ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan"

Transcript

1 Broj 1-4 (2009)/1-2 (2010) ARISTOTEL: O DUŠI fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Uvod Predstavljamo danas Aristotelovo djelo koje se naziva περι ψυχης; latinski je naziv De anima, a hrvatski O duši. Da bismo bolje i sadržajnije upoznali Aristotelovo djelo koje se nalazi pred nama moramo se podsjetiti ukratko njegova životnog puta jer je on itekako bitan za shvaćanje samoga djela. Aristotel je rođen u gradu Stagira u sjevernoj Grčkoj 384. g. pr. Kr. Više školovanje je stekao u Ateni, te je kroz dvadeset godina bio Platonov učenik, tj. do njegove smrti. Bio je odgajatelj makedonskog vojskovođe Aleksandra Velikoga koji je nakon što je došao na vlast omogućio Aristotelu povratak u Atenu gdje on osniva svoju školu Likej, poznatija kao peripatetička (od grč. περιπατειν -šetati), jer je Aristotel običavao predavati šetajući. Umro je samo nekoliko mjeseci nakon što je napustio Atenu 322., odnosno 321. g. pr. Kr. Iako je bio Platonov učenik nije u potpunosti prihvatio njegovo učenje već se u njegovim djelima prepoznaje velika razlika, te čak i u ovom spisu daje mu kritiku, što ćemo kasnije čuti. Između Platona i Aristotela ima i osobnih razlika koje se odnose na stvari izvan filozofije: tako je Platon imao dara i interesa za književnost i matematiku, a Aristotel za prirodne znanosti, posebno biologiju. 1 Aristotel uvijek u svojim djelima teži za sistematičnošću te je u tom prepoznatljiv njegov metodološki pristup. Njegovo izlaganje povijesno filozofskog mišljenja ponajprije sadrži povijesni pregled i kritiku različitih gledišta o kakvu problemu (konkretno ovdje o duši) da bi na kraju izložio svoje poglede 2, odnosno svoje mišljenje na tematiku kao takvu. U svemu tome unosi svoju terminologiju koja je specifična i kako kaže sam prevoditelj Sironić koja mu je stvarala mnoge probleme. 3 Tekst koji vam predstavljamo, O duši Aristotel je napisao za vrijeme svojeg drugog boravka u Ateni, te je to njegovo zrelo doba, u kojem on već ima cjelinu svoje filozofije i sada je razrada pojedinih tema način proširivanja već oblikovane cjeline 4. Smatra se da je spis nastao oko 347. i 335. pr. Kr. kad je pisao i druga svoja djela o biologiji. Spis je karakterističan po tome što nastoji dati neke definicije duše. Tematski dio ovoga spisa možemo prikazati kao jedinstvo psihologije i filozofije života, u čemu psihologija označava ono temeljno pitanje: Što je duša?, te se zato i mogu psihologija, ali i ovaj spis, nazvati kao učenje o duši. Budući da on svoju psihologiju promatra sa tla biologije tu možemo govoriti o biološkoj psihologiji koja spada u prirodo znanstveno područje. Upoznati Aristotelovu misao o duši, znači upoznati njegovu misao o čovjeku, tj. znači vidjeti što Aristotel misli pod pitanjem: Tko je čovjek? U ovome zato djelu dolazi do izražaja njegova antropologija, njegov pogled na čovjeka kao čovjeka i ono što ga bitno čini takvim, tj. ono po čemu čovjek ne bi, naprosto, bio čovjek. U tome je veličina i bitnost ovoga kratkog, ali opet, važnog djela 1. Pojam duša shvaćanje! Za bolje shvaćanje same tematike Aristotelovog djela bitno je pojašnjenje pojma o kojem će najviše biti riječi, a to je pojam duša. Pojam je misao o biti predmeta, on donosi ono što taj PRIKAZI I RECENZIJE 1 I. Zelić, Vodič kroz filozofiju, Verbum, Split 2006.; str B. Kalin, Povijest filozofije, Školska knjiga, Zagreb, 2004.; str Usp. Aristotel, O duši /Nagovor za filozofiju; Naprijed, Zagreb 1987.; Pogovor; str Usp. Aristotel, isto; B. Bošnjak, Predgovor; str. IX. Ogledi i prinosi studenata teologije 81

2 PRIKAZI I RECENZIJE pojam jest odnosno što je njegovo štostvo. Etimološko značenje riječi duše vezano je uz grčke riječi koje označavaju vjetar, životni dah, disanje (grč. ανεµος dah, vjetar ili αναιµος bez krvi, beskrvan). 5 Pojmovna oznaka duše smjera najprije na unutarnje načelo biti (načelo života), koje se očituje u svome vlastitom tjelesnom gibanju. Duša je načelo oblika i djelovanja kroz koje neživo tijelo zadobiva svoj bitni oblik bitka (forma) te kroz svoju produhovljenost postaje živim tijelom i na taj način posjeduje svoje specifično ispunjenje postojanja (akt) kao život koji sam sebe oblikuje i koji samostalno djeluje, postaje supstancija. Aristotelova filozofija prirode proučava prirodne supstancije tako što ih promatra kao stvari složene od forme i materije. Materija je ono što prima formu, građa u kojoj je forma ostvarena. Forma je pak način na koji je materija organizirana, ono što stvari daje oblik koji je karakterističan za predmete te vrste. 6 Kao što vidimo duša je forma živih bića, ona je počelo života, ali ovdje je itekako bitno naglasiti da se ne misli samo na ljudsku dušu jer imamo, po Aristotelu, vegetativnu, senzitivnu i razumsku dušu. Isto tako potrebno je naglasiti da duša nije ni neka stvar, nije ni neki dio tijela kao npr. srce ili bubrezi ili koji drugi organ. Ovdje nam u razumijevanju može pomoći analogija sa softwerom kod kompjutora jer kod softwera je ljudima teško shvatiti što bi to bilo i gdje se nalazi taj određeni dio koji čini taj softwer 7. Pojašnjavanje možemo nastaviti podjelom da neka tijela imaju život, a neka nemaju. Pod pojmom života misli se da se to tijelo hrani, raste odnosno smanjuje. U tom odnosu svako je tijelo supstancija. Već smo saznali da duša nije tijelo, jer prema Aristotelu, tijelo samo po sebi nije supstrat ne- čega. To znači da je duša supstancija u smislu oblika prirodnog tijela koji u svojoj mogućnosti (potenciji) ima život. Supstancija je entelehija (ispunjenje). Duša je entelehija prirodnog tijela, koje ima život u mogućnosti 8, reći će Aristotel, te dalje naglašava da je duša prva entelehija prirodnog tijela koje je opskrbljeno organima. 9 Dakle duša je bit i forma tijela kao što smo već spomenuli u prethodnom dijelu. Aristotel navodi ovaj primjer pokazujući nam tu činjenicu jasnom: Kad bi oko bilo živo biće, tad bi gledanje bilo njegova duša. No kao što zjenica i gledanje čine oko tako su duša i tijelo zajedno živo biće. Iz toga izvodimo da duša ne postoji odvojeno od tijela. 10 Teorija duše je pitanje fizike i biologije, ali ne i samo njih jer nadilazi pitanja koja se postavljaju na razini čiste prirode te se tako okreće prema metafizici koja istražuje ono što je nadempirijsko, dakle ono što ne pripada domeni iskustva. Pitanja o duši obuhvaćaju cjelokupnu stvarnost koja nas okružuje i koje smo sami dio. Duša je svebivajuća, sve što egzistira, ono što postoji kao takvo. Duša je mjesto u kojemu se oblikuju čovjekovi odnosi, pa čak i onaj temeljni odnos prema samoj istini koja je nepromjenjiva i u tom pogledu stalna. 2. Pregled spisa Spis O duši koji je izvorno pisan na grčkom preveden je na hrvatski jezik preko kritičkog izdanja koje je izdano na engleskom jeziku, a kako kaže sam prevoditelj, u nekim teškim riječima ili u nekim zabludama koristio je i latinski, njemački te talijanski prijevod 11. Ovo izdanje koje smo mi koristili ima devedeset i četiri (94) stranice te je podijeljen na tri knjige koje imaju svoje podnaslove. Knjige posjeduju podnaslove u svojem rasponu od najmanje tri, do najviše pet. 5 Usp. A. Mišić, Rječnik filozofskih pojmova, Verbum, Split 2000.; str P. Gregorić, Aristotel o diobi duše, Prolegomena 7 (2) 2008.; str I. Zelić, isto; str Aristotel, isto; str Isto 10 Isto, str Isto, str Spectrum

3 Broj 1-4 (2009)/1-2 (2010) 2.1. Prva knjiga Kao već poznati sistematičar Aristotel na početku prve knjige naglašava potrebu sustavnog istraživanja da bi se došlo do istine u istraživanju. Ako želimo odrediti njegovu metodologiju, onda možemo kazati da postupa na način fenomenologije, tj. opisuje činjenice koje su povezane s nutarnjim ili vanjskim iskustvom te promatra život u prirodi unutar kojega je prisutno stalno događanje (promjena, sve je u pokretu). Unutar ove prve knjige Aristotelovog spisa O duši postavljaju se četiri ključna pitanja koja su bitna za razumijevanje samoga Aristotelova stava o promatranoj materiji (duši): 1. Pitanje radnje -unutar ovoga pitanja otkrivamo pitanje trpljenja. Autor želi naglasiti činjenicu da je sve u pokretu, da se sve kreće te da je sve promjenljivo. Tako svaka radnja ima svoje atribute i kvalitete koje je potrebno odrediti. 2. Pitanje uzroka -postavlja pitanje zašto je nešto takvo kakvo jest. Sve što postoji nužno mora imati svoj uzrok postojanja.to je kauzalni način promatranja stvarnosti kakva ona uistinu jest. 3. Pitanje bivanja/egzistencije -svako tijelo na ovaj ili onaj način egzistira, bilo da se radi o pukoj materiji, ili pak nekoj produhovljenoj. Čak i mrtva priroda, kaže Aristotel, da egzistira. Stoga je pitanje egzistencije bitno. 4. Pitanje definicije -da bismo uopće mogli istraživati zbilju, kao i neke predmete u toj zbilji, valja te predmete istraživanja, materijalne objekte, definirati. Aristotel dalje poziva na nužnost određivanja kojoj vrsti duša pripada i što je ona. Da li je ona djeljiva? Ako jest koji su njezini dijelovi? Da bi došao do definicije duše, ide na aporije, dvojbe. Jesu li sve duše iste ili nisu? Koje su to funkcije koje duša obavlja? Pita se koja to stanja duša posjeduje? On traži bit same duše. U svom izlaganju Aristotel sustavno pravi sintezu svega dotadašnjeg istraživanja o duši. On navodi da smo kretanje i osjetilno opažanje duše primili od starijih, te iznosi njihova shvaćanja i objašnjenja duše. Aristotel prvo iznosi Demokritova razmišljanja i njegovu nauku da je duša vatra i topla, te da se sastoji od okruglih atoma jer takvi oblici prodiru kroz sve i sami se kreću. Pitagorejci su pak tvrdili da je duša sitna prašina u zraku. Aristotel spominje i Anaksagorino shvaćanje duše kao one koja pokreće, ali posebno mjesto u izlaganju razmišljanja zauzima Platon sa svojim Timejem u kojem je duša sastavljena od elemenata. Filozof navodi i Hipona koji drži za dušu da je voda zbog sveprisutnosti vlage. Aristotel iznosi isto tako Talesovo, Diogenovo, Heraklitovo (vatra), Alkmeonovo shvaćanje duše, te dolazi do zaključka da je definiranje duše bitno vezano sa počelima pojedini filozofa. Aristotel navodi dalje da svi zastupaju tri bitna obilježja duše: 1. kretanje - u prirodi je sve u pokretu iz čega proizlazi da onda nužno to što se kreće i živi, te se tako može definirati duša kao život. Upravo je i to oznaka čovjeka da on živi dokle god se kreće. Prije Aristotela filozofi su pretpostavljali, kako sam autor navodi, da je kretanje prava osobitost duše i da se sve ostalo kreće kroz nju, a ona sama od sebe zbog toga što ne vidi da išta uzrokuje kretanje što se i samo ne pokreće 12. Zanimljivo je primijetiti da Aristotel u djelu navodi četiri vrste kretanja: promjena mjesta, postajanje drugim, smanjivanje i povećavanje. Duša se kreće po acidenciji, te može pokretati i samu sebe. Može biti pokrenuto ono u čemu je ona (tijelo), a to je pokrenuto od duše. Na drugi način, po Aristotelu, ona ne može biti pokrenuta u prostoru opažanje - ili spoznavanje odigrava veliku ulogu u grčkoj filozofiji, te već i Platon kaže da čovjek zrije ideju. Svaka znanost, a prije svega filozofija, ima cilj spoznavanje istine, te je želi upoznati kao takvu. Upravo u tu svrhu 12 Isto; str Isto; str. 20 PRIKAZI I RECENZIJE Ogledi i prinosi studenata teologije 83

4 PRIKAZI I RECENZIJE koristi čovjek razum kako bi mogao spoznati istinu. 3. bez tjelesnost - duša kao takva nema materijalne uzroke u sebi, ona je posve duhovna. Tako je Aristotel dao neke temeljne postavke na kojima će se kasnije graditi teološka misao, kao i čitava srednjovjekovna skolastička filozofija. U zadnjem djelu prve knjige Filozof se kritički osvrće na mišljenja prethodnika koja argumentirano pobija i odbacuje. A među ostalima Platonu upućuje osam prigovora vezanih za nauku o duši. Potom knjigu završava tumačeći kretanje koje nije svojstveno skladu i sastojanje duše Druga knjiga Druga knjiga započinje jednom od najopćenitijih definicija, a ta je da je duša supstancija. Supstancija se može podijeliti na materiju i formu, od koje materija čini potenciju, a forma označava entelehiju, tj. ispunjenje potencije. U duši kao entelehiji tijela možemo prepoznati znanje i razmatranje. Razmatranju odgovara budnost, a posjedovanju znanja bez izvršenja odgovara san, te upravo na taj način objašnjava Aristotel njihov međusobni odnos. Duša je prva entelehija prirodnog tijela koja ima život u potenciji, te je ona supstancija po obliku. 14 Nadalje autor tvrdi da ono što čini živa bića živima jest opažanje, a gdje je osjet opažanja da je tu prisutna i bol i naslada, a gdje su pak prisutne one prisutna je i požuda. Objašnjavajući različnost duše i tijela Filozof piše da nije tijelo entelehija duše, već upravo vrijedi obratno: da je duša entelehija tijela. Aristotel primjećuje da postoji jedan skup usko povezanih aktivnosti koje su prisutne u svih živih bića, a to su: hranjenje, rast i razmnožavanje. On smatra da su te tri aktivnosti usko povezane iz dva razloga. Prvo je da sva živa bića rastu i razmnožavaju se zbog toga što se hrane, a ta hrana dijelom ide za rast, dijelom za razmno- žavanje. Drugo, i hranjenje i razmnožavanje nužni su za opstanak. Upravo te tri dimenzije po njemu predstavljaju temeljne životne aktivnosti. 15 Još neke od sposobnosti duše koje Aristotel prepoznaje su mogućnost osjećanja, želje, kretanja na mjestu i mišljenje. Prema autoru Spisa, duša je ona koja hrani, te je to prva i zajednička sposobnost duše i po njoj svima pripada život. Duša je za njega izvor kretanja, svrha i uzrok svega. Unutar hranjenja Aristotel razlikuje troje: ono što biva hranjeno (hranjenik), ono čime se hrani i ono što hrani. Ono što hrani je prva duša, hranjenik je tijelo koje je posjeduje, a ono čime se hrani je hrana. Pisac govori o odnosu potencije i entelehije, te ih razlaže i objašnjava kroz trpljenje i osjetilne sposobnosti koja je u potenciji kakvo je osjetilno već u entelehiji. Opažanje se događa kroz osjetila i razlikuje Aristotel predmete opažanja kojima je zajedničko kretanje, mirovanje, broj, oblik, veličina, jer takve stvari nisu vlastite ni jednom osjetilu nego su zajedničke svima. U daljnjem razlaganju Aristotel nam daje definiciju svjetla te kaže da je svjetlo entelehija (ostvarenje) prozirnoga ukoliko je prozirno, dok je mrak lišavanje iz prozirnoga takvog stanja svjetla. Dalje i kroz druga, od pet, osjetila koja imamo Aristotel razlaže bitne oznake same duše, te tako na neki način povezuje filozofiju prirode s filozofskom antropologijom. Upravo osjetilno spoznavanje je za njega trpljenje te navodi zanimljiv primjer pišući na jednom mjestu: Što je drugo osjetiti miris nego trpjeti nešto? Treća knjiga Posljednja knjiga u spisu započinje pokazujući i objašnjavajući odnos između osjeta i predmeta. Sva osjetila su prema Aristotelu sastavljena od zraka i od vode, te on tvrdi da sve opažamo kretanjem. Kretanje jest nužno nekakvo djelovanje stoga djelovanje stvaralačkog i pokretačkog ostvaruje se u onome koji trpi, a to 14 Isto, str P. Gregorić, isto; str Aristotel, isto; str Spectrum

5 Broj 1-4 (2009)/1-2 (2010) je sam predmet spoznavanja. Temeljna Aristotelova definicija kretanja, o kojem se bavi u daljnjim recima Spisa, jest da je kretanje prijelaz iz potencije u akt, tj. iz mogućnosti u čin. Nadalje, Aristotel govori o osjetilnom razmjeru gdje želi istaknuti da svako prekoračenje nije dobro, jer upropaštava sam osjet. Entelehija ili ostvarenje samoga okusa jest kad sam u sebi pomoću predmeta bude izvršen i ostvaren. U daljnjem svojem razmišljanju Aristotel govori o nastanku predodžbi koja je različita i od osjetilnog opažanja i od razuma. Predodžba naime nije isti misaoni čin kao shvaćanje koje razlikujemo kao znanje, mnijenje i razumijevanje. Predodžba kao takva može biti istinita, ali jednako tako može biti i lažna. Treba razlikovati mišljenje i opažanje koji nikako nisu isto jer je opažanje ili snaga ili djelatnost, a mišljenje donekle predodžba, a donekle shvaćanje. Pretposljednji dio ovoga poglavlja posvećen je mišljenju i spoznaji jer Aristotel nam želi pojasniti kako nastaje mišljenje. Duša je, prema mnogim autorima prije Aristotela, mjesto oblika misli, što i on sam potvrđuje te naglašava da ne samo čitava, nego da je obdarena moću mišljenja (u potenciji). 17 Najviši stupanj mišljenja je um jer upravo on ima sposobnost mišljenja, te je upravo um duše ono čime duša misli. Aristotel govoreći o tome unosi termin misaona duša (νοετικη). Zaključak dakle glasi da um je od tijela odvojen, te da on ne može doći u svoje ostvarenje prije nego što misli. Prije toga je tabula rasa. Taj um o kojem govori jest djelatni um, to mu je supstancija. Taj um stalno misli i sam zaseban on jest što jest, te je samo on besmrtan i vječan, a nasuprot tome je pasivan um koji je propadljiv. Um u Aristotela je predegzistirajući jer on dolazi izvana te ulazi u tijelo kao nešto božansko i samo je on besmrtan. Taj je um uspoređen sa svjetlom. Unutar samog tog dijela teksta Aristotel na pomalo neupadljiv način donosi i podjelu svoga razmišljanja duše. Po njemu duša se dijeli na tri dijela kao što postoje i tri vrste živih bića: 17 Isto; str vegetativna duša- ili anima nutritiva. Nju posjeduju biljke te ta duša uključuje hranjenje i razmnožavanje. 2. senzitivna duša - ili anima sensitiva. Ona osim hranjenja i razmnožavanja uključuje kretanje i osjete. 3. racionalna duša ili anima intellectualis. Posjeduje sve nabrojano, ali još uključuje i razum, tj. razumsko mišljenje. 18 Tim razumom čovjek nadilazi ono ovdje i sada o čemu nam kao i životinjama svjedoče osjetila, i doseže ono što je nužno i vječno. To je ono što čovjeka bitno razlikuje od drugih živih bića. U svakome je od ova tri dijela prisutna žudnja, a žudnja je usko povezana i s kretanjem koje pretpostavlja troje: ono koje pokreće, ono čime se pokreće i ono koje je pokrenuto. Nijedno pokrenuto tijelo nema dušu bez osjetilnog opažanja koje je obilježje složenog bića. U zaključku samoga djela O duši Aristotel preko kretanja dolazi do nepokrenutog pokretača 19, tj. Boga u današnjem kontekstu. Aristotel govoreći o metafizici ili prvoj filozofiji spomenuo je kako ona nužno mora biti teologija jer u svijetu, kako smo čuli sve se kreće, a sve što se kreće kreće se od nekog drugog, tj. nešto ga pokreće. On napominje da se ne može tako ići u beskraj zato što u beskraju nema Prvoga, a ako nema Prvoga onda nema ni kretanja, ali budući da Prvoga ima, onda je on nepokrenuti pokretnik. Tu Aristotelovu specifičnost su kasniji filozofi nazvali regressus in infinitum. Zaključak Spis O duši koji smo vam nastojali predstaviti opisuje Aristotelov pristup duši, koji je različit od drugih, jer je on prirodnofilozofski. Predstavljeni spis tako utemeljuje Aristotelovu biologiju, te daje tumačenje zajedništva duše i tijela. 20 Ovaj se spis, nadalje može gledati kao 18 Usp. H. Burger, Filozofska antropologija, Naprijed, Zagreb 1993.; str Usp. Aristotel, isto; str Gerd Haeffner, Filozofska antroplogija, Naklada Breza, Zagreb 2003.; str. 194 PRIKAZI I RECENZIJE Ogledi i prinosi studenata teologije 85

6 PRIKAZI I RECENZIJE prethodnica znanosti psihologije jer je upravo psihologija riječ o duši, u svojem etimološkom značenju. Aristotel gotovo u cijelom tekstu nigdje ne donosi kompletnu definiciju duše, već je objašnjava kao sastavnicu mnogih od značajaka koje joj pripadaju. Djelo iako je prevedeno s grčkog jezika, zadržalo je svoju temeljnu poruku, iako se čini da je stil pomalo težak za čitanje. Koliko je težak za čitanje, toliko više traži od nas pozornosti da bismo ga bolje shvatili i upoznali, te se na taj način susreli s mišlju Aristotela. Aristotel je važan filozof, ne samo za svoje razdoblje, već je dao mnoge okvire različitim znanostima, a znademo da je posebnu važnost dobio i u skolastičkoj kršćanskoj filozofiji koja je obilježila kršćansku misao srednjega vijeka, te taj njegov tako snažan utjecaj možemo sa sigurnošću reći da traje i u naše vrijeme jednako djelatno i živo. U našem radu nismo koristili samo ovaj spis već smo se služili i različitom literaturom kako bismo nejasnoće na koje smo naišle, lakše i s većim razumijevanjem shvatili i mogli ih predstaviti. Taj posao, iako smo mislili drugačije, nije bio nimalo lagan, ali smo sada još sretniji jer smo uspjeli barem donekle dokučiti Aristotelovu misao koja živi i danas po njegovim djelima. Imati istu misao s nekim znači najbolje tu osobu poznavati stoga smo zbog toga ponosni, ali i svjesni poticaja koji nam je upućen da ne zaboravimo Istinu koja u nama stvara slobodu (usp. Iv 8, 32). Posebno nas je u ovom djelu zainteresirala Aristotelova misao o Bogu, kojega naziva gore spomenutim nazivom: nepokrenutim pokretačem. Upravo je to naš Bog kojeg se može spoznati naravnim svjetlom razuma, kako nas poučava nauk Crkve, te je to donekle učinio i Aristotel u ovom svojem djelu, ali ipak nenametljivo kako i dolikuje samim filozofima. 86 Spectrum

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE

BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Mr. Željko Kaluđerović UDK: 2-549.3:27-144 Filozofski fakultet Originalni naučni rad Novi Sad Primljeno: 16.09.2005. BOG FILOZOFA IZ STAGIRE Rezime Autor u ovom radu analizira Aristotelovo specifično poimanje

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα