ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ"

Transcript

1 ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ.. ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΟΔΗΓΙΕΣ: Κυκλώστε το γράμμα «Σ» που είναι παραπλεύρως σε κάθε πρόταση αν θεωρείτε ότι η πρόταση είναι αληθής ή το γράμμα «Λ» αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής. ΠΡΟΣΟΧΗ: Μια λάθος απάντηση αφαιρεί μισή μονάδα από το ερώτημα. Σημειώστε μια απάντηση αν είστε αρκετά βέβαιοι για αυτήν. Αν χρειάζεστε, χρησιμοποιήστε για πρόχειρο τον χώρο μετά το τελευταίο ερώτημα.

2 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Στους παρακάτω τύπους τα p, p 2, p 3 είναι προτασιακές μεταβλητές. Τότε ισχύει ότι είναι ταυτολογίες οι παρακάτω:. ( Σ / Λ ) ( p p 2) ( p p2) 2. ( Σ / Λ ) ( p p 2) ( p p2) 3. ( Σ / Λ ) (( p p ) ( p p )) ( p p ) (Λάθος) ( Σ / Λ ) (( p p ) ( p p ) ( p p )) ( p p ) Ερμηνεύουμε στους φυσικούς αριθμούς (που περιλαμβάνουν και το 0) το κατηγόρημα P(x,y) σαν «ο x διαιρεί τον y».τότε οι παρακάτω τύποι αληθεύουν.. ( Σ / Λ ) x yp( x, y) 2. ( Σ / Λ ) y xp( x, y) 3. ( Σ / Λ ) xy ( P( y, x) y y x) (Λάθος) 4. ( Σ / Λ ) xyz ( P( z, y) P( y, x) P( z, x)) 3. Στις παρακάτω προτάσεις το Τ είναι σύνολο προτασιακών τύπων ενώ το φ είναι τύπος. Ποιες από τις προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Αν T - φ, τότε το σύνολο T { } δεν είναι ικανοποιήσιμο. 2. ( Σ / Λ ) Κάθε τυπική απόδειξη του προτασιακού λογισμού περιλαμβάνει πεπερασμένο αριθμό από βήματα. 3. ( Σ / Λ ) Αν το Τ δεν είναι συνεπές και ο φ αντίφαση, τότε T - φ 4. ( Σ / Λ ) Αν το Τ είναι συνεπές και ο φ ταυτολογία, τότε T - φ 4. Σε μια τράπουλα υπάρχουν 52 φύλλα (4 χρώματα με 3 χαρτιά το κάθε ένα). Στην επιλογή μας δεν ενδιαφέρει η σειρά.. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των επιλογών 4 φύλλων της τράπουλας ώστε να υπάρχει ένα 4 από κάθε χρώμα είναι 3 4!. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των επιλογών 4 φύλλων της τράπουλας ώστε να υπάρχει ένα από κάθε χρώμα είναι ( Σ / Λ ) Η πιθανότητα να υπάρχει άσσος όταν επιλέξουμε 5 φύλλα από την τράπουλα είναι 4/52. (Λάθος) 4. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε να είναι όλα από το ίδιο χρώμα είναι Έστω Α σύνολο με n στοιχεία. ( Σ / Λ ) Τα υποσύνολα του Α με στοιχεία είναι όσα τα υποσύνολα με n- στοιχεία. 2. ( Σ / Λ ) Οι διμελείς σχέσεις που μπορούν να δημιουργηθούν με τα στοιχεία του Α είναι 2 n. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Οι λέξεις μήκους που σχηματίζονται με αλφάβητο το Α είναι όσες ο 2 x x συντελεστής του x στην παράσταση x... 2!! (Λάθος) 4. ( Σ / Λ ) Ο αριθμός των υποσυνόλων του Α με στοιχεία αυξάνει καθώς το αυξάνει. (Λάθος) n

3 6. Έχουμε 20 διαφορετικά περιοδικά και 5 διαφορετικά ράφια. Οι διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των περιοδικών στα ράφια είναι:. ( Σ / Λ ) ! 20, αν έχει σημασία η σειρά τους στα ράφια x x x 2. ( Σ / Λ ) ίσοι με τον συντελεστή του x 20 / 20! στην x, αν 2! 3! 4! έχει σημασία η σειρά τους στα ράφια. (Λάθος) 20! 3. ( Σ / Λ ), αν το κάθε ράφι θα πάρει 4 περιοδικά και δεν έχει σημασία η σειρά. 5 4! 4. ( Σ / Λ ) ίσοι με τον συντελεστή του x 20 / 20! στην x x x x 2! 3! 4! 5 5, αν δεν έχει σημασία η σειρά τους. 7. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Ένα τριμερές γράφημα * είναι διμερές. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Σε συνεκτικό (συνδεόμενο) γράφημα με τουλάχιστον 3 κορυφές, χωρίς σημείο κοπής, κάθε κορυφή βρίσκεται σε ένα κύκλο. 3. ( Σ / Λ ) Κάθε αποτύπωση στο επίπεδο ενός επίπεδου γραφήματος, έχει τον ίδιο αριθμό όψεων. 4. ( Σ / Λ ) Ένα γράφημα χωρίς υπογράφημα ομοιομορφικό του Κ 3 είναι επίπεδο. ( * Τριμερές είναι ένα γράφημα που οι κορυφές του διαμερίζονται σε τρία σύνολα έτσι ώστε τα άκρα κάθε ακμής να βρίσκονται σε διαφορετικά σύνολα.) 8. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Υπάρχει συνεκτικό γράφημα που η αφαίρεση κάθε κορυφής του το κάνει μη συνεκτικό. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Ο χρωματικός αριθμός (δηλ. ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων με τα οποία μπορεί να χρωματιστεί νόμιμα) ενός γραφήματος είναι το άθροισμα των χρωματικών αριθμών των συνιστωσών του. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα έχει κύκλο Euler, δεν έχει γέφυρα. 4. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα έχει κύκλο Euler, έχει άρτιο αριθμό ακμών. (Λάθος) 9. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Σε κάθε γράφημα, ο κύκλος Euler έχει περισσότερες ακμές από τον κύκλο Hamilton εφόσον υπάρχουν και οι δύο. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Ο αλγόριθμος του Prim πάντα υπολογίζει σωστά ένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο ακόμα και αν τα βάρη είναι αρνητικά. 3. ( Σ / Λ ) Οι αλγόριθμοι διάσχισης κατά πλάτος και κατά βάθος επιστρέφουν ισόμορφα δένδρα όταν εφαρμοστούν στον κύκλο C n. 4. ( Σ / Λ ) Σε ένα γράφημα με βάρη, η βαρύτερη ακμή δεν μετέχει σε κανένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο. (Λάθος) 0. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα δεν περιέχει κύκλο, τότε έχει ακριβώς n- ακμές. (Λάθος) 2. ( Σ / Λ ) Υπάρχει 3-κανονικό δένδρο. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Ένα συνεκτικό γράφημα που κάθε ακμή του είναι γέφυρα, είναι δένδρο. 4. ( Σ / Λ ) Σε ένα δένδρο το μεγαλύτερο σύνολο ανεξαρτησίας είναι το σύνολο των φύλλων του. (Λάθος)

