( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.28 1 Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t Ø Η σχέση P q Eξετάζουµε την κίνηση του P ως προς ακίνητο παρατηρητή Ø Πόσο µετακινείται το P σε χρόνο dt? Ø Έστω r ( t + dt) r ( t) + d r όπου d r η απειροστή µετατόπιση ˆn d r d r = rsnθdϕ και d r d ϕ d r r δφ Ø Χρησιµοποιώντας το διάνυσµα ˆn r ( t + dt) r ( t) ˆn r = r snθ θ d r = d ϕ r Ø Εποµένως: d r = dϕ ˆn r Ø Θεωρώντας: d ϕ dϕ ˆn d r = d ϕ r Ø Η ταχύτητα του σηµείου P για συνεχή περιστροφή θα είναι: Ø Ορίζουµε γωνιακή ταχύτητα ω: ισχύει µόνο για απειροστές περιστροφές ω d ϕ dt u P = d r dt = d ϕ dt r οπότε: u P = ω r Ø Τα διανύσµατα ω και dφ δεν είναι ακριβώς διανύσµατα αλλά ψευδο-διανύσµατα u ψευδοδιανύσµατα περιστρέφονται σαν διανύσµατα αλλά είναι αµετάβλητα ως προς χωρικούς αντικατοπτρισµούς Χ Χ,Υ Υ,Ζ Ζ

2 Πίνακας περιστροφής ΦΥΣ Διαλ.28 2 q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r = r e e q Η ταχύτητα εποµένως του σηµείου µε διάνυσµα θέσης r r " = r " e τα e είναι σταθερά και δεν µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø Αλλά αν προσπαθήσω να γράψω την ταχύτητα του r στο περιστρεφόµενο σύστηµα τα e δεν είναι σταθερά και µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø H χρονική παράγωγος του r θα αποτελείται από δυο τµήµατα: r " = "r e + r "e Ø Ποια η χρονική παράγωγος των " e? e " = d U e dt = U " e "e = "U U 1 k ek k "e = ( "U U Τ ) e Ø Εποµένως καταλήγουµε ότι: "r = "r e + r ( "U U Τ ) e "r = "r + ( "U U Τ ) r e Διόρθωση για το γεγονός ότι οι άξονες συντεταγµένων δεν είναι σταθεροί χρονικά

3 Πίνακας περιστροφής q Είδαµε ότι στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων: " r = q Ορίζουµε τον πίνακα: A = U U Τ Ø Α αντισυµµετρικός γιατί: U U Τ = 1 d dt A = U U Τ A Τ = ΦΥΣ Διαλ.28 3 ο οποίος είναι αντισυµµετρικός "r + ( "U U Τ ) r ( U U Τ ) = 0 U U Τ + U U Τ = 0 ( U U Τ ) Τ A Τ = ( U Τ ) Τ U Τ A Τ = U U Τ Ø Εποµένως: U U Τ + U U Τ = 0 A + A Τ = 0 A = A Τ e Α αντισυµµετρικός q Α είναι ένας 3 3 αντισυµµετρικός πίνακας 0 Ø Καθορίζεται πλήρως µε τον ορισµό των A = 0 στοιχείων πάνω από την κύρια διαγώνιο 0 Εποµένως τα στοιχεία α 12, α 13 και α 23 0 ω 3 ω 2 0 ω αντισυµµετρικός 3 ω 2 A = 0 ω A = 1 ω 3 0 ω 1 0 ω 2 ω 1 0 q Χρησιµοποιώντας φορµαλισµό δεικτών: A k = ε k ω k µε ε k το σύµβολο Lev-Cvta 1 (,,k) = (1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) k ε ι k = -1 (,,k) = (1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) 0

4 ΦΥΣ Διαλ.28 4 Ταχύτητα σε περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Είδαµε ότι µπορούµε να γράψουµε: Α = q Τα ω είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος: k ε k ω k ω = ω e q Με βάση τα παραπάνω, µπορούµε να γράψουµε τις ποσότητες: " e = "U U Τ e και e " = Α e = ε k ω k e k r " = "r + "U U Τ r e γωνιακή ταχύτητα " e = ω e Ø Από το εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων: e k e = ε k e = ε k e q To διάνυσµα της ταχύτητας θα γραφεί: "r = "r + Α r e "r = "r + r ω q Η παραπάνω απόδειξη ισχύει εν γένει, για οποιοδήποτε διάνυσµα w και την παράγωγό του ως προς χρόνο σε περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς: w = w e = w e w " = "w + w ω e [ ] e Άθροισµα δυο όρων, ο ένας εκ των οποίων είναι κάθετος στα διανύσµατα και ίσος µε e w ω e

5 ΦΥΣ Διαλ.28 5 Επιτάχυνση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς q Θεωρήστε ένα σώµα µε θέση που δίνεται από το διάνυσµα: r = e q Η ταχύτητά του θα είναι: " r = "r + r ω q Η επιτάχυνση του σώµατος (στο περιστρεφόµενο σύστηµα) προκύπτει από την παράγωγο της (1): a = d "r dt e Ø Είδαµε όµως: " "w = dw dt = "w + w ω και θεωρήστε ότι: w = r + r ω d " Ø Εποµένως θα έχουµε: a = [ ( "r + r ω ) + r + r ω dt a = [r "" + r " ω +r " ω + r " " " ω + r ω ω ] e a = r "" + 2 "r ω + "r ω ω + r "ω e (1) r e " ω " e διάνυσµα επιτάχυνσης σε περιστρεφόµενο σύστηµα q Η έκφραση αυτή της επιτάχυνσης οδηγεί στην εισαγωγή «φαινοµενικών» δυνάµεων

6 ΦΥΣ Διαλ ος Νόμος του Newton σε περιστρεφόμενο σύστημα q Θεωρούµε δυο νέα διανύσµατα ορισµένα στο περιστρεφόµενο σύστηµα (αγνοώντας τις διορθώσεις από την περιστροφή των αξόνων) v σωµ. = "r e και a σωµ. = "" r e q Με τα παραπάνω διανύσµατα, το διάνυσµα της επιτάχυνσης στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς µπορεί να γραφεί: a = "" r + 2 "r ω + r ω ω a = a σωµ. + 2 ω v σωµ. + ω + r "ω ω r + " ω r (προσοχή: δεν είναι ταχύτητα ή επιτάχυνση) e F = m a επιτάχυνση σε περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων q Εποµένως για περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς, οι εξισώσεις κίνησης είναι: Ø Σύµφωνα µε τον 2 ο νόµο του Newton: Ø Σύµφωνα µε την έκφραση της πραγµατικής επιτάχυνσης α συναρτήσει της α σωµ. εµφανίζονται 3 νέοι όροι: a 1 = ω ( ω r ) φυγόκεντρος επιτάχυνση a 2 = 2 ω v σωµ. Corols επιτάχυνση a 3 = συνεπίπεδη της κίνησης και ω " κάθετη στη φυγόκεντρο. r Euler επιτάχυνση Εµφανίζεται λόγω µεταβολής της ω

7 ΦΥΣ Διαλ.28 7 Μη αδρανειακές δυνάμεις με φορμαλισμό Lagrange q Θα θέλαµε να βρούµε τις µη αδρανειακές δυνάµεις χρησιµοποιώντας τον φορµαλισµό Lagrange q H Lagrangan ενός σώµατος που κινείται σε ένα δυναµικό, γράφεται: L = 1 2 m "r 2 V ( r) q Στο στατικό σύστηµα συντεταγµένων θα γραφεί: L = 1 2 m r " 2 V ( r) L = 1 2 m r r V r q Οι εξισώσεις κίνησης χρησιµοποιώντας τις στατικές συντεταγµένες βρίσκονται από τις εξισώσεις Euler-Lagrange και την µορφή της Lagrangan από την (2) q Ποια θα ήταν η µορφή των εξισώσεων κίνησης χρησιµοποιώντας τις συντεταγµένες του περιστρεφόµενου συστήµατος q Θυµηθήτε από πριν ότι: r = U 1 r = U T r r = U r q Ενώ η παράγωγος του r ως προς t θα είναι: r = U r +U r (1) (2) q Με βάση τις εξισώσεις (3) και (4) µπορούµε να αντικαταστήσουµε στην (2) και τις εξισώσεις E-L και να χρησιµοποιήσουµε τα r σαν τις δυναµικές µεταβλητές (3) (4)

8 ΦΥΣ Διαλ.28 8 Μη αδρανειακές δυνάμεις με φορμαλισμό Lagrange q Παραλείποντας τους δείκτες θα µπορούσαµε να γράψουµε: r = Ur + Ur q Εποµένως η Lagrangan θα γραφεί: L 1 2 m Ur + Ur V L 1 2 m U Ur 2 + U Urr + UUr 2 q Η εξίσωση Euler-Lagrange: t L r = L U Ur + UUr + U Ur + UU r = V Ar r Euler ω "r Corols φυγόκεντρος ( Ur + Ur ) V (παραλείποντας όρους x2) r t( U Ur + UUr ) = U Ur + U Ur V επιτάχυνση σώµατος q Άσκηση: Προσπαθήστε να λύσετε το παραπάνω µε τους σωστούς δείκτες Σε κάποιους από τους όρους θα πρέπει να θυµηθείτε την συνθήκη ορθοκανονικότητας (π.χ. o όρος που δίνει ) UU r r

9 Εφαρμογές ΦΥΣ Διαλ.28 9 q To κλασικό παράδειγµα ενός περιστρεφόµενου συστήµατος είναι η Γη: Ø Η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = 2π s rad sec q Μια µάζα η οποία κρέµεται στην άκρη ενός εκκρεµούς βρισκόµενο σε γεωγραφικό πλάτος λ : ω y z q Οι περιστρεφόµενες συντεταγµένες συντεταγµένες είναι: λ q Η γωνιακή ταχύτητα x z : κατακόρυφος άξονας y : προς τον βόρρειο πόλο x : «ανατολικά» ω ω = ω 0,cosλ,snλ άξονες συντεταγµένων σώµατος στο σύστηµα συντεταγµένων του σώµατος θα είναι: q Θεωρούµε ότι η µάζα του εκκρεµούς έχει διάνυσµα θέσης (σε συντεταγµένες σώµατος): r = ( 0,0, R γη )

10 Εφαρμογές Κίνηση στην επιφάνεια της Γης ΦΥΣ Διαλ q Ας θεωρήσουµε αρχικά ότι η µάζα δεν κινείται (οπότε η δύναµη Corols είναι 0) ω = ω ( 0,cosλ,snλ ) q Χρειάζεται εποµένως να υπολογίσουµε την φυγόκεντρο δύναµη ω y z Ø Η δύναµη της βαρύτητας είναι: λ r = 0,0, R γη x Ø Η φυγόκεντρος δύναµη είναι: F ϕυγοκ. = m ω ( ω Rcosλ ˆx ) F βαρ. = mgẑ F ϕυγοκ. = m ω F ϕυγοκ. = mω 2 R cos 2 λẑ + snλ cosλŷ q H φυγόκεντρος δύναµη αποτελείται από δυο όρους: Ø H µάζα θα αποκλίνει προς την y-διεύθυνση («νότια»): ² Το αποτέλεσµα «χάνεται» στους πόλους και ισηµερινό Ø Η βαρυτική δύναµη «ελαττώνεται» κατά ένα ποσοστό: ² Το αποτέλεσµα «χάνεται» στους πόλους (cosλ = 0) και γίνεται µέγιστο στον ισηµερινό ω 2 R g 45 o ω 2 R g 45 o 0.3% 0.3% ω r

11 Εφαρμογές Παράδειγμα δύναμης Corols ΦΥΣ Διαλ q Ας θεωρήσουµε ότι αφήνουµε µια µάζα να πέσει από την κορυφή ενός κτιρίου q Πως επιρεάζει η δύναµη Corols την κίνηση του σώµατος? Ø Το αποτέλεσµα της δύναµης αυτής θα είναι πολύ µικρό Ø Σε χαµηλότερη τάξη µεγέθους, η ταχύτητα θα είναι: υ o = gtẑ (το σώµα αφέθηκε την στιγµή t=0, να πέσει από το σηµείο x=y=0, z=z): Ø H δύναµη Corols θα είναι: F Corols = 2ω 0,cosλ,snλ F Corols = 2 ω v = 2 ω v 0 +" ( gtẑ) F Corols = 2ω cosλ ( gt) ˆx Ø H δύναµη αυτή θα είναι (1 η τάξη αναπτύγµατος της επιτάχυνσης του σώµατος): F Corols = m "v 1 = 2mωgt cosλ ˆx ² Όπου: v = v 0 + v v1 = ωgt 2 cosλ ˆx 1 +" Ø H απόκλιση της θέσης του σώµατος είναι: d r = v 1 dt = ωgt 3 cosλ ˆx 3 Ø Το σώµα αυτό θα αποκλίνει «ανατολικά» Ø Στο νότιο ηµισφαίριο, λ<0, το σώµα θα αποκλίνει «δυτικά» Ø Για ένα 10-όροφο κτίριο η απόκλιση είναι ~5mm

12 Εφαρμογές Το εκκρεμές Foucault q Έχουµε ένα σφαιρικό εκκρεµές θ ( x, y,z) L = 1 2 m x 2 + y 2 + ΦΥΣ Διαλ q Μπορούµε να γράψουµε την Lagrangan του συστήµατος σε σφαιρικές συντεταγµένες όπως έχουµε κάνει πολλές φορές q Αλλά στην περίπτωση αυτή είναι καλύτερο να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο των πολ/στων Lagrange και να αφήσουµε τα x, y, z σαν ανεξάρτητες συντεταγµένες q H Lagrangan θα είναι: ( z 2 ) mg z Ø σε «αδρανειακές» συντεταγµένες και θα πρέπει να µετατρέψουµε σε συντεταγµένες σώµατος (περιστροφικές) q Η ταχύτητα «σώµατος», v σωµ. θα είναι: v aδρaν. = v σωµ. + ω r q Άρα v 2 aδρaν. = v aδρaν. v aδρaν. v 2 = aδρaν. v 2 + σωµ. v σωµ. ( ω r ) + ( ω r ) v σωµ. + ω ( r ) ( ω r ) q Aλλά ω = ω ( 0,cosλ,snλ ) ενώ είδαµε ότι: ω ~ ω r q Ο όρος v 2 = σωµ. "x2 + "y 2 + "z 2 (4) q Τέλος ο όρος v σωµ. ω r v σωµ. ω r ˆx x"z z"x = ω y"z z"y µπορεί να γραφεί ŷ + ( x"y y"x )ẑ = ω (1) (2) 2 0 ( r v σωµ. ) = ω y ( xz zx ) + ω z ( xy yx ) (3) (5)

13 Το εκκρεμές Foucault ΦΥΣ Διαλ q Συλλέγοντας τους όρους από τις εξισώσεις (3), (4) και (5) η (2) γίνεται: 0 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2ω cosλ ( xz zx ) + 2ω snλ ( yx xy )+O ω 2 q Υποθέτουµε ότι το z είναι ~ σταθερό: Ø Τότε ο όρος της Lagrangan z 2 = 0 Ø Επίσης µπορούµε να αγνοήσουµε τον όρο: 2ω cosλ xz zx ² γιατί ο 2 ος όρος θα είναι ~0 ² ενώ ο 1 ος όρος γράφεται σαν: xz = d xz dt που είναι ολικό διαφορικό και η δυναµική δεν αλλάζει αν προσθέσουµε στην Lagrangan ολικό διαφορικό q Επίσης: z 2 = l 2 x 2 y 2 z 2 = l 2 1 x2 + y 2 l 2 z = l 1 x2 + y 2 l 2 z l 1 x2 + y 2 2l 2 z l x2 + y 2 2l q Eποµένως η Lagrangan γίνεται: L = m 2 x2 + y 2 + mω snλ yx xy mg x2 + y 2 q Μετά τις απλουστεύσεις αυτές µπορούµε να υπολογίσουµε τις εξισώσεις κίνησης: 2l

14 Το εκκρεμές Foucault εξισώσεις κίνησης ΦΥΣ Διαλ q Βρήκαµε ότι την Lagrangan: L = m ( 2 x2 + y 2 ) + mω snλ ( yx xy ) mg x2 + y 2 2l q Οι εξισώσεις θα είναι: d dt L x d L dt x = d mx mω snλy dt L x = mω snλ y mg x l d L dt y q Ανάλογα για το y: d dt L y = d dt L y = mω snλ x mg y l = L x = L y = mx mω snλ y ( my + mω snλx) = my + mω snλ x x + g l y + g l q Οι δυο εξισώσεις µοιάζουν µε ένα ζεύγος αρµονικών ταλαντωτών x = 2ω snλ y y = 2ω snλ x

15 Το εκκρεμές Foucault εξισώσεις κίνησης ΦΥΣ Διαλ q Βρήκαµε ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι απλά ένα ζεύγος αρµονικών ταλαντωτών: x + g l x = 2ω snλ y y + g l y = 2ω snλ x q Αν βρισκόµασταν στον ισηµερινό: snλ = 0 οπότε: x + g l x = 0 και y + g l y = 0 q Για διαφορετικές θέσεις, οι εξισώσεις λένε ότι έχουµε κάποια «πηγή» για τους αρµονικούς ταλαντωτές: q Οι δυο αρµονικοί ταλαντωτές είναι συζευγµένοι q Ένα trck: Θεωρήστε την µιγαδική ποσότητα ζ x + y q Πολ/ζουµε την 2 η εξίσωση µε και την προσθέτουµε στην 1 η εξίσωση: ( x + y) = 2ω snλ ( y x ) ζ + g l x + y + g l ζ + g l q Οι λύσεις αυτές ενός αρµονικού ταλαντωτή µε απόσβεση αλλά τώρα Q Q ζ = 2ω snλ ζ ζ + 2ω snλ ζ = 0 αρµονικός ταλαντωτής µε µιγαδική απόσβεση q Εποµένως θα έχουµε λύσεις της µορφής: ζ = e at

16 Το εκκρεμές Foucault Λύσεις εξίσωσης κίνησης ΦΥΣ Διαλ q Ανάγαµε το πρόβληµα των δυο συζευγµένων ταλαντώσεων σε x-y, σε µια αποσβένουσα ταλάντωση µε µιγαδικό παράγοντας ποιότητας ζ + g ζ + 2ω snλ ζ = 0 µε λύσεις της µορφής: ζ = e at l q Αντικατάσταση στην διαφορική εξίσωση δίνει: a 2 + g l 2ωasnλ = 0 q Υποθέτουµε ότι ο 2 ος όρος είναι αρκετά µεγαλύτερος του 3 ου όρου, οπότε οι λύσεις της δευτεροβάθµιας εξίσωσης γίνονται: a ( ω snλ ) ± g l q Εποµένως ζ = x + y = A e g t ω snλt l όπου Α µιγαδική σταθερά Ø H σταθερά Α περιγράφει την αρχική διεύθυνση της ταλάντωσης Αν Α πραγµατική η ταλάντωση είναι στην x-διέυθυνση, αν είναι µιγαδική στην y Ø O όρος του snλ προκαλεί µικρή αλλαγή στην µιγαδική σταθερά Α ² Αν για t=0 ήταν στην x-διεύθυνση µετά από χρόνο t θα έχει αλλάξει h γωνια το x-y επίπεδο q Το εκκρεµές θα ταλαντώνεται στο x-y επίπεδο αλλά ο άξονας περιστροφής θα περιστρέφεται µε περίοδο: T = 2π ω sn λ