΚΩΔΙΚΕΣ ΧΑΜΗΛΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΣΟΤΙΜΙΑΣ (LDPC) ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ LDPC ΤΡΌΠΟΙ ΑΝΑΠΑΡΆΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ LDPC ΚΩΔΙΚΩΝ Αναπαράσταση με πίνακα Γραφική αναπαράσταση ΟΜΑΛΟΙ ΚΑΙ ΑΝΩΜΑΛΟΙ LDPC ΚΩΔΙΚΕΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Dense Encoding Method Μixed encoding method Εναλλακτικές μέθοδοι υπολογισμού L και U... 40

10 3.5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ (ITERATIVE DECODING ALGORITHMS) ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΩΝ LDPC Πλήρως παράλληλη υλοποίηση Πλήρως σειριακή υλοποίηση Ημιπαράλληλη αρχιτεκτονική ΕΞΟΜΟΙΩΣΕΙΣ LDPC ΣΤΟ MATLAB ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Ο SET ΕΞΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Ο SET ΕΞΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Ο SET ΕΞΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΞΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΑ DVB ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΗΛΕΟΡΑΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ DVB ΣΥΣΤΗΜΑ DVB-S ΓΙΑ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ DVB-S ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α... 69

11 Εισαγωγή Στη σύγχρονη εποχή η ανάγκη για αξιοπιστία των δεδομένων στις νέες τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές έχει οδηγήσει στη ανάπτυξη και βελτιστοποίηση των λεγόμενων κωδικών διόρθωσης λαθών. Πρόκειται για συστήματα που έχουν την δυνατότητα ανίχνευσης και διόρθωσης λαθών που εισέρχονται σε τμήμα της πληροφορίας που μεταφέρεται μέσω τηλεπικοινωνιακών κυρίως δικτύων λόγω του θορύβου από το περιβάλλον και πιο συγκεκριμένα από το κανάλι μετάδοσης. Υπάρχουν αρκετές κατηγορίες από τέτοιους κώδικες διόρθωσης ανάλογα της δομής και της φύσης των αλγορίθμων που χρησιμοποιούν. Αρχικά μελετάμε το τηλεπικοινωνιακό σύστημα, από τι αποτελείται και την επίδραση του θορύβου. Τις κατηγορίες σφαλμάτων που προκύπτουν και με ποιες τεχνικές μπορούμε να αναγνωρίσουμε αν υπάρχουν σφάλματα κατά την μετάδοση. Αναφορικά τις τεχνικές ανίχνευσης σφαλμάτων. Στο κυρίως μέρος της πτυχιακής, μελετάμε τους γραμμικούς κώδικες, οι οποίοι πλέον κάνουν και διόρθωση σφαλμάτων πέρα από ανίχνευση, ξεκινώντας από το μαθηματικό τους μοντέλο και τους τρόπους που υλοποιούνται. Συγκεκριμένα μετά την ανάλυση γενικά των γραμμικών κωδικών εστιάζουμε στην λειτουργία των BSC και LDPC. Περαιτέρω ανάλυση πάνω στους LDPC και την χρήση της επανάληψης για την απαλλαγή από τα σφάλματα που προέκυψαν κατά την διέλευση της πληροφορίας από κανάλι μετάδοσης. Οι λύσεις που δίνονται σε αρχιτεκτονικό επίπεδο υλοποίησης και εξομοιώσεις των LDPC σε περιβάλλον Matlab με δύο διαφορετικούς αλγόριθμους κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης. Κατόπιν κάνουμε σχολιασμό των αποτελεσμάτων εξομοιώσεων τόσο σε ποιοτικό επίπεδο δηλαδή την αποδοτικότητά τους όσο και ως προς τον χρόνο που χρειάστηκαν για την όλη διαδικασία κωδικοποίησης - αποκωδικοποίησης. Τέλος εστιάζουμε στις εφαρμογές που βρίσκουν οι κώδικες LDPC σήμερα, στην δορυφορική εκπομπή σήματος τηλεόρασης DVB-S2, αναλύοντας και τα τεχνικά χαρακτηριστικά τους.

12

13 Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλυθούν τα κύρια συστατικά ενός τυπικού συστήματος τηλεπικοινωνιών, η επίδραση του θορύβου στο κανάλι μετάδοσης, η ανάγκη για έλεγχο στον δέκτη της πληροφορίας που έφτασε και οι τεχνικές ανίχνευσης ανίχνευσης/ διόρθωσης των λαθών που προέκυψαν κατά την διέλευση του, από το κανάλι μετάδοσης. 3.1 Βασική δομή ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος Η βασική δομή ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος μπορεί να περιγραφεί από την παρακάτω εικόνα. [8][15][16] Εικόνα 0-1 Τυπικό μοντέλο επικοινωνιακού συστήματος Όπως βλέπουμε στην εικόνα 2-1 μπορούμε να διακρίνουμε: την πλευρά του πομπού, το κανάλι μετάδοσης και την πλευρά του δέκτη. Πομπός Πηγή πληροφορίας: η πηγή πληροφορίας μπορεί να είναι ένα σήμα φωνής, ένα αρχείο ήχου ή εικόνας, ένα video, ένα αρχείο δεδομένων ή γενικότερα μια ροή

14 πληροφορίας σε αναλογική μορφή (κυμματομορφή) ή και ψηφιακή μορφή (διακριτά σύμβολα). Κωδικοποιητής πηγής: η έξοδος της πηγής πληροφορίας θα πρέπει να μετατραπεί σε μια ακολουθία δυαδικών bit. Στην περίπτωση που η πηγή πληροφορίας παράγει ψηφιακά δεδομένα τότε η κωδικοποίηση πηγής αναφέρεται σε τεχνικές συμπίεσης δεδομένων. Στην περίπτωση όμως που η πηγή πληροφορίας παράγει αναλογικό σήμα, ο κωδικοποιητής πηγής θα πρέπει πρώτα να αναλάβει την ψηφιοποίηση του αναλογικού σήματος με χρήση τεχνικών όπως η δειγματοληψία και κβαντοποίηση ή η διαμόρφωση Δέλτα κλπ και ύστερα θα πρέπει να γίνει η συμπίεση των δεδομένων, όπως και στην περίπτωση του ψηφιακού συστήματος. Σε κάθε περίπτωση, όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω, η έξοδος του κωδικοποιητή πηγής θα είναι μια ακολουθία δυαδικών bit. Κωδικοποίηση καναλιού: η κωδικοποίηση καναλιού υλοποιεί τεχνικές κωδικοποίησης της ακολουθίας bit με σκοπό ο δέκτης να μπορεί να κάνει ανίχνευση και διόρθωση των λαθών. Ο σκοπός δηλαδή είναι να αυξηθεί η αντοχή της εκπεμπόμενης πληροφορίας στον θόρυβο ή στην παραμόρφωση του καναλιού ή και στις διαλείψεις (ασύρματες επικοινωνίες). Ένας επιπλέον στόχος του κωδικοποιητή καναλιού είναι η διαμόρφωση του φάσματος του εκπεμπόμενου σήματος στους περιορισμούς που επιβάλλει το μέσο μετάδοσης. Διαμορφωτής: η έξοδος του κωδικοποιητή καναλιού Κ bits θα πρέπει μέσω ενός Μ-αδικού διαμορφωτή να αντιστοιχηθεί σε M=2 K αναλογικές κυμματομορφές, οι οποίες έχουν την κατάλληλη μορφή για την μετάδοσή τους από το κανάλι. Επιπλέον ο διαμορφωτής υλοποιεί λειτουργίες όπως η μετατροπή συχνότητας εάν έχουμε περίπτωση ζωνοπερατής διαμόρφωσης, ενίσχυση του σήματος και προσαρμογή στην κεραία εκπομπής. Δίαυλος Ασύρματος: Το κανάλι μετάδοσης μπορεί να είναι ο αέρας εάν πρόκειται για ασύρματες επίγειες τηλεπικοινωνίες ή το κενό για επικοινωνίες εκτός της ατμόσφαιρας της Γης. Ενσύρματος: Στην περίπτωση των ενσύρματων επικοινωνιών το μέσο μπορεί να είναι ζεύγος συνεστραμμένων καλωδίων, ομοαξονικό καλώδιο, κυματοδηγός κ.α. σε κάθε περίπτωση όμως ένα καθοδηγούμενο μέσο.

15 Δέκτης Αποδιαμορφωτής: κατά την διαδικασία λήψης του σήματος ο αποδιαμορφωτής εκτελεί τις λειτουργίες της ενίσχυσης, μετατροπής συχνότητας (μόνο εάν είναι απαραίτητο), ανίχνευση της εκπεμπόμενης κυμματομορφής συμβόλου και μετατροπή του συμβόλου που ανιχνεύθηκε σε μια ακολουθία από bits, ακολουθώντας την αντίστροφη διαδικασία από αυτήν στον πομπό. Αποκωδικοποιητής καναλιού: σε αυτή την περίπτωση η ακολουθία bits ελέγχεται για τυχόν λάθη, που προέκυψαν κατά την διέλευσή του από το μέσο μετάδοσης. Εάν χρησιμοποιείται αλγόριθμος απλής ανίχνευσης (π.χ. έλεγχος ισοτιμίας, CRC κλπ. ) το πακέτο απορρίπτεται και ζητείται η επαναπροώθησή του από τον πομπό. Σε περίπτωση που υλοποιείται αλγόριθμος ανίχνευσης και διόρθωσης λαθών, τότε τα λάθη (αν υπάρχουν) διορθώνονται και μετά απομακρύνονται τα επιπλέον bits που προστέθηκαν για να διευκολύνουν την διαδικασία ανίχνευσης και διόρθωσης των λαθών. Αποκωδικοποιητής πηγής: η διαδικασία που λαμβάνει χώρα είναι η ακριβώς αντίστροφη από αυτήν στον πομπό. Αν έχουμε ψηφιακή εκπομπή δεδομένων θα πρέπει να γίνει πρώτα η αποσυμπίεση δεδομένων και έπειτα να οδηγηθούν στο μέσο αναπαραγωγής ή αποθήκευσης, ενώ στην περίπτωση των αναλογικών δεδομένων πρώτα θα γίνει η αποσυμπίεση και ύστερα η ψηφιοποιημένη πληροφορία (δυαδικά bits) με την σειρά της και με κάποια τεχνική θα μετατραπεί σε αναλογικό σήμα, όπου θα οδηγηθεί για αναπαραγωγή ή αποθήκευση. [8][15][16] 3.2 Δίαυλος επικοινωνίας - Θόρυβος Το κανάλι μετάδοσης (δίαυλος επικοινωνίας) είτε πρόκειται για ενσύρματο είτε για ασύρματο θα αλλοιώσει την πληροφορία από τον πομπό προς τον δέκτη κατά την διέλευσή του. Είναι αναγκαίο κακό όσον αφορά στις τηλεπικοινωνίες και δεν μπορούμε να αγνοήσουμε τις αλλοιώσεις που θα προκύψουν. Οι παράγοντες που θα «παράγουν» σφάλματα κατά την επικοινωνία είναι οι εξής: Θόρυβος: η κυριότερη αιτία υποβάθμισης της ποιότητας τηλεπικοινωνιών οφείλεται στον Gaussian θόρυβο (AWGN Λευκός θόρυβος Γκαουσιανής κατανομής), ο οποίος προκύπτει από την λειτουργία των ηλεκτρονικών διατάξεων, ηλεκτρονικές διατάξεις δηλαδή από τις οποίες υλοποιείται το σύστημα (αντιστάσεις, πυκνωτές, πηνία,

16 τρανζίστορ κλπ). Δεν είναι όμως ο μοναδικός που επηρεάζει τις τηλεπικοινωνίες, μιας και υπάρχει ο ατμοσφαιρικός θόρυβος (κοσμικός) στις δορυφορικές επικοινωνίες, τα συστήματα παρεμβολών από άλλα τηλεπικοινωνιακά συστήματα, ο θόρυβος που οφείλεται στην ανθρώπινη παρουσία κλπ. Σε γενικές γραμμές δεν μπορούμε να τον περιορίσουμε, αλλά αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να τον συνυπολογίσουμε κατά την μελέτη ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Παραμόρφωση: το κανάλι προκαλεί παραμόρφωση στο εκπεμπόμενο σήμα εξαιτίας των φυσικών περιορισμών στο εύρος ζώνης, του είδους της επικοινωνίας (ασύρματο ή ενσύρματο κανάλι επικοινωνίας) και στην ύπαρξη ηλεκτρονικών διατάξεων όπως φίλτρα ή ενισχυτές. Η παραμόρφωση είναι τυχαία και συχνοεπιλεκτική, δηλαδή δεν ξέρουμε εκ των προτέρων σε ποιο βαθμό θα επηρεάσει και ποιες συχνότητες. Το αποτέλεσμα είναι η αλλαγή του πλάτους ή/ και της φάσης του εκπεμπόμενου σήματος. Χρονική καθυστέρηση: το κανάλι εισάγει χρονική καθυστέρηση, η οποία οφείλεται στη διαδρομή του σήματος. Είναι φανερό ότι στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες αυτό το φαινόμενο είναι εντονότερο μιας και το ίδιο σήμα μπορεί να ληφθεί μέσω πολλαπλών διαδρομών εμφανίζοντας έτσι κάθε συνιστώσα διαφορετική χρονοκαθυστέρηση, οδηγώντας έτσι στην διασυμβολική παρεμβολή. Το συμπέρασμα που βγαίνει είναι ότι η πληροφορία που θα φτάσει στον δέκτη σχεδόν σίγουρα θα έχει υποστεί αλλοιώσεις οι οποίες οφείλονται στους λόγους που αναλύθηκαν παραπάνω. Οι αλλοιώσεις αυτές σημαίνουν ουσιαστικά «φθορά» της πληροφορίας. Ο δέκτης με κάποιον τρόπο θα πρέπει να διασφαλίσει ότι η πληροφορία που έφτασε είναι η αρχική, αυτή δηλαδή που προέκυψε από την πηγή πληροφορίας. [1][8][15][16] 3.3 Το όριο του Shannon Το εύρος ζώνης (Bandwidth, B) ενός σήματος αποτελεί μέτρο της ταχύτητας με την οποία μεταδίδεται. Τα σήματα τα οποία μεταβάλλονται γρήγορα στο χρόνο χαρακτηρίζονται από μεγάλο εύρος ζώνης. Από την άλλη πλευρά, κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστημα έχει περιορισμένο εύρος ζώνης, γεγονός που οφείλεται στην επίδραση των παρασιτικών χωρητικοτήτων και επαγωγών, οι οποίες παρεμποδίζουν τις στιγμιαίες αλλαγές των σημάτων. Το εύρος ζώνης του συστήματος περιορίζει την ταχύτητα των μεταβολών του σήματος. Ο περιορισμός αυτός

17 ποσοτικοποιείται με το μέγεθος φασματική αποδοτικότητα (spectral efficiency), η οποία αναπαρίσταται με το σύμβολο n και δίνεται από τον τύπο όπου r b είναι ο ρυθμός δεδομένων. [4] bits/sec/hz, Η παραπάνω σχέση μπορεί να περιγραφεί και από τον τύπο που ακολουθεί, όπου r s αναπαριστά τον ρυθμό συμβόλου. Το ελάχιστο απαιτούμενο εύρος ζώνης για ένα διαμορφωμένο σήμα είναι r s Hz, ενώ η μέγιστη φασματική αποδοτικότητα, η οποία αναπαρίσταται με το σύμβολο n max δίνεται από τη σχέση Μια ακόμα σημαντική παράμετρος που χρησιμοποιείται σαν μέτρο για την αξιοπιστία της μετάδοσης της πληροφορίας στα ψηφιακά τηλεπικοινωνιακά συστήματα είναι η πιθανότητα σφάλματος δυαδικού ψηφίου (bit error probability, BER). Η αποδοτικότητα της ισχύος σχετίζεται με τον απαιτούμενο για τη μετάδοση λόγο της ενέργειας δυαδικού ψηφίου προς την μονοπλευρική φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου (bit energy to one sided noise power spectral density ratio), E b /N 0, προκειμένου να επιτευχθεί η πιθανότητα σφάλματος δυαδικού ψηφίου (bit error probability, BER). Ο Λόγος Σήματος προς Θόρυβο (Signal to Noise Ratio, SNR) σχετίζεται με τον λόγο E b /N 0 ως εξής: Για έναν δεδομένο δίαυλο, υπάρχει ένα άνω όριο του ρυθμού δεδομένων, το οποίο σχετίζεται με το Λόγο Σήματος προς Θόρυβο και με το εύρος ζώνης του συστήματος. Ο Shannon εισήγαγε την έννοια της χωρητικότητας του διαύλου (channel capacity), C, ως τον μέγιστο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων (data transmission rate, r b ) κατά τον οποίο μπορεί να μεταδοθεί η πληροφορία διαμέσου ενός ενθόρυβου διαύλου επιτυγχάνοντας την μετάδοση της πληροφορίας με μικρή πιθανότητα λάθους. Ο ρυθμός αυτός αναφέρεται ως χωρητικότητα του διαύλου και για δίαυλο Προσθετικού Λευκού Γκαουσιανού Θορύβου (Additive White Gaussian Noise channel,awgn channel ) δίνεται από την εξίσωση των Shannon Hartley :, bits per second (bps) Το θεώρημα κωδικοποίησης διαύλου του Shannon εγγυάται την ύπαρξη κωδίκων οι οποίοι μπορούν να επιτύχουν αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος αν ο

18 ρυθμός μετάδοσης δεδομένων, r b, είναι μικρότερος από την χωρητικότητα του διαύλου, C. Αντίθετα, αν ο ρυθμός δεδομένων είναι μεγαλύτερος από την χωρητικότητα του διαύλου (r b > C), δεν είναι δυνατή η σχεδίαση κώδικα ο οποίος να επιτυγχάνει αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος. Το συμπέρασμα αυτό, δείχνει ότι ο θόρυβος θέτει ένα όριο στο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων αλλά όχι και στην πιθανότητα σφάλματος, όπως πίστευαν μέχρι εκείνη την περίοδο οι επιστήμονες που ασχολούνταν με τη θεωρία κωδίκων διόρθωσης σφαλμάτων. Παρά το γεγονός ότι το θεώρημα του Shannon δεν υποδεικνύει κάποιον τρόπο σχεδίασης συγκεκριμένων κωδίκων οι οποίοι να επιτυγχάνουν τον πιθανό μέγιστο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων με αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος, πυροδότησε την ανάπτυξη ενός αριθμού τεχνικών διόρθωσης σφαλμάτων. Θεωρώντας πως ο ρυθμός δεδομένων παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή του για μετάδοση απαλλαγμένη από σφάλματα, η οποία ισούται με τη χωρητικότητα του διαύλου, C, η μέγιστη φασματική αποδοτικότητα τη σχέση: μπορεί να εκφραστεί από και ο ελάχιστος απαιτούμενος λόγος για μετάδοση απαλλαγμένη από σφάλματα δίνεται από την εξίσωση: Αν το εύρος ζώνης δεν είναι περιορισμένο, τότε στην οριακή περίπτωση, μπορούμε να πούμε ότι οπότε n max άρα ως ελάχιστη τιμή του θα πάρουμε Το συμπέρασμα που βγαίνει είναι ότι η ελάχιστη τιμή του λόγου για επικοινωνία απαλλαγμένη από σφάλματα και «άπειρο» εύρος ζώνης είναι τα db. [4]

19 Εικόνα 0-2 Όριο χωρητικότητας AWGN διαύλου σε σχέση με τη φασματική απόδοση με κωδικοποίηση BPSK 3.4 Έλεγχος εγκυρότητας πληροφορίας Όπως είδαμε στο κεφάλαιο 2.3 μπορούμε να εξάγουμε μαθηματικά τον βέλτιστο λόγο σήματος προς θόρυβο ώστε να μειώσουμε δραστικά τα σφάλματα κατά την διέλευση του σήματος από τον δίαυλο επικοινωνίας, αλλά δεν διασφαλίζουμε απόλυτα ότι δεν θα έχουμε. Λόγω της τυχαιότητας του θορύβου ποτέ δεν θα μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η πληροφορία από τον πομπό προς τον δέκτη δεν αλλοιώθηκε. Ο μοναδικός τρόπος για να ελέγξουμε την εγκυρότητα της πληροφορίας που έφτασε στον δέκτη είναι να προσθέσουμε επιπλέον δυαδικά ψηφία τα οποία δεν φέρουν πληροφορία (πλεονασμός), μέσω των οποίων θα μπορέσουμε να κάνουμε έλεγχο ορθότητας και αν είναι δυνατόν αποσφαλμάτωση. Δηλαδή η γενική ιδέα είναι ότι προσθέτουμε bits προς εκπομπή, τα οποία δεν προκύπτουν αυθαίρετα αλλά βάση κάποιου αλγόριθμου και με κάποιον τρόπο συνδυάζονται προκύπτουν από την πληροφορία τα οποία όμως θα μας δείξουν στον δέκτη αν καταρχήν υπάρχει σφάλμα, που βρίσκεται και αν μπορεί να διορθωθεί (ανάλογα την κωδικοποίηση). Γενικά όσο περισσότερα bit ελέγχου χρησιμοποιούμε, τόσο μεγαλύτερη είναι η δυνατότητα στον δέκτη για ανίχνευση και διόρθωση. Ένα τυπικό νούμερο για τις τηλεπικοινωνίες είναι το ½, δηλαδή για κάθε bit πληροφορίας στέλνουμε και ένα bit

20 ελέγχου. Όπως καταλαβαίνουμε στα πακέτα που αποστέλλονται, σε μια επικοινωνία πομπού δέκτη, αν συνυπολογίσουμε τις κεφαλίδες δρομολόγησης, την κρυπτογράφηση και τα bit ελέγχου είναι πολύ μεγαλύτερα από την καθεαυτό πληροφορία. Αυτό όμως είναι το «τίμημα» μιας ασφαλούς και έγκυρης επικοινωνίας. Προφανώς και όλα τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα δεν έχουν τις ίδιες απαιτήσεις ούτε τις ίδιες δυνατότητες. Έτσι άνοιξε ο δρόμος για πολλές διαφορετικές κωδικοποιήσεις ή αλλιώς προσεγγίσεις πάνω στο ίδιο πρόβλημα. Στο πέρασμα του χρόνου εξελίχτηκαν διάφορες τεχνικές που παράλληλα αξιοποιούσαν και την τεχνολογική εξέλιξη των υπολογιστικών μηχανών, δίνοντας έτσι μια πληθώρα επιλογών προς υλοποίηση, ανάλογα με τα δεδομένα, περιορισμούς και απαιτήσεις που έχουμε σε κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Μπορούμε να διακρίνουμε δύο μεγάλες κατηγορίες ελέγχου για σφάλματα. Τεχνικές οι οποίοι κάνουν απλά αναγνώριση σφαλμάτων και τεχνικές οι οποίες όχι μόνο αναγνωρίζουν σφάλματα αλλά μπορούν και να τα διορθώσουν Κατηγορίες σφαλμάτων Τα σφάλματα που προκύπτουν κατά την διέλευση της πληροφορίας από τον δίαυλο επικοινωνίας, μπορούμε να τα κατηγοριοποιήσουμε ανάλογα με την διάρκειά τους. Έτσι έχουμε: [17] Σφάλματα απλού bit (Single - Bit Errors): Μόνο ένα bit έχει αλλάξει στην μονάδα των δεδομένων (Data Unit), από 0 σε 1 ή από 1 σε 0. Τέτοιου είδους σφάλματα συναντώνται, κυρίως, σε περιπτώσεις παράλληλης μετάδοσης. Για να συμβούν σε σειριακή μετάδοση, πρέπει ο θόρυβος να είναι στιγμιαίος (πολύ μικρός σε διάρκεια), πράγμα εξαιρετικά απίθανο. Σφάλματα Καταιγισμού (Burst Errors): Περισσότερα από ένα bit έχουν αλλάξει τιμή. Ο αριθμός των bit από το πρώτο ως το τελευταίο εσφαλμένο bit αποτελεί το μήκος του (σφάλματος) καταιγισμού. Αυτού του είδους τα σφάλματα είναι συνηθέστερα και πραγματοποιούνται στη σειριακή μετάδοση και όπως είναι λογικό είναι και δυσκολότερο να αντιμετωπιστούνε. [17] 3.5 Τεχνικές ανίχνευσης σφαλμάτων Οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση των σφαλμάτων σε μια μονάδα δεδομένων είναι οι ακόλουθες: [17]

21 Vertical Redundancy Check (VRC): Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή και ως parity check (έλεγχος ισοτιμίας). Σύμφωνα με αυτή, στο τέλος του κάθε πακέτου πληροφορίας εισάγεται ένα bit ισοτιμίας (parity bit). Αν ενδιαφέρει ο έλεγχος άρτιας ισοτιμίας, τότε: Αν ο αριθμός των 1 είναι περιττός, το bit ισοτιμίας είναι το 1 ώστε ο αριθμός να γίνει άρτιος. Αν ο αριθμός των 1 είναι άρτιος, το bit ισοτιμίας είναι το 0 ώστε ο αριθμός να παραμείνει άρτιος. Όταν το πακέτο πληροφορίας φθάσει στο δέκτη, αυτός μετράει τους άσσους και αν τους βρει περιττούς, απορρίπτει το πακέτο. Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει αδυναμία όταν ένας άρτιος αριθμός από bits αλλάξει τιμή, λόγω θορύβου, όπως επίσης όταν έχουμε αλλαγή σε δύο bits, οπότε και ο δέκτης δεν μπορεί να καταλάβει το σφάλμα. Τα αντίθετα συμβαίνουν σε περιπτώσεις όπου ενδιαφέρει η περιττή ισοτιμία. Επαναληπτικοί κωδικοί: Ένας επαναληπτικός κώδικας για να επιτύχει επικοινωνία χωρίς σφάλματα μέσα από ένα κανάλι επικοινωνίας κατακερματίζει την πληροφορία σε μπλοκ σταθερού μήκους bits, κατόπιν εκπέμπει κάθε μπλοκ από bits για ένα προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων. Δηλαδή στέλνει την ίδια πληροφορία πολλές φορές. Έτσι ο δέκτης όταν λάβει την ακολουθία των bits μπορεί να αποφασίσει αν έχει σφάλμα η επικοινωνία (θα πρέπει σε όλες τις επαναλήψεις να παίρνει πάντα την ίδια κωδικολέξη). Οι επαναληπτικοί κωδικοί δεν είναι καθόλου αποδοτικοί αλλά το πλεονέκτημά τους είναι ότι είναι πάρα πολύ εύκολο να υλοποιηθούν. Longitudinal Redundancy Check (LRC): Σύμφωνα με την τεχνική LRC, στο τέλος του κάθε πλαισίου προστίθεται ένα byte (8 bits) και έχουμε την λεγόμενη Δυσδιάστατη ισοτιμία. Το πρώτο bit αποτελεί το bit ισοτιμίας όλων των πρώτων bits που υπάρχουν στα bytes δεδομένων του πλαισίου, το δεύτερο bit είναι bit ισοτιμίας όλων των δεύτερων bits, κ.ο.κ. Σε σύγκριση με τη μέθοδο VRC, η LRC αυξάνει την πιθανότητα εύρεσης σφαλμάτων, αλλά μειονεκτεί όταν πραγματοποιηθεί άρτιος αριθμός αλλαγών σε bits που βρίσκονται σε ίδια θέση μέσα στα bytes των πλαισίων (περίπτωση άρτιας ισοτιμίας).

22 Cyclic Redundancy Check (CRC): Η τεχνική αυτή είναι πιο αποτελεσματική στην ανίχνευση σφαλμάτων και βασίζεται στη δυαδική διαίρεση. Ο πομπός προσαρμόζει μια ακολουθία από n-1 0 στο τέλος των δεδομένων και διαιρεί το σύνολο με ένα διαιρέτη (CRC Generator των n bits). Το υπόλοιπο (δηλαδή, το CRC των n-1 bits) αντικαθιστά την ακολουθία των 0 στο τέλος των δεδομένων, ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια. Ο δέκτης, από την πλευρά του, επαναλαμβάνει τη δυαδική διαίρεση και αν είναι τέλεια, δέχεται τα δεδομένα, αλλιώς απορρίπτει το πλαίσιο. Ο γεννήτορας CRC μπορεί να αναπαρασταθεί και με μορφή πολυωνύμων, για συντομία και για τη μαθηματική τεκμηρίωση της τεχνικής. Με βάση τα πολυώνυμα, ο γεννήτορας CRC επιλέγεται έτσι ώστε να μην διαιρείται από το x και να διαιρείται από το (x + 1). Η μέθοδος αυτή μπορεί να ανιχνεύει σε περιττού αριθμού bits, τα λάθη μήκους μικρότερου ή ίσου του βαθμού του πολυωνύμου, και με μεγάλη πιθανότητα τα λάθη καταιγισμού, μήκους μεγαλύτερου του βαθμού του πολυωνύμου. Τα πιο γνωστά πρωτόκολλα είναι τα: CRC 12, CRC 16, CRC 32 και CRC ITU T. Έλεγχος Αθροίσματος (CheckSum): Τα μεγάλα πακέτα δεδομένων (data segments) διασπώνται σε μικρότερα και αθροίζονται με χρήση αριθμητικής συμπληρώματος του 1. Το άθροισμα ρυθμίζεται έτσι ώστε να είναι συγκεκριμένου μήκους (π.χ. n bits). Στο τέλος του πακέτου δεδομένων (Data Segment) προσαρτάται το συμπληρωματικό του αθροίσματος αυτού (Checksum Field). Ο δέκτης επαναλαμβάνει την παραπάνω διαδικασία κάνοντας χρήση και του checksum. Έτσι, αν το ολικό άθροισμα είναι μηδέν, το πακέτο λαμβάνεται ως σωστό. Στην αντίθετη περίπτωση, κάποιο σφάλμα έχει συμβεί και το πακέτο απορρίπτεται. Η παραπάνω μέθοδος είναι αποτελεσματική για όλα του περιττού αριθμού λάθη και για τα περισσότερα λάθη αρτίου αριθμού. Όμως, παρουσιάζει αδυναμία όταν αλλάζουν κάποια bits ενός πακέτου και τα αντίστοιχα bits αντίθετων τιμών ενός άλλου, οπότε κατά το άθροισμα στον δέκτη, το ολικό πακέτο γίνεται δεκτό, ενώ είναι λανθασμένο.

23 Συνήθως χρησιμοποιούνται 16bit και 32bit Checksums Οι τεχνικές που προαναφέρθηκαν έχουν όλες ένα κοινό γνώρισμα, όταν ανιχνευθεί σφάλμα απορρίπτουν το πακέτο και ζητούν επαναπροώθησή του από τον πομπό. Με λίγα λόγια η ανάδραση στον πομπό από τον δέκτη μέσω του καναλιού επικοινωνίας είναι υποχρεωτική. Η διαδικασία ελέγχου των σφαλμάτων είναι γνωστή ως ARQ (Automatic Repeat Request) και είναι ενσωματωμένη στα πρωτόκολλα ελέγχου ροής. [17] 3.6 Τεχνικές ανίχνευσης και διόρθωσης σφαλμάτων Όπως αναλύθηκε στο κεφάλαιο 2.5 για τις τεχνικές ανίχνευσης σφαλμάτων είναι αναγκαία η αμφίδρομη επικοινωνία πομπού δέκτη. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις κατά τις οποίες η επικοινωνία είναι μονόδρομη όπως π.χ. εκπομπή τηλεοπτικού σήματος ή εκπομπές μέσω δορυφόρου. Σε αυτή την περίπτωση η ανάγκη για διόρθωση σφαλμάτων στον δέκτη αποκτά ιδιαίτερη σημασία μιας και πρέπει να διαχειριστεί τοπικά το πακέτο πληροφορίας που ελήφθει ώστε να προβεί σε ανίχνευση σφαλμάτων αλλά και διόρθωση. Η διαδικασία διόρθωσης σφαλμάτων είναι σαφώς πιο πολύπλοκη από αυτή της ανίχνευσης και έχει και μεγαλύτερο κόστος. Δημιουργεί την ανάγκη για περισσότερα bits ελέγχου, τόσο για την ανίχνευση, όσο και για τη διόρθωση των λαθών. Οι κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων (Error Correction Codes, ECC) διαιρούνται συχνά σε δύο μεγάλες κατηγορίες: [1] στους κώδικες δέσμης (block codes): Στην κωδικοποίηση μπλοκ μια ομάδα από k bit εισόδου δημιουργεί στην έξοδο ένα μπλοκ από n bit, οπότε ονομάζεται κώδικας (n,k). Η αύξηση του μήκους του μπλοκ σημαίνει ότι ο ρυθμός εκπομπής χρήσιμων δεδομένων (δηλαδή ο ρυθμός μεταφοράς της πληροφορίας) έχει μειωθεί σε ποσοστό k/n του αρχικού. Αυτός ο ρυθμός ονομάζεται ρυθμός του κώδικα (code rate): Ρυθμός κώδικα. Τα επιπρόσθετα bit δεδομένων έχουν επιλεγεί κατάλληλα, ώστε να επιτρέπουν την διάκριση ανάμεσα σε ένα σύνολο k bit του μπλοκ από ένα διαφορετικό σύνολο k bit εισόδου. Ο παράγοντας 1-k/n ονομάζεται πλεόνασμα (redundancy) του κώδικα μπλοκ. στους συνελικτικούς κώδικες (convolutional codes): Σε αντίθεση με τους κώδικες μπλοκ, οι συνελικτικοί κώδικες (convolutional codes) εφαρμόζονται

24 στην εισερχόμενη σειριακή ακολουθία δεδομένων σε επίπεδο bit. Ο κωδικοποιητής έχει μνήμη και εκτελεί έναν αλγόριθμο που χρησιμοποιεί έναν ορισμένο αριθμό από τα πιο πρόσφατα bit για να σχηματίσει την κωδικοποιημένη ακολουθία δεδομένων εξόδου. Η διαδικασία αποκωδικοποίησης είναι συνήθως μία σειριακή διαδικασία που βασίζεται στο τρέχον και τα προηγούμενα bit (ή σύμβολα) που έχουν ληφθεί. Ο κωδικοποιητής και ο αποκωδικοποιητής μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας βαθμίδες αναδρομικής επεξεργασίας, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι ο συνελικτικός αποκωδικοποιητής Viterbi (Viterbi convolutional decoder), που έλαβε το όνομα του εφευρέτη, Andrew Viterbi (1967). [1] Εικόνα 0-3 "Οικογένεια" κωδικών διόρθωσης σφαλμάτων 3.7 Γραμμικοί μπλοκ κώδικες (Linear block codes) Ένας κώδικας είναι μια διαδικασία μονοσήμαντης απεικόνισης στοιχείων από ένα σύνολο Α σε ένα άλλο σύνολο Β. Τα στοιχεία του συνόλου Α ονομάζονται λέξεις πληροφορίας (infowords), ενώ τα στοιχεία του συνόλου Β ονομάζονται κωδικές λέξεις (codewords). Πιο συγκεκριμένα ένας (n,k) μπλοκ κώδικας C πάνω σε ένα αλφάβητο από q σύμβολα είναι ένα σετ από q k n-διανύσματα που ονομάζονται κωδικές λέξεις. Σχετιζόμενος με τον κώδικα είναι ένας κωδικοποιητής ο οποίος αντιστοιχίζει ένα μήνυμα k-συμβόλων στην αντίστοιχη κωδικολέξη. Προφανώς ισχύει ότι n>k όπου τα n- k επιπλέον σύμβολα προκύπτουν με την χρήση μιας μαθηματικής δομής από τον κωδικοποιητή. Η ανάγκη μονοσήμαντης απεικόνισης είναι απαραίτητη ώστε να υπάρχει

25 η δυνατότητα διόρθωσης λαθών ωστόσο μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να γίνει η αντιστοίχιση. [8][11][13][14] Ένας μπλοκ κώδικας θα μπορούσε να αναπαρασταθεί ως μια πλήρης λίστα αλλά για μεγάλο k αυτό θα ήταν ασύμφορο και από πλευράς υλικού, αλλά και για την διαδικασία της αποκωδικοποίησης. Χαρακτηριστικό των κωδικοποιητών μπλοκ είναι ότι αποτελούνται από διατάξεις χωρίς μνήμη γιατί δεν χρησιμοποιούν bits από προηγούμενα μπλοκ. Ένας μπλοκ κώδικας σε πεδίο F q με q σύμβολα μήκους n και q k κωδικές λέξεις είναι γραμμικός αν και μόνο αν οι q k κωδικές του λέξεις σχηματίζουν ένα k-διάστατο διάνυσμα, υποχώρο του χώρου διανυσμάτων όλων των n μήκους διανυσμάτων του F n q. Ο αριθμός n λέγεται μήκος του κώδικα ενώ ο αριθμός k διάσταση του κώδικα και προφανώς ο ρυθμός του κώδικα είναι R= k/n. Βασική ιδιότητα ενός γραμμικού κώδικα είναι το γεγονός ότι το άθροισμα οποιονδήποτε δυο κωδικών του λέξεων είναι επίσης κωδική λέξη. Ο αριθμός των bits που είναι «1» σε μια κωδική λέξη ονομάζεται βάρος Hamming w της κωδικής λέξης. Ως απόσταση Hamming d μεταξύ δυο κωδικών λέξεων ορίζεται ο αριθμός των θέσεων στις οποίες διαφέρουν οι δυο λέξεις. Το ελάχιστο βάρος ενός κώδικα ορίζεται ως το μικρότερο Hamming βάρος οποιασδήποτε μη μηδενικής κωδικής λέξης. Ως ελάχιστη απόσταση ενός μπλοκ κώδικα ορίζεται η μικρότερη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε ζευγών κωδικών λέξεων του κώδικα. Σε έναν γραμμικό μπλοκ κώδικα ικανοποιείται η συνθήκη d min = w min, δηλαδή η ελάχιστη απόσταση του είναι ίση με το ελάχιστο βάρος Hamming αυτού του κώδικα. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι σε κάθε γραμμικό μπλοκ κώδικα με ελάχιστη απόσταση d min υπάρχει η δυνατότητα διόρθωσης t (d min -1)/2. Η διαδικασία της κωδικοποίησης συνίσταται στην μετατροπή του μπλοκ των k συμβόλων σε ένα μπλοκ n συμβόλων. Έχουμε δηλαδή την ακολουθία των πληροφοριακών συμβόλων η μηνύματος m= [m 0, m 1, m 2,, m k ] και προκύπτει η κωδική λέξη c = [c 0, c 1, c 2,,c n ]. Η μετατροπή από την μια ακολουθία στην άλλη πραγματοποιείται με την βοήθεια ενός k n πίνακα G ο οποίος ονομάζεται γεννήτορας πίνακας του κώδικα. Η κωδική λέξη παράγεται με τον πολλαπλασιασμό της λέξης πληροφορίας με τον γεννήτορα πίνακα: c = mg Παρατηρούμε ότι αυτή η κωδικοποίηση είναι πιο αποτελεσματική από άποψη υλικού καθώς πλέον δεν απαιτείται η αποθήκευση των q k διανυσμάτων παρά μόνο η

26 αποθήκευση των k n στοιχείων του πίνακα G. Πρακτικά ο γεννήτορας πίνακας δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα k διανύσματα γραμμικώς ανεξάρτητα μεταξύ τους γραμμικοί συνδυασμοί των οποίων δημιουργούν τον k-διάστατο χώρο διανυσμάτων του κώδικα. Πρέπει σε αυτό το σημείο να τονιστεί ότι η αναπαράσταση των κωδικών λέξεων που παρέχονται με την χρήση του γεννήτορα πίνακα G δεν είναι μοναδική. Με αυτό εννοούμε ότι δοθέντος ενός γεννήτορα πίνακα G πραγματοποιώντας μη μηδενικούς γραμμικούς συνδυασμούς στις γραμμές του πίνακα μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα νέο γεννήτορα πίνακα G new. Τότε η διαδικασία της κωδικοποίησης θα ορίζεται ως: c = mg new Σε αυτήν την περίπτωση πάλι ένα μήνυμα θα αντιστοιχίζεται σε μια κωδική λέξη αλλά δεν θα είναι απαραίτητα ίδια με αυτήν που θα δημιουργούταν αν το ίδιο μήνυμα πολλαπλασιαζόταν με τον αρχικό πίνακα G. Σε αυτό το σημείο είναι σκόπιμο να αναφέρουμε την συστηματικότητα όσον αφορά στους κωδικοποιητές για μπλοκ κώδικες. Έστω ότι έχουμε έναν μπλοκ κώδικα (n,k) όχι απαραίτητα γραμμικό. Ένας κωδικοποιητής λέγεται συστηματικός αν το μήνυμα-πληροφορία που του αποστείλουμε υπάρχει αναλλοίωτο στην κωδική λέξη. Πρέπει να δοθεί έμφαση στο γεγονός ότι το να υπάρχει συστηματικότητα στην κωδική λέξη είναι ιδιότητα του γεννήτορα πίνακα και όχι του κώδικα. Οι γεννήτορες πινάκες που έχουν αυτή την ιδιότητα ονομάζονται συστηματικοί. Ένας συστηματικός γεννήτορας πίνακας μπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη μορφή: G όπου ο πίνακας I k είναι ένας k k μοναδιαίος πίνακας και ο P είναι ένας k (n-k) πίνακας που παράγει τα σύμβολα ισοτιμίας. Η διαδικασία της κωδικοποίησης γίνεται ως εξής: c = m[p I k ] = [mp m]

27 Παρατηρούμε ότι η κωδική λέξη χωρίζεται πλέον σε δυο τμήματα: το τμήμα m που περιέχει αναλλοίωτο το μήνυμα και το τμήμα mp που αποτελεί τα σύμβολα ελέγχου ισοτιμίας (parity check symbols). Δύο γραμμικοί κώδικες που είναι ίδιοι, εκτός από μια μετάθεση μεταξύ κάποιων τμημάτων του κώδικα λέγονται ισοδύναμοι κώδικες. Γεννήτορες πινάκες που αντιστοιχούν σε ισοδυνάμους κώδικες προκύπτουν από τις εξής δυο λειτουργίες: ανταλλαγή στηλών γραμμικοί συνδυασμοί γραμμών. Εκτός από τον γεννήτορα πίνακα G σημαντικό ρόλο στους γραμμικούς μπλοκ κώδικες κατέχει και ο πίνακας έλεγχου ισοτιμίας που συμβολίζεται με Η. Ο πίνακας αυτός αποτελείται από n-k διανύσματα n συμβόλων και αποτελεί τον διανυσματικό χώρο για έναν (n, n-k) κώδικα ο οποίος συμβολίζεται ως C T. Βασική ιδιότητα που προσδιορίζει τους πίνακες G και Η αποτελεί το γεγονός ότι είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους και συνεπώς ισχύει ότι: GH T = 0 Επιπλέον οι κωδικές λέξεις αυτού του κώδικα που είναι 2 n-k σε πλήθος είναι ορθογώνιες με τις λέξεις του κώδικα C κατά συνέπεια κάθε γραμμή του πίνακα Η είναι ορθογώνια ως προς κάθε έγκυρη κωδική λέξη του κώδικα C. Ο κώδικας C t ονομάζεται δυικός του κώδικα C. Βάσει αυτών των ιδιοτήτων προκύπτουν δυο πολύ σημαντικές παρατηρήσεις: Κάθε γραμμή του πίνακα Η είναι ορθογώνια ως προς κάθε έγκυρη κωδική λέξη του κώδικα C. Κατά συνέπεια ο πίνακας. Η μας παρέχει n-k σχέσεις τις οποίες θα πρέπει να επαληθεύουν μια κωδική λέξη για να είναι έγκυρη. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον δέκτη για επαλήθευση ότι λαμβανομένη λέξη είναι κωδική λέξη του κώδικα. Η ιδιότητα αυτή συνοψίζεται στην σχέση: ch T = 0 Ακόμα έστω ότι ένας γραμμικός μπλοκ κώδικας έχει πίνακα έλεγχου ισοτιμίας Η. Η ελάχιστη απόσταση d min του κώδικα είναι ίση με τον μικρότερο θετικό αριθμό των στηλών του Η που είναι γραμμικώς εξαρτημένοι. Σε αυτό το σημείο θα δούμε την εφαρμογή της παραπάνω ιδιότητας στο θέμα της ανίχνευσης λαθών. Υποθέτουμε ότι έχουμε έναν γραμμικό μπλοκ κώδικα (n,k) και

28 μεταδίδουμε μια κωδική λέξη του n συμβόλων μέσα από κανάλι προσθετικού θορύβου. Το κανάλι προσθέτει στην κωδική λέξη που διέρχεται μέσα από αυτό, ένα σφάλμα e, n συμβόλων με αποτέλεσμα να εισέρχεται τελικά στον δέκτη μια λέξη r, n συμβόλων η οποία δεν είναι απαραίτητα έγκυρη κωδική λέξη. Μπορούμε να γράψουμε ότι ισχύει : r = c + e με την αριθμητική να είναι στο πεδίο Fq. Το διάνυσμα λάθους e προσθέτει λάθη στις θέσεις όπου τα σύμβολα του έχουν τιμή διάφορη της μηδενικής. Αν κάθε σύμβολο δηλαδή του διανύσματος λάθους είναι μηδέν προφανώς το κανάλι δεν έχει εισάγει κανένα λάθος. Ως σύνδρομο σφάλματος s ορίζεται το διάνυσμα: s = rh T Όπως αναφέραμε προηγουμένως για να είναι μια λέξη έγκυρη κωδική λέξη του κώδικα πρέπει να ισχύει ch T = 0, όπου Η είναι ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας του κώδικα. Για το σύνδρομο ισχύει : s = rh T = (c + e)h T = eh T Αν το s = 0 τότε η λέξη r που έφτασε στον δέκτη είναι έγκυρη κωδική λέξη σε αντίθετη περίπτωση γνωρίζουμε ότι σίγουρα υπάρχει λάθος στην λέξη. Όσον αφορά την αποκωδικοποίηση των λέξεων που φτάνουν στον δέκτη υπάρχουν δύο κατηγορίες κωδικοποιητών: Η πρώτη κατηγορία είναι οι αποκωδικοποιητές πλήρους διόρθωσης λαθών. Πρόκειται για αποκωδικοποιητές οι οποίοι δοσμένης της λέξης r που παραλαμβάνουν επιλέγουν την κωδική λέξη c η οποία ελαχιστοποιεί μια συνάρτηση όπως είναι η απόσταση Hamming d H (r,c) και με τη χρήση κατάλληλων δομών όπως οι standard πίνακες (standard array) έχουμε την δυνατότητα για πλήρη αποκωδικοποίηση. Βέβαια τέτοιοι αποκωδικοποιητές έχουν πολύ μεγάλη πολυπλοκότητα και απαιτούν πολύ υλικό οπότε και δεν χρησιμοποιούνται στην πράξη. Η δεύτερη κατηγορία είναι οι αποκωδικοποιητές περιορισμένης δυνατότητας διόρθωσης λαθών. Πρόκειται για αποκωδικοποιητές οι οποίοι επιλέγουν την κωδική λέξη c δεδομένης της ληφθείσας λέξης r πάλι με την χρήση των ίδιων συναρτήσεων μόνο που αυτή την φορά αρκεί να ισχύει d H (r,c) t. Εάν σε έναν τέτοιο αποκωδικοποιητή δεν μπορεί να βρεθεί μια κωδική λέξη που να ικανοποιεί την συνθήκη τότε λέμε ότι έχουμε αποτυχία του αποκωδικοποιητή.

29 Σε αυτό το σημείο θα αναφέραμε τι δυνατότητες τροποποίησης υπάρχουν για τους γραμμικούς μπλοκ κώδικες. Υπάρχει η δυνατότητα της επέκτασης με την πρόσθεση ενός επιπλέον πλεονάζοντα όρου, παράγοντας έναν κώδικα (n+1, k, d+1), που έχει δηλαδή έναν επιπλέον σύμβολο ισοτιμίας αλλά και η απόσταση του κώδικα αυξάνει κατά 1. Υπάρχει η δυνατότητα μείωσης με την διαγραφή ενός σύμβολου ισοτιμίας έτσι ο κώδικας γίνεται (n-1,k). Με μείωση κατά p φόρες υπάρχει η δυνατότητα για μείωση της απόστασης του κώδικα σε d-p. Υπάρχει η δυνατότητα για εξαγωγή με την διαγραφή από τον κώδικα κάποιων κωδικών του λέξεων. Βεβαία αυτό πρέπει να γίνει κατάλληλα αν θέλουμε να παραμείνει γραμμικός ο κώδικας μας. Η ελάχιστη απόσταση με αυτήν την τροποποίηση μπορεί να αυξηθεί. Υπάρχει η δυνατότητα για αύξηση ενός κώδικα με την πρόσθεση νέων κωδικών λέξεων σε αυτόν. Βέβαια δεν εξασφαλίζεται ότι ο κώδικας που θα προκύψει θα είναι γραμμικός ενώ και η ελάχιστη απόσταση μπορεί να είναι μειωμένη. Υπάρχει η δυνατότητα για μείωση του μήκους ενός κώδικα με την διαγραφή ενός συμβόλου μηνύματος. Αυτό σημαίνει ότι αφαιρείται μια γραμμή και μια στήλη από τον γεννήτορα πίνακα. Έτσι έχουμε έναν (n-1, k-1) κώδικα. Τέλος υπάρχει η δυνατότητα για αύξηση του μήκους ενός κώδικα με την πρόσθεση ενός συμβόλου μηνύματος. Αυτό σημαίνει ότι μια γραμμή και μια στήλη προστίθεται στον γεννήτορα πίνακα. Με αυτόν τον τρόπο ένας (n,k) κώδικας γίνεται (n+1, k+1) κώδικας. [8][11][13][14] Κυκλικοί κώδικες (Cyclic codes) Σε αυτήν την ενότητα θα παρουσιάσουμε μια υποκατηγορία από γραμμικούς μπλοκ κώδικες, τους κυκλικούς κώδικες. Πρόκειται για κώδικες που έχουν επιπλέον αλγεβρική δομή για να έχουν αποτελεσματικότερη κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση. Οι κυκλικοί κώδικες βασίζονται σε πράξεις με πολυώνυμα με βασική αλγεβρική δομή να είναι ο δακτύλιος. [8][11][13][14] Δοσμένου ενός διανύσματος c = (c 0, c 1,, c n-1 ) GF(q) n, το διάνυσμα c = (c n- 1, c 0,, c n-2 ) λέγεται ότι είναι μια κυκλική μετακίνηση του c προς τα δεξιά. Μια

30 μετακίνηση κατά w θέσεις προς τα δεξιά παράγει ένα διάνυσμα (cn-r, cn-r+1,, cn-1, c0, c1,, cn-r-1). Ένας (n,k) μπλοκ κώδικας C λέγεται ότι είναι κυκλικός εάν είναι γραμμικός και εάν πραγματοποιώντας δεξιά κυκλική μετακίνηση στα σύμβολα κάθε κωδικής λέξης c = (c 0, c 1,, c n-1 ) που ανήκει στον κώδικα C, η καινούρια λέξη cnew = (c n-1, c 0,,c n-2 ) που προκύπτει είναι επίσης κωδική λέξη του ιδίου κώδικα C. Οι πράξεις της μετακίνησης και της κυκλικής μετακίνησης μπορούν να αναπαρασταθούν με τη χρήση πολυωνύμων. Το διάνυσμα c = (c 0, c 1,, c n-1 ) μπορεί να αναπαρασταθεί με την πολυωνυμική μορφή c(x) = c 0 + c 1 x + + c n-1 x n-1. Μια μη κυκλική μετακίνηση αναπαριστάται από πολλαπλασιασμό πολυωνύμων x*c(x) = c 0 x + c 1 x c n-1 x n-1. Προκειμένου να έχουμε κυκλική μετακίνηση απαιτείται η διαίρεση του xc(x) με τον όρο x n -1 από όπου θα κρατήσουμε ως αποτέλεσμα το υπόλοιπο της διαίρεσης. xc(x) =c n-1 x n-1 + (c 0 x + c 1 x c n-1 ), xc(x) (mod x n -1) = c n-1 + c 0 x + + c n-2 x n-1 Η αλγεβρική δομή η οποία θα μας βοηθήσει στην μελέτη των κυκλικών κωδικών είναι ο δακτύλιος (ring). Ένας δακτύλιος <R,+, *> είναι ένα σετ R με δυο βασικές πράξεις: την πρόσθεση (+) και τον πολλαπλασιασμό (*) που ορίζονται στο R με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει: Το < R,+ > είναι ένα abelian group. Όπου θεωρούμε το στοιχείο ταυτότητα (identity) της πρόσθεσης ως το 0. Η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι προσεταιριστική: (a*b)*c = a*(b*c) για όλα τα a,b,c R. Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα: a(b+c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc Ένας δακτύλιος ονομάζεται αντιμεταθετικός εάν ισχύει a*b = b*a για κάθε a, b R. Ένας δακτύλιος λέγεται ότι είναι δακτύλιος με ταυτότητα αν η πράξη * του πολλαπλασιασμού έχει στοιχείο ταυτότητας η ουδέτερο στοιχείο. Αυτό είναι συνήθως το «1». Στους δακτυλίους δεν είναι υποχρεωτικό όλα τα στοιχειά να έχουν πολλαπλασιαστικό αντίστροφο. Τα στοιχεία ωστόσο που έχουν πολλαπλασιαστικό αντίστροφο λέγονται μονάδες (units). Εκτός από τους απλούς δακτυλίους έχουμε και δακτυλίους πολυωνύμων. Έστω ότι έχουμε ένα δακτύλιο R. Ένα πολυώνυμο f(x) βαθμού n με συντελεστές στο R είναι:

31 με Το σετ όλων των πολυωνύμων με συντελεστές σε έναν δακτύλιο χρησιμοποιώντας τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πολυωνύμων σχηματίζουν ένα δακτύλιο που ονομάζεται πολυωνυμικός δακτύλιος R[x]. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων έχουν ιδιαίτερη σημασία όσον αφορά την δυνατότητα της δημιουργίας πεδίων. Έστω ότι R είναι ένας δακτύλιος. Ένα σετ I από μη μηδενικά στοιχεία του δακτυλίου ονομάζεται «ιδανικό» αν ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: Το Ι σχηματίζει ομάδα υπό την πράξη της πρόσθεσης στο R. Για κάθε α I και r R ισχύει ότι το αr I Η σημασία τους φαίνεται από το γεγονός ότι οι κυκλικοί κώδικες σχηματίζουν «ιδανικά» σε δακτυλίους πολυωνύμων. Ένα τέτοιο σετ I σε έναν δακτύλιο R λέγεται ότι είναι πρωταρχικό αν υπάρχει κάποιο g Ι τέτοιο ώστε κάθε στοιχείο a Ι να μπορεί να εκφραστεί ως προϊόν a = mg για κάποιο m R. Για ένα πρωταρχικό «ιδανικό» σετ ένα τέτοιο στοιχείο g ονομάζεται στοιχείο γεννήτορας. Με βάση τα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω μια κυκλική μετακίνηση ενός πολυωνύμου κωδικής λέξης c(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως xc(x) modulo x n -1. Αν θεωρήσουμε το πολυώνυμο c(x) ως στοιχείο του GF(q)[x]/(x n -1). Σε αυτό τον δακτύλιο κάθε στοιχείο προέρχεται από πράξη modulo, συνεπώς κάθε δύναμη του x με το οποίο πολλαπλασιάζονται μια κωδική λέξη αποτελεί μια μετακίνηση προς τα δεξιά κατά x θέσεις. (c n-1, c 0, c 1,, c n-2 ) xc(x) (c n-2, c n-1, c 0,, c n-3 ) x 2 c(x) (c 1, c 2,, c n-1, c 0 ) x n-1 c(x) Επιπλέον, αν αυτές οι κωδικές λέξεις πολλαπλασιαστούν πάλι με αριθμούς που ανήκουν στο GF(q) το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι πάλι κωδική λέξη. Γενικά οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τέτοιων κωδικών λέξεων έχει ως αποτέλεσμα δημιουργία κωδικών λέξεων (εφόσον ο κώδικας είναι γραμμικός). Θεωρούμε ότι ο κυκλικός κώδικας που εξετάζουμε ανήκει στο GF(q) και οι κωδικές του λέξεις εκφράζονται ως πολυώνυμα στο GF(q)[x]/(x n -1). Αν πάρουμε οποιοδήποτε πολυώνυμο

32 a(x) G GF(q)[x]/(x n -1) της μορφής a(x) = a 0 + a 1 x + + a n-1 x n-1 και το πολλαπλασιάσουμε με το c(x), τότε το a(x)c(x) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός από κυκλικές μετακινήσεις του c(x) και είναι συνεπώς κωδική λέξη του κυκλικού κώδικα. Βάση όλων αυτών μπορούμε να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις σχετικά με τους κυκλικούς κώδικες. Κάθε (n,k) κυκλικός κώδικας έχει ελάχιστο πολυώνυμο g(x) που είναι ο γεννήτορας του ideal και ονομάζεται πολυώνυμο γεννήτορας του κώδικα με βαθμό n-k. g(x) = g 0 + g 1 x + g 2 x g n-k x n-k Κάθε κωδική λέξη του κυκλικού κώδικα μπορεί να εκφραστεί ως το γινόμενο του πολυωνύμου γεννήτορα και ενός πολυωνύμου μηνύματος m(x) βαθμού μικρότερου του k, ως c(x) = m(x)g(x). Με m(x) = m 0 + m 1 x + + m k-1 x k-1. Κάθε πολυώνυμο που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο πρέπει να έχει βαθμό μικρότερο η ίσο του n, έτσι ώστε n κωδικοποιημένα σύμβολα να μπορούν να αναπαρασταθούν. Ο γεννήτορας είναι παράγοντας του x n -1 στο GF(q)[x]. Με βάση τα παραπάνω η διαδικασία της κωδικοποίησης του μηνύματος εξάγεται από τον πολλαπλασιασμό: c(x) =m(x)g(x)=(m 0 g(x) + m 1 xg(x) + + m k-1 x k-1 g(x)) = [m 0 m 1 m 2 m k-1 ] Επομένως θα έχουμε c=mg όπου G είναι ένας k n διαγώνιος πίνακας. Για έναν κυκλικό κώδικα μήκους n με γεννήτορα πολυώνυμο g(x) υπάρχει ένα κατά αντιστοιχία πολυώνυμο h(x) βαθμού k τέτοιο ώστε να ικανοποιείται η σχέση h(x)g(x) = x n -1. Αυτό το πολυώνυμο ονομάζεται πολυώνυμο ελέγχου ισοτιμίας (parity check polynomial). δεδομένου ότι οι κωδικές λέξεις είναι πολλαπλάσια του g(x) τότε για κάθε κωδική λέξη ισχύει: c(x)h(x) = m(x)g(x)h(x) = m(x)(x n -1) που ισούται με «0» στο πεδίο GF(q)[x]/(x n -1). Βάση αυτής της ιδιότητας παρέχεται ένας τρόπος ελέγχου των ληφθέντων από τον αποκωδικοποιητή λέξεων r(x). Μια ληφθείσα λέξη r(x) είναι κωδική λέξη αν και μόνο αν r(x)h(x) (mod a n -1) = 0. Ειδικά για τους γραμμικούς μπλοκ κώδικες μπορούμε να ορίσουμε ένα σύνδρομο (syndrome). Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να γίνει αυτό.

33 Ένας απλός τρόπος είναι να ορίσουμε ένα σύνδρομο πολυώνυμο (syndrome polynomial) s(x) που αντιστοιχεί στα ληφθέντα δεδομένα r(x). s(x) = r(x)h(x) (mod x n - 1), όπου το s(x) είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν το r(x) είναι κωδική λέξη. Αυτός ο τρόπος κωδικοποίησης ωστόσο είναι μη συστηματικός. Προκειμένου να επιτυγχάνεται συστηματική κωδικοποίηση απαιτείται κάποια επιπλέον διαδικασία που θα περιγραφεί παρακάτω. Αρχικά έχουμε το μήνυμα m = (m 0, m 1,, m k-1 ) και σε μορφή πολυωνύμου, m(x) = m 0 + m 1 x + + m k-1 x k-1. Στην συνέχεια μετακινούμε προς τα δεξιά το μήνυμα κατά n-k θέσεις έτσι έχουμε: x n-k m(x) = m 0 x n-k + m 1 x n-k m k-1 x n-1, το οποίο πολυώνυμο αντιστοιχεί στο μήνυμα (0,0,,0, m 0, m 1,, m k-1 ) όπου αρχικά αποτελείται από n-k μηδενικά σύμβολα. Στην το αποτέλεσμα αυτό το διαιρούμε με το πολυώνυμο γεννήτορα g(x) και προκύπτει πηλίκο και υπόλοιπο: x n-k m(x) = q(x)g(x)+d(x), όπου q(x) είναι το πηλίκο και d(x) είναι το υπόλοιπο τα οποία έχουν βαθμό μικρότερο από n-k. Το υπόλοιπο d(x) που προκύπτει αντιστοιχεί σε κωδική ακολουθία (d 0, d 1,, d n-k-1, 0, 0,, 0). Αν αναδιατάξουμε τους όρους στην παραπάνω σχέση προκύπτει ότι x n-k m(x) d(x) = q(x)g(x). Δεδομένου ότι το αριστερό μέρος της εξίσωσης είναι πολλαπλάσιο του g(x) συνεπάγεται ότι είναι κωδική λέξη. Η αναπαράσταση του σε ακολουθία κώδικα είναι: (-d 0, -d 1,, -d n-k-1, m 0, m 1,, m k- 1) Τα σύμβολα του μηνύματος εμφανίζονται στις τελευταίες k θέσεις ενώ τα σύμβολα ισοτιμίας εμφανίζονται στις αρχικές n-k θέσεις. Αυτό μας δίνει μια συστηματική κωδικοποίηση το οποίο ήταν και το ζητούμενο. Προηγουμένως είχαμε ορίσει το σύνδρομο πολυώνυμο που χρησιμοποιείται για την αποκωδικοποίηση ως s(x) = r(x)h(x) (mod x n - 1). Σε αυτό το σημείο θα παρουσιάσουμε ένα εναλλακτικό τρόπο ορισμού του συνδρόμου. Από τη στιγμή που μια κωδική λέξη πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του g(x), όταν διαιρούμε το r(x) με το g(x) και το υπόλοιπο είναι μηδέν τότε το r(x) είναι κωδική λέξη όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Βάση αυτής της διαπίστωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθμος της διαίρεσης προκειμένου να οριστεί το σύνδρομο πολυώνυμο. Συνεπώς ο νέος ορισμός του πολυωνύμου είναι : r(x) = q(x)g(x) + s(x), s(x) = s 0 + s 1 x + + s n-k-1 x n-k-1 Το q(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης και δεν έχει άμεση εφαρμογή στην διαδικασία της αποκωδικοποίησης. Το s(x) είναι το νέο σύνδρομο πολυώνυμο αλλά και

34 το υπόλοιπο της διαίρεσης, με αποτέλεσμα να έχει βαθμό μικρότερο από αυτόν του g(x). Βάση αυτού του ορισμού το συγκεκριμένο πολυώνυμο μπορεί να αποκτηθεί με τη χρήση ενός κυκλώματος διαιρέτη. Μια σημαντική ιδιότητα που προκύπτει είναι ότι τα σύνδρομα που αντιστοιχούν σε κωδικές λέξεις που έχουν υποστεί μετακίνηση προς τα δεξιά κατά i θέσεις προκύπτουν με μετακίνηση προς τα δεξιά των αποτελεσμάτων των πράξεων s(x) (mod g(x)). Αυτό έχει ως άμεση συνέπεια την μείωση του απαραιτήτου υλικού που απαιτείται για την αποκωδικοποίηση. [8][11][13][14] Κώδικες BCH (Bose Chaudhuri - Hocquenghem) Κωδικοποίηση Οι κώδικες BCH είναι κυκλικοί και γραμμικοί μπλοκ κώδικες μπορούν να περιγραφούν με την χρήση του γεννήτορα πολυωνύμου. Ένας κώδικας BCH σε ένα πεδίο GF(q) μήκους n που μπορεί να διορθώσει (το λιγότερο) t λάθη ορίζεται και κατασκευάζεται με τα παρακάτω βήματα: [8][11][13][14] Καθορίζουμε τον μικρότερο ακέραιο αριθμό m έτσι ώστε το GF(q m ) έχει πρωταρχική ρίζα n βαθμού β. Επιλεγούμε ένα μη μηδενικό ακέραιο b, συνήθως b = 1. Καταγράφουμε 2t συνεχόμενες δυνάμεις του β: β b, β b+1,, β b+2t-1 και καθορίζουμε λαμβάνοντας υπόψη το πεδίο GF(q) το ελάχιστο πολυώνυμο για κάθε μια από αυτές τις δυνάμεις. (Αν τα στοιχεία ανήκουν σε συζυγείς κλάσεις τότε μόνο ένα ελάχιστο πολυώνυμο υπολογίζεται) Το πολυώνυμο γεννήτορας που ψάχνουμε είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των ελαχίστων πολυωνύμων. Ο κώδικας που προκύπτει είναι ένας (n, n deg(g(x))) κυκλικός κώδικας. Επειδή το πολυώνυμο γεννήτορας κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας ελάχιστα πολυώνυμα λαμβάνοντας υπόψη το πεδίο GF(q), ο γεννήτορας g(x) έχει συντελεστές στο πεδίο GF(q) που ονομάζεται και «μικρό» πεδίο και ρίζες στο GF(q m ) που ονομάζεται και «μεγάλο» πεδίο. Για την κωδικοποίηση είναι αρκετό να εργαστούμε στο μικρό πεδίο, για την αποκωδικοποίηση όμως απαιτούνται πράξεις στο πεδίο επέκτασης. Το όριο (bound) των BCH είναι η απόδειξη ότι η διαδικασία κατασκευής γεννητόρων πολυωνύμων που περιγράφηκε παραπάνω παράγει κώδικες με το λιγότερο την ορισμένη ελάχιστη απόσταση. Πιο συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι: Έστω C είναι

35 ένας q-ιοστός (n, k) κυκλικός κώδικας με γεννήτορα πολυώνυμο g(x). Έστω GF(q m ) είναι το μικρότερο πεδίο επέκτασης του GF(q) που περιέχει μια πρωταρχική ρίζα n βαθμού και έστω β αυτή η ρίζα. Έστω το g(x) είναι ένα ελάχιστου βαθμού πολυώνυμο στο GF(q)[x] και έχει 2t συνεχόμενες ρίζες της μορφής g(β b ) = g(β b+1 ) = g(β b+2 ) = = = g(β b+2t-1 ). Τότε η ελάχιστη απόσταση του κώδικα ικανοποιεί την συνθήκη dmin δ = 2t +1, και ο κώδικας που προκύπτει μπορεί να διορθώσει το λιγότερο t λάθη. Γενικά η ελάχιστη απόσταση δηλώνει το ποσό διαφέρουν δυο κωδικές λέξεις του κώδικα μεταξύ τους όσον αφορά το πλήθος των διαφορετικών bit η συμβόλων ανάλογα με τον έχουμε δυαδικό η όχι κώδικα αντίστοιχα. Γενικά κάθε BCH κώδικας περιγράφεται με τρεις αριθμούς (n,k,d) η (n,k,t) όπου n είναι το μήκος της κωδικής λέξης σε σύμβολα, k είναι το μήκος της λέξης πληροφορίας, και d είναι η ελάχιστη απόσταση του κώδικα η αν χρησιμοποιείται το t που είναι η διορθωτική ικανότητα του κώδικα. Ο ρυθμός για αυτούς κώδικες είναι ο ίδιος όπως και για όλους τους γραμμικούς μπλοκ κώδικες και ορίζεται ως R = k/n. Γενικά κατά την κατασκευή κωδικών BCH υπάρχει η δυνατότητα να αυξηθεί η σχεδιαστική απόσταση με την πρόσθεση επιπλέον συνεχόμενων δυνάμεων του β ως ρίζες του πολυωνύμου γεννήτορα. Για τους Reed-Solomon κώδικες ωστόσο η ελάχιστη απόσταση του κώδικα είναι ακριβώς η σχεδιαστική απόσταση. Οι κώδικες RS (Reed-Solomon) είναι μια ειδική κατηγορία των κωδικών BCH. Είναι μη δυαδικοί κώδικες ισχύει και για αυτούς ο ίδιος συμβολισμός αλλά επιπλέον ισχύει ότι n=q m 1οπου με m συμβολίζεται το πλήθος των q-ιοστών στοιχείων από τα οποία αποτελείται ένα σύμβολο της κωδικής λέξης. Γενικά ισχύει πάντως ότι και για τους BCH χωρίς επιπλέον ρίζες αλλά και τους RS ότι το η ελάχιστη απόσταση είναι d min = n k +1. Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στην ευρύτερη κατηγορία BCH κώδικες στην οποία συμπεριλαμβάνονται και οι RS κώδικες. Έχει ενδιαφέρον να αναφερθούν κάποια ασυμπτωτικά αποτελέσματα σχετικά με τους BCH κώδικες όσον αφορά τον ρυθμό τους και την ελάχιστη απόσταση τους. Αρχικά θα παρατεθεί ο παρακάτω ορισμός. Μια κατηγορία από κώδικες στο GF(q) για δεδομένο q λέγονται ότι είναι καλοί αν περιέχουν μια άπειρη ακολουθία από κώδικες C 1, C 2,, όπου C i είναι ένας (n i, k i, d i ) κώδικας όπου και ο ρυθμός του R i = k i /n i και η σχετική απόσταση d i /n i προσεγγίζουν ένα μη μηδενικό όριο καθώς το i τείνει στο άπειρο. Αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει ακολουθία από πρωταρχικούς κώδικες BCH στο πεδίο GF(q) όπου και ο ρυθμός και η σχετική απόσταση συγκλίνουν σε μη μηδενική

36 τιμή. Αυτό σημαίνει ότι καθώς οι κώδικες μεγαλώνουν, το πλήθος των λαθών που μπορούν να διορθώσουν σε σχέση με το μέγεθος της κωδικής λέξης, τείνει στο μηδέν. Παρόλα αυτά οι κώδικες BCH μεσαίου μεγέθους (με n μέχρι μερικές χιλιάδες) είναι από τους καλύτερους. Όσον αφορά το θέμα της κωδικοποίησης υπάρχουν βασικά δυο τρόποι για να γίνει αυτό ο συστηματικός και ο μη συστηματικός. Κατά τον μη συστηματικό τρόπο ουσιαστικά αυτό που γίνεται είναι πολλαπλασιασμός μεταξύ του μηνύματος- λέξης πληροφορίας m = (m 0, m 1,, m k-1 ) που μπορεί να παρουσιαστεί ως πολυώνυμο k βαθμού m(x) = m 0 + m 1 x + m 2 x m k-1 x k-1, με το γεννήτορα πολυώνυμο g(x) και προκύπτει η κωδική λέξη c = (c 0, c 1,, c n-1 ) που μπορεί να γραφτεί με όμοιο τρόπο όπως το μήνυμα σε πολυωνυμική μορφή. Άρα για την μη συστηματική κωδικοποίηση έχουμε: c(x) = m(x)g(x). Προκειμένου να έχουμε συστηματική κωδικοποίηση απαιτείται λίγο πιο πολύπλοκη διαδικασία που δίνεται από την εξής σχέση: c(x) = m(x)x n-k R g(x) [m(x)x n-k ] Όπου με το R g(x) [ ] δηλώνουμε την πράξη του υπολογισμού του υπολοίπου μετά από διαίρεση με το πολυώνυμο γεννήτορα στην συγκεκριμένη περίπτωση g(x). Τυπικά ο κώδικας είναι σε κάποιο πεδίο GF(2 m ) για κάποιο m. Αποκωδικοποίηση Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι που έχουν αναπτυχτεί για την αποκωδικοποίηση κωδικών BCH. Τα βήματα είναι τα εξής: Αρχικά έχουμε των υπολογισμό των syndromes. Καθορισμός του πολυωνύμου εύρεσης λαθών (error locator polynomial) του οποίου οι ρίζες παρέχουν μια ένδειξη του που είναι τα λάθη. Υπάρχουν αρκετοί μέθοδοι για να βρεθεί αυτό το πολυώνυμο. Σε αυτές τις μεθόδους περιλαμβάνονται ο αλγόριθμος του Peterson, ο αλγόριθμος του Berlekamp- Massey, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη και ο αλγόριθμος των Peterson-Gorenstein- Ziegler που είναι για RS κώδικες συγκεκριμένα. Επόμενο βήμα είναι η εύρεση των ριζών του πολυωνύμου η οποία γίνεται συνήθως χρησιμοποιώντας την έρευνα κατά Chien (Chien search). Πρόκειται για μια εξαντλητική έρευνα σε όλα τα στοιχεία του πεδίου. Για μη δυαδικούς κωδικες απαιτείται και ένα τέταρτο βήμα στο οποίο καθορίζονται οι τιμές των λανθασμένων συμβόλων. Αυτό πραγματοποιείται συνήθως με τον αλγόριθμο του Forney.

37 Υπολογισμός Syndromes Στους κωδικες BCH από κατασκευής του το πολυώνυμο γεννήτορας έχει 2t ρίζες που είναι στοιχεία του πεδίου επέκτασης το οποίο χρησιμοποιούμε για την αποκωδικοποίηση, έτσι ισχύει ότι: g(α) = g(α 2 ) = = g(α 2t ) = 0 Για αυτό το λόγο και αν προσέξουμε το πώς γίνεται η κωδικοποίηση είτε με τον συστηματικό είτε με τον μη συστηματικό τρόπο ισχύει για την κωδική λέξη αν γραφτεί σε μορφή πολυωνύμου ότι: c(α) = = c(α 2t ) = 0 Αυτός είναι ένας τρόπος καθορισμού του αν η λέξη που έχει φτάσει στον αποκωδικοποιητή είναι έγκυρη κωδική λέξη η όχι. Γενικά στον αποκωδικοποιητή θεωρούμε ότι έχει φτάσει μια λέξη που μπορεί να παρουσιαστεί ως πολυώνυμο r(x) και είναι τέτοια ώστε να ισχύει ότι r(x) = c(x) + e(x). Βάση των παραπάνω δυο σχέσεων τελικά έχουμε: Οι τιμές S 1, S 2,, S 2t ονομάζονται syndromes των δεδομένων που ελήφθησαν. Θεωρούμε ότι η λέξη r που έφτασε στον αποκωδικοποιητή έχει ν λάθη τα οποία βρίσκονται στις θέσεις i 1, i 2,, i v με αντίστοιχες τιμές λάθους e ij 0. Τότε: Προκύπτει ότι: Ειδικά για τους δυαδικούς κωδικες ισχύει e il =1 άρα θα έχουμε: Αν ξέρουμε το X l τότε γνωρίζουμε την θέση του λάθους και το μόνο που χρειάζεται είναι η αντίστροφη της τιμής αυτού του bit. Για αυτό τον λόγο και τα X l ονομάζονται εντοπιστές λαθών (error locators). [8][11][13][14]

38

39 Κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας (LDPC) Σε αυτό το κεφάλαιο θα αναλυθούν οι γραμμικοί κώδικες LDPC. Αφού γίνει μια ιστορική αναδρομή στην εξέλιξή τους, θα παρουσιαστούν τα βασικά χαρακτηριστικά τους, οι τρόποι αναπαράστασής τους και οι αρχιτεκτονικές που υλοποιούνται. 3.8 Ιστορική εξέλιξη LDPC Το 1962 ο Robert Gallager, στη διδακτορική του διατριβή στο πανεπιστήμιο MIT, παρουσίασε για πρώτη φορά τα οφέλη από τη χρήση γραμμικών block κωδίκων οι οποίοι περιγράφονται από έναν αραιό (σε ότι αφορά την πυκνότητα των μη μηδενικών στοιχείων) πίνακα ελέγχου ισοτιμίας ο οποίος είχε μεγάλο μέγεθος (περίπου 500 στήλες). Οι κώδικες αυτοί ονομάστηκαν χαμηλής πυκνότητας κώδικες ελέγχου ισοτιμίας (Low Density Parity Check codes LDPC ). Η μεγάλη καινοτομία την οποία εισήγαγε όμως ο Gallager δεν ήταν απλά η χρήση ενός αραιού, μεγάλου πίνακα ελέγχου ισοτιμίας.h αραιότητα του πίνακα ελέγχου ισοτιμίας καθιστά τους LDPC κώδικες επιδεκτικούς σε διάφορους αλγόριθμους επαναληπτικής αποκωδικοποίησης( iterative decoding). Αυτό αποτέλεσε και το κλειδί για την αλματώδη ανάπτυξη των LDPC κωδίκων. Η επαναληπτική αποκωδικοποίηση που εισήγαγε ο Gallager μαζί με τους LDPC κώδικες, αν και υποβέλτιστη (σε σχέση με τη MAP αποκωδικοποίηση), επιτρέπει την πρακτική υλοποίηση κωδίκων μεγάλου μήκους (n~10 5 ), οι οποίοι παρουσιάζουν εφικτή πολυπλοκότητα αποκωδικοποίησης και οι οποίοι μπορούν να φτάσουν πολύ κοντά στο όριο Shannon.Oι LDPC κώδικες χαρακτηρίζονται ως κώδικες που πλησιάζουν τη χωρητικότητα (capacity approaching codes) και η απόδοσή τους, σε πολλές περιπτώσεις, χαρακτηρίζεται ως σχεδόν βέλτιστη (near optimal). [2][6][10][11][12][13][14] Η αλματώδης ανάπτυξη όμως των LDPC κωδίκων δεν ήρθε ταυτόχρονα με την εισαγωγή τους. Αντίθετα, η δουλειά του Gallager έμεινε στην αφάνεια για τα επόμενα σχεδόν 20 χρόνια. Ο κύριος λόγος που συνέβη αυτό ήταν τεχνολογικός. Η

40 υπολογιστική δύναμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών της εποχής ήταν πολύ περιορισμένη. Έτσι στις προσομοιώσεις που έκανε ο Gallager για τους κώδικές του, μπορούσε να προσομοιώσει τη συμπεριφορά κωδίκων με μήκη το πολύ n = 504. Επομένως αδυνατώντας να προσομοιώσει μεγάλου μήκους κώδικες, δε μπορούσε να δείξει τις σημαντικές επιδόσεις των LDPC κωδίκων( όπως τις γνωρίζουμε σήμερα ). Η επανεμφάνιση των LDPC κωδίκων και της επαναληπτικής αποκωδικοποίησης έγινε το 1981 από τον Michael Tanner. Ο Tanner εισήγαγε μια νέα ερμηνεία των LDPC κωδίκων, από μια άλλη σκοπιά με τη χρήση της θεωρίας διμερών γραφημάτων. Ο Tanner λοιπόν, περιγράφει ένα μεγάλο κώδικα ως σύνθεση απλούστερων, μικρών κωδίκων ενώ χρησιμοποιεί την επαναληπτικότητα αναδρομικότητα (συνεργασία μεταξύ των επιμέρους κωδίκων) για τη μείωση της πολυπλοκότητας. Για την περιγραφή της ανάλυσής του ο Tanner χρησιμοποιεί τα λεγόμενα διμερή γραφήματα. Αλλά και η δουλειά του Tanner αγνοήθηκε και έμεινε και αυτή στην αφάνεια (προσωρινά). Η αναγέννηση των LDPC κωδίκων επήλθε από το 1995 και μετά. Συγκεκριμένα το 1995 οι D. MacKay και R. Neal, χωρίς να γνωρίζουν την εργασία του Gallager, σημείωσαν τα σημαντικά οφέλη της χρήσης αραιών πινάκων ελέγχου ισοτιμίας για δυαδικούς block κώδικες. Στη μελέτη που δημοσίευσαν, παρουσίασαν για πρώτη φορά την ικανότητα των LDPC κωδίκων να λειτουργούν κοντά στο όριο Shannon για το Binary Symmetric Channel( BSC ) και για το BI AWGN. Επίσης το 1996 οι N. Alon και M. Luby αλλά και το 1998 οι J. Byers, M. Luby, M. Mitzenmacher και D. Spielma παρατήρησαν (επίσης ανεξάρτητα από τη δουλειά του Gallager) τα πλεονεκτήματα της χρήσης ενός πίνακα ελέγχου ισοτιμίας με χαμηλή πυκνότητα. Όλοι αυτοί οι ερευνητές οδήγησαν όχι μόνο στην επανεισαγωγή των LDPC κωδίκων αλλά και στη γενίκευσή τους. Έτσι λοιπόν κατασκευάστηκαν μεγάλου μήκους LDPC κώδικες οι οποίοι με τη χρήση της επαναληπτικής αποκωδικοποίησης κατάφεραν να επιτύχουν επιδόσεις πολύ κοντά στο όριο Shannon. Στα χρόνια που ακολούθησαν (μέχρι και σήμερα) καταβλήθηκαν μεγάλες προσπάθειες ώστε να σχεδιαστούν και να κατασκευαστούν LDPC κώδικες οι οποίοι να λειτουργούν όσο γίνεται πιο κοντά στο όριο Shannon. Αξιοσημείωτοι, σε ότι αφορά την κατασκευή LDPC κωδίκων, είναι οι αλγόριθμοι Progressive Edge Growth (PEG) και Improved PEG,ενώ σε ότι αφορά τη σχεδίαση LDPC κωδίκων ενδεικτικά αναφέρουμε την τεχνική Density Evolution. Όλες αυτές οι προσπάθειες απέδωσαν καρπούς, αφού κατασκευάστηκαν αλγόριθμοι τόσο για (σχεδόν βέλτιστη)

41 αποκωδικοποίηση των LDPC κωδίκων με πολυπλοκότητα γραμμικού χρόνου(o( n )) όσο και για κωδικοποίηση των LDPC κωδίκων με πολυπλοκότητα γραμμικού χρόνου. Έτσι οι LDPC κώδικες έγιναν οι κύριοι ανταγωνιστές των Turbo κωδίκων. Οι δύο αυτοί τύποι κωδίκων (μαζί με τους Repeat Accumulate κώδικες που αποτελούν ουσιαστικά μια υποκατηγορία των LDPC κωδίκων) αποτελούν τις πλέον μοντέρνες τεχνικές κωδικοποίησης οι οποίες χρησιμοποιούνται σε πληθώρα τηλεπικοινωνιακών συστημάτων και συστημάτων αποθήκευσης πληροφορίας, όταν απαιτείται ιδιαίτερα υψηλή αξιοπιστία. 3.9 Τρόποι αναπαράστασης των LDPC κωδικών Οι Κώδικες - Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου - Ισοτιμίας (LDPC codes) μπορούν να αναπαρασταθούν με δύο τρόπους. Όπως το σύνολο των κωδίκων δομής, δύνανται να περιγραφούν μέσω πινάκων. Υπάρχει όμως και μία εναλλακτική μέθοδος απεικόνισης, η οποία χρησιμοποιεί γράφους Tanner. [2][6][10][11][12][13][14] Αναπαράσταση με πίνακα Εφόσον οι κώδικες που μελετάμε ανήκουν στην κατηγορία των γραμμικών κωδίκων δομής (linear block codes), προκύπτουν από έναν πίνακα G διάστασης k n, ο οποίος λέγεται γεννήτορας πίνακας, ενώ οι αριθμοί k και n αντιστοιχούν στον αριθμό ψηφίων του προς μετάδοση μηνύματος και της κωδικής λέξης αντίστοιχα. Ο πίνακας αυτός δημιουργείται από ένα σύνολο k γραμμικώς ανεξάρτητων n-διάστατων διανυσμάτων, g 0,g 1,,g k-1. Ο γεννήτορας πίνακας συνδέει το προς μετάδοση μήνυμα c με την κωδική λέξη v, αφού κάθε κωδική λέξη γράφεται ως εξής: v = c G. Ο γεννήτορας πίνακας έχει τη μορφή G = [P I k ], δηλαδή αποτελείται από τον k (n-k) πίνακα P και από τον k k μοναδιαίο πίνακα I k. Γενικά όμως οι γραμμικοί κώδικες δομής, περιγράφονται κυρίως από τον Πίνακα Ελέγχου Ισοτιμίας (Parity Check Matrix), H. Ο πίνακας αυτός έχει τη μορφή H = [I n-k P T ], δηλαδή προκύπτει από το συνδυασμό του μοναδιαίου (n-k) (n-k) I n-k πίνακα με τον ανάστροφο του πίνακα P, διάστασης (n-k) k. Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, ο πίνακας H, έχει διάσταση (n-k) n. Συγκεκριμένα, το πλήθος των γραμμών του αντιστοιχεί στο πλήθος των πλεοναζόντων ψηφίων ελέγχου (check bits) που εισάγονται με την κωδικοποίηση, ενώ ο αριθμός των στηλών του ισούται με τον αριθμό των

42 ψηφίων από τον οποίο αποτελείται μία κωδική λέξη. Ο πίνακας H πραγματοποιεί m = n-k ελέγχους ισοτιμίας σε κάθε κωδική λέξη που φτάνει στον αποκωδικοποιητή. Οι κώδικες Χαμηλής Πυκνότητας Ελέγχου Ισοτιμίας, LDPC, αποτελούν μία συγκεκριμένη κατηγορία γραμμικών κωδίκων δομής, της οποίας το βασικό χαρακτηριστικό συνίσταται στην χαμηλή πυκνότητα του πίνακα ελέγχου ισοτιμίας σε μη μηδενικά στοιχεία «1». Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας H της συγκεκριμένης κατηγορίας κωδίκων αποτελείται κυρίως από μηδενικά στοιχεία και μόνο από έναν πολύ μικρό αριθμό μονάδων. Από το χαρακτηριστικό αυτό προκύπτει και η ονομασία των συγκεκριμένων κωδίκων (χαμηλής πυκνότητας). Η αραιότητα του πίνακα H είναι βασική, γιατί διευκολύνει την εφαρμογή της επαναληπτικής αποκωδικοποίησης. Η πυκνότητα του πίνακα H αρκεί να είναι ικανοποιητικά μικρή έτσι ώστε να επιτρέπει τη χρήση της επαναληπτικής αποκωδικοποίησης. Η χρήση της επαναληπτικής αποκωδικοποίησης μειώνει σημαντικά την πολυπλοκότητα της αποκωδικοποίησης και συνεπώς επιτρέπει τη χρήση μεγάλων τιμών για το block length n. Η επαναληπτική αποκωδικοποίηση είναι μεν υποβέλτιστη, αλλά με την κατάλληλη σχεδίαση του κώδικα και τη χρήση μεγάλων block lengths n οδηγεί σε σχεδόν βέλτιστες επιδόσεις. Αυτό ουσιαστικά είναι και το μυστικό κλειδί των LDPC κωδίκων. Ακολούθως, δίνεται ένας πίνακας χαμηλής πυκνότητας ελέγχου ισοτιμίας για έναν (8,4) κώδικα, δηλαδή για κώδικα με μεταδιδόμενη πληροφορία αποτελούμενη από 4 ψηφία και με 4 ψηφία ελέγχου (1/2). Δύο σημαντικά μεγέθη που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη σε έναν πίνακα ελέγχου ισοτιμίας είναι το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων σε κάθε γραμμή του πίνακα, w r και το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων σε κάθε στήλη του πίνακα w c. Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται βαθμός γραμμής και βαθμός στήλης αντίστοιχα. Για να μπορεί να χαρακτηριστεί ένας πίνακας ως χαμηλής-πυκνότητας πίνακας (low- density), θα πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες w c << n και w r << m. Πιο αναλυτικά, θα

43 πρέπει ο αριθμός των στοιχείων «1» σε μία στήλη του πίνακα να είναι κατά πολύ μικρότερος από το πλήθος των στηλών, δηλαδή από το μήκος της κωδικής λέξης, και αντίστοιχα ο αριθμός των στοιχείων «1» σε μία γραμμή του πίνακα να είναι κατά πολύ μικρότερος από το πλήθος των γραμμών, δηλαδή από το μήκος του προς μετάδοση μηνύματος. Για την ικανοποίηση των ανωτέρω συνθηκών, ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας πρέπει να είναι πολύ μεγάλος. Συνεπώς, ο πίνακας του παραδείγματος δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως πίνακας χαμηλής πυκνότητας, απλά χρησιμοποιείται για την κατανόηση των χαρακτηριστικών ενός τέτοιου πίνακα. [2][6][10][11][12][13][14] Γραφική αναπαράσταση Ο δεύτερος τρόπος αναπαράστασης των LDPC κωδίκων προτάθηκε από τον Tanner, ο οποίος εισήγαγε τους γράφους Tanner. Οι γράφοι Tanner (Tanner graphs) εκτός από το γεγονός ότι παρέχουν μία πλήρη περιγραφή του κώδικα, βοηθούν επίσης στην επεξήγηση του αλγόριθμου κωδικοποίησης που χρησιμοποιείται. [2][6][10][11][12][13][14] Οι γράφοι Tanner ανήκουν στην κατηγορία των διμερών γράφων (bipartite graphs). Ένας γράφος ονομάζεται «διμερής» όταν οι κόμβοι του χωρίζονται σε δύο ομάδες και μόνο κόμβοι διαφορετικών ομάδων μπορούν να ενωθούν μεταξύ τους. Οι δύο τύποι κόμβων που υπάρχουν σε ένα γράφο Tanner ονομάζονται κόμβοι μεταβλητών (variable nodes), οι οποίοι συνήθως αναφέρονται ως v-nodes και κόμβοι ελέγχου (check nodes), οι οποίοι συνήθως αναφέρονται ως c-nodes. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο γράφος του κώδικα που αντιστοιχεί στον πίνακα H του προηγούμενου παραδείγματος.

44 Εικόνα 0-1 Πίνακας ισοτιμίας Η και ο αντίστοιχος γράφος Tanner Παρατηρούμε οι ο κόμβος ελέγχου f 0 συνδέεται με τους κόμβους μεταβλητών c 1, c 3, c 4 και c 7 αφού τα στοιχεία h 01, h 03, h 04 και h 07 του πίνακα H έχουν τιμή «1». Με τον ίδιο τρόπο, ο κόμβος f 1 συνδέεται με τους c 0, c 1, c 2 και c 4, αφού h 10 = h 11 = h 12 = h 14 = 1. Ομοίως ο c-node f 2 συνδέεται με τους v-nodes c 2, c 5, c 6 και c 7, διότι h 20 = h 25 = h 26 = h 27 = 1 και τέλος, ο κόμβος f 3 συνδέεται με τους κόμβους c 0, c 3, c 4 και c 6 δηλώνοντας ότι τα στοιχεία h 30, h 33, h 34 και h 36 έχουν τιμή «1». Γνωρίζοντας ότι σε κάθε γραμμικό κώδικα δομής πρέπει να ισχύει η σχέση v H T = 0, ώστε να είναι δυνατή η ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων, παρατηρούμε ότι οι τιμές των ψηφίων της πληροφορίας (variable nodes), που συνδέονται στον ίδιο κόμβο ελέγχου (check node), πρέπει να δίνουν μηδενικό άθροισμα. [2][6][10][11][12][13][14] 3.10 Ομαλοί και Ανώμαλοι LDPC κώδικες Οι LDPC κώδικες ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες, τους ομαλούς (regular) και τους ανώμαλους (irregular) κώδικες. Ένας ομαλός LDPC κώδικας χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη ενός πίνακα ελέγχου ισοτιμίας, H, ο οποίος περιέχει ακριβώς w c μη μηδενικά στοιχεία σε κάθε του στήλη αλλά και w r = w c (n/m) μη μηδενικά στοιχεία σε κάθε γραμμή του. δηλαδή, ο αριθμός των μονάδων των στηλών και των γραμμών του πίνακα H είναι σταθεροί και συγκεκριμένα ονομάζονται βαθμός στήλης (column degree) και βαθμός γραμμής (row degree) αντίστοιχα. [2][6][10][11][12][13][14]

45 Στο παράδειγμα που περιγράφεται στα προηγούμενα σχήματα, ο LDPC κώδικας είναι ομαλός, με βαθμό στήλης w c = 2 και βαθμό γραμμής w r =2 (8/4)=4. Πληροφορίες για την ομαλότητα του κώδικα μπορούμε να πάρουμε και από τον γράφο Tanner. Ο κώδικας είναι ομαλός όταν ο αριθμός των εισερχόμενων γραμμών είναι ίδιος για όλους τους κόμβους μεταβλητών και επίσης για όλους τους κόμβους ελέγχου. Ανατρέχοντας στον γράφο του προηγούμενου παραδείγματος, παρατηρούμε ότι σε κάθε v-node εισέρχονται 2 γραμμές σύνδεσης, ενώ σε κάθε c-node εισέρχονται σταθερά 4 γραμμές σύνδεσης. Αντίθετα, αν το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων των γραμμών ή των στηλών του πίνακα δεν είναι σταθερό, τότε ο πίνακας ονομάζεται ανώμαλος (irregular). Στην περίπτωση αυτή, οι παράμετροι w c και w r αποτελούν συναρτήσεις του πλήθους των στηλών και των γραμμών αντίστοιχα και τέτοια σημειολογία δεν χρησιμοποιείται εδώ. Έτσι, αντί για τους συγκεκριμένους συμβολισμούς, χρησιμοποιούνται τα πολυώνυμα κατανομής βαθμού κόμβων μεταβλητών (αντιστοιχία με τον βαθμό στήλης w c ) και βαθμού κόμβων ελέγχου (αντιστοιχία με τον βαθμό γραμμής w r ) (variable node and check node degree distribution polynomials), τα οποία συμβολίζονται ως λ(χ) και ρ(χ) αντίστοιχα. Στο πολυώνυμο: ο όρος dv υποδηλώνει το μέγιστο βαθμό των variable nodes, ο οποίος αντιστοιχεί στον βαθμό στήλης w c για τους ομαλούς κώδικες, και ο λd υποδηλώνει τον αριθμό στηλών βαθμού d. Ομοίως στο πολυώνυμο: ο όρος dc υποδηλώνει το μέγιστο βαθμό των check nodes, ο οποίος αντιστοιχεί στον βαθμό γραμμής w r για τους ομαλούς κώδικες, και ο ρ d υποδηλώνει τον αριθμό γραμμών βαθμού d.

46 Ένα ακόμα μέγεθος που χαρακτηρίζει τους LDPC κώδικες προκύπτει από τη γραφική αναπαράσταση των κωδίκων και είναι ο κύκλος (cycle) ή βρόχος (loop) μήκους l, ο οποίος αποτελεί ένα μονοπάτι με συνολικά l ακμές, του οποίου η αφετηρία και το τέλος συμπίπτουν. Στο παράδειγμα που περιγράφεται σε αυτό το κεφάλαιο, παρατηρούμε ο γράφος Tanner που προέκυψε έχει κύκλο μήκους 4, ο οποίος παρουσιάζεται με έντονες γραμμές στο σχήμα που ακολουθεί. Εικόνα 0-2 Κύκλος μήκους 4 Το ελάχιστο δυνατό μήκος ενός διμερούς γράφου είναι ο κύκλος μήκους-4. Όπως παρουσιάζεται και στο παραπάνω σχήμα, ο κώδικας του παραδείγματος περιέχει κύκλο τέτοιου είδους. Κύκλοι αυτής της μορφής, δηλαδή μήκους-4, δηλώνουν την παρουσία τους στον πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H, σαν τέσσερις μονάδες στις γωνίες κάποιου υποπίνακα του H. Οι μικροί κύκλοι, όπως και ο κύκλος του παραδείγματος, προτείνεται να αποφεύγονται καθώς υποβαθμίζουν την ποιότητα της αποκωδικοποίησης. [2][6][10][11][12][13][14] 3.11 Κωδικοποίηση Σε έναν γραμμικό συστηματικό κώδικα δομής, με πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H ο οποίος έχει πλήθος γραμμών m και πλήθος στηλών n, υπάρχουν 2 n-m (= 2 k ) έγκυρες κωδικές λέξεις και χρησιμοποιείται πηγή με μπλοκ μεγέθους k = n-m. Το πρόβλημα της κωδικοποίησης έγκειται στην αντιστοίχηση των n-m ψηφίων της πληροφορίας σε n ψηφία της κωδικής λέξης. Επειδή ο κώδικας είναι συστηματικός, τα πληροφοριακά ψηφία αποτελούν υποσύνολο της κωδικής λέξης, ενώ τα υπόλοιπα m ψηφία, είναι τα

47 ψηφία ελέγχου. Έτσι λοιπόν, η δομή των συστηματικών κωδίκων καθιστά πιο εύκολο τον εντοπισμό των ψηφίων ελέγχου από τον δέκτη. Απαιτείται λοιπόν η εκτέλεση δύο βημάτων για την επιλογή των m ψηφίων ισοτιμίας: Καθορισμός του τμήματος της κωδικής λέξης του συστηματικού κώδικα που αποτελεί την πληροφορία της πηγής και του τμήματος που αποτελεί τα ψηφία ισοτιμίας. Εύρεση του τρόπου με τον οποίο θα υπολογιστούν τα m ψηφία ελέγχου (check bits), δεδομένων των n-m ψηφίων της πηγής. Η απαιτούμενη διαδικασία μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο μεθόδους. [2][6][10][11][12][13][14] Dense Encoding Method Ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας H διαιρείται σε δύο υποπίνακες, τον A, ο οποίος έχει διάσταση m m και αποτελεί το αριστερό τμήμα, και ο πίνακας Β, ο οποίος έχει διάσταση m n-m και αποτελεί το δεξί τμήμα. Η μέθοδος αυτή προϋποθέτει ότι έχουν γίνει οι κατάλληλες ενέργειες στον πίνακα Α ώστε να είναι μη ιδιάζων, να μην έχει δηλαδή μηδενική ορίζουσα (non-singular deta 0). Ο πίνακας H λοιπόν παίρνει τη μορφή H = [A B]. Ομοίως, η κωδική λέξη v, διαιρείται σε m ψηφία ελέγχου, c, και σε n-m ψηφία της προς μετάδοση πληροφορίας, s. Έτσι η εξίσωση ελέγχου ισοτιμίας v H T = 0 μετατρέπεται στην εξίσωση, από την οποία προκύπτει η σχέση Αc + Bs = 0. Τελικά καταλήγουμε στη σχέση c = A -1 B s, η οποία προσφέρει το διάνυσμα των ψηφίων ελέγχου ισοτιμίας. Για την εύρεση του διανύσματος c, μπορούμε αρχικά να υπολογίσουμε την ποσότητα A -1 B και στη συνέχεια να υπολογίσουμε τα ψηφία ελέγχου c πολλαπλασιάζοντας τα ψηφία της πηγής με τον πίνακα που προέκυψε από τον προηγούμενο υπολογισμό. Η εν λόγω διαδικασία απαιτεί υπολογιστικό χρόνο ανάλογο της ποσότητας m (n - m). [2][6][10][11][12][13][14] Μixed encoding method Βασική υπόθεση στη δεύτερη περίπτωση αποτελεί το γεγονός ότι θεωρούμε αραιό τον πίνακα H = [Α Β] και κατά συνέπεια και τον πίνακα Β. Στους LDPC κώδικες το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων σε μία γραμμή είναι σταθερό, τουλάχιστον

48 κατά μέσο όρο, ανεξάρτητα από την ποσότητα n. Ο υπολογισμός της ποσότητας c = A - 1 B s είναι ταχύτερος αν πραγματοποιηθεί σε δύο βήματα. [2][6][10][11][12][13][14] Υπολογισμός του z = B s, διαδικασία που απαιτεί υπολογιστικό χρόνο ανάλογο του m, εκμεταλλευόμενοι το πλεονέκτημα του πίνακα B, ο οποίος είναι αραιός. Υπολογισμός της ποσότητας c = A -1 z, σε χρόνο ανάλογο του m 2. Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται είναι της τάξεως του m 2, ο οποίος καθιστά τη μέθοδο αυτή ταχύτερη από την προηγούμενη, η οποία απαιτούσε χρόνο ανάλογο του m (n - m), κυρίως σε περιπτώσεις που ισχύει m < n-m, όταν δηλαδή ο ρυθμός κώδικα (code rate) είναι μεγαλύτερος του ½. Υπολογισμός του c = A -1 z Για τον υπολογισμό των ψηφίων ελέγχου ισοτιμίας, απαιτείται η επίλυση του συστήματος c = A -1 z. Για την εξασφάλιση ταχύτερων αποτελεσμάτων δεν χρησιμοποιείται η κλασσική διαδικασία επίλυσης του συστήματος. Πιο αναλυτικά, εφαρμόζεται μία λιγότερο χρονοβόρα διαδικασία, η οποία ονομάζεται ανάλυση σε τριγωνικούς πίνακες L και U (LU Decomposition). Η σχέση που συνδέει τον πίνακα Α με τους L και U είναι η A = L U. Ο πίνακας L είναι ένας κάτω τριγωνικός πίνακας (lower triangular), δηλαδή ένας πίνακας που τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιό του είναι μηδενικά, ενώ ο U είναι άνω τριγωνικός (upper triangular), περιέχει δηλαδή μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιό του. Το πρώτο τμήμα της διαδικασίας επίλυσης του συστήματος, είναι η εύρεση του άνω τριγωνικού πίνακα, U, η οποία πραγματοποιείται με μία σειρά πράξεων μεταξύ των γραμμών του πίνακα. Το σύστημα που πρόκειται να επιλυθεί μετατρέπεται στη μορφή A c = z. Αναλυτικά, τα βήματα που απαιτούνται για την εύρεση του πίνακα αυτού παρουσιάζονται στο παράδειγμα που ακολουθεί. Θεωρούμε το εξής σύστημα: Για τη μετατροπή του Α σε άνω τριγωνικό πίνακα πρέπει να πραγματοποιηθεί απαλοιφή των στοιχείων που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα Α.

49 Για να γίνει πιο σαφής η ανάλυση, γίνεται αντιστοίχηση των στοιχείων του πίνακα Α στα εξής σύμβολα: Για την απαλοιφή του στοιχείου α 21 αντικαθιστούμε τη δεύτερη γραμμή του πίνακα με τη γραμμή που προκύπτει αν αφαιρεθεί από αυτή, η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί. Θεωρώντας ότι η νέα γραμμή του πίνακα είναι η [α 21 α 22 α 23 α 24 ] η πράξη που εκτελείται παρουσιάζεται ως εξής: [α 21 α 22 α 23 α 24 ] = [α 21 α 22 α 23 α 24 ] - [α 11 α 12 α 13 α 14 ] z 2 = z 2 z 1 Η ίδια διαδικασία ακολουθείται για όλα τα στοιχεία του πίνακα Α που απαιτούν απαλοιφή και τελικά, μετά από μια σειρά πράξεων μεταξύ των γραμμών του συστήματος προκύπτει το σύστημα που εικονίζεται ως εξής: Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τη μέθοδο της πίσω αντικατάστασης (backward substitution) βρίσκουμε τα ψηφία ισοτιμίας c 4 = 1, c 3 = 0, c 2 = 1 και c 1 = 1. Αναλύοντας τον πίνακα Α στους δύο τριγωνικούς πίνακες, το σύστημα αποκτά τη μορφή L U c = z Η διαδικασία που αναλύθηκε προϋποθέτει ο πίνακας Α να μην είναι ιδιάζων, δηλαδή να μην έχει μηδενική ορίζουσα, αλλά και οι γραμμές και οι στήλες του πίνακα να είναι διατεταγμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να παρέχουν μονάδες στην κύρια διαγώνιό του. Η εύρεση του υποπίνακα B πραγματοποιείται ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφεται με τον ψευδοκώδικα που ακολουθεί (First column heuristic strategy): Αρχικοποίησε τους πίνακες L και U με όλα τους τα στοιχεία ίσα με το μηδέν. Όρισε έναν βοηθητικό πίνακα F ο οποίος είναι ίσος με τον πίνακα ελέγχου ισοτιμίας, H. //Εκτέλεση του βρόχου που ακολουθεί για m φορές, ο //αριθμός επαναλήψεων δηλαδή θα είναι ίσος με το //πλήθος των ψηφίων ελέγχου. Για i από 1 έως m Βρες ένα μη μηδενικό στοιχείο του πίνακα F

50 που βρίσκεται στη γραμμή i και στη στήλη i ή σε μία από τις επόμενες γραμμές ή στήλες. (First column heuristic strategy) Αναδιάταξε τις γραμμές και τις στήλες των πινάκων F και H από τη γραμμή i και τη στήλη i και μετά και τοποθέτησε αυτό το στοιχείο στη θέση που ορίζεται από τη γραμμή i και τη στήλη i. Αντέγραψε τα στοιχεία της στήλης i του πίνακα F από την πρώτη γραμμή ως τη γραμμή i της στήλης, στη στήλη i του πίνακα U. Αντέγραψε τα στοιχεία της στήλης i του πίνακα F από τη γραμμή i της στήλης αυτής και μετά, στη στήλη i του πίνακα L. Πρόσθεσε τη γραμμή i του πίνακα F στις επόμενες από αυτήν γραμμές οι οποίες διαθέτουν ένα «1» στη στήλη i Τέλος επανάληψης Θέσε τις τελευταίες n-m στήλες του αναδιατεταγμένου πίνακα H, στον πίνακα B. Τελικά, ο υπολογισμός των ψηφίων ελέγχου c του προς μετάδοση μηνύματος s, πραγματοποιείται με τη βοήθεια των πινάκων B, L και U. Συγκεκριμένα, αρχικά υπολογίζεται η ποσότητα z = B s. Στη συνέχεια επιλύεται το σύστημα L y = z για την εύρεση του y, με αντικατάσταση προς τα εμπρός (forward substitution). Τέλος, επιλύεται το σύστημα U c = y με πίσω αντικατάσταση (backward substitution), του οποίου η λύση παρέχει και το διάνυσμα των ψηφίων ελέγχου, c. [2][6][10][11][12][13][14] Εναλλακτικές μέθοδοι υπολογισμού L και U Για την εύρεση των μη μηδενικών στοιχείων από τον πίνακα F υπάρχουν επιπλέον δύο μέθοδοι, εκτός από την first column heuristic strategy (ευρετική μέθοδοs πρώτης στήλης), οι οποίες επιτρέπουν τη δημιουργία πιο αραιών L και U πινάκων. Η πρώτη μέθοδος ονομάζεται minimal column heuristic (ευρετική μέθοδος ελάχιστης στήλης) και περιγράφεται από τον ψευδοκώδικα που ακολουθεί: Επέλεξε το μη μηδενικό στοιχείο που βρίσκεται στη γραμμή i ή σε κάποια επόμενη γραμμή μιας οποιασδήποτε στήλης από την I και μετά, του πίνακα F, η οποία έχει τον ελάχιστο αριθμό μη μηδενικών στοιχείων. Η στήλη αυτή όμως δεν πρέπει να περιέχει κάποιο μη μηδενικό στοιχείο στη γραμμή i ή σε κάποια από τις επόμενες γραμμές. Με τη διαδικασία που περιγράφηκε ελαχιστοποιείται το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων που προστίθενται στους πίνακες L και U.

51 Η επόμενη μέθοδος ονομάζεται minimal product heuristic (ευρετική μέθοδος ελάχιστου γινόμενου) και περιγράφεται με βάση τον παρακάτω ψευδοκώδικα. Επέλεξε το μη μηδενικό στοιχείο από τη γραμμή i και τη στήλη i ή σε μία από τις επόμενες γραμμές ή στήλες, το οποίο ελαχιστοποιεί το γινόμενο των εξής ποσοτήτων: α) πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων της γραμμής που βρίσκεται το συγκεκριμένο μη μηδενικό στοιχείο μείον 1. β) πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων της στήλης που βρίσκεται το συγκεκριμένο μη μηδενικό στοιχείο (από τη γραμμή i και μετά) μείον 1. Η συγκεκριμένη μέθοδος ελαχιστοποιεί το πλήθος των μετατρεπόμενων γραμμών, οι οποίες συχνά οδηγούν στην εμφάνιση μικρότερης σημασίας μη μηδενικών στοιχείων. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η απόδοση των παραπάνω μεθόδων εύρεσης των μη μηδενικών στοιχείων για τους πίνακες L και U, ως προς το πλήθος των υπολογιστικών πράξεων που εκτελούνται μεταξύ των δυαδικών ψηφίων. [2][6][10][11][12][13][14] Εικόνα 0-3 Σύγκριση μεθόδων εύρεσης μη μηδενικών στοιχείων σε L και U Από το παραπάνω σχήμα, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι το πλήθος των πράξεων που απαιτούνται για κάθε ψηφίο ελέγχου (check bit) αυξάνεται ανάλογα με το μέγεθος του μπλοκ του προς μετάδοση μηνύματος, αλλά με αργό ρυθμό.

52 3.12 Επαναληπτικοί αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης (Iterative decoding algorithms) Το πρόβλημα της αποκωδικοποίησης έγκειται στην εύρεση του κατάλληλου διανύσματος v τέτοιου ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση ελέγχου ισοτιμίας v H T = 0. [2][6][10][11][12][13][14] Εκτός από την ανακάλυψη των LDPC κωδίκων ο Gallager εισήγαγε έναν αλγόριθμο αποκωδικοποίησης, ο οποίος πλησιάζει την τελειότητα. Ο αλγόριθμος αυτός υπολογίζει με επαναληπτικό τρόπο τις κατανομές των μεταβλητών και συναντάται με διάφορες ονομασίες, οι πιο συνηθισμένες από τις οποίες είναι οι εξής: Sum-Product Algorithm (SPA), Belief Propagation Algorithm (BPA) και Message Passing Algorithm (MPA). Από τις ονομασίες που αναφέρθηκαν για τον αλγόριθμο αποκωδικοποίησης των κωδίκων διόρθωσης λαθών, πιο συχνά χρησιμοποιείται το όνομα «Message Passing Algorithm». Ο αλγόριθμος Message Passing αποτελεί έναν επαναληπτικό αλγόριθμο, ο οποίος είναι βασισμένος στον γράφο Tanner του κώδικα. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι v-nodes (variable nodes ή bit nodes) και οι c-nodes (check nodes) επικοινωνούν μεταξύ τους ανταλλάσσοντας μηνύματα (messages). Στο πρώτο μισό μιας επανάληψης του αλγορίθμου, κάθε bit node επεξεργάζεται το μήνυμα που δέχεται σαν είσοδο και στη συνέχεια στέλνει το αποτέλεσμα της επεξεργασίας αυτής, δηλαδή το μήνυμα εξόδου, στους γειτονικούς του check nodes. Ο όρος «γειτονικός» χρησιμοποιείται για να χαρακτηρίσει δύο κόμβους οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους μέσω μιας γραμμής, η οποία αποτελεί το «μονοπάτι» επικοινωνίας των δύο κόμβων. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η διαβίβαση του μηνύματος m 02 από τον bit node c 0 στον check node f 2.

53 Εικόνα 0-4 Αναπαράσταση μετάδοσης μηνύματος που αντιστοιχεί σε κώδικα με μηδενική στήλη την [ ] T Τα βέλη του σχήματος δηλώνουν την κατεύθυνση προς την οποία μεταδίδεται το μήνυμα. Η πληροφορία που μεταδίδεται αφορά την δεσμευμένη πιθανότητα Pr (c 0 =b μήνυμα εισόδου), όπου το b αναφέρεται στις δύο πιθανές τιμές που μπορεί να πάρει το δυαδικό ψηφίο, δηλαδή b=0 ή b=1. Επίσης, η μεταφερόμενη πληροφορία μπορεί να αναφέρεται στο λόγο πιθανοτήτων τέτοιου είδους ή ακόμα και στον λογάριθμο του λόγου των πιθανοτήτων. Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, η πληροφορία που μεταδίδεται από στο check node f 2 αποτελεί ολόκληρη την πληροφορία που είναι διαθέσιμη στο bit node c 0 και που προέρχεται από τον δίαυλο και από τους γειτονικούς κόμβους του bit node c 0, εκτός από τον κόμβο f 2. Τα παραπάνω οδηγούν στη διαπίστωση ότι μόνο εξωτερική πληροφορία μεταδίδεται μεταξύ των κόμβων. Γενικά, εξωτερική πληροφορία m ij υπολογίζεται για κάθε ζευγάρι συνδεδεμένων κόμβων bit-node/check-node (c i /f j ) σε κάθε μισό κάθε επανάληψης. Στο επόμενο μισό της επανάληψης κάθε check node επεξεργάζεται τα μηνύματα που δέχεται και στέλνει τα αποτελέσματα της επεξεργασίας αυτής στους γειτονικούς του bit nodes. Το σχήμα που ακολουθεί αναπαριστά τη μετάδοση του μηνύματος m 04 από τον check node f 0 στον bit node c 4. Η μεταδιδόμενη πληροφορία μπορεί να αναφέρεται στην δεσμευμένη πιθανότητα Pr (ικανοποίηση της εξίσωσης ελέγχου f 0 εισερχόμενα μηνύματα), ή στο λόγο πιθανοτήτων αυτού του είδους ή στο λογάριθμο του λόγου αυτών των πιθανοτήτων. Όπως στην περίπτωση που προηγήθηκε, έτσι και στην παρούσα, μόνο εξωτερική πληροφορία μπορεί να μεταδοθεί στον bit node c 4. Γενικά, εξωτερική πληροφορία m ji υπολογίζεται για κάθε ζευγάρι συνδεδεμένων κόμβων check-node/ bit-node (f j /c i ) σε κάθε μισό κάθε επανάληψης. [2][6][10][11][12][13][14]

54 Εικόνα 0-5 Αναπαράσταση μετάδοσης μηνύματος που αντιστοιχεί σε κώδικα με πίνακα ελέγχου ισοτιμίας με μηδενική γραμμή την [ ] T Από το παραπάνω σχήμα γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι τα βέλη αναπαριστούν τη μετάδοση του μηνύματος από τον check node f 0 στον bit node c 4. Για να γίνει πιο κατανοητή η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω, μπορούμε να φανταστούμε τις δύο κατηγορίες κόμβων, bit nodes και check nodes, σαν δύο διαφορετικούς τύπους επεξεργαστών οι οποίοι επικοινωνούν μεταξύ τους με μηνύματα. Θεωρούμε ότι μία κωδική λέξη μεταδίδεται διαμέσου ενός τηλεπικοινωνιακού διαύλου, και λόγω του θορύβου, παρουσιάζει ορισμένες αλλοιώσεις. Στη συνέχεια, φτάνοντας στον αποκωδικοποιητή η αλλοιωμένη κωδική λέξη, ένα-ένα τα δυαδικά ψηφία της εισέρχονται στους αντίστοιχους bit nodes. Όμως κάθε bit node δεν γνωρίζει αν το δυαδικό ψηφίο που έλαβε είναι σωστό ή λανθασμένο. Για το λόγο αυτό, ζητάει από καθέναν από τους γειτονικούς του check nodes μία εκτίμηση για το αν το bit που έφτασε στον συγκεκριμένο bit node είναι και το σωστό. [2][6][10][11][12][13][14] Έπειτα, καθένας από τους check nodes ρωτάει τους υπόλοιπους γειτονικούς του bit nodes, τι τιμές έχουν τα δικά τους bits. Τελικά, ο check node στέλνει ως απάντηση στον αρχικό bit node το modulo 2 άθροισμα των τιμών αυτών. Επειδή όμως ο κάθε bit node έχει περισσότερους από έναν γειτονικούς check nodes, κατά συνέπεια έχει και περισσότερες γνώμες για το αν είναι το δικό του bit το σωστό. Έτσι λοιπόν, πρέπει με κάποιο τρόπο να επεξεργαστεί τις γνώμες αυτές και να αποφασίσει ποιο bit είναι το σωστό. Για παράδειγμα, μία μέθοδος για την εξαγωγή συμπεράσματος από τον bit node θα μπορούσε να είναι να ακολουθήσει τη γνώμη της πλειοψηφίας των γειτονικών του check nodes.

55 Όλη η παραπάνω διαδικασία, δηλαδή η ανταλλαγή μηνυμάτων ανάμεσα στους bit nodes και στους check nodes, αποτελεί μία επανάληψη του αλγορίθμου ανταλλαγής μηνυμάτων. Με κάθε επιπλέον επανάληψη που πραγματοποιείται, αυξάνεται η πιθανότητα να είναι σωστή η εκτίμηση των bit nodes για τις τιμές των bits της κωδικής λέξης που έφτασε στον αποκωδικοποιητή. Μετά από την εκτέλεση ενός προκαθορισμένου μέγιστου αριθμού επαναλήψεων, ή μετά την επαλήθευση κάποιου κριτηρίου τερματισμού, ο αποκωδικοποιητής υπολογίζει την εκ των υστέρων πιθανότητα (a posteriori probability, APP), τον λόγο πιθανοφάνειας (likelihood ratio, LR) ή τον λογάριθμο του λόγου πιθανοφάνειας (loglikelihood ratio, LLR) με τη βοήθεια των οποίων λαμβάνονται οι αποφάσεις για τις τιμές των δυαδικών ψηφίων. Ανακεφαλαιώνοντας, μπορούμε να πούμε ότι ο κάθε bit node συλλέγει γνώμες από όλους τους γειτονικούς του κόμβους και προωθεί σε κάθε γειτονικό κόμβο την γνώμη που προέκυψε από τους υπόλοιπους γειτονικούς του κόμβους. Για τον λόγο αυτό ο αλγόριθμος ονομάζεται «message- passing», (ανταλλαγής-μηνυμάτων). [2][6][10][11][12][13][14] 3.13 Αρχιτεκτονικές αποκωδικοποιητών LDPC Ένας LDPC αποκωδικοποιητής ο οποίος υλοποιεί κάποιον από τους messagepassing αλγορίθμους που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο μπορεί να υλοποιηθεί σειριακά,πλήρως παράλληλα ή και μερικώς παράλληλα. Ο αριθμός και οι συνδέσεις μεταξύ των επεξεργαστικών μονάδων καθορίζουν τον παραλληλισμό της εκάστοτε αρχιτεκτονικής, ο οποίος αποτελεί ρυθμιστικό παράγοντα του trade-off μεταξύ απαιτούμενης επιφάνειας (area), ταχύτητας αποκωδικοποίησης (throughput), κατανάλωσης ενέργειας (energy consumption) και ευελιξίας (flexibility). Ένα από τα μεγάλα πλεονεκτήματα των αποκωδικοποιητών LDPC, οι οποίοι θεωρούνται εξαιρετικά κατάλληλοι για υλοποιήσεις σε υλικό, είναι η δυνατότητα επιλογής του βαθμού παραλληλισμού ανάλογα με τις απαιτήσεις της εκάστοτε εφαρμογής. Λέγοντας παραλληλισμό εννοούμε το ποσοστό των variable και check κόμβων τους οποίους υλοποιούμε στο υλικό σε σχέση με το συνολικό αριθμό αυτών. Έτσι, ανάλογα με το βαθμό παραλληλισμού της κάθε υλοποίησης, οδηγούμαστε στις ακόλουθες κατηγορίες αρχιτεκτονικών τις οποίες περιγράφουμε στη συνέχεια.

56 Πλήρως παράλληλη υλοποίηση Στο ένα άκρο βρίσκονται οι πλήρως παράλληλες υλοποιήσεις. Μια αρχιτεκτονική αυτής της κατηγορίας ουσιαστικά αντιστοιχεί σε υλοποίηση σε υλικό όλων των variable και check κόμβων του διαγράμματος Tanner καθώς και σε απευθείας σύνδεση όλων των κόμβων που ορίζουν οι ακμές του διαγράμματος. [18] Το μεγάλο πλεονέκτημα των αρχιτεκτονικών αυτών είναι ότι οδηγούν σε υλοποιήσεις με εξαιρετικά υψηλό throughput. Αυτό το επιτυγχάνουν καθώς χρειάζονται μόνο δύο κύκλους ρολογιού για την εκτέλεση μιας πλήρης επανάληψης. Έναν κύκλο για τον υπολογισμό των variable-προς-check μηνυμάτων και έναν για τον υπολογισμό των check-προς-variable μηνυμάτων. Έτσι επιτυγχάνουν το μέγιστο throughput από όλες τις αρχιτεκτονικές. Επίσης οι πλήρως παράλληλες αρχιτεκτονικές δεν έχουν μεγάλες απαιτήσεις σε μνήμη καθώς η αποστολή των μηνυμάτων γίνεται αμέσως δίχως να χρειάζεται να αποθηκευτούν σε ενδιάμεσες θέσεις μνήμης. Ακόμη, η κεντρική μονάδα ελέγχου είναι σχετικά μικρής πολυπλοκότητας καθώς είναι επιφορτισμένη κυρίως με τον έλεγχο για εγκυρότητα της αποκωδικοποιούμενης λέξης και όχι με την διευθυνσιοδότηση μηνυμάτων από και προς τους διάφορους κόμβους. Μειονέκτημα της αρχιτεκτονικής αυτής είναι ότι απαιτεί μεγάλη επιφάνεια ολοκλήρωσης καθώς υλοποιούνται όλοι οι κόμβοι του κώδικα. Επίσης, λόγω της απευθείας διασύνδεσης των κόμβων του κυκλώματος, η οποία πολλές φορές δεν παρουσιάζει κάποια ομοιομορφία, οι αρχιτεκτονικές αυτές εμφανίζουν πρόβλημα δρομολόγησης των καλωδίων πάνω στην επιφάνεια ολοκλήρωσης, κάνοντας εξαιρετικά δύσκολη τη σύνδεση των κόμβων του κυκλώματος και καταναλώνοντας ένα μεγάλο ποσοστό της επιφάνειας μόνο για αυτό το σκοπό. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, μια πλήρως παράλληλη υλοποίηση υλοποιεί όλες τις επεξεργαστικές μονάδες ενός διαγράμματος Tanner. Συνεπώς παρατηρούμε ότι υπάρχει μια ακριβής αντιστοιχία μεταξύ ενός συγκεκριμένου Tanner διαγράμματος και των επεξεργαστικών μονάδων και διασυνδέσεων που υπάρχουν στο υλικό. [18]

57 Εικόνα 0-6 Τanner διάγραμμα ενός κώδικα και το κύκλωμα αποκωδικοποίησης πλήρως παράλληλης αρχιτεκτονικής σε απόλυτη αντιστοιχία αυτού. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα οι πλήρως παράλληλες υλοποιήσεις να μη μπορούν να υποστηρίξουν διαφορετικούς κώδικες που αντιστοιχούν σε διαφορετικά ή παραπλήσια διαγράμματα Tanner και έτσι να μην παρουσιάζουν το χαρακτηριστικό της ευελιξίας (flexibility), κάτι το οποίο είναι σε πολλές περιπτώσεις επιθυμητό. Συνεπώς γίνεται αντιληπτό ότι οι αρχιτεκτονικές αυτές είναι κατάλληλες για εφαρμογές όπου το κρίσιμο σημείο είναι η ταχύτητα αποκωδικοποίησης. Πρακτικά χρησιμοποιούνται κυρίως για κώδικες μέχρι 2000 bits μέγεθος λέξεις. Δε μπορούν όμως να θεωρηθούν η βέλτιστη λύση όταν απαιτείται ευελιξία στο κύκλωμα του αποκωδικοποιητή, όπως σε συστήματα ασύρματων δεκτών τα οποία πρέπει να προσαρμόζονται ανάλογα με τις συνθήκες του περιβάλλοντος στο οποίο βρίσκονται (διαφορετικά block lengths και rates). [18]

58 Πλήρως σειριακή υλοποίηση Στην αντίθετη πλευρά, βρίσκονται οι πλήρως σειριακές υλοποιήσεις, στις οποίες έχουμε μόνο ένα check node και ένα variable node. Οι υλοποιήσεις αυτές εμφανίζουν τη μεγαλύτερη δυνατή ευελιξία καθώς μπορούν να υλοποιήσουν οποιοδήποτε κύκλωμα ενός αποκωδικοποιητή LDPC. Επίσης οι αρχιτεκτονικές αυτές απαιτούν τη μικρότερη επιφάνεια ολοκλήρωσης σε σχέση με τις άλλες αρχιτεκτονικές. [18] Λόγω της δομής του κυκλώματος του αποκωδικοποιητή εμφανίζουν τη χαμηλότερη ταχύτητα αποκωδικοποίησης η οποία σε πολλές σύγχρονες εφαρμογές είναι απαγορευτικά μεγάλη για μια τέτοια αρχιτεκτονική υλοποίησης. Οι πλήρως σειριακές υλοποιήσεις προτιμώνται μόνο σε περιπτώσεις που υπάρχουν περιορισμένοι πόροι υλοποίησης, απαιτείται μεγάλος βαθμός ευελιξίας και η ταχύτητα αποκωδικοποίησης δεν είναι ένα από τα ζητούμενα σχεδίασης. Εικόνα 0-7 Κύκλωμα αποκωδικοποίησης πλήρως σειριακής αρχιτεκτονικής Ημιπαράλληλη αρχιτεκτονική Η ημιπαράλληλη αρχιτεκτονική συνίσταται από την υλοποίηση σε υλικό μόνο ενός μέρους των variable και check κόμβων από το σύνολο των κόμβων του Tanner διαγράμματος. Ο αριθμός των κόμβων αυτών ποικίλει ανάλογα με τις απατήσεις της εφαρμογής, καθορίζοντας το βαθμό παραλληλισμού του αποκωδικοποιητή, αλλά πάντοτε είναι μικρός σε σχέση με τους αριθμούς n και m, δηλαδή τις διαστάσεις του πίνακα ελέγχου ισοτιμίας Η. Στην εικόνα 3-8 φαίνεται το κύκλωμα ενός ημιπαράλληλου αποκωδικοποιητή, στον οποίο υπάρχουν υλοποιημένοι δύο check κόμβοι και τρεις variable κόμβοι.

59 Οι αρχιτεκτονικές της κατηγορίας αυτής είναι κάτι ενδιάμεσο της πλήρως παράλληλης και της σειριακής υλοποίησης. Έτσι μπορεί και συνδυάζει όλα τα πλεονεκτήματα των δύο προηγούμενων αρχιτεκτονικών ανάλογα με το βαθμό του παραλληλισμού που επιλέγουμε κάθε φορά. [18] Εικόνα 0-8 Κύκλωμα αποκωδικοποίησης ημιπαράλληλης αρχιτεκτονικής

60

61 Εξομοιώσεις LDPC στο Matlab Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν οι εξομοιώσεις που έγιναν σε περιβάλλον Matlab και θα σχολιαστούν τα αποτελέσματα που προέκυψαν Επιλογές παραμέτρων Καταρχήν επιλέχτηκαν δύο αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης. Ο αλγόριθμος sum product και μια απλοποιημένη μορφή του sum product. Ο δεύτερος αλγόριθμος δουλεύει με την ίδια διαδικασία αλλά με μικρότερη πολυπλοκότητα. Η επιλογή του θορύβου Eb/N0 έγινε με το σκεπτικό της δημιουργίας ενός «εχθρικού» περιβάλλοντος για την πληροφορία, έτσι επιλέχτηκαν οι τιμές -3, -2.5, -2, - 1.5, -1, 0, 1 εκφρασμένα σε db. Το ζητούμενο ήταν δηλαδή να μελετηθεί το σύστημα στα όριά του. Οι επαναλήψεις (iterations) που χρησιμοποιήθηκαν είναι από 1-5, ενώ τα frames είναι 100 και 200. Η κωδικοποίηση που χρησιμοποιήθηκε είναι 1/2, δηλαδή για κάθε bit πληροφορίας έχουμε και ένα bit ελέγχου. Το μέγεθος της πληροφορίας είναι 200 και 400. Οπότε οι εξομοιώσεις έγιναν για 200/400 και 400/800. Επιπλέον μετρήθηκε ο χρόνος που χρειάστηκε για να τρέξει κάθε εξομοίωση. Ο κώδικας Matlab συμπεριλαμβανομένου και των συναρτήσεων που χρησιμοποιήθηκαν βρίσκεται στο Παράρτημα Α της πτυχιακής εργασίας. Παρόλα αυτά δεν συνιστάται η χρήση πολλών frames και μεγάλου μεγέθους πληροφορίας διότι αποτελεί μια χρονοβόρα διαδικασία εξομοίωσης. [21][23][24] ο Set εξομοιώσεων product. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε είναι η απλοποιημένη μορφή του sum

62 Η πληροφορία έχει μέγεθος 200 και τα frames είναι 100. Πραγματοποιήθηκαν 5 εξομοιώσεις από 1 έως και 5 επαναλήψεις. Τα αποτελέσματα που πήραμε βρίσκονται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 0-1 Εξομοίωση με 100 frames πληροφορίας 200/400 από 1 έως 5 επαναλήψεις Ο χρόνος που χρειάστηκε για κάθε επανάληψη είναι ο εξής: 1 επανάληψη: sec 2 επαναλήψεις: sec 3 επαναλήψεις: sec 4 επαναλήψεις: sec 5 επαναλήψεις: sec Παρατηρούμε ότι όσες περισσότερες επαναλήψεις έχουμε τόσο μειώνεται το bit error rate, αυτό που περιμέναμε ουσιαστικά, ενώ παράλληλα βλέπουμε ότι ο χρόνος που χρειάστηκε για κάθε επιπλέον επανάληψη αυξάνεται μεν αλλά όχι απαγορευτικά, δηλαδή μετά την 5 η επανάληψη παίρνουμε την πληροφορία χωρίς σφάλματα. Η επόμενη εξομοίωση έγινε με τον ίδιο αποκωδικοποιητή διπλασιάζοντας όμως τα frames σε 200 και την πληροφορία σε 400. Δηλαδή στείλαμε διπλάσια frames με διπλάσια πληροφορία. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν βρίσκονται στην παρακάτω εικόνα.

63 Εικόνα 0-2 Εξομοίωση με 200 frames πληροφορίας 400/800 από 1 έως 5 επαναλήψεις Ο χρόνος που χρειάστηκε για κάθε επανάληψη είναι ο εξής: 1 επανάληψη: 1660 sec 2 επαναλήψεις: 1720 sec 3 επαναλήψεις: 1970 sec επαναλήψεις: 1850 sec επαναλήψεις: 2030 sec Ομοίως με την προηγούμενη εξομοίωση παρατηρούμε ότι όσο αυξάνουν οι επαναλήψεις τόσο μειώνεται το bit error rate. Ο χρόνος που χρειάζεται μια επιπλέον επανάληψη σε σχέση με την προηγούμενη είναι της τάξης των 200 sec. Συνολικά όμως βλέπουμε ότι περισσότερα frames με μεγαλύτερο μέγεθος πληροφορίας θέλουν αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα για να αποκωδικοποιήσουν σωστά (χωρίς σφάλματα) την πληροφορία.

64 ο Set εξομοιώσεων Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε είναι ο sum product. Η πληροφορία έχει μέγεθος 400 και τα frames είναι 100. Πραγματοποιήθηκαν 5 εξομοιώσεις από 1 έως και 5 επαναλήψεις. Τα αποτελέσματα που πήραμε βρίσκονται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 0-3 Εξομοίωση με 100 frames πληροφορίας 200/400 από 1 έως 5 επαναλήψεις Ο χρόνος που χρειάστηκε για κάθε επανάληψη είναι ο εξής: 1 επανάληψη: sec 2 επαναλήψεις: sec 3 επαναλήψεις: sec 4 επαναλήψεις: sec 5 επαναλήψεις: sec Παρατηρούμε ότι όσες περισσότερες επαναλήψεις έχουμε τόσο μειώνεται το bit error rate, αυτό που περιμέναμε ουσιαστικά, ενώ παράλληλα βλέπουμε ότι ο χρόνος που χρειάστηκε αυξάνεται μεν αλλά όχι απαγορευτικά, δηλαδή μετά την 5η επανάληψη παίρνουμε την πληροφορία χωρίς σφάλματα. Σε σύγκριση με το 1 ο Set εξομοιώσεων ο αλγόριθμος είναι πιο αργός και αυτό οφείλεται στην αυξημένη πολυπλοκότητά του. Παρόλα αυτά, αν και πιο χρονοβόρος, δεν δίνει εντυπωσιακά καλύτερα αποτελέσματα.

65 Η επόμενη εξομοίωση έγινε με τον ίδιο αποκωδικοποιητή διπλασιάζοντας όμως τα frames σε 200 και την πληροφορία σε 400. Δηλαδή στείλαμε διπλάσια frames με διπλάσια πληροφορία. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν βρίσκονται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 0-4 Εξομοίωση με 200 frames πληροφορίας 400/800 από 1 έως 5 επαναλήψεις Ο χρόνος που χρειάστηκε για κάθε επανάληψη είναι ο εξής: 1 επανάληψη: 1800 sec 2 επαναλήψεις: 1900 sec 3 επαναλήψεις: 2000 sec επαναλήψεις: 2070 sec επαναλήψεις: 2140 sec Ομοίως με την προηγούμενη εξομοίωση παρατηρούμε ότι όσο αυξάνουν οι επαναλήψεις τόσο μειώνεται το bit error rate. Ο χρόνος που χρειάζεται μια επιπλέον επανάληψη σε σχέση με την προηγούμενη είναι της τάξης των 100 sec περίπου. Συνολικά όμως βλέπουμε ότι περισσότερα frames με μεγαλύτερο μέγεθος πληροφορίας θέλουν αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα για να αποκωδικοποιήσουν σωστά (χωρίς σφάλματα) την πληροφορία.

66 ο Set εξομοιώσεων Οι εξομοιώσεις που έγιναν σκοπό είχαν την σύγκριση των δύο αλγόριθμων αποκωδικοποίησης. Στις δύο εξομοιώσεις χρησιμοποιήθηκαν 200 και 400 frames αντίστοιχα, ενώ η πληροφορία είναι 200/400 και 400/800. Στην πρώτη εξομοίωση χρησιμοποιήθηκαν 2 επαναλήψεις ενώ στην δεύτερη 4 επαναλήψεις. Τα αποτελέσματα βρίσκονται στις παρακάτω εικόνες. Εικόνα 0-5 Εξομοίωση με 100 frames πληροφορίας 200/400 για 2 επαναλήψεις Συνολικός χρόνος εξομοίωσης: sec

67 Εικόνα 0-6 Εξομοίωση με 200 frames πληροφορίας 400/800 για 4 επαναλήψεις Συνολικός χρόνος εξομοίωσης: 4540 sec Όπως παρατηρούμε ο αλγόριθμος Β δίνει καλύτερο bit error rate και αυτό διότι ο Α είναι η απλοποιημένη μορφή του. Δεν είναι όμως τόσο καλύτερα ώστε να τον προτιμήσουμε διότι η διαφορά των bit error rate συγκρινόμενη με τους χρόνους που θέλει ο κάθε αλγόριθμος δεν είναι και τόσο μεγάλη. Δεδομένου του ότι γενικά θέλουμε τουλάχιστον 5 επαναλήψεις και για τους δύο είναι μάλλον προτιμότερος ο Α Συμπεράσματα εξομοιώσεων Σε γενικές γραμμές μετά τις 5 επαναλήψεις είχαμε φτάσει στο ζητούμενο δηλαδή την πληροφορία απαλλαγμένη από σφάλματα. Και οι δύο αλγόριθμοι είχαν την ίδια συμπεριφορά. Όπως ήταν λογικό ο αλγόριθμος αποκωδικοποίησης με την μεγαλύτερη πολυπλοκότητα έδινε και καλύτερο bit rate αλλά σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι τέτοιου είδους αποκωδικοποιητές είναι δύσκολο να υποστηρίξουν εφαρμογές πραγματικού χρόνου υλοποιημένους μόνο από software. H

68 χρήση εξειδικευμένου hardware δείχνει απαραίτητη για να μειωθεί όσο γίνεται η καθυστέρηση.

69 Πρότυπα DVB στα Συστήματα Ψηφιακής Τηλεόρασης Στο κεφάλαιο αυτό θα γίνει μια εισαγωγή στο πρότυπο DVB και συγκεκριμένα στο DVB-S, το οποίο αποτελεί το πρότυπο δορυφορικών μεταδόσεων όπως επίσης και το DVB-S2, το οποίο αποτελεί την εξέλιξη του DVB-S. Θα περιγραφούν τα τεχνικά χαρακτηριστικά με τα οποία επιτυγχάνεται δορυφορική εκπομπή. [18][19][26] 3.19 Εισαγωγή στο DVB Η τεχνολογική πρόοδος που πραγματοποιήθηκε στον τομέα της συμπίεσης των δεδομένων, στην εισαγωγή αποτελεσματικών κωδίκων, μεθόδων χρονισμού, διαμόρφωσης, ολοκληρωμένων κυκλωμάτων κλπ, με κορυφαίο γεγονός τη διεθνή καθιέρωση του συστήματος MPEG-2 ήταν κάποιοι από τους λόγους που βοήθησαν στο να ωριμάσει η ιδέα της ψηφιακής τηλεόρασης. [18][19][26] Παράλληλα για τον λόγο αυτό αυξήθηκε και η επιθυμία των επιχειρήσεων που ασχολούνται με την εκπομπή σημάτων ήχου και εικόνας, για τη δημιουργία ενός προτύπου που θα καθιστούσε πρακτική και ταυτόχρονα οικονομική την ψηφιακή μετάδοση του τηλεοπτικού σήματος. Μέχρι τα τέλη του 1990 οι υπάρχουσες τεχνολογικές και οικονομικές δυνατότητες δεν επέτρεπαν την χρησιμοποίηση της ψηφιακής τηλεόρασης από το ευρύ κοινό. Όμως, από το έτος 1991 οι ιδιοκτήτες τηλεοπτικών σταθμών, κατασκευαστές εξοπλισμού, διαχειριστές δικτύων, προγραμματιστές και πολλοί άλλοι αρχίζουν να συζητούν για το πώς θα κατασκευάσουν μια πανευρωπαϊκή πλατφόρμα πάνω στην οποία θα αναπτύξουν την ψηφιακή επίγεια τηλεόραση. Έτσι, στο τέλος του έτους δημιουργήθηκε η ELG (European Launching Group) η οποία θα είχε την ευθύνη για την επίβλεψη του έργου. Η επιτροπή αυτή στη συνέχεια επεκτάθηκε ώστε να συμπεριλάβει τους μεγαλύτερους Ευρωπαϊκούς δημόσιους και ιδιωτικούς τηλεοπτικούς οργανισμούς και μεγάλο αριθμό κατασκευαστών ηλεκτρονικών συστημάτων. [18][19][26]

70 Αποτέλεσμα των προσπαθειών των προηγουμένων ήταν η δημιουργία του προτύπου για το πρόγραμμα ψηφιακής εκπομπής βίντεο (DVB), μια κοινοπραξία υποκινούμενη από περίπου 250 επιχειρήσεις σε περισσότερες από 35 χώρες σε όλο τον κόσμο με σκοπό τη δημιουργία παγκοσμίων προτύπων για την μετάδοση του σήματος ψηφιακής τηλεόρασης και την παροχή υπηρεσιών δεδομένων. Η επιτροπή του DVB δημιούργησε διάφορα πρότυπα που θέτουν τις βασικές αρχές κάθε περιοχής ψηφιακής μετάδοσης. Έτσι, το σύστημα DVB-S (Digital Video Broadcasting Satellite) είναι η έκδοση πρώτης γενεάς του ψηφιακού δορυφορικού συστήματος και εφαρμόζεται στην μετάδοση και λήψη ψηφιακού τηλεοπτικού σήματος μέσω δορυφόρων. Το σύστημα, DVB-S2 είναι το πρότυπο για τη δεύτερη γενιά DVB σχετικά με την ψηφιακή δορυφορική μετάδοση, το DVB-C (cable) είναι το πρότυπο για την καλωδιακή ψηφιακή μετάδοση, το DVB-T (Terestrial) χρησιμοποιείται για την μετάδοση επίγειων ψηφιακών σημάτων και το DVB-H (Handheld) αποτελεί προέκταση του DVB-T που προορίζεται να είναι αποδεκτό στους φορητούς δέκτες. [18][19][26] 3.20 Σύστημα DVB-S για Δορυφορική Τηλεόραση Το δορυφορικό σύστημα DVB-S (Digital Video Broadcasting - Satellite) είναι το παλαιότερο και το πιο διαδεδομένο από την οικογένεια προτύπων DVB και σχεδιάστηκε για τη μετάδοση ψηφιακής τηλεόρασης αλλά και για ευρεία εκπομπή (broadcast) μέσω δορυφόρου. Αναπτύχθηκε στα πλαίσια του DVB και τυποποιήθηκε από το Ευρωπαϊκό Ινστιτούτο Τηλεπικοινωνιακών Προτύπων (European Telecommunications Standards Institute, ETSI). [18][19][26][25] Είναι κατάλληλο για να χρησιμοποιηθεί σε δορυφόρους που διαθέτουν εύρους συχνοτήτων από 26 μέχρι 54 MHz και είναι συμβατό με MPEG-2. Χρησιμοποιεί ρυθμό μεταφοράς των 54Mbps με διαμόρφωση QPSK σε συνδυασμό με ένα σχήμα διπλής κωδικοποίησης Gray και διεμπλοκής (coding/ interleaving), κάτι που προσδίδει σταθερότητα του φέροντος σήματος και δίνει καλύτερη χρήση του φάσματος συχνοτήτων. Χρησιμοποιεί επίσης πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου TDM (Time Division Multiplexing), πολυπλέκοντας στο ίδιο φέρον μια ποικιλία τηλεοπτικών προγραμμάτων, ήχου και δεδομένων, ο αριθμός των οποίων εξαρτάται από τον εκάστοτε ρυθμό μετάδοσης και αντίστοιχα την ποιότητα εικόνας.

71 Το DVB-S είναι ένα πρότυπο το οποίο σχεδιάστηκε για δορυφορικές ψηφιακές υπηρεσίες τηλεοπτικού σήματος είτε απλής (SDTV) είτε υψηλής ευκρίνειας εικόνας (HDTV) που χρησιμοποιούνται για την αρχική και δευτεροβάθμια διανομή στις ζώνες σταθερών δορυφορικών υπηρεσιών (FSS Fixed Satellite Services) και δορυφορικών υπηρεσιών μετάδοσης ευρείας ζώνης (BSS Broadcast Satellite Services). Να σημειωθεί ότι υπάρχουν δύο τύποι ψηφιακού σήματος για τη δορυφορική τηλεόραση. Η μία είναι η ελεύθερη με το DVB-S να αποτελεί τον κύριο τύπο σήματος για τη δορυφορική τηλεόραση με ελεύθερη μετάδοση σήματος. Η ελεύθερη μετάδοση δορυφορική μετάδοση σημαίνει ότι είναι διαθέσιμη σε όλο τον κόσμο και ιδιαίτερα δημοφιλής στην Ευρώπη Παράλληλα, και κατά κύριο λόγο, υπάρχουν και τα συνδρομητικά δορυφορικά τηλεοπτικά προγράμματα DTH (direct-to-home) με αναφορά το πρότυπο DVB-S, τα οποία είναι κρυπτογραφημένα και η προβολή του προγράμματος μπορεί να γίνει μόνο με συνδρομή. Απαιτεί ειδικό αποκωδικοποιητή που παρέχεται στον συνδρομητή από την τοπική υπηρεσία παροχής τηλεοπτικού προγράμματος, και ο οποίος αποκρυπτογραφεί τα σήματα των κρυπτογραφημένων προγραμμάτων. [18][19][26] 3.21 Βελτιωμένη έκδοση DVB-S2 Το DVB-S2 αποτελεί την δεύτερη και επικυρωμένη από τον οργανισμό ETSI (Μάρτιος 2005) έκδοση του DVB-S με ενισχυμένες δυνατότητες. Η ανάπτυξή του, 2003, συνέπεσε χρονικά με την εισαγωγή της HDTV και των H.264 (Mpeg-4) κωδικοποιητών βίντεο. Είναι βασισμένο στα πρότυπα DVB-S που χρησιμοποιούνται για τη δορυφορική μετάδοση, και στα DVB-DSNG (Digital Satellite News Gathering) που χρησιμοποιούνται για συλλογή ηλεκτρονικών ειδήσεων, εμφανίζοντας οπίσθια συμβατότητα με αυτά. [18][19][26] Δύο νέα κύρια χαρακτηριστικά που προστέθηκαν στο DVB-S είναι οι μεταβαλλόμενες παράμετροι κωδικοποίησης σε πραγματικό χρόνο και η μεταβλητή κωδικοποίηση και διαμόρφωση, ACM (adaptive coding modulation scheme), η όποια βελτιστοποιεί τις παραμέτρους μετάδοσης για τους διάφορους χρήστες. Η βελτίωση στην απόδοσή του συγκριτικά με το DVB-S εκτιμάται στο 30%. Όσον αφορά τα κύρια τεχνικά χαρακτηριστικά του DVB-S2, το σύστημα επιτρέπει τη μετάδοση ενός ή περισσότερων Mpeg-2, και χρησιμοποιεί εκτός του QPSK και M-APSK (Amplitude and Phase-shift keying) για προσαρμοστική

72 κωδικοποίηση και διαμόρφωση με σκοπό την βελτίωση της χρήσης των δορυφορικών αναμεταδοτών. Η διαμόρφωση M-APSK (Amplitude and Phase-shift keying) είναι μορφή των ψηφιακών διαμορφώσεων η οποία διαμορφώνει τα δεδομένα αλλάζοντας τόσο το πλάτος όσο και την φάση του φέροντος σήματος. Συνδυάζει με άλλα λόγια τόσο την διαμόρφωση κατά πλάτος όσο και την διαμόρφωση κατά μετατόπιση φάσης. Μπορεί έτσι να θεωρηθεί ότι πρόκειται για μια διαμόρφωση που λειτουργεί ως υπερσύνολο της διαμόρφωση εύρους τετραγωνισμού QAM (Quadrature amplitude modulation). Η χρήση αυτού του τύπου διαμόρφωσης M-APSK στην περίπτωση του DVB-S2 γίνεται για τον λόγο ότι εμφανίζει ένα σημαντικό πλεονέκτημα. Στις δορυφορικές επικοινωνίες, και ιδιαίτερα η ενίσχυση του μεταδιδόμενου σήματος στους ενισχυτές του χρησιμοποιούμενου δορυφόρου, γίνεται με μη γραμμικό τρόπο. Οι προαναφερθείσες διαμορφώσεις κατά πλάτος ή μετατόπισης φάσης (Amplitude and phase shift keying), συνήθως αναφέρονται ως γραμμικές διότι απαιτούν γραμμική ενίσχυση στους ενισχυτές. [18][19][26] Έτσι, για παράδειγμα η διαμόρφωση 16QAM έχει πολικό διάγραμμα με μεγάλη απόσταση μεταξύ των πιθανών συνδυασμών πλάτους και φάσης των φερόντων σημάτων αλλά αυτή η ιδιότητα μπορεί να εξαλειφθεί κατά την μη γραμμική ενίσχυση του πλάτους του μεταδιδόμενου σήματος και να δημιουργηθούν λανθασμένα σύμβολα στην ανίχνευση στον δέκτη, ειδικά σε περιβάλλον θορύβου. Από την άλλη, για παράδειγμα η διαμόρφωση 16PSK έχει λιγότερες απαιτήσεις στην γραμμικότητα της ενίσχυσης πλάτους αλλά η απόσταση μεταξύ των διαφορετικών καταστάσεων φάσης των φερόντων σημάτων είναι μικρότερη που σημαίνει ότι σε περιβάλλον θορύβου μπορεί να γίνει λανθασμένη ανίχνευση στον δέκτη. Έτσι λοιπόν από την μία οι διαμορφώσεις M-QAM είναι περισσότερο αποδοτικές από πλευράς εύρους φάσματος, αλλά από την άλλη πιο ευάλωτες στον θόρυβο. Έτσι, στο δορυφορικό περιβάλλον, που είναι έντονες οι μη γραμμικές ενισχύσεις του πλάτους από τους μη-γραμμικούς ενισχυτές του δορυφόρου, η χρήση των M-APSK προσφέρει πλεονέκτημα στο γεγονός ότι μπορεί να επιτευχθεί ο ίδιος αριθμός πιθανών συνδυασμών πλάτους και φάσης στο πολικό διάγραμμα με τις M- QAM, αλλά με λιγότερους συνδυασμούς πλάτους, μειώνοντας έτσι την πιθανότητα προβλημάτων μέσα από μη γραμμικούς ενισχυτές πλάτους. [18][19][26]

73 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα πολικά διαγράμματα για τις περιπτώσεις 16- QAM, 16-PSK, 16APSK όπου τα επίπεδα πλάτους για το 16APSK είναι δύο (ομόκεντροι κύκλοι) σε σχέση με τα περισσότερα του 16-QAM. Εικόνα 0-1 Αστερισμοί 16 QAM 16PSK και 16 APSK Έτσι λοιπόν, συγκεκριμένα, στην περίπτωση του DVB-S2 υποστηρίζονται τέσσερις τρόποι διαμόρφωσης, η QPSK και η 8PSK που προτείνονται για τις εφαρμογές broadcast μετάδοσης, και η 16APSK και 32APSK που χρησιμοποιούνται κυρίως για τις επαγγελματικές, ημιγραμμικές εφαρμογές. Για την προστασία και τη μετάδοση του σήματος χρησιμοποιούνται από το διαμορφωτή οι τρεις βασικοί μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται και στο δορυφορικό σύστημα: Κωδικοποίηση καναλιού Channel coding (2 σταδίων) Διεμπλοκή Interleaving (2 σταδίων) Διαμόρφωση Modulaton Εικόνα 0-2 Κωδικοποίηση 2 σταδίων DVBS-S2 Στο DVB S2 (και στο DVB T2) χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση οι αλγόριθμοι BCH (1ο στάδιο) και LDPC (Low Density Parity Check 2ο στάδιο). [18][19][26] Πιο συγκεκριμένα, το πρότυπο DVB S2 χρησιμοποιεί ένα σχήμα αλυσιδωτής κωδικοποίησης. Ο εσωτερικός κώδικας είναι ένας LDPC κώδικας με σύνηθες μήκος n