Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές της Εντασης Κινδύνου και του Μέσου Υπολειπόμενου Χρόνου Ζωής Μαρία Δημητροπούλου Επιβλέπων Γεώργιος Ψαρράκος Διπλωματική Εργασία υποβληθείσα στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πειραιάς 214

2

3 Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές της Εντασης Κινδύνου και του Μέσου Υπολειπόμενου Χρόνου Ζωής Μαρία Δημητροπούλου Επιβλέπων Γεώργιος Ψαρράκος Διπλωματική Εργασία υποβληθείσα στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πειραιάς 214

4 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ. συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή Γεώργιος Ψαρράκος Κωνσταντίνος Πολίτης Γεωργία Βερροπούλου Λέκτορας Αναπληρωτής Καθηγητής Επίκουρος Καθηγήτρια Πειραιάς 214

5 Universiy of Piraeus Deparmen of Saisics and Insurance Science Posgraduae Program in Acuarial Science and Risk Managemen On he addiive and proporional hazards and mean residual lifeime models Maria Dimiropoulou Supervisor Georgios Psarrakos MSc Disseraion submied o he Deparmen of Saisics and Insurance Science of he Universiy of Piraeus in parial fulfilmen of he requiremens for he degree of Maser of Science in Applied Saisics Piraeus 214

6

7 Ευχαριστίες Η παρούσα Διπλωματική Εργασία υλοποιήθηκε στα πλαίσια της απόκτησης του Μεταπτυχιακού Διπλώματος από το Πανεπιστήμιο Πειραιώς του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης που ειδικεύεται στην Αναλογιστική Επιστήμη και τη Διοικητική Κινδύνου. Η ολοκλήρωση αυτής της εργασίας επήλθε με την βοήθεια κάποιων αν- ϑρώπων, τους οποίους ϑα ήθελα να ευχαριστήσω. Υποστηρικτικό ρόλο αποδίδω στους γονείς μου και στην αδερφή μου οι οποίοι ήταν και είναι πάντα δίπλα μου, καθώς και στους κοντινούς μου ανθρώπους. Ξεχωριστά, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω το Λέκτορα Γεώργιο Ψαρράκο για την υποστήριξη και τη βοήθεια καθ όλη τη διάρκεια της διπλωματικής εργασίας, όπως επίσης και τον Αναπλητωτή Καθηγητή Κωνσταντίνο Πολίτη και την Ε- πίκουρη Καθηγήτρια Γεωργία Βερροπούλου.

8

9 Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται παραμετρικά μοντέλα επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές της έντασης κινδύνου και του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής. Στο πρώτο κεφάλαιο αναλύεται το γνωστικό υπόβαθρο που απαιτείται για να γίνει κατανοητή η διπλωματική. Παρουσιάζονται συναρτήσεις οι οποίες περιγράφουν καταστάσεις που μελετά η Ανάλυση Επιβίωσης και αναλύονται χρήσιμες έννοιες οι οποίες στοχεύουν στην ερμηνεία τόσο της έντασης κινδύνου όσο και του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται το προσθετικό μοντέλο της έντασης κινδύνου και οι συνέπειες που επιφέρει αυτό, στο μέσο υπολειπόμενο χρόνο ζωής και στη συνάρτηση επιβίωσης, σύμφωνα με αρκετές εφαρμογές γνωστών κατανομών. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το προσθετικό μοντέλο του μέσου υ- πολειπόμενου χρόνου ζωής και η επίπτωση που επιφέρει αυτό στην ένταση κινδύνου. Αναλύονται αρκετές στοχαστικές διατάξεις και κλάσεις γήρανσης που ικανοποιούν το μοντέλο, τόσο σε ϑεωρητικό όσο και πρακτικό επίπεδο. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το πολλαπλασιαστικό μοντέλο της έντασης κινδύνου και το πολλαπλασιαστικό μοντέλο του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής. Η μελέτη αυτών των δύο μοντέλων επέρχεται μέσα από το ϑεωρητικό υπόβαθρο που παρουσιάζεται, καθώς και από το πρακτικό μέρος που αναλύεται.

10

11 Absrac This diploma hesis concerns he sudy of parameric survival model which arise from changes in he hazard rae and mean residual life funcions. In he firs chaper, an inroducion is provided o many specialized faces on survival analysis. In he second chaper, is consider he changes in he mean residual life funcion when a consan is added o he hazard rae funcion. The resuls are illusraed by some paricular examples of life disribuions. In he hird chaper, he addiive mean residual life model is defined. In order o sudy his model, he necessary relaionships of sochasic orders are definied and discussed. In he final chaper, he proporional hazard rae model and he proporional mean residual life model have been inroduced, under a few aging classes and sochasic orders.

12

13 Περιεχόμενα 1 Γνωστικό Υπόβαθρο Ανάλυση Επιβίωσης Συνάρτηση Κατανομής Συνάρτηση Επιβίωσης Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Εντασης Κινδύνου Μέση Τιμή Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής Μέσος Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής Σύνδεση Συναρτήσεων Ανάλυση Απεικόνιση Συναρτήσεων Απεικόνιση Εντασης Κινδύνου Απεικόνιση Μέσου Υπολειπόμενου Χρόνου Ζωής Σύγκριση Μοντέλα επιβίωσης Μοντέλα Πολλαπλών Διαστάσεων Παραμετρικά Μοντέλα Προσθετικό Μοντέλο Εντασης Κινδύνου Περιγραφή Μοντέλου Μελέτη Κατανομών Εκθετική Erlang Lomax Γάμμα

14 ii Περίληψη ΛογαριθμοΛογιστική Gomperz Gomperz-Makeham Burr XII ΛογαριθμοΚανονική Hjorh Weibull Ειδικές Κατανομές Ανηγμένη Προσθετική Weibull Προσαρμόσιμη Weibull Προσθετικό Μοντέλο Μέσου Υπολειπόμενου Χρόνου Ζωής Περιγραφή Μοντέλου Κλάσεις Κατανομών Γήρανσης Στοχαστικές Διατάξεις Παραδείγματα Στοχαστικών Διατάξεων Ιδιότητες Γήρανσης Εφαρμογές Γνωστών Κατανομών Εκθετική Lomax Πολλαπλασιαστικό Μοντέλο Περιγραφή Μοντέλων Ιδιότητες Διατάξεων Δυναμικό Πολλαπλασιαστικό Μοντέλο Ιδιότητες Γήρανσης Ιδιότητες Διατάξεων Συμπεράσματα Παράρτημα 91 Βιβλιογραφία 99

15 Γνωστικό Υπόβαθρο Ανάλυση Επιβίωσης Τι σημαίνει ο όρος «ανάλυση επιβίωσης»; Προτού απαντηθεί αυτό το ερώτημα, ϑα γίνει μία προσέγγιση στο ρήμα «επιβιώνω». Το ρήμα αυτό παραπέμπει σε οτιδήποτε έχει διάρκεια ζωής, το οποίο σημαίνει γέννηση, ζωή, αλλαγή κατάστασης καθώς ζει και ϑάνατο. Επομένως, ο όρος «επιβίωση» περιγράφει μία χρονική διάρκεια ή μία διαδικασία προτού επέλθει κάτι και αλλάξει μία κατάσταση. Η λέξη επιβίωση παραπέμπει σε ζωντανούς οργανισμούς. Συγκεκριμένα, το ανθρώπινο είδος επιβιώνει από το ϑάνατο ή από αρρώστιες. Αν και η επιβίωση είναι ϑέμα βιολογικό, σε κάποιες περιπτώσεις ϑεωρείται και κοινωνικό. Η ζωή του ανθρώπου περνά από πολλά στάδια, όπως είναι η περίοδος σπουδών, η επαγγελματική καριέρα και η περίοδος συνταξιοδότησης. Στο μεσοδιάστημα αυτών των περιόδων, ο άνθρωπος παντρεύεται, βιώνει οικογενειακά προβλήματα, λαμβάνει μέρος σε κοινωνικές δραστηριότητες, αποκτά συνήθειες και ενδιαφέροντα, δηλαδή προσαρμόζει τη ζωή του σύμφωνα με τις συνθήκες που επικρατούν γύρω του. Πολλές καταστάσεις δεν είναι ζωντανοί οργανισμοί, ωστόσο η «διάρκεια ζωής» τους μοιάζει με αυτή των ανθρώπων, έχουν αρχή, κάποια διάρκεια και ένα τέλος. Παραδείγματα αυτών ϑεωρούνται η λειτουργία ενός αυτοκινήτου μέχρι να υποστεί βλάβη, όπως και το πολιτικό σύστημα που επικρατεί σε μία χώρα μέχρι να καταρρεύσει. Σε αυτές τις περιπτώσεις, όπως και σε άλλες, μία κατάσταση σταματά να υφίσταται όταν συμβεί ένα γεγονός. Στην πράξη, η ανάλυση επιβίωσης χρησιμοποιείται για να περιγραφούν, υπολογιστούν και να αναλυθούν χαρακτηριστικά καταστάσεων έτσι ώστε να γίνουν προβλέψεις όχι μόνο για την επιβίωση, αλλά και για την διακοπή μίας κατάστασης λόγω της επέλευσης ενός γεγονότος (όπως είναι οι ανύπαντροι μέχρι να παντρευτούν ή οι υγιείς μέχρι να αρρωστήσουν). Στο χώρο της γενετικής, της βιολογίας ή της μηχανικής, η διάρκεια ζωής μπορεί να διακοπεί λόγω ασθένειας, δυσμενών περιβαλλοντικών συνθηκών ή λόγω άλλων παραγόντων. Σε αρκετές έρευνες της ανάλυσης επιβίωσης πραγματοποιούνται συγκρίσεις μεταξύ ομάδων ή κατηγοριών ενός πληθυσμού, ενώ μελετώνται και οι μετα-

16 2 Γνωστικό Υπόβαθρο βλητές που επηρεάζουν την επιβίωση. Η εξέταση των εγγενών πληροφοριών είναι σημαντική, γι αυτό οι επιστήμονες έχουν αναπτύξει πολλές μεθόδους και τεχνικές που συμβάλλουν στη γνωστοποίηση χαρακτηριστικών από διάφορες καταστάσεις επιβίωσης. Στον ακαδημαϊκό χώρο, η ανάλυση επιβίωσης έχει αποκτήσει εφαρμογές σε αρκετούς κλάδους λόγω της διαθεσιμότητας διαχρονικών δεδομένων και περιστατικών που έχουν καταγράφει από διάφορες καταστάσεις επιβίωσης. Η έννοια της επιβίωσης δεν αναφέρεται πλέον μόνο σε δημογραφικά γεγονότα ή βιολογικά περιστατικά, αντιθέτως έχει επεκταθεί για να δείξει το ευρύτερο πεδίο των φαινομένων που χαρακτηρίζεται από το χρόνο. Οι κλινικές δοκιμές που γίνονται στο χώρο της ιατρικής, πραγματοποιούνται για την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας των νέων φάρμακων ή τη ϑεραπεία μιας νόσου. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι ερευνητές εφαρμόζουν την ανάλυση επιβίωσης για να συγκρίνουν τον κίνδυνο ϑανάτου ή την ανάκαμψη από την ασθένεια μεταξύ δύο ή περισσοτέρων ομάδων του πληθυσμού που λαμβάνουν διαφορετικά φάρμακα ή ϑεραπείες. Από τα αποτελέσματα μιας τέτοιας ανάλυσης, μπορούν να παραχθούν σημαντικές πληροφορίες για την πολιτική που ϑα ακολουθηθεί και για τις επιπτώσεις που ϑα επιφέρει. Η ανάλυση επιβίωσης εφαρμόζεται επίσης σε έρευνες που γίνονται στον χώρο της βιολογίας. Οι μαθηματικοί βιολόγοι ενδιαφέρονται για την εξελικτική πορεία (γήρανση) των ανθρώπινων πληθυσμών και άλλων ζωντανών οργανισμών. Η ανάλυση επιβίωσης χρησιμοποιείται για να καταγραφεί ιστορικά η ζωή κάθε είδους και για να αξιολογηθούν οι καταστάσεις επιβίωσης, δεδομένου ότι έχουν ληφθεί υπόψη φυσικές ιδιότητες ή χαρακτηριστικά στη συμπεριφορά και στο περιβάλλον του κάθε πληθυσμού. Τα δεδομένα επιβίωσης συνήθως συλλέγονται και αναλύονται από κοινωνικές υπηρεσίες με ϑέματα όπως η ανεργία, η χρήση ναρκωτικών, τα οικογενειακά προβλήματα, η επαγγελματική σταδιοδρομία ή άλλες κοινωνικές δραστηριότητες. Στο χώρο της δημόσιας υγείας, η ανάλυση επιβίωσης μπορεί να εφαρμοστεί για να αξιολογηθεί το επίπεδο ιατρικής περίθαλψης. Αυτή η προσέγγιση έχει ιδιαίτερη σημασία επειδή οι υπηρεσίες του συστήματος υγείας έχουν αντίκτυπο στο χώρο της πολιτικής, στην οργάνωση της οικονομίας και της κοινωνίας, δεδομένου ότι υπεισέρχονται ϑεμελιώδη φιλοσοφικά ζητήματα που αφορούν τη ζωή, το ϑάνατο και την ποιότητα της ζωής. Η ανάλυση επιβίωσης έχει εφαρμογές και σε άλλους τομείς, όπως είναι ο χώρος της μηχανικής, των πολιτικών επιστήμων, της διοίκησης επιχειρήσεων, της γεωργίας και της οικονομίας. Για παράδειγμα στη μηχανική, οι επιστήμονες εφαρμόζουν την ανάλυση επιβίωσης για να ελέγξουν την ανθεκτικότητα των μηχανικών ή των ηλεκτρικών συσκευών. Συγκεκριμένα, η πρόβλεψη της αξιοπιστίας μιας κατηγορίας μηχανημάτων, επέρχεται μετά από την παρακολούθηση ενός δείγματος μηχανημάτων καθ όλη τη διάρκεια ζωής τους. Σε αυτή, αξιολογούνται τα χαρακτηριστικά και τα υλικά που είναι σχεδιασμένο το προϊόν. Τα αποτελέσματα από μια τέτοια μελέτη μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη βελτίωση της ποιότητας του προϊόντος.

17 1.2 Συνάρτηση Κατανομής 3 Ο χρόνος είναι άρρηκτα συνδεδεμένος με την ανάλυση επιβίωσης. Ανέκα- ϑεν αποτελούσε αντικείμενο προβληματισμού και ανάλυσης γιατί επιβεβαίωνε την ανάγκη του ανθρώπου να προβλέπει γεγονότα και καταστάσεις. Ο χρόνος μπορεί να περιγράψει μία οποιαδήποτε κατάσταση επιβίωσης μέσα από συναρτήσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται για να διευκρινίσουν, να ερμηνεύσουν και να προβλέψουν τις διαφορετικές πτυχές των δεδομένων. Οι συναρτήσεις που ϑα αναλυθούν στην συνέχεια ϑα στηρίζονται στην εξής παραδοχή, ο χρόνος ϑα ϑεωρείται συνεχής και μη αρνητική τυχαία μεταβλητή. Η προσέγγιση των συναρτήσεων γίνεται κατά κύριο λόγο, με βάση το βιβλίο του Liu (212, Κεφάλαιο 1). 1.2 Συνάρτηση Κατανομής Εστω f() είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου T. Τότε σύμφωνα με τη ϑεωρία πιθανοτήτων, η (αθροιστική) συνάρτηση κατανομής F(), εκφράζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή T να λάβει τιμές από τη χρονική στιγμή έως την, ορίζεται ως F() = P(T ) = f(x)dx (1.1) και είναι αύξουσα με F() = και lim F() = 1. Η συνάρτηση κατανομής ισοδυναμεί με την πιθανότητα κανένα γεγονός να μη συμβεί από τη χρονική στιγμή έως την. Εξαιτίας αυτού του μαθηματικού ορισμού, δημιουργείται η ανάγκη της οριοθέτησης της συμπληρωματικής συνάρτησης της F(). Αυτή είναι η συνάρτηση επιβίωσης S(). 1.3 Συνάρτηση Επιβίωσης Η συνάρτηση επιβίωσης S(), αντιπροσωπεύει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή T να λάβει τιμές από τη χρονική στιγμή έως το άπειρο ϑεωρητικά, ορίζεται ως S() = P(T > ) = f(x)dx, (1.2) είναι η συμπληρωματική συνάρτηση της συνάρτησης κατανομής, δηλαδή S() = 1 F() (1.3) και είναι φθίνουσα με S() = 1 και lim S() =. Η ανάλυση δεδομένων γίνεται πιο εύκολη μερικές φορές, διότι οι στατιστικοί και οι δημογράφοι ορίζουν ένα πεπερασμένο τέλος του χρόνου, συμβολίζεται με ω και υποτίθεται ότι κανείς δεν επιβιώνει πέρα από αυτό το χρονικό σημείο. Σύμφωνα με αυτή την παραδοχή, ϑα ισχύει S() = 1 και S(ω) =. Εμπειρικά,

18 4 Γνωστικό Υπόβαθρο η χρονική στιγμή ω μπορεί να ταυτιστεί με τη μέγιστη διάρκεια ζωής που έχει παρατηρηθεί σ ένα μηχάνημα ή σ έναν οργανισμό, έτσι ώστε η πολύ μικρή τιμή του S(ω) να μπορεί να αγνοηθεί. Η συνάρτηση κατανομής και η συμπληρωματική αυτής, δηλαδή η συνάρτηση επιβίωσης, απεικονίζονται στο Σχήμα 1.1. Σχήμα 1.1: Απεικόνιση της συνάρτησης κατανομής F() = P(T ) και της συνάρτησης επιβίωσης S() = P(T > ). 1.4 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(), της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής T ϑα ικανοποιεί τις κάτωθι συνθήκες (αʹ) f() για κάθε [, ), και (βʹ) f() d = 1. Αν είναι γνωστή η συνάρτηση κατανομής, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(), υπολογίζεται ως f() = d F( + ) F() F() = lim d = lim P( < T + ) το οποίο ισχύει όταν το χρονικό διάστημα είναι πολύ μικρό. Κατά προσέγγιση, η πιθανότητα P( < T + ) ισοδυναμεί με το γινόμενο f() και υποδηλώνει ότι ϑα συμβεί ένα γεγονός στο χρονικό διάστημα (, + ]. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να υπολογιστεί αν είναι γνωστή η συνάρτηση επιβίωση S(), δηλαδή f() = d S(). (1.4) d

19 1.5 Συνάρτηση Εντασης Κινδύνου 5 Η σχέση (1.4) δείχνει ότι η παραγώγιση της συνάρτησης επιβίωσης καθορίζει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του T. Το αρνητικό πρόσημο της (1.4) προκύπτει από την παραγώγιση της μη αρνητικής συνάρτησης f(), δεδομένου ότι η S() είναι φθίνουσα συνάρτηση. 1.5 Συνάρτηση Εντασης Κινδύνου Η συνάρτηση έντασης κινδύνου - hazard rae (HR) - τη χρονική στιγμή ορίζεται, ως το στιγμιαίο ποσοστό αποτυχίας τη στιγμή. Συμβολίζεται με h() και υπολογίζεται ως h() = 1 ds() = f() (1.5) S() d S() το οποίο είναι ισοδύναμο με h() = lim P(T (, + ] T ) P( < T + T ) = lim. (1.6) Από τη σχέση (1.5) προκύπτει ότι η ένταση κινδύνου είναι ένα στιγμιαίο ποσοστό αποτυχίας συνδεδεμένο με ένα ποσοστό επιβίωσης στο χρόνο. Η σχέση (1.6) εκφράζει την πιθανότητα να εκδηλωθεί ένα γεγονός τη χρονική στιγμή, δοθέντος ότι ο χρόνος έχει μεταβληθεί απειροελάχιστα κατά. Η ένταση κινδύνου μπορεί να γίνει κατανοητή ως η δεσμευμένη πιθανότητα αστοχίας σε σχέση με το όριο του χρονικού διαστήματος, δεδομένου ότι το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν. Σύμφωνα με αυτή τη στιγμιαία ιδιότητα, η ένταση κινδύνου ορίζεται ως ένταση ϑνησιμότητας ή ως στιγμιαίος κίνδυνος. Παρατήρηση 1.1. Στην ανάλυση επιβίωσης, η συνάρτηση της έντασης κινδύνου ϑεωρείται ως ο προτιμότερος δείκτης για την εκτίμηση της εμφάνισης κινδύνου ενός γεγονότος. Αυτό συμβαίνει λόγω της μεταβολής που χαρακτηρίζει τη συνάρτηση επιβίωσης. Η συνάρτηση της έντασης κινδύνου τη χρονική στιγμή μπορεί να γραφεί και ως h() = d ln S(). (1.7) d Από τη σχέση (1.7), προκύπτει ότι η ένταση κινδύνου ορίζεται μαθηματικά ως η παράγωγος του λογαρίθμου της συνάρτησης επιβίωσης τη χρονική στιγμή, πολλαπλασιασμένη με 1. Η συνάρτηση επιβίωσης είναι φθίνουσα, γι αυτό η συνάρτηση της έντασης κινδύνου είναι μη αρνητική. Οι παραπάνω σχέσεις φανερώνουν τη σύνδεση που έχουν μεταξύ τους οι συναρτήσεις f(), S() και h(). Από μαθηματική άποψη, οι σχέσεις αντικατοπτρίζουν διαφορετικές ερμηνείες μιας ενιαίας διάρκειας ζωής, με κάθε μία να παρέχει μια μοναδική πτυχή των δεδομένων επιβίωσης. Συνεπώς, κάθε μία από αυτές τις συναρτήσεις μπορεί να εκφραστεί άμεσα από μία άλλη. Για παράδειγμα, η πιθανότητα επιβίωσης S() μπορεί να εκφραστεί ως μετασχηματισμός της

20 6 Γνωστικό Υπόβαθρο συνάρτησης (1.7) { S() = exp } h(x)dx = exp[ H()], (1.8) όπου H() ορίζεται ως η αθροιστική συνάρτηση έντασης κινδύνου τη χρονική στιγμή, η οποία υπολογίζεται σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση H() = h(x)dx. Από τη σχέση (1.8), προκύπτει ότι η H() μπορεί να γραφεί ως ο λογάριθμος της S() H() = ln S(). Επιπλέον, από τις σχέσεις (1.5) και (1.8), προκύπτει ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(), μπορεί να γραφεί συναρτήσει της έντασης κινδύνου ως { f() = h() exp } h(x)dx. (1.9) Στο βιβλίο των Marshall και Olkin (27, Κεφάλαιο 1) υπάρχει η ακόλουθη πρόταση σύμφωνα με την οποία γνωστοποιούνται κάποιες προϋποθέσεις έτσι ώστε μία συνάρτηση h() να είναι συνάρτηση έντασης κινδύνου. Πρόταση 1.1. Από τις σχέσεις (1.5) και (1.8) προκύπτει ότι μία συνάρτηση h() ϑα είναι συνάρτηση έντασης κινδύνου μιας μη αρνητικής και συνεχής τυχαίας μεταβλητής T αν και μόνο εάν (αʹ) h() για κάθε >, (βʹ) (γʹ) (δʹ) h(x)dx < για κάποιο >, h()d =, h(x)dx =, υποδηλώνει h(z) = για κάθε z >. 1.6 Μέση Τιμή Η μέση τιμή του χρόνου T που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την f(), συμβολίζεται με E(T), είναι πεπερασμένη, δηλαδή E(T) <, και υπολογίζεται ως E(T) = f()d. (1.1)

21 1.7 Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής 7 Είναι γνωστό ότι f() = S (), γι αυτό ισχύει E(T) = S ()d στο οποίο αν εφαρμοστεί ολοκλήρωση κατά παράγοντες ϑα προκύψει E(T) = [ S()] + S()d και επειδή E(T) <, ϑα είναι [ S()] =. Συνεπώς, γνωρίζοντας τη συνάρτηση επιβίωσης S(), υπολογίζεται η μέση τιμή του χρόνου T ως E(T) = S()d. 1.7 Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής Το γεγονός ότι υπάρχει επιβίωση μέχρι τη χρονική στιγμή, δημιουργεί το ερώτημα «σε ποια χρονική στιγμή μετά την, δεν ϑα υπάρχει επιβίωση». Η υπολειπόμενη διάρκεια ζωής παρουσιάζει σημαντικό πρακτικό ενδιαφέρον γιατί τα αποτελέσματα της μελέτης αυτής, είναι αρκετά χρήσιμα. Η τυχαία μεταβλητή T εκφράζει το χρόνο ζωής και έχει συνάρτηση επιβίωσης την S(), για την οποία ισχύει S() = 1, τότε η τυχαία μεταβλητή X = T T > ϑα ορίζεται ως εναπομείναν ή υπολειπόμενος χρόνος ζωής δοθέντος ότι υπάρχει επιβίωση στην ηλικία. Η συνάρτηση επιβίωσης του υπολειπόμενου χρόνου ζωής συμβολίζεται με S(x ), και για S() > υπολογίζεται ως S(x ) = P(T > + x T > ) = S( + x) S() Είναι κατανοητό ότι, η συνάρτηση επιβίωσης S(x ) ορίζεται σαν μια δεσμευμένη πιθανότητα. Εφόσον υπάρχει η συνάρτηση επιβίωσης S(x ), αυτό σημαίνει ότι ϑα υπάρχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x ) καθώς και ένταση κινδύνου h(x ) Μέσος Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής Ο μέσος υπολειπόμενος χρόνος ζωής ή η μέση εναπομείναν ζωή - mean residual lifeime (MRL) - εκφράζει το μέσο χρόνο ζωής που απομένει μετά την ηλικία, συμβολίζεται με m(), και υπολογίζεται ως m() = E(T T > ) = 1 S() S(x)dx. (1.11)

22 8 Γνωστικό Υπόβαθρο Είναι προφανές ότι για κάθε = ισχύει S() = 1 και m() = E(T). Η μελέτη του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής, στοχεύει στην εκτίμηση του χρονικού περιθώριου ζωής που έχει ένα μηχάνημα ή ένας οργανισμός. Συγκεκριμένα, οι δοκιμές που έχουν πραγματοποιηθεί στον τομέα της μηχανικής, στοχεύουν στην πρόβλεψη αντικατάστασης ή επιδιόρθωσης μηχανημάτων, μέσω των πληροφοριών που παρέχει η συνάρτησή του. Συμπέρασμα 1.1. Ο μέσος υπολειπόμενος χρόνος ζωής έχει αποδειχτεί πιο α- ξιόπιστη πηγή πληροφοριών από τη συνάρτηση της έντασης κινδύνου. Αυτό συμβαίνει γιατί ο μέσος υπολειπόμενος χρόνος ζωής συνοψίζει όλη την κατανομή του χρόνου ζωής, ενώ η ένταση κινδύνου σχετίζεται με το στιγμιαίο κίνδυνο αποτυχίας. Γενικά m(), ωστόσο δεν προκύπτει ότι κάθε μη αρνητική συνάρτηση ϑα είναι συνάρτηση μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής. Στο βιβλίο των Shaked και Shanhikumar (27, Κεφάλαιο 2), υπάρχει η ακόλουθη πρόταση σύμφωνα με την οποία γνωστοποιούνται κάποιες προϋποθέσεις έτσι ώστε μία συνάρτηση m() να είναι συνάρτηση μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής. Πρόταση 1.2. Μία συνάρτηση m() ϑα είναι συνάρτηση μέσου υπολεπόμενου χρόνου ζωής μιας μη αρνητικής και συνεχής τυχαίας μεταβλητής T αν και μόνο έαν (αʹ) m() < για κάθε, (βʹ) m() >, (γʹ) m() είναι συνεχής συνάρτηση, (δʹ) m() + είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς, (εʹ) υπάρχει τέτοιο ώστε m( ) =, τότε m() = για όλα εκείνα τα, 1 διαφορετικά όταν δεν υπάρχει με m( ) =, τότε d =. m() 1.9 Σύνδεση Συναρτήσεων Στο βιβλίο των Lai και Xie (25, Κεφάλαιο 4), παρουσιάζονται οι ακόλουθες σχέσεις για το μέσο υπολειπόμενο χρόνο ζωής, την ένταση κινδύνου και τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Ο μέσος υπολειπόμενος χρόνος ζωής της σχέσης (1.11) παραγωγίζεται και προκύπτει m () = S() 2 + f() S() 2 S(x)dx το οποίο ισοδυναμεί με τη σχέση m () = h()m() 1 (1.12)

23 1.1 Ανάλυση 9 η οποία διαφορετικά γράφεται ως h() = m () + 1 m(). (1.13) Παρατήρηση 1.2. Αν m () > για =, τότε από τη σχέση (1.12) προκύπτει h()m() > 1. Από την πρώτη ισότητα της σχέσης (1.8) και από την (1.13) προκύπτει η συνάρτηση επιβίωσης S() = m() { } m() exp 1 m(x) dx (1.14) ενώ, από τις σχέσεις (1.5), (1.13) και (1.14) προκύπτει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f() = m() { [m () + 1] } 1 exp [m()] 2 m(x) dx (1.15) αυτό σημαίνει ότι η κατανομή της διάρκειας ζωής προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο από το μέσο υπολειπόμενο χρόνο ζωής. Η συνάρτηση επίβιωσης S(), η συνάρτηση της έντασης κινδύνου h() και η συνάρτηση του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής m() είναι ισοδύναμες ποσότητες με την έννοια, πως αν μία από αυτές είναι γνωστή, τότε οι άλλες δύο μπορεί να προσδιορισθούν, υποθέτοντας ότι υπάρχουν. 1.1 Ανάλυση Σε αυτή την ενότητα αναφέρονται περιεκτικά, βασικές έννοιες Μαθηματικής Α- νάλυσης, σύμφωνα με το βιβλίο του Ρασσιά (24, Κεφάλαια 2 και 6). Αυτή η αναφορά, στοχεύει στην κατανόηση και την ερμηνεία της γραφικής συμπεριφοράς των προαναφερθέντων συναρτήσεων. Αρχικά ορίζεται η έννοια της μονοτονίας μιας οποιασδήποτε συνάρτησης. Μονοτονία Ορισμός 1.1. Εστω μία συνάρτηση g : A R, όπου A R, και ένα υποσύνολο αυτού B. Τότε για οποιαδήποτε δύο σημεία που ανήκουν στο B, η συνάρτηση g ϑα λέγεται ˆ αύξουσα - increasing - στο B, αν για 1 < 2 ισχύει ότι g( 1 ) g( 2 ), ˆ φθίνουσα - decreasing - στο B, αν για 1 < 2 ισχύει ότι g( 1 ) g( 2 ), ˆ γνησίως αύξουσα στο B, αν για 1 < 2 ισχύει ότι g( 1 ) < g( 2 ), ˆ γνησίως φθίνουσα στο B, αν για 1 < 2 ισχύει ότι g( 1 ) > g( 2 ),

24 1 Γνωστικό Υπόβαθρο ˆ μονότονη - monoonic - στο B, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα, ˆ γνησίως μονότονη στο B, αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Στη συνέχεια, ακολουθεί ο ορισμός των ολικών ακροτάτων μίας συνάρτησης καθώς και ένα ϑεώρημα για τα τοπικά ακρότατα μίας συνάρτησης. Ακρότατα Ορισμός 1.2. Εστω μία συνάρτηση g : A R, όπου A R. Τότε σ ένα σημείο A, η συνάρτηση g ϑα παρούσιάζει ˆ μέγιστο ή ολικό μέγιστο, αν ισχύει ότι g() g( ) για κάθε A, ˆ ελάχιστο ή ολικό ελάχιστο, αν ισχύει ότι g() g( ) για κάθε A. Θεώρημα 1.1. Εστω μία συνάρτηση g() συνεχής στο διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στα διαστήματα (a, ), (, b). Τότε ϑα ισχύουν τα ακόλουθα. (αʹ) Αν g () > στο (a, ) και g () < στο (, b), τότε η g() έχει τοπικό μέγιστο στο. (βʹ) Αν g () < στο (a, ) και g () > στο (, b), τότε η g() έχει τοπικό ελάχιστο στο. Τέλος αναφέρονται, ένα ϑεώρημα το οποίο περιγράφει τις προϋποθέσεις για τη μορφή κυρτότητας μιας συνάρτησης, ένας ορισμός του σημείου καμπής καθώς και ένα συνδυαστικό ϑεώρημα. Κυρτότητα Θεώρημα 1.2. Εστω μία συνάρτηση g : A R, συνεχής στο διάστημα A και δύο φορές παραγωγήσιμη στο εσωτερικό του A. Τότε για κάθε εσωτερικό σημείο του A ϑα ισχύουν τα ακόλουθα. ˆ Αν g (), τότε η g είναι κυρτή - convex - στο A. ˆ Αν g (), τότε η g είναι κοίλη - concave - στο A. Ορισμός 1.3. Εστω μία συνάρτηση g : A R, μ ένα σημείο A. Τότε το σημείο (, g( )) ϑα λέγεται σημείο καμπής της συνάρτησης g αν αυτή είναι (αʹ) συνεχής στο, (βʹ) είναι κυρτή αριστερά του και κοίλη δεξιά του ή αντίστροφα, (γʹ) παραγωγίσιμη στο ή η παράγωγος g ( ) απειρίζεται ϑετικά ή αρνητικά.

25 1.11 Απεικόνιση Συναρτήσεων 11 Παρατήρηση 1.3. Η ύπαρξη σημείου καμπής, υποδηλώνει ότι σε αυτό το σημείο υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Θεώρημα 1.3. Εστω μία συνάρτηση g : A R δύο φορές παραγωγίσιμη στο σημείο, A και g ( ) =. Τότε ϑα ισχύουν τα ακόλουθα ˆ αν g ( ) >, τότε η g έχει τοπικό ελάχιστο στο, ˆ αν g ( ) <, τότε η g έχει τοπικό μέγιστο στο, ˆ αν g ( ) = και g ( ), τότε το ϑα υποδηλώνει σημείο καμπής Απεικόνιση Συναρτήσεων Σε αυτή την ενότητα ϑα μελετηθεί η απεικόνιση της έντασης κινδύνου και του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής. Συγκεκριμένα, ϑα γίνει εκτενής προσέγγιση για το λεκανοειδές σχήμα της έντασης κινδύνου, ϑα αναλυθούν οι προϋποθέσεις οι οποίες συνδέουν γραφικά τις δύο συναρτήσεις και ϑα παρουσιαστούν αρκετές εφαρμογές στις οποίες ϑα αποδεικνύεται η γραφική σύνδεση που υπάρχει μεταξύ των συναρτήσεων Απεικόνιση Εντασης Κινδύνου Κατά κύριο λόγο, η συνάρτηση της ένταση κινδύνου h() μπορεί να είναι μονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα, να έχει λεκανοειδές σχήμα - bahub shaped (BT) - ή ανάποδο λεκανοειδές σχήμα - upside-down bahub shaped (UBT), να έχει τροποποιημένο λεκανοειδές σχήμα αν η h() είναι αρχικά αύξουσα και στη συνέχεια με λεκανοειδές σχήμα, ή να έγει γενικευμένο λεκανοειδές σχήμα αν η h() είναι πολυωνυμική συνάρτηση. Στο βιβλίο των Lai και Xie (25, Κεφάλαιο 2), παρουσιάζεται ο ακόλουθος ορισμός, στον οποίο ορίζεται η απεικόνιση της έντασης κινδύνου. Ορισμός 1.4. Εστω μια συνάρτηση έντασης κινδύνου h(), παραγωγίσιμη με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών τους ϑετικούς πραγματικούς αριθμούς, τότε αυτή ορίζεται να ˆ είναι γνησίως αύξουσα, αν h () > για όλα τα, ˆ είναι γνησίως φθίνουσα, αν h () < για όλα τα, ˆ έχει λεκανοειδές σχήμα, αν h () < για (, ) και h ( ) =, h () > για >, ˆ έχει ανάποδο λεκανοειδές σχήμα, αν h () > για (, ) και h ( ) =, h () > για >, ˆ έχει τροποποιημένο λεκανοειδές σχήμα, αν η h() είναι αρχικά αύξουσα και στη συνέχεια έχει λεκανοειδές σχήμα.

26 12 Γνωστικό Υπόβαθρο Λεκανοειδές Σχήμα Σύμφωνα με τον Singpurwalla (26), είναι γεγονός ότι η απεικόνιση της έντασης κινδύνου μπορεί να παραπέμπει σε λεκανοειδές σχήμα. Η καμπύλη του λεκανοειδούς σχήματος αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα αρκετών εφαρμογών. Για παράδειγμα μπορεί να ερμηνεύσει το χρόνο ζωής των ανθρώπων ή το χρόνο λειτουργίας τεχνολογικών συσκευών. Από το Σχήμα 1.2 είναι εμφανές ότι η λεκανοειδής καμπύλη μπορεί να χωριστεί σε τρία τμήματα. Το αριστερό τμήμα αντιστοιχεί σε φθίνουσα συνάρτηση και μπορεί να οριστεί ως η φάση «πρώιμης ϑνησιμότητας», το μεσαίο τμήμα είναι σταθερό και ορίζεται ως «τυχαία» φάση, ενώ το δεξί τμήμα αντιστοιχεί σε αύξουσα συνάρτηση και μπορεί να οριστεί ως η φάση «γήρανσης» ή φάση «φθοράς». Σχήμα 1.2: Μοντέλο λεκανοειδούς καμπύλης. Η ερμηνεία της λεκανοειδούς καμπύλης ϑεωρείται σημαντική. Στην επιστήμη που μελετά τα μηχανήματα, το αριστερό τμήμα της καμπύλης αντιστοιχεί στην πρώιμη εξέλιξη ενός νέου μηχανήματος, στο οποίο μπορεί να υπάρχουν λάθη στο σχεδιασμό του ή λάθη στη διαδικασία παραγωγής του. Αυτή η φάση ονομάζεται πρώιμη εμφάνιση ελαττωμάτων και μπορεί να πυροδοτήσει μια αρκετά νωρίς, χρονικά αποτυχία. Συνεπώς, η αρχική συνάρτηση της έντασης κινδύνου είναι φθίνουσα γιατί προέρχεται από μία φθίνουσα συνάρτηση ως προς το χρόνο. Οταν το σύστημα δεν υφίσταται αποτυχία εξαιτίας των πρώιμων ελαττωμάτων τότε η αποτυχία που ϑα επέλθει, ϑα οφείλεται σε παράγοντες που δεν μπορούν να εξηγηθούν. Συνεπώς, η μεσαία φάση της έντασης κινδύνου είναι σταθερή σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν το μηχάνημα καταφέρει να επιβιώσει από τη μεσαία φάση, τότε η αποτυχία που ϑα επέλθει, είναι απόρροια της αλλοίωσης και της φθοράς. Συνεπώς, στην τελική φάση, η ένταση κινδύνου είναι μία αύξουσα συνάρτηση ως προς το χρόνο, γιατί καθώς περνούν τα χρόνια, η χρήση του μηχανήματος λειτουργεί ως παράγοντας φθοράς. Το λεκανοειδές σχήμα της έντασης κινδύνου χρησιμοποιείται και από τους αναλογιστές για να τεκμηριωθούν τα ασφαλιστήρια συμβόλαια. Η πρώιμη περίοδος ϑνησιμότητας ϑεωρείται ότι είναι από τη στιγμή της γέννησης μέχρι το 1 o έτος, η τυχαία φάση είναι από το 1 o έως το 3 o έτος, ενώ η περίοδος γήρανσης ξεκινά από το 3 o έτος, όπου τα ασφαλιστήρια συμβόλαια αυξάνον-

27 1.11 Απεικόνιση Συναρτήσεων 13 ται. Αναλυτικότερα, η ένταση ϑνησιμότητας των ανθρώπων στην πρώιμη περίοδο, δηλαδή μετά τη γέννηση, είναι αρκετά υψηλή γιατί ο κίνδυνος ϑανάτου είναι υψηλός. Αυτή η γνώση εφοδιάζει την πολιτική των ασφαλιστικών εταιρει- ών, έτσι ώστε να συνάπτουν συμβόλαια που τίθονται σε ισχύ 15 μέρες μετά από τη γέννηση. Οι αιτίες ϑανάτου μεταξύ των ηλικιών 1 έως 3 εικάζεται ότι είναι τυχαίες και παρατηρούνται εξαιτίας γεγονότων, όπως επιδημιών ή πολέμων. Η περίοδος γήρανσης υποτίθεται ότι ξεκινά στην ηλικία των 3. Το λεκανοειδές σχήμα της έντασης κινδύνου αποτελεί λογική εξιδανίκευση στην περίπτωση των ανθρώπων. Ωστόσο το ίδιο δε συμβαίνει πάντα για συγκεκριμένα μηχανικά και βιολογικά συστήματα. Σε πολλά μηχανήματα, η περίπτωση της σταθερής έντασης κινδύνου δεν αποδίδει νόημα μεστού περιεχομένου γιατί, το σύστημα ούτε βελτιώνεται ούτε αλλοιώνεται με τη χρήση. Τα συστήματα που έχουν λεκονοειδές σχήμα έντασης κινδύνου, μπορούν να απεικονιστούν με μορφή που δίνεται στο Σχήμα 1.3. Σχήμα 1.3: Λεκανοειδές σχήμα για την ένταση κινδύνου. Για τα συστήματα που δεν υφίστανται φθορά, ϑεωρείται πιο κατάλληλη η γνησίως φθίνουσα μορφή. Αυτά απεικονίζονται στο Σχήμα 1.4(α ). Για τα συστήματα που δεν υφίστανται πρώιμη ϑνησιμότητα, ϑεωρείται πιο κατάλληλη η γνησίως αύξουσα μορφή ή η σταθερή μορφή ή η αρχικά σταθερή και στη συνέχεια αύξουσα μορφή. Αυτά απεικονίζονται στο Σχήμα 1.4(β ). (αʹ) (βʹ) Σχήμα 1.4: Φθίνουσα καμπύλη (α ) και αύξουσα καμπύλη (β ) για την ένταση κινδύνου.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Opinion Mining Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr Μάιος 2014 Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Περιεχόμενα Εισαγωγή Εφαρμογές ομή μιας άποψης Είδη απόψεων Προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων Περίληψη Κεφαλαίου: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά χαρακτηριστικά του μείγματος Marketing (Μ.Κ.Τ.), στο πλαίσιο της εύρυθμης λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αγρίνιο, 28 06 2012 ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αγρίνιο, 28 06 2012 ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αγρίνιο, 28 06 2012 ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Σχετικά με τις ΚΑΤΑΤΑΞΕΙΣ πτυχιούχων Α.Ε.Ι., Τ.Ε.Ι., ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Υπερδιετούς

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε:

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε: Ο διαγωνισμός της Εθνικής Σχολής Δημόσιας Διοίκησης προϋποθέτει, ως γνωστόν, συνδυασμό συνδυαστικής γνώσης της εξεταστέας ύλης και θεμάτων πολιτικής και οικονομικής επικαιρότητας. Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ. Πραγματοποιούν Χειμερινό Σχολείο με Θέμα: «Υποστήριξη ασθενών με καρκίνο και των φροντιστών τους»

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ. Πραγματοποιούν Χειμερινό Σχολείο με Θέμα: «Υποστήριξη ασθενών με καρκίνο και των φροντιστών τους» ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Το Τμήμα του, το ΓΟΝ «Άγιοι, το ΠΜΣ «ΜΕΘ και Επείγουσα Νοσηλευτική» και η Ελληνική Εταιρεία Έρευνας και Εκπαίδευσης (ΕΕΝΕΕ) Πραγματοποιούν Χειμερινό Σχολείο με Θέμα: «Υποστήριξη ασθενών με καρκίνο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.5: Εντοπισμός Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Δεδομένου ότι στο νέο παγκόσμιο οικονομικό περιβάλλον, η

Κεφάλαιο 2.5: Εντοπισμός Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Δεδομένου ότι στο νέο παγκόσμιο οικονομικό περιβάλλον, η Κεφάλαιο 2.5: Εντοπισμός Επιχειρηματικών Ευκαιριών Περίληψη Κεφαλαίου: Δεδομένου ότι στο νέο παγκόσμιο οικονομικό περιβάλλον, η κοινωνική οικονομία προσφέρει μία διαφορετική προσέγγιση στην τοπική ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ & ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΣΕΠΕ ΟΑΕ ΙΚΑ ΕΤΑΜ ΡΟΕΣ ΜΙΣΘΩΤΗΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΣΤΟΝ ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΤΟΜΕΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2013

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ & ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΣΕΠΕ ΟΑΕ ΙΚΑ ΕΤΑΜ ΡΟΕΣ ΜΙΣΘΩΤΗΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΣΤΟΝ ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΤΟΜΕΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ & ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΣΕΠΕ ΟΑΕ ΙΚΑ ΕΤΑΜ ΡΟΕΣ ΜΙΣΘΩΤΗΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΣΤΟΝ ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΤΟΜΕΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2013 2013: Ο ΠΡΩΤΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΠΣ «ΕΡΓΑΝΗ» Μονάδα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων

1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων 1. Η Μακροοικονομική ασχολείται με τη λειτουργία και τα προβλήματα: α) των δημοσίων επιχειρήσεων και των οργανισμών. β) των ιδιωτικών επιχειρήσεων γ) του στενού δημόσιου τομέα. δ) της συμπεριφοράς ολόκληρης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.6: Η Διαδικασία Εντοπισμού Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Το έκτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ευρύτερη έννοια της

Κεφάλαιο 2.6: Η Διαδικασία Εντοπισμού Επιχειρηματικών Ευκαιριών. Το έκτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ευρύτερη έννοια της Κεφάλαιο 2.6: Η Διαδικασία Εντοπισμού Επιχειρηματικών Ευκαιριών Περίληψη Κεφαλαίου: Το έκτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ευρύτερη έννοια της Επιχειρηματικής Ευκαιρίας, τα στάδια εντοπισμού της και τους γενικότερους

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. «Κεφάλαιο» «Περιουσία» «Περιουσία» Οικονομική επιστήμη «μέσων», «ανάγκες» «αγαθά» Επιχειρήσεων.

Παράδειγμα. «Κεφάλαιο» «Περιουσία» «Περιουσία» Οικονομική επιστήμη «μέσων», «ανάγκες» «αγαθά» Επιχειρήσεων. (ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ) Οικονομική μονάδα είναι ο συστηματικός συνδυασμός των συντελεστών της παραγωγής (φύση, εργασία, κεφάλαιο) με τον οποίο αποσκοπείται η παραγωγή αγαθών ή η προσφορά υπηρεσιών για την κάλυψη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 1 ΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Οι τάξεις της Β και Γ Λυκείου είναι χωρισμένες σε τρείς Κατευθύνσεις Θεωρητική, Θετική, Τεχνολογική Οι Σχολές είναι ταξινομημένες σε πέντε επιστημονικά πεδία 1 ο ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός

Γιάννης Ι. Πασσάς. Γλώσσα. Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Γιάννης Ι. Πασσάς Γλώσσα Οι λειτουργίες της γλώσσας Η γλωσσική 4εταβολή και ο δανεισ4ός Αρχή πάντων ορισµός εστί Γλώσσα: Κώδικας ση4είων ορισ4ένης 4ορφής (γλωσσικής), 4ε τα ο

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη. Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών

Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη. Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών Ολοκληρωμένη Χωρική Ανάπτυξη Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού Και Αξιολόγησης (ΕΥΣΣΑ) Μονάδα Α Στρατηγικής και Παρακολούθησης Πολιτικών Ξάνθη, 12 Μαΐου 2015 Χωρική Συνοχή σύνολο αρχών για την αρμονική,

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κινητική Μάθηση Μέρος Πρώτο : Ανθρώπινη απόδοση εκτέλεση 1. Εισαγωγή «Η ικανότητα που έχει κάποιος, να πετυχαίνει ένα τελικό αποτέλεσμα με την μεγαλύτερη δυνατή σιγουριά και τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 40 Ένταση και πυκνότητα χορήγησης χημειοθεραπείας

Κεφάλαιο 40 Ένταση και πυκνότητα χορήγησης χημειοθεραπείας Κεφάλαιο 40 Ένταση και πυκνότητα χορήγησης χημειοθεραπείας Χ. Ζουμπλιός ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο ιδανικός στόχος κάθε θεραπευτικής αγωγής είναι η ίαση. Στην κλινική πράξη όμως, για πάρα πολλά νοσήματα ό λων των ειδικοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ Εργασία για το µάθηµα του εαρινού εξαµήνου του µεταπτυχιακού προγράµµατος του τµήµατος Επικοινωνίας & Μέσων Μαζικής Ενηµέρωσης του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

Συνιστώσες Βιώσιμης Ανάπτυξης

Συνιστώσες Βιώσιμης Ανάπτυξης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Συνιστώσες Βιώσιμης Ανάπτυξης 1 Η στρατηγική ανάπτυξης των αστικών κέντρων αναπτύσσεται ως συνδυασμός τεσσάρων στοιχείων. Πολυκεντρικότητα Δικτύωση Βελτίωση και ανάπτυξη των υποδομών

Διαβάστε περισσότερα

Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο

Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Α) Το γενικό πλαίσιο.ε.π.π.σ. και Α.Π.Σ. Β) Ο Υπολογιστής στην τάξη Γ) Ενδεικτικές ραστηριότητες Α) Το γενικό πλαίσιο.ε.π.π.σ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 52 Ανακάλυψη και ανάπτυξη νέων. νέων αντινεοπλασματικών φαρμάκων

Κεφάλαιο 52 Ανακάλυψη και ανάπτυξη νέων. νέων αντινεοπλασματικών φαρμάκων Κεφάλαιο 52 Ανακάλυψη και ανάπτυξη νέων αντινεοπλασματικών φαρμάκων Α. Γ. Πάλλης Α. Καλυκάκη Β. Γεωργούλιας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στον ανεπτυγμένο κόσμο περίπου ένα στα τρία άτομα θα προσβληθεί κάποια στιγμή της ζωής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Μελέτες Περιβαλλοντικών επιπτώσεων

ΘΕΜΑ: Μελέτες Περιβαλλοντικών επιπτώσεων ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ: Μελέτες Περιβαλλοντικών επιπτώσεων 1 8.α. Μελέτη Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων Μελέτη Περιβαλλοντικών Επιπτώσεων (ΜΠΕ) ονομάζεται η εμπεριστατωμένη και τεκμηριωμένη επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

«Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας»

«Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Κατεύθυνση Εφαρμοσμένης Φυσικής «Απόδοση φωτοβολταϊκών στοιχείων και φωτοβολταϊκών συστημάτων υπό συνθήκες σκίασης και χαμηλής έντασης ακτινοβολίας»

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου

Κανονισμός Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου Κανονισμός Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου Άρθρο 1 Γενικές Διατάξεις και Αντικείμενο του Κανονισμού Η δομή, η οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου

«Εξατομικεύοντας την επιλογή των πόρων των ψηφιακών βιβλιοθηκών για την υποστήριξη της σκόπιμης μάθησης» Άννα Μαρία Ολένογλου ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΌ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εργασία στο μάθημα «Ψηφιακές Βιβλιοθήκες» Παρουσίαση του άρθρου (ECDL, 2008, LNCS,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Νοημοσύνη

Υπολογιστική Νοημοσύνη Υπολογιστική Νοημοσύνη Σημερινή Διάλεξη Περιεχόμενο μαθήματος Διαδικαστικά Εργασίες Μαθήματος Εισαγωγή στο αντικείμενο του μαθήματος Εφαρμογές 1 Περιεχόμενο μαθήματος οµή και Χαρακτηριστικά ενός Γενετικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 29 Βασικές αρχές ακτινοβιολογίας

Κεφάλαιο 29 Βασικές αρχές ακτινοβιολογίας Κεφάλαιο 29 Βασικές αρχές ακτινοβιολογίας Θ. Αντωνάδου Ν. Θρουβάλας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η σημασία της ακτινοβιολογίας στην ακτινοθεραπεία Ο ρόλος της ακτινοθεραπείας στην αντιμετώπιση του καρκίνου Η ακτινοθεραπεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ & ΕΡΕΥΝΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφοριακή Επιχειρηματικότητα

Συμπεριφοριακή Επιχειρηματικότητα Συμπεριφοριακή Επιχειρηματικότητα Great talent can come from anywhere, free your mind Το ταλέντο μπορεί να εμφανιστεί από οπουδήποτε, ελευθερώστε το μυαλό σας 1 Επιχειρηματίας Entrepreneur Γαλλική προέλευση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Κλάδος: ΠΕ 60 ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Ειδική Διδακτική και Παιδαγωγικά Γενική Διδακτική) Κυριακή 1-2-2009 ΕΡΩΤΗΜΑ 2ο: Την τελευταία περίπου πενταετία εφαρμόζεται στα νηπιαγωγεία

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΒΑΡΗ 01-013 Μπίλιας Κων/νος Φυσικός

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3.2. Γυναικεία Απασχόληση. Στη δεύτερη ενότητα αναλύεται διεξοδικά η σημασία της γυναικείας

Ενότητα 3.2. Γυναικεία Απασχόληση. Στη δεύτερη ενότητα αναλύεται διεξοδικά η σημασία της γυναικείας Ενότητα 3.2. Γυναικεία Απασχόληση Περίληψη Ενότητας: Στη δεύτερη ενότητα αναλύεται διεξοδικά η σημασία τ γυναικείας απασχόλησ και επιχειρηματικότητας στη σύγχρονη κοινωνία. Επιπρόσθετα, αναλύονται προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ΑΙΡΕΣΙΜΟΤΗΤΕΣ

ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ΑΙΡΕΣΙΜΟΤΗΤΕΣ ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ΑΙΡΕΣΙΜΟΤΗΤΕΣ Πρόοδος εκπλήρωσης Ε.Π. «Περιφέρειας Κεντρικής Μακεδονίας 2014 2020» Εθνική Αρχή Συντονισμού ΕΣΠΑ Ειδική Υπηρεσία Στρατηγικής, Σχεδιασμού & Αξιολόγησης 19 Ιουνίου 2015 ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΙΟΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Διπλωματική εργασία Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Οικονομικών Καταστάσεων της ΠΑΕ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ

Ανάλυση Οικονομικών Καταστάσεων της ΠΑΕ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Λογιστικής ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: Ανάλυση Οικονομικών Καταστάσεων της ΠΑΕ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ του Στέλιου Λεβέντη (ΑΜ 9668) Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα