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1 LEONARDO DANIEL TAVARES UM SIMULADOR DE TRÁFEGO URBANO BASEADO EM AUTÔMATOS CELULARES Belo Horizonte, Minas Gerais Março de 2010

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3 Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica UM SIMULADOR DE TRÁFEGO URBANO BASEADO EM AUTÔMATOS CELULARES Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica. LEONARDO DANIEL TAVARES Belo Horizonte, Minas Gerais Março de 2010

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5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS FOLHA DE APROVAÇÃO UM SIMULADOR DE TRÁFEGO URBANO BASEADO EM AUTÔMATOS CELULARES LEONARDO DANIEL TAVARES Dissertação defendida e aprovada pela banca examinadora constituída por: CPDEE - UFMG Douglas Alexandre Gomes Vieira Orientador PH. D CPDEE - UFMG Rodney Rezende Saldanha Co-orientador DOUTOR CPDEE - UFMG Walmir Matos Caminhas Co-orientador DOUTOR DCC - UFMG Geraldo Robson Mateus PH. D DETG - UFMG Leise Kelli de Oliveira DOUTORA CPDEE - UFMG Adriano Chaves Lisboa PH. D Belo Horizonte, Minas Gerais, Março de 2010

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7 Resumo Entre os recursos importantes para a vida econômica e social de um país, o Sistema de Transporte possui grande destaque. Este, por sua vez, vem sofrendo grande impacto, haja vista o efeito da urbanização e o crescente volume no número de veículos. Devido a isto, pesquisas devem ser realizadas a m de minimizar os efeitos dos congestionamentos, entre eles o desenho das vias, número de veículos maior do que a capacidade suportada, reparos e acidentes. O objetivo do presente trabalho é a construção de um simulador de trânsito urbano, contendo as principais características como: vias de múltiplas faixas, diferentes tipos de veículos como carros, caminhões e ônibus, cruzamentos, paradas de ônibus, e congestionamentos. Para alcançar este objetivo foi utilizada a tecnologia dos Autômatos Celulares - ACs. Os ACs são estruturas simples com muitas unidades semelhantes, chamadas células, e regras de atualização dos estados das células. O modelo CAUTS - Cellular Automata for Urban Trac Simulation - Autômato Celular para Simulação de Tráfego Urbano, proposto, apresentou resultados adequados e válidos, dentro da teoria de uxo de tráfego. Os experimentos foram realizados em cenários com o trânsito livre ou na presença de retenções. i

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9 Abstract Among the important resources for economic and social life of a country, the Transport System has high priority. This has undergone great impact, given the eects of urbanization and the increasing volume in the number of vehicles. Because of this, research must be conducted to minimize the eects of trac jams, which occurs stimulated by various reasons, including the design of roads, number of vehicles greater than the supported capacity, repairs and accidents. The objective of this work is the construction of a urban trac simulator containing the main features such as: multiple lanes, dierent types of vehicles such as cars, trucks and buses, intersections, bus stops, and jams. In order to achieve this goal the technology of Cellular Automata - CAs was used. CAs are simple structures with many similar units, called cells, and local update rules. The proposed model, named CAUTS - Cellular Automata for Urban Trac Simulation, appropriate and valid results within theory of trac ow. The experiments were performed in scenarios with the freeway or in the presence of retentions. iii

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11 Dedico este trabalho, com todo meu amor, aos meus pais: Ilderico e Graça. v

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13 Agradecimentos Primeiramente quero agradecer Àquele que é fonte e destino de todos os seres: Deus. Por Ele todas as coisas foram criadas, e para Sua glória que todas as coisas existem. Agradeço aos meus pais Ilderico e Graça pelo apoio incondicional em todos os momentos que precisei. Aos meus amigos do Synergia também pelo apoio e por acreditarem no meu potencial. Sem a ajuda deles não seria possível nem começar o mestrado. Ao meu orientador Douglas, muito obrigado! É uma experiência muito boa conviver com um gênio! Aos meus co-orientadores Rodney e Walmir pelas ideias e pelo estímulo. Agora vamos juntos ao doutorado! Aos membros da banca Prof. Doutor Robson, Prof. Doutora Leise e Doutor Adriano. Muito obrigado por aceitarem o convite de fazer parte de mais uma importante etapa da minha vida! Agradeço especialmente a todos aqueles que de alguma forma contribuiram para a relização deste trabalho. vii

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15 Por causa de um certo reino, estradas eu caminhei Buscando, sem ter sossego, o reino que eu vislumbrei Brilhava a Estrela Dalva e eu quase sem dormir, buscando este certo reino e a lembrança dele a me perseguir! Por causa daquele reino, mil vezes eu me enganei! Tomando o caminho errado, errando quando acertei! Chegava ao cair da tarde, e eu quase sem dormir, buscando este certo reino e a lembrança dele a me perseguir! Um lho de carpinteiro que veio de Nazaré, mostrou-se tão verdadeiro, pôs vida na minha fé Falava de um novo reino, de ores e de pardais, de gente arrastando a rede, que eu tive sede da sua paz! O lho de carpinteiro falava de um mundo irmão; De um Pai que era companheiro de amor e libertação Lançou-me um olhar profundo, gelando o meu coração; Depois me falou do mundo, e me deu o selo da vocação! Agora quem me conhece, pergunta se eu encontrei o reino que eu procurava, se é tudo o que eu desejei E eu digo pensando nele: no meio de vós está o reino que andais buscando, e quem tem amor compreenderá! Jesus me ensinou de novo, as coisas que eu aprendi, por isso eu amei meu povo e o Livro da Vida eu li E em cada menina moça, em cada moço rapaz, eu sonho que a minha gente será semente de eterna paz! Pe. Zezinho, SCJ. ix

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17 Sumário 1 Introdução Considerações Iniciais Problema de Pesquisa Estrutura da Dissertação Teoria de Fluxo de Tráfego Introdução Abordagem Macroscópica Variáveis Macroscópicas Abordagem Microscópica Abordagem Mesoscópica Visão Geral dos Modelos de Fluxo de Tráfego Conclusão do Capítulo Autômatos Celulares Introdução Automatos Celulares Elementares Formalismo e Notação Autômatos Celulares de Duas Dimensões Utilização de Autômatos Celulares Conclusão do Capítulo Modelo Proposto Introdução Denições do Mapa Regras Locais Conguração Inicial Criar Novos Veículos Registrar Veículo Parada de Ônibus xi

18 4.3.5 Controlar Semáforo Movimentar Veículos Remover Veículos Gerar Incidente Contabilizar Sensor Conclusão do Capítulo Experimentos Realizados Introdução Denição dos Parâmetros Cenários e Resultados Obtidos Denição dos cenários Discussão dos Resultados Obtidos Conclusão do Capítulo Conclusões e Trabalhos Futuros 43 A Evolução Autômato Celular Elementar 45 B Experimentos de Bruce Douglas Greenshields 49 C Resultados Grácos Para os Experimentos Realizados no Modelo CAUTS 53 Referências Bibliográcas 59 xii

19 Lista de Figuras 2.1 Trajetórias e medidas S1 e S2. (Fonte: [31]) Diagrama fundamental f d Diagrama fundamental v d Diagrama fundamental v times d Desenho tradicional do Car-Following Model Exemplo de um conjunto de regras locais para um Autômato Celular Elementar. Os parâmetros da regra local estão na parte superior, e os resultados da célula central na próxima iteração na parte inferior, representados pela letra α. (Fonte: [84]) Relação de vizinhança quadrada. A esquerda a relação 5-vizinhos - von Neumann - e a direita relação 9-vizinhos - Moore. (Fonte: [89]) Relação de vizinhança hexagonal ou colméia. (Fonte: [89]) Relação de vizinhança baseado em Diagrama de Voronoi. (Fonte: [81]) Vizinhança em 3-dimensões. (Fonte: [17]) Código e respectivos deslocamentos (nos eixos x e y) Diagrama de atividades das regras locais propostas para o modelo CAUTS Leiaute do mapa dos experimentos realizados com seus principais componentes em destaque Codicação do mapa utilizado no Modelo CAUTS Função de Densidade de Probabilidade para a via principal no sentido oesteleste Função de Densidade de Probabilidade para a via principal no sentido lesteoeste Função de Densidade de Probabilidade para as vias coletoras (secundárias) Resultado do experimento do Cenário 01 para o primeiro quarteirão A.1 Evolução das Regras 0 ( ) e 4 ( ). (Fonte: [84]) A.2 Evolução da Regras 10 ( ) e 22 ( ). (Fonte: [84]) xiii

20 A.3 Evolução da Regras 32 ( ) e 36 ( ). (Fonte: [84]) A.4 Evolução da Regras 50 ( ) e 54 ( ). (Fonte: [84]) A.5 Evolução da Regras 72 ( ) e 76 ( ). (Fonte: [84]) A.6 Evolução das Regras 90 ( ) e 94 ( ). (Fonte: [84]) A.7 Evolução das Regras 104 ( ) e 108 ( ). (Fonte: [84]) A.8 Evolução das Regras 122 ( ) e 126 ( ). (Fonte: [84]) A.9 Evolução das Regras 128 ( ) e 132 ( ). (Fonte: [84]) A.10 Evolução das Regras 146 ( ) e 150 ( ). (Fonte: [84]) A.11 Evolução das Regras 160 ( ) e 164 ( ). (Fonte: [84]) A.12 Evolução das Regras 170 ( ). (Fonte: [84]) A.13 Evolução das Regras 200 ( ) e 204 ( ). (Fonte: [84]) A.14 Evolução das Regras 210 ( ) e 222 ( ). (Fonte: [84]) A.15 Evolução das Regras 232 ( ) e 236 ( ). (Fonte: [84]) A.16 Evolução das Regras 250 ( ) e 254 ( ). (Fonte: [84]) B.1 Greenshields realizando experimento (Fonte: [36]) B.2 Fotos os experimentos de Greenshields (Fonte: [36]) B.3 Câmera utilizada por Greenshields para realizar os experimentos (Fonte: [36]) 50 B.4 Diagrama fundamental Greenshields (Manuscrito) (Fonte: [36]) B.5 Diagrama fundamental Greenshields (Manuscrito) (Fonte: [36]) C.1 Resultado do experimento do Cenário 01 para os 4 quarteirões. No canto superior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 01. No canto superior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 02. No canto inferior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 03. No canto inferior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão C.2 Resultado do experimento do Cenário 02 para os 4 quarteirões. No canto superior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 01. No canto superior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 02. No canto inferior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 03. No canto inferior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão xiv

21 C.3 Resultado do experimento do Cenário 03 para os 4 quarteirões. No canto superior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 01. No canto superior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 02. No canto inferior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 03. No canto inferior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão C.4 Resultado do experimento do Cenário 04 para os 4 quarteirões. No canto superior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 01. No canto superior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 02. No canto inferior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 03. No canto inferior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão C.5 Resultado do experimento do Cenário 05 para os 4 quarteirões. No canto superior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 01. No canto superior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 02. No canto inferior esquerdo estão os resultados do ponto de vista do quarteirão 03. No canto inferior direito estão os resultados do ponto de vista do quarteirão xv

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23 Lista de Tabelas 2.1 Modelos baseados em Abordagem Macroscópica. Fonte ([25]) Modelos baseados em Abordagem Microscópica. Fonte ([25]) Modelos baseados em Abordagem Mesoscópicas. Fonte ([25]) Velocidade média dos veículos no cenário 01 (Entre parênteses a ocupação relativa da via) Velocidade média dos veículos no cenário 02 (Entre parênteses a ocupação relativa da via) Velocidade média dos veículos no cenário 03 (Entre parênteses a ocupação relativa da via) Velocidade média dos veículos no cenário 04 (Entre parênteses a ocupação relativa da via) Velocidade média dos veículos no cenário 05 (Entre parênteses a ocupação relativa da via) xvii

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25 Capítulo 1 Introdução 1.1 Considerações Iniciais O Sistema de Transporte Terrestre é, sem sombra de dúvidas, um dos recursos mais importantes para a vida social e econômica de um país. Por exemplo, na maior cidade do Brasil, São Paulo, estima-se que existam 8,14 milhões de veículos (incluindo motos, carros, caminhões e ônibus) para, aproximadamente, 11 milhões de habitantes, o que signica 0,74 veículos por habitante de acordo com o Instituto Brasileiro de Geograa e Estatística - IBGE [29]. Adicionalmente, somos expectadores e atores de um crescimento considerável mundial de áreas urbanas bem como o aumento do número de veículos. Parte disso se deve ao desenvolvimento da indústria automobilística brasileira que em 2007 teve uma produção de aproximadamente três milhões de veículos [82]. Com o aumento do número de veículos e da urbanização surgem os congestionamentos, que são um dos principais componentes contra a qualidade de vida em uma metrópole. No dia 10 de Junho de 2009 a Companhia de Engenharia de Tráfego de São Paulo[11] registrou um congestionamento de 293 quilômetros, atingindo assim um recorde histórico, até então. Com este tamanho de população e concentração de veículos é de fundamental importância a realização de pesquisas sobre transportes em áreas urbanas. Dentro de tais pesquisas estão aquelas que buscam analisar o efeito de mudanças nas regras de circulação de um trânsito urbano através de técnicas computacionais, sendo, uma delas, técnicas de simulação. Entre as diversas formas de simular o tráfego urbano, aquelas que utilizam Autômatos Celulares receberam uma atenção especial dos pesquisadores nos últimos anos, principalmente a partir dos anos 90, onde os computadores começaram a ganhar cada vez mais capacidade de processamento e seus preços caram acessíveis. Este trabalho tem como objetivo principal a construção de um simulador de trân- 1

26 2 Capítulo 1. Introdução sito urbano utilizando tecnologia de Autômatos Celulares, que contenha recursos característicos como parada de ônibus, cruzamentos, semáforos e eventos que possam gerar congestionamentos como elevado número de veículos, acidentes e veículos com defeitos. Como objetivos especícos destacam-se: Um estudo a cerca da teoria de uxo de tráfego, bem como uma revisão bibliográca do assunto; Caracterização do tráfego urbano detalhando seus principais recursos; Síntese dos modelos já criados para a simulação ou análise de tráfego, sendo ele urbano ou para rodovias; Um estudo sobre a tecnologia de Autômatos Celulares bem como a notação e formalismo necessários, incluindo uma revisão sobre a utilização desta em simuladores de tráfego urbano; Construção, calibração e validação do modelo proposto. 1.2 Problema de Pesquisa O uso de Autômatos Celulares para simulação de trânsito, sendo ele urbano ou não, vem ganhando mais e mais atenção dos pesquisadores, principalmente a partir da década de 90, onde os principais resultados podem ser encontrados em [54, 67, 77, 3, 53]. Esses resultados consideram regras locais de atualização básicas como aceleração, desaceração e desaceleração por obstáculo. Uma revisão considerando o uxo de tráfego em ambiente não urbano, ou seja, aqueles que são criados para rodovias, pode ser encontrado em [45]. Este último mostra que a maior parte dos trabalhos se concentram principalmente para rodovias onde o trânsito está livre, ou seja, na ausência de congestionamentos e incidentes. Entretando, Barlovic et al. [1] consideraram a teoria do random walking como base para o estudo do comportamento do congestionamento em uma via de faixa única. O estudo de regras para uma faixa, que pode ser aplicada em paralelo como um meio de melhorar o desempenho computacional, é apresentado em [43]. Por m, o problema da pesquisa tratada nesta Dissertação se concentra na construção de um modelo baseado em Autômatos Celures a m que possa ser simulado um ambiente de trâfego urbano. Este modelo pode ser usado, posteriormente, para planejamento de mudanças no cenário urbano, bem como uma ferramenta onde os serviços de engenharia de tráfego podem se apoiar para o auxílio na tomada de decisão.

27 1.3. Estrutura da Dissertação 3 Quanto ao tipo de pesquisa, esta pode ser considerada, segundo os critérios apresentados em [88], como sendo de natureza tecnológica, uma vez que visa a aplicação de conhecimentos básicos para a geração de novos produtos; descritiva, pois observa, identica, registra, analisa fenômenos e sistemas técnicos; e quanto ao procedimento, pesquisa experimental baseada em experimentos em ambiente controlado. 1.3 Estrutura da Dissertação A presente Dissertação está estruturada da seguinte forma: o Capítulo 1 apresenta as considerações iniciais a cerca da construção de simuladores de trânsito, do problema a ser tratado e dos objetivos desejados neste estudo. A seguir, no Capítulo 2 são descritos alguns dos conceitos fundamentais na Teoria de Fluxo de Tráfego, o que cria a base para a construção de modelos para tais objetivos. Uma visão geral sobre os Autômatos Celulares é dada ao longo do Capítulo 3, onde é contada um pouco da história, do formalismo e notação, e, nalmente, de sua utilização. O Capítulo 4 detalha o modelo proposto, chamado CAUTS, para a simulação de tráfego urbano e o Capítulo 5 expõe os resultados encontrados na utilização do modelo CAUTS, bem como a forma de sua validação. Finalmente, as conclusões nais e os trabalhos futuros podem ser encontradas no Capítulo 6. Ao nal da presente Dissertação, nos Apêndices A e B podem ser vistos, respectivamente, a evolução das regras locais legais para Autômatos Celulares de Uma-Dimensão e, como eram realizados os experimentos de Bruce Douglas Greenshields, pesquisador do Institute of Transportation Engineers. resultados encontrados de forma gráca. O Apêndice C, por sua vez, apresenta os

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29 Capítulo 2 Teoria de Fluxo de Tráfego 2.1 Introdução As Teorias de Fluxo de Tráfego buscam estudar e descrever as relações entre os veículos, vias, e componentes de infra-instrutura, como semáforos, sinalizações, entre outros, em termos matemáticos. Estas teorias surgiram nos anos 30, na tentativa de relacionar as grandezas de uxo, densidade e velocidade, pelo cientista Bruce Greenshields. Atualmente estas teorias fundamentam todas as ferramentas e modelos de uxo de trânsito [57]. As aplicações destas teorias são amplas. Entre elas destacam-se [25]: Avaliação de tratamentos alternativos em gestão de tráfego; Concepção e ensaio de novas vias; Modelos de uxo operacional servindo como um sub-módulo em outras ferramentas (por exemplo, baseados em modelos de controle de tráfego e otimização e atribuição de tráfego dinâmico); Formação de gestores de tráfego. Papageorgiou [59] explica que nem sempre os fenômenos observados no trânsito são evidentes para o correto equacionamento, e ainda divide as abordagens em três categorias: 1. Abordagens puramente dedutivas: onde se faz necessário conhecer as leis da física existentes que governam o fenômeno; 2. Abordagens puramente indutivas: onde são disponibilizados pares entrada/saída de dados de sistemas reais, que, em seguida, são utilizados para ajustar estruturas matemáticas genéricas como modelos ARIMA, aproximações polinomiais e redes neurais, por exemplo; 5

30 6 Capítulo 2. Teoria de Fluxo de Tráfego 3. Abordagens intermediárias: onde primeiramente o modelo estrutural existe e, em seguida, dados reais são utilizados para ajustar o modelo. Seja qual for a abordagem realizada, ainda é possível classicá-la utilizando os seguintes critérios [25]: Tipo de variáveis; Nível de detalhes; Representação do processo; Operacionalização; Escala de aplicação. Por tipo de variáveis entende-se como a abordagem que trata a passagem do tempo, isto é, a mudança do ambiente ocorre de maneira contínua ou discreto. Já por nível de detalhes diz respeito a como a abordagem trabalha as entidades existentes no modelo. As abordagens microscópicas possuem um nível maior de detalhes, onde as entidades são tratadas individualmente. Já as abordagens macroscópicas possuem pouco nível de detalhe e compreende o tráfego como um todo. Em um nível intermediário de detalhamento existem as abordagens mesoscópicas onde blocos de entidades são tratadas como pelotões. A representação do processo é caracterizada pela existência de variáveis aleatórias. Quando elas não estão presentes o processo é determinístico, por outro lado, se elas são necessárias o processo é estocástico. O critério de operacionalização verica se a abordagem é analítica ou por simulação. Por m a escala de aplicação dene o escopo da abordagem, por exemplo, uma cidade, uma avenida, ou simplesmente, um trecho de uma rua. As Seções a seguir irão especicar o critério de nível de detalhes. 2.2 Abordagem Macroscópica A Modelagem Macroscópica aborda o problema de uxo em um nível baixo de detalhes, onde, basicamente, não existe interesse por cada unidade existente e sim no processo como um todo. Uma analogia que pode ser feita é a aproximação do sistema de trânsito com um sistema de uídos que escoam através dos canais. As principais grandezas deste tipo de abordagem são: uxo f, densidade (ou concentração) d e velocidade média v [12]. Por uxo f é entendido como número de veículos que passam por um seguimento x durante o período [t, δt + t) por unidade de tempo, onde t e δt são o tempo inicial e

31 2.2. Abordagem Macroscópica 7 o período, respectivamente. Densidade d pode ser denida como o número de veículos que estão presentes em um seguimento [x, x + δx) por unidade de comprimento, em um dado momento t, onde x e δx são, respectivamente, o ponto inicial do seguimento e o comprimento do mesmo. Por m, a velocidade média se dá pela razão entre a densidade e o uxo, isto é: v = d. Como as grandezas f, d e v estão condicionadas f a localização e ao tempo, elas são geralmente descritas pelas funções f (x, t), d (x, t) e v (x, t) [25]. A seguir estas grandezas serão detalhadas Variáveis Macroscópicas Seja um sistema de duas dimensões: tempo e espaço. O objetivo das variáveis da abordagens macroscópicas é mapear a interação dos veículos presentes no modelo em termos destas duas dimensões para explicação do uxo, densidade e velocidade do sistema. Para tal é necessário a denição dos intervalos de tempo e espaço medidos, conforme mostra a Figura 2.1, onde cada linha representa a trajetória de um veículo sobre a via, e os eixos x e t representam o deslocamento dos veículos e a passagem de tempo respectivamente [31]. Figura 2.1: Trajetórias e medidas S1 e S2. (Fonte: [31]) A região S1 reete o número de veículos n que trafegam na região δx no intervalo δt 0. Já a região S2 reete o número de veículos m que trafegam no intervalo δt na região δx 0. Logo, é possível amar que S1 e S2 são, respectivamente a densidade e uxo na via, e podem ser calculadas a partir de: d (x, t) = n δx (2.1) f (x, t) = m δt (2.2)

32 8 Capítulo 2. Teoria de Fluxo de Tráfego Já a terceira grandeza envolvida, a velocidade média v, pode ser encontrada pela razão da região S2 pela região S1 em um dado momento t em um local x, ou da forma da função fundamental: f (x, t) = v (x, t)d(x, t) (2.3) Ainda é possível denir outras duas velocidades médias a partir das regiões S1 e S2. Seja a velocidade v dos n veículos que trafegam na região S1, a velocidade média espacial v e é dada por: v e (δx,t) = 1 n n i=1 v i (2.4) Analogamente, se é considerado a velocidade realizada pelos m veículos na região S2 obtemos a velocidade média temporal v t : v t (x, δt) = 1 m m i=1 v i (2.5) Tanto as grandezas de densidade d quanto de uxo f foram encontradas considerando uma via de apenas 1 faixa. Caso a via em estudo possua mais de uma faixa o cálculo deve ser realizado conforme: d (x, t) = n δx.l (2.6) f (x, t) = m δt.l Onde l indica o número de faixas da via. (2.7) A partir da densidade e do comprimento médio dos veículos c em uma região S1 é possível também calcular a ocupação relativa b, conforme: b = d (δx, t) 1 n n c i i=1 = d (δx, t) c (2.8) A medida de ocupação relativa indica qual a parcela da via está ocupada de forma percentual. Em termos teóricos a ocupação relativa adimite que o trânsito se dá de forma homogênea, ou seja, cada veículo está ocupando exatamente b% da via em seu comprimento [57]. A partir das dimensões de uxo f, densidade d e velocidade v, Greenshield for-

33 2.2. Abordagem Macroscópica 9 mulou o que é conhecido atualmente como diagramas fundamentais [39], conforme são apresentados nas Figuras 2.2, 2.3 e 2.4, onde [55]: f max : é o uxo máximo comportado pela via; d o : é a densidade ótima; d jam : é a densidade máxima, onde existe a situação de completo congestionamento; v max : é a velocidade máxima, situação onde o uxo é livre; v o : é a velocidade ótima, situação onde a relação velocidade uxo é máxima; Figura 2.2: Diagrama fundamental f d. Figura 2.3: Diagrama fundamental v d

34 10 Capítulo 2. Teoria de Fluxo de Tráfego Figura 2.4: Diagrama fundamental v times d É importante ressaltar que pelo diagrama fundamental de Greenshield a velocidade ótima ocorre na metade da velocidade máxima, e a densidade ótima ocorre na metade da densidade máxima. Isto representa uma simplicação do comportamento observado, porém se mantém em plena utilização seja por razões históricas, seja pela simplicidade. A função de equilíbrio do diagrama v d pode ser escrita como [31]: v = v max d jam (d jam d) (2.9) A função da relação f d, por sua vez, pode ser descrita como [31]: f = v max ( d d2 d jam ) (2.10) O ponto correspondente a densidade ótima d o é obtido f max = f/ d = 0, ou seja (Equação 2.11)[36]: ( f/ d = v max 1 2 d ) o d o = d jam d jam 2 (2.11) Da mesma maneira, para o diagrama v f pode ser descrita por [36]: ( f = v.d jam 1 v ) v max (2.12) 2.3 Abordagem Microscópica Se a Abordagem Macroscópica visualiza o tráfego como um todo e possuí um nível de detalhe muito baixo, a Abordagem Microscópica possui características detalhistas e enxerga cada veículo individualmente. As descrições das dimensões envolvidas se dão

35 2.3. Abordagem Microscópica 11 pela interação entre os veículos presentes no modelo em estudo. A modelagem mais evidente para esta abordagem é chamada de Modelo de Perseguição - (Car-Following Model). Criado nos anos 60, esta modelagem se baseia no fato de que um veículo persegue um outro veículo [25]. Em termos práticos isto signica que se o veículo da frente (chamado líder) acelera, o veículo que está seguindo deve reagir acelerando também [10], entre outras ações. A Figura 2.5 mostra o desenho tradicional para este modelo. Figura 2.5: Desenho tradicional do Car-Following Model No Modelo de Perseguição - MP - a distância entre o veículo líder e o veículo perseguidor é uma das variáveis de interesse. Isto por que, caso o carro líder desacelere abruptamente, o veículo perseguidor deverá ter o tempo hábil de perceber este fato e desacelerar de tal modo que não haja colisão entre eles. Segundo a California Motor Vechicle [20]: uma boa regra para perseguir outro veículo em uma distância segura é permitir que exista no mínimo o comprimento de um veículo entre o veículo líder e o veículo perseguidor a cada 16 km/h de velocidade que está dirigindo. Isto quer dizer que deve existir um aumento linear da distância entre os veículos de acordo com a aceleração do veículo líder. Para tornar o modelo mais realístico, existe também um atraso da reação combinado à ação do carro perseguidor. Este atraso é explicado pelo tempo de reação existente para o motorista tomar a próxima decisão (seja de acelerar ou desacelerar). O modelo matemático para o MP tradicional, pela abordagem Estímulo-Resposta é dado por [64, 34]: ẍ n+1 (t + T) = α [ẋ n (t) ẋ n+1 (t)] + ξ n = 1, 2, 3,... (2.13)

36 12 Capítulo 2. Teoria de Fluxo de Tráfego Onde: ẋ n (t) é a velocidade do veículo líder no instante t; ẋ n+1 (t) é a velocidade do veículo perseguidor no instânte t; T é o atraso de reação do motorista, isto é, o tempo necessário da percepção do evento até a tomada de decisão propriamente dita; ẍ n+1 é a aceleração do veículo perseguidor; α é um fator de sensitividade; ξ é um ruído na aceleração, ou, um fator de aleatoriedade. Em um tráfego onde todos os veículos tendem a ter a mesma velocidade levam o modelo a ter um comportamento estável. Esta estabilidade pode ser quebrada quando algum veículo reduz sua velocidade por algum motivo aleatório. Existem dois tipos de estabilidade do modelo[16]: (i) estabilidade local e (ii) estabilidade assintótica. Em (i) a perturbação da velocidade do veículo líder é atenuado pelo veículo perserguidor. Já em (ii) signica que quando existe uma la de veículos percorrendo uma via com velocidades semelhantes, a perturbação da velocidade do primeiro veículo irá criar uma perturbação que é cada vez menor entre os veículos perseguidores [87]. 2.4 Abordagem Mesoscópica A Abordagem Mesoscópica combina os princípios das abordagens anteriores. A construção do modelo se inicia pela especicação do comportamento de cada veículo individualmente, porém comportamentos não são implementados. Ao invés disso são utilizados os princípios da mecânica e da cinética de gases para descrever o comportamento como um todo, através de pelotões de veículos. Tais pelotões são formados quando um conjunto de veículos que estão formando um uxo são retidos por alguma barreira, como, por exemplo, um semáforo e em seguida são liberados para prosseguir seu uxo. A Abordagem Mesoscópica provê uma forma de traduzir o comportamento micro para o macro [72]. Existem, basicamente, duas aproximações que podem ser realizadas considerando os pelotões [13]: Pelotões contínuos: onde os veículos estão distribuídos uniformemente dentro do pelotão (considerando as dimensões de espaço e tempo) em uma região [x, x + δx). Pelotões discretos: onde todos os veículos que estão em uma dada região são representados por um ponto simples.

37 2.5. Visão Geral dos Modelos de Fluxo de Tráfego 13 Existem diversos modelos que utilizam desta abordagem para descrever o comportamento do uxo de tráfego. Entre eles pode-se destacar o modelo de cinética dos gases. O modelo de cinética dos gases descreve a dinâmica da uxo através de quantidades agregadas chamada PSD - Phase Space Density - reduzida. Esta agregação pode ser interpretada como: o número n de veículos esperados no instante t em uma região [x, x + δx), onde δx = 0, dirigindo a uma velocidade [v, v + δv) igual à p (x, v,t). Este conceito existe na estatística da física e pode ser considerado como uma generalização média da visão de densidade d (x, t) da Abordagem Macroscópica [25]. 2.5 Visão Geral dos Modelos de Fluxo de Tráfego As Tabelas 2.1, 2.2 e 2.3 apresentam uma visão geral de alguns modelos construídos baseados nas abordagens vistas anteriormente. Onde: Dimensão (Di) foi divida nos termos de velocidade v, velocidade ótima vo, multifaixas y e outras dimensões o; Escala (Esc) foi divida nos termos contínua c, discreta d e semi-discreta sd 1 ; Representação do Processo (R.P.) foi dividido em determinístico d ou estocástico s; Operacionalização (Op.) foi dividido em analítica a ou simulação s; Área de aplicação (A) foi dividida em cruzamento c, faixa única sl, múltiplas faixas ml, agrupamento de faixas al, áreas discontínuas d, rede urbana u e outras o; 2.6 Conclusão do Capítulo O presente Capítulo apresentou, de maneira breve, as três principais abordagens existentes para a modelagem de uxo de tráfego. Como pode ser observado, as abordagens se diferenciam pelo nível de detalhamento quanto ao comportamento dos veículos na via. Na Abordagem Microscópica, onde os veículos são detalhados individualmente, foi mostrado brevemente os principais conceitos sobre o Modelo de Perseguição. Na Abordagem Macroscópica, onde o uxo é visto como um todo, foram detalhadas as variáveis que compõem o estudo do diagrama fundamental: velocidade, uxo e densidade. No meio do caminho entre estas duas abordagens existe a Abordagem Mesoscópica onde 1 Escala semi-discreta é a escala onde estão envolvidas variáveis discretas e contínuas.

38 14 Capítulo 2. Teoria de Fluxo de Tráfego Abordagens Macroscópicas Nome Di Esc. R.P. Op. A. LWR model [41] v c d a al Payne-type models [61, 62] v c d a al Helbing-type models [21, 22] v, o c d a al Cell-Transmission Model [7, 8, 9] v d d s u METANET [35] v d d s u semi-discrete model [70] sd s a al, d FREFLO [62] v d d s u MASTER [75] v d d a ml Tabela 2.1: Modelos baseados em Abordagem Macroscópica. Fonte ([25]). Abordagens Microscópicas Nome Di Esc. R.P. Op. A. safe-distance models [50] v c d a sl stimulus-response models [40, 50] v c d a sl psycho-spacing models [80] v, vo, y c s s ml FOSIM [76] v, vo, y, o d s s ml, d CA-models [53, 52, 37] v, vo d s s u Particle pedestrian model [23] v, vo, y, o d s s o INTEGRATION [44] v d d s u Tabela 2.2: Modelos baseados em Abordagem Microscópica. Fonte ([25]) são tratados blocos, ou pelotões, de veículos que trafegam por uma via onde existe um obstáculo (seja um semáforo ou uma parada obrigatória). No nal do Capítulo ainda é possível observar uma visão geral sobre os modelos construídos dentro de cada abordagem. No Apêndice B são exibidas algumas fotograas de como eram realizados os experimentos de Greenshields.

39 2.6. Conclusão do Capítulo 15 Abordagens Mesoscópicas Nome Di Esc. R.P. Op. A. safe-distance models [23] y, o c s a c reduced gas-kinetic model [63] v c d a al improved gas-kinetic model [60] v, vo c d a al multilane gas-kinetic model [22] v, vo, o c d a ml, d multiclass gas-kinetic model [24] v, vo, y c d a al multiclass multilane model [26] v, vo, y c d a al, ml, d cluster models [56] v, vo c d a al Tabela 2.3: Modelos baseados em Abordagem Mesoscópicas. Fonte ([25])

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41 Capítulo 3 Autômatos Celulares 3.1 Introdução O conceito que fundamenta o Autômato Celular segue a inspiração do Autômato, ou, também chamado, Máquina de Estados Finitos, que, ao receber um estímulo do ambiente, o processa através de uma regra, ou função de transição, e, em seguida, muda seu estado [27]. Originalmente, idealizados nos anos 50 por John von Neumann e Stanislaw Ulam, os Autômatos Celulares - AC - são, segundo Wolfram [84], modelos matemáticos dinâmicos, onde as dimensões de tempo e espaço são discretos, e as atualizações dos estados das células se dão através de interações entre regras locais e relações de vizinhança entre as células. Os ACs podem ser considerados, ainda, de acordo com Aleksander e Hanna [30], como uma classe especial de autômatos que possuem um conjunto muito grande de estruturas idênticas, chamadas células, dispostas no espaço de dimensão n. Em geral, os ACs são constituídos por [47]: Um vetor regular de dimensão n coberto pelas células A = {a 1, a 2,...,a i } do modelo; Um conjunto de estados S = {s 1, s 2,...,s k } possíveis para cada célula a de índice i no instante t; Um conjunto R = {R 1, R 2,...,R m } de regras locais. Neste contexto, um AC pode ser classicado em relação a política de atualização dos estados das células sob dois aspectos: sincronismo e homogeneidade. Quanto ao sincronismo, um AC pode ser síncrono ou assíncrono. Um AC síncrono é aquele que atualiza os estados de todas as células ao mesmo tempo, enquanto em um AC assíncrono os estados das células são atualizadas um após a outra. Este último requer 17

42 18 Capítulo 3. Autômatos Celulares que esteja estabelecida a ordem de atualização [69]. Em relação à homogeneidade, o AC pode ser classicado como homogêneo ou heterogêneo. Um AC homogêneo é aquele onde o conjunto de regras R não depende da localização espacial da célula. Já um AC heterogêneo (ou não-homogêneo) a localização espacial, ou até mesmo temporal, inuencia no conjunto de regras que devem ser aplicadas [47]. Uma regra local R m R pode ser classicada como determinística ou probabilística. A regra local é considerada determinística se para o mesmo estímulo a saída é sempre a mesma. Por outro lado, uma regra local probabilística é aquela que possui elementos estocásticos para determinação do resultado de um estímulo [89]. Um AC que somente possui regras locais determinísticas é chamado de AC Determinístico, enquanto se o AC possui regras locais probabilísticas é chamado de AC Probabilístico [2]. Seja a i (t) o valor da célula a de índice i no instante t, presente em um AC unidimensional, e δ (a i 1 (t),a i+1 (t)) uma regra local R m R. Então a i (t + 1) = δ (a i 1 (t),a i+1 (t)) = a i 1 (t) a i+1 (t) (3.1) representa uma regra local determinística e a i (t + 1) = δ (a i 1 (t),a i+1 (t)) { a i 1 (t) a i+1 (t), se rand() p a i 1 (t) a i+1 (t), caso contrário (3.2) uma regra local determinística e uma regra local probabilística. Onde: : é operador binário ou-exclusivo; : é o operador binário ou; rand() : é um método responsável pela geração números aleatórios no intervalo de 0..1 com distribuição uniforme; p : é a probabilidade de ocorrência da expressão. A disposição das células no espaço do modelo pode ser classicada em regular e irregular. Em uma disposição regular, as células do modelo estão equidistantemente distribuídas, enquanto em uma disposição irregular a distribuição das células não segue o mesmo padrão de distância [86].

43 3.2. Automatos Celulares Elementares Automatos Celulares Elementares O AC Elementar - ACE - pode ser denido como um AC onde as células são regulares e estão distribuídas ao longo de um vetor unidimensional. Sua política de atualização dos valores das células é síncrona e homogênea, e as regras locais são determinísticas [84, 48]. Esta arquitetura de AC representa o fundamento para os demais ACs que possuem maiores dimensões e complexidades. Neste modelo cada célula pode assumir k valores que estão no intervalo de 0 a (k 1). A inuência da vizinhança em relação a uma célula especíca é determinada pelo parâmetro r. O valor do parâmetro r relaciona quantas células à direita e quantas células à esquerda, além da própria célula, inuenciam na determinação do estado da célula central na próxima iteração. O valor de r = 1 signica que as células de índice i 1, i,i+1 servem de parâmetro para a regra local. Desta maneira, existem k 2r+1 combinações distintas possíveis para o parâmetro da regra local [85]. Seja um ACE onde o valor de k = 2 e o parâmetro r = 1. Com esta conguração existem 2 3 = 8 possíveis combinações para os valores das células. Assim sendo, as regras locais para um ACE, com este formato, são descritas sob a forma de um número binário de 8 dígitos, ou o seu correspondente em decimal, caminhando da combinação mais signicativa para a menos signicativa, isto é, de 111 para 000. A Figura 3.1 ilustra um conjunto de regras locais para este cenário. Na parte superior estão os parâmetros da regra local, e na parte inferior estão os resultados para a célula central, na próxima iteração, representados pela letra α. Figura 3.1: Exemplo de um conjunto de regras locais para um Autômato Celular Elementar. Os parâmetros da regra local estão na parte superior, e os resultados da célula central na próxima iteração na parte inferior, representados pela letra α. (Fonte: [84]) A variável α pode assumir os valores 0 ou 1, desta forma, o número de regras locais obtidas a partir deste ACE é dado por k k2r+1 = 2 8 = 256. No entanto existem duas restrições que devem ser obedecidas para que uma regra local seja considerada legal, são elas: (i) nulidade e (ii) simetria. A primeira restrição diz respeito ao estado do modelo. Seja um ACE onde todas as células estão com valor 0. Este deve permanecer inalterado ao longo das iterações. Isto se deve ao fato que todo sistema dinâmico necessita de um estímulo para que o processo se inicie. Para que esta restrição seja satisfeita basta que o valor de α 8 seja

44 20 Capítulo 3. Autômatos Celulares sempre igual à 0. Desta forma, das 256 regras locais possíveis apenas 128 respeitam a primeira restrição. Já a segunda restrição delimita a simetria do modelo, ou seja, estímulos simétricos devem produzir resultados iguais. Esta restrição também é chamada de relação de equivalência de parâmetros, onde os estimulos 001 e 100, 110 e 011 devem produzir os mesmos resultados. Para que esta restrição seja atendida, os valores de α 2 = α 5 e α 4 = α 7. Assim, uma regra local legal deve possuir seu resultado no formato α 1, α 2, α 3, α 4, α 2, α 6, α 4, 0. Das 128 regrais locais que respeitam a restrição de nulidade restam apenas 32 que respeitam a ambas. O Apendice A apresenta a evolução das 32 regras legais. Os ACEs também podem ser classicados em relação ao seu comportamento. Os ACEs da Classe 1 (homogêneo/xo) apresentam o comportamento xo, ou seja, após t iterações o ACE é levado a um conjunto onde todas as células possuem o mesmo valor. Já os ACEs da Classe 2 (cíclico/periódico) são aqueles que criam imagens que se repetem ao longo da evolução. Os ACE da Classe 3 (caótico) apresentam um comportamento imprevisível nas dimensões tempo-espaço. Além disso, estes são extremamente sensíveis ao estado inicial do modelo. Finalmente, os ACEs da Classe 4 (complexo) apresentam um comportamento onde as repetições, ou ciclos, ocorrem em um tempo imprevisível. De certa forma, os ACEs da Classe 4 apresentam características tanto da Classe 2 quanto da Classe 3. As regras locais legais que pertecem à Classe 1 são: 0, 4, 32, 54. Já as regras locais legais que pertecem à Classe 3 são: 10 e 22. Não existem regras locais legais de ACE para as Classes 2 e 4 [51, 85] Formalismo e Notação Formalmente, uma regra local para um ACE é descrita pela Equação 3.3. a i (t + 1) = δ (a i r (t),a i r+1 (t),...,a i (t),...,a i+r (t)) (3.3) As regras locais legais, conforme explanado anteriormente, são aquelas que, formalmente, respeitam às restrições de nulidade e simetria, respectivamente apresentadas pelas Equações 3.4 e = δ (0, 0,..., 0,..., 0) (3.4) δ (a i r (t),...,a i+r (t)) = δ (a i+r (t),...,a i r (t)) (3.5)

45 3.3. Autômatos Celulares de Duas Dimensões Autômatos Celulares de Duas Dimensões Os Autômatos Celulares de Duas Dimensões são extensões dos Autômatos Celulares de Uma Dimensão, onde basicamente são alteradas as regras locais (para comportar novos parâmetros) e a relação de vizinhança entre as células do modelo. Para este tipo de arquitetura existem diversos formatos de células, onde os mais comuns são as células quadradas e hexagonais, conforme as Figuras 3.2 e 3.3 onde também são apresentados três relações de vizinhança: 5-Vizinhos, 9-Vizinhos e Vizinhança Hexagonal [58][89]. Figura 3.2: Relação de vizinhança quadrada. A esquerda a relação 5-vizinhos - von Neumann - e a direita relação 9-vizinhos - Moore. (Fonte: [89]) Figura 3.3: Relação de vizinhança hexagonal ou colméia. (Fonte: [89]) Um exemplo de regra local para um AC de duas dimensões onde a relação de vizinhança é a de 5-vizinhos é apresentada na Equação 3.6. a i,j (t + 1) = δ (a i,j (t),a i+1,j (t),a i,j+1 (t),a i 1,j (t),a i,j 1 (t)) (3.6) O exemplo de aplicação mais conhecido de Autômato Celular de Duas Dimensões é o Jogo da Vida, criado nos anos 70 pelo matemático Conway. Neste jogo, o objetivo é apresentar o comportamento do processo de evolução de organismos uni-celulares que podem assumir os estados 0-morta e 1-viva. A relação de vizinhança é de 9-vizinhas, e possui quatro regras locais, que são [65, 73]: (R1) Sub-população: qualquer célula viva irá morrer se ela tiver menos que duas vizinhas; (R2) Super população: qualquer célula viva irá morrer se ela tiver mais que três vizinhas;

46 22 Capítulo 3. Autômatos Celulares (R3) Perpetuação: qualquer célula irá permanecer para a próxima geração se ela tiver duas ou três vizinhas; (R4) Renascimento: Qualquer célula morta irá renascer se ela tiver exatamente 3 vizinhas; Este jogo possui três congurações nais segundo Saldaña et. al. em [66]: (i) extinção: todas os organismos irão morrer; (ii) estabilidade: o modelo irá convergir para um estado onde os organismos permanecem no mesmo estado; (iii) oscilação: as células criam imagens que são periódicas. Ainda é possível a existência de vizinhança irregular utilizando Diagrama de Voronoi, conforme pode ser observado na Figura 3.4[28]: Figura 3.4: Relação de vizinhança baseado em Diagrama de Voronoi. (Fonte: [81]) 3.4 Utilização de Autômatos Celulares Apesar de possuir uma arquitetura simples, os ACs são capazes de modelar sistemas dinâmicos complexos [5]. Droz em [14] descreve o uso de AC para a modelagem dinâmica de população envolvendo o sistema de presa-predador, além de demonstrar o ambiente em que a população está inserida. Nesse trabalho são apresentados dois modelos. No primeiro deles, é apresentado a modelagem do ponto de vista dos recursos do ambiente como alimento, taxa de natalidade e mortalidade dos indivíduos, entre outros. Já o segundo modelo se dá a partir dos indivíduos e sua relação com o ambiente, onde eles estão sujeitos a situações da natureza como mutação e seleção natural. Esse trabalho mostra que a utilização da simulação via AC, combinado com Monte-Carlo são ferramentas muito úteis para o estudo de dinâmica de população. Já em [71], Stevens et. al. apresentam um software, chamado icity - Irregular- City. O principal objetivo deste software é realizar predição do crescimento urbano

47 3.4. Utilização de Autômatos Celulares 23 através da modelagem de AC irregulares e sua integração com GIS - Sistemas de Informação Geográco. Os autores demonstram que esta ferramenta é capaz de ajudar gestores de uma cidade a tomarem decisões em relação a planejamento urbano. É possível modelar também a migração de animais utilizando AC, como é o caso de [68]. Nesse trabalho os autores demonstram a modelagem para a migração de peixes por um rio alemão chamado Meselle. Este rio é regulado por barragens e o objetivo deste trabalho é otimizar os recursos nanceiros da construção delas e garantir a sustentabilidade dos peixes. Uma simulação em 3-dimensões sobre uxo não saturado de água do solo pode ser encontrada em [17]. Neste trabalho os autores mostram as equações que envolvem o fenômeno do uxo e, em seguida, o processo de tornar o modelo discreto para que ele pudesse ser simulado através de um AC em 3D, conforme pode ser observado na Figura 3.5. A validação deste modelo foi realizada através de benchmarks encontrados na literatura. A construção do modelo foi feita utilizando-se a plataforma CAMELot que pode encontrada em [79]. Figura 3.5: Vizinhança em 3-dimensões. (Fonte: [17]) Em [19] é criada uma ferramenta capaz de simular eventos sísmicos na região de Xanthi, Grécia. O modelo proposto neste trabalho realiza a discretização da região onde existem os medidores sísmicos e a relação da vizinhança foi realizada com 5 e 9 vizinhas, sendo este um dos parâmetros do modelo proposto. Os resultados da simulação, segundo os autores, estão em boa concordância, tanto quantitativa e quanto qualitativamente, com a previsão de Gutenberg-Richter. Já em [6] foi elaborado um modelo chamado SCIARA - Smart Cellular Interactive Automata Rheology of Aetnean lava ows - capaz de simular o uxo de lava do vulcão Etna 1 para vericação do 1 O Etna é um vulcão ativo situado entre as províncias de Messina e Catânia, e é considerado o vulcão mais alto da Europa. A última erupção foi registada em 5 de Setembro de 2007 [83].

48 24 Capítulo 3. Autômatos Celulares risco em potencial envolvido. Entre outras características, este simulador é capaz de considerar questões climáticas como direção do vento e aspectos de relevo. A partir deste simulador foi possível vericar quais as localidades que estão em área de risco e, a partir destas informações, realizar intervenções humanas, como, por exemplo, barreiras e canais para alterar o uxo. Os estudos de simulação de propagação de incêndios orestais vêem crescendo, conforme apresentado por [33] e [15], sendo o primeiro, um trabalho fundamental na predição da propagação de incêndio em orestas levando em consideração tipos de vegetação homogêneas e heterogêneas. Já o segundo é uma extenção do primeiro, e é construído baseado em AC onde as células têm formato hexagonal. Além disso considera condições climáticas e topograa terrestre. O modelo foi executado em oito ambientes diferentes e se mostrou adequado quando comparado com dados reais de queimadas orestais. 3.5 Conclusão do Capítulo O início deste capítulo apresentou os conceitos básicos dos Autômatos Celulares, como um modelo simples, porém com a capacidade especial de simular eventos complexos, conforme demonstrado na Seção 3.4. Posteriormente foi denido o Autômato Celular Elementar, que congura o fundamento das demais arquiteturas de AC, além de citar o formalismo necessário. Como extensão do ACE, o Autômato Celular de Duas- Dimensões apresenta uma relação de vizinhança mais complexa, assim como suas regras locais. Finalmente foram citados alguns trabalhos que utilizaram com sucesso o modelo de AC que vão de dinâmicas de população até simulação de eventos da natureza como abalos sísmicos e erupções vulcânicas.