Οδηγός Ανάλυσης Παραλλακτικότητας εδοµένων Γεωργικών Πειραµάτων µε Στατιστικά Πακέτα

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Γεωπονική Σχολή Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Οδηγός Ανάλυσης Παραλλακτικότητας εδοµένων Γεωργικών Πειραµάτων µε Στατιστικά Πακέτα Γεώργιος Μενεξές Θεσσαλονίκη 2013

2 2 Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Γεωπονική Σχολή Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Οδηγός Ανάλυσης Παραλλακτικότητας εδοµένων Γεωργικών Πειραµάτων µε Στατιστικά Πακέτα Γεώργιος Μενεξές Θεσσαλονίκη 2013

3 3 Πρόλογος Ο οδηγός αυτός αποτελεί πρόσθετο βοήθηµα για τους προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς φοιτητές της Γεωπονικής Σχολής του ΑΠΘ για τα µαθήµατα Γεωργικός Πειραµατισµός (προπτυχιακό µάθηµα) και Βιοµετρία (µεταπτυχιακό µάθηµα). εν αποτελεί πλήρες εκπαιδευτικό βοήθηµα και ούτε καλύπτει την ύλη των παραπάνω µαθηµάτων. Συνεπώς, για να µπορέσει ο αναγνώστης να αξιοποιήσει την πληροφορία που παρέχεται στον οδηγό αυτό θα πρέπει να έχει γνώσεις Στατιστικής και Γεωργικού Πειραµατισµού. Επίσης, θα πρέπει να κατέχει βασικές δεξιότητες χρήσης του στατιστικού πακέτου SPSS v Έµφαση δίνεται στην κατασκευή του κατάλληλου πίνακα ανάλυσης παραλλακτικότητας (ANOVA table), σύµφωνα µε τον τύπο του εκάστοτε γεωργικού πειράµατος, και στις συγκρίσεις των παρατηρούµενων µέσων όρων των επεµβάσεων. Οι στατιστικές αναλύσεις γίνονται µε βάση το µεθοδολογικό πλαίσιο των Γενικών Γραµµικών και Γραµµικών Μεικτών Μοντέλων (General Linear Models, Linear Mixed Models) και αφορούν σε ισορροπηµένα (balanced) πειράµατα. Να σηµειωθεί ότι η παρακολούθηση των παραδόσεων και η συστηµατική ενασχόληση µε τα γνωστικά αντικείµενα των αντίστοιχων µαθηµάτων υπό την καθοδήγηση του διδάσκοντα καθηγητή είναι αναγκαία και αναντικατάστατη. ρ. Γεώργιος Μενεξές Λέκτορας Βιοµετρίας και Γεωργικού Πειραµατισµού Θεσσαλονίκη, Μάιος 2013 Viola adorata

4 4 Πίνακας Περιεχοµένων ΕΝΟΤΗΤΑ Α...6 ΑΠΛΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΓΚΡΙΣΕΩΝ ΕΠΕΜΒΑΣΕΩΝ ΜΕ ΣΧΟΛΙΑ...6 Σύγκριση Μέσων Όρων ύο Επεµβάσεων...7 Σύγκριση Μέσων Όρων Πολλών Επεµβάσεων (Ένας Παράγοντας)...15 Σύγκριση Οµάδων Μέσων Όρων (Αντιθέσεις-Contrasts)...36 ΕΝΟΤΗΤΑ Β...41 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΛΛΑΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (ANOVA) ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ (GENERAL LINEAR MODELS-GLM)...41 Ταυτότητα Πειραµάτων Παραγοντικό Πείραµα Split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split plot (CRD) Παραγοντικό Πείραµα Strip plot ή Split block (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split-split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split plot (a), 3 παράγοντες: 1 main & 2 sub plot Παραγοντικό Πείραµα Split plot (b), 3 παράγοντες: 2 main & 1 sub plot Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (CRD) Παραγοντικό Πείραµα µε 3 παράγοντες (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split plot (CRD) Παραγοντικό Πείραµα Strip plot ή Split block (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split-split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα Split plot (a), 3 factors: 1 main & 2 sub plot Παραγοντικό Πείραµα Split plot (b), 3 factors: 2 main & 1 sub plot Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (CRD) Παραγοντικό Πείραµα µε 3 παράγοντες (RCBD)...65 ΕΝΟΤΗΤΑ Γ...67 ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ ΙΚΤΥΩΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ (GENERAL LINEAR MODELS-GLM)...67 Πειράµατα ικτυωµένα στο Χώρο και στο Χρόνο: Ταυτότητα Πειραµάτων...68 Περιγραφή Μεθοδολογίας One Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations (or Combined over Years) One Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with new Locations each Year Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with the same Locations each Year but Randomized Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Locations and Randomization each Year (Perennial Crops) Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations (or Combined over Years) Two Factor Randomized Complete Block Design with Split Plot Combined over Locations Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location but Randomized each Year Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location but Randomized each Year Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with new Locations each Year Two Factor Randomized Complete Block Design with Split Combined over Locations and Years, with new Locations each Year...77

5 5 Γενικές Παρατηρήσεις...78 ΕΝΟΤΗΤΑ...81 ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕΣΩΝ ΌΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ (LINEAR MIXED EFFECTS MODELS-LMEM) Συγκρίσεις Μέσων Όρων µέσω της ιαδικασίας Linear Mixed Effects Models Γενικός Τρόπος Συγκρίσεων Μέσων Όρων (Post hoc και a priori Contrasts)...91 ΕΝΟΤΗΤΑ Ε...95 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΩ ΙΚΑ ΤΟΥ SPSS ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΛΛΑΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ...95 Three Factor RCBD with Treatments arranged in Strips...96 Four Factor RCBD with factors B, C, and D as Split plots on Factor A...96 Four Factor RCBD with factor B as a Split plot on Factor A and Factors C and D as Split plots on Factor B...96 Four Factor RCBD...97 Four Factor CRD...97 Multiple Latin Squares...97 ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΤ...98 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΛΛΑΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (ANOVA) ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ (REPEATED MEASURES EXPERIMENTS)...98 Ανάλυση Παραλλακτικότητας Παραγοντικών Πειραµάτων µε Επαναλαµβανόµενες Μετρήσεις...99 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1: COVARIANCE STRUCTURES ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2: ΑΝΤΙΘΕΣΕΙΣ (CONTRASTS) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3: ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ Η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4: ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΗΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ Q (TUKEY S HSD) ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...145

6 6 Ενότητα Α Απλά παραδείγµατα συγκρίσεων επεµβάσεων µε σχόλια Viola adorata

7 7 Σύγκριση Μέσων Όρων ύο Επεµβάσεων Ανεξάρτητη µεταβλητή: Treatment, µε δύο επίπεδα (1, 2), π.χ. 2 ποικιλίες Εξαρτηµένες Μεταβλητές: y1 και y2 Πειραµατικό Σχέδιο: CRD, ισορροπηµένο µε 8 επαναλήψεις ανά επέµβαση. Στατιστικός έλεγχος: t-test (για ανεξάρτητα δείγµατα) Επίπεδο σηµαντικότητας του ελέγχου: προκαθορίστηκε σε α=0,05. Βήµα 1. Εισαγωγή εδοµένων Στο παράθυρο SPSS Data Editor εισάγουµε τα δεδοµένα όπως στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα Α1). Εικόνα Α1: Εισαγωγή δεδοµένων στο SPSS-Το παράθυρο του SPSS Data Editor Βήµα 2. ιαδικασίες, Εντολές και Ρυθµίσεις Πραγµατοποιούµε τις παρακάτω ενέργειες (βλέπε και Εικόνα Α2).

8 8 Analyze Compare Means Independent-Samples T test Εικόνα Α2: Επιλογή Στατιστικής ιαδικασίας Independent-Samples T Test Εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T Test (Εικόνα Α3). Εικόνα Α3: Το πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T Test Έστω ότι θέλουµε να συγκρίνουµε τους µέσους όρους των δύο επεµβάσεων (treatments) ως προς τη µεταβλητή y1. Στο πεδίο Test Variable(s) εισάγουµε τη µεταβλητή y1 (Εικόνα Α4).

9 9 Στο πεδίο Grouping Variable εισάγουµε τη µεταβλητή Treatment (Εικόνα Α4). Εικόνα Α4: Ρυθµίσεις στο πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T Test Πατάµε στο πλήκτρο Define Groups. Εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Define Groups (Εικόνα Α5). Στη συνέχεια θα πρέπει να καθορίζουµε τις δύο επεµβάσεις που θέλουµε να συγκρίνουµε. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα υπάρχουν µόνο δύο επεµβάσεις µε τιµέςκωδικούς 1 και 2 (Εικόνα Α6). Εικόνα Α5: Το πλαίσιο διαλόγου Define Groups Εικόνα Α6: Καθορισµός των επεµβάσεων Πατάµε στο πλήκτρο Continue. Εµφανίζεται ξανά το πλαίσιο διαλόγου Independent- Samples T Test (Εικόνα Α8).

10 10 (*) Σε άλλη περίπτωση όπου οι επεµβάσεις είναι περισσότερες από δύο, για παράδειγµα 5, θα µπορούσαµε να καθορίσουµε για σύγκριση µόνο τις επεµβάσεις 1 και 4 (Εικόνα Α7). Εικόνα Α7: Καθορισµός των επεµβάσεων Εικόνα Α8: Το πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T Test Πατάµε στο πλήκτρο ΟΚ. Βήµα 3. Έξοδος Αποτελεσµάτων και Σχολιασµός Στο παράθυρο αποτελεσµάτων του SPSS (SPSS Viewer) εµφανίζονται τα παρακάτω αποτελέσµατα: Group Statistics y1 Treatment 1 2 Std. Error N Mean Std. Deviation Mean 8 3,00 1,512, ,50,926,327

11 11 y1 Equal variances assumed Equal variances not assumed Levene's Test for Equality of Variances F Sig. Independent Samples Test t df Sig. (2-tailed) t-test for Equality of Means Mean Difference 95% Confidence Interval of the Std. Error Difference Difference Lower Upper,368,554 -,798 14,438 -,500,627-1,844,844 -,798 11,603,441 -,500,627-1,871,871 Στον πίνακα µε τίτλο Group Statistics παρουσιάζονται για κάθε επέµβαση το πλήθος των επαναλήψεων-µετρήσεων (Ν), ο µέσος όρος (Mean), η τυπική απόκλιση (Std. Deviation) και το τυπικό σφάλµα της εκτίµησης του µέσου όρου (Std. Error Mean). Στον πίνακα µε τίτλο Independent Samples Test παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα του t-test. Αρχικά παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα του ελέγχου οµοιογένειας των παραλλακτικοτήτων-διακυµάνσεων (Levene s test) των δύο επεµβάσεων ως προς τη µεταβλητή y1 (Levene s Test for Equality of Variances). Αν η τιµή της παρατηρούµενης στάθµης σηµαντικότητας του ελέγχου F (δηλαδή η p-value, η οποία εµφανίζεται στη στήλη µε την επικεφαλίδα Sig.) είναι µεγαλύτερη από 0,05 τότε το συµπέρασµα είναι ότι οι δύο παραλλακτικότητες δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 και συνεπώς η υπόθεση της οµοιογένειας των παραλλακτικοτήτων δεν µπορεί να απορριφθεί. Αν όµως p 0,05 τότε η υπόθεση της οµοιογένειας απορρίπτεται σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Στην πρώτη περίπτωση (p>0,05) θα πρέπει να καταλήξουµε σε συµπέρασµα, σχετικά µε τη στατιστική σηµαντικότητα της διαφοράς των δύο µέσων όρων, µε βάση τα αποτελέσµατα του t-test που εµφανίζονται στη γραµµή µε τίτλο Equal variances assumed. Στη δεύτερη περίπτωση (p 0,05) θα πρέπει να καταλήξουµε σε συµπέρασµα, σχετικά µε τη στατιστική σηµαντικότητα της διαφοράς των δύο µέσων όρων, µε βάση τα αποτελέσµατα του t-test που εµφανίζονται στη γραµµή µε τίτλο Equal variances not assumed. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η τιµή p του ελέγχου F (οµοιογένειας των παραλλακτικοτήτων) είναι 0,554>0,05 και εποµένως οι δύο παραλλακτικότητες δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά (σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05). Στη συνέχεια θα πρέπει να εξετάσουµε τα αποτελέσµατα του t-test που εµφανίζονται στη γραµµή µε τίτλο Equal variances assumed. Στη γραµµή αυτή παρουσιάζεται η τιµή του στατιστικού t, οι βαθµοί ελευθερίας (df), η αντίστοιχη τιµή της παρατηρούµενης στάθµης σηµαντικότητας p του για δίπλευρο έλεγχο (Sig. (2-tailed)), η διαφορά των δύο µέσων όρων (Mean Difference), το τυπικό σφάλµα της διαφοράς (Std. Error Difference), το κάτω όριο (Lower) και το άνω όριο (Upper) ενός 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη διαφορά των δύο µέσων όρων (95% Confidence Interval of the Difference). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, η τιµή p του t-test είναι 0,438>0,05 και συνεπώς οι δύο µέσοι όροι που αντιστοιχούν στις δύο επεµβάσεις δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Αν η τιµή p ήταν µικρότερη ή ίση από 0,05 το συµπέρασµα θα ήταν ότι οι δύο µέσοι όροι διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Το ότι οι δύο µέσοι όροι δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά (p=0,438) µπορεί να διαπιστωθεί και από την εξέταση του 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη διαφορά των δύο µέσων όρων. Το συγκεκριµένο διάστηµα εµπιστοσύνης (-1,844, 0,844) περιέχει την τιµή µηδέν (0) και εποµένως η διαφορά των δύο µέσων όρων δεν διαφοροποιείται στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05, από το µηδέν. Αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει ότι οι δύο µέσοι όροι δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05.

12 12 Υπενθύµιση: Τα αποτελέσµατα του t-test και του F-test είναι έγκυρα όταν α) τα δείγµατα µέσα σε κάθε επέµβαση είναι τυχαία 1, β) οι µετρήσεις-παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και γ) η µεταβλητή y1 ακολουθεί µέσα σε κάθε επέµβαση την Κανονική Κατανοµή (Normal Distribution). Παρατηρήσεις Α) Στην περίπτωση που το επίπεδο σηµαντικότητας του ελέγχου t είχε προκαθοριστεί σε α=0,10 τότε έχει νόηµα ο υπολογισµός ενός 90% διαστήµατος εµπιστοσύνης για τη διαφορά των δύο µέσων όρων. ιαδικασία: Πραγµατοποιούµε τις παρακάτω ενέργειες. Analyze Compare Means Independent-Samples T test Στο πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T Test πατάµε στο πλήκτρο Options (Εικόνα Α9). Εικόνα Α9: Το πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T Test Εµφανίζεται το παρακάτω πλαίσιο διαλόγου (Εικόνα Α10). Εικόνα Α10: Το πλαίσιο διαλόγου Options 1 Όπως η έννοια του τυχαίου ορίζεται στο πλαίσιο της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής.

13 13 Στο πεδίο Confidence Interval ιαγράφουµε την τιµή 95 και εισάγουµε την τιµή 90 (Εικόνα Α11). Εικόνα Α11: Αλλαγή του επιπέδου σηµαντικότητας του διαστήµατος εµπιστοσύνης Αποτελέσµατα Independent Samples Test y1 Equal variances assumed Equal variances not assumed Levene's Test for Equality of Variances F Sig. t df Sig. (2-tailed) t-test for Equality of Means Mean Difference 90% Confidence Interval of the Std. Error Difference Difference Lower Upper,368,554 -,798 14,438 -,500,627-1,604,604 -,798 11,603,441 -,500,627-1,620,620 Β) Στην περίπτωση που θέλουµε να εφαρµόσουµε το t-test ταυτόχρονα και για τις δύο εξαρτηµένες µεταβλητές y1 και y2 ακολουθούµε την παρακάτω διαδικασία: Analyze Compare Means Independent-Samples T test Εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T test (Εικόνα Α12). Εικόνα Α12: Το πλαίσιο διαλόγου Independent-Samples T test Στο πεδίο Test Variable(s) εισάγουµε και τις δύο εξαρτηµένες µεταβλητές y1 και y2. Στο παράθυρο αποτελεσµάτων θα εµφανιστούν τα αποτελέσµατα και για τις δύο εξαρτηµένες µεταβλητές.

14 14 Αποτελέσµατα y1 y2 Treatment Group Statistics Std. Error N Mean Std. Deviation Mean 8 3,00 1,512, ,50,926, ,7625 2,50082, ,6875 3, ,15317 Independent Samples Test y1 y2 Equal variances assumed Equal variances not assumed Equal variances assumed Equal variances not assumed Levene's Test for Equality of Variances F Sig. t df Sig. (2-tailed) t-test for Equality of Means Mean Difference 95% Confidence Interval of the Std. Error Difference Difference Lower Upper,368,554 -,798 14,438 -,500,627-1,844,844 -,798 11,603,441 -,500,627-1,871,871,215,650-6,142 14,000-8, , , , ,142 13,116,000-8, , , ,78855 Για τη µεταβλητή y2 εξετάζουµε τη γραµµή µε τίτλο Equal variances assumed (γιατί;) και διαπιστώνουµε ότι η τιµή p του ελέγχου t είναι <0,001 (στον πίνακα εµφανίζεται η τιµή 0,000) και συνεπώς οι µέσοι όροι της µεταβλητής y2 που αντιστοιχούν στις δύο επεµβάσεις διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Οι δύο µέσοι όροι διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά ακόµη και στην περίπτωση που το επίπεδο σηµαντικότητας είχε προκαθοριστεί σε α=0,01 ή α=0,001. Γ) Αν θέλουµε να πραγµατοποιήσουµε µονόπλευρο έλεγχο (one-tailed t-test), τότε για να υπολογίσουµε την παρατηρούµενη στάθµη σηµαντικότητας του µονόπλευρου ελέγχου διαιρούµε την τιµή p του δίπλευρου ελέγχου t δια 2. Έστω ότι στο συγκεκριµένο παράδειγµα η εναλλακτική υπόθεση του ελέγχου έχει συγκεκριµένη κατεύθυνση και πρέπει να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση µε µονόπλευρο έλεγχο, τότε η παρατηρούµενη στάθµη σηµαντικότητας του (µονόπλευρου) ελέγχου είναι (0,438/2)=0,219. Παρατήρηση: Οι µονόπλευροι έλεγχοι χρησιµοποιούνται µόνο σε σπάνιες περιπτώσεις. Σηµειώσεις αναγνώστη:

15 15 Σύγκριση Μέσων Όρων Πολλών Επεµβάσεων (Ένας Παράγοντας) Ανεξάρτητη µεταβλητή (Παράγοντας): Treatment, µε 4 επίπεδα (1, 2, 3, 4), π.χ. 4 λιπάσµατα Εξαρτηµένη Μεταβλητή: y (π.χ. απόδοση) Πειραµατικό Σχέδιο: CRD, ισορροπηµένο µε 8 επαναλήψεις ανά επέµβαση. Στατιστική διαδικασία: One-way ANOVA (Ανάλυση Παραλλακτικότητας µε Ένα Παράγοντα) Επίπεδο σηµαντικότητας όλων των ελέγχων: προκαθορίστηκε σε α=0,05. Βήµα 1. Εισαγωγή εδοµένων Εισάγουµε τα δεδοµένα όπως στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα Β1). Εικόνα B1: Εισαγωγή δεδοµένων στο SPSS. Το παράθυρο του SPSS Data Editor. Βήµα 2. ιαδικασίες, Εντολές και Ρυθµίσεις Πραγµατοποιούµε τις παρακάτω ενέργειες (βλέπε και Εικόνα Β2). Analyze General Linear Model Univariate

16 16 Εικόνα Β2: Επιλογή Στατιστικής ιαδικασίας General Linear Model: Univariate Εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Univariate (Εικόνα Β3). Εικόνα Β3: το πλαίσιο διαλόγου Univariate Στο πεδίο Dependent Variable εισάγουµε την εξαρτηµένη µεταβλητή y και στο πεδίο Fixed Factors(s) τη µεταβλητή Treatment. Στο παράδειγµα αυτό θεωρούµε ότι τα επίπεδα του παράγοντα Λίπασµα (δηλαδή οι 4 επεµβάσεις) έχουν λελογισµένα προκαθοριστεί ή επιλεγεί. Πρόκειται δηλαδή να αναλύσουµε τα δεδοµένα µε βάση το µαθηµατικό πρότυπο των καθορισµένων επιδράσεων (fixed effects model). Αν οι 4

17 17 επεµβάσεις είχαν επιλεγεί µε τυχαία δειγµατοληψία από ένα µεγαλύτερο σύνολο (ή πληθυσµό) επεµβάσεων, τότε τα δεδοµένα θα έπρεπε να αναλυθούν µα βάση το µαθηµατικό πρότυπο των τυχαίων επιδράσεων (random effects model). Στην περίπτωση αυτή θα έπρεπε να εισάγουµε τη µεταβλητή Treatment στο πεδίο Random Factor(s). Θα παίρναµε τα ίδια αποτελέσµατα από την ANOVA, αλλά δεν θα είχε νόηµα να συγκρίνουµε τους µέσους όρους. Στην περίπτωση αυτή το ενδιαφέρον µας θα έπρεπε να εστιαστεί στον έλεγχο σχετικά µε το αν η παραλλακτικότητα µεταξύ των επεµβάσεων διαφέρει στατιστικά σηµαντικά από το µηδέν. Στη συνέχεια πατάµε στο πλήκτρο Options και στην περιοχή Display εφαρµόζουµε τις ρυθµίσεις που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα Β3). Εικόνα Β3: Το πλαίσιο διαλόγου Options. Πατάµε στο πλήκτρο Continue. Εµφανίζεται ξανά το πλαίσιο διαλόγου Univariate (Εικόνα Β4).

18 18 Εικόνα Β4: Το πλαίσιο διαλόγου Univariate Πατάµε στο πλήκτρο Post Hoc. Εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Post Hoc Multiple Comparisons (Εικόνα Β5). Εικόνα Β5: Το πλαίσιο διαλόγου Post Hoc Multiple Comparisons Εισάγουµε τη µεταβλητή Treatment στο πεδίο Post Hoc Tests for. Επιλέγουµε τη µέθοδο πολλαπλών συγκρίσεων που θεωρούµε ως την πιο κατάλληλη για την περίπτωση που εξετάζουµε. Στην περιοχή Equal Variances Assumed περιλαµβάνονται στατιστικοί έλεγχοι-διαδικασίες που είναι κατάλληλοι όταν ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων µεταξύ των επεµβάσεων που θέλουµε να συγκρίνουµε. Στην περιοχή Equal Variances Not Assumed περιλαµβάνονται στατιστικοί έλεγχοιδιαδικασίες που είναι κατάλληλοι όταν δεν ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων µεταξύ των επεµβάσεων που θέλουµε να συγκρίνουµε. Προσοχή,

19 19 στο σηµείο αυτό δεν γνωρίζουµε ακόµη αν ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων. Πατάµε στο πλήκτρο Continue. Εµφανίζεται ξανά το πλαίσιο διαλόγου Univariate (Εικόνα Β6). Εικόνα Β6: Το πλαίσιο διαλόγου Univariate Πατάµε στο πλήκτρο Plots. Εµφανίζεται το παρακάτω πλαίσιο διαλόγου (Εικόνα Β7). Εικόνα Β7: Το πλαίσιο διαλόγου Plots

20 20 Εισάγουµε τη µεταβλητή Treatment στο πεδίο Horizontal Axis και στη συνέχεια πατάµε στο πλήκτρο Add (βλέπε Εικόνες Β8 και Β9). Εικόνα Β8: Ρυθµίσεις για τη δηµιουργία συγκριτικού στατιστικού διαγράµµατος Εικόνα Β9: Ρυθµίσεις για τη δηµιουργία συγκριτικού στατιστικού διαγράµµατος Πατάµε στο πλήκτρο Continue. Εµφανίζεται ξανά το πλαίσιο διαλόγου Univariate (Εικόνα Β10).

21 21 Πατάµε στο πλήκτρο ΟΚ. Εικόνα Β10: Το πλαίσιο διαλόγου Univariate Βήµα 3. Έξοδος Αποτελεσµάτων και Σχολιασµός Στο παράθυρο αποτελεσµάτων του SPSS (SPSS Viewer) εµφανίζονται τα παρακάτω αποτελέσµατα: Dependent Variable: y Treatment Total Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 3,00 1, ,50, ,25 1, ,25 2, ,25 1, Στον πίνακα Descriptive Statistics παρουσιάζονται οι µέσοι όροι και οι τυπικές αποκλίσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής y ανά επέµβαση, αλλά και για το σύνολο των 32 µετρήσεων (βλέπε γραµµή µε τίτλο Total).

22 22 Levene's Test of Equality of Error Variances a Dependent Variable: y F df1 df2 Sig. 1, ,296 Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups. a. Design: Intercept+Treatment Στον πίνακα Levene's Test of Equality of Error Variances παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα του ελέγχου οµοιογένειας των παραλλακτικοτήτων. Αν η τιµή p του ελέγχου είναι µεγαλύτερη από 0,05 τότε η υπόθεση της οµοιογένειας δεν µπορεί να απορριφθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα p=0,296>0,05 και εποµένως δεν υπάρχουν (ή δεν ανιχνεύθηκαν) στατιστικά σηµαντικές διαφορές µεταξύ των παραλλακτικοτήτων των 4 επεµβάσεων, σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Dependent Variable: y Source Corrected Model Intercept Treatment Error Total Corrected Total a. Computed using alpha =,05 Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum Noncent. Observed of Squares df Mean Square F Sig. Parameter Power a 49,000 b 3 16,333 7,497,001 22,492, , , ,311, ,311 1,000 49, ,333 7,497,001 22,492,972 61, , , , b. R Squared =,445 (Adjusted R Squared =,386) Στον πίνακα Tests of Between-Subjects Effects παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ANOVA. Αγνοήστε τις γραµµές του πίνακα µε τίτλους Corrected Model, Intercept και Total. Εστιάστε την προσοχή σας µόνο στις γραµµές του πίνακα µε τίτλους Treatment, Error και Corrected Total. Στη στήλη µε την επικεφαλίδα Source εµφανίζονται οι πηγές παραλλακτικότητας. Στη στήλη µε την επικεφαλίδα Type III Sum of Squares παρουσιάζονται τα αθροίσµατα τετραγώνων για κάθε πηγή παραλλακτικότητας, στη στήλη µε την επικεφαλίδα df παρουσιάζονται οι αντίστοιχοι βαθµοί ελευθερίας, στη στήλη µε την επικεφαλίδα Mean Square εµφανίζονται τα αντίστοιχα µέσα τετράγωνα (παραλλακτικότητες), στη στήλη µε την επικεφαλίδα F παρουσιάζεται η τιµή του στατιστικού F, στη στήλη µε την επικεφαλίδα Sig εµφανίζεται η παρατηρούµενη στάθµη σηµαντικότητας (p-value) του F- test, αγνοήστε τη στήλη µε επικεφαλίδα Non-centrality Parameter (Παράµετρος Μη Κεντρικότητας) 2 και, τέλος, στη στήλη Observed Power παρουσιάζεται η παρατηρούµενη ισχύς του F-test. Η παρατηρούµενη ισχύς έχει υπολογιστεί για επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 (βλέπε υποσηµείωση a κάτω από την πίνακα). Με βάση την τιµή p=0,001<0,05 συµπεραίνουµε ότι µεταξύ των επεµβάσεων υπάρχουν στατιστικά σηµαντικές διαφορές (σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05) ή ισοδύναµα ο παράγοντας Λίπασµα επιδρά στατιστικά σηµαντικά στην εξαρτηµένη µεταβλητή y (σε επίπεδο 2 Η ποσότητα αυτή χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της παρατηρούµενης ισχύος του ελέγχου. Όταν η µηδενική υπόθεση ενός στατιστικού ελέγχου είναι αληθής τότε το στατιστικό του ελέγχου (t, F, X 2 ) ακολουθεί την αντίστοιχη Κεντρική Κατανοµή. Όταν, όµως, η εναλλακτική υπόθεση είναι αληθής τότε το στατιστικό του ελέγχου (t, F, X 2 ) ακολουθεί την αντίστοιχη Μη Κεντρική Κατανοµή, η οποία καθορίζεται από την παράµετρο Μη Κεντρικότητας (Non centrality parameter).

23 23 σηµαντικότητας α=0,05). Η παρατηρούµενη ισχύς του ελέγχου είναι ίση µε 0,972, τιµή µεγαλύτερη από το ελάχιστο αποδεκτό όριο του 0,800, όριο που τίθεται αρκετά συχνά στη σχετική βιβλιογραφία. Η παρατηρούµενη ισχύς εκφράζει την πιθανότητα ότι ο έλεγχος F θα ανιχνεύσει διαφορές µεταξύ των 4 επεµβάσεων-λιπασµάτων ως στατιστικά σηµαντικές σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05, τόσο µεγάλες όσο αυτές που παρατηρήθηκαν στο συγκεκριµένο πείραµα δείγµα. Μια πιο χαλαρή ερµηνεία είναι η εξής: η πιθανότητα οι παρατηρούµενες διαφορές µεταξύ των 4 επεµβάσεων-λιπασµάτων, οι οποίες εκφράζουν την επίδραση του παράγοντα Λίπασµα, να είναι πραγµατικές και να µην οφείλονται στην τύχη, είναι ίση µε 0,972 ή 97,2%. Κάτω από τον πίνακα της ANOVA εµφανίζεται η τιµή του συντελεστή προσδιορισµού R 2 (R Squared, βλέπε υποσηµείωση b). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, η τιµή του συντελεστή είναι ίση µε 0,445. Η τιµή αυτή δηλώνει ότι το 44,5% της ολικής παραλλακτικότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής y µπορεί να αιτιολογηθεί από τις διαφορές µεταξύ των 4 επεµβάσεων ή, ισοδύναµα, από την επίδραση του παράγοντα Λίπασµα. Το υπόλοιπο 1-0,445=0,555 (55,5%) µπορεί να αποδοθεί στο πειραµατικός σφάλµα. Ο συντελεστής προσδιορισµού υπολογίζεται από τη σχέση: R 2 ΑΤΕ =, ΣΑΤ όπου ΑΤΕ είναι το άθροισµα τετραγώνων που αντιστοιχεί στις επεµβάσεις (παράγοντας Λίπασµα ) και ΣAT το συνολικό άθροισµα τετραγώνων. Οι δύο ποσότητες ATE και ΣΑΤ υπολογίζονται στον πίνακα της ANOVA (βλέπε στήλη µε επικεφαλίδα Type III Sum of Squares). Για το συγκεκριµένο παράδειγµα είναι ΑΤΕ=49 και ΣΤΑ=110. Στις βιολογικές επιστήµες τιµές του συντελεστή προσδιορισµού R 2 µεγαλύτερες ή ίσες από 0,60 (60%) θεωρούνται εν γένει ικανοποιητικές. Σε άλλα επιστηµονικά πεδία (Κοινωνικές και Οικονοµικές Επιστήµες) ακόµη και τιµές του συντελεστή προσδιορισµού 0,20 θεωρούνται ικανοποιητικές. Το SPSS δεν υπολογίζει το συντελεστή παραλλακτικότητας CV. Συνεπώς θα πρέπει να κάνουµε εµείς τον υπολογισµό σύµφωνα µε τη σχέση: ΜΤΣ CV = 100 [1], Y όπου ΜΤΣ είναι το µέσο τετράγωνο που αντιστοιχεί στο σφάλµα (υπολογίζεται στον πίνακα της ANOVA) και Y είναι ο γενικός µέσος όρος της εξαρτηµένης µεταβλητής για το σύνολο των 32 µετρήσεων Από τον πίνακα της ANOVA έχουµε ότι ΜΤΣ=2,179 (η τιµή Mean Square που αντιστοιχεί στην πηγή παραλλακτικότητας Error) και από τον πίνακα Descriptive Statistics έχουµε Y =4,25 (βρίσκεται στη γραµµή µε τίτλο Total). Έτσι, µε αντικατάσταση στη σχέση [1] έχουµε: 2,179 CV = 100= 34,7%. 4,25 Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η τιµή του συντελεστή παραλλακτικότητας CV είναι αρκετά µεγαλύτερη από την αποδεκτή οριακή τιµή 20% (για πειράµατα αγρού) και πολύ µεγαλύτερη από το γενικό όριο οµοιογένειας του 10%. Γενικά, για να καταλήξουµε σε συµπέρασµα σχετικά µε την ακρίβεια του πειράµατος θα πρέπει να λάβουµε υπόψη το υλικό πειραµατισµού (πειραµατικές επεµβάσεις, καλλιεργητική φροντίδα, φυτικό υλικό) καθώς και τις ιδιαιτερότητες των χαρακτηριστικών που µετράµε (δηλαδή τις ιδιαιτερότητες των εξαρτηµένων µεταβλητών, όπως είναι για παράδειγµα το ύψος και η απόδοση). Σηµαντικό ρόλο παίζουν επίσης η εγκυρότητα και η αξιοπιστία (ακρίβεια) των οργάνων και συσκευών που χρησιµοποιούνται στις ποικίλες µετρήσεις.

24 24 Στον πίνακα Multiple Comparisons παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των συγκρίσεων των µέσων όρων ανά δύο. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των ελέγχων Tukey HSD (κατάλληλος για την περίπτωση που ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων) και Games-Howell (κατάλληλος για την περίπτωση που δεν ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων). Στη στήλη µε επικεφαλίδα Mean Difference παρουσιάζεται η διαφορά των µέσων όρων που συγκρίνονται κάθε φορά, στη στήλη µε επικεφαλίδα Std. Error παρουσιάζεται το αντίστοιχο (κοινό για όλες τις συγκρίσεις) τυπικό σφάλµα της διαφοράς, στη στήλη Sig. παρουσιάζεται η τιµή p του ελέγχου σηµαντικότητας της διαφοράς και στις δύο τελευταίες στήλες εµφανίζεται το κάτω (Lower Bound) και το άνω (Upper Bound) όριο ενός 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης (Confidence Interval) για τη διαφορά των δύο µέσων όρων που συγκρίνονται. Να τονιστεί ότι ορισµένα επιστηµονικά περιοδικά ζητούν από τους συγγραφείς να παρουσιάσουν µόνο το τυπικό σφάλµα των διαφορών των µέσων όρων. Σε περίπτωση που µια διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική, στο επίπεδο σηµαντικότητας που έχει δηλωθεί (στο παράδειγµα α=0,05), δίπλα και δεξιά από τη διαφορά των δύο µέσων όρων που συγκρίνονται εµφανίζεται ένα αστεράκι (*). Επίσης, αν η τιµή p που αντιστοιχεί στον έλεγχο σηµαντικότητας της διαφοράς είναι α=0,05 τότε αυτό σηµαίνει ότι η διαφορά των µέσων όρων διαφέρει στατιστικά σηµαντικά (σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05) από το µηδέν και συνεπώς οι δύο µέσοι όροι που συγκρίνονται διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά µεταξύ τους (σε α=0,05). Τέλος, αν το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη διαφορά των δύο µέσων όρων δεν περιέχει το µηδέν, τότε και το στοιχείο αυτό συνηγορεί υπέρ της στατιστικής σηµαντικότητας της διαφοράς. Οι διαδικασίες πολλαπλών συγκρίσεων µέσων όρων Student-Newman-Keuls (S-N-K), Tukey, Tukey B, Scheffe, Gabriel, Duncan, Ryan- Einot-Gabriel-Welsch F, Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Range, Hochberg και Waller- Duncan έχουν ως αποτέλεσµα και την κατασκευή ενός ακόµη πίνακα όπως αυτός του παραδείγµατος µε τίτλο Homogeneous Subsets. Στον πίνακα αυτό οµαδοποιούνται σε υποσύνολα (Subsets) οι µέσοι όροι που δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά µεταξύ τους. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, οι µέσοι όροι των επεµβάσεων 3 και 4 δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά (ανήκουν στο Subset 2). Οι µέσοι όροι των επεµβάσεων 3, 2 και 1 επίσης δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά (ανήκουν στο Subset 1). Για κάθε οµοιογενή οµάδα (subset) µέσων όρων υπολογίζεται η τιµή p του ελέγχου οµοιογένειας των µέσων όρων. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, για το subset 2 η τιµή p=0,052 (οριακά µεγαλύτερη από 0,05), εποµένως, µε αυστηρή ερµηνεία, οι µέσοι όροι που ανήκουν στο subset 2 δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05. Οµοίως, για το subset 1 η τιµή p=0,346>0,05 γεγονός που δηλώνει ότι οι 3 µέσοι όροι που περιλαµβάνονται στο subset 1 δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά µεταξύ τους.

25 25 Multiple Comparisons Dependent Variable: y Tukey HSD Games-Howell (I) Treatment (J) Treatment Based on observed means. *. The mean difference is significant at the,05 level Mean Difference 95% Confidence Interval (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound -,50,738,905-2,51 1,51-1,25,738,346-3,26,76-3,25*,738,001-5,26-1,24,50,738,905-1,51 2,51 -,75,738,741-2,76 1,26-2,75*,738,005-4,76 -,74 1,25,738,346 -,76 3,26,75,738,741-1,26 2,76-2,00,738,052-4,01,01 3,25*,738,001 1,24 5,26 2,75*,738,005,74 4,76 2,00,738,052 -,01 4,01 -,50,627,854-2,37 1,37-1,25,648,266-3,16,66-3,25*,921,018-5,96 -,54,50,627,854-1,37 2,37 -,75,491,449-2,18,68-2,75*,818,033-5,27 -,23 1,25,648,266 -,66 3,16,75,491,449 -,68 2,18-2,00,835,140-4,55,55 3,25*,921,018,54 5,96 2,75*,818,033,23 5,27 2,00,835,140 -,55 4,55 Homogeneous Subsets y Subset Treatment N 1 2 Tukey HSD a,b 1 8 3, , ,25 4, ,25 Sig.,346,052 Means for groups in homogeneous subsets are displayed. Based on Type III Sum of Squares The error term is Mean Square(Error) = 2,179. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 8,000. b. Alpha =,05. Ο πίνακας µε τίτλο Homogeneous Subsets διευκολύνει την κατάδειξη µε γράµµατα των µέσων όρων που διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά. Τα αποτελέσµατα των συγκρίσεων του παραδείγµατος µπορούν να παρουσιαστούν ως εξής (Πίνακας Χ):

26 26 Πίνακας Χ: Σύγκριση των Τεσσάρων Επεµβάσεων Επεµβάσεις Μέσος Τυπική Όρος Απόκλιση N Λίπασµα 1 3,00 b 1,51 8 Λίπασµα 2 3,50 b 0,93 8 Λίπασµα 3 4,25 ab 1,04 8 Λίπασµα 4 6,25 a 2,12 8 Μέσοι όροι που ακολουθούνται από διαφορετικά γράµµα µε έντονη γραφή διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 (ή P<0,05), σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα του ελέγχου Tukey HSD. ή (εναλλακτική διατύπωση) Μέσοι όροι που ακολουθούνται από κοινό γράµµα µε έντονη γραφή δεν διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά, σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 (ή P<0,05), σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα του ελέγχου Tukey HSD. Τέλος, εµφανίζεται το παρακάτω συγκριτικό διάγραµµα τύπου γραµµής (line plot) που οπτικοποιεί τις διαφορές των µέσων όρων που αντιστοιχούν στις 4 επεµβάσεις. Το διάγραµµα αυτού του τύπου (line plot) δεν είναι ο καλύτερος τρόπος για τη διαγραµµατική συγκριτική παρουσίαση των µέσων όρων των επεµβάσεων, εκτός και αν οι επεµβάσεις είναι ισαπέχοντα επίπεδα ενός ποσοτικού παράγοντα (για παράδειγµα 4 δόσεις φαρµάκου 0, 10, 20 και 30, ή ισαπέχοντα χρονικά διαστήµατα). Στη γενική περίπτωση είναι καλύτερα να παρουσιάζουµε τους µέσους όρους µε ραβδογράµµατα (Σχήµα Β1) δηλώνοντας µε γράµµατα τους µέσους όρους που διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά (για παράδειγµα σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα του ελέγχου Tukey HSD).

27 a 5 ΜΟ y (µονάδες µέτρησης) 4 3 b b ab Λίπασµα 1 Λίπασµα 2 Λίπασµα 3 Λίπασµα 4 Επεµβάσεις Σχήµα Β1: Συγκριτικό ραβδόγραµµα των µέσων όρων των 4 επεµβάσεων Αν για τις συγκρίσεις των µέσων όρων είχαµε επιλέξει το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς-εσ (Least Significant Difference-LSD) τότε το SPSS θα κατασκεύαζε τον αντίστοιχο πίνακα Multiple Comparisons, εµφανίζοντας ποιοι µέσοι όροι διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά, αλλά δεν θα µας υπολόγιζε την τιµή LSD. Στις βιολογικές επιστήµες η τιµή LSD (όταν χρησιµοποιείται αυτό το κριτήριο) συνήθως υπολογίζεται και παρουσιάζεται στους πίνακες ή τα διαγράµµατα σύγκρισης των µέσων όρων. Σε αυτήν την περίπτωση µπορούµε να εργαστούµε ως εξής: Η τιµή LSD α σε επίπεδο σηµαντικότητας α δίνεται από την παρακάτω σχέση: LSD α = t a 2ΜΤΣ / 2 [2], r όπου ΜΤΣ είναι το µέσο τετράγωνο που αντιστοιχεί στο Σφάλµα (υπολογίζεται από την ANOVA) και r είναι το πλήθος των µετρήσεων (επαναλήψεων) µε βάση τις οποίες υπολογίστηκαν οι αντίστοιχοι µέσοι όροι που θα συγκριθούν. Η σχέση αυτή ισχύει µόνο για ισορροπηµένα πειραµατικά σχέδια. Η ποσότητα t a / 2 αντιστοιχεί στην κρίσιµη (θεωρητική) τιµή της t-κατανοµής σε επίπεδο σηµαντικότητας α/2 (δίπλευρος έλεγχος) για βαθµούς ελευθερίας ίσους µε αυτούς που υπολογίζονται για το Σφάλµα από την ANOVA. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, ΜΤΣ=2,179, r=8 και t0,025 = 2,048 για 28 βαθµούς ελευθερίας (βε). Με αντικατάσταση στη σχέση [2] έχουµε: ΕΣ 0,05 ή LSD 0,05 = 2, ,179 =1,51 8 Εποµένως, µέσοι όροι που διαφέρουν σε απόλυτη τιµή πάνω από 1,51 µονάδες (της εξαρτηµένης µεταβλητής y) διαφέρουν και στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 σύµφωνα µε το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς (ΕΣ ). Τα αποτελέσµατα των συγκρίσεων του παραδείγµατος µπορούν να παρουσιαστούν ως εξής (Πίνακας ΧΧ και Σχήµατα Β2-Β3):

28 28 Πίνακας ΧΧ: Σύγκριση των Τεσσάρων Επεµβάσεων Επεµβάσεις Μέσος Τυπική Όρος Απόκλιση N Λίπασµα 1 3,00 1,51 8 Λίπασµα 2 3,50 0,93 8 Λίπασµα 3 4,25 1,04 8 Λίπασµα 4 6,25 2,12 8 LSD 0,05 1,51 7 LSD 0,05 =1, ΜΟ y (µονάδες µέτρησης) Λίπασµα 1 Λίπασµα 2 Λίπασµα 3 Λίπασµα 4 Επεµβάσεις Σχήµα Β2: Συγκριτικό ραβδόγραµµα των µέσων όρων των 4 επεµβάσεων ΜΟ y (µονάδες µέτρησης) Λίπασµα 1 Λίπασµα 2 Λίπασµα 3 Λίπασµα 4 Επεµβάσεις Σχήµα Β3: Συγκριτικό ραβδόγραµµα των µέσων όρων των 4 επεµβάσεων. Η κάθετη έντονη γραµµή αντιστοιχεί στην τιµή LSD 0,05 =1,51

29 29 Αν το επίπεδο σηµαντικότητας είχε προκαθοριστεί σε α=0,01 τότε η κρίσιµη τιµή της t- κατανοµής για 28 βε και επίπεδο σηµαντικότητας α=(0,01/2)=0,005 θα ήταν ίση µε 2,763 και συνεπώς η τιµή LSD 0,01 =1,82. Παρατηρούµε ότι η τιµή LSD για α=0,01 είναι µεγαλύτερη από την αντίστοιχη τιµή για α=0,05. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού το επίπεδο σηµαντικότητας µειώθηκε από 0,05 σε 0,01. Ο στατιστικός έλεγχος γίνεται πιο αυστηρός ( συντηρητικός ) µε αποτέλεσµα να απαιτούνται µεγαλύτερες διαφορές (σε απόλυτη τιµή) µεταξύ των µέσων όρων ώστε να ανιχνευθούν ως στατιστικά σηµαντικές σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,01. Στην περίπτωση που είναι επιθυµητή η σύγκριση των µέσων όρων σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,05 µε το κριτήριο Bonferroni τότε η LSD πρέπει να υπολογιστεί για επίπεδο σηµαντικότητας: a c = πλήθος 0,05 συγκρίσεων ελέγχων Στο συγκεκριµένο παράδειγµα θέλουµε να συγκρίνουµε k=4 µέσους όρους. Όλες οι δυνατές συγκρίσεις-έλεγχοι, ανά δύο, είναι σε πλήθος k(k-1)/2 δηλαδή (4 3)/2=6. Συνεπώς, µε βάση το κριτήριο-διόρθωση του Bonferroni (Bonferroni adjustment) το επίπεδο σηµαντικότητας κάθε ελέγχου-σύγκρισης πρέπει να διορθωθεί σε: a c 0,05 = 6 0,0083 Για να υπολογιστεί η LSD 0,05 Bonferroni πρέπει να βρούµε την κρίσιµη τιµή της t- κατανοµής για επίπεδο σηµαντικότητας a c /2 δηλαδή για (0,0083)/2 0,0042. Η κρίσιµη τιµή της t-κατανοµής σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0042 και για 28 βε είναι ίση µε 2,839. Με αντικατάσταση στη σχέση [2] η Ελάχιστη Σηµαντική ιαφορά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05, αλλά µε τη διόρθωση κατά Bonferroni υπολογίζεται σε: LSD 0,05 Bonferroni = 2, ,179 =2,095 2,10. 8 Εποµένως, µέσοι όροι που διαφέρουν σε απόλυτη τιµή πάνω από 2,10 µονάδες (της εξαρτηµένης µεταβλητής y) διαφέρουν και στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 σύµφωνα µε το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς (ΕΣ ) κατά Bonferroni. Προσοχή: Η διόρθωση του Bonferroni οδηγεί σε µια από τις πιο συντηρητικές-αυστηρές µεθόδους σύγκρισης µέσων όρων. Τα αποτελέσµατα των συγκρίσεων του παραδείγµατος µπορούν να παρουσιαστούν ως εξής (Πίνακας ΧΧΧ): Πίνακας ΧΧΧ: Σύγκριση των Τεσσάρων Επεµβάσεων Επεµβάσεις Μέσος Τυπική Όρος Απόκλιση N Λίπασµα 1 3,00 1,51 8 Λίπασµα 2 3,50 0,93 8 Λίπασµα 3 4,25 1,04 8 Λίπασµα 4 6,25 2,12 8 LSD 0,05 Bonferroni 2,10 Στην περίπτωση που στο συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα δεν ίσχυε η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων και είχαµε επιλέξει µία από τις µεθόδους Tamhane, Dunnett

30 30 T3, Games-Howell ή Dunnett C µπορούµε να παρουσιάσουµε τη Μικρότερη Παρατηρούµενη Σηµαντική ιαφορά (Smallest Observed Significant Difference-SOSD). Στους παραπάνω ελέγχους για κάθε διαφορά µέσων όρων δεν υπολογίζεται ένα κοινό τυπικό σφάλµα. Υπολογίζονται εν γένει διαφορετικές τιµές σφάλµατος. Στον πίνακα Multiple Comparisons και στο τµήµα του πίνακα που αφορά τα αποτελέσµατα του ελέγχου Games-Howell η µικρότερη παρατηρούµενη στατιστικά σηµαντική διαφορά (σε α=0,05) είναι σε απόλυτη τιµή ίση µε 2,75 και αντιστοιχεί στη σύγκριση των µέσων όρων των επεµβάσεων 4 και 2 (p=0,033). Τα αποτελέσµατα των συγκρίσεων του παραδείγµατος µπορούν να παρουσιαστούν ως εξής (Πίνακας ΧΧΧΧ): Πίνακας ΧΧΧΧ: Σύγκριση των Τεσσάρων Επεµβάσεων Επεµβάσεις Μέσος Τυπική Όρος Απόκλιση N Λίπασµα 1 3,00 1,51 8 Λίπασµα 2 3,50 0,93 8 Λίπασµα 3 4,25 1,04 8 Λίπασµα 4 6,25 2,12 8 *Games Howell SOSD 0,05 2,75 * Smallest Observed Significant Difference Εποµένως, µέσοι όροι που διαφέρουν σε απόλυτη τιµή πάνω από 2,75 µονάδες (της εξαρτηµένης µεταβλητής y) διαφέρουν και στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα του ελέγχου Games-Howell. Παρατηρήσεις Η εφαρµογή του ελέγχου Tukey βασίζεται στον υπολογισµό της τιµής HSD (Honestly Significant Difference-Πραγµατική Σηµαντική ιαφορά). Για να ελεγχθεί η µηδενική υπόθεση ότι όλοι οι µέσοι όροι είναι ίση µεταξύ τους υπολογίζεται το στατιστικό: όπου X i και X i X j q=, SE X j είναι οι µέσοι όροι των επεµβάσεων i και j ( X i είναι ο µεγαλύτερος µέσος όρος) και SE είναι το (κοινό) τυπικό σφάλµα στην εκτίµηση των µέσων όρων. Το τυπικό σφάλµα SE δίνεται από την παρακάτω σχέση: ΜΤΣ SE= [3], r όπου ΜΤΣ είναι το µέσο τετράγωνο του σφάλµατος (υπολογίζεται στην ANOVA) και r είναι το πλήθος των µετρήσεων (επαναλήψεων) µε βάση τις οποίες υπολογίστηκαν οι αντίστοιχοι µέσοι όροι που θα συγκριθούν. Η σχέση [3] ισχύει µόνο για ισορροπηµένα πειραµατικά σχέδια. Στη συνέχεια, το στατιστικό q συγκρίνεται µε την κρίσιµη τιµή q a,ν, k, η οποία ονοµάζεται Studentized Range και εξαρτάται από το επίπεδο σηµαντικότητας α, τους βαθµός ελευθερίας ν του σφάλµατος (από ANOVA) και από το πλήθος k των µέσων όρων που πρόκειται να συγκριθούν. Η κρίσιµη τιµή λαµβάνεται από ειδικούς πίνακες (βλέπε Παράρτηµα 4). Για το συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα

31 31 έχουµε α=0,05, ν=28 και k=4. Από τους ειδικούς πίνακες βρίσκουµε ότι τιµή HSD δίνεται από την παρακάτω σχέση: q a, k,ν =3,863. Η HSD= q a, k,ν SE HSD=3,863 2,179 =3,863 0,522=2,016 8 Εποµένως, µέσοι όροι που διαφέρουν σε απόλυτη τιµή πάνω από 2,016 µονάδες (της εξαρτηµένης µεταβλητής y) διαφέρουν και στατιστικά σηµαντικά σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα του ελέγχου Tukey HSD. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται όταν την κρίσιµη τιµή της t-κατανοµής την αναζητούµε στους ειδικούς πίνακες, οι οποίοι συνήθως δίνονται στις τελευταίες σελίδες των βιβλίων στατιστικής και βιοµετρίας. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι τιµές της t-κατανοµής αφορούν σε δίπλευρους ελέγχους µε αποτέλεσµα την κρίσιµη τιµή, για παράδειγµα, σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,025 να την αναζητούµε στη στήλη που αφορά επίπεδο σηµαντικότητας 0,05 (η συνολική πιθανότητα 0,05, λόγω συµµετρίας της t-κατανοµής, µοιράζεται σε 0,025 στη δεξιά ουρά και 0,025 στην αριστερή ουρά ). Αντί για τους πίνακες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις δυνατότητες του EXCEL για να βρίσκουµε τις κρίσιµες τιµές όχι µόνο της t, αλλά και της F και Χ 2 κατανοµής. Στο EXCEL πραγµατοποιούµε τις παρακάτω ενέργειες: Εισαγωγή Συνάρτηση Θα εµφανιστεί το παρακάτω πλαίσιο διαλόγου Εισαγωγή Συνάρτησης (Εικόνα Β11). Εικόνα Β11: Το πλαίσιο διαλόγου Εισαγωγή συνάρτησης του EXCEL Στο πεδίο Επιλογή κατηγορίας επιλέγουµε Στατιστικές (Εικόνα Β12).

32 32 Εικόνα Β12: Επιλογή κατηγορίας συναρτήσεων Στο πεδίο Επιλογή συνάρτησης αναζητούµε και επιλέγουµε τη συνάρτηση TINV (Εικόνα Β13). Εικόνα Β12: Επιλογή συνάρτησης TINV Πατάµε στο πλήκτρο ΟΚ. Εµφανίζεται το παρακάτω πλαίσιο διαλόγου (Εικόνα Β13).

33 33 Εικόνα Β13: Το πλαίσιο διαλόγου Ορίσµατα συνάρτησης της TINV Στο πεδίο Probability εισάγουµε το επιθυµητό επίπεδο σηµαντικότητας του ελέγχου (ΠΡΟΣΟΧΗ! το EXCEL θεωρεί δίπλευρο έλεγχο), για παράδειγµα 0,05. Στο πεδίο Deg_freedom εισάγουµε τους επιθυµητούς βαθµούς ελευθερίας, για παράδειγµα 28 (Εικόνα Β14). Εικόνα Β14: Εισαγωγή ορισµάτων της συνάρτησης TINV Το EXCEL υπολογίζει την κρίσιµη τιµή της t-κατανοµής (για δίπλευρο έλεγχο), σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 και για 28 βαθµούς ελευθερίας. Η κρίσιµη τιµή είναι 2, ,048. Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να βρούµε κρίσιµες τιµές για την F-κατανοµή. Επαναλαµβάνουµε τα ίδια βήµατα όπως στα προηγούµενα µε τη διαφορά ότι θα αναζητήσουµε τη συνάρτηση FINV.

34 34 Εικόνα Β15: Το πλαίσιο διαλόγου Ορίσµατα συνάρτησης της FINV Στο πεδίο Probability εισάγουµε το επιθυµητό επίπεδο σηµαντικότητας του ελέγχου, για παράδειγµα 0,05. Στο πεδίο Deg_freedom1 εισάγουµε τους επιθυµητούς βαθµούς ελευθερίας του αριθµητή του στατιστικού F, για παράδειγµα 3, και στο πεδίο Deg_freedom2 εισάγουµε τους επιθυµητούς βαθµούς ελευθερίας του παρονοµαστή του στατιστικού F, για παράδειγµα 28. Η ζητούµενη κρίσιµη τιµή της F-κατανοµής είναι περίπου ίση µε 2,947 (Εικόνα Β16). Εικόνα Β16: Αποτελέσµατα εφαρµογής της συνάρτησης FINV Για την αναζήτηση κρίσιµων τιµών της Χ 2 -κατανοµής θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση CHIINV.

35 35 Εικόνα Β17: Αποτελέσµατα της συνάρτησης CHINV Στο παράδειγµα της παραπάνω εικόνας η κρίσιµη τιµή της Χ 2 -κατανοµής σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,001 και για 25 βε είναι περίπου ίση µε 52,620. Σηµειώσεις αναγνώστη:

36 36 Σύγκριση Οµάδων Μέσων Όρων (Αντιθέσεις-Contrasts) Έστω ότι στο προηγούµενο αριθµητικό παράδειγµα είχε ενδιαφέρον να συγκριθεί ο µέσος όρος των επεµβάσεων 1 και 3 (ως οµάδα) µε το µέσο όρο των επεµβάσεων 2 και 4 (ως οµάδα). Αυτού του είδους οι συγκρίσεις ονοµάζονται αντιθέσεις (contrasts) και (θεωρητικά) προκαθορίζονται από τον ερευνητή πριν την εγκατάσταση του πειράµατος (a priori planned contrasts). ιαδικασίες, Εντολές και Ρυθµίσεις Πραγµατοποιείστε τις παρακάτω ενέργειες (βλέπε και Εικόνα Γ1). Analyze Compare Means One-Way ANOVA Εικόνα Γ1: Επιλογή Στατιστικής ιαδικασίας Compare Means: One-Way ANOVA Εισάγουµε τη µεταβλητή y στο πεδίο Dependent List και τη µεταβλητή Treatment στο πεδίο Factor (Εικόνα Γ2)

37 37 Εικόνα Γ2: Το πλαίσιο διαλόγου One-Way ANOVA Πατάµε στο πλήκτρο Contrasts. Θα εµφανιστεί το παρακάτω πλαίσιο διαλόγου (One- Way ANOVA: Contrasts). Εικόνα Γ3: Το πλαίσιο διαλόγου Contrasts Στο πεδίο Coefficients εισάγουµε τον αριθµό 1 και πατάµε στο πλήκτρο Add (Εικόνα Γ4). Εικόνα Γ4: Καθορισµός του πρώτου συντελεστή της αντίθεσης

38 38 Επαναλάβατε τη διαδικασία καταχωρώντας διαδοχικά και µε αυτή τη σειρά τους αριθµούς -1, 1 και -1. Οι συντελεστές µε θετικό πρόσηµο οµαδοποιούν τις επεµβάσεις 1 και 3 ενώ οι συντελεστές µε αρνητικό τις επεµβάσεις 2 και 4. Θα πρέπει το άθροισµα των 4 συντελεστών να είναι ίσο µε µηδέν (βλέπε περιοχή Coefficient Total: 0,000). Πατήστε στο πλήκτρο Continue.

39 39 Πατήστε στο πλήκτρο Options. Στην περιοχή Statistics εφαρµόστε τις ρυθµίσεις που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Πατήστε στο πλήκτρο Continue. Πατήστε στο πλήκτρο OK. Έξοδος Αποτελεσµάτων Descriptives y Total 95% Confidence Interval for Mean N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound Minimum Maximum 8 3,00 1,512,535 1,74 4, ,50,926,327 2,73 4, ,25 1,035,366 3,38 5, ,25 2,121,750 4,48 8, ,25 1,884,333 3,57 4,

40 40 Test of Homogeneity of Variances y Levene Statistic df1 df2 Sig. 1, ,296 ANOVA y Between Groups Within Groups Total Sum of Squares df Mean Square F Sig. 49, ,333 7,497,001 61, , , Contrast Coefficients Contrast 1 Treatment Contrast Tests y Assume equal variances Does not assume equal Contrast 1 1 Value of Contrast Std. Error t df Sig. (2-tailed) -2,50 1,044-2,395 28,024-2,50 1,044-2,395 19,431,027 Σχόλια Από τον έλεγχο του Levene διαπιστώνεται ότι η υπόθεση της οµοιογένειας των παραλλακτικοτήτων µεταξύ των τεσσάρων οµάδων δεν µπορεί να απορριφθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 (p=0,296). Από τον πίνακα µε τίτλο Contrasts Tests διαπιστώνεται ότι η αντίθεση είναι στατιστικά σηµαντική σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 (από τη γραµµή Assume equal variances έχουµε p=0,024). Σε περίπτωση που δεν ίσχυε η οµοιογένεια παραλλακτικοτήτων τότε το συµπέρασµα σχετικά µε τη στατιστική σηµαντικότητα της αντίθεσης θα έπρεπε να εξαχθεί από την τιµή p της γραµµής Does not assume equal.

41 41 Ενότητα Β Ανάλυση Παραλλακτικότητας (ANOVA) Παραγοντικών Πειραµάτων (General Linear Models-GLM) Viola adorata

42 42 Ταυτότητα Πειραµάτων 1. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα: 4 4 Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Split plot Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 FB (sub plot factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 64 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Βλέπε Εικόνα Α1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα Α2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα Α3 2. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (CRD) Παραγοντικό Πείραµα: 4 4 Πειραµατικό σχέδιο: CRD ιάταξη: Split plot Πλήθος Επαναλήψεων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 FB (sub plot factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Replication µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 64 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Βλέπε Εικόνα B1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα B2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα B3 3. Παραγοντικό Πείραµα Strip plot ή Split block (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα: 4 4 Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Strip plot ή Split block Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (horizontal strip factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 FB (vertical strip factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 64 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Βλέπε Εικόνα Γ1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα Γ2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα Γ3

43 43 4. Παραγοντικό Πείραµα Split-split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα: Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Split-split plot Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 FB (sub plot factor) µε 2 επίπεδα: 1 έως 2 FC (sub-sub plot factor) µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 72 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Βλέπε Εικόνα 1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα 2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα 3 5. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (a), 3 παράγοντες: 1 main & 2 sub plot Παραγοντικό Πείραµα: Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Split plot (1 main plot factor, 2 sub plot factors) Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 FB (sub plot factor) µε 2 επίπεδα: 1 έως 2 FC (sub plot factor) µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 72 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Όπως στην Εικόνα 1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα E2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα E3 6. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (b), 3 παράγοντες: 2 main & 1 sub plot Παραγοντικό Πείραµα: Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Split plot (2 main plot factors, 1 sub plot factor) Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 FB (main plot factor) µε 2 επίπεδα: 1 έως 2 FC (sub plot factor) µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 72 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Όπως στην Εικόνα 1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα ΣΤ2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα ΣΤ3

44 44 7. Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα: 4 4 Πειραµατικό σχέδιο: RCBD Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 FB µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 64 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Όπως στην Εικόνα Α1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα Ζ2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα Ζ3 8. Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (CRD) Παραγοντικό Πείραµα: 4 4 Πειραµατικό σχέδιο: CRD Πλήθος Επαναλήψεων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 FB µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Replication µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 64 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Όπως στην Εικόνα Β1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα Η2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα Η3 9. Παραγοντικό Πείραµα µε 3 παράγοντες (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα: Πειραµατικό σχέδιο: RCBD Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 FB µε 2 επίπεδα: 1 έως 2 FC µε 3 επίπεδα: 1 έως 3 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 72 Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Όπως στην Εικόνα 1 Εντολές: Βλέπε Εικόνα Θ2 Αποτελέσµατα (Πίνακας ANOVA): Βλέπε Εικόνα Θ3

45 45 1. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (RCBD) Εικόνα A1: Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Split plot (RCBD)

46 Εικόνα Α2: Εντολές στο SPSS: Split plot (RCBD)

47 47 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Block FA FA * Block FB FA * FB Hypothesis , , ,350,001 Error 2842, ,624 a Hypothesis 2842, ,624 13,794,001 Error 618, ,699 b Hypothesis 2848, ,341 13,819,001 Error 618, ,699 b Hypothesis 618, ,699 3,382,004 Error 731, ,311 c Hypothesis 170, ,846 2,799,054 Error 731, ,311 c Hypothesis 586, ,163 3,208,006 Error 731, ,311 c Εικόνα Α3: Πίνακας ANOVA: Split plot (RCBD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η πηγή παραλλακτικότητας FA*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error a (Main plot analysis). Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο σφάλµα Error b (Sub plot analysis). Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος a (Error a)=68,699 (9 β.ε.) και µέσο τετράγωνο σφάλµατος b (Error b)=20,311 (36 β.ε.). Σηµειώσεις αναγνώστη:

48 48 2. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (CRD) Εικόνα B1: Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Split plot (CRD)

49 Εικόνα B2: Εντολές στο SPSS: Split plot (CRD)

50 50 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept FA FA * Replication FB FA * FB Hypothesis , , ,815,000 Error 3461, ,431 a Hypothesis 2848, ,341 3,291,058 Error 3461, ,431 a Hypothesis 3461, ,431 14,201,000 Error 731, ,311 b Hypothesis 170, ,846 2,799,054 Error 731, ,311 b Hypothesis 586, ,163 3,208,006 Error 731, ,311 b Εικόνα B3: Πίνακας ANOVA: Split plot (CRD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η πηγή παραλλακτικότητας FA*Replication αντιστοιχεί στο σφάλµα Error a (Main plot analysis). Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο σφάλµα Error b (Sub plot analysis). Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος a (Error a)=288,431 (12 β.ε.) και µέσο τετράγωνο σφάλµατος b (Error b)=20,311 (36 β.ε.). Παρατηρήσεις: 1. Στον πίνακα ANOVA το άθροισµα τετραγώνων που αντιστοιχεί στην πηγή παραλλακτικότητας FA*Replication υπολογιστικά είναι ίσο µε το άθροισµα τετραγώνων της πηγής Replication(FA). Ο προηγούµενος συµβολισµός είναι ο ορθός και δηλώνει ότι τα επίπεδα του παράγοντα που εµφανίζεται εκτός παρένθεσης είναι εµφωλευµένα µέσα (εντός) στα επίπεδα του παράγοντα που εµφανίζεται µέσα στην παρένθεση (ιεραρχική δοµή παραγόντων). 2. Σε παραγοντικά πειράµατα που βασίζονται στο CRD, στο αντίστοιχο µαθηµατικό υπόδειγµα δεν περιλαµβάνεται όρος που αντιστοιχεί στην κύρια επίδραση των επαναλήψεων (Replication).

51 51 3. Παραγοντικό Πείραµα Strip plot ή Split block (RCBD) Εικόνα Γ1: Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Strip plot ή Split Block (RCBD)

52 Εικόνα Γ2: Εντολές στο SPSS: Strip plot ή Split Block (RCBD)

53 53 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Block FA FA * Block FB FB * Block FA * FB Hypothesis , , ,350,001 Error 2842, ,624 a Hypothesis 2842, ,624 16,605,003 Error 332,323 5,823 57,069 b Hypothesis 2848, ,341 13,819,001 Error 618, ,699 c Hypothesis 618, ,699 2,959,014 Error 626, ,219 d Hypothesis 170, ,846 4,905,027 Error 104, ,588 e Hypothesis 104, ,588,499,862 Error 626, ,219 d Hypothesis 586, ,163 2,806,018 Error 626, ,219 d Εικόνα Γ3: Πίνακας ANOVA: Strip plot ή Split Block (RCBD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η πηγή παραλλακτικότητας FA*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error a. Η πηγή παραλλακτικότητας FB*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error b. Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο σφάλµα Error c. Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος a (Error a)=68,699 (9 β.ε.), µέσο τετράγωνο σφάλµατος b (Error b)=11,588 (9 β.ε.) και µέσο τετράγωνο σφάλµατος c (Error c)=23,219 (27 β.ε.). Σηµειώσεις αναγνώστη:

54 54 4. Παραγοντικό Πείραµα Split-split plot (RCBD) Εικόνα 1: Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Split-split plot (RCBD)

55 Εικόνα 2: Εντολές στο SPSS: Split-split plot (RCBD)

56 56 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Block FA FA * Block FB FA * FB FA * FB * Block FC FA * FC FB * FC FA * FB * FC Hypothesis 68907, , ,007,000 Error 143, ,819 a Hypothesis 143, ,819 2,567,150 Error 111, ,626 b Hypothesis 443, ,844 11,910,008 Error 111, ,626 b Hypothesis 111, ,626 2,140,147 Error 78, ,705 c Hypothesis 706, ,880 81,206,000 Error 78, ,705 c Hypothesis 40, ,344 2,337,152 Error 78, ,705 c Hypothesis 78, ,705 1,860,091 Error 168, ,681 d Hypothesis 962, , ,802,000 Error 168, ,681 d Hypothesis 13, ,277,700,597 Error 168, ,681 d Hypothesis 127, ,915 13,656,000 Error 168, ,681 d Hypothesis 44, ,005 2,351,072 Error 168, ,681 d Εικόνα 3: Πίνακας ANOVA: Split-split plot (RCBD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η πηγή παραλλακτικότητας FA*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error a (Main plot analysis). Η πηγή παραλλακτικότητας FA*FB*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error b (Sub plot analysis). Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο σφάλµα Error c (Sub-sub plot analysis). Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος a (Error a)=18,626 (6 β.ε.), µέσο τετράγωνο σφάλµατος b (Error b)=8,705 (9 β.ε.) και µέσο τετράγωνο σφάλµατος c (Error c)=4,681 (36 β.ε.).

57 57 5. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (a), 3 factors: 1 main & 2 sub plot Εικόνα E2: Εντολές στο SPSS: Split plot (a), 3 factors, (RCBD)

58 58 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Block FA FA * Block FB FC FB * FC FA * FB FA * FC FA * FB * FC Hypothesis 68907, , ,007,000 Error 143, ,819 a Hypothesis 143, ,819 2,567,150 Error 111, ,626 b Hypothesis 443, ,844 11,910,008 Error 111, ,626 b Hypothesis 111, ,626 3,396,008 Error 246, ,485 c Hypothesis 706, , ,867,000 Error 246, ,485 c Hypothesis 962, ,168 87,719,000 Error 246, ,485 c Hypothesis 127, ,915 11,652,000 Error 246, ,485 c Hypothesis 40, ,344 3,709,032 Error 246, ,485 c Hypothesis 13, ,277,597,666 Error 246, ,485 c Hypothesis 44, ,005 2,006,110 Error 246, ,485 c Εικόνα E3: Πίνακας ANOVA: Split plot (a), 3 factors, (RCBD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η πηγή παραλλακτικότητας FA*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error a (Main plot analysis). Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο σφάλµα Error b (Sub plot analysis). Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος a (Error a)=18,626 (6 β.ε.) και µέσο τετράγωνο σφάλµατος b (Error b)=5,485 (45 β.ε.).

59 59 6. Παραγοντικό Πείραµα Split plot (b), 3 factors: 2 main & 1 sub plot Εικόνα ΣΤ2: Εντολές στο SPSS: Split plot (b), 3 factors, (RCBD)

60 60 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Block FA FB FA * FB FA * FB * Block FC FA * FC FB * FC FA * FB * FC Επεξηγήσεις: Hypothesis 68907, , ,007,000 Error 143, ,819 a Hypothesis 143, ,819 3,773,034 Error 190, ,673 b Hypothesis 443, ,844 17,505,000 Error 190, ,673 b Hypothesis 706, ,880 55,777,000 Error 190, ,673 b Hypothesis 40, ,344 1,605,233 Error 190, ,673 b Hypothesis 190, ,673 2,708,007 Error 168, ,681 c Hypothesis 962, , ,802,000 Error 168, ,681 c Hypothesis 13, ,277,700,597 Error 168, ,681 c Hypothesis 127, ,915 13,656,000 Error 168, ,681 c Hypothesis 44, ,005 2,351,072 Error 168, ,681 c Εικόνα ΣΤ3: Πίνακας ANOVA: Split plot (b), 3 factors, (RCBD) Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η πηγή παραλλακτικότητας FA*FB*Block αντιστοιχεί στο σφάλµα Error a (Main plot analysis). Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο σφάλµα Error b (Sub plot analysis). Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος a (Error a)=12,673 (15 β.ε.) και µέσο τετράγωνο σφάλµατος b (Error b)=4,681 (36 β.ε.).

61 61 7. Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (RCBD) Εικόνα Ζ2: Εντολές στο SPSS: Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (RCBD)

62 62 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Block FA FB FA * FB Hypothesis 68907, , ,007,000 Error 143, ,819 a Hypothesis 143, ,819 2,001,123 Error 1505, ,903 b Hypothesis 443, ,844 9,281,000 Error 1505, ,903 b Hypothesis 706, ,880 29,573,000 Error 1505, ,903 b Hypothesis 40, ,344,851,432 Error 1505, ,903 b Εικόνα Ζ3: Πίνακας ANOVA: Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (RCBD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο Πειραµατικό Σφάλµα. Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος=23,903 (63 β.ε.). Σηµειώσεις αναγνώστη:

63 63 8. Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (CRD) Εικόνα Η2: Εντολές στο SPSS: Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (CRD)

64 64 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Corrected Model 1191,256 a 5 238,251 9,534,000 Intercept 68907, , ,370,000 FA 443, ,844 8,877,000 FB 706, ,880 28,286,000 FA * FB 40, ,344,814,447 Error 1649, ,990 Total 71747, Corrected Total 2840, a. R Squared =,419 (Adjusted R Squared =,375) Εικόνα Η3: Πίνακας ANOVA: Παραγοντικό Πείραµα µε 2 παράγοντες (CRD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο Πειραµατικό Σφάλµα. Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος=24,990 (66 β.ε.). Σηµειώσεις αναγνώστη:

65 65 9. Παραγοντικό Πείραµα µε 3 παράγοντες (RCBD) Εικόνα Θ2: Εντολές στο SPSS: Παραγοντικό Πείραµα µε 3 παράγοντες (RCBD)

66 66 Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept Hypothesis 68907, , ,007,000 Error 143, ,819 a Block Hypothesis 143, ,819 6,801,001 Error 358, ,031 b FA Hypothesis 443, ,844 31,551,000 Error 358, ,031 b FB Hypothesis 706, , ,533,000 Error 358, ,031 b FC Hypothesis 962, ,168 68,432,000 Error 358, ,031 b FA * FB Hypothesis 40, ,344 2,893,065 Error 358, ,031 b FA * FC Hypothesis 13, ,277,466,760 Error 358, ,031 b FB * FC Hypothesis 127, ,915 9,090,000 Error 358, ,031 b Hypothesis 44, ,005 1,565,198 FA * FB * FC Error 358, ,031 b Εικόνα Θ3: Πίνακας ANOVA: Παραγοντικό Πείραµα µε 3 παράγοντες (RCBD) Επεξηγήσεις: Τα στοιχεία του πίνακα που είναι χρήσιµα για τα στατιστικά συµπεράσµατα δηλώνονται µε κίτρινη επισήµανση και έντονη γραφή. Η τελευταία γραµµή του πίνακα µε την ένδειξη Error αντιστοιχεί στο Πειραµατικό Σφάλµα. Συνεπώς: Μέσο τετράγωνο σφάλµατος=7,031 (51 β.ε.). Σηµειώσεις αναγνώστη:

67 67 Ενότητα Γ Συνδυασµένη Ανάλυση Πειραµάτων ικτυωµένων στο Χώρο και στο Χρόνο (General Linear Models-GLM) Viola adorata

68 68 Πειράµατα ικτυωµένα στο Χώρο και στο Χρόνο: Ταυτότητα Πειραµάτων 1. One Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations (or Combined over Years). 2. One Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with new Locations each Year. 3. Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with the same Locations each Year but Randomized. 4. Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Locations and Randomization each Year (Perennial Crops). 5. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations (or Combined over Years). 6. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split plot Combined over Locations. 7. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location but Randomized each Year. 8. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year. 9. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location but Randomized each Year. 10. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year. 11. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with new Locations each Year. 12. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years with new Locations each Year. Παρατηρήσεις: Για την περιγραφή των παραπάνω πειραµάτων χρησιµοποιήθηκε η ορολογία του λογισµικού MSTAT. Η δοµή των πινάκων ANOVA που αντιστοιχούν στα παραπάνω πειράµατα βασίζεται στα υποδείγµατα του λογισµικού MSTAT. Στα επόµενα οι παράγοντες Year και Location θεωρούνται καθορισµένοι (fixed effects) (Steel and Torrie 1986, Steel, Torrie and Dickey 1997).

69 69 Περιγραφή Μεθοδολογίας Η ανάλυση των δεδοµένων θα γίνει µε χρήση εντολών σε µορφή κώδικα του SPSS σε τέσσερα βήµατα: 1. Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS 2. Εκκίνηση του Syntax Editor του SPSS 3. Πληκτρολόγηση Εντολών στον Syntax Editor 4. Εκτέλεση Εντολών Παρατήρηση: Για τη διευκόλυνση της πληκτρολόγησης εντολών στον Syntax Editor µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τη δυνατότητα του SPSS να παράγει αυτόµατα κώδικα, δηλαδή ακολουθίες εντολών, διαδικασιών και ρυθµίσεων. Εκείνο που έχετε να κάνετε είναι το εξής: σε κάθε στατιστική διαδικασία, αφού αρχικά ορίσετε τις µεταβλητές και κάνετε τις βασικές ρυθµίσεις και επιλογές, στη συνέχεια, στο αρχικό πλαίσιο διαλόγου της στατιστικής διαδικασίας, µπορείτε να πατήσετε το πλήκτρο (Paste). Θα παρατηρήσετε ότι µετά το πάτηµα του πλήκτρου Paste θα ενεργοποιηθεί το πρόγραµµα Syntax Editor του SPSS και στην περιοχή εργασίας θα εµφανιστεί ο αντίστοιχος κώδικας. Σε αυτόν τον κώδικα µπορείτε να κάνετε τροποποιήσεις και προσθήκες. Παράδειγµα: Έστω ότι έχετε επιλέξει κάποια στατιστική διαδικασία και έχετε κάνει τις βασικές ρυθµίσεις και επιλογές (εικόνες 1-4). Αν στο τέλος (εικόνα 5) πατήσετε στο πλήκτρο Paste τότε στο παράθυρο του Syntax Editor θα εµφανιστεί ο κώδικας που φαίνεται στην εικόνα UNIANOVA y BY fa block /RANDOM=block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE 6 /POSTHOC=fa(TUKEY) /PLOT=PROFILE(fa) /EMMEANS=TABLES(OVERALL) /EMMEANS=TABLES(fa) /EMMEANS=TABLES(fa*block) /PRINT=OPOWER ETASQ /CRITERIA=ALPHA(.05) /DESIGN=fa block fa*block.

70 70 1. Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS Εισάγουµε τα δεδοµένα στο φύλλο εργασίας του Data Editor του SPSS κατά τα γνωστά. Ένα παράδειγµα παρουσιάζεται στην Εικόνα Ι1. Συµβολισµοί: Η µεταβλητή Year αντιστοιχεί στα έτη πειραµατισµού Η µεταβλητή Location αντιστοιχεί στις τοποθεσίες πειραµατισµού Η µεταβλητή Block αντιστοιχεί στις οµάδες Οι µεταβλητές FA και FB αντιστοιχούν, κατά περίπτωση, στους παράγοντες που περιλαµβάνονται στο πείραµα. Η µεταβλητή Y αντιστοιχεί στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Εικόνα Ι1: Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS: Πειράµατα ικτυωµένα στο Χώρο και στο Χρόνο

71 71 2. Εκκίνηση του Syntax Editor του SPSS File New Syntax (Βλέπε Εικόνα Ι2) Εικόνα Ι2: Εκκίνηση του Syntax Editor του SPSS Περιοχή Εργασίας Εικόνα Ι3: Το παράθυρο του Syntax Editor του SPSS 3. Πληκτρολόγηση Εντολών στον Syntax Editor Στην περιοχή εργασίας του Syntax Editor (δεξί πλαίσιο, βλέπε Εικόνα Ι4) πληκτρολογούµε κατάλληλες εντολές του SPSS ανάλογα µε το πείραµα. 4. Εκτέλεση Εντολών Αφού ολοκληρωθεί η πληκτρολόγηση των εντολών επιλέγουµε όλες τις γραµµές εντολών και πατάµε στο πλήκτρο εργαλείο µέσα στον κύκλο). Run Selection (βλέπε Εικόνα Ι3 και Ι5 το

72 72 Εικόνα Ι4: Πληκτρολόγηση εντολών στο παράθυρο του Syntax Editor του SPSS Εικόνα Ι5: Επιλογή και εκτέλεση εντολών στο παράθυρο του Syntax Editor του SPSS

73 73 1. One Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations (or Combined over Years) Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Location FA Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Location Block(Location) FA Location*FA. ή UNIANOVA Y BY Year FA Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Block(Year) FA Year*FA. Παρατήρηση: Ο ίδιος κώδικας µπορεί να χρησιµοποιηθεί και στην περίπτωση που το ζητούµενο είναι η συνδυασµένη ανάλυση µιας σειράς επαναλήψεων του ιδίου πειράµατος (οπότε αντί για τις µεταβλητές Location ή Year µπορεί να χρησιµοποιηθεί, για παράδειγµα, η µεταβλητή Experiment, η οποία κατά περίπτωση θα πρέπει να δηλωθεί ή ως fixed ή ως random). 2. One Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with new Locations each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Location(Year) Block(Location(Year)) FA Year*FA FA*Location(Year).

74 74 3. Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with the same Locations each Year but Randomized Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Location Year*Location Block(Year*Location) FA Year*FA Location*FA Year*Location*FA. 4. Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Locations and Randomization each Year (Perennial Crops) Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Location Block(Location) Year Location*Year Year*Block(Location) FA Location*FA Year*FA Location*Year*FA. 5. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations (or Combined over Years). Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Location Block(Location) FA Location*FA FB Location*FB FA*FB Location*FA*FB.

75 75 6. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split Plot Combined over Locations. Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Location Block(Location) FA Location*FA FA*Block(Location) FB Location*FB FA*FB Location*FA*FB. 7. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location but Randomized each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Location Year*Location Block(Year*Location) FA Year*FA Location*FA Year*Location*FA FB Year*FB Location*FB Year*Location*FB FA*FB Year*FA*FB Location*FA*FB Year*Location*FA*FB. 8. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Location Block(Location) Year Location*Year Year*Block(Location) FA Location*FA Year*FA Location*Year*FA FB Location*FB Year*FB Location*Year*FB FA*FB Location*FA*FB Year*FA*FB Location*Year*FA*FB.

76 76 9. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location but Randomized each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Location Year*Location Block(Year*Location) FA Year*FA Location*FA Year*Location*FA FA*Block(Year*Location) FB Year*FB Location*FB Year*Location*FB FA*FB Year*FA*FB Location*FA*FB Year*Location*FA*FB. 10. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Location Block(Location) Year Location*Year Year*Block(Location) FA Location*FA Year*FA Location*Year*FA FA*Block(Location*Year) FB Location*FB Year*FB Location*Year*FB FA*FB Location*FA*FB Year*FA*FB Location*Year*FA*FB. 11. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, with new Locations each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Location(Year) Block(Location(Year)) FA Year*FA FA*Location(Year) FB Year*FB FB*Location(Year) FA*FB Year*FA*FB FA*FB*Location(Year).

77 Two Factor Randomized Complete Block Design with Split Combined over Locations and Years, with new Locations each Year Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Year Location FA FB Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Year Location(Year) Block(Location(Year)) FA Year*FA FA*Location(Year) FA*Block(Location(Year)) FB Year*FB FB*Location(Year) FA*FB Year*FA*FB FA*FB*Location(Year). Σηµειώσεις αναγνώστη:

78 78 Γενικές Παρατηρήσεις Η τελεία (.) στο τέλος της εντολής /DESIGN=, η οποία εισάγεται στο τέλος της παράθεσης των όρων του υποδείγµατος, είναι απαραίτητη για την εκτέλεση των εντολών. Οι όροι του µαθηµατικού υποδείγµατος (ονόµατα µεταβλητών), δηλαδή οι κύριες επιδράσεις και αλληλεπιδράσεις, οι οποίες ακολουθούν την εντολή /DESIGN=, γράφονται µε ένα κενό διάστηµα µεταξύ τους. Σε όλες τις περιπτώσεις που παρουσιάστηκαν, µε κίτρινη επισήµανση δηλώνονται οι όροι αλληλεπίδρασης µε σκοπό την καλύτερη κατανόηση της δοµής και σύνθεσης των αντίστοιχων υποδειγµάτων. Στους πίνακες ANOVA, τα F-test που αντιστοιχούν σε πηγές παραλλακτικότητας (κύριες επιδράσεις και αλληλεπιδράσεις) που στο πείραµα δεν έχουν επαναλήψεις δεν είναι έγκυρα. Στις περισσότερες περιπτώσεις των πειραµάτων δικτυωµένων στο χώρο και στο χρόνο οι αναλύσεις γίνονται θεωρώντας, κατά περίπτωση, το χώρο ή/και το χρόνο ως main ή sub plot παράγοντες σε πειράµατα µε διάταξη split plot ή strip plot. Αν πρέπει οι παράγοντες Year ή/και Location να εισαχθούν στο υπόδειγµα ως τυχαίοι θα πρέπει να τους συµπεριλάβετε στη δήλωση /RANDOM. Για παράδειγµα, αν στον αντίστοιχο κώδικα γράψετε /RANDOM=Block Location η διαδικασία GLM θα θεωρήσει τους παράγοντες Block και Location ως τυχαίους. Για να είναι έγκυρα τα αποτελέσµατα της συνδυασµένης ανάλυσης θα πρέπει να ισχύει η οµοιογένεια των σφαλµάτων που υπολογίζονται από τις µεµονωµένες ANOVA για κάθε πείραµα ξεχωριστά. Για τον έλεγχο οµοιογένειας µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τους ελέγχους Fmax ή/και του Bartlett. Γενικά, για να είναι έγκυρα τα αποτελέσµατα της ANOVA θα πρέπει τα σφάλµατα του αντίστοιχου µαθηµατικού υποδείγµατος να είναι ανεξάρτητα, να ακολουθούν Κανονική Κατανοµή και να παρουσιάζουν σταθερή διακύµανση-παραλλακτικότητα (προϋπόθεση της οµοσκεδαστικότητας). Σε αντίθετη περίπτωση, θα πρέπει να προβείτε είτε σε µετασχηµατισµούς των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής είτε να χρησιµοποιήσετε διαδικασίες όπως η Generalized Linear Models του SPSS. Η διαδικασία αυτή δίνει τη δυνατότητα στο χρήστη να καθορίσει την κατανοµή των εξαρτηµένων µεταβλητών ανάλογα µε το είδος των µετρήσεών τους (συνεχείς, διακριτές, συχνότητες, διατεταγµένες, τιµές 0 ή1). Στους παραπάνω κώδικες αν κάτω από την εντολή /INTERCEPT=INCLUDE προσθέσετε την εντολή /PRINT=OPOWER ETASQ, τότε στους πίνακες ANOVA για κάθε πηγή παραλλακτικότητας θα εµφανιστεί η παρατηρούµενη ισχύς (observed power, OPOWER) του αντίστοιχου ελέγχου F και ο δείκτης partial eta squared (µερικός συντελεστής η 2, ΕΤΑSQ), ο οποίος αποτελεί µια εκτίµηση του σχετικού µεγέθους της αντίστοιχης επίδρασης (effect size), κύριας ή αλληλεπίδρασης (βλέπε παράδειγµα της επόµενης παραγράφου). Όταν στο υπόδειγµα οι παράγοντες Location ή/και Year εισαχθούν ως τυχαίοι (random) τότε στον πίνακα ANOVA ακριβώς κάτω από την πηγή παραλλακτικότητας που αντιστοιχεί σε τυχαία επίδραση (κύρια ή αλληλεπίδραση) εµφανίζεται η γραµµή µε τα στατιστικά στοιχεία (άθροισµα τετραγώνων, β.ε., µέσο τετράγωνο) του κατάλληλου σφάλµατος, βάσει του οποίου ελέγχεται η στατιστική σηµαντικότητα (F-test) της πηγής

79 79 παραλλακτικότητας. Το µέσο τετράγωνο και οι βαθµοί ελευθερίας αυτού του σφάλµατος θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν για τους ελέγχους σηµαντικότητας των διαφορών των αντίστοιχων µέσων όρων. Παράδειγµα: Στην παρακάτω ανάλυση οι µεταβλητές Location και εισαχθεί στο αντίστοιχο υπόδειγµα ως τυχαίοι παράγοντες UNIANOVA Y BY FA Location Block /RANDOM=Location Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /PRINT=OPOWER ETASQ /CRITERIA=ALPHA(.05) /DESIGN=Location Block(Location) FA FA*Location. Block έχουν Μετά την εκτέλεση του παραπάνω κώδικα στο παράθυρο αποτελεσµάτων του SPSS θα εµφανιστεί ο πίνακας ANOVA. Dependent Variable: Y Tests of Between-Subjects Effects Source Type III df Mean F Sig. Partial Eta Observed Sum of Square Squared Power e Squares Intercept Location Block(Location) FA FA * Location Hypothesis 560, , ,279,008,983,997 Error 9, ,778 a Hypothesis 9, ,778,309,751,143,073 Error 57,250 3,707 15,444 b Hypothesis 113, ,852 3,048,047,604,707 Error 74, ,185 c Hypothesis 8, ,333 1,560,316,438,181 Error 11, ,778 d Hypothesis 11, ,778,449,771,130,122 Error 74, ,185 c a. MS(Location) b. MS(Block(Location)) + MS(FA * Location) - MS(Error) c. MS(Error) d. MS(FA * Location) e. Computed using alpha =,05 Παρατηρείστε ότι κάθε πηγή παραλλακτικότητας ελέγχεται µε ξεχωριστό σφάλµα. Το λογισµικό µε κατάλληλους εκθέτες-γράµµατα δηλώνει στην υποσηµείωση του πίνακα ποιοι όροι δοµούν το µέσο τετράγωνο για κάθε πηγή σφάλµατος (Mean Square Error- MSE). Για παράδειγµα, ο κατάλληλος όρος σφάλµατος για τον έλεγχο της σηµαντικότητας της κύριας επίδρασης FA είναι το µέσο τετράγωνο της αλληλεπίδρασης FA*Location (βλέπε εκθέτη-γράµµα d). Συνεπώς, για τις συγκρίσεις των µέσων όρων

80 80 των επιπέδων του παράγοντα FA, για παράδειγµα µε το κριτήριο LSD, θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί ως MSE η τιµή 2,778 µε 4 β.ε. Στη στήλη µε επικεφαλίδα Partial Eta Square εµφανίζεται για κάθε πηγή παραλλακτικότητας ο αντίστοιχος συντελεστής η 2. Στη στήλη µε επικεφαλίδα Observed Power εµφανίζεται η παρατηρούµενη ισχύς του αντίστοιχου ελέγχου F. Σηµειώσεις αναγνώστη:

81 81 Ενότητα Πολλαπλές Συγκρίσεις Μέσων Όρων σε Παραγοντικά Πειράµατα (Linear Mixed Effects Models-LMEM) Viola adorata

82 82 1. Συγκρίσεις Μέσων Όρων µέσω της ιαδικασίας Linear Mixed Effects Models Η διαδικασία ολοκληρώνεται σε τέσσερα βήµατα όπως και στην περίπτωση της Συνδυασµένης Ανάλυσης Πειραµάτων ικτυωµένων στο Χώρο και στο Χρόνο. ηλαδή: 1. Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS, 2. Εκκίνηση του Syntax Editor του SPSS, 3. Πληκτρολόγηση Εντολών στον Syntax Editor, 4. Εκτέλεση Εντολών. Η προσέγγιση αυτή είναι χρήσιµη όταν το µαθηµατικό υπόδειγµα της ANOVA περιλαµβάνει τυχαίους όρους. Παράδειγµα 1: Split plot (RCBD) Παραγοντικό Πείραµα: 4 4 Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Split plot Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 FB (sub plot factor) µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 64 Καθορισµένες Επιδράσεις FA, FB, FA*FB Τυχαίες Επιδράσεις Block, Block*FA Στον Syntax Editor του SPSS πληκτρολογήστε και εκτελέστε τον παρακάτω κώδικα: DATASET ACTIVATE DataSet1. MIXED Υ BY Βlock FA FB /CRITERIA=CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(10) SCORING(1) SINGULAR( ) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE( , ABSOLUTE) /FIXED=FA FB FA*FB SSTYPE(3) /METHOD=REML /RANDOM=Block Block*FA COVTYPE(VC) /EMMEANS=TABLES(OVERALL) /EMMEANS=TABLES(FA) COMPARE ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(FB) COMPARE ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(FA*FB) COMPARE(FB) ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(FB*FA) COMPARE(FA) ADJ(LSD). Επεξηγήσεις: Με κίτρινη επισήµανση δηλώνονται τα στοιχεία εκείνα τα οποία µπορείτε να τροποποιήσετε ανάλογα µε το πείραµα και την κωδικοποίηση που έχετε κάνει στο αρχείο δεδοµένων.

83 83 Στην πρώτη γραµµή µετά την εντολή MIXED δηλώνονται η εξαρτηµένη µεταβλητή Υ και µετά τη λέξη BY (by) όλοι οι παράγοντες του πειράµατος (fixed και random). Η εντολή /Criteria περιλαµβάνει τυποποιηµένες ρυθµίσεις της διαδικασίας Mixed (το πιο πιθανό είναι να µην χρειαστεί να αλλάξατε τις τρέχουσες ρυθµίσεις, σε αντίθετη περίπτωση συµβουλευτείτε τον οδηγό χρήσης του SPSS). Η δήλωση CIN(95) δίνει οδηγία στο λογισµικό να υπολογιστούν 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης. Αν θέλετε να υπολογιστούν, για παράδειγµα, 99% διαστήµατα εµπιστοσύνης για τις υπό εκτίµηση παραµέτρους τότε θα πρέπει να αλλάξατε τον αριθµό µέσα στην παρένθεση από 95 σε 99. Μετά την εντολή /FIXED εισάγονται όλοι οι καθορισµένοι (fixed) όροι του µαθηµατικού υποδείγµατος που αντιστοιχεί στο εκάστοτε πείραµα. Στην εντολή /METHOD=REML ορίζεται η µέθοδος εκτίµησης των παραµέτρων του µαθηµατικού υποδείγµατος. Η δήλωση REML αντιστοιχεί στη µέθοδο Restricted Maximum Likelihood, ενώ η δήλωση ML στη µέθοδο Maximum Likelihood. Μετά την εντολή /RANDOM εισάγονται όλοι οι τυχαίοι (random) όροι του µαθηµατικού υποδείγµατος που αντιστοιχεί στο εκάστοτε πείραµα. Μέσα στην παρένθεση που ακολουθεί τη δήλωση COVTYPE (covariance type) καθορίζεται η δοµή του πίνακα διασπορών-συνδυασπορών των τυχαίων όρων του µαθηµατικού υποδείγµατος. Ο προκαθορισµένος τύπος είναι VC (Variance Components). Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τη δοµή του πίνακα διασπορών-συνδυασπορών που υποστηρίζει το SPSS µπορείτε να συµβουλευτείτε τον οδηγό χρήσης του λογισµικού (βλέπε και Παράρτηµα 1). Σε περίπτωση που το πείραµα περιλαµβάνει επαναλαµβανόµενες µετρήσεις στο χρόνο για τις ίδιες πειραµατικές µονάδες (repeated measures on the same experimental units) θα χρειαστεί να δοκιµάσετε και άλλες δοµές του πίνακα (για παράδειγµα τη δοµή AR1, που αντιστοιχεί στο υπόδειγµα First order autoregressive). Μέσω της διαδικασίας Mixed µπορείτε να αναλύσετε όλα τα πειράµατα που παρουσιάστηκαν στις προηγούµενες ενότητες. Αλλά στο παράθυρο αποτελεσµάτων του SPSS δεν θα εµφανιστεί η κλασική-τυπική µορφή του πίνακα ANOVA. Στην έξοδο των αποτελεσµάτων παρουσιάζονται εκτός από τους πίνακες µε τους µέσους όρους, τα αντίστοιχα τυπικά σφάλµατα, τα 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης και οι παρατηρούµενες στάθµες σηµαντικότητας (p-values) των ελέγχων που χρησιµοποιούνται για τις συγκρίσεις των µέσων όρων. Επίσης, παρουσιάζονται και άλλοι χρήσιµοι στατιστικοί δείκτες (για παράδειγµα, οι AIC και BIC) καθώς και η στατιστική σηµαντικότητα (p-value) των καθορισµένων (fixed) πηγών παραλλακτικότητας. Οι δείκτες AIC και BIC είναι ιδιαίτερα χρήσιµοι για τη σύγκριση µαθηµατικών υποδειγµάτων (ως προς την καλή προσαρµογή των δεδοµένων), τα οποία περιλαµβάνουν διαφορετικούς όρους ή/και διαφορετικές δοµές του πίνακα διασπορών-συνδυασπορών της εξαρτηµένης µεταβλητής. Μικρές τιµές των δεικτών AIC και BIC δηλώνουν και καλύτερη προσαρµογή. Για να εφαρµόσετε την προσέγγιση που παρουσιάστηκε στην ενότητα αυτή θα πρέπει να γνωρίζετε ποιοι όροι του αντίστοιχου µαθηµατικού υποδείγµατος της ANOVA είναι

84 84 καθορισµένοι (fixed) και ποιοι τυχαίοι (random). Σε πολύπλοκα πειράµατα συµβουλευτείτε τη σχετική βιβλιογραφία. Στον κώδικα του Παραδείγµατος 1, αν κάτω από την εντολή /METHOD=REML προσθέσετε την εντολή /PRINT=TESTCOV τότε στο παράθυρο αποτελεσµάτων του SPSS θα εµφανιστεί και ένας πίνακας (µε τίτλο Estimates of Covariance Parameters) µε τις εκτιµώµενες παραλλακτικότητες (Estimated Variances) των τυχαίων όρων του αντίστοιχου µαθηµατικού υποδείγµατος. Οι εντολές του τύπου /ΕΜΜΕΑΝS (Estimated Means) αποσκοπούν στον υπολογισµό και στη σύγκριση των µέσων όρων των επιδράσεων που δηλώνονται µέσα στην παρένθεση που συνοδεύει τη δήλωση TABLES. Πιο συγκεκριµένα: ήλωση /EMMEANS=TABLES(OVERALL) /EMMEANS=TABLES(FA) COMPARE ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(FB) COMPARE ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(FA*FB) COMPARE(FB) ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(FB*FA) COMPARE(FA) ADJ(LSD) Αποτέλεσµα Υπολογίζεται ο γενικός µέσος της εξαρτηµένης µεταβλητής Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς-lsd οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FA (µελέτη της κύριας επίδρασης του FA) Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς-lsd οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FB (µελέτη της κύριας επίδρασης του FB) Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς-lsd οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FB µέσα σε κάθε επίπεδο του παράγοντα FA (ανάλυση απλών κύριων επιδράσεων simple main effects analysis, πρώτη κατεύθυνση) Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς-lsd οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FA µέσα σε κάθε επίπεδο του παράγοντα FB (ανάλυση απλών κύριων επιδράσεων simple main effects analysis, δεύτερη κατεύθυνση) Στη θέση της δήλωσης LSD µπορείτε να εισάγετε τις δηλώσεις BONFERRONI ή SIDAK ώστε οι συγκρίσεις των µέσων όρων να γίνουν µε τα αντίστοιχα κριτήριαελέγχους. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα γίνονται όλες οι συγκρίσεις που αντιστοιχούν στις κύριες επιδράσεις και στην αλληλεπίδραση των δύο παραγόντων. Ανάλογα µε τα αποτελέσµατα της ANOVA ή/και τους στόχους του πειράµατος µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τις εντολές τύπου /ΕΜΜΕΑΝS µόνο για τις συγκρίσεις που έχουν ενδιαφέρον.

85 85 Παράδειγµα 2: Split-split plot Παραγοντικό Πείραµα: Πειραµατικό σχέδιο: RCBD ιάταξη: Split-split plot Πλήθος Οµάδων: 4 Κωδικοποίηση Παράγοντες: FA (main plot factor) µε 3 επίπεδα: 0 έως 2 FB (sub plot factor) µε 2 επίπεδα: 0 έως 1 FC (sub-sub plot factor) µε 3 επίπεδα: 0 έως 2 Block µε 4 επίπεδα: 1 έως 4 Εξαρτηµένη Μεταβλητή: Υ Πλήθος πειραµατικών µονάδων: 72 Καθορισµένες Επιδράσεις FA, FB, FC, FA*FB, FA*FC, FB*FC, FA*FB*FC Τυχαίες Επιδράσεις Block, Block*FA, Block*FA*FB Στον Syntax Editor του SPSS πληκτρολογήστε και εκτελέστε τον παρακάτω κώδικα: DATASET ACTIVATE DataSet1. MIXED Y BY Block FA FB FC /CRITERIA=CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(10) SCORING(1) SINGULAR( ) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE( , ABSOLUTE) /FIXED=FA FB FC FA*FB FA*FC FB*FC FA*FB*FC SSTYPE(3) /METHOD=REML /RANDOM=Block Block*FA Block*FA*FB COVTYPE(VC) /EMMEANS=TABLES(OVERALL) /EMMEANS=TABLES(FC) COMPARE ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FA*FB) COMPARE(FB) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FB*FC) COMPARE(FC) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FA*FB*FC) COMPARE(FC) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FB*FC*FA) COMPARE(FA) ADJ(BONFERRONI). Για το παράδειγµα αυτό ισχύουν τα παρακάτω: ήλωση /EMMEANS=TABLES(OVERALL) /EMMEANS=TABLES(FC) COMPARE ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FA*FB) COMPARE(FB) ADJ(BONFERRONI) Αποτέλεσµα Υπολογίζεται ο γενικός µέσος της εξαρτηµένης µεταβλητής Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο BONFERRONI οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FC Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο BONFERRONI οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FB µέσα σε κάθε επίπεδο του παράγοντα FA

86 86 ήλωση /EMMEANS=TABLES(FB*FC) COMPARE(FC) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FA*FB*FC) COMPARE(FC) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FB*FC*FA) COMPARE(FA) ADJ(BONFERRONI) Αποτέλεσµα Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο BONFERRONI οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FC µέσα σε κάθε επίπεδο του παράγοντα FB Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο BONFERRONI οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FC µέσα σε κάθε συνδυασµό των επιπέδων των δύο παραγόντων FA και FB Υπολογίζονται και συγκρίνονται µε το κριτήριο BONFERRONI οι µέσοι όροι των επιπέδων του παράγοντα FΑ µέσα σε κάθε συνδυασµό των επιπέδων των δύο παραγόντων FΒ και FC Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα µέρος των αποτελεσµάτων που παράγονται µέσω των δύο τελευταίων εντολών: /EMMEANS=TABLES(FA*FB*FC) COMPARE(FC) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS=TABLES(FB*FC*FA) COMPARE(FA) ADJ(BONFERRONI) Πίνακας Α FA FB FC Mean Std. Error df 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound 0 24,225 1,525 24,208 21,080 27, ,100 1,525 24,208 25,955 32, ,150 1,525 24,208 28,005 34, ,350 1,525 24,208 27,205 33, ,050 1,525 24,208 32,905 39, ,250 1,525 24,208 40,105 46, ,200 1,525 24,208 23,055 29, ,950 1,525 24,208 28,805 35, ,975 1,525 24,208 29,830 36, ,300 1,525 24,208 29,155 35, ,050 1,525 24,208 30,905 37, ,575 1,525 24,208 37,430 43, ,425 1,525 24,208 19,280 25, ,250 1,525 24,208 22,105 28, ,950 1,525 24,208 23,805 30, ,025 1,525 24,208 19,880 26, ,675 1,525 24,208 26,530 32, ,350 1,525 24,208 34,205 40,495

87 87 Πίνακας Β FA FB (I) FC (J) FC Mean Difference (I-J) Std. Error 95% Confidence Interval for df Sig. c Difference c Lower Bound Upper Bound ,875 * 1,530 36,009-8,716-1, ,925 * 1,530 36,000-10,766-3, ,875 * 1,530 36,009 1,034 8, ,050 1,530 36,566-5,891 1, ,925 * 1,530 36,000 3,084 10, ,050 1,530 36,566-1,791 5, ,700 * 1,530 36,002-9,541-1, ,900 * 1,530 36,000-16,741-9, ,700 * 1,530 36,002 1,859 9, ,200 * 1,530 36,000-11,041-3, ,900 * 1,530 36,000 9,059 16, ,200 * 1,530 36,000 3,359 11, ,750 * 1,530 36,002-9,591-1, ,775 * 1,530 36,000-10,616-2, ,750 * 1,530 36,002 1,909 9, ,025 1, ,000-4,866 2, ,775 * 1,530 36,000 2,934 10, ,025 1, ,000-2,816 4, ,750 1,530 36,781-5,591 2, ,275 * 1,530 36,000-12,116-4, ,750 1,530 36,781-2,091 5, ,525 * 1,530 36,000-10,366-2, ,275 * 1,530 36,000 4,434 12, ,525 * 1,530 36,000 2,684 10, ,825 1,530 36,219-6,666 1, ,525 * 1,530 36,016-8,366 -, ,825 1,530 36,219-1,016 6, ,700 1,530 36,821-5,541 2, ,525 * 1,530 36,016,684 8, ,700 1,530 36,821-2,141 5, ,650 * 1,530 36,000-10,491-2, ,325 * 1,530 36,000-18,166-10, ,650 * 1,530 36,000 2,809 10, ,675 * 1,530 36,000-11,516-3, ,325 * 1,530 36,000 10,484 18, ,675 * 1,530 36,000 3,834 11,516

88 88 Πίνακας Γ FC FB (I) FA (J) FA Mean Difference (I-J) Std. Error df Sig. c 95% Confidence Interval for Difference c Lower Bound Upper Bound ,975 1,959 27,914,966-6,965 3, ,800 1,959 27,914 1,000-3,190 6, ,975 1,959 27,914,966-3,015 6, ,775 1,959 27,914,193-1,215 8, ,800 1,959 27,914 1,000-6,790 3, ,775 1,959 27,914,193-8,765 1, ,950 1,959 27,914,984-6,940 3, ,325 * 1,959 27,914,003 2,335 12, ,950 1,959 27,914,984-3,040 6, ,275 * 1,959 27,914,000 4,285 14, ,325 * 1,959 27,914,003-12,315-2, ,275 * 1,959 27,914,000-14,265-4, ,850 1,959 27,914,471-7,840 2, ,850 1,959 27,914,178-1,140 8, ,850 1,959 27,914,471-2,140 7, ,700 * 1,959 27,914,006 1,710 11, ,850 1,959 27,914,178-8,840 1, ,700 * 1,959 27,914,006-11,690-1, ,000 1,959 27,914,948-2,990 6, ,375 * 1,959 27,914,009 1,385 11, ,000 1,959 27,914,948-6,990 2, ,375 1,959 27,914,101 -,615 9, ,375 * 1,959 27,914,009-11,365-1, ,375 1,959 27,914,101-9,365, ,825 1,959 27,914 1,000-6,815 3, ,200 1,959 27,914,123 -,790 9, ,825 1,959 27,914 1,000-3,165 6, ,025 * 1,959 27,914,014 1,035 11, ,200 1,959 27,914,123-9,190, ,025 * 1,959 27,914,014-11,015-1, ,675 1,959 27,914,549-2,315 7, ,900 * 1,959 27,914,016,910 10, ,675 1,959 27,914,549-7,665 2, ,225 1,959 27,914,333-1,765 8, ,900 * 1,959 27,914,016-10,890 -, ,225 1,959 27,914,333-8,215 1,765

89 89 Επεξηγήσεις: Για τον Πίνακα Α: Mean: Μέσος Όρος (εκτιµώµενος) Std. Error: Τυπικό Σφάλµα στην εκτίµηση του Μέσου Όρου df: Βαθµοί Ελευθερίας 95% Confidence Interval: 95% ιάστηµα Εµπιστοσύνης Για τους Πίνακες Β και Γ: Mean Difference: ιαφορά εκτιµώµενων Μέσων Όρων Std. Error: Τυπικό Σφάλµα της διαφοράς Sig: p-value, παρατηρούµενη στάθµη σηµαντικότητας του αντίστοιχου ελέγχου df: Βαθµοί Ελευθερίας 95% Confidence Interval: 95% ιάστηµα Εµπιστοσύνης για τη διαφορά των µέσων όρων Παρατηρήσεις: Όπως ήταν αναµενόµενο, το τυπικό σφάλµα της διαφοράς των µέσων όρων στον Πίνακα Β δεν είναι το ίδιο µε το αντίστοιχο σφάλµα στον Πίνακα Γ. Το SPSS δεν εµφανίζει την τιµή της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς-lsd παρά µόνο την τιµή p-value του αντίστοιχου ελέγχου σύγκρισης. Αν θέλετε να υπολογίσετε την τιµή της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς θα πρέπει να κάνετε τα εξής (ισχύει για ισορροπηµένα πειράµατα): Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα Β ή Γ, πολλαπλασιάστε το τυπικό σφάλµα της διαφοράς (Std. Error) µε την κρίσιµη (θεωρητική) τιµή της t-κατανοµής µε df βαθµούς ελευθερίας, σε επίπεδο σηµαντικότητας α/2 (π.χ. αν α=0,05 τότε α/2=0,025). Αν οι βαθµοί ελευθερίας είναι δεκαδικός αριθµός στρογγυλοποιείστε στον αµέσως µεγαλύτερο ακέραιο. Παραδείγµατα: Από τον Πίνακα Β έχουµε ότι LSD 0,05 =1,530 2,028=3,103 (2,028 είναι η κρίσιµη τιµή της t-κατανοµής µε 36 βαθµούς ελευθερίας σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05/2=0,025). Από τον Πίνακα Γ έχουµε ότι LSD 0,05 =1,959 2,048=4,012 (2,048 είναι η κρίσιµη τιµή της t-κατανοµής µε 27, βαθµούς ελευθερίας σε επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05/2=0,025). Αν θέλετε να υπολογίσετε την τιµή του Μέσου Τετραγώνου Σφάλµατος (MSE) που χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς θα πρέπει να κάνετε τα εξής (ισχύει για ισορροπηµένα πειράµατα): Αρχικά υπολογίστε την Ελάχιστη Σηµαντική ιαφορά σύµφωνα µε τα παραπάνω. Στη συνέχεια χρησιµοποιείστε την παρακάτω σχέση: 2 rlsd MSE= 2, t 2 a / 2 όπου r είναι το πλήθος των µετρήσεων που χρησιµοποιήθηκαν για τον υπολογισµό κάθε ενός από τους µέσους όρους που συγκρίθηκαν, LSD 2 το τετράγωνο της Ελάχιστης

90 90 2 Σηµαντικής ιαφοράς και t a / 2 το τετράγωνο της κρίσιµης-θεωρητικής τιµής της t- Κατανοµής για df βαθµούς ελευθερίας (όσους υπολόγισε το SPSS) σε επίπεδο σηµαντικότητας α/2. Σηµειώσεις αναγνώστη:

91 91 2. Γενικός Τρόπος Συγκρίσεων Μέσων Όρων (Post hoc και a priori Contrasts) Θα περιγράψουµε τον γενικό τρόπο σύγκρισης µέσων όρων µε τη βοήθεια ενός παραδείγµατος. Έστω ότι αρχικά θέλουµε να συγκρίνουµε τους µέσους όρους, ανά δύο, 6 επεµβάσεων (Post hoc comparisons). Κάθε µέσος όρος υπολογίστηκε από 20 επαναλήψεις-µετρήσεις. Επίσης, θέλουµε να συγκρίνουµε τους µέσους όρους των παρακάτω οµάδων επεµβάσεων (ορθόγωνες και µη, συγκρίσεις µέσων όρων οµάδων επεµβάσεων, a priori contrasts): α) την οµάδα που αποτελείται από τις επεµβάσεις 1 και 2 µε την οµάδα που αποτελείται από τις επεµβάσεις 3 και 4, και β) την οµάδα που αποτελείται από τις επεµβάσεις 1, 2 και 3 µε την οµάδα που αποτελείται από τις επεµβάσεις 4, 5 και 6. Στον Syntax Editor SPSS πληκτρολογήστε και εκτελέστε τον παρακάτω κώδικα: matrix data variables = cells rowtype_ response / factor = cells. begin data 1 n 20 2 n 20 3 n 20 4 n 20 5 n 20 6 n 20 1 mean 11,18 2 mean 6,79 3 mean 6,33 4 mean 3,99 5 mean 1,59 6 mean 2,49. mse 11,49. dfe 72 end data. ONEWAY response BY cells /matrix=in(*) /POSTHOC = TUKEY DUNCAN ALPHA(.05) /CONTRAST= /CONTRAST= Επεξηγήσεις: Μετά από κάθε δήλωση n ακολουθεί ο αριθµός των επαναλήψεων-µετρήσεων από τις οποίες προέκυψαν οι µέσοι όροι που θέλουµε να συγκρίνουµε. Στο παράδειγµα η τιµή που ακολουθεί τα n είναι το 20. Μετά από κάθε δήλωση mean ακολουθεί η τιµή του αντίστοιχου µέσου όρου. Προσοχή, ως σύµβολο δεκαδικής υποδιαστολής θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε αυτό που έχετε ορίσει στις ιεθνείς Ρυθµίσεις στον Η/Υ που εργάζεστε.

92 92 Μετά τη δήλωση. mse θα πρέπει να πληκτρολογήσετε το κατάλληλο µέσο τετράγωνο σφάλµατος (mean square error - mse) το οποίο έχει υπολογιστεί από την κατάλληλη ANOVA σύµφωνα µε το πείραµα που έχετε ήδη αναλύσει. Για τις ανάγκες του παραδείγµατος ορίστηκε η τιµή 11,49. Και εδώ θα πρέπει ως σύµβολο δεκαδικής υποδιαστολής να χρησιµοποιήσετε αυτό που έχετε ορίσει στις ιεθνείς Ρυθµίσεις στον Η/Υ που εργάζεστε. Μετά τη δήλωση. df θα πρέπει να πληκτρολογήσετε τους κατάλληλους βαθµούς ελευθερίας που αντιστοιχούν στο µέσο τετράγωνο σφάλµατος. Μετά την εντολή /POSTHOC = µπορείτε να πληκτρολογήσετε το τυπικό όνοµα του ελέγχου-κριτηρίου που θέλετε να χρησιµοποιήσετε για τις συγκρίσεις µέσων όρων. Στο παράδειγµα οι δηλώσεις TUKEY DUNCAN δίνουν οδηγία για τη σύγκριση των 6 µέσων όρων, ανά δύο, µε τους ελέγχους Tukey και Duncan. Άλλα τυπικά ονόµατα ελέγχων είναι το LSD (για το κριτήριο της Ελάχιστης Σηµαντικής ιαφοράς) και το BONFERRONI (για τον έλεγχο Bonferroni). Με την προτεινόµενη µέθοδο µπορείτε να χρησιµοποιήσετε µόνο ελέγχους που είναι κατάλληλοι όταν ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων µεταξύ των επεµβάσεων των οποίων συγκρίνονται οι µέσοι όροι. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τις δυνατότητες πολλαπλών συγκρίσεων µέσων όρων συµβουλευτείτε τον οδηγό χρήσης του SPSS. Μέσα στην παρένθεση της δήλωσης ALPHA(.05) µπορείτε να πληκτρολογήσετε το επιθυµητό επίπεδο σηµαντικότητας, στο οποίο θα πραγµατοποιηθούν οι αντίστοιχοι στατιστικοί έλεγχοι των συγκρίσεων. Προσοχή, εδώ υποχρεωτικά το σύµβολο δεκαδικής υποδιαστολής είναι η τελεία. Μετά την εντολή /CONTRAST= µπορείτε να πληκτρολογήσετε τους κατάλληλους συντελεστές που αντιστοιχούν στην αντίθεση (contrast) που θέλετε να ελέγξετε. Στο παράδειγµα, η πρώτη εντολή /CONTRAST= ακολουθείται από τους κατάλληλους συντελεστές για να γίνει η α) σύγκριση και η δεύτερη εντολή /CONTRAST= από τους κατάλληλους συντελεστές για να γίνει η β) σύγκριση. Ο έλεγχος αντιθέσεων µέσω του παραπάνω κώδικα γίνεται µε την προϋπόθεση ότι ισχύει η οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων της εξαρτηµένης µεταβλητής µεταξύ των επεµβάσεων που συγκρίνονται. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τις δυνατότητες ελέγχων αντιθέσεων µέσων όρων (a priori ή αλλιώς pre-plant comparisons) συµβουλευτείτε τον οδηγό χρήσης του SPSS. Παρατηρήσεις: Με κίτρινη επισήµανση δηλώνονται τα στοιχεία εκείνα του κώδικα τα οποία µπορείτε να τροποποιήσετε ανάλογα µε τις συγκρίσεις που επιθυµείτε να πραγµατοποιήσετε. Αν εκτελέσετε κώδικα όπως του παραδείγµατος, στο παράθυρο αποτελεσµάτων του SPSS θα εµφανιστεί και ένας πίνακας ANOVA τον οποίο θα πρέπει να αγνοήσετε. Στην περίπτωση που οι επεµβάσεις, οι οποίες αντιστοιχούν στα επίπεδα ενός παράγοντα, είναι ποσοτικές και ισαπέχουσες (π.χ. διαφορετικές δόσεις φυτοφαρµάκου) και θέλετε να ελέγξετε τη σηµαντικότητα της συµµεταβολής µεταξύ των επιπέδων του παράγοντα και της εξαρτηµένης µεταβλητής, τότε κάτω από την εντολή /matrix=in(*) µπορείτε να προσθέσετε την εντολή /POLYNOMIAL=1, η οποία έχει ως αποτέλεσµα, στο

93 93 παράθυρο αποτελεσµάτων, να εµφανιστεί και ο έλεγχος στατιστικής σηµαντικότητας της γραµµικής-ευθύγραµµης συµµεταβολής µεταξύ των επιπέδων του παράγοντα και της εξαρτηµένης µεταβλητής. Στην παραπάνω εντολή, αν αντί για τον αριθµό 1 πληκτρολογήσετε τον αριθµό 2 (αντιστοιχεί σε πολυωνυµική αντίθεση 2 ου βαθµού), τότε θα εµφανιστούν και τα αποτελέσµατα του ελέγχου που αφορά στη στατιστική σηµαντικότητα του δευτεροβάθµιου όρου στο υπόδειγµα πολυωνυµικής συµµεταβολής δευτέρου βαθµού, όπως στον παρακάτω πίνακα: response ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Sig. (Combined) 501, ,225 37,161,000 Between Groups Linear Term Quadratic Contrast 290, ,387 64,530,000 Deviation 211, ,645 23,477,000 Contrast 192, ,024 42,672,000 Term Deviation 19, ,266 4,281,072 Within Groups 36, ,500 Total 537, Στην περίπτωση που τα επίπεδα των επεµβάσεων είναι ποσοτικά αλλά όχι ισαπέχοντα, για παράδειγµα 5, 10, 20, 35, 44 και 68, τότε ο προτεινόµενος κώδικας θα πρέπει να τροποποιηθεί ως εξής: matrix data variables = cells rowtype_ response / factor = cells. begin data 5 n n n n n n 20 5 mean 11,18 10 mean 6,79 20 mean 6,33 35 mean 3,99 44 mean 1,59 68 mean 2,49. mse 11,49. dfe 72 end data. ONEWAY response BY cells /matrix=in(*) /POLYNOMIAL=2 /POSTHOC = TUKEY DUNCAN ALPHA(.05) /CONTRAST= /CONTRAST=

94 94 ηλαδή, θα πρέπει στον αρχικό κώδικα στην περιοχή matrix data έως end data οι τιµές 1-6 που εµφανίζονται στις γραµµές, όπου δίνεται το µέγεθος δείγµατος κάθε επέµβασης και οι προς σύγκριση µέσοι όροι των αντίστοιχων επεµβάσεων, να αντικατασταθούν µε τις αριθµητικές τιµές των επεµβάσεων. Σηµειώσεις αναγνώστη:

95 95 Ενότητα Ε Παραδείγµατα Κώδικα του SPSS για Ανάλυση Παραλλακτικότητας Σύνθετων Παραγοντικών Πειραµάτων Viola adorata

96 96 Three Factor RCBD with Treatments arranged in Strips Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε και εκτελούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY A B C Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Block A Block*A B Block*B A*B Block*A*B C A*C B*C A*B*C. Επεξηγήσεις: Α είναι ο οριζόντιος παράγοντας Β είναι ο κάθετος παράγοντας C είναι ο subplot παράγοντας Four Factor RCBD with factors B, C, and D as Split plots on Factor A Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε και εκτελούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY A B C D Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Block A Block*A B A*B C A*C B*C A*B*C D A*D B*D A*B*D C*D A*C*D B*C*D A*B*C*D. Four Factor RCBD with factor B as a Split plot on Factor A and Factors C and D as Split plots on Factor B Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε και εκτελούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY A B C D Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Block A Block*A B A*B Block*A*B C A*C B*C A*B*C D A*D B*D A*B*D C*D A*C*D B*C*D A*B*C*D.

97 97 Four Factor RCBD Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε και εκτελούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY A B C D Block /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=Block A B C D A*B A*C B*C A*D B*D C*D A*B*C A*B*D A*C*D B*C*D A*B*C*D. Four Factor CRD Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε και εκτελούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY A B C D /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN=A B C D A*B A*C B*C A*D B*D C*D A*B*C A*B*D A*C*D B*C*D A*B*C*D. Multiple Latin Squares Στον Syntax Editor πληκτρολογούµε και εκτελούµε τις παρακάτω εντολές: UNIANOVA Y BY Squares Row Column Treatment /RANDOM = Squares Row Column /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = Squares Row(Squares) Column(Squares) Treatment Squares*Treatment. Επεξηγήσεις: Squares: Τα τετράγωνα (π.χ. τοποθεσίες) Row: Οι γραµµές των λατινικών τετραγώνων Column: Οι στήλες των λατινικών τετραγώνων Treatment: Οι επεµβάσεις

98 98 Ενότητα Στ Ανάλυση Παραλλακτικότητας (ANOVA) Παραγοντικών Πειραµάτων µε Επαναλαµβανόµενες Μετρήσεις (Repeated Measures Experiments) Viola adorata

99 99 Ανάλυση Παραλλακτικότητας Παραγοντικών Πειραµάτων µε Επαναλαµβανόµενες Μετρήσεις Για λόγους απλότητας θεωρούµε ότι οι επαναλαµβανόµενες µετρήσεις επί των ιδίων πειραµατικών µονάδων αποτελούν τα επίπεδα ενός παράγοντα, τον οποίο από τώρα και στο εξής θα ονοµάζουµε χρόνος (Time). Τα πειράµατα αυτά απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή και εξειδικευµένη γνώση στην ανάλυση των αντίστοιχων δεδοµένων διότι: 1. Υπάρχουν δύο οικογένειες µεθόδων για τη στατιστική ανάλυση. Η πρώτη οικογένεια περιλαµβάνει µονοµεταβλητές προσεγγίσεις (univariate), ενώ η δεύτερη πολυµεταβλητές (multivariate). Στις µονοµεταβλητές προσεγγίσεις ο χρόνος (Time) θεωρείται παράγοντας. Στις πολυµεταβλητές προσεγγίσεις οι µετρήσεις που γίνονται στις διάφορες χρονικές στιγµές θεωρούνται ως εξαρτηµένες µεταβλητές και η στατιστική ανάλυση εµπίπτει στο µεθοδολογικό πλαίσιο της MANOVA (Multivariate Analysis of Variance). 2. Σε κάθε οικογένεια υπάρχουν διαφορετικές εκδοχές που αφορούν στο µαθηµατικό υπόδειγµα που θα χρησιµοποιηθεί για την ANOVA. 3. Τα αντίστοιχα µαθηµατικά υποδείγµατα για επαναλαµβανόµενες µετρήσεις απαιτούν την ικανοποίηση πολλών στατιστικών προϋποθέσεων (που συχνά δεν ικανοποιούνται στην πράξη), ώστε τα επαγωγικά συµπεράσµατα από την ANOVA να είναι έγκυρα. Τα παρακάτω πειράµατα που παρουσιάστηκαν στην ενότητα Συνδυασµένη Ανάλυση Πειραµάτων ικτυωµένων στο Χώρο και στο Χρόνο (General Linear Models- GLM) είναι περιπτώσεις πειραµάτων µε επαναλαµβανόµενες µετρήσεις: 4. Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Locations and Randomization each Year (Perennial Crops) 8. Two Factor Randomized Complete Block Design Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year 10. Two Factor Randomized Complete Block Design with Split, Combined over Locations and Years, same Location and Randomization each Year Στη συνέχεια, παρουσιάζουµε ορισµένες µεθοδολογικές εκδοχές για τη στατιστική ανάλυση δεδοµένων που συγκεντρώθηκαν από πειράµατα µε επαναλαµβανόµενες µετρήσεις. Πρώτη εκδοχή (µονοµεταβλητή προσέγγιση): Θεωρούµε το χρόνο ως παράγοντα Split (sub plot) και αναλύουµε το πείραµα ως Split plot (µε ή χωρίς τροποποίηση) ή αν είναι ήδη Split plot τότε το αναλύουµε ως Split-split plot. Αυτή η προσέγγιση είναι έγκυρη αν ισχύει, πλέον των άλλων προϋποθέσεων, η προϋπόθεση της σφαιρικότητας (sphericity). Η σφαιρικότητα αφορά στην οµοιογένεια των παραλλακτικοτήτων των διαφορών µεταξύ των επαναλαµβανόµενων µετρήσεων.

100 100 Παραδείγµατα: Α) Split plot χωρίς τροποποίηση Πειραµατικό σχέδιο: RCBD Παράγοντες: FA και Time UNIANOVA Y BY Block FA Time /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN= Block FA Block*FA Time Time*FA. Στο παράδειγµα αυτό ο παράγοντας FA θεωρείται ως main plot factor και ο παράγοντας Time ως sub plot. Β) Split plot µε τροποποίηση Πειραµατικό σχέδιο: RCBD Παράγοντες: FA και Time UNIANOVA Y BY Block FA Time /RANDOM=Block /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /CRITERIA=ALPHA(0.05) /DESIGN= Block FA Block*FA Time Time*FA Time*Block. Στο παράδειγµα αυτό η τροποποίηση έγκειται στο ότι έχει συµπεριληφθεί στο υπόδειγµα και ο όρος Time*Block. Αν ο παράγοντας χρόνος (Time) αντιστοιχεί σε έτη (Years) η αλληλεπίδραση Years Block είναι συνήθως στατιστικά σηµαντική και το µέσο τετράγωνο που αντιστοιχεί σε αυτή χρησιµοποιείται για τον έλεγχο στατιστικής σηµαντικότητας της κύριας επίδρασης του παράγοντα Years. Η στατιστική σηµαντικότητα της αλληλεπίδρασης Years FA ελέγχεται µε βάση το Error b της ANOVA. εύτερη εκδοχή (µονοµεταβλητή προσέγγιση): Θεωρούµε το χρόνο ως παράγοντα Split (sub plot) και αναλύουµε το πείραµα ως Split plot (µε ή χωρίς τροποποίηση) ή αν είναι ήδη Split plot τότε το αναλύουµε ως Split-split plot διορθώνοντας εκ των υστέρων τους βαθµούς ελευθερίας στην ANOVA για τον έλεγχο σηµαντικότητας της κύριας επίδρασης του παράγοντα χρόνος και της αλληλεπίδρασής του µε τους άλλους παράγοντες (πρόκειται για την πιο συντηρητική εκδοχή). Η εκδοχή αυτή είναι χρήσιµη όταν δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση της σφαιρικότητας.

101 101 Παράδειγµα: Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται το πρότυπο του πίνακα της ANOVA ενός πειράµατος βασισµένο στο CRD που περιλαµβάνει a επεµβάσεις (Treatments) µε n επαναλήψεις ανά επέµβαση και b επαναλαµβανόµενες µετρήσεις επί των ιδίων πειραµατικών µονάδων στο χρόνο (Time). Το πείραµα αναλύεται αρχικά ως Split plot (κατά τα γνωστά, χωρίς τροποποίηση). Στη στήλη µε τίτλο Conservative df (συντηρητικοί βαθµοί ελευθερίας) εµφανίζονται οι βαθµοί ελευθερίας βάσει των οποίων θα πρέπει να υπολογιστούν εκ νέου τα Μέσα Τετράγωνα (MS) των πηγών παραλλακτικότητας Time, Time Treatments και Error b. Παρατηρείστε ότι οι συντηρητικοί βαθµοί ελευθερίας προκύπτουν αν οι αρχικοί βαθµοί ελευθερίας για τις πηγές παραλλακτικότητας Time, Time Treatments και Error b διαιρεθούν µε τους βαθµούς ελευθερίας που αντιστοιχούν στην κύρια επίδραση του παράγοντα Time (δηλαδή αν διαιρεθούν διά b-1). Τα νέα Μέσα Τετράγωνα (MS) θα χρησιµοποιηθούν στη συνέχεια για την εξαγωγή συµπερασµάτων. Τέλος, µε βάση το νέο Μέσο Τετράγωνο που αντιστοιχεί στο Error b θα γίνουν και οι όποιες συγκρίσεις µέσων όρων. Source df SS MS Conservative df Among Experimental Units Treatment (A) a-1 SSA SSA/(a-1) Rep* Trt (Error a) a (n-1) SS(MPE) SS(MPE)/a(n-1) Within Experimental Units Response in time (B) b-1 SSB SSB /(b-1) 1 Response by Trt. (A*B) (b-1)(a-1) SSAB SSAB/(b-1)(a-1) a-1 Error b a(b-1)(n-1) SS(SPE) SS(SPE)/a (b-1) (n-1) a(n-1) SS: Άθροισµα τετραγώνων, MS: Μέσα Τετράγωνα, df: βαθµοί ελευθερίας Συνεπώς, τα νέα µέσα τετράγωνα θα πρέπει να υπολογιστούν ως εξής: SSB MS(Time)= 1 SSAB MS(Time Treatment)= a 1 SS( SPE) MS(Error b)= a( n 1) Η εκδοχή αυτή απαιτεί επιπλέον υπολογιστικές πράξεις, οι οποίες θα πρέπει να γίνουν µε το χέρι. Τρίτη εκδοχή (µονοµεταβλητή προσέγγιση): Θεωρούµε το χρόνο ως παράγοντα Strip (αφού στα επίπεδά του δεν µπορεί να γίνει τυχαιοποίηση) και αναλύουµε το πείραµα ως Strip plot (µε ή χωρίς τροποποίηση). Αυτή η προσέγγιση είναι έγκυρη αν ισχύει, πλέον των άλλων προϋποθέσεων, η προϋπόθεση της σφαιρικότητας (sphericity). Τέταρτη εκδοχή (πολυµεταβλητή προσέγγιση): Χρησιµοποιούµε στατιστικές διαδικασίες του SPSS κατάλληλες για πειράµατα µε επαναλαµβανόµενες µετρήσεις

102 102 (όπως είναι για παράδειγµα η διαδικασία General Linear Models for Repeated Measures). Παραδείγµατα: A) Η ιαδικασία του SPSS General Linear Models: Repeated Measures (CRD) A1. Εισαγωγή εδοµένων στο SPSS Για την εφαρµογή της διαδικασίας αυτής θα πρέπει στο φύλλο δεδοµένων του SPSS (Data editor) οι επαναλαµβανόµενες µετρήσεις να καταχωρηθούν σε διαφορετικές στήλες όπως φαίνεται στην Εικόνα Ζ1. Εικόνα Ζ1: Καταχώρηση δεδοµένων στο SPSS για την εφαρµογή της διαδικασίας General Linear Models: Repeated Measures Το συγκεκριµένο παράδειγµα αφορά ένα πείραµα βασισµένο στο CRD µε 2 επεµβάσεις (Treatments, π.χ. 2 Οµάδες ασθενών: Πειραµατική και Ελέγχου), 18 επαναλήψεις (Replication, π.χ. Ασθενείς) ανά επέµβαση και 6 επαναλαµβανόµενες µετρήσεις ουρίας σε ισαπέχοντα χρονικά διαστήµατα (URI_1 έως URI_6). Σηµειώσεις αναγνώστη:

103 103 A2. Εντολές και ρυθµίσεις στο SPSS Εικόνα Ζ2: Εντολές και ρυθµίσεις στο SPSS για την εφαρµογή της διαδικασίας General Linear Models: Repeated Measures Στο πεδίο Within-Subject Factor Name πληκτρολογήστε ένα τυπικό όνοµα για τον παράγοντα χρόνο, π.χ. Time, και στο πεδίο Number of Levels πληκτρολογήστε τον αριθµό 6 (Εικόνα Ζ2). Πατήστε στο πλήκτρο Add. Η ένδειξη Time(6) θα πρέπει να εµφανίζεται στο χώρο δεξιά από το πλήκτρο Add. Πατήστε στο πλήκτρο Define. Θα εµφανιστεί το παρακάτω πλαίσιο διαλόγου (Εικόνα Ζ3).