ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ"

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ --

2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

3 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου Τόμου Περιεχόμενα Κεφάλαιο Ι Στοιχεώδεις Πιθανότητες Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Ι. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι 5 Ι..Α. Δειγματοχώρος και Ενδεχόμενα 5 Ι..Β. Ένωση, Τομή, Συμπλήρωμα και Διαφορά Ενδεχομένων. Νόμοι De Morgan 7 Ι..Γ. Ορισμός Πιθανότητας κατά Laplace. Πρώτες Βασικές Ιδιότητες. Προσθετικό Θεώρημα. 9 Ι..Δ. Δεσμευμένες Πιθανότητες και Πολλαπλασιαστικός Τύπος Πιθανοτήτων. Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Ι..Ε. Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Τύπος του Bayes 7 Ι.. Συνδυαστική 44 Κεφάλαιο II Ι..Α. Παραγοντικό, Διωνυμικός Συντελεστής, Τρίγωνο του ascal. Στοιχειώδη Αποτελέσματα Βασικά I..Β. Συνδυασμοί, Διατάξεις και Πολυωνυμικοί Συντελεστές 47 Ι..Γ. Το Πρόβλημα της Τοποθέτησης S Σφαιριδίων σε N Κελλιά: Επαναληπτικές Διατάξεις και Επαναληπτικοί Συνδυασμοί των S ανά N I..Δ. Δειγματοληψίες Άνευ και Μετ Επαναθέσεως. Αναφορά στην Υπεργεωμετρική Κατανομή Ι..Ε. Η Πολλαπλασιαστική Αρχή 6 Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών 66 ΙΙ.. Τυχαίες Μεταβλητές. Συνάρτηση Κατανομής 66 Σελ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

4 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΙΙ..Α. Βασικοί Ορισμοί: Διακριτές και Συνεχείς Μεταβλητές. Συνάρτηση Πιθανότητας και Πυκνότητα Πιθανότητας ΙΙ..Β. Κατανομή Πιθανότητας: Ορισμός και Πρώτα Γενικά Αποτελέσματα 75 II.. Οι Κυριότερες Διακριτές Κατανομές 8 ΙΙ..Α. Η Υπεργεωμετρική Κατανομή 8 II..Β. Η Διωνυμική Κατανομή 8 II..Γ. Η Γεωμετρική Κατανομή II..Δ. Η Κατανομή ascal 4 II..Ε. Η Kατανομή osson 7 II.. Οι Κυριότερες Συνεχείς Κατανομές 8 II.4. ΙΙ..Α. Η Κανονική Κατανομή 8 ΙΙ..Β. Η Εκθετική Κατανομή 49 ΙΙ..Γ. Γενίκευση: η Κατανομή γ n 59 II..Δ. Η Κατανομή χ 6 ΙΙ..Ε. Η Λογαριθμικο-Κανονική Κατανομή 7 ΙΙ..ΣΤ. Η Ομοιόμορφη Κατανομή 7 ΙΙ..Ζ. Η Κατανομή Βήτα 7 ΙΙ..Η. Η Κατανομή Cauchy 7 II..Θ. Η Κατανομή Student 7 ΙΙ..Ι. Η Κατανομή Snedecor 7 Αξιοπιστία της Προσαρμογής Θεωρητικών Μοντέλων Κατανομών στα Δεδομένα Παρατηρήσεων ΙΙΙ.4.Α. Ορισμός και Κατανομή Πιθανότητας για την Απόσταση μεταξύ Παρατηρηθείσας Κατανομής και της Αντίστοιχης Θεωρητικής Κατανομής ΙΙΙ.4.Β. Ο Έλεγχος χ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

5 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφάλαιο Στοιχειώδεις Πιθανότητες, Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Αφού δώσουμε βασικούς ορισμούς και θεμελιώδεις τύπους της κλασσικής Θεωρίας Πιθανοτήτων, συνοδευόμενους από κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα, θα παρουσιάσουμε στοιχειώδη αποτελέσματα της Συνδυαστικής Θεωρίας που θα χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Ι.. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι Α. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων μίας φάσης ενός πειράματος (ή φαινομένου) τύχης καλείται δειγματοχώρος και συνήθως εδώ θα συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα. Τα ατομικά (αδιαίρετα) αποτελέσματα καλούνται στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα (ή ακόμη σημεία ή περιπτώσεις). Όταν το είναι αριθμήσιμο σύνολο σημείων, ο δειγματοχώρος λέγεται απαριθμητός. Ενδεχόμενα (ή τυχαία γεγονότα) ονομάζονται τα υποσύνολα του. Πραγματοποίηση ενδεχομένου A σημαίνει την εμφάνιση ενός από τα σημεία του A. Ι... Παράδειγμα. Έστω ο δειγματοχώρος που ορίζεται από τις εύστοχες και άστοχες ρίψεις τριών βολών. Εάν το γράμμα αναπαριστά κάθε εύστοχη ρίψη βολής, ενώ το γράμμα κάθε άστοχη ρίψη βολής, τότε τα σημεία του (: στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα) μπορούν να αποδοθούν ως εξής: ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ,,,,,,,. Προφανώς, ο συγκεκριμένος δειγματοχώρος είναι απαριθμητός. Το ενδεχόμενο κατά το οποίο ρίπτονται α κ ρ ι β ώ ς δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο,,, ενώ το ενδεχόμενο κατά το οποίο ρίπτονται τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο,,,. Ακόμη, το ενδεχόμενο κατά το οποίο ρίπτεται άστοχη βολή όταν προηγουμένως έχει ριφθεί τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν μία εύστοχη βολή είναι το σύνολο,,. Τέλος, το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη βολή είναι άστοχη δίνεται από το σύνολο,,,, ενώ το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη και η δεύτερη βολή δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα είναι το σύνολο,,,. Ι... Παράδειγμα. Τα δρομολόγια για τον ανεφοδιασμό τριών (πολεμικών) μονάδων πρόκειται να καθορισθούν έτσι ώστε κάθε μία από τις μονάδες αυτές να ανεφοδιάζεται δύο φορές ημερησίως. Να καθορισθεί το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη και η τελευταία επίσκεψη θα γίνουν στην ίδια μονάδα. Απάντηση. Εάν, και αναπαριστούν τις πράξεις του ανεφοδιασμού της πρώτης, δεύτερης και τρίτης μονάδας αντιστοίχως, τότε το ζητούμενο ενδεχόμενο καθορίζεται από το σύνολο 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

7 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ,,,,,. Β. ΕΝΩΣΗ, ΤΟΜΗ, ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ. ΝΟΜΟΙ DE MORGAN Ένωση των ενδεχομένων,...,,, συμβολιζόμενη με καλείται η εμφάνιση (: πραγματοποίηση) τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ενός από τα ενδεχόμενα,,...,. Τομή (ή γινόμενο) των ενδεχομένων,,...,, συμβολιζόμενη με (ή... ) καλείται η ταυτόχρονη πραγματοποίηση τούτων. Συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του ενδεχομένου, συμβολιζόμενο με c (ή είναι το ενδεχόμενο μη εμφάνισης του. Η διαφορά δύο ενδεχομένων και ορίζεται ως ' ) c (: το ενδεχόμενο της πραγματοποίησης του και ταυτόχρονης μη πραγματοποίησης του Β). Έτσι, c A. Βέβαιο γεγονός λέγεται ο δειγματοχώρος, ενώ αδύνατο γεγονός λέγεται το c συμπλήρωμα του, δηλαδή το κενό σύνολο Ø. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

8 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Παρατήρηση. Οι ανωτέρω έννοιες μπορούν να περιγραφούν σχηματικά από τα γνωστά διαγράμματα Venn. Ι..4. Παράδειγμα. Έστω το σύνολο των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων, και έστωσαν,, και 4 τα σύνολα των πρωτοετών, δευτεροετών, τριτοετών και τεταρτοετών Ευελπίδων, αντιστοίχως. Επί πλέον, έστω το σύνολο των σπουδαστριών και το σύνολο των αλλοδαπών σπουδαστών. Εκφράστε με λόγια τι ακριβώς αναπαριστούν τα ακόλουθα σύνολα Απάντηση. Έχουμε ' ' ' ' ',,,., το σύνολο όλων των Γ-ετών και Δ-ετών σπουδαστριών, ' το σύνολο των μη αλλοδαπών σπουδαστριών όλων των ετών, ' το σύνολο των Α-ετών αρρένων αλλοδαπών σπουδαστών, ' το σύνολο των Γ-ετών μη αλλοδαπών σπουδαστριών και το σύνολο των Α-ετών και Β-ετών αλλοδαπών σπουδαστριών. Ι..5. Παρατήρηση.). Για οιαδήποτε ενδεχόμενα ). )., και δειγματοχώρου, ισχύουν οι σχέσεις,. ). Επίσης, ισχύουν οι Νόμοι του De Morgan: 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

9 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ). ). ). ). ' ' ' : ό ' ' ' : ό ' ' : ό ' ' : 4 ό. Γ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ LALACE. ΠΡΩΤΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι..6. Ορισμός. Η πιθανότητα ( ή συνάρτηση πιθανότητας) είναι μία συνάρτηση ωρισμένη επί του δυναμοσυνόλου (: δηλαδή, του συνόλου των υποσυνόλων) του δειγματοχώρου η οποία πληροί τα Αξιώματα του Kolmogorov: )., : R:, ). για κάθε ενδεχόμενο (: υποσύνολο του ), ισχύει, ). για κάθε ακολουθία ξένων (: ασυμβιβάστων) ανά δύο ενδεχομένων,,...,,... (δηλαδή ενδεχομένων τα οποία είναι τέτοια ώστε Αξίωμα της Πλήρους (ή ) Προσθετικότητας των πιθανοτήτων: j Ø, για κάθε j ), ισχύει το ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

10 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ οποία Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των ισοπίθανων ενδεχομένων, κατά την ο δειγματοχώρος είναι πεπερασμένος: και ισχύει η σχέση: Τότε, τα,,..., N, για κάθε,,..., N. N καλούνται ισοπίθανα σημεία (ή ισοπίθανες περιπτώσεις), και έχουμε τον ακόλουθο ορισμό πιθανότητας κατά Laplace του ενδεχομένου,..., : N ό ί ό ό ί ό ϊ ώ ώ. ό ό ώ N Οι πιθανότητες που υπολογίζονται κατ αυτόν τον τρόπο ονομάζονται κλασσικές πιθανότητες. Επισημαίνουμε τις παρακάτω τρείς θεμελιώδεις Ιδιότητες: Εάν και είναι ενδεχόμενα σε κοινό δειγματοχώρο, τότε η Ιδιότητα. ' η Ιδιότητα. η Ιδιότητα (Προσθετικό Θεώρημα). ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

11 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η η Ιδιότητα έπεται από το Αξίωμα και το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από το γεγονός ότι τα ενδεχόμενα και ξένα μεταξύ τους (: ' =Ø): Η η ' ' '. ' είναι Ιδιότητα έπεται και πάλι από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από την παρατήρηση ότι με τα ενδεχόμενα και να είναι ξένα μεταξύ τους:. Τέλος, η η Ιδιότητα αποτελεί γενίκευση του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 στην περίπτωση που τα ενδεχόμενα και δ ε ν είναι ξένα μεταξύ τους. Η απόδειξη της Ιδιότητας αυτής έπεται από την παρατήρηση ότι η ένωση των (όχι απαραιτήτως ξένων μεταξύ τους) ενδεχομένων και ισούται με την ένωση των ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων και, και ακολούθως από τη διαδοχική εφαρμογή του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 και της ης ως άνω Ιδιότητας:. Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα εφαρμογής των όσων προηγήθηκαν. Ι..7. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι να προσδιορισθούν οι πιθανότητες 4 6, και, ', ', ', ' ' και ' '. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

12 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Απάντηση. α. '. (από την η Ιδιότητα) β. ' ' ' (από την η Ιδιότητα) (από την η Ιδιότητα καθώς και την παρατήρηση ότι, λόγω της ης Ιδιότητας, ισχύει. ' ) γ. Ομοίως δ. ' ' ' 4 ' ' ' 6. (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από την η Ιδιότητα) ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

13 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ε. Ομοίως, ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) Ι..8. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι 4 και 8 4 )., 8 8 ).. Απόδειξη. Προφανώς, ισχύουν οι σχέσεις και, δηλαδή, να δειχθεί ότι και max,., και επομένως Εν προκειμένω, καθώς 4 8, έχουμε max, 4 άρα η ανισότητα έπεται. Ομοίως, από τις σχέσεις, δηλαδή και, συνάγεται ότι mn,., και και Εν προκειμένω, καθώς 4 8, έχουμε mn, 8 άρα η δεξιά ανισότητα 8 από τις ανισότητες έπεται., και ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

14 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Εξ άλλου, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), έχουμε, και επειδή. Όμως, καθ όσον, συμπεραίνουμε ότι max,., λαμβάνουμε Εν προκειμένω, καθώς 4 8, έχουμε max, 8 και άρα η αριστερή ανισότητα 8 από τις ανισότητες έπεται. max Στην περίπτωση κατά την οποία και 4,, έχουμε,, mn, 4, max,, και, ως εκ τούτου, από τις ανωτέρω πλαισιωμένες σχέσεις προκύπτουν οι ακόλουθες ανάλογες ανισότητες των και : 4, και. Ι..9. Παράδειγμα. Για οιαδήποτε ενδεχόμενα και, δείξτε ότι ' ' ' '. Απόδειξη. Έχουμε, αφενός ' (από την η Ιδιότητα) ' ' ' (επειδή ' 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

15 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ και, από την η Ιδιότητα, ) και αφετέρου ' ' Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η ζητούμενη. (από την η Ιδιότητα) ' ' (επειδή ' και, από την η Ιδιότητα, ). Ι... Παράδειγμα. (Ανισότητα Bonferon) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα,......,, ισχύει η ανισότητα:, '... n. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε την ανισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της Μαθηματικής Επαγωγής επί του v. Για v, η ζητούμενη ανισότητα εκφυλλίζεται στην προφανή ισότητα '. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

16 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Για v, κατ αρχάς παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), ισχύει Είναι όμως., και έτσι, δηλαδή, για v ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για v : Αρκεί να δειχθεί ότι αυτή ισχύει για v : Προς τούτο, παρατηρούμε ότι έχουμε (κατόπιν εφαρμογής της ήδη αποδειχθείσας ανισότητας για v ) (κατόπιν εφαρμογής της επαγωγικής υπόθεσης για v ) 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

17 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ( ), δηλαδή, για v ισχύει η ζητούμενη ανισότητα, και η Απόδειξη είναι πλήρης. Ι... Παράδειγμα. Για οιαδήποτε τρία ενδεχόμενα, και, ν αποδειχθεί ότι. Απόδειξη. Είναι (σύμφωνα με το Προσθετι- κό Θεώρημα: η Ιδιότητα) (σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα: Όμως, και πάλι σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα). Έτσι, συνδυάζοντας τις δύο προκύψασες σχέσεις, λαμβάνουμε: )., και η Απόδειξη ολοκληρώθηκε. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

18 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Εφαρμογή. Τα ποσοστά των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τρία Μαθήματα, και μετά την πρώτη τους εξέταση είναι τα ακόλουθα: : 5%, : 4%, : 5%, : % : 5%, : % ( ή ί M ή ) :5%. Ποιο είναι το ποσοστό των σπουδαστών οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τουλάχιστον ένα από τα τρία Μαθήματα; Απάντηση. Σύμφωνα με τον Τύπο που αποδείχθηκε στο προηγούμενο Παράδειγμα Ι.., έχουμε ά έ Mά Ι... Παράδειγμα. Ένας Στόχος έχει δεχθεί N Βλήματα. Ta Βλήματα αυτά ερρίφθησαν σε N αριθμημένες και διάφορες μεταξύ τους χρονικές στιγμές κατά την διάρκεια μίας ώρας. Ανασύρουμε, εκ των υστέρων, τυχαίως ένα από τα Βλήματα αυτά.. Ποια είναι η πιθανότητα να ανασύρουμε Βλήμα το οποίο ερρίφθηκε σε αριθμημένη χρονική στιγμή η οποία διαιρείται δια του ή του 4 ;. Εξετάστε την περίπτωση κατά την οποία N. 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

19 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ποιο είναι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν N ; Απάντηση.. Λόγω του Προσθετικού Θεωρήματος (: η ισούται με Ιδιότητα), η ζητούμενη πιθανότητα όπου 4 N N 4 p p 4 p 4 p, N N p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται διά του ή του 4, 4 p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται N και διά του και διά του 4 (δηλαδή, διά του ), και οποία ο ακέραιος N διαιρείται δια του ακεραίου. Επειδή ισχύει η σχέση p N N N, N p N είναι η πιθανότητα κατά την όπου x αναπαριστά το ακέραιο μέρος του x, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι p N N N N N Εφόσον στην ανωτέρω σχέση θέσουμε N, θα λάβουμε p N Ομοίως, εφόσον στην ίδια ως άνω σχέση θεωρήσουμε ότι ο ακέραιος N αυξάνεται απεριορίστως, προκύπτει ότι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν p 4 4. N είναι ίσο με ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

20 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..4. Παράδειγμα. Για κάθε,,,, να εκφράσετε τις ακόλουθες πιθανότητες, συναρτήσει των,,,, και : ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν ακριβώς από τα ενδεχόμενα ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα, και, Χρησιμοποιήστε τα εξαγόμενα για να υπολογίσετε τα ποσοστά των σπουδαστών της Εφαρμογής Ι.., οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα, μόνον δύο Μαθήματα. Απάντηση.. Έστω p ύ ώ ό ό,,,,. Τότε, ισχύουν τα παρακάτω p ' ' ' δηλαδή ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από, και. τον Τύπο του Παραδείγματος Ι..),. p p ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα ', ' και ' ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

21 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) (από την η Ιδιότητα) (από την Παρατήρηση Ι..5..α ). p (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα), p ' ' ' ' ' ' ( από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα ', ' ' και ' είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) (από την η Ιδιότητα), δηλαδή ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

22 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ. p p.. Είναι σαφές ότι ύ ά ό ό,,. για κάθε,,,. Εφαρμόζοντας τους ανωτέρω Τύπους στα δεδομένα της Εφαρμογής Ι.. για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) ένα Μάθημα (=ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα), καθώς και για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) δύο Μαθήματα (=ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον δύο Μαθήματα), λαμβάνουμε και ( έ ή ά ώ ό έ ά ) p p ( έ ή ά ώ ό ύ ή) p.5. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

23 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δ. ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Μία πολύ σημαντική έννοια για όλη την συνέχεια είναι η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας: Ι..5. Ορισμός. Για δύο ενδεχόμενα και σε κοινό δειγματοχώρο, η δεσμευμένη (υπό συνθήκη) πιθανότητα του δοθέντος του ορίζεται από την σχέση: /. Aπό τον Ορισμό αυτόν έπεται αμέσως η Γενικότερα, 4 η Ιδιότητα (Πολλαπλασιαστικός Τύπος των Πιθανοτήτων) / /. / / / Είναι λογικό τώρα να αναρωτηθούμε για το πότε δύο ενδεχόμενα και μπορούν να αλληλοεπηρεάζονται, υπό την έννοια ότι: Προφανώς, εάν / ε ί τ ε /. / κ α ι /, τότε η πιθανότητα εμφάνισης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα δεν επηρεάζεται καθόλου από προαπαιτούμενη εμφάνιση του άλλου. Έτσι, στην περίπτωση αυτή τα ενδεχόμενα και είναι, και ονομάζονται, ανεξάρτητα μεταξύ τους. Δίνουμε συναφώς τους ακόλουθους γενικότερους Ορισμούς περί την έννοια της (πιθανοθεωρητικής) ανεξαρτησίας: ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

24 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..6. Ορισμός. ). Δύο ενδεχόμενα και σε κοινό δειγματοχώρο καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς ανεξάρτητα), εάν ). Γενικότερα, τα ενδεχόμενα ανεξάρτητα), εάν για κάθε.,...,, καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς... r r... r και κάθε r. ). Έστωσαν,,..., πειράματα τύχης και,,..., οι αντίστοιχοι δειγματοχώροι. Τα καλούνται στοχαστικώς (ή στατιστικώς) ανεξάρτητα, όταν για κάθε,,,..., ισχύει η σχέση:.... Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα διαχείρισης των εννοιών αυτών. Ι..7. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, τότε ). τα ενδεχόμενα και ). τα ενδεχόμενα ). τα ενδεχόμενα ' είναι ανεξάρτητα, ' και είναι ανεξάρτητα, ' και ' είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, ισχύει η σχέση:. Είναι. (από την σχέση ' (από την η Ιδιότητα), ' (από την η Ιδιότητα) ) 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

25 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή τα ενδεχόμενα και. Ομοίως, ' είναι ανεξάρτητα. δηλαδή τα ενδεχόμενα. Τέλος, (από την η Ιδιότητα) (από την σχέση ' (από την η Ιδιότητα), ' και είναι ανεξάρτητα. ) ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) ' (από την η Ιδιότητα) ' (από την σχέση ' ' ' (από την η Ιδιότητα) ' ' ' (από την η Ιδιότητα), και άρα τα ενδεχόμενα (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα) ' και ' είναι ανεξάρτητα. ) Ι..8. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα ). τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Εφόσον τα ακόλουθες σχέσεις:, και είναι τελείως ανεξάρτητα, τότε, και είναι τελείως ανεξάρτητα, ισχύουν, εξ ορισμού, οι ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

26 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ και,,. Από την πρώτη και τρίτη κατά σειρά από αυτές τις σχέσεις, λαμβάνουμε, Δηλαδή αποδεικνύουμε ότι τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα. Ομοίως αποδεικνύονται και οι άλλοι δύο ισχυρισμοί του Παραδείγματος., Ι..9. Παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι για τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα Εάν, ' ' ' και ' ' '. ' ' x, τότε να δειχθεί ότι η πιθανότητα x ικανοποιεί την εξίσωση Απόδειξη. Έχουμε και άρα x x x. ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από την Παρατήρηση Ι..5..α), και, έχουμε (από το Προσθετικό Θεώρημα: η (από την ανεξαρτησία x των ενδεχομένων. () Ιδιότητα), και ), 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

27 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επίσης δηλαδή Τέλος, ' ' ' ' ' ' (επειδή από την ανεξαρτησία των, και επομένως και έπεται η ανεξαρτησία των ', ' και (από την η Ιδιότητα), ' ' ' ' (από την η Ιδιότητα). () (από τον 4 ο Νόμο De Morgan) ', ακριβώς αναλόγως όπως αποδεί- χθηκε στο Παράδειγμα Ι..8..) (από την ανεξαρτησία των,, :Ορισμός Ι..7.). () Έτσι, συνδυασμός των () και () δίνει x x x x. (4) x Επι πλέον, από τις () και (4), λαμβάνουμε x x x x x x x x x. x (5) x ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

28 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ Αντικαθιστώντας τώρα τις εκφράσεις (4) και (5) μέσα στην (), συμπεραίνουμε ότι, x x x x x x x x δηλαδή, x x x x ή, x x x x που οδηγεί στην ζητούμενη εξισωτική σχέση. x x Να σημειωθεί ότι, επειδή το x αναπαριστά πιθανότητα, πρέπει αμφότερες οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι θετικές, συνεπώς και το άθροισμά τους, ήτοι δηλαδή πρέπει να ισχύει. Η Απόδειξη είναι πλήρης. Ι... Παράδειγμα.(Πρόβλημα του Huyghens) Δύο (αντίπαλα ή μη) Πολεμικά Αεροσκάφη ρίπτουν α λ λ η λ ο δ ι α δ ό χ ω ς βόμβες εναντίον διαδοχικών διαφορετικών Στόχων έκαστος των οποίων απαρτίζεται από διακριτά σημεία. Τα σημεία αυτά έχουν χωρισθεί και διαβαθμισθεί από το <<>> έως το << 6 >> αναλόγως της σπουδαιότητάς τους, έτσι ώστε να υπάρχουν συνολικά ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με <<>>, ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με << >>, κ. ο.κ.

29 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Το ο Αεροσκάφος θεωρείται ότι επιτυγχάνει στην αποστολή του, εάν σε μία ρίψη καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 6 >> π ρ ο τ ο ύ το ο Αεροσκάφος καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 7 >> περίπτωση κατά την οποία θεωρείται ότι το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του. Εάν το ο Αεροσκάφος αρχίζει πρώτο τις ρίψεις του, ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει στην αποστολή του; Απάντηση. Προφανώς, η ζητούμενη πιθανότητα είναι (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ) Ακόμη, σύμφωνα με τον Πολλαπλασιαστικό Τύπο των Πιθανοτήτων (: 4 η Ιδιότητα), έχουμε (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ) = ( <<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> και Στόχου>>). Στόχου>>) <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες = (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις ρίψεις βομβών>>) προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / Όμως, λόγω της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων, έχουμε <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

30 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ = (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις q q = και προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / = p, όπου p και q <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) : (<<το οστό Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη : p,. Δεδομένου ότι, εξ υποθέσεως, έχουμε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι 5 6 p και p, 6 6 (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) q q p p q q βόμβας>> ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

31 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ι... Παράδειγμα. Τρεις Σκοπευτές, και βάλλουν έκαστος άπαξ, κατά την ανωτέρω σειρά, εναντίον αντιστοίχων Στόχων, με πιθανότητα επιτυχίας ίση με, μέχρις ότου ένας από τους Σκοπευτές πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο Στόχο. Τότε θα θεωρείται ότι ο Σκοπευτής αυτός θα έχει ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του, ενώ οι άλλοι δύο ότι απέτυχαν. Με δεδομένο ότι ο Στόχος θα προσβληθεί οπωσδήποτε επιτυχώς από κάποιον Σκοπευτή, να υπολογισθεί η πιθανότητα εκάστου να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του. Απάντηση. Έστωσαν και Επειδή :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο ο :<<το ενδεχόμενο άστοχης βολής του μπορούμε να γράψουμε Έτσι, εάν θέσουμε θα πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο >>,. και, και.,,, τότε, σύμφωνα με το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), θα έχουμε, / καθότι, άπαξ και αστοχήσει ο, ο βάλλει πρώτος και επομένως. / Στόχο >>,, ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

32 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ομοίως,, / καθόσον τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα και άρα καθότι, άπαξ και αστοχήσoυν οι και, ο βάλλει πρώτος και επομένως. / Επειδή, εξ υποθέσεως ο Στόχος θα προσβληθεί οπωσδήποτε επιτυχώς από κάποιον Σκοπευτή, μπορούμε να θεωρήσουμε και την επί πλέον σχέση: Συνδυασμός όλων των παραπάνω (εντός πλαισίων) Σχέσεων, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι. 4, και Ι... Παράδειγμα. N Σκοπευτές,...,, N πυροβολούν εναντίον Στόχου κατά την ανωτέρω σειρά, έκαστος άπαξ με πιθανότητα επιτυχίας ίση με p, μέχρις ότου ένας από αυτούς προσβάλλει επιτυχώς τον Στόχο. Τότε θεωρείται ότι ο Σκοπευτής αυτός ολοκλήρωσε επιτυχώς την αποστολή του, και η όλη διαδικασία τερματίζεται με όλους τους υπολοίπους να θεωρείται ότι απέτυχαν. Ποια η πιθανότητα εκάστου Σκοπευτή να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του; Απάντηση. Όπως στο προηγούμενο Παράδειγμα, θέτουμε ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

33 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο ο θα προσβάλλει επιτυχώς τον Στόχο >>,,..., N και :<<το ενδεχόμενο άστοχης βολής του Ακόμη, θέτουμε >>,,..., N. Ẽ: <<το ενδεχόμενο κατά το οποίο κανείς Σκοπευτής δεν θα προσβάλλει επιτυχώς τον Επειδή, προφανώς,,,..., N... N και Ẽ... N μπορούμε να γράψουμε... Έτσι, εισάγοντας τους συμβολισμούς,,,..., N N N και Ẽ... N, N,..., και ε ( Ẽ ), Ẽ. Στόχο >>. και εφαρμόζοντας το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), διαπιστώνουμε ότι, σύμφωνα με το ίδιο σκεπτικό με αυτό του προηγούμενου Θεωρήματος, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: q, q,.. N N q, N ε ( Ẽ ) N q (: η πιθανότητα κατά την οποία όλοι οι Σκοπευτές θα αστοχήσουν), όπου χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό q p. Όμως ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

34 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ... N ε, και επομένως, βάσει των ανωτέρω Σχέσεων, έχουμε N N N q N q q... q q q q. p q Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή του μέσα στις παραπάνω Σχέσεις, συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα κάθε Σκοπευτή επιτυχώς τον Στόχο, είναι ίση με να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του, προσβάλλοντας p q N,,..., N και ε q. Ι... Παράδειγμα. Τρία Άρματα, και ρίπτουν άπαξ τα πυρά τους κατά την ως άνω σειρά σημαδεύοντας έκαστο εξ αυτών τον δικό του Στόχο. Κάθε Στόχος αποτελείται από έξι 6 επί μέρους συνιστώσες. Το πρώτο από τα τρία Άρματα που θα καταφέρει να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του θεωρείται ότι επέτυχε στην αποστολή του, και η όλη διαδικασία τερματίζεται με τα υπόλοιπα δύο να θεωρείται ότι απέτυχαν. ). Ποια η πιθανότητα ενός εκάστου από τα τρία Άρματα να επιτύχει στην αποστολή του; ).Με δεδομένο ότι κάποιο από τα τρία αυτά Άρματα θα καταφέρει οπωσδήποτε να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του, να υπολογισθεί η πιθανότητα ενός εκάστου από τα τρία Άρματα να επιτύχει στην αποστολή του. Απάντηση. Έστωσαν και :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο το Άρμα θα καταφέρει να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του>> :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο το Άρμα δεν θα καταφέρει να πλήξει και,, 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

35 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Θέτουμε τις έξι συνιστώσες του Στόχου του>>,,. Επειδή Ẽ: <<το ενδεχόμενο κατά το οποίο κανένα Άρμα δεν θα καταφέρει να πλήξει και μπορούμε να γράψουμε και Ẽ,,, τις έξι συνιστώσες του Στόχου του>>., και Ẽ αντιστοίχως. Έτσι, εισάγοντας τους συμβολισμούς,, και ε ( Ẽ ), και εφαρμόζοντας το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), έχουμε 5 /. () 6 Η τελευταία ισότητα προκύπτει γιατί 5 6 και γιατί, άπαξ και το Άρμα δεν καταφέρει να πλήξει και τις έξι 6 συνιστώσες του Στόχου του, το Άρμα θα δοκιμάσει πρώτο και επομένως Ομοίως,. / 5 /. () 6 Ẽ Η τελευταία ανισότητα προκύπτει αφενός από την ανεξαρτησία των ενδεχομένων και, σύμφωνα προς την οποία ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

36 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ , και αφετέρου γιατί, άπαξ και τα Άρματα και δεν καταφέρουν να πλήξουν και τις έξι 6 συνιστώσες των Στόχων τους, το Άρμα θα δοκιμάσει πρώτο και επομένως. / Τέλος, η πιθανότητα κατά την οποία όλα τα Άρματα δεν θα καταφέρουν να πλή- ξουν και τις έξι συνιστώσες των Στόχων τους είναι ίση με Ẽ ), ε ( 5 5 () 6 6 λόγω της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων, και. Καθώς διαπιστώνουμε ότι ε, Με άλλα λόγια η πιθανότητα κατά την οποία το πρώτο από τα τρία Άρματα θα καταφέρει να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του και να επιτύχει στην αποστολή του ισούται με Επί πλέον, βάσει των ανωτέρω Σχέσεων (),() και (), συμπεραίνουμε ότι. Κατά την ίδια λογική με το Μέρος, έχουμε , και ε ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

37 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5 5 και. 6 6 Όμως τώρα. Συνδυασμός των Σχέσεων αυτών οδηγεί στο συμπέρασμα ότι 6, 9 5 και. 9 9 Ε. ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ BAYES Ολοκληρώνουμε την αναφορά μας στο παρόν Εδάφιο περί βασικών Ορισμών και Τύπων των στοιχειωδών πιθανοτήτων σε απαριθμητούς δειγματοχώρους με την παράθεση των δύο τελευταίων θεμελιωδών Ιδιοτήτων: τότε και 5 η Ιδιότητα (Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας). Εάν j Ø j,, j,,... και..., /... /. / 6 η Ιδιότητα (Τύπος ή Θεώρημα Bayes). Εάν j Ø j,, j,,... και..., τότε / / / /... /. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

38 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Η 5 η Ιδιότητα είναι ευθεία απόρροια του Ορισμού Ι..5 καθώς και του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθόσον και επί πλέον τα ενδεχόμενα /,...,, είναι ξένα μεταξύ τους:... / /... /. H 6 η Ιδιότητα είναι άμεση συνέπεια της 5 ης Ιδιότητας και του Ορισμού Ι..5, επειδή και επειδή /... / / / : / / /... / / / /... /. Ι..4. Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι μία εστία φωτιάς μπορεί να διαδοθεί δημιουργώντας, ή νέες εστίες με πιθανότητες 4, και εστίες φωτιάς, η αρχική εστία θεωρείται ότι εξαφανίζεται. Αρχίζοντας με μία μόνον εστία φωτιάς, ας συμβολίσουμε με φωτιάς που θα προκύψουν τοιουτοτρόπως κατά την εστιών. αντιστοίχως. Μόλις δημιουργήσει τις νέες ή τον αριθμό των εστιών διάδοση και δημιουργία νέων 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

39 Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Να υπολογισθούν ). η πιθανότητα, ).η πιθανότητα κατά την οποία με δεδομένο ότι. Απάντηση.. Προφανώς, λόγω της ης Ιδιότητας, έχουμε. Εξ άλλου, σύμφωνα προς το Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας (: 5 η Ιδιότητα), / Όμως, εξ υποθέσεως, είναι / 4, /,, /, 4 /., /, και άρα η πιθανότητα κατά την οποία οι εστίες φωτιάς δ ε ν θα εξαληφθούν κατά την η διαδικασία διάδοσης της φωτιάς και δημιουργίας νέων εστιών ισούται με Σύμφωνα προς το Θεώρημα του Bayes (: 6 η Ιδιότητα), έχουμε / / / /. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.armscontrol.nfo 7 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές

Πιθανότητες και βακτηριουρία πυελονεφρίτιδα Πιθανότητες και ο καρκίνος της μήτρας Ιατρική διάγνωση με υπολογιστές ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πιθανότητες και Στατιστική ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων εσμευμένη πιθανότητα Ολική πιθανότητα Κανόνας του Bayes Υποκειμενική πιθανότητα Πιθανότητες και βακτηριουρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα