υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10."

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. -

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rghts reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. -. -

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκπαιδευτική Ενότητα η Απόκριση πολυβάθµιου συστήµατος m c k µέσω Συνάρτησης Μεταφοράς Γενικά Μέχρι στιγµής, γνωρίσαµε τον τρόπο µε τον οποίο είναι δυνατόν να χρησιµοποιήσουµε τον Ιδιοανυσµατικό Μετασχηµατισµό προκειµένου να υπολογίσουµε την απόκριση ενός πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος m k, δηλαδή ενός δυναµικού συστήµατος χωρίς απόσβεση. Μέχρι στιγµής, έχουµε αµελήσει την απόσβεση διότι: Η µελέτη του δυναµικού συστήµατος m k είναι συντηρητικότερη της µελέτης του δυναµικού συστήµατος m c k. Αυτό σηµαίνει ότι εάν πρέπει να σχεδιάσουµε ένα δυναµικό σύστηµα m c k και επιλέξουµε να αγνοήσουµε την απόσβεση, τότε το αποτέλεσµα που θα λάβουµε από την σχετική ανάλυση (υπολογισµός απόκρισης του συστήµατος) θα είναι δυσµενέστερο από την πραγµατικότητα, άρα θα είµαστε από την ασφαλή πλευρά της σχεδίασης (η απόσβεση δρα θετικά στη µείωση των ταλαντώσεων των συστηµάτων). Ενώ το µητρώο µάζας M και το µητρώο δυσκαµψίας K ενός δυναµικού συστήµατος υπολογίζονται µε σχετική ευκολία, δεν ισχύει το ίδιο για το µητρώο απόσβεσης του συστήµατος. Πιο συγκεκριµένα, το µητρώο µάζας M ενός συστήµατος (δηλαδή µίας κατασκευής) συνδέεται µε την εκτίµηση της κατανοµής της µάζας µέσα στο σύστηµα (ενίοτε και της κατανοµής της ροπής αδράνειας) του συστήµατος, δηλαδή συνδέεται µε ένα φυσικό µέγεθος, το οποίο καλείται πυκνότητα της ύλης. Τεχνικά, λοιπόν, το µητρώο µάζας είναι εύκολο να υπολογισθεί. Κάτι αντίστοιχο συµβαίνει και µε το µητρώο δυσκαµψίας K, το οποίο συνδέεται µε την ελαστικότητα του. Αντιθέτως, ο µηχανισµός καταστροφής ενέργειας σε µία κατασκευή, ο οποίος αντιπροσωπεύεται από το µητρώο, είναι αρκετά σύνθετος. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν η καταστροφή ενέργειας λόγω εσωτερικής τριβής εντός της δοµής του υλικού, η καταστροφή ενέργειας λόγω εξωτερικής τριβής µε την ατµόσφαιρα (αεροδυναµική απόσβεση), η καταστροφή ενέργειας λόγω τριβής µεταξύ συνεργαζοµένων επιφανειών, κτλ. Εάν, λοιπόν, είναι επιθυµητός, ή επιβεβληµένος, ο συνυπολογισµός της απόσβεσης του συστήµατος, τότε θα πρέπει µε κάποιον τρόπο να υπολογισθεί το µητρώο απόσβεσης. Μητρώο απόσβεσης κατά Raylegh Ένας τρόπος υπολογισµού του µητρώου απόσβεσης, όχι ο µοναδικός, είναι η προσέγγιση κατά Raylegh, σύµφωνα µε την οποία ισχύει: = β M + β K () όπου β και β είναι αριθµητικοί συντελεστές (συντελεστές αναλογίας), οι τιµές των οποίων λαµβάνονται από πειραµατικά δεδοµένα (δηλαδή από µέτρηση της απόκρισης πραγµατικών κατασκευών). Με άλλα λόγια, το µητρώο απόσβεσης προσεγγίζεται ως γραµµικός -.3 -

4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - συνδυασµός των µητρώων µάζας M και δυσκαµψίας K. Ισοδύναµα, το µητρώο απόσβεσης θεωρείται ως µία αναλογία µεταξύ των µητρώων µάζας M και δυσκαµψίας K. Η προσέγγιση κατά Raylegh χαρακτηρίζεται από ένα σηµαντικό πλεονέκτηµα. Ειδικότερα, όπως έχουµε ήδη δει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7), εάν έχουν υπολογισθεί τα ιδιοανύσµατα, =,,..., ενός δυναµικού συστήµατος, τότε τα µητρώα µαζας M και δυσκαµψίας K διαγωνοποιούνται. Τότε, όµως, θα διαγωνοποιείται και το, κατά Raylegh, µητρώο απόσβεσης, αφού αυτό γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των M και K (βλ. Εξ.()). Σύµφωνα µε την Εκπαιδευτική Ενότητα 8, η απόκριση του δυναµικού συστήµατος είναι δυνατόν να γραφεί µε τον ακόλουθο συνοπτικό τρόπο: = q( t) x t () όπου είναι ο πίνακας των ιδιοανυσµάτων, δηλαδή = [... ], και q( t) = q( t) q ( t)... q( t) είναι οι γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας. Συνεπώς, στην περίπτωση του εξεταζόµενου m c k δυναµικού συστήµατος, η εξίσωση ισορροπίας είναι: M x+ x + K x+= Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την Εξ.(3) µε τον πίνακα (3) των ιδιοανυσµάτων, λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες ορθοκανονικότητας των ιδιοανυσµάτων (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8) αντικαθιστώντας µε την Εξ.(), και µετά την εκτέλεση πράξεων, προκύπτει (για αναλυτικό τρόπο υπολογισµού, βλ. Παράρτηµα Α): q + ( β+ βω ) q + ω q = ( t), =,,..., m (4) Για τον προσδιορισµό των συντελεστών β και β, όπως θα δούµε σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα, αξιοποιείται η έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς, την οποία θα γνωρίσουµε σε επόµενη παράγραφο. Εάν, δε, η προσέγγιση κατά Raylegh δεν αποτελεί αποδεκτό τρόπο µοντελοποίησης του µητρώου απόσβεσης, τότε είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί ειδική θεωρία της δυναµικής, βάσει της οποίας οι ιδιοσυχνότητες και τα αντίστοιχα ιδιοανύσµατα ορίζονται στον µιγαδικό χώρο (θεωρία των µιγαδικών ιδιοανυσµάτων). Έννοια της Συνάρτησης Μεταφοράς Σε προηγούµενες Εκπαιδευτικές Ενότητες, γνωρίσαµε και εφαρµόσαµε δύο τρόπους επίλυσης της Εξ.(4): τη Μέθοδο των Προσδιοριστέων Συντελεστών και τη µέθοδο του Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού. Μία ακόµα εξαιρετικά χρήσιµη µέθοδος είναι αυτή, η οποία στηρίζεται στη χρήση της Συνάρτησης Μεταφοράς. Πιο συγκεκριµένα, έστω η διεγείρουσα δύναµη είναι της µορφής: = cos( Ωt) (5) -.4 -

5 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - όπου είναι το πλάτος της δύναµης και Ω είναι η συχνότητα του διεγέρτη. Εάν η διέγερση της Εξ.(5) (αρµονική διέγερση) αφορά σε µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα, τότε αναµένεται η εµφάνιση µίας µεταβατικής απόκρισης (οµογενής λύση της Εξ.(3)) µε συχνότητα την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος και µίας µόνιµης απόκρισης (µερική λύση της Εξ.(3)) µε συχνότητα τη συχνότητα του διεγέρτη. Εάν η διέγερση της Εξ.(5) αφορά σε πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα, τότε, κατ αντιστοιχία, αναµένεται η εµφάνιση µίας µεταβατικής απόκρισης (οµογενής λύση της Εξ.(3)) µε συχνότητες τις ιδιοσυχνότητες του συστήµατος και µίας µόνιµης απόκρισης (µερική λύση της Εξ.(3)) µε συχνότητα τη συχνότητα του διεγέρτη. Η µεταβατική απόκριση, λόγω απόσβεσης, θα εξαφανισθεί µετά από την παρέλευση ικανοποιητικού χρονικού διαστήµατος. Τελικά, θα παραµείνει η µόνιµη απόκριση, για την οποία θεωρούµε µία έκφραση της µορφής: = = cos( Ω ) + sn( Ω ) x t xp t t t όπου είναι τα πλάτη των συνηµιτονικών όρων, είναι τα πλάτη των ηµιτονικών όρων και Ω είναι η συχνότητα του διεγέρτη. Η πρώτη χρονική παράγωγος της Εξ.(6) ισούται µε: = = Ω sn( Ω ) +Ω cos( Ω ) x t x P t t t Η δεύτερη χρονική παράγωγος της Εξ.(7) ισούται µε: = = Ω cos( Ω ) Ω sn( Ω ) x t xp t t t Αντικαθιστώντας τις Εξ.(6,7,8) στην Εξ.(3), προκύπτει: ( Ω cos( Ω ) Ω sn( Ω )) + Ω sn( Ω ) +Ω cos( Ω ) cos sn cos ( ) M t t t t + K Ω t + Ω t = Ωt Οµαδοποιώντας τους ηµιτονικούς και τους συνηµιτονικούς όρους στην Εξ.(9), προκύπτει: ( M K ) ( t) ( M K ) ( t) Ω +Ω + cos Ω + Ω Ω + sn Ω = Η Εξ.() πρέπει να ισχύει σε κάθε χρονική στιγµή t Αυτό σηµαίνει ότι οι σταθεροί συντελεστές των χρονικά µεταβαλλοµένων ποσοτήτων της Εξ.() πρέπει να είναι µηδενικοί: ( ) ( M K ) M K Ω +Ω + = Ω M +Ω + K = Ω Ω + = Ω M Ω + K = M K M K Ω + +Ω = Ω + Ω = M K Ω + Ω + = Ω Ω M + K Σύµφωνα µε την Εξ.(), εάν είναι γνωστά τα µητρώα µάζας M, απόσβεσης και δυσκαµψίας K, καθώς και η εξωτερική διέγερση (6) (7) (8) (9) () () και η συχνότητά της Ω, τότε είναι -.5 -

