. Ένα παράδειγµα επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Transcript

1 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 325. Ένα παράδειγµα επαλληλίας εξισώσεων κίνησης Οριζόντιαελατήριασταθερώνk 1 καιk 2 προσδένονταισταθεράκατάτοέναάκροσε µιαοριζόντιαβάση(π.χ.τραπέζι)καικατάτοάλλοστοσώµαµάζαςm(σχήµα5.5α). Η οριζόντια βάση ταλαντώνεται κατά τη διεύθυνση των ελατηρίων και σύµφωνα µε τησχέσηx 1 =Α τρ ηµωtµεα τρ >0,ω>0,t 0 Λύση Να µελετηθεί η κίνηση του σώµατος m, υποθέτοντας ότι γίνεται χωρίς τριβές. (Ταδιανυσµατικάµεγέθη l 1, l 2,x,F 1,κ.λ.π.θεωρούνταιµετιςαλγεβρικέςτουςτιµές) Έστω ότι πριν ξεκινήσει οποιαδήποτε κίνηση, το σώµα ισορροπείστηθέσηοκαιτα ελατήριαk 1 καιk 2 είναιπαραµορφωµένακατά l 1 και l 2 αντίστοιχα(σχήµα5.5α). Οι οριζόντιες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα προέρχονται αποκλειστικά από τα ελατήρια και είναι Σχήµα 5.5 F 1= k 1 l 1 και F 2= k 2 l 2 Επειδή το σώµα ισορροπεί θα ισχύει συνεπώς F 1=F 2=0 k 1 l 1 k 2 l 2 =0 (5.19) ΈστωxµιατυχαίααποµάκρυνσητουσώµατοςαπότηθέσηΟ,ότανηοριζόντια βάση είναι σε ταλάντωση(σχήµα 5.5β). Οι οριζόντιες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα όταν βρίσκεται στην τυχαία αυτή αποµάκρυνση x είναι οι δυνάµεις των ελατηρίων F 1 = k 1 ( l 1 +x x 1 ) και F 2 = k 2 ( l 2 +x x 1 ) (5.20) Απότο2 ο νόµοτουνεύτωναπροκύπτειηδιαφορικήεξίσωση Λαµβάνοντας υπόψη τις(5.19) και(5.20) έχουµε (5.20α) Καλούµε οπότε η διαφορική εξίσωση που συνδέεται µε την κίνηση του σώµατος είναι η (5.21) 325

2 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 326 (5.22) Η διαφορική εξίσωση(5.22) είναι ίδια µε τη διαφορική(3.4) του εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση µε αποτέλεσµα η εξίσωση της κίνησης του σώ- µατος πάνω στο τραπέζι είναι ίδια µε εκείνη της εξαναγκασµένης αρµονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση. Συνεπώς για το σώµα m ισχύουν αρκετά από όσα γράφτηκαν στο κεφάλαιο 3. Απότιςτρειςισοδύναµεςµορφέςπουµπορείναέχειηλύσητης(5.22)καιπουαναφέρθηκαν στη σελίδα χχχ, επιλέγουµε την µε A>0 και 0 φ<2π (5.23) Ανx 0 καιυ 0 είναιηαρχικήθέσηκαιηαρχικήταχύτητατουσώµατοςτότε (5.24) Συνεπώς η εξίσωση κίνησης του σώµατος είναι (5.24α) (5.25) (5.26) Παρατηρήσεις πάνω στο λυµένο παράδειγµα: α. Η ποσότητα στις σχέσεις(5.21) είναι η κυκλική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή, η κυκλική δηλαδή συχνότητα µε την οποία το σώµα θα εκτελούσε απλή αρ- µονική ταλάντωση κάτω από την επίδραση των δύο ελατηρίων, αν το τραπέζι ήταν ακίνητο. β. Συγκρίνοντας την ποσότητα της διαφορικής(5.22) µε την της διαφορικής(3.4),εύκολαπροκύπτειότιηκίνησηx 1 =Α τρ ηµωtτηςοριζόντιαςβάσης φαίνεται σα να επιβάλλει στο σώµα µια επιπλέον δύναµη της µορφής Μεάλλαλόγια,ηκίνησητουτραπεζιούx 1 =Α τρ ηµωtφαίνεταιναδραστοσώµαως διεγέρτης, του οποίου η διεγείρουσα δύναµη είναι και η κυκλική του συχνότητα ω. γ.επειδήοιδιαφορικές(3.4)και(5.22)είναιίδιες,θαείναιίδιεςκαιοιλύσειςτους µε αποτέλεσµα, κρατώντας τις υπόλοιπες παραµέτρους του προβλήµατος σταθερές και 326

