Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε στην επιλυσιµότητα των πολυωνυµικών εξισώσεων και στη ϑεωρία Galois, όπου έπαιξε πρωταρχικό ϱόλο. Γι αυτό το λόγο οι µαθηµατικοί µέχρι το τέλος του 19ου αιώνα µελετούσαν κυρίως την οµάδα S n. Το Θεώρηµα του Cayley που αποδεικνύει ότι κάθε πεπερασµένη οµάδα εµφυτεύεται στην οµάδα S n οδηγεί στο συµπέρασµα ότι αρκεί να µελετηθεί η S n για να γνωρίζουµε κάθε πεπερασµένη οµάδα. Η πολυπλοκότητα, όµως, της S n αποθάρρυνε αυτήν την άποψη µε αποτέλεσµα να δηµιουργηθεί και να αναπτυχθεί η αφηρηµένη ϑεωρία οµάδων, που περιλαµβάνει την οµάδα S n ως µία περίπτωση οµάδας. Ηδη είδαµε την οµάδα S X ως οµάδα συµµετρίας ενός συνόλου Χ. Η S n και η S X δίνουν σηµαντικές πληροφορίες στη µελέτη του ϕαινοµένου της συµµετρίας. Η οµάδα συµµετρίας του τριγώνου είναι η S 3 D 2 3 και η οµάδα συµµετρίας του τετραγώνου η D 2 4 S 4. Ακόµη η οµάδα συµµετρίας του κύκλου είναι άπειρη. Ετσι µπορούµε να πούµε ότι όσο πιό συµµετρικό είναι ένα αντικείµενο, τόσο µεγαλύτερη οµάδα συµµετρίας έχει. Ενα «ακόνιστο» σχήµα έχει οµάδα συµµετρίας την τετριµµένη. Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούµαστε µε την S X για X = {1, 2,..., n}. Στόχος µας είναι να αποδείξουµε ότι η S n δεν είναι επιλύσιµη για n 5 και η A n είναι απλή για n Βασικές ιδιότητες της S n Ορίσαµε την οµάδα S n στο Παράδειγµα και στο Παραδειγµα ορίσαµε τις άρτιες και περιττές µεταθέσεις. Στην άσκηση 7.2 του εδαφίου 3.1 είδαµε ότι [S n A n ] = 2, έτσι από την Πρόταση η A n είναι κανονική 187

2 188 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων υποοµάδα της S n και S n /A n Z 2. (8.1.1) Άρα η A n είναι µία µέγιστη κανονική υποοµάδα της S n (ϐλ ). Επίσης µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η συνάρτηση 1, αν η σ είναι άρτια S n {1, 1}, σ 1, αν η σ είναι περιττή Πρόταση είναι επιµορφισµός δακτυλίων µε πυρήνα την A n. Ετσι από το Πρώτο Θεώ- ϱηµα Ισοµορφίας οδηγούµαστε πάλι στον ισοµορφισµό (8.1.1). Θα εξετάσουµε στη συνέχεια µερικές ιδιότητες των στοιχείων της S n. Ορισµός Εστω {α 1, α 2,..., α s } {1, 2,..., n}. Ορίζουµε την κυκλική (cyclic) µετάθεση ή κύκλο (cycle) των στοιχείων α 1, α 2,..., α s και συµ- ϐολίζουµε (α 1, α 2,..., α s ) ως τη µετάθεση που αφήνει τα στοιχεία του συνόλου {1, 2,..., n} που δεν ανήκουν στο σύνολο {α 1, α 2,..., α s } σταθερά και α 1 α 2, α 2 α 3,..., α s 1 α s, α s α 1. Ο ϕυσικός αριθµός s λέγεται µήκος (length) του κύκλου (α 1, α 2,..., α s ). Ακόµη λέµε ότι ο κύκλος (α 1, α 2,..., α s ) είναι ένας s-κύκλος. Για παράδειγµα ο 4-κύκλος (1234) = ( ). Ε πίσης η µετάθεση ( ) = (345) = ( ). Πρόταση Η τάξη µίας κυκλικής µετάθεσης ισούται µε το µήκος της. Απόδειξη Από τον Ορισµό προκύπτει ότι ο κύκλος σ = (α 1, α 2,..., α s ) περιγράφεται από τις εξισώσεις σ(α k ) = α t, t (k + 1)mods, 1 k s και η µετάθεση σ m περιγράφεται από τις εξισώσεις σ m (α k ) = α t, t (k + m)mods, 1 k s, για κάποιον ϕυσικό αριθµό m. (Βέβαια η µετάθεση σ m, για m > 1, δεν είναι πάντα κυκλική µετάθεση.) Άρα σ s (α k ) = α k, 1 k s, δηλ. ordσ = s. Ορισµός ύο µεταθέσεις σ, τ S n λέγονται ξένες µεταξύ τους (disjoint) αν κάθε αντικείµενο από τα {1, 2,..., n} που δεν µένει σταθερό από τη µία µετάθεση µένει σταθερό από την άλλη, δηλ. αν σ(x) x, τότε τ(x) = x και αν τ(y) y, τότε σ(y) = y.

3 Κεφάλαιο 8 Εδάφιο 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n 189 Για παράδειγµα η µετάθεση σ = (12)(467) είναι γινόµενο των µεταθέσεων (12) και (467) που είναι ξένες µεταξύ τους. Ετσι η σ = ( ). Πρόταση Εστω σ = (α 1, α 2,..., α s ) και τ = (β 1, β 2,..., β t ) δύο κύκλοι ξένοι µεταξύ τους. Τότε {α 1, α 2,..., α s } {β 1, β 2,..., β t } = και στ = τσ. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Για τη µετάθεση σ = ( ) παρατηρούµε ότι σ = (12)(3)(456)(78) = (12)(456)(78), δηλ. η σ αναλύεται σε γινόµενο µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Με το επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύουµε ότι κάθε στοιχείο της S n έχει αυτήν την ιδιότητα. Θεώρηµα Κάθε µετάθεση της S n αναλύεται σε γινόµενο µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Η ανάλυση αυτή είναι µοναδική και ανεξάρτητη της ϑέσης των παραγόντων. Απόδειξη Εστω σ S n. Είναι εύκολο να δούµε ότι η συνάρτηση σ {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, (σ k, α) σ k (α) είναι µία δράση της οµάδας σ στο σύνολο {1, 2,..., n}. Εστω [α] η τροχιά του α {1, 2,..., n}, δηλ. [α] = {σ k (α) 0 k ord(σ)}. Το σύνολο [α] είναι πεπερασµένο ως υποσύνολο του {1, 2,..., n}, άρα υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί s, t τέτοιοι ώστε σ s (α) = σ t (α). Αν το s > t τότε σ s (α) = σ t (α) σ s t (α) = α. Εστω m 0 ο ελάχιστος ϕυσικός αριθµός µε την ιδιότητα σ m (α) = α. Τότε η σ περιέχει στην ανάλυσή της την κυκλική µετάθεση (ασ(α)... σ m 1 (α)). Θεωρούµε, αν υπάρχει, ένα στοιχείο β {1, 2,..., n} και β {α, σ(α),..., σ m 1 (α)}. Οµοια για το ϐ, όπως για το α, υπάρχει ένας ελάχιστος α- ϱιθµός v 0 τέτοιος ώστε σ v (β) = β. Τότε η τροχιά του ϐ είναι η [β] = {β, σ(β),..., σ v 1 (β)} και τα σύνολα [α], [β] είναι ξένα µεταξύ τους, δηλ. [α] [β] =, αφού οι τροχιές είναι κλάσεις ισοδυναµίες. Αν υπάρχει στοιχείο

4 190 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων του συνόλου {1, 2,..., n} που δεν ανήκει στο σύνολο [α] [β] συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο µέχρις ότου εξαντληθούν τα στοιχεία του συνόλου {1, 2,..., n}. Ακόµη αν ένα στοιχείο έχει µήκος τροχιάς ίσο µε 1, οπότε µένει σταθερό από τη µετάθεση σ, το παραλείπουµε. Ετσι η µετάθεση σ αναλύεται σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο που αντιµεταθέτονται (ϐλ. Πρόταση 8.1.4). Η µοναδικοτητα της ανάλυσης προκύπτει από το γεγονός ότι οι παράγοντες της ανάλυσης του σ προέρχονται από τροχιές που είναι κλάσεις ισοδυναµίας. Παραδείγµατα Για τη µετάθεση σ = ( ) έχουµε τις τροχιές : [1] = {1, σ(1) = 3, σ 2 (1) = σ(3) = 4, σ 3 (1) = 5}, αφού σ 4 (1) = 1, [2] = {2}, [σ] = {6, 7}, [8] = 8. Άρα η σ = (1345)(67). 2. Εστω σ = (α 1 α 2... α k )(α 1 α k+1 ). Παρατηρούµε ότι [α 1 ] = {α 1, σ(α 1 ) = α k+1, σ 2 (α 1 ) = σ(α k+1 ) = α 2, σ 3 (α 1 ) = α 3,..., σ k (α 1 ) = α k }, αφου σ k+1 (α 1 ) = σ(α k ) = α 1. Άρα η σ είναι ο κύκλος (α 1 α k+1, α 2 α 3... α k ). Στη συνέχεια ϑα δούµε µία ακόµη ανάλυση µίας µετάθεσης σε γινόµενο αντιµεταθέσεων (transportation), δηλ. µεταθέσεων µήκους δύο. Πρόταση i. Κάθε στοιχείο σ S n αναλύεται σε γινόµενο αντιµεταθέσεων. ii. Ενα στοιχείο σ S n είναι άρτια µετάθεση αν και µόνον αν είναι γινόµενο άρτιου πλήθους αντιµεταθέσεων και περιττή µετάθεση αν και µόνον αν είναι γινόµενο περιττού πλήθους αντιµεταθέσεων. Απόδειξη i. Από το Θεώρηµα έπεται ότι είναι αρκετό να αποδείξουµε την πρόταση για κυκλικές µεταθέσεις. Αν, λοιπόν, σ = (α 1 α 2... α s ), τότε (α 1 α s )(α 1 α s 1 )... (α 1 α 2 ) = σ, όπως διαπιστώνουµε κάνοντας τις πράξεις στο αριστερό µέρος της σχέσης αυτής. ii. Από τον ορισµό των άρτιων και περιττών µεταθέσεων είναι ϕανερό ότι µία αντιµετάθεση είναι περιττή µετάθεση. Θεωρούµε τη συνάρτηση 1, αν η σ είναι άρτια f S n { 1, 1}, σ 1, αν η σ είναι περιττή. η f είναι επιµορφισµός οµάδων µε πυρήνα την A n. Άρα, αν σ = σ 1 σ 2... σ t είναι η ανάλυση της σ σε γινόµενο αντιµεταθέσεων, τότε f(σ) = f(σ 1 )... f(σ t ) =

5 Κεφάλαιο 8 Εδάφιο 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n 191 ( 1) t. Άρα η σ είναι άρτια αν και µόνον αν ο t είναι άρτιος και περιττή αν και µόνον αν ο t είναι περιττός. Πρόταση i. Ενας s-κύκλος είναι άρτια µετάθεση αν ο s είναι περιττός και περιττή µετάθεση αν ο s είναι άρτιος. ii. Εστω σ S και σ = σ 1 σ 2... σ m η ανάλυσή της σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Αν η σ i είναι ένας s i -κύκλος, για 1 i m, τότε η σ είναι άρτια µετάθεση αν ο m i=1(s i 1) είναι άρτιος αριθµός και περιττή αν m i=1(s i 1) είναι περιττός. Απόδειξη i. Από την απόδειξη της Πρότασης 8.1.7,i. προκύπτει ότι ο s- κύκλος αναλύεται σε s 1 πλήθους αντιµεταθέσεων. Άρα είναι άρτια µετάθεση, όταν s 1 είναι άρτιος και περιττή αν ο s 1 είναι περιττός. ii. Προκύπτει από το i. και το Θεώρηµα Παρατηρήσεις i. Η ανάλυση µίας µετάθεσης σε γινόµενο αντιµεταθέσεων όπως αυτή αναφέρεται στην Πρόταση 8.1.7,i. δεν είναι µοναδική. Αυτό ϕαίνεται από το παράδειγµα : και γενικότερα από το (13)(12) = (123) = (23)(13) = (13)(42)(12)(14) (αβ) = (αβ)(γ) = (βγ)(αβ)(αγ). ii. Το γινόµενο δύο αντιµεταθέσεων δεν είναι αντιµεταθετική πράξη. Πράγ- µατι, (123) = (13)(12) (12)(13) = (132). iii. Από την Πρόταση 8.1.8, όµως, προκύπτει ότι το πλήθος των αντιµεταθέσεων που αναλύεται µία µετάθεση δεν είναι µεν σταθερό, αλλά είναι ή άρτιος ή περιττός αριθµός. Θα ταξινοµήσουµε, τώρα, τα συζυγή στοιχεία µίας µετάθεσης σ ανάλογα µε την ανάλυσή της σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Πρόταση ύο στοιχεία σ, τ S n είναι συζυγή αν και µόνον αν έχουν την ίδια ανάλυση σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο.

6 192 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι το στοιχείο σ S έχει την ακόλουθη ανάλυση σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο σ = (α 11 α 12...α 1s1 )(α 21 α 22...α 2s2 )...(α t1 α t2...α tst ), όπου t, s 1,..., s t είναι µη µηδενικοί ϕυσικοί αριθµοί και s 1 + s s t = n. Εστω ότι τ = ( α α 1s1 α α 2s2... α t1... β β1s 1 β β 2s2... β t1... α tst β tst ) ένα τυχαίο στοιχείο της S n. Τότε εύκολα υπολογίζουµε ότι τστ 1 = (β 11 β 12...β 1s1 )(β 21 β 22...β 2s2 )...(β t1 β t2...β tst ), δηλαδή, κάθε συζυγές του σ έχει την ίδια δοµή σε ανάλυση κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι δύο στοιχεία σ, τ S n έχουν την ίδια δοµή σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Εστω και σ = (α 11...α 1s1 )(α 21...α 2s2 )...(α t1...α tst ) τ = (β 11...β 1s1 )(β 11...β 1s1 )...(β 11...β 1s1 ) αυτές οι αναλύσεις. Ορίζουµε τη µετάθεση u = ( α α 1s1 α α 2s2... α t1... α tst β β1s 1 β β 2s2... β t1... β tst ) και εύκολα υπολογίζουµε ότι uσu 1 = τ. Άρα οι σ, τ είναι συζυγείς. Παραδείγµατα Εστω σ = (231)(45)(6) και τ = (462)(31)(5) δύο στοιχεία της S n µε την ίδια δοµή σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Τότε τ = uσu 1, όπου u = ( ) = ( ). 2. Ας υπολογίσουµε τις κλάσεις συζυγών στοιχείων της S 3. Από την Πρόταση προκύπτει ότι οι δυνατές αναλύσεις των στοιχείων της S 3 σε γινόµενο κύκλων ξένων µεταξύ τους ανά δύο, ακολουθούν τις δοµές : ( )( )( ), ( )( ), ( ) δηλαδή είναι όσες οι δυνατές προσθετικές αναλύσεις του 3, δηλ. Άρα έχουµε : , 1 + 2, 3.

7 Κεφάλαιο 8 Εδάφιο 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n 193 i. Την κλάση που περιέχει όλους τους κύκλους µήκους 1, δηλαδή αποτελείται µόνον από το ουδέτερο στοιχείο της S 3. ii. Την κλάση που περιέχει όλα τα στοιχεία που αναλύονται σε γινόµενο ενός κύκλου µήκους 1 και ενός κύκλου µήκους 2, δηλαδή περιέχει όλους τους κύκλους µήκους 2. Άρα περιέχει τα στοιχεία :(12), (13), (23). iii. Την κλάση που περιέχει όλους τους 3-κύκλους, δηλαδή τα στοιχεία : (123), (132). 3. Υπολογισµός των κλάσεων συζυγών στοιχείων της S 4. Οι προσθετικές αναλύσεις του 4 είναι : , , 1 + 3, 2 + 2, 4. Εποµένως υπάρχουν πέντε κλάσεις συζυγών στοιχείων µε δοµή αντίστοιχα τη : ( )( )( )( ), ( )( )( ), ( )( ), ( )( ), ( ), δηλ. η πρώτη κλάση αποτελείται από το µοναδιαίο στοιχείο της S 4, η δεύτερη από όλους τους 2-κύκλους, η τρίτη από όλους τους 3-κύκλους, η τέταρτη από όλα τα γινόµενα δύο 2-κύκλων και η πέµπτη από όλους τους 4-κύκλους. Θα υπολογίσουµε τώρα το πλήθος των στοιχείων κάθε µίας από τις τέσσερις τελευταίες κλάσεις παρέχοντας ένα γενικό κανόνα. Το πλήθος των s-κύκλων της S n, για 1 < s n, είναι ίσο µε 1 n(n 1) (n s + 1). s Πράγµατι, έστω σ = (α 1 α 2...α s ) ένας s-κύκλος. Τα α i είναι διακεκριµένα και το α 1 µπορεί να λάβει n τιµές, το α 2 n 1 τιµές,... και το α s n s + 1 τιµές. Εποµένως, το πλήθος αυτών των παραστάσεων (α 1 α 2... α s ) είναι n(n 1)(n 2) (n s + 1). Οµως όλοι οι s-κύκλοι που προκύπτουν από τον σ µε κυκλική µετάθεση των α 1, α 2,..., α s είναι ίσοι, δηλ. (α 1 α 2... α s ) = (α 2 α 3... α s α 1 ) = (α s α 1 α 2... α s 1 ). Εποµένως οι διακεκριµένοι s-κύκλοι της S n είναι 1 n(n 1)(n 2) (n s + 1). s

8 194 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Επίσης µπορούµε να αποδείξουµε ότι : Το πλήθος των στοιχείων της S n που έχουν τη δοµή δύο κύκλων µήκους s είναι 1 1 n(n 1) (n s + 1) (n s)(n s + 1) (n 2s + 1). 2 s2 Πράγµατι, έστω σ = (α 1 α 2... α s )(β 1 β 2... β s ) ένα τέτοιο στοιχείο της S n. Το 1 στον παραπάνω τύπο δικαιολογείται γιατί οι παράγοντες του σ αντιµεταθέ- 2 τονται. Ο παράγοντας 1 s 2 δικαιολογείται όπως στον προηγούµενο τύπο το 1 s, αλλά τώρα για κάθε παράγοντα. Ας παρατηρήσουµε ακόµη, ότι οι δυνατές επιλογές για το στοιχείο β 1 είναι n s, αφού έχουµε ήδη επιλέξει τα στοιχεία α 1, α 2,..., α s. Οµοια για το β 2 είναι n s 1 κ.ο.κ. Ετσι το πλήθος των στοιχείων της S 4 µε δοµή ( ) είναι = 6, το πλήθος των στοιχείων µε δοµή ( ) είναι = 8, το πλήθος των στοιχείων µε δοµή ( ) είναι (4 3)(2 1) = 3. Παρατηρούµε ακόµη ότι τα στοιχεία µε δοµή ( ) είναι περιττές µεταθέσεις ως αντιµεταθέσεις, τα στοιχεία ( ) είναι άρτιες µεταθέσεις, τα στοιχεία ( ) είναι περιττές µεταθέσεις, ϐλ. Πρόταση i, και τα στοιχεία ( )( ) είναι άρτιες µεταθέσεις ως γινόµενο περιττών, ή ϐλ. ακόµη Πρόταση ii. Ας υπολογίσουµε τώρα την τάξη των στοιχείων της S 4. Από την Πρόταση ii) προκύπτει ότι τα συζυγή στοιχεία µίας οµάδας έχουν της ίδια τάξη. Ετσι όλοι οι 2-κύκλοι έχουν τάξη 2, ϐλ. Πρόταση Οµοια κάθε 3- κύκλος έχει τάξη 3 και κάθε 4-κύκλος έχει τάξη 4. Κάθε στοιχείο της µορφής ( )( ) έχει τάξη 2 γιατί οι παράγοντες αντιµεταθέτονται και [(αβ)(γδ)] 2 = (αβ) 2 (γδ) 2 = 1. Ετσι καταλήγουµε στον ακόλουθο πίνακα για τα στοιχεία της S 4. Ανάλυση σε κύκλους πλήθος στοιχείων S 4 τάξη στοιχείων είδος στοιχείου ( ) 1 1 άρτια ( ) 6 2 περιττή ( ) 8 3 άρτια ( ) 6 4 περιττή ( )( ) 3 2 άρτια Από τον προηγούµενο πίνακα µπορούµε να ϐρούµε επίσης τα στοιχεία της

9 Κεφάλαιο 8 Εδάφιο 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n 195 A 4. Ανάλυση σε κυκλους πλήθος στοιχείων A 4 τάξη στοιχείων είδος στοιχείου ( ) 1 1 άρτια ( ) 8 3 άρτια ( )( ) 3 2 άρτια Ασκήσεις 1. Να αναλυθούν οι παρακάτω µεταθέσεις σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο. i. ( ), ii. ( α β γ δ ɛ ζ γ ɛ δ ζ β α ), iii. (α 1 α 2... α k yβ 1 β 1... β s )(α k α k 1... α 2 α 1 xyγ 1 γ 2... γ t ), iv. (α 1 α 2... α k xyzβ 1 β 1... β s ). 2. Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Να αποδείξετε ότι τα µόνο στοιχεία της S n µε τάξη p είναι τα γινόµενα p-κύκλων ξένων µεταξύ τους α- νά δύο. (Υποδ): Να παρατηρήσετε ότι αν το σ S n έχει την ανάλυση σ = σ 1... σ s σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων ξένων µεταξύ τους ανά δύο τότε 1 = σ p = σ p 1... σp s σ p 1 = = σp s = Αν ένα στοιχείο σ S n αναλύεται σε γινόµενο s πλήθους κύκλων, ξένων µεταξύ τους ανά δύο, µήκους t 1, t 2,..., t s αντίστοιχα, µε t 1 + t t s = n, να αποδείξετε ότι ord(σ) = ΕΚΠ(t 1, t 2,..., t s ). 4. ίνεται ένας n-κύκλος σ S n και ένας ϕυσικός αριθµός m n. Να αποδείξετε ότι το στοιχείο σ m είναι γινόµενο m κυκλικών µεταθέσεων, ξένων µεταξύ τους ανά δύο. 5. Να εξετάσετε ποια από τις επόµενες µεταθέσεις είναι άρτια και ποια πε- ϱιττή : i. (123456), ii. (2345), iii. (123)(45), iv. ( ).

10 196 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 6. Εστω τ = (12) και σ = (12... n) στοιχεία της S n. Να υπολογίσετε τα στοιχεία σ k τσ k, για k = 1, 2,..., n Να αποδείξετε ότι η A 4 έχει µοναδική υποοµάδα τάξης 4 την οµάδα του Klein {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Ακόµη να αποδείξετε ότι Z(A 4 ) = {e}. 8. Να γίνουν οι πίνακες της S 5 και της A 5, οι αντίστοιχοι των S 4 και A 4 στο Παράδειγµα Επιλυσιµότητα της S n Ξεκινούµε αυτό το εδάφιο µε τον υπολογισµό συνόλου παραγόντων στοιχείων της S n και της A n. Πρόταση i. S n = {(αβ) 1 α, β n }. ii. S n = (12), (13),..., (1n). iii. S n = (12), (12... n). Απόδειξη i. Είναι ϕανερό, αφού κάθε στοιχείο της S n αναλύεται σε γινόµενο αντιµεταθέσεων (ϐλ. Πρόταση 8.1.7). ii. Παρατηρούµε ότι Εστω (1α)(1β)(1α) = (αβ), 1 α, β n. (8.2.1) G = (12), (13),..., (1n). Είναι ϕανερό ότι G S n. Ακόµη κάθε στοιχείο (αβ) G, 1 α, β n, λόγω της σχέσης (8.2.1). Άρα S n G και συνεπώς S n = G, δηλ. αποδείχθηκε το ii. iii. Θέτουµε τ = (12), σ = (12... n) και H = τ, σ. Είναι ϕανερό ότι H S n. Θα αποδείξουµε ότι S n H. Αρκεί να αποδείξουµε ότι η H περιέχει όλες τις αντιµεταθέσεις (12), (13),..., (1n), οπότε από το ii) ϑα προκύψει ότι S n H. Εκτελώντας τις πράξεις ϐλέπουµε ότι σ 1 τσ = (1n), σ 2 τσ 2 = σ 1 (1n)σ = (n 1, n),... σ 1 n τσ n 1 = (23), (8.2.2) δηλ. η Η περιέχει τα στοιχεία (1n), (n 1, n),..., (23).

11 Κεφάλαιο 8 Εδάφιο 8.2 Επιλυσιµότητα της S n 197 Ακόµη, η H περιέχει το στοιχείο (1α), 1 α n. Πράγµατι, (α 1, α)(α 2, α 1) (34)(23)(12)(23)(34) (α 1, α) = (1α), (8.2.3) για 2 α n. Άρα, από τις σχέσεις (8.2.2) και (8.2.3) έπεται ότι (1α) H, 1 α n, οπότε S n H και αποδείχθηκε η iii). Πρόταση i. Κάθε στοιχείο της A n είναι γινόµενο (πεπερασµένου πλή- ϑους) 3-κύκλων. ii. A n = {(αβγ) α, β, γ {1, 2,..., n}. iii. A n = (123), (124),..., (12n). Απόδειξη i. Κάθε 3-κύκλος (αβγ), µε 1 α, β, γ n, είναι άρτια µετάθεση, άρα ανήκει στην A n. Οµως, κάθε άρτια µετάθεση είναι γινόµενο άρτιου πλήθους αντιµεταθέσεων και αρκεί να περιοριστούµε στις αντιµεταθέσεις (12), (13),..., (1n), λόγω της Πρότασης ii). Αλλά (1α)(1β) = (1αβ), όπως διαπιστώνουµε µε πράξεις. Άρα κάθε άρτια µετάθεση είναι γινόµενο 3-κύκλων και αποδείχτηκε το i). ii. Προκύπτει από το i). iii. Αφού (1α)(1β) = (1αβ), έπεται ότι Ακόµη παρατηρούµε ότι A n = (1αβ) 2 α, β n. (1αβ) = (12β) 1 (12i)(12j). Εποµένως A n = (123), (124),..., (12n) Με την επόµενη πρόταση, η A 4 είναι ένα παράδειγµα οµάδας για την οποία δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange (Θεώρηµα 3.1.9). Πρόταση Η οµάδα A 4 δεν περιέχει υποοµάδα τάξης 6.

12 198 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η A 4 έχει µία υποοµάδα H τάξης 6. Τότε [A 4 H] = 2, άρα H A 4 (ϐλ. Πρόταση 3.2.5). Αυτό σηµαίνει ότι η H περιέχει τα συζυγή στοιχεία κάθε στοιχείου της, δηλ. αhα 1 H, α A 4. Στην A 4 υπάρχουν 8 το πλήθος 3-κύκλοι και η οµάδα H έχει 6 στοιχεία. Άρα ϑα υπάρχει τουλάχιστον ένας 3-κύκλος, έστω g, στην υποοµάδα H. Τότε η H περιέχει όλα τα συζυγή στοιχεία του g στην A 4. Ας υπολογίσουµε τα συζυγή του g στην A 4. Γνωρίζουµε ότι τα συζυγή του g στην οµάδα S 4 είναι όλοι οι 3-κύκλοι (ϐλ. Πρόταση ), δηλ. 8 στοιχεία. Άρα, ϐλ. Θεώρηµα 5.1.8, [S 4 C S4 (g)] = 8 C S4 (g) = 24 8 = 3. Με άλλα λόγια υπάρχουν 3 στοιχεία στην οµάδα S 4 που αντιµεταθέτονται µε το g. Οµως, τα στοιχεία 1, g, g 2 αντιµεταθέτονται µε το g, άρα Εποµένως και συνεπώς C S4 (g) = {(1), g, g 2 } < A 4. C S4 (g) = C A4 (g) [A 4 C A4 (g)] = 12 3 = 4. Υπάρχουν εποµένως 4 συζυγή του g στην A 4 και αυτά τα συζυγή ανήκουν στην υποοµάδα H, αφού H A 4. Αν η H περιείχε και άλλον 3-κύκλο, τότε ϑα περιείχε και τα συζυγή του στην A 4, δηλ. 4 ακόµη στοιχεία, οπότε η τάξη της H ϑα ξεπερνούσε το 6, όµως αυτό είναι αδύνατον. Από τα Θεωρήµατα του Sylow η H περιέχει ένα στοιχείο, έστω h, τάξης 2. Το h ως άρτια µετάθεση τάξης 2 είναι τύπου ( )( ) (ϐλ. πίνακα της A 4 στο Παράδειγµα ). Ετσι η H περιέχει τουλάχιστον τα εξής 6 στοιχεία : το (1), τέσσερις 3-κύκλους και το h. Θα αποδείξουµε ότι µπορούµε να ϐρούµε κι άλλο στοιχείο που πρέπει να ανήκει στην H διάφορο των παραπάνω έξι στοιχείων και αυτό ϐέβαια ϑα ο- δηγήσει σε άτοπο. Τα συζυγή του h στην A 4 οφείλουν να ανήκουν στην H, αφού H A 4, δηλ. αhα 1 H, για κάθε α A 4. Αν, λοιπόν, λάβουµε ως α τον 3-κύκλο (123) και ως h το (12)(34), τότε αhα 1 = (31)(24) h. Άρα (31)(24) H και η H περιέχει περισσότερα από έξι στοιχεία, που είναι άτοπο. Καταλήξαµε σε άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι υπάρχει υποοµάδα της A 4 τάξης 6. Άρα η A 4 δεν έχει υποοµάδα τάξης 6, ενώ 6 A 4. Εξετάζουµε, τώρα, την επιλυσιµότητα της S n. Θεώρηµα Η S n δεν είναι επιλύσιµη για n 5.

13 Κεφάλαιο 8 Εδάφιο 8.2 Επιλυσιµότητα της S n 199 Απόδειξη Εστω n 5 και N µία κανονική υποοµάδα της S n η οποία περιέχει κάθε 3-κύκλο της S n. Θα αποδείξουµε ότι τότε κάθε 3-κύκλος της S n ϑα ανήκει και στην υποοµάδα N (1), την οµάδα µεταθετών της N. Πράγµατι, αν α = (123) και β = (345), τότε, αφού α, β N, έπεται ότι [α, β] = (253) N (1). Οµως, N (1) S n, ϐλ. Παράδειγµα , άρα σ(253)σ 1 N (1), για κά- ϑε σ S n. Μπορούµε να επιλέξουµε το σ ώστε σ(2) = α 1, σ(5) = α 2 και σ(3) = α 3, όπου τα α 1, α 2, α 3 είναι αυθαίρετα στοιχεία του συνόλου {1, 2,..., n}, δηλ. το στοιχείο (α 1 α 2 α 3 ) να είναι ένας τυχαίος 3-κύκλος της S n, ϐλ. Πρόταση Αυτό σηµαίνει ότι η N (1) περιέχει όλους τους 3- κύκλους της S n. Αν, τώρα, ϑεωρήσουµε ως N την ίδια την οµάδα S n, τότε συµπεραίνουµε ότι η S n (1) περιέχει όλους τους 3-κύκλους της S n. Οµοια η S n (2) περιέχει όλους τους 3-κύκλους της S n κ.ο.κ. η S n (k) περιέχει όλους τους 3-κύκλους της S n, για κάθε k N. Εποµένως S n (k) (1), για κάθε k N, και σύµφωνα µε το Θεώρηµα η S n δεν είναι επιλύσιµη. (Τα α, β τα επιλέξαµε έτσι ώστε σαφώς το n 5.) Από το Παράδειγµα και το Θεώρηµα προκύπτει το επόµενο Πόρισµα. Πόρισµα Η S n είναι επιλύσιµη αν και µόνον αν n 4. Ερχόµαστε τώρα στον δεύτερο στόχο αυτού του εδαφίου να εξετάσουµε την απλότητα της A n. Θεώρηµα Η οµάδα A n, για n 5, είναι απλή. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι για n 5 η A n περιέχει µία κανονική υποοµάδα H {e}. Θα αποδείξουµε αρχικά ότι, τότε η H περιέχει έναν τουλάχιστον 3- κύκλο. Εστω σ e ένα τοιχείο της H που αφήνει σταθερό το µέγιστο πλήθος µεταξύ των στοιχείων {1, 2,..., n}. Αν το σ δεν είναι 3-κύκλος, τότε ϑα έχει µία από τις ακόλουθες αναλύσεις σε γινόµενο κυκλικών µεταθέσεων, ξένων µεταξύ τους ανά δύο : i. σ = (123 )( ) ii. σ = (12)(34) Αν το σ έχει την ανάλυση i), τότε το σ εκτός από τα στοιχεία 1,2,3 µεταθέτει τουλάχιστον δύο ακόµη, έστω τα 4 και 5. Αυτό συµβαίνει γιατί αν το σ µεταθέτει ακριβώς 4 στοιχεία από τα {1, 2,, n} ϑα µπορούσε να ήταν ένας 4-κύκλος και τότε ϑα ήταν περιττή µετάθεση, οπότε σ A n. Εστω τ = (345)

14 200 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων και u = τστ 1. Από το Θεώρηµα έπεται ότι αν η σ έχει την ανάλυση i), τότε u = (124 ), ενώ αν έχει την ανάλυση ii), τότε u = (12)(45). Είναι ϕανερό ότι το αντικείµενο s > 5 που µένει σταθερό από τη µετάθεση σ, τότε µένει σταθερό και από το u. Εποµένως το s µένει σταθερό από το σ 1 u. Ακόµη παρατηρούµε ότι σ 1 u(1) = 1, αν το σ έχει την ανάλυση i) και το αν το σ έχει την ανάλυση ii), τότε σ 1 u(1) = 1 και σ 1 u(2) = 2. Ετσι σε κάθε περίπτωση το στοιχείο σ 1 u αφήνει περισσότερα σταθερά αντικείµενα από τα 1, 2,..., n από όσα αφήνει η σ. Αυτό έρχεται σε αντίφαση µε την υπόθεση για το σ, δεδοµένου ότι σ 1 u H. Άρα η µετάθεση σ είναι ένας 3-κύκλος. Τέλος, ϑα αποδείξουµε ότι η H ϑα περιέχει κάθε 3-κύκλο. Πράγµατι, αν σ = (αβγ),για α, β, γ {1, 2,..., n}, τότε για έναν άλλο 3-κύκλο (αβδ) ισχύει (αβδ) = (αβ)(γδ)(αβγ) 2 (γδ)(αβ) = (αβ)(γδ)(αβγ) 2 ((αβ)(γδ)) 1 και (αβ)(γδ) A n, δηλ. ο (αβδ) H ως συζυγές του (αβγ) 2 H, αφού H A n. Εποµένως η H περιέχει κάθε 3-κύκλο και συνεπώς κάθε στοιχείο της A n, ϐλ Πρόταση (Ας παρατηρήσουµε ότι η H A n και δεν είναι απαραίτητο H S n.) Άρα H = S n. Από το Παράδειγµα και το Θεώρηµα προκύπτει το ακόλουθο πόρισµα. Πόρισµα Η οµάδα A n είναι απλή αν και µόνον αν n 5. Ασκηση Να αποδείξετε ότι από το Θεώρηµα προκύπτει το Θεώρηµα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα

Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Συχνά στα µαθηµατικά µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν κάποια ϕαινόµενα που ισχύουν σε αριθµητικά συστήµατα ισχύουν σε ένα γενικότερο περιβάλλον,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων)

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων 7.1. Οι πρώτες έννοιες. Ας είναι A ένα µη κενό σύνολο και S A το σύνολο των «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του. Πρόταση 7.1. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1)

Κεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1) Κεφάλαιο 7 Σειρές Οµάδων Συχνά στα µαθηµατικά προκειµένου να µελετήσουµε ένα µαθηµατικό αντικείµενο το αναλύουµε σε απλούστερα συστατικά του. Οι ακέραιοι αριθµοί για παράδειγµα αναλύονται σε γινόµενο πρώτων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

= L = L = L ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

= L = L = L ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ΟΜΑ ΕΣ Σηµείωση Χρήσιµο είναι ο αναγνώστης να έχει υπόψη του τα παρατιθέµενα στην ενότητα Σύνολα, 7 Βασικό παράδειγµα οµάδας µε πεπερασµένο πλήθος στοιχεία, αποτελεί το σύνολο των µεταθέσεων στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

to Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982.

to Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982. Αθροισµατα Gauss και Jacobi και Εφαρµογες Κατερίνα Κούτα Πτυχιακή Εργασία Παρουσιάσθηκε στις 15-11-2004 Επιβλέπων Καθηγητής ΝΓ Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2004

Διαβάστε περισσότερα