Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων 9. Προδιαγραφές παθητικών φίλτρων Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάστηκε µια µέθοδος σχεδίασης ενεργών φίλτρων κατά την οποία από τις προδιαγραφές υπολογίζεται αρχικά η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου µε µια προσέγγιση (π.χ. Chebyshev), η οποία µετά υλοποιείται συνδέοντας αλυσωτά κατάλληλες ενεργές βαθµίδες ης και ης τάξης. Χαρακτηριστικό στην σχεδίαση ενεργών φίλτρων µε την µέθοδο αυτή είναι ότι ο σχεδιαστής δεν ασχολείται καθόλου µε τα χαρακτηριστικά της προηγούµενης του φίλτρου βαθµίδας, που αποτελεί την "πηγή" του, ούτε και µε τα χαρακτηριστικά της επόµενης βαθµίδας (φορτίο). Αυτό οφείλεται στο ότι µε τους τελεστικούς ενισχυτές είναι εύκολο να αποµονωθεί το φίλτρο από τις συνδεόµενες σε αυτό βαθµίδες, οπότε τα χαρακτηριστικά τους δεν επηρεάζουν την συνολική συνάρτηση µεταφοράς. Αντίθετα, στην περίπτωση σχεδίασης παθητικών φίλτρων, η εσωτεριική αντίσταση της πηγής και η αντίσταση του φορτίου, είναι βασικοί παράγοντες που καθορίζουν την συµπεριφορά του φίλτρου και την αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς. Συνήθως θεωρούµε ότι ένα φίλτρο έχει στην είσοδό του µια πηγή τάσης µε ωµική εσωτερική αντίσταση R S και τροφοδοτεί ένα ωµικό φορτίο. Η διάταξη αυτή αποτελεί ένα διπλά, ωµικά τερµατισµένο δίθυρο. Από την σχέση 5 του πίνακα 8.3 του προηγούµενου κεφαλαίου, η συνάρτηση µεταφοράς στο διπλά τερµατισµένο δίθυρο συναρτήσει των παραµέτρων µετάδοσης ABCD του περεµβαλλόµενου διθύρου είναι: H(s) V (s) E(s) A %B%CR S %DR S Παρ όλο που οι παράµετροι µετάδοσης A, B, C και D του παθητικού δίθυρου, εξαρτώνται µόνον από το ίδιο το δίθυρο, τελικά η συνάρτηση µεταφοράς είναι εµφανές ότι εξαρτάται άµεσα και από τα R S και. Οι αντιστάσεις R S και είναι εποµένως φυσικό να αποτελούν παραµέτρους σχεδίασης και για την σύνθεση ενός παθητικού φίλτρου και δίνονται µε τις προδιαγραφές ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισµός της συνάρτησης µεταφοράς. Οι προδιαγραφές των παθητικών φίλτρων θα µπορούσαν να περιγράφονται µε τον ίδιο τρόπο που περιγράφνται και στα ενεργά φίλτρα, δηλ. µε τα χαρακτηριστικά κέρδους. Υπάρχουν όµως πολλοί λόγοι για τους οποίους οι προδιαγραφές των παθητικών φίλτρων περιγράφονται µε την ενεργό εξασθένηση της σχέση 8.7, όπως για παράδειγµα στο σχήµα 9., που δείχνει τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης ενός βαθυπερατού φίλτρου. Οι σχετικές ως προς την στάθµη Α ο ποσότητες Α max και Α min (σε db) ονοµάζονται αντίστοιχα µέγιστη επιτρεπόµενη εξασθένηση ΣΧΗΜΑ 9. στη ζώνη διέλευσης και ελάχιστη επιτρεπόµενη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής. Αναφερόµενοι στο σχήµα 9.α, απευθείας σύνδεσης της πηγής στο φορτίο, η µέγιστη ισχύς της πηγής είναι P MAX E(jω) ενώ η µέση πραγµατική ισχύς που καταναλίσκει το φορτίο υπό τάση 8R S 9 -

2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) V 0 (jω) E(jω) είναι P R s %R 0 V 0 (jω) L (R S % ) E(jω) 4R S (R S % ) P MAX ΣΧΗΜΑ 9.α Η ενεργός εξασθένηση στην περίπτωση αυτή είναι A ο 0log P max P 0 0log R S % R S H Α ο είναι ακριβώς η Α ο του σχήµατος 9. και αντιστοιχεί σε κέρδος τάσης G o V E R S %, που είναι το µέγιστο κέρδος που µπορεί να δώσει το κύκλωµα στη ζώνη διέλευσης και για R S = γίνεται G ο = 0.5. H Α ο είναι µηδενική µόνον όταν οι αντιστάσεις τερµατισµού είναι ίσες, δηλ. όταν R S =. Με την παρεµβολή του δίθυρου κυκλώµατος (σχήµα 9.β), η µέση καταναλισκόµενη ισχύς P στο φορτίο, θα ενόµιζε κανείς ότι είναι το πολύ ίση µε την P 0 αφού το παρεµβαλόµενο δίθυρο είναι παθητικό. ΣΧΗΜΑ 9.β Η θεώρηση όµως αυτή είναι λανθασµένη, αφού µε την παραµβολή του διθύρου, δίνεται πλέον η δυνατότητα να προσαρµοστεί η πηγή στην Z και να µεταφερθεί στο φορτίο η µέγιστη διαθέσιµη ισχύς της πηγής! Στην περίπτωση αυτή η ενεργός εξασθένηση θα είναι ίση µε µηδέν. Οι προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης µπορούν να υπολογιστούν από τις προδιαγραφές κέρδους και αντίστροφα από τις παρακάτω σχέσεις που αναφέρονται στο σχήµα 9.3. H o R S % 0 & A o A max A min H R C 0 H S 0 s A o 0log R S H o A max 0log H o H c A min 0log H o H S ΣΧΗΜΑ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η σχεδίαση ενός παθητικού βαθυπερατού φίλτρου µεταξύ πηγής (Ε, R Sο ) και φορτίου ο γίνεται από τις προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης, που φαίνονται στο σχήµα 9.4. Αν δίνονται σε άλλη µορφή, µετατρέπονται σε προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης. ΣΧΗΜΑ 9.4 Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, A o 0log R Sο %ο και τα Α max και Α min είναι σχετικά ως προς την Α ο. R Sο ο Συνήθως δίνονται η µέγιστη επιτρεπόµενη εξασθένηση στη ζώνη διέλευσης Α max και η ελάχιστη επιτρεπόµενη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής Α min, που είναι σχετικά ως προς την Α ο, η οποία καθορίζεται από τα δεδοµένα R S και. Στο σχήµα δηλ. 9.5, τα Α max και Α min είναι σχετικά ως προς την Α ο. ΣΧΗΜΑ 9.5 Οι προδιαγραφές συχνότητας και οι αντιστάσεις τερµατισµού κλιµακώνονται µε ω C και ο (κανονικοποίηση). Η κανονικοποίηση γίνεται για να ελαχιστοποιηθεί ο αριθµός των παραµέτρων σχεδίασης, αφού οδηγεί σε κανονικοποιηµένες προδιαγραφές µε µοναδιαία συχνότητα αποκοπής και µοναδιαίο φορτίο, όπως φαίνεται στο σχήµα 9.6. ΣΧΗΜΑ 9.6 Όταν ολοκληρωθεί η σχεδίαση του κανονικοποιηµένου φίλτρου, όλα τα στοιχεία θα πρέπει να αποκανονικοποιηθούν µε επίπεδο αντίστασης την επιθυµητή αντίσταση φορτίου και επίπεδο συχνότητας, την επιθυµητή συχνότητα αποκοπής, σύµφωνα µε το εδάφιο.4.3 (σχέση.6): 9-3

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) ωω C Ω RR n L L n ω C C ω C C n Στις επόµενες σελίδες, θα ασχοληθούµε µε τις κλασικές προσεγγίσεις των προδιαγραφών κανονικοποιηµένων βαθυπερατών φίλτρων και θα παρουσιάσουµε τις προσεγγίσεις Butterworth και Chebyshev, µε τις οποίες βρίσκουµε την µαθηµατική συνάρτηση της ενεργού εξασθένησης Α(Ω), που ικανοποιεί τις δεδοµένες προδιαγραφές. Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε την συνάρτηση µετάδοσης και από αυτήν την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης του τερµατισµένου διθύρου, την οποία θα συνθέσουµε µε τις γνωστές µεθόδους. Οπως και στην περίπτωση των ενεργών φίλτρων, θα εστιάσουµε την προσοχή µας στην σύνθεση βαθυπερατών φίλτρων, αφού η σχεδίαση παθητικών υψιπερατών, ζωνοδιαβατών φίλτρων καθώς και φίλτρων αποκοπής ζώνης ανάγεται και στην περίπτωση αυτή στην σχεδίαση ενός βαθυπερατού, το οποίο µπορεί να µετασχηµατιστεί µε τους αντίστοιχους µετασχηµατισµούς σε ΥΠ, Ζ ή ΑΖ. 9. Η προσέγγιση Butterworth Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης του βαθυπερατού φίλτρου, Α o Α max A min και Ω s R S (Ω c = και =) αναζητείται µια συνάρτηση εξασθένησης Α(Ω), η γραφική παράσταση της οποίας δεν θα παραβιάζει τις προδιαγραφές, µπαίνοντας σε γραµµοσκιασµένες περιοχές (σχήµα 9.7). ΣΧΗΜΑ 9.7 Αυτό φυσικά γίνεται µε την διαδικασία της προσέγγισης. Οι προσεγγίσεις που χρησιµοποιούνται στα παθητικά φίλτρα είναι αυτές που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 3, αλλά εδώ παρουσιάζονται ξανά λόγω των ιδιαιτεροτήτων που επιβάλλουν οι τερµατισµοί. Για την µονοτονική προσέγγιση Butterworth, προκειµένου να προσδιοριστεί µια συνάρτηση Α(Ω) που να ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές του σχήµατος 9.7, χρησιµοποιείται η µονοτονική συνάρτηση A B (Ω)A o %0log %β Ω n µε β 0 A max 0 & και A o 0log R S % R S (9.3) µε n θετικό ακέραιο αριθµό, η οποία γιά Ω=0 είναι εξ ορισµού A B (0) = A ο και γιά Ω= παίρνει τιµή A B () = A o + A max λόγω της τιµής του β, η οποία έχει επιλεγεί ακριβώς για να δίνει A B () = A o + A max. Η ενεργός εξασθένηση της προσέγγισης µπορεί φυσικά να γραφτεί και ως A B (Ω)0log R S % R S %β Ω n (9.4) 9-4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Στις παραπάνω σχέσεις, επειδή πρόκειται για κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, έχουµε φυσικά ότι =, τιµή που χρησιµοποιείται σε όλες τις επόµενες σχέσεις. ΣΧΗΜΑ 9.8 Η A B (Ω) είναι µονοτονικά αύξουσα. Αποδεικνύεται επίσης ότι όλες οι n- παράγωγοί της µηδενίζονται γιά Ω=0 και εποµένως η γραφική της παράσταση είναι όσο γίνεται πιό επίπεδη για Ω=0, γεγονός στο οποίο οφείλεται η ονοµασία της προσέγγισης ως µέγιστα επίπεδης (maximally flat). Τελικώς, η συνάρτηση Butterworth A B (Ω) της σχέσης 9.3 ικανοποιεί τις προδιαγραφές από Ω=0 έως Ω= σύµφωνα µε το σχήµα 9.8, αλλά όχι κατ ανάγκην και γιά Ω >, πράγµα που θα γίνει µόνον αν υποχρεώσουµε την καµπύλη να έχει A B (Ω S ) $ Α ο +Α min. Από την ανισότητα αυτή υπολογίζεται ότι: Α min 0 & log 0 β n$n MIN logω S log 0 Αmin 0 & Α max 0 & 0 logω S (9.5) Επειδή το n πρέπει να είναι ακέραιος αριθµός, λαµβάνεται ως ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την n $n MIN µε αποτέλεσµα A B (Ω S ) $ A o +A min. Μόνον στην σπάνια περίπτωση που υπολογιστεί ότι ο n MIN είναι ακέραιος µπορεί να ληφθεί n = n MIN οπότε A B (Ω S )=A o +A min. Από την 9.5 γίνεται σαφές ότι η τάξη της προσέγγισης µεγαλώνει όσο το Ω s τείνει προς την µονάδα και απειρίζεται όταν Ω s =. Οσο δηλ. πιό στενή ζώνη µετάβασης ορίζουν οι προδιαγραφές, τόσο πιό µεγάλο είναι το n. Επίσης εύκολα παρατηρεί κανείς ότι όσο το A max τείνει στο 0 ή όσο µεγαλώνει το Α min, µεγαλώνει και το n. Οι παρατηρήσεις αυτές επιβεβαιώνουν το γεγονός ότι δεν είναι εφικτή η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών βαθυπερατού φίλτρου µε πεπερασµένο n. Εποµένως η συνάρτηση A B (Ω)A o %0log %β Ω n 0log ΣΧΗΜΑ 9.9 R S %R A max L %β Ω n µε β 0 0 & R S και n $n MIN που 9-5

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) ικανοποιεί την παραπάνω σχέση 9.5, ικανοποιεί τις προδιαγραφές εξασθένησης µε τον τρόπο που φαίνεται στο σχήµα 9.9. Αναφερόµενοι στο σχήµα 9.9, η συχνότητα Ω 3dB, στην οποία η εξασθένηση γίνεται ίση µε Α ο +3 db, (δηλ. η εξασθένηση αυξάνεται κατά 3dB από την τιµή γιά Ω=0), υπολογίζεται ότι είναι: Ω 3dB (9.6α) β Η συχνότητα αυτή είναι ίση µε όταν A max =3, µεγαλύτερη από την µονάδα όταν A max <3, ενώ είναι µικρότερη από την µονάδα όταν A max >3 Ενα χαρακτηριστικό µέτρο της ζώνης αποκοπής των φίλτρων είναι ο ρυθµός αποκοπής που δηλώνει τον ρυθµό µε τον οποίο αυξάνει η εξασθένηση. Ο ρυθµός αποκοπής µετριέται σε db/octave. Ετσι ένα φίλτρο µε ρυθµό αποκοπής 8 db/octave σηµαίνει ότι στη ζώνη αποκοπής η εξασθένηση αυξάνει µε ρυθµό 8 db γιά κάθε διπλασιασµό της συχνότητας. Ο ρυθµός αποκοπής στα φίλτρα µε απόκριση Butterworth είναι άµεσα συνδεµένος µε την τάξη του φίλτρου όπως θα δούµε παρακάτω. Γιά να υπολογίσουµε τον ρυθµό αποκοπής θα υπολογίσουµε την εξασθένηση στην συχνότητα Ω και Ω µε το Ω σηµαντικά µεγαλύτερο από την Ω s πράγµα που εξασφαλίζει ότι βρισκόµαστε στη ζώνη αποκοπής. Η διαφορά των εξασθενήσεων θα είναι: A B (Ω ) & A B (Ω ) 0log % β (Ω ) n & 0log % β Ω n Επειδή όµως Ω >> µπορούµε να γράψουµε: A B (Ω ) & A B (Ω ) 0log β (Ω ) n & 0log β Ω n και τελικά χρησιµοποιώντας µερικές ιδιότητες των λογαρίθµων n A B (Ω ) & A B (Ω ) 0log n Ω n Ω n n0log 6n db (9.6β) Γιά διπλασιασµό λοιπόν της συχνότητας στη ζώνη αποκοπής, η ενεργός εξασθένηση αυξάνεται κατά 6n db και έτσι λέµε ότι στα φίλτρα Butterworth, ο ρυθµός αποκοπής είναι 6n db/octave. ΣΧΗΜΑ 9.0 Ο ρυθµός αποκοπής δίνει εποµένως εµµέσως αλλά σαφώς την τάξη του φίλτρου σε βαθµό που πολλές φορές να µιλάµε π.χ. γιά φίλτρο 30 db/octave αντί γιά φίλτρο 5ης τάξης. Η σχέση αυτή ρυθµού αποκοπής και τάξης του φίλτρου θα δούµε παρακάτω ότι ισχύει και γιά τα άλλα πολυωνυµικά φίλτρα, που έχουν ολοπολικές συναρτήσεις µεταφοράς. 9-6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9. Να βρεθεί η συνάρτηση εξασθένησης A B (ω) Butterworth που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του σχήµατος 9.α. ΣΧΗΜΑ 9. Το Α ο καθορίζεται από τις αντιστάσεις τερµατισµού και είναι: A o 0log R S % 0.5 db, R S ο τρόπος µε τον οποίο δίνονται οι προδιαγραφές δεν είναι σαφής ως προς το αν οι εξασθενήσεις είναι απόλυτες ή σχετικές ως προς το Α ο. Το δηλ. είναι το A max ή το A o +A max ; Συνήθως όταν οι προδιαγραφές δίνονται έτσι, υπονοείται ότι είναι σχετικές ως προς το A o, παρ όλα αυτά στην συγκεκριµένη εφαρµογή ας θεωρήσουµε ότι οι εξασθενήσεις που δίνονται είναι απόλυτες, δηλ. A max = =0.446 db και A min =6-05 = db Τονίζεται πάντως ότι πρέπει πάντοτε να διευκρινίζεται αν τα δεδοµένα είναι απόλυτες ή σχετικές εξασθενήσεις. Από το σχήµα 9.α, είναι προφανές ότι: ω C =π3000 rad/sec και ω S =π9000 rad/sec. Κανονικοποιούµε µε ω C =π3000 rad/sec και, οπότε οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι: Ω C =, Ω S =3, A ο =0.5 db, A max =0.446 db και A min =5.488 db, =, R S =0.5 Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές φαίνονται στο σχήµα 9.β Για να υπολογίσουµε την A(Ω) που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, αρκεί να υπολογίσουµε το β και το n. Από την 9.3 έχουµε: β A max 0 & &0.389 β Από την 9.5 παίρνουµε: n$n MIN log 0 A min 0 & β logω S log & log Επιλέγουµε τον µικρότερο ακέραιο που ικανοποιεί την σχέση για το n, δηλ. n=4 και τελικά: A(Ω)0log %0.0854Ω 8 0log %0.0854Ω 8 Φυσικά η συνάρτηση εξασθένησης που ικανοποιεί τις αρχικές, µη κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι η A ω ω C 0log % ω ω C 8 όπου ω C =π3000 rad/sec Στο σχήµα φαίνεται πως οι παραπάνω υπολογισµοί γίνονται στο Mathcad, στο οποίο ελέγχεται πολύ εύκολα και η γραφική παράσταση της εξασθένησης. 9-7

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) Μέχρι στιγµής, µε την προσέγγιση Butterworth, έχουµε εντοπίσει µια µαθηµατική συνάρτηση ενεργού εξασθένησης A(Ω) A(Ω)A o %0log %β Ω n 0log R S % R S %β Ω n µε γνωστά β και n, η οποία ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές µε µονοτονικό τρόπο. Το επόµενο βήµα θα πρέπει να είναι η σύνθεση ενός κυκλώµατος που θα έχει την ενεργό αυτή εξασθένηση. Η συνάρτηση µετάδοσης έχει οριστεί στο προηγούµενο κεφάλαιο ως Τ(s) R S E(s) V (s) που είναι η αντίστροφη συνάρτηση µεταφοράς, H(s) V (s) R κλιµακωµένη µε τον όρο L. Αν η E(s) συνάρτηση µετάδοσης του προς σύνθεση κυκλώµατος είναι T(s), τότε επειδή Α(Ω) 0log(T(jΩ)) και από την προσέγγιση A(Ω)0log R S % %β Ω n, είναι προφανές ότι R S R S 9-8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ T(jΩ) R S % %β Ω n και T(jΩ) R S % %β Ω n R 4R S S Από το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης του προς σύνθεση κυκλώµατος, µπορεί πλέον να υπολογιστεί από την 8.7 ο συντελεστής ανάκλασης και από την 8.8 η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z (s) του κυκλώµατος, από την οποία θα συντεθεί το κύκλωµα µε τις κλασικές µεθόδους σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι, αφού το τετράγωνο του µέτρου της συνάρτησης µετάδοσης είναι τάξης n, η συνάρτηση µετάδοσης θα είναι τάξης n. Τάξης n θα είναι τελικά και η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου, πράγµα που σηµαίνει ότι και το κύκλωµα θα είναι τάξης n. Το σηµαντικότερο όµως είναι ότι η Z (s) αποδεικνύεται ότι µπορεί να συντεθεί ως ένα κανονικό τερµατισµένο µε την κλιµακωτό δίθυρο LC µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους. Κανονικό σηµαίνει ότι το άθροισµα του αριθµού των πηνίων και του αριθµού των πυκνωτών είναι ίσο µε την τάξη n. Αποδεικνύεται επίσης ότι οι τιµές των n στοιχείων, µόνον όταν οι τερµατισµοί είναι ίσοι δηλ. R S =, δίνονται από τη σχέση: t k & π για k,,...n (9.8) n Για τις τιµές των στοιχείων στην περίπτωση που έχουµε άνισους τερµατισµούς, δεν υπάρχουν αναλυτικοί τύποι. Οι τιµές µπορούν να υπολογιστούν µε τρεις τρόπους:. Με ανάλυση του κυκλώµατος, του οποίου γνωρίζουµε την τοπολογία (κλιµακωτό τάξης n µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους) και εξίσωση του µέτρου της υπολογιζόµενης συνάρτησης µετάδοσης µε αυτό που δίνει η προσέγγιση.. Με υπολογισµό και σύνθεση της οδηγούσας συνάρτησης Z (s). 3. Με την βοήθεια πινάκων. Θα ασχοληθούµε και µε τις τρεις µεθόδους αλλά αρχικά παρουσιάζονται δύο εφαρµογές της πρώτης µεθόδου ενώ ακολουθεί η µέθοδος της σύνθεσης και σε ειδικό εδάφιο, η χρήση πινάκων. 9.. Υπολογισµός των τιµών µε ανάλυση Η προσέγγιση Butterworth µας έχει δώσει την τάξη του φίλτρου και το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης. Θεωρώντας ως δεδοµένο ότι το φίλτρο είναι τελικά κλιµακωτό µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, όπως αποδεικνύεται στα επόµενα εδάφια, και επιπροσθέτως ότι έχουµε τόσους κλάδους L και C όση είναι η τάξη της προσέγγισης, είναι γνωστή και η τοπολογία του τελικού κυκλώµατος. Από το κύκλωµα, στο οποίο είναι άγνωστες οι τιµές των επεγωγέων και των πυκνωτών, υπολογίζεται η συνάρτηση µετάδοσης και το µέτρο της ταυτοποιείται µε αυτό που έδωσε η προσέγγιση. Από την ταύτιση των συντελεστών των δύο πολυωνύµων, προκύπτουν οι τιµές των στοιχείων. Η διαδικασία γίνεται σαφής µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9. Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworth που να λειτουργεί µεταξύ πηγής εσωτερικής αντίστασης 600Ω και φορτίου 600Ω, εισάγοντας εξασθένηση που δεν υπερβαίνει τα 3 db γιά συχνότητες µέχρι 5 KHz, ενώ για συχνότητες µεγαλύτερες από 6 KHz η εξασθένηση είναι µεγαλύτερη από 0 db. Το πρώτο βήµα είναι πάντοτε η αναγνώριση των προδιαγραφών και η κανονικοποίησή τους έτσι που το κανονικοποιηµένο φίλτρο να έχει µοναδιαίο φορτίο και µοναδιαία συχνότητα αποκοπής. Αναγνωρίζουµε λοιπόν ότι στο φίλτρο που πρέπει να σχεδιαστεί: R S = =600Ω, A max =3 db, A min =0dB, ω C =π5000 και ω S =π6000. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω C =π5000 και R o = = 600 Ω, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές δηλ. =R s =, Ω C =, Ω S = 4., µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Η τάξη του (9.7) 9-9

10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) φίλτρου υπολογίζεται από την σχέση 9.5 n $ log & & log(3.).977 Y n 3 Γιά το β έχουµε β 0 0 & Το φίλτρο λοιπόν θα είναι ης τάξης, θα έχει δηλ. ένα πηνίο και ένα πυκνωτή όπως φαίνεται στο σχήµα 9.α και 9.β µε το πηνίο σε κλάδο σειράς και τον πυκνωτή σε παράλληλο κλάδο. Τα δύο κυκλώµατα είναι δυϊκά. Αναλύοντας το πρώτο κύκλωµα (α) βρίσκουµε: T(s) ΣΧΗΜΑ 9. R S E(s) V (s) [s L C % s(c % L ) % ] Από την 9.7 έχουµε ότι το µέτρο της ενεργού συνάρτησης µετάδοσης T(s) θα πρέπει να είναι ίσο µε αυτό της προσέγγισης Butterworth γιά n=: T(jΩ) R S % R S %β Ω n T(jΩ) ( & Ω C L ) % Ω (C % L ) / % β Ω 4 ] Ω 4 C L %Ω C &L %4/4Ω 4 %4 ] C L και C L ] L.44 και C.44 Επειδή έχουµε ίσους τερµατισµούς θα µπορούσαµε φυσικά να υπολογίσουµε τις τιµές των στοιχείων και από την σχέση 9.8 και φυσικά θα ήταν οι ίδιες µε αυτές που βρήκαµε (υπολογίστε τις). Η σχεδίαση του φίλτρου θα τελειώσει µε την αποκανονικοποίηση ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει π5000 και το φορτίο 600Ω. Οι αποκανονικοποιηµένες τιµές υπολογίζονται και είναι C =74.935nF και L =7mH και το τελικό αποκανονικοποιηµένο φίλτρο φαίνεται στο σχήµα 9.γ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.3 Να σχεδιστεί βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworth που να λειτουργεί µεταξύ πηγής εσωτερικής 9-0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ αντίστασης KΩ και φορτίου KΩ, εισάγοντας εξασθένηση που δεν υπερβαίνει το 0.5 db γιά συχνότητες µέχρι 5 KHz, ενώ για συχνότητες µεγαλύτερες από 0 KHz η εξασθένηση είναι µεγαλύτερη από 5 db. Αναγνωρίζουµε ότι στο φίλτρο που πρέπει να σχεδιαστεί: R S = =ΚΩ, A max =0.5 db, A min =5dB ω C =π5000 και ω S =π0000. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω C =π5000 και R 0 = =000, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές δηλ. =R S =, Ω C =, Ω S =4 µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Η τάξη του φίλτρου υπολογίζεται από την n $ 5 log 0 0 & & log(4).83 Y n3 Το φίλτρο λοιπόν θα είναι 3ης τάξης, θα έχει δηλ. δύο πηνία και ένα πυκνωτή ή δύο πυκνωτές και ένα πηνίο, όπως φαίνεται στο σχήµα 9.3α και β µε το πηνίο σε κλάδο σειράς και τους πυκνωτές σε παράλληλο κλάδο. Τα δύο κυκλώµατα είναι δυϊκά. T(s) R s E(s) V (s) C L C 3 ΣΧΗΜΑ 9.3 Αναλύοντας το πρώτο κύκλωµα µπορούµε να βρούµε την H(s): s 3 % L (C % C 3 ) s % C % L % C 3 s % Το µέτρο της ενεργού συνάρτησης µετάδοσης που υπολογίσαµε θα πρέπει να είναι ίσο µε αυτό της προσέγγισης Butterworth γιά n=3: T(jΩ) %β Ω 6 / &Ω (C %C 3 )L (C %Ω %L %C 3 ) &Ω C L C 3 Το β υπολογίζεται να είναι β= Από την ταύτιση βρίσκουµε C =C 3 = και L = Επειδή έχουµε ίσους τερµατισµούς θα µπορούσαµε φυσικά να υπολογίσουµε τις τιµές των στοιχείων και από τους τύπους που δόθηκαν παραπάνω και φυσικά θα ήταν οι ίδιες µε αυτές που βρήκαµε (υπολογίστε τις). Η σχεδίαση του φίλτρου θα τελειώσει µε την αποκανονικοποίηση ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει π5000 και το φορτίο 000 Ω. Οι αποκανονικοποιηµένες τιµές υπολογίζονται και είναι: C =C 3 =.43nF και L =44.86mH. Στο σχήµα 9.3γ φαίνεται το τελικό αποκανονικοποιηµένο κύκλωµα και η καµπύλη ενεργού εξασθένησης. Το κανονικοποιηµένο κύκλωµα όπως υπολογίστηκε θα έχει φυσικά Α()=0.5 db. Το αποκανονικοποιηµένο θα έχει Α(π5000)=0.5dB. 9 -

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) 9.. Η συνάρτηση µετάδοσης T(s) των κανονικοποιηµένων ΒΠ Butterworth Οταν γνωρίζουµε από την προσέγγιση το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης του κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου (σχέση 9.7) T(jΩ) R S % %β Ω n ή T(jΩ) R S % %β Ω n R 4R S S γιά να συνεχιστεί η σύνθεση πρέπει να υπολογιστεί η ίδια η συνάρτηση µετάδοσης Τ(s), για την οποία γνωρίζουµε ότι ο αριθµητής της είναι πολυώνυµο Hurwitz, αφού ο παρονοµαστής της συνάρτησης µεταφοράς είναι Hurwitz, δεν έχει δηλαδή ρίζες στο δεξί ηµιεπίπεδο. Ο υπολογισµός της Τ(s) βασίζεται στη σχέση.7 του κεφαλαίου : Τ(s)Τ(&s) Τ(jΩ) Ω &s (Στην αντικατάσταση της µεταβλητής, χρησιµοποιείται ισοδύναµα Ω = -s ή Ω = - js) Βάζοντας στην παραπάνω σχέση το αποτέλεσµα της προσέγγισης T(jΩ) R S % %β Ω n, παίρνουµε: 4R S Τ(s)Τ(&s) R S % 4R S %β Ω n / Ω &s R S % β 4R S β %(&s ) n (9.9) Οι ρίζες της T(s)T(-s) είναι οι ρίζες της δηλ. ενός δυωνύµου της µορφής, όπου β %(&s ) n x n % β x&s. Οι ρίζες του δυωνύµου, είναι φυσικά οι ρίζες της εξίσωσης x n % β και εποµένως οι ρίζες είναι: n x k x n & & 0 όπου & β β jπ βe β e j k% n π µε k0,,,...n& (Βλέπε σχετικά σχέση. στο εδάφιο. του κεφαλαίου ) Επειδή έχουµε θέσει x = - s, θα έχουµε s n k & β e j k% n π n β e j k% n π%π µε k0,,,...n& όπου το αρνητικό πρόσηµο απερροφήθη προσθέτοντας π στη γωνία. Τελικά βρίσκουµε ότι οι n ρίζες της είναι: β %(&s ) n 0 n s k% β e j k% n π% π n και s k& β e j k% n π& π µε k0,,,...n& Οι ρίζες αυτές είναι µηδενικά της Τ(s)Τ(-s). Σηµειώνεται ότι δεν υπάρχουν ρίζες στον jω-άξονα και ότι πραγµατική ρίζα υπάρχει µόνον για περιττά n µε τιµή n ±. Οι n ρίζες s k+ είναι όλες στο αριστερό β 9 -

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ π ηµιεπίπεδο αφού < k% n π% π < 3π για όλα τα k0,,...n& ενώ όλες οι n ρίζες s k- βρίσκονται στο δεξί ηµιεπίπεδο. Αξιοποιώντας τα συµπεράσµατα αυτά, η 9.9 Τ(s)Τ(&s) R S % β n& γράφεται k (s&s k% ) R S % β n& k (s&s k& ) R k0 S R k0 S ρίζες ΑΗ ρίζες Η από την οποία αναγνωρίζεται η Τ(s) ως: Τ(s) R S % β n& k (s&s k% ) R k0 S (9.0α) T(s) R S % β s&β n e j π n % π s&β n e j 3π n % π... s&β n e j (n&)π % π n R S Οι ρίζες της T(s) (µηδενικά της Τ(s) και εποµένως πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς που είναι ολοπολική) δίνονται από την σχέση: n s k% και βρίσκονται σε έναν κύκλο ακτίνας β e j k% n π% π A max. Γιά k=0, παίρνουµε την πρώτη ρίζα µε γωνία π, όπως δείχνει το σχήµα 9.4. n n β µε k0,,,...n& (9.0β), όπου το β δίνεται από την 9.3 και εξαρτάται µόνον από το π % π n και οι επόµενες "απέχουν" από αυτόν κατά γωνία ΣΧΗΜΑ 9.4 ΣΧΗΜΑ 9.5 Στο σχήµα 9.5 φαίνονται οι ρίζες της συνάρτησης µετάδοσης Butterworth για n=3 και n=4. Με µια µικρή ρύθµιση του δείκτη k ώστε να µεταβάλλεται από k=,,...n, η συνάρτηση µετάδοσης ΒΠ φίλτρων Butterworth είναι: Τ(s) R S % β n k R k S n (s&s k% ) µε s k% β e j k%n& π n για k,,..n (9.) 9-3

14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) 9..3 Συναρτήσεις µετάδοσης προτύπων βαθυπερατών φίλτρων Butterworth Αν θεωρήσουµε την περίπτωση της προσέγγισης πρωτυποποιηµένων προδιαγραφών, δηλ. A()A o %3 db, τότε A max = 3 db και β = και η συνάρτηση µετάδοσης των προτύπων φίλτρων Butterworth δίνεται από την σχέση: Τ nbut (s) R S % n k R k S (s&s k% ) µε s k% e j k%n& π n για k,,..n από την οποία µπορούµε να πάρουµε τον πίνακα συναρτήσεων µετάδοσης πρότυπων φίλτρων Butterworth (Πίνακας 3.Ι), ο οποίος είναι ιδιαίτερα χρήσιµος και στην σχεδίαση παθητικών φίλτρων µε µέγιστα επίπεδη απόκριση Butterworth. Αν οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές απαιτούν A max 3 τότε β, οι αντίστοιχες συναρτήσεις µετάδοσης θα είναι απλώς κλιµακωµένες ως προς την συχνότητα δηλαδή Τ(s)Τ nbut s R S % N Ω 3dB R S s Ω 3dB όπου Ω 3dB β n ΠΙΝΑΚΑΣ 9.Ι: Συνάρτηση µετάδοσης Τ nbut (s) προτύπων φίλτρων Butterworth Τ nbut (s) R S % R S N(s) A max 3 n N(s) k n s% k (s&s k% ) µε s k% e j k%n& π n για k,,..n s % s% 3 (s%)(s %s%) s 3 %s %s% 4 (s % s%)(s % s%) s 4 %.636s 3 %3.444s %.636s% (s%)(s % s%)(s %.68034s%) s 5 % s 4 % s 3 % s % s% (s % s%)(s % s%)(s %.9385s%) s 6 % s 5 %7.4640s 4 %9.460s 3 %7.4640s % s% (s%)(s % s%)(s %.46980s%)(s %.80938s%) s 7 % s 6 % s 5 % s 4 % s 3 % s % s% (s %0.3908s%)(s %.4s%)(s %.66939s%)(s %.9657s%) s 8 %5.583s 7 %3.3707s 6 %.8465s 5 % s 4 % %.8465s 3 %3.3707s %5.583s% (s%)(s %s%)(s % s%)(s %.53089s%)(s % s%) s 9 % s 8 %6.5879s 7 % s 6 % s 5 % % s 4 % s 3 %6.5879s % s% 9-4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 9..4 Υπολογισµός των φίλτρων Butterworth µε σύνθεση Από την προσέγγιση παίρνουµε τελικά το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης σύµφωνα µε την σχέση 9.7 T(jΩ) R S % %β Ω n ή T(jΩ) R S % %β Ω n R 4R S S Από την σχέση όµως 8.7, µπορούµε να υπολογίσουµε το τετράγωνο του µέτρου του συντελεστή ανάκλασης: ρ(jω) & T(jΩ) (9.) και από αυτό την ρ(s) από την Για να βρούµε την ρ(s) θα χρησιµοποιήσουµε την ρ(s)ρ(&s) ρ(jω) &s 6 Ω &s ρ(s)ρ(&s) ρ(jω) Ω &s λαµβανοµένου υπόψη ότι η ρ(s) έχει παρονοµαστή πολυώνυµο Hurwitz. Η διαδικασία αυτή οδηγεί συνήθως σε περισσότερες της µιας εκφράσεις της ρ(s), λόγω του ότι δεν υπάρχουν περιορισµοί για την θέση των µηδενικών της. Για κάθε µια από τις ρ(s) που υπολογίζονται, χρησιµοποιούνται οι σχέσεις 8.8 &ρ(s) Z a (s)r s ή (9.3) %ρ(s) όταν R s >R %ρ(s) L Z b (s)r s &ρ(s) όταν R s < για τον υπολογισµό της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης εισόδου του τερµατισµένου µε την διθύρου Οι Z (s) που προκύπτουν είναι ΘΠ και µάλιστα η σύνθεσή τους µπορεί να γίνει µε αλλεπάλληλες αποσπάσεις πόλων στο άπειρο, όπως στην µέθοδο Cauer, για να παραχθεί ένα κλιµακωτό κύκλωµα µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, τερµατισµένο σε µια ωµική αντίσταση ίση µε την =. Οταν η Z (s) δεν προσφέρεται για απόσπαση πόλου στο άπειρο, τότε συνθέτουµε την Υ (s). Η όλη διαδικασία γίνεται καλύτερα αντιληπτή µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.4 Ενα πρότυπο βαθυπερατό φίλτρο Butterworth 3ης τάξης µε R S = = και ενεργό εξασθένηση Α max = 3 db (δηλ. β=), υπολογίστηκε ότι έχει T(jΩ) % Ω 6 Προκειµένου να υπολογίσουµε την Z (s) και να συνθέσουµε το κύκλωµα, θα υπολογίσουµε πρώτα την ρ(s). Αρχικά βρίσκουµε ότι ρ(jω) & T(jΩ) Ω6 %Ω 6!s 6 &s 6 (s%)(s&)(s %s%)(s &s%) Γνωρίζοντας για τον συντελεστή ανάκλασης ρ(s) ότι ο παρονοµαστής είναι πολυώνυµο Hurwitz, επιλέγουµε s ρ(s) 3 (s % )(s % s % ) s 3 s 3 % s % s % Για τον υπολογισµό της Z (s) θα χρησιµοποιήσουµε την σχέση 8.8 (9.3): & ρ(s) % ρ(s) Z (s) R s ή Z (s) R s % ρ(s) & ρ(s) για να βρούµε s Z A (s) % s % s 3 % s % s % R S ή Z B (s) s 3 % s % s % s % s % R S Οι παραπάνω οδηγούσες συναρτήσεις µπορούν να συντεθούν µε τις γνωστές µεθόδους, π.χ. µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο µηδέν και στο άπειρο. Για παράδειγµα αν συνθέσουµε την Z B (s) µε διαδοχικές 9-5

16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) αποσπάσεις πόλων στο µηδέν και το άπειρο βρίσκουµε Συνθέτοντας την Y A (s) µε ανάλογο τρόπο καταλήγουµε στο παρακάτω κύκλωµα, που είνα το δυϊκό του προηγουµένου. Αν θέλουµε το παραπάνω φίλτρο να έχει R s = =ΚΩ, A max =0.5 db ω c =π5000, θα πρέπει πρώτα να διαιρέσουµε τις τιµές πηνίων και πυκνωτών µε Ω 3dB Ω 3dB.4 A n max n 3 β & για να γίνει το Α max =0.5 και µετά να αποκανονικοποιήσουµε: C C 3 π@5000@000@.4.43nf L 000@ π@5000@ mH ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.5 Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworh µε τις εξής προδιαγραφές R S =600 Ω, =. ΚΩ, A max =0.35 db, A min =30 db, ω C =π000 και ω S =π6500. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω C =π000 και R 0 = =00, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές =, R S =0.5, Ω C =, Ω S =3.5 µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Το β υπολογίζεται ότι είναι β = και για την τάξη του φίλτρου έχουµε: n $ 30 log 0 0 & & log(3.5) 3.98 Y n4 Η συνάρτηση µετάδοσης σύµφωνα µε την σχέση 9. θα είναι: Τ(s) R S % β n n k (s&s k% ) µε s k% R k β e j S k%n& π n για k,,..n Η T(s) έχει εποµένως πόλους ±j.5996 και ±j0.567 και µπορεί να γραφτεί ως T(s) (s %.04334s% )(s %.5859s% ) Γιά την ρ(s) έχουµε ότι ρ(s)ρ(&s)& T(s)T(&s) & D (s)d (s) µε D (s)(s %.04334s% )(s %.5859s% ) και D (s)(s &.04334s% )(s &.5859s% ) Φυσικά το D (s) = D (-s) έχει τους αντίθετους πόλους αυτών της D (s), οι οποίοι είναι στο δεξί ηµιεπίπεδο: 0.567±j.5996 και.5996±j Συνεχίζοντας τους υπολογισµούς: 9-6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ρ(s)ρ(&s)& T(s)T(&s) D (s)d (s)& D (s)d (s) Y ρ(s)ρ(&s) s 8 % D (s)d (s) Ο αριθµητής είναι ένα δυώνυµο 8ης τάξης και οι ρίζες του, τα µηδενικά της ρ(s)ρ(-s), υπολογίζεται ότι είναι: Η συνάρτηση του συντελεστή ανάκλασης ρ(s) δεν έχει κανέναν περιορισµό ως προς την θέση των µηδενικών και εποµένως µπορεί κανείς να της αποδώσει τέσσερα µηδενικά µε έναν από τους τέσσερις τρόπους που φαίνονται παρακάτω. Για τον υπολογισµό της Z (s) χρησιµοποιούµε τις σχέσεις 8.8 Z a (s)r s &ρ(s) %ρ(s) όταν R s > ή την Z b (s)r s %ρ(s) &ρ(s) όταν R s < %ρ(s) Στην περίπτωσή µας έχουµε R s 0.5< και εποµένως θα χρησιµοποιήσουµε την Z b (s)r s, η &ρ(s) οποία θα δώσει τέσσερις διαφορετικές εκφράσεις, µια για κάθε έκφραση του ρ(s). Πράγµατι µε λίγες πράξεις βρίσκουµε: 9-7

18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) Για τις συναρτήσεις αυτές ισχύει ότι Z b (s)* s0, που είναι αναµενόµενο αφού στην περίπτωση συνεχούς τάσης στην είσοδο, η αντίσταση εισόδου του τερµατισµένου µε την βαθυπερατού LC διθύρου, είναι ίση µε την =. Επιλέγοντας την Ζ b (s), µπορούµε να την συνθέσουµε µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο για να πάρουµε το παρακάτω κλιµακωτό κύκλωµα µε L C.7998 L C Αποκανονικοποιώντας τις τιµές των στοιχείων για =. ΚΩ και ω C =π000, βρίσκουµε: L @ nF L @ mH 55.nF Η προσοµοίωση του κυκλώµατος στο PSpice δίνει τις παρακάτω καµπύλες απόκρισης ενεργού εξασθένησης, που επιβεβαιώνουν την ορθότητα της σχεδίασης. Πλήρης απόκριση Απόκριση στην ζώνη διέλευσης 9-8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 9.3 Η προσέγγιση Chebyshev Στο εδάφιο.0 του Κεφαλαίου, παρουσιάστηκαν τα πολυώνυµα Chebyshev και ο αναγνώστης παραπέµπεται εκεί για τις µαθηµατικές λεπτοµέρειες. Αρκούµαστε εδώ στην υπενθύµιση της µορφής των πολυωνύµων Chebyshev και των βασικών τους ιδιοτήτων. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ CHEBYSHEV n = 0-0 n C n (Ω)cos ncos & (Ω) ή C n (Ω)cosh ncosh & (Ω) 0 Ω Ω & 3 4Ω 3 &3Ω 4 8Ω 4 &8Ω % 5 6Ω 5 &0Ω 3 %5Ω 6 3Ω 6 &48Ω 4 %8Ω & 7 64Ω 7 &Ω 5 %56Ω 3 &7Ω 8 8Ω 8 &56Ω 6 %60Ω 4 &3Ω % 9 56Ω 9 &576Ω 7 %43Ω 5 &0Ω 3 %9Ω 0 5Ω 0 &80Ω 8 %0Ω 6 &400Ω 4 %50Ω & m C m (Ω)=ΩC m - (Ω) - C m - (Ω) Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ CHEBYSHEV n περιττό C n (0)0, C n () και C n (&Ω)&C n (Ω) n άρτιο C n (0)±, C n () και C n (&Ω)C n (Ω) όλα τα n Ω = - έως υπάρχει κυµατισµός µεταξύ και - ενώ γιά Ω > τα πολυώνυµα C n (Ω) αυξάνονται µονοτονικά. Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης του βαθυπερατού φίλτρου, Α o Α max A min και Ω s R S (Ω c = και =) αναζητείται µια συνάρτηση εξασθένησης Α(Ω), η γραφική παράσταση της οποίας δεν θα παραβιάζει τις προδιαγραφές, µπαίνοντας σε γραµµοσκιασµένες περιοχές (σχήµα 9.7). ΣΧΗΜΑ 9.7 Στην προσέγγιση Chebyshev, προκειµένου να προσδιοριστεί η Α(Ω) που να ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές του σχήµατος 9.7, χρησιµοποιείται η συνάρτηση Α C (Ω) ως εξής: 9-9

20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) A C (Ω)A K %0log %ε C n (Ω) µε ε 0 A max 0 & A K A o όταν nπεριττό και A K A o &A max όταν nάρτιο (9.6) µε A o 0log R S % R S µε n θετικό ακέραιο αριθµό, την τάξη του πολυωνύµου Chebyshev C n (Ω) (Κεφάλαιο, εδάφιο.0). Στο εδάφιο.0 είδαµε ότι στο διάστηµα 0 έως, η συνάρτηση Ξ n (Ω)%ε C n (Ω), παίρνει τιµές που κυµαίνονται µεταξύ και +ε ενώ για Ω= είναι Ξ n ()=+ε, αφού C n () γιά όλα τα n. Η συνάρτηση εποµένως 0log %ε C n (Ω) θα παίρνει στο ίδιο διάστηµα τιµές µεταξύ 0 και 0log( %ε ) και για Ω= θα είναι 0log %ε. Γιά τιµές Ω>, η Ξ n (Ω) είναι θετική και µονοτονικά αύξουσα, εποµένως και η 0log %ε C n (Ω) θα είναι θετική και µονοτονικά αύξουσα. Στην 9.6, ο συντελεστής κυµάτωσης (ripple) ε έχει επιλεγεί έτσι που A max 0log %ε, δηλαδή ε 0 A max 0 & Η συνάρτηση Α C (Ω), όπως ορίστηκε στην 9.6: Γιά Ω=0 είναι εξ ορισµού A C (0) = A ο όταν το n είναι περιττό και A C (0) = A K +A max = A o, όταν το n είναι άρτιο αφού από τις ιδιότητες των πολυωνύµων Chebyshev (εδάφιο.0) C n (0) = 0 για περιττά n και C n (0) = ± για άρτια n. Γιά Ω= παίρνει τιµή A C () = A K + A max για όλα τα n, δηλ. 9-0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ A C () = A ο + A max γιά περιττά n A C () = A ο για άρτια n. Η ενεργός εξασθένηση της προσέγγισης µπορεί φυσικά να γραφτεί και ως Περιττό n: A C (Ω)0log R S % R S %ε C n (Ω) (9.7α) Αρτιο n: A C (Ω)0log R s % 0 & A max 0 %ε C n (Ω) R s (9.7β) Στις παραπάνω σχέσεις, επειδή πρόκειται για κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, έχουµε φυσικά ότι =, τιµή που χρησιµοποιείται σε όλες τις επόµενες σχέσεις. ΣΧΗΜΑ 9.8 Τελικώς, η A C (Ω) όπως ορίστηκε στην 9.6 ικανοποιεί τις προδιαγραφές από Ω=0 έως Ω= σύµφωνα µε το σχήµα 9.8, αλλά όχι κατ ανάγκην και γιά Ω >, πράγµα που θα γίνει µόνον αν υποχρεώσουµε την καµπύλη να έχει A C (Ω S ) $ Α ο +Α min Από την ανισότητα αυτή υπολογίζεται ότι: n$n MIN cosh & 0 0 cosh & Ω S Α min 0 & Α max 0 & cosh & 0 ε cosh & Ω S Α min 0 & (9.8) Επειδή το n πρέπει να είναι ακέραιος αριθµός, λαµβάνεται ως ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την n $ n MIN µε αποτέλεσµα να ικανοποιούνται κατα µείζονα τρόπο οι προδιαγραφές µε A C (Ω S ) $ A o +A min. Η σχέση 9.8 είναι ανάλογη της 3.3 του κεφαλαίου 3. Από την 9.8 γίνεται σαφές ότι και στην περίπτωση της προσέγγισης Chebyshev η τάξη της προσέγγισης µεγαλώνει όσο το Ω S τείνει προς την µονάδα και απειρίζεται όταν Ω S =. Οσο δηλ. πιό στενή ζώνη µετάβασης ορίζουν οι προδιαγραφές, τόσο πιό µεγάλο είναι το n. Επίσης εύκολα παρατηρεί κανείς ότι όσο το A max τείνει στο 0 ή όσο µεγαλώνει το Α min, µεγαλώνει και το n. Οι παρατηρήσεις αυτές επιβεβαιώνουν το γεγονός ότι δεν είναι εφικτή η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών βαθυπερατού φίλτρου µε πεπερασµένο n. 9 -

22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) Παρατήρηση - Περιορισµοί όταν το n άρτιο Όταν το n είναι άρτιο και το Ω ρίζα του C n (Ω) τέτοιο που C n (Ω)0, από την προσέγγιση έχουµε A C (0) A o &A max %0log %0 A o &A max Όµως η ενεργός εξασθένηση είναι πάντα µη αρνητική (εδάφιο 8.4., σχέση 8.7) και εποµένως αναµένει κανείς A max < A o. Η συνθήκη αυτή αποδεικνύ- από την οποία αποκλείεται η περίπτω- εται ισοδύναµη µε την ε < (R s & ) 4R s ση ίσων τεµατισµών, αφού κάτι τέτοιο σηµαίνει ε <0. Συµπερασµατικά, δεν είναι δυνατόν να υπάρξουν παθητικά φίλτρα Chebyshev άρτιας τάξης µε ίσους τερµατισµούς. Αν εποµένως έχουµε προδιαγραφές ίσων τερµατισµών και το n υπολογίζεται άρτιο, παίρνουµε τον αµέσως µεγαλύτερο ακέραιο, που είναι περιττός. Αντίστοιχη διαδικασία ακολουθείται και όταν A max > A o ή η ισοδύναµα ε > (R s & ). 4R s Στην πράξη δηλ., όταν από τις προδιαγραφές προκύπτει A max > A o ή ισοδύναµα ε > (R s & ), δεν είναι δυνατον να σχεδιαστεί φίλτρο Cheby- 4R s shev άρτιας τάξης και θα πρέπει οπωσδήποτε να αυξηθεί το n κατά. Τελικά, µε ε 0 A max 0 & και ακέραιο n $n MIN που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση 9.8, οι συναρτήσεις A C (Ω)A o %0log %ε C n (Ω) 0log R S % R S %ε C n (Ω) (n περιττό) και A C (Ω)A o &A max %0log %ε C n (Ω) 0log R S % 0 & A max 0 R S %ε C n (Ω) (n άρτιο) ικανοποιούν τις προδιαγραφές εξασθένησης µε τον τρόπο που φαίνεται στο σχήµα 9.9. ΣΧΗΜΑ 9.9 Αξίζει να σηµειωθεί ότι για Ω=0 υπάρχει ακρότατο (µηδενίζεται δηλ. η παράγωγος) και ότι το πλήθος των ακροτάτων στο διάστηµα 0 - είναι ίσο µε την τάξη της προσέγγισης n. Η συχνότητα Ω 3dB, στην οποία η εξασθένηση γίνεται ίση µε Α ο +3 db, (δηλ. η εξασθένηση αυξάνεται κατά 3dB από την τιµή γιά Ω=0), υπολογίζεται ότι είναι: 9 -

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Ω 3dB cosh n cosh& ε µε ε 0 A max 0 & (9.9) Η συχνότητα αυτή είναι ίση µε όταν A max =3, µεγαλύτερη από την µονάδα όταν A max <3, ενώ είναι µικρότερη από την µονάδα όταν A max >3 Ο ρυθµός αποκοπής και στα φίλτρα µε απόκριση Chebyshev είναι άµεσα συνδεµένος µε την τάξη του φίλτρου. Γιά να υπολογίσουµε τον ρυθµό αποκοπής στα φίλτρα Chebyshev θα υπολογίσουµε την εξασθένηση στην συχνότητα Ω και Ω µε το Ω πολύ µεγαλύτερο από την Ω S πράγµα που εξασφαλίζει ότι βρισκό- µαστε στη ζώνη αποκοπής. Αφού βρισκόµαστε στη ζώνη αποκοπής, το πολυώνυµο Chebyshev τάξης n, δίνεται από την C n (Ω)=cosh(ncosh - Ω). Το Ω όµως είναι πολύ µεγαλύτερο της µονάδας και έτσι το αντίστροφο υπερβολικό συνηµίτονο προσεγγίζεται από την cosh - Ω=ln(Ω), ενώ το υπερβολικό συνηµίτονο coshx.ln e X γιά Χ>>. Ετσι στην ζώνη αποκοπής και γιά Ω>>, το πολυώνυµο Chebyshev γίνεται: C n (Ω) cosh(ncosh & Ω) cosh(nlnω) e nlnω e lnω n και εποµένως C n (Ω) (Ω)n n& Ω n (µόνον όταν Ω») (9.0) Η διαφορά των εξασθενήσεων γιά Ω και Ω θα είναι: Επειδή όµως Ω>> µπορούµε να γράψουµε: A(Ω)&A(Ω)0log %ε C n (Ω)&0log %ε C n n (Ω) A(Ω)&A(Ω)0log ε C n (Ω)&0log ε C n (Ω)0log C n (Ω) C n (Ω) και τελικά χρησιµοποιώντας την 9.0 και µερικές ιδιότητες των λογαρίθµων A(Ω) & A(Ω) 0log n& (Ω) n n0log 6n db (9.) n& Ω n Γιά διπλασιασµό λοιπόν της συχνότητας στη ζώνη αποκοπής, η ενεργός εξασθένηση στα φίλτρα Chebyshev αυξάνεται κατά 6n db και έτσι λέµε ότι και στα φίλτρα αυτά, ο ρυθµός αποκοπής, στη ζώνη αποκοπής, είναι 6n db/octave. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.6 Να βρεθεί η συνάρτηση εξασθένησης A C (ω) Chebyshev που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του σχήµατος 9.0α. ΣΧΗΜΑ

24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) Το Α ο καθορίζεται από τις αντιστάσεις τερµατισµού και είναι: A o 0log R S % 0.5 db, R S Ο τρόπος µε τον οποίο δίνονται οι προδιαγραφές δεν είναι σαφής ως προς το αν οι εξασθενήσεις είναι απόλυτες ή σχετικές ως προς το Α ο. Το δηλ. είναι το A max ή το A o +A max ; Συνήθως όταν οι προδιαγραφές δίνονται έτσι, υπονοείται ότι είναι σχετικές ως προς το A o, δηλ. A max = db και A min = 45 db Τονίζεται πάντως ότι πρέπει πάντοτε να διευκρινίζεται αν τα δεδοµένα είναι απόλυτες εξασθενήσεις ή σχετικές. Από το σχήµα είναι προφανές ότι: ω C =π3000 rad/sec και ω S =π9000 rad/sec. Κανονικοποιούµε µε ω C =π3000 rad/sec και, οπότε οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι: Ω C =, Ω S =3, A ο =0.5 db, A max =0.446 db και A min =45 db, =, R S =0.5 Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές φαίνονται στο σχήµα 9.0β Για να υπολογίσουµε την A C (Ω) που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, αρκεί να υπολογίσουµε το ε και το n. Από την 9.6 έχουµε: A max ε 0 & &0.389 ε Από την 9.8 παίρνουµε: n$n MIN 45 cosh & 0 0 & & 0 cosh & (3) 3.96 Επιλέγουµε τον µικρότερο ακέραιο που ικανοποιεί την σχέση για το n, δηλ. n=4 και τελικά, αφού C 4 (Ω) =8Ω 4-8Ω + : A C (Ω)0log 0 & %0.0854@C 4 (Ω) 0log %0.0854(8Ω 4 &8Ω %) Φυσικά η συνάρτηση εξασθένησης που ικανοποιεί τις αρχικές, µη κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι η A C ω ω C όπου ω C =π3000 rad/sec Μέχρι στιγµής, µε την προσέγγιση Chebyshev, έχουµε προσδιορίσει µια µαθηµατική συνάρτηση ενεργού εξασθένησης A C (Ω) A C (Ω)0log R S % %ε C n (Ω) (όταν n περιττό) R S A C (Ω)0log R S % 0 & A max 0 %ε C n (Ω) R S (όταν n άρτιο) µε γνωστά ε και n, η οποία ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές. Το επόµενο βήµα θα πρέπει να είναι η σύνθεση ενός κυκλώµατος που θα έχει την ενεργό αυτή εξασθένηση. Αν η συνάρτηση µετάδοσης του προς σύνθεση κυκλώµατος είναι 9-4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Τ(s) E(s), R S V (s) τότε επειδή Α(Ω) 0log(T(jΩ)) και από την προσέγγιση A C (Ω)0log R S % %ε C n (Ω) R S (όταν n περιττό) A C (Ω)0log R S % 0 & A max 0 %ε C n (Ω) R S (όταν n άρτιο) είναι προφανές ότι Για n περιττό T(jΩ) R S % %ε C n (Ω) R S (9.α) Για n άρτιο T(jΩ) R S % 0 & A max 0 %ε C n (Ω) R S (9.β) Από το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης του προς σύνθεση κυκλώµατος, µπορεί πλέον να υπολογιστεί από την 8.7 ο συντελεστής ανάκλασης και από αυτόν και την 8.8, η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z (s) του κυκλώµατος, από την οποία θα συντεθεί το κύκλωµα µε τις κλασικές µεθόδους σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων. Αφού το τετράγωνο του µέτρου της συνάρτησης µετάδοσης είναι τάξης n, η συνάρτηση µετάδοσης και η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου, θα είναι τάξης n, πράγµα που σηµαίνει ότι και το κύκλωµα θα είναι τάξης n. Το σηµαντικότερο όµως είναι ότι η Z (s) αποδεικνύεται ότι και στην περίπτωση αυτή, µπορεί να συντεθεί ως ένα τερµατισµένο µε την κανονικό κλιµακωτό δίθυρο LC µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους. Στα κανονικά κυκλώµατα, το άθροισµα του αριθµού των πηνίων και του αριθµού των πυκνωτών είναι ίσο µε την τάξη n. Αποδεικνύεται επίσης ότι οι τιµές των n στοιχείων, µόνον όταν οι τερµατισµοί είναι ίσοι δηλ. R S = και το n περιττό, δίνονται από τους παρακάτω αναδροµικούς τύπους: t k α k& µε t 0 γ, k,,...n όπου α k ηµ (k&)π b k& n και b k γ %ηµ kπ n µε b 0 γsinh n ln 0 0 A max 0 % A min 0 % µε α 0 Για τις τιµές των στοιχείων στην περίπτωση που έχουµε άνισους τερµατισµούς, δεν υπάρχουν αναλυτικοί τύποι. Οι τιµές µπορούν να υπολογιστούν, όπως και στην περίπτωση της προσέγγισης Butterworth, µε τρεις τρόπους: Με ανάλυση του κυκλώµατος, του οποίου γνωρίζουµε την τοπολογία (κλιµακωτό τάξης n µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους) και εξίσωση του µέτρου της υπολογιζόµενης συνάρτησης µετάδοσης µε αυτό που δίνει η προσέγγιση. Με υπολογισµό και σύνθεση της οδηγούσας συνάρτησης Z (s). Με την βοήθεια πινάκων Υπολογισµός των τιµών µε ανάλυση Η προσέγγιση Chebyshev µας δίνει την τάξη του φίλτρου και το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης. Θεωρώντας ως δεδοµένο ότι το φίλτρο είναι τελικά κλιµακωτό µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές 9-5

26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) στους παράλληλους κλάδους, όπως αποδεικνύεται στο επόµενο εδάφιο, και επιπροσθέτως ότι έχουµε τόσους κλάδους L και C όση είναι η τάξη της προσέγγισης, είναι γνωστή και η τοπολογία του τελικού κυκλώµατος. Από το κύκλωµα, στο οποίο είναι άγνωστες οι τιµές των επεγωγέων και των πυκνωτών, υπολογίζεται η συνάρτηση µετάδοσης και το µέτρο της ταυτοποιείται µε αυτό που έδωσε η προσέγγιση. Από την ταύτιση των συντελεστών των δύο πολυωνύµων, προκύπτουν οι τιµές των στοιχείων. Η διαδικασία γίνεται σαφής µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.7 Να σχεδιαστεί φίλτρο µε απόκρισηchebyshev που πρόκειται να λειτουργήσει µεταξύ ίσων τερµατισµών ΚΩ µε εξασθένηση το πολύ του 0.5 db γιά f < KHz και τουλάχιστον 5 db γιά f > 4 KHz. Αναγνωρίζουµε αρχικά τις προδιαγραφές: A max =0.5 db, A min =5 db ω c =π000, ω s =π4000. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω C =π000 και R 0 = =000, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές δηλ. =R S =, Ω C =, Ω S =4 µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Υπολογίζεται ότι ε = 0.. Η τάξη του φίλτρου υπολογίζεται από την 9.8: n $ 5 cosh & 0 0 & & cosh & (4).4 και εποµένως επιλέγουµε n=3. Το φίλτρο λοιπόν θα είναι 3ης τάξης, θα έχει δηλ. δύο πηνία και ένα πυκνωτή ή δύο πυκνωτές και ένα πηνίο, όπως φαίνεται στο σχήµα 9. µε το πηνίο σε κλάδο σειράς και τους πυκνωτές σε παράλληλο κλάδο. Τα δύο κυκλώµατα είναι δυϊκά. Αναλύοντας το δεύτερο κύκλωµα (β) µπορούµε να βρούµε την T(s): T(s) T(jΩ) R s E(s) V (s) C L C 3 & Ω (C % C 3 )L / % ε C 3 (Ω) C Τ(jΩ) Ω 6 L C 3 4 C % Ω % L % C 3 4 s 3 % L (C % C 3 ) % Ω (C % L % C 3 ) s % C % L % C 3 s % Το µέτρο της ενεργού συνάρτησης µετάδοσης που υπολογίσαµε θα πρέπει να είναι ίσο µε αυτό της προσέγγισης Chebyshev γιά n=3: Αναπτύσσοντας τα πολυώνυµα βρίσκουµε: & Ω C L C 3 L % Ω 4 (C % C 3 ) & C L C 3 (C % L % C 3 ) 4 &L (C % C 3 ) % / 6ε Ω 6 & 4ε Ω 4 % 9ε Ω % Από την ταύτιση βρίσκουµε C =C 3 =.596 και L = Η σχεδίαση του φίλτρου θα τελειώσει µε την αποκανονικοποίηση ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει π000 και το φορτίο 000 Ω. Οι αποκανονικοποιηµένες τιµές υπολογίζονται και είναι: C = C 3 = 0.54µF και L =74.5mH. Το τελικό φίλτρο φαίνεται στο σχήµα 9.γ. % 9-6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ Η συνάρτηση µετάδοσης T(s) των κανονικοποιηµένων ΒΠ Chebyshev Οταν γνωρίζουµε από την προσέγγιση το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης του κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου (σχέση 9.) T(jΩ) K n %ε C n (Ω) µε Κ n R S % για n περιττό και K n R S % 0 & A max 0 για n άρτιο R S R S γιά να συνεχιστεί η σύνθεση πρέπει να υπολογιστεί η ίδια η συνάρτηση µετάδοσης Τ(s), για την οποία γνωρίζουµε ότι ο αριθµητής της είναι πολυώνυµο Hurwitz, αφού ο παρονοµαστής της συνάρτησης µεταφοράς είναι Hurwitz, δεν έχει δηλαδή ρίζες στο δεξί ηµιεπίπεδο. Ο υπολογισµός της Τ(s) βασίζεται στη σχέση.7 του κεφαλαίου : Τ(s)Τ(&s) Τ(jΩ) Ω &s Βάζοντας στην παραπάνω σχέση το αποτέλεσµα της προσέγγισης T(jΩ) Κ n %ε C n (Ω) παίρνουµε: Τ(s)Τ(&s)K n %ε C n (Ω) K (9.3) / n %ε C n (&js) Ω &js Το %ε C n (&js) είναι ένα πολυώνυµο του s µε πραγµατικούς συντελεστές της µορφής: %ε C n (&js)ε c n (&s ) n %a(&s ) n& %... D n (s)d n (&s) µε το c n που εµφανίζεται στον συντελεστή ε c n να είναι ο συντελεστής το όρου µεγαλύτερης τάξης του πολυωνύµου Chebyshev C n (Ω). Με υπολογισµένον συντελεστή κυµάτωσης ε και προσδιορισµένη την τάξη n του πολυωνύµου Chebyshev από τις προδιαγραφές, το πολυώνυµο Hurwitz D n (s) έχει υπολογιστεί στο εδάφιο.0 του κεφαλαίου ότι έχει n πόλους s k σ k %jω k στο αριστερό ηµιεπίπεδο µε σ k Re[s k ]sin (k&)π n Ω k Im[s k ] cos (k&)π n sinh n sinh& ε cosh n sinh& ε γιά k = n+, n+,... n. (9.4α) (9.4β) 9-7

28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) Οι παραπάνω σχέσεις για να έχουµε τον δείκτη από έως n, γράφονται µε δείκτη λ=,, 3,... n ως: σ λ sin (n%λ&)π n Ω λ cos (n%λ&)π n sinh n sinh& ε cosh n sinh& ε (9.5α) και τελικά το πολυώνυµο D n (s) δίνεται από την.75 του κεφαλαίου, τροποποιηµένη ως προς τον δείκτη, ως: n D n (s)εc nk (s&s λ )c n s&(σ %jω ) s&(σ %jω )... s&(σ n %jω n ) λ (9.5β) µε σ λ και Ω λ που δίνονται από τις σχέσεις 9.5α, όπου το c n είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C n (Ω). Στο εδάφιο.0 αποδείχτηκε µάλιστα ότι σ λ sinh n sinh& ε Ω λ % cosh n sinh& ε (9.5γ) που σηµαίνει ότι οι ρίζες του D n (s), τα µηδενικά δηλαδή της T(s), κείνται πάνω σε µια έλλειψη µε τον µείζονα άξονα πάνω στον jω-άξονα και τον ελάσσονα πάνω στον πραγµατικό άξονα, όπως στο σχήµα 9.3. ΣΧΗΜΑ 9.3 Πραγµατική ρίζα του D n (s) υπάρχει µόνον όταν το n είναι περιττό και δίνεται από τις 9.5α για λ ο n%. Γιά n περιττό και λ O n% Y s λo &sinh n sinh& ε Σηµειώνεται ότι δεν υπάρχουν πόλοι πάνω στον jω-άξονα (µε µηδενικό δηλ. πραγµατικό µέρος), αφού αυτό θα απαιτούσε sin (n%λ&)π 0, δηλαδή ο θετικός ακέραιος λ να είναι λ. n &n Τελικά, η συνάρτηση µετάδοσης T(s) των βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev είναι: % j0 9-8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ n T CH (s)k n D n (s)k n k (s&s k ) k µε Κ n R S % (n περιττό) K n R S % 0 & A max 0 (n άρτιο) R S R S σ k sin (n%k&)π n Ω k cos (n%k&)π n s k σ k %jω k όπου sinh n sinh& ε cosh n sinh& ε µε k,,...n (9.6) Το c n είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C n (Ω). Ο πίνακας 3.ΙΙ στο τέλος του κεφαλάίου 3 δίνει το πολυώνυµο D n (s) n D n (s)εc nk (s&s λ )c n s&(σ %jω ) s&(σ %jω )... s&(σ n %jω n ) λ της συνάρτησης µετάδοσης κανονικοποιηµένων βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev Υπολογισµός των φίλτρων Chebyshev µε σύνθεση Από την προσέγγιση παίρνουµε τελικά το µέτρο της συνάρτησης µετάδοσης σύµφωνα µε την σχέση 9.: T(jΩ) K n %ε C n (Ω) µε Κ n R S % για n περιττό και K n R S % 0 & A max 0 για n άρτιο R S R S Από την σχέση όµως 8.7, µπορούµε να υπολογίσουµε το τετράγωνο του µέτρου του συντελεστή ανάκλασης: ρ(jω) & T(jΩ) (9.7) και από αυτό την ρ(s) από την, λαµβανοµένου υπόψη ότι η ρ(s) έχει παρονοµαστή ρ(s)ρ(&s) ρ(jω) Ω &s πολυώνυµο Hurwitz. Η διαδικασία αυτή οδηγεί συνήθως σε περισσότερες της µιας εκφράσεις της ρ(s), λόγω του ότι δεν υπάρχουν περιορισµοί για την θέση των µηδενικών της. Για κάθε µια από τις ρ(s) που υπολογίζονται, χρησιµοποιούνται οι σχέσεις 8.8 Z a (s)r s &ρ(s) %ρ(s) όταν R s > ή Z b (s)r s %ρ(s) &ρ(s) όταν R s < για τον υπολογισµό της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης εισόδου του τερµατισµένου µε την διθύρου Οι Z (s) που προκύπτουν είναι ΘΠ και µάλιστα η σύνθεσή τους µπορεί να γίνει µε αλλεπάλληλες αποσπάσεις πόλων στο άπειρο, όπως στην µέθοδο Cauer, για να παραχθεί ένα κλιµακωτό κύκλωµα µε πηνία στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, τερµατισµένο σε µια ωµική αντίσταση ίση µε την =. Οταν η Z (s) δεν προσφέρεται για απόσπαση πόλου στο άπειρο, τότε συνθέτουµε την Υ (s). Η όλη διαδικασία γίνεται καλύτερα αντιληπτή µε την εφαρµογή που ακολουθεί. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9.8 Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο Chebyshev ης τάξης µε =, R S =0.5, Amax=

30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ (v.00505) 0.5 Οι προδιαγραφές είναι κανονικοποιηµένες. Εχουµε ε 0 0 &0.08. Το πολυώνυµο Chebyshev ης τάξης (n=) είναι C n (ω) = ω -. Επειδή πρόκειται για φίλτρο άρτιας τάξης, η προσέγγιση θα είναι (σχέση 9.) T(jω) (R S % ) 4R S A MAX 0 & 0 %ε C (ω) %ε (ω &).0066(0.488ω 4 &0.488ω %.) Εχουµε ότι T(s)T(&s) T(jω).0066 (0.488s 4 % 0.488s %.) ω &s Προκειµένου να υπολογίσουµε τον συντελεστή ανάκλασης, χρησιµοποιούµε την ρ(s)ρ(&s)& από την οποία βρίσκουµε ρ(s)ρ(&s) s 4 %s % s 4 %s %.998 T(s)T(&s) &.0066(0.488s 4 %0.488s %.) Για την αποµόνωση του ρ(s) γνωρίζουµε ότι ο παρονοµαστής του είναι πολυώνυµο Hurwitz, ενώ ο αριθµητής δεν έχει περιορισµούς. Ο αριθµητής έχει ρίζες s = ± j s = ± j Ο παρονοµαστής έχει ρίζες s = ± j.004 s = ± j.004 Για τον παρονοµαστή εποµένως, που είναι πολυώνυµο Hurwitz θα πάρουµε το µιγαδικό ζεύγος του αριστερού ηµιεπιπέδου. D ρ (s) (s % & j.004) (s % % j.004) D ρ (s) s %.4569s %.5630 Για τον αριθµητή µπορούµε να πάρουµε το µιγαδικό ζεύγος του δεξιού ηµιεπιπέδου ή του αριστερού ηµιεπιπέδου, αφού δεν υπάρχει περιορισµός. Παίρνουµε του αριστερού: N ρ (s)(s%5.9665&j0.7090)(s%5.9665%j0.7090) s %0.0393s% Τελικά βρίσκουµε: ρ(s) N ρ (s) D ρ (s) s % s % s %.4569s %.5630 Εχοντας τον συντελεστή ανάκλασης βρίσκουµε από την 8.8 µε R S < : % ρ(s) Z A (s) R S & ρ(s) s % s % s %.008 Η οδηγούσα αυτή συνάρτηση Z A (s) µπορεί να συντεθεί κατά Cauer για να δώσει: Η καµπύλη ενεργού εξασθένησης του κυκλώµατος δίνεται στο επόµενο σχήµα. 9-30

Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC

Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC Κεφάλαιο 08 Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC 8. Προκαταρκτικά Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάστηκε µια µέθοδος σχεδίασης ενεργών φίλτρων, κατά την οποία από τις προδιαγραφές υπολογίζεται αρχικά, µε µια

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες

Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ B ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΕΑΡΙΝΟΥ 007-08 Η/Ν ΦΙΛΤΡΑ Εξεταστής: Καθηγητής Ηρ. Γ. Δηµόπουλος Διάρκεια εξέτασης ώρες 0.09.008 ΖΗΤΗΜΑ (5 µονάδες Tο εικονιζόµενο κανονικοποιηµένο

Διαβάστε περισσότερα

(s) V Ιn. ΘΕΜΑ 1 1. Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του. του κυκλώµατος και χαρακτηρίστε το.

(s) V Ιn. ΘΕΜΑ 1 1. Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του. του κυκλώµατος και χαρακτηρίστε το. Θέµατα εξετάσεων Η/Ν Φίλτρων Σας προσφέρω τα περισσότερα θέµατα που έχουν τεθεί σε εξετάσεις τα τελευταία χρόνια ελπίζοντας ότι θα ασχοληθείτε µαζί τους κατά την προετοιµασία σας. Τα θέµατα δείχνουν το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ"

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ" ΠΡΟΣΕΓΓΙΣH BUTTERWORTH G(Ω H o %β 2 Ω 2n 20log H o H C a max 20log H o H S a min 0 a min 0 & Ω n S H 2 o H 2 S Ω n S & β min #β# β max H 2 o H 2 C & 0 a max

Διαβάστε περισσότερα

(jω) ΣΧΗΜΑ 3.1 ΣΧΗΜΑ 3.2

(jω) ΣΧΗΜΑ 3.1 ΣΧΗΜΑ 3.2 Βασικές Προσεγγίσεις Κεφάλαιο 3 3. Προδιαγραφές φίλτρων και προσεγγισεις Αναφερόµενοι στο σχήµα 3., η απόκριση πλάτους ή συνάρτηση κέρδους τάσης G(ω) ορίζεται ως το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς τάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ 2017-18 ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ενεργών-RC Φίλτρων (Μέρος Ι) (Σύνθεση της συνάρτησης µεταφοράς)

Σχεδίαση Ενεργών-RC Φίλτρων (Μέρος Ι) (Σύνθεση της συνάρτησης µεταφοράς) Κεφάλαιο 6 Σχεδίαση Ενεργών-RC Φίλτρων (Μέρος Ι) (Σύνθεση της συνάρτησης µεταφοράς) 6. Εισαγωγή Η σύνθεση ενός φίλτρου ξεκινάει από τις προδιαγραφές, οι οποίες περιγράφουν την συµπεριφορά πλάτους του φίλτρου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSEL-THOMSON ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΩ ΙΑΒΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ BESSELTHOMSON 4. ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ Η χρονική καθυστέρηση συµβαίνει κατά την µετάδοση σε διάφορα φυσικά µέσα και αποτελεί ένα βασικό στοιχείο στην επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης

Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης Περιεχόµενα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Συναρτήσεις και κυκλώµατα ης τάξης 484 8.2 Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης 486 8.2. Ενεργά κυκλώµατα ης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 17: Φίλτρα (II)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 17: Φίλτρα (II) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 17: Φίλτρα (II) Φίλτρα Bu*erworth, Chebyshev και ελλειπτικά φίλτρα Είναι οι πιο δημοφιλείς τεχνικές σχεδιασμού φίλτρων συνεχούς χρόνου (Appendix

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων ΙΙΙ 1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ, ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΚΟΠΟΣ Η άσκηση αυτή εξετάζει την ανάλυση παθητικών αναλογικών φίλτρων,

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5γ. Σημειώσεις μαθήματος: E mail:

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5γ. Σημειώσεις μαθήματος: E mail: Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Τ.Ε Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/courses/tio127/ E mail: pasv@teiath.gr 2 1 Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ

1. Φάσμα συχνοτήτων 2. Πεδίο μιγαδ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρωση. Φάσμα συχνοτήτων. Πεδίο μιγαδικής μγ συχνότητας Πόλοι & μηδενικά

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Κεφάλαιο 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9. ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια µελετήσαµε διάφορες υλοποιήσεις συναρτήσεων µεταφοράς δεύτερης τάξης µε χρήση ενεργών κυκλωµάτων, δηλαδή, τελεστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο Ακαδ. Έτος: ιδάσκοντες: Τ. Κουσιουρής, Ν. Μαράτος, Κ. Τζαφέστας Λύση ου Θέµατος Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 2 ΦΙΛΤΡΑ BUTTERWORTH: Τα βαθυπερατά φίλτρα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων Πίνακας Ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (ΚΙΙΙ)

ΘΕΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (ΚΙΙΙ) 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (ΚΙΙΙ) 213-214. 1. ΘΕΜΑ 1: Στο Σχ.1, έχουμε ένα κανονικοποιημένο βαθυπερατό φίλτρο τύπου (Τ) τρίτης τάξης Butterworth. Οι αντιστάσεις (R S ) και (R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I-

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Παθητικά Φίλτρα. Κεφάλαιο ίθυρα κυκλώµατα

Παθητικά Φίλτρα. Κεφάλαιο ίθυρα κυκλώµατα Κεφάλαιο 8 Παθητικά Φίλτρα Από το 95 που οι Wagner και Campbell διατύπωσαν και παρουσίασαν την θεωρία των κυµατικών φίλτρων, η θεωρία και οι µέθοδοι σχεδίασης των παθητικών φίλτρων εξελίχτηκαν ραγδαία,

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ. Του ΝΤΑΤΑΛΙΚΑ ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Α.Μ. : 3274

Τ.Ε.Ι ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ. Του ΝΤΑΤΑΛΙΚΑ ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Α.Μ. : 3274 Τ.Ε.Ι ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Του ΝΤΑΤΑΛΙΚΑ ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Α.Μ. : 374 Πτυχιακή εργασία που υποβάλλεται προς μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων για την απόκτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στο σχήµα φαίνεται η σύνδεση τριών γραµµών µικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης.

Στο σχήµα φαίνεται η σύνδεση τριών γραµµών µικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. Στο σχήµα φαίνεται η σύνδεση τριών γραµµών µικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. 0,, 3, 3 Παράδειγµα 3 0 3 0 (α) (β) (α) Σύνδεση τριών όµοιων γραµµών µικροταινίας.

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης.

Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. 0 V, V V, V V 3, V3 Παράδειγμα 3 0 3 0 (α) (β) (α) Σύνδεση τριών όμοιων γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ. ΣΚΟΠΟΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ. ΣΚΟΠΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ. ΣΚΟΠΟΣ Ένα ενεργό σύστηµα είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωµα που αποτελείται από παθητικά στοιχεία και ελεγχόµενες πηγές. Ενεργή σύνθεση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5) Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 1. Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση V

ΘΕΜΑ 2 1. Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση V Θέµατα εξετάσεων Θ. Κυκλωµάτων & Σηµάτων Σας προσφέρω τα περισσότερα θέµατα που έχουν τεθεί στις εξετάσεις τα τελευταία χρόνια ελπίζοντας ότι θα ασχοληθείτε µαζί τους κατά την προετοιµασία σας. Τα θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Παράµετροι και περιγραφή διθύρων Περιγραφή µε την µήτρα g 538

9.1 Παράµετροι και περιγραφή διθύρων Περιγραφή µε την µήτρα g 538 Δίθυρα κυκλώµατα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Περιεχόµενα 9. Παράµετροι και περιγραφή διθύρων 530 9... Περιγραφή µε την µήτρα Ζ 53 9..2. Περιγραφή µε την µήτρα Υ 533 9..3. Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Προσομοίωση Μικροκυματικών Φίλτρων Butterworth με την χρήση του ADS

Σχεδίαση και Προσομοίωση Μικροκυματικών Φίλτρων Butterworth με την χρήση του ADS ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Σχεδίαση και Προσομοίωση Μικροκυματικών Φίλτρων Butterworth

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο ( μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 1, 0.7, 00 kω, 4 kω, h e. kω και β h 100. (α) Να προσδιορίσετε τις τιμές των αντιστάσεων και ώστε το σημείο λειτουργίας Q (, ) του τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργα - RC φίλτρα 2ης τάξης

Ενεργα - RC φίλτρα 2ης τάξης Ενεργα - C φίλτρα 2ης τάξης Κεφάλαιο 5 5. Εισγωγή Είδαµε στο κεφάλαιο 3 ότι από τις προδιαγραφές ενός φίλτρου, µπορούµε να υπολογίσουµε µια πραγµατοποιήσιµη συνάρτηση µεταφοράς που τις ικανοποιεί. Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/02/2013

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/02/2013 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: Β 90 kω, C kω, Ε E kω, kω, V CC V, V B 0.70 V και Ι Β 0 μα. Επίσης, για τα δύο τρανζίστορ του ενισχυτή δίνονται: β h e h e 00 και h

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας-Φίλτρα Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ. 10 f Να προσδιορίσετε τις συχνότητες, για τις οποίες το µέτρο της ενίσχυσης είναι 10dB κάτω από την µέγιστη τιµή της.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ. 10 f Να προσδιορίσετε τις συχνότητες, για τις οποίες το µέτρο της ενίσχυσης είναι 10dB κάτω από την µέγιστη τιµή της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ 9.1 Η απόκριση ενισχυτή περιγράφεται από τη σχέση, 100 A( j = 10 (1+ j (1 j 10 Να προσδιορίσετε τις συχνότητες, για τις οποίες το µέτρο της ενίσχυσης είναι 10dB κάτω από την

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΚ ΟΧΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑ -L-C ΣΕ ΣΕΙΡΑ Κύκλωµα που αποτελείται από ωµική αντίσταση,ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα φίλτρα. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή

Εισαγωγή στα φίλτρα. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή Κεφάλαιο Εισαγωγή στα φίλτρα Εισαγωγή Οι δύο µεγάλοι κλάδοι της Θεωρίας ικτύων ή Κυκλωµάτων (Network ή Circuit Theory) είναι η ανάλυση και η σύνθεση. Στην ανάλυση στόχος είναι ο υπολογισµός των µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ανάλυση Ηλεκτρικού Σήµατος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ανάλυση Ηλεκτρικού Σήµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ανάλυση Ηλεκτρικού Σήµατος. Εισαγωγή Τα σήµατα εξόδου από µετρητικές διατάξεις έχουν συνήθως τη µορφή ηλεκτρικών σηµάτων. Πριν από την καταγραφή ή περαιτέρω επεξεργασία, ένα σήµα υφίσταται µια

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Απόκριση Συχνότητας. Φώτης Πλέσσας

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Απόκριση Συχνότητας. Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Απόκριση Συχνότητας Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Εισαγωγή Η συμπεριφορά του κυκλώματος στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, καθώς μεταβάλλεται η γωνιακή συχνότητα ω, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

1. Φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων 2. Φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτων 3. Ζωνοπερατά φίλτρα

1. Φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων 2. Φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτων 3. Ζωνοπερατά φίλτρα ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιαννίνν ΦΙΛΤΡΑ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρση. Φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτν. Φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτν 3. Ζνοπερατά

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές

Τελεστικοί Ενισχυτές Τελεστικοί Ενισχυτές Ενισχυτές-Γενικά: Οι ενισχυτές είναι δίθυρα δίκτυα στα οποία η τάση ή το ρεύμα εξόδου είναι ευθέως ανάλογη της τάσεως ή του ρεύματος εισόδου. Υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά είδη ενισχυτών:

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός IIR φίλτρων

Σχεδιασµός IIR φίλτρων Σχεδιασµός IIR φίλτρων. Ένα αναλογικό ζωνοδιαβατό φίλτρο έχει συνάρτηση H(). Σχεδιάστε ( + )( + ) ένα IIR φίλτρο µε την µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης µε συχνότητα δειγµατοληψίας 0 H. Η απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός IIR φίλτρων - Λύσεις των Ασκήσεων

Σχεδιασµός IIR φίλτρων - Λύσεις των Ασκήσεων Σχεδιασµός IIR φίλτρων - Λύσεις των Ασκήσεων. Ένα βαθυπερατό αναλογικό φίλτρο περιγράφεται από την σχέση Η(). Να βρεθεί ( ιγραµ. Μετασχ.) το αντίστοιχο ψηφιακό µε συχνότητα αποκοπής (-3dB) f 600H όταν

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM

Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM Κεφάλαιο 7 Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM 7. Απόσπαση πόλων Ας υποθέσουµε ότι µια οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z() ενός κυκλώµατος RLCM, η οποία όπως είδαµε στο κεφάλαιο 2 είναι Θετική Πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

3 η ενότητα ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ

3 η ενότητα ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ ρ. Λάμπρος Μπισδούνης Καθηγητής 3 η ενότητα ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ T.E.I. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Περιεχόμενα 3 ης ενότητας Στην τρίτη ενότητα θα μελετήσουμε την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΟΔΟΣ (Μάθημα 4 ο 5 ο 6 ο 7 ο ) 1/12 4 o εργαστήριο Ιδανική δίοδος n Συμβολισμός της διόδου n 2/12 4 o εργαστήριο Στατική χαρακτηριστική διόδου Άνοδος (+) Κάθοδος () Αν στην ιδανική

Διαβάστε περισσότερα