Συστήματα με πολλαπλές κεραίες

Transcript

1 5/6/16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τεχνικές Διαφορισμού (SIMO/MISO) Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Συστήματα με πολλαπλές κεραίες 1

2 5/6/16 Το Πρόβλημα των διαλείψεων 3 Πρόβλημα: Στα συστήματα κινητών επικοινωνιών και σε διαύλους με επίπεδες διαλείψεις, τα σήματα υποφέρουν από βαθιές διαλείψεις, οδηγώντας σε υποβάθμιση της επίδοσης και την αύξηση του BER σε σχέση με διαύλους AWGN. Διαφορισμός (Diversity) 4 Κίνητρο: Τα σήματα στα συστήματα κινητών επικοινωνιών με επίπεδες διαλείψεις υποφέρουν από βαθιές διαλείψεις. Ιδέα: Αν χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές εκδόσεις του σήματος, που λαμβάνονται/στέλνονται από ασυσχέτιστες διαδρομές (υπόκεινται δηλαδή σε ανεξάρτητες διαλείψεις), η πιθανότητα να βρεθούν ταυτόχρονα σε βαθιές διαλείψεις μειώνεται. Τα σήματα συνδυάζονται κατάλληλα ώστε να έχουμε μικρότερη πιθανότητα σφάλματος, και άρα μεγαλύτερη αξιοπιστία μετάδοσης.

3 5/6/16 Η Λογική του Διαφορισμού 5 Received Power The probability that the two replicas fade simultaneously is small Time or Distance Διαφορισμός (Diversity) 6 Η ιδέα του διαφορισμού μπορεί να εφαρμοσθεί: Στο χώρο Στον χρόνο (διεμπλοκή & κωδικοποίηση) Στη συχνότητα Στην καθυστέρηση (δέκτης RAKE) Στην πόλωση Στην κατεύθυνση αναχώρησης/άφιξης των σημάτων στον πομπό/δέκτη Εδώ μας ενδιαφέρει κυρίως ο διαφορισμός χώρου Στο δέκτη (Receive Diversity SIMO) Στον πομπό (Transmit Diversity MISO) Σε πομπό και δέκτη (ΜΙΜΟ) 3

4 5/6/16 Διαφορισμός (Diversity) 7 Για συνθήκες σκέδασης όπου ισχύει η παραδοχή Clarke (όλα τα κύματα καταφθάνουν με την ίδια πιθανότητα από κάθε γωνία φ στο επίπεδο x-y, δηλ. η APS(φ) είναι η ομοιόμορφη), η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης χώρου δίνεται από την x RH x J0 Bessel Μηδενικής τάξης Πρώτου είδους 1 J0 x cosxcos d 0 Διαφορισμός (Diversity) 8 1 Autocorrelation Function: J 0 (**x / ) x / 4

5 5/6/16 Χωρικός Διαφορισμός στο Δέκτη 9 Η απόσταση μεταξύ των κεραιών στο δέκτη είναι τουλάχιστο ίση με την απόσταση συνάφειας (coherence distance). Τότε ο δέκτης μπορεί να λάβει N r ανεξάρτητες εκδόσεις του ίδιου σήματος. Don t put all your eggs in one basket! Σελίδα 9 Χωρικός Διαφορισμός 10 Έστω p η πιθανότητα η ισχύς του σήματος στο δέκτη να είναι κάτω από ένα προκαθορισμένο επίπεδο στην περίπτωση SISO διαύλου (πιθανότητα να έχω βαθιές διαλείψεις). Για δίαυλο SIMO, η πιθανότητα η ισχύς του σήματος που λαμβάνεται σε N r θέσεις να είναι ταυτόχρονα κάτω από το ίδιο επίπεδο είναι: p N r Άρα η τάξη του διαφορισμού είναι: N r Mε διαφορισμό σε πομπό και δέκτη για τη μέγιστη τάξη ισχύει: Diversity Order NN t r max 5

6 5/6/16 Χωρικός Διαφορισμός 11 Ο όρος τάξη διαφορισμού γίνεται περισσότερο αντιληπτός αν θυμηθούμε τη σχέση πιθανότητας διακοπής με το SNR σε λογαριθμική κλίμακα: η πιθανότητα διακοπής με τάξη διαφορισμού N r φθίνει N r φορές πιο γρήγορα με την αύξηση του SNR σε σχέση με τη περίπτωση ενός και μόνο κλάδου λήψης (χωρίς διαφορισμό). Η τάξη διαφορισμού είναι μια ιδιότητα του διαύλου, όχι του τρόπου μετάδοσης. Βέβαια υπάρχουν άλλοι τρόποι μετάδοσης που επιτρέπουν την εκμετάλλευση της υπάρχουσας τάξης διαφορισμού και άλλοι όχι. Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN 1 H βάση σύγκρισης είναι πάντα ο δίαυλος AWGN. Υποθέτουμε επιπλέον, BPSK Το BPSK είναι antipodal: y xi n i 1, x Η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται εκθετικά με το SNR E E s s a P pe Q Q SNR SNR N o No N i a o 6

7 5/6/16 Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 13 Στην περίπτωση επίπεδων διαλείψεων τύπου Rayleigh το λαμβανόμενο σήμα είναι y hx n Η κρουστική απόκριση του διαύλου είναι i.i.d. μιγαδική Gauss τ.μ. µε µηδενική µέση τιµή καιµε διασπορά E h 1 h CN ( 0,1) Άρα Re[h] και Im[h] έχουν µηδενική µέση τιµή και ίδια διασπορά ίση με 1/. Άρα το πλάτος του h ακολουθεί την Rayleigh, ενώ η φάση του θα ακολουθεί την οµοιόµορφη. Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 14 Αν υποθέσουμε BPSK (αντιποδικά σήματα xi a ) εξαιτίας της τυχαίας φάσης του h, δεν είναι δυνατή η ασύγχρονη ανάκτηση (δηλαδή χωρίς γνώση του h) της πληροφορίας ακόμη και απουσία θορύβου. Αποδεικνύεται ότι μόνο κάποια κωδικοποίηση (π.χ. στο χρόνο) μπορεί να βοηθήσει στην ανάκτηση (π.χ. με ορθογωνικά σήματα και δέκτη ενέργειας ή τετραγωνικού νόμου). Σε αυτή την περίπτωση 1 P p e 1SNR E SNR N s o a N o 7

8 5/6/16 Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 15 Υποθέτουμε BPSK στον πομπό και σύγχρονη αποδιαμόρφωση στο δέκτη. Δηλαδή ο δίαυλος είναι μεν τυχαίος αλλά γνωστός στο δέκτη. Η γνώση προέρχεται από τη διαδικασία της εκτίμησης του διαύλου (channel estimation). Η ανάκτηση γίνεται με βάση την εξής πραγματική επαρκή στατιστική * * r Re h y Re h x h n h x z όπου z N( 0, N o / ) Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 16 Αποδεικνύεται ότι η δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου h είναι Παρατηρήστε ότι SNR P h Q h ( h SNR) είναι το στιγμιαίο SNR Και η πιθανότητα σφάλματος ως μέση τιμή ως προς το δίαυλο 1 SNR P p e 1 1 SNR 8

9 5/6/16 Πιθανότητα Σφάλματος σε Διαλείψεις 17 Για υψηλές τιμές του SNR η ανάπτυξη σε σειρά Taylor δίνει SNR O 1 SNR SNR SNR Και η πιθανότητα γίνεται 1 SNR 1 P p e 1 1 SNR 4SNR Δηλαδή αντιστρόφως ανάλογη του SNR (που αντιστοιχεί σε AWGN). Σύγκριση AWGN vs Rayleigh Fading 18 9

10 5/6/16 Σύγκριση AWGN & Rayleigh Fading 19 In Rayleigh fading the p e plotted in logarithmic scale decreases linearly with SNR in db Σύγκριση AWGN & Rayleigh Fading 0 p e 1/(4* )=

11 5/6/16 Σύγκριση AWGN & Rayleigh Fading 1 Even for large SNR values the probability of error is high if the channel is in deep fade (small values of h ) Διαφορισμός στο Δέκτη 11

12 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη 3 Παραδείγματα τεχνικών συνδυασμού στο δέκτη είναι: Selection Combining Threshold Combining (ή switching diversity) Maximal Ratio Combining Equal Gain Combining Optimum Combining (AWGN + Interference) Hybrid Selection / MRC Απαιτείται γνώση του διαύλου στο δέκτη (coherent combining). 1) A. F. Molisch, Wireless Communications, IEEE Press, 005. ) Proakis, Digital Communications, 4 th Edition, McGraw Hill, 000. Διαφορισμός στο Δέκτη 4 Το κέρδος διαφορισμού εξαρτάται άμεσα από τον τρόπο που συνδυάζονται τα σήματα λήψης. Οι περισσότερες τεχνικές συνδυασμού (combining techniques) είναι γραμμικές: Το τελικό σήμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός (weighted sum) των διαφόρων σημάτων λήψης. Άρα το κάθε σήμα λήψης θεωρείται ότι έχει υποστεί ανεξάρτητες διαλείψεις και το τελικό σήμα που οδηγείται σε αποδιαμόρφωση, προκύπτει από γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους σημάτων (ισοδύναμες εκφράσεις είναι οι fading paths και branches ). 1

13 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη SC 5 Υποθέτουμε ως τεχνική συνδυασμού των λαμβανόμενων σημάτων από τους κλάδους διαφορισμού την Selection Combining (SC). SC: Επίλεξε για αποκωδικοποίηση στο δέκτη το σήμα από τον κλάδο με το μεγαλύτερο SNR. Το στιγμιαίο SNR του i οστού κλάδου είναι Es h i1,, N N i i r o Άρα επιλέγουμε τον κλάδο με το μέγιστο γ i. Διαφορισμός στο Δέκτη SC 6 Το μέσο SNR για SC είναι Es E max h i1,, N i No E SC i r SC Η μέση τιμή υπολογίζεται σε διαφορετικές υλοποιήσεις του διαύλου. Σε περιβάλλον διαλείψεων Rayleigh, το πλάτος του διαύλου ακολουθεί κατανομή Rayleigh, ενώ η στιγμιαία ισχύς h i (και άρα και ο λόγος γ i ) ακολουθούν την εκθετική κατανομή. 13

14 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη SC 7 Για τη στιγμιαία ισχύ η pdf της εκθετικής γράφεται p i Και αντίστοιχα h h i p i 1 h exp i i 1 exp i Όπου θεωρούμε ίδια μέση ισχύ σε κάθε κλάδο και Es E E h i1,, N N i i i r o Διαφορισμός στο Δέκτη SC 8 Η πιθανότητα διακοπής της i οστής ζεύξης είναι s 1, i exp i 1 exp s Pout s P i s di 0 όπου γ s είναι η τιμή κατωφλίου που ορίζουμε τη διακοπή. Η πιθανότητα διακοπής της ζεύξης για N r κλάδους είναι Pout Pmax i s PSC s i P 1,,, N r s 14

15 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη SC 9 Όμως οι δίαυλοι στους κλάδους θεωρούνται ανεξάρτητοι και άρα η από κοινού σ.π.π. είναι το γινόμενο των επιμέρους, δηλαδή Pout s PSC s P 1,,, N r s P1 s P sp N r s N r s Pi s 1exp i1 Άρα η πιθανότητα διακοπής (που είναι η c.d.f. του σηματοθορυβικού λόγου στην έξοδο, γ SC ) μειώνεται εκθετικά με το πλήθος των κλάδων N r. Διαφορισμός στο Δέκτη SC Probability of Outage 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 Pout Normalized s ( s /) [db] 15

16 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη SC 31 Η επίδοση του SC αποτιμάται και σε BER για διαμόρφωση BPSK. Με δεδομένη την δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου ή ισοδύναμα του σηματοθορυβικού λόγου γ SC P SC Q SC Υπολογίζουμε την πιθανότητα σφάλματος ως μέση τιμή ως προς το δίαυλο Selection Combining SC 3 Το μέσο SNR είναι N r 1 E p d i SC SC SC SC SC 0 Η πιθανότητα σφάλματος για BPSK δίνεται από τη σειρά N 1 r k pe 1 k 0 k k i1 E.A. Neasmith and N.C. Beaulieu, "New Results on Selection Diversity", IEEE Trans. on Comms, Vol.46, No.5, MAY

17 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη 33 Υποθέτουμε N r πλήθος κεραιών δέκτη. Ο δίαυλος είναι διάνυσμα με N r ανεξάρτητους Rayleigh διαύλους (i.i.d. Rayleigh). Υποθέτουμε ότι το εκπεμπόμενο σήμα x (με τα σύμβολα προς μετάδοση) έχει μοναδιαία διακύμανση (unit variance). Για να μελετήσουμε το διαφορισμό σε πολλές διαφορετικές τιμές E s /N o γράφουμε E s y h x n No Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 34 Υποθέτουμε τώρα ως τεχνική συνδυασμού των λαμβανόμενων σημάτων από τους κλάδους διαφορισμού την Maximal Ratio Combining (MRC). MRC: Είναι γραμμική τεχνική συνδυασμού: Το τελικό σήμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός (weighted sum) των διαφόρων σημάτων λήψης. Το στιγμιαίο SNR του i οστού κλάδου είναι Es i hi i1,, nrx N o Σε κάθε κλάδο η τεχνική εφαρμόζει ένα βάρος w i με στόχο τη μεγιστοποίηση του SNR. 17

18 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 35 Απαιτείται γνώση της φάσης του σήματος που εισέρχεται σε κάθε branch. Η φάση i hi του i- οστού κλάδου αφαιρείται πολλαπλασιάζοντας με το συντελεστή: h e 1 j h1 x n1 h e jh w1 w 3 x h e jh3 x x w x x 3 x + n + n jhn r h e x n w jh i i i i j i w ae ae Για το πλάτος του βάρους θα μιλήσουμε στη συνέχεια. y MRC Σ Combiner output Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 36 Η έξοδος του συνδυαστή είναι MRC MRC MRC T MRC MRC 1 y wmrcy i i i1 y w w w w y T E s Es T T wmrc hxn wmrchxwmrcn N o No Η στιγμιαία ισχύς του επιθυμητού σήματος είναι E E E E x E x N N N T T T s s s wmrch wmrch wmrch o o o 18

19 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 37 Η ισχύς του θορύβου είναι E T T H * wmrcn EwMRCnn wmrc όπου έχουμε υποθέσει ότι ο θόρυβος είναι ZMSCCG με H E n E nn I Άρα το στιγμιαίο SNR w E nn w w T H * T MRC MRC MRC MRC E N N s o r w T MRC w h T MRC Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 38 Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy Schwartz Και άρα T MRC T MRC w h w h T T wmrch w s s MRC h s T T o wmrc o wmrc o E E E MRC N N N Η ισότητα στην Cauchy Schwartz επιτυγχάνεται για h w h w h MRC * T H MRC 19

20 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 39 Άρα E E E s s s MRC h hi hi i No No i1 i1 No i1 Η μέση τιμή του είναι MRC EMRC Ei i i1 i1 Άρα προκύπτει ένα κέρδος ισχύος που καλείται κέρδος συστοιχίας (array gain) που γίνεται εμφανές στο SNR επιπλέον του κέρδους διαφορισμού (diversity gain). Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 40 Η σ.π.π του στιγμιαίου SNR σε κάθε κλάδο είναι εκθετική 1 i exp i p i Επειδή οι κλάδοι είναι στατιστικά ανεξάρτητοι, και επειδή το SNR στην έξοδο του συνδυαστή είναι το άθροισμα των επιμέρους, αποδεικνύεται ότι η σ.π.π. είναι p MRC MRC 1 1 MRC exp N 1! r MRC 0

21 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 41 Η πιθανότητα διακοπής πλέον είναι nrx k 1 s s out, 1 exp MRC s P MRC s k 1 k 1 k 1! P 1 Διαφορισμός στο Δέκτη 4 Υποθέτουμε BPSK στον πομπό με Η δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου h είναι x a h h SNR h P Q Q Το λαμβανόμενο SNR για δεδομένο διάνυσμα h είναι Αν υποθέσουμε διαλείψεις Rayleigh τότε η τ.μ. h h SNR N r hi i= 1 = å hi CN ( 0,1) 1

22 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη 43 είναι μια τ.μ. άθροισμα N r ανεξάρτητων πραγματικών τ.μ. Gauss, αφού κάθε όρος h i είναι το άθροισμα των τετραγώνων του πραγματικού και φανταστικού μέρους του h i. Άρα η τ.μ. h ακολουθεί την κατανομή Chi square (χ ) με N r βαθμούς ελευθερίας και p.d.f ( ) 1 = ³ 0 1! N r -1 -x f x x e x ( N - ) r Διαφορισμός στο Δέκτη 44 Άρα η μέση πιθανότητα σφάλματος υπολογίζεται όπου e p Q x f x dx i 1 i0 i 1 mean SNR per diversity branch i

23 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη MRC Probability of Outage 10-1 nrx = 1 nrx = nrx = 3 nrx = 4 Pout Normalized s ( s /) [db] Maximal Ratio Combining MRC p e =1 = =3 =4 Increased diversity gain SNR (db) 3

24 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη 47 Για μεγάλες τιμές του SNR αποδεικνύεται ότι Άρα p SNR 4 N 1i 1 r 1 1 r 1 e N N r 4SNR i0 i 4SNR Δηλαδή αντιστρόφως ανάλογη της N r δύναμης του SNR. Διαφορισμός στο Δέκτη MRC 48 Η επίδοση του MRC αποτιμάται και σε BER για διαμόρφωση BPSK. Με δεδομένη την δεσμευμένη πιθανότητα σφάλματος δεδομένου του διαύλου ή ισοδύναμα του σηματοθορυβικού λόγου γ MRC P MRC Q MRC Υπολογίζουμε την πιθανότητα σφάλματος ως μέση τιμή ως προς το δίαυλο 4

25 5/6/16 Διαφορισμός στο Δέκτη 49 Πολλές φορές λέμε ότι το κέρδος συστοιχίας προκύπτει επειδή κατά τον συνδυασμό μεγίστου λόγου έχουμε την συμφασική άθροιση του επιθυμητού σήματος (που επιτυγχάνεται με τα σωστά βάρη, δηλ. τα βάρη που έχουν επιλεγεί με βάση τη φάση του σήματος σε κάθε κλάδο), ενώ ταυτόχρονα για το θόρυβο (ο οποίος είναι ανεξάρτητος στους διαφορετικούς κλάδους) δεν έχουμε συμφασική άθροιση (οι φάσεις στα βάρη επιλέγονται με βάση το σήμα και όχι το θόρυβο). Αυτό προαπαιτεί ικανή απόσταση μεταξύ των κεραιοστοιχείων ώστε να έχουμε αμελητέα αμοιβαία σύζευξη. Διαφορισμός στο Δέκτη 50 Προσοχή: Με εφαρμογή διαφορισμού στο δέκτη είναι δυνατό να έχω μόνο κέρδος διαφορισμού και όχι ισχύος, όπως π.χ. στην τεχνική selection combining. Αντίστοιχα, αν έχω συσχετισμένα σήματα δεν προκύπτει κέρδος διαφορισμού αλλά μόνο κέρδος συστοιχίας. Ο διαφορισμός με MRC είναι ισοδύναμος με receive beamforming, επειδή ο εξαναγκασμός σε κοινή φάση υπονοεί τη στροφή του διαγράμματος ακτινοβολίας σε συγκεκριμένη κατεύθυνση. 5

26 5/6/16 Maximal Ratio Combining MRC 51 Η έξοδος του συνδυαστή γράφεται y E w hxw n s T T MRC MRC MRC No E E h h h n h h n s H H s H x x No No E s * hi xhini No i1 i1 Constant Signal Noise Αυτή είναι μια εύκολα αποκωδικοποιήσιμη μορφή (με ML detectors) Maximum Likelihood for MRC 5 Η μορφή y ConstantSignal Noise είναι εύκολα αποκωδικοποιήσιμη χρησιμοποιώντας τον Maximum Likelihood detector, όταν ο θόρυβος είναι AWGN. Υποθέτουμε για το λαμβανόμενο ότι μπορεί να γραφεί Es * y hi xhini Kxz No i1 i1 όπου η σταθερά K εξαρτάται από το κέρδος του διαύλου μεταξύ πομπού και δέκτη, x είναι το σύμβολο προς ανάκτηση και z CN N = ( 0, o z) 6

27 5/6/16 Maximum Likelihood for MRC 53 Αποδεικνύεται ότι ο δέκτης ML εκτιμά το σύμβολο βασισμένος στην ελαχιστοποίηση xˆ arg min K 1 x y x xs Αν η διαμόρφωση χρησιμοποιεί σηματαστερισμούς με σύμβολα ίσης ενέργειας (π.χ. PSK), τότε ο πρώτος όρος στην παρένθεση παίρνει τις ίδιες τιμές για διαφορετικά σύμβολα από το αλφάβητο S και μόνο ο δεύτερος όρος χρειάζεται, i.e. xˆ arg min yx xs Equal Gain Combining EGC 54 Στο MRC πρέπει να παρακολουθούμε το κέρδος του διαύλου συνεχώς. Το κανάλι όμως μπορεί να υποφέρει από γρήγορες και βαθιές διαλείψεις. Στο EGC δεν χρειάζεται να θέτουμε τιμή στο πλάτος των βαρών, παρά μόνο στη φάση jh i i i i i ji w e e wh h * H N arg arg r j h T j h T wegc e wegc e wegch hi i1 7

28 5/6/16 Equal Gain Combining EGC 55 Η έξοδος του συνδυαστή είναι N E E r j argh H y w hxw n h xe n s T T s EGC EGC EGC i No No i 1 Η στιγμιαία ισχύς του επιθυμητού σήματος είναι Η ισχύς θορύβου είναι E E E E x h N N N N r s T s T s wmrch wmrch i o o o i 1 E T T MRC MRC w n w Equal Gain Combining EGC 56 Άρα το στιγμιαίο SNR είναι EGC N r hi i s i1 i1 E N N N o r r Η μέση τιμή για Rayleigh fading είναι N 1 E r s EGC E EGC E hi No i

29 5/6/16 Σύγκριση EGC vs. MRC 57 Συγκρίνοντας EGC και MRC με όρους μέσου SNR παρατηρούμε ότι η επίδοση του EGC είναι χειρότερη από εκείνη του MRC κατά ένα παράγοντα π/4 MRC EGC Η επίδοση του EGC είναι πολύ κοντά στου MRC, τυπικά με επιβάρυνση μικρότερη από 1 db στην ισχύ. Αυτό είναι το τίμημα της μικρότερης πολυπλοκότητας λόγω χρήσης ίσων πλατών. 58 Χωρητικότητα SISO SIMO Βασικές εξισώσεις και μεγέθη χωρητικότητας συστημάτων. 9

30 5/6/16 Χωρητικότητα SISO για AWGN 59 Χωρητικότητα (Capacity): Ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης που μπορεί να επιτευχθεί, με αμελητέα πιθανότητα σφάλματος στο δέκτη. Θεωρώντας μοντέλο συστήματος P είναι ο περιορισμός ισχύος στον πομπό Β το εύρος ζώνης του διαύλου και w N 0 B η μέση ισχύς θορύβου y x n P C B log 1 bits / sec w B log 1SNR Χωρητικότητα SISO για AWGN 60 Διαιρώντας με το εύρος ζώνης προκύπτει η φασματική απόδοση (spectral efficiency) C log 1 SNR bits / sec / Hz Αυτή η συνάρτηση είναι κοίλη (concave) αφού δηλαδή όσο μεγαλύτερο είναι το SNR τόσο μικρότερη είναι η αύξηση της φασματικής απόδοσης. Σημείωση: Αν ήταν κυρτή (convex) θα ίσχυε f SNR 0 SNR 0 f SNR 0 SNR 0 30

31 5/6/16 Χωρητικότητα SISO για AWGN 61 Επιπλέον log1 x xloge για x0 log 1 x log x για x1 Άρα για χαμηλά SNR η χωρητικότητα αυξάνει γραμμικά με τη λαμβανόμενη ισχύ. Ενώ για υψηλά SNR η χωρητικότητα αυξάνει λογαριθμικά με τη λαμβανόμενη ισχύ. C.E. Shannon, A mathematical theory of communication, Bell System Technical Journal, 7, pp and , C.E. Shannon, Communication in the presence of noise, Proceedings of the IRE, 37, pp.10 1, Σελίδα 61 Χωρητικότητα SISO για AWGN log (1+SNR) SNR Σελίδα 6 31

32 5/6/16 63 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Αργές Διαλείψεις : Θεωρούμε ότι ο δίαυλος είναι τυχαίος αλλά παραμένει σταθερός με το χρόνο (τουλάχιστο για τη διάρκεια μιας κωδικής λέξης). Πρακτικά μιλάμε για δίαυλο με αργές διαλείψεις. (Μη εργοδικό, non ergodic channel) Θεωρούμε ότι y hx n Για δεδομένη μια υλοποίηση του διαύλου h η περιγραφή είναι ίδια με εκείνη σε AWGN δίαυλο με λαμβανόμενο SNR πλέον ίσο με h SNR και C log 1 h SNR bps / Hz 64 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Αργές Διαλείψεις : Αφού ο δίαυλος είναι τυχαίος το ίδιο ισχύει και για τη χωρητικότητα. Θεωρούμε ότι ο πομπός κωδικοποιεί με ρυθμό R bps/hz. Αν ο δίαυλος είναι τ.ω. log 1 h SNR R τότε οποιαδήποτε και αν είναι η κωδικοποίηση, η πιθανότητα σφάλματος δεν μπορεί να είναι αυθαίρετα μικρή και το σύστημα είναι σε διακοπή. Η πιθανότητα διακοπής (outage probability) είναι Pr log 1 SNR pout R h R 3

33 5/6/16 Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις 65 Να σημειωθεί ότι ενώ σε δίαυλο AWGN μπορούμε να έχουμε μετάδοση με ρυθμό μικρότερο από C διατηρώντας την πιθανότητα σφάλματος όσο μικρή θέλουμε, σε δίαυλο με αργές διαλείψεις αυτό δεν είναι δυνατό όσο η πιθανότητα ο δίαυλος να είναι σε βαθιά διάλειψη είναι μη μηδενική. ε Outage Capacity : Ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης R τ.ω. η πιθανότητα διακοπής είναι μικρότερη από ε p R out L. Ozarow, S. Shamai, A.D. Wyner, Information theoretic considerations for cellular mobile radio, IEEE TVT, 43(), pp , Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Συνήθως για έναν wireless content provider το πιο σημαντικό κριτήριο είναι το QoS που θα προσφέρει. Το QoS μπορεί να ποσοτικοποιηθεί με μεγέθη όπως η χωρητικότητα διακοπής: Αν ε=1% είναι η πιθανότητα διακοπής για χωρητικότητα διακοπής R, τότε ο πάροχος μπορεί να εξασφαλίσει ένα ρυθμό R για το 99% των τυχαίων υλοποιήσεων του διαύλου. Λόγω της στατικότητας του διαύλου μπορούμε να αντιστοιχήσουμε μια πιθανότητα διακοπής σε κάθε ρυθμό μετάδοσης. 33

34 5/6/16 67 Χωρητικότητα SIΜO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Στην περίπτωση που έχουμε διαφορισμό στο δέκτη το λαμβανόμενο SNR είναι h SNR Η outage capacity είναι αντίστοιχα log 1 h SNR pout R P R A. Goldsmith and P. Varaiya, Capacity of fading channel with channel side information, IEEE IT, 43, pp , Σελίδα Χωρητικότητα SISO για Δίαυλο με Γρήγορες Διαλείψεις Γρήγορες Διαλείψεις : Όταν η κωδική λέξη διαρκεί πολλαπλάσιο μιας περιόδου συνοχής, τότε επιτυγχάνεται χρονικός διαφορισμός και η outage probability βελτιώνεται. Λέμε ότι ο δίαυλος υπόκειται σε γρήγορες διαλείψεις. (ergodic channel) Αποδεικνύεται ότι η χωρητικότητα δίνεται από log 1 h SNR / C E bps Hz Άρα μπορούμε να πάρουμε τη μέση τιμή από διαδοχικές ανεξάρτητες διαλείψεις του διαύλου και να χρησιμοποιήσουμε κωδικές λέξεις μεγάλου μήκους (πολλών περιόδων συνοχής) αποδοτικά. 34

35 5/6/16 69 Διαφορισμός στον Πομπό Διαφορισμός στον Πομπό 70 Στον πομπό υπάρχουν πολλές κεραίες και η ισχύς εκπομπής μοιράζεται σε αυτές τις κεραίες. Η τεχνική εξαρτάται από το αν το κανάλι είναι γνωστό στον πομπό ή όχι Αν το κανάλι είναι γνωστό, τότε η τεχνική είναι όμοια με το διαφορισμό στο δέκτη.(closed Loop Transmit Diversity ή Transmit Beamforming ή MRT) Αν το κανάλι δεν είναι γνωστό, τότε απαιτείται υλοποίηση τεχνικών κωδικοποίησης χώρου και χρόνου (Space Time Coding), με πιο γνωστό παράδειγμα την τεχνική Alamouti. 35

36 5/6/16 Διαφορισμός στον Πομπό MRT 71 Πριν την ανάπτυξη τεχνικών διαφορισμού στον πομπό, τα κέρδη του διαφορισμού σε συνθήκες διαλείψεων επιτυγχάνονταν μόνο με τεχνικές στο δέκτη. Στα κυψελωτά, αυτό σήμαινε ότι ήταν δυνατή η εφαρμογή διαφορισμού μόνο στο BS, λόγω της αδυναμίας εξεύρεσης πολλαπλών κεραιών στο δέκτη του κινητού τερματικού (λόγω έλλειψης χώρου και μπαταρίας). Άρα τα κέρδη του διαφορισμού τα είχαμε στην αντίστροφη (άνω) ζεύξη. Το κίνητρο ανάπτυξης τεχνικών διαφορισμού στον πομπό ήταν η επέκταση του κέρδους διαφορισμού και στην ευθεία ζεύξη χωρίς να χρειάζεται να προστεθούν πολλαπλές κεραίες και αλυσίδες RF στα κινητά. Διαφορισμός στον Πομπό MRT 7 Αναπαράσταση της τεχνικής w 1 r e 1 j 1 r e j w Nt j N t r e yt w Nt

37 5/6/16 Διαφορισμός στον Πομπό MRT 73 Ο πομπός γνωρίζει τα path gains Side Information at the Tx, CSIT) Η ενέργεια ενός συμβόλου είναι την ισχύ του (Τ s = 1sec) j r i e (Channel και είναι ίση με Κάθε κλάδος πολλαπλασιάζεται με ένα μιγαδικό βάρος ji w a e i i E s i Έχω δηλαδή λύση παρόμοια με το MRC Η τάξη διαφορισμού είναι ίση με το πλήθος των κεραιών στον πομπό (N t ). Space Time Coding 74 Η χωροχρονική κωδικοποίηση προτάθηκε από τον V. Tarokh (*) το 1998 ως τεχνική βελτίωσης της αξιοπιστίας μιας ζεύξης υπό συνθήκες διαλείψεων. Κωδικοποίηση ώστε να εισαχθεί συσχέτιση ανάμεσα στα σήματα που μεταδίδονται από: Τις διάφορες κεραίες (στο πεδίο του χώρου) Σε διάφορες χρονικές στιγμές (στο πεδίο του χρόνου). Η συσχέτιση επιτυγχάνεται μέσω της εισαγωγής πλεονασμού (redundancy). (*) V. Tarokh, N. Seshadri, A.R. Calderbank, Space time codes for high data rate wireless communications: Performance criteria and code construction, IEEE Trans. on Inf. Theory, Vol.44, No, pp ,

38 5/6/16 Space Time Coding 75 Έχουν αναπτυχθεί διάφορα κριτήρια για τη σχεδίαση τεχνικών χωρο χρονική κωδικοποίησης ανάλογα με το κέρδος που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε (diversity or coding gain). G Για υψηλές τιμές SNR, d pe Gc SNR η μέση πιθανότητα σφάλματος όπου G c είναι το coding gain, και G d είναι το diversity gain ή τάξη διαφορισμού. Το G d καθορίζει την κλίση της καμπύλης p e vs. SNR, για μεγάλες τιμές SNR, σε κλίμακα log log. Το G c (σε db) καθορίζει την ολίσθηση της καμπύλης σε σχέση με μια καμπύλη πιθανότητα σφάλματος αναφοράς SNR G d Κέρδη με πολλαπλές κεραίες 76 SER 38

39 5/6/16 Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 77 Μια απλή αλλά πολύ έξυπνη τεχνική διαφορισμού όταν ο δίαυλος δεν είναι γνωστός στον πομπό. Δεν απαιτεί γνώση του διαύλου στον πομπό. Ο δίαυλος θεωρείται σταθερός για Τ s. Τάξη Διαφορισμού: Κέρδος συστοιχίας: Όχι Ο x χωρο χρονικός πίνακας μετάδοσης είναι E x1 x x S x x1 (Τα σύμβολα είναι ανεξάρτητα και η μισή ισχύς εκπέμπεται από κάθε κεραία) Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 78 x1, x S x x 1 * * x x1 Χρόνος x 1 * x x * x 1 h 1 h n1 n y1 y h 1 h y 1 y xˆ, xˆ 1 39

40 5/6/16 Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 79 Τα λαμβανόμενα σύμβολα σε περίοδο T s είναι Ex Ex y1 hx 1 1 hx n1 Ex * Ex * y h x h x n και τα αναδιατάσσουμε ως εξής 1 1 y1 E h1 h x x1 n1 Ex y * y h x Hx n h1 n n x [ x1 x] T n1 n T Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 80 Στην έξοδο του γραμμικού συνδυαστή στο δέκτη ή το λαμβανόμενο διάνυσμα περιγράφεται απλά με H τον πολ/σμό από αριστερά με τον πίνακα H H Ex H H E y H y H HxH n x aixn όπου y hyhy και y hyhy * * * * h i i1 a h h h 40

41 5/6/16 Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 81 Παρατηρήστε ότι οι στήλες του πίνακα H είναι ορθογώνιες και άρα ο πίνακας H H H είναι ένας μοναδιαίος Ι με βάρος E / h h Επιπλέον, τα στοιχεία του διανύσματος θορύβου παραμένουν ασυσχέτιστα Gauss με μηδενική μέση τιμή και διασπορά h h x 1 * * * h1 h h 1 h hh 1 1hh hh 1 hh 1 h * h h1 h 1 hh 1hh 1 hh hh h h I 1 Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 8 Άρα αναλυτικά γράφουμε Ex * * y 1 h1 h x1 h1n1 hn Kx1 z1 E y h h x hn hn Kx z x * * Σε κάθε εξίσωση υπάρχει μόνο ένας άγνωστος i Constant Signal Noise y Συνεπώς η ανάκτηση των y1, y διασπάται σε δύο ορθογώνια βαθμωτά προβλήματα ανάκτησης, γεγονός που μειώνει την πολυπλοκότητα του δέκτη. 41

42 5/6/16 Alamouti Space Time Coding (x1) 83 Ο δέκτης Maximum Likelihood (ML) χρησιμοποιείται για την ανάκτηση των μεταδιδόμενων συμβόλων με βάση τα κριτήρια xˆ arg min y Kx arg min K 1 x y x x1s x S x S xs xˆ argmin y Kx argmin K 1 x y x Για σηματαστερισμούς με σύμβολα ίσης ενέργειας xˆ arg min y x arg min d y, x x S x S 1 1 xˆ arg min y x arg min d y, x x S x S Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) 84 Παρατηρήστε ότι η τάξη διαφορισμού είναι επειδή τα κανάλια που συμμετέχουν στην ενεργό εξασθένηση θα πρέπει να βρίσκονται ταυτόχρονα σε βαθιά διάλειψη ώστε ο συνολικός δίαυλος να υποφέρει από διαλείψεις. Ενώ έχουμε διαφορικό κέρδος, δεν έχουμε κέρδος συστοιχίας. 1 a h h h 4

43 5/6/16 Alamouti Space Time Coding (xn r ) 85 Στο δέκτη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε περισσότερες κεραίες. Οι κανόνες συνδυασμού είναι όπου * * * * 1 i1 i1 i i i i1 i1 i i1 i1 y h y h y and y h y h y E E y hx hx n x x i1 i1 1 i i1 E E y h x h x n x * x * i i1 i 1 i Alamouti Space Time Coding (xn r ) 86 Άρα y h x h n h n Kx z * * 1 ij 1 i1 i1 i i i1 j1 i1 1 1 y h x h n h n Kx z * * ij i i1 i1 i i1 j1 i1 43

44 5/6/16 Επίδοση Alamouti STC 87 Σε όρους diversity gain, μια τεχνική xn r Alamouti STC έχει την ίδια επίδοση με μια 1xN r MRC. Και οι δύο τεχνικές δίνουν την ίδια μαθηματική μορφή στην έξοδο των συνδυαστών και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας δέκτης ML δίνοντας την ίδια επίδοση στο BER. Δεν υπάρχει ουσιώδης διαφορά: Στην Alamouti έχουμε πομπούς ενώ στην MRC μόνον 1. Αυτό σημαίνει ότι η εκπεμπόμενη ισχύς διαιρείται με. Άρα, στην τεχνική Alamouti το SNR per diversity branch είναι το μισό από εκείνο στο MRC. Διαφορισμός στον Πομπό (Alamouti) SISO MRC, = Alamouti Nt = 10 - p e SNR (db) S.M. Alamouti, A simple transmitter diversity scheme for wireless communication, IEEE JSAC, 16, pp ,

45 5/6/16 89 Χωρητικότητα MISO Βασικές εξισώσεις και μεγέθη χωρητικότητας συστημάτων. 90 Χωρητικότητα ΜISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις Στην περίπτωση που έχουμε διαφορισμό στον πομπό με πλήρη γνώση του διαύλου το λαμβανόμενο SNR είναι όπως και στην SIMO περίπτωση h SNR Το ίδιο συμβαίνει με την outage capacity log 1 h SNR pout R P R Σελίδα 90 45

46 5/6/16 91 Χωρητικότητα ΜISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις (Alamouti) Στην περίπτωση που έχουμε διαφορισμό με Alamouti, το λαμβανόμενο SNR είναι το μισό SNR h Αυτό συμβαίνει γιατί κάθε χρονική στιγμή τα σύμβολα που εκπέμπονται από τις κεραίες είναι ανεξάρτητα και έχουν το καθένα τη μισή ισχύ. Στην περίπτωση που ο δίαυλος είναι γνωστός στον Tx το SNR είναι διπλάσιο γιατί τα σύμβολα που εκπέμπονται είναι πλήρως συσχετισμένα ώστε στο δέκτη να αθροίζονται συμφασικά. Σελίδα 91 9 Χωρητικότητα ΜISO για Δίαυλο με Αργές Διαλείψεις (Alamouti) Με την τεχνική Alamouti, ο πομπός εκπέμπει σήματα που έχουν ενέργεια σε όλες τις κατευθύνσεις. Η εκπομπή μάλιστα είναι ισοτροπική γιατί τα σήματα είναι ασυσχέτιστα και έχουν την ίδια ισχύ. Όταν έχω γνώση στον Tx η ενέργεια συγκεντρώνεται σε συγκεκριμένη κατεύθυνση (transmit beamforming). Η outage capacity για την περίπτωση Alamouti SNR pout RPlog 1 h R Σελίδα 9 46

47 5/6/16 93 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: e mail: kanatas@unipi.gr 47