3 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 327 αλλάζοντας µόνο την ω µπορούµε στην εν λόγω κίνηση του σώµατος να παρατηρήσουµε αρκετάαπόόσαγράψαµεστο3 ο κεφάλαιογιατονεξαναγκασµένοαρµονικόταλαντωτή χωρίς απόσβεση. Θα δούµε δηλαδή να πραγµατοποιούνται πολύπλοκες ταλαντώσεις που καθώς η διαφορά ω ω 0 θαγίνεταιµικρήσεσχέσηµετιςωκαιω 0 θαοδηγούνσεόλοκαιπιο εµφανή διακροτήµατα. Στηνπερίπτωσηπουω=ω 0 θαπαρουσιαστείτοφαινόµενοτουσυντονισµού,οπότε οι µέγιστες αποστάσεις του σώµατος από τη θέση x=0 θα αυξάνονται µέχρι απειρισµού. Αυτός ο βαθµιαίος απειρισµός των µεγίστων αποστάσεων, σηµαίνει ότι αν δενδιαλυθείτοσύστηµα,τοσώµασύντοµα θα συγκρουστεί µε τα κατακόρυφατοιχώµαταακαιγτουτραπεζιού (Σχήµα 5.6). Σχήµα 5.6 δ.αν πριν αρχίσει η κίνηση της οριζόντιας βάσης το σώµα εκτελούσε απλή αρµονική ταλάντωσηκάτωαπότηνεπίδρασητωνελατηρίων,ηθέσηστηνοποίαθαβρεθείκαιη ταχύτηταπουθαέχειτηστιγµήπουαρχίζειηκίνησητηςοριζόντιαςβάσης,θαθεωρηθούν αρχικές συνθήκες για την πολύπλοκη ταλάντωση που θα ακολουθήσει. ε. Η εξίσωση κίνησης του σώµατος(5.23) είναι άθροισµα δύο προσθετέων και συνεπώς µπορεί να εκληφθεί ως επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο αρµονικών ταλαντώσεων. Οι αρµονικές αυτές ταλαντώσεις, όπως εξηγήθηκε σε προηγούµενες σελίδες και θα εξηγηθεί ακόµη περισσότερο παρακάτω, δεν είναι, ούτε µπορούν να θεωρηθούν απλές αρµονικές ταλαντώσεις. ζ. Η εξίσωση κίνησης του σώµατος δίνεται από την(5.23). Οτιδήποτε χρειαστούµε να υπολογίσουµε θα πρέπει να το κάνουµε χρησιµοποιώντας την(5.23), τη διαφορική (5.22) και τις δυνάµεις πάνω στα σώµατα. Για την εύρεση διαφόρων µεγεθών που αφορούν την κίνηση του σώµατος δεν πρέπει να χρησιµοποιούµε τις συνιστώσες αρµονικές ταλαντώσεις και µετά να προσθέτουµε τα αποτελέσµατα για να βρούµε το αντίστοιχο συνιστάµενο µέγεθος. Αυτό µπορούµε να το κάνουµε µόνο για την ταχύτητα και την επιτάχυνση και αυτό µε επιφύλαξη. Για κανένα άλλο µέγεθος. Ένα ερώτηµα για το παράδειγµα... Αφού η διαφορική εξίσωση(5.22) είναι ίδια µε την εξίσωση(3.4) του εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση γιατί δε χαρακτηρίζουµε την κίνηση του σώ- µατος πάνω στην οριζόντια βάση, εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση; 327

4 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 328 Ας επιχειρήσουµε την απάντηση Στη διαφορική εξίσωση(5.20α) που περιγράφει την κίνηση του σώµατος πάνω στην οριζόντια βάση, αντικαθιστούµε τις τιµές των δυνάµεων των ελατηρίων από τη σχέση (5.20) και λαµβάνοντας υπόψη την(5.19) καταλήγουµε στην και τελικά στην (5.27) Αν δεν υπήρχε η κίνηση του τραπεζιού οι δυνάµεις των ελατηρίων θα οδηγούσαν στη διαφορική Παρατηρώντας τις(5.27) και(5.28) διαπιστώνουµε το εξής: (5.28) Όταν το τραπέζι δεν ταλαντώνεται, η δύναµη των ελατηρίων επιβάλλει στο σώµα δύναµηεπαναφοράςf επ = (k 1 +k 2 )x,ηοποίαείναιδύναµησυντηρητικήκαιέχει σταθερό ελκτικό κέντρο στο x=0. Η κίνηση αυτή είναι απλή αρµονική ταλάντωση γύρωαπότοx=0. Όταν το τραπέζι ταλαντώνεται η δύναµη των ελατηρίων επιβάλλει στο σώµα µεταβλητήθέσηισορροπίαςκαι δύναµηεπαναφοράς F επ = (k 1 +k 2 )(x Α τρ ηµωt),η οποίαέχειµεταβλητόελκτικόκέντροτηθέσηx=α τρ ηµωt. Ηκίνησηλοιπόντουσώµατοςδενείναιµιααπλήκίνησηκαιπροπάντωνδενείναι απλή αρµονική ταλάντωση. Η µεταβολή του ελκτικού κέντρου κάνει τη θεωρητική αντι- µετώπιση του προβλήµατος εννοιολογικά πιο δύσκολη, µιας και καθιστά επιτακτική την ανάγκη εισαγωγής χρονοεξαρτώµενης µεταβλητής δυναµικής ενέργειας µε περιορισµούς στις µορφές των δυνάµεων που υπεισέρχονται στο φαινόµενο, ώστε να αποκτήσουν νόηµα και συνέπεια οι βασικές εξισώσεις της θεωρίας µας. Ταράζει αρκετά τα πράµατα γιατί, ας µη ξεχνάµε, ότι έχουµε εισάγει την έννοια της δυναµικής ενέργειας ως χρονοανεξάρτητου φυσικού µεγέθους. Ας περιοριστούµε όµως σε αυτό που µας ενδιαφέρει: Και για το σώµα που κινείται πάνω στο κινούµενο τραπέζι και για τον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή χωρίς τριβή ισχύει η ίδια διαφορική εξίσωση (5.29) Όµως στον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή χωρίς τριβή, στη συντηρητική δύναµηεπαναφοράςf= DxπροσθέσαµεκαιτηµησυντηρητικήF 1 =F 0 ηµωt,µεαποτέλεσµα η διαφορική να οφείλεται σε µια δύναµη επαναφοράς F= Dx σταθερού ελκτικούκέντρουx=0καιστηδύναµητουδιεγέρτηf 1 =F 0 ηµωt. 328

5 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 329 Στο παράδειγµα όµως που εξετάζουµε η διαφορική αυτή οφείλεται στη µεταβλητότητα των ελκτικών κέντρων των δυνάµεων των ελατηρίων και εποµένως και της θέσεως ισορροπίας του σώµατος. Καµιά καινούρια δύναµη δεν προσθέσαµε. εν επιβάλλαµε µη συντηρητικές δυνάµεις. υνάµεις ελατηρίων είχαµε και έχουµε συντηρητικές. Εκείνο πουκάναµεήτανναπειράξουµεταελκτικάτουςκέντρακαισυνεπώςκαιτοελκτικόκέντρο της συνισταµένης τους. Για το σώµα που κινείται πάνω στο κινούµενο τραπέζι και για τον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή χωρίς τριβή, µπορεί η διαφορική να είναι ίδια, µπορεί οι εξισώσεις κίνησης να είναι ίδιες όµως οι κινήσεις τους είναι διαφορετικές γιατί αρκετά από τα στοιχεία που τις αφορούν δεν είναι ίδια. Για παράδειγµα ο υπολογισµός των διαφόρων µεγεθώνκαιοιέννοιεςπουσυνοδεύουντιςδύοκινήσειςδενείναιίδιες.ισχύειαυτόπου έχουµε ξαναπεί: η εξίσωση κίνησης δεν είναι η κίνηση. Ίδιες εξισώσεις κίνησης σηµαίνει ίδιες ταχύτητες και ίδιες επιταχύνσεις, αλλά όχι και ίδιες κινήσεις. Έτσι λοιπόν στον εξαναγκασµένο έχουµε µια σαφώς καθορισµένη και γνωστή χρονοανεξάρτητη σχέση για τη δυναµική ενέργεια (5.30) Για τη δυναµική όµως ενέργεια του σώµατος που κινείται πάνω στο κινούµενο τραπέζι έχουµε µια χρονοεξαρτώµενη σχέση (5.31) Το ίδιο συµβαίνει και µε τη δυναµική ενέργεια που δηµιουργείται από τη δύναµη του κάθε ελατηρίου....κι ένα λεπτό λάθος Θα µπορούσαµε να πούµε ότι το σώµα πάνω στο τραπέζι εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις, µία απλή αρµονική x 1 λόγω ελατηρίων και µια εξαναγκασµένη x 2 λόγω της κίνησης του τραπεζιού; Προσπερνώντας το ταυτόχρονα ως µη αποδεκτό, ας δούµε για το εξαναγκασµένη: Όπωςθαεξηγήσουµεστησελίδα355,ανχαρακτηρίζαµετηx 2 ωςεξαναγκασµένη χωρίς απόσβεση, αυτό θα µας υποχρέωνε να χαρακτηρίσουµε όλη την κίνηση του σώ- µατος πάνω στο κινούµενο τραπέζι εξαναγκασµένη χωρίς απόσβεση, γεγονός που µόλις πριν από λίγο απορρίψαµε. Εποµένως και η παραπάνω φράση για σύνθεση από µια α.α.τ. και µια εξαναγκασµένη απορρίπτεται. Τέλος πάντων. Ένα παράδειγµα σαν αυτό µε το κινούµενο τραπέζι είναι παράδειγµα για εννοιολογικές αναταραχές, επαναπροσδιορισµούς εννοιών και επεκτάσεις σε πιο γενικευµένα µεγέθη και πιο ισχυρές γενικευµένες βασικές εξισώσεις. Πιστεύουµε ότι κάτι τέτοιο δεν ήταν και δεν είναι στις διαθέσεις κανενός. Άρα όταν διδάσκουµε ως παράδειγµα σύνθεσης την κίνηση του σώµατος πάνω σε ένα 329

6 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 330 κινούµενο τραπέζι πρέπει να ξέρουµε που θα πάµε, ποιους θα πάµε, αν µπορούµε εµείς νατουςπάµεκαιτοκυριότερο,ναείµαστεπολύπροσεκτικοίσεαυτάπουλέµε.τόσο προσεκτικοί ώστε να µην αναφέρουµε καθόλου το παράδειγµα µε το κινούµενο τραπέζι. Τελικά µια επικίνδυνα λανθασµένη φράση: Το σώµα κάνει ταυτόχρονα δύο κινήσεις... Ας ξαναδούµε την παραπάνω άσκηση µέσα από άλλη εκφώνηση: Οριζόντιαελατήριασταθερώνk 1 καιk 2 προσδένονταισταθεράκατάτοέναάκροσε οριζόντιαβάση(τραπέζι)καικατάτοάλλοστοσώµαµάζαςm...αντοσώµααποµακρυνθείαπότηθέσηισορροπίαςτουκαιαφεθείελεύθεροθαεκτελέσεια.α.τ.µεπερίοδοτ 0. Ανκαιηβάσηπάνωστηνοποίαβρίσκεταιτοσώµα µεκατάλληλοµηχανισµό εκτελείαρµονικήταλάντωσηx 1 =Α τρ ηµωt µεt 0 καιπερίοδοτ,τοσώµακάνειταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις Λύσεις από µαθητές που τροφοδοτήθηκαν µε φράσεις του τύπου... Το σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις!!!! Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων Η µια κίνηση δεν επηρεάζει την άλλη 1ος µαθητής: Προσθέτουµε κινήσεις κ.λ.π. Το σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις. Την απλή αρµονική ταλάντωση x 1 =Α τρ ηµωtτουτραπεζιούκαιτηναπλήαρµονικήταλάντωσηλόγωτωνελατηρίων. Επιλέγονταςγιααρχήτωνχρόνωντηστιγµήπουτοκινητόπερνάαπότηx=0κινούµενοπροςταθετικάµεταχύτηταυ 0 ηεξίσωσητηςα.α.τ.λόγωτωνελατηρίωνείναι: Βάσει της αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων η κάθε µια κίνηση διατηρεί όλα τα χαρακτηριστικά της και δεν επηρεάζεται από την άλλη κίνηση. Άρα η εξίσωση κίνησης τουσώµατοςείναιησύνθεσηx=x 1 +x 2,δηλαδή 2ος µαθητής: (5.32) Το σώµα κάνει ταυτόχρονα και την απλή αρµονική ταλάντωση του τραπεζιού x 1 =Α τρ ηµωtκαιτηναπλήαρµονικήταλάντωσηx 2 =Α ηµ(ω 0 t+φ)λόγωτωνελατηρίων. Βάσει της αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων, οι κινήσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, η κάθε µια διατηρεί όλα τα χαρακτηριστικά της, δεν επηρεάζεται από την άλλη κίνηση και συνεπώς µπορούν να προστεθούν. 330

7 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 331 Άραηεξίσωσηκίνησηςτουσώµατοςείναιησύνθεσηx=x 1 +x 2,δηλαδή x=α τρ ηµωt+α ηµ(ω 0 t+φ) Οι παράµετροι Α και φ καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος. Εδώβέβαιαυπάρχειηαπορία,γιατίενώοικινήσειςείναιανεξάρτητεςταΑκαιφτης x 2 νακαθορίζονταιαπόολόκληρητηνκίνησηκαισυνεπώς,γιατίσεπράµαταπουαφορούντηνx 2 ναµπερδεύεταικαιηx 1 ; ενθαέπρεπεναβρούµεκάποιοτρόποναπροσδιορίζουµεταακαιφαποκλειστικάαπότηνx 2 ; Εποµένως η ταχύτητα του σώµατος θα είναι το άθροισµα των ταχυτήτων των δύο ανεξάρτητωνταλαντώσεωνx 1 καιx 2 υ=ωα τρ συνωt+αω 0 συν(ω 0 t+φ) Έστωx 0 καιυ 0 ηαρχικήθέσηκαιηαρχικήταχύτητατουσώµατος.εποµένωςγια t=0s οι δύο προηγούµενες σχέσεις δίνουν: από όπου x 0 =Α ηµφ και υ 0 =ωα τρ +Αω 0 συνφ Άρα η εξίσωση κίνησης του σώµατος είναι (5.32α) Οι εξισώσεις κίνησης(5.32) και(5.32α) των µαθητών δεν είναι ίδιες µε την(5.25) που έβγαλε η διαφορική εξίσωση. Θα χρειαστούµε σίγουρα µια καλή απάντηση γι αυτούς. Αν,πούκαιγιατίέκανανλάθος.Καικάτιακόµη:Έχουνδικαίωµανααποκαλούντιςx 1 καιx 2 απλέςαρµονικέςταλαντώσεις;καιγιατίόχι,αφούηκίνησητουτραπεζιούέχειτην εξίσωση της α.α.τ. και η άλλη οφείλεται σε ελατήρια που δηµιουργούν α.α.τ.; Συµπεράσµατα: Οι συνιστώσες κινήσεις µιας σύνθετης κίνησης ούτε ανεξάρτητες είναι ούτε προστίθενται έτσι απλά για να βγάλουν τη συνισταµένη κίνηση. Ποτέ ένα σώµα δεν εκτελεί µιακίνησηκαιτοαναγκάζωναεκτελέσειάλληµίακαιεποµένωςτησύνθεσήτους.ένα σώµα κάνει µία µόνο κίνηση αυτή που του επιβάλλουν οι δυνάµεις, οι αρχικές συνθήκες καιηµάζατου.αυτήλοιπόνηκίνησηηµίαηµόνοµίαέχειµίαµόνοµίαεξίσωσηκίνησης που προκύπτει από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης. Με τη σειρά της αυτή η εξίσωση κίνησης µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία άλλων εξισώσεων κίνησης αλλά όχι κινήσεων. εν προσθέτουµε εξισώσεις για να βγάλουµε την εξίσωση κίνησης που θέλουµε, αλλά πάντα λύνουµε πρώτα τη διαφορική και µετά συµπεραίνουµε αν κάποια εξίσωση κίνησηςείναιήόχισύνθετη.ανµαςδίνουντηνεξίσωσηκίνησηςµπορούµεναπούµεκάποια πράµατα για την ταχύτητα, την επιτάχυνση και µε πολύ προσοχή για τη συνισταµένη δύναµη. Η επαλληλία δηλαδή των εξισώσεων κίνησης µπορεί να µας εξασφαλίσει την σύν- 331

8 K5:Σχέδιο1 10/11/2009 4:18µµ Σ δ 332 θεση ταχυτήτων και επιταχύνσεων. Μέχρι εκεί όµως. Τα υπόλοιπα φυσικά µεγέθη που αφορούντηµίακαιµόνοµίακίνησητουκινητού,ταβρίσκουµεαπότηµίακαιµόνοµία εξίσωση κίνησής του, από τη διαφορική και από τις συγκεκριµένες δυνάµεις που δέχεταιτοσώµα. Κανένα κινητό δεν εκτέλεσε ποτέ, ούτε θα εκτελέσει ποτέ δύο κινήσεις ταυτόχρονα. Ούτε προσθέτονται οι κινήσεις, ούτε αφαιρούνται. Όλα όσα έχουµε στο µυαλό µας για το θέµα, είναι επαλληλία εξισώσεων κίνησης, δηλαδή αθροίσµατα συναρτήσεων που µοιάζουν µε συναρτήσεις γνωστών µας κινήσεων. Πλησιάζουµε ικανοποιητικά στην πρόσθεση κινήσεων µόνο στην περίπτωση που µια διανυσµατική σχέση αναλύεται σε άξονες και µελετάµε τι συµβαίνει στον κάθε άξονα. 332