Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΚΗΠΕΥΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ Κηπευτό δάσος, ορισμός: Έκταση δάσους όπου απαντώνται όλες οι κλάσεις διαμέτρου και όλες οι ηλικίες.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΚΗΠΕΥΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ Κηπευτό δάσος, ορισμός: Έκταση δάσους όπου απαντώνται όλες οι κλάσεις διαμέτρου και όλες οι ηλικίες."

Transcript

1 Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΚΗΠΕΥΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ Κηπευτό δάσος, ορισμός: δάσους όπου απαντώνται όλες οι κλάσεις διαμέτρου και όλες οι ηλικίες. Σε αντίθεση με το ομήλικο δάσος, στο κηπευτό βρίσκονται επίλεκτα άτομα σε όλους τους ορόφους της συστάδας, απουσιάζει μια δευτερεύουσα συστάδα που έχει υπηρετούντα ρόλο ως προς την κύρια συστάδα. Η νεοφυτεία βρίσκεται παντού και είναι πάντοτε επιθυμητή. Χαρακτηριστικό του κηπευτού δάσους είναι ότι διάφορα καλλιεργητικά μέτρα συμπίπτουν τοπικά και χρονικά σε μια και μόνο επέμβαση, την κήπευση. Έτσι έχουμε δυο είδη επεμβάσεων: τις κηπεύσεις και τις περιποιήσεις της νεαρής συστάδας. Κατά την κήπευση, σε μια και μόνο επέμβαση κάθε φορά λαμβάνονται υπόψη όλα τα δασοκομικά μέτρα, από την περιποίηση των νεαρών κορμιδίων μέχρι την αναγέννηση και τη συγκομιδή. Συγχρόνως λαμβάνει χώρα η εκλογή των ώριμων προς υλοτομία δέντρων κατ άτομο σε όλους τους ορόφους της συστάδας (σε αντίθεση προς το ομήλικο δάσος). Κατά την κήπευση πρέπει να λαμβάνονται υπόψη οι εξής 4 αρχές ή κριτήρια: - Αρχή της επιλογής και ανατροφής - Αρχή της διατήρησης και βελτίωσης της δομής του κηπευτού δάσους - Αρχή της διαρκούς αναγέννησης - Αρχή της συγκομιδής Η κήπευση επιδιώκει να συνδυάσει όλες τις βαθμίδες ηλικίας και εξέλιξης των δέντρων και να τις διατηρήσει στο διηνεκές ακόμη και σε μικρές επιφάνειες. Έτσι η κηπευτή μορφή του δάσους βρίσκει εφαρμογή σε μικρές ιδιοκτησίες όπου μπορεί να τηρείται η αειφορία επειδή εκμεταλλεύεται με τον καλύτερο τρόπο τον τόπο. Πλεονεκτήματα διαχείρισης (ανομήλικων) κηπευτών Δασών Όταν έχουµε να διαχειριστούµε µικτά δάση σκιόφυτων ειδών, η διατήρηση της µίξης πετυχαίνεται καλύτερα µε τη διαχείριση κηπευτών δασών. Οι κηπευτές συστάδες έχουν ποικίλη κάθετη δοµή µε όλες τις κλάσεις διαµέτρων που εξασφαλίζουν µια κάθετη πολυώροφη συγκόµωση. Αυτή η δοµή παρέχει το λληλο οικότοπο για πολλά είδη χλωρίδας και πανίδας. Η διαχείριση κηπευτών δασών είναι κοινωνικά και αισθητικά ανώτερη σε σχέση µε τη διαχείριση οµήλικων δασών που αναγεννώνται µε αποψιλωτικές υλοτοµίες επειδή στα κηπευτά δάση ποτέ δεν υλοτοµούµε αποψιλωτικά. Η διαχείριση κηπευτών δασών παρέχει συνεχή κάλυψη του εδάφους µειώνοντας τα προβλήµατα διάβρωσης και πληµµυρών. Η διαχείριση κηπευτών δασών µπορεί να είναι πιο συµβατή µε τους οικονοµικούς περιορισµούς που συχνά τίθενται από τους δασοκτήµονες όπως πιο συχνή ρευστοποίηση ξυλαποθέµατος σε χρήµα και απαιτεί σχετικά µικρές επενδύσεις. Βρήκε έτσι µεγάλη εφαρµογή στις ελβετικές Άλπεις. Παρέχει σε θεωρητικό τουλάχιστον επίπεδο µεγαλύτερη παραγωγή σε σχέση µε την οµήλικη διαχείριση επειδή το έδαφος είναι συνέχεια καλυµµένο µε δέντρα. Πρακτικά όµως είναι πολύ δύσκολο να επιτευχθεί διαρκής αναγέννηση η οποία θα τροφοδοτεί την αύξηση των δέντρων. Μειονεκτήματα διαχείρισης (ανομήλικων) κηπευτών Δασών εν ενδείκνυται ως σύστηµα διαχείρισης για τα φωτόφιλα είδη. Αρκετά είδη άγριας πανίδας προτιµούν οµήλικες µορφές δασών µε τα διάκενα που δηµιουργούνται είτε από υλοτόµια ή άλλες αιτίες να παίζουν σηµαντικό ρόλο για την πανίδα. Η διαχείριση κηπευτών δασών είναι µια πολύπλοκη διαδικασία, η ιδανική κηπευτή δοµή δύσκολα επιτυγχάνεται και διατηρείται. Τα απογραφικά κόστη είναι αυξηµένα λόγω της πιο λεπτοµερούς απογραφής που χρειάζεται ένα κηπευτό δάσος. Οι συχνότερες ελαφρύτερες συγκοµίσεις προϊόντων στο κηπευτό δάσος οδηγούν σε υψηλότερα κόστη συγκοµιδής, σε ζηµιές στην παραµένουσα συστάδα κι σε φαινόµενα διάβρωσης λόγω της συχνότερης επέµβασης µε βαριά µηχανήµατα. Βασικές παράμετροι διαχείρισης κηπευτών δασών 1) Η επιδιωκόµενη - ιδανική κατανοµή διαµέτρων 2) Ο χρόνος περιφοράς 3) Η απόφαση για την ώριµη προς υλοτοµία διάµετρο των δέντρων 1