4 ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, ΜΕΡΟΣ Β ΕΡΩΤΗΜΑ (μονάδες 25) i) Πέντε φίλοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να παίξουν χαρτιά. Οι καρέκλες του τραπεζιού είναι αριθμημένες. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν; ii) Οι πέντε φίλοι αρχίζουν ένα παιγνίδι χαρτιών έχοντας καθένας στην αρχή 00 ευρώ. Κάθε ποντάρισμα είναι για ποσό πολλαπλάσιο του ευρώ και κανένας παίκτης δεν δανείζεται από άλλους οπότε δεν μπορεί να χάσει παρά το πολύ το αρχικό του ποσό. Στο τέλος του παιγνιδιού το σύνολο των χρημάτων είναι κατανεμημένο στους 5 παίκτες. Πόσα είναι τα πιθανά αποτελέσματα του παιχνιδιού, όταν δύο αποτελέσματα διαφοροποιούνται αν τα χρήματα έστω και ενός παίκτη είναι διαφορετικά; iii) Όταν το παιχνίδι του (ii) τελειώνει, γνωρίζουμε ότι 2 συγκεκριμένοι παίκτες κέρδισαν χρήματα, ο τρίτος είναι «στα λεφτά του» και οι άλλοι δύο έχασαν. Δώστε γεννήτρια συνάρτηση και υποδείξτε τον εκθέτη ο συντελεστής του οποίου δίνει τον αριθμό των διαφορετικών αποτελεσμάτων. iv) Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιραστούν οι φιγούρες της τράπουλας (2 χαρτιά) στους 5 παίκτες έτσι ώστε ο ος παίκτης να πάρει μέχρι 4 χαρτιά, ο 2ος κι ο 3ος παίκτης από 2 έως 6 ο καθένας, ο 4ος παίκτης να πάρει τους δυο μαύρους ρηγάδες κι ο 5ος παίκτης τους δυο κόκκινους ρηγάδες; Απαντήστε υποδεικνύοντας το συντελεστή κατάλληλης γεννήτριας συνάρτησης. Πώς θα διαφοροποιούνταν η απάντηση σας, αν ο 4ος κι ο 5ος παίκτης έπρεπε να πάρουν αποκλειστικά δύο (αλλά οποιουσδήποτε) ρηγάδες ο καθένας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Εφόσον οι θέσεις είναι αριθμημένες, το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τις μεταθέσεις 5 αντικειμένων στην ευθεία. Οι τρόποι είναι 5! ii) Έχουμε να διανείμουμε το συνολικό ποσό των 500 ευρώ σε 5 παίκτες. Οι τρόποι είναι όσοι και οι τρόποι διανομής 500 όμοιων σφαιριδίων σε 5 διακεκριμένες υποδοχές 5005 δηλαδή 500. iii) Ο απαριθμητής για κάθε ένα από τους δύο πρώτους παίκτες είναι ( x x x ) μια και το ότι κέρδισε σημαίνει ότι μπορεί να έχει οποιοδήποτε ποσό από 0 ευρώ έως 500 ευρώ. Ο απαριθμητής του 3 ου παίκτη είναι 2 99 τελευταίων είναι ( x x x ). Η γεννήτρια είναι προφανώς 00 x ενώ των δύο ( x x x ) x ( x x x ) και ο συντελεστής που ζητάμε είναι 500 του x. iv) Αν ο 4 ος και ο 5 ος παίκτης πάρουν μόνο τους μαύρους και τους κόκκινους ρηγάδες αντίστοιχα, προφανώς έχουμε προς διανομή 8 φιγούρες στους 3 πρώτους παίκτες. Επειδή κάθε χαρτί είναι διαφορετικό, το πρόβλημα είναι το ίδιο με τις λέξεις μήκους 8 που μπορούμε να σχηματίσουμε με τα γράμματα Α, Β, Γ με τους περιορισμούς που αναφέρονται. Θα χρησιμοποιηθεί συνεπώς εκθετική γεννήτρια συνάρτηση που θα είναι η

5 x x x x x x x x x. Ο συντελεστής είναι του x 8 /8!.! 2! 3! 4! 2! 3! 4! 5! 6! Αν τώρα οι δύο τελευταίοι παίκτες πάρουν μόνο από δύο ρηγάδες ο κάθε ένας αλλά οποιουσδήποτε, τότε έχουμε C(4,2) τρόπους επιλογής ποιους από τους δύο ρηγάδες θα πάρει ο 4 ος παίκτης (οι άλλοι δύο θα πάνε προφανώς στον 5 ο ). Επομένως, ο συντελεστής είναι όπως προηγουμένως αλλά πολλαπλασιασμένος με το C(4,2)=6. 2ΕΡΩΤΗΜΑ 2 (μονάδες 35) i) Διαμερίζουμε το σύνολο όλων των προτασιακών τύπων που ορίζονται σε 3 προτασιακές μεταβλητές σε υποσύνολα έτσι ώστε κάθε υποσύνολο να περιλαμβάνει ταυτολογικά ισοδύναμους τύπους (δηλ. τύπους με ίδιο πίνακα αληθείας). Πόσα είναι τα διαφορετικά υποσύνολα; ii) Πόσα είναι τα διαφορετικά υποσύνολα ταυτολογικά ισοδύναμων τύπων που ορίζονται σε 3 προτασιακές μεταβλητές και είναι ταυτολογικές συνεπαγωγές του τύπου ( p p ) p ; 2 3 iii) Δώστε τυπική απόδειξη του τύπου ( ) (( ) ( )). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλα τα γνωστά θεωρήματα (Απαγωγής, Αντιθετοαναστροφής, Απαγωγής σε άτοπο κλπ.) εκτός από τα Θεωρήματα Εγκυρότητας και Πληρότητας. Στα παρακάτω θεωρούμε την γλώσσα της κατηγορηματικής λογικής που ορίζεται σε απλά, συνεκτικά, μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) γραφήματα και περιλαμβάνει το κατηγορηματικό σύμβολο P. Το P( x, y) σημαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή. iv) Δώστε τύπο που να δηλώνει «υπάρχει κορυφή που είναι γειτονική με όλες τις άλλες εκτός από μία». v) Δώστε τύπο ( u) που να δηλώνει «όλες οι κορυφές είναι γειτονικές με την κορυφή u εκτός από την ίδια την u και άλλη μία». vi) Δώστε (αν υπάρχει) γράφημα με 6 κορυφές που να επαληθεύει τον τύπο xy( x y ( x) ( y)). ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Κάθε σύνολο χαρακτηρίζεται από τις γραμμές του πίνακα αλήθειας που είναι Α (αληθείς). Ο πίνακας αλήθειας σε τύπους με 3 μεταβλητές έχει προφανώς 8 γραμμές. Κάθε υποσύνολο λοιπόν αυτών των 8 γραμμών χαρακτηρίζει ένα σύνολο ισοδυνάμων τύπων, αυτών που έχουν Α στις γραμμές αυτές και Ψ στις υπόλοιπες. Άρα τα υποσύνολα είναι όσα τα υποσύνολα ενός συνόλου με 8 στοιχεία δηλαδή 2 8. ii) Εφόσον τώρα ζητάμε τύπους που είναι ταυτολογικά συνεπαγόμενοι του φ, αυτοί οι τύποι θα πρέπει να έχουν υποχρεωτικά Α όπου και ο φ έχει Α. Αυτό συμβαίνει σε 3 αποτιμήσεις τις (p, p 2, p 3 )=(A,A,A), (p, p 2, p 3 )=(B,A,A) και (p, p, p 3 )=(Β, Β,A). Όλες οι υπόλοιπες 5 μπορούν να έχουν οποιαδήποτε τιμή και ο συνδυασμός τους χαρακτηρίζει τα ζητούμενα υποσύνολα. Άρα τα υποσύνολα είναι 2 5. iii) Εφαρμόζοντας 3 φορές το Θεώρημα Απαγωγής καταλήγουμε στο ότι αρκεί να δείξουμε ότι {,, } -. Από το σημείο αυτό η απόδειξη μπορεί να συντομευθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα της Απαγωγής σε άτοπο. Αρκεί να δειχθεί ότι το σύνολο {,,, } δεν είναι συνεπές. Πράγματι έχουμε:

6 . Υπόθεση 2. Υπόθεση 3.,2 MP 4. Υπόθεση 5. Υπόθεση 6. 4,5 MP Εφόσον λοιπόν το σύνολο των υποθέσεων μας αποδεικνύει έναν τύπο και τον αντίθετο του, το σύνολο είναι μη συνεπές. iv) xy( x y P( x, y) z( z x z y P( x, z))) v) ( u) y( y u P( y, u) x( x y x u P( x, u)) vi) Ένα γράφημα που ικανοποιεί τον τύπο είναι το K 2, ΕΡΩΤΗΜΑ 3 (μονάδες 20) α) Δίδεται ένα επίπεδο συνεκτικό γράφημα G με 6 κορυφές που όλες έχουν βαθμό 4. Το G έχει επίπεδη αποτύπωση όπου κάθε όψη είναι ή τρίγωνο ή τετράπλευρο. Πόσες όψεις του είναι τρίγωνα και πόσες τετράπλευρα; β) Έστω G συνεκτικό γράφημα του οποίου κάθε κορυφή εκτός από μία έχει βαθμό το πολύ d (μία το πολύ κορυφή του μπορεί να έχει βαθμό μεγαλύτερο του d ). Δείξτε με επαγωγή ότι το G χρωματίζεται με d χρώματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών του γραφήματος είναι 64 από το οποίο προκύπτει ότι το γράφημα έχει 32 ακμές. Από τον τύπο του Euler έχουμε n f m 2, όπου n, f, m ο αριθμός των κορυφών, των όψεων και των ακμών αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι οι όψεις είναι f 8. Έστω τώρα x ο αριθμός των όψεων που είναι τρίγωνα και y όσες είναι τετράπλευρα. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των μηκών (βαθμών) των όψεων ενός επίπεδου γραφήματος ισούται με το διπλάσιο του αριθμού των ακμών. Αυτά δίνουν τις παρακάτω εξισώσεις: x y 8 3x4 y 64 Λύνοντας το σύστημα αυτό παίρνουμε x 8 και y 0. β) Η βάση της επαγωγής είναι για ndμια και κάθε γράφημα με d κορυφές χρωματίζεται με d χρώματα. Υποθέτουμε τώρα ότι κάθε γράφημα με nd κορυφές του οποίου όλες, πλην ίσως μίας, οι κορυφές έχουν βαθμό το πολύ d,

7 χρωματίζεται με d χρώματα. Θεωρούμε ένα γράφημα με n κορυφές με τις ίδιες ιδιότητες βαθμών στις κορυφές του. Το γράφημα αυτό έχει λοιπόν μία τουλάχιστον κορυφή βαθμού το πολύ d, έστω την u. Αφαιρούμε την u. Η αφαίρεση μιας κορυφής δεν αυξάνει τον βαθμό καμίας άλλης κορυφής, επομένως το εναπομείναν γράφημα, έχει n κορυφές και όλες οι κορυφές του πλην ίσως μίας, έχουν βαθμό το πολύ d. Σύμφωνα με την επαγωγική υπόθεση συνεπώς χρωματίζεται με d χρώματα. Όμως η κορυφή u έχει το πολύ d γείτονες στο αρχικό γράφημα και άρα ακόμη και αν όλοι έχουν διαφορετικό χρώμα, περισσεύει το χρώμα d για να χρωματιστεί η u. 8ΕΡΩΤΗΜΑ 4 (μονάδες 20) α) Σε δένδρο προσθέτουμε ακμές έτσι ώστε να προκύψει απλό γράφημα. Δείξτε ότι το γράφημα αυτό έχει τουλάχιστον απλούς κύκλους β) Έστω G απλό συνεκτικό γράφημα με n κορυφές και m2n2ακμές. Δείξτε ότι το G περιέχει δύο απλούς κύκλους ίσου μήκους. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η πρόσθεση της ακμής e με άκρα τις κορυφές u και v δημιουργεί τον απλό κύκλο που απαρτίζεται από το μοναδικό u-v μονοπάτι πάνω στο δένδρο και την ακμή e. Επειδή κάθε μία από τις ακμές είναι διαφορετική, προκύπτουν τουλάχιστον απλοί κύκλοι. β) Ας φανταστούμε ότι σχεδιάζουμε το G αρχίζοντας από ένα οποιοδήποτε συνδετικό δένδρο του, Τ. Αυτό έχει προφανώς n ακμές. Στην συνέχεια προσθέτουμε τις υπόλοιπες ακμές του G οι οποίες είναι τουλάχιστον n. Από το (α) η πρόσθεση των ακμών αυτών δημιουργεί τουλάχιστον n απλούς κύκλους. Όμως σε γράφημα με n κορυφές, οι απλοί κύκλοι μπορούν να έχουν μήκος από 3, το ελάχιστο (ένα τρίγωνο) μέχρι και n, το μέγιστο. Δηλαδή υπάρχει ένα διάστημα n 3 n 2 διαφορετικών μηκών που μπορούν να έχουν οι απλοί κύκλοι του G. Επειδή όπως είπαμε το G έχει τουλάχιστον n απλούς κύκλους, δύο τουλάχιστον από αυτούς θα έχουν κατ ανάγκη ίσο μήκος.

8 ΠΛΗ 20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α' ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ.. ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΟΔΗΓΙΕΣ: Κυκλώστε το γράμμα «Σ» που είναι παραπλεύρως σε κάθε πρόταση αν θεωρείτε ότι η πρόταση είναι αληθής ή το γράμμα «Λ» αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής. ΠΡΟΣΟΧΗ: Μια λάθος απάντηση αφαιρεί μισή μονάδα από το ερώτημα. Σημειώστε μια απάντηση αν είστε αρκετά βέβαιοι για αυτήν. Αν χρειάζεστε, χρησιμοποιήστε για πρόχειρο τον χώρο μετά το τελευταίο ερώτημα.

9 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Έστω φ, ψ προτασιακοί τύποι. Ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ταυτολογίες; 5. ( Σ / Λ ) (φ (ψ φ)) (φ ψ) (Λάθος) 6. ( Σ / Λ ) (φ ψ) (φ ψ) 7. ( Σ / Λ ) (φ ψ) (φ ψ) 8. ( Σ / Λ ) (φ ψ) (φ ψ) (Λάθος) 2. Ερμηνεύουμε την πρωτοβάθμια γλώσσα στο σύνολο {, 2, 3, } των θετικών φυσικών αριθμών με το διμελές κατηγορηματικό σύμβολο P(x, y) να δηλώνει ότι «το y είναι πολλαπλάσιο του x» και το x y να δηλώνει ότι το «x είναι μικρότερο ή ίσο του y». 9. ( Σ / Λ ) Η πρόταση y xp( x, y) αληθεύει σε αυτή την ερμηνεία. (Λάθος) 0. ( Σ / Λ ) Η πρόταση x yp( x, y) P( y, x) x y ερμηνεία. αληθεύει σε αυτή την. ( Σ / Λ ) Η πρόταση x yx y P( x, y) P( y, x) ερμηνεία. (Λάθος) αληθεύει σε αυτή την 2. ( Σ / Λ ) Η πρόταση xyz P( x, z) P( y, z) wp( x, w) P( y, w) z w αληθεύει σε αυτή την ερμηνεία. 3. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν; 3. ( Σ / Λ ) Η μεταβλητή x εμφανίζεται ελεύθερη στον τύπο xy Q( x, y) P( x, y) yq( y, x) 4. ( Σ / Λ ) Οι τύποι xq( x) R( x) ισοδύναμοι. και xq( x) xr( x) είναι λογικά (Λάθος) 5. ( Σ / Λ ) Ο τύπος x yq( x, y) P( x, y) Q( y, x) Ποσοδεικτική Μορφή αποτελεί μια Κανονική του τύπου xy Q( x, y) P( x, y) yq( y, x) (Λάθος) 6. ( Σ / Λ ) Ο τύπος z y wq( z, y) P( z, y) Q( w, x) Ποσοδεικτική Μορφή του τύπου αποτελεί μια Κανονική xy Q( x, y) P( x, y) yq( y, x) 4. Οι διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους + n με άσσους και n μηδενικά είναι: 7. ( Σ / Λ ) Όσα τα διαφορετικά υποσύνολα με στοιχεία ενός συνόλου με + n στοιχεία. 8. ( Σ / Λ ) Όσες οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης z z. n 9. ( Σ / Λ ) Όσες οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης z z n. (Λάθος) 20. ( Σ / Λ ) Όσες ο συντελεστής του n x 2 3 στην παράσταση x x x

10 5. Στην τελετή αποφοίτησης ενός Δημοτικού Σχολείου, οι 00 (διακεκριμένοι) μαθητές περιμένουν σε 3 διαφορετικές σειρές για να πάρουν το απολυτήριο (η θέση κάθε μαθητή στη σειρά έχει σημασία). Οι διαφορετικοί τρόποι να συμβεί αυτό είναι: 2. ( Σ / Λ ) 3 00 (Λάθος) 22. ( Σ / Λ ) 02! 2! 23. ( Σ / Λ ) Όσοι ο συντελεστής του x 00! στην παράσταση x x x 3, αν πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 5 παιδιά σε κάθε σειρά. 24. ( Σ / Λ ) Όσοι ο συντελεστής του x στην παράσταση x x x 3 πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 5 παιδιά σε κάθε σειρά., αν (Λάθος)

11 6. Πόσοι διαφορετικοί τετραγωνικοί πίνακες υπάρχουν στους οποίους κάθε στοιχείο του πίνακα είναι είτε 0 είτε ; 25. ( Σ / Λ ) C(400, ), αν από τα στοιχεία του πίνακα είναι και τα υπόλοιπα είναι x 26. ( Σ / Λ ) Όσοι ο συντελεστής του στην παράσταση 400! x x x x! 2! 3! 400! 27. ( Σ / Λ ) 2 90, αν ο πίνακας πρέπει να αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης (μητρώο σύνδεσης) ενός απλού μη κατευθυνόμενου γραφήματος με 20 κορυφές. 28. ( Σ / Λ ) Όσοι οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης z0 z 400. (Λάθος) 7. Θεωρούμε απλά μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) συνδεόμενα γραφήματα. 29. ( Σ / Λ ) To K n,m έχει κύκλο Euler αν n 2, m 2, και το n + m είναι άρτιος αριθμός. (Λάθος) 30. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα με n 4 κορυφές έχει σύνολο ανεξαρτησίας με περισσότερες από n / 2 κορυφές, τότε αυτό δεν έχει κύκλο Euler. (Λάθος) 3. ( Σ / Λ ) Αν ένα γράφημα με n 4 κορυφές έχει σύνολο ανεξαρτησίας με περισσότερες από n / 2 κορυφές, τότε αυτό δεν έχει κύκλο Hamilton. 32. ( Σ / Λ ) Σε κάθε γράφημα με n 4 κορυφές και κύκλο Hamilton, υπάρχουν κορυφές u, v τέτοιες ώστε το συντομότερο u v μονοπάτι να έχει μήκος n. 8. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; (Λάθος) 33. ( Σ / Λ ) Υπάρχει απλό επίπεδο γράφημα με 0 κορυφές που όλες έχουν βαθμό ίσο με 5. (Λάθος) 34. ( Σ / Λ ) Ένα απλό γράφημα με n 6 κορυφές είναι επίπεδο αν και μόνο αν το συμπληρωματικό του γράφημα δεν είναι επίπεδο. (Λάθος) 35. ( Σ / Λ ) Σε κάθε απλό επίπεδο γράφημα G, το πλήθος των όψεων του G είναι ίσο με το πλήθος των κύκλων του G. (Λάθος) 36. ( Σ / Λ ) Μπορεί δύο ομοιομορφικά γραφήματα να έχουν διαφορετικό πλήθος όψεων. (Λάθος) 9. Θεωρούμε απλά μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) γραφήματα που δεν είναι κατ ανάγκη συνδεόμενα. 37. ( Σ / Λ ) Τα φύλλα ενός δέντρου με n 3 κορυφές αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας. 38. ( Σ / Λ ) Ένα γράφημα είναι δέντρο αν και μόνο αν όλες οι ακμές του είναι γέφυρες. (Λάθος) Υπενθύμιση: Μια ακμή είναι γέφυρα αν δεν ανήκει σε κανένα κύκλο. 39. ( Σ / Λ ) Ένα γράφημα έχει χρωματικό αριθμό ίσο με 3 αν και μόνο αν περιέχει το K 3 ως επαγόμενο υπογράφημα. (Λάθος)

12 40. ( Σ / Λ ) Κάθε γράφημα με n 4 κορυφές και n ακμές έχει χρωματικό αριθμό ίσο με 2. (Λάθος) 20. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν για το γράφημα του διπλανού σχήματος; 4. ( Σ / Λ ) Το βάρος του Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου είναι ( Σ / Λ ) Κάθε ακμή βάρους 2 ανήκει σε κάποιο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο. (Λάθος) 43. ( Σ / Λ ) Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο που περιέχει την ακμή {u, u 6 }. 44. ( Σ / Λ ) Η δεύτερη στη σειρά ακμή που προστίθεται στο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο από τον αλγόριθμο του Prim με αρχική κορυφή s είναι η {s, u 2 }. (Λάθος) s.8. u 3 u u u u 5.6. u 6.3. u 7

13 ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, ΜΕΡΟΣ Β' ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΜΑ (μονάδες 25) Για την εξέταση μιας ΘΕ, διατίθενται 4 διαφορετικά αμφιθέατρα, τα Χ, Ψ, Ζ, και Ω, με 00 αριθμημένες (διακεκριμένες) θέσεις το καθένα. Στην εξέταση θα λάβουν μέρος 250 φοιτητές συνολικά, 80 από το Α' έτος, 00 από το Β' έτος, και 70 από το Γ' έτος σπουδών. Για την οργάνωση της εξέτασης, κάθε φοιτητής χαρακτηρίζεται μόνο από το έτος σπουδών του, και δεν ενδιαφέρει η ταυτότητά του. α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν οι φοιτητές από τα 3 έτη σπουδών στα 4 αμφιθέατρα, αν δεν υπάρχουν περιορισμοί; β) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν οι φοιτητές στα 4 αμφιθέατρα, αν ολόκληρο το Β' έτος πρέπει να καθίσει στο αμφιθέατρο Ω, και δεν επιτρέπεται να έχουμε φοιτητές από διαφορετικό έτος στο ίδιο αμφιθέατρο; Για τα ερωτήματα (γ) και (δ), πρέπει να διατυπώσετε γεννήτρια συνάρτηση και να προσδιορίσετε τον όρο του οποίου ο συντελεστής απαντά στο ζητούμενο. γ) Με πόσους τρόπους μπορούν να κατανεμηθούν οι θέσεις του αμφιθέατρου Χ στα τρία έτη σπουδών, ώστε καμία θέση να μην μείνει κενή και να έχουμε τουλάχιστον 0 και το πολύ 50 φοιτητές από κάθε έτος στο αμφιθέατρο Χ; Για το ερώτημα (δ), αγνοούμε την αρίθμηση των θέσεων σε κάθε αμφιθέατρο. Επομένως οι διαφορετικές τοποθετήσεις έχουν να κάνουν μόνο με τον αριθμό των φοιτητών κάθε έτους σε κάθε αμφιθέατρο. δ) Με πόσους τρόπους μπορούν καθίσουν οι φοιτητές στα 4 αμφιθέατρα, αν ολόκληρο το Β' έτος πρέπει να καθίσει στο αμφιθέατρο Ω, και πρέπει καθένα από τα αμφιθέατρα Χ, Ψ, και Ζ να έχει 50 φοιτητές συνολικά και τουλάχιστον 0 φοιτητές από καθένα από τα έτη Α' και Γ'; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Έχουμε C(400, 80) τρόπους να επιλέξουμε 80 από τις 400 διακεκριμένες θέσεις όπου θα καθίσουν οι (μη διακεκριμένοι) φοιτητές του Α' έτους. Στη συνέχεια, έχουμε C(320, 00) τρόπους για τους φοιτητές του Β' έτους, και τέλος, C(220, 70) τρόπους για τους φοιτητές του Γ' έτους. Από τον κανόνα του γινομένου, έχουμε 400! C(400,80) C(320,00) C(220, 70) τρόπους συνολικά. 80!00!70!50! β) Oι φοιτητές του Β' έτους θα καταλάβουν όλες τις θέσεις στο αμφιθέατρο Ω (αυτό συμβαίνει με τρόπο). Είτε το Α' έτος είτε το Γ' έτος έχει τη δυνατότητα να καταλάβει δύο αμφιθέατρα. Αν αυτό συμβεί για το Α' έτος, έχουμε C(3, 2) = 3 τρόπους να επιλέξουμε τα δύο αμφιθέατρα, C(200, 80) τρόπους επιλογής θέσεων για τους φοιτητές του Α' έτους, και C(00, 70) τρόπους επιλογής θέσεων για τους φοιτητές του Γ' έτους. Άρα έχουμε 3 200!00! 3 C(200,80) C(00,70) τρόπους. Αντίστοιχα, έχουμε 80!20!70!30! 300!200! 3 C(00,80) C(200,70) τρόπους, όταν το Γ' έτος καταλαμβάνει δύο 80!20!70!30!

14 αμφιθέατρα. Τα δύο αυτά ενδεχόμενα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα. Συνεπώς, από τον 3200!00! 300!200! κανόνα του αθροίσματος, έχουμε τρόπους συνολικά. 80!20!70!30! 80!20!70!30! γ) Έχουμε διανομή 00 διακεκριμένων αντικειμένων (θέσεις αμφιθεάτρου Χ) σε 3 διακεκριμένες υποδοχές (έτη σπουδών), χωρίς να έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές, ώστε κάθε υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 0 και το πολύ 50 αντικείμενα. Συνεπώς, ο εκθετικός x x x x απαριθμητής για κάθε υποδοχή είναι. Η εκθετική γεννήτρια 0!! 2! 50! συνάρτηση είναι x x x x, και το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή 0!! 2! 50! 00 x του. 00! δ) Oι φοιτητές του Β' έτους θα καταλάβουν όλες τις θέσεις στο αμφιθέατρο Ω (με τρόπο). Επειδή οι θέσεις στο ίδιο αμφιθέατρο δεν θεωρούνται διακεκριμένες, έχουμε διανομή 80 ίδιων φοιτητών του Α' έτους και 70 ίδιων φοιτητών του Γ' έτους σε 3 διακεκριμένες «υποδοχές» (αμφιθέατρα Χ, Ψ, Ζ), ώστε κάθε υποδοχή να πάρει 50 φοιτητές συνολικά και τουλάχιστον 0 φοιτητές από καθένα από τα έτη Α' και Γ'. Αφού το πλήθος των φοιτητών σε κάθε υποδοχή είναι δεδομένο, αρκεί να υπολογίσουμε τις διανομές για τους φοιτητές του Α' έτους. Στη συνέχεια, οι φοιτητές του Γ' έτους κατανέμονται με μοναδικό τρόπο, ώστε όλες οι υποδοχές να έχουν 50 φοιτητές συνολικά. Όσον αφορά στους φοιτητές του Α' έτους, κάθε υποδοχή μπορεί να πάρει τουλάχιστον 0 και το πολύ 40 φοιτητές (μένουν έτσι τουλάχιστον 0 θέσεις κενές για τους φοιτητές του Γ' έτους). Ο απαριθμητής για τους φοιτητές του Α' 0 40 έτους σε κάθε υποδοχή είναι x x x. Η συνήθης γεννήτρια συνάρτηση είναι 0 40 x x x 3, και το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του ΕΡΩΤΗΜΑ 2 (μονάδες 35) Στα ερωτήματα (α) και (β), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα Θεωρήματα Απαγωγής, Αντιθετοαναστροφής, Απαγωγής σε Άτοπο, αλλά όχι το Θεώρημα Εγκυρότητας-Πληρότητας. α) Να δείξετε ότι φ (ψ φ) ψ. β) Έστω φ και ψ προτασιακοί τύποι. Ορίζουμε την ακολουθία τύπων χ 0, χ,, χ n, ως εξής: χ 0 = φ, και για κάθε φυσικό n, χ n = (ψ χ n ) ψ. Χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή και προαιρετικά το (α), να δείξετε ότι για κάθε n 0, φ χ n. γ) Θεωρούμε τη γλώσσα της κατηγορηματικής λογικής που ορίζεται σε απλά μη κατευθυντικά (μη κατευθυνόμενα) γραφήματα, όπου το σύμπαν είναι οι κορυφές του γραφήματος, και το διμελές κατηγορηματικό σύμβολο P(x, y) δηλώνει ότι «οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή». Δύο κορυφές καλούνται γειτονικές αν αυτές συνδέονται με ακμή. Σε αυτή την ερμηνεία, να διατυπώσετε: 80 x. (i) Τύπο ψ(x, y) που δηλώνει ότι το σύνολο των γειτονικών κορυφών της x είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των γειτονικών κορυφών της y. (ii) Πρόταση που δηλώνει ότι το γράφημα έχει κορυφή που όλες οι γειτονικές της κορυφές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2. δ) Έστω ο τύπος xy Q( x, y) Q( y, x) xq( x, x). Να δείξετε, διατυπώνοντας ένα κατάλληλο αντιπαράδειγμα, ότι ο τύπος ψ δεν είναι λογικά έγκυρος.

15 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Εφαρμόζοντας το Θ. Απαγωγής, αρκεί να δείξουμε ότι { φ, ψ φ } ψ. Για αυτό έχουμε την παρακάτω τυπική απόδειξη:. φ Υπόθεση 2. ψ φ Υπόθεση 3. (ψ φ) ((ψ φ) ψ) ΑΣ3 4. (ψ φ) ψ 2, 3, MP 5. φ (ψ φ) ΑΣ 6. ψ φ, 5, ΜΡ 7. ψ 6, 4, ΜΡ β) Βάση επαγωγής: Για n = 0, το ζητούμενο γίνεται φ φ, που ισχύει τετριμμένα. Επαγωγική υπόθεση: Έστω αυθαίρετο n 0. Υποθέτουμε ότι φ χ n. Επαγωγικό βήμα: Θα δείξουμε ότι φ χ n+, ή ισοδύναμα ότι φ (ψ χ n ) ψ. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι φ χ n. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι χ n (ψ χ n ) ψ, το οποίο προκύπτει άμεσα από το (α), αν θέσουμε εκεί το χ n στη θέση του φ. γ.i) ( x, y) z P( x, z) P( y, z) z P( y, z) P( x, z) γ.ii) x y P( x, y) z z x P( y, z ή xy P( x, y) zw z w P( y, z P( y, w) δ) Ένα απλό αντιπαράδειγμα προκύπτει αν θεωρήσουμε οποιοδήποτε σύμπαν και ερμηνεύσουμε το Q(x, y) ώστε να είναι πάντα ψευδές. Η υπόθεση xy ( Q( x, y) Q( y, x)) είναι αληθής, αφού τόσο το Q(x, y) όσο και το Q(y, x) είναι πάντα ψευδή, ενώ το συμπέρασμα xq( x, x) δεν είναι αληθές, αφού το Q(x, x) είναι πάντα ψευδές. Εναλλακτικά, κάθε απλό μη κατευθυντικό γράφημα αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα, αν θεωρήσουμε ως σύμπαν το σύνολο των κορυφών του γραφήματος, και το διμελές κατηγορηματικό σύμβολο Q(x, y) δηλώνει ότι «οι κορυφές x και y συνδέονται με ακμή». Τότε κάθε ακμή είτε υπάρχει και στις δύο κατευθύνσεις είτε δεν υπάρχει καθόλου, και το γράφημα δεν έχει ανακυκλώσεις. ΕΡΩΤΗΜΑ 3 (μονάδες 20) α) Να δείξετε ότι κάθε δέντρο με n 2 κορυφές έχει τουλάχιστον δύο κορυφές που δεν είναι σημεία κοπής. Υπενθύμιση: Μια κορυφή u ενός συνδεόμενου γραφήματος λέγεται σημείο κοπής αν το γράφημα που προκύπτει από την αφαίρεση της u (και όλων των ακμών που προσπίπτουν σε αυτή) δεν είναι συνδεόμενο. β) Να δείξετε ότι κάθε συνδεόμενο γράφημα με n 2 κορυφές έχει τουλάχιστον δύο κορυφές που δεν είναι σημεία κοπής. γ) Να διατυπώσετε αλγόριθμο που δέχεται ως είσοδο ένα συνδεόμενο γράφημα G με n 2 κορυφές, και επιστρέφει 2 κορυφές του G που δεν είναι σημεία κοπής. Ο αλγόριθμός σας πρέπει να βασίζεται στον υπολογισμό ενός συνδετικού δέντρου του G. δ) Έστω συνδεόμενο γράφημα G με n 4 κορυφές. Να δείξετε ότι αν το G έχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι διαφορετικών συνδετικών δέντρων που δεν έχουν καμία κοινή ακμή μεταξύ τους, τότε το G δεν έχει γέφυρα. Υπενθύμιση: Μια ακμή e ενός συνδεόμενου γραφήματος λέγεται γέφυρα αν το γράφημα που προκύπτει από την αφαίρεση της e δεν είναι συνδεόμενο.

16 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Έστω δέντρο Τ με n 2 κορυφές. Γνωρίζουμε ότι το Τ έχει τουλάχιστον δύο φύλλα. Ένα φύλλο u δεν αποτελεί σημείο κοπής του Τ, αφού από την αφαίρεση της u προκύπτει ένα δέντρο με μία κορυφή λιγότερη. Άρα το Τ έχει τουλάχιστον δύο κορυφές, τα φύλλα του, που δεν είναι σημεία κοπής. β) Έστω G συνδεόμενο γράφημα με n 2 κορυφές. Αφού το G είναι συνδεόμενο, θεωρούμε ένα συνδετικό δέντρο Τ του G. Αφού n 2, το Τ έχει τουλάχιστον δύο φύλλα. Ένα φύλλο u του T δεν αποτελεί σημείο κοπής του G, επειδή αν αφαιρέσουμε τη u από το G, προκύπτει ένα γράφημα με συνδετικό δέντρο το T u. Αυτό γράφημα έχει συνδετικό δέντρο, άρα είναι συνδεόμενο. Συνεπώς, το G έχει τουλάχιστον δύο κορυφές, τα φύλλα ενός συνδετικού του δέντρου, που δεν είναι σημεία κοπής. γ) Με αναζήτηση κατά πλάτος (ή αναζήτηση κατά βάθος), υπολογίζουμε ένα συνδετικό δέντρο Τ του G, και επιστρέφουμε 2 οποιαδήποτε φύλλα του T. Για την αναγνώριση των φύλλων, π.χ. στην αναζήτηση κατά πλάτος, φύλλο είναι κάθε κορυφή x S που, όταν ελέγχουμε τους γείτονές της, η x δεν έχει ανεξερεύνητες γειτονικές κορυφές (δηλ. τη στιγμή που ελέγχουμε τους γείτονες της x, όλες οι γειτονικές κορυφές της x ανήκουν ήδη στο V'). Λόγω του (β), τα φύλλα του T δεν αποτελούν σημεία κοπής του G. δ) Έστω Τ και Τ 2 ένα ζευγάρι συνδετικών δέντρων του G που δεν έχουν καμία κοινή ακμή μεταξύ τους, και έστω e μια οποιαδήποτε ακμή του G. Θα δείξουμε ότι η e δεν είναι γέφυρα. Αφού τα Τ και Τ 2 δεν έχουν κοινές ακμές, η e δεν ανήκει σε τουλάχιστον ένα από αυτά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η e δεν ανήκει στο Τ. Άρα το γράφημα G' που προκύπτει αν αφαιρέσουμε την e από το G είναι συνδεόμενο, αφού το T αποτελεί συνδετικό δέντρο του G'. Άρα η e δεν είναι γέφυρα. ΕΡΩΤΗΜΑ 4 (μονάδες 20) Για κάθε φυσικό, o υπερκύβος Q διάστασης ορίζεται επαγωγικά ως εξής: Ο υπερκύβος Q αποτελείται από δύο κορυφές, με ετικέτες 0 και, που συνδέονται με ακμή. Για κάθε 2, ο υπερκύβος Q αποτελείται από δύο αντίγραφα του υπερκύβου Q, στα οποία συνδέουμε με ακμή όλα τα ζεύγη κορυφών που έχουν ίδια ετικέτα στα δύο αντίγραφα. Στη συνέχεια, προσθέτουμε το ψηφίο 0 στις ετικέτες των κορυφών του ενός αντίγραφου του Q και το ψηφίο στις ετικέτες των κορυφών του άλλου. Στο σχήμα, μπορείτε π.χ. να δείτε τους υπερκύβους Q, Q 2, και Q α) Με μαθηματική επαγωγή στη διάσταση, να δείξετε ότι ο υπερκύβος Q έχει 2 ακμές. β) Με μαθηματική επαγωγή στη διάσταση, να δείξετε ότι ο υπερκύβος Q είναι διμερές (διχοτομίσιμο) γράφημα.

17 γ) Να δείξετε ότι ο υπερκύβος Q είναι επίπεδο γράφημα αν και μόνο αν έχει διάσταση 3. Υπόδειξη: Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος ακμών που μπορεί να έχει ένα απλό επίπεδο διμερές γράφημα; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Βάση επαγωγής: Για =, ο Q πράγματι έχει 2 ακμή. Επαγωγική υπόθεση: Έστω αυθαίρετο. Υποθέτουμε ότι ο Q έχει 2 ακμές. Επαγωγικό βήμα: Ο Q + έχει όλες τις ακμές των δύο Q που τον αποτελούν, οι οποίες με βάση την επαγωγική υπόθεση είναι 2 2 = 2, και 2 επιπλέον ακμές που συνδέουν τα 2 ζεύγη κορυφών με την ίδια ετικέτα στα δύο αντίγραφα του Q. Άρα ο Q + πράγματι έχει = (+) 2 ακμές συνολικά. β) Βάση επαγωγής: Για =, ο Q είναι πράγματι διμερές γράφημα. Επαγωγική υπόθεση: Έστω αυθαίρετο. Υποθέτουμε ότι ο Q είναι διμερές γράφημα. Επαγωγικό βήμα: Με βάση την επαγωγική υπόθεση, θεωρούμε μια διαμέριση των κορυφών του Q σε δύο σύνολα ανεξαρτησίας X και Y. Συμβολίζουμε με αντίγραφα του Q από τα οποία αποτελείται ο Q +. Ακόμη, έστω κορυφών του των κορυφών του 0 Q σε δύο σύνολα ανεξαρτησίας, και έστω X και 0 Q και με Q τα δύο 0 0 X και Y η διαμέριση των Y η αντίστοιχη διαμέριση Q. Σύμφωνα με τον ορισμό, ο Q + αποτελείται από τους όπου έχει συνδεθεί με ακμή κάθε κορυφή του κάθε κορυφή του X (αντίστοιχα στο ούτε μεταξύ των 0 X (αντίστοιχα του 0 Q με την αντίστοιχη κορυφή του 0 Q και Q, Q. Έτσι 0 Y ) συνδέεται με ακμή με την αντίστοιχη κορυφή στο Y ). Άρα δεν υπάρχουν καθόλου ακμές ούτε μεταξύ των 0 X και Y. Συνεπώς, τα σύνολα κορυφών Y 0 X και X 0 Y και 0 Y X είναι σύνολα ανεξαρτησίας και αποτελούν μια διαμέριση των κορυφών του Q +. Άρα ο Q + είναι διμερές γράφημα. γ) Στο σχήμα, φαίνεται μια αποτύπωση των Q, Q 2, και Q 3 στο επίπεδο. Άρα για κάθε 3, ο Q είναι επίπεδο γράφημα Για κάθε 4, ο Q είναι ένα απλό διμερές γράφημα με 2 κορυφές και 2 ακμές, λόγω των (α) και (β). Γνωρίζουμε ότι κάθε απλό επίπεδο διμερές γράφημα με n κορυφές και m των ακμές ικανοποιεί την ανισότητα m 2n 4. Εφαρμόζοντας αυτή την ανισότητα στον Q, έχουμε ότι: (4 ) Η τελευταία ανισότητα είναι ψευδής για κάθε 4 (δηλώνει ότι κάτι θετικό είναι μικρότερο ή ίσο μιας ποσότητας που είναι είτε αρνητική, για > 4, είτε 0, για = 4). Άρα για κάθε 4, ο υπερκύβος Q δεν είναι επίπεδο γράφημα. 0

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα