7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

Transcript

1 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických aplikáciách Derivácia funkcie f v bode a nám určuje veľkosť prírastku funkcie f v bode a Zrejme všetci už zo školských lavíc poznáme vzorec vyjadrujúci závislosť času, rýchlosti a dráhy pri rovnomernom priamočiarom pohybe s v t Ak napríklad každú sekundu prejdeme vzdialenosť metre, potom rýchlosť vyjadruje prírastok dráhy za jednotku času Pomocou nástrojov matematickej analýzy teda môžeme rýchlosť charakterizovať ako deriváciu dráhy v určitom čase t Taktiež sa v prai stretávame s úlohami, keď treba pomerne zložitú funkciu v okolí určitého bodu aproimovať pomocou priamky Smernica tejto priamky zrejme vyjadruje prírastok na osi y v určitom bode 0 Pomocou nástrojov matematickej analýzy opäť možno vyjadriť rovnicu tejto priamky pomocou derivácie funkcie Derivácia funkcie nám dokáže povedať mnoho o priebehu pôvodnej funkcie Na obrázku 7 je červenou farbou ln znázornený graf funkcie f a modrou farbou graf jej derivácie ln f Všimnime si, že funkcia f je rastúca, keď jej derivácia nadobúda kladné hodnoty a klesajúca, keď derivácia nadobúda záporné hodnoty Bod, v ktorom má funkcia f maimum, je typický tým, že hodnota derivácie je nulová Vďaka deriváciám teda vieme povedať mnoho o priebehu funkcie Žiaľ, mnohokrát je vyjadrenie derivácie funkcie komplikovanejšie ako pôvodná funkcia Obr 7 Geometrická úloha Nech je daná spojitá funkcia y f Na grafe tejto funkcie je pevne zvolený bod A [ a, f ( a) ] (obr 7) Budeme sa snažiť zaviesť pojem dotyčnice ku grafu funkcie y f v bode A [ a, f ( a) ] Zvoľme na grafe funkcie iný bod X [, f ] Z pravouhlého trojuholníka na obr 7 je zrejmé, že smernica priamky AX je f f ( a) tgϕ, kde ϕ je uhol, ktorý a zviera priamka AX s osou Ak sa bod X blíži k bodu A, tj ak sa rozdiel a blíži k 0, Obr 7 08

2 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy mení sa aj poloha priamky AX Ak sa priamka AX blíži k istej limitnej polohe, tj ak sa jej f f ( a) smernica blíži k limite k tgϕ lim, nazveme túto limitnú polohu priamky a a A a, f ( a) AX dotyčnicou grafu funkcie f v bode [ ] Fyzikálna úloha Nech sa bod P pohybuje po číselnej osi Poloha bodu P závisí od času t, ktorý uplynul od začiatku pohybu Táto závislosť je vyjadrená funkciou s f (t) Nech v čase t 0 je súradnica bodu P rovná s 0 f ( t 0 ) Za čas t t0 sa táto súradnica zmení o f ( t) f ( t0 ) Podiel f ( t ) f ( t ) 0 sa nazýva stredná rýchlosť bodu P v časovom úseku t t0 Okamžitá rýchlosť t t0 f ( t) f ( t0 ) v čase t 0 bude v( t0 ) lim Vzhľadom na podobnosť limitných vzťahov t t0 t t0 v predchádzajúcich úlohách je užitočné zaoberať sa touto limitou a dať jej osobitný názov 7 Definícia derivácie funkcie f v bode a Nech je funkcia f ( ) definovaná v okolí bodu a Ak eistuje konečná limita f f ( a) f ( a+ h) f ( a) lim lim a a h 0 h f ( ) v bode a a budeme ju označovať symbolom f hovoríme, že funkcia v danom bode nemá deriváciu, potom túto limitu nazveme deriváciou funkcie a Ak uvedená limita neeistuje, Nech f je reálna funkcia Označme M množinu všetkých tých bodov definičného oboru D ( f ), v ktorých má funkcia f deriváciu Funkciu f, ktorá každému bodu a M priradí hodnotu f ( a ) (deriváciu funkcie f v bode a ), nazývame deriváciou funkcie f na množine M Príklad 7 Použitím definície derivácie vypočítajte deriváciu funkie f v bode a / f f ( a) Použijeme vzorec f ( a) lim a a / a ( a)( + a) f ( a) lim lim lim( + a) a+ a a a a a a a Príklad 7 Použitím definície derivácie vypočítajte deriváciu funkie f v bode a / f f ( a) Opäť použijeme vzorec f ( a) lim a a a ( a)( + a+ a ) f ( a) lim lim lim( + a+ a ) a + a + a a a a a a a / 09

3 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Dotyčnica ku grafu funkcie Z definície derivácie funkcie f v bode a je zrejmé, že derivácia v bode a je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie f v bode a (pozri obr 7) Z tejto skutočnosti a zo smernicového tvaru rovnice priamky dostávame vzťah pre výpočet rovnice dotyčnice ku grafu funkcie f v bode a Rovnica je uvedená v nasledujúcej vete Veta 7: Nech funkcia f ( ) má deriváciu v bode a Potom dotyčnica t ku grafu funkcie Ta, f a má rovnicu [ ] f ( ) v bode y f ( a) f ( a)( -a) + Obr 7 Príklad 7 Nájdite rovnicu tej dotyčnice k parabole a) dotyčnicou paraboly v jej bode T [, ], b) rovnobežná s priamkou p: y+ 5 0, c) kolmá na priamku q: + y 0 a) Na obr 74 je znázornený graf funkcie f + červenou farbou a dotyčnica ku grafu v bode T [, ] modrou farbou Najskôr určíme deriváciu funkcie f / lim ( a) f + ( + ) ( a a+ ) f f a lim lim a a a a ( a ) ( a) ( a)( + a) ( a) lim a a a a ( a)( + a ) lim lim + a a a a a f +, ktorá je: Teraz určíme hodnotu derivácie v bode a / f () Obr 74 Hodnota derivácie je smernicou dotyčnice t Rovnica dotyčnice je zatiaľ y + c Hodnotu konštanty c určíme tak, že do rovnice y + c dosadíme súradnice bodu T [, ] Teda: + c c Rovnica dotyčnice je teda y + 0

4 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy b) Na obr 75 je znázornený graf funkcie f + červenou farbou, priamka p: y+ 5 0 fialovou farbou a dotyčnica ku grafu funkcie f rovnobežná s priamkou p modrou farbou Najskôr určíme smernicu priamky p p: y+ 5 0 y + 5 smernica priamky p je Teraz určíme bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu / f a a a f + f + f 5 Bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu, má súradnice [,5 ] Pretože smernica dotyčnice je, rovnica dotyčnice je zatiaľ y + c Hodnotu konštanty c určíme tak, že do rovnice y + c dosadíme súradnice bodu [,5 ] Teda: 5 + c c Obr 75 Rovnica dotyčnice je teda y c) Na obr 76 je znázornený graf funkcie f + červenou farbou, priamka q: + y 0 fialovou farbou a dotyčnica t ku grafu funkcie f kolmá na priamku q modrou farbou Najskôr určíme smernicu priamky q q: + y 0 y + smernica priamky q je k- Smernicu kolmej priamky t na priamku q vypočítame podľa vzorca Teda smernica dotyčnice t je k Teraz určíme bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu / f a a a f + f + f Bod, v ktorom derivácia funkcie f nadobúda hodnotu, má súradnice [, ] Pretože smernica dotyčnice je, rovnica dotyčnice je zatiaľ y + c Hodnotu konštanty c určíme tak, že do + dosadíme súradnice bodu [ ] rovnice y c Teda: + c c Rovnica dotyčnice je teda y +, Obr 76

5 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 74 Základné derivačné vzorce Pre derivovanie elementárnych funkcií platia nasledujúce vzťahy (vzorce), ktoré používame pri počítaní derivácií zložitejších funkcií Tieto vzorce sa dajú odvodiť z definície derivácie Pre praktické počítanie derivácií je ich potrebné vedieť naspamäť Veta 7: Ak f ( ) c (konštantná funkcia), tak pre každé R je f [ c] 0 Ak f n (n,, ), tak pre každé R je Ak f α α, α R, tak pre každé > 0 je 4 Ak f a ( a >0), tak pre každé R je Špeciálne, ak f ( ) e, tak f e e 5 Ak f ( ) sin, tak pre všetky R je f [ sin ] 6 Ak f ( ) cos, tak pre všetky 7 Ak f ( ) tg, tak pre tie f ( ) [ tg] cos 8 Ak f ( ) [ ] cotg sin 9 Ak R f cotg,tak pre tie n n- α f n f α f a a ln a cos R je f [ cos ] sin, pre ktoré cos 0, je R, pre ktoré sin 0, je f log z, z >0, z, tak pre všetky >0 je f ( ) [ log ] z ln z Špeciálne, ak f ( ) ln, tak pre všetky >0 je f ( ) [ ln ] 0 Ak f ( ) arcsin, tak pre všetky (, ) je f ( ) [ arcsin ] Ak f ( ) arccos, tak pre všetky f ( ) [ arccos ] Ak f ( ) arctg, tak pre všetky Ak f ( ) arccotg, tak pre všetky, je R je f ( ) [ ] arctg + R je f ( ) [ ] arccotg +

6 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy n Príklad 74 Ovoďte vzorec pre deriváciu funkcie f v bode a n n n n n ( a)( + a + a + + a + a ) n n / a f ( a) lim lim a a a a lim + a + a + + a + a a + aa + a a + + a a + a n a a n n n n n n n n n n n 75 Derivácia súčtu, rozdielu, súčinu a podielu, derivácia zloženej funkcie Nasledujúca veta nám opisuje, ako derivujeme funkcie, ktoré dostaneme z elementárnych funkcií pomocou operácií súčtu, rozdielu, súčinu a podielu Veta 7: Nech funkcie f a g majú derivácie na množine M Potom aj funkcie ( c je reálne číslo), f + g, f - g a f g majú na tejto množine derivácie a platí: cf cf, f + g f + g, f g f g, 4 f g f g + f g Ak navyše g 0 pre všetky M derivácie aj funkcie g f g 5 6 g g g, f f g f g g g, pričom platí:, tak na množine M majú Poznámka: Vlastnosti derivácií funkcií, ako mnemotechnickú pomôcku bez presných predpokladov, si možno zapamätať takto: [ cf ] cf g [f + g] f + g g g [f g] f g f fg gf [fg] f g+ fg g g c f Príklad 75 Vypočítajte deriváciu funkcie y

7 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy Príklad 76 Vypočítajte deriváciu funkcie Použijeme vzorec f fg gf g g y +, pričom f a g ( + ) ( + ) ( + ) [ ] Veta 74 (o derivácii zloženej funkcie): Nech h f g je zložená funkcia, definovaná v nejakom okolí bodu a Nech funkcia g má deriváciu v bode a a funkcia f má deriváciu v bode ga Potom aj funkcia h má deriváciu v bode a a platí h ( a) f [ g( a) ] g ( a) Príklad 77 Zderivujte funkciu y sin ( 5 6) + + ( sin( ) ) cos( ) ( ) cos( ) ( + 5) ( ln( ) ) ( ) Príklad 78 Zderivujte funkciu y ln ( 5 6) Príklad 79 Zderivujte funkciu y tg( 5 6) + + ( ) ( ) + 5 tg cos cos ( ) 4 Príklad 70 Zderivujte funkciu y ln e arctg ( e ) ( ln e arctg ( e )) ( ln e ) arctg ( e ) 4 e ( + e ) + ln arctg 4 ( + e ) + + e + ( + e )

8 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy Čiastkové výpočty: ( ln + e ) ( + e ) ( + e ) e + e + e 4 4 ( 4 ) 4 e e e e + e + e + e + e ( ) ( ) arctg + e arctg + e + arctg + e ln arctg( + e ) + + e + + ( e ) + ( + e ) ( + e ) ( e ) ln arctg + e + + e ln arctg( + e ) Príklad 7 Odvoďte vzorec pre deriváciu ( f ( )) g Pre zjednodušenie budeme miesto f ( ) písať iba f a miesto g( ) iba g g ln f g ln f g ln f ln f g f f e e e g ln f e g ln f + g ln f f g ln f + g f g g Príklad 7 Vypočítajte deriváciu funkcie ( 4 + 6) Použijeme vzorec z príkladu 7 Zrejme: f f cos sin g ( ) g 8 y sin ( sin ) ( sin) ( 8 ) ln( sin) ( 4 6) cos sin 76 Derivácie vyšších rádov Derivácie vyšších rádov (alebo krátko vyššie derivácie) definujeme rekurentne: Nech funkcia f má deriváciu v každom bode neprázdnej množiny M, tj v každom bode M eistuje f ( ), čo je opäť funkcia definovaná na množine M Preto má zmysel uvažovať a pýtať sa, či eistuje derivácia funkcie f na množine M Ak táto derivácia eistuje, tak ju nazývame druhou deriváciou funkcie f na množine M a označujeme ju f f Analogicky tretiu deriváciu (ak eistuje) definujeme ako deriváciu druhej derivácie, atď (Pôvodnú hodnotu funkcie zvykneme tiež nazývať nultou deriváciou ) 4 4 5

9 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy Obecne: Hovoríme, že funkcia f má n-tú deriváciu na množine M, ak na tejto množine eistuje derivácia ( n ) -ej derivácie funkcie f N-tú deriváciu funkcie f označujeme ( f n ) Teda f ( n) ( n ) f Príklad 7 Vypočítajte druhú deriváciu funkcie Najskôr určíme prvú deriváciu funkcie f y ln ln ln + ln ln + ln + Teraz vypočítame druhú deriváciu funkcie f tak, že opäť zderivujeme jej prvú deriváciu Teda: ln ln ln + ln + ln + ln + + ln + + ln + 77 Úlohy Vypočítajte derivácie funkcií f f ( f ± g) f ± g n n n 7 4 f f ( f ± g) f ± g n n n f ln ( + ) f ( + ) f g f g g ( ( )) ( ln ) 6

10 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 4 f ln ( + ) f ( + ) f g f g g ( ( )) ( ln ) f ln + f ( + ) f g f g g 5 ( ( )) 6 ln ( ln ) f f ln + ( ln ) ln + ln + ( f g) f g+ f g ( ln ) 7 f sin f ( ) sin+ ( sin ) sin+ cos ( f g) f g+ f g ( sin ) cos f + 8 f ( + ) ( + ) + alebo () f f f g f g g g 7

11 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy V ďalších príkladoch už pripomenieme iba novopoužité pravidlá + 7 f + 9 f ( ) ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) ln 7 + ( ln ( + 7) ) ( + ) ln ( + 7) ( + ) ( + 7 ) ( + ) ln( + 7) f ( ) f ( ) ln( 7) ( + ) f ln 6 7 ln 6 6 ln ( a ) a lna f log ( 7 5 ) f ( 7 5 ) ( 0) ( ) 7 5 ln 7 5 ln 7 5 ln ( log a ) ln a f ln + ln f ( ) ln + ( ln ) + ln + ( ln ) ln + + ln + ( ) ln+ + ln + ( ) ln+ + ln + 8

12 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy cos 4 sin 4 f f ( sin ) ( sin ) cos 4 sin cos 4 sin sin 4 4 sin cos 4 cos cos sin cos 5 f f 6 f ( ) ( ) cos cos sin cos sin cos f + ln ( ) ln( ) + ( + ) ( ) ln( ) + ( f g ) f g g ln f g f + f 7 cos f sin cos sin f sin cos lnsin+ cos sin cos cos cos cos ( sin ) ( sin ) ln sin + ( cos ) ( sin ) ( sin ) ln sin sin + sin 8 f ( ) f ( ) ln + ln + ln + 9

13 Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 9 Vypočítajte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f 7 ;? + v bode [ ] dosadíme za číslo a vypočítame y: y f + 7 vypočítame k f : f + f + 7 z rovnice dotyčnice y k+ c vypočítame c: 7 + c c - dosadíme hodnoty k a c späť do rovnice dotyčnice y k+ c: y 7 0 Vypočítajte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f v bode [ ] dosadíme za číslo a vypočítame y: y f () vypočítame k f (): f ( ) f () z rovnice dotyčnice y k+ c vypočítame c: ( ) + c c dosadíme hodnoty k a c späť do rovnice dotyčnice y k+ c y + ;? 0