ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ:

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος ιδάκω: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας Τηλ:

2 Τυχαίο είγµα Ο ηµατικότερος τόχος της Στατιτικής Συµ εραµατολογίας είαι η εξαγωγή υµ εραµάτω για το ύολο εός ληθυµού, ατλώτας ληροφορίες α ό έα µικρό υ ούολο αυτού Στη Στατιτική Συµ εραµατολογία η έοια ληθυµός ααφέρεται το ύολο όλω τω υ ό εξέταη µοάδω και η έοια χαρακτηριτικό ααφέρεται ε κά οια οοτική υήθως µέτρηη ου αφορά όλα τα άτοµα του ληθυµού Π.χ. α έα εργοτάιο κατακευής λαµ τήρω ραγµατο οιήει µια τατιτική µελέτη χετικά µε το χρόο ζωής τω λαµ τήρω τότε ο ληθυµός είαι όλοι οι λαµ τήρες ου αράγοται εώ το χαρακτηριτικό είαι ο χρόος ζωής του κάθε λαµ τήρα

3 Τυχαίο είγµα Θεωρούµε ότι η ιθαοθεωρητική υµ εριφορά του ληθυµού εριγράφεται α ό κά οια υάρτηη καταοµής F, και η ατίτοιχη οοτική µέτρηη του χαρακτηριτικού εριγράφεται α ό τη ατίτοιχη τυχαία µεταβλητή ου ακολουθεί τη καταοµή F Η λήρηςγώητης F θαήµαιεκαι λήρηγώητηςυµ εριφοράςτου ληθυµού.π.χ.αητ.µ. Χ αριτάειτοχρόοζωήςεός λαµ τήρακαι Fη καταοµή του, τότε οι τιµές F(x) = Pr( x) αριτάου το οοτό τω λαµ τήρω ουέχουχρόοζωήςτο ολύx.άρααοκατακευατήςγώριζε τη F θα µ ορούε α εριγράψει το χρόο ζωής κάθε λαµ τήρα και άρα τη υµ εριφορά του ληθυµού

4 Τυχαίο είγµα Αυτό όµως δε υµβαίει τη ράξη γιατίηfείαι άγωτη και µ ορούµε µόο α αρατηρήουµε οριµέες τιµές, (µετρήεις) της τυχαίας µεταβλητής Χ, δηλ. το αρα άω αράδειγµα α θέουµε ε λειτουργία λαµ τήρεςκαια αρατηρήουµε τοχρόοζωήςτους Χ,Χ,, Χ Όλοι αυτοί οι χρόοι ζωής ροέρχοται α ό τη ίδια υάρτηη καταοµής F και είαι τοχατικά αεξάρτητες τ.µ. ε ειδή θεωρούµε ότι αριτάου το χρόο ζωής διαφορετικώ λαµ τήρω ΟΡΙΣΜΟΣ (τυχαίο δείγµα) Α έας ληθυµός έχει ατίτοιχη υάρτηη καταοµής F, τότε τυχαίο δείγµα καλείται έα ύολο αεξάρτητω και ιόοµω τ.µ. Χ, Χ,, Χ µε κοιή υάρτηη καταοµής F. Ο αριθµός καλείται µέγεθος του δείγµατος

5 Τυχαίο είγµα Η τατιτική χωρίζεται ε δύο κύριους κλάδους: Mη- αραµετρική Παραµετρική τατιτική Στη µη- αραµετρική η F υ οτίθεται ετελώς άγωτη ή αήκει ε µια ολύ µεγάλη κλάη καταοµώ, εώ τη αραµετρική η F εριορίζεται ε µια αραµετρική οικογέεια καταοµώ, έτι ώτε µόο κά οια αράµετρος της είαι άγωτη Για αράδειγµα, α η F είαι η υάρτηη καταοµής του χρόου ζωής τω λαµ τήρω, τότε µ ορεί α υ οτεθεί εκ τω ροτέρω ότι είαι εκθετική µε αράµετρο θ > 0(άγωτη) Είαιδηλ. xθ F( x) = F( x; θ) = e, x> 0 και η ρο άθεια µας ετιάζεται τη εκτίµηη της άγωτης αραµέτρου θ µε βάητη ληροφορία ουατλείταια όέατυχαίοδείγµα Χ, Χ,, Χ

6 Στατιτικές Συαρτήεις Αςυ οθέουµεότιέχουµεέατυχαίοδείγµα Χ, Χ,, Χ, α όµιαυάρτηη καταοµής F(x;θ), ό ου θ άγωτη αράµετρος. Ο τόχος µας είαι α εκτιµήουµε τη άγωτη αράµετρο θ µε βάη το τυχαίο δείγµα ΟΡΙΣΜΟΣ (τατιτική υάρτηη) Μια υάρτηη τω µεταβλητώ Χ, Χ,, Χ εός τυχαίου δείγµατος ου δε εριέχει άγωτες αραµέτρους λέγεται τατιτικό ή τατιτική υάρτηη (..) και υµβολίζεται υήθως µε Τ = Τ(Χ, Χ,, Χ ) Παραδείγµατα Πολλές υαρτήεις µ ορού α χρηιµο οιηθού ως εκτιµήτριες µια άγωτης αραµέτρου και γι αυτό θα ρέ ει α γίει ε ιλογή µε κά οια κριτήρια κά οιας ή κά οιω µε«καλή» υµ εριφορά

7 ειγµατικές Καταοµές Οι..ως υαρτήεις τυχαίω µεταβλητώ είαι και αυτές τυχαίες µεταβλητές καιοι καταοµές τους οοµάζοται δειγµατικέςκαταοµές ΘΕΩΡΗΜΑ: Έτω Χ, Χ,, Χ τυχαίο δείγµα α όέα ληθυµόµε µέητιµήµ καιδιακύµαη.τότε E( ) = ) ΠΟΡΙΣΜΑ: Έτω έα τυχαίο δείγµα ληθυµό µε µέη τιµή µ και διακύµαη και µεγέθους α ό έα έα τυχαίο δείγµαµεγέθους α όέα ληθυµόµεµέητιµή µ καιδιακύµαη α όέα άλλο αεξάρτητο ληθυµό. Τότε E( µ, Var( ) =, E( =, ) = µ, Var( ),...,,,..., µ =

8 Καταοµές ου α ορρέου α ό τη καοική ΟΡΙΣΜΟΣ 3(καταοµή χ ) Έτω. Χ, Χ,, Χ αεξάρτητες και ιόοµες τ.µ ου ακολουθού τη τυ ική καοική καταοµή Ν(0,). Η καταοµή της τ.µ. είαι η Ότα χ µε βαθµούς ελευθερίας τότε χ N(0, ) Y = K Συήθως α ό τους ίακες αίρουµε a = Pr ( χ > χ, ) a E( χ ) = & Var( χ ) =

9 Καταοµές ου α ορρέου α ό τη καοική ΟΡΙΣΜΟΣ 4(καταοµή t ή studet) Έτω. ΧΝ( Ν(0,) και Υ και οι Χ,Υ αεξάρτητες τ.µ.. Τότε η καταοµή της τ.µ. λέγεται καταοµή t χ Z = Y t = N( 0), χ

10 Καταοµές ου α ορρέου α ό τη καοική Ότα τότε t N( 0, ) Συήθως α ό τους ίακες αίρουµε Pr ( t > t, ) a = a t = t a, a, v E( t ) = 0 & Var( t ) =, v>

11 Καταοµές ου α ορρέου α ό τη καοική ΟΡΙΣΜΟΣ 5(καταοµή F) Έτω. Χ και Χ της τ.µ. λέγεται καταοµή χ χ F, καιοι Χ, Χ αεξάρτητεςτ.µ..τότεηκαταοµή

12 Καταοµές ου α ορρέου α ό τη καοική Συήθως α ό τους ίακες αίρουµε a F F Pr, a., = ) (, F t 4 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( > = =, F Var & F E,,

13 ειγµατοληψία α ό καοικούς ληθυµούς ΘΕΩΡΗΜΑ : Έτω Χ, Χ,, Χ τυχαίο δείγµα α ό έα καοικό ληθυµόµεµέητιµήµκαιδιακύµαη.τότε (i) (ii) N( µ, ) ( ) χ (iii) Οι τατιτικές υαρτήεις και είαι αεξάρτητες ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ για τη καοική καταοµή: Έτω Ζ Ν(0, ),(µ,) IRxIR, και Χ = Ζ µ. Τότε EΧ= µ και Var(Χ) =. Α οδεικύουµε ότι η τ.µ. Χακολουθεί µία γεική καοική καταοµή, ου υµβολίζεται Χ Ν(µ, ) Παραδείγµατα

14 ειγµατοληψία α ό καοικούς ληθυµούς ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Έτω Χ, Χ,, Χ τυχαίο δείγµα α ό έα καοικό ληθυµόµεµέητιµήµκαιδιακύµαη.τότεη.. µ t ΠΟΡΙΣΜΑ : Έτω και οι µέες τιµές και οι διακυµάεις (, ), ) ( δύο τ.δ. µεγέθους και ατίτοιχα α ό δύο αεξάρτητους καοικούς ληθυµούςµεµ και µ καικοιήάγωτηδιακύµαη.τότεη.. p ( - - ( µ µ ) ) ( ) t

15 ειγµατοληψία α ό καοικούς ληθυµούς ΘΕΩΡΗΜΑ 4: Έτω και οι µέες τιµές και οι διακυµάεις (, ), ) ( δύο τ.δ. µεγέθους και ατίτοιχα α ό δύο αεξάρτητους καοικούς ληθυµούςµεµ και µ καιγωτήδιακύµαη και.τότεη ( µ µ ) N(0),

16 ειγµατοληψία α ό καοικούς ληθυµούς Παράδειγµα ύο διαφορετικοί τύ οι λαµ τήρω (τύ ος και τύ ος ) έχου διάρκειες ζωής ου ακολουθού τις καταοµές Ν(48,36) και Ν(5,64) ατίτοιχα (µε µοάδα µέτρηης το µήα). Α εξετάουµε 0 λαµ τήρες τύ ου και 5 λαµ τήρες τύ ου, οια είαι η ιθαότητα η µέη διάρκεια ζωής εός λαµ τήρα τύ ου α είαι τουλάχιτο.5 µήες µεγαλύτερη α ό τη µέη διάρκεια ζωής εός λαµ τήρα τύ ου ;

17 ειγµατοληψία α ό καοικούς ληθυµούς ΘΕΩΡΗΜΑ 5: Έτω και οι διακυµάεις δύο τ.δ. µεγέθους και ατίτοιχα α ό δύο αεξάρτητους καοικούς ληθυµούς µε µ και µ και διακύµαη και.τότεη.. F, ΠΡΟΤΑΣΗ: Έτω Χ, Χ,, Χ τυχαίο δείγµα α ό έα καοικό ληθυµόµεµέητιµήpκαιδιακύµαη p.τότεγιαµεγάλο: ΓΕΝΙΚΑ τι υµβαίει α ο ληθυµός α ό το ο οίο αίρουµε το δείγµα δε είαι καοικός? = i= i N ( p,p( p) )

18 Κετρικό Οριακό Θεώρηµα ΘΕΩΡΗΜΑ6: Έτω Χ, Χ,, Χ τυχαίο δείγµα α ό κά οιο ληθυµόµε µέητιµήµκαιδιακύµαη.τότεγια ολύµεγάλο µ N(0,) i = i µ N(0), (lutsky) - - ( µ µ ) N(0),,..., 30

19 Κετρικό Οριακό Θεώρηµα Ο δειγµατικός µέος αυξάεται το µέγεθος του δείγµατος τείει α ακολουθεί καοική καταοµή όο Α οδεικύει ότι η καταοµή του δειγµατικού µέου τείει τη καοική καταοµή αεξάρτητα µε τη καταοµή του ληθυµού α ό το ο οίο ροέρχεται το δείγµα Έα δείγµα 30 ή εριοτέρω αρατηρήεω κρίεται ε αρκώς µεγάλο για αιχύειτοκοθ

20 Κετρικό Οριακό Θεώρηµα N( µ, ) N( µ, N( µ, 5 ) ) N( µ, )

21 Κετρικό Οριακό Θεώρηµα 4 x Τυ ική α όκλιη του ληθυµού Καταοµή του N( µ, ) Τυ ική α όκλιη του.5 Καταοµή του ληθυµού Μέη τιµή του ληθυµού και του µ

22 Κετρικό Οριακό Θεώρηµα Παράδειγµα Ο όγκος του εριεχοµέου µ ουκαλιώ µιας µάρκας οτού είαι ηµατικό οιοτικό χαρακτηριτικό για τη βιοµηχαία εµφιάλωης. Η µέη τιµή και η δια ορά του εριεχοµέου αά µ ουκάλι ε έα εργοτάιο εµφιάλωης του οτού είαι µ = 330 ml και =.44 ml ατίτοιχα. Ποια είαι η ιθαότητα ε έα τυχαίο δείγµα = 36 µ ουκαλιώ η µέη τιµή του εριεχοµέου α είαι µικρότερη α ό 39,53 ml;

23

24 ειγµατική Μέη Τιµή και ια ορά Κ.Ο.Θ. τυχαίοδείγµα Χ,Χ,, Χ τατιτικήυάρτηη (..) Τ=Τ(Χ, Χ,, Χ ) ειγµατική Μέη Τιµή = i ειγµατική ια ορά Κ.Ο.Θ. Χ,Χ,, Χ α όκά οιο ληθυµόµεγωτήµέητιµή µκαιγωτήδια ορά καιγια 30: i= i ( ) = = i i (0) ή (0) ή, N, N, N i i µ µ µ =

25 Έας ληθυµός ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ a) Καοικός ληθυµόςµεγωτήδια ορά E ( ) = µ Var ( ) = b) Καοικός ληθυµός µε άγωτη δια ορά = ( i ) i= µ t b) Μη-καοικός ληθυµόςµεγωτήδια ορά και 30 µ N( 0), c) Μη-καοικός ληθυµός µε άγωτη δια ορά και ô µ N( 0),

26 Έας ληθυµός ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΣΜΟΡΑΣ Καοικός ληθυµόςµεγωτήδια ορά = ( i ) Κατά υέ εια i= ( ) = î E E ( ) = ( ) Var = ( ) î Var ( ) = 4

27 ύο ληθυµοί ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ a) Καοικοί ληθυµοί µε γωτές δια ορές. Αεξάρτητα δείγµατα, N,, N µ µ τότε ) N( -, µ µ N(0) ) - ( -, µ µ

28 ύο ληθυµοί ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ b) Καοικοί ληθυµοί µε άγωτες δια ορές. Αεξάρτητα δείγµατα i. Αοιδια ορέςείαιίες ) ( ) ( = p ii. Αοιδια ορέςδεείαιίες µ µ t ) - ( - ) ( ) ( ) - ( - t µ µ ( ) ( ) ( ) ( ) =

29 ύο ληθυµοί ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ c) Μη-καοικοί ληθυµοί i. Αοιδια ορέςείαιγωτέςκαι 30, 30 ii. Αοιδια ορέςείαιάγωτεςκαι ô, ô N(0) ) - ( -, µ µ N(0) ) - ( -, µ µ

30 ύο ληθυµοί ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΣΠΟΡΑ Έτω και οι διακυµάεις δύο τ.δ. µεγέθους και ατίτοιχα α ό δύο αεξάρτητουςκαοικούς ληθυµούς µε µ και µ καιδιακύµαη και.τότεη.. F,

31 Καταοµές ου α ορρέου α ό τη καοική (καταοµή χ ) Χ,Χ,,Χ Ν( Ν(0,) ï K = Y χ (καταοµή t ή studet) N(0), t = χ χ (καταοµή F) Χ και Χ χ καιοι Χ, Χ αεξάρτητεςτ.µ F,