2 Ο Liocourt για πρώτη φορά απέδειξε ότι ο αριθµός των δέντρων κατ αυξανόµενη βαθµίδα διαµέτρου µειώνεται γεωµετρική πρόοδο όπου ο λόγος της οποίας είναι δυνατόν να υπολογισθεί και να εκφραστεί µε µια εκθετική συνάρτηση. Ο Myr έδωσε στην συνάρτηση αυτή τη µορφή: d = k ( d ) όπου κ, α: παράµετροι, : η βάση των νεπερίων λογαρίθµων, d: η στηθιαία διάµετρος Η επιδιωκόµενη - ιδανική κατανοµή διαµέτρων προσδιορίζεται συνήθως από τον παράγοντα Q την κυκλική επιφάνεια και τη µέγιστη επιδιωκόµενη διάµετρο. Ο παράγοντας Q είναι λόγος του αριθµού κορµών µιας κλάσης διαµέτρου προς τον αριθµό κορµών της επόµενης γειτονικής κλάσης διαµέτρων. Και ορίζει τη σχετική ισορροπία µεταξύ µικρότερων και µεγαλύτερων δέντρων. Για να είναι η επιδιωκόµενη κατανοµή διαµέτρων αειφορική θα πρέπει να υπάρχει πάντοτε ένας επιπλέον αριθµός δέντρων σε κάθε κλάση διαµέτρου στο τέλος του κάθε χρόνου περιφοράς έτσι ώστε να είναι ικανός να τροφοδοτήσει την υλοτοµία των δέντρων στην κλάση και να παραµείνει η επιδιωκόµενη δοµή σταθερή. Αυτό σηµαίνει ότι η άνοδος των µικρότερων δέντρων σε µια ανώτερη κλάση διαµέτρου θα πρέπει να είναι ίση ή να ξεπερνά το λήµµα και τη θνησιµότητα της κλάσης. Αυτό επιτρέπει τη συστάδα να αναπτύσσεται µεταξύ των χρόνων περιφοράς χωρίς να δηµιουργούνται κενά στην κατανοµή διαµέτρων. Η πυκνότητα της συστάδας που εκφράζεται µε την κυκλική επιφάνεια πρέπει να είναι αρκετά µικρή ώστε να επιτρέπει την αναγέννηση αλλά και αρκετά µεγάλη ώστε να εξασφαλίζει την µεγιστοποίηση της χρήσης του τόπου. Η ώριµη προς υλοτοµία διάµετρος ορίζει το µέγεθος στο οποίο το δέντρο θεωρείται ώριµο και ότι η συνέχιση της αύξησής του δεν θα είναι τόση ώστε να εξασφαλίζει την ορθή εκµετάλλευση του τόπου. Ο χρόνος περιφοράς θα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η αριστοποίηση µεταξύ του κόστους των επεµβάσεων (υλοτοµιών) και της απόκλισης από την καµπύλης της επιθυµητής δοµής του κηπευτού δάσους. Με µικρούς χρόνους περιφοράς η πυκνότητα των συστάδων κρατείται κοντά στο άριστο για αύξηση και αναγέννηση. Με µεγαλύτερους χρόνους περιφοράς η πυκνότητα των συστάδων στη αρχή του χρόνου περιφοράς πρέπει να είναι σχετικά µικρή ώστε να αφήνει περισσότερο χρόνο ώστε να υπάρξει αναγέννηση πριν κλείσει η συστάδα. Η κατανοµή διαµέτρων θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε µετά από ένα χρόνο περιφοράς να µπορεί να αποµακρυνθεί η περίσσεια δέντρων σε κάθε κλάση διαµέτρων ώστε η δοµή της συστάδας να είναι όπως του σχήµατος 1. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν αρκετά δέντρα κάθε αµέσως κατώτερη κλάση διαµέτρου που µεγαλώνουν και αναπληρώνουν αυτά της κάθε αµέσως ανώτερης κλάσης διαµέτρου αυτά που αποµακρύνονται από υλοτοµία ή θνησιµότητα. Αυτό οδηγεί σε µια ιδεατή κατανοµή αντίστροφου J όπως περιγράφεται στο σχήµα ατόμων /H Κλάσεις διαμέτρου (cm) Σχήμα 1: Ιδεατή κατανομή διαμέτρων κηπευτού δάσους Η παραδοχή που είναι ευρέως αποδεκτή στην διαχείριση κηπευτών δασών είναι ότι ο λόγος του αριθµού κορµών σε οποιαδήποτε κλάση διαµέτρου προς τον αριθµό κορµών της γειτονικής κλάσης διαµέτρου είναι σταθερός και ονοµάζεται παράγοντας Q 2

3 Εάν Ν(d) είναι ο αριθµός κορµών στην κλάση διαµέτρου d, τότε ο παράγοντας Q µπορεί να εκφραστεί µε την εξής σχέση: Q = ( d ) ( d+ 1) Η αρνητική εκθετική κατανομή κλάσεων διαμέτρων Αυτή η κατανοµή έχει ως χαρακτηριστικό ότι ο παράγοντας Q είναι σταθερός για όλες τις κλάσεις διαµέτρων. Μια αρνητική κατανοµή διαµέτρων µπορεί να εκφραστεί µε τον εξής τύπο: d ( d ) = k όπου κ, α: παράµετροι, : η βάση των νεπερίων λογαρίθµων Για να αποδείξουµε ότι η εξίσωση αυτή δίνει ένα σταθερό αριθµό µεταξύ του αριθµού ατόµων δύο διαδοχικών κλάσεων διαµέτρου θα χρησιµοποιήσουµε την εξίσωση του παράγοντα Q αντικαθιστώντας τα δυο µέρη του κλάσµατος µε την εξίσωση της κατανοµή κορµών. ( d ) ( d ) ( d ) k Q= = ( d+ 1) = = d ( d+ 1) k = 1 ( ) α (1) α Επειδή α είναι σταθερό, αποδεικνύεται ότι ο λόγος δύο διαδοχικών κλάσεων διαµέτρου στην εξίσωση κατανοµής κορµών είναι σταθερός αριθµός. Έτσι µπορεί να προσδιοριστεί ο παράγοντας Q από την εξίσωση κατανοµής κορµών ή να υπολογισθεί η παράµετρος α που αντιστοιχεί σε συγκεκριµένο παράγοντα Q: Q= = Ln(Q) Αυτή η σχέση σας επιτρέπει να ορίσετε τον παράγοντα Q για κάθε εξίσωση κατανοµής κορµών κηπευτού δάσους και αντίθετα αν είναι γνωστό τι παράγοντα Q θέλετε λύνοντας ως προς α έχετε την κλίση της εξίσωσης. Παράδειγμα: Υπολογισμός του Q από το α. 0,1823 d 0,1823 d ) = Q = = ( 65 1, 20 Υπολογισμός του α από το Q Τι τιµή του α δίνει κατανοµή κορµών κηπευτού δάσους µε παράγοντα Q=1,3; = ln(q) = ln(1.3) = Γνωρίζοντας την τιµή της παραµέτρου α στην εξίσωση κατανοµής είναι ισοδύναµο µε το να γνωρίζουµε τον παράγοντα Q. Η άλλη παράµετρος στην εξίσωση είναι η k. Αυτή η παράµετρος δίνει το σηµείο στο οποίο η κατανοµή διαµέτρων τέµνει τον άξονα Υ, δηλαδή για dbh=0 η k παίρνει την τιµή: (0)= k* -(0) = k* 0 =k Έτσι η παράµετρος k αποτελεί το σταθερό όρο που εκφράζει την ποσότητα της αναγέννησης που χρειάζεται σε κάθε χρονική στιγµή ώστε να διατηρείται η ιδανική κατανοµή διαµέτρων. Αντίστοιχα η α παράµετρος εκφράζει την κλίση της εξίσωσης Όταν είναι γνωστά τα k και α έχουµε πλήρως ορίσει την εξίσωση κατανοµής κορµών στο κηπευτό δάσος, χρειάζεται µόνο µια ακόµη πληροφορία η µέγιστη προς υλοτοµία διάµετρος. 3

4 Συστάδα Α F=15,0 H ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΗΠΕΥΤΟΥ ΑΣΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ: Δεδομένα: Σας δίνονται τα δεδομένα απογραφής ενός δασικού τμήματος κηπευτού δάσους ελάτης σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα 1. Πίνακας 1 Αποτελέσματα απογραφής δασικού τμήματος κηπευτού δάσους ελάτης. Μεταβλητή Τιμές στο Ηα και κλάσεις διαμέτρου (cm) 12-20(I) 21-36(II) >36 (III) ,0 8,0 13,0 26,0 V 30 80,0 150, ,2 3,3 4,0 9,5 Συνολικές τιμές κλάσεις διαμέτρου Σύνολο (I) (II) >36 (III) Σύνολο Β F=11,5 H C F=8,0 H Σύνολο (Α,Β,C) F=15,0+11,5+ 8,0=34,5 H V V V , ,5 22, ,5 1,55 2,2 2,5 6, ,0 8,0 13, ,0 30,0 100,0 145,0 0,9 1,1 1,0 3,0 4

5 Πίνακας 2:Πραγματική κατανομή κορμών ανά βαθμίδα διαμέτρου 4 εκ. για τις τρεις ποιότητες τόπου Βαθμίδα διαμέτρου Α B C Πίνακας 3: Χαρακτηριστικά μεγέθη στο Ηα των προτύπων (κανονικών) κηπευτών δασών ελάτης στην Ελλάδα για τις τρεις ποιότητες τόπου (Α=προέχουσα, Β= μέτρια, C= υστερούσα) ς (1978) Τιμές στο Ηα και κλάσεις διαμέτρου (cm) Μεταβλητή 0-20(I) 21-36(II) >36 (III) Σύνολο Α ,402 7,179 17,320 29,901 V 34,414 66, , ,997 2,230 2,878 4,784 9, Β 6,193 7,694 14,262 28,149 V 28,939 64, , ,569 1,188 1,630 2,577 5, C 6,942 8,248 11,135 26,307 V 21,438 39,618 67, ,695 0,934 0,965 1,100 2,999 Εξισώσεις κατανοµής κορµών σταθµική : 0, d Α: ( d ) = 236, , ώριµη προς υλοτοµία διάµετρος: 68 εκ. Β: d ) C: d ) ( = 10 0, d 294,4207,ώριµη προς υλοτοµία διάµετρος: 60 εκ. ( = 10 0, d 381,4773, ώριµη προς υλοτοµία διάµετρος: 52 εκ. 5

6 Να ρυθµίσετε τις καρπώσεις σύµφωνα µε την αρχή της αειφορίας των καρπώσεων ΛΥΣΗ - Προσδιορίζουµε τα συνολικά αποτελέσµατα του πίνακα 1 - Απεικονίζουµε τα πραγµατικά µε τα επιδιωκόµενα µεγέθη στα σχήµατα 2 και 3 - Αναλύουµε τις δυνατότητες αποστασης της κανονικότητας και ρύθµισης των καρπώσεων Vw µε τη µέθοδο της προσαύξησης µε εξίσωση των ξυλαποθεµάτων: E= + όπου Ε: Ετήσιο λήµµα (m 3 /έτος), Ζ : τρέχουσα προσαύξηση (m 3 /έτος), V w : πραγµατικό ξυλαπόθεµα, (m 3 ) Vn:Κανονικό ξυλαπόθεµα (m 3 ), α: χρόνος εξίσωσης ξυλαποθεµάτων 20 έτη - Καταχώρηση των αποτελεσµάτων σχεδιασµού στον πίνακα 4 Σχήµα 2: Πραγµατική και κανονική κατανοµή κορµών ανά ποιότητα τόπου Σχήµα 3: Πραγµατική και κανονική κατανοµή κορµών ανά κλάση διαµέτρου και ποιότητα τόπου Υπολογισµός του Ετήσιου Λήµµατος: Από τον πίνακα 1 προκύπτει συνολικό πραγµατικό ξυλαπόθεµα V w = m 3 Από τον πίνακα 3προκύπτει συνολικό κανονικό ξυλαπόθεµα: Vn=(291,997*15)+(206,569*11,5)+(128,695*8)= V n = m 3 Η τρέχουσα προσαύξηση από τον πίνακα 1 είναι: + + = m 3 /έτος Vw + = m 3 Αναλυτικά ανά σταθµική : Από τον τύπο του ετησίου λήµµατος έχω: Για την Α σταθµική : 6

7 Vw + = m 3 Για την Β σταθµική : Vw + = m 3 Για την C σταθµική : Vw + = m 3 Συνολικό λήµµα: Ε Α +Ε Β +Ε C = m 3 Σχήµα 4: Συγκριτική απεικόνιση πραγματικού και κανονικού ξυλαποθέματος Προκειµένου να σχεδιάσουµε τις καρπώσεις µας στο κηπευτό δάσος ς λαµβάνουµε υπόψη µας ότι όταν πρόκειται να ρευστοποιήσουµε ξυλαπόθεµα γιατί είµαστε πιο πάνω από την κανονική σταση αυτή η ρευστοποίηση που εκφράζεται µε το λήµµα δεν πρέπει να ξεπερνάει το διπλάσιο της προσαύξησης και στην αντίθετη περίπτωση που θέλουµε να αποταµιεύσουµε ξυλαπόθεµα γιατί είµαστε πιο χαµηλά από την κανονική σταση το λήµµα δεν πρέπει να φτάνει το µισό της προσαύξησης. Αυτό γίνεται γιατί πρέπει να διατηρήσουµε αυστηρά τη δοµή της συστάδας όσο πιο κοντά γίνεται στην επιθυµητή σταση. Πίνακας 4: Σχεδιασµός των καρπώσεων στο κηπευτό δάσος ς Συστάδα Έκαταση (Ηα) Α Β C Σύνολο Καρπώσεις (m 3 ) <20 (III) (II) >34 (I) Σύνολο 7

Μέθοδοι κανονικού ξυλαποθέματος και προσαύξησης ή Μέθοδοι Μαθηματικών Τύπων

Μέθοδοι κανονικού ξυλαποθέματος και προσαύξησης ή Μέθοδοι Μαθηματικών Τύπων Μέθοδοι κανονικού ξυλαποθέματος και προσαύξησης ή Μέθοδοι Μαθηματικών Τύπων Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής

Διαβάστε περισσότερα

Αυξητική και Ωριμότητα

Αυξητική και Ωριμότητα Αυξητική και Ωριμότητα Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 510 60435 E-mail: vkazaa@teikav.e.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικότητα. Δρ. Βασιλική Καζάνα

Κανονικότητα. Δρ. Βασιλική Καζάνα Κανονικότητα Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210 60435 E-mail: vkazana@teikav.edu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΔΑΣΙΚΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΙΚΗΣ. Ηλίας Ζαλαβράς

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΔΑΣΙΚΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΙΚΗΣ. Ηλίας Ζαλαβράς ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΔΑΣΙΚΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΙΚΗΣ Ηλίας Ζαλαβράς Δημιουργία τάξεως προς κάθε κατεύθυνση Αειφορία Δασοπονικοί σκοποί Κατά χρόνο τάξη Κατά χώρο τάξη Καθορισμός του λήμματος Αειφορία Επιδίωξη διαρκών και

Διαβάστε περισσότερα

Αειφορία και σύγχρονες τάσεις (αειφορικής) διαχείρισης των δασών

Αειφορία και σύγχρονες τάσεις (αειφορικής) διαχείρισης των δασών ΕΘΝΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ (ΕΘΙΑΓΕ) ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΣΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Αειφορία και σύγχρονες τάσεις (αειφορικής) διαχείρισης των δασών ρ. Σ. Γκατζογιάννης, Τακτικός ερευνητής Ι Ε/ ΕΘΙΑΓΕ 1. Το σύστηµα αξιών

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Διαχείρισης Ξυλοπαραγωγικών Δασών

Σχεδιασμός Διαχείρισης Ξυλοπαραγωγικών Δασών Σχεδιασμός Διαχείρισης Ξυλοπαραγωγικών Δασών Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ:

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασιλική Καζάνα. Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Δρ. Βασιλική Καζάνα. Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Μέθοδοι επιφάνειας Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210 60435 E-mail: vkazana@teikav.edu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού

Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210 60435

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των περιοδικών ξυλωδών λημμάτων

Μέθοδος των περιοδικών ξυλωδών λημμάτων Μέθοδος των περιοδικών ξυλωδών λημμάτων Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες μέθοδοι διαχείρισης

Σύγχρονες μέθοδοι διαχείρισης Σύγχρονες μέθοδοι διαχείρισης Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210 60435 E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος κλάσεων ηλικίας και κατά συστάδα σχεδιασμό

Μέθοδος κλάσεων ηλικίας και κατά συστάδα σχεδιασμό Μέθοδος κλάσεων ηλικίας και κατά συστάδα σχεδιασμό Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτες δομής συστάδων ως εργαλεία διαχείρισης δασών για την κλιματική αλλαγή

Δείκτες δομής συστάδων ως εργαλεία διαχείρισης δασών για την κλιματική αλλαγή Δείκτες δομής συστάδων ως εργαλεία διαχείρισης δασών για την κλιματική αλλαγή Έργο: LIFE+ Προσαρμογή της δασικής διαχείρισης στην κλιματική αλλαγή στην Ελλάδα AdaptFor (Life08 ENV/GR/00054). Δρ. Καλλιόπη

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ

Ι. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ Μ Ε Ρ Ο Σ Δ Ε Υ Τ Ε Ρ Ο Ι. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ Ο σαφής καθορισμός του σκοπού της δασοπονίας και η τήρηση ενός προδιαγραμμένου σχεδίου είναι στοιχεία που εξασφαλίζουν αν όχι την επιτυχία του, τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Αειφόρος διαχείριση δασών ως κρίσιμος παράγοντας του εγχώριου κλάδου αξιοποίησης βιομάζας

Αειφόρος διαχείριση δασών ως κρίσιμος παράγοντας του εγχώριου κλάδου αξιοποίησης βιομάζας Αειφόρος διαχείριση δασών ως κρίσιμος παράγοντας του εγχώριου κλάδου αξιοποίησης βιομάζας Ιωάννης Ελευθεριάδης, ΚΑΠΕ 08 Απριλίου 2016 Metropolitan Expo Ξυλώδης βιομάζα και τάσεις 70% της παραγωγής ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΣΟΥΣ. Δρ. Βασιλική Καζάνα

ΔΑΣΟΥΣ. Δρ. Βασιλική Καζάνα ΚΑΤΑ ΧΩΡΟ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΔΑΣΟΥΣ Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210 60435 E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμογή της Διαχείρισης των Δασών στην Κλιματική Αλλαγή στην Ελλάδα: Δασαρχείο Καλαμπάκας

Προσαρμογή της Διαχείρισης των Δασών στην Κλιματική Αλλαγή στην Ελλάδα: Δασαρχείο Καλαμπάκας Προσαρμογή της Διαχείρισης των Δασών στην Κλιματική Αλλαγή στην Ελλάδα: Δασαρχείο Καλαμπάκας Ομάδα έργου: Παναγιώτης Πουλιανίδης, Αναστασία Κάκια, Φωτεινή Πελεκάνη Σεμινάριο Κατάρτισης Δασικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

-1- Π = η απόλυτη παράλλαξη του σημείου με το γνωστό υψόμετρο σε χιλ.

-1- Π = η απόλυτη παράλλαξη του σημείου με το γνωστό υψόμετρο σε χιλ. -1- ΜΕΤΡΗΣΗ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΑΝΑΓΛΥΦΟΥ. Η γνώση των υψομέτρων διαφόρων σημείων μιας περιοχής είναι πολλές φορές αναγκαία για ένα δασοπόνο. Η χρησιμοποίηση φωτογραμμετρικών μεθόδων με τη βοήθεια αεροφωτογραφιών

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Τα προβλήµατα που υπάρχουν πάντα στις περιπτώσεις βαρυτοµετρικών διαχωρισµών είναι η γνώση της συµπεριφοράς των στερεών, όσον αφορά στην καταβύθισή τους µέσα

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

«Εφαρμογή της ανάλυσης επιβίωσης για την αξιολόγηση της θνησιμότητας των δέντρων στο δάσος Ελατιάς Δράμας»

«Εφαρμογή της ανάλυσης επιβίωσης για την αξιολόγηση της θνησιμότητας των δέντρων στο δάσος Ελατιάς Δράμας» Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Τμήμα Δασολογίας Μεταπτυχιακή διατριβή «Εφαρμογή της ανάλυσης επιβίωσης για την αξιολόγηση της θνησιμότητας των δέντρων στο δάσος Ελατιάς Δράμας» Αποστολοπούλου Ευαγγελία

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2

0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

5.1.1 Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 5.1 ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ Ο κλάδος των Τηλεπικοινωνιών είναι από τους ταχέως αναπτυσσόµενους κλάδους σχεδόν σε κάθε χώρα. Οι υπηρεσίες τέτοιου είδους αποτελούν το πιο απλό

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 η. Αποτελεσματικότητα και Ευημερία

Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 η. Αποτελεσματικότητα και Ευημερία Κοινωνικοοικονομική Αξιολόγηση Επενδύσεων Διάλεξη 3 η Αποτελεσματικότητα και Ευημερία Ζητήματα που θα εξεταστούν: Πότε και πως επιτυγχάνεται η οικονομική αποτελεσματικότητα Θεωρήματα των οικονομικών της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων

Εργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΑΝΔΡΟΥΛΑΚΗ) Η εξέταση των πολύπλοκων δεσμών που συνδέουν τα δημογραφικά φαινόμενα με τους πληθυσμούς από τους οποίους προέρχονται και τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Κεφάλαιο 3 Οικονοµικά των Επιχειρήσεων Ε. Σαρτζετάκης 1 Καταναλωτική συµπεριφορά! Σκοπός αυτής της διάλεξης είναι να εξετάσουµε τον τρόπο µε τον οποίο οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Ταδάσηκαλύπτουντοένατρίτοτουεδάφους της γης. Σχηµατίστηκαν πριν από 350 εκατοµµύρια χρόνια ως διαρκής µορφή βλάστησης µε πλούσια παραγωγή βιοµάζας

Ταδάσηκαλύπτουντοένατρίτοτουεδάφους της γης. Σχηµατίστηκαν πριν από 350 εκατοµµύρια χρόνια ως διαρκής µορφή βλάστησης µε πλούσια παραγωγή βιοµάζας Οικονομικές βάσεις της Δασικής Διαχειριστικής Ταδάσηκαλύπτουντοένατρίτοτουεδάφους της γης. Σχηµατίστηκαν πριν από 350 εκατοµµύρια χρόνια ως διαρκής µορφή βλάστησης µε πλούσια παραγωγή βιοµάζας και είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πόλωση των Τρανζίστορ

Πόλωση των Τρανζίστορ Πόλωση των Τρανζίστορ Πόλωση λέμε την κατάλληλη συνεχή τάση που πρέπει να εφαρμόσουμε στο κύκλωμα που περιλαμβάνει κάποιο ηλεκτρονικό στοιχείο (π.χ τρανζίστορ), έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε την ομαλή λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ):

Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ): 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Ποιο είναι το αντικείμενο της Οικονομικής Επιστήμης; 2. Πως εμφανίζονται τα βασικά οικονομικά προβλήματα στην οικονομία του Ροβινσώνα Κρούσου; 3. Ποιες ανάγκες ονομάζονται οικονομικές;

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ (Ιδίως των μεταλλείων και λατομείων)

Η ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ (Ιδίως των μεταλλείων και λατομείων) Η ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ (Ιδίως των μεταλλείων και λατομείων) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Έννοια του όρου αποκατάσταση Ο προσδιορισμός μιας έννοιας, το περιεχόμενο της και η δυναμική που

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραµµα Α. B. Γ.. Ε. 7 . * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων

Εργαστήριο Δημογραφικών & Κοινωνικών Αναλύσεων Το κείμενο που ακολουθεί είναι απόσπασμα από το βιβλίο του Β. Κοτζαμάνη, Στοιχεία Δημογραφίας, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Θεσσαλίας, Βόλος, 9, σσ. 95-99. IV.5 Υποδείγματα πληθυσμού: στάσιμος και σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Κεφάλαιο 1 ο

Επαναληπτικές ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Κεφάλαιο 1 ο Επαναληπτικές ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Κεφάλαιο 1 ο 1. Σε γραµµική ΚΠ της µορφής Y = a+ β X : α. Η µέγιστη ποσότητα για το αγαθό Υ παράγεται όταν Y = β β. Η µέγιστη ποσότητα για το αγαθό Χ παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1

Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική. 2 η έκδοση. Chapter 1 Philip McCann Αστική και περιφερειακή οικονομική 2 η έκδοση Chapter 1 Κεφάλαιο 1 Χωροθέτηση δραστηριοτήτων Περιεχόμενα διάλεξης Υπόδειγμα για τη χωροθέτηση της παραγωγής Weber και Moses Ανάλυση της περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Ορθή πόλωση της επαφής p n

Ορθή πόλωση της επαφής p n Δύο τρόποι πόλωσης της επαφής p n Ορθή πόλωση της επαφής p n Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ορθή πόλωση p n Άνοδος Κάθοδος Ανάστροφη πόλωση p n Άνοδος Κάθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2016-17 Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων Άσκηση 1 1. α) Αν βάλουµε την ποσότητα του αγαθού X στον οριζόντιο και την ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού

Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Βασική θεωρία Ολιγοπωλιακού ανταγωνισµού Οµοιογενή Προϊόντα Ισορροπία Courot-Nash Έστω δυοπώλιο µε συνάρτηση ζήτησης: ( ) a b a, b > 0 () Βέβαια ισχύει ότι: + () Ακόµα υποθέτουµε ότι η τεχνολογία παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΑΣΩΝ: ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΑΣΩΝ: ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΤΩΝ ΔΑΣΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ: ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΔΑΣΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΑΣΩΝ: ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΕΛΙΣΑΒΕΤ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παραγωγού. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 11 / Φ. Κουραντή 1

Θεωρία παραγωγού. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 11 / Φ. Κουραντή 1 Θεωρία παραγωγού Σκοπός: Μεγιστοποίηση κερδών (υπάρχουν κι άλλοι σκοποί, π.χ. ένας μάνατζερ επιδιώκει την μεγιστοποίηση εσόδων κτλ. Τελικά όμως σκοπεύει στην μεγιστοποίηση των κερδών για να μπορέσει να

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική 1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Τσελεκούνης Μάρκος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης mtselek@unipi.gr http://www.unipi.gr/unipi/en/mtselek.html Γραφείο 516 Ώρες Γραφείου: Τετάρτη 12:00-14:00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμογή της Διαχείρισης των Δασών στην Κλιματική Αλλαγή στην Ελλάδα: Δασαρχείο Πάρνηθας. Ομάδα έργου: Γ. Ζαρείφης Ηλ. Ντούφας Γ. Πόθος Κ.

Προσαρμογή της Διαχείρισης των Δασών στην Κλιματική Αλλαγή στην Ελλάδα: Δασαρχείο Πάρνηθας. Ομάδα έργου: Γ. Ζαρείφης Ηλ. Ντούφας Γ. Πόθος Κ. Προσαρμογή της Διαχείρισης των Δασών στην Κλιματική Αλλαγή στην Ελλάδα: Δασαρχείο Πάρνηθας Ομάδα έργου: Γ. Ζαρείφης Ηλ. Ντούφας Γ. Πόθος Κ. Ψαρρή Σεμινάριο Κατάρτισης Δασικών Υπηρεσιών 18-19 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Φωτογραφική μηχανή - Αρχή λειτουργίας.

Φωτογραφική μηχανή - Αρχή λειτουργίας. Ο25 Φωτογραφική μηχανή - Αρχή λειτουργίας. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή γίνεται μία παρουσίαση των βασικών στοιχείων της φωτογραφικής μηχανής (φακός φωτοφράκτης - διάφραγμα αισθητήρας) καθώς και μία σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

Ορθή πόλωση της επαφής p n

Ορθή πόλωση της επαφής p n Δύο τρόποι πόλωσης της επαφής p n Ορθή πόλωση της επαφής p n Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ορθή πόλωση p n Άνοδος Κάθοδος Ανάστροφη πόλωση p n Άνοδος Κάθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση της παρούσας κατάστασης των περιοχών έρευνας από δασοκομική και οικοφυσιολογική άποψη

Αξιολόγηση της παρούσας κατάστασης των περιοχών έρευνας από δασοκομική και οικοφυσιολογική άποψη LIFE + AdaptFor Αξιολόγηση της παρούσας κατάστασης των περιοχών έρευνας από δασοκομική και οικοφυσιολογική άποψη Επίδραση της κλιματικής αλλαγής στα Δασικά οικοσυστήματα Καλλιόπη Ραδόγλου & Γαβριήλ Σπύρογλου

Διαβάστε περισσότερα

IV.11 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

IV.11 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ IV. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισμός ελαστικότητας 3.Σχετικά διαφορικά 4.Ελαστικότητα αντίστροφης 5.Ομογενείς συναρτήσεις 6.Λογισμός ρυθμών και διαφορικών 7.Λογαριθμική κλίμακα.

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4. 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σκοπός της ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι ο ορισμός εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο της,

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα