Κεφάλαιο 4 Υπολογισμός γραμμών επιρροής

Transcript

1 Κεφάλαιο Υπολογισμός γραμμών επιρροής Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τις μεθόδους υπολογισμού (α) γραμμών επιρροής μεγεθών έντασης (Ομάδα Λ) και (β) γραμμών επιρροής μεγεθών παραμόρφωσης (Ομάδα Λ). Ως παραδείγματα χρησιμοποιούνται διάφοροι επίπεδοι και χωρικοί φορείς (δοκός ημιπλαίσιο πλαίσιο δικτύωμα) με ακλόνητες ή ελαστικές στηρίεις/πακτώσεις. Για τον υπολογισμό των γραμμών επιρροής εντασιακών μεγεθών χρησιμοποιείται η κινηματική μέθοδος η οποία βασίζεται στην πρόταση αμοιβαιότητας των Krohn-Land ενώ για τον υπολογισμό γραμμών επιρροής παραμορφωσιακών μεγεθών εφαρμόζεται η πρόταση των Mawell-Mohr.. Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητη είναι η προηγούμενη μελέτη και κατανόηση της σχετικής με το παρόν κεφάλαιο θεωρίας όπως αυτή παρουσιάζεται σε βιβλία Στατικής των Κατασκευών (βλ. π.χ. [] και []). Οπωσδήποτε απαιτείται η κατανόηση των μεθόδων υπολογισμού μεγεθών έντασης και παραμόρφωσης η εφαρμογή των οποίων παρουσιάστηκε στις ασκήσεις των προηγηθέντων κεφαλαίων. -

2 . Υπολογισμός γραμμών επιρροής εντασιακών μεγεθών (Ομάδα Λ) Για τους παρακάτω ισοστατικούς φορείς να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν οι ζητούμενες γραμμές επιρροής εφαρμόζοντας την κινηματική μέθοδο (πρόταση Krohn-Land). Για τον παρακάτω αμφιέρειστο φορέα (βλ. Άσκηση Η/6) ζητούνται οι ΓΕ: (α) Μ για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= στο Ζ ζύγωμα - και (β) Μ για κίνηση του οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= στον στύλο -. Λ u w P ()= P ()= Λ Για την παρακάτω αρθρωτή δοκό (βλ.άσκηση Η/) ζητούνται οι ΓΕ: (α) Μ (β) Μ (γ) Q '' και (δ) A για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= μεταύ των σημείων και. Επίσης (ε) να υπολογιστούν με αποτίμηση των κατάλληλων ΓΕ οι τιμές των μεγεθών Μ Μ Q και Α '' Ζ w u λόγω των φορτίων της Άσκησης Η/. P()= '.00 ''.0 G

3 Λ Για το παρακάτω αμφιέρειστο πλαίσιο (βλ. Άσκηση Ζ) ζητούνται οι ΓΕ: (α) Α (β) Μ (γ) Q (δ) Ν Ζ και για κίνηση του οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= στον στύλο --. Επίσης (ε) να υπολογιστούν με αποτίμηση των παραπάνω ΓΕ οι τιμές των μεγεθών Α Μ Q και Ν λόγω του φορτίου q =0kN/m της Άσκησης Ζ. Ζ Χ w u P ()= Για το παρακάτω τριαρθρωτό πλαίσιο (βλ. Άσκηση Ζ) ζητείται: (α) η ΓΕ Μ για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= Ζ στο ζύγωμα --. Επίσης (β) να υπολογιστεί με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ η τιμή της Μ λόγω του φορτίου q =0kN/m της Άσκησης Ζ. Ζ P()= Λ u w

4 Για τον παρακάτω ισοστατικό φορέα (βλ. Άσκηση Η9/) ζητείται: (α) η ΓΕ Ν καλ του καλωδίου -- για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= επί του καταστρώματος ---. Επίσης (β) να υπολογιστεί με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ η τιμή της Ν του φορτίου q =0kN/m της Άσκησης Η9/. Ζ Ζ καλ λόγω Λ w u P ()= καλώδιο καλώδιο (τένοντας) Για τον παρακάτω δικτυωτό ισοστατικό φορέα (βλ. Άσκηση Ζ) ζητείται: (α) η ΓΕ Ν της ράβδου - για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= επί των στοιχείων - και -. Επίσης Ζ (β) να υπολογιστεί με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ η τιμή της Ν λόγω του συγκεντρωμένου φορτίου F =0kN της Άσκησης Ζ. Ζ Λ6.00 P ()=.00 w u

5 Για τον παρακάτω δικτυωτό ισοστατικό φορέα (βλ. Άσκηση Η8/) ζητείται: (α) η ΓΕ D της ράβδου D για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= επί του άνω πέλματος Επίσης Ζ (β) να υπολογιστεί με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ η τιμή της D λόγω των πέντε συγκεντρωμένων φορτίων της Άσκησης Η8/. Λ7 u P ()= w D Για τον παρακάτω χωρικό ισοστατικό φορέα (βλ. Άσκηση Ζ6) ζητείται (α) η ΓΕ Μ για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= επί της δοκού -- καθώς και (β) η ΓΕ Μ y y για κίνηση του οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= επί της δοκού --. Επίσης (γ) να υπολογιστεί με αποτίμηση των παραπάνω ΓΕ η τιμή της Μ λόγω των συγκεντρωμένων φορτίων F =0kN και F =80kN της Άσκησης Ζ6. Χ.00 Ζ Χ Ζ y Λ8 y z z Y y.00 P ()=.0 P ()= y z.0 -

6 ΛΥΣΕΙΣ Πριν την παρουσίαση των λύσεων παρατίθενται χάριν διευκόλυνσης του σπουδαστή τα επί μέρους βήματα που περιλαμβάνει ο υπολογισμός γραμμών επιρροής (ΓΕ) εντασιακών μεγεθών με τη βοήθεια της κινηματικής μεθόδου δηλαδή με τη βοήθεια της πρότασης Krohn-Land. Η περιγραφή των βημάτων συνοδεύεται από το παράδειγμα υπολογισμού της ΓΕ Μ i =Μ iρz()= μιας μονοπροέχουσας δοκού που παρουσιάζεται σε εχωριστό πίνακα με τα αντίστοιχα σχήματα. Βήματα υπολογισμού ΓΕ εντασιακών μεγεθών με την κινηματική μέθοδο (βλ. [] παράγρ. 0..]: () (i) Με μία νοητή τομή καταλύουμε/ τέμνουμε τη δεσμική ράβδο - σύνδεσμο στο σημείο a που μεταβιβάζει το εντασιακό μέγεθος Ε a του οποίου τη ΓΕ Ε a P()= θέλουμε να υπολογίσουμε δηλαδή εισάγουμε στο σημείο a μία εργικώς αντίστοιχη άρθρωση. Π.χ. αν ζητούμενη είναι η ΓΕ M iρ z() της ροπής M i εισάγουμε στο σημείο i μία καμπτική άρθρωση (βλ. παρακάτω πίνακα) και αν ζητούμενη είναι η ΓΕ Q iρ z() της τέμνουσας Q i εισάγουμε στο σημείο i μία διατμητική άρθρωση. (ii) Η κατάλυση μίας εσωτερικής ή εωτερικής δεσμικής ράβδου μετατρέπει τον αρχικώς ισοστατικό φορέα σε μία χαλαρή μονοκινηματική αλυσίδα - μηχανισμό. Για να διατηρηθεί η αρχική ισορροπούσα εντασιακή κατάσταση που επικρατούσε στον δεδομένο ισοστατικό φορέα λόγω του φορτίου P()= στην τυχούσα θέση προσάγουμε στις δύο όχθες της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου τα δύο σκέλη του εντασιακού ζεύγους που δρούσε σ' αυτήν πριν την κατάλυσή της με την ε ορισμού συμβατικά θετική τους φορά. Εφόσον καταλύεται εσωτερικός σύνδεσμος το αντίστοιχο εργικά ανταποκρινόμενο φορτίο διατομής εισάγεται ως ζεύγος δυνάμεων ή ροπών στις δύο όχθες της τομής. Εφόσον καταλύεται εωτερικός σύνδεσμος αρκεί η προσαγωγή της αντίδρασης στήριης στην όχθη που πρόσκειται στον φορέα. Στην άλλη όχθη της τομής δρα η δύναμη έδρασης η οποία μπορεί να αγνοηθεί αφού δρα επί του αμετακίνητου εδάφους και δεν παράγει δυνατό έργο κατά τη δυνατή μετακίνηση του φορέα. Π.χ. αν ζητούμενη είναι η ΓΕ M iρ z() προσάγουμε στην εισαχθείσα στο σημείο i καμπτική άρθρωση τη ροπή M iρ z() (βλ. παρακάτω πίνακα) και αν ζητούμενη είναι η ΓΕ Q iρ z() προσάγουμε στην εισαχθείσα στο σημείο i διατμητική άρθρωση την τέμνουσα Q iρ z(). () Παρά τη διατήρηση της προϋπάρχουσας ισορροπίας η κατάλυση ενός συνδέσμου έχει μετατρέψει τον αρχικώς ισοστατικό φορέα σε μονοκινηματική αλυσίδα. Η δυνατότητα μετακίνησης του χαλαρού πλέον φορέα περιγράφεται με τη βοήθεια του διαγράμματος των πόλων στροφής (βλ. π.χ. [] παράγρ...). Προκειμένου τώρα να εφαρμόσουμε την ΑΔΕ (i) υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση τέτοια ώστε στην εισαχθείσα άρθρωση να αναπτυχθεί μία μοναδιαία αρνητική διαφορά μετακινήσεων και (ii) με τη βοήθεια του διαγράμματος των πόλων στροφής προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο με P()= πέλμα του φορέα. Π.χ. αν ζητούμενη είναι η ΓΕ M iρ z() επιβάλλουμε στην εισαχθείσα στο σημείο i καμπτική άρθρωση το μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ i ν =- (βλ. παρακάτω πίνακα) και αν ζητούμενη είναι η ΓΕ Q iρ z() επιβάλλουμε στην εισαχθείσα στο σημείο i διατμητική άρθρωση το μοναδιαίο αρνητικό άλμα Δw i ν =-. () Κατά τη δυνατή μετακίνηση του μονοκινηματικού φορέα τα πραγματικά εντασιακά μεγέθη του φορέα παράγουν δυνατό έργο W. Εφόσον οι δυνατές παραμορφώσεις είναι μηδενικές δυνατό έργο παράγεται μόνο από τα εωτερικά εντασιακά μεγέθη (W =W e ) δηλαδή (i) από το κινητό φορτίο P()= το οποίο παράγει δυνατό έργο επί των εργικώς ανταποκρινόμενων μετακινήσεων των σημείων εφαρμογής του π.χ. αν το Ρ() είναι μία δύναμη Ρ z () παράγει έργο επί των βυθίσεων w() και αν το Ρ() είναι μία ροπή Μ L () παράγει έργο επί των στροφών φ() του φορτιζόμενου πέλματος και (ii) από το ζητούμενο εντασιακό μέγεθος Ε a P()= το οποίο παράγει δυνατό έργο επί της επιβληθείσας στην άρθρωση στην οποία αυτό ενεργεί μοναδιαίας αρνητικής διαφοράς μετακινήσεων π.χ. επί του μοναδιαίου αρνητικού γονάτου Δφ i =- αν Ε a =M i ή επί του μοναδιαίου αρνητικού άλματος Δw i ν =- αν Ε a =Q i. Σύμφωνα με την ΑΔΕ καταγράφουμε όλα τα παραχθέντα κατά την επιβληθείσα δυνατή μετακίνηση εωτερικά δυνατά έργα θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν και επιλύουμε την προκύπτουσα είσωση ως προς το ζητούμενο εντασιακό μέγεθος. Π.χ. αν ζητούμενη είναι η ΓΕ M iρ z() όπως στο παράδειγμα του παρακάτω πίνακα έχουμε: -6

7 w M φ 0 We Pz ipz i και συνεπώς: M w φ P i Pz i z Πίνακας: Υπολογισμός της ΓΕ της ροπής κάμψης μιας δοκού με την κινηματική μέθοδο (πρόταση Krohn-Land) Δεδομένος φορέας και φόρτιση P ()=P = i ' () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ i δηλαδή εισάγουμε στο σημείο i μία καμπτική άρθρωση. i L=6.00 ' i Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της ζητούμενης ΓΕ Μ i =Μ iρz()= με τη συμβατικά θετική τους φορά. P= M i () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων του μονοκινηματικού φορέα (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό φορέα του παραδείγματός μας το βήμα αυτό είναι πρακτικά περιττό) και στη συνέχεια (i) τον υποβάλλουμε σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο i να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ ν i =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα. () () φ w αρ wi φ αρ M i I P = II φ δε φ δε φ i =- () () Σύμφωνα με την πρόταση Krοhn-Land η κατά την έννοια του κινητού φορτίου Ρ γραμμή βυθίσεων w ν () Δφi=- = w ν i = w ν του φορτιζόμενου πέλματος ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ iρz()= = w ν = η. M i [m] wi wi φ αρ φδε i ' i L φ φ φ w w i αρ δε i i i ' i i ' i i ' i i i φ w η = i i ' i /L i ' i L - -7

8 Η παραπάνω σχέση αποτελεί έναν γενικό τύπο για την ΓΕ M iρ z(). Θέτοντας το κινητό φορτίο ίσο με την αδιάστατη μονάδα δηλαδή Ρ z ()=[-] και την επιβληθείσα νοητή μετακίνηση ίση με την αρνητική μονάδα δηλαδή Δφ i =- παίρνουμε για τη ζητούμενη ΓΕ: Mi P z w i (*) φ - ή με συνοπτικότερο συμβολισμό των δεικτών: Μi w i knm/kn (**) όπου w i η κατά την έννοια και διεύθυνση του κινητού φορτίου δυνατή νοητή γραμμή βυθίσεων (ελαστική γραμμή) του φορέα λόγω της επιβεβλημένης αρνητικής μοναδιαίας μετακίνησης Δφ i =-. Οι τεταγμένες της ΓΕ είναι: η η w φ - i όπου το πεδίο μεταβολής της τετμημένης περιλαμβάνει όλο το μήκος του φορτιζόμενου πέλματος. Με βάση όλα τα παραπάνω μπορούμε να πούμε συνοπτικά ότι οι ΓΕ εντασιακών μεγεθών είναι ελαστικές γραμμές οι οποίες για τους λόγους που προαναφέρθηκαν αποτελούνται από ευθύγραμμα τμήματα. Ακριβέστερο είναι βέβαια να λέμε ότι πρόκειται για δυνατές νοητές ελαστικές γραμμές δηλαδή για ελαστικές γραμμές λόγω δυνατών αρνητικών μοναδιαίων μετακινήσεων αφού η περιγραφείσα κινηματική μέθοδος υπολογισμού ΓΕ βασίζεται στην ΑΔΕ. Εντούτοις η παράλειψη της θεωρητικά ορθότερης αυτής διατύπωσης δεν έχει καμία περαιτέρω συνέπεια όσον αφορά τον αριθμητικό υπολογισμό των ΓΕ. Εάλλου το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήαμε μπορεί να θεωρηθεί ότι απορρέει από την η πρόταση αμοιβαιότητας των Krohn-Land όπου οι μετακινήσεις δεν είναι δυνατές αλλά πραγματικές. Γι αυτό και κατά κανόνα παραλείπουμε τον άνω δείκτη ν που συμβολίζει τον νοητό χαρακτήρα των σχετικών μεγεθών. Η πρόταση Krohn-Land ως θεωρητική βάση για τον υπολογισμό ΓΕ εντασιακών μεγεθών μπορεί να διατυπωθεί ως εής: Η ΓΕ Ε aρ()= ενός εντασιακού μεγέθους Ε a λόγω ενός κινητού φορτίου Ρ()= συμπίπτει/ ταυτίζεται με τη γραμμή μετακινήσεων - ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος κατά την έννοια και διεύθυνση του φορτίου Ρ που προκύπτει εάν στη θέση αναφοράς a καταλυθεί ο σύνδεσμος που μεταβιβάζει το μέγεθος Ε a δηλαδή εισαχθεί αντίστοιχη άρθρωση και επιβληθεί η εργικά ανταποκρινόμενη προς το μέγεθος Ε a αρνητική μοναδιαία μετακίνηση δ a =-. Ακολούθως παρουσιάζεται ένας πρακτικός τρόπος προσδιορισμού ΓΕ εντασιακών μεγεθών με την πρόταση Krohn-Land: Χρησιμοποιώντας τους γενικότερους συμβολισμούς Κ a =Μ a και δ a =w a (για θετικά μοναδιαία αίτια) η είσωση (**) της προηγούμενης παραγράφου γράφεται ως εής: με αρνητικό πρόσημο λόγω του αρνητικού μοναδιαίου αιτίου: Κ δ a a ή παραλείποντας το κόμμα: Κ a δ a οπότε γίνεται και οπτικά σαφές ότι εκφράζει την η πρόταση αμοιβαιότητας Κ mn =-δ nm κατά Krohn-Land. Προσοχή στο αρνητικό πρόσημο! Παρατηρώντας προσεκτικότερα την είσωση (*) διαπιστώνουμε ότι αυτή εκφράζει τον εής «μετασχηματισμό» (παραλείπεται ο άνω δείκτης ν): M w a apz φ Δηλαδή ο δεύτερος δείκτης (δείκτης αιτίου) Ρ z ()= «μετατρέπεται» με εργική αντιστοίχιση στο τελικώς ζητούμενο μέγεθος w(): Στην κάθετη στον άονα δύναμη Ρ z αντιστοιχεί εργικά η κάθετη στον άονα μετατόπιση w. Παρομοίως το αρχικώς ζητούμενο μέγεθος M a «μετατρέπεται»με εργική αντιστοίχιση στο αίτιο Δφ a =- που προκαλεί το τελικώς ζητούμενο μέγεθος w(): Στη ροπή Μ a αντιστοιχεί εργικά το γόνατο Δφ a το οποίο βέβαια εδώ θέτουμε ίσο με -. -8

9 Ο «μετασχηματισμός» αυτός ο οποίος εκφράζει με πρακτικό τρόπο την πρόταση Krohn-Land Κ mn =-δ nm εφαρμόζεται γενικά. Έτσι π.χ. για τις ΓΕ της τέμνουσας και της αονικής δύναμης στο σημείο a παίρνουμε αντίστοιχα: Q w a apz w N w a apz u Με ανάλογο τρόπο προκύπτουν οι ΓΕ των αντιδράσεων στήριης και των ροπών πάκτωσης. Εφόσον οι αντιδράσεις αυτές εισαχθούν - ως συνήθως - αντίθετα προς τη φορά των αόνων αναφοράς -z οι εργικά ανταποκρινόμενες μετακινήσεις των οποίων η συμβατικά θετική φορά συμπίπτει με τη φορά των αόνων -z επιβάλλονται με θετική μοναδιαία τιμή. Έτσι π.χ. για την κατακόρυφη αντίδραση σε μια στήριη b και για τη ροπή πάκτωσης σε μια πάκτωση c παίρνουμε αντίστοιχα: A w bpz wb M w c ΠcPz φ Επίσης είναι σαφές ότι αν ζητείται η ΓΕ ενός μεγέθους έντασης π.χ. της ροπής M a λόγω μιας κινητής μοναδιαίας ροπής Μ L ()= o δεύτερος αυτός δείκτης αιτίου «μετατρέπεται» με εργική αντιστοίχιση στο τελικώς ζητούμενο μέγεθος φ(): M φ φ a ML a Δηλαδή ζητούμενη είναι τώρα όχι η γραμμή μετατοπίσεων κατά z (ελαστική γραμμή) w() αλλά το διάγραμμα των στροφών φ() του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή η αρνητική πρώτη παράγωγος της ελαστικής γραμμής (φ=-w'). Για μια διεοδικότερη παρουσίαση της κινηματικής των μεθόδων υπολογισμού γραμμών επιρροής εντασιακών μεγεθών ο σπουδαστής θα πρέπει να ανατρέει στη σχετική βιβλιογραφία (βλ. π.χ. [] κεφ. 0). -9

10 Άσκηση Λ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της ροπής Μ λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () στο ζύγωμα - Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M w φ P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του ζυγώματος - λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της ζητούμενης ροπής Μ =Μ Ρz()= με τη συμβατικά θετική τους φορά] () (i) Yπoβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα δηλαδή το ζύγωμα -. Μ u Μ P ()= 6.00 P = φ =0 δε φ αρ =-u / u φ = φ αρ - φ =- δε fl φ αρ =- fl u =.00 () Η κατά την έννοια του κινητού φορτίου Ρ ελαστική γραμμή w() Δφ=- =w =w του φορτιζόμενου πέλματος - ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ. Στην περίπτωσή μας έχουμε w =0 και συνεπώς η ΓΕ είναι μηδενική: Μ Ρz()= =0. Το ζύγωμα μετατοπίζεται παράλληλα: w =0. Μ [m] η = Μηδενική ΓΕ Μ Ρz()= σημαίνει ότι κατακόρυφα φορτία Ρ Ζ επί του ζυγώματος - δεν προκαλούν ροπή κάμψης στο σημείο. β) ΓΕ της ροπής Μ λόγω οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου P Χ () στον στύλο - Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M u φ P -0

11 δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του στύλου - λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Τα βήματα και είναι ακριβώς ίδια όπως προηγουμένως για τη ΓΕ Μ Ρz()= ): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της ζητούμενης ροπής Μ =Μ Ρ()= με τη συμβατικά θετική τους φορά] P ()= Μ () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα δηλαδή ο στύλος -. P = u u φ Μ αρ =-u φ δε =0 /.00 φ = φ fl φ αρ αρ =- u - φ δε =- fl u =.00 () Η κατά την έννοια του κινητού φορτίου Ρ ελαστική γραμμή u() Δφ=- =u =u του φορτιζόμενου πέλματος - ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ Ρz()= =u. [m] Μ.00 η =.0 η = = η = 0 -

12 Άσκηση Λ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της ροπής Μ λόγω μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M w φ P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή της αρθρωτής δοκού - λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της ζητούμενης ροπής Μ =Μ Ρz()= με τη συμβατικά θετική τους φορά] Μ G P ()= () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ = - και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα -. / w = P = Μ / φ =- w G = /.0=0. φ =- fl w G w w 0..0 =0. () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος - κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δφ=- = w = w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ Ρz()= =w. Μ [m] η =0 η =0 η = - η =-0.7 G η =0 η =0. β) ΓΕ της ροπής Μ λόγω μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M w φ P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή της αρθρωτής δοκού - λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): -

13 () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της ζητούμενης ροπής Μ =Μ Ρz()= με τη συμβατικά θετική τους φορά] Μ P ()= G () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα -. P= Μ φ =-.0/.0=0.9 φ =- fl w G w w G =-.0.0 /.0 =0.6 () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος - κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δφ=- =w =w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ Ρz()= =w. Μ [m] η =0 η =0 η =0 η - G =-.0 η =0 η =0.6 γ) ΓΕ της τέμνουσας Q '' λόγω μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: Q w w ' 'P ' ' Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή της αρθρωτής δοκού - λόγω του αρνητικού μοναδιαίου άλματος Δw '' =- που επιβάλλεται στο αριστερό άκρο του τμήματος -G δηλαδή στο σημείο δε ή '' σε απειροστή απόσταση δειά από τη στήριη. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει την τέμνουσα Q δηλαδή εισάγουμε στο σημείο '' μία διατμητική άρθρωση. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της ζητούμενης τέμνουσας Q =Q Ρz()= με τη συμβατικά θετική τους φορά] -

14 Q '' P ()= G () (i) Yπoβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο '' να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό άλμα Δw '' = - και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα -. P = w '' =- w = G /.0 (/.0).0 =0.9 w '' =wαρ-w δε =- () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος - κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δw'' =- =w '' =w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Q ''Ρz()= =w. Q '' η =0 [-] η =0 η ' =0 η =0 - η =-0.9 η '' = η = G δ) ΓΕ της αντίδρασης Α Ζ της στήριης λόγω μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: A w w P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή της αρθρωτής δοκού - λόγω της μοναδιαίας βύθισης w = που επιβάλλεται στη στήριη. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που αντιστοιχεί στην αντίδραση στήριης Α Ζ. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στη θέση της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου στήριης τη ζητούμενη αντίδραση A Ζ =A ΖΡz()= με τη συμβατικά θετική της φορά δηλαδή αντίθετα προς τον άονα αναφοράς Ζ] P ()= A.0 G.0.0 () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαία θετική βύθιση w = (Υπενθύμιση: Βύθιση και αντίδραση στήριης ορίζονται με αντίθετο τρόπο ως συμβατικά θετικές) και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα -. -

15 /=0. P = =(0./.0).0 = =0.89 w = fl w G = w w w G =0..0 =.7 () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος - κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() w= =w =w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: A Ρz()= =w. ε) Υπολογισμός των Μ Μ Q και Α Ζ λόγω των φορτίων της Άσκησης Η/ με αποτίμηση των παραπάνω ΓΕ Τα ζητούμενα εντασιακά μεγέθη δεν επηρεάζονται από τα αονικά φορτία Ρ Χ και Ρ Χ (βλ. Άσκηση Η/). Οι τιμές τους λόγω του συγκεντρωμένου εγκάρσιου φορτίου Ρ Ζ =0kN και του ομοιόμορφα κατανεμημένου στο τμήμα G- εγκάρσιου φορτίου q=kn/m προκύπτουν ως άθροισμα δύο γινομένων εφαρμόζοντας τους ακόλουθους τύπους (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): E a E A [-] ap η =0 E aq P η =0. η q η = G η d η G =.7 η =-0.89 όπου η η τεταγμένη της εκάστοτε ΓΕ στο σημείο και η () η συνάρτηση που περιγράφει την εκάστοτε ΓΕ στο τμήμα G- της αρθρωτής δοκού. Παίρνουμε έτσι: M M Q A '' 0kN m kn 0 0kN 0m kn m kN 0m kn m m kNm.0 0kN 0.m kn m kNm η G =-0.7m η =0.m kN.0 7.kN.0 η G =.7.0 η G =-.0m.0 η G =.0.0 η =0.6m.0 - η = η =-0.89 Οι τιμές αυτές πρακτικά συμπίπτουν με τις αντίστοιχες τιμές που υπολογίστηκαν στην Άσκηση Η/ (Σημ.: Οι παρατηρούμενες αποκλίσεις είναι αμελητέες και οφείλονται σε στρογγυλοποιήσεις κατά τις ενδιάμεσες αριθμητικές πράεις). η =0 - -

16 Άσκηση Λ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της αντίδρασης Α Ζ της στήριης λόγω οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου P Χ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: A u w P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή του στύλου -- λόγω της μοναδιαίας βύθισης w = που επιβάλλεται στη στήριη. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε την κατακόρυφη δεσμική ράβδο στο σημείο που αντιστοιχεί στην αντίδραση στήριης Α Ζ. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται στο σχήμα η αντίδραση A Ζ =A ΖΡ()= στη θέση της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου) () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαία θετική βύθιση w =. P()= () / I / (Υπενθύμιση: Βύθιση και αντίδραση στήριης ορίζονται με αντίθετο τρόπο ως συμβατικά θετικές) και / / (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα --. w= () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή u() w= =u =u ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: A Ρ()= =u. (Προσοχή: Το u συμβολίζει εδώ τη μετατόπιση κατά την έννοια του καθολικού άονα Χ) A [-] η = / η = / η = η = 0 = 0. -6

17 β) ΓΕ της ροπής Μ λόγω οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου P Χ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M u φ P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή του στύλου -- λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται στο σχήμα η ροπή Μ = Μ Ρ()= στη θέση της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου) P()= () I () () II () () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα --. φ =- () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή u() Δφ=- =u =u ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ Ρ()= =u. (Προσοχή: Το u συμβολίζει εδώ τη μετατόπιση κατά την έννοια του καθολικού άονα Χ) M [m] η = η = η =0-7

18 γ) ΓΕ της τέμνουσας Q λόγω οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου P Χ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: Q u w P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή του στύλου -- λόγω του αρνητικού μοναδιαίου άλματος Δw =- κατά την έννοια του τοπικού άονα αναφοράς z του στύλου που επιβάλλεται στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει την τέμνουσα Q δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία διατμητική άρθρωση. P ()= II (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται στο σχήμα η τέμνουσα Q =Q Ρ()= στη θέση της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου) I () () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό άλμα Δw =- (Δw κατά την έννοια του τοπικού άονα z του στύλου) και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα --. () () () w =- () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή u() Δw=- =u =u ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Q Ρ()= =u. (Προσοχή: Το u συμβολίζει εδώ τη μετατόπιση κατά την έννοια του καθολικού άονα Χ) [-] Q η =0 η = η = -8

19 δ) ΓΕ της αονικής δύναμης Ν λόγω οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου P Χ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: N u u P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή του στύλου -- λόγω του αρνητικού μοναδιαίου χάσματος Δu =- κατά την έννοια του τοπικού άονα αναφοράς του στύλου που επιβάλλεται στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει την αονική δύναμη Ν δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία αονική άρθρωση. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπονται στο σχήμα τόσο το κινητό φορτίο Ρ Χ ()= όσο και η αονική δύναμη Ν =Ν Ρ()= στη θέση της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου) () P ()= () II I () () () () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό χάσμα Δu = - (Δu κατά την έννοια του τοπικού άονα του στύλου).00 / / u =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα / () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή u() Δu=- =u =u ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: N Ρ()= =u. (Προσοχή: Το u συμβολίζει εδώ τη μετατόπιση κατά την έννοια του καθολικού άονα Χ) N [-] η = / η = / = η = 0. η = 0-9

20 ε) Υπολογισμός των Α Ζ Μ Q και Ν λόγω του φορτίου q Χ =0kN/m της Ασκησης Ζ με αποτίμηση των παραπάνω ΓΕ Τα ζητούμενα εντασιακά μεγέθη προκύπτουν με εφαρμογή του τύπου (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): E a q η d όπου η() η συνάρτηση που περιγράφει την εκάστοτε ΓΕ στο τμήμα -- του φορέα. Παίρνουμε έτσι: A 0kN m.00 / kN M 0kN m m m kNm Q 0kN.00 m kN N 0kN m.00 / kN -0

21 Άσκηση Λ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της ροπής Μ λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M w φ P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή του ζυγώματος -- λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ (βλ. Άσκηση Ζ Υπολογισμός της Μ ) δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται στο σχήμα η ροπή Μ =Μ Ρz()= στη θέση της καταλυθείσας δεσμικής ράβδου.) () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ =- και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα --. Με τα γεωμετρικά στοιχεία που βρέθηκαν στην Άσκηση Ζ προκύπτει για Δφ = - η βύθιση w =.m..00 I ().0 () P ()= () w =. II φ =- fl w =. III () () () () φ αρ 8/m φ δε () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δφ=- = w = w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ Ρz()= = w. Μ [m] η = β) Υπολογισμός της Μ λόγω του φορτίου q =0kN/m της Άσκησης Ζ με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ Το ζητούμενο εντασιακό μεγέθος προκύπτει με εφαρμογή του τύπου (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): E a q η d όπου η() η συνάρτηση που περιγράφει την εκάστοτε ΓΕ στο τμήμα -- του φορέα. Παίρνουμε έτσι: -

22 M 0kN m kNm η =.m Η τιμή αυτή πρακτικά συμπίπτει με την τιμή που υπολογίστηκε στις Ασκήσεις Ζ και Ζ (Σημ.: Η παρατηρούμενη απόκλιση [( )/0.]=0.7% είναι αμελητέα και οφείλεται σε στρογγυλοποιήσεις κατά τις ενδιάμεσες αριθμητικές πράεις). -

23 Άσκηση Λ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της αονικής δύναμης Ν καλ του καλωδίου λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () επί του καταστρώματος --- Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: N w u a P a Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ της Ν καλ =Ν a ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος --- λόγω του αρνητικού μοναδιαίου χάσματος Δu a =- που επιβάλλεται σε τυχαίο σημείο a του καλωδίου -- κατά την έννοια του τοπικού άονα αναφοράς. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει την αονική δύναμη Ν καλ δηλαδή εισάγουμε σε τυχόν σημείο a του καλωδίου μία αονική άρθρωση. Πρακτικά: καταλύουμε τη συνέχεια του καλωδίου. P ()= N καλ α a () στερεό α tgα=./=0.7 fl α=6.87 cosα=0.80 sinα= () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο a να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό χάσμα Δu a =- (Δu κατά την έννοια του τοπικού άονα τoυ καλωδίου) και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα ---. a sinα= u w a w w N α καλ u a=- α fl w =/0.6=.67 fl w = w =. () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος --- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δua=- =w a =w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: N καλρz()= = w. -

24 Ν καλ [-] η =. η =.67 0 η = β) Υπολογισμός της Ν καλ λόγω του ομοιόμορφου φορτίου q =0kN/m της Άσκησης H9/ με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ Το ζητούμενο εντασιακό μεγέθος προκύπτει με εφαρμογή του τύπου (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): N καλ q η d όπου η() η συνάρτηση που περιγράφει την ΓΕ στο τμήμα --- του φορέα. Παίρνουμε έτσι: N καλ 0kN m kN Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube: -

25 Άσκηση Λ6 Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της αονικής δύναμης Ν λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () επί των στοιχείων - και - Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: N w u P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος -- λόγω του αρνητικού μοναδιαίου χάσματος Δu =- που επιβάλλεται σε τυχαίο σημείο της ράβδου - κατά την έννοια του τοπικού της άονα αναφοράς. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): βλ. Άσκηση Ζ (Υπολογισμός της Ν ) () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει την αονική δύναμη Ν δηλαδή εισάγουμε σε τυχόν σημείο a της ράβδου - μία αονική άρθρωση (πρακτικά: καταλύουμε τη συνέχεια της ράβδου -). P ()= a N I II () () () () () () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε μεταύ των κόμβων και να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό χάσμα Δu =- (Δu κατά την έννοια του τοπικού άονα της ράβδου - ). και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα --. Με τα γεωμετρικά στοιχεία που βρέθηκαν στην Άσκηση Ζ προκύπτει για Δu =- η βύθιση w =/. u N u =- / () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δu=- = w =w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: N Ρz()= = w. Ν [-] - η = η =/ -

26 β) Υπολογισμός της Ν λόγω του συγκεντρωμένου φορτίου F =0kN της Άσκησης Ζ με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ Το ζητούμενο εντασιακό μεγέθος προκύπτει με εφαρμογή του τύπου (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): N F η όπου η η τεταγμένη της ΓΕ στο σημείο του φορέα. Παίρνουμε έτσι: N 0kN 66.67kN Η τιμή αυτή συμπίπτει με την τιμή που υπολογίστηκε στην Άσκηση Ζ. -6

27 Άσκηση Λ7 Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της ράβδου D λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () επί του άνω πέλματος Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: N w u P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ D =Ν ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος λόγω του αρνητικού μοναδιαίου χάσματος Δu =- που επιβάλλεται σε τυχαίο σημείο της ράβδου - κατά την έννοια του τοπικού της άονα αναφοράς. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει την αονική δύναμη D δηλαδή εισάγουμε σε τυχόν σημείο a της ράβδου - μία αονική άρθρωση. Πρακτικά: καταλύουμε τη συνέχεια της ράβδου -. [Προς διατήρηση της ισορροπίας προσάγουμε στη θέση κατάλυσης της συνέχειας τα δύο σκέλη της ζητούμενης αονικής δύναμης D =D Ρz()= με τη συμβατικά θετική τους φορά] P()= D o () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε μεταύ των κόμβων και να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό χάσμα Δu =- Δu κατά την έννοια του τοπικού άονα της ράβδου - και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα κάνοντας χρήση του διαγράμματος των πόλων στροφής κατά τα γνωστά από τη Σειρά Ασκήσεων Ε. Με τα γεωμετρικά στοιχεία που δίνονται στο ακόλουθο σχήμα προκύπτουν για Δu =- οι μετατοπίσεις: w w w w 0 και w ().00 w= u = I () () 6 IV III φ ΙII φ Ι ()() φ ΙI II () φ ΙV

28 Επιβάλλοντας u = παίρνουμε: w = w =0 w 6 = w 8 =0 w 0 =- φ.00 φ φ φ φ u I III I IV I Συνεπώς για να πάρουμε Δu =- πρέπει να επιβάλλουμε: u w w w 6 0 () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος κατά τη διεύθυνση του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δu=- = w = w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: D Ρz()= = w. β) Υπολογισμός της D λόγω των πέντε συγκεντρωμένων φορτίων της Άσκησης Η8/ με αποτίμηση της παραπάνω ΓΕ Το ζητούμενο εντασιακό μεγέθος προκύπτει με εφαρμογή του τύπου (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): D D [-] η =/ P η P η P η P η P η P η i i i η =0 η =/ όπου η i η τεταγμένη της ΓΕ στο εκάστοτε σημείο i του φορέα. Παίρνουμε έτσι: η η η η η kN D η 8 =0 Η τιμή αυτή συμπίπτει με την τιμή που υπολογίστηκε στην Άσκηση Η8/. - η 0 =-/ 0-8

29 Άσκηση Λ8 Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της ροπής Μ y λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () επί της δοκού -- Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M w φ y P y Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή w() του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή της δοκού -- κατά την έννοια το καθολικού άονα Ζ λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ y =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Καταλύουμε τη δεσμική ράβδο που μεταβιβάζει τη ροπή κάμψης Μ y δηλαδή εισάγουμε στο σημείο μία καμπτική άρθρωση κυλινδρική άρθρωση με άονα παράλληλο προς τον τοπικό άονα y ο οποίος συμπίπτει εδώ με τον καθολικό άονα Υ. () (i) Υποβάλλουμε τον μονοκινηματικό φορέα σε μία δυνατή μετακίνηση έτσι ώστε στο σημείο να εμφανιστεί μοναδιαίο αρνητικό γόνατο Δφ y = - και (ii) προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το φορτιζόμενο πέλμα -- (βλ. Άσκηση Ζ). Με τα γεωμετρικά στοιχεία του παραπλεύρως σχήματος προκύπτουν για Δφ y = - οι βυθίσεις w = -m και w = -m. () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση Ζ του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή w() Δφy= - = w =w ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ yρz()= =w. βλ. Άσκηση Ζ (Υπολογισμός της Μ y ) Y Μ y η =0 w φ =- y u P ()= P()= [m] M y η =- w=- w =- = u.0 u = u -.0 = η =- β) ΓΕ της ροπής Μ y λόγω οριζόντιου μοναδιαίου φορτίου P Χ () επί της δοκού -- Σύμφωνα με την πρόταση Krohn-Land ισχύει ο μετασχηματισμός: M u φ y P y -9

30 Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή u() του φορτιζόμενου πέλματος δηλαδή της δοκού -- κατά την έννοια το καθολικού άονα Χ λόγω του αρνητικού μοναδιαίου καταναγκασμού Δφ y =- στο σημείο. Η ελαστική αυτή γραμμή υπολογίζεται ακολουθώντας τα τρία βήματα που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου. (Σημ.: Χάριν απλούστευσης παραλείπεται ο άνω δείκτης ν στις δυνατές μετακινήσεις): () Όπως για την ΓΕ Μ y λόγω Ρ Ζ (). () Όπως για την ΓΕ Μ y λόγω Ρ Ζ (). Με τα γεωμετρικά στοιχεία του παραπάνω σχήματος προκύπτουν για Δφ y =- οι οριζόντιες κατά Χ μετατοπίσεις u = u = u =m. () Η μετατόπιση του φορτιζόμενου πέλματος -- κατά τη διεύθυνση Χ του κινητού φορτίου δηλαδή η ελαστική γραμμή u() Δφy=- =u =u ταυτίζεται με τη ζητούμενη ΓΕ: Μ yρ()= = w. M y [m] η = η = η =.0.0 γ) Υπολογισμός της Μ y λόγω των συγκεντρωμένων φορτίων F Χ =0kN και F Ζ =80kN της Άσκησης Ζ6 με αποτίμηση των παραπάνω ΓΕ Το ζητούμενο εντασιακό μεγέθος προκύπτει με εφαρμογή του τύπου (βλ. π.χ. [] παράγρ. 0.7): M y F η F η όπου η και η οι τεταγμένες των ΓΕ Μ yρz()= και Μ yρ()= αντιστοίχως. Παίρνουμε έτσι: M y 80kN m 0kN m 0kNm Η τιμή αυτή συμπίπτει με την τιμή που υπολογίστηκε στις Ασκήσεις Ζ6 και Ζ. -0

31 . Υπολογισμός γραμμών επιρροής παραμορφωσιακών μεγεθών (Ομάδα Μ) Για τους παρακάτω ισοστατικούς φορείς να υπολογιστούν οι ζητούμενες γραμμές επιρροής εφαρμόζοντας την πρόταση Mawell-Mohr. M Για την παρακάτω μονοπροέχουσα δοκό ζητούνται οι ΓΕ (α) w (β) φ (γ) w (δ) φ P ()= P ()= και για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= σε όλο το μήκος της δοκού καθώς επίσης και οι ΓΕ M L()= M L()= και για κίνηση της μοναδιαίας ροπής Μ ()= επίσης σε όλο το μήκος της δοκού. L P()= ()= M L IPB80 St EI = σταθ. GA SØ EA Ø Για την παρακάτω αρθρωτή δοκό ζητούνται οι ΓΕ (α) w P ()= (β) φ P ()= και δηλαδή οι ΓΕ της βύθισης και της στροφής στο σημείο για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P ()= σε όλο το μήκος της δοκού. M c M P ()= IPB80 St7 c N.00 EI = σταθ. c N =0 kn/m GA SØ c M = 0 knm/rad EA Ø

32 Για την παρακάτω αρθρωτή δοκό ζητούνται οι ΓΕ (α) w (β) φ της βύθισης και του γόνατου (=διαφοράς στροφών) στην άρθρωση G για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= σε όλο το μήκος της δοκού. GP ()= GP ()= Ζ M Yφ u w P ()= G EI =. 0 knm a GA Sa = 0 6 kn 6 EA = 0 kn a a EIb= 0.8 GA Sb = EA b = b knm kn kn Για το παρακάτω τριαρθρωτό πλαίσιο ζητείται η ΓΕ u abp ()= της μεταβολής της οριζόντιας απόστασης των σημείων a και b για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= στο ζύγωμα --. Ζ P()= M a Yφ u w b.00 Στύλοι: EI =. 0 knm Σ Ζύγωμα: EI =. Ζ 0 knm GA SØ EA Ø -

33 Για τον παρακάτω ισοστατικό δικτυωτό φορέα ζητούνται οι ΓΕ (α) w (β) ψ P ()= P ()= της βύθισης στον κόμβο και της στροφής χορδής της ράβδου - για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= μεταύ των κόμβων --. Ζ M.00 P ()=.00 Yφ u w EA = 0 6 kn Για τον παρακάτω ισοστατικό χωρικό φορέα ζητούνται οι ΓΕ (α) w της βύθισης του κόμβου (β) φ (γ) ψ P ()= P ()= P ()= της στροφής περί τον καθολικό άονα Χ του κόμβου και της στροφής χορδής της ράβδου - ως προς τον καθολικό άονα Χ για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ ()= μεταύ των κόμβων --. Ζ.00 M6 Y w u y z z y.00 P ()= z y.0.0 EI = y EI z = 0 GA SØ EA Ø GI T = 0 knm knm -

34 ΛΥΣΕΙΣ Πριν την παρουσίαση των λύσεων παρατίθενται χάριν διευκόλυνσης του σπουδαστή τα επί μέρους βήματα που περιλαμβάνει ο υπολογισμός γραμμών επιρροής (ΓΕ) παραμορφωσιακών μεγεθών με τη βοήθεια της πρότασης Mawell-Mohr. Η περιγραφή των βημάτων συνοδεύεται από το παράδειγμα υπολογισμού της ΓΕ φ a =φ aρz()= της στροφής στο αριστερό άκρο a μιας αμφιέρειστης δοκού. Βήματα υπολογισμού ΓΕ παραμορφωσιακών μεγεθών με την πρόταση Mawell-Mohr: Η πρόταση Mawell-Mohr διατυπώνεται για τους σκοπούς μας ως εής: Η ΓΕ Ε aρ()= ενός παραμορφωσιακού μεγέθους Ε a στη θέση a λόγω ενός κινητού φορτίου Ρ()= συμπίπτει/ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος κατά τη διεύθυνση του φορτίου Ρ η οποία προκύπτει εάν στη θέση αναφοράς a επιβληθεί το εργικά ανταποκρινόμενο προς το μέγεθος Ε a μοναδιαίο φορτίο F a =. Υπενθυμίζεται ότι η πρόταση Mawell-Mohr προκύπτει από το θεώρημα του Betti που εκφράζει τις συμμετρικές ιδιότητες του πραγματικού έργου παραμόρφωσης ενός φορέα. Η πρόταση όμως αυτή μπορεί να αποδειχθεί και με τη βοήθεια της αρχής των δυνατών συμπληρωματικών έργων (ΑΣΔΕ) η οποία αναφέρεται όχι στο πραγματικό έργο παραμόρφωσης αλλά στο συμπληρωματικό δυνατό έργο που παράγεται από δυνατά φορτία επί των πραγματικών μετακινήσεων ενός φορέα. Έστω λοιπόν ότι ζητούμενη είναι η ΓΕ φ a =φ aρ Ζ() της στροφής φ a στον κόμβο (σημείο a θέση =0) μιας αμφιέρειστης δοκού λόγω ενός κατακόρυφου μοναδιαίου κινητού φορτίου Ρ =Ρ Ζ ()= όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. w a φ a : Σημείο φόρτισης (τρέχουσα θέση) a: Σημείο αναφοράς Παράδειγμα υπολογισμού ΓΕ της στροφής στον κόμβο = P () = P EI = σταθ. EA Ø GA SØ Για τον υπολογισμό της ζητούμενης ΓΕ με την πρόταση Mawell-Mohr θεωρούμε δύο καταστάσεις: (α) την πραγματική κατάσταση έντασης και παραμόρφωσης που οφείλεται στο πραγματικό μοναδιαίο κινητό φορτίο Ρ = στην τρέχουσα θέση και (β) τη νοητή δυνατή κατάσταση έντασης και παραμόρφωσης που οφείλεται στο εργικώς ανταποκρινόμενο προς το ζητούμενο μέγεθος φ a δυνατό φορτίο Μ La =. (α) a w P = (β) a La Μ = M a () (α) M () a (β) - - a (α) w () a φ =δ a a (β) a w a () - w a =δ a Υπολογισμός της ΓΕ της στροφής στον κόμβο με την πρόταση Mawell-Mohr -

35 Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζονται οι πραγματικές ροπές κάμψης Μ() και η πραγματική ελαστική γραμμή w() λόγω του κινητού φορτίου Ρ = στην τυχούσα θέση. Στο δειό τμήμα του σχήματος απεικονίζονται οι νοητές ροπές κάμψης Μ a() και η νοητή ελαστική γραμμή w a() λόγω του δυνατού φορτίου Μ La= στη σταθερή θέση αναφοράς a (σχήματα (β) (β) (β)). Οι πραγματικές και νοητές ροπές κάμψης της δοκού (σχήματα (α) και (β) αντίστοιχα) υπολογίστηκαν με τις γνωστές μεθόδους υπολογισμού ισοστατικών φορέων ενώ οι αντίστοιχες ελαστικές γραμμές υπολογίστηκαν με τη βοήθεια των συναρτήσεων ω (βλ. ασκήσεις ομάδας Κ στην παράγραφο.). Η γωνία στροφής φ a στο σημείο a της πραγματικής ελαστικής γραμμής που φαίνεται στο σχήμα (α) είναι ε ορισμού η τεταγμένη η της ζητούμενης ΓΕ στο σημείο του φορτιζόμενου πέλματος. Για τον υπολογισμό της γωνίας αυτής χρησιμοποιούμε την ΑΣΔΕ: Ο φορέας φορτίζεται με τη νοητή μοναδιαία ροπή Μ La= και τα συμπληρωματικά δυνατά έργα που παράγει η προκαλούμενη νοητή εντασιακή κατάσταση επί της πραγματικής παραμορφωσιακής κατάστασης καταγράφονται και τίθενται ίσα με το μηδέν: W W e M W La e φ a W i W i 0 M M a La φ a M EI M a d M EI d Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε τη βύθιση w a στο σημείο της νοητής ελαστικής γραμμής (Σχ..- (β)). Σύμφωνα με την ΑΣΔΕ ο φορέας θα πρέπει τώρα να φορτιστεί με μία νοητή μοναδιαία δύναμη Ρ = στο σημείο. Η νοητή αυτή φόρτιση συμπίπτει όμως αριθμητικά με την πραγματική μας φόρτιση Ρ = η οποία κατά συνέπεια μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντ' αυτής. Καταγράφοντας τα συμπληρωματικά δυνατά έργα που παράγει η πραγματική εντασιακή κατάσταση λόγω Ρ = επί της νοητής παραμορφωσιακής κατάστασης λόγω Μ La= και θέτοντάς τα ίσα με το μηδέν (W* =W e * W i * =0) παίρνουμε: W W e P W e w a W W i i 0 M P w a M a EI M d M a EI Συγκρίνοντας τις δειές πλευρές των εισώσεων (*) και (**) διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες. Συνεπώς ίσες είναι και οι αριστερές τους πλευρές οπότε ισχύει: M La φa P w a και για τη ζητούμενη ΓΕ παίρνουμε: φ P w a a MLa Η παραπάνω σχέση αποτελεί έναν γενικό τύπο για τη ζητούμενη ΓΕ φ a. Θέτοντας το κινητό φορτίο Ρ ίσο με την αδιάστατη μονάδα δηλαδή Ρ =[-] και τη νοητή ροπή επίσης ίση με μονάδα δηλαδή Μ La= ν παίρνουμε για τη ΓΕ: φ (***) a w a ή με αναλυτικότερο συμβολισμό των δεικτών: φ a P La w rad kn M d (*) (**) (****) όπου η w a=w () M La= η δυνατή νοητή ελαστική γραμμή του φορτιζόμενου πέλματος η οποία αναπτύσσεται στον ισοστατικό φορέα λόγω της επιβεβλημένης μοναδιαίας ροπής Μ La=. Οι τεταγμένες της ΓΕ είναι: η w M La όπου το πεδίο μεταβολής της τετμημένης περιλαμβάνει όλο το μήκος του φορτιζόμενου πέλματος. Με βάση όλα τα παραπάνω μπορούμε να πούμε συνοπτικά ότι οι ΓΕ παραμορφωσιακών μεγεθών είναι ελαστικές γραμμές οι οποίες γενικώς είναι καμπυλόγραμμες. -

36 Ακριβέστερο είναι βέβαια να λέμε ότι πρόκειται για δυνατές νοητές ελαστικές γραμμές δηλαδή για ελαστικές γραμμές λόγω δυνατών μοναδιαίων φορτίων αφού η περιγραφείσα μέθοδος υπολογισμού ΓΕ βασίζεται στην ΑΣΔΕ. Εντούτοις η παράλειψη της θεωρητικά ορθότερης αυτής διατύπωσης δεν έχει καμία περαιτέρω συνέπεια όσον αφορά τον αριθμητικό υπολογισμό των ΓΕ. Εάλλου το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήαμε μπορεί να θεωρηθεί ότι απορρέει από την η πρόταση αμοιβαιότητας των Mawell-Mohr όπου οι μετακινήσεις δεν είναι δυνατές αλλά πραγματικές. Γι' αυτό και κατά κανόνα παραλείπουμε τον άνω δείκτη ν που συμβολίζει τον νοητό χαρακτήρα των σχετικών μεγεθών. Ακολούθως παρουσιάζεται ένας πρακτικός τρόπος προσδιορισμού ΓΕ παραμορφωσιακών μεγεθών με την πρόταση Mawell-Mohr: Χρησιμοποιώντας τους γενικότερους συμβολισμούς δ a =φ a και δ a =w a και παραλείποντας χάριν απλούστευσης τους άνω δείκτες ν η ε. (***) γράφεται υπό τη μορφή δ a δa ή παραλείποντας το κόμμα δ δ a a οπότε γίνεται και οπτικά σαφές ότι εκφράζει τη γνωστή πρώτη πρόταση αμοιβαιότητας δ mn =δ nm των Mawell- Mohr. Παρατηρώντας προσεκτικότερα την είσωση (****) διαπιστώνουμε ότι αυτή εκφράζει τον εής «μετασχηματισμό» (παραλείπεται ο άνω δείκτης ν): φ w M a P La Δηλαδή ο δεύτερος δείκτης ο δείκτης αιτίου Ρ Ζ ()= «μετατρέπεται» με εργική αντιστοίχιση στο τελικώς ζητούμενο μέγεθος w(): Στην κάθετη επί τον άονα δύναμη Ρ Ζ αντιστοιχεί εργικά η κάθετη προς τον άονα μετατόπιση w. Παρομοίως το αρχικώς ζητούμενο μέγεθος φ a «μετατρέπεται» με εργική αντιστοίχιση στο αίτιο Μ La = που προκαλεί το τελικώς ζητούμενο μέγεθος w(): Στη στροφή φ a αντιστοιχεί εργικά η ροπή Μ La την οποία βέβαια εδώ θέτουμε ίση με. Ο «μετασχηματισμός» αυτός που τον συναντήσαμε και κατά τον υπολογισμό ΓΕ εντασιακών μεγεθών με την πρόταση Krohn-Land (βλ. παράγρ..) εκφράζει με πρακτικό τρόπο την πρόταση Mawell-Mohr (δ mn =δ nm ) και εφαρμόζεται γενικά. Έτσι π.χ. για τις ΓΕ των μετατοπίσεων w a και u a σε ένα oποιοδήποτε σημείο a λόγω ενός κινητού φορτίου Ρ Ζ ()= παίρνουμε αντίστοιχα: w w P P P a P a και u w a a Για μια διεοδικότερη παρουσίαση των μεθόδων υπολογισμού γραμμών επιρροής παραμορφωσιακών μεγεθών ο σπουδαστής θα πρέπει να ανατρέει στη σχετική βιβλιογραφία (βλ. π.χ. [] κεφ. ). -6

37 Άσκηση M Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. α) ΓΕ της βύθισης w λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Mawell-Mohr ισχύει ο μετασχηματισμός: w w P P Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή w() της δοκού λόγω ενός κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου Ρ Ζ = στο σημείο : IPB80 St P.00 = EI = σταθ. GA SØ EA Ø Η ελαστική γραμμή w() της δοκού για φόρτιση Ρ Ζ =00kN έχει υπολογιστεί στην Άσκηση Κ. Συνεπώς η εδώ ζητούμενη ΓΕ προκύπτει με διαίρεση της εκεί υπολογισθείσας ελαστικής γραμμής διά 00kN: w P ()= () [0 - mm/kn] β) ΓΕ της στροφής φ λόγω κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου P Ζ () Σύμφωνα με την πρόταση Mawell-Mohr ισχύει ο μετασχηματισμός: φ w M P L Δηλαδή η ζητούμενη ΓΕ ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή w() της δοκού λόγω μιας μοναδιαίας εωτερικής ροπής Μ L = στο σημείο : IPB80 St M L =.00 EI= σταθ. GA SØ EA Ø Η ελαστική γραμμή w() της δοκού για την παραπάνω φόρτιση υπολογίζεται κατά τα γνωστά (βλ. Ασκήσεις Ομάδας Κ). Για τη ζητούμενη ΓΕ παίρνουμε: -7