Διπλωματική Εργασία. του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωματική Εργασία. του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Κωνσταντίνου Γκούντα του Ρουσατ-Ατέφ Αριθμός Μητρώου: Θέμα Σύστημα ελέγχου Quadrotor με ανοχή σε σφάλματα Επιβλέπων Αντώνιος Τζες, Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιανουάριος 2015

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα Σύστημα ελέγχου Quadrotor με ανοχή σε σφάλματα Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Κωνσταντίνου Γκούντα του Ρουσατ-Ατέφ Αριθμός Μητρώου: Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Αντώνιος Τζες Καθηγητής Νικόλαος Κούσουλας Καθηγητής

4

5 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: Σύστημα ελέγχου Quadrotor με ανοχή σε σφάλματα Φοιτητής: Γκούντας Κωνσταντίνος Επιβλέπων: Τζες Αντώνιος Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη μελέτη και τη μοντελοποίηση ενός ελεγκτή, ο οποίος δύναται να διατηρήσει τον έλεγχο ενός ιπτάμενου ελικοπτέρου τεσσάρων ελίκων γνωστό και ως quadrotor, σε περίπτωση δυσλειτουργίας κάποιου κινητήρα. Η μοντελοποίηση και η προσομοίωση γίνεται με τη βοήθεια του προγράμματος Μatlab/Simulink. Αναλυτικότερα, στο κεφάλαιο 1, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση του quadrotor, αναφέροντας τον τρόπο λειτουργίας του και τους σημαντικότερους σταθμούς της ιστορίας του μέχρι σήμερα. Στη συνέχεια, επισημαίνεται η αναγκαιότητα ενσωμάτωσης συστημάτων αυτομάτου ελέγχου σε συστήματα που επηρεάζουν άμεσα ή έμμεσα την ανθρώπινη ζωή καθώς και η σπουδαιότητα βελτίωσης αυτών, κάνοντάς τα ανεχτικά σε σφάλματα και δυσλειτουργίες. Στο κεφάλαιο 2, μελετώνται οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση και τον προσανατολισμό του quadrotor. Έτσι δημιουργείται το μοντέλο του συστήματος, τόσο με σταθερό όσο και με μεταβλητό κέντρο μάζας, το οποίο θα χρησιμοποιηθεί στις προσομοιώσεις για την αξιολόγηση των ελεγκτών. Τονίζεται πως η αντίσταση του αέρα δεν θεωρείται πλέον αμελητέα καθώς επηρεάζει σε σημαντικό βαθμό τη κατάσταση του οχήματος. Στο κεφάλαιο 3, δίνεται το θεωρητικό υπόβαθρο στο όποιο θα στηριχτούν οι ελεγκτές που θα δημιουργηθούν. Πιο συγκεκριμένα, γίνεται μια παρουσίαση του ελεγκτή PID, καθώς και πως επηρεάζουν οι μεταβλητές του ένα σύστημα. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται σημαντικές πληροφορίες για την μοντελοποίηση των σφαλμάτων και το κεφάλαιο κλείνει με τη παρουσίαση ελεγκτών με ανοχή σε σφάλματα. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζονται τα μοντέλα των ελεγκτών που χρησιμοποιήθηκαν στις προσομοιώσεις. Πιο αναλυτικά, ξεκινώντας από ένα ελεγκτή ικανό υπό προϋποθέσεις, καταλήγουμε σε ένα εύρωστο ελεγκτή αξιοποιώντας τη μετακίνηση του κέντρου μάζας. Για κάθε ελεγκτή δίνονται οι παράμετροι καθώς και η σχηματική του απεικόνιση στο simulink. Στο κεφάλαιο 5, παρουσιάζονται και σχολιάζονται αναλυτικά τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων. Δίνονται γραφήματα που αφορούν τη θέση και τον προσανατολισμό σε όλη τη διάρκεια της πτήσης αλλά και στο κρίσιμο μεταβατικό φαινόμενο. Τέλος, επισημαίνονται τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα καθενός από τους υλοποιημένους ελεγκτές. Στο κεφάλαιο 6, δίνονται τα συμπεράσματα, αναφέρονται παρόμοιοι ελεγκτές και επιτεύγματα στο τομέα αυτό καθώς και οι διαφορές των ήδη υπαρχόντων λύσεων με τη δική μας προσέγγιση.

6 Abstract In this thesis, a control system, capable of retaining the control of a quadrotor vehicle when one of its actuators fails, is studied and simulated. The software which was used for modeling and simulation is Matlab/Simulink. Specifically, in Chapter 1, there is a brief presentation of quadrotor, stating how it operates and mentioning the most important historical cornerstones. Subsequently, we point to the necessity of integration of automatic control systems to systems that directly or indirectly affect human life and the importance of their improvement by making them tolerant to errors and malfunctions. In Chapter 2, we study the equations that describe the movement and orientation of the quadrotor. Using these equations, the quadrotor model is created, both for fixed and movable center of mass, which will be used in this thesis simulations. It is important to mention that the air resistance is no longer considered negligible as it significantly affects the state of the vehicle. In Chapter 3, the theoretical background is given upon which the controllers will be implemented. More specifically, the PID controller is presented, and its influence on the system s performance. The modeling of quadrotor s faults is presented and the chapter ends with the presentation of fault tolerant controllers. Chapter 4 presents the controllers models which were used in the simulations. Specifically, starting from a controller designed around a nominal operating point, we arrive at a robust controller utilizing the movement of the center of mass. For each controller, its parameters are given as well as its model in Simulink. In Chapter 5, the simulations results are presented and discussed in detail. Graphs are used to show the position and the orientation not only throughout the flight but also during the critical transition phenomenon. Finally, advantages and disadvantages of each of the implemented controllers are stated. In Chapter 6, there is the conclusion of the thesis. Similar controllers or achievements are mentioned and how our approximation differs from the other existing solutions.

7 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα Καθηγητή της παρούσας διπλωματικής εργασίας, κ. Τζε για τις συμβουλές και τη συνολική καθοδήγηση που μου προσέφερε. Επίσης, ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στην οικογένεια μου για τη συμπαράστασή τους καθ' όλη τη διάρκεια των σπουδών μου.

8 Περιεχόμενα Κεφάλαιο Κίνητρα Quadrotor Εξέλιξη των quadrotor Πρώτες προσπάθειες Σύγχρονα μοντέλα Ανοχή σε σφάλματα (Fault tolerance) Σκοπός της εργασίας Κεφάλαιο Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor Υποθέσεις Συστήματα συντεταγμένων Μοντελοποίηση Newton-Euler Χωρίς κινητά σημεία Με μετακινούμενη μάζα Αντίσταση του αέρα Μοντελοποίηση κινητήρων Κεφάλαιο PID Fault Τolerant Control Κατηγορίες σφαλμάτων Fault Detection Methods Fault Tolerant Controllers Κεφάλαιο Εισαγωγή Ελεγκτής GS-PID Μετακινούμενη μάζα Control re-allocation Robust Κεφάλαιο Ελεγκτής GS-PID Control re-allocation... 71

9 5.3 Robust έλεγχος Κεφάλαιο Συμπεράσματα Παράρτημα Κώδικες MUPAD για τη δημιουργία του μοντέλου Συνάρτηση μοντέλου δημιουργημένη από MUPAD Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία... 82

10 Κατάλογος εικόνων Σχήμα 1-1 Κατηγοριοποίηση ιπτάμενων οχημάτων Σχήμα 1-2 Quadrotor Σχήμα 1-3 Σχηματική παρουσίαση του οχήματος και των αξόνων του (B-frame) Σχήμα 1-4 Ώθηση Σχήμα 1-5 Περιστροφή Roll Σχήμα 1-6 Περιστροφή Pitch Σχήμα 1-7 Περιστροφή yaw Σχήμα 1-8 Quadrotors: Draganflyer και το Microdrones-md Σχήμα 1-9 Gyroplane No.1, Σχήμα 1-10 Oemichen No. 2, Σχήμα 1-11 De Bothezat Quadrotor, February 21, Σχήμα 1-12 Convertawings Model A, 1955/1956, First flight in March Σχήμα 1-13 Curtiss-Wright VZ-7, Σχήμα 1-14 Mesicopter από το Stanford University Σχήμα 1-15 Starmac Σχήμα 1-16 Quadrotor του πανεπιστημίου της Pennsylvania Σχήμα 2-1 Συστήματα συντεταγμένων Σχήμα 2-2 Quadrotor χωρίς μετακινούμενη μάζα Σχήμα 2-3 Quadrotor με μετακινούμενη μάζα Σχήμα 2-4 Κύκλωμα κινητήρα Σχήμα 2-5 Δείγμα BLDC Σχήμα 3-1 Ελεγκτής συστήματος Σχήμα 3-2 Χρονική απόκριση Σχήμα 3-3 Επίδραση των όρων του PID Σχήμα 3-4 Κατηγορίες σφαλμάτων Σχήμα 3-5 Κατηγορίες σφαλμάτων με βάση το χρόνο Σχήμα 3-6 Σύστημα FTC με FDD Σχήμα 3-7 Καθυστέρηση στην αναγνώριση σφάλματος Σχήμα 3-8 GS-PID Σχήμα 3-9 Αλλαγές στα κέρδη αναλόγως της μεταβλητής Σχήμα 3-10 Διάταξη Προσαρμοστικού Ελέγχου με Μοντέλο Αναφοράς Σχήμα 3-11 (α)το MQ-X4 (β) ο πέμπτος έλικας Σχήμα 4-1 Διάγραμμα Ελέγχου Σχήμα 4-2 Block quadrotor Σχήμα 4-3 Block Plots Σχήμα 4-4 GS-PID Σχήμα 4-5 PID για τον άξονα z Σχήμα 4-6 PID για τη γωνία θ Σχήμα 4-7 PID για τον άξονα y Σχήμα 4-8 PID για τον άξονα x Σχήμα 4-9 Ελεγκτής με χρήση κινούμενης μάζας Σχήμα 4-10 PID μετακινούμενης μάζας... 66

11 Σχήμα 4-11 Σύστημα FDD Σχήμα 5-1 Γράφημα 3D με GS-PID Σχήμα 5-2 Αριστερά: x y z Δεξιά: αντίστοιχες ταχύτητες με GS-PID Σχήμα 5-3 Αριστερά: φ θ ψ Δεξιά: αντίστοιχες ταχύτητες με GS-PID Σχήμα 5-4 Στροφές κινητήρων με GS-PID Σχήμα 5-5 Γράφημα 3D με κινούμενη μάζα Σχήμα 5-6 Αριστερά: x y z Δεξιά: αντίστοιχες ταχύτητες με κινούμενη μάζα Σχήμα 5-7 Αριστερά: φ θ ψ Δεξιά: αντίστοιχες ταχύτητες με κινούμενη μάζα Σχήμα 5-8 Στροφές κινητήρων με κινούμενη μάζα Σχήμα 5-9 Γράφημα 3D με robust Σχήμα 5-10 Αριστερά: x y z Δεξιά: αντίστοιχες ταχύτητες με robust Σχήμα 5-11 Αριστερά: φ θ ψ Δεξιά: αντίστοιχες ταχύτητες με robust Σχήμα 5-12 Στροφές κινητήρων με robust Σχήμα 5-13 Μεγέθυνση στον άξονα x... 76

12 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Υπάρχουν πολλά εναέρια οχήματα που μας προκαλούν την περιέργεια να τα μελετήσουμε και να κατανοήσουμε τον τρόπο λειτουργίας τους. Ένα από αυτά είναι το ελικόπτερο τεσσάρων ελίκων γνωστό και ως quadrotor ή quadcopter. Αν και η ιδέα φαντάζει καινοτόμα και ρηξικέλευθη πολλές προσπάθειες είχαν γίνει στο παρελθόν για την δημιουργία τέτοιων αεροσκαφών. Παρά τις αρκετές επιτυχημένες προσπάθειες το εγχείρημα εγκαταλείφτηκε για αρκετά χρόνια ώσπου με τη βοήθεια της τεχνολογίας μειώθηκε κατά πολύ το μέγεθος, το βάρος και το κόστος τους. Το επόμενο ενδιαφέρον και συνάμα χρήζουν προσοχής θέμα είναι η ασφάλεια. Έχοντας μελετήσει τα στατιστικά αρκετών μεγάλων καταστροφών τόσο στα αεροσκάφη όσο και σε άλλα συστήματα αυτομάτου ελέγχου, ερευνητές κατέληξαν ότι στις περισσότερες καταστάσεις ήταν ανθρώπινο σφάλμα ή αδυναμία τους να ανταπεξέρθουν σε κρίσιμη κατάσταση. Έτσι δημιουργήθηκαν συστήματα αποκλειστικά ελεγχόμενα από υπολογιστές βασιζόμενα σε μετρήσεις και μαθηματικά μοντέλα εξασφαλίζοντας την ασφάλεια τόσο του συστήματος όσο και του περιβάλλοντός του σε περίπτωση βλάβης ή απρόσμενης δυσλειτουργίας του. Πιθανοί τρόποι επίλυσης είναι είτε το πρόβλημα να αντιμετωπίζεται λειτουργικά με τη δημιουργία κατάλληλων ελεγκτών είτε να προστίθενται εξαρτήματα στον ήδη υπάρχοντα εξοπλισμό ώστε να εξασφαλίσουν τη μη καταστροφή του.

13 1.1 Κίνητρα Κίνητρα Τα τελευταία χρόνια η ανάπτυξη των Μη-Επανδρωμένων Αεροσκαφών (Unmanned Aerial Vehicles UAVs) είναι αξιοπρόσεκτη χάρις την εξέλιξη τόσο της επιστήμης των υπολογιστών και των αισθητήρων όσο και του αυτομάτου ελέγχου. Η έμφαση που έχει δοθεί σήμερα στα UAVs είναι λόγω των πολλών εφαρμογών των οποίων δύναται να προσφέρουν. Μερικά παραδείγματα είναι η παρακολούθηση και φύλαξη των παράκτιων περιοχών και των συνόρων, επιθεώρηση δασικών περιοχών για πρόληψη ή έγκαιρη ενημέρωση σε περίπτωση πυρκαγιών, φωτογράφιση και χαρτογράφηση περιοχών, ανίχνευση και διάσωση σε δυσπρόσιτες περιοχές. Αν και το κόστος αγοράς ενός τέτοιου οχήματος έχει μειωθεί αρκετά, πολλοί λάτρεις των εναέριων οχημάτων τείνουν στο να τα κατασκευάζουν μόνοι τους καθώς η κατασκευή των οχημάτων έχει απλοποιηθεί τελευταία. Αλλά ακόμα και όταν το όχημα είναι έτοιμο και κατασκευασμένο κανείς δεν είναι βέβαιος ότι θα λειτουργεί σωστά επ αόριστον ή ποια χρονική στιγμή θα εμφανιστεί κάποιο σφάλμα. Ένα, λοιπόν, από τα προβλήματα τα οποία χρήζουν λύσης είναι η ασφάλεια και η αξιοπιστία ενός τέτοιου οχήματος σε περίπτωση δυσλειτουργίας ή μη λειτουργικότητας κάποιου επιμέρους απαραίτητου μηχανισμού όπως για παράδειγμα είναι ένας από τους κινητήρες. Όλο και περισσότεροι είναι αυτοί που ανησυχούν τόσο για την ασφάλεια του φορτίου όσο και την ασφάλεια του εξοπλισμού και του περιβάλλοντος χώρου του γενικότερα. Έτσι γεννιέται η ανάγκη δημιουργίας μιας δυνατότητας ενσωματωμένης στον αλγόριθμο πλοήγησης ώστε να βοήθα στην ελαχιστοποίηση των ανεπιθύμητων αποτελεσμάτων παρότι αυτό οδηγεί σε επιπλέον κόστος και αύξηση της πολυπλοκότητας στο σχεδιασμό ενός τέτοιου οχήματος. Τέλος, βασικό κίνητρο για την επιλογή της εργασίας είναι το γεγονός ότι η ενασχόληση με εξεζητημένους ή μη ελεγκτές καθώς και η εύρεση λύσης σε αναμφίβολα δύσκολα θέματα βοηθάει στην εμβάθυνση της γνώσης της αντίστοιχης επιστήμης (στην προκειμένη περίπτωση του αυτομάτου ελέγχου). Η εφαρμογή και η μελέτη αυτών των τεχνικών οδηγεί στην εκμάθηση βασικών και όχι μόνο εννοιών και βοηθά στην επίλυση προβλημάτων που ανήκουν σε μια ευρεία γκάμα διαφορετικών περιπτώσεων. 1.2 Quadrotor Γενικά τα ιπτάμενα οχήματα μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: τα ελαφρύτερα από τον αέρα και αυτά που είναι βαρύτερα. Τα ελαφρύτερα χαρακτηρίζονται από τουλάχιστον μία κοιλότητα ή ένα μπαλόνι με ελαφρύ αέριο, όπως το ήλιο, το υδρογόνο ή και ζεστό αέρα. Τα βαρύτερα από τον αέρα αεροσκάφη πρέπει με κάποιον τρόπο να ωθήσουν αέρα ή αέριο προς τα κάτω, έτσι ώστε μια αντίδραση (από τους νόμους του Νεύτωνα) να ωθήσει προς τα πάνω το αεροσκάφος. Αυτή η δυναμική κίνηση μέσω του αέρα είναι η προέλευση του όρου αεροδίνη. Υπάρχουν δύο τρόποι για την παραγωγή δυναμικής άνωσης: αεροδυναμική άντωση, και τροφοδοτούμενη ανέλκυση με τη μορφή της ώσης του κινητήρα.

14 14 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Τα UAVs που συνήθως ανήκουν στην δεύτερη κατηγορία αεροσκαφών χωρίζονται και αυτά σε δύο επιπλέον βασικές κατηγορίες: τα αεροσκάφη σταθερών πτερυγίων και στα αεροσκάφη περιστρεφόμενης πτέρυγας τα οποία πλεονεκτούν έναντι των πρώτων χάρις την ικανότητα της κάθετης απογείωσης και προσγείωσης την οποία διαθέτουν. Αυτά με τη σειρά τους χωρίζονται σε κατηγορίες ανάλογα με τον αριθμό των περιστρεφόμενων πτερυγίων σε twin rotor,tri-rotor, quadrotor και ούτω καθεξής. Σχήμα 1-1 Κατηγοριοποίηση ιπτάμενων οχημάτων Από τα πιο διαδεδομένα ελικόπτερα, το οποίο επιλέχθηκε για αυτή την εργασία, είναι το quadrotor καθώς η συμμετρία του απλοποιεί το μαθηματικό μοντέλο από το οποίο περιγράφεται και διευκολύνει στην δημιουργία ενός κατάλληλου ελεγκτή για την πτήση του. Το quadrotor είναι ένα ιπτάμενο όχημα με τέσσερις κινητήρες τοποθετημένους συμμετρικά στα άκρα ενός πλαισίου σχήματος σταυρού. Αρκετά από αυτά έχουν πλέον και εξωτερικό προστατευτικό εξοπλισμό για να αποφεύγουν τις συγκρούσεις των ελίκων με το περιβάλλον του. Ένα τέτοιο φαίνεται στην ακόλουθη φωτογραφία. Σχήμα 1-2 Quadrotor Πάνω στους κινητήρες υπάρχουν έλικες οι άξονες των οποίων είναι σταθεροί και παράλληλοι μεταξύ τους. Η κατασκευή είναι συμπαγής και το μόνο που μεταβάλλεται είναι η ταχύτητα περιστροφής των κινητήρων. Ο μπροστά και ο πίσω κινητήρας πρέπει να περιστρέφονται δεξιόστροφα ενώ ο δεξιά και ο αριστερά αριστερόστροφα, ή αντιστρόφως ώστε να αλληλοαναιρούνται οι ροπές που

15 1.2 Quadrotor 15 δημιουργούνται και να υπάρχει η ανάγκη ύπαρξης ουριαίας έλικας ( όπως έχουν τα συνηθισμένα ελικόπτερα ). Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα quadrotor σε κατάσταση αιώρησης (hovering) όπου όλοι οι κινητήρες έχουν τον ίδιο αριθμό στροφών. Στα σχήματα που ακολουθούν το μέγεθος της γραμμής πάνω από τους κινητήρες υποδηλώνει το μέγεθος του αριθμού των στροφών, δηλαδή όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του βέλους τόσο περισσότερες είναι και οι στροφές του αντίστοιχου κινητήρα. Η καμπύλη πάνω από τους κινητήρες υποδηλώνει τον τρόπο περιστροφής του αντίστοιχου κινητήρα. Σχήμα 1-3 Σχηματική παρουσίαση του οχήματος και των αξόνων του (B-frame) Η ανύψωση του quadrotor επιτυγχάνεται από τις δυνάμεις ώσης που παράγουν οι έλικες, ενώ η κίνηση στον χώρο και η περιστροφική κίνηση επιτυγχάνονται με κατάλληλο έλεγχο της διαφοράς των αντίρροπων κινούμενων ελίκων. Πιο συγκεκριμένα οι βασικές κινήσεις του quadrotor, οι οποίες του επιτρέπουν να φτάσει σε ένα ύψος με τον επιθυμητό προσανατολισμό, είναι οι ακόλουθες τέσσερις: Ώθηση ( U 1 [N] ) Η κίνηση στον κάθετο άξονα οφείλεται στην συνολική ώθηση που ασκούν οι κινητήρες. Αυξομειώνοντας τις στροφές κατά ίση ποσότητα σε όλους τις κινητήρες πετυχαίνουμε αλλαγή στην ώθηση ( χωρίς να επηρεάζουμε τον προσανατολισμό του οχήματος). Αν το όχημα βρίσκεται σε οριζόντια θέση παράγει επιτάχυνση μόνο στον κατακόρυφο άξονα αλλιώς δημιουργεί επιτάχυνση και στον οριζόντιο άξονα. Σχήμα 1-4 Ώθηση Στο σχήμα βλέπουμε πως θα επιταχύνει το quadrotor στον z άξονα με μία μικρή θετική αύξηση Δ Α [ rad / s] στις στροφές όλων των κινητήρων.

16 16 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Roll ( U 2 [ N m] ) Η κίνηση αυτή επιτυγχάνεται αυξάνοντας ( ή μειώνοντας ) τις στροφές στον αριστερό κινητήρα και μειώνοντας ( ή αυξάνοντας ) στον δεξιό. Κατά αυτό το τρόπο δημιουργείται ροπή ως προς τον άξονα x B η οποία και περιστρέφει το όχημα. Σχήμα 1-5 Περιστροφή Roll Στο σχήμα βλέπουμε πώς θα περιστραφεί το quadrotor γύρω από τον άξονα με δύο θετικές τιμές Δ Α, Δ Β [ rad / s] οι οποίες πρέπει να είναι ίσες αν θέλουμε το quadrotor να εκτελέσει μόνο την συγκεκριμένη κίνηση Pitch ( U3 [N m] ) Η κίνηση αυτή επιτυγχάνεται αυξάνοντας ( ή μειώνοντας ) τις στροφές στον πίσω κινητήρα και μειώνοντας ( ή αυξάνοντας ) στον μπροστά. Κατά αυτόν τον τρόπο δημιουργείται ροπή ως προς τον άξονα τον y B η οποία και περιστρέφει το όχημα. Σχήμα 1-6 Περιστροφή Pitch Στο σχήμα βλέπουμε πώς θα περιστραφεί το quadrotor γύρω από τον άξονα με δύο θετικές τιμές Δ Α, Δ Β [ rad / s] οι οποίες πρέπει να είναι ίσες, όπως αναφέρθηκε, αν θέλουμε το quadrotor να εκτελέσει μόνο την συγκεκριμένη κίνηση Υaw ( U 4 [ N m] ) Τέλος, η περιστροφή γύρω από το κέντρο του πλαισίου, δηλαδή γύρο από τον άξονα τον z B, (yaw) επιτυγχάνεται με τον έλεγχο της διαφοράς της ροπής που παράγουν οι ανά δυο αντίρροπα κινούμενοι έλικες. Δηλαδή αυξάνοντας ( ή μειώνοντας ) τις στροφές στον αριστερά και δεξιά κινητήρα και μειώνοντας ( ή αυξάνοντας ) στον μπροστά και πίσω.

17 1.2 Quadrotor 17 Σχήμα 1-7 Περιστροφή yaw Τα πλεονεκτήματα που έχουν τα quadrotors έναντι των συμβατικών ελικοπτέρων είναι αρκετά. Αρχικά δεν χρειάζεται να αλλάζουμε την κλίση των ελίκων καθώς αυτές περιστρέφονται διότι ο έλεγχος γίνεται αποκλειστικά και μόνο από την ώθηση και τις ροπές που δημιουργούν οι τέσσερις έλικες. Επίσης, η χρήση τεσσάρων ελίκων επιτρέπει τη χρήση μικρότερων σε διάμετρο ελίκων σχετικά με τα κοινά ελικόπτερα, πιέζοντας λιγότερο τον κινητήρα. Επιπροσθέτως, σε πολλά quadrotors υπάρχει προστατευτικός σκελετός γύρω από τους έλικες που μειώνει την πιθανή ζημιά ή και καταστροφή τους σε περίπτωση σύγκρουσης. Επομένως περιορίζονται και τα έξοδα συντήρησης ή επισκευής. Ακόμη, λόγω της χρήσης τεσσάρων ελίκων η ανυψωτική δύναμη είναι μεγάλη επιτρέποντας του να σηκώνουν αρκετά κιλά σε σχέση με το βάρος τους με μόνο αλλά σημαντικό μειονέκτημα την αυξημένη κατανάλωση. Τέλος, έχοντας τον έλεγχο των περιστροφών και των τεσσάρων κινητήρων μπορούμε να έχουμε πολύ γρήγορη απόκριση επιτρέποντας την αποφυγή εμποδίων ή την πτήση σε άγνωστους εσωτερικούς χώρους. Συγκριτικά με τα κοινά ελικόπτερα, η αλλαγή κατεύθυνσης τόσο στην απογείωση όσο και στην πτήση γίνεται σχεδόν αστραπιαία. Σχήμα 1-8 Quadrotors: Draganflyer και το Microdrones-md4 Σήμερα η πιο διαδεδομένη χρήση των quadrotor είναι σαν μη επανδρωμένα οχήματα (UAV). Χρησιμοποιώντας ένα σύστημα από ηλεκτρονικά κυκλώματα και αισθητήρες, ώστε να του εξασφαλίσουν σταθερότητα και ισχύ, είναι σε θέση να πραγματοποιεί πτήσεις τόσο σε εξωτερικούς όσο και σε εσωτερικούς χώρους. Χρησιμοποιούνται αρκετά για εναέριες λήψεις φωτογραφιών και βίντεο καθώς παρέχουν τη δυνατότητα για πανοραμικές εικόνες χωρίς το επιπλέον κόστος να είναι

18 18 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή δυσβάστακτο ή σε παρακολουθήσεις αφού η αυτονομία τους κυμαίνεται από λίγα λεπτά μέχρι αρκετές ώρες. Μια ακόμα μελλοντική χρήση, μιας και αρκετές εταιρείες έχουν ξεκινήσει πιλοτικά προγράμματα προς αυτήν την κατεύθυνση, είναι η μεταφορά δεμάτων έτσι ώστε και τα δέματα να φτάνουν έγκαιρα στον προορισμό τους και χωρίς την ανάγκη να μισθώνουν τρίτους. 1.3 Εξέλιξη των quadrotor Πρώτες προσπάθειες Από τα πρώτα χρόνια της ιστορίας των πτήσεων, διατάξεις με τέσσερις έλικες είχαν προταθεί και δημιουργηθεί σαν λύση στα προβλήματα της κάθετης απογείωσης - προσγείωσης. Δύο από τα βασικά χαρακτηριστικά τους ήταν η αντίστροφη περιστροφή των δύο από των τεσσάρων ελίκων που περιόριζαν τη δημιουργία ροπής και το μέγεθος των ελίκων ήταν σχετικά μικρότερο και ευκολότερο στην κατασκευή. Το πρώτο quadrotor δημιουργήθηκε το 1907 από τα αδέρφια Brequet με τη βοήθεια του καθηγητή τους Charles Richet και είχε την ονομασία Gyroplane No.I.Ο σκελετός του ήταν φτιαγμένος από ατσάλι και είχε στο κέντρο του τη θέση του πιλότου και την τροφοδοσία του οχήματος. Αν και δεν ήταν ιδιαίτερα ελέγξιμο και δεν μπορούσε να στρίψει, ήταν το πρώτο όχημα με έλικες που σήκωσε το βάρος του και το βάρος του πιλότου στον αέρα. Σχήμα 1-9 Gyroplane No.1, 1907 Το 1920, ο Etienne Oecmichen μεταξύ των σχεδίων που δημιούργησε ήταν και ένα ελικόπτερο με τέσσερις κινητήρες και οκτώ έλικες, τα οποία λειτουργούσαν με μία μόνο μηχανή. Το όχημα του ήταν ευσταθές και ελέγξιμο και πραγματοποίησε αρκετές πτήσεις με κυριότερη το 1923 όπου κατάφερε να μείνει στον αέρα για αρκετά λεπτά. Το 1924 του απονεμήθηκε βραβείο για επιτυχή πτήση 360 μέτρων ενώ τον ίδιο χρόνο κατάφερε να πραγματοποιήσει μια κυκλική διαδρομή αποστάσεως 1 χιλιομέτρου.

19 1.3 Εξέλιξη των quadrotor 19 Σχήμα 1-10 Oemichen No. 2, 1922 Το 1922, ο αμερικάνικος στρατός αναθέτει στoν George de Bothezat και στον Ivan Jerome να φτιάξουν ένα όχημα κάθετης προσγείωσης/απογείωσης. Αυτοί κατασκεύασαν ένα ελικόπτερο με έξι πτερύγια σε κάθε έναν από τους τέσσερις κινητήρες τους οποίους είχαν τοποθετήσει σε σχήμα σταυρού. Δύο μικρότερες έλικες με μεταβλητή γωνία χρησιμοποιήθηκαν για την περιστροφή του οχήματος. Μέχρι και το τέλος του 1923 είχε κάνει 100 πτήσεις με μέγιστο ύψος τα 5 μέτρα. Αν και έδειξε ότι η υλοποίηση ενός τέτοιου οχήματος είναι εφικτή, η μηχανική πολυπλοκότητα, η έλλειψη μιας δυνατής μηχανής και η μικρή αξιοπιστία που είχε ήταν από τα κυριότερα προβλήματα που παρουσίαζε. Σχήμα 1-11 De Bothezat Quadrotor, February 21, 1923 Η χρονιά ορόσημο όμως για τα quadrotor ήταν το 1956, όταν ο Marc Adman Kaplan σχεδίασε και πέταξε το πρώτο πλήρως ελέγξιμο και χωρίς επιπλέον έλικες quadrotor. Το όνομα του μοντέλου του ήταν Convertawings Model A. Παρά το γεγονός ότι ζύγιζε σχεδόν ένα τόνο ήταν ικανό να ανυψωθεί, να αιωρηθεί ακόμα και να κάνει ελιγμούς χρησιμοποιώντας δύο μηχανές 90 ίππων. Ο έλεγχος δεν απαιτούσε καμία επιπλέον έλικα εκτός από αυτές που βρίσκονταν πάνω στους βασικούς κινητήρες και γινόταν αλλάζοντας την ώθηση των κινητήρων. Αν και πραγματοποίησε πολλές επιτυχημένες πτήσεις, ο κόσμος δεν έδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς υστερούσε σε ταχύτητα, ήταν αρκετά βαρύ και δεν είχε την ίδια αντοχή με τα συμβατικά ελικόπτερα.

20 20 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Σχήμα 1-12 Convertawings Model A, 1955/1956, First flight in March 1956 Στην ίδια λογική ελέγχου στηρίχτηκε και η εταιρεία Curtiss-Wright σχεδιάζοντας ένα quadrotor ως «ιπτάμενο jeep» για την πολεμική αεροπορία της Αμερικής. Παρότι ήταν εύκολο στο χειρισμό δεν πληρούσε τις προϋποθέσεις που είχαν οριστεί από την αεροπορία και εγκαταλείφτηκε. Σχήμα 1-13 Curtiss-Wright VZ-7, 1958 Αυτά είναι από τα πρώτα επιτυχημένα οχήματα κάθετης απογείωσης/προσγείωσης. Σαν πρότυπα, όμως, είχαν μέτριες επιδόσεις και απαιτούνταν πολύς χρόνος και προσπάθεια από μεριάς πιλότου λόγω της περιορισμένης ευστάθειας και δυνατότητας ελέγχου που του παρείχαν. Επίσης το βάρος τους σε σύγκριση με τα σημερινά δεδομένα ήταν υπερβολικά μεγάλο. Τα υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σήμερα είναι αρκετά ελαφρύτερα, γεγονός που επιτρέπει την ανύψωση με λιγότερη ενέργεια και καταπόνηση στους κινητήρες Σύγχρονα μοντέλα Έτσι σήμερα είμαστε ικανοί να κατασκευάσουμε quadrotor σε μέγεθος νομίσματος. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το Mesicopter που κατασκευάστηκε στο Stanford University. Το Mesicopter ξεκίνησε το 1999 και τελείωσε το Στόχος του έργου αφορούσε ήταν η ανάπτυξη, σε πολύ μεγάλες περιοχές, πολύ μεγάλου αριθμού τέτοιων οχημάτων με σκοπό τη συλλογή μετεωρολογικών και ατμοσφαιρικών δεδομένων.

21 1.3 Εξέλιξη των quadrotor 21 Σχήμα 1-14 Mesicopter από το Stanford University Ένα άλλο ενδιαφέρον έργο είναι το STARMAC (Το Stanford/Berkeley Testbed of Autonomous Rotorcraft for Multi-Agent Control) το οποίο στοχεύει στην επίτευξη ελέγχου μιας ομάδας από έξι quadrotor εξοπλισμένα με αισθητήρες GPS ώστε να πραγματοποιήσουν μια σειρά από απλές δοκιμασίες, όπως το να ακολουθήσουν μια προσχεδιασμένη τροχιά, ή και σύνθετες, όπως επικοινωνία και συντονισμός κινήσεων για έρευνα και διάσωση. Κύριος στόχος του εγχειρήματος αυτού σήμερα είναι η ενσωμάτωση δυνατοτήτων αντίληψης στα quadrotor έτσι ώστε να αναλύουν και να καταλαβαίνουν το περιβάλλον τους. Σχήμα 1-15 Starmac Στο πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια έχουν δημιουργήσει τη δική τους πλατφόρμα έρευνας στα UAVs εφαρμόζοντας διαφορετική προσέγγιση από αυτή του STARMAC. Χρησιμοποιώντας ένα εμπορικό προϊόν, το quadrotor Hummingbird της εταιρείας Ascending Technologies GmbH, και το σύστημα Vicon Motion Capture που εντοπίζει τη θέση του οχήματος στο χώρο με πολύ μεγάλη ακρίβεια, έχουν καταφέρει να δημιουργήσουν ένα πολύ ευέλικτο και γρήγορο UAV ικανό να εκτελεί ακροβατικές κινήσεις αλλά και να μεταφέρει ελαφριά αντικείμενα

22 22 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Σχήμα 1-16 Quadrotor του πανεπιστημίου της Pennsylvania Τέλος εκτός από πανεπιστημιακά και ερευνητικά προγράμματα δημιουργήθηκαν και εταιρείες οι οποίες άρχισαν να κατασκευάζουν quadrotor. Μία από αυτές είναι και η Microdrones GmbH που από το πρώτο της κιόλας προϊόν, το md4-200, πούλησε πάνω από 250 κομμάτια μέσα σε διάστημα 16 μηνών. Επίσης, η εταιρία Ascending παρέχει μία ευρεία γκάμα quadrotors, πολλά από τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί από επιστημονικές ομάδες. Τέλος, η εταιρία Dragonfly που δημιουργήθηκε το 1998 και ήταν από τις πρώτες εταιρίες που κατασκεύασε quadrotors και προϊόντα της χρησιμοποιούνται στη βιομηχανία, το στρατό και την εκπαίδευση ακόμη και σήμερα. 1.4 Ανοχή σε σφάλματα (Fault tolerance) Στις μέρες μας, ακόμα και αν δεν είναι εμφανές τα συστήματα αυτομάτου ελέγχου είναι παντού γύρω μας. Υπάρχουν μέσα στη βιομηχανία, στα αμάξια, σε διαστημόπλοια, ιπτάμενα οχήματα ακόμη και στα σπίτια μας. Δουλεύουν επί ώρες μέχρι τη στιγμή που εμφανίζεται ένα σφάλμα. Ο ορισμός του σφάλματος, όπως είχε διατυπωθεί από τους Isermann and Balle το 1997, είναι μία μη επιτρεπτή απόκλιση ενός χαρακτηριστικού ή μιας παραμέτρου του συστήματος από την συνηθισμένη αποδεκτή κατάσταση. Στα σύγχρονα συστήματα σφάλματα συμβαίνουν σπάνια αλλά το γεγονός ότι συμβαίνουν σε μια απρόσμενη χρονική στιγμή οδηγεί πολλές φορές στην καταστροφή του εξοπλισμού ή θέτει σε κίνδυνο τη ζωή των ανθρώπων του πληρώματος και του περιβάλλοντος του. Υπάρχουν αρκετά παραδείγματα τέτοιων δραματικών καταστροφών που προέκυψαν από σφάλμα σε κρίσιμα σημεία του συστήματος. Τα σφάλματα αυτά είτε ήταν κατασκευαστικά είτε λάθος χειρισμός θα μπορούσαν να είχαν αποφευχθεί αν υπήρχε ένας ελεγκτής που θα ενεργοποιούνταν όταν κάποια από τις καταστάσεις του συστήματος είχε απόκλιση από την επιθυμητή. 1. Το ατύχημα στο Τσερνόμπιλ προήλθε γενικά από μια σειρά γεγονότων η οποία περιλάμβανε μεταξύ άλλων μη προβλεπόμενους χειρισμούς και λάθη, τα οποία σε συνδυασμό με τον σχεδιασμό του αντιδραστήρα RBMK- 1000, που χρησιμοποιούσε το εργοστάσιο, οδήγησαν στο ατύχημα με τραγικές συνέπειες για όλη την ανθρωπότητα. 2. Λίγα λεπτά μετά την απογείωση της πτήσης 191 των αμερικανικών αερογραμμών από το Σικάγο αποσπάστηκε η αριστερή μηχανή του αεροσκάφους, το οποίο γύρισε ανάποδα και έπεσε σε ένα χωράφι. Από τις

23 1.5 Σκοπός της εργασίας 23 έρευνες που πραγματοποιήθηκαν αποδείχθηκε ότι η απώλεια του κινητήρα δεν ήταν ικανή για τη καταστροφή του αεροσκάφους καθώς με τους εναπομείναντες κινητήρες θα μπορούσε να επιστρέψει στο αεροδρόμιο. 3. Στις 4 Ιουνίου 1996, ο Ευρωπαϊκός διαστημικός πύραυλος Ariane 5 εξερράγη 40 μετά την εκτόξευση στην παρθενική του πτήση. Η έκρηξη προκλήθηκε από λάθος λογισμικού (κόστος: περίπου 0.6 δισ. ευρώ) Έτσι εγείρεται η ερώτηση αν υπάρχει κάποιος τρόπος να αποφευχθούν τέτοιου είδους καταστροφές. Στις περισσότερες περιπτώσεις δεν μπορούμε να αποτρέψουμε το σφάλμα, άλλα έχει αποδειχθεί ότι θα μπορούσαμε να περιορίσουμε το μέγεθος των ζημιών αν υπήρχε έγκαιρη διάγνωση και επαναπροσαρμογή των συστημάτων ελέγχου. Κινούμενοι προς αυτή τη κατεύθυνση δημιουργήθηκαν οι ελεγκτές με ανοχή σε σφάλματα (Fault Tolerant Control FTC ) που σκοπός τους είναι να ελαχιστοποιήσουν τις ζημίες σε περίπτωση δυσλειτουργίας. Προτού όμως εφαρμοστούν σε συστήματα μεγάλα σε μέγεθος και ακριβά πρέπει πρώτα να δοκιμαστούν και τα quadrotors αποτελούν ιδανική λύση για αυτό το σκοπό. Στα quadrotors τα σφάλματα τα οποία μοντελοποιούνται είναι κυρίως αυτά στις εισόδους του συστήματος, δηλαδή στους κινητήρες. Στα περισσότερα προβλήματα βλέπουμε ότι προσομοιώνεται ποσοστό χαμένου ελέγχου και όχι ολόκληρου του κινητήρα που κάνει το πρόβλημα ακόμα δυσκολότερο. Θέτοντας έναν κινητήρα εκτός λειτουργίας εύκολα παρατηρείται ότι οι κινήσεις στο χώρο δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας τους προαναφερθέντες κανόνες και το σύστημα φαίνεται να γίνεται ασταθές. Στην πραγματικότητα, όμως, μπορούμε να ελέγξουμε την επιτάχυνσή του καθώς και την πρόσθια κίνηση ή πλάγια ολίσθηση ( εξαρτάται από το ποιος κινητήρας είναι ελαττωματικός) διατηρώντας το σε μια επιθυμητή θέση αλλά η περιστροφή του γύρω από τον κατακόρυφο άξονα (yaw) καθίσταται ανεξέλεγκτη. Ένα από τα πιο εντυπωσιακά πειράματα έχουν γίνει στο ETH στης Ζυρίχης όπου έχουν δοκιμάσει πτήση με ένα ή δύο χαλασμένους κινητήρες και έχουν προσομοιώσει την πτήση ενός quadrotor με τρεις χαλασμένους, δηλαδή με μόνο έναν έλικα! Τα πειράματα ήταν τόσο επιτυχημένα που τους οδήγησε στην ιδέα για κατασκευή περιστρεφόμενων οχημάτων. Τα οχήματα αυτά θα μπορούν να πετάξουν με μόνο μια έλικα καθιστώντας τα αρκετά φθηνότερα από τα αντίστοιχα με τέσσερις έλικες οχήματα με μόνο κόστος την αδυναμία να ελέγξουμε πλήρως τον προσανατολισμό του. 1.5 Σκοπός της εργασίας Αντικείμενο αυτής της εργασίας είναι η δημιουργία σε πρώτο στάδιο ενός ελεγκτή ικανού να εξασφαλίσει την σταθερότητα σε περίπτωση που ο ένας κινητήρας δυσλειτουργεί και να επιτρέπει την ορθή εκτέλεση των εντολών μετακίνησης στο χώρο. Το επόμενο στάδιο είναι η δημιουργία ενός ελεγκτή, ο οποίος θα εκμεταλλεύεται και τον επιπλέον βαθμό ελευθερίας που θα του προσφέρει η εισαγωγή μιας κινούμενης μάζας στο κάτω μέρος του οχήματος.

24 24 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Σκοπός της εισαγωγής της επιπρόσθετης κινούμενης μάζας είναι να καταφέρουμε να έχουμε υπό έλεγχο τη θέση του οχήματος, δηλαδή εκτός από την ανύψωση του οχήματος, την πρόσθια και την πλάγια κίνηση. Μετακινώντας τη μάζα, αλλάζουμε το κέντρο μάζας του quadrotor, που με τη σειρά του επηρεάζει τις ροπές ως προς το κέντρο του οχήματος. Στην προσομοίωση της άσκησης, αυτό επιτυγχάνεται με την τροποποίηση του μοντέλου του συστήματος που έχουμε δημιουργήσει επιλύοντας ξανά τις εξισώσεις Newton-Euler. Και στις δύο περιπτώσεις για την ισορροπία του οχήματος, αναγκαία κρίνεται η άμεση απενεργοποίηση του αντισυμμετρικού κινητήρα, ο οποίος πλέον θα χρησιμοποιείται παροδικά και μόνο για την επαναφορά του οχήματος στην οριζόντια θέση. Η διαφορά στους κανόνες έγκειται στο ότι η ανύψωση του quadrotor εξαρτάται από την ώση που δημιουργούν οι δύο μόνο εν ενεργεία κινητήρες και επίσης η περιήγηση στον χώρο εξαρτάται από τη θέση της μάζας σε συνδυασμό με την ώση των δύο κινητήρων.

25 Κεφάλαιο 2 Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί το μοντέλο του quadrotor όπως ήδη έχει υπολογιστεί σε πολλές άλλες εργασίες. Θα αναφερθούν οι υποθέσεις οι οποίες έχουν γίνει για να πραγματοποιηθεί ο σχεδιασμός και βασικές έννοιες όπως τα συστήματα συντεταγμένων τα οποία χρησιμοποιούνται. Θα ακολουθήσει μια περιγραφή των δυνάμεων και των ροπών που ενεργούν πάνω στο quadrotor, οι αιτίες και τα αποτελέσματα αυτών. Στο επόμενο μέρος του κεφαλαίου, το οποίο αναφέρεται στο quadrotor με μετακινούμενη μάζα, υπολογίζονται οι νέες δυναμικές εξισώσεις καθώς μία εκ των προϋποθέσεων που έχουν γίνει καταπατάται. Λόγω της διαφορετικής του συμπεριφοράς νέες δυνάμεις που πριν θεωρούνταν αμελητέες όπως η αντίσταση του αέρα υπολογίζονται και ενσωματώνονται στο μοντέλο για τη βελτίωση της ακρίβειάς του. Τέλος, μοντελοποιούνται οι κινητήρες του συστήματος και υιοθετείται ένα μοντέλο που έχει προκύψει από πειραματικές μετρήσεις στο εργαστήριο Ρομποτικής και Αυτοματισμού του Πανεπιστημίου Πατρών.

26 26 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor 2.1 Υποθέσεις Τρεις βασικές υποθέσεις έχουν γίνει για την μοντελοποίηση του quadrotor. 1. Το βασικό δυναμικό μοντέλο του quadrotor υποθέτει ότι η κατασκευή του σκάφους είναι συμπαγής και συμμετρική. 2. Οι δυνάμεις ώσης και οι ροπές είναι ανάλογες του τετραγώνου του ρυθμού περιστροφής των κινητήρων. 3. Το κέντρο του φερόμενου στο σκάφος συστήματος συντεταγμένων συμπίπτει με το κέντρο βάρους του οχήματος. Σε διαφορετική περίπτωση, δηλαδή αν θεωρήσουμε διαφορετικό σημείο κέντρου βάρους, θα περιπλέξει αρκετά τις δυναμικές εξισώσεις κίνησης. 2.2 Συστήματα συντεταγμένων Με στόχο την ανάπτυξη μιας ακριβούς αναπαράστασης του μη γραμμικού μοντέλου του quadrotor, χρησιμοποιήθηκε η μοντελοποίηση Newton-Euler. Αρχικά, θα πρέπει να οριστούν τα συστήματα συντεταγμένων που θα χρησιμοποιηθούν και είναι: το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων ( E-frame ) το φερόμενο στο σκάφος σύστημα συντεταγμένων ( B-frame ) Σχήμα 2-1 Συστήματα συντεταγμένων Το E-frame χρησιμοποιείται για να εκφραστούν η θέση Γ Ε και ο προσανατολισμός Θ Ε του quadrotor. Το B-frame, το οποίο βρίσκεται πάνω στο όχημα, χρησιμοποιείται για την γραμμική ταχύτητα V B, την γωνιακή ταχύτητα ω B, τις δυνάμεις F B και τις ροπές T B που ασκούνται στο quadrotor. Γενικά, θεωρώντας ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων οι τρεις περιστροφές αναφέρονται ως R(x,φ) περιστροφή γύρω από τον άξονα x

27 2.2 Συστήματα συντεταγμένων 27 R(y,θ) περιστροφή γύρω από τον άξονα y R(z,ψ) περιστροφή γύρω από τον άξονα z και περιγράφονται από τους εξής πίνακες: 1 R( x, φ) = cosφ sin φ 0 sin φ cosφ cosθ R( y, θ ) = 0 sin θ sin θ 0 cosθ cosψ R( z, ψ ) = sinψ 0 sinψ cosψ Πίνακας 2-1 Πίνακες περιστροφών για τους άξονες x,y,z αντίστοιχα Έτσι, οι γωνίες του quadrotor υπολογίζονται βρίσκοντας τον προσανατολισμό του B-frame σε σχέση με το E-frame. Ουσιαστικά είναι οι τρεις παραπάνω περιστροφές, μία γύρω από κάθε άξονα, και δίνεται από τον πίνακα που ακολουθεί, ο οποίος προκύπτει από το γινόμενο τον τριών παραπάνω πινάκων. Δηλαδή R θ = R(x,φ) R(y,θ) R(z,ψ) Έπειτα από πράξεις: cccθ cccc ssss ssss cccc cccc ssss cccc ssss cccc + ssss ssss R θ = cccc sssψ sssφ ssss ssss + cccc cccc cccc ssss ssss cccc ssss ssss cccc cccc cccc Πίνακας 2-2 Περιστροφή στο χώρο

28 28 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler Χωρίς κινητά σημεία Σχήμα 2-2 Quadrotor χωρίς μετακινούμενη μάζα Οι βασικές αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές που ασκούνται στο quadrotor κατά τη διάρκεια μιας πτήσης του, αντιστοιχούν στην δύναμη ώσης (T), στις δυνάμεις που ασκούνται στο κόμβο του οχήματος (H), στις ροπές οπισθέλκουσας (Q) λόγω των κάθετων, οριζόντιων και αεροδυναμικών δυνάμεων αντίστοιχα, ακολουθούμενων από τις ροπές κλίσης (R) σχετιζόμενων με την ολοκλήρωση πάνω από ολόκληρο το στροφείο, της άνωσης που προσφέρει κάθε τμήμα της έλικας που δρα σε συγκεκριμένη ακτίνα. Οι προαναφερθείσες δυνάμεις και ροπές λαμβάνουν την ακόλουθη μορφή: Ώσης Δύναμη Είναι η συνισταμένη δύναμη των κάθετων δυνάμεων που δρουν σε όλες τις έλικες T = C T ρρ(ωr rrr ) 2 C T σσ = μ2 θ 0 (1 + μ 2 ) θ tt λ όπου σ αντιστοιχεί στο λόγο στερεότητας (solidity ratio) μ στο λόγος αίτησης προήγησης του στροφείου (rotor advance ratio) α στη κλίση άνωσης (lift slope) λ στο λόγο εισερχόμενης ροής αέρα (inflow ratio) ρ στην πυκνότητα αέρα (air density) θ 0 στο βήμα επίπτωσης (pitch of incidence), θ tw στο βήμα συστροφής (twist pitch) T στον συντελεστή thrust.

29 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler 29 Δύναμη στον κόμβο του οχήματος (Hub) Είναι η συνισταμένη δύναμη των οριζόντιων δυνάμεων που επιδρούν σε όλες τις έλικες Η = C Η ρρ(ωr rrr ) 2 C Η σσ = 1 4 μc d λλ(θ 0 θ tt 8 ) όπου C H αντιστοιχεί στο συντελεστή των hub δυνάμεων Ροπή οπισθέλκουσας (Drag) Η ροπή αυτή γύρω από το στροφείο παράγεται λόγω των αεροδυναμικών δυνάμεων που επιδρούν σε όλες τις έλικες. Οι οριζόντιες δυνάμεις που επιδρούν στο στροφείο πολλαπλασιάζονται με τη ροπή του βραχίονα και ολοκληρώνονται πάνω στο στροφείο. Η ροπή drag περιγράφει την ισχύ που χρειάζεται για να περιστροφή του στροφείου Q = C Q ρa(ωr rrr ) 2 R rrr C Q σσ = 1 8 (1 + μ2 )C d + λ( θ 0 6 θ tt λ) όπου C Q αντιστοιχεί στον συντελεστή οπισθέλκουσας (drag) Ροπή κλίσης (Rolling) Η ροπή κλίσης μιας προπέλας επιδρά στην πρόσθια κίνηση όταν η προπορευόμενη έλικα παράγει περισσότερη άνωση από την έλικα που χρονικά υστερεί. Είναι η ολοκλήρωση πάνω σε ολόκληρο το στροφείο της άνωσης που παράγει κάθε τμήμα σε μια ορισμένη ακτίνα. R m = C Rm ρa(ωr rrr ) 2 R rrr C Rm σσ = μ(θ 0 6 θ tt λ) όπου C Rm εκφράζει τον συντελεστή της ροπής κλίσης (rolling) Φαινόμενο Εδάφους - Ground Effect Στα ελικόπτερα που πετούν κοντά στο έδαφος ( σε απόσταση μικρότερη από τη μισή διάμετρο του στροφείου) εμφανίζεται μια αύξηση της ώσης λόγω μεγαλύτερης αποτελεσματικότητας του στροφείου. Αυτό σχετίζεται με τη μείωση της ταχύτητας ροής του αέρα που προκαλείται και αποκαλείται Φαινόμενο Εδάφους ή Επίδραση Εδάφους. Έχουν βρεθεί αρκετές προσεγγίσεις για την αντιμετώπιση του φαινομένου αυτού, όπως για παράδειγμα χρησιμοποιώντας προσαρμοστικές τεχνικές. Στη βάση της προαναφερθείσας αναπαράστασης των δυνάμεων και ροπών που επιδρούν στο σύστημα, λαμβάνονται τα ακόλουθα: Ροπές λόγω περιστροφής γύρω από τον άξονα x (Rolling)

30 30 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor Γυροσκοπική επίδραση σώματος θ ψ I yy I zz Γυροσκοπική επίδραση έλικας J r θ Ω r Επίδραση των επενεργητών στο roll l( T 2 + T 4 ) Ροπή του κόμβου εξαιτίας πλευρικής πτήσης 4 h( i=1 H yy ) Ροπή κλίσης λόγω πτήσης προς τα εμπρός ( 1) i+1 4 R mmm i=1 Πίνακας 2-3 Rolling Ροπές Ροπές λόγω περιστροφής γύρω από τον άξονα y (Pitching) Γυροσκοπική επίδραση σώματος φ ψ (I zz I xx ) Γυροσκοπική επίδραση έλικας J r φ Ω r Επίδραση των επενεργητών στο pitch l(t 1 T 3 ) Ροπή του κόμβου εξαιτίας πλευρικής πτήσης 4 h( i=1 H χχ ) Ροπή κλίσης λόγω πτήσης προς τα εμπρός ( 1) i+1 4 R mmm i=1 Πίνακας 2-4 Pitching Ροπές Ροπές λόγω περιστροφής γύρω από τον άξονα z (Yawing) Γυροσκοπική επίδραση σώματος θ φ I xx I yy Αδρανειακή αντίθετη ροπή J r Ω r Ανισορροπία αντίθετης ροπής ( 1) i 4 i=1 Q i Ανισορροπία του κόμβου στην πλευρικής πτήσης l(h x2 H x4 ) Ανισορροπία του κόμβου στην πτήσης προς τα εμπρός l( H y1 + H y3 ) Πίνακας 2-5 Yawing Ροπές

31 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler 31 Δυνάμεις κατά μήκος του z άξονα Επίδραση επενεργητών (cψcc)( 4 i=1 T i ) Βάρος mm Δυνάμεις κατά μήκος του x άξονα Πίνακας 2-6 Δυνάμεις κατά μήκος του z άξονα 4 Επίδραση επενεργητών (sψss + cccccc)( i=1 T i ) Δύναμη στον κόμβο στον x-άξονα 4 i=1 H xx 1 Τριβή C 2 XA c ρx x Δυνάμεις κατά μήκος του y άξονα Πίνακας 2-7 Δυνάμεις κατά μήκος του x άξονα 4 Επίδραση επενεργητών ( cψss + ssssss)( i=1 T i ) Δύναμη στον κόμβο στον x-άξονα 4 i=1 H yy 1 Τριβή C 2 ya c ρy y Πίνακας 2-8 Δυνάμεις κατά μήκος του y άξονα Συνοψίζοντας όλους τους παραπάνω όρους και γράφοντας τους σε μία πιο συμπαγή μορφή το Newton-Euler μοντέλο της δυναμικής του quadrotor λαμβάνει την παρακάτω μη γραμμική μορφή.

32 32 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor φ φ θ θ ψ ψ X = z z x x y y = φ θ ψ a 1 + θ a 2 Ω r + b 1 U 2 θ φ ψ a 3 φ a 4 Ω r + b 2 U 3 ψ θ φ a 5 + b 3 U 4 z g + cccφ cccc U 1 m s x u x U 1 m s y u y U 1 m s Πίνακας 2-9 Δυναμικές εξισώσεις όπου U 1 = b(ω Ω Ω Ω 4 2 ) U 2 = l b( Ω Ω 4 2 ) U 3 = b( Ω Ω 3 2 ) U 4 = l d( Ω Ω 2 2 Ω Ω 4 2 ) Ω r = Ω 1 + Ω 2 Ω 3 + Ω 4 u x = ssss ssss + cccc sssθ cccφ u y = cccc ssss + ssss sssθ cccφ a 1 = I yy I zz I xx a 3 = I zz I xx b 1 = b 3 = l I zz I yy l I xx, b 2 =, a 2 = J tt I xx, a 4 = J tt l I yy I yy

33 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler Με μετακινούμενη μάζα Σχήμα 2-3 Quadrotor με μετακινούμενη μάζα Χρησιμοποιώντας μια κινούμενη μάζα στο κάτω μέρος του οχήματος μετακινούμε το κέντρο μάζας του που πλέον δεν ταυτίζεται με το κέντρο του φερόμενου στο σκάφος συστήματος συντεταγμένων καταπατώντας έτσι την 3 η προϋπόθεση. Έτσι πρέπει να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησής του από την αρχή χρησιμοποιώντας τους νόμους του Νεύτωνα: E E G E G E q M a m F = = I Όπου: m είναι η μάζα του συστήματος F E είναι το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στο E-frame α G Ε είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας στο E-frame q Ε είναι η γωνιακή επιτάχυνση στο E-frame M είναι το σύνολο των ροπών Αναλύοντας τις εξισώσεις έχω για τις δυνάμεις ) ( m ) ( m ) ( m m B B B G B G B B G B G B B G B B B G B E G E E G E V V F V V R F R V R V R F R V R F R m F a m F + = + = + = = G = = ω ω θ θ θ θ θ θ θ όπου Rθ είναι η τετραγωνική μήτρα περιστροφής Γ G είναι η θέση του ελικοπτέρου V G είναι η γραμμική ταχύτητα του ελικοπτέρου

34 34 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του ελικοπτέρου Όμως επειδή οι εξισώσεις αναφέρονται στο κέντρο μάζας, πρέπει να τροποποιηθούν ώστε να αναφέρονται σε κάθε σημείο του. Εφόσον ισχύει ότι OG V V B O B G + = B ω Καταλήγουμε στο ) OG ( m B B B G B G B V V F + + = ω ω όπου O είναι ένα τυχαίο σημείο G είναι το κέντρο μάζας του σώματος OG είναι η απόσταση των σημείων O και G Για την ροπή, ) (I I ) I (I ) ( I I I I B B B B B G B B B G B B B G B B G E G E G E E G M T M T T T M T T M T M q M ω ω ω ω ω ω q q ω q ω q q ω q q + = + = + = = Θ = = όπου Τθ είναι το σύνολο των ροπών στο σημείο Ο Ι είναι ο πίνακας αδράνειας του ελικοπτέρου Θ είναι οι γωνίες περιστροφής του ελικοπτέρου Τέλος, αν το κέντρο μάζας διαφέρει από το κέντρο του ελικοπτέρου η ανωτέρω εξίσωση γίνεται ) ( OG B B B E G B O a m I M + I + = ω ω ω όπου M O είναι το σύνολο των ροπών στο σημείο Ο Συνοψίζοντας μπορούμε να φέρουμε τις εξισώσεις σε μια πιο συμπαγή μορφή, όπως αύτη των πινάκων:

35 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler 35 B B B F M V B + = B CB ( V, ω ) ω M Έτσι προκύπτει: m d ccc m 0 m m d M = ccc m d ccc m I xx I xx I xx I yy I yy I yy d ccc m 0 0 I zz I zz I zz B B Πίνακας 2-10 Πίνακας Αδράνειας C = m(qq rr) m(pp rr) m(pp qq) q I yy q I zz r r I yy q I yy r d ccc mmm p I yy q I zz r + m(d ccc pp + d ccc rr) + I xx pp p I yy q I yy r I xx qq d ccc mmm Πίνακας 2-11 Πίνακας Coriolis B-Frame όπου p,q,r,u,v,w είναι ο ρυθμός μεταβολής των φ,θ,ψ,x,y,z αντίστοιχα. Το διάνυσμα του συνόλου των δυνάμεων και των ροπών μπορεί να χωριστεί σε ένα άθροισμα από τρία ξεχωριστά διανύσματα : Πρώτο είναι το διάνυσμα της βαρύτητας G B.Το διάνυσμα αυτό συνεισφέρει μόνο στην γραμμική κίνηση και όχι στην περιστροφική καθώς είναι δύναμη και όχι ροπή. ggg(θ) ggg(θ)s(φ) G = ggg(θ)s(φ) Πίνακας 2-12 Διάνυσμα βαρύτητας B-Frame

36 36 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor Το δεύτερο διάνυσμα αναφέρεται στα γυροσκοπικά φαινόμενα (gyroscopic effects ) που δημιουργούνται από την περιστροφή των ελίκων. Δίνεται από τον γινόμενο O b Ω όπου OO = J tt q J tt q J tt q J tt q J tt p J tt p J tt p J tt p Πίνακας 2-13 Πίνακας γυροσκοπικών φαινομένων και Ω είναι ένας πίνακας με τις στροφές κάθε κινητήρα. Ω = Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4 Πίνακας 2-14 Πίνακας εισόδων Η παράμετρος J Tr [N m s2] είναι η συνολική ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα του κινητήρα (rotational moment of inertia around the propeller axis).φαίνεται ότι η δύναμη αυτή που παράγεται από την περιστροφή των ελίκων συνεισφέρει στην περιστροφική κίνηση και όχι στην γραμμική. Το τρίτο διάνυσμα αναφέρεται στις δυνάμεις και τις ροπές που δημιουργούνται από τους κινητήρες πάνω στο σώμα. Δίνεται από το γινόμενο Ε b Ω 2 όπου, b b b b EE = bd ccc b(d ccc + l) bd ccc b(d ccc + l) bb 0 bb 0 d d d d Πίνακας 2-15 Πίνακας δημιουργίας διανύσματος κίνησης B-Frame και Ω 2 είναι ένας πίνακας με το τετράγωνο των στροφών κάθε κινητήρα.

37 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler 37 Ω 1 2 Ω 2 2 Ω = 2 2 Ω 3 Ω 2 4 Πίνακας 2-16 Πίνακας τετραγώνου εισόδων Τέλος πρέπει να βρούμε τον πίνακα της ροπής αδράνειας. Ξέρουμε ότι ο πίνακας αυτός είναι διαγώνιος για ένα quadrotor χωρίς μετακινούμενη μάζα. Οπότε θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Steiner για την μετατόπιση του άξονα συμμετρίας και θα ξανά υπολογίσουμε τα μη-διαγώνια στοιχεία. Δηλαδή: I I I I I I xx yy zz xy yz xz = = = = = = m m m m m m 2 2 ( y + x ) dm + M( y ( xy) dm + M( x y ) ( yz) dm + M( y z ) ( xz) dm + M( x z ) c c c c c c 2 c 2 c 2 c 2 c 2 2 ( y + z ) dm + M( y + z ) 2 c 2 2 ( x + z ) dm + M( x + z ) 2 c + x ) Πίνακας 2-17 Πίνακας ροπής αδράνειας Συνοψίζοντας, έχουμε δημιουργήσει ένα σύστημα 5 εισόδων ( 4 περιστροφές κινητήρων και θέση κέντρου μάζας του οχήματος μέσω της μεταφοράς της κινητής μάζας) και 12 εξόδους ( θέση (χ,y,z) προσανατολισμός (φ,θ,ψ) και οι παράγωγοί τους). Αυτές οι εξισώσεις, όμως, αναφέρονται στο B-frame. Όμως για να ελέγξουμε το όχημα μας είναι προτιμότερο να εκφράσουμε τις εξισώσεις σε ένα υβριδικό σύστημα συντεταγμένων, έστω H-frame, το οποίο θα αποτελείται από τις γραμμικές εξισώσεις κίνησης του E-frame και τις γωνιακές εξισώσεις του B-frame. Αυτό το νέο σύστημα θα χρησιμοποιηθεί διότι διευκολύνει τόσο στην έκφραση των δυναμικών εξισώσεων όσο και τον έλεγχο αργότερα. Οι νέοι πίνακες που προκύπτουν είτε είναι ίδιοι με του συστήματος συντεταγμένων B-frame όπως οι: Είτε είναι απλούστερης μορφής, όπως οι: M H = M B O H = O B

38 38 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor 0 0 gg G = Πίνακας 2-18 Διάνυσμα βαρύτητας H-Frame C = q I yy q I zz r r I yy q I yy r d ccc mmm p I yy q I zz r + m(d ccc pp + d ccc rr) + I xx pp p I yy q I yy r I xx qq d ccc mmm Πίνακας 2-19 Διάνυσμα Coriolis H-Frame Είτε προκύπτουν από έναν απλό πολλαπλασιασμό πινάκων, όπως ο E H = Rθ 03x3 0 I 3x3 3x3 E B Ε Ω 2 = U 1 (ssss ssss + cccc cccc ssss ) U 1 (cccc ssss cccc ssss ssss ) U 1 cccc cccc U 2 U 3 U 4 Πίνακας 2-20 Πίνακας δημιουργίας διανύσματος κίνησης H-Frame Συνολικά εκφράζοντας τις εξισώσεις στο H-frame, οι επιταχύνσεις στους άξονες είναι: φ = ll 2 + I yy θ 2 ψ 2 ψ θ I zz I yy + J tt θ (Ω 1 Ω 2 + Ω 3 Ω 4 ) + d ccc mφ x ) I xx d2 ccc m d ccc(gg U 1 cccc cccc) I xx d2 ccc m 2 θ = (I zz d ccc m) φ θ I yy φ ψ (I zz I xx ) ll 3 + md ccc φ x + ψ z + J tt φ (Ω 1 Ω 2 + Ω 3 Ω 4 ) I 2 yy + I yy md2 ccc I yy I zz I yy U 4 + φ θ I xx I yy + φ ψ I yy + φ θ I xx + d ccc mψ x I 2 yy + I yy md2 ccc I yy I zz I yyu 1 d ccc (ssss ssnψ + cccc cccc ssss) I 2 yy + I yy md2 ccc I yy I zz

39 2.3 Μοντελοποίηση Newton-Euler 39 ψ = I yy φ θ I yy φ ψ (I zz I xx ) ll 3 + md ccc φ x + ψ z + J tt φ (Ω 1 Ω 2 + Ω 3 Ω 4 ) I 2 yy + I yy md2 ccc I yy I zz I yy ll 4 φ θ I yy I xx + φ ψ I yy + d ccc mψ x I 2 yz + I yy md2 ccc I yy I zz I yyu 1 d ccc (ssss ssss + cccc cccc ssss ) I 2 yy + I yy md2 ccc I yy I zz z = d ccc( ll 2 + I yy θ 2 ψ 2 ψ θ I zz I yy + J tt θ (Ω 1 Ω 2 + Ω 3 + Ω 4 ) + d ccc mφ x ) I xx d2 ccc m I xx (gm U 1 cccc cccc) I xx m d2 ccc m 2 x = I yyd ccc φ I yy θ I zz ψ U 3 + md ccc φ x + ψ z J tt φ ( Ω 1 Ω 2 + Ω 3 Ω 4 ) + I xx φ ψ I 2 yy + I yy m d2 ccc I yy I zz + U 1( ssss ssss + cccc cccc ssss) I 2 yy I yy I zz I 2 yy m + I yy m 2 d2 ccc I yy I zz m + I yyd ccc U 4 φ I yy θ I yy ψ + θ φ I xx + d ccc mψ x I 2 yy + I yy m d2 ccc I yy I zz y = U 1( cccc ssss cccc ssss ssss) m Πίνακας 2-21 Δυναμικές εξισώσεις Προσομοιώνοντας το παραπάνω μοντέλο έγιναν δύο βασικές παρατηρήσεις: 1. Αν η μάζα δεν μετακινείται το μοντέλο συμπεριφέρεται όπως ένα συνηθισμένο quadrotor, γεγονός αναμενόμενο καθώς αν απλοποιήσουμε το μοντέλο θέτοντας το d com και το I yz ίσα με το μηδέν προκύπτουν οι προηγούμενες εξισώσεις. 2. Παρατηρούμε ότι η περιστροφή γύρω από τον άξονα των z ( yawing ) είναι ανεξέλεγκτη και μάλιστα έχει σταθερή επιτάχυνση! Αυτό συμβαίνει διότι δεν έχει εισαχθεί στο μοντέλο η αντίσταση του αέρα που πλέον δεν είναι αμελητέα καθώς η ταχύτητα περιστροφής είναι μεγάλη και η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας Αντίσταση του αέρα Αντίσταση ή οπισθέλκουσα (Drag) ονομάζεται η δύναμη η οποία έχει τον ίδιο φορέα με αυτόν της ταχύτητας, αλλά έχει αντίθετη φορά, και εμφανίζεται κατά την κίνηση αντικειμένων εντός ρευστού. Η παρουσία της δύναμης οφείλεται στη διαφορετική πίεση η οποία επικρατεί στις δύο πλευρές ενός σώματος. Η αντίσταση του αέρα, δεδομένου ότι η τιμή της είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, θεωρείται γενικά αμελητέα ( μικρό μέτρο τα x', y', z', φ', θ') σε όλους τους άξονες εκτός από αυτήν που δημιουργείται λόγω της yaw περιστροφής ( περιστροφή γύρω από τον κατακόρυφο z άξονα) στην περίπτωση που έχουμε κάποιον έλικα χαλασμένο. Μαθηματικά η αντίσταση εκφράζεται ως:

40 40 Κεφάλαιο 2: Μοντελοποίηση δυναμικών εξισώσεων quadrotor F D = ρ υ C D A όπου F D είναι η αντίσταση του αέρα ρ είναι η πυκνότητα του αέρα υ είναι η ταχύτητα αντικειμένου A είναι η επιφάνεια του αντικειμένου C D είναι ο συντελεστής αντίσταση σώματος, ο οποίος εξαρτάται από τη γεωμετρία του αντικειμένου Ο συντελεστής αντίσταση σώματος (CD) είναι μια αδιάστατη ποσότητα που χρησιμοποιείται για την ποσοτικοποίηση της οπισθέλκουσας ή αντίστασης ενός αντικειμένου σε ένα ρευστό περιβάλλον, όπως ο αέρας ή το νερό. Χρησιμοποιείται στην εξίσωση της αντίστασης, όπου ένας χαμηλότερος συντελεστής υποδεικνύει ότι το αντικείμενο θα έχει λιγότερο αεροδυναμική ή υδροδυναμική αντίσταση. Για την εφαρμογή του τύπου πρέπει να βρούμε τη τιμή των επιμέρους συντελεστών: Θεωρώντας ότι το πλαίσιο του quadrotor αποτελείται από τέσσερα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ο συντελεστής για κάθε ένα πλαίσιο είναι ( βλέπε Πίνακας 2-22 Συντελεστής αντίσταση σώματος C D = 1,05 Η επιφάνεια καθενός από τα τέσσερα επιμέρους τμήματα του quadrotor ισούται με μήκος επί ύψος δηλαδή Α = 0,25x0,05 = 0,0125 m 2 Η πυκνότητα του αέρα για θερμοκρασίες από ο C είναι περίπου Επομένως ρ =1,2 kg/m 3 df D 1. 2 = 1.2 ( ψ R) dr 2

Αυτόματη προσγείωση τετρακόπτερου με χρήση κάμερας

Αυτόματη προσγείωση τετρακόπτερου με χρήση κάμερας Διπλωματική εργασία Αυτόματη προσγείωση τετρακόπτερου με χρήση κάμερας Τζιβάρας Βασίλης Επιβλέπων: Κ. Κωνσταντίνος Βλάχος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Ιωάννινα Φεβρουάριος 2018 Περιεχόμενα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορμή

Κεφάλαιο 11 Στροφορμή Κεφάλαιο 11 Στροφορμή Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11 Στροφορμή Περιστροφή Αντικειμένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόμενο-η ροπή ως διάνυσμα Στροφορμή Σωματιδίου Στροφορμή και Ροπή για Σύστημα Σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας - Ενδεικτικές απαντήσεις

Φύλλο εργασίας - Ενδεικτικές απαντήσεις Φύλλο εργασίας - Ενδεικτικές απαντήσεις Κεφάλαιο 1ο: Καμπυλόγραμμες κινήσεις 1.3 Κεντρομόλος δύναμη 1.4 Μερικές περιπτώσεις κεντρομόλου δύναμης Α) Ερωτήσεις του τύπου σωστό / λάθος Σημειώστε με Σ αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό.

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Q1-1 Δύο προβλήματα Μηχανικής (10 Μονάδες) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Μέρος A. Ο Κρυμμένος Δίσκος (3.5 Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 6: ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Εισαγωγή Μοντελοποίηση αεροδυναμικών φαινομένων: Το σημαντικότερο ίσως ζήτημα στη μελέτη της δυναμικής πτήσης: Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1. Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1 Όπως είναι γνωστό, όταν σε κάποιο σώμα ενεργούν δυνάμεις, ένα από τα αποτελέσματά τους μπορεί να είναι να αλλάξει η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΠΑΡΙΑΝΟΥ ΘΕΟΔΩΡΑ 2014 Από πολύ νωρίς το σχήμα των οχημάτων επηρέασε σε μεγάλο βαθμό κατασκευαστές, επιστήμονες και μηχανικούς καθώς συνδέεται άμεσα με την αεροδυναμική

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Γιάκας. Συστήματα αναφοράς και μονάδες μέτρησης Γραμμικά κινηματικά χαρακτηριστικά Γωνιακά κινηματικά χαρακτηριστικά Βλητική 2/12/2013

Γιάννης Γιάκας. Συστήματα αναφοράς και μονάδες μέτρησης Γραμμικά κινηματικά χαρακτηριστικά Γωνιακά κινηματικά χαρακτηριστικά Βλητική 2/12/2013 Γιάννης Γιάκας Ύλη προόδου Συστήματα αναφοράς και μονάδες μέτρησης Γραμμικά κινηματικά χαρακτηριστικά Γωνιακά κινηματικά χαρακτηριστικά Βλητική 1 Συστήματα Αναφοράς M.K.S. ( m, Kg, sec ) C.G.S. ( cm, gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 1) Ράβδος μάζας Μ και μήκους L που είναι στερεωμένη με άρθρωση σε οριζόντιο άξονα Ο, είναι στην κατακόρυφη θέση και σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων

Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων 1-13 Άσκηση 1 η : Μετατρέπουμε τα δεδομένα από το αγγλοσαξονικό σύστημα στο SI: Διάμετρος άξονα: Dax 3 ice 3i.5 c i 7.6 c.76 Πλάτος περιβλήματος: Wi 6 ice 6i.5 c i 15. c.15 Διάκενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσματικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις. 2. Η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται

Ερωτήσεις. 2. Η ροπή αδράνειας μιας σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται - Μηχανική στερεού σώματος Ερωτήσεις 1. Στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο διπλανό διάγραμμα ω -. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή

Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Μάθημα/Τάξη: Κεφάλαιο: Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου Κυκλική Κίνηση - Οριζόντια βολή Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Ημερομηνία: 24-10-2016 Επιδιωκόμενος Στόχος: 85/100 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009-2015 Σελίδα 1 από 13 Μηχανική Στερεού Σώματος 1. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται δύο όμοιες πλατφόρμες οι οποίες μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.1 Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται: α. μόνο από τη μάζα του σώματος β. μόνο τη θέση του άξονα γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Tο γιο-γιο του σχήματος έχει ακτίνα R και αρχικά είναι ακίνητο. Την t=0 αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Θέματα Εξετάσεων Ασκήσεις στο Mάθημα: "ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Ι: ΑΝΑΛΥΣΗ, ΕΛΕΓΧΟΣ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ" 1 η Σειρά Θεμάτων Θέμα 1-1 Έστω ρομποτικός

Διαβάστε περισσότερα

Τα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα

Τα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 16-17 Διδάσκων : Χ. Βοζίκης Τ. Ε. Ι. ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής

Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής Σύνοψη Η άσκηση αυτή διαφέρει από όλες τις άλλες. Σκοπός της είναι η πειραματική επαλήθευση του θεμελιώδους νόμου της Μηχανικής. Αυτό θα γίνει με τη γραφική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός Παροχής Μάζας σε Αγωγό Τετραγωνικής Διατομής

Υπολογισμός Παροχής Μάζας σε Αγωγό Τετραγωνικής Διατομής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ, ΑΕΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι ένα σύστημα πλανητικών δακτυλίων γύρω από αυτόν. Αποτελούνται από αμέτρητα σωματίδια των οποίων το μέγεθος κυμαίνεται από μm μέχρι m, με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΚΑΙ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Αγρίνιο 10-11-013 ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 6 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής αντιμετωπίζαμε κάθε σώμα που μελετούσαμε την κίνηση του ως υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3.

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3. Το θέμα του 05, (επαναληπτικές) Εσωτερικές λληλεπιδράσεις Νο 3. Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 ο μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2016

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2016 ΘΕΜΑ 1 Ο : Α1. Σε ένα υλικό σημείο ενεργούν τέσσερις δυνάμεις. Για να ισορροπεί το σημείο θα πρέπει: α. Το άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύμα ampere

ηλεκτρικό ρεύμα ampere Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ο ρυθμός με τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από μια περιοχή του χώρου. Η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος στο σύστημα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 5//08 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Το ελικόπτερο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Κίνηση - Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου

Το ελικόπτερο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Κίνηση - Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου Το ελικόπτερο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Κίνηση - Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Εισαγωγή Στην Α Λυκείου είχαμε μελετήσει τη δύναμη προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Απλή αρμονική ταλάντωση Κρούσεις

Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Απλή αρμονική ταλάντωση Κρούσεις Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Απλή αρμονική ταλάντωση Κρούσεις ~ Διάρκεια: 3 ώρες ~ Θέμα Α Α1. Η ορμή συστήματος δύο σωμάτων που συγκρούονται διατηρείται: α. Μόνο στην πλάγια κρούση. β. Μόνο στην έκκεντρη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση Μηχανολογικών συστημάτων Σχήμα 2.71 Σχήμα 2.72

Προσομοίωση Μηχανολογικών συστημάτων Σχήμα 2.71 Σχήμα 2.72 Προσομοίωση Μηχανολογικών συστημάτων Ας δούμε πρώτα τις βιβλιοθήκες που σχετίζονται με τα μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς. Στο σχήμα 2.71 βλέπουμε τις βιβλιοθήκες αυτές Translational elements Rotational

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Μαρούσι Καθηγητής Σιδερής Ε.

Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Μαρούσι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Μαρούσι 04-02-2014 Καθηγητής Σιδερής Ε. ΘΕΜΑ 1 ο (βαθμοί 4) (α) Θέλετε να κρεμάσετε μια ατσάλινη δοκό που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας (Διαλέξεις 7&8)

Αρχές Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας (Διαλέξεις 7&8) ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΕΛ. ΒΕΝΙΖΕΛΟΥ 70, 76 7 ΑΘΗΝΑ Αρχές Μετεωρολογίας και Κλιματολογίας (Διαλέξεις 7&8) Πέτρος Κατσαφάδος pkatsaf@hua.gr Τμήμα Γεωγραφίας Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ταχύτητα μέτρου. Με την άσκηση κατάλληλης σταθερής ροπής, επιτυγχάνεται

ταχύτητα μέτρου. Με την άσκηση κατάλληλης σταθερής ροπής, επιτυγχάνεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 26. Δύο σημειακές σφαίρες που η καθεμιά έχει μάζα συνδέονται μεταξύ τους με οριζόντια αβαρή ράβδο. Το σύστημα περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Δύναμης Έργο σταθερής δύναμης

Έργο Δύναμης Έργο σταθερής δύναμης Παρατήρηση: Σε όλες τις ασκήσεις του φυλλαδίου τα αντικείμενα θεωρούμε ότι οι δυνάμεις ασκούνται στο κέντρο μάζας των αντικειμένων έτσι ώστε αυτά κινούνται μόνο μεταφορικά, χωρίς να μπορούν να περιστραφούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ροπή Δύναμης Θα έχετε παρατηρήσει πως κλείνετε ευκολότερα μια πόρτα, αν την σπρώξετε σε μια θέση που βρίσκεται σχετικά μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής της (τους μεντεσέδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΟΨΗ Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων Γραμμικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι: ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) Α1. Σε στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ενεργεί σταθερή ροπή. Τότε αυξάνεται με σταθερό ρυθμό: α. η ροπή αδράνειας του β. η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2019 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 5

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2019 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 019 ΘΕΜΑ 1 Ο : ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 5 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Στερεού Σώματος

Μηχανική Στερεού Σώματος Μηχανική Στερεού Σώματος 1. Ο ομογενής οριζόντιος δίσκος ακτίνας R και μάζας Μ, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του με γωνιακή ταχύτητα ω 1. Μυρμήγκι μάζας m= 2 M που αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα