Το πυθαγόρειο θεώρημα: απόδειξη με ένα απλό πείραμα
|
|
- Ἄδραστος Αθανασιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Το πυθαγόρειο θεώρημα: απόδειξη με ένα απλό πείραμα Γιατί να μαθαίνουμε Μαθηματικά; Ένας καθηγητής Μαθηματικών ανεξάρτητα από το πόσο αγαπά τη δουλειά του και κατά πόσο η επικοινωνία του με τους μαθητές του είναι δυνατή, αντιμετωπίζει πάντα μία ανυπέρβλητη δυσκολία, πως θα μπορέσει να κρατήσει αμείωτο το ενδιαφέρον των μαθητών του. Θα χρειαστεί πολλές φορές να απαντήσει στο ερώτημα "γιατί να μαθαίνουμε Μαθηματικά" ή σε άλλα συναφή μ' αυτό ερωτήματα. Θα πρέπει τότε, στο χρόνο που διαθέτει, να καταφέρει να πείσει τους μαθητές για την αξία και τη χρησιμότητα αυτού του μαθήματος. Θα πρέπει να εξηγήσει ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο μία σειρά συμβόλων, τύπων και θεωριών που απλά κάποιοι διατύπωσαν, αλλά κυρίως η τελειότερη "γλώσσα" που βασίζεται στη λογική και την απόδειξη, ότι τα μαθηματικά "είναι δίπλα μας" σε κάθε τι σχεδόν που παρατηρούμε, σε κάθε τι που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή. Μπορείς κανείς να βρει αρκετούς λόγους για να απαντήσει στο ερώτημα "γιατί θα πρέπει ένας μαθητής να ασχοληθεί και να προσπαθήσει να μάθει μαθηματικά". Λόγοι οι οποίοι δεν είναι απαραίτητο να ισχύουν για όλους τους μαθητές, αλλά ο καθένας μπορεί να βρει κάποιον ή κάποιους που τον αφορούν. Για Ιστορικούς και Εθνικούς λόγους. Αρχικά τα μαθηματικά δεν ήταν παρά μία συλλογή από εμπειρικούς κανόνες υπολογισμού και μέτρησης. Ορθολογική επιστήμη τα κατέστησαν οι Έλληνες από τον 6ο π.χ. αιώνα οπότε και αρχίζει η αντιμετώπιση των φυσικών φαινομένων με το νου, ως τους νεώτερους χρόνους. Έλληνες θεωρητικοί μαθηματικοί με το Πυθαγόρειο θεώρημα, την Ευκλείδειο Γεωμετρία, τη μέθοδο της εξάντλησης τις κωνικές τομές, τα συνεχή και ασυνεχή μεγέθη είναι οι πρωτοπόροι της μαθηματικής σκέψης και έβαλαν τα λιθάρια για την εξέλιξη της. Κατά το δεύτερο μισό του 5ου και το πρώτο μισό του τετάρτου αιώνα έχουμε τον προσδιορισμό του εμβαδού ορισμένων κυκλικών μηνίσκων από τον Ιπποκράτη τον Χίο. Η μελέτη καμπυλών στο χώρο σε συνδυασμό με το πρόβλημα διπλασιασμού του όγκου του κύβου από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο.
2 Τον 5ο περίπου π.χ. αιώνα εμφανίστηκαν στην Ελλάδα τρία από τα ενδοξότερα προβλήματα που συναντούμε στα μαθηματικά όλων των εποχών. 1.Η τριχοτόμηση της γωνίας, δηλαδή το πρόβλημα του χωρισμού μιας δοσμένης γωνίας σε τρία ίσα μέρη. 2.Ο διπλασιασμός του κύβου, δηλαδή η εύρεση της πλευράς ενός κύβου με όγκο διπλάσιο από τον όγκο ενός δοσμένου κύβου (το αποκαλούμενο Δήλιο Πρόβλημα). 3.Ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η εύρεση τετραγώνου, που το εμβαδόν του να είναι ίσο με το εμβαδόν δοσμένου κύκλου. Η σημασία αυτών των προβλημάτων έγκειται στο γεγονός ότι δεν υπάρχει γεωμετρική λύση τους, που να πραγματώνεται με την κατασκευή πεπερασμένου αριθμού από ευθείες γραμμές και κύκλους. Με τέτοια μέσα, μόνο προσεγγιστική λύση μπορεί να βρεθεί. Έτσι, τα προβλήματα αυτά δημιούργησαν ένα κίνητρο για την διείσδυση σε νέα πεδία των μαθηματικών. Εκτός όμως από τον θεωρητικό κλάδο της μαθηματικής σκέψης, υπήρξε και ο εφαρμοσμένος που περιλάμβανε τις τέχνες: λογιστική, γεωδαισία, μηχανική, κοινωνική, οπτική, αστρονομία. Μεγάλοι Έλληνες Μαθηματικοί όπως ο Θαλής ο Μιλήσιος, Ο Πυθαγόρας, ο Ζήνωνας, Ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Διόφαντος, ο Δημόκριτος, η Αίθρα, η Υπατία και πολλοί ακόμη προσέφεραν στην ανάπτυξη των Μαθηματικών για να φθάσουμε σε σύγχρονες μεγάλες μορφές Μαθηματικών, όπως ο Κων/νος Καραθεοδωρής, ο Δημήτρης Χριστοδούλου, ο Αθανάσιος Φωκάς και άλλοι πολλοί οι οποίοι συνεχίζουν να τιμούν την παράδοση αυτή. Για πολιτιστικούς λόγους. Τα μαθηματικά αποτελούν ένα από τα στοιχεία του πολιτισμού της ανθρωπότητας. Σε πολλές χρονικές περιόδους έχουν γίνει μάλιστα με τους κώδικες που προσφέρουν το μέσο για τη μεταφορά από γενιά σε γενιά του πολιτισμού. O υποδειγματικός τρόπος σκέψης και έκφρασης, αποτελούν πολιτιστικά στοιχεία που κληροδοτούνται από τα Μαθηματικά στην ανθρωπότητα. Είναι εύκολο δε να φέρομαι στο μυαλό μας πλήθος μαθηματικών όρων που χρησιμοποιούμε στις καθημερινές μας συνομιλίες. Γιατί τα μαθηματικά βοηθούν και στη μουσική. Δεν έχει αποδειχθεί, αν πραγματικά οι μαθηματικοί τα καταφέρνουν καλύτερα στη μουσική από τους υπόλοιπους ή οι μουσικοί με τη σειρά τους τα καταφέρνουν στα μαθηματικά. Το μόνο σίγουρο είναι ότι από πολύ νωρίς οι μαθηματικοί ανακάλυψαν μια στενή σχέση που συνδέει τα μαθηματικά μα τη μουσική, με πρώτον απ όλους τον Πυθαγόρα. Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε μια σχέση μεταξύ των φυσικών αριθμών 1,2,3,4,.. και της αρμονίας που χαρακτηρίζει κάθε είδους μουσικής. Είναι γνωστό ότι αν χτυπήσουμε μια χορδή θα ακουστεί μια νότα. Αν χτυπήσουμε μια χορδή φτιαγμένη από το ίδιο υλικό αλλά με διπλάσιο μήκος θα ακούσουμε την ίδια νότα αλλά σε μία οκτάβα χαμηλότερα. Με την ίδια χορδή λοιπόν και ξεκινώντας από μια νότα ως αφετηρία μπορούμε να παράγουμε όλες τις υπόλοιπες νότες σε όλες της οκτάβες, αλλάζοντας κατάλληλα το μήκος της χορδής.ο Πυθαγόρας ανακάλυψε την αριθμητική σχέση μεταξύ του ντο, φα, σολ και του ντο που βρίσκεται μια οκτάβα πιο κάτω καθώς και μεταξύ ισοδυναμιών τους σε οποιαδήποτε οκτάβα. Τα παραπάνω φαίνονται χαρακτηριστικά,αν παρατηρήσει κάποιος έναν κιθαρίστα καθώς κουρδίζει την κιθάρα του. Το ''μέτρημα'' της χορδής με τη χρήση των τάστων(τάστα είναι τα χωρίσματα που φαίνονται πάνω στο ''μπράτσο ''της κιθάρας) είναι εφαρμογή της θεωρίας του Πυθαγόρα. Κάπως έτσι εξηγείται και το γεγονός ότι μπορούμε να προγραμματίσουμε έναν υπολογιστή να παίξει μουσική, αφού κάθε νότα μεταφράζεται σε αριθμό ( στο δυαδικό σύστημα βέβαια) είναι εφαρμογή της θεωρίας του
3 Μεγάλου Πυθαγόρα. Για να κατανοούμε τον κόσμο και να κάνουμε συναλλαγές. Από τα πιο στοιχειώδη μαθηματικά, τις αριθμητικές πράξεις, αν ξεκινήσουμε την αναφορά είναι αμέσως αντιληπτή η χρησιμότητά τους. Πόσες άραγε αριθμητικές πράξεις κάνουμε μόνο και μόνο στις καθημερινές μας συναλλαγές. Βοηθούν στις εμπορικές και οικονομικές συναλλαγές στοιχεία της καθημερινότητας όλων των πολιτών. Τα γεωμετρικά σχήματα και στερεά, ιδιότητες των οποίων εκμεταλλεύονται διάφορες κατασκευές του περιβάλλοντός μας και τα προσδίδουν λειτουργικότητα και ευχρηστία. Η Στατιστική που με τους πίνακες και τα συμπεράσματά της ομαδοποιεί, κατατάσσει και βγάζει συμπεράσματα από μεγάλους όγκους δεδομένων. Όλοι κατανοούμε τη χρησιμότητά της βλέποντας για παράδειγμα την σφυγμομέτρηση μιας εκλογικής αναμέτρησης με την πληθώρα συμπερασμάτων που μπορούμε να εξάγουμε από αυτή. Η συλλογιστική δε που προσφέρουν τα Μαθηματικά, δηλαδή από κάποια γνωστά να προχωράμε σε κάποια άγνωστα, δίνουν στον άνθρωπο τρόπους να ανακαλύπτει νέες αλήθειες, να προβλέπει και να μην αιφνιδιάζεται. Με άλλα λόγια προσφέρουν μεθόδους για την απόκτηση της γνώσης του κόσμου. Γιατί είναι μία καλή δραστηριότητα του πνεύματος. Είναι αλήθεια ότι υπήρξαν και υπάρχουν άνθρωποι οι οποίοι αναλώνουν τις σκέψεις τους στο τι θα φορέσουν στην έξοδό τους, τι θα φάνε, πόσα υλικά αντικείμενα κατέχουν στην προσωπική τους συλλογή ( σπίτια, αυτοκίνητα κλπ). Αφήνεται σε τέτοιες περιπτώσεις ο εγκέφαλος του ανθρώπου σε αδράνεια και λήθη, φέρνοντάς τον σε πρωτόγονη μορφή. Ο άνθρωπος όμως έκανε τα μεγαλύτερα βήματά τους στην κατανόηση της φύσης όταν αξιοποίησε όλες τις δυνατότητες του εγκεφάλου του. Μία τέτοια δυνατότητα την έχει και με τα Μαθηματικά που του δίδουν τη δυνατότητα να οργανώνει τις σκέψεις του, να βγάζει σωστές αποφάσεις σε προβλήματά του λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα και κάνοντας λογικές σκέψεις και συνειρμούς. Δυστυχώς η λογική δε διδάσκεται, άρα τα μαθηματικά είναι ο καλύτερος τρόπος για να την καλλιεργήσουμε. Αλίμονο αν συνδέσουμε τη δραστηριότητα του πνεύματός μας μόνο με το χρήμα ή τη δόξα. Είναι χαρακτηριστικό το παράδειγμα από την ιστορία όπου ο Ευκλείδης ολοκληρώνοντας τη διδασκαλία ενός θεωρήματος, δέχθηκε από το ακροατήριο την εξής ερώτηση "τι θα κερδίσω εγώ από αυτό"; και ο Ευκλείδης απευθυνόμενος προς ένα σκλάβο του είπε "δώσ του τρεις οβολούς αφού θέλει οπωσδήποτε να κερδίσει κάτι από αυτό που έμαθε" Τα Μαθηματικά λοιπόν ως μία δραστηριότητα του πνεύματος, όπως και οι διάφορες τέχνες δίδουν στον ανθρώπινο εγκέφαλο μία ανάταση και μία χαρά νοιώθοντας την αρμονίας τους, όπως και ένας φιλότεχνος χαίρεται ένα έργο τέχνης. Όποιον μαθητή και να ρωτήσουμε είτε αυτός βρίσκεται τώρα στα μαθητικά του χρόνια είτε αυτά έχουν παρέλθει θα μας πει πως ένοιωθε μεγάλη χαρά κάθε φορά που ο δάσκαλός του, του έλεγε πως έλυσε σωστά μία άσκηση ή ένα πρόβλημα. Δεν είναι τυχαίο λοιπόν που σε όλα τα εκπαιδευτικά συστήματα των κοινωνιών και σε όσες αλλαγές και αν γίνουν τα Μαθηματικά έχουν πρωτεύοντα ρόλο. Αποτελούν πάντα διδακτικό αντικείμενο βαρύτητας, ώστε ως μαθητές και ως μελλοντικά παραγωγικά στελέχη, να αποκτήσουν θετική διανοητική στάση όπως συλλογιστική δυνατότητα, σαφήνεια, ακριβολογία πειθαρχεία και ερευνητικό πνεύμα.
4 Γιατί τα Μαθηματικά προσφέρουν και στην τέχνη την φαντασία και την αισθητική. Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα μολονότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο ξεχωριστά διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς. Ιστορικά, τα μαθηματικά, μολονότι θεωρούνται κυρίως λογική επιστήμη, έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης, η οποία απευθύνεται κυρίως στο συναίσθημα. Δυο αιώνες πριν οι αρχαίοι Έλληνες επεξεργαστούν τις αφηρημένες γεωμετρικές ιδέες, και θεμελιώσουν επιστημονικά τη γεωμετρία, οι Αιγύπτιοι, τους οποίους απασχολούσαν ελάχιστα τα θεωρητικά ζητήματα, χρησιμοποιούσαν τα εργαλεία τους προκειμένου να σχεδιάσουν και οικοδομήσουν τους έξοχους ναούς και τα εκπληκτικά μνημεία τους. Τα μαθηματικά από τότε μέχρι και σήμερα εξακολουθούν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών της τέχνης. Έννοιες όπως οι αναλογίες και η αρμονία, η συμμετρία, οι έλικες και οι σπείρες, η προοπτική, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τα κανονικά πολύγωνα και τα στερεά τα συναντούμε στη φύση, αλλά και στην τέχνη. Σε όλες τις εποχές αναδείχθηκαν εξέχουσες μορφές της τέχνης, οι οποίες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης τους. Ο Leonardo da Vinci είναι γνωστός για τα επιτεύγματά του τόσο στις επιστήμες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα του χρησιμοποίησε παραστατική γεωμετρία προκειμένου να δημιουργήσει τα πρώτα παραμορφωμένα πλέγματα, τα οποία όταν ειδωθούν από κάποια συγκεκριμένη γωνία εμφανίζονται κανονικά. Ο Salvator Dali χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικάτοπολογικά στοιχεία. Ο Dali απεικόνισε σε πολλά έργα του τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων. Για παράδειγμα, στο έργο "Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης", υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα. Στα τέλη του 19ου αιώνα αρχές του 20ου, μια ομάδα μαθηματικών με επικεφαλής τους Peano, Hilbert, Cesaro, Koch και Sierprinski, μεταξύ άλλων, διαμόρφωσαν μια νέα οικογένεια καμπύλων με αλλοπρόσαλλες μαθηματικές ιδιότητες, οι οποίες ξέφευγαν από κάθε άλλο προηγούμενο. Αντίθετα προς την παραδοσιακή γεωμετρία που βασιζόταν στα τρίγωνα, τα τετράγωνα, τους κύκλους, τις ελλείψεις κλπ, αυτή η νέα γεωμετρία περιγράφει περιστρεφόμενες καμπύλες, σπιράλ και ίνες οι οποίες περιτυλίσσονται μεταξύ τους έτσι ώστε να δίνουν περίπλοκα σχήματα, οι λεπτομέρειες των οποίων να χάνονται στο άπειρο. Το 1977, με τη βοήθεια ενός Computer, ο Benoit Mandelbrot, κατόρθωσε να πάρει την πρώτη εικόνα αυτής της νέας γεωμετρίας, η οποία στη συνέχεια ονομάστηκε Φράκταλ γεωμετρία. Το 1980, η δημοσίευση του βιβλίου του με τίτλο "Η φράκταλ γεωμετρία στη φύση", έκανε δημοφιλή τη γεωμετρία αυτή και είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ανάλογων εντυπωσιακών σχημάτων. Την τελευταία δεκαετία διαφαίνεται μια τάση για παραπέρα ανάπτυξη των αποκαλούμενων μαθηματικών δημιουργούμενων σχημάτων και εικόνων, δηλαδή σχημάτων ή εικόνων που παράγονται από Η/Υ με την κατάλληλη εφαρμογή κάποιων μαθηματικών τύπων ή αλγορίθμων. Παράδειγμα τέτοιων σχημάτων με μεγάλη αισθητική απήχηση αποτελεί το σύνολο Mandelbrot, το οποίο προέρχεται από την επαναληπτική διαδικασία επανεισαγωγής των τιμών στη συνάρτηση, όπου το z είναι μιγαδική μεταβλητή που ξεκινάει από το 0 και το c ένας τυχαίος μιγαδικός σταθερός αριθμός που αντιπροσωπεύει το σημείο του επιπέδου που εξετάζεται. Όταν αναπαρασταθεί στην οθόνη ενός υπολογιστή το σύνολο αυτό, δίνει την εικόνα μιας καρδιάς με οίδημα.
5 Μαθηματικά : η "βασίλισσα των επιστημών" Ότι και αν θέλει ο σημερινός νέος να σπουδάσει, θα βρει μπροστά του τα μαθηματικά σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό. Τα χρησιμοποιούν άλλες επιστήμες ως βάση των γνώσεων που προσφέρουν. Έννοιες από την περιοχή των μαθηματικών αποδείχθηκε ότι μπορούσαν να εφαρμοστούν και σε άλλες επιστήμες και έτσι εμφανίστηκε μία μορφή ενοποίησης. Είναι χαρακτηριστικό το παράδειγμα μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής όπου υπήρξαν χρονικές περίοδοι κατά της οποίες η ανάγκη για την εξέλιξη μιας νέας θεωρίας στη φυσική λειτούργησε ως μοχλός ανάπτυξης των μαθηματικών, αλλά και όταν τα μαθηματικά είχαν κάνει ήδη ένα βήμα μπροστά η φυσική το χρησιμοποιούσε για να προωθήσει τις δικές της θεωρίες. Επιστήμες και πέρα από τις φανερά εμπλεκόμενες με τα μαθηματικά όπως η Ιατρική η Αρχαιολογία η Φιλολογία κάνουν για παράδειγμα χρήση του κλάδου της Στατιστικής εκμεταλλευόμενες τους νέους ορίζοντες που τους προσφέρει. Η μετεωρολογία η οποία χρησιμοποιεί τη Στατιστική και όχι μόνο για να επαληθεύει τις προβλέψεις της ή και να κάνει εκτιμήσεις. Οι οικονομικές επιστήμες οι οποίες χρησιμοποιούν με τον καλύτερο τρόπο τις μαθηματικές έννοιες και τους τύπους για να κάνουν υπολογισμούς και να αναπτύξουν τις θεωρίες τους. Το σύμβολο του σημερινού μας πολιτισμού, ο υπολογιστής, δουλεύει στο δυαδικό σύστημα δίνοντάς μας να καταλάβουμε την ορθότητα του ισχυρισμού του μαθηματικού και φιλόσοφου Αύγουστου Κοντ ότι: "δεν υπάρχει ερώτηση που να μην μπορεί να αναχθεί σε ζήτημα αριθμών" Τα μαθηματικά χρειάζονται στην αγορά εργασίας. Την τελευταία εικοσαετία τα παράπονα εργοδοτών για το χαμηλό επίπεδο μαθηματικής παιδείας των αποφοίτων μαθητών έκανε πολλές χώρες του εξωτερικού να λάβουν σοβαρά μέτρα για την αντιμετώπισή του. Είναι βέβαια φανερό ότι δεν είναι εύκολο να καθοριστεί με απόλυτη σαφήνεια ποιες μαθηματικές γνώσεις χρειάζεται ο κάθε εργαζόμενος, αλλά μπορούμε να προσεγγίσουμε την ανάγκη αυτή ικανοποιητικά. Έρευνες έχουν δείξει ότι τα μαθηματικά που χρειάζονται οι εργάτες των βιομηχανιών, οι οικοδόμοι, οι ξυλουργοί, οι γεωργοί κ.λ.π. περιέχονται σχεδόν όλες στο αναλυτικό πρόγραμμα. Συμπέρασμα Τα μαθηματικά λοιπόν είναι μία κορυφαία γλώσσα, όργανο σχεδόν κάθε άλλης επιστήμης και με την οποία εκφράζονται οι νόμοι του σύμπαντος. Είναι μία από τις υψηλότερες κορυφές τις ανθρώπινης δημιουργίας μία αποθέωση του ανθρώπινου νου. Θα έλεγε κανείς ότι τα μαθηματικά έπρεπε να έχουν τη μεγαλύτερη αποδοχή από όλα τα μαθήματα, αφού η χρησιμότητά τους, η προσφορά τους στην πρόοδο και την ευημερία της ανθρωπότητας, η συμβολή τους στη τεχνική και τεχνολογική ανάπτυξη είναι αναμφισβήτητες. Είναι ένα ερώτημα αν αυτό συμβαίνει. Δε σημαίνει αυτό ότι όλοι πρέπει να σπουδάσουν τα μαθηματικά και να το κάνουν επάγγελμα. Αρκεί να πάρουν έστω και κάτι μικρό από τη λογική τους και το κέρδος θα είναι μεγάλο. Κώστα Ευαγγελία μαθηματικός
Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα
Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠαρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:
Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Μαθηματικά Ο σκοπός της έρευνας είναι η αναζήτηση για
Διαβάστε περισσότεραA. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ Τμήμα Α1 Ομάδα 1 Γούλα Χρυσούλα Δέλλιου Ευγενία Γκλατκίχ Γιάννης Μακράκης Παναγιώτης Εμίν Ογλού Εμίν ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-500 π.χ.) Ιπποκράτης ο Χίος
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΜουσική και Μαθηματικά!!!
Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,
Διαβάστε περισσότεραΗ εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης
Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές
Διαβάστε περισσότεραΟ πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).
Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη
ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΤρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ
ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΕίδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.
Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση
Διαβάστε περισσότεραΒ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7
Διαβάστε περισσότεραΣταυρούλα Πατσιομίτου
Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ
ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΠΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ - ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ Γνωστική Περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου Θέμα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι γνωστό στους μαθητές από το Γυμνάσιο. Το προτεινόμενα θέμα αφορά την
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραβοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2
3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών
Διαβάστε περισσότεραΑξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016)
Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά και τέχνη: Διακοσμητικά σχήματα με χρήση γεωμετρικού λογισμικού
604 19 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής παιδείας Μαθηματικά και τέχνη: Διακοσμητικά σχήματα με χρήση γεωμετρικού λογισμικού Μπάμπης Τουμάσης Νόρμαν 33 τηλ: 0610-455003 Τάσος Αρβανίτης Στην εργασία αυτή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:
Διαβάστε περισσότερα----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----
Διαβάστε περισσότεραCabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας
Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή
Διαβάστε περισσότεραO μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών
O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή
Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου
Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Α. Προτεινόμενες θεματικές ενότητες Τίτλοι από το Ι.Ε.Π. ΑΛΓΕΒΡΑ 5ο 5.1: Ακολουθίες Η ακολουθία Fibonacci στην Φύση και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: «Κύπρος: Πολυπολιτισμικές Ψηφίδες» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΣ ΤΜΗΜΑ: Γ 6
ΘΕΜΑ: «Κύπρος: Πολυπολιτισμικές Ψηφίδες» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΣ ΤΜΗΜΑ: Γ 6 ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΤΗΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ A μέλος= Επιστήμη + Έλληνες Μαθηματικοί + Μαθηματικές Ανακαλύψεις + Μαθηματικά B μέλος= Εργαλείο
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη
Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΚύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας
Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος
Διαβάστε περισσότεραΓ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση
Διαβάστε περισσότερα«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.
«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,
Διαβάστε περισσότερα4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα
Διαβάστε περισσότεραΚωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη
Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Ιστορικά Η μεταφορά αντικειμένων του Χώρου των τριών διαστάσεων στο επίπεδο έχει τις ρίζες της στην προϊστορική
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ: «ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΡΙΑΜΗ ΒΑΓΙΑ, Β4 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΤΑΒΑΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016 17 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...
Διαβάστε περισσότεραΟ χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών
Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΗ Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα
[ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες
Διαβάστε περισσότερα1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας
.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής
Διαβάστε περισσότεραΑξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης
Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.
Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΗ καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας
Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),
Διαβάστε περισσότερααξιοποίηση των ΤΠΕ: Η logo στη διδακτική διδακτική πράξη
Παιδαγωγική αξιοποίηση Δρ. Ι. Μπέλλου, Σχ αξιοποίηση των ΤΠΕ: Η logo στη διδακτική διδακτική πράξη Μια προσέγγιση για τη Γ Γυμνασίου Σχ. Σύμβουλος ΠΕ19 Δρ. Ιωάννα Μπέλλου Σχ. Σύμβουλος ΠΕ19 Μια διδακτική
Διαβάστε περισσότερα----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ
Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:
Διαβάστε περισσότεραΒ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ
Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότερα1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017
1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017 Αναγνώστου Σαραφιανός, Γαβρίδης Δημήτριος, Μαραντίδου Χριστίνα Επιβλέπων καθηγητής: Νίκος Τερψιάδης Πειραματικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: «2018: Έτος Μαθηματικών»
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ.Ε. Δ/ΝΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το Θεώρημα γεννιέται πριν από 4000 χρόνια Οι ρίζες του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκονται στη Γεωμετρία. Το θεώρημα διαδραματίζει κεντρικό ρόλο σε πολυάριθμους επιστημονικούς κλάδους,
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότερα1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση
1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.
Διαβάστε περισσότεραμαθηματικά β γυμνασίου
μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. Αναστασία Ταουκτσόγλου. Μαθηματικός, Δρ Διαφορικής Γεωμετρίας
ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Αναστασία Ταουκτσόγλου Μαθηματικός, Δρ Διαφορικής Γεωμετρίας Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση Με τον όρο αυτό αναφερόμαστε στην εφαρμογή των Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα
Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;
ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ
Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας:
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας
Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Τίτλος : Δύο δραστηριότητες σε ευθεία-κύκλο. α) Η «χρυσή ευθεία» β) οι γεωμετρικοί τόποι μιας οικογένειας κύκλων. Τάξη: Δίωρο μάθημα σε μαθητές Β λυκείου σε αίθουσα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου
ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»
5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων
Διαβάστε περισσότεραΑφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά
1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση
Μία διδακτική προσέγγιση ΣΕΝΑΡΙΟ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.)
Διαβάστε περισσότεραΠερί της Ταξινόμησης των Ειδών
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Η ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Κυριακή Ιορδανίδου, ΠΕ03 Μαθηματικών ΣΧΟΛΕΙΟ 1 ο Γυμνάσιο Χαριλάου Θεσσαλονίκη, 2018 Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Σε αυτή την
Διαβάστε περισσότεραΔιδασκαλία στο 2ο Πειραματικό Λύκειο (Αμπελοκήπων)
Διδασκαλία στο 2ο Πειραματικό Λύκειο (Αμπελοκήπων) Τάξη: Β' Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Μαθηματικό Περιεχόμενο: Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις Χρονική Διάρκεια: Μία διδακτική ώρα Διδάσκων Φοιτητής: Βαγιάκης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΣΗΣ Αλεξάνδρα Κούκιου
Η ΜΕΤΑΤΡΟΠΉ ΜΙΑΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ Αλεξάνδρα Κούκιου ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΊΟΥ ΣΕ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΉΣ Στο σχολικό βιβλίο της Β τάξης γυμνασίου υπάρχει η διπλανή άσκηση. Στόχος της άσκησης είναι να εφαρμόζουν
Διαβάστε περισσότεραΤο σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.
9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα
Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΈννοιες Φυσικών Επιστημών Ι
Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Ενότητα 4: Θεωρίες διδασκαλίας μάθησης στη διδακτική των Φ.Ε. Σπύρος Κόλλας (Βασισμένο στις σημειώσεις του Βασίλη Τσελφέ)
Διαβάστε περισσότερα