6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - δυνατόν να υπολογισθούν τα πλάτη και. Η απόκριση ενός Βαθµού Ελευθερίας του συστήµατος, έστω του Βαθµού Ελευθερίας, βάσει της Εξ.(6), ισούται µε: cos sn cos x t = Ω t + Ωt x t = Ω t+ ϕ (),, Τα πλάτη, και, υπολογίζονται από την Εξ.(). Επειδή η Εξ.() περιγράφει την απόκριση οποιουδήποτε Βαθµού Ελευθερίας του συστήµατος, έπεται ότι όλοι οι Βαθµοί Ελευθερίας έχουν κοινή συχνότητα απόκρισης Ω. Ωστόσο, κάθε Βαθµός Ελευθερίας διαθέτει το δικό του πλάτος απόκρισης πλάτη και τη δική του διαφορά φάσης ϕ. Εν γένει, τα είναι διαφορετικά µεταξύ τους και οι διαφορές φάσης ϕ είναι διαφορετικές µεταξύ τους. Η, δε, διεγείρουσα δύναµη που ασκείται στο Βαθµό Ελευθερίας j του συστήµατος, βάσει της Εξ.(5), ισούται µε: j t =, j cos Ω t (3) ιαιρώντας το πλάτος της απόκρισης προκύπτει: προς το πλάτος της διεγείρουσας δύναµης, j j Ω =, j m (4) Η ποσότητα j( Ω ) καλείται πλάτος της Συνάρτησης Μεταφοράς ( Ω ), έχει µονάδες [ m ] και αποτελεί µία πιο γενικευµένη έννοια του Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 3). Πιο συγκεκριµένα, στην Εκπαιδευτική Ενότητα 3 ορίσθηκε ο Συντελεστής υναµικής Ενίσχυσης ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος ως ο λόγος της απόκρισης προς το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος. Σε εκείνη την περίπτωση, το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα διέθετε µόνο ένα ελατήριο (άρα, µόνο µία σταθερά ελατηρίου). Ωστόσο, σε ένα πολυβάθµιο σύστηµα, όπως είναι το εξεταζόµενο, δεν εµπλέκεται µόνον µία σταθερά ελατηρίου αλλά ένα ολόκληρο µητρώο K µε σταθερές ελατηρίου, οπότε δεν είναι δυνατόν να ορισθεί ο Συντελεστής υναµικής Ενίσχυσης όπως στην περίπτωση του µονοβάθµιου συστήµατος. Αντιθέτως, χρησιµοποιείται ο ορισµός της Εξ.(4), στον οποίο ο παρονοµαστής δεν περιέχει το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος αλλά τη δύναµη απόκρισης. Η σηµασία της ποσότητας j Ω είναι άµεση: πληροφορεί για την απόκριση του -Βαθµού Ελευθερίας του συστήµατος, όταν διεγείρεται ο j -Βαθµός Ελευθερίας του συστήµατος. Μαθηµατικά αποδεικνύεται ότι ισχύει: j Ω = Ω (5) Σύµφωνα µε την Εξ.(5), το µητρώο ( Ω ), στοιχεία του οποίου αποτελούν τα πλάτη j Ω, είναι συµµετρικό, δηλαδή ο λόγος της απόκρισης του -Βαθµού Ελευθερίας του j -.6 -

7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - συστήµατος προς το µέτρο της δύναµης που διεγείρει τον j -Βαθµό Ελευθερίας του συστήµατος, ισούται µε το λόγο της απόκρισης του j -Βαθµού Ελευθερίας του συστήµατος προς το µέτρο της δύναµης που διεγείρει τον -Βαθµό Ελευθερίας του συστήµατος. j ( Ω ) Ο δείκτης αντιστοιχεί στον Βαθµό Ελευθερίας που ασκείται η διέγερση και ο δείκτης j αντιστοιχεί στο Βαθµό Ελευθερίας που µετριέται η απόκριση. «διεγείρω τον j -Βαθµό Ελευθερίας και µετρώ στον -Βαθµό Ελευθερίας» Από τον ορισµό της Εξ.(4) έπεται ότι το πλάτος της Συνάρτησης Μεταφοράς εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη. Σε ένα µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα, το φαινόµενο του συντονισµού εµφανίζεται όταν η συχνότητα διέγερσης εξισωθεί µε την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 3). Ωστόσο, σε ένα πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα, εµφανίζονται πολλές ιδιοσυχνότητες, συνεπώς το φαινόµενο του συντονισµού θα εµφανίζεται για περισσότερες από µία τιµές της συχνότητας του διεγέρτη. Αυτό σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση f j όπως φαίνεται και στο Σχήµα. Ω = Ω, εν γένει, θα εµφανίζει περισσότερα του ενός τοπικά µέγιστα, Σχήµα : Γραφική παράσταση της συνάρτησης ( Ω ) = f ( Ω ) Σε ένα σύστηµα Βαθµών Ελευθερίας, έπεται ότι =,,..., και ότι j=,,...,. Συνεπώς, συνολικά υπάρχουν υπάρχουν = διατεταγµένα ζεύγη (, ) πλάτη συναρτήσεων µεταφοράς j j j, άρα συνολικά Ω Ωστόσο, όπως προκύπτει από την Εξ.(5), το συνολικό πλήθος των διαφορετικών µεταξύ τους πλατών από (ακριβέστερα, είναι.5 ( ) + ). j Ω είναι µικρότερο Παρατηρήσεις Είναι δυνατόν, σε συγκεκριµένα συστήµατα, να µην φαίνονται όλες οι ιδιοσυχνότητες της κατασκευής

8 Τα πλάτη j υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ω διαφέρουν µεταξύ τους ανάλογα µε το σηµείο διέγερσης και το σηµείο στο οποίο υπολογίζεται η απόκριση. Με άλλα λόγια, έχει πολύ µεγάλη σηµασία να γνωρίζουµε την κατανοµή του πλάτους της δύναµης της διέγερσης στην κατασκευή καθώς και σε ποια σηµεία υπολογίζουµε την κατανοµή του πλάτους απόκρισης. Έστω ότι σε ένα -βάθµιο δυναµικό σύστηµα και για συχνότητα διέγερσης Ω= ω k, k =,,...,, όπου ω k είναι η k ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, υπολογίζονται οι τιµές j( Ω ) και ' j ' Ω (δηλαδή υπολογίζεται η τιµή δύο διαφορετικών συναρτήσεων µεταφοράς αλλά για την ίδια συχνότητα διέγερσης). Ο λόγος των τιµών αυτών εξαρτάται από το αντίστοιχο ιδιοάνυσµα k. Σε πραγµατικές κατασκευές, είναι δυνατός ο υπολογισµός των συναρτήσεων µεταφοράς j Ω µέσω πειραµατικών µετρήσεων. Έχοντας διαθέσιµη αυτήν την πληροφορία, είναι δυνατόν να εκτιµηθούν οι αριθµητικοί συντελεστές β και β της προσέγγισης Raylegh του µητρώου απόσβεσης (βλ. Εξ.). Εφαρµογή Έστω το διβάθµιο δυναµικό σύστηµα m k του Σχήµατος, στο οποίο αµελείται η απόσβεση ( = ). Για το συγκεκριµένο σύστηµα, δίδεται ότι οι µάζες είναι ίσες προς m = m και m = m, αντίστοιχα, ενώ οι σταθερές των ελατηρίων ισούνται µε k = k = k. Η 4 διεγείρουσα δύναµη είναι αρµονικής µορφής και ισούται µε ( t) ( t) συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. = cos Ω. Ζητείται η Σχήµα : Απόκριση διβάθµιου δυναµικού συστήµατος υπό διέγερση eavsde Λύση Το µητρώο µάζας M, το µητρώο δυσκαµψίας K και το µητρώο απόσβεσης του συστήµατος, µε βάση τα δεδοµένα της εκφώνησης και εφαρµόζοντας, κατά τα γνωστά, την Ενεργειακή Αρχή Lagrange, είναι ίσα προς (για αναλυτικό υπολογισµό, βλ. Παράρτηµα Β): M 4m = m K k k = k k = (6) -.8 -

9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Από την Εξ.(), ισχύει: Επειδή αµελείται η απόσβεση, ισχύει: Ω M + K +Ω = Ω + Ω M + K = M K M K Ω + +Ω = Ω + = Ω + Ω M + K = Ω M + K = (7) (8) Από την Εξ.(8) και για τα πλάτη των ηµιτονικών όρων, προκύπτει: 4m k k 4Ω m+ k k Ω m + = = k k k m k (9) Ω + Η Εξ.(9) εκφράζει ένα οµογενές σύστηµα, η ορίζουσα του οποίου ισούται µε: 4Ω m+ k k D= det ( 4 m k)( m k) ( k)( k) = Ω + Ω + = k Ω m+ k ( 4 4 ) ( 4 6 ) 4 4 = Ω m Ω km Ω km+ k k = Ω m Ω km+ k k = = 4Ω m 6Ω km+ k 4 () Θεωρώντας ότι λ=ω, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της Εξ.() ισούται µε: 4 Ω = 4Ω m 6Ω km+ k = λ 4m λ + 6km λ+ k = Η διακρίνουσα της Εξ.() ισούται µε: β αγ α = 4 = 6km 4 4m k = 36k m 6k m = k m () Συνεπώς, οι ρίζες της Εξ.() προκύπτουν ίσες προς: λ, β± 6k m ± k m = = α 4m β γ () 6k± 4 5k 6k± 5k 3k± 5k = = = (3) 8m 8m 4m Με βάση την Εξ.(3), έπεται ότι υπάρχουν τιµές της παραµέτρου λ, άρα και τιµές της συχνότητας διέγερσης Ω, τέτοιες ώστε να µηδενισθεί η ορίζουσα D. Οι εν λόγω τιµές αντιστοιχούν στο τετράγωνο των ιδιοσυχνοτήτων του εξεταζοµένου συστήµατος. Εκτός, όµως, αυτών των συγκεκριµένων τιµών (ιδιοτιµών), η ορίζουσα D είναι διάφορη του µηδενός, και τότε το οµογενές σύστηµα της Εξ.(9) έχει ως λύση µόνο την τετριµµένη λύση : = = (4) Χρησιµοποιώντας ασυµπτωτικά τον κανόνα του de l ôptal, η Εξ.(4) ισχύει και για τις ιδιοτιµές της D

10 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Από την Εξ.(8) και για τα πλάτη των συνηµιτονικών όρων, προκύπτει: 4m k k 4Ω m+ k k Ω m + = = k k k m k Ω + (5) Η λύση του συστήµατος της Εξ.(5) ισούται µε: k Ω m+ k Εξ = 4 m k k = Ω + 4Ω m+ k k D= det D k Ω m+ k. ( Ω m+ k) k Ω m+ k (6) και 4Ω m+ k k Εξ. k = = 4Ω m+ k k 4Ω m+ k k D= det D k Ω m+ k k Ω m+ k (7) Για τον πλήρη προσδιορισµό των πλατών απαιτείται η γνώση της συχνότητας διέγερσης Ω. Γνωρίζοντας, πλέον, τα πλάτη της απόκρισης του συστήµατος, είναι δυνατόν να ορισθούν οι ακόλουθες Συναρτήσεις Μεταφοράς: m k Ω + D Ω m+ k = = = D (8) k D k = = = = D (9) ιευκρινίζεται ότι η Συνάρτηση Μεταφοράς δεν ορίζεται διότι η αντίστοιχη συνιστώσα της δύναµης διέγερσης είναι µηδενική ( ) παρουσιάζεται στο Σχήµα 3. =. Η γραφική παράσταση των Εξ.(8,9) -. -

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Σχήµα 3: Γραφική παράσταση των Συναρτήσεων Μεταφοράς και Από το Σχήµα 3 προκύπτουν ορισµένα πολύ ενδιαφέροντα συµπεράσµατα: Για τις τιµές Ω= ω και Ω= ω, όπου ω = λ και ω = λ (βλ. Εξ.(3)), οι τιµές των Συναρτήσεων Μεταφοράς και απειρίζονται (µηδενίζεται ο παρονοµαστής D ). Υπάρχει τιµή της συχνότητας διέγερση, έστω Ω, για την οποία η Συνάρτηση Μεταφοράς µηδενίζεται (βλ. Εξ.(8)): Ω m+ k k = = Ω m+ k = Ω = D m (3) Με άλλα λόγια, υπάρχει περίπτωση να ασκηθεί δύναµη διέγερσης σε ένα σηµείο της κατασκευής (σηµειακή διέγερση) και το σηµείο αυτό να παραµένει ακίνητο, ενώ όλη η υπόλοιπη κατασκευή θα ταλαντώνεται. Το φαινόµενο αυτό καλείται αντισυντονισµός. Θεωρητικά, το πλάτος της ταλάντωσης στο εν λόγω σηµείο αναµένεται να είναι µηδενικό. Ωστόσο, στην πράξη, αυτό το πλάτος της ταλάντωσης δεν θα είναι µηδενικό (θα λάβει µία πολύ µικρή τιµή), ενώ ο αντισυντονισµός ενδέχεται να εµφανισθεί σε συχνότητα διέγερσης ελαφρώς διαφορετική από την θεωρητικά αναµενόµενη. Αντισυντονισµός καλείται το φαινόµενο της ακινησίας ενός σηµείου της κατασκευής, ενώ σε αυτό ασκείται εξωτερική δύναµη διέγερσης. Σύνοψη αρµονικής διέγερσης δυναµικού συστήµατος πολλών Βαθµών Ελευθερίας Όπως και στην περίπτωση της αρµονικής διέγερσης µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος, έτσι και στην περίπτωση αρµονικής διέγερσης πολυβάθµιου δυναµικού συστήµατος, στη µόνιµη κατάσταση, λαµβάνουµε αρµονικές αποκρίσεις, οι οποίες χαρακτηρίζονται από την ίδια συχνότητα (ίση µε τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης) και από, εν γένει, διαφορετικά µεταξύ τους πλάτη. -. -

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Οι λόγοι των πλατών των αποκρίσεων σε κάθε Βαθµό Ελευθερίας προς τα πλάτη των διεγέρσεων σε κάποιους άλλους Βαθµούς Ελευθερίας ονοµάζονται Συναρτήσεις Μεταφοράς. Σε ένα δυναµικό σύστηµα µε Βαθµούς Ελευθερίας, η Συνάρτηση Μεταφοράς είναι και αυτή ένας πίνακας (διάστασης ): = (3) Για τον καθορισµό των στοιχείων του πίνακα παίζει ρόλο σε ποιο σηµείο ασκείται η διέγερση και σε ποιο σηµείο υπολογίζεται η απόκριση. Η Συνάρτηση Μεταφοράς j ενός δυναµικού συστήµατος µε Βαθµούς Ελευθερίας µεγιστοποιείται όταν η συχνότητα διέγερσης ισούται µε κάποια από τις ιδιοσυχνότητες του δυναµικού συστήµατος. Ωστόσο, οι µέγιστες τιµές των j για µία ιδιοσυχνότητα της κατασκευής δεν είναι ίσες µεταξύ τους (ο λόγος των εν λόγω µεγίστων τιµών των σχετίζεται µε το ιδιοάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοσυχνότητα αυτή). Όταν ασκείται σηµειακή διέγερση σε µία κατασκευή, είναι δυνατόν η απόκριση στο σηµείο διέγερσης να είναι µηδενική (αντισυντονισµός). Γενίκευση θεωρώντας µη-µηδενικό µητρώο απόσβεσης Έστω ότι η περιοδική διέγερση όπου f j του j Βαθµού Ελευθερίας του συστήµατος ισούται µε: cos sn f t = Ω t + Ω t (3) j j j j είναι το πλάτος του συνηµιτονικού µέρους της διεγείρουσας δύναµης f j και είναι το πλάτος του ηµιτονικού µέρους της εν λόγω διέγερσης. Ως Ω συµβολίζεται η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης. Με µητρωϊκή γραφή, η Εξ.(3) γράφεται ως: Η διεγείρουσα δύναµη Στην Εξ.(34) ως = cos( Ω ) + sn( Ω ) f t t t f j είναι δυνατόν να γραφεί πιο συνοπτικά ως εξής: cos j j j j j (33) f t = Ω t+ α (34) j συµβολίζεται το µέτρο της δύναµης, το οποίο ισούται µε: = + (35) j j j Επίσης, στην Εξ.(34) ως a j συµβολίζεται η διαφορά φάσης της δύναµης και ισούται µε: -. -

13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - a j = tan j j (36) Εξ αιτίας της περιοδικής διέγερσης συστήµατος ισούται µε: όπου f j, η απόκριση του Βαθµού Ελευθερίας του cos sn x t = Ω t + Ω t (37) είναι το πλάτος του συνηµιτονικού µέρους της απόκρισης x και είναι το πλάτος του ηµιτονικού µέρους της εν λόγω απόκρισης. Και στην Εξ.(36), ως Ω συµβολίζεται η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης. Με µητρωϊκή γραφή, η Εξ.(37) γράφεται ως: = cos( Ω ) + sn( Ω ) x t t t Η απόκριση x είναι δυνατόν να γραφεί πιο συνοπτικά ως εξής: Στην Εξ.(38) ως cos (38) x t = Ω t+ ϕ (39) συµβολίζεται το µέτρο της απόκρισης, το οποίο ισούται µε: = + (4) Επίσης, στην Εξ.(38) ως ϕ συµβολίζεται η διαφορά φάσης της απόκρισης και ισούται µε: Η Συνάρτηση Μεταφοράς j ϕ = tan t ορίζεται ως: (4) j = j (4) όπου η απόκριση δίδεται από την Εξ.(4) και η διέγερση Εποµένως, για τον υπολογισµό κάθε ποσότητας µεγεθών και j j δίδεται από την Εξ.(35). t απαιτείται ο υπολογισµός των j. Προς τούτο, αντικαθιστούµε τις Εξ.(6,7,8,33) στην Εξ.(3): ( Ω cos( Ω ) Ω sn( Ω )) + Ω sn( Ω ) +Ω cos( Ω ) cos sn cos sn ( ) M t t t t + K Ω t + Ω t = Ω t + Ωt Οµαδοποιώντας τους ηµιτονικούς και τους συνηµιτονικούς όρους στην Εξ.(43), προκύπτει: ( M K ) ( t) ( M K ) ( t) Ω +Ω + cos Ω + Ω Ω + sn Ω = (43) (44) -.3 -

14 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η Εξ.(44) πρέπει να ισχύει σε κάθε χρονική στιγµή t Αυτό σηµαίνει ότι οι σταθεροί συντελεστές των χρονικά µεταβαλλοµένων ποσοτήτων της Εξ.(44) πρέπει να είναι µηδενικοί: ( ) ( M K ) M K Ω +Ω + = Ω M +Ω + K = Ω Ω + = Ω M Ω + K = M K M K Ω + +Ω = Ω + Ω = M K ( M K) Ω + Ω + = Ω Ω + Εάν ένα σύστηµα έχει Βαθµούς Ελευθερίας, τότε οι διαστάσεις των πινάκων στην Εξ.(45) είναι οι ακόλουθες: (45) A ( Ω M + K) Ω = Ω ( Ω M + K) (46) Αριθµητική εφαρµογή Έστω το σύστηµα του Σχήµατος, το οποίο διαθέτει = Βαθµούς Ελευθερίας. Το µητρώο µάζας M και το µητρώο δυσκαµψίας K υπολογίζονται όπως και προηγουµένως (βλ. Παράρτηµα Β), άρα ισχύει: M 4m = m K k k = k k (47) Το µητρώο απόσβεσης του συστήµατος, µε βάση τα δεδοµένα της εκφώνησης και εφαρµόζοντας, κατά τα γνωστά, την Ενεργειακή Αρχή Lagrange, ισούται µε (για αναλυτικό υπολογισµό, βλ. Παράρτηµα Γ): c c = c c (48) Ο συνδυασµός των Εξ.(3,37,46,47,48) δίδει: 4m k k c c = c c 4m k k Ω Ω + Ω m + Ω k k c c c c m k k (49) -.4 -

15 Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(49), προκύπτει: ( 4 ) υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ω m+ k Ω k Ωc Ωc Ω k Ω m+ k Ωc Ωc ( 4 ) = c c m k k Ω Ω Ω + Ω c c Ω Ω k ( m k) Ω Ω + Ω ( 4m+ k) Ω k Ωc Ωc Ω k Ω ( m+ k) Ωc Ωc = Ω Ω Ω 4 + Ω c c m k k Ωc Ωc Ω k Ω ( m+ k) (5) Επιλύοντας το σύστηµα της Εξ.(5), προκύπτουν τα µεγέθη,,, : Ω ( 4m+ k) Ω k Ωc Ωc Ω k Ω ( m+ k) Ωc Ωc = c c ( 4m k) Ω Ω Ω + Ω k Ωc Ωc Ω k Ω ( m+ k) (5) Οι Συναρτήσεις Μεταφοράς του συστήµατος προκύπτουν αντικαθιστώντας τις υπολογισθείσες τιµές,,, και τις γνωστές (δεδοµένες) τιµές,,, στις Εξ.(35,4) και (αντικαθιστώντας) τα αποτελέσµατα αυτών στην Εξ.(4). Με βάση τα ανωτέρω και για µάζα m= kg, σταθερά ελατηρίου k = 4 m, δύναµη = = =, προκύπτουν τα διαγράµµατα του Σχήµατος 4. = και = = (α) (β) Σχήµα 4: Συναρτήσεις Μεταφοράς και για (α) λόγο απόσβεσης ζ =.και (β) λόγο απόσβεσης ζ =.4 Υπενθυµίζεται ότι η σταθερά απόσβεσης υπολογίζεται από την σχέση c= ζω m

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Απόδειξη της Εξ.(4) Σύµφωνα µε την Εκπαιδευτική Ενότητα 8, η απόκριση του δυναµικού συστήµατος ισούται µε: = q( t) x t όπου είναι ο πίνακας των ιδιοανυσµάτων, δηλαδή = [ ]..., και q( t) = q( t) q ( t)... q( t) είναι οι γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας. Συνεπώς, στην περίπτωση του εξεταζόµενου m c k δυναµικού συστήµατος, η εξίσωση ισορροπίας είναι: M x+ x + K x+= Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την Εξ.(Α.) µε τον πίνακα αντικαθιστώντας µε την Εξ.(Α.), προκύπτει: M x x K x M x x K x + + = (Α.) (Α.) των ιδιοανυσµάτων και x = q t + + += + + += M q ( t) q ( t) K q( t) q q M [... ] q q + [... ]... q q... q q q + K [... ] = q q Λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες ορθοκανονικότητας των ιδιοανυσµάτων (δηλαδή ότι, M j = K j =, j M = m εκτελώντας πράξεις, η Εξ.(Α.3) δίδει: q (Α.3) και K = k, βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 8) και -.6 -

17 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - M M M m m= m = c c= c = q q M M M q m= m m = + q c= c c = q... M M M q m = m = m c = c = c K K K k k= k = K K K q q + k= k k = = q K K K k = k = k m q c q k q m q c q k q + + = m q c q k q ( β β ) ( β β ) mq + m + k q + kq = mq + m+ k q + kq = mq + ( βm + βk) q + kq =, =,,...,... m q + ( βm + βk) q + kq = k k q + β+ β q + q =, =,,..., m m m ω ω g( t) ( β β ω ) ω q + + q + q = g t, =,,..., (Α.4) Η Εξ.(Α.4) περιγράφει τη συµπεριφορά του δυναµικού συστήµατος ως συνόλου αποσυζευγµένων µονοβάθµιων δυναµικών συστηµάτων m c k, µοναδιαίας γενικευµένης µάζας, ισοδύναµης σταθεράς ελατηρίου ω και γενικευµένης εξωτερικής διέγερσης g t

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Υπολογισµός µητρώων µάζας και δυσκαµψίας για µηδενική απόσβεση Ο υπολογισµός του µητρώου µάζας M και του µητρώου δυσκαµψίας K του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος, επιτυγχάνεται εύκολα χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange. Ειδικότερα, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα και Εκπαιδευτική Ενότητα 7): Η κινητική ενέργεια του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στις µάζες m και m, ισούται µε: = mυ + mυ = m x + m x (Β.) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια σταθεράς k και k, ισούται µε: U = k( x) + k( x) U = kx + k( x x) (Β.) Στο σύστηµα δεν διαχέεται ενέργεια P, διότι το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία απόσβεσης, άρα ισχύει: P = Η ισχύς P t του συστήµατος, λόγω άσκησης της εξωτερικής δύναµης, ισούται µε: Pt (Β.3) = x (Β.4) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(Β., Β., Β.5), προκύπτει: L= U (Β.5) L U m x m x = = + kx + k x x (Β.6) Η εφαρµογή της Εξ.(Β.6) για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, δίδει: L L = m x + m x k x + k x x = m x x x x d L d = ( m x ) = m x dt x dt (Β.7) (Β.8) L = m x + m x k x + k ( x x ) = k x + k ( x x ) = ( k + k ) x k x x x (Β.9) x P = (Β.) -.8 -

19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - P t x = (Β.) Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange είναι (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα, Εκπαιδευτική Ενότητα7): L L P Pt + = t x x x x (Β.) Εισάγοντας τις Εξ.(Β.8,Β.9,Β.,Β.) στην Εξ.(Β.), προκύπτει: (Β.3) m x + k + k x k x = Επαναλαµβάνοντας την ανωτέρω διαδικασία για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, προκύπτει: L = m x + m x k x + k x x = m x x x d L d = ( m x ) = m x dt x dt (Β.4) (Β.5) L = m x + m x k x + k ( x x ) = k ( x x )( ) = k x + k x x x (Β.6) x P x P t = = (Β.7) (Β.8) Εισάγοντας τις Εξ.(Β.5,Β.6,Β.7,Β.8) στην Εξ.(Β.9), προκύπτει: (Β.9) m x k x k x + = Χρησιµοποιώντας µητρωϊκή γραφή, οι Εξ.(3,Β.9) γράφονται και ως εξής: x x [ m ] + ( k k) k ( ) x + = m x + k + k x kx = x m x kx + kx = x x [ m] + [ k k] = x x m x k+ k k x m + x = k k x M x K x (Β.) -.9 -

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Αντικαθιστώντας µε τα δεδοµένα της εκφώνησης (δηλαδή ότι m = 4m, m k = k = k ) στην Εξ.(Β.), τελικά προκύπτει: 4m x k k x m + x = k k x Με βάση την Εξ.(Β.), έπεται ότι: Το µητρώο δυσκαµψίας του συστήµατος ισούται µε: 4m M = m Το µητρώο µάζας του συστήµατος ισούται µε: = m, και (Β.) (Β.) k k K = k k (Β.) Από τα δεδοµένα της εκφώνησης (µηδενική απόσβεση), έπεται ότι το µητρώο απόσβεσης ισούται µε: = (Β.3) -. -

21 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Υπολογισµός του µητρώου για µη-µηδενική απόσβεση Ο υπολογισµός του µητρώου απόσβεσης επιτυγχάνεται εύκολα χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange και τα αποτελέσµατα από το Παράρτηµα Β. Ειδικότερα, ισχύει (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα και Εκπαιδευτική Ενότητα 7): Η κινητική ενέργεια του συστήµατος, από την Εξ.(Β.), ισούται µε: = m x + m x (Γ.) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, από την Εξ.(Β.), ισούται µε: U = k x + k x x (Γ.) Στο σύστηµα διαχέεται ενέργεια P ίση µε: P = c x + c x x (Γ.3) Η ισχύς P t του συστήµατος, λόγω άσκησης εξωτερικής διέγερσης, ισούται µε: Pt = f x (Γ.4) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(Γ., Γ., Γ.5), προκύπτει: L= U (Γ.5) L U m x m x = = + kx + k x x (Γ.6) Η εφαρµογή της Εξ.(Γ.6) για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, δίδει: L L = m x + m x k x + k x x = m x x x x d L d = ( m x ) = m x dt x dt (Γ.7) (Γ.8) L = m x + m x k x + k ( x x ) = k x + k ( x x ) = ( k + k ) x k x x x (Γ.9) P = c x + c ( x x ) = c x + c ( x x )( ) = ( c + c ) x c x x x (Γ.) P t x = f (Γ.) -. -

22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange είναι (βλ. Εκπαιδευτικές Ενότητες, 7): L L P Pt + = t x x x x (Γ.) Εισάγοντας τις Εξ.(Γ.8, Γ.9, Γ., Γ.) στην Εξ.(Γ.), προκύπτει: m x + k + k x k x + c + c x c x = f m x + c + c x c x + k + k x k x = f (Γ.3) Επαναλαµβάνοντας την ανωτέρω διαδικασία για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, προκύπτει: L = m x + m x k x + k x x = m x x x d L d = ( m x ) = m x dt x dt (Γ.4) (Γ.5) L = m x + m x k x + k ( x x ) = k ( x x )( ) = k x + k x x x (Γ.6) P = c x + c x x = c x x x x (Γ.7) x P t = (Γ.8) Εισάγοντας τις Εξ.(Β.5,Β.6,Β.7,Β.8) στην Εξ.(Β.9), προκύπτει: m x k x+ k x + c x x = m x + c x x k x+ k x = (Γ.9) Χρησιµοποιώντας µητρωϊκή γραφή, οι Εξ.(Γ.3, Γ.9) γράφονται και ως εξής: ( ) m x+ c + c x cx+ k+ k x kx = f m x+ c x x kx + kx = x x x [ m ] + [ c+ c c] + ( k k) k f x x + = x x x x [ m] + [ c c] + [ k k] = x x x -. -

23 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - m x c+ c c x k+ k k x f m + x c c + x = k k x M x x K x (Γ.) Αντικαθιστώντας µε τα δεδοµένα της εκφώνησης (δηλαδή ότι m = 4m, m και c = c = c ) στην Εξ.(Γ.), τελικά προκύπτει: m x c c x k k x f m + x + = c c x k k x Συνεπώς, το µητρώο απόσβεσης του συστήµατος ισούται µε: c c = c c = m, k = k = k (Γ.) (Γ.) -.3 -

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 8 έκδοση DΥΝI-EXC08-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE έκδοση DΥΝI-TFLT_016b

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0- Για ένα πολυβάθμιο σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω μόνο επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.1 - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 010.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 17.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 17. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις

Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 1 Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις q Στην περίπτωση αυτή µελετάµε την δεδοµένη οδηγό δύναµη: F d (t) = F cos! d t η οποία δρα επιπλέον των άλλων δυνάµεων:!kx! b x Ø H συχνότητα µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση (...)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) π / ω π / ω D E = f du = ( cu ) udt = cu dt D Δ9- Απώλεια ενέργειας Η απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Φθίνουσες ταλαντώσεις

Φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Δ23-2 Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος υπό τη δράση εξωτερικού φορτίου {p(t)} είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου

Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Εργαστηριακή Άσκηση 6 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου, k. Πειραματική διάταξη: Κατακόρυφο ελατήριο, σειρά πλακιδίων μάζας m. Μέθοδος: α) Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 20.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 20. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 0. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-VIS_2017a

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΟΓΩ ΔΙΝΩΝ Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦYΛΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ Διατύπωση των εξισώσεων Θεωρούμε κύλινδρο διαμέτρου D, μήκους l, και μάζας m. Ο κύλινδρος συγκρατειται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις Ελεύθερη - αμείωτη ταλάντωση και ποια η συχνότητα και η περίοδος της. Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 5. - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 opyight ΕΜΠ - Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωµάτων ισχύει ότι : (δ) η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων παραµένει

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 12.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 12. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1 - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγν Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 010. Με

Διαβάστε περισσότερα

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3.1 Μηχανικές Ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος µειώνεται µε τον χρόνο και τελικά µηδενίζεται λέγονται Φθίνουσες ή Αποσβεννύµενες. Ολες οι ταλαντώσεις στην ϕύση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Αα. (α) Αα. (γ) Α3α. (α) Α4α. (γ) Αβ. (γ) Αβ. (δ) Α3β. (β) Α4β. (β) Α0. α.λ β.λ γ.σ δ.λ ε.σ ΘΕΜΑ B

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17-10-11 ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ Α Θέµα 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. '' Περί Γνώσεως'' Φροντιστήριο Μ.Ε. Φυσική Προσανατολισμού Γ' Λ. ΜΑΘΗΜΑ /Ομάδα Προσανατολισμού Θ.Σπουδών / ΤΑΞΗ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ / Προσανατολισμού / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 o ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 8. - opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 202. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ll rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

0,4 2 t (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται (στο

0,4 2 t (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται (στο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. α.. δ. 3. β. 4. γ. 5. α-λ, β-σ, γ-σ, δ-σ, ε-λ. ΘΕΜΑ B. Σωστή απάντηση είναι η (β). Εφαρμόζουμε την αρχή της διατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση Α.1. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωµάτων ισχύει ότι : (δ) η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων παραµένει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 Α5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 Α5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 05-06 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08//05 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 20: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα