Η θεωρία στα μαθηματικά της

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η θεωρία στα μαθηματικά της"

Transcript

1 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό ν>1; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους με. Δηλδή, ν = ν πράγοντες Ορίζουμε κόμη: 1 = 0 = 1 με 0 ν 1 = με 0 κι ν = 1,, 3,.. ν. Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάμεων με άση πργμτικό κι εκθέτη κέριο ; Γι δυνάμεις, με εκθέτες γενικά κέριους ριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: μ ν. = μ+ν. δ. ν = ν ν ε. μ ν = μ ν ν = στ. ν γ. ν ν = ( ) ν μ ( ) ν = μ ν Οι ιδιότητες υτές ισχύουν με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζοντι οι δυνάμεις κι οι πράξεις που σημειώνοντι. 3. Τι ονομάζετι τετργωνική ρίζ θετικού ριθμού ; Ονομάζετι τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού κι συμολίζετι με ο θετικός ριθμός x που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο, μς δίνει τον ριθμό. Επομένως : = x ν κι μόνο ν x = x, > 0 4. Ποιες είνι οι ιδιότητές των ριζών; Ορίζουμε κόμη 0 = 0 Από τον ορισμό τις τετργωνικής ρίζς ενός ριθμού 0 έχουμε( ) = Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει = Aν 0 κι 0, τότε = Aν 0 κι 0, τότε = 1

2 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 5. Aν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, = Απόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη ρνητικοί ριθμοί τότε = =. Έτσι: = ( ) = ( ) ( ) ( ) = = που ισχύει. 6. Aν 0 κι > 0 ν ποδείξετε ότι, = Απόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη ρνητικοί ριθμοί τότε = =, Έτσι: = ( ) ( ) = = =, που ισχύει. Α Τι ονομάζετι λγερική πράστση; Ονομάζετι λγερική πράστση κάθε έκφρση που συνδυάζει πράξεις μετξύ ριθμών κι μετλητών. 8. Τι ονομάζετι ριθμητική τιμή λγερικής πράστσης; Ονομάζετι ριθμητική τιμή λγερικής πράστσης ο ριθμός που θ προκύψει ν ντικτστήσουμε τις μετλητές της με ριθμούς κι εκτελέσουμε τις πράξεις. 9. Πότε μι λγερική πράστση ονομάζετι κέρι; Μι λγερική πράστση ονομάζετι κέρι, ότν μετξύ των μετλητών της σημειώνοντι μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι οι εκθέτες των μετλητών της είνι φυσικοί ριθμοί. 10. Τι ονομάζετι μονώνυμο κι πι τ μέρη πό τ οποί ποτελείτι; Ονομάζετι μονώνυμο μι λγερική πράστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πράξη του πολλπλσισμού μετξύ ριθμού κι μις ή περισσοτέρων μετλητών. Σε έν μονώνυμο ο ριθμητικός πράγοντς που γράφετι πρώτος ονομάζετι συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μετλητών ονομάζετι κύριο μέρος του μονωνύμου.

3 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 11. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι όμοι; Ονομάζοντι όμοι δύο ή περισσότερ μονώνυμ που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. 1. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι ίσ κι ποι ντίθετ; Ονομάζοντι ίσ δύο μονώνυμ που έχουν τον ίδιο συντελεστή κι το ίδιο κύριο μέρος. Ονομάζοντι ντίθετ δύο μονώνυμ που έχουν ντίθετο συντελεστή κι το ίδιο κύριο μέρος. 13. Τι ονομάζετι θμός μονωνύμου ως προς μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός μονωνύμου ως προς μί μετλητή του ο εκθέτης της μετλητής υτής. 14. Τι ονομάζουμε στθερό κι τι μηδενικό μονώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθερό μονωνύμο κάθε ριθμό κι μηδενικό μονώνυμο τον ριθμό 0. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθερά μονώνυμ είνι μηδενικού θμού. 15. Πως ορίζετι το άθροισμ ομοίων μονωνύμων; Το άθροισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά που έχει συντελεστή το άθροισμ των συντελεστών τους. 16. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων; Ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων η πρόσθεση ομοίων μονωνύμων. 17. Πως ορίζετι το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι κύριο μέρος γινόμενο όλων των μετλητών τους με εκθέτη κάθε μετλητής το άθροισμ των εκθετών της. Α Τι ονομάζετι πολυώνυμο; Ονομάζετι πολυώνυμο έν άθροισμ μονωνύμων που δεν είνι όμοι. 19. Τι ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως προς μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως προς μί μετλητή του ο μεγλύτερος πό τους θμούς των όρων του ως προς την μετλητή υτή. 0. Τι ονομάζουμε στθερό κι τι μηδενικό πολυώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθερό πολυώνυμο κάθε ριθμό κι μηδενικό πολυώνυμο τον ριθμό 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθερά πολυώνυμ είνι μηδενικού θμού. Α Πως πολλπλσιάζουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο ;. Πολυώνυμο με πολυώνυμο ; 3

4 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου Γι ν πολλπλσιάσουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όρων.. Πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όρων. Α Τι ονομάζετι τυτότητ; Ονομάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιμή των μετλητών υτών. 3. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +) = + + ii. ( ) = + iii. ( + ) 3 = iv. ( ) 3 = v. ( )( + ) = vi. 3 3 = ( ) ( + + ) vii = ( + ) ( + ) Απόδειξη i. ( + ) = ( + ) ( + ) = = + + ii. ( ) = ( ) ( ) = + = + iii. ( + ) 3 = ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + ) = = = iv. ( ) 3 = ( ) ( ) = ( + ) ( ) = = = v. ( ) ( + ) = + vi. ( ) ( + + ) = = 3 3 vii. ( + ) ( + ) = = Α Τι ονομάζετι πργοντοποίηση; Ονομάζετι πργοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότερ μις λγερικής πράστσης η διδικσί μεττροπής της πράστσης σε γινόμενο. 5. Ποιες είνι οι χρκτηριστικές περιπτώσεις πργοντοποίησης; κοινός πράγοντς 4

5 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου + γ δ = ( + γ δ) Ότν όλοι οι όροι μις πράστσης έχουν κοινό πράγοντ, τότε η πράστση μεττρέπετι σε γινόμενο πργόντων σύμφων με την επιμεριστική ιδιότητ. ομδοποίηση Ότν όλοι οι όροι του πολυωνύμου δεν έχουν κοινό πράγοντ, τους χωρίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε: Κάθε ομάδ που δημιουργούμε ν έχει κοινό + γ δ δγ = ( + γ) δ( + γ) = ( + γ )( δ ) πράγοντ, Οι πρστάσεις που μένουν μετά την εξγωγή του κοινού πράγοντ ν είνι ίδιες διφορά τετργώνων Η μέθοδος υτή πργοντοποίησης στηρίζετι στην τυτότητ = ( )( + ), στην = ( )( + ) οποί ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττρέπουμε μι διφορά δύο τελείων τετργώνων σε γινόμενο. άθροισμ ή διφορά κύων Η πργοντοποίηση του θροίσμτος ή της διφοράς δύο κύων σίζετι στις δύο γνωστές μς τυτότητες: ( )( + + ) = = ( )( + + ) ( + )( + ) = = ( + )( + ) Σε κάθε μι πό τις οποίες ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττρέπουμε τη διφορά ή το άθροισμ δύο κύων σε γινόμενο. νάπτυγμ τετργώνου Αν το πολυώνυμο είνι τριώνυμο κι έχει ή μπορεί ν πάρει τη μορφή: + + ή +, + + = ( + ) τότε θ γίνει ντίστοιχ + = ( ) ( + ) ή ( ), που είνι γινόμεν πργόντων φού : ( + ) = ( + )( + ) κι ( ) =( )( ) Πργοντοποιήσει τριωνύμου της μορφής x + ( + )x + Αν το πολυώνυμο είνι τριώνυμο κι έχει τη μορφή x + ( + )x + έχουμε: x + ( + )x + = x + ( + )x + = (x + ) (x + ) 5

6 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου x + x + x + = Ομδοποίηση x(x + ) + (x + ) = Κοινός πράγοντς (x + )(x + ) Α Πως ορίζετι η διίρεση δύο Πολυωνύμων; Η διίρεση δύο Πολυωνύμων είνι η διδικσί εκείνη κτά την οποί μς δίνοντι δύο πολυώνυμ Δ(x) (διιρετέος) κι δ(x) (διιρέτης) με δ(x) 0 κι ρίσκουμε έν μονδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) (πηλίκο) κι υ(x) (υπόλοιπο), γι τ οποί ισχύει: Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Τυτότητ Ευκλείδεις διίρεσης) Το υ (x) είνι ίσο με μηδέν οπότε η διίρεση λέγετι τέλει κι το δ(x) είνι πράγοντς του Δ(x) ή έχει θμό μικρότερο πό το θμό του δ(x). Α Τι ονομάζετι Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) κι τι Μέγιστος Κοινός Διιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πρώτων πργόντων; Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πρώτων πργόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών κι μη κοινών πργόντων τους με εκθέτη κθενός το μεγλύτερο πό τους εκθέτες του. Μέγιστος Κοινός Διιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πρώτων πργόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών πργόντων τους με εκθέτη κθενός το μικρότερο πό τους εκθέτες του. Α Πότε μι λγερική πράστση ονομάζετι ρητή; Μι λγερική πράστση ονομάζετι ρητή ότν είνι κλάσμ με όρους πολυώνυμ. 9. Πότε μι λγερική πράστση ορίζετι; Μι λγερική πράστση ορίζετι γι όλες τις τιμές των μετλητών που περιέχει εκτός π υτές που μηδενίζουν τον πρνομστή φού όπως γνωρίζουμε δεν ορίζετι κλάσμ με προνομστή μηδέν. 30. Πότε μι ρητή λγερική πράστση μπορεί ν πλοποιηθεί; Όπως μι ριθμητική πράστση, έτσι κι μι ρητή πράστση, μπορεί ν πλοποιηθεί, ν ο ριθμητής κι ο προνομστής της είνι γινόμεν κι έχουν κοινό πράγοντ. Α Πως κάνουμε πράξεις με ρητές λγερικές πρστάσεις; Γι ν κάνουμε πράξεις με ρητές λγερικές πρστάσεις κολουθούμε τους κνόνες που ισχύουν γι τις πράξεις των κλσμάτων. Δηλδή: 6

7 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου + γ = + γ κι γ = - γ + γ δ = δ + γ δ κι γ δ = δ - γ δ δ 0 γ δ = γ δ κι : γ δ = δ γ = δ γ γδ 0 γ δ = : γ δ = δ γ = δ γ γδ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ ο ο Εξξιισώσεειιςς Αννιισώσεειιςς Α Τι ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο; Ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μορφής x + = 0 με 0. Ο λέγετι συντελεστής του γνώστου κι ο στθερός ( ή γνωστός ) όρος. Ρίζ της εξίσωσης ονομάζετι ο ριθμός που ν ντικτστήσει τον χ στην εξίσωση προκύπτει ισότητ που ληθεύει. Επίλυση μις εξίσωσης πρώτου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ρίσκουμε τη λύση της. 33. Πότε η εξίσωση x + = 0 έχει μί λύση πότε είνι δύντη κι πότε όριστη; Αν 0, η εξίσωση x + = Ο έχει μονδική λύση την x = Αν = 0, κι 0 η εξίσωση x + = 0 γράφετι 0 x = κι δεν έχει λύση (δύντη), Αν = 0, κι = 0, η εξίσωση x + = 0 γράφετι 0 x = 0 οπότε κάθε ριθμός είνι λύση της (τυτότητ ή όριστη). Α Τι ονομάζετι εξίσωση ου θμού, με ένν άγνωστο ; Ονομάζετι εξίσωση δευτέρου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μορφής x + x + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0. Οι ριθμοί κι ονομάζοντι συντελεστές του δευτεροθμίου κι πρωτοθμίου όρου ντίστοιχ κι ο ριθμός γ στθερός όρος. Επίλυση μις εξίσωσης δευτέρου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ρίσκουμε τις τιμές του x που την επληθεύουν. 7

8 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 35. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεροάθμις εξίσωσης x + x +γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0. Απόδειξη Γι την πόδειξη του τύπου υτού θ εφρμόσουμε την μέθοδο «συμπλήρωσης τετργώνου» Γι την εξίσωση λοιπόν x + x + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0 έχουμε διδοχικά: x + x + γ = 0 4 x + 4x + 4γ = 0 [Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με 4] 4 x + 4x = 4γ [Μετφέρουμε το στθερό όρο στο μέλος] 4 x + 4x + = 4γ [Προσθέτουμε κι στ δύο μέλη της ισότητς το ] (x) + x + = 4γ [Στο μέλος έχουμε το νάπτυγμ του (χ + ) ] (χ + ) = 4γ Την πράστση 4γ ονομάζουμε δικρίνουσ κι την συμολίζουμε με Δ οπότε η εξίσωση (χ + ) = 4γ γράφετι (χ + ) = Δ (i) Αν Δ 0 πό την (i) έχουμε: (χ + ) = ( Δ ) x + = ± x = ± Δ Δ x = ± Δ Αν Δ < 0 ή εξίσωση είνι δύντη φού είνι δύντον ν ισχύει η εξίσωση ( I ) Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0 δίδοντι πό τον τύπο x = ± Δ κι υπάρχουν μόνο εφ όσον Δ Πότε μί εξίσωση δευτέρου θμού:. έχει δύο άνισες ρίζες;. έχει μι διπλή ρίζ ; γ. δεν έχει ρίζες; Η εξίσωση χ + χ + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς, 0 κι δικρίνουσ Δ = 4γ:. έχει δύο ρίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο x = ± Δ, ότν Δ > 0. έχει δύο ρίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο x = γ. δεν έχει ρίζες, ότν Δ < 0, ότν Δ = 0 8

9 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 37. Πως πργοντοποιείτι το τριώνυμο x + x + γ ότν η εξίσωση x + x + γ = 0 με 0 έχει λύσεις τις ρ 1, ρ ; Αν ρ 1, ρ είνι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ = 0 με 0 το τριώνυμο x + x + γ πργοντοποιείτι σύμφων με τον τύπο: x + x + γ = (x ρ 1 ) ( x ρ ) Α Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσωση κι πότε ορίζετι υτή; Ονομάζετι κλσμτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο στον πρνομστή. Γι ν ορίζετι μι κλσμτική εξίσωση, πρέπει οι πρνομστές των κλσμάτων της ν είνι διάφοροι του μηδενός. Α Πως συγκρίνουμε( διτάσουμε) δύο πργμτικούς ριθμούς; Αν οι κι είνι δύο πργμτικοί ριθμοί τότε: Λέμε ότι ο είνι μεγλύτερος του κι το συμολίζουμε >, ότν > 0. Λέμε ότι ο είνι μικρότερος του κι το συμολίζουμε <, ότν < 0. Λέμε ότι ο είνι ίσος με τον κι το συμολίζουμε =, ότν = 0. Αντίστροφ Αν > 0, τότε ο είνι μεγλύτερος του. Αν < 0, τότε ο είνι μικρότερο του. Αν = 0, τότε ο είνι ίσος με τον. 40. Τι ονομάζετι νισότητ κι ποι τ χρκτηριστικά της; Η σχέση της μορφής > ( ή < ) ονομάζετι νισότητ με μέλη, πρώτο κι δεύτερο, τ κι ( ή τ κι ) ντίστοιχ. Οι νισότητες < κι γ < δ ( ή > κι γ > δ ) λέγοντι ομοιόστροφες ( έχουν την ίδι φορά ) Οι νισότητες < κι γ > δ ( ή > κι γ < δ ) λέγοντι ετερόστροφες ( έχουν ντίθετη φορά ) Γι ν δηλώσουμε ότι ένς ριθμός είνι τυτόχρον μεγλύτερος του x κι μικρότερος του y, γράφουμε τη «διπλή» νισότητ x < < y. Γι ν δηλώσουμε ότι ένς ριθμός x είνι μεγλύτερος ή ίσος με τον ριθμό, γράφουμε x. 41. Ποιες είνι οι ιδιότητες της διάτξης; Αν προσθέσουμε κι στ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ριθμό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. Δηλδή ν >, τότε + γ > + γ. 9

10 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου Αν προσθέσουμε κτά μέλη δύο ή περισσότερες νισότητες της ίδις φοράς, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. Δηλδή ν > κι γ > δ, τότε + γ > + δ. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιρέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ριθμό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. Δηλδή ν > κι γ > 0, τότε γ > γ κι γ > γ. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιρέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο ρνητικό ριθμό, προκύπτει νισότητ ντίθετης φοράς. Δηλδή ν > κι γ < 0, τότε γ < γ κι γ < γ. Αν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες που έχουν την ίδι φορά κι θετικά μέλη προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά. Δηλδή ν,, γ, δ θετικοί πργμτικοί ριθμοί με > κι γ > δ τότε γ > δ ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 3 ο ο Συσττήμττ Γρμμιικώνν Εξξιισώσεεωνν Α Τι ονομάζετι γρμμική εξίσωση με δύο γνώστους κι τι λύση της; Ονομάζετι γρμμική εξίσωση με δύο γνώστους κάθε εξίσωση της μορφής x + y= γ. Λύση της γρμμική εξίσωση x + y= γ ονομάζετι κάθε ζεύγος ριθμών (x, y) που την επληθεύει. 43. Πως πριστάνετι γρφικά κάθε εξίσωση της μορφής x + y= γ με 0 ή 0 κι τι ισχύει γι υτή; Κάθε εξίσωση της μορφής x + y = γ με 0 ή 0 πριστάνετι γρφικά με μι ευθεί ε έτσι ώστε: Αν έν σημείο νήκει στην ευθεί, ε οι συντετγμένες του επληθεύουν την εξίσωση x + y = γ. Αν οι συντετγμένες ενός σημείου επληθεύουν την εξίσωση x + y = γ το σημείο - νήκει στην ευθεί ε. 44. Τι πριστάνουν οι εξισώσεις;. y = k με k 0. y = 0 γ. x = k με k 0 δ. x = 0 10

11 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου. Η εξίσωση y = k με k 0 πριστάνει μι ευθεί που είνι πράλληλη στον άξον x x κι τέμνει τον άξον y y στο σημείο (0, k ). Η εξίσωση y = 0 πριστάνει τον άξον x x. γ. Η εξίσωση x = k με k 0 πριστάνει μι ευθεί που είνι πράλληλη στον άξον y y κι τέμνει τον άξον x x στο σημείο (k, 0) δ. Η εξίσωση x = 0 πριστάνει τον άξον y y. 45. Πως ρίσκουμε τις τομές μις ευθείς x + y= γ με 0 κι 0 με τους άξονες x x κι y y; Κάθε σημείο του x x έχει τετγμένη 0, οπότε κι το Α, σημείο τομής της x + y = γ με τον x x, θ έχει τετγμένη y = 0 κι τετμημένη x με x + 0 = γ ή x = γ ή x = γ. Άρ Α( γ, 0) Κάθε σημείο του y y έχει τετμημένη 0, οπότε κι το B, σημείο τομής της x + y = γ με τον y y, θ έχει τετμημένη x = 0 κι τετγμένη y με 0 +y = γ ή y = γ ή y = γ. Άρ B(0, γ ) Α Τι ονομάζετι;. Γρμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y;. Λύση γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y; γ. Επίλυση γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y;. Ονομάζετι γρμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους έν σύστημ της x + y = γ μορφής, με έν τουλάχιστον πό τ,,, 0. x + y = γ. Ονομάζετι λύση του γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y κάθε ζεύγος (x 0, y 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. γ. Ονομάζετι επίλυση του γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y η διδικσί που κολουθούμε γι ν ρούμε κάθε ζεύγος (x 0, y 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. 47. Πως γίνετι η γρφική επίλυση γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y κι πότε υτό έχει μί λύση, είνι δύντο, είνι όριστο; Γι τη γρφική επίλυση ενός γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημ ξόνων τις ευθείες που πριστάνουν τις εξισώσεις του συστήμτος κι: ν τέμνοντι το σύστημ έχει μί λύση τις συντετγμένες του κοινού τους σημείου. 11

12 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ν είνι πράλληλες δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημ δεν έχει λύση κι λέμε ότι είνι δύντο. Αν συμπίπτουν (τυτίζοντι) έχουν όλ τ σημεί τους κοινά κι επομένως το σύστημ έχει άπειρες λύσεις κι λέμε ότι είνι όριστο. ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 4 ο ο Συννρττήσεειιςς Α Τι γνωρίζετι γι την συνάρτηση y = x με > 0; Η γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με > 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι προλή. Η προλή που είνι γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με > 0 έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) κι ρίσκετι πό τον άξον x x κι πάνω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει y 0. Η συνάρτηση y = x με > 0 πίρνει ελάχιστη τιμή y = 0, ότν x = 0, Γι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του y, που σημίνει ότι η προλή y = x με > 0 έχει άξον συμμετρίς τον άξον y y. Ότν η τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της προλή «κλείνει». Α Τι γνωρίζετι γι την συνάρτηση y = x με < 0; Η γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με < 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι προλή. Η προλή που είνι γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με < 0 έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) κι ρίσκετι πό τον άξον x x κι κάτω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει y 0. Η συνάρτηση y = x με > 0 πίρνει μέγιστη τιμή y = 0, ότν x = 0, Γι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του y, που σημίνει ότι η προλή y = x με < 0 έχει άξον συμμετρίς τον άξον y y. Ότν η πόλυτη τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της προλή «κλείνει». Α Ποι συνάρτηση ονομάζετι τετργωνική; Ονομάζετι τετργωνική κάθε συνάρτηση της μορφής y = x + x + γ με 0. 1

13 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 51. Τι γνωρίζετι γι τη συνάρτησης y = x + x + γ με 0; Η γρφική πράστση της συνάρτησης γ = x + x + γ με 0 είνι προλή με: Κορυφή το σημείο Κ(, Δ 4 ) όπου Δ = 4γ Άξον συμμετρίς την κτκόρυφη ευθεί που διέρχετι πό την κορυφή Κ κι έχει εξίσωση x = Αν > 0, η συνάρτηση y = x + x + γ πίρνει ελάχιστη τιμή y = Δ 4 ότν x = Αν < 0, η συνάρτηση y = x + x + γ πίρνει μέγιστη τιμή y = Δ 4 ότν x = ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 5 ο ο Πιιθννόττηττεεςς 5. Τι είνι το σύνολο; Σύνολο είνι κάθε συλλογή ντικειμένων, που κθορίζοντι με πόλυτη σφήνει κι δικρίνοντι το έν πό το άλλο. 53. Πως μπορεί πρστθεί έν σύνολο; Έν σύνολο μπορεί ν πρστθεί με νγρφή ή με περιγρφή των στοιχείων του κι με το διάγρμμ Venn. 54. Πότε δύο σύνολ λέγοντι ίσ; Ίσ ονομάζοντι δύο σύνολ, ότν έχουν τ ίδι κριώς στοιχεί. 55. Πότε έν σύνολο Α ονομάζετι υποσύνολο ενός συνόλου Β; Έν σύνολο Α ονομάζετι υποσύνολο ενός συνόλου Β, ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του συνόλου Β κι συμολίζετι Α Β. 56. Τι ονομάζετι κενό σύνολο κι πως συμολίζετι ; Ονομάζετι κενό σύνολο το σύνολο που δεν έχει κνέν στοιχείο. Το κενό σύνολο συμολίζετι με. 57. Τι ονομάζετι ένωση δύο συνόλων Α, Β κι πως συμολίζετι; Ένωση δύο συνόλων Α, Β ονομάζετι έν νέο σύνολο που έχει ως στοιχεί τ κοινά κι μη κοινά στοιχεί των δύο συνόλων κι συμολίζετι με Α Β. 58. Τι ονομάζετι τομή δύο συνόλων Α, Β κι πως συμολίζετι; Τομή δύο συνόλων Α, Β ονομάζετι έν νέο σύνολο που έχει ως στοιχεί τ κοινά στοιχεί κι των δύο συνόλων κι συμολίζετι Α Β. 59. Τι ονομάζετι συμπλήρωμ ενός συνόλου Α ως προς έν σικό σύνολο Ω κι πως συμολίζετι; 13

14 Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου Συμπλήρωμ ενός συνόλου Α ως προς έν σικό σύνολο Ω ονομάζετι το σύνολό που έχει όλ τ στοιχεί του Ω που δεν νήκουν στο Α κι συμολίζετι με Α. 60. Τι ονομάζετι πείρμ τύχης; Πείρμ τύχης ονομάζετι κάθε πείρμ που όσες φορές κι ν το επνλάουμε, δεν μπορούμε ν προλέψουμε το ποτέλεσμ του με πόλυτη ειότητ. 61. Τι ονομάζετι δειγμτικός χώρος ενός πειράμτος τύχης κι πως συμολίζετι; Δειγμτικός χώρος ενός πειράμτος τύχης ονομάζετι το σύνολο όλων των δυντών ποτελεσμάτων του κι συμολίζετι με Ω. 6. Τι ονομάζετι ενδεχόμενο ενός πειράμτος τύχης κι πότε υτό πργμτοποιείτι; Ενδεχόμενο ενός πειράμτος τύχης ονομάζετι κάθε υποσύνολο του δειγμτικού χώρου Ω. Έν ενδεχόμενο πργμτοποιείτι, ότν το ποτέλεσμ του πειράμτος σε μι συγκεκριμένη εκτέλεση του είνι στοιχείο του ενδεχομένου. 63. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζετι έιο κι ποιο δύντο σε έν πειράμτος τύχης; Βέιο ενδεχόμενο σε έν πείρμ τύχης ονομάζετι το ενδεχόμενο που πργμτοποιείτι σε οποιδήποτε εκτέλεση του πειράμτος. Αδύντο ενδεχόμενο σε έν πείρμ τύχης ονομάζετι το ενδεχόμενο που δεν πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος. 64. Πότε δύο ενδεχόμεν Α κι Β ενός πειράμτος τύχης ονομάζοντι συμίστ; Δύο ενδεχόμεν Α κι Β ενός πειράμτος τύχης ονομάζοντι συμίστ ότν Α Β = Τι ονομάζετι συμπλήρωμ ενός ενδεχομένου Α; Ονομάζετι συμπλήρωμ ενός ενδεχομένου Α το ενδεχόμενο Α που πργμτοποιείτι ότν δεν πργμτοποιείτι το Α. 66. Τι ονομάζετι πιθνότητ P(Α) ενός ενδεχόμενου Α σε έν πείρμ τύχης με ισοπίθν ποτελέσμτ κι ποιες οι ιδιότητες της; Ονομάζετι πιθνότητ ενός ενδεχόμενου Α σε έν πείρμ τύχης με ισοπίθν ποτελέσμτ o ριθμός P( Α) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων = Ν(Α) πλήθος δυντών περιπτώσεων Ν(Ω) Από τον ορισμό της πιθνότητς προκύπτει ότι: P( Ω) = Ν(Ω) = 1 κι P( ) = Ν( ) = 0 Ν(Ω) Ν(Ω) Γι κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει Ο Ρ(Α) Ποιοι είνι Βσικοί κνόνες λογισμού των πιθνοτήτων; Σ έν πείρμ τύχης Γι οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α ) = 1 Γι οποιδήποτε ενδεχόμεν Α, Β ισχύει Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). 14

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 01-013 1 Η θεωρί της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ 1. Τι λέγετι σύνολο; Τι ονομάζουμε στοιεί ή μέλη του συνόλου ; Ποι είνι τ σικά σύνολ ριθμών ; Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ. Η φιλοσοφία είναι ένα παιχνίδι με στόχους και όχι κανόνες. Τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι με κανόνες και όχι στόχους.

ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ. Η φιλοσοφία είναι ένα παιχνίδι με στόχους και όχι κανόνες. Τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι με κανόνες και όχι στόχους. ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΑΞΗΣ Η φιλοσοφί είνι έν πιχνίδι με στόχους κι όχι κνόνες. Τ μθημτικά είνι έν πιχνίδι με κνόνες κι όχι στόχους. ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΕΡΑ))

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ίνετι η εξίσση Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Σε ποι σηµεί η ευθεί, τέµνει τους άξονες; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της προηούµενης ευθείς..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Αλγεβρικές Παραστάσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ (ΛΕΡ) ΚΕΦΛΙΟ 1ο λγεικές Πστάσεις. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πγμτικό κι εκθέτη το φυσικό ν1; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ιθμό κι εκθέτη το φυσικό ν 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην προσπάθει μς ν επιλύσουμε λγερικά έν σύστημ δύο εξισώσεων θμού με δύο γνώστους θ έχουμε σν στόχο ν πλείψουμε πό την μί πό τις δύο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ Α.ΠΡΑΞΕΙΣ.) Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,, ) Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ)

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα α λυκείου 1

άλγεβρα α λυκείου  1 άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ριθµοί - 3,4,599-5 3 π3,4-73 9,8 - -453 6,03. 0 3 4 00 5-3 -0 3 e,7-7% - - 4 8 0,7 9-0 3 0 79 ν -30% -ν 6 0 9 967-65 κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους:

Διαβάστε περισσότερα