PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ"

Transcript

1 PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae Bălcescu pentru anul universitar LIMBA ENGLEZĂ Proba de limbă engleză din cadrul admiterii în învăţământul militar se susţine sub forma unui text grilă. Standardele de performanţă pentru elaborarea testului se realizează în concordanţă cu programa pentru examenul de bacalaureat la limba modernă 2. Acestea pot fi actualizate în funcţie de Dispoziţia D.M.R.U. privind Standardele de performanţă pentru proba de limbă străină din cadrul admiterii în instituţiile militare de învăţământ sau a selecţiei personalului pentru participarea la cursuri de carieră în ţară. Bibliografia se constituie din manualele utilizate în ciclul liceal pentru formarea competenţelor generale prevăzute în trunchiul comun, din programele şcolare pentru limbile moderne, corespunzătoare nivelului B2 la competenţele de receptare şi nivelul B1 la competenţele de producere, conform Cadrului european comun de referinţă pentru limbi predare, învăţare, evaluare. Manualele şcolare reprezintă suportul didactic utilizat pentru parcurgerea programei şcolare şi nu materialul din care se extrag subiecte pentru test. Nota minimă de admitere la proba de limbă engleză 6,00. REPERE SPECIFICE pentru elaborarea testului-grilă pentru proba de limbă străină din cadrul admiterii în învăţământul postliceal de formare a maiştrilor militari, la programele de studii de licenţă şi master, la cursurile de formare a ofiţerilor pe filiera indirectă şi la cursurile de carieră A. Partea I: CITIT Criterii generale Cerinţe specifice Competenţă generală Citeşte materiale autentice simple şi concrete. Candidatul poate să: - înţeleagă sensul global al unui text simplu, necunoscut; Competenţe specifice - identifice detaliile dintr-un text dat, prin citire selectivă; - identifice ideile principale la nivelul paragrafului prin citire cu atenţie. Materiale autentice: articole din ziare şi reviste, broşuri/ Surse pentru identificarea materiale publicitare/pliante, materiale de pe reţeaua internet textelor (cu drept public de folosire) etc. Texte nonliterare, autentice, simple, în proză, pe teme familiare, Tipul textului sub formă de: paragrafe descriptive, paragrafe narative, interviuri, articole în presă etc. Lungimea textului cuvinte/text(+/- 10 %). Universul tematic al Familie, şcoală, activităţi din timpul liber, mâncare, muzică, textului divertisment, mass-media, călătorii, sport, cumpărături, literatură. a) general Noţiuni de bază întâlnite în mass-media internaţională: grade b) cu specific militar militare, activităţi cotidiene etc. general 1 din 1

2 Criterii generale Cerinţe specifice Itemi cu alegere multiplă (patru variante posibile, o singură Formatul textului variantă din cele patru reprezentând răspunsul corect). Număr de itemi (*) Pentru citire selectivă: 10 itemi. Pentru citire cu atenţie: 5 itemi. Punctaj acordat Câte 0,2 puncte pentru fiecare item corect rezolvat. (*) NOTĂ: numărul de texte dintr-un test variază în funcţie de numărul de itemi elaboraţi pe textul respectiv. B. Partea a II-a: ELEMENTE DE GRAMATICĂ ŞI VOCABULAR Criterii generale Cerinţe specifice Foloseşte structurile de gramatică şi noţiunile de vocabular cu Competenţă generală nivel de complexitate mediu. Candidatul poate să folosească următoarele: a) Structuri de gramatică: - morfologie: substantivele regulate şi neregulate de mare frecvenţă; gradele de comparaţie ale adjectivelor/ adverbelor; timpurile de bază ale modului indicativ, în aspect simplu şi continuu (prezentul, trecutul, viitorul simplu şi de intenţie, prezentul perfect şi trecutul perfect); verbe modale (can, may, must cu infinitiv prezent); cuvinte de legătură comune (and, Competenţe specifice but, or, because, not, after, next, before), articolul (excepţie articolul zero); - elemente de sintaxă: ordinea cuvintelor în propoziţie/ frază, tipuri de propoziţii: interogativă, afirmativă, negativă; propoziţia completivă directă (concordanţa tipurilor); propoziţia condiţională de tipul I şi II. b) Noţiuni de vocabular: mediu, concret (vezi universul tematic al textului). Materiale autentice: articole din ziare şi reviste, Surse pentru identificarea broşuri/materiale publicitare/pliante, materiale de pe reţeaua textelor internet (cu drept public de folosire) etc. Texte nonliterare, autentice, simple, în proză, pe teme Tipul textului familiare, sub formă de: paragrafe descriptive, paragrafe narative, interviuri, articole în presă etc. Lungimea textului 5-20 cuvinte/text (+/- 10 %). Universul tematic al Activităţi cotidiene, relaţii de familie, tineretul, sănătate, massmedia, mediul înconjurător, şcoală, profesii, călătorii, obiceiuri, textului a) general relaţii/conflicte între generaţii, sărbători naţionale, biografii ale personalităţilor, mâncare, muzică, divertisment, sport, cumpărături, descrieri de locuri, lucruri şi persoane. b) cu specific militar general Formatul textului Noţiuni de bază întâlnite în mass-media internaţională: grade militare, activităţi cotidiene etc. Această parte cuprinde două componente ce constau în itemi cu alegere multiplă (patru variante posibilă, o singură variantă din cele patru reprezentând răspuns corect), după cum urmează: - gramatică: completarea unor propoziţii; - vocabular: completarea unor spaţii libere într-un text dat. 2 din 2

3 Criterii generale Cerinţe specifice Număr de itemi Gramatică: 10 itemi. Vocabular: 10 itemi. Punctaj acordat Câte 0,2 puncte pentru fiecare item corect rezolvat. C. Partea III: SCRIS Criterii generale Cerinţe specifice Competenţă generală Recunoaşte tipologia folosită în producerea de mesaje scrise care conţin cuvinte şi construcţii simple. Candidatul poate să recunoască elemente specifice în vederea Competenţe specifice rezolvării unor cerinţe elementare de producere a mesajelor scrise. Materiale autentice: articole din ziare şi reviste, Surse pentru identificarea broşuri/materiale publicitare/pliante, materiale de pe reţeaua textelor Internet (cu drept public de folosire) etc. Texte sau citate din texte autentice, simple, în proză, pe Tipul textului tematici familiare, extrase din: paragrafe descriptive, paragrafe narative, interviuri, articole de presă etc. Lungimea textului cuvinte/text (+/- 10 %). Universul tematic al Familie, şcoală, activităţi din timpul liber, mâncare, muzică, textului a) general divertisment, literatură. mass-media, călătorii, sport, cumpărături, b) cu specific militar general Formatul textului Noţiuni de bază întâlnite în mass-media internaţională: grade militare, activităţi cotidiene etc. Itemi cu alegere multiplă (patru variante posibile, o singură variantă din cele patru reprezentând răspunsul corect). Număr de itemi 10 itemi. Punctaj acordat Câte 0,2 puncte pentru fiecare item corect rezolvat. 3 din 3

4 2. MATEMATICĂ CLASA a IX- a Competenţe specifice 1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor. 2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate. 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calcului cu numere reale. 4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice. 5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematicii şi al teoriei mulţimilor. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii, şiruri, progresii. 2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora. 3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionament inductive. 4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora. 5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe prin raţionament de tip inductiv. 6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe N. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia. 2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor. 3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări. 4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate. Mulţimi şi elemente de logică matematică: Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale; Inducţia matematică. Şiruri: Modalităţi de a defini un şir. Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie. Suma primilor n termeni ai unei progresii. Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică pentru n 3. Funcţii; lecturi grafice: Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane. Drepte în plan de forma x = m sau y = m, cu m R. Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi 4 din 4

5 Competenţe specifice 5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică. 6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite. 2. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor. 4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică. 5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei. 6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului. 1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică. 2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative). 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii de gradul al II-lea prin condiţii algebrice sau geometrice. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru grafice; egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii. Funcţii numerice ( F = { f : D R, D R}) ; reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma = g( x) (, <, >, ) ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate, imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x = m, m R, periodicitate. Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice. Funcţia de gradul I: Definiţie; Reprezentarea grafică a funcţiei: f : R R, = ax+ b, b R. Intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0. Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f ( x1) f ( x2 ) (sau prin studierea semnului raportului f ( x ) f ( x ) 1 2, x1, x2 R, x x 1 2). x1 x2 Inecuaţii de forma ax + b 0 (<, >, ) studiate pe R sau pe intervale de numere reale. Poziţia relativă a două drepte, sisteme de ax + by = c ecuaţii de tipul, mx + ny = p a, b, c, m, n, p R. Sisteme de inecuaţii de gradul I. Funcţia de gradul al II-lea: Reprezentarea grafică a funcţiei: 2 f : R R, = ax + bx + c, a, b, c R, a 0, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0, simetria faţă de drepte de forma x = m, cu m R. Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor x + y = s de forma, s, p R. xy = p 5 din 5

6 Competenţe specifice caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii. 6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice. 2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate. 3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice. 5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea. 6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare. 1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte. 2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date. 3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date. 6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică. 1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan. 2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date. 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată. Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea: Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f ( x1) f ( x2 ) sau prin rata creşterii/descreşterii: f ( x1 ) f ( x2 ), x1, x2 R, x1 x2, punct de x1 x2 extrem (vârful parabolei). Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma 2 ax + bx + c 0, (, <, > ), cu a, b, c R, a 0, studiate pe R sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe). Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma mx + n = y, a, b, c, m, n R 2. ax + bx + c = y Vectori în plan Segment orientat, vectori, vectori coliniari. Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari nenuli. Coliniaritate, concurenţă, paralelism calcul vectorial în geometria plană: Vectorul de poziţie al unui punct. Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism). Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi). Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva. 6 din 6

7 Competenţe specifice 5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice. 6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme. 1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric. 2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice. 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice. 4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric. 5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice. 6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor. 1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie. 2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii. 3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia. 4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare. 5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice. Elemente de trigonometrie: Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin, cos:[0,2π ] [ 1,1 ], π tg :[0, π ] \ R, ctg: (0, π ) R 2 Definirea funcţiilor trigonometrice: sin : R [ 1,1], cos : R [ 1,1], π tg : R \ D R, cu D = + kπ k Z, 2 ctg : R \ D R, cu D = { kπ k Z} Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin( a + b), sin( a b), cos( a + b), cos( a b), sin2a, cos2a, sina + sinb, sina sinb, cosa + cosb, cosa cosb (transformarea sumei în produs). Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană: Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare. Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii. 7 din 7

8 CLASA a X- a Competenţe specifice 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice. 2. Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate). 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice. Mulţimi de numere: Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv, aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale. Radical dintr-un număr raţional, n 2, proprietăţi ale radicalilor. Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare. Mulţimea C. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real. Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate. Funcţii şi ecuaţii Funcţia putere: n f : R D, = x, n N şi n 2 Funcţia radical: n f : D R, = x, n N şi n 2, unde D = [ 0, ) pentru n par şi D = R pentru n impar. Funcţia exponenţială x f : R (0, ), = a, a (0, ), a 1 şi funcţia logaritmică f : (0, ) R, = log x, a (0, ), a 1 creştere exponenţială, creştere logaritmică. Funcţii trigonometrice directe şi inverse. Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate. Funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă. Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor: 1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3; 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice; 3. Ecuaţii trigonometrice: sinx = a, cosx = a, a [ 1,1], tgx = a, ctgx= a R, sin = sing( x), cos = cosg( x), a 8 din 8

9 Competenţe specifice 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv. 4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă cu conţinut practic cu ajutorul elementelor de combinatorică. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor probleme în scopul optimizării rezultatelor. tg = tg g( x), ctgf( x) = ctg g( x). Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate/convexitate. Metode de numărare Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor f : A B, unde A şi B sunt mulţimi finite. Permutări numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente; numărul funcţiilor bijective f : A B, unde A şi B sunt mulţimi finite. Aranjamente numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m n care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite; - numărul funcţiilor injective f : A B, unde A şi B sunt mulţimi finite. Combinări numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0 k n ale unei mulţimi finite cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente. Binomul lui Newton. 9 din 9

10 CLASA a XI - a Competenţe specifice 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice. 4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic). 1. Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii. 5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi. 6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice. Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare: Matrice Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice. Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi. Determinanţi Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi. Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan. Sisteme de ecuaţii liniare Matrice inversabile din M n (C), n = 2,3. Ecuaţii matriceale. Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar. Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare. Elemente de analiză matematică Limite de funcţii Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile + şi. Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale. Calculul limitelor pentru: funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere ( n = 2, 3 ), funcţia radical ( n = 2, 3 ), funcţia raport de 2 funcții cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii: 0/0, /, 0, -, 1, 0, 0 0. Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice. Funcţii continue Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue. Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale. 10 din 10

11 Competenţe specifice Funcţii derivabile Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile. Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi II pentru funcţiile studiate. Regulile lui l Hospital pentru cazurile: 0/0, /. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor Rolul derivatelor de ordinul I şi al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate. Reprezentarea grafică a funcţiilor. Notă: Se utilizează exprimarea proprietatea lui, regula lui, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei. CLASA a XII - a Competenţe specifice 1.Recunoaterea structurilor algebrice, a mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice. 2. Identificarea unei structuri algebrice, prin verificarea proprietăţilor acesteia. 3. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri. 4. Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism. 5. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice. 6. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice. 7. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice. 8. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date. 9. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial. 10. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor. Elemente de algebră Grupuri Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei. Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n. Morfism şi izomorfism de grupuri. Inele si corpuri Inel, exemple: inele numerice ( Z, Q, R, C), Zn, inele de matrice, inele de funcţii reale. Corp, exemple: corpuri numerice ( Q, R, C), Z p, p prim. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( Q, R, C, Z p, p prim) Forma algebrică a unui polinom, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar). Teorema împărţirii cu rest; împărţirea cu X a, schema lui Horner. Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout, c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unui polinom în factori ireductibili. Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui 11 din 11

12 Competenţe specifice 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia. 2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor. 5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a volumului unui corp, folosind calculul integral, şi compararea rezultatelor cu cele obţinute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie. 6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practice. Viète pentru polinoame de grad cel mult 4. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi în Z, Q, R, C, ecuaţii binome, ecuaţii reciproce,ecuaţii bipătrate. Elemente de analiză matematică Probleme care conduc la noţiunea de integrală. Primitive (antiderivare) Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale. Integrala definită Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz Newton. Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare. Metode de calcul ale integralelor definite: cunoscute din geometrie integrarea prin părţi, integrarea prin schimbarea de variabilă. Calculul integralelor de forma b P( x) dx, grad Q 4 prin metoda Q( x) a descompunerii în fracţii simple. Aplicaţii ale integralei definite Aria unei suprafeţe plane. Volumul unui corp de rotaţie. Notă: Se utilizează exprimarea proprietate sau regulă, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei. 12 din 12

13 3. LIMBA ROMÂNĂ ŞI COMUNICARE Notă. le de mai jos vizează: - aplicarea, în diverse situaţii de comunicare, a normelor ortografice, ortoepice, de punctuaţie, morfosintactice şi folosirea adecvată a unităţilor lexico-semantice; - aplicarea cunoştinţelor de limbă, inclusiv a celor dobândite în ciclul gimnazial, în exprimarea corectă şi în receptarea textelor studiate sau la prima vedere. Niveluri de constituire a mesajului Nivelul fonetic - pronunţii corecte/incorecte ale neologismelor; - hiat, diftong, triftong; accentul; - cacofonia; hipercorectitudinea; - pronunţare/lectura nuanţată a enunţurilor (ton, pauză, intonaţie). Nivelul lexico-semantic - variante lexicale; - câmpuri semantice; - erori semantice: pleonasmul, tautologia, confuzia paronimică; - derivate şi compuse (prefixe, sufixe, prefixoide, sufixoide), schimbarea categoriei gramaticale; - relaţii semantice (polisemie; sinonimie, antonimie, omonimie); - sensul corect al cuvintelor (în special al neologismelor); - unităţi frazeologice (locuţiuni şi expresii); - câmpuri semantice şi rolul acestora în interpretarea mesajelor scrise şi orale; - sensul cuvintelor în context; sens denotativ şi sens conotativ. Nivelul morfosintactic - forme flexionare ale părţilor de vorbire (pluralul substantivelor, articularea substantivelor, forme cazuale; forme flexionare ale verbului; adjective fără grade de comparaţie; numerale etc.); valori expresive ale părţilor de vorbire; mijloace lingvistice de realizare a subiectivităţii vorbitorului; - elemente de acord gramatical; (între predicat şi subiect acordul logic, acordul prin atracţie; acordul atributului cu partea de vorbire determinată); - elemente de relaţie (prepoziţii, conjuncţii, pronume/adjective pronominale relative, adverbe relative). Nivelul ortografic şi de punctuaţie - norme ortografice şi de punctuaţie în constituirea mesajului scris (scrierea corectă a cuvintelor, scrierea cu majusculă, despărţirea cuvintelor în silabe, folosirea corectă a semnelor de ortografie şi de punctuaţie); - rolul semnelor ortografice şi de punctuaţie în înţelegerea mesajelor scrise. Nivelul stilistico-textual - registre stilistice (standard, colocvial, specializat etc.) adecvate situaţiei de comunicare; - coerenţă şi coeziune în exprimarea orală şi scrisă; - tipuri de texte şi structura acestora: narativ, descriptiv, informativ, argumentativ; - stiluri funcţionale adecvate situaţiei de comunicare; - limbaj standard, limbaj literar, limbaj colocvial, limbaj popular, limbaj regional, limbaj arhaic; argou, jargon; - stil direct, stil indirect, stil indirect liber; - rolul figurilor de stil şi al procedeelor artistice în constituirea sensului; - rolul elementelor arhaice şi regionale în receptarea mesajelor. 13 din 13

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ. CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a şi a VIII-a

MATEMATICĂ MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ. CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a şi a VIII-a MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ MATEMATICĂ CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a şi a VIII-a Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE Actuala programă

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ - PROGRAMA 2

MATEMATICĂ - PROGRAMA 2 Programa şcolară a fost aprobată prin ordinul ministrului nr. 3252/ 13.02.2006 (Anexa 2) MATEMATICĂ - PROGRAMA 2 Filiera teoretică, profil real, specializarea ştiinţe ale naturii: 3 ore / săpt. (TC + CD)

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9 Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CICLUL SUPERIOR AL LICEULUI CLASA A XI-A 1

PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CICLUL SUPERIOR AL LICEULUI CLASA A XI-A 1 Anexa 2 la ordinul ministrului educaţiei şi cercetării nr. 3252/ 13.02.2006 M I N I S T E R U L E D U C A Ţ I E I Ş I C E R C E T Ă R I I CONSILIUL NAŢIONAL PENTRU CURRICULUM PROGRAME ŞCOLARE PENTRU CICLUL

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 30. Transmisii prin lant

Capitolul 30. Transmisii prin lant Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Metode de caracterizare structurala in stiinta nanomaterialelor: aplicatii practice

Metode de caracterizare structurala in stiinta nanomaterialelor: aplicatii practice Metode de caracterizare structurala in stiinta nanomaterialelor: aplicatii practice Utilizare de metode complementare de investigare structurala Proba investigata: SrTiO 3 sub forma de pulbere nanostructurata

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr. I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 1. Problematica. Anul 1 Matematică cod MA1109 Matematică-Informatică cod MB1109

Cursul 1. Problematica. Anul 1 Matematică cod MA1109 Matematică-Informatică cod MB1109 Cursul 1. Problematica. Ce înseamnă Software matematic? Pentru a răspunde unei astfel de întrebare ar fi interesant să facem o incursiune în trecut. Acum mai bine de 15 ani cu toţii ne întrebam cum ar

Διαβάστε περισσότερα

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În

Διαβάστε περισσότερα