Desanka P. Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Desanka P. Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS)"

Transcript

1 Desanka P Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS) AKADEMSKA MISAO Beograd, 005

2

3 Predgovor Knjiga je nastala kao rezultat želje autora da jednu novu, vrlo atraktivnu oblast primenjene matematike približi studentima Matematičkog fakulteta u Beogradu kroz izborni predmet koji se već nekoliko godina predaje na završnoj godini studija Verujem da će ona biti od koristi i stručnjacima u drugim oblastima nauke i primena Tu pre svega mislim na one koji se na bilo koji način bave obradom digitalnih signala, dakle obradom nizova ili matrica brojevnih podataka, a tako - de i one koji koriste matematičke modele za opis i analizu složenih procesa u prirodi i društvu Dugo sam se dvoumila kako i da li uopšte da prevedem već odomaćeni termin vejvlet (engl wavelet) Kao što se iz samog naslova knjige vidi, odlučila sam se za donekle bukvalan prevod talasić, jer odgovara suštini ideje Sve oko nas, priroda i društvo, u stalnim je promenama, brzim ili sporim, kratkotrajnim ili dugotrajnim Stoga je potpuno prirodna ideja da se talasima, kratkim ili dugim, predstave procesi i pojave Pri tome nam poseban problem u njihovom proučavanju i razumevanju zadaju vrlo bitni tzv nelinearni efekti, koji se karakterišu brzim i kratkim promenama, te se mali talasi ili talasići javljaju kao idealan alat za njihovu analizu Zato nije iznena - denje što su veliki doprinos izgradnji ove teorije, pored matematičara, dali pre svega fizičari i inženjeri I kao što je Metoda konačnog elementa, osmišljena od strane inženjera i teorijski podržana od strane matematičara, napravila revoluciju posebno u modeliranju parcijalnim diferencijalnim jednačinama, očekujem da svetla budućnost talasićima tek predstoji Tome u prilog govori činjenica da je američki Federalni istražni biro (FBI) za obradu zapisa otisaka prstiju usvojio standard koji se zasniva na talasićima S obzirom da je celovita teorija talasića formirana tek osamdesetih godina prošlog veka, jasno je da postoje još mnoga otvorena pitanja i mogućnosti za istraživanja i primene Knjiga ima za cilj da uputi čitaoca samo u osnove teorije talasića i naznači neke oblasti u kojima se oni već uspešno primenjuju U uvodnom delu, prvo poglavlje, dat je kratak razvoj ideje u toku prošlog veka Teorija talasića je prirodni nastavak Fourier-ove transformacije i njene modifikacije Kratkotrajne Fourier-ove transformacije, te se u drugom poglavlju govori o ovim transformacijama i njihovoj vezi Konstatuju se njihovi nedostaci i uvode pojmovi talasić i transformacija talasićima kao alat kojim se neki od ovih nedostataka mogu prevazići Treće poglavlje posvećeno je multirezoluciji, tj reprezentaciji funkcije na različitim skalama prema precizno utvrdenim - pravilima, što predstavlja osnovnu ideju teorije talasića Polazeći od matematičke definicije multirezolucije, dolazi se do dilatacione jednačine i iii

4 iv njenog rešenja funkcije skaliranja, kao i veze ove funkcije sa talasićima Dokazuju se neke osobine funkcije skaliranja i talasića, i daju algoritmi za rešavanje dilatacione jednačine i konstrukciju talasića Povezivanje talasića sa filtrima koji se koriste u obradi diskretnih signala, za šta je zaslužna pre svega Ingrid Daubechies, doprinosi formiranju celovite teorije talasića Stoga je četvrto poglavlje posvećeno diskretnim signalima, filtrima i njihovoj vezi sa talasićima Posebno su analizirani ortogonalni filtri koji definišu Daubechies familiju talasića Neki nazivaju ove talasiće novim specijalnim funkcijama Neke osobine talasića bitne za aproksimaciju funkcija, kao što su egzistencija i glatkost rešenja dilatacione jednačine, kao i tačnost aproksimacije talasićima, analizirane su u poglavlju pet Ove osobine bazisa talasića odredene - su svojstvima filtra definisanog koeficijentima dilatacione jednačine Teorija daje opšte principe na osnovu kojih se mogu kreirati talasići željenih osobina Osnovni algoritmi važni za primenu talasića, pre svega piramidalni algoritam, dati su u poglavlju šest Raznovrsnost primena uslovila je modifikacije postojećih i razvoj novih metoda i algoritama, što će biti predmet daljih istraživanja i možda nastavak ove knjige Poslednje, sedmo poglavlje, sadrži kratak pregled osnovnih familija talasića i njihove osobine Takode - su navedene neke ideje za konstrukciju novih familija talasića, što nikako ne iscrpljuje sve što je do sada uradeno - Na kraju je ilustrovana raznolikost primene talasića navodjenjem nekih oblasti u kojima se oni koriste Mnogo više o tome može se naći na internetu, na nekoj od web adresa koje su navedene na kraju poslednjeg poglavlja Na kraju svakog poglavlja dat je izvestan broj zadataka koji, zajedno sa brojnim primerima datim u tekstu, pomažu čitaocu u razumevanju materijala obradenog - u knjizi Neki od zadataka predstavljaju primere ili tvrdenja - koja pojašnjavaju izloženi sadržaj, te se kao takvi i referišu u tekstu Radi lakšeg čitanja teksta, autor skreće pažnju na korišćene oznake Numeracija teorema, lema, definicija, posledica, primera i formula u svakom poglavlju počinje od broja jedan Pozivanje u tekstu na bilo koji od ovih iskaza iz nekog drugog poglavlja vrši se navodjenjem broja poglavlja ispred broja iskaza o kome je reč; na primer, (34) znači formula (4) u poglavlju 3, a teorema 31 označava teoremu 1 u poglavlju 3 Ukoliko se citiraju iskazi iz istog poglavlja, broj poglavlja je izostavljen I pored brojne strane literature koja sa različitih aspekata obra - duje ovu oblast, smatram da će ova knjiga biti od koristi studentima, a i diplomiranim studentima, pre svega matematičkih i tehničkih fakulteta, jer objedinjuje matematički i inženjerski pristup ovoj oblasti Knjiga je pisana tako da su pojmovi koji se koriste prethodno definisani, te se ne traži posebno predznanje Koristim ovu priliku da se zahvalim kolegama prof dr Branimiru Reljinu, prof dr Bošku Jovanoviću i prof dr Milošu Arsenoviću, kao i studentu poslediplomskih studija Zlatku Udovičiću na pažljivom čitanju rukopisa knjige i korisnim primedbama i sugestijama Beograd, januar 005 D P Radunović

5 Sadržaj 1 Uvod 1 Transformacija 5 1 Srednjekvadratna aproksimacija 5 Fourier-ova transformacija 10 3 Kratkotrajna Fourier-ova transformacija 16 4 Transformacija talasićima 1 3 Multirezolucija 7 31 Multirezolucijska analiza 7 3 Multirezolucijski razvoj funkcije Konstrukcija multirezolucije Ortogonalnost funkcije skaliranja i talasića Rešavanje dilatacione jednačine 4 36 Konstrukcija talasića 50 4 Filtri Signal 57 4 Filtar Nisko-frekvencijski i visoko-frekvencijski filtri Ortogonalni filtri Daubechies filtri Osobine filtra važne za talasiće 81 5 Osobine talasića Matrice filtra 89 5 Tačnost aproksimacije Konvergencija kaskadnog algoritma Glatkost funkcije skaliranja i talasića Reprezentacija talasićima Piramidalni algoritam Početni izbor koeficijenata Diskretna transformacija talasićima 114 v

6 vi SADRŽAJ 7 Primeri talasića Daubechies talasići 14 7 Biortogonalni talasići Interpolacioni talasići Kardinalni B-splajnovi Nestandardni talasići Talasići druge generacije Primene 148

7 Slike 11 Haar-ov razvoj 1 1 Schauder-ov razvoj 1 Srednjekvadratna aproksimacija za različite težinske funkcije 6 Bazisi u R 8 3 Fourier-ova analiza stacionarne i nestacionarne funkcije 18 4 Vremensko-frekvencijska lokalizacija funkcije 0 5 Efekat translacije i modulacije (a), i skaliranja (b) 0 6 Reprezentacije nestacionarne funkcije 3 7 Diadska mreža tačaka 5 31 Diadska dilatacija sinusne funkcije i Db talasića 8 3 Translacija Db talasića 9 33 Prostor funkcija koje su deo po deo konstanta Dilataciona jednačina četvrtke Prostor neprekidnih i deo po deo linearnih funkcija Dilataciona jednačina krov funkcije Bazisne funkcije prostora prekidnih deo po deo linearnih funkcija Kubni B-splajn Daubechies funkcija skaliranja Krov funkcija kao granica kaskadnog algoritma Sinusoida i talasić Jednačina Haar-ovog talasića Osnovni talasići Db (r = ) funkcija skaliranja i talasić Db3 (r = 3) funkcija skaliranja i talasić Različita odabiranja signala cos πt 58 4 Idealni filtri Gustina energijskog spektra maksimalno ravnog filtra Slaba konvergencija kaskadnog algoritma Aproksimacije Db funkcije skaliranja i talasića ( i 10 iteracija) Diskretna transformacija talasićima (DWT) 115 vii

8 viii SLIKE 63 Komponente signala u aproksimacionom prostoru i prostorima talasića Polazni i kompresovani signali Coiflet funkcija skaliranja i talasić 15 7 Biortogonalne funkcije skaliranja ((a) i (c)) i talasići ((b) i (d)) Interpolaciona funkcija skaliranja i talasić (M = 4) Linearni, kvadratni i kubni splajn Kvadratni splajn i priduženi talasić Krov funkcija i njoj pridružen semiortogonalni talasić Interpolacione funkcije skaliranja i usavršeni talasići 148

9 Glava 1 Uvod U istoriji matematike postoji nekoliko početaka analize talasićima, pri čemu se prvi od njih vezuje za ime Haar-a 1909 godine Većina toga je uradena - do 1930 godine, a od tada, u narednih pedesetak godina, javljali su se samo pojedinačni doprinosi koji nisu bili deo celovite teorije Pri tome, naziv talasić (wavelet) i odgovarajuća teorija nisu bili poznati, pa su mnoge specifične tehnike kasnije ponovo otkrivali fizičari i matematičari koji se bave talasićima Primenom talasića u obradi signala i slike, početkom osamdesetih godina prošlog veka, nastaje celovita teorija talasića i ekspanzija njihove primene u raznim oblastima Osnovna ideja potiče od Fourier-a (Jean-Baptiste Joseph), koji je 1807 godine izneo tezu da je svaka π-periodična integrabilna funkcija suma svog Fourier-ovog reda a 0 + (a k cos kx + b k sin kx), k za odgovarajuće vrednosti koeficijenata a k, b k (detaljnije u ) h(x) = { 1, x [0, 1) 0, x / [0, 1) h n (x) = h( j x k), n= j +k f(x) n (f, h n ) (h n, h n ) h n(x) [ j k, j (k+1)] Slika 11: Haar-ov razvoj Haar ([15]) se zapitao da li postoji ortonormirani sistem funkcija na intervalu [0, 1], 1

10 GLAVA 1 UVOD takav da za bilo koju funkciju f(x) neprekidnu na tom intervalu, red (f, h 0 )h 0 (x) + (f, h 1 )h 1 (x) + + (f, h n )h n (x) + (skalarni proizvod funkcija (f, h) je definisan form (1)) uniformno konvergira ka f(x) na intervalu [0, 1]? Ovaj problem ima beskonačno mnogo rešenja Haar je dao najjednostavnije rešenje, i ono vodi ka talasićima Za bazisnu funkciju h n (x) izabrao je karakterističnu funkciju diadskog intervala I n = [ j k, j (k + 1)), n = j + k, koja je jednaka jedan na tom intervalu i nula inače (slika 11) Aproksimacija funkcije f(x) parcijalnom sumom pomenutog reda nije ništa drugo nego dobro poznata aproksimacija neprekidne funkcije deo po deo konstantom, pri čemu su koeficijenti aproksimacije (f, h n ) srednje vrednosti funkcije f(x) na odgovarajućim diadskim intervalima Haar-ova aproksimacija pogodna je za funkcije koje su samo neprekidne, čak samo integrabilne sa kvadratom na intervalu [0, 1], ili, opštije, funkcije čiji je indeks regularnosti blizak nuli (x) n (x), n = j +k f(x) n (f, n ) ( n, n ) n(x) [ j k, j (k+1)] Slika 1: Schauder-ov razvoj Faber i Schauder (190) su zamenili Haar-ove funkcije h n (x) njihovim primitivnim funkcijama, krov funkcijama (slika 1), gde je n (x) = ( j x k), n = j + k, j 0, 0 k < j x, x [0, 1/] (x) = (1 x), x [1/, 1] 0, x [0, 1] Dodajmo još funkcije 1 i x i dobijamo Schauder-ov bazis 1, x, 1 (x),, n (x), u prostoru neprekidnih funkcija na intervalu [0, 1] Svaka neprekidna funkcija na tom intervalu može se predstaviti redom f(x) = a + b x + α n n (x), n=1

11 3 pri čemu je a = f(0), b = f(1) f(0) (jer je n (0) = n (1) = 0 za n > 0), a koeficijenti α n su odre - deni vrednostima funkcije u diadskim tačkama α n = f ( (k + 1/) j) 1 ( f(k j ) + f ( (k + 1) j)), n = j + k Korišćenjem Schauder-ovog bazisa Paul Levy (1930) je analizirao multifraktalnu strukturu Braun-ovog kretanja, i dobio bolje rezultate u proučavanju svojstava lokalne regularnosti u odnosu na rezultate dobijene pomoću Fourier-ovog bazisa Schauder-ov bazis ostvaruje ideju multirezolucijske analize kroz preslikavanje x j x k, što se ne može postići trigonometrijskim funkcijama, a što omogućava analizu složenih detalja Pola veka kasnije, osamdesetih godina, talasići ponovo bivaju otkrivani, mada su se matematičari sve vreme njima bavili, kao atom dekompozicijom, da bi omogućili direktan i jednostavan pristup različitim funkcionalnim prostorima Kroz ceo taj period ( ) bilo je malo saradnje, posebno sa fizičarima i istraživačima u oblasti obrade signala, te su ovi ponovo otkrivali i konstruisali talasiće Danas granice izmedu - matematičkog pristupa i pristupa sa stanovišta obrade signala i slike postepeno nestaju Upravo ta veza je dovela do ogromnog napretka u ovoj oblasti i talasića Ingrid Daubechies, kao novih specijalnih funkcija Prvi put naziv talasić (engl wavelet) u njegovom sadašnjem značenju upotrebili su Grossmann, fizičar, i Morlet, inženjer, ([14]) početkom osamdesetih godina prošlog veka Na osnovu fizičke intuicije definisali su talasiće u kontekstu kvantne fizike Baveći se obradom digitalnih signala Stephane Mallat ([16]) je dao novi doprinos teoriji talasića povezujući pojmove filtri sa ogledalskom simetrijom (engl mirror filters), piramidalni algoritam i ortonormirani bazis talasića Yves Meyer ([18]) je konstruisao neprekidno diferencijabilni talasić, čiji je nedostatak što nema kompaktan nosač (konačan domen na kome je različit od nule) Konačno, Ingrid Daubechies ([7]) je uspela da upotpuni Haar-ov rad konstrukcijom različitih familija ortonormiranih bazisa talasića Za svaki ceo broj r Daubechies je konstruisala ortonormirani bazis u prostoru L oblika j/ ψ r ( j x k), j, k Z, odre - den funkcijom ψ r (x) koja ima sledeće osobine: 1 Kompaktan nosač funkcije ψ r (x) je interval [0, r 1] Funkcija ψ r (x) ima r momenata jednakih nuli, ψ r (x) dx = = x r 1 ψ r (x) dx = 0 3 Funkcija ψ r (x) ima γr neprekidnih izvoda, pri čemu je γ 0 Haar-ov sistem funkcija je Daubechies familija talasića za r = 1 Daubechies talasići omogućavaju mnogo efikasniju analizu ili sintezu glatke funkcije ukoliko je r veće Naime, ako funkcija koja se analizira ima m neprekidnih izvoda, gde

12 4 GLAVA 1 UVOD je 0 m r, koeficijenti b j,k u razvoju po Daubechies bazisu su reda veličine (m+1/)j, a ako je m > r, koeficijenti b j,k su reda veličine (r+1/)j To znači da su za regularnu funkciju vrednosti koeficijenata za veće r mnogo manje nego u slučaju, na primer, korišćenja Haar-ovog sistema, kada su ovi koeficijenti reda 3j/ Ova osobina je osnov za kompresiju podataka, koja se sastoji u zanemarivanju malih koeficijenata (manjih po apsolutnoj vrednosti od nekog zadatog praga), što omogućava pamćenje podataka ili funkcije pomoću minimalnog skupa preostalih koeficijenata Svojstvo je lokalno, jer Daubechies talasići imaju kompaktan nosač Sinteza pomoću Daubechies talasića višeg reda tako - de daje bolje rezultate nego sinteza Haar-ovim sistemom, jer se pri korišćenju Haar-ovog sistema glatka funkcija aproksimira prekidnom funkcijom Opširnije o Daubechies talasićima (i filtrima) biće reči u 45 Ono što je vazno istaći jeste da, za razliku od Fourier-ove analize koja se zasniva na jednom skupu funkcija (trigonometrijskim funkcijama), reprezentacija talasićima je moguća po beskonačno mnogo različitih bazisa Familije talasića se razlikuju po tome koliko kompaktno su bazisne funkcije lokalizovane u prostoru i koliko su glatke Optimalni izbor bazisa, tj reprezentacije, zavisi od svojstava koja u posmatranom problemu želimo da analiziramo Izabrani bazis sadrži u tom smislu bitne informacije o funkciji ili signalu

13 Glava Transformacija Svaka reprezentacija čini eksplicitnom neku informaciju na račun drugih, koje su prikrivene i teško ih je uočiti Transformacija iz jednog oblika u drugi, tj predstavljanje po različitim bazisima, vrši se radi uočavanja nekih osobina elementa čiju reprezentaciju pišemo Naš cilj je dobijanje optimalne reprezentacije, pri čemu je optimalnost uslovljena informacijom koju želimo da dobijemo PRIMER 1 Arapski, rimski i binarni numerički sistemi su formalni sistemi za predstavljanje brojeva Arapska reprezentacija se sastoji od niza simbola izabranih iz skupa {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i pravilo za konstrukciju opisa datog celog broja n je da se n razloži na zbir umnožaka stepena broja 10 U arapskoj numeričkoj reprezentaciji lako je otkriti da li je broj stepen broja 10, ali je teško otkriti da li je stepen broja Za to je pogodnija binarna reprezentacija Od dobijene informacije u mnogome zavisi koliko je lako uraditi različite stvari sa njom Lako je sabirati, oduzimati pa čak i množiti brojeve predstavljene arapskom ili binarnom reprezentacijom, ali nije lako izvršiti ove operacije, posebno množenje, sa rimskim brojevima 1 Srednjekvadratna aproksimacija U ovoj knjizi ćemo se baviti različitim reprezentacijama funkcija iz prostora L Hilbert-ov prostor L (p; a, b) je prostor funkcija integrabilnih sa kvadratom na odsečku [a, b], { b L (p; a, b) = f p(x) [ f(x) ] } dx < a Funkcija p(x) naziva se težinskom funkcijom Definisana je na odsečku [a, b] i zadovoljava uslov p(x) > 0 skoro svuda, može biti jednaka nuli samo na skupu mere nula Oznaka L (a, b) će se koristiti kada je težinska funkcija p(x) 1 Broj 5

14 6 GLAVA TRANSFORMACIJA ( b f = p(x) [ f(x) ] ) 1/ dx a se često naziva energijskom normom funkcije f(x) Stoga možemo reći da je L prostor funkcija koje imaju konačnu energiju Ova norma je indukovana skalarnim proizvodom (1) (f, g) = b a p(x)f(x)g(x) dx, f = (f, f), gde g(x) predstavlja funkciju konjugovano-kompleksnu funkciji g(x) Najbolja srednjekvadratna aproksimacija za funkciju f L (p; a, b) u potprostoru H L (p; a, b), odre - denom linearno nezavisnim funkcijama g k (x) L (p; a, b), k = 0,, n, je generalisani polinom () Q n(x) = c 0g 0 (x) + + c ng n (x), koji najmanje odstupa od funkcije f(x) u smislu energijske norme, f Q n = inf f Q n = Q n H inf Q n H ( 1/ b p (f Q n ) dx) Dakle, Q n(x) je ona funkcija iz skupa dopustivih funkcija Q n (x) = n k=0 c kg k (x) kojom se postiže minimalno odstupanje u srednjem, tj u nekom smislu minimalna veličina površine koju obrazuju funkcije f(x) i Q n (x) i prave x = a i x = b, dok u pojedinim tačkama intervala odstupanje funkcije Q n(x) od f(x) može biti veliko Pomoću funkcije p(x) postiže se različiti kvalitet aproksimacije u različitim delovima intervala Naime, u tačkama intervala u kojima je p(x) veće, razlika f(x) Q n(x) je množena većim koeficijentom, te sa većom težinom ove tačke učestvuju u minimizaciji Iz tog razloga je funkcija p(x) nazvana težinskom a (a) (b) Slika 1: Srednjekvadratna aproksimacija za različite težinske funkcije

15 1 SREDNJEKVADRATNA APROKSIMACIJA 7 PRIMER Na slici 1 prikazani su polinomi najbolje srednjekvadratne aproksimacije devetog stepena (puna linija) funkcije f(x) = 1/(1 + 5x ) (isprekidana linija) za težinsku funkciju p(x) 1 (a), i p(x) = e 10x (b) Svaki Hilbert-ov prostor je strogo normiran linearni prostor, f + g = f + g g = λf, λ R, te najbolja aproksimacija Q n(x) uvek postoji i jedinstveno je odre - dena Napomenimo da su u knjizi korišćene uobičajene oznake: Z je skup celih, R skup realnih, a C skup kompleksnih brojeva LEMA 1 Q n(x) je najbolja aproksimacija funkcije f(x) L (p; a, b) u potprostoru H ako i samo ako je (f Q n, Q n ) = 0 za svaku funkciju Q n H Dokazi prethodnih tvr - denja mogu se naći u [3] Lemom 1 se tvrdi da Q n(x) predstavlja ortogonalnu projekciju funkcije f(x) na potprostor H, pa se u uslovu ortogonalnosti proizvoljna funkcija Q n (x) može zameniti bazisnim funkcijama ovog potprostora g j (x), j = 0,, n, (f Q n, g j ) = 0, j = 0,, n Odavde, pak, sledi da se koeficijenti u reprezentaciji () nalaze kao rešenja sistema linearnih jednačina n (3) c k(g k, g j ) = (f, g j ) j = 0,, n k=0 Determinanta matrice sistema (3) je Gramm-ova determinanta G(g 1,, g n ) = det ( (g k, g j ) ) i različita je od nule jer smo pretpostavili da su funkcije g k (x), k = 0,, n, linearno nezavisne Kako je sistem (3) sve lošije uslovljen što je dimenzija sistema veća, poželjno je koristiti ortonormirane sisteme funkcija Bazis {g k } n k=0 konačno-dimenzionog prostora naziva se ortonormirani bazis ukoliko bazisne funkcije zadovoljavaju uslove (slika (a)) (g k, g j ) = δ(k j) = { 1, k = j, 0, k j, k, j = 0,, n Tada je matrica sistema (3) jedinična matrica, i njegova rešenja su Fourier-ovi koeficijenti funkcije f(x) po ortonormiranom sistemu funkcija {g k (x)} n k=0, (4) c k = (f, g k ), k = 0,, n Najbolja aproksimacija po ortonormiranom bazisu data je izrazom n Q n(x) = (f, g k ) g k (x) k=0

16 8 GLAVA TRANSFORMACIJA Kada je n =, a prebrojiv ortonormirani sistem funkcija {g k (x)} k=0 potpun (ne postoji ni jedan drugi element prostora koji je različit od nule i ortogonalan je na svim elementima sistema), funkcija f(x) je predstavljena svojim Fourier-ovim redom, (5) f(x) = (f, g k ) g k (x), k=0 pri čemu red konvergira ka funkciji f(x) u L normi jer ([3]) LEMA U Hilbert-ovom prostoru Fourier-ov red proizvoljnog elementa po potpunom ortonormiranom sistemu elemenata konvergira ka tom elementu Posledica ove leme je Parseval-ova jednakost, kojom se izražava jednakost energijskih normi funkcije f(x) i vektora njenih Fourier-ovih koeficijenata (4), (6) f = (f, g k ) k=0 Generalisana Parseval-ova jednakost glasi (f, h) = (f, g k ) (h, g k ) k=0 e 1 g 0 e 1 =γ 1 g 1 g 1 e 1 e 0 e 0 =g 0 e 0 =g 0 g 1 γ 0 (a) (b) g (c) Slika : Bazisi u R U daljem tekstu biće nam potrebni i sledeći pojmovi o bazisima: Biortogonalni bazisi su dva kompletna skupa linearno nezavisnih elemenata {g k } i {γ k } Hilbert-ovog prostora takvi da je (slika (b)) (7) (g k, γ j ) = δ(k j) Parseval-ova jednakost za biortogonalne bazise ima oblik f = k (f, g k ) (f, γ k ),

17 1 SREDNJEKVADRATNA APROKSIMACIJA 9 a generalisana Parseval-ova jednakost glasi (f, h) = k (f, g k ) (h, γ k ) = k (f, γ k ) (h, g k ) Riesz-ov bazis (stabilan bazis) je prebrojiv podskup elemenata {g k } Hilbert-ovog prostora koji zadovoljava uslov da se svaki element f tog prostora može jednoznačno predstaviti u obliku sume f = k c kg k (x), pri čemu postoje pozitivne konstante A i B takve da je (8) A f k c k B f, 0 < A B < U konačno dimenzionom prostoru svaki bazis je Riesz-ov bazis Ortonormirani bazis je Riesz-ov bazis sa konstantama A = B = 1 Bazis 1, x, x, nije Riesz-ov bazis u L (0, 1), jer je konstanta A = 0 Skalarni proizvodi (x k, x l ) = 1/(k + l + 1) su elementi loše uslovljene Hilbert-ove matrice, pa beskonačno dimenziona Hilbert-ova matrica nije pozitivno definitna Okvir (engl frame) je kompletan, ali preodre - den skup elemenata {g k } Hilbert-ovog prostora (elementi su linearno zavisni, slika (c)), i A f k (f, g k ) B f, 0 < A, B < Okvir je tesan ako je zadovoljen uslov (f, g k ) = A f, te je f(x) = A 1 k k (f, g k )g k (x) Ova reprezentacija nije jednoznačna, jer joj se može dodati izraz k β kg k (x) = 0, koji je posledica linearne zavisnosti elemenata okvira Vratimo se Fourier-ovom redu (5) funkcije f(x) Za odre - dene oblike težinske funkcije p(x) ortonormirani sistemi funkcija su poznati ([1]): Sistem Legendre-ovih polinoma ortogonalni su na intervalu [ 1, 1] u odnosu na težinsku funkciju p(x) 1; Sistem Čebišev-ljevih polinoma prve vrste ortogonalni su na intervalu [ 1, 1] u odnosu na težinsku funkciju p(x) = 1/ 1 x ; Sistem Hermite-ovih polinoma ortogonalni su na intervalu [, ] u odnosu na težinsku funkciju p(x) = e x ; Sistem trigonometrijskih funkcija ortogonalne su na intervalu [ π, π] u odnosu na težinsku funkciju p(x) 1, i drugi

18 10 GLAVA TRANSFORMACIJA Fourier-ova transformacija U uvodu je pomenuto da je Fourier otkrio da se superpozicijom sinusa i kosinusa mogu predstaviti druge funkcije, (9) f(x) = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) k=1 Zbog ortogonalnosti sistema funkcija 1, sin x, cos x, sin x, cos x,, sin nx, cos nx,, matrica sistema (3) po koeficijentima razvoja (9) je dijagonalna, te se ovi odreduju - po formulama ( ) f, cos kx (10) a k = ( ) = 1 cos kx, cos kx π ( ) f, sin kx b k = ( ) = 1 sin kx, sin kx π π π π π f(x) cos kx dx k = 0,, n, f(x) sin kx dx k = 1,, n Dakle, svaku dovoljno glatku periodičnu funkciju moguće je predstaviti njenim trigonometrijskim Fourier-ovim redom (9), odnosno prikazati je kao linearnu kombinaciju sinusoida sin kx i cos kx, k = 1,,, čija je frekvencija (učestanost) oscilovanja na intervalu dužine π jednaka k Konstantni član a0 je srednja vrednost funkcije f(x) na intervalu ( π, π), f sr = a 0 = 1 π π π f(x) dx, a ostali sabirci u redu (9) osciluju oko nule i suma im je f f sr Predstavljanje funkcije u frekvencijskom domenu naziva se Fourier-ova ili harmonijska analiza Zamenom u redu (9) funkcija sin kx i cos kx funkcijama kompleksne promenljive sin kx = 1 ı ( e ıkx e ıkx), cos kx = 1 ( e ıkx + e ıkx), (imaginarna jedinica ı = 1) dobija se zapis Fourier-ovog reda u kompleksnom obliku (11) f(x) = c k e ıkx k= Sistem funkcija {e ıkx } k je potpun ortogonalni sistem funkcija na intervalu [ π, π], { π (e ıkx, e ılx ) = e ıkx e ılx 0, za k l, dx = π, za k = l, π

19 FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA 11 te su Fourier-ovi koeficijenti u reprezentaciji (11) jednaki ( ) f, e ıkx (1) c k = ( e ıkx, e ıkx) = 1 π f(x)e ıkx dx, k = 0, ±1,, π π a red (11), na osnovu leme, konvergira u L normi ka funkciji f(x) kojoj je pridružen Niz koeficijenata {c k } predstavlja spektar funkcije f(x), te se Fourierova analiza često naziva i spektralna analiza Prema Parseval-ovoj jednakosti (6) energijske norme funkcije i njenog spektra su jednake, f = k= c k Osim u spektralnoj analizi, reprezentacija (11) se često koristi i u drugim primenama zbog dobrih osobina funkcija e ıkx Naime, ove funkcije su sopstvene funkcije operatora diferenciranja i operatora konačnih razlika, d dx eıkx = ık e ıkx, e ıkx = ( e ıkh ) 1 e ıkx h Stoga se, korišćenjem reprezentacije (11), problem opisan diferencijalnom ili diferencnom jednačinom može svesti na problem opisan algebarskom jednačinom Red (11), sa koeficijentima datim izrazom (1), je pridružen π-periodičnoj funkciji f(x) Da bi se dobile odgovarajuće formule za funkciju periodičnu na intervalu dužine T, u formuli (1) uvedimo smenu x = π T t, c k = 1 T f ( π T T T t) π ık e T t dt = 1 T f T (t)e ıωt dt, T T gde je f T (t) f ( π π T t) periodična funkcija sa periodom T i ω = k T Uvo denjem - navedene smene i oznake ω = π T u izraz (11), dobijamo Fourier-ov red za funkciju f T (t), ( T ) (13) f T (t) = c k e ıωt 1 = T eıωt f T (τ)e ıωτ dτ T k= k= Kada T funkcija f T (t) teži neperiodičnoj funkciji F (t) = lim T f T (t), a 1 suma u drugoj jednakosti izraza (13) teži integralu po ω, jer T = ω π 0 kada T Izraz (13) u graničnom slučaju glasi ( dω ) (14) F (t) = π eıωt F (τ)e ıωτ dτ Izraz u zagradi u relaciji (14) naziva se Fourier-ovom transformacijom F (x) i funkcija je frekvencije ω, (15) ˆF (ω) = F (x)e ıωx dx, funkcije

20 1 GLAVA TRANSFORMACIJA a izraz (14), kada se (15) uzme u obzir, je inverzna Fourier-ova transformacija kojom se funkcija ˆF (ω) transformiše natrag u funkciju F (x), (16) F (x) = 1 π ˆF (ω)e ıωx dω Parseval-ova jednakost (6), koja govori o očuvanju energijske norme pri Fourierovoj transformaciji, važi i u ovom graničnom slučaju Da bismo je dokazali, definišimo pojam konvolucije funkcija DEFINICIJA 1 Konvolucija f g funkcija f i g je funkcija promenljive x koja je definisana integralom (17) (f g)(x) = f(t) g(x t) dt PRIMER 3 Konvolucija karakteristične funkcije ℵ (0,1) (x) intervala (0, 1) i neprekidne funkcije f(x) je srednja vrednost neprekidne funkcije na intervalu (x 1, x) Zaista, kako je funkcija ℵ (0,1) (x) = 1 samo kada je 0 x < 1, a za ostale vrednosti argumenta jednaka nuli, to je 1 x (ℵ (0,1) f)(x) = ℵ (0,1) (t)f(x t) dt = f(x t) dt = f(t) dt 0 x 1 Ako je g(x) = e ıωx, konvolucija je, prema (15) jednaka (f g)(x) = f(t)e ıω(x t) dt = e ıωx f(t)e ıωt dt = ˆf(ω) e ıωx To znači da su kompleksne eksponencijalne funkcije e ıωx sopstvene funkcije i operatora konvolucije, što dopunjuje spisak dobrih osobina ovih funkcija Odgovarajuća sopstvena vrednost je Fourier-ova transformacija ˆf(ω) za datu frekvenciju ω TEOREMA 1 (KONVOLUCIONA TEOREMA) Fourier-ova transformacija konvolucije dve funkcije jednaka je proizvodu njihovih Fourier-ovih transformacija, (18) (f g)(ω) = ˆf(ω) ĝ(ω) Dokaz: Tvrdenje - sledi na osnovu definicija (15) i (17), ( ) (f g)(ω) = (f g)(x)e ıωx dx = f(t)g(x t) dt e ıωx dx ( ) = f(t) g(x t)e ıωx dx dt ( ) = f(t) g(u)e ıω(u+t) du dt ( ) ( ) = f(t)e ıωt dt g(u)e ıωu du = ˆf(ω) ĝ(ω)

21 FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA 13 Nasuprot konvolucionoj teoremi, modulaciona teorema izražava Fourier-ovu transformaciju proizvoda dve funkcije kao konvoluciju njihovih Fourier-ovih transformacija, (f g)(ω) = 1 π ( ˆf ĝ)(ω) Modulacija je translacija u frekvencijskom domenu Dokažimo sada Parseval-ovu jednakost za Fourier-ovu transformaciju TEOREMA Parseval-ova jednakost za funkciju f(x) i njenu Fourier-ovu transformaciju ˆf(ω) glasi (19) f(x) dx = 1 π ˆf(ω) dω Dokaz: Fourier-ova transformacija funkcije g(x) = f( x) jednaka je ĝ(ω) = f( x)e ıωx dx = f(x)e ıωx dx = f(x)e ıωx dx = ˆf(ω), a konvolucija (17), za pomenuti izbor funkcije g(x), u tački x = 0, glasi (0) (f g)(0) = f(t) g( t) dt = f(t) f(t) dt = f Sa druge strane, inverzna Fourier-ova transformacija (16) konvolucije (18) data je izrazom (f g)(x) = 1 ˆf(ω) ĝ(ω)e ıωx dω, π što u tački x = 0 daje drugi izraz za (0), (f g)(0) = 1 ˆf(ω) ĝ(ω)e 0 dω = 1 ˆf(ω) π π ˆf(ω) dω = 1 π ˆf Izjednačavanjem poslednjeg izraza sa (0) dobijamo Parseval-ovu jednakost (19) Uopštenje Parseval-ove jednakosti (19) za Fourier-ovu transformaciju iskazuje jednakost skalarnih proizvoda u vremenskom i frekvencijskom domenu ([31]), (1) (f, g) = 1 π ( ˆf, ĝ), tj f(x)g(x) dx = 1 ˆf(ω)ĝ(ω) dω π Saglasno uvedenim pojmovima za Fourier-ovu (15) i inverznu Fourier-ovu transformaciju (16), Fourier-ov red (11) možemo smatrati diskretnom varijantom inverzne Fourier-ove transformacije: frekvencija je diskretna, ω = k, pa je ˆf(ω) c k U praksi je često i promenljiva x diskretna Naime, funkcija f(x) nije data za svako x već samo za diskretne vrednosti nezavisno promenljive x = n, u obliku

22 14 GLAVA TRANSFORMACIJA niza f(n) U slučaju da je x diskretna veličina, govorimo o Diskretnoj Fourier-ovoj transformaciji (ω neprekidno) i Diskretnom Fourier-ovom redu (i ω diskretno) Rezimirajući sve što je rečeno, zaključujemo da možemo razlikovati sledeće oblike Fourier-ove analize (a) Fourier-ova transformacija (CTFT= Continuous Time Fourier Transformation) ˆf(ω) = f(x) = 1 π f(x)e ıωx dx, ˆf(ω)e ıωx dω, Fourier-ova transformacija Inverzna Fourier-ova transformacija (b) Fourier-ov red (CTFS=Continuous Time Fourier Series) za periodičnu funkciju f(x + T ) = f(x) ˆf(k) = 1 T f(x) = T/ k= T/ f(x)e ıkω0x dx ˆf(k)e ıkω0x ω 0 = (c) Diskretna po vremenu Fourier-ova transformacija (DTFT= Discrete Time Fourier Transformation) ˆf(ω) = f(n)e ıωn, f(n) = 1 π n= π π ˆf(ω)e ıωn dω (d) Diskretan po vremenu Fourier-ov red (DTFS=Discrete Time Fourier Series) za periodičan niz f(n) = f(n + ln), l Z π T ˆf(k) = N 1 n=0 f(n) = 1 N f(n)(w N ) nk, k Z, N 1 k=0 ˆf(k)(W N ) nk, n Z, W N = e ıπ/n Terminom Diskretna Fourier-ova Transformacija (DFT) naziva se transformacija jednog perioda periodične funkcije diskretnog argumenta, i definisana je poslednjim formulama (d) za 0 k, n N 1 Zašto je uopšte potrebno vršiti neku od navedenih transformacija funkcije? U realnim problemima funkcijom se zapisuje signal bilo koja fizička veličina koja se menja u vremenu, prostoru ili po nekoj drugoj nezavisnoj promenljivoj Ako signal zavisi od vremena, njegov grafik će biti predstavljen u koordinatnom sistemu vremeamplituda, gde x-osa označava vreme, a y-osa amplitudu, tj vrednost predstavljene

23 FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA 15 fizičke veličine u datom vremenskom trenutku Me - dutim, često se najvažnije informacije kriju u frekvencijskom sadržaju koji je predstavljen frekvencijskim spektrom (koeficijentima Fourier-ovog reda) signala Intuitivno nam je jasno da je frekvencija povezana sa brzinom promene nečega ako se nešto brzo menja, kažemo da je visoke frekvencije, a ako se menja sporo, kažemo da je niske frekvencije Fourier-ovom transformacijom se dobija frekvencijski sadržaj signala, tj dobija se reprezentacija u koordinatnom sistemu frekvencija-amplituda Grafik Fourier-ove transformacije pokazuje sa kojim intenzitetom se svaka frekvencija pojavljuje u frekvencijskom spektru signala PRIMER 4 U medicini je poznat ECG (Electro Cardio Graphy) signal, koji registruje električnu aktivnost srca Klasičan zapis je u vremenskom domenu, ali se sve više koriste novi kompjuterski ECG rekorderi koji mogu da daju informacije i o frekvencijskom sadržaju signala, i na osnovu kojih se lakše uočavaju neke patološke promene na srcu Da zaključimo, Fourier-ova transformacija se koristi radi dobijanja frekvencijske reprezentacije funkcije ili signala, što za neke probleme predstavlja važnu informaciju Za druge probleme je pogodniji neki drugi vid reprezentacije odredene - veličine Uopšte, transformacijom se u suštini meri sličnost neke funkcije f(x) sa datom funkcijom g(x) U kontinualnom slučaju, mera sličnosti funkcija f(x) i g(x) na intervalu I je skalarni proizvod (f, g) = f(x)g(x) dx; što je skalarni proizvod veći, I podudaranje je veće Obično transformacijom ocenjujemo sličnost izabrane funkcije sa celom klasom funkcija koje zavise od jednog ili više parametara, kao što je frekvencija ω u Fourier-ovoj transformaciji, koji mogu da se menjaju kontinualno ili diskretno Pomenutu klasu funkcija nazivamo bazis (ili okvir), i cilj je da izaberemo bazis kojim ćemo predstaviti našu funkciju tako da reprezentacija daje informacije o nama bitnim osobinama funkcije Pored već pomenute Fourier-ove transformacije u matematici i tehnici su poznate i druge transformacije, svaka sa svojim prednostima i nedostacima, pa time i sa odgovarajućim primenama PRIMER 5 Laplace-ova transformacija je uopštenje Fourier-ove transformacije na kompleksnu ravan ˆf(s) = f(x)e sx dx, s = σ + ıω, što se može posmatrati kao Fourier-ova transformacija funkcije f(x) e σx z-transformacija je uopštenje diskretne po argumentu Fourier-ove transformacije na kompleksnu ravan, ˆf(z) = n= f(n) z n, z C Na jediničnom krugu z = e ıω svodi se na diskretnu po argumentu Fourier-ovu transformaciju, a za z = ρe ıω predstavlja diskretnu po vremenu Fourier-ovu transformaciju niza f(n) ρ n

24 16 GLAVA TRANSFORMACIJA Saglasno klasifikaciji koja je već uvedena u Fourier-ovoj analizi, i u opštem slučaju razvoj dobijen integraljenjem naziva se transformacija, a sumiranjem red To vodi ka četiri moguće kombinacije neprekidan/diskretan argument i integral/suma razvoj, koje su za slučaj ortonormiranog bazisa {ψ(x, ω)} date formulama: (a) Neprekidna po argumentu transformacija f(x) = ˆf(ω)ψ(x, ω) dω, ˆf(ω) = f(x)ψ(x, ω) dx (b) Neprekidan po argumentu red f(x) = k ˆf(k)ψ(x, k) ˆf(k) = f(x)ψ(x, k) dx (c) Diskretna po argumentu transformacija f(n) = ˆf(ω)ψ(n, ω) dω (d) Diskretan po argumentu red f(n) = ˆf(k)ψ(n, k) k ˆf(ω) = f(n)ψ(n, ω) n ˆf(k) = f(n)ψ(n, k) n 3 Kratkotrajna Fourier-ova transformacija U Fourier-ovoj reprezentaciji nije moguće lokalizovati (vremenski ograničiti, ako x predstavlja vreme) pojavu nekog harmonika u složenoj funkciji, jer su trigonometrijske funkcije različite od nule na celoj realnoj pravoj Interferencijom sa drugim harmonicima poništava se efekat neke frekvencije u odre - denom delu domena Na primer, ako se u muzičkoj temi nota la pojavi u ograničenom vremenskom intervalu, pri harmonijskoj analizi muzičkog signala će se pojaviti odgovarajući harmonik sa odre - denom amplitudom i fazom, ali ne lokalizovan u vremenu Da li se ova nota čuje ili ne podešava se interferencijom pomoću bliskih harmonika Dakle, matematički zapis teme Fourier-ovom reprezentacijom je korektan, ali se odgovarajući harmonik pojavljuje u harmonijskoj analizi i u trenucima kada fizički nije prisutan u signalu Stoga se javlja potreba za vremensko-frekvencijskom reprezentacijom funkcije, koja je posebno izražena u slučaju funkcija sa oštrim pikovima ili diskontinuitetima Fourier-ova analiza je nepodesna za predstavljanje takvih funkcija, jer daje globalnu reprezentaciju funkcije po vremenu, a lokalnu po frekvencijama Kratak impuls ima polako opadajuće Fourier-ove koeficijente, te tačnost aproksimacije (rekonstrukcija) jako mnogo zavisi od broja harmonika

25 3 KRATKOTRAJNA FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA 17 PRIMER 6 Dirac-ova funkcija δ(x) je generalisana funkcija koja se definiše svojim dejstvom na druge funkcije Njom se predstavlja vrednost neke funkcije u tački (impuls), f(a) = f(x)δ(x a) dx Može se definisati i pomoću karakterističnih funkcija ℵ ε (x) intervala dužine ε, kada dužina intervala teži nuli, { 1, 0 x < ε 1 ℵ ε (x) =, δ(x) = lim 0, inače ε 0 ε ℵ ε(x) i δ(x) dx = 1 Fourier-ov red (11) Dirac-ove funkcije na odsečku [ π, π] glasi jer je, prema (1), δ(x) 1 ( 1 + e ıx + e ıx + e ıx + e ıx + ) π = 1 ( ) 1 + cos x + cos x +, π c k = 1 π π π δ(x)e ıkx dx = 1, k = 0, ±1, π Dirac-ova funkcija δ(x) ima Fourier-ove koeficijente c k = (π) 1 za svako k i oni ne teže nuli kada k Red k c k divergira, a Fourier-ov red u slabom smislu konvergira Sabirci poništavaju jedan drugog za svako x osim u tački x = 0, gde se sabirci superponiraju, što se može zaključiti na osnovu ponašanja niza parcijalnih suma Fourier-ovog reda S N (x) = 1 sin (N + 1 )x π sin 1 x, S N (0) = N + 1 π Možemo zaključiti da Fourier-ova transformacija daje spektralni sadržaj funkcije, ali je njen nedostatak što ne daje informaciju kada se u vremenu neka spektralna komponenta pojavljuje, a kada nestaje Stoga je pogodna za analizu stacionarnih funkcija, tj onih čije spektralne komponente neograničeno traju Za analizu nestacionarnih funkcija Fourier-ova transformacija je pogodna samo onda kada nam je bitan frekvencijski sadržaj funkcije, a ne i dužina trajanja pojedinih harmonika PRIMER 7 Uporedimo Fourier-ove transformacije stacionarne funkcije f 1 (x) = cos (π 10 x) + cos (π 5 x) + cos (π 50 x) + cos (π 100 x) i nestacionarne funkcije cos (π 10 x), 0 < x < 300 cos (π 5 x), 300 < x < 600 f (x) = cos (π 50 x), 600 < x < 800 cos (π 100 x), 800 < x < 1000

26 18 GLAVA TRANSFORMACIJA f1 30 f Slika 3: Fourier-ova analiza stacionarne i nestacionarne funkcije Prva funkcija ima četiri frekvencijske komponente sve vreme, dok druga ima iste četiri frekvencijske komponente ali u različitim vremenskim intervalima Spektri ovih funkcija su sličnog oblika (slika 3), osim što se kao posledica diskontinuiteta frekvencije javljaju male oscilacije u spektru druge funkcije Dakle, na osnovu Fourier-ove transformacije teško je uočiti razliku ovih, inače vrlo različitih, funkcija Za razlaganje, analizu i interpretaciju nestacionarnih funkcija potrebna je vremensko-frekvencijska reprezentacija koja će dati informaciju o tome kako se spektralni sadržaj funkcije menja sa vremenom Da bismo Fourier-ovom transformacijom izvršili frekvencijsku analizu nestacionarne funkcije, možemo domen funkcije podeliti na male vremenske intervale, i pretpostaviti da je u svakom od njih ona stacionarna To je ideja koja leži u osnovi Kratkotrajne Fourier-ove transformacije (STFT = Short Time Fourier Transformation) Što je interval uži, bolja je vremenska a lošija frekvencijska rezolucija (primer 6); i obrnuto, beskonačna dužina intervala odgovara standardnoj Fourier-ovoj transformaciji, koja daje savršenu frekvencijsku rezoluciju Segmentiranje funkcije vrši se pomoću prozorske funkcije, čija se širina odreduje - prema dužini intervala na kome je funkcija skoro stacionarna Najjednostavnija prozorska funkcija je karakteristična funkcija intervala ℵ (a,b) (x) (definisana u primeru 3) Zbog prekidnosti karakteristične funkcije, ovo nije najbolji izbor; bolji izbor je, na primer, Gauss-ovo zvono e ax /, gde a odreduje - širinu intervala STFT funkcije računa se kao Fourier-ova transformacija proizvoda prozorske funkcije i date funkcije Očigledno je da je ova transformacija funkcija frekvencije, ali i vremena koje odreduje - poziciju prozorske funkcije Ako sa w(x) označimo prozorsku funkciju, kratkotrajna Fourier-ova transformacija funkcije f(x), označena sa ST F T f (ω, τ), jednaka je ST F T f (ω, τ) = f(x)w(x τ)e ıωx dx Njom se meri sličnost izme - du funkcije sa jedne strane i pomeraja i modulacije (pomeraj po frekvenciji) prozorske funkcije sa druge strane, ST F T f (ω, τ) = ( f(x), g ω,τ (x) ), g ω,τ (x) = w(x τ)e ıωx

27 3 KRATKOTRAJNA FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA 19 Kao što je već napomenuto, što je vremenski interval kraći, to je frekvencijski opseg širi, i obrnuto Ekstremni slučajevi su funkcija sin(x), koja predstavlja jednu frekvenciju u beskonačnom vremenskom intervalu, i funkcija δ(x), koja predstavlja beskonačno mnogo frekvencija u jednom vremenskom trenutku (primer 6) To znači da ne možemo odrediti koja frekvencija postoji u datom momentu, već samo koji frekvencijski opsezi postoje u odre - denim vremenskim intervalima, što je posledica sledećeg tvr - denja PRINCIP NEODRE-DENOSTI ([5]) Ako funkcija f(x) opada brže od 1/ x kada x ±, tada je x ω 1 gde je () x = (x x ) f(x) dx, x = x f(x) dx f(x) dx f(x) dx, ω = (ω ω ) ˆf(ω) dω ˆf(ω), ω = dω ω ˆf(ω) dω ˆf(ω) dω Jednakost važi samo za Gauss-ove funkcije f(x) = a π e ax / Veličina x je centar, a x radius funkcije f(x), a ω centar i ω radius funkcije ˆf(ω) Ako su x i ω konačne veličine, funkcija f(x) definiše vremenskofrekvencijski prozor (Heisenberg-ova kutija) čija je površina, prema navedenom principu, ograničena sa donje strane Znači da se ne može postići proizvoljno velika rezolucija (malo ) i u vremenskom i u frekvencijskom domenu To se može i ovako formulisati: nemoguće je dobiti vremensku i frekvencijsku informaciju o funkciji u izabranoj tački vremensko-frekvencijske ravni Najviše što možemo saznati je koje spektralne komponente postoje u bilo kom datom vremenskom intervalu Princip neodredenosti - ukazuje da je vrlo bitno kako se funkcija deli po vremenskim intervalima da bi se analizirala Nedostatak Kratkotrajne Fourier-ove transformacije je upravo to što su vremenski intervali jednaki, što znači da je rezolucija za svako x ista Promenljiva vremenska rezolucija bi trebalo da omogući da se više frekvencije prikažu sa boljom vremenskom rezolucijom, a niže frekvencije prikažu sa boljom frekvencijskom rezolucijom To se može postići definisanjem bazisnih funkcija koje su medusobno - povezane elementarnim transformacijama: translacija, modulacija i skaliranje Translacija je pomeraj po vremenu f(x τ), a modulacija je pomeraj po frekvenciji i postiže se množenjem funkcije f(x) funkcijom e ıω0x Skaliranjem f(x/a), a > 0, menja se frekvencija Veće a (a >> 1) odgovara dugim bazisnim funkcijama kojima će u analizi biti opisane duge i sporo promenljive komponente funkcije Malo a (0 < a < 1) definiše kratke bazisne funkcije koje će opisivati kratke promene

28 0 GLAVA TRANSFORMACIJA ω ˆf(ω) f / / / / / I ω / / / / / / / / / / / / / / / I x x f(x) Slika 4: Vremensko-frekvencijska lokalizacija funkcije U Fourier-ovoj analizi koriste se proizvoljno skalirane funkcije e ıωx za frekvencijsku lokalizaciju, ali one nisu vremenski lokalizovane Potrebno je konstruisati bazisne funkcije čija je skala proporcionalna njihovom trajanju Postoje razni načini da se definiše lokalizacija odredene - funkcije Na primer, mogu se definisati intervali I x i I ω koji sadrže 90% energije vremenskog i frekvencijskog domena funkcije, i koji su centrirani oko maksimalnih vrednosti veličina f(x) i ˆf(ω) Time je definisan pravougaonik f u vremensko-frekvencijskom domenu (slika 4) ω ω 0 f / / / // / / f f / // / // / / / // / // / / / τ x 6ω 0 5ω 0 4ω 0 3ω 0 ω 0 ω 0 ω f \ \ \ \ \ \ \ \ \ f / / / / / τ 0 τ 0 3τ 0 4τ 0 5τ 0 6τ 0 x (a) (b) Slika 5: Efekat translacije i modulacije (a), i skaliranja (b) Analizirajmo sada kakav efekat pomenute transformacije proizvode na pravougaonik f Translacija u vremenu za τ proizvodi pomeranje pravougaonika (položaj f na slici 5(a)) za τ duž vremenske ose (horizontalno) Slično, modulacija za e ıω0x pomera pravougaonik (položaj f na slici 5(a)) duž frekvencijske ose (vertikalno) za ω 0 Za razliku od ovih transformacija pri kojima pravougaonik ne menja oblik već samo položaj, skaliranje za a, ili f (x) = f(x/a) (slika 5(b)) menja i položaj i dimenzije pravougaonika I x = a I x i I ω = 1 a I ω, na osnovu svojstva skaliranja

29 4 TRANSFORMACIJA TALASIĆIMA 1 Fourier-ove transformacije Bazisne funkcije definisane primenom pomenutih transformacija na jednu funkciju su talasići 4 Transformacija talasićima Dennis Gabor je 1946 godine prvi definisao vremensko-frekvencijske funkcije, tzv Gabor-ove talasiće ([11]) Njegova ideja je bila da talas, čiji je matematički zapis cos (ωt + ϕ), izdeli na segmente i zatim zadrži samo jedan od njih Dakle, Gabor-ov talasić sadrži tri informacije: početak, kraj i frekvencijski sadržaj izmedu - Teškoće su se pojavile kada je trebalo primeniti ovu transformaciju na funkciju diskretnog argumenta Talasić (engl wavelet) je funkcija talasne prirode sa kompaktnim nosačem Nazvana je talas zbog oscilatorne prirode, a mali zbog konačnog domena na kome je različita od nule (kompaktnog nosača) Skaliranja i translacije osnovnog talasića ψ(x) ( majke ) definišu bazis talasića, ψ a,b (x) = 1 ψ ( x b), a > 0 a a Odgovarajućim izborom parametara skaliranja a i translacije b mogu se predstaviti mali delovi komplikovane forme sa većom vremenskom rezolucijom (zumiranje oštrih, kratkotrajnih pikova), dok se glatki delovi mogu predstaviti sa manjom rezolucijom, što je posledica dobre osobine talasića da su bazisne funkcije vremenski ograničenog trajanja Medutim, - time smo izgubili važno svojstvo Fourier-ovih bazisnih funkcija e ıωx da su sopstvene funkcije operatora diferenciranja Talasići nisu sopstvene funkcije operatora / x, frekvencije su pomešane, što znači da u odnosu na bazis talasića diferencijalni operator nije dijagonalan Nije moguće dijagonalizovati operator i po vremenu i po frekvencijama, što je posledica već pomenutog Principa neodredenosti - ( 3) Transformacija talasićima (CWT = Continuous Wavelet Transformation) je alat kojim se razlažu podaci, funkcije ili operatori na različite frekvencijske komponente, i zatim se svaka komponenta analizira sa rezolucijom koja odgovara njenoj skali Definisana je skalarnim proizvodom funkcije i bazisnog talasića, (3) CW T f (a, b) = (f, ψ a,b ) = 1 a Važi Parseval-ova jednakost f(x) ψ ( x b) dx a CW T f (a, b) = ( f, ψ a,b ) = 1 π ( ˆf, ˆψ a,b ), gde je Fourier-ova transformacija bazisnog talasića ˆψ a,b (ω) = a e ıωb ˆψ(aω)

30 GLAVA TRANSFORMACIJA CW T f (a, b) je funkcija skale a i položaja b i pokazuje koliko su blisko korelirani talasić i funkcija u vremenskom intervalu koji odre - duje nosač talasića Transformacijom talasićima meri se sličnost frekvencijskog sadržaja funkcije i bazisnog talasića ψ a,b (x) u vremensko-frekvencijskom domenu [ b + a (x x ), b + a (x + x ) ] [ 1 a (ω ω ), 1 a (ω + ω ) ], odre - denom veličinama () Inverzna transformacija talasićima f(x) = 1 C ψ postoji ako je ispunjen uslov dopustivosti ([6]) (4) C ψ = Iz uslova (4) sledi da mora biti CW T f (a, b)ψ a,b (x) ˆψ(ω) dω < ω (5) ˆψ(0) = ψ(x) dx = 0, da db a što ima za posledicu oscilatornu prirodu funkcije ψ(x) Iz (4), takode, - sledi da ova funkcija ne mora biti jednaka nuli van konačnog intervala, ali mora dovoljno brzo težiti nuli kada x Tako dolazimo do uopštenja pojma talasić Osnovni talasić ψ(x) može biti proizvoljno izabran, uz uslov da mu je srednja vrednost nula i da dovoljno brzo opada u beskonačnosti, što su onda osobine i bazisnih talasića ψ a,b (x) To je upravo jedna od suštinskih razlika izmedu - transformacije talasićima i Fourier-ove ili neke druge od pomenutih transformacija: dok su u ostalim transformacijama bazisi jednoznačno odredeni, - bazisi talasića nisu eksplicitno zadati Teorija se bavi samo opštim svojstvima talasića i transformacijom pomoću njih, i definiše okvire unutar kojih svako može odrediti talasić prema svojim željama i potrebama Pri tome, bazis je definisan samo jednom funkcijom Talasićima se vremenska analiza vrši pomoću kompresovanih, visoko-frekvencijskih verzija osnovnog talasića, pošto se na maloj skali dobro uočavaju brzo promenljivi detalji Frekvencijska analiza se vrši pomoću razvučenih nisko-frekvencijsih verzija istog talasića, jer je velika skala zadovoljavajuća za praćenje sporih promena Upravo ove osobine čine talasiće idealnim alatom za analizu nestacionarnih funkcija Transformacija talasićima daje odličnu vremensku rezoluciju visoko-frekvencijskih komponenti i frekvencijsku (skalnu) rezoluciju nisko-frekvencijskih komponenti Slika 6 šematski uporeduje - u prethodnom tekstu opisane transformacije jednostavne funkcije, koja se sastoji od sinusnog talasa i impulsa u trenutku t 0 (slika 6(a)) Poželjno je imati razvoj koji obuhvata i izolovani impuls (Dirac-ova funkcija po vremenu) i izolovanu frekventnu komponentu (Dirac-ova funkcija po frekvenciji)

31 4 TRANSFORMACIJA TALASIĆIMA 3 t 0 T (a) x ω t 0 T (b) x ω t 0 T (c) x ω t 0 T (d) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ / / / / / / / / / / / x ω t 0 T (e) \ \ \ \ / / / / \ \ \ \ / / / / Slika 6: Reprezentacije nestacionarne funkcije

32 4 GLAVA TRANSFORMACIJA Prva dva razvoja (slike 6 (b) i (c)) izoluju vremenski i frekvencijski impuls redom, ali ne oba istovremeno Slika (b) predstavlja identičku transformaciju, tj razvoj je upravo sin x+δ(x t 0 ), što znači da je za svako x ista frekvencija jer se ne uočava promena frekvencije u jednoj tački Vrednost u tački t 0 je pojačana, jer je u njoj funkcija beskonačno velika Slika (c) predstavlja reprezentaciju date funkcije u frekvencijskom domenu Fourierov red za funkciju δ(x) sadrži sve frekvencije sa istim koeficijentom (1/π), s tim što je pojačan (jer je veći) koeficijent uz osnovni harmonik sin x Lokalni po vremenu Fourier-ov red (slika 6(d)) čini kompromis lociranjem oba impulsa do odredenog - nivoa Vremenska skala je izdeljena na vremenske intervale jednake dužine, čime je definisana Kratkotrajna Fourier-ova transformacija Za svaki interval je data frekvencijska slika, i ona je u svim intervalima ista osim u onom kome pripada tačka t 0 u kojoj je definisan Dirac-ov impuls U tom intervalu su zastupljene sve frekvencije, a ne samo osnovna Diskretan po vremenu red talasića (slika 6(e)) daje bolju lokalizaciju vremenskog impulsa, ne zanemarujući frekvencijsku lokalizaciju Što je bolja lokalizacija po vremenu, lošija je po frekvencijama Širi i niži pravougaonici predstavljaju nisko-frekvencijske komponente koje duže traju, a uži i viši visoko-frekvencijske komponente koje traju kratko U okolini t 0 javljaju se visoko-frekvencijske kratke komponente Za veće frekvencije širina pravougaonika postaje manja, tj vremenska rezolucija postaje bolja, a visina pravougaonika se povećava, što znači da je frekvencijska rezolucija lošija Pri tome, bez obzira na dimenzije pravougaonika, njihove površine su jednake Za jedan talasić ova površina je konstantna, a dimenzije pravougaonika se menjaju To je upravo efekat transformacije talasićima Površinu pravougaonika ne možemo smanjiti koliko god hoćemo pogodnim izborom talasića, jer prema Principu neodredenosti - ova površina ne može biti manja od π ([1]) Neprekidna transformacija talasićima (CWT) nije od veće praktične koristi, jer se računa korelacija funkcije i talasića koji se kontinualno translira i kontinualno skalira (parametri a i b su neprekidne veličine) Ovako skalirani talasići ne čine ortogonalni bazis Mnogi od izračunatih koeficijenata talasića su suvišni, i ima ih beskonačno mnogo Stoga se vrši diskretizacija vreme-skala ravan pokriva se mrežom i u čvorovima mreže (za dato b i a) izračunava se CWT Može se izabrati ravnomerna mreža, ali to nije najbolji izbor Pri većim skalama a (manjim frekvencijama) korak po vremenu se može povećati (tj smanjiti broj tačaka), saglasno Nyquist-ovom pravilu Ovo pravilo kaže da ako u vreme-skala ravni treba da bude N 1 tačaka na skali a 1, onda je dovoljno imati N tačaka na skali a, gde je (6) a 1 N 1 = a N, ili N 1 ω 1 = N ω Očigledno, a 1 < a povlači da je N < N 1 Frekvencija ω jednaka je recipročnoj vrednosti skale, ω = 1/a Za niže frekvencije može se smanjiti broj tačaka, što značajno smanjuje obim računanja Brzi algoritmi se konstruišu korišćenjem diskretnih talasića Diskretni talasići su obično deo po deo neprekidne funkcije koje se ne mogu kontinualno skalirati i

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Spektralna analiza audio signala

Spektralna analiza audio signala Spektralna analiza audio signala 24. oktobar 2016 Isak Njutn je u slavnom eksperimentu pokazao da je moguće bijelu svjetlost razložiti na komponente različitih boja, odnosno, talasnih dužina, kao i da

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

VEŽBA 3 Obrada signala u frekvencijskom domenu metodom overlap-add

VEŽBA 3 Obrada signala u frekvencijskom domenu metodom overlap-add VEŽBA 3 Obrada signala u frekvencijskom domenu metodom overlap-add Potrebno predznanje Poznavanje programskog jezika C Diskretna Furijeova transformacija Šta će biti naučeno tokom izrade vežbe Tokom izrade

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija Signali Fizikalne karakteristike signala ćemo opisati matematičkim modelima koji će s dovoljno tačnosti prikazati osnovna svojstva realnih

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Glava 8 VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI

Glava 8 VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI Glava 8 VIŠEDIMEZIOALI KOTIUALI SIGALI Višedimenzionani signali opisuju fizičke pojave koje zavise od dvije ili više nezavisnih varijabli. -dimenzionalni signal je matematička funkcija nezavisnih varijabli.

Διαβάστε περισσότερα