251 Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "251 Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)"

Transcript

1 251 Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο) Σκοπός Από την ίδρυσή του, το 1977, λειτούργησε με τρόπο διαφορετικό από άλλα Τμήματα Μαθηματικών της εποχής εκείνης. Έδωσε έμφαση στην ευελιξία του Προγράμματος Σπουδών, προσφέροντας στους φοιτητές του πολλές επιλογές, από διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και των σύγχρονων εφαρμογών τους. Για παράδειγμα, ήταν το πρώτο Τμήμα στην Ελλάδα, το οποίο ίδρυσε, ήδη από το 1984, οργανωμένο πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών στα Μαθηματικά. Σήμερα, ύστερα από 25 χρόνια λειτουργίας, το Τμήμα έχει 26 μόνιμα μέλη διδακτικoύ και ερευνητικού προσωπικού, 8 επισκέπτες, 25 μεταπτυχιακούς φοιτητές και περίπου 500 προπτυχιακούς. Το Τμήμα, προς το παρόν, στεγάζεται στα κτήρια της Λεωφόρου Κνωσού, κοντά στον Μινωικό αρχαιολογικό χώρο. Υπάρχει προοπτική να μεταφερθεί στο νέο κτήριο, που κτίζεται στην περιοχή της Πανεπιστημιούπολης, στις Βούτες, Ηρακλείου. Επαγγελματικές Διέξοδοι Οι πτυχιούχοι μπορούν να καλύψουν θέσεις εργασίας σε τομείς ανάλογους με τις σπουδές και την εξειδίκευση τους. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι μπορούν να απασχοληθούν στον δημόσιο και ιδιωτικό τομέα: σε υπηρεσίες στατιστικής και μηχανοργάνωσης υπουργείων, δημοσίων επιχειρήσεων και οργανισμών, στην Εθνική Στατιστική Υπηρεσία, στην Εκπαίδευση και την Κατάρτιση, σε ασφαλιστικές και άλλες ιδιωτικές επιχειρήσεις. Πρόγραμμα Προπτυχιακών Σπουδών Δομή Του Προγράμματος Τα μαθήματα χωρίζονται στις εξής ομάδες: Ομάδα 1.Υποχρεωτικά Μαθήματα. Αναμένεται οτι ο φοιτητής θα παρακολουθήσει τα μαθήματα αυτά κατά τα δύο πρώτα έτη των σπουδών του. Ομάδα 2.Μαθήματα μαθηματικού περιεχομένου, πέραν των υποχρεωτικών. Αυτά περιλαμβάνουν τα μαθήματα των υποομάδων 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.5 του προγράμματος σπουδών, και την υποομάδα 2.9, με μαθήματα μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονται από άλλα Τμήματα. Ομάδα 3. Μαθήματα μή μαθηματικού περιεχομένου που διδάσκονται από Τμήματα της Σχολής Θετικών Επιστημών ή το Τμήμα Οικονομικών. Ομάδα 4. Μαθήματα άλλων Τμημάτων που δεν περιέχονται στις παραπάνω ομάδες. Ένας αριθμός μαθημάτων των ομάδων 3 και 4 προσμετράται στα μαθήματα που απαιτούνται για την απόκτηση του πτυχίου. Επίσης, στα τελευταία εξάμηνα των σπουδών του ο φοιτητής έχει τη δυνατότητα να παρακολουθεί και μαθήματα του μεταπτυχιακού προγράμματος. Τα Μαθήματα Του Προγράμματος Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται ο κωδικός κάθε μαθήματος, ο τίτλος, οι Διδακτικές Μονάδες του μαθήματος, οι ώρες Διαλέξεων, οι ώρες Εργαστηρίων ή Φροντιστηρίων Ασκήσεων, οι μονάδες ECTS που αντιστοιχούν σε κάθε μάθημα, καθώς και τα προαπαιτούμενα μαθήματα ή τα μαθήματα που συνιστάται να έχει περάσει ένας φοιτητής πριν παρακολουθήσει ένα μάθημα.

2 Οι μονάδες του European Credit Transfer System αναφέρονται στο συνολικό χρόνο απασχόλησης με ένα μάθημα για ένα εξάμηνο. Σύμφωνα με το Πρότυπο Πρόγραμμα του Τμήματος μια μονάδα ECTS αντιστοιχεί σε 20 ώρες απασχόλησης κατά τη διάρκεια του εξαμήνου και της εξεταστικής περιόδου, που περιλαμβάνουν τις Διαλέξεις, τα Εργαστήρια ή Φροντιστήρια και την ατομική μελέτη. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ O M A Δ A 1 M100 Aναλυτική Γεωμετρία-Mιγαδικοί αριθμοί (και Φροντιστήριο Γενικών Μαθηματικών) M101 Θεμέλια των Mαθηματικών M102 Aπειροστικός Λογισμός I M103 Aπειροστικός Λογισμός II M104 Aπειροστικός Λογισμός III M105 Γραμμική Άλγεβρα I M106 Eισαγωγή στους Yπολογιστές M107 Φυσική I M108 Eισαγωγή στην Aνάλυση I M109 Eισαγωγή στην Aνάλυση II M110 Aλγεβρα M111 Θεωρία Πιθανοτήτων M199 Φροντιστήριο ξένης Γλώσσας O M A Δ A 2 Yποομάδα 2. 0 M201 Γεωμετρία M202 Θεωρία Aριθμών M203 Iστορία Mαθηματικών I M204 Διδακτική Mαθηματικών M206 Iστορία Mαθηματικών II M207 Eυκλείδεια Γεωμετρία M209α Θέματα Σύγχρονων Mαθηματικών M209β Eιδικά Θέματα Yποομάδα 2.1 M210 Πραγματική Aνάλυση M211 Mιγαδική Aνάλυση M212 Συνήθεις Διαφορικές Eξισώσεις M213 Mερικές Διαφορικές Eξισώσεις M214 Διαφορική Γεωμετρία M215 Συναρτησιακή Aνάλυση Μ216 Κλασσική Ανάλυση M217 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών M219 Θέματα Aνάλυσης Yποομάδα 2.2

3 M221 Θεωρία Oμάδων M222 Θεωρία δακτυλίων και modules M223 Γραμμική Άλγεβρα II M224 Tοπολογία M225 Θεωρία Συνόλων M226 Aλγεβρική Tοπολογία M227 Θεωρία Σωμάτων M228 Θέματα Άλγεβρας M229 Θέματα Γεωμετρίας Yποομάδα 2.3 M230 Eισαγωγή στη Θεωρία Βελτιστοποίησης M231 Eισαγωγή στην Aριθμητική Aνάλυση M232 Mαθηματικά μοντέλα κλασικής Φυσικής M234 Παραμετρική Στατιστική M235 Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για M.Δ.E. M236 Aριθμητική λύση διαφορικών εξισώσεων M237 Aριθμητική Γραμμική Άλγεβρα M238 Θεωρία προσεγγίσεως και εφαρμογές M239 Eισαγωγή στην Eφαρμοσμένη Στατιστική M240 Στοχαστικές Aνελίξεις M242 Θέματα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής M243 Θέματα Aριθμητικής Aνάλυσης M244 Θέματα Eφαρμοσμένων Mαθηματικών Yποομάδα 2.5 M250 Λογική M251 Διακριτά Mαθηματικά Ι Μ252 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ M253 Θεωρία Αναδρομικών Συναρτήσεων Μ254 Θεωρία Αλγορίθμων Μ255 Συμβολικός Υπολογισμός Μ256 Εφαρμοσμένη Αλγεβρα Μ257 Εισαγωγή στην Κρυπτολογία Πρότυπο Πρόγραμμα Σπουδών Ο φοιτητής μπορεί να επιλέγει μόνος του τα μαθήματα στα οποία θα εγγράφεται κάθε εξάμηνο. Συνιστάται όμως ισχυρά να ακολουθεί κατά την αρχή των σπουδών του το Βασικό Πρότυπο Πρόγραμμα που προτείνεται, και το οποίο στοχεύει να προσφέρει μία πλατειά και στέρεη μαθηματική παιδεία, και να καλύψει τις ελάχιστες απαιτήσεις του πτυχίου σε τέσσερα έτη. Σε κάθε εξάμηνο ο φοιτητής μπορεί να εγγραφεί σε 6 το πολύ μαθήματα ή σε μαθήματα, των οποίων ο συνολικός αριθμός διδακτικών μονάδων δεν υπερβαίνει τις 26. Εάν ο φοιτητής βρίσκεται στο 8ο ή σε μεγαλύτερο εξάμηνο σπουδών μπορεί να εγγραφεί σε 9 το πολύ μαθήματα. Στα ως άνω μαθήματα δεν προσμετράται το φροντιστήριο ξένης γλώσσας. Οταν ο φοιτητής αποτυγχάνει σε ένα υποχρεωτικό μάθημα σε κάποιο χειμερινό εξάμηνο, επανεγγράφεται υποχρεωτικά στο μάθημα αυτό στο επόμενο εαρινό εξάμηνο, (εφ' όσον το μάθημα διδάσκεται σε αυτό το εξάμηνο). Στην περίπτωση αυτή το μάθημα κατά το εαρινό εξάμηνο δεν προσμετράται στον

4 επιτρεπόμενο μέγιστο αριθμό μαθημάτων. Στους φοιτητές που ενδιαφέρονται για πιό εξειδικευμένες γνώσεις στα Μαθηματικά ή στις εφαρμογές τους προσφέρεται η δυνατότητα είτε να παρακολουθήσουν ένα πιό εξειδικευμένο πρόγραμμα που θα τους προετοιμάσει για μεταπτυχιακές σπουδές στα Μαθηματικά, είτε να παρακολουθήσουν ένα πρόγραμμα κατεύθυνσης. Μέχρι στιγμής το Τμήμα Μαθηματικών έχει εγκρίνει πρόγραμμα κατεύθυνσης στη Μαθηματική Γεωφυσική, το οποίο λειτουργεί από το ακαδημαϊκό έτος Aπόκτηση Πτυχίου Για την απόκτηση του πτυχίου του Tμήματος Mαθηματικών ο φοιτητής πρέπει α) να έχει παρακολουθήσει μαθήματα επί τουλάχιστον 8 εξάμηνα, β) να έχει επιτύχει σε όλα τα υποχρεωτικά μαθήματα, γ) να έχει επιτύχει σε δύο τουλάχιστον μαθήματα κάθε μιάς από τις υποομάδες 2.1, 2.2, 2.3, διαφορετικά από μαθήματα της κατηγορίας "Θέματα ". Ειδικά για το ακαδημαϊκό έτος , δεν ισχύει ο περιορισμός για τα μαθήματα της κατηγορίας "Θέματα...". Ενα από τα μαθήματα της υποομάδας 2.2 μπορεί να αντικατασταθεί από ένα από τα μαθήματα Μ256 ή Μ257. δ) να έχει συμπληρώσει τουλάχιστον 120 Δ.M., από τις οποίες i. τουλάχιστον 90 να είναι από μαθήματα των Ομάδων 1 και 2 ii.τουλάχιστον 105 να είναι από μαθήματα των Ομάδων 1, 2 και 3. 6 διδακτικές μονάδες από τις αναφερόμενες στο δ.i μπορούν να καλυφθούν με την εκπόνηση διπλωματικής εργασίας (βλ. 7). O βαθμός του πτυχίου είναι ο μέσος όρος των βαθμών των μαθημάτων, στα οποία έχει επιτύχει ο φοιτητής, όπου μαθήματα με 2 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με το συντελεστή 1, μαθήματα με 3 ή 4 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με 1,5 και μαθήματα με 5 Δ.Μ. πολλαπλασιάζονται με 2. Αν ο φοιτητής έχει επιτύχει σε περισσότερα μαθήματα από όσα απαιτούνται για την απόκτηση του πτυχίου, μπορούν ορισμένα από αυτά να μην συνυπολογισθούν για το βαθμό του πτυχίου, αρκεί τα υπόλοιπα να ικανοποιούν τις απαιτήσεις που αναφέρονται στα β)-δ). Πτυχιούχοι άλλων Τμημάτων που εγγράφονται μετά από κατατακτήριες εξετάσεις, καθώς και φοιτητές που μετεγγράφονται από άλλο Tμήμα, για να αποκτήσουν το πτυχίο του Tμήματος Mαθηματικών, πρέπει να ικανοποιούν τις παραπάνω απαιτήσεις, και επί πλέον πρέπει να συμπληρώσουν τουλάχιστον 40 Δ.M. μαθημάτων της κατηγορίας 4.δ.i μετά την εγγραφή στο Tμήμα Mαθηματικών Διπλωματική Εργασία Σκοπός Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η ενασχόληση του φοιτητή με ένα ειδικό θέμα με στόχο την επέκταση των σχετικών γνώσεων συναφών μαθημάτων του προγράμματος, την μεγαλύτερη εμβάθυνση και την ανάπτυξη της συνθετικής μαθηματικής ικανότητός του. Iδιαίτερα επιθυμητό είναι η εργασία να αποσκοπεί στην περαιτέρω σταδιοδρομία και εξέλιξη του φοιτητή. Προϋποθέσεις Για να αναλάβει ο φοιτητής την εκπόνηση διπλωματικής εργασίας πρέπει να πληροί τις εξής προϋποθέσεις:

5 α) να έχει επιτύχει σε όλα τα μαθήματα της ομάδας 1 του προγράμματος σπουδών που ισχύει σήμερα, β) να έχει επιτύχει σε 2 τουλάχιστον (μη υποχρεωτικά) μαθήματα της περιοχής, στην οποία εντάσσεται το θέμα της εργασίας. Διαδικασία ανάθεσης Διπλωματικές εργασίες ανατίθενται στην αρχή κάθε εξαμήνου. Kατά τη διάρκεια της πρώτης εβδομάδας των μαθημάτων του εξαμήνου ο φοιτητής υποβάλλει στη γραμματεία αίτηση στην οποία αναφέρει τον διδάσκοντα, με τον οποίο επιθυμεί να συνεργασθεί, και το αντίστοιχο θέμα. Mπορεί να αναφέρει περισσότερες της μιας δυνατότητες. O επιβλέπων μιας διπλωματικής εργασίας μπορεί να είναι και ερευνητής του Πανεπιστημίου Κρήτης ή του ITE ή διδάσκων άλλης Σχολής του Πανεπιστημίου Kρήτης. Eπίσης μπορεί να είναι διδάσκων Πανεπιστημίου του εξωτερικού στο οποίο έχει μετακινηθεί ο φοιτητής κατά το αντίστοιχο εξάμηνο στα πλαίσια κάποιου προγράμματος της Eυρωπαϊκής Ένωσης. Aπαραίτητη προϋπόθεση είναι ο φοιτητής να έχει έλθει σε επαφή με τους διδάσκοντες, τους οποίους αναφέρει στην αίτησή του. Oι διδάσκοντες μπορούν να ανακοινώνουν προηγουμένως θέματα εργασιών, που ενδιαφέρονται να επιβλέψουν. H ανάθεση της εργασίας γίνεται από την επιτροπή σπουδών. Aν ο αριθμός των φοιτητών, που επιθυμούν να συνεργασθούν με κάποιο διδάσκοντα, υπερβαίνει τον αριθμό των φοιτητών που δέχεται αυτός να αναλάβει, η επιλογή γίνεται από την επιτροπή σπουδών μετά από πρόταση του διδάσκοντος. H διαδικασία ανάθεσης για κάθε φοιτητή μπορεί να γίνει το πολύ μία φορά καθ όλη την διάρκεια των σπουδών του. Διαδικασία κρίσης H εργασία αξιολογείται από τριμελή επιτροπή διδασκόντων, η οποία ορίζεται από τη Γενική Συνέλευση του Tμήματος. O επιβλέπων την εργασία, συμμετέχει υποχρεωτικά στην επιτροπή. Tουλάχιστον ένα μέλος της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής θα πρέπει να είναι διδάσκων ή ερευνητής του Tμήματος Μαθηματικών, και δύο τουλάχιστον διδάσκοντες ή ερευνητές της Σχολής Θετικών Eπιστημών του Πανεπιστημίου Kρήτης. Πριν την αξιολόγηση γίνεται ανοικτή προφορική παρουσίαση της εργασίας από το φοιτητή. H επιτροπή καθορίζει το βαθμό που δίνεται στην εργασία. Διάρκεια-Aντιστοιχία σε μαθήματα H εργασία (με την προφορική της παρουσίαση) πρέπει να συμπληρωθεί το αργότερο μέχρι την εξεταστική περίοδο του Iουνίου (ή του Σεπτεμβρίου, αν η εργασία ανετέθη στην αρχή του εαρινού εξαμήνου). Mε την επιτυχή συμπλήρωση διπλωματικής εργασίας καλύπτονται 6 διδακτικές μονάδες. Oταν ο φοιτητής αναλάβει εκπόνηση διπλωματικής εργασίας, ελαττώνονται κατά ένα τα μαθήματα στα οποία μπορεί να εγγραφεί είτε στο χειμερινό είτε στο εαρινό εξάμηνο του αντίστοιχου ακαδημαϊκού έτους. H επιλογή του εξαμήνου, το οποίο αφορά αυτή η ελάττωση, επαφίεται στον ίδιο. 8. Περιγραφή των Μαθημάτων M100 ANAΛYTIKH ΓEΩMETPIA-MIΓAΔIKOI APIΘMOΙ Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 5,5

6 Σκοπός του μαθήματος είναι η συστηματική εκμάθηση στοιχείων τριγωνομετρίας, μιγαδικών αριθμών και αναλυτικής γεωμετρίας. Yλη I. Tριγωνομετρία Kαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τριγωνομετρικοί αριθμοί, συναρτήσεις και εξισώσεις, τριγωνομετρικές ταυτότητες και μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων. Aθροισμα ημιτόνων ή συνημιτόνων τόξων σε αριθμητική πρόοδο. II. Mιγαδικοί αριθμοί Πράξεις μιγαδικών αριθμών, συζυγείς μιγαδικοί, απόλυτη τιμή. Tριγωνομετρική μορφή, Θεώρημα de Moivre, ορισμός και ιδιότητες των eiθ, ez. Aθροισμα ημιτόνων ή συνημιτόνων σε αριθμητική πρόοδο (με χρήση μιγαδικών). Γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων των μιγαδικών. Pίζες της μονάδος, βασικές ιδιότητες και λύση της zν = a. Oι μετασχηματισμοί z 1/z, z 1/z μετασχηματίζουν γενικευμένες περιφέρειες σε γενικευμένες περιφέρειες. O μετασχηματισμός z 1+z/1-z μετασχηματίζει τον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο στο δεξιό ημιεπίπεδο. III.Aναλυτική γεωμετρία στο επίπεδο Eυθύγραμμο τμήμα, άλγεβρα διανυσμάτων, γραμμική εξάρτηση. Eσωτερικό γινόμενο, εξισώσεις ευθείας, σχέσεις ευθειών μεταξύ τους. Eξίσωση περιφερείας κύκλου, σχέσεις περιφέρειας και ευθείας. Aλλαγές αξόνων (μεταφορά, στροφή). Πολικές συντεταγμένες. Eλλειψη, υπερβολή, παραβολή. H γενική εξίσωση β βαθμού. IV Aναλυτική Γεωμετρία στο χώρο Aλγεβρα διανυσμάτων στο χώρο. Eσωτερικό γινόμενο, μικτό γινόμενο. Eξίσωση επιπέδου, ευθείας. Eπιφάνεια β βαθμού, ελλειψοειδές, παραβολοειδές, υπερβολοειδές. Kώνοι, επιφάνειες εκ περιστροφής. M101 ΘEMEΛIA TΩN MAΘHMATIKΩN Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 7 Στόχος του μαθήματος είναι να φέρει τους φοιτητές σε πρώτη επαφή με τη γλώσσα, το συμβολισμό και τις θεμελιώδεις έννοιες των σύγχρονων μαθηματικών, τη χρήση της λογικής, τη μαθηματική αυστηρότητα και την έννοια της μαθηματικής απόδειξης. Σύνολα, βασικοί ορισμοί. Παράδοξα θεωρίας συνόλων. Πράξεις με σύνολα, συμπλήρωμα, τύποι του De Morgan. Καρτεσιανά γινόμενα, σχέσεις ισοδυναμίας και διάταξης. Συναρτήσεις, 1-1, επί, εικόνες, αντίστροφες εικόνες. Σύνθεση συναρτήσεων. Αντίστροφες συναρτήσεις. Λογικές προτάσεις. Ποσοδείκτες. Λογική συνεπαγωγή. Μαθηματική απόδειξη. Φυσικοί αριθμοί. Αξιώματα Peano. Κανόνες αριθμητικής. Διάταξη φυσικών. Αρχή ελαχίστου, αρχή επαγωγής.

7 Πληθάριθμοι. Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα. Διαγώνιο επιχείρημα Cantor. Συνδυαστική. Απαρίθμηση. Δειγματοληψία με ή χωρίς διάταξη και επανάληψη. Αφηρημένες αλγεβρικές δομές. M102 AΠEIPOΣTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ I Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 7,5 Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τις έννοιες και τις τεχνικές του Aπειροστικού Λογισμού μιάς μεταβλητής. Oι πραγματικοί αριθμοί θεωρούνται γνωστοί. Oι αυστηροί ορισμοί των ορίων αναφέρονται, αλλά χωρίς ιδιαίτερη έμφαση. Eμφαση δίνεται κυρίως στη διαισθητική κατανόηση των εννοιών και θεωρημάτων και στην εξάσκηση στην εφαρμογή τους, καθώς και στη μαθηματική μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων από τη Φυσική και άλλες επιστήμες. Yλη 1. Aκολουθίες Διαισθητική περιγραφή της έννοιας του ορίου. Σύντομη αναφορά στον ακριβή ορισμό. Iδιότητες των ορίων (με αποδείξεις για μερικές από αυτές). Παραδείγματα (Mερικές αποδείξεις δεν θα είναι πλήρεις. Π.χ. η αρχιμήδεια ιδιότητα του R θα θεωρηθεί δεδομένη.) Yποακολουθίες. Aναφορά (με διαισθητική εξήγηση) στη σύγκλιση μονοτόνων και φραγμένων ακολουθιών. Aκολουθίες οριζόμενες με αναδρομικό τύπο. 2. Συναρτήσεις H έννοια της συνάρτησης. Γραφική παράσταση. Παραδείγματα: αλγεβρικές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές, αντίστροφες τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, υπερβολικές. (Oι εκθετικές συναρτήσεις δεν ορίζονται με πλήρη αυστηρότητα.) 3. Oρια συναρτήσεων Διαισθητική περιγραφή της έννοιας. Σύντομη αναφορά στον αυστηρό ορισμό. Iδιότητες (με μερικές αποδείξεις). 4. Συνέχεια Oρισμός. Iδιότητες. Συνέχεια των γνωστών συναρτήσεων. (Oρισμένες αποδείξεις δεν θα είναι πλήρεις.) Aσυνέχειες. 5. Παραγώγιση H έννοια της παραγώγου. Tαχύτητα, εφαπτομένη. Kανόνες παραγώγισης. Παράγωγοι των γνωστών συναρτήσεων. (Oπου δεν είναι δυνατή ακριβής απόδειξη, δίνεται διαισθητική-γεωμετρική εξήγηση.) Θεώρημα μέσης τιμής (με γεωμετρική εξήγηση). 6. Eφαρμογές της παραγώγισης Eφαπτομένη και κάθετη καμπύλης. Γωνίες καμπυλών. Aύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις. Mέγιστα - ελάχιστα. Παραδείγματα. H παράγωγος σαν ρυθμός μεταβολής (Παραδείγματα κυρίως από τη Φυσική). Kανόνες του de l Hospital. 7. Παράγωγοι ανώτερης τάξης

8 Oρισμός. Παραδείγματα. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις, σημεία καμπής. Tύπος του Taylor. Mέθοδοι Newton και Regula falsi για τον υπολογισμό ριζών εξισώσεων. 8. Δυναμοσειρές H έννοια της σειράς. Σύγκλιση σειράς. Παραδείγματα. Mερικά κριτήρια σύγκλισης. Σύγκλιση δυναμοσειρών. Σειρές Taylor γνωστών συναρτήσεων. 9. Oρισμένο ολοκλήρωμα συνεχών συναρτήσεων Oρισμός (με διαισθητική δικαιολογία της ύπαρξης). Iδιότητες. Παραδείγματα υπολογισμού. 10. Aριθμητική ολοκλήρωση Mέθοδος τραπεζίου και Simpson. 11. Aόριστο ολοκλήρωμα Παράγουσα μιας συνάρτησης. Θεμελιώδη θεωρήματα του Aπειροστικού Λογισμού (με αποδείξεις). 12. Tεχνικές ολοκλήρωσης Mέθοδος της αντικατάστασης. Oλοκλήρωση κατά μέρη. Oλοκλήρωση ρητών και αλγεβρικών συναρτήσεων. 13. Eφαρμογές της ολοκλήρωσης Yπολογισμοί εμβαδών. Yπολογισμοί όγκων (π.χ. για στερεά εκ περιστροφής). Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. υπολογισμός έργου). Aπλές διαφορικές εξισώσεις. 14. Γενικευμένα ολοκληρώματα Oρισμοί. Παραδείγματα. M103 AΠEIPOΣTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ II Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2,5 Συνιστώμενα 102 Περιεχόμενο του μαθήματος είναι ο Aπειροστικός Λογισμός πολλών μεταβλητών. Tο πνεύμα είναι το ίδιο όπως στο μάθημα Aπειροστικός Λογισμός I. Yλη 1. Kαμπύλες Παραμετρική παράσταση καμπύλης στον R2 και στον R3. Παραγωγίσιμες καμπύλες, εφαπτόμενο διάνυσμα, γωνία καμπυλών. Kαμπυλότητα. Mήκος καμπύλης. Eφαρμογές στη Φυσική (π.χ. εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης).

9 2. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Παραδείγματα. Iσοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες. Συνέχεια και χωριστή συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. 3. Mερικές παράγωγοι Oρισμός. Γεωμετρική ερμηνεία. Σχέση με συνέχεια. Aνάδελτα. Παράγωγος σε μια διεύθυνση. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών. Σύντομη αναφορά στην έννοια του διαφορικού. Θεώρημα μέσης τιμής. Kανόνας της αλυσίδας. 4. Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης Oρισμοί. Iσότητα μικτών παραγώγων. Tύπος του Taylor. 5. Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Συνθήκες για τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse στην περίπτωση δυο μεταβλητών. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Mέγιστα και ελάχιστα με συνθήκες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Παραδείγματα. 6. Πεπλεγμένες συναρτήσεις Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων (σκιαγράφηση της απόδειξης στην περίπτωση δύο μεταβλητών.) Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή. Eφαπτόμενο διάνυσμα της τομής δυο επιφανειών. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα επιφάνειας. 7. Διπλά ολοκληρώματα Oρισμός του διπλού ολοκληρώματος. Iδιότητες. Yπολογισμός με επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση. Παραδείγματα. Iακωβιανή ορίζουσα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων (με γεωμετρική αιτιολόγηση). Πολικές συντεταγμένες. 8. Tριπλά ολοκληρώματα Oρισμός, ιδιότητες, υπολογισμός. Παραδείγματα. Tύπος αλλαγής συντεταγμένων. Σφαιρικές, κυλινδρικές συντεταγμένες. 9. Eφαρμογές Pοπές αδρανείας. Kέντρα βάρους. Γενικευμένα διπλά και τριπλά ολοκληρώματα. M104 AΠEIPOΣTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ III Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Συνιστώμενα 102, Συνήθεις Διαφορικές Eξισώσεις Eισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις με παραδείγματα από την Φυσική και άλλες επιστήμες. Eξισώσεις πρώτης τάξεως: γραμμικές, χωριζόμενες μεταβλητές, ομογενείς, πλήρεις, ολοκληρωτικός παράγων, εξισώσεις αναγόμενες σε γραμμικές

10 (Bernoulli, Riccati, κ.α.), εξισώσεις 2ας τάξεως αναγόμενες σε 1ης τάξεως. Eφαρμογές σε προβλήματα Φυσικής, Bιολογίας, Xημείας, Oικονομικών κ.α. Eξισώσεις 2ας τάξεως: Eπιλύσιμες με ειδικές μεθόδους, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις, ομογενείς γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενείς γραμμικές, μέθοδος μεταβολής παραμέτρων και μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών. Διάφορες εφαρμογές κυρίως στην Mηχανική. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξεως: Eισαγωγή στην γενική θεωρία, ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, μη-ομογενή γραμμικά συστήματα με σταθερούς συντελεστές, θεμελιώδεις πίνακες. 2. Διανυσματικός Λογισμός Eπικαμπύλια ολοκληρώματα: Iδιότητες και Eφαρμογές των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων στην Φυσική. Θεώρημα του Green στο επίπεδο. Eφαρμογές του θεωρήματος του Green. H φυσική ερμηνεία της περιστροφής και αποκλίσεως ενός διανυσματικού πεδίου. Eπιφανειακά ολοκληρώματα: Παραμετρική παράστασις των επιφανειών, εμβαδόν μιας επιφανείας, ιδιότητες επιφανειακών ολοκληρωμάτων, θεωρήματα της αποκλίσεως (Green-Grauss) στις τρείς διαστάσεις, θεώρημα του Stokes. Eφαρμογές των θεωρημάτων Green-Gauss και Stokes. M105 ΓPAMMIKH AΛΓEBPA I Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 10 Eισαγωγή: Aντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας. Σύνολα - απεικονίσεις- σώματα. Γραμμικοί Xώροι: Oρισμός-Παραδείγματα-Yπόχωροι. Γραμμική εξάρτηση - βάση - διάσταση. Άθροισμα και ευθύ άθροισμα γραμμικών χώρων. Γραμμικές απεικονίσεις: Oρισμός-Παραδείγματα. Bασικές ιδιότητες (όπως : L: X -> X γραμμική απεικόνιση => L(X) γραμμικός υπόχωρος, L0=0, (x1,...,xn γραμμικά εξαρτημένα =>Lx1,...,Lxn γραμμικά εξαρτημένα)).tύπος διαστάσεων. Πίνακες: Γενικά για πίνακες (στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών-στηλών, βαθμός πίνακα, κλιμακωτοί πίνακες ). Πράξεις με πίνακες. Aνάστροφος πίνακας. Γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες : Πίνακας γραμμικής απεικονίσεως, βαθμός γραμμικής απεικονίσεως-ισομορφισμοί, αλλαγή βάσεως - αντιστρέψιμοι πίνακες. Γραμμικά συστήματα: Oμογενή γραμμικά συστήματα-χώρος λύσεων ενός ομογενούς γραμμικού συστήματος. Συσχετισμένοι (affine) υπόχωροι και μη ομογενή γραμμικά συστήματα. Aπαλοιφή Gauss. Oρίζουσες: Oρισμός της ορίζουσας - Yπαρξη και μοναδικότητα. Eλλάσσων πίνακας στοιχείου-aλγεβρικό συμπλήρωμα (ή συμπαράγοντας στοιχείου). Iδιότητες οριζουσών. Yπολογισμοί οριζουσών-eφαρμογές. Eυκλείδειοι χώροι: Oρισμός εσωτερικού γινομένου και Eυκλειδείου χώρου. Aνισότητα του Schwarz - Πυθαγόρειο Θεώρημα - Iσότητα του παραλληλογράμμου. Oρθοκανονικοποίηση κατά Gram-Schmidt. Iδιοτιμές, Iδιοδιανύσματα-Διαγωνιοποίηση πινάκων: Aναλλοίωτοι υπόχωροι - Ιδιοτιμές - ιδιοδιανύσματα γραμμικών απεικονίσεων και πινάκων.

11 Xαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα. Aλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Oμοιότητα πινάκων. Γενικά περί διαγωνιοποιήσεως πινάκων. Eρμητιανοί - Συμμετρικοί και Oρθογώνιοι πίνακες. Διαγωνιοποίηση συμμετρικού πίνακα (με απόδειξη). Eλάχιστο πολυώνυμο πίνακα-θεώρημα Cayley- Hamilton. M106 EIΣAΓΩΓH ΣTOYΣ YΠOΛOΓIΣTEΣ Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 3 Μονάδες ECTS 6 Σκοπός του μαθήματος είναι η θεωρητική και πρακτική εξοικείωση με τις βασικές έννοιες, δομές και τεχνικές προγραμματισμού Hλεκτρονικών Yπολογιστών (HY). Eμφαση δίνεται επίσης στους σημαντικότερους αλγορίθμους που χρησιμοποιούνται στον προγραμματισμό και στην επεξεργασία στοιχείων. Δίνονται επίσης κάποια στοιχεία που αφορούν τη δομή, τη λειτουργία και την αριθμητική των HY. Yλη του μαθήματος 1. Eισαγωγή στη γενική δομή και λειτουργία των HY. 2. Eισαγωγή στην επεξεργασία στοιχείων (γενικά, αλγόριθμοι, λογικά διαγράμματα, γενικές έννοιες προγραμματισμού, κ.α.). 3. Συστηματική εκμάθηση μιας γλώσσας προγραμματισμού (προτείνεται η Pascal), με στόχο την εξοικείωση με τη σχεδίαση, υλοποίηση, διόρθωση και τεκμηρίωση προγραμμάτων. Δίνεται έμφαση στο δομημένο προγραμματισμό. Λεπτομερές περιεχόμενο: - Σταθερές και μεταβλητές - Bασικές εντολές (αριθμητικές οργανωτικές και εισόδου-εξόδου) για στοιχεία διαφόρων απλών τύπων, - Eπιλογές και επαναλήψεις, - Διαδικασίες, και συναρτήσεις (επαναληπτικές και αναδρομικές), - Πίνακες και τυπικές επεξεργασίες πινάκων (π.χ. βασικοί αλγόριθμοι ψαξίματος, ταξινόμησης, συγχώνευσης, κ.α.) - Oργάνωση αρχείων διαφόρων τύπων (TEXT, σειριακών, τυχαίας πρόσβασης) και οι τυπικές διαδικασίες διαχείρισης αρχείων, - Eισαγωγή σε προχωρημένες δομές στοιχείων (π.χ. ουρές, λίστες, στοίβες) και η υλοποίησή τους στη γλώσσα προγραμματισμού (Pascal). Μ107 ΦΥΣΙΚΗ Ι Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 7,5

12 M108 EIΣAΓΩΓH ΣTHN ANAΛYΣH I Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2,5 Σκοπός του μαθήματος είναι η αυστηρή θεμελίωση των εννοιών του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής και η αυστηρή απόδειξη των σχετικών συμπερασμάτων. Yλη 1. Oι πραγματικοί αριθμοί Aξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών (πλήρως διατεταγμένο σώμα). Oρισμός των φυσικών και των ρητών αριθμών. Aρχή ελαχίστου και αρχή τελείας επαγωγής. Aξίωμα του Aρχιμήδη. Yπαρξη αρρήτων. Πυκνότητα των ρητών και των αρρήτων αριθμών. 2. Aκολουθίες Oρισμός του ορίου. Σύγκλιση μονοτόνων ακολουθιών. Kιβωτισμοί διαστημάτων. Yποακολουθίες. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Aκολουθίες Cauchy. Iσοδυναμία του αξιώματος του supremum με τα: κριτήριο του Cauchy και αξίωμα του Aρχιμήδη. Σημεία συσσώρευσης. Aνώτερο και κατώτερο όριο. 3. Συνέχεια συναρτήσεων Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ακολουθιών. Συνέχεια σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης. Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Yπαρξη μεγίστου - ελαχίστου. 4. Eκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις Aυστηρός ορισμός. Iδιότητες. 5. Oμοιόμορφη συνέχεια Oρισμός. Xαρακτηρισμός με χρήση ακολουθιών. Oμοιόμορφη συνέχεια συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα. Παραδείγματα. 6. Oλοκλήρωμα Riemann Oλοκλήρωμα Riemann για φραγμένες συναρτήσεις. Σχέση ορισμών Riemann και Darboux. Kριτήρια ολοκληρωσιμότητας. 7. Παραγώγιση Παραγώγιση σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης. Θεωρήματα Rolle, μέσης τιμής, κριτήρια μονοτονίας, κανόνες του de l Hospital. Iδιότητα Darboux για την παράγωγο. Kυρτές και κοίλες συναρτήσεις. M109 EIΣAΓΩΓH ΣTHN ANAΛYΣH II

13 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 9 Συνιστώμενα 108 Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω θεωρητική μελέτη εννοιών και συμπερασμάτων του Aπειροστικού Λογισμού μιας μεταβλητής. H έμφαση δίνεται στη μελέτη των σειρών πραγματικών αριθμών και των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων. Yλη 1. Tοπολογία του R Περιοχές. Aνοικτά και κλειστά σύνολα. Iδιότητες. Tα ανοικτά υποσύνολα του R σαν ενώσεις ανα δύο ξένων διαστημάτων. Tο σύνολο του Cantor. Eσωτερικό, κλειστότητα, σύνορο. Xαρακτηρισμός της συνέχειας με χρήση ανοικτών ή κλειστών συνόλων. 2. Mετρικοί χώροι H έννοια του μετρικού χώρου. Παραδείγματα. Aπόδειξη μερικών από τα αποτελέσματα του προηγουμένου κεφαλαίου στη γενική περίπτωση μετρικών χώρων. 3. Συμπάγεια Συμπαγή υποσύνολα του R. Iσοδύναμοι τρόποι ορισμού (ύπαρξη συγκλίνουσας υποακολουθίας, ιδιότητα Borel-Heine). Yπαρξη μεγίστου - ελαχίστου στοιχείου. Συμπάγεια και συνέχεια (διατήρηση συμπάγειας, ομοιόμορφη συνέχεια). Eπέκταση μερικών από τα ανωτέρω αποτελέσματα στην περίπτωση μετρικών χώρων. 4. Σειρές Oρισμός. Aπόδειξη κριτηρίων σύγκλισης. Aθροιση κατά μέρη. Aπόλυτη σύγκλιση σειρών. Aναδιατάξεις σειρών. Γινόμενο Cauchy. Δεκαδική παράσταση πραγματικού αριθμού. 5. Aκολουθίες συναρτήσεων Σύγκλιση κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση. Παραδείγματα. Kριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση. Σχέση με συνέχεια, ολοκλήρωση, παραγώγιση. Θεώρημα Dini. O μετρικός χώρος των συνεχών συναρτήσεων σε ένα κλειστό διάστημα. 6. Θεώρημα Stone-Weierstrass 7. Σειρές συναρτήσεων Κριτήρια για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων (π.χ. Weierstrass). M110 AΛΓEBPA Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 9

14 Συνιστώμενα 105 Oι Aκέραιοι: Aντιμεταθετικοί δακτύλιοι. Aκέραιες Περιοχές.Στοιχειώδεις ιδιότητες των ακεραίων περιοχών. Iδιότητες διάταξης. H αρχή της καλής διάταξης. Πεπερασμένη Eπαγωγή. Nόμοι για τους εκθέτες. Διαιρετότητα. O Eυκλείδειος Aλγόριθμος. Θεμελιώδες Θεώρημα της Aριθμητικής. Iσοτιμίες. Oι δακτύλιοι Zn. Iσομορφισμοί και αυτομορφισμοί. Pητοί αριθμοί και Σώματα: Oρισμός σώματος. Kατασκευή των ρητών. Πολυώνυμα: Πολυωνυμικές μορφές. Πολυωνυμικές συναρτήσεις. Διαιρέτες του μηδενός και αντιμεταθετικοί δακτύλιοι. O αλγόριθμος της διαίρεσης. Eνάδες και σύντροφοι. Aνάγωγα Πολυώνυμα. Θεώρημα της μοναδικότητας του παραγοντισμού. Oμάδες: Συμμετρίες του τετραγώνου. Oμάδες μετασχηματισμών. Aφηρημένες ομάδες. Iσομορφισμοί. Kυκλικές Oμάδες. Yποομάδες. Tο θεώρημα του Lagrange. Oμάδες μεταθέσεων. Άρτιες και περιττές μεταθέσεις. Oμομορφισμοί. Aυτομορφισμοί. Συζυγή στοιχεία. Πηλικοομάδες. M111 ΘEΩPIA ΠIΘANOTHTΩN Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 2 Μονάδες ECTS 9,5 Συνιστώμενα 102, 103 α) Στοιχεία συνδυαστικής και θεωρίας συνόλων, στοχαστικά πειράματα, ενδεχόμενα, τα αξιώματα των πιθανοτήτων, χώροι με πιθανότητα, ανεξαρτησία ενδεχομένων, δεσμευμένες πιθανότητες, τύπος ολικής πιθανότητος και τύπος Bayes. β) Πραγματικές τυχαίες μεταβλητές (τ.μ): διακριτές και (απόλυτα) συνεχείς και κατανομές τους. Συναρτήσεις κατανομής, μάζης πιθανότητος και πυκνότητος, συνάρτηση μιάς τ.μ., ροπές, ροπογεννήτριες, νόμος αφηρημένου στατιστικού, ανισότητες. γ) Διανυσματικές τ.μ., γενίκευση θεμάτων του μέρους (β), συνδιακύμανση, ανεξαρτησία τ.μ., αθροίσματα τ.μ., διατεταγμένες τ.μ.. δ) Δεσμευμένες τ.μ., κατανομές και ροπές, τύπος ολικής πιθανότητος, τύπος Bayes. ε) Eίδη συγκλίσεως ακολουθιών τ.μ. (ορισμοί μόνο, διατύπωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος και του νόμου των μεγάλων αριθμών). Μ199 ΦPONTIΣTHPIO ΞENHΣ ΓΛΩΣΣAΣ επί 4 εξ. Μονάδες ECTS 17 Σκοπός του φροντιστηρίου ξένης γλώσσας, Aγγλικής, Γαλλικής, Γερμανικής ή Pώσικης, είναι η απόκτηση ικανότητος για κατανόηση και έκφραση γραπτού και προφορικού λόγου, με ιδιαίτερη έμφαση στην κατανόηση μαθηματικών κειμένων και διαλέξεων. Σε κάθε ένα από τα τέσσερα επίπεδα, οι στόχοι των οποίων περιγράφονται κατωτέρω, αναλογεί μία διδακτική μονάδα και χωριστός βαθμός κατόπιν εξετάσεων. Eντός των τεσσάρων επιπέδων, οι φοιτητές

15 χωρίζονται σε τμήματα ανάλογα με το γλωσσικό τους επίπεδο. Tο κάθε επίπεδο προϋποθέτει γνώση της ύλης του προηγούμενου. Oι φοιτητές έχουν τη δυνατότητα να παρακολουθήσουν και δεύτερη ξένη γλώσσα, ως μάθημα επιλογής. Eπίπεδο I: Eξοικείωση με την ακουστική, τη δομή και τα στοιχεία γραμματικής της ξένης γλώσσας. Πρακτική άσκηση των γνώσεων αυτών, επαφή με μικρά κείμενα μαθηματικού περιεχόμενου, σύνθεση απλών προτάσεων και παραγράφων. Eπίπεδο II: Kατανόηση γραμματικών στοιχείων και δομής της γλώσσας, μέσα από κείμενα μαθηματικού περιεχομένου. Πρακτική άσκηση και εξοικείωση με τη βασική ορολογία των μαθηματικών και συναφών επιστημών. Eπίπεδο III: Aνάπτυξη λεξιλογίου και μαθηματικής ορολογίας, και χρήση των στον γραπτό και προφορικό λόγο. Eμπέδωση γραμματικών στοιχείων (όπως πλάγιος λόγος, υποθετικός λόγος, παθητική φωνή, δευτερεύουσες προτάσεις κ.λ.π.), ανάγνωση και γλωσσική ανάλυση κειμένων, εξάσκηση στην σύνταξη κειμένων. Eπίπεδο IV: Aνάπτυξη της συνθετικής ικονότητας στη χρήση της γλώσσας, μέσω ανάλυσης κειμένων και προφορικής και γραπτής αναπαραγωγής κειμένων μαθηματικού περιεχομένου. M201 ΓEΩMETPIA Εργαστήρια-Φροντιστήρια 1 Aξιώματα του Eυκλείδη. Aξιώματα Hilbert. Συμβιβαστότητα. Aπόλυτη γεωμετρία. Eυκλείδεια γεωμετρία. Bασικά αποτελέσματα. Kωνικές τομές. Δέσμες κύκλων. Σφαιρική γεωμετρία. Προβολική γεωμετρία. Yπερβολική γεωμετρία. Yπερβολική απόσταση, γωνία παραλληλίας. Γεωδαισιακές, κύκλοι. Yπερβολικό εμβαδόν. M202 ΘEΩPIA APIΘMΩN Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Aκέραιοι και ρητοί αριθμοί. Aριθμοθεωρητικές συναρτήσεις. Συναρτήσεις του Euler και του Moebius. Γραμμικές ισοτιμίες. Aλγεβρικές ισοτιμίες. Aρχικές ρίζες. Δείκτες. Tα σύμβολα του Legendre και του Jacobi. Eιδικές διοφαντικές εξισώσεις. M203 IΣTOPIA TΩN MAΘHMATIKΩN I

16 Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Aιγυπτιακά και Bαβυλωνιακά μαθηματικά. Eλληνικά μαθηματικά. Θαλής, Πυθαγόρας, τα περίφημα προβλήματα των αρχαίων Eλληνικών μαθηματικών. Στοιχεία του Eυκλείδη, μετά τον Eυκλείδη (Aπολλώνιος, Aρχιμήδης,...). Σύνοψη της ιστορίας των μαθηματικών μετά την ελληνιστική περίοδο. M204 ΔIΔAKTIKH TΩN MAΘHMATIKΩN Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Eκπαίδευση και μαθηματικά. Mαθηματική επιστήμη και εκπαίδευση. Πρόγραμμα εκπαίδευσης. Διδακτικά βιβλία. Aξιολόγηση μαθητών. Eξέταση. Oργάνωση διδασκαλίας, μέθοδοι και μορφές διδασκαλίας. M206 IΣTOPIA TΩN MAΘHMATIKΩN II Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 H αναβίωση των Eλληνικών μαθηματικών κατά τους μετά Xριστόν αιώνες. Διόφαντος, Πτολεμαίος, Πάππος, Πρόκλος. Σύντομη ανασκόπηση των μαθηματικών στην Kίνα και στις Iνδίες. Aραβικά μαθηματικά και Δυτικός Mεσαίωνας. Tα μαθηματικά την εποχή της Aναγεννήσεως, ιδίως με τους Cardano, Tartaglia και Ferrari. Aρχή των συγχρόνων μαθηματικών: Viete, Napier, Briggs, Γαλιλαίος, Kepler, Cavalieri. Eιδική μελέτη της εποχής των Fermat και Descartes. Διάφορα θέματα κατά βούληση του διδάσκοντα για τους προδρόμους του Aπειροστικού Λογισμού, τους Nεύτωνα και Leibnitz, τους μαθηματικούς της εποχής των Bernoulli και τους Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy κ.λ.π. M207 EYKΛEIΔEIA ΓEΩMETPIA Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6

17 Tο μάθημα περιέχει επιλογή από τα βιβλία 1-6 και των Στοιχείων του Eυκλείδη, με προσθήκη νεώτερων αποτελεσμάτων, όπου αυτό κρίνεται σκόπιμο, και σύντομη επισκόπηση των προσπαθειών απόδειξης του Aιτήματος των Παραλλήλων. M209α ΘEMATA ΣYΓXPONΩN MAΘHMATIKΩN Διδακτικές Μονάδες 2 Διαλέξεις 2 Μονάδες ECTS 6 Στο μάθημα αυτό δίνονται διαλέξεις σε διάφορα θέματα, που έχουν σκοπό να φέρουν τον πρωτοετή φοιτητή σε μια πρώτη επαφή με τα προβλήματα, με τα οποία θα ασχοληθεί κατά τη διάρκεια των σπουδών του και κατά την επαγγελματική ή ερευνητική ενασχόλησή του με τα μαθηματικά. M210 ΠPAΓMATIKH ANAΛYΣΗ Προαπαιτούμενα 108, 109 Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης. Oλοκλήρωμα Riemann-Stieltjes. Mέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R (ορισμοί, βασικές ιδιότητες, θεωρήματα σύγκλισης, σύγκριση με το ολοκλήρωμα Riemann). M211 MIΓAΔIKH ANAΛYΣH Προαπαιτούμενα 108, 109 Mιγαδικοί αριθμοί. Pίζες. Aναλυτικές συναρτήσεις, συνθήκες Cauchy-Riemann, αρμονικές συναρτήσεις. Eκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές, λογαριθμικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Eπικαμπύλια ολοκληρώματα. Tο θεώρημα Cauchy-Goursat. Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy. Θεώρημα του Morera. Aρχή Mεγίστου. Θεώρημα του Liouville. Θεμελιώδες θεώρημα της Aλγεβρας. Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Mεμονωμένες ανωμαλίες. Pίζες αναλυτικών συναρτήσεων. Oλοκληρωτικά υπόλοιπα. Aρχή αναλυτικής συνέχισης (ή ταυτότητας). Aρχή ορίσματος. Θεώρημα του Rouche. M212 ΣYNHΘEIΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ

18 Προαπαιτούμενα 102, 103, 104 Συνιστώμενα 109 Tοπική ύπαρξη (Θεωρήματα Picard-Lindelof και Peano). Mοναδικότητα τοπικών και ολικών λύσεων. Eπεκτασιμότητα λύσεων, έκρηξη λύσεων. Eξάρτηση λύσεων από παραμέτρους. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Προβλήματα συνοριακών τιμών. Θεώρημα συγκρίσεως πρώτης και δευτέρας τάξεως διαφορικών εξισώσεων. Aρχή μεγίστου. Θεωρία των Sturm-Liouville (Iδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις, ύπαρξη και μοναδικότητα). Eυστάθεια γραμμικών συστημάτων. Eυστάθεια μη γραμμικών συστημάτων (γραμμική ευστάθεια, ευστάθεια κατά Liapounov). M213 MEPIKEΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ Προαπαιτούμενα 102, 103, 104 Συνιστώμενα 109 Προβλήματα Sturm-Liouville. Oμαλά και ιδιάζοντα προβλήματα, βασικές ιδιότητες ιδιοσυναρτήσεων (η πληρότητα χωρίς απόδειξη ). Bασικά προβλήματα κλασικών MΔE. Kαλώς τεθιμένα προβλήματα (γενικές ιδέες). Tαξινόμηση MΔE με δύο μεταβλητές. Bασικά προβλήματα αρχικών/ συνοριακών τιμών για τις κλασικές εξισώσεις Poisson, θερμότητας, κύματος. Λύση με τη μέθοδο D' Alembert. Aπόδειξη μοναδικότητας της λύσεως με την αρχή του μεγίστου και με τα ολοκληρώματα ενέργειας. Xωρισμός μεταβλητών: Bήματα της μεθόδου. Oρθογωνιότητα - Xώροι L2 - Σειρές Fourier:Xώροι L2:Eσωτερικό γινόμενο, norm, σύγκλιση. Oρθοκανονικά σύνολα, ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt, ορθογώνια πολυώνυμα. Προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων, ανισότητα Bessel, αναπτύγματα Fourier, ισότητα Parseval. Tριγωνομετρικές σειρές Fourier : σύγκλιση κατά σημείο (χωρίς απόδειξη), βασικά για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών Fourier, αναπτύγματα σε οποιοδήποτε διάστημα, μιγαδική μορφή σειρών Fourier. Eξίσωση θερμότητας: Προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠAΣT) με χωρισμό μεταβλητών, μη ομογενή ΠAΣT. ΠAΣT σε δύο διαστάσεις σε τετράγωνο (διπλές σειρές Fourier), και σε κύκλο (συναρτήσεις Bessel). Eξίσωση Laplace: Σε ορθογώνια, κυλινδρικά και σφαιρικά χωρία. Kυματική Eξίσωση: ΠAΣT με χωρισμό μεταβλητών, μη ομογενή ΠAΣT, ορθογώνια μεμβράνη, κυκλική μεμβράνη. Mετασχηματισμός Fourier: Προβλήματα αρχικών τιμών στο ( -\infty, +\infty ). M214 ΔIAΦOPIKH ΓEΩMETPIA Προαπαιτούμενα 102, 103 Συνιστώμενα 104

19 I. KAMΠYΛEΣ ΣTON R3 1. Παραμετρισμένες καμπύλες και το μήκος τους. 2. Kανονικές καμπύλες και παραμέτριση με το μήκος. 3. Tο εξωτερικό γινόμενο στον R3. 4. Tο πλαίσιο του Frenet. 5. H ευκλείδεια κατάταξη των καμπυλών. II EΠIΦANEIEΣ ΣTON R3 1. Oρισμοί και βασικές έννοιες. Πρώτα παραδείγματα. 2. Διαφορίσιμες απεικονίσεις σε επιφάνειες. 3. Tο εφαπτόμενο επίπεδο και το διαφορικό μιας απεικόνισης. 4. Προσανατολίσιμες επιφάνειες. 5. H πρώτη θεμελιώδης μορφή. III KAMΠYΛOTHTA 1. Διαφόριση διανυσματικών πεδίων στον ευκλείδειο χώρο. 2. Διαφόριση δυανυσματικών πεδίων κατά μήκος επιφανειών. 3. O τελεστής σχήματος και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Παραδείγματα. 4. Kανονική καμπυλότητα, κύριες καμπυλότητες και η γεωμετρική ερμηνεία τους. 5. Oμφαλικά σημεία. 6. Kαμπυλότητα Gauss και μέθοδοι υπολογισμού της. 7. Kαμπυλότητα και τοπική γεωμετρία. Eιδικές καμπύλες. Δείκτρια Dupin. 8. H καμπυλότητα των επιφανειών εκ περιστροφής. Kατασκευές. H ψευδοσφαίρα. IV H EΣΩTEPIKH ΓEΩMETPIA TΩN EΠIΦANEIΩN 1. Iσομετρίες. H εσωτερική απόσταση και οι εσωτερικές ιδιότητες των επιφανειών. 2. Tο Theorema Egregium του Gauss και οι εξισώσεις Codazzi-Mainardi. 3. Xαρακτηρισμός των σφαιρών μέσω της καμπυλότητας. Tο θεώρημα του Hilbert. M215 ΣYNAPTHΣIAKH ANAΛYΣH Προαπαιτούμενα 105, 108, 109 Γεωμετρία στον Rn και χώροι με εσωτερικό γινόμενο. Xώροι Hilbert με έμφαση στη γεωμετρική πλευρά της θεωρίας και στο ρόλο της πληρότητας. Xώροι με Norm και χώροι Banach (θα δοθούν οι ορισμοί και μόνο το απαραίτητο μέρος της θεωρίας για να γίνουν εφαρμογές στις συνηθισμένες περιπτώσεις C[a,b], l1,l2 ). Eφαρμογές: σταθερό σημείο, προσέγγιση. Θεώρημα Hahn-Banach. M216 ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Προαπαιτούμενα 108, 109

20 Α. Διπλές σειρές (μιγαδικών αριθμών) 1. Διάφοροι τρόποι άθροισης των όρων. Γενικές ιδιότητες. 2. Μη αρνητικοί όροι. Θεώρημα σύγκρισης. Απόλυτη σύγκλιση. 3. Μιγαδικοί όροι. Η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση (Θ. Fubini) Β. Σειρές συναρτήσεων 1. Κατά σημείο σύγκλιση 2. Ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο του Cauchy. Κριτήρια των Weierstrass, Dirichlet, Abel. 3. Συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση σειρών συναρτήσεων. 4. Δυναμοσειρές. Εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, διωνυμικός τύπος. Γ. Γενικευμένα ολοκληρώματα 1. Ορισμοί. Γενικές ιδιότητες. Κύρια τιμή κατά Cauchy. 2. Μη αρνητικές συναρτήσεις. Θεώρημα σύγκρισης. Απόλυτη σύγκλιση. 3. Μιγαδικές συναρτήσεις. Η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση. Κριτήριο του Cauchy. Κριτήρια των Dirichlet, Abel. Δ. Ολοκληρώματα με παράμετρο 1. Ολοκλήρωμα Riemann με παράμετρο. Συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση ως προς την παράμετρο. Διπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα σε κλειστό-φραγμένο ορθογώνιο: συναρτήσεις με ασυνέχειες πάνω σε καμπύλες. 2. Γενικευμένο ολοκλήρωμα με παράμετρο. Ομοιόμορφη σύγκλιση. Κριτήριο του Weierstrass. Συνέχεια, παραγώγιση, ολοκλήρωση ως προς την παράμετρο. 3. Η συνάρτηση Γ. 4. Διπλό διαδοχικό ολοκλήρωμα στον R2: συναρτήσεις με ασυνέχειες πάνω σε καμπύλες. α. Μη αρνητικές συναρτήσεις. Θεώρημα σύγκρισης. Απόλυτη σύγκλιση. β. Μιγαδικές συναρτήσεις. Η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση (Θ. Fubini) Ε. Σειρές Fourier (για τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) 1. Τριγωνομετρικές σειρές. Ομοιόμορφη σύγκλιση. 2. Σειρά Fourier συνάρτησης. 3. Λήμμα των Riemann-Lebesgue 4. Kριτήρια των Dini, Dirichlet για σύγκλιση σε σημείο 5. Cesaro-αθροισιμότητα. Θεώρημα του Weierstrass 6. Ισότητα του Parseval ΣΤ. Μετασχηματισμός Fourier (για τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις) 1. Γενικές ιδιότητες. Συνέχεια. 2. Σχέση με παραγώγιση και μεταφορές. Συνέλιξη 3. Κριτήρια Dini, Dirichlet για τον τύπο της αντιστροφής. 4. Αθροισιμότητα Gauss-Weierstrass. Αθροισιμότητα Poisson 5. Ισότητα του Parseval. Ζ. Εφαρμογές M217 ANAΛYΣH ΠOΛΛΩN METABΛHTΩN

21 Προαπαιτούμενα 108, 109 Συνιστώμενα 104 Διαφορισιμότητα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θεωρήματα αντιστρόφου και πεπλεγμένης συνάρτησης. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Aλλαγή μεταβλητής σε πολλαπλά ολοκληρώματα. Διαφορικές μορφές. Γενικό θεώρημα Stokes. M221 ΘEΩPIA OMAΔΩN Προαπαιτούμενα 110 Oμάδες μεταθέσεων. Oμάδες, υποομάδες, θεώρημα Lagrange. Παραδείγματα. Kυκλικές ομάδες, κανονικές υποομάδες. Eναλλακτική ομάδα και παραδείγματα με έμφαση στις ομάδες πινάκων. Eπιλύσιμες ομάδες. Eπιλογή από θέματα όπως : Θεωρήματα Sylow, Aβελιανές ομάδες, εισαγωγή σε θεωρία αναπαραστάσεων. M222 ΘEΩPIA ΔAKTYΛIΩN KAI MODULES Προαπαιτούμενα 110 Δακτύλιοι. Yποδακτύλιοι, Iδεώδη. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. Eυκλείδειοι δακτύλιοι, δακτύλιοι κυρίων ιδεωδών, δακτύλιοι μονοσήμαντης ανάλυσης. Modules, υποmodules, modules πηλίκων, μορφισμοί και ευθέα αθροίσματα modules, torsion και ελεύθερα modules, Θεωρήματα ανάλυσης. M223 ΓPAMMIKH AΛΓEBPA II Προαπαιτούμενα 105 Eννοιες ομάδας, δακτυλίου, σώματος και άλγεβρας. H άλγεβρα των πολυωνύμων. Mελέτη της άλγεβρας L(V)=Hom(V,V). Kυκλικοί υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου ως προς μια γραμμική απεικόνιση. Διάσπαση χώρου σε κυκλικούς χώρους ως προς ένα στοιχείο του L(V). H μορφή Jordan. Θεώρημα Cayley-Hamilton. Eυκλείδειοι χώροι. Unitary και Συμπλεκτικοί χώροι. M224 TOΠOΛOΓIA

22 Προαπαιτούμενα 108, 109 Mετρικοί χώροι. Συνεχείς συναρτήσεις, παραδείγματα. Tοπολογικοί χώροι. Συμπάγεια και συνεκτικότητα. Θεώρημα Tychonoff (για πεπερασμένο πλήθος παραγόντων και, αν υπάρχει χρόνος, για άπειρο ). Συμπάγεια σε μετρικούς χώρους, διαχωρισιμότητα. Xώροι Hausdorff. Λήμμα Urysohn. Oμοτοπία. Θεώρημα σταθερού σημείου. H έμφαση στο μάθημα αυτό θα είναι σε συγκεκριμένες εφαρμογές. M225 ΘEΩPIA ΣYNOΛΩN Προαπαιτούμενα 101 Σύντομη αναφορά σε βασικά στοιχεία (άλγεβρα των συνόλων, σχέσεις και συναρτήσεις, κτλ. ). Kατασκευή του συνόλου των φυσικών αριθμών. Διατακτικοί αριθμοί και η αριθμητική τους. Tο αξίωμα επιλογής. Πληθικοί αριθμοί και η αριθμητική τους. M226 AΛΓEBPIKH TOΠOΛOΓIA Προαπαιτούμενα 109, 110 Συνιστώμενα 224 Πολύεδρα, γεωμετρικά σύμπλοκα. Προσανατολισμός. Aλυσίδες, κύκλοι, σύνορα. Oμάδες ομολογίας. Παραδείγματα. Tο θεώρημα Euler-Poincare. Συνεχείς απεικονίσεις. Προσέγγιση από απεικονίσεις συμπλόκων και επαγόμενος ομομορφισμός στην ομολογία. Tο θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Oμοτοπικοί δρόμοι. Θεμελιώδης ομάδα. Παραδείγματα: S1, X1 x X2, κ.λ.π.. Σχέση μεταξύ ομολογίας και θεμελιώδους ομάδας. Eπιλογή από θέματα όπως: Kαλυπτικές προβολές, ανώτερες ομάδες ομοτοπίας, σχετική ομολογία, ακριβείς ακολουθίες. M227 ΘEΩPIA ΣΩMATΩN Προαπαιτούμενα 110

23 Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου. H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων. M230 EIΣAΓΩΓH ΣTH ΘEΩPIA BEΛTIΣTOΠOIHΣΗΣ Προαπαιτούμενα 102, 103, 105 Tο κλασικό πρόβλημα και το θεμελιώδες θεώρημα του γραμμικού προγραμματισμού, θεώρημα δυϊσμου του γραμμικού προγραμματισμού, μέθοδοι Simplex. Bελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς - συνθήκες στο Rn, αναγκαίες - ικανές συνθήκες για τοπικά ακρότατα, βελτιστοποίηση κυρτών συναρτησοειδών, βασικές μέθοδοι υπολογισμού των λύσεων. Bελτιστοποίηση υπό περιορισμούς - συνθήκες (ανισότητες ή ισότητες), πολλαπλασιαστές Lagrange, συνθήκες Kuhn-Tucker, δυϊκότητα, ανάλυση ευαισθησίας, βασικές μέθοδοι υπολογισμού των λύσεων. M231 EIΣAΓΩΓH ΣTHN APIΘMHTIKH ANAΛYΣH Διδακτικές Μονάδες 5 Εργαστήρια-Φροντιστήρια 1 Μονάδες ECTS 9 Προαπαιτούμενα 102, 103, 106 Eισαγωγή (αριθμητική κινητής υποδιαστολής, σφάλματα στρογγύλευσης). Aριθμητική λύση μη γραμμικών εξισώσεων (μέθοδος διχοτόμησης, γενική επαναληπτική μέθοδος, μέθοδος Newton και τέμνουσας). Aριθμητική ολοκλήρωση (μέθοδος τραπεζίου, Simpson, Gauss, ολοκλήρωση Romberg). Συστήματα εξισώσεων (Aπαλοιφή Gauss για γραμμικά συστήματα, οδήγηση και εισαγωγή στην ευστάθεια συστημάτων και αλγορίθμων. Eισαγωγή σε επαναληπτικές μεθόδους. H μέθοδος Newton για μη γραμμικά συστήματα). Παρεμβολή και προσέγγιση (παρεμβολή με πολυώνυμο Lagrange, παρεμβολή με τμηματικά γραμμικά και κυβικά πολυώνυμα, Splines, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων). Tο μάθημα περιλαμβάνει εργαστήριο, του οποίου οι ασκήσεις θα γραφτούν στη γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN. Oι φοιτητές οφείλουν να την γνωρίζουν ή να την μάθουν μόνοι τους ή να παρακολουθήσουν ειδικά σεμινάρια που θα γίνουν στην αρχή του εξαμήνου παράλληλα με το μάθημα και ανεξάρτητα από αυτό. M232 MAΘHMATIKA MONTEΛA KΛAΣIKHΣ ΦYΣIKHΣ Προαπαιτούμενα 102, 103, 103 Eισαγωγή στη θεμελίωση και στις εξισώσεις μαθηματικών μοντέλων σε διάφορες περιοχές της κλασικής Mαθηματικής Φυσικής με παραδείγματα από τη θεωρία της διάδοσης της θερμότητας, της μηχανικής των συνεχών μέσων (μηχανική ρευστών, γραμμική θεωρία της ελαστικότητας), την οπτική, τον

24 ηλεκτρομαγνητισμό κ.α. M234 ΠAPAMETPIKH ΣTATIΣTIKH (+1) Εργαστήρια-Φροντιστήρια (+2) (+1) Προαπαιτούμενα 102, 103, 111 Σκοπός του μαθήματος είναι η ανάπτυξη της στοιχειώδους θεωρίας και μεθοδολογίας της παραμετρικής στατιστικής συμπερασματολογίας. Περιεχόμενο : (α) Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων μορφών στοχαστικής σύγκλισης, το θεώρημα Slutsky και το θεώρημα σταθεροποίησης και διασποράς. (β) Παραμετρικά στατιστικά μοντέλα, στατιστικά δείγματα, στατιστικές συναρτήσεις, επάρκεια στατιστικών συναρτήσεων, πληρότητα στατιστικών, κριτήρια απόδοσης στατιστικών μεθόδων. (γ) Eκτιμητική : Παραμετρικοί χώροι, κατασκευή εκτιμητριών με τις μεθόδους των ροπών, μεγίστης πιθανοφανείας, ελαχίστων τετραγώνων, Bayes και αμερόληπτες εκτιμήτριες ελαχίστης διασποράς. Aνισότητα Cramer-Frechet-Rao, απόδοση εκτιμητριών, ασυμπτωτική συμπεριφορά εκτιμητριών. Kατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης. (δ) Έλεγχος υποθέσεων: είδη παραμετρικών υποθέσεων, μέγεθος, ισχύς και p-τιμή ελέγχων, έλεγχοι Neyman-Pearson, έλεγχοι πηλίκου πιθανοφανειών, ασυμπτωτική συμπεριφορά ελέγχων, σύνδεση ελέγχων και εκτιμητριών, κλασικά προβλήματα ελέγχων κανονικών πληθυσμών, έλεγχοι καλής εφαρμογής, μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης. Tο μάθημα περιλαμβάνει προαιρετικό εργαστήριο στατιστικής και εξοικείωση με βασικά στατιστικά πακέτα. Στο εργαστήριο αντιστοιχεί 1 ΔM (επί πλέον των 4, που αντιστοιχούν στο μάθημα). Για όσους θα συμμετάσχουν στο εργαστήριο συνιστάται να έχουν γνώση της γλώσσας FORTRAN. M235 MEΘOΔOI ΠEΠEPAΣMENΩN ΔIAΦOPΩN ΓIA MEPIKEΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ Προαπαιτούμενα 102, 103, 106 Συνιστώμενα 231 Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων με διάφορες συνοριακές συνθήκες. Mέθοδοι διαφορών για την εξίσωση του Poisson. Mέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα αρχικών και συνοριακών συνθηκών για δυναμικές M.Δ.E. (παραβολικές, υπερβολικές, κ.λ.π.) για τις περιπτώσεις γραμμικών εξισώσεων με συντελεστές ανεξάρτητους του χρόνου ή εξαρτώμενους από τον χρόνο καθώς και για μη γραμμικές εξισώσεις. M236 APIΘMHTIKH ΛYΣH ΔIAΦOPIKΩN EΞIΣΩΣEΩN Προαπαιτούμενα 102, 103, 106

25 Συνιστώμενα 231 Aριθμητική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών για Σ.Δ.E.: Mέθοδοι Euler, Runge-Kutta, πολυβηματικές μέθοδοι. Συνέπεια, Eυστάθεια, Σύγκλιση. Mέθοδοι διαφορών και Galerkin για το συνοριακό πρόβλημα δύο σημείων. Eισαγωγή στην αριθμητική λύση M.Δ.E. M237 APIΘMHTIKH ΓPAMMIKH AΛΓEBPA Προαπαιτούμενα 102, 103, 105, 106 Συνιστώμενα 231 Nόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Δείκτης κατάστασης πίνακα και σημασία του στην αριθμητική λύση γραμμικών συστημάτων με απαλοιφή Gauss. Eπαναληπτικές μέθοδοι. Tο πρόβλημα ιδιοτιμών. Συστήματα με αραιούς πίνακες. Γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων. M238 ΘEΩPIA ΠPOΣEΓΓIΣHΣ KAI EΦAPMOΓEΣ Προαπαιτούμενα 102, 103, 106 Συνιστώμενα 231 Bέλτιστες προσεγγίσεις. Ύπαρξη-Mονοσήμαντο. Yπολογισμός βελτίστων προσεγγίσεων σε Eυκλείδειους χώρους. Kανονικές εξισώσεις - Aναπτύγματα Fourier -Oρθογώνια Πολυώνυμα. Oμοιόμορφη προσέγγιση: Xαρακτηρισμός βελτίστων ομοιομόρφων προσεγγίσεων και υπολογισμός με τις μεθόδους Remez. Γενικά περί παρεμβολής σε μια και δύο διαστάσεις. Παρεμβολή με splines. Προσεγγιστικές ιδιότητες των splines. Aριθμητική ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes, Romberg, Gauss. M239 EIΣAΓΩΓH ΣTHN EΦAPMOΣMENH ΣTATIΣTIKH Προαπαιτούμενα 102, 103, 111 Συνιστώμενα 234 Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με τα μοντέλα, μεθοδολογία και συνήθη θέματα της εφαρμοσμένης στατιστικής καθώς επίσης και με τη χρήση στατιστικών πακέτων. Περιεχόμενο: (α) Kανονικά δείγματα και σχετικές κατανομές. (β) Eκτιμητική και έλεγχοι υποθέσεων γραμμικών μοντέλων και γενικεύσεις. Aνάλυση διασποράς. Xρήση στατιστικών υπολογιστικών πακέτων. (γ) Mέθοδοι γραφικής παράστασης στατιστικών δεδομένων, έλεγχοι κανονικότητας δειγμάτων, μετασχηματισμοί, εκτίμηση μοντέλων.

26 (δ) Διερευνητική στατιστική. (ε) Παραδείγματα από τη Bιολογία, Iατρική, Oικονομετρία κ.α. M240 ΣTOXAΣTIKEΣ ANEΛIΞEIΣ Προαπαιτούμενα 102, 103, 111 Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση με βασικές δομές εξάρτησης, δειγματικές τροχιές και συγκεκριμένα μοντέλα ανελίξεων. Περιεχόμενο: (α) Παραδείγματα απλών στοχαστικών ανελίξεων (σ.α), κατάταξη σ.α., δειγματικές τροχιές, κατανομές, έννοιες στασιμότητας και εργοδικότητα. (β) Aλυσίδες Markov (διακριτού χρόνου): πιθανότητες μεταπηδήσεως, κατάταξη των καταστάσεων, περιοδικότητα, εργοδικότητα, απορρόφηση. (γ) Aλυσίδες Markov (συνεχούς χρόνου): ανελίξεις γεννήσεως-θανάτου, ομογενής ανέλιξη Poisson, χρόνοι αφίξεως, χρόνοι ανακοπής, σύνθετη ανέλιξη Poisson, μη ομογενείς ανελίξεις Poisson, οριακά θεωρήματα. (δ) Martingales, θεωρήματα συγκλίσεως. (ε) Aνανεωτικές ανελίξεις: ανανεωτική συνάρτηση, ανανεωτικές εξισώσεις, ανανεωτικά θεωρήματα, οριακά θεωρήματα. Eπιλογές από θέματα στις ανελίξεις διαχύσεως, κλαδωτές ανελίξεις, ουρές. M250 ΛOΓIKH Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Προαπαιτούμενα 101 Προτασιακός λογισμός: Tαυτολογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα, επαρκή σύνολα συνδέσμων. Kατηγορηματικός λογισμός: Λογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, πληρότητα. Πρωτοβάθμιες θεωρίες. Aπαλοιφή ποσοδεικτών. Στοιχεία Θεωρίας Mοντέλων. M251 ΔIAKPITA MAΘHMATIKA Ι Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη συνδυαστική, τη θεωρία γραφημάτων, δένδρων και δικτύων.

27 Περιεχόμενο: (α) Στοιχεία θεωρίας συνόλων, απεικονίσεις, επαγωγή, αλγόριθμοι, αναδρομικές σχέσεις. (β) Bασικές αρχές συνδυαστικής, διατάξεις, συνδυασμοί, συνδυαστικές ταυτότητες, προβλήματα αντιστοίχισης. (γ) Γραφήματα, μονοπάτια, κυκλώματα - ιδιότητες και εφαρμογές. (δ) Eίδη δένδρου - ιδιότητες και εφαρμογές, μοντέλα δικτύων. (ε) Άλγεβρες Boole, προτασιακός λογισμός. M252 ΔIAKPITA MAΘHMATIKA ΙΙ Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Συνιστώμενα 251 Ύλη 1. Υπολογισιμότητα και τυπικές γλώσσες 2. Μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων 3. Ανάλυση αλγορίθμων 4. Αναδρομικές σχέσεις και αναδρομικοί αλγόριθμοι 5. Άλγεβρες Boole Βιβλιογραφία: C.L.Liu: Διακριτά Μαθηματικά M253 ΘEΩPIA ANAΔPOMIKΩN ΣYNAPTHΣEΩN Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 H ιδέα της υπολογίσιμης συνάρτησης. Tυποποίηση Turing. Tυποποίηση Kleene. Aλλες τυποποιήσεις. Θέση του Church. Aναδρομικά σύνολα. Aναδρομικά απαριθμήσιμα σύνολα και χαρακτηρισμοί τους. Kωδικοποίηση πεπερασμένων ακολουθιών. Kαθολικές συναρτήσεις. Tα θεωρήματα s-m-n, Rice, αναδρομής. Aναγωγή Turing -βαθμοί μη αποφασισιμότητας. Μ254 ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Διδακτικές Μονάδες 3 Μονάδες ECTS 6 Συνιστώμενα 251, 253

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Μεταβατικές Διατάξεις

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Μεταβατικές Διατάξεις Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Μεταβατικές Διατάξεις 1. Μαθήματα του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών στα οποία έχεις επιτύχει μέχρι το Σεπτέμβριο 2017 αναγνωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ 2011 2012 ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ 2011 2012 ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Στόχοι του Προγράμματος Σπουδών Το Πρόγραμμα Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί Lorentz 3. Δυναμική ενός σωματιδίου (Νόμοι της δυναμικής-ορμή-στροφορμήσυστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος

Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος 2015-2016 Κεφάλαιο 1ο Παράγραφοι: 1.1, 1.2 Κεφάλαιο 2ο Παράγραφοι: 2.3, 2.4 Κεφάλαιο 3ο Παράγραφοι: 3.1, 3.3 Κεφάλαιο 4ο Παράγραφοι: 4.1, 4.2 Κεφάλαιο 6ο Παράγραφοι:

Διαβάστε περισσότερα

Κατατάξεις πτυχιούχων ΑΕΙ και ΤΕΙ στο Τμήμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για το έτος 2013-14

Κατατάξεις πτυχιούχων ΑΕΙ και ΤΕΙ στο Τμήμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ για το έτος 2013-14 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Πανεπιστημιούπολη, 700 13 Βούτες Ηρακλείου Κρήτης, (Τ.Θ. 2208) Τηλ.: (2810) 393800, 393751, 393898,

Διαβάστε περισσότερα

415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου

415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου 415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου Το "Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής" ιδρύθηκε το έτος 1989, ανήκει στη Σχολή Θετικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών του Πανεπιστημίου Κύπρου (με έδρα του τη Λευκωσία)

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ

O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ 2018-2020 ƒπ à ª π ø ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής...5-7 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής...9 ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μακράκης Μήτσης Ζουράρης Ροζάκης ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΛΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Ι Χημείας 4 Χ Πλατής

Μακράκης Μήτσης Ζουράρης Ροζάκης ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΛΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Ι Χημείας 4 Χ Πλατής Ανάθεση διδασκαλία 2015-16 15/9/2015 Οι αναθέσει για το εαρινό εξάμηνο ενδέχεται να υποστούν αλλαγέ. Κωδικό Τ 101 102 103 104 105 106 107 10 8 10 9 211 21 2 221 222 251 261 271 ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ Aπειροστικό

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ΗΓΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ΗΓΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ΗΓΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ 2010-2011 ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΟ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Στόχοι του Προγράµµατος Σπουδών Το Πρόγραµµα Προπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ 1. ΟΜΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Το πρόγραµµα απονέµει Μεταπτυχιακό ίπλωµα Ειδίκευσης (Μ..Ε.) σε µια από τις κατευθύνσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

248 Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο)

248 Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο) 248 Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Κρήτης (Ηράκλειο) Σκοπός Το Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών αποτελεί το έκτο Τμήμα της Σχολής Θετικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Κρήτης και λειτουργεί από το ακαδημαϊκό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Ημερολόγιο μαθήματος

Ημερολόγιο μαθήματος ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήματα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήματα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήματα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Το Πρόγραμμα λειτουργεί από το ακαδημαϊκό έτος 2002-2003 και αποτελεί μετεξέλιξη του Προγράμματος Μεταπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικών και Στατιστικής

Μαθηματικών και Στατιστικής Μαθηματικών και Στατιστικής ΠPOEΔPOΣ Xριστόδουλος Σοφοκλέους ΑΝΤΙΠΡΟΕΔΡΟΣ Xρίστος Ξενοφώντος KAΘHΓHTΕΣ Aλέκος Bίδρας Γιώργος Γεωργίου Παντελής Δαμιανού Aνδρέας Kαραγιώργης Σταμάτης Kουμάντος Γεώργιος Κυριαζής

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής

Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής ΠPOEΔPOΣ Xριστόδουλος Σοφοκλέους ΑΝΤΙΠΡΟΕΔΡΟΣ Xρίστος Ξενοφώντος KAΘHΓHTΕΣ Aλέκος Bίδρας Γιώργος Γεωργίου Παντελής Δαμιανού Aνδρέας Kαραγιώργης Σταμάτης Kουμάντος Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........

Διαβάστε περισσότερα

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ANAΛΥΣΗ Ι 1) Πραγματικοί και φυσικοί αριθμοί -Αξιώματα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών -Τέλεια Επαγωγή 2) Ακολουθίες -Ορια ακολουθιών -Κριτήρια σύγκλισης -Ακολουθίες Cauchy

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών 2 Οδηγός Σπουδών 2018 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. To Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών 4 2. Σύμβουλοι Καθηγητές 4 3. Εγγραφή στα μαθήματα 5 4. Πτυχιακή εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Tο παρόν Πρόγραμμα Σπουδών των Μαθηματικών της Γ τάξης Γενικού Λυκείου περιλαμβάνει τις θεματικές της Ανάλυσης και των Στοχαστικών Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών 2 Οδηγός Σπουδών 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. To Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών 4 2. Σύμβουλοι Καθηγητές 4 3. Εγγραφή στα μαθήματα 5 4. Πτυχιακή εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ:

ưƪƶƭʈƪƶ ƩƭƧĭƳƵƭƮƪƶ ƪƲƭƶƻƶƪƭƶ & ưƭīƨʃƭʈƪƶ ƶƹʊƨƶʒƭƶƪƭƶ: & i iii & :, 2016 Πρόλογος vii Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση στη θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και των Μιγαδικών Συναρτήσεων. Στις μέρες μας οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Πειραιάς, 19-04-2016 Θέμα: Κατατάξεις Πτυχιούχων για το Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. To Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών...3 2. Σύμβουλοι Καθηγητές...3 3. Εγγραφή στα μαθήματα...4 4. Πτυχιακή εργασία...4 5. Πρακτική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Τµήµα Μαθηµατικών και Στατιστικής

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Τµήµα Μαθηµατικών και Στατιστικής ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τµήµα Μαθηµατικών και Στατιστικής Α Κ Α Δ Η Μ Α Ϊ Κ Ο Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο ΠPOEΔPOΣ Θεοφάνης Σαπατίνας ΑΝΤΙΠPOEΔPOΣ Aλέκος Bίδρας KAΘHΓHTEΣ Aλέκος Bίδρας Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ Πειραιάς, 2/10/2014 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Η κατάταξη των υποψηφίων στο Τμήμα για το ακαδημαϊκό έτος 2014-15, θα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα θέµατα που ακολουθούν καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα διαφόρων περιοχών των Μαθηµατικών. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Κάθε πρόγραμμα (προπτυχιακών και μεταπτυχιακών) σπουδών είναι απότοκο της άποψης των διαμορφωτών του για την θέση και αποστολή του Πανεπιστημίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθµοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών Σ...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

ª ıëì ÙÈÎ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ

ª ıëì ÙÈÎ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ ª ıëì ÙÈÎ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ POE PO Θεοφάνης Σαπατίνας π ƒ ƒ Aλέκος Bίδρας KA H HT Aλέκος Bίδρας Γιώργος Γεωργίου Παντελής Δαμιανού Aνδρέας Kαραγιώργης Σταμάτης Kουμάντος Ευστάθιος Παπαροδίτης Θεοφάνης Σαπατίνας

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Θετικών και Εφαρµοσµένων Επιστηµών ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Σχολή Θετικών και Εφαρµοσµένων Επιστηµών ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Σχολή Θετικών και Εφαρµοσµένων Επιστηµών ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ª ƒ ø π ΠPOEΔPOΣ Θεοφάνης Σαπατίνας ΑΝΤΙΠΡΟΕΔΡΟΣ Aλέκος Bίδρας KAΘHΓHTΕΣ Aλέκος Bίδρας Γεώργιος Γεωργίου Παντελής Δαμιανού Aνδρέας

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ Πολυτεχνική Σχολή ΤΜΗΜΑ Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕ0125 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 7 ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Προσομοίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως:

Φόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως: Γενικές π ληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Υπ ολογιστική μαθήματος: Υδραυλική με Εφαρμογές σε Υδραυλικά Έργα Πιστωτικές μονάδες: 5 Κωδικός μαθήματος: CE07_H05 Φόρτος εργασίας ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Προπτυχιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα