#9 Γραφική Υπολογιστή
|
|
- Ζώσιμη Λαμπρόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 #9 Γραφική Υπολογιστή 1. Βασικοί γραφικοί αλγόριθµοι, 2. Αρχές γραφικών πλεγµατικών οθονών raster 3. Μετασχηµατισµοί 2 και 3 διαστάσεων και συστήµατα συντεταγµένων, 4. Προβολές και µετασχηµατισµοί παρατήρησης, 5. αλγόριθµοι απόκρυψης επιφανειών και αλγόριθµοι φωτισµού Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 1
2 Ιστορική αναδροµή Sketchpad (Sutherland, 1963): Αλληλεπίδραση µέσω γραφικών ιανυσµατική οθόνη, light pen. Πλεγµατική οθόνη (τέλη δεκαετίας `60): εµφάνιση επιφανειών Εναυσµα για αλγόριθµους απόκρυψης & φωτισµού επιφανειών. Αλγόριθµοι ρεαλιστικής παράστασης (συνεχώς). Παράλληλη επεξεργασία / ειδικά κυκλώµατα (π.χ. z-buffer) (δεκαετίες 80 & 90). Ivan Sutherland (1963 διδακτορική διατριβή), ιανυσµατική οθόνη, γραφίδα-δεικτική συσκευή Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 2
3 Εισαγωγή -Περιοχές που σχετίζονται µε την εικόνα Γραφικά (Graphics) Επεξεργασία εικόνας (Image Processing) Τεχνητή όραση (Computer vision) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 3
4 Περιοχές εφαρµογών Γραφική αλληλεπίδραση µε χρήστη (GUI). Σχεδίαση (CAD): πχ Αρχιτεκτονική, VLSI design Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών (GIS). Προσοµοιώσεις (π.χ.πτήσεως ). Συνθετικές ταινίες & διαφήµιση. Ιατρικές εφαρµογές. Οπτικοποίηση δεδοµένων. Τέχνη (π.χ. fractals). Παιχνίδια. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 4
5 Γραφικό σύστηµα επεξεργασίας nvidia GeForceFX 5800 nvidia GeForce4 Ti 4800 ATI Radeon 9700 Pro Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 5
6 Πλεγµατική ή διανυσµατική απεικόνιση Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 6
7 Πλεγµατική οθόνη (raster display) Σάρωση της οθόνης ανά γραµµή και σε συγκεκριµένο χρονικό ρυθµό Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 7
8 Πλεγµατική οθόνη: αποθήκευση εικόνας στη µνήµη Αποθήκευση της εικόνας στη µνήµη ως πίνακα τριών διαστάσεων: (πλάτος x ύψος x χρώµα) Χρήση παλέτας για µείωση απαιτήσεων χρώµατος. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 8
9 Χρήση παλέτας χρωµάτων Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 9
10 Πλεγµατική οθόνη/ 2 2- πλέγµα χρωµατιζόµενων εικονοστοιχείων (pixels) Φρεσκάρισµα σε σταθερό ρυθµό από µνήµη Κανένας περιορισµός σε εικόνα Αποδέσµευση φρεσκαρίσµατος από άλλες λειτουργίες Μεγάλη (;) απαίτηση µνήµης (1024 x 1024 x 24 = 3MB) Μείωση µε χρήση παλέτας (lookup table) Προβλήµατα ταύτισης (aliasing) Νέες τεχνολογίες (LCD, plasma) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 10
11 Πλεγµατική οθόνη /3 Απαιτούνται αλγόριθµοι απεικόνισης ευθείας, καµπύλης, πλήρωσης πολυγώνου σε πλεγµατική οθόνη Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 11
12 Αλγόριθµος γραφικής απεικόνισης Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 12
13 Παράσταση σχηµάτων Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 13
14 Απεικόνιση Ευθύγραµµου τµήµατος Αλγόριθµοι υποστηρίζονται και από hardware. Κριτήρια «καλού» αλγορίθµου: Όσο γίνεται πιο κοντά στη µαθηµατική πορεία Πάχος σταθερό και ανεξάρτητο από µήκος και κλίση. Με όσο το δυνατόν µικρότερο υπολογιστικό κόστος (µεγαλύτερη ταχύτητα). Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 14
15 Αλγόριθµος 1 Έστω ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ pixels P 1 (x 1,y 1 ), P n (x n,y n ) στο πρώτο οκταµόριο. Τότε: (xn, yn) όπου y = s x + s = y x n n y x b 1 1 = y x (x1, y1) και b (x, y) = y 1 x x n n y x n 1 x 1 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 15
16 Υλοποίηση void line1( x1, y1, xn, yn, colour) int x1,y1, xn, yn, colour; /* colour: ακέραια αναπαράσταση του χρώµατος*/ { float s, b, y; int x; s=( yn- y1)/( xn- x1); b=( y1* xn- yn* x1)/( xn- x1); for (x= x1; x<= xn; x++){ y= s* x+ b; setpixel( x, round( y), colour); } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 16
17 Αλγόριθµος 2 (αποδοτικότερος) Ο πολλαπλασιασµός µέσα στο βρόγχο µπορεί να αποφευχθεί µετατρέποντας τον τύπο σε αναδροµικό: y s y i ( sx i + x i + 1 i + s = i + + b 1) sx + + s b = 1 + = b = Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 17
18 Υλοποίηση line2 (x1, y1, xn, yn, colour) int x1,y1, xn, yn, colour; {float s, y; int x; s=( yn- y1)/( xn- x1); y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, round( y), colour); y= y+ s; } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 18
19 Αλγόριθµος 3 Αποφυγή της στρογγυλοποίησης µέσα το βρόγχο µε χωρισµό του y σε ακέραιο και δεκαδικό µέρος (error) και χρήση µόνο του ακεραίου για εύρεση του εποµένου σηµείου. Σφάλµα = απόσταση pixel από ιδεατή πορεία. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 19
20 Υλοποίηση line3 (x1, y1, xn, yn, colour) int x1,y1, xn, yn, colour; {float s, error; int x, y; s=( yn- y1)/( xn- x1); y= y1; error= 0; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ s; if (error>= 0.5){ y++; error--} } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 20
21 Αλγόριθµος 4 (Bresenham) Πολλαπλασιάζοντας µε dx=x n -x 1, οι µεταβλητές s και error γίνονται ακέραιες. Η σύγκριση για την επιλογή του επόµενου pixel γίνεται µε floor(dx/2). Επίσης, αφαιρώντας από την αρχική τιµή του error dx, η σύγκριση µπορεί να γίνει και µε το 0. Λειτουργεί για θετικές κλίσεις. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 21
22 Υλοποίηση line4 (x1, y1, xn, yn, colour) int x1,y1, xn, yn, colour; { int error, x, y, dx, dy; dx= xn- x1; dy= yn- y1; error=- dx/ 2; y= y1; for (x= x1; x<= xn; x++){ setpixel( x, y, colour); error= error+ dy; if (error>= 0){ y++; error= errordx} } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 22
23 Περιορισµοί Μόνο στο 1 ο τεταρτηµόριο. Εύκολα µπορεί να επεκταθεί και στα άλλα µε κατάλληλες εναλλαγές των ρόλων x, y, αρχικού και τελικού σηµείου. Άξονας ταχύτερης κίνησης και είδος µεταβολής του άλλου άξονα δίνονται στο σχήµα. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 23
24 Περιορισµοί (συνέχεια) Ευθύγραµµα τµήµατα διαφορετικών κλίσεων µπορεί να έχουν διαφορετική φωτεινότητα. Το φαινόµενο αυτό µπορεί να διορθωθεί µε τεχνικές αντιταύτισης (anti-aliasing). Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 24
25 Αλγόριθµος σχεδίασης κύκλου σε πλεγµατική οθόνη* Εκµετάλλευση 8-πλής συµµετρίας: (skip) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 25
26 Συµµετρία κύκλου circle_ symmetry (x, y, colour) int x, y, colour; { setpixel( x, y, colour); setpixel( y, x, colour); setpixel( y,- x, colour); setpixel( x,- y, colour); setpixel(- x,- y, colour); setpixel(- y,- x, colour); setpixel(- y, x, colour); setpixel(- x, y, colour); } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 26
27 Αλγόριθµος Bresenham Έστω ότι επελέγη το σηµείο (x i,y i ). Το επόµενο θα είναι (x i +1,y i ) ή (x i +1,y i -1); Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 27
28 Αλγόριθµος Μεταβλητή απόφασης: όπου d ei = = y 2 y 2 d = y 2 y i 2 i d1 d 2 1, ( 1) Εάν e i 0, επιλέγεται το (x i +1,y i -1) αλλιώς επιλέγεται το (x i +1,y i ) 2 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 28
29 Υπολογισµός του e Για x=x i +1 ισχύει ότι y 2 =r 2, οπότε: e i = y i2 -r 2 + (x i +1) 2 + (y i -1) 2 -r 2 + (x i +1) 2 e i =2 (x i +1) 2 + y i 2 + (y i -1) 2 2 r 2 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 29
30 Αναδροµικός υπολογισµός e e i+1 = 2 (x i+1 +1) 2 + y 2 i+1 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2 (x i +2) 2 + y 2 i+1 + (y i+1-1) 2-2 r 2 = 2x i2 + 8x i + 8+ y i+12 + y i+12-2y i r 2 = 2(x i +1) 2 + 4x i y i+12-2y i r 2 = e i + 4x i (y i+12 -y i+12 ) 2(y i+1 -y i ) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 30
31 Τελικός τύπος υπολογισµού Αν e i <0 y i+1 = y i e i+1 =e i + 4(x i + 1)+ 2 Αν e i 0 y i+1 =y i 1 e i+1 = e i + 4x i ((y i -1) 2 -y i2 ) 2(y i 1-y i ) e i+1 = e i + 4(x i +1) + 2 4(y i 1) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 31
32 Παρατηρήσεις Αρχική τιµή: e 1 =2+ r 2 + (r 1) 2 2r 2 = 3 2r Για µεταφορά του κύκλου από το (0,0) στο (x 0,y 0 ) αρκεί να αντικατασταθεί η κλήση circle_symmetry(x,y,colour); από: circle_symmetry(x-x 0,y-y 0,colour); Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 32
33 Υλοποίηση circle (r, colour) int r, colour; { int x, y, e; x= 0; y= r; e= 3-2* r; while (x<= y){ circle_ symmetry( x, y, colour); x++; if (e>= 0) { y--; e= e- 4* y } e= e+ 4* x+ 2; } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 33
34 Λειτουργίες σε πλεγµατική οθόνη RasterOp Πλεγµατική οθόνη: εικόνα αποθηκεύεται στη µνήµη οθόνης (frame buffer) Πολλές διαδικασίες µε µετακίνηση ή συνδυασµούς στη µνήµη οθόνης. (π.χ. επεξεργασία κειµένου) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 34
35 RasterOp Γενική ρουτίνα µετακίνησης/συνδυασµού παραλληλογράµµων τµηµάτων εικόνας. Βελτιστοποιηµένη, γρήγορη υλοποίηση. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 35
36 Υλοποίηση RasterOp( src_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex, sizey, funct) int src_x_min, src_y_min, dst_x_min, dst_y_min, sizex, sizey; ftype funct) /* (src_x_min, src_y_min) και (dst_x_min, dst_y_min) */ /* ή κάτω αριστερή γωνία των source και destination */ /* sizex, sizey οι x και y διαστάσεις σε pixel */ /* function κάποιος τελεστής µε pixel */ {int i, j; for (i= 0; i< sizex; i++) for (j= 0; j< sizey; j++) set_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j, funct( read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min+ j) read_pixel( dst_x_min+ i, dst_y_min + j))); } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 36
37 Παράδειγµα: XOR Αντιµετάθεση σχηµάτων χωρίς χρήση βοηθητικού χώρου. void exchange (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey) int src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey; {RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, } dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (dst_ x_ min, dst_ y_ min, src_ x_ min, src_ y_ min, sizex, sizey, XOR); RasterOp (src_ x_ min, src_ y_ min, dst_ x_ min, dst_ y_ min, sizex, sizey, XOR); Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 37
38 RasterOp: Μετακίνηση Η exchange µπορεί να χρησιµεύσει για διαδοχικές µετακινήσεις αντικειµένων (π.χ. cursor) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 38
39 move move (from_x_min, from_y_min, to_x_min, to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey) int from_x_min, from_y_min, to_x_min, to_y_min, back_x_min, back_y_min, sizex, sizey; {exchange (to_x_min, to_y_min, } back_x_min,back_y_min, sizex, sizey); exchange (from_x_min, from_y_min, to_x_min, to_y_min, sizex, sizey); Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 39
40 Μετασχηµατισµοί 2 & 3 Συνδυασµοί βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας, περιστροφή, στρέβλωση. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 40
41 Σηµεία και ιανύσµατα Ε 3 ο 3 Ευκλείδειος χώρος σηµείων, p σηµείο. R 3 ο 3 Ευκλείδειος χώρος διανυσµάτων, v διάνυσµα. Βασικές ιδιότητες: p 1, p 2 Ε 3, u R 3 µε u = p 1 -p 2. p Ε 3, u R 3, p + u = q Ε 3 p, q, r Ε 3, (p q) + (q r) = (p r) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 41
42 ιανυσµατικοί χώροι Σε κάθε διανυσµατικό χώρο (π.χ. R 3 ) ορίζονται 2 πράξεις ιανυσµατική πρόσθεση (q + v) Βαθµωτός (scalar) πολλαπλασιασµός (λv) Ιδιότητες πρόσθεσης: Αντιµεταθετική: q + v = v + q Προσεταιριστική: (p + q) + v = p + (q + v) Ύπαρξη ουδετέρου: 0 : 0 + v = v + 0 = v Ύπαρξη αντιθέτου: p -p : p+ (-p) = 0 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 42
43 ιανυσµατικοί χώροι Ιδιότητες βαθµωτού πολλαπλασιασµού (β.π.) Επιµερισµός ως προς την πρόσθεση: λ(v + q) = λv + λq Επιµερισµός πρόσθεσης ως προς βαθµωτό πολλαπλασιασµό : Προσεταιρισµός: (λ + µ) v = λv + µv (λµ) v = λ (µ v) Ουδέτερο στοιχείο: 1 : v 1 = 1 v = v Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 43
44 ιανυσµατικοί χώροι Παραδείγµατα: 2 και 3 Ευκλείδειοι χώροι. Πολυώνυµα διαφόρων βαθµών. Γραµµικός συνδυασµός x 1, x 2, x ν : y = λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν Γραµµική ανεξαρτησία x 1, x 2, x ν, : αν λ 1 x 1 + λ 2 x λ ν x ν = 0, έχει µόνη λύση την λ 1 = λ 2 = = λ ν = 0 Παράδειγµα τα (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) του Ε 3 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 44
45 ιανυσµατικοί χώροι Βάση: κάθε ολοκληρωµένο σύνολο γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων. Το πλήθος τους καλείται διάσταση του χώρου. Αν y = λ 1 j + λ 2 j + λ 3 k όπου (i, j, k) βάση τότε (λ 1, λ 2, λ 3 ) συντεταγµένες. (Ο, i, j, k) ονοµάζεται σύστηµα συντεταγµένων µε βάση το σηµείο Ο, και βάση (i, j, k) (i, j, k) ορίζουν άξονες συντεταγµένων Μήκος: διανύσµατος (x,y,z) 2 2 v = x + y + z 2 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 45
46 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 46 ιανυσµατικοί χώροι Απόσταση µεταξύ δύο σηµείων p 1, p ) ( ) ( ) ( z z y y x x p p + + =
47 ιανυσµατικοί χώροι Εσωτερικό γινόµενο v w= Σ (v i w i ) π.χ. Ευκλείδειος 3 : v w= v x w x + v y w y + v z w z Ιδιότητες: Αντιµεταθετική: v w= w v v v= 0 v = 0 v / v = v, µοναδιαίο διάνυσµα (κανονικοποίηση) ισχύει v w= v w cos(θ), απ όπου µπορεί να υπολογιστεί και η γωνία µεταξύ διανυσµάτων. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 47
48 ιανυσµατικοί χώροι Εξωτερικό γινόµενο v x w = (v y w z + v z w y ) i + (v x w z + v z w x )j + (v x w y + v y w x )k v x w είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα δύο άλλα διανύσµατα. δεν ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα. v x w = - w x v Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 48
49 Συσχετισµένοι (Affine) Μετασχηµατισµοί* Συσχετισµένος ή βαρυκεντρικός µετασχηµατισµός σηµείων p 0 p n Ε 3 : p = Σ α j p j όπου α j R και Σ α j = 1 αποτέλεσµα p Ε 3. {α j } ονοµάζονται οι συσχετισµένες συντεταγµένες του p ως προς p 0 p n. Ο µετασχηµατισµός είναι κυρτός αν α j 0 Συσχετισµένος µετασχηµατισµός Φ: Ε 3 Ε 3 που αφήνει τους συσχετισµένους µετασχηµατισµούς αναλλοίωτους: Φ(p) = Σ α j Φ(p j ) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 49
50 Συσχετισµένοι Μετασχηµατισµοί* Π.χ. εφαρµογή συσχετισµένου µετασχηµατισµού πάνω σε ευθύγραµµο τµήµα s απεικονίζει το µέσον του στο µέσο της συσχετισµένης εικόνας Φ(s). Συσχετισµένος µετασχηµατισµός µε µορφή πίνακα: Φ(p) = Α p + t (A πίνακας, 3x3 για το Ε 3 ) Απόδειξη: Φ(Σ α j p j ) = Α(Σ α j p j ) + t = Σ Aα j p j + Σ α j t = Σ α j (Ap j + t) = Σ α j Φ(p) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 50
51 2D Μετασχηµατισµοί Μετατόπιση: x =x+a, y =y+b Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 51
52 Mετασχηµατισµοί Αλλαγή κλίµακας (διαφορετική ανά άξονα): x =x*a, y =y*b *2 *0,5 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 52
53 µετασχηµατισµοί Στροφή κατά γωνία θ (+ve αντίθετα από δείκτες ρολογιού) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 53
54 Μετασχηµατισµοί 2- Στρέβλωση κατά άξονα x µε παράγοντα 2: x =x+2y Στρέβλωση κατά άξονα y µε παράγοντα 2: y =y+2x Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 54
55 Μετασχηµατισµοί Μετατόπιση: Τ(p) = I p+ d, όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακας και d το διάνυσµα µετακίνησης. Στροφή περί άξονα z κατά γωνία φ: R(p) = R z,φ p, όπου: cosφ = sinφ 0 sinφ cos φ Rz, φ Αλλαγή κλίµακας: S(p) = D p, όπου D = s 0 0 x 0 s 0 y 0 0 s z Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 55
56 Μετασχηµατισµοί Στρέβλωση (shearing), κατά x και y µε z σταθερό: SH(p) = H x,y p, όπου: 1 = c 0 a 1 0 b 1 H d x, y Οποιοσδήποτε άλλος µετασχηµατισµός, δηµιουργείται σαν συνδυασµός των τεσσάρων αυτών βασικών µετασχηµατισµών (µετατόπιση, στροφή, στρέβλωση, αλλαγή κλίµακος). Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 56
57 Οµογενείς συντεταγµένες Προβλήµατα: Μεταφορά δεν υλοποιείται µε πολλαπλασιασµό πινάκων. Ύπαρξη σταθερού σηµείου Ο, σταθερού για όλους τους µετασχηµατισµούς. Οµογενείς συντεταγµένες: (x,y) (x,y,w) µε w 0. (x,y,w) παριστάνει το (x/w,y/w) Άπειρες τριάδες για κάθε σηµείο. Βασική παράσταση: (x,y,1) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 57
58 Οµογενείς συντεταγµένες Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 58
59 Οµογενείς Συντεταγµένες Συσχετισµένοι µετασχηµατισµοί: πίνακες 3x3 Μεταφορά: d d x 1 y Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 59
60 Οµογενείς Συντεταγµένες Αλλαγή κλίµακας (αν s i < 1 σµίκρυνση) s 0 0 x 0 s y Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 60
61 Στροφή: Οµογενείς συντεταγµένες cos 0 0 θ 0 cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ 0 sin 0 θ Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 61
62 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 62 Οµογενείς συντεταγµένες Στρέβλωση (κατά άξονες x και y): = a H x = b H y
63 Οµογενείς Συντεταγµένες Σύνθεση µετασχηµατισµών: π.χ. Αλλαγή κλίµακας, ω.π. C=(c x,c y,1) µεταφορά κατά c= -(O -C) αλλαγή κλίµακας µεταφορά κατά c Γενικά δεν ισχύει η αντιµετάθεση. Πρώτος εκτελείται ο τελεστής που γράφεται τελευταίος. Σύνθεση: Εκτέλεση σειράς µετασχηµατισµών από ένα τελικό πίνακα. Αυξάνει την απόδοση (µειώνει την πολυπλοκότητα) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 63
64 Σύνθεση µετασχηµατισµών Ιδιότητες: T(x 1,y 1 ) T(x 2,y 2 ) = T(x 2,y 2 ) T(x 1,y 1 ) = T(x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) S(s x1,s y1 ) S(s x2,s y2 )=S(s x2,s y2 ) S(s x1,s y1 )= S(s x1 s x2,s y1 s y2 ) R(θ 1 ) R(θ 2 ) = R(θ 2 ) R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) S(s x,s y ) R(θ) = R(θ) S(s x,s y ) µόνο αν s x = s y Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 64
65 Γεωµετρικές Ιδιότητες Για κάθε συσχετισµένο µετασχηµατισµό F και σηµεία p και q ισχύει: F(λp+(1-λ)q) = λf(p)+ (1-λ) F(q) για 0 λ 1 λp+(1-λ)q είναι το ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ p και q. Η F παράγει πάλι ευθύγραµµο τµήµα. Η σχέση λ/(1-λ) παραµένει αναλλοίωτη από F. Εξακολουθεί να αρκεί απεικόνιση άκρων µόνο. Παράλληλες ευθείες παραµένουν παράλληλες. π.χ. οι µετασχηµατισµοί που είδαµε νωρίτερα. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 65
66 Γεωµετρικές ιδιότητες Ορθογώνιος µετασχηµατισµός: Μετασχηµατισµός Α λέγεται ορθογώνιος αν α 1 = α 2 = 1 α 1 α 2 = 0 Ορίζουσα του Α = 1 A = a a a a Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 66
67 Γεωµετρικές Ιδιότητες M = a a 0 tx t y 1 Ο Μ είναι µετασχηµατισµός οµοιότητας αν ο Α είναι ορθογώνιος. Ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας διατηρεί αναλλοίωτα µήκη και γωνίες Οποιαδήποτε σύνθεση Τ & R είναι µετασχηµατισµός οµοιότητας. Αν στη σύνθεση έχουµε S και Η, έχουµε συσχετισµένο µετασχηµατισµό αλλά όχι οµοιότητας (διατηρείται παραλληλία αλλά όχι µήκη και γωνίες). a a Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 67
68 Άσκηση Ζητείται να υπολογιστεί ο πίνακας µετασχηµατισµού της συµµετρικής απεικόνισης εικόνας ως προς τον άξονα w ο οποίος σχηµατίζει γωνία θ µε τον θετικό άξονα των Χ Βοήθεια. Ο µετασχηµατισµός µπορεί να προκύψει από : στροφή της εικόνας κατά θ Συµµετρία ως προς τον άξονα Χ Στροφή της εικόνας κατά θ Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 68
69 Φροντιστηριακή άσκηση Σελ 119 (Θεοχάρης) άσκηση α.3.9 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 69
70 2- Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 70
71 2- Μετασχηµατισµοί Παρατήρησης Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 71
72 2- Μετασχηµατισµοί Παρατήρησης Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 72
73 Μετασχηµατισµοί 3- Οµογενείς συντεταγµένες σηµείων Ε 3 : (x,y,z,w) Βασική παράσταση: (x,y,z,1) εξιόστροφα (εδώ) ή αριστερόστροφα συστήµατα. Υ Υ Ζ Χ Ζ (α) Χ (β) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 73
74 Μετασχηµατισµοί 3- Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 74
75 Μετασχηµατισµοί 3- Στροφή: Ανάγκη καθορισµού θετικής / αρνητικής φοράς Ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 75
76 Μετασχηµατισµοί 3- Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 76
77 Αποκοπή Αποκοπή αντικειµένου (π.χ. πολυγώνου, πυραµίδας, κύβου) ω.π. σηµείο αποκοπής: Αποφυγή αντεστραµµένης εµφάνισης αντικειµένων (π.χ. 3-, όπισθεν παρατηρητή). Μείωση του όγκου δεδοµένων (φίλτρο). Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 77
78 Αποκοπή 2- : στην αντιταύτιση, απόκρυψη, παράλληλη επεξεργασία, 2 πακέτα. 3- : γραφική σωλήνωση (γενίκευση 2- αποκοπής) 2- αποκοπή σηµείου: εντός εάν x min x x max και y min y y max. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 78
79 Αποκοπή Ευθύγραµµα τµήµατα: Αλγόριθµος µέσου. ιαδοχική διάσπαση ευθυγράµµου τµήµατος στη µέση (ολίσθηση). Χρήση «φθηνών» ελέγχων εντός/ εκτός. Κωδικοποίηση 9 περιοχών του επιπέδου Τέλος εάν p 1 p 2 < pixel. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 79
80 Αλγόριθµος Μέσου typedef struct {float x, y} point; midpoint (P1, P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; {point M; /* Υπολογισµός ΙΧ 1, ΙΥ 1, ΙΧ 2, ΙΥ 2 */ if (( IX1== 0)&&( IY1== 0)&&( IX2== 0)&&( IY2== 0)) /* Το P1P2 είναι εντός παραθύρου */ else if (( IX1== IX2)&&( IX1!= 0)) (( IY1== IY2)&&( IY1!= 0)) /* To P1P2 είναι εκτός παραθύρου */ else { M. x=( P1. x+ P2.x)/ 2; M. y=( P1. y+ P2.y)/ 2; midpoint (P1,M, xmin, xmax, ymin, ymax); midpoint (M, P2, xmin, xmax, ymin, ymax); } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 80
81 Αποκοπή ευθυγράµµων τµηµάτων Αλγόριθµος Cohen-Sutherland: Αρχικά «φθηνός» έλεγχος για τις απλές περιπτώσεις. π.χ. AB έξω, CD µέσα. Για άλλα ευθύγραµµα τµήµατα, κόψιµο µε ευθεία παραθύρου και αναδροµή. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 81
82 Αλγόριθµος Cohen-Sutherland Αντιστοίχηση κωδικών σε 9 περιοχές του επιπέδου. Κώδικες προκύπτουν από τα πρόσηµα διαφορών (π.χ. 1ο bit y max y). Πρώτο bit 1, περιοχή πάνω από την ευθεία y = y max εύτερο bit 1, περιοχή κάτω από την ευθεία y = y min Τρίτο bit 1, περιοχή δεξιά από την ευθεία x = x max Τέταρτο bit 1, περιοχή αριστερά από την ευθεία x = x min Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 82
83 Αλγόριθµος Cohen-Sutherland Υπολόγισε κώδικες c 1, c 2 για p 1 p 2. Αν c 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναι εντός (π.χ. CD). Αν c 1 c 2 = 0000, p 1 p 2 είναι εκτός(π.χ. ΑΒ). ιαφορετικά: Εύρεση ευθείας του παραθύρου που αντιστοιχεί σε bit µε διαφορετικές τιµές. τοµή p 1 p 2 µε ευθεία Αναδροµική κλήση για το ένα από τα τµήµατα ως προς την ευθεία τµήµα (εκείνο µε bit=0) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 83
84 Αλγόριθµος Cohen-Sutherland void CS (P1,P2, xmin, xmax, ymin, ymax) point P1, P2; float xmin, xmax, ymin, ymax; { } int c1, c2; point I; c1= code( P1); /* Εύρεση κώδικα P1*/ c2= code( P2); /* Εύρεση κώδικα P2*/ if (( c1 c2)== 0) /* Το P1P2 είναι εντός παραθύρου */ else if (( c1& c2)!= 0) /* Το P1P2 είναι εκτός παραθύρου */ else { } intersect (P1,P2,I,xmin,xmax,ymin,ymax); if exoteriko(p1) else CS( I,P2,xmin,xmax,ymin,ymax); CS( P1, I, xmin, xmax, ymin, ymax); Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 84
85 Αλγόριθµος Sutherland-Hodgman 2- αποκοπής πολυγώνων Κατάλληλος για αποκοπή τυχαίου πολυγώνου µε κυρτό πολύγωνο (παράθυρο) αποκοπής. m βήµατα για m πλευρές παραθύρου αποκοπής. είσοδος στο βήµα i (i = 1 m) µετά από αποκοπή µε πλευρά i-1. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 85
86 Αλγόριθµος Sutherland-Hodgman 2- αποκοπής πολυγώνων πολύγωνο ορίζεται από τις κορυφές του p 1, p 2 p n µε θετική µαθηµατική φορά. Βήµα i εξετάζει σχέση πλευράς SP µε ακµή παραθύρου i. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 86
87 Αλγόριθµος Sutherland-Hodgman 2- Αποκοπής Πολυγώνων Παράδειγµα βήµατος Sutherland-Hodgman: Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 87
88 Αποκοπή σε 3- Αντικείµενο αποκοπής: Περιορισµένη πυραµίδα (προοπτική) Κύβος (παράλληλη) 6 επίπεδα αποκοπής γι αυτά τα αντικείµενα. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 88
89 Cohen Sutherland 3-6 bit κωδικοί για κάθε άκρο p(x, y, z) Έστω κύβος αποκοπής: πρώτο bit = 1, z p > z max, σηµείο πίσω από κύβο. δεύτερο bit = 1, z p <z min, σηµείο εµπρός από κύβο τρίτο bit = 1, y p > y max, σηµείο πάνω από κύβο τέταρτο bit = 1, y p < y min, σηµείο κάτω από κύβο πέµπτο bit = 1, x p > x max, σηµείο δεξιά από κύβο έκτο bit = 1, x p < x min, σηµείο αριστερά από κύβο Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 89
90 Αλγόριθµος Cohen Sutherland 3- Αν C 1 C 2 = , p 1 p 2 εντός. Αν C 1 C , p 1 p 2 εκτός. ιαφορετικά: Εύρεση επιφάνειας κύβου που αντιστοιχεί σε bit µε διαφορετικές τιµές. τοµή p 1 p 2 µεεπιφάνεια Αναδροµική κλήση για το εσωτερικό τµήµα ως προς επιφάνεια.. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 90
91 Αλγόριθµος Cohen Sutherland 3- Τοµή ευθυγράµµου τµήµατος p 1 p 2 µε επίπεδο βάσει της παραµετρικής εξίσωσης: x(t) = x 1 + t(x 2 x 1 ) = x 1 + t x y(t) = y 1 + t(y 2 y 1 ) = y 1 + t y z(t) = z 1 + t(z 2 z 1 ) = z 1 + t z Π.χ. τοµή µε y = Υ Y = y(t) = y 1 + t t t = (Y y 1 ) / y Αν t [0,1], υπάρχει σηµείο τοµής µε (x 1 + t x, Y, z 1 + t z) = z/ y) (x 1 + (Y y 1 ) x/ y, Y, z 1 + (Y y 1 ) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 91
92 Αλγόριθµος Sutherland-Hodgman 3-6 στάδια αποκοπής για τα 6 επίπεδα έλεγχος αν p(x,y,z) εσωτερικό επιπέδου (a,b,c,d) από το πρόσηµο f(x,y,z) = ax + by + cz + d Υπολογισµός τοµής ευθυγράµµου τµήµατος µε επίπεδο: π.χ. όπως στη περίπτωση Cohen - Sutherland Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 92
93 ΜΑΘΗΜΑ #9 Προβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (W CS ) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης Π S) ΣΣ (EC Αποµάκρυνση Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών 1 2 D ΣΣΟ 2 (SCS) Προβολή Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 93
94 Προβολές Προοπτική: πεπερασµένη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Παράλληλη: άπειρη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Ιδιότητες προβολών: Ευθείες προβάλλονται σε ευθείες. Αποστάσεις αλλάζουν (γενικά). 3 παράλληλες ευθείες, µη παράλληλες µε επίπεδο προβολής, δεν προβάλλονται σε παράλληλες ευθείες. Γωνία µεταξύ ευθειών αλλάζει, εκτός αν επίπεδο γωνίας παράλληλο µε επίπεδο προβολής. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 94
95 Προοπτική Προβολή Έστω προβολή στο επίπεδο ΧΥ µε κέντρο προβολής Y K ( 0,0, d ) P 3 P 3 K ( 0,0, d ) P 2 P x, y,0 P X 1 ( ) P ( x, y, z) P 2 Z x d x d = x = x d + z d + z y d y d = y = y d + z d + z P 1 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 95
96 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 96 Προοπτική Προβολή εν είναι γραµµικός µετασχηµατισµός (διαίρεση µε z). εν µπορεί να δοθεί µε µορφή πίνακα. Ωστόσο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µεταβολή του w. Ακολουθεί διαίρεση µε w (αφού πρέπει w=1) = d d d P pers = = d z d y d x z y x P w z y x pers = = 1 0 / d z d y d z d x w w z y x P
97 Προοπτική Προβολή Χαρακτηριστικό: κεντρική σµίκρυνση (όπως το ανθρώπινο µάτι). Y K Z X Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 97
98 Παράλληλη Προβολή Κέντρο προβολής στο άπειρο, δίνεται κατεύθυνση προβολής. ιατηρεί αποστάσεις, χρήσιµο στοιχείο π.χ. στην αρχιτεκτονική. Ορθογώνια παράλληλη προβολή: πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα µε κάθετες ακτίνες προβολής. Z ( x, y z) P, A B ιεύθυνση Προβολής B X A P x, y,0 Πίνακας µετασχηµατισµού για ορθογώνια π.χ. στο ΧΥ ( ) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 98 Y
99 Παράλληλη Προβολή Παράλληλες προβολές διακρίνονται σε: Ορθογραφικές: ακτίνες προβολής κάθετες στο επίπεδο προβολής. Πλάγιες: ακτίνες όχι κάθετες. Ορθογραφικές διακρίνονται σε: Ορθογώνιες: ακτίνες προβολής παράλληλες µε Χ, Υ ή Ζ. Αξονοµετρικές: µη ορθογώνιες. Ισοµετρικές: ακτίνες προβολής παράλληλες µε κύρια διαγώνιο χώρου. Z I = = 1 I2 I3 I 3 I 1 I 2 Y X Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 99
100 Παράδειγµα Προβολή µοναδιαίου κύβου στο επίπεδο ΧΥ για προοπτική προβολή µε d=1 και d=10 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 100
101 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Παγκόσµιο Σύστηµα Συντεταγµένων Σύστηµα Συντεταγµένων Παρατηρητή. Σύνθεση βασικών µετασχηµατισµών. Καθορίζει όρια αποκοπής & παραµέτρους προβολής Θα εξετάσουµε ΜΠ Ι Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣΠ (ECS) Αποµάκρυνση Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών 1 2 D ΣΣΟ 2 (SCS) Προβολή Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 101
102 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Ι ΜΠ Ι χρησιµοποιεί προοπτική προβολή και καθορίζεται από: α. Σηµείο παρατήρησης β. 2 ανύσµατα για Υ Π και Ζ Π (αριστερόστροφο). ΠΣΣ ΣΣΠ βήµατα: O 1. Μεταφορά O στην αρχή ΠΣΣ. 2. Στροφές γύρω από Χ, Υ και Ζ του ΠΣΣ ώστε να ταυτισθούν µε αντίστοιχους ΣΣΠ. 3. Αποκοπή. 4. Προοπτική Προβολή. Χρησιµοποιούνται 3 ακόµα παράµετροι για καθορισµό ορίων αποκοπής: γ. Μέγεθος παραθύρου προβολής 2h. δ. Απόσταση d έµπροσθεν επιπέδου αποκοπής από (κάθετο στον Ζ Π ). ε. Απόσταση f όπισθεν επιπέδου αποκοπής από (κάθετο στον Ζ Π ). O O Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 102
103 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Ι Y Π y = h z / d Π Π O x Π = h zπ / d h z = d Π Z Π X Π Ορια αποκοπής: x y z z Π Π Π Π = ± h z = ± h z = d = f Π Π / d / d x = h z / d Π Π y = h z / d Π Π z = Π f Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 103
104 Μετασχηµατισµός Παρατήρησης Ι Χαρακτηριστικά ΜΠ Ι: Επίπεδο προβολής ταυτόσηµο µε έµπροσθεν επίπεδο αποκοπής z Π =d. Κέντρο προβολής ταυτόσηµο µε σηµείο παρατήρησης. Προοπτική προβολή. Τετράγωνο παράθυρο, συµµετρικό ως προς Ζ Π. Πληροφορία z διατηρείται κατά την προβολή για 2 λόγους: 3 αποκοπή ευκολότερη σαν ενδιάµεσο στάδιο της προβολής. Απόκρυψη απαιτεί z πληροφορία. (Z-Buffer) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 104
105 Προβολή στον ΜΠ Ι x y O O = = d x h z d y h z Π Π Π Π 1 x O 1 y O 1 1 Μετασχηµατισµός Z πρέπει να πληρεί: Ευθείες ΣΣΠ ευθείες ΣΣΟ. Επίπεδα ΣΣΠ επίπεδα ΣΣΟ. Κανονικοποιηµένες τιµές z O. z O =A+B/z Π είναι ΟΚ, µε περιορισµούς: 1. Β<0, ώστε αύξηση z Π 2. z [ d, f ] z [ 0,1] αύξηση z O. Π 2 εξισώσεις µε 2 αγνώστους: 0=Α+B/d 1=A+B/f Επίλυση µε περιορισµό 1. δίνει: Α=f/(f-d) B= -fd/(f-d) Τελικά: f O ( 1 d / z ) f d 0 z Π z O = Π 1 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 105
106 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 106 Προβολή στον ΜΠ Ι Παραπάνω µετασχηµατισµός µπορεί να χωρισθεί σε: Γραµµικό µέρος (πίνακας). Με ιαίρεση µε οµογενή συντεταγµένη (= z Π ) = Π Π Π ΜΠΙ 1 z y x P w z y x = ΜΠΙ d f fd d f f h d h d P w w z y x z y x O O O = / 1
107 πιο κατανοητός αν γραφεί: P ΜΠΙ Προβολή στον ΜΠ Ι d h d P ΜΠΙ = PΜΠΙ PΜΠΙ = f fd h f d f d είναι αλλαγή κλίµακας κατά d/h : P ΜΠΙ Πυραµίδα αποκοπής γίνεται κανονική πυραµίδα. π.χ. [ 0, h, d,1] [ 0, d, d,1] µετατρέπει κανονική πυραµίδα σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: P ΜΠΙ Εµπροσθεν επίπεδο αποκοπής z Π =d γίνεται XY. Οπισθεν επίπεδο αποκοπής z Π =f γίνεται z=1. π.χ. δηλ. 0, d, d,1 0, d,0, d 010,1,, [ ] [ ] [ ] Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 107
108 Y Π Προβολή στον ΜΠ Ι ( 0,h,d ) h d f Z Π Y P ΜΠΙ ( 0,d,d ) d P ΜΠΙ και κανονικοποίηση (/ w ) Y O 1 1 Z Π Z O 1 d f Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 108
109 Φροντιστηριακή άσκηση (παραδοτέα) Α Να βρεθεί η µήτρα µετασχηµατισµού ενός σηµείου (x,y,z) από σύστηµα συντεταγµένων φυσικού συστήµατος σε ένα σύστηµα συντεταγµένων παρατήρησης (ΣΣΠ) µε χαρακτηριστικά: ο άξονας Ζ του ΣΣΠ να δείχνει κατευθείαν στην αρχή του φυσικού συστήµατος και ο άξονας Χ να είναι παράλληλος στο επίπεδο ΧΥ του φυσικού συστήµατος οι δε άξονες Χ,Υ του ΣΣΠ να είναι παράλληλοι στους άξονες της οθόνης που αποτελεί το επίπεδο προβολής Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 109
110 Ασκηση (συνέχεια) zw φ ye ze ρ xe Ο(x,y,z) Χρησιµοποιείστε το σχήµα για τις εξισώσεις µετασχηµατισµού x= ρ*sinφ* cosθ xw θ yw y= ρ*sinφ* sinθ z = ρ* cosφ Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 110
111 Άσκηση (συνέχεια) Στη συνέχεια χρησιµοποιήσατε τη µήτρα µετασχηµατισµού καθώς και τις εξισώσεις της προοπτικής προβολής για να λύσετε το εξής πρόβληµα: Αν υποθέσουµε κύβο του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην αρχή του φυσικού συστήµατος συντεταγµένων µε ακµή 2 εκ, έστω ότι παρατηρούµε τον κύβο από σηµείο 6,10,7 µε τον άξονα παρατήρησης z να δείχνει προς την αρχή του φυσικού συστήµατος συντεταγµένων. Υποθέτουµε ότι ο άξονας των χ βρίσκεται στο επίπεδο z=7. Επίσης υποθέστε ότι βλέπουµε το αντικείµενο από απόσταση 0,6 µ. Και ότι η οθόνη (πεδίο προβολής) είναι διαστάσεων 0,3*0,3 µ. Με συντεταγµένες 1024*1024. Να βρεθεί και να υπολογιστεί η προοπτική προβολή του κύβου στο επίπεδο της οθόνης Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 111
112 Αποκοπή στο ΜΠ Ι w Τιµή ορίζει και τα όρια αποκοπής: w x w w y w 0 z w Αποκοπή γίνεται µετά την εφαρµογή P ΜΠΙ αλλά πριν τη διαίρεση µε το w Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 112
113 #10 Πρόβληµα Απόκρυψης Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Σ Εµφανές αντικείµενο στο σηµείο Σ Επίπεδο προβολής Χωρίζονται σε αλγόριθµους απόκρυψης ακµών και επιφανειών. Χρησιµοποιούν άµεσα ή έµµεσα ταξινόµηση στις διαστάσεις X Y και Z. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 113
114 Χωρίζονται σε Αλγόριθµοι Απόκρυψης αλγόριθµους χώρου αντικειµένων και αλγόριθµους χώρου εικόνας. 2 Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων είναι O( Π ) ενώ αλγόριθµοι χώρου εικόνας είναι O( Π Ρ) όπου Π ο αριθµός των πολυγώνων και P ο αριθµός των pixels. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 114
115 Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων συγκρίνουν αντικείµενα µεταξύ τους για να βρουν το πλησιέστερο σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής: Για κάθε αντικείµενο π {Εύρεση των ορατών τµηµάτων του π µέσω σύγκρισης (Χ,Υ,Ζ) µε όλα τα άλλα αντικείµενα; Χρωµατισµός των ορατών τµηµάτων του π στην οθόνη } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 115
116 Αλγόριθµοι χώρου εικόνας Αλγόριθµοι χώρου εικόνας έχουν την εξής µορφή: Για κάθε pixel ρ της εικόνας {Εύρεση του πλησιέστερου αντικειµένου που τέµνεται από την ακτίνα προβολής που περνά από το ρ; Χρωµατισµός του ρ µε το χρώµα του πλησιέστερου αντικειµένου στο σηµείο τοµής } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 116
117 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Υπολογιστική ακρίβεια. Αλγόριθµοι χώρου εικόνας: ακρίβεια που απαιτεί η ανάλυση της εικόνας. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων: ακρίβεια ορισµού αντικειµένων (=ακρίβεια υπολογιστή). Θέση στη γραφική σωλήνωση εξόδου. Αλγόριθµοι χώρου αντικειµένων: µετά την προβολή (διακεκοµµένη γραµµή). Αλγόριθµοι χώρου εικόνας: ενσωµατώνονται στη διαδικασία παράστασης στην οθόνη. ιαγραφή πίσω επιφανειών. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΠΣΣ (W CS ) 3 Μετασχ/σµός Παρατήρησης ΣΣ Π (E CS) ιαγραφή Πίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) Παράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών 1 2 D ΣΣΟ 2 (SCS) Προβολή Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 117
118 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Τεχνικές βελτίωσης αποτελεσµατικότητας αλγορίθµων απόκρυψης. Εκµετάλλευση προοπτικού µετασχηµατισµού. Εκµετάλλευση συνάφειας. Περιβάλλοντες όγκοι. ιαµερισµός χώρου. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 118
119 Προοπτικός Μετασχηµατισµός Σ ( ) ( ) Ζήτηµα απόκρυψης µεταξύ δύο σηµείων 1 x1,y1,z1 και Σ2 x2,y2,z2 υπάρχει µόνο αν τα δύο σηµεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα προβολής. Y Π Y Π Σ 1 Σ 2 Ακτίνες προβολής Σ 1 Σ 2 Ακτίνες προβολής X Π Παράλληλη προβολή Z Π X Π Προοπτική προβολή Z Π Συνθήκη απόκρυψης στην παράλληλη προβολή. ( x 1 = x2 ) & ( y1 = y2 ) Συνθήκη απόκρυψης στην προοπτική προβολή. ( ) ( ) x 1 / z1 = x2 / z2 & y1 / z1 = y2 / z2 Απαιτεί (ακριβή) διαίρεση µε z. Η διαίρεση αυτή γίνεται κατά την προοπτική προβολή. Η προοπτική προβολή µετατρέπει τις ακτίνες προβολής σε παράλληλες. Φυλάµε z συντεταγµένη για σύγκριση βάθους. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 119
120 Συνάφεια Συνάφεια: ιδιότητα γεωµετρικών οντοτήτων να διατηρούν τοπικά σταθερές τις τιµές των χαρακτηριστικών τους ή να τις µεταβάλλουν οµαλά. Π.χ. αυξητικός υπολογίσµος z σηµείων πολυγώνου. Είδη συνάφειας: Συνάφεια ακµής. Συνάφεια επιφάνειας. Συνάφεια γραµµών σάρωσης. Συνάφεια καρέ. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 120
121 Περιβάλλοντες Όγκοι Απλούστεροι όγκοι από τα αντικείµενα που περιβάλλουν για µείωση κόστους συγκρίσεων κατά την ταξινόµηση στις διαστάσεις Χ, Υ και Ζ. Συχνά έχουν τη µορφή ορθογώνιου παραλληλογράµµου (2 ) ή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου (3 ). Οχι απαραίτητα κλειστοί. Αν οι περιβάλλοντες όγκοι δύο αντικειµένων δεν τέµνονται τότε ούτε τα αντικείµενα τέµνονται. Το αντίθετο δεν ισχύει πάντα. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 121
122 ιαµερισµός Χώρου ιαµέριση χώρου σε σύνολο διατεταγµένων µερών (π.χ. voxels). Τα µέρη του χώρου που καταλαµβάνει ένα αντικείµενο ορίζουν έµµεσα τη διάταξή του σε σχέση µε άλλα αντικείµενα. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 122
123 ιαγραφή Πίσω Επιφανειών Αν η γωνία µεταξύ V r και N r είναι> 90 τότε η επιφάνεια είναι πίσω (αόρατη). V r N r < 90 < 90 B Γ > 90 A Μια επιφάνεια είναι ορατή αν V r N r = Vx N x + Vy N y + Vz N Μειώνει όγκο δεδοµένων κατά ~50%. Λύνει πρόβληµα απόκρυψης για ένα κυρτό αντικείµενο. z > 0 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 123
124 ιαγραφή Πίσω Επιφανειών Λειτουργεί στο χώρο αντικειµένων και είναι O Π. V r µπορεί να υπολογισθεί από µία κορυφή P της επιφάνειας. r r Αν ο παρατηρητής βρίσκεται στο κέντρο του ΣΣΠ τότε V = P N r ( ) ( ) µπορεί να υπολογισθεί από 3 διαδοχικές, µη συγγραµµικές κορυφές και r r r N = A B = P P P N r P1 P B r 3 ( ) P 1 P2 P3 P 1 A r P 2 r r r r Προσοχή A B B A. Χρήση σειράς κορυφών. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 124
125 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Επιφανειών Ακολούθησαν την εµφάνιση της πλεγµατικής οθόνης. 4 Βασικές κατηγορίες. z-buffer (πιο διαδεδοµένος). scanline. ταξινόµηση κατά βάθος. υποδιαίρεση επιφάνειας. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 125
126 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Επιφανειών Βασική πράξη: σύγκριση βάθους 2 στοιχείων µε ίδιο ΧΥ. Η προοπτική προβολή διευκολύνει. Μετατρέπει ακτίνες προβολής ώστε να είναι παράλληλες του Z. Ίσες αποστάσεις στον Ζ π δεν µετασχηµατίζονται σε ίσες αποστάσεις στον Ζ ο. Ζ ο µεταβάλλεται ταχύτερα καθώς πλησιάζει τη µέγιστη τιµή του (1). Y Π X Π Z Π Y O Πρoοπτική προβολή ZO X O Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 126
127 Αλγόριθµος z-buffer Απαιτεί ύπαρξη µνήµης βάθους (z-buffer) για κάθε pixel. Οι τιµές βάθους βρίσκονται (για τα περισσότερα σχήµατα) µε παρεµβολή. Έµµεση ταξινόµηση. Για κάθε pixel ο z-buffer φυλάει την ελάχιστη (ως τώρα) τιµή βάθους στο pixel αυτό. Αρχικοποίηση στο µέγιστο z (πίσω επίπεδο αποκοπής). Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 127
128 Αλγόριθµος z-buffer /* Αλγόριθµος z-buffer */ /* Αρχικοποίηση: m,n οι διαστάσεις της οθόνης */ for (x=0; x<m; x++) { for (y=0; y<n; y++) { z_buffer[x,y]=f; frame_buffer[x,y]=background; } } /*Επεξεργασία πολυγώνων*/ for (π=0; π<number_of_polygons(); π++) { /*Επεξεργασία scanlines πολυγώνου ymin ymax*/ for (y=ymin; y<=ymax; y++) { /*Βρες µε γραµµική παρεµβολή µεταξύ των αντίστοιχων κορυφών, τις τιµές τοµής µε scanline y :xleft,xright τις τιµές βάθους στις τοµές :zleft,zright τις τιµές χρωµατισµού στις τοµές :cleft,cright*/ for (x=xleft; x<=xright; x++) { } } /*µέγιστο βάθος*/ /*φόντο*/ /*Βρες µε γραµµική παρεµβολή µεταξύ xleft και xright την τιµή βάθους z και χρώµατος c σε κάθε pixel x,y*/ if (z<z_buffer[x,y]) { z_buffer[x,y]=z; frame_buffer[x,y]=c; } } Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 128
129 Αλγόριθµος z-buffer Τοµές πλευρών πολυγώνου µε scanlines βρίσκονται µε λίστα ενεργών πλευρών. Γραµµική παρεµβολή z. z z z a β γ = z = z = z 1 1 α ( z z ) 2 ( z z ) 3 ( z z ) β 1 1 α y y y y s 2 s 3 x x γ β y y 1 y y x a x a Y o y 3 y 2 ( x, y z ) 2 2, 2 ( x, y z ) 3 3, 3 ( x, y, z ) γ s γ y s ( x y, z ) a s a, ( x, y, z ) β s β γραµµή σάρωσης y 1 ( x, y z ) 1 1, 1 Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 129
130 Αλγόριθµος z-buffer O( Π S ), όπου Π ο αριθµός πολυγώνων και S o µέσος αριθµός pixel ανά πολύγωνο. Για τυπικές σκηνές Π S m n (σταθερό). Πλεονεκτήµατα z-buffer: Ευκολία υλοποίησης σε H/W ή S/W. Επεξεργασία πολυγώνων µε τυχαία σειρά. υνατότητα χρήσης για µη πολυγωνικά αντικείµενα (µε συνάρτηση βάθους). Ανάγκη σε µνήµη: Ένας καλός z-buffer απαιτεί 32 bits/pixel. Για ανάλυση 1024x1024 αυτό συνεπάγεται 4Mbytes. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 130
131 Ειδικές Εφαρµογές z-buffer Συνδυασµός εικόνων Έστω Z F Z οι frame και z-buffer εικόνων A και Β. Α και Β µπορεί να δηµιουργήθηκαν χωριστά. Συνδυασµός: for (x=0; x<m; x++) for (y=0; y<n; y++) {Z C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?z A [x,y]:z B [x,y]; } F C [x,y]=(z A [x,y]<z B [x,y])?f A [x,y]:f B [x,y]; Τοποθέτηση 3 αντικειµένων σε σκηνή µε χρήση z-buffer. 3 cursor. ( F, ), (, ) A A B εν µεταβάλλουµε περιεχόµενα z-buffer. B Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 131
132 Αλγόριθµοι Απόκρυψης Ακµών Ανάπτυξη την εποχή της διανυσµατικής οθόνης. Σήµερα χρήσιµοι για παράσταση περιγραµµάτων (π.χ. δοκιµές animation). Εξετάζουµε γενικό αλγόριθµο για µη διαφανή πολυγωνικά αντικείµενα που δεν διαπερνά το ένα το άλλο: Βήµα 1: ιαίρεση ακµών σε τµήµατα που είναι είτε ολικώς εµφανή είτε ολικώς µη εµφανή. Βήµα 2: Καθορισµός, για κάθε τέτοιο τµήµα, εάν είναι εµφανές. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 132
133 Αλγόριθµοι Scanline Επέκταση βασικού αλγόριθµου σάρωσης πολυγώνου (πολλά πολύγωνα): Ιδια είδη συνάφειας. Χώρος εικόνας. Τοµές πολυγωνικών 3 αντικειµένων µε επίπεδο y=y s είναι πολύγωνα: Προβολές ακµών των πολυγώνων αυτών στο ΧΥ διαιρούν γραµµή σάρωσης σε span. Σε κάθε span αντιστοιχεί 1 ορατή ακµή (χρώµα αντίστοιχου πολυγώνου). Εύρεση ορατής ακµής µετά από ταξινόµηση ως προς z. Απαγορεύονται πολύγωνα που τέµνονται. Z o Τοµή y=y s s1 s2 s 3 s4 s 5 Spans Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 133 X o
134 Αλγόριθµοι Scanline /*Aλγόριθµος scanline*/ ηµιούργησε µε Bucket-sort ένα y-bucket µε πληροφορίες για κάθε πλευρά του πολυγώνου (κεφ. 2); /*Επανάληψη γραµµών σάρωσης*/ for (ys=0; ys<n; ys++) {/*Επανάληψη ενεργών πολυγώνων (που τέµνουν ys)*/ } for (π=0; π<max_active; π++) {Εύρεση ακµής τοµής π µε επίπεδο y=ys; Εισαγωγή ακµής σε λίστα ακµών τοµής ταξινοµηµένη ως προς xs; Καθoρισµός span από λίστα ακµών τοµής; /*Επανάληψη span*/ for (s=0; s<max_span; s++) {Αποκοπή ενεργών ακµών (που τέµνουν s) στα όρια του s; Εύρεση βάθους αποκοµµένων ακµών σε ένα από τα άκρα του s; Επιλογή ορατής αποκοµµένης ακµής (ελάχιστο βάθος); Χρωµατισµός ορατής αποκοµµένης ακµής; } } Χρήση ΛΕΠ για αποδοτικότητα. Απόδοση εξαρτάται από # πολυγώνων και # span. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 134
135 Αλγόριθµοι Λίστας Προτεραιότητας Ταξινόµηση πολυγώνων κατά βάθος και εµφάνιση µε σωστή σειρά: Οχι πάντα δυνατή (επικάλυψη z-έκτασης, τεµνόµενα πολύγωνα). ιαµερισµός πολυγώνων. Μεγάλη πολυπλοκότητα. Χώρος αντικειµένων, αν αποτέλεσµα θεωρηθεί η ταξινοµηµένη λίστα. 1. Αλγόριθµος ταξινόµησης κατά βάθος (Newell 1972). 2. Αλγόριθµος BSP δένδρου (Fuchs 1983). Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 135
136 Αλγόριθµος Ταξινόµησης κατά Βάθος Ταξινόµηση κατά φθίνουσα απόσταση από κέντρο προβολής. Σύγκριση P προ Q δεν είναι πάντα εύκολη. Χρήση περιβάλλοντος παραλληλεπιπέδου [x min (P), y min (P), z min (P)], [x max (P), y max (P), z max (P)]. Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 136
137 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Αναδροµική διαίρεση επιπέδου προβολής: Αν 1 πολύγωνο καλύπτει τµήµα πλήρως, τότε αυτό παίρνει το χρώµα του πολυγώνου. Αναδροµή σταµατά επίσης στο µέγεθος του pixel. Εκµετάλλευση συνάφειας επιφάνειας (µεγάλα πολύγωνα, σταθερού χρώµατος). Αλγόριθµος Warnock: Αναδροµή σταµατά αν από ένα τµήµα περνά το πολύ 1 ακµή πολυγώνου. Συγκρίσεις προβολής πολυγώνου P µε περιοχή οθόνης Β. Χρήση περιβάλλοντων ορθογωνίων: P : x P, y P, x P, y P 4 περιπτώσεις σχέσης P και B: B : [ min ( ) min ( )] [ max ( ) max ( )] [ x ( B), y ( B) ], [ x ( B), y ( B) ] min min (D: Disjoint) P εξωτερικό της Β. (C: Contained) P εσωτερικό της Β. (S: Surrounding) P καλύπτον πλήρως την Β. (I: Intersecting) P τέµνον την Β. max Π.χ. σχέση D εξασφαλίζεται εάν ισχύει: max ( xmin ( P) > xmax ( B) ) ή ( xmax ( P) < xmin ( B) ) ( y ( P) > y ( B) ) ή ( y ( P) < y ( B) ) min max max Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 137 min ή
138 Αλγόριθµοι Υποδιαίρεσης Επιφάνειας Αναδροµικές διαιρέσεις Warnock: Μείωση υποδιαιρέσεων µε βάση κορυφές πολυγώνων (Weiler - Atherton): Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 138
139 Σύγκριση Μεθόδων Απόκρυψης Αλγόριθµος Αριθµός Πολυγωνικών Επιφανειών depth - sort 0, , z-buffer 7, , , Scan - line 0, , Υποδιαίρεση επιφάνειας 1, Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 139
140 Απόκρυψη και Παρακολούθηση Ακτίνας (Ray Tracing) Αλγόριθµος παρακολούθησης ακτίνας (Whitted): Ακτίνες που ορίζονται από σηµείο παρατήρησης και κάθε pixel ακολουθούνται ώσπου να συναντήσουν αντικείµενο. Εκεί διασπώνται ανάλογα µε µοντέλο. Ουσιαστικά λύνει πρόβληµα απόκρυψης. Επίπεδο προβολής (οθόνη) Αλληλεπίδραση Ανθρώπου-Υπολογιστή & Γραφικά Υπολογιστή 140
Πρόβληµα Απόκρυψης. Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής;
Πρόβληµα Απόκρυψης Ποιο είναι το εµφανές αντικείµενο (χρώµα) σε κάθε σηµείο του επιπέδου προβολής; Σ Εµφανές αντικείµενο στο σηµείο Σ Επίπεδο προβολής Χωρίζονται σε αλγόριθµους απόκρυψης ακµών και επιφανειών.
Διαβάστε περισσότεραΓραφική με Υπολογιστή Computer Graphics
Γραφική με Υπολογιστή Computer Graphics 1. Βασικοίγραφικοίαλγόριθμοι 2. Αρχέςγραφικώνπλεγματικώνοθονώνraster 3. Μετασχηματισμοί2 και3 διαστάσεωνκαι συστήματασυντεταγμένων 4. Προβολέςκαιμετασχηματισμοίπαρατήρησης
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 &3
Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου
Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε
Διαβάστε περισσότεραΑποκοπή 4.1. Εργα: : & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ - ΥΠΕΠΘ) Τµήµα Πληροφορικής 1 2 (SCS) Θέση παρατηρητή. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Αποκοπή Αποκοπή αντικειµένου (π.χ. πολυγώνου) ως προς αντικείµενο αποκοπής (π.χ. πολύγωνο, πυραµίδα, κύβος). Για αποφυγή αντεστραµµένης εµφάνισης αντικειµένων όπισθεν παρατηρητή. Για σηµαντική µείωση όγκου
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 & 3
Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές.
ροβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμός Παρατήρησης
Μετασχηματισμός Παρατήρησης Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων Σύστημα Συντεταγμένων Παρατηρητή. Σύνθεση βασικών μετασχηματισμών. Καθορίζει όρια αποκοπής & παραμέτρους προβολής Θα εξετάσουμε ΜΠ Ι και Θέσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές
Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑπαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Διαβάστε περισσότερα5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων
5ο Μάθημα Αλγόριθμοι Σχεδίασης Βασικών Σχημάτων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Ευθεία Κύκλος Έλλειψη Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Ευθεία 3 Κύκλος
Διαβάστε περισσότερα2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων
2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Γραφικά. Μοντέλο (Πληροφορίες για Περιεχόµενο εικόνας. Επεξεργασία Εικόνων. Εικόνα. Τεχνητή Όραση 1.1. Εργα: : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣ (ΕΠΕΑΚ
Εισαγωγή Μιάεικόνααξίζει1000 λέξεις : Ανθρώπινοοπτικόκανάλι: 30-40 Μbits/s (=64-85 M λέξεις /min µε 4 γράµµατα/λέξη, 7bits/γράµµα). Γραπτό κείµενο: 600-1200 λέξεις/min. 100.000 αποδοτικότερη επικοινωνία
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Αποκοπή (εισαγωγή) Σημειακή Αποκοπή Αποκοπή Ευθύγραμμων Τμημάτων (line
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι Αποκοπή (clip)?
Αποκοπή Τι είναι Αποκοπή (clip)? Η διαδικασία απεικόνισης μόνο των τμημάτων των αντικειμένων που βρίσκονται μέσα σε μια περιοχή Από μεγαλύτερη 2Δ σκηνή στην οποία έχουμε ήδη τιμές για τα piels Κατά την
Διαβάστε περισσότερα4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων
Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pls: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων
Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pls: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αποκοπή
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή των φυσικών συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε συντεταγμένες της συσκευής απεικόνισης (δημιουργία μετασχηματισμού απεικόνισης) αφαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή
Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αποκοπή
Γραφικά με Η/Υ Αποκοπή Αποκοπή Οι αλγόριθμοι αποκοπής έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να είναι αποτελεσματικοί στο να εντοπίζουν τα τμήματα μίας σκηνής ή ενός αντικειμένου σε συντεταγμένες προβολής που βρίσκονται
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων
Αλγόριθµοι Παράστασης Βασικών Σχηµάτων Προσέγγιση µαθηµατικών σχηµάτων από διακριτά pixels: Ευθύγραµµο τµήµα, κύκλος, κωνικές τοµές, πολύγωνο. S/W ή H/W. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Ι. Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Γραφικά Ι Ενότητα 4: Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα. Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής
Γραφικά Υπολογιστών & Εικονική Πραγματικότητα Μετασχηματισμός απεικόνισης & Αλγόριθμοι αποκοπής Βασικές λειτουργίες απεικόνισης μετατροπή του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων, ενός αντικειμένου, σε
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ
ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου
Διαβάστε περισσότεραΗ διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)
Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών
Διαβάστε περισσότεραΔιαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 22D D σχημάτων (ευθεία
Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών 2D σχημάτων (ευθεία) Σχεδίαση ευθείας θί με σάρωση (παρουσίαση προβλήματος) σχεδίαση ευθείας AB, με σάρωση, όπου A=(0,1) και B=(5,4) ποιο είναι το επόμενο pixel
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι παράστασης βασικών σχημάτων σε πλεγματικές οθόνες
Αλγόριθμοι παράστασης βασικών σχημάτων σε πλεγματικές οθόνες Αλγόριθμοι Παράστασης Βασικών Σχημάτων Προσέγγιση μαθηματικών σχημάτων από διακριτά pxels: Ευθύγραμμο τμήμα, κύκλος, κωνικές τομές, πολύγωνο.
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μετασχηματισμών
Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές
Μετασχ. Γραφικά Παρατήρησης Υπολογιστών και Προβολές Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Στάδια Προβολής στο Επίπεδο Περνάμε από WCS στοτοπικόσύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή
Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Πολλέςαπότιςεργασίεςσχεδίασης (αρχιτεκτονικό, μηχανολογικό σχέδιο, κινούμενα σχέδια) γίνονται με υπολογιστή Ο χρήστης θα πρέπει να μπορεί να παράξει «κλασικές»
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρικές Σκιές. Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής
Γεωμετρικές Σκιές Θ. Θεοχάρης Ι. Κακαδιάρης - Γ. Πασσαλής Περιεχόμενα Σ1 Χαρακτηριστικά Σκιών στα Γραφικά Σ2 Απλές Σκιές Σ3 Σύγχρονοι Αλγόριθμοι Σκιών 2 Εισαγωγή (1) Οι σκιές είναι σημαντικές στην κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με Η/Υ Αλγ λ ό γ ρ ό ιθ ρ μοι κύκλου & έλλειψης
Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι κύκλου & έλλειψης Τεχνική μέσου σημείου (μέσο έ σημείο Q) NE pixel Q Μέσο σημείο M E pixel P = ( x p, y p ) x x + 1 = p Προηγούμενο pixel Επιλογές για το Επιλογές για το τρέχων
Διαβάστε περισσότεραΔιαλέξεις #05 & #06. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #05 & #06 Αλγόριθμος Σχεδίασης Κύκλου Αλγόριθμος Σχεδίασης Έλλειψης Φοίβος
Διαβάστε περισσότεραΣτο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε
Κεφάλαιο 6 Αποκοπή (clipping) Στο Κεφάλαιο 5 µελετώντας την προβολή του τρισδιάστατου χώρου στο επίπεδο της κάµερας εξετάστηκε η διαδικασία προβολής µεµονωµένων σηµείων και µόνο προς το τέλος του κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας
Γεωμετρικοί μετασχηματιμοί εικόνας Μάθημα: Υπολογιστική Οραση 1 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Ορισμός σημείου στονευκλείδιοχώρο: p=[x p,y p,z p ] T, όπου x p, y p, z p πραγματικοί αριθμοί. ΕστωΕ 3 τοσύνολοτωνp.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραα) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί. Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα M(V)
Μετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα V M(V) 2.1 Αναπαράσταση 3Δ µοντέλων Κάθε 3Δ µοντέλο αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά & Οπτικοποίηση. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή. Γραφικά & Οπτικοπίηση: Αρχές & Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 1
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 2 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και GPU 3 Εφαρμογές Ειδικά εφέ για ταινίες & διαφημίσεις Επιστημονική εξερεύνηση μέσω οπτικοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Προβολικοί Μετασχηματισμοί Γενικός Ορισμός Μετασχηματισμός των σημείων ενός σημειακού χώρου διάστασης n σε σημεία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή
Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού
Μοντέλα & Αλγόριθµοι Φωτισµού Μοντέλο φωτισµού: συγκεκριµένη και απλοποιηµένη παράσταση φυσικών νόµων που διέπουν τον φωτισµό. Τοπικό: λαµβάνει υπ όψη µόνο άµεση πρόσπτωση φωτός (π.χ. Phog). Γενικό: λαµβάνει
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Γραφικά Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεοχάρης Θεοχάρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ενότητα 1 Εισαγωγή Ιστορικά Ιστορική ανασκόπηση : 3 Ιστορικά (2) Ρυθμοί ανάπτυξης CPU και
Διαβάστε περισσότερα1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006
η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΘέση και Προσανατολισμός
Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1
Μάθημα 10 ο Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Εισαγωγή (1) Η περιγραφή μίας περιοχής μπορεί να γίνει: Με βάση τα εξωτερικά χαρακτηριστικά (ακμές, όρια). Αυτή η περιγραφή προτιμάται όταν μας ενδιαφέρουν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ
ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις Προχωρηµένο Επίπεδο Επεξεργασίας Εικόνας Σύνθεση Οπτικού Μωσαϊκού ρ. Γ. Χ. Καρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μηχανολογικών
Διαβάστε περισσότερα3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι
Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα
Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα # 13: Τεχνικές απεικόνισης στην οθόνη του ΗΥ Καθηγητής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε
Διαβάστε περισσότεραΑποκοπή ευθυγράμμων τμημάτων
Αλγόριθμος των Cohen-Sutherland Αποκοπή ευθυγράμμων τμημάτων Χαρακτηριστικά (Attrbutes LEFT : αριστερά της ευθείας LEFT RIGHT: δεξιά της ευθείας RIGHT ΤΟΡ : άνω της ευθείας TO BOTTO: κάτω της ευθείας BOTTO
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας
Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΤάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότερα4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές
Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων
Διαβάστε περισσότεραιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το
Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερααx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x
A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης ΣΤ Εξάμηνο Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής η Παραμετρική Αναπαράσταση Γεωμετρικών Σχημάτων και Σχεδίαση ευθείας kdemertz@fmenr.duth.gr Αξιολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότερα117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης ΣΤ Εξάμηνο Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής η Μετασχηματισμοί kdemertz@fmenr.duth.gr Μετασχηματισμοί Κατά τον σχηματισμό του εικονικού κόσμου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των
Διαβάστε περισσότερα