Programming Problem)... 43

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Programming Problem)... 43"

Transcript

1 Περιεχόμενα Πρόλογος 21 1 Εισαγωγή Επιχειρησιακή Ερευνα Μαθηματικός Προγραμματισμός Προτυποποίηση Προβλημάτων Προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού (Linear Programming Problems) Προβλήματα Μη - Γραμμικού Προγραμματισμού (Non- Linear Programming Problems-NLP) Προβλήματα Ακεραίου Προγραμματισμού (Integer Programming Problems) Προβλήματα Τετραγωνικού Προγραμματισμού (Quadratic Programming Problems) Προβλήματα Στοχαστικού Προγραμματισμού (Stochastic Programming Problem) Προβλήματα Πολυκριτήριου Προγραμματισμού (Multiobjective Programming Problem) Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Πρόβλημα Εκχώρησης ή Ανάθεσης (Assignment Problem) Το Πρόβλημα της Ικανοποίησης (Satisfiability Problem) Το Πρόβλημα του Σακιδίου (The Knapsack Problem) To Pr oblhma twn Pollapl wn Sakid iwn (Multiple Knapsack Problem) Το Γενικευμένο Πρόβλημα Εκχώρησης (Generalized Assignment Problem - GAP) Το Πρόβλημα Συσκευασίας σε Κουτιά (Bin packing problem)

2 6 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 2 Στοιχεία από τη Θεωρία Γραφημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Γραφημάτων - Βασικές έννοιες της ϑεω- ϱίας γραφημάτων Προσανατολισμένο Γράφημα Υπογραφήματα (Subgraphs) ή Μερικά Γραφήματα (Partial Graphs) Διαδρομές και συνεκτικότητα Τ ομές και συνεκτικότητα Επαναπροσανατολισμός γραφήματος Διμελή και Επίπεδα Γραφήματα Κύκλοι και διαδρομές Euler και Hamilton Δένδρα και δάση Ανεξαρτησία, Κυριαρχία και Κάλυψη Μήτρες και διανύσματα Ροές σε γραφήματα Απλοποιήσεις Ασκήσεις Παραδείγματα Προτυποποίησης Προβλημάτων Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης Παραδείγματα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής (Shortest Path Problem) Το πρόβλημα ϱοής ελαχίστου κόστους (Minimum Cost Flow Problem) Το πρόβλημα της μέγιστης ϱοής (Maximum Flow Problem) Το πρόβλημα του ελάχιστου τανύοντος δένδρου (Minimum Spanning Tree) Το πρόβλημα του μέγιστου τανύοντος δένδρου (Maximum Spanning Tree) Τ ο πρόβλημα της Σύζευξης (Matching) Το πρόβλημα του χρωματισμού (Coloring Problem) Το πρόβλημα της μεταφοράς (Transportation Problem) Το πρόβλημα των πολυροών εμπορευμάτων σε δίκτυα (Multicommodity Flow Problem) Το πρόβλημα της μέγιστης κλίκας γραφήματος (Maximum clique)

3 Περιεχόμενα Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem -TSP) Το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων (Vehicle Routing Problem -VRP) Το πρόβλημα του Κινέζου ταχυδρόμου (Chinese Postman Problem) Το πρόβλημα του σχεδιασμού δικτύου (Network Design) Το πρόβλημα του προγραμματισμού πληρωμάτων (Crew Scheduling Problem) Ασκήσεις Αλγοριθμική Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Η έννοια του αλγορίθμου Ασυμπτωτικές σχέσεις συναρτήσεων Πρόβλημα, υπόδειγμα και μέγεθος δεδομένων Πολυπλοκότητα Συγκρίσεις αλγορίθμων Ασκήσεις και Προβλήματα Ταξινόμηση Προβλημάτων Εισαγωγή Μορφές προβλήματος συνδυαστικής ϐελτιστοποίησης Οι τάξεις P, NP και Co NP Μη-αιτιοκρατικοί πολυωνυμικοί αλγόριθμοι Πολυωνυμικός μετασχηματισμός και πολυωνυμική αναγωγή NP πλήρη και NP δύσκολα προβλήματα Μικρός κατάλογος γνωστών NPC προϐλημάτων Ασκήσεις και Προβλήματα Δομές Δεδομένων Στοιχειώδεις αφηρημένες δομές Διακριτό σύνολο Απεικόνιση Κατάλογος ή γραμμική λίστα Στοίβα και ουρά Υλοποίηση στοιχειωδών δομών Υλοποίηση διακριτού συνόλου Υλοποίηση απεικόνισης

4 8 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Υλοποίηση Στοίβας Υλοποίηση ουράς Δομές δένδρων Διαζευκτικά διακριτά σύνολα Ουρά προτεραιότητας και σωρός Υλοποίηση σωρού με απλή παράταξη ως πλήρες δυαδικό δένδρο Αύξουσα ή ϕθίνουσα διάταξη n τιμών (Heapsort) Δομές δεδομένων για γραφήματα Ανίχνευση Γραφημάτων Εισαγωγή Πρόβλημα Πρόσβασης (ΠΠ) Πρόβλημα Διαδρομής (ΠΔ) Πρόβλημα Διαχωριστικής Τ ομής (ΠΔΤ ) Δομή δεδομένων στοίβα Δομή δεδομένων ουρά Ανίχνευση πρώτα κατά ϐάθος DFS Ανίχνευση πρώτα κατά πλάτος BFS Ανίχνευση κατά πλάτος BS Ανίχνευση κατά ϐάθος DS Τ οπολογική διάταξη γραφήματος Οπισθοϊχνηλασία Ασκήσεις Πρόβλημα Εύρεσης Συντομότερης Διαδρομής και Διακριτός Δυναμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Μορφοποίηση του προβλήματος εύρεσης συντομότεϱης διαδρομής Ανάλυση αλγορίθμων επίλυσης προβλημάτων εύϱεσης συντομότερης διαδρομής Προβλήματα του Dijkstra με τη χρήση αρνητικών τόξων και ο αλγόριθμος Ford Διακριτός Δυναμικός Προγραμματισμός Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall Ασκήσεις Το Πρόβλημα της Μέγιστης Ροής 407

5 Περιεχόμενα Εισαγωγή Μορφοποίηση προβλήματος Αλγοριθμική επίλυση προβλήματος Ο αλγόριθμος Dinic Ασκήσεις Πρόβλημα Ροής Ελαχίστου Κόστους Εισαγωγή Αλγόριθμος Κατάργησης Κυκλικών Διαδρομών (Cycle Canceling Algorithm) Αλγόριθμος διαδοχικών συντομότερων διαδρομών (Successive Shortest Path) Ελάχιστα τανύοντα δένδρα Εισαγωγή Μορφοποίηση προβλήματος - Μαθηματικά πρότυπα για το πρό- ϐλημα MST Ο αλγόριθμος PRIM Ο αλγόριθμος Kruskall Ο αλγόριθμος Solin-Boruvska Πολυπλοκότητα αλγορίθμων Αλγόριθμος εύρεσης διακλάδωσης μεγίστου κόστους Μητροειδή προβλήματα και αλγόριθμοι απληστίας Μητροειδή Τ ομή μητροειδών Ασκήσεις Αλγόριθμος διακλάδωσης και οριοθέτησης Εισαγωγή Η διαδικασία διακλάδωσης και οριοθέτησης με τη χρήση χαλα- ϱωμένου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Κριτήρια διακοπής της ανάπτυξης του δένδρου απα- ϱίθμησης Υποδιαιρέσεις Επιλογή κόμβων Επιλογή μεταβλητής διακλάδωσης Ασκήσεις Βιβλιογραφία 516

6 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Γραμμική σύνδεση στοιχείων Γραμμική σύνδεση πολλαπλών στοιχείων Γράφημα Πολυγράφημα με ϐρόχο Πλήρες γράφημα (a) και μη-πλήρες γράφημα (b) Παράδειγμα καταλόγου προσκείμενων και παρακείμενων τόξων γραφήματος Διατεταγμένο γράφημα Παράδειγμα ϐαθμών των κόμβων γραφήματος Προσανατολισμένο γράφημα Μετατροπή μεικτού σε προσανατολισμένο γράφημα Μη-απλό γράφημα Απλό γράφημα Διατεταγμένο συμμετρικό μη-απλό γράφημα και μη-διατεταγμένο συμμετρικό μη-απλό γράφημα a) Αρχικό γράφημα, b) Γνήσιο μερικό γράφημα, c) Υπογρά- ϕημα, d) Μερικό υπογράφημα Μη-απλή διαδρομή Απλή διαδρομή Συνεκτικότητα σε γραφήματα Η τομή (S, N\S) σε (α) μη-προσανατολισμένο και (ϐ) προσανατολισμένο γράφημα αποτελείται από τα τονισμένα τόξα Ισθμοί και αρθρώσεις Λευκό τόξο Μαύρο τόξο Κόκκινο τόξο Πράσινο τόξο Ιχνογραφημένο γράφημα Συμβατές και μη - συμβατές στοιχειώδης διαδρομές σε γράφημα Διμελές μη-προσανατολισμένο γράφημα

7 Κατάλογος Σχημάτων Διμελές προσανατολισμένο γράφημα a) επίπεδο γράφημα, b) επίπεδο γράφημα (ισοδύναμο με το a), c) μη-επίπεδο γράφημα Γράφημα Euler Κύκλος Hamilton Δένδρα και δάση Τ ανύοντα δένδρα και δάση Προσανατολισμένα δένδρα Δυαδικά δένδρα α) Ανεξάρτητο σύνολο και ϐ) σύνολο κάλυψης Σύζευξη σε γραφήματα α) Κλίκα. ϐ) Ανεξάρτητο σύνολο. γ) Σύνολο κάλυψης κόμβων Προσανατολισμένο γράφημα Παράδειγμα διατεταγμένου γραφήματος που αναπαριστάται σε μορφή πίνακα Σταθμισμένο γράφημα Σταθμισμένο προσανατολισμένο γράφημα Σταθμισμένο δένδρο Διατεταγμένο σταθμισμένο δένδρο Παράδειγμα δικτύου με ϱοή Συμβολισμός ϱοών σε δίκτυα Δίκτυο με δύο πηγές και δέκτες Μετατροπή του προηγούμενου δικτύου σε ένα απλό με μία υπερπηγή και έναν υπερδέκτη Εφικτή ϱοή τιμής Εφικτή κυκλοφορούσα ϱοή τιμής Άσκηση Άσκηση Οι γέφυρες του Köningsberg, για την άσκηση Παράδειγμα για την εύρεση του συντομότερου μονοπατιού Κλασσικό πρόβλημα μεταφοράς Συμμετρική περίπτωση προβλήματος πλανόδιου πωλητή (TSP) Μη-συμμετρική περίπτωση προβλήματος πλανόδιου πωλητή (TSP) Απλό παράδειγμα δρομολόγησης οχημάτων (VRP) Σχηματική παράσταση αλγορίθμου Χρόνος εκτέλεσης f(n) για δεδομένα μεγέθους n

8 12 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 4.3 Γραφική σύγκριση του ϱυθμού αύξησης συναρτήσεων όλων των κατηγοριών Γραφική σύγκριση του ϱυθμού αύξησης πολυωνυμικής και υποεκθετικής συνάρτησης Παράδειγμα πρόσω αστέρα Παράδειγμα οπίσω αστέρα Η ύπαρξη πολυωνυμικού αλγορίθμου για μία εύλογη και συνεπή κωδικοποίηση συνεπάγεται την ύπαρξη πολυωνυμικού αλγορίθμου για όλες τις πολυωνυμικά συχετισμένες κωδικοποιήσεις Γραφήματα για την Άσκηση Ιεραχικό ϕάσμα της πολυπλοκότητας των προβλημάτων Κλίκες με δύο, τρεις και τέσσερις κόμβους Το γράφημα έχει κλίκες των δύο, τριών και τεσσάρων κόμ- ϐων, αλλά όχι περισσοτέρων. Το τόξο (1, 2) π.χ. αποτελεί μία κλίκα. Το υπογράϕημα που ορίζεται από τους κόμβους 3, 4, 5 είναι μία κλίκα με τρεις κόμβους, ενώ το υπογράφημα που ορίζεται από τους κόμβους 3, 4, 5, 6 είναι μία κλίκα από τέσσερις κόμβους. Το υπογράϕημα που ορίζεται από τους κόμβους 2, 3, 4, 5, 6 δεν είναι πλήρες διότι δεν υπάρχει τόξο μεταξύ των κόμβων 2 και 4, καθώς και μεταξύ των κόμβων 2 και 6. Ως εκ τούτου δεν αποτελεί κλίκα Ιεραρχία πολυπλοκότητας των εκδοχών ενός προβλήματος συνδυαστικής ϐελτιστοποίησης. Το σύμβολο αντιστοιχεί κατά έναν τρόπο στο και εδώ σημαίνει ότι η πολυπλοκότητα του προβλήματος στα αριστερά του δεν υπερβαίνει την πολυπλοκότητα του προβλήματος στα δεξιά του Δένδρο αναζήτησης μέσω διχοτόμησης. Η ϱίζα του αντιστοιχεί στο αρχικό διάστημα (a, b). Οι κόμβοι του αμέσως επομένου επιπέδου αντιστοιχούν στα διαστήματα (a, μ) και (μ, b) αντίστοιχα, όπου μ = a+b. Το υπόλοιπο δένδρο ορίζεται αναδρομικά. Τα δύο διακλαδούμενα τόξα από κάθε κόμβο παριστούν 2 στις συνθήκες «είτε» και «ή» αντίστοιχα της αναζήτησης. Η α- ναζήτηση της διχοτόμησης ακολουθεί τη σωστή διαδρομή από τη ϱίζα σε ένα ϕύλλο του δένδρου λαμβάνοντας τη σωστή α- πόφαση σε κάθε διακλάδωση που συναντά. Η διατρεχούμενη διαδρομή έχει το ίδιο μήκος με το ϐάθος του δένδρου, δηλαδή log 2 (b a)

9 Κατάλογος Σχημάτων Παράδειγμα προβλήματος πλανοδίου πωλητή : (α) υπόδειγμα και (ϐ) η ϐέλτιστη λύση του Βήμα προς ϐήμα κατασκευή μέγιστης κλίκας μέσω αυτοαναγωγής Τα ϑετικής απάντησης υποδείγματα Co Π αποτελούν υποσύνολο των υποδειγμάτων αναγνώρισης Π Μη αιτιοκρατικός πολυωνυμικός αλγόριθμος : Δέχεται υπόδειγμα μεγέθους n και απαντά ναι δημιουργώντας ταυτόχρονα ένα πιστοποιητικό σε p(n) το πολύ πράξεις. Το μέγεθος του πιστοποιητικού δεν υπερϐαίνει συνεπώς το p(n). Ηδιαδικασία επαλήθευσης δέχεται το πιστοποιητικό και επαληϑεύει την απάντηση σε q(p(n)) το πολύ πράξεις. Ο συνδυασμένος αλγόριθμος έχει πολυπλοκότητα που δεν υπερβαίνει το p(n)+q(p(n)) Πιστεύεται, αναπόδεικτα, ότι η σχέση μεταξύ των τάξεων P και NP είναι αυτή της εικόνας Η τοπογραφία των τάξεων P, NP και Co NP,όπωςπιστεύεται αναπόδεικτα Πιθανή πλήρη απαρίθμηση για το BKP σε μορφή αναζήτησης σε δένδρο Πολυωνικός μετασχηματισμός και πολυωνυμική αναγωγή. Στην πρώτη περίπτωση η πολυπλοκότητα του σύνθετου αλγορίθμου είναι p(n)+q(p(n)), όπουn το μέγεθος του υποδείγματος για το πρόβλημα Π 1. Στη δεύτερη περίπτωση η πολυπλοκότητα του σύνθετου αλγορίθμου είναι g(n)[p(n)+q(p(n))] Υποθετική τοπογραφία των τάξεων NP, NPC και P Υποθετική τοπογραφία όλων των τάξεων Οι λευκοί και οι μαύροι κόμβοι αποτελούν δύο ανεξάρτητα σύνολα κόμβων αντίστοιχα Ενα γράφημα G και το συμπλήρωμά του Γ. ΤοN = {1, 2, 4} είναι μία κλίκα στο G,ενώτοN\N = {3, 5} είναι μία κάλυψη κόμβων στο Γ Πολυωνυμικοί μετασχηματισμοί NPC προβλημάτων Κλωνοποίηση κόμβου : Αντιστοιχία προσανατολισμένης διαδρομής Hamilton και προσανατολισμένου κύκλου Hamilton Κλωνοποίηση κόμβου : α) Διαδρομή πλανόδιου πωλητή σε γράφημα, ϐ) μετασχηματισμένο γράφημα ως υπόδειγμα DMST και γ) η λύση του DMST-υποδείγματος που αντιστοιχεί στη διαδρομή του πλανόδιου πωλητή

10 14 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 6.1 Γραμμική λίστα Στοίβα Ουρά Διακριτά σύνολα ως δένδρα Συμπίεση διαδρομής Δένδρα σε διάταξη σωρού Ενθεση νέου στοιχείου στον σωρό Απαλοιφή στοιχείου από τον σωρό Απαλοιφή ϱίζας σωρού Αποκατάσταση διάταξης σωρού σε δένδρο Υλοποίηση με γραμμική παράταξη ενός σωρού σε μορφή πλή- ϱους δυαδικού δένδρου Υλοποίηση ενός σωρού σε μορφή πλήρους δυαδικού δένδρου με γραμμική παράταξη ψευδοδεικτών Παράδειγμα δικτύου Συμβολισμός ϱοών στο δίκτυο Αναπαράσταση του δικτύου στον υπολογιστή Αναπαράσταση των πηγών και των δεκτών του δικτύου στον υπολογιστή Πρόσω Αστέρας του δικτύου στον υπολογιστή Αναπαράσταση των πηγών και των δεκτών του δικτύου στον υπολογιστή Πίσω Αστέρας του δικτύου στον υπολογιστή Προσιτοί και απρόσιτοι κόμβοι Προσιτά και απρόσιτα σύνολα κόμβων Τ ομή διατεταγμένου γραφήματος Τ ομή προσανατολισμένου γραφήματος Διαχωριστική τομή διατεταγμένου γραφήματος Διαχωριστική τομή προσανατολισμένου γραφήματος Διαχωριστική τομή μη - διατεταγμένου (μη - προσανατολισμένου) γραφήματος Παράδειγμα γραφήματος Αρχικά Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Διαδρομή

11 Κατάλογος Σχημάτων Πρώτη περίπτωση της απόδειξης του ϑεωρήματος Δεύτερη περίπτωση της απόδειξης του ϑεωρήματος Δομή δεδομένων στοίβα Δομή δεδομένων ουρά Παράδειγμα για DFS Συμβολισμός τόξων Αναδρομή 1 για DFS Αναδρομή 2 για DFS Αναδρομή 3 για DFS Αναδρομή 4 για DFS Αναδρομή 5 για DFS Αναδρομή 6 για DFS Αναδρομή 7 για DFS Ονομασία τόξων DFS δένδρο Διμελές γράφημα για DFS Αναδρομή 1 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 2 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 3 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 4 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 5 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 6 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 7 για DFS σε διμελές γράφημα Αναδρομή 8 για DFS σε διμελές γράφημα Παράδειγμα για BFS Αναδρομή 1 για BFS Αναδρομή 2 για BFS Αναδρομή 3 για BFS Αναδρομή 4 για BFS Αναδρομή 5 για BFS Αναδρομή 6 για BFS Στρώματα αλγορίθμου BFS Στρώματα αλγορίθμου BS Παράδειγμα αλγορίθμου BS Λύση με BFS Λύση με BS Λύση με DS Παράδειγμα μαθηματικής πράξης Παράδειγμα κτίσιμο σπιτιού

12 16 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 7.54 Μια λύση στο πρόβλημα των 8 - ϐασιλισσών Αναπαράσταση του χώρου λύσεων για το πρόβλημα των τεσσάρων ϐασιλισσών. Οι κόμβοι έχουν αριθμηθεί όπως στην αναζήτηση κατά ϐάθος Αναπαράσταση του χώρου λύσεων για το πρόβλημα του αθροίσματος υποσυνόλων. Οι κόμβοι έχουν αριθμηθεί όπως στην αναζήτηση κατά ϐάθος Αναπαράσταση του χώρου λύσεων για το πρόβλημα του αθροίσματος υποσυνόλων. Οι κόμβοι έχουν αριθμηθεί όπως στην αναζήτηση κατά ϐάθος Αναπαράσταση του χώρου λύσεων του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή με n =4και i 0 = i 4 = Παράδειγμα οπισθοϊχνηλασίας για την επίλυση του προβλήματος των τεσσάρων ϐασιλισσών Το δέντρο που δημιουργήθηκε με τη χρήση της οπισθοϊχνηλασίας Αναδιοργάνωση Δέντρο που δημιουργήθηκε από τον αλγόριθμο οπισθοϊχνηλασίας για το πρόβλημα του σακιδίου Γράφημα για το παράδειγμα της οπισθοϊχνηλασίας για τανύοντα δέντρα Αναπαράσταση σε μορφή δέντρου του χώρου λύσεων για το πρόβλημα Ολα τα τανύοντα δέντρα του παραδείγματος Άσκηση για διαχωριστικές τομές Άσκηση για DFS Άσκηση για DFS Άσκηση για DFS Παράδειγμα χρήσης της μεθόδου Dijkstra Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αποτέλεσμα παραδείγματος χρήσης της μεθόδου Dijkstra Παράδειγμα μορφοποίησης προβλήματος ελάχιστης διαδρομής Παράδειγμα για Dijkstra Αναδρομή Αναδρομή

13 Κατάλογος Σχημάτων Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Ελάχιστη διαδρομή Αρνητικός κύκλος Λάθος του Dijkstra Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Βέλτιστη λύση του αλγορίθμου Εύρεση συντομότερης διαδρομής με την χρήση του αλγορίθμου Ford Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Αναδρομή Βέλτιστη λύση Βέλτιστη Διαδρομή Το πρόβλημα του Σακιδίου σε μορφή προβλήματος δικτύου Βέλτιστη Διαδρομή Τ ο πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή Λύση με τη χρήση του αλγόριθμου απληστίας Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή με δυναμικό προγραμματισμό Λύση με τη χρήση του δυναμικού προγραμματισμού Αλγόριθμος Floyd-Warshall Αλγόριθμος Floyd-Warshall Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Παράδειγμα μέγιστης ϱοής σε δίκτυο Παράδειγμα διαδρομής σε δίκτυο

14 18 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 9.3 Εύρεση μέγιστης ϱοής σε δίκτυο Αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Αναδρομή Τ ελικό δίκτυο Αρχικό σχήμα παραδείγματος για τον αλγόριθμο Dinic Τα διαφορετικά στρώματα του παραδείγματος Πρώτη αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Δεύτερη αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Τ ρίτη αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Τ έταρτη αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Πέμπτη αναδρομή Υπολοιπόμενο δίκτυο Παράδειγμα 1 άσκησης Παράδειγμα 2 άσκησης Παράδειγμα 3 άσκησης Παράδειγμα 4 άσκησης Παράδειγμα 5 άσκησης Παράδειγμα 1 άσκησης Παράδειγμα 2 άσκησης Παράδειγμα 3 άσκησης Παράδειγμα προβλήματος ϱοής ελαχίστου κόστους σε δίκτυο Αρχική εφικτή ϱοή Υπολοιπόμενο δίκτυο 1ης επανάληψης, στο οποίο παρουσιά- Ϲονται μόνο οι χωρητικότητες Υπολοιπόμενο δίκτυο 1ης επανάληψης, στο οποίο παρουσιά- Ϲονται μόνο τα κόστη Κυκλική διαδρομή αρνητικού κόστους Ροή στην κυκλική διαδρομή αρνητικού κόστους Καινούριο υπολοιπόμενο δίκτυο

15 Κατάλογος Σχημάτων Ροή μετά την πρώτη επανάληψη Υπολοιπόμενο δίκτυο 2ης επανάληψης, στο οποίο παρουσιά- Ϲονται μόνο τα κόστη Κυκλική διαδρομή αρνητικού κόστους Ροή στην κυκλική διαδρομή αρνητικού κόστους Καινούριο υπολοιπόμενο δίκτυο Ροή μετά τη δεύτερη επανάληψη Αρχικό Δίκτυο η επανάληψη του αλγορίθμου Υπολοιπόμενο δίκτυο Υπολοιπόμενο δίκτυο η επανάληψη η επανάληψη αλγορίθμου συντομότερης διαδρομής η επανάληψη αλγορίθμου συντομότερης διαδρομής Υπολοιπόμενο δίκτυο επανάληψη του αλγορίθμου Υπολοιπόμενο δίκτυο Ροή στο δίκτυο Δένδρα και δάση Προσανατολισμένα δένδρα Τ ανύοντα δένδρα και δάση Τ ανύοντα δένδρα και δάση Αρχικό γράφημα για λύση με τον αλγόριθμο PRIM Minimal Spanning Tree Δενδροειδές Διαδικασία αντικατάστασης κύκλου με έναν κόμβο Αρχικό γράφημα για TSP Λύση του TSP με αλγόριθμο απληστίας Αρχικό γράφημα για DST Λύση του DST με αλγόριθμο απληστίας Βέλτιστη λύση του DST με αλγόριθμο απληστίας Τ μηματοποιημένα μητροειδή Τ ομή μητροειδών Προσαρμοσμένο γράφημα Τ ελικό γράφημα χωρίς κύκλους Δενδροειδές Άσκηση Άσκηση

16 20 Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Άσκηση Η ιδέα της μεθόδου διακλάδωσης και οριοθέτησης Οι επαναληπτικές υποδιαιρέσεις του αλγορίθμου διακλάδωσης και οριοθέτησης Παράδειγμα του αλγορίθμου διακλάδωσης και οριοθέτησης Πρώτη περίπτωση Δεύτερη περίπτωση Τ ρίτη περίπτωση Ανίχνευση κατά ϐάθος Παράδειγμα μεθόδου διακλάδωσης και οριοθέτησης

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543 Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Περιεχόμενα Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23 Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 1. Επαναληπτικοί αλγόριθμοι: Μέτρα προόδου και αναλλοίωτες συνθήκες.....................................................29

Διαβάστε περισσότερα

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ουρές Προτεραιότητας. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ουρές Προτεραιότητας. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Ουρές Προτεραιότητας Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρά Προτεραιότητας Το πρόβλημα Έχουμε αντικείμενα με κλειδιά και θέλουμε ανά πάσα στιγμή

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης εφαρμόζονται σε

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Περιεχόμενα Μέθοδοι (πράκτορες) επίλυσης προβλημάτων Προβλήματα και Λύσεις Προβλήματα παιχνίδια Προβλήματα του πραγματικού κόσμου Αναζήτηση λύσεων Δέντρο αναζήτησης Στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Μοντελοποίηση προβληµάτων Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 1 Εισαγωγή 1 / 14 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομή Δεδομένων Δομή δεδομένων είναι ένα σύνολο αποθηκευμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚ. ΈΤΟΥΣ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚ. ΈΤΟΥΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚ. ΈΤΟΥΣ 2017-18 Οι υποψήφιοι για κατάταξη μέσω εξετάσεων στο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστημίου Πελοποννήσου παρακαλούνται να καταθέσουν στη γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 8 η Διάλεξη: Διανομή και Δρομολόγηση Οχημάτων 019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Αναφορές Οι σημειώσεις έχουν βασιστεί σε 1. Υλικό του ΣυΣΠαΛ.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Καρακώστας (mai1321) ΠΜΣ Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Συστήματα Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Μακεδονίας

Παναγιώτης Καρακώστας (mai1321) ΠΜΣ Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Συστήματα Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Παναγιώτης Καρακώστας (mai1321) ΠΜΣ Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Συστήματα Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Πρόβλημα Πλανόδιου Πωλητή (TSP) Περιγραφή Προβλήματος Μαθηματική Μορφοποίηση Ορόσημα στην Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός Προγραμματισμός

Δυναμικός Προγραμματισμός Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις /προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΟΥΛΙΝΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δρ. Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης ΔΠΘ ΠΛΕΟΝΕΚΤΙΚΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ GREEDY CONSTRUCTIVE HEURISTICS Βασικό μειονέκτημα: οι αποφάσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο

Σχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο Σχεδίαση Αλγορίθμων Άπληστοι Αλγόριθμοι http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad 1 Άπληστοι αλγόριθμοι Προβλήματα βελτιστοποίησης ηςλύνονται με μια σειρά επιλογών που είναι: εφικτές τοπικά βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές

Αλγοριθμικές Τεχνικές Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9

Πρόλογος 1. 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 Πρόλογος 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 7 1 Μαθηµατικό υπόβαθρο 9 1.1 Η αριθµητική υπολοίπων.............. 10 1.2 Η πολυωνυµική αριθµητική............ 14 1.3 Θεωρία πεπερασµένων οµάδων και σωµάτων.... 17 1.4 Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 10 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός Προγραμματισμός

Δυναμικός Προγραμματισμός Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο ΣHMΜY Εισαγωγή Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής, Δώρα Σούλιου Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Σακαβάλας Επιμέλεια διαφανειών: Άρης Παγουρτζής www.corelab.ntua.gr/courses/algorithms

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ii ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. Εντολές εκχώρησης (αντικατάστασης)....1 1.1 Εισαγωγή...4 1.1.1 Χρήση ΛΣ και IDE της Turbo Pascal....4 1.1.2 Αίνιγμα...6 1.2 Με REAL...7 1.2.1 Ερώτηση...9 1.2.2 Επίλυση δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα