Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί
|
|
- Ευρυδίκη Ποδαργη Σπηλιωτόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει το υπόλοιπο τη διαίρεσης του αριθµού που σχηµατίζουν τα τρία τελευταία ψηφία του ΑΜ δια του 6. Το υπόλοιπο αυτό είναι από 0-5 και καθορίζει τον αριθµό του πακέτου. Για παράδειγµα ένας υποθετικός φοιτητής µε αριθµό µητρώου: ΑΜ= θα υπολογίσει το Mod(0;6) =3. Άρα αναλαµβάνει το πακέτο ασκήσεων 3. Προσοχή!! εν πρέπει να γίνει λάθος στο πακέτο που θα επιλέξετε διότι αλλιώς είναι ως εάν δεν παραδώσετε άσκηση. Προσέξτε πριν να υποβάλλετε την εργασία σας στο eclass να εφοδιάσετε τις απαντήσεις µε εξώφυλλο, όπως στο παράδειγµα που ακολουθεί, στο οποίο θα αναγράφονται το όνοµα ο ΑΜ,το mod() και το πακέτο που προκύπτει.
2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Παπαδόπουλος Ιωάννης ΑΜ Πακέτο Μοd(0;6)=3 Πακέτο Ασκήσεων 3 Αθήνα 5//0
3 Οµάδα Ασκήσεων 0 Προβληµα 0. ίνεται ένα σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε ισοπίθανα σύµβολα, τα: { s =(,0,0,0) Τ, s = (0,,0,0) Τ, s 3 = (0,0,,0) Τ,s 4 = (0,0,0,) Τ }. Στο φωρατή του συστήµατος το διαβιβαζόµενο σύµβολο συνοδεύεται από προσθετικό θόρυβο, το διάνυσµα v, του οποίου οι συνιστώσες είναι τυχαίες µεταβλητές, στατιστικά ανεξάρτητες µεταξύ τους, µε Gaussan κατανοµή. Επίσης κάθε συνιστώσα έχει µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. Εποµένως για ένα άγνωστο σύµβολο s που αποστέλλει ο ποµπός ο φωρατής λαµβάνει το διάνυσµα =s+ν=(,, 3, 4 ) T. 0..α) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι για να γίνει η φώραση του άγνωστου συµβόλου s από το ληφθέν διάνυσµα µε ελάχιστη πιθανότητα σφάλµατος, πρέπει να εφαρµοστεί το κριτήριο της µέγιστης πιθανοφάνειας (Maxmum Lkelhood-ML). (0.3µονάδες) 0..β) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας επιτρέπουν να απλοποιήσουµε το κριτήριο ML σε κριτήριο ελάχιστης απόστασης. (0.7µονάδες) 0..γ) Να αποδείξετε ότι το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης στο σύστηµα αυτό απλοποιείται στο κριτήριο µέγιστης συνιστώσας του, δηλαδή: (.4µονάδες) Αν > j=,,3,4 j s= s j 0.. α Η ισχύς του κριτηρίου ML εξασφαλίζεται από το δεδοµένο ότι όλα τα σύµβολα είναι ισοπίθανα. 0..β Η ισχύς του κριτηρίου ελάχιστης απόστασης εξασφαλίζεται από τα δεδοµένα ότι οι συνιστώσες του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν την ίδια µέση τιµή και διασπορά και είναι στατιστικά ανεξάρτητες. 0..γ Με βάση το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης αποφασίζουµε: s = s s < s j j=,,3,4, j Ας δεχθούµε ότι =(,, 3, 4 ) T τότε: s = k =,,3, 4 k 3 4 οπότε η σχέση s < s j γίνεται ισοδύναµα: s < s j < j > j και το κριτήριο απλοποιείται σε s = s > j =,,3,4, j j Προβληµα 0. Στο Φωρατή του συστήµατος του Προβλήµατος 0. λαµβάνεται η ακολουθία διανυσµάτων { n }: =(0.04, 0.5, 0.88, 0.44) T, =(-0.03,.03, 0., 0.0) T, 3 =(-0.0, -0.7, 0.06, 0.73) T, 4 =(-0.0, -0.7, 0.06, 0.73) T 0..α) Να υπολογίσετε την πιο πιθανή ακολουθία συµβόλων {s n } που έχει φθάσει στον φωρατή. (0.7 µονάδες) 0..β) Να υπολογίσετε την αντίστοιχη ακολουθία θορύβου {v n }. (.0 µονάδες) 0..γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την διακύµανση σ. (.6 µονάδες) k
4 0.α Εφαρµόζοντας το κριτήριο της µέγιστης συνιστώσας έχουµε ότι : 0..β Ισχύει ότι = s+ v v= s Συνεπώς: v 3 v ( 0,0,,0 ), ( 0,,0,0 ), ( 0,0,0, ), ( 0,0,0,) Τ Τ Τ Τ s = s = s = s = 3 4 T T = ( 0.04, 0.5, 0., 0.44), v = ( 0.03, 0.03, 0., 0.0), T T (.0, 0.6, 0.06, 0.7), = ( 0.0, 0.6, 0.06, 0.7), = v γ Αφού οι συνιστώσες των διανυσµάτων της απάντησης 0.β είναι στατιστικά ανεξάρτητες, έχουν την ίδια διακύµανση και µέση τιµή µηδέν, η κοινή τιµή της διακύµανσης, σ υπολογίζεται από τον τύπο: 4 σ = ( v + v + + 4) 6 v v 3 = και αντικαθιστώντας βρίσκουµε: σ =0.03 Προβληµα 0.3 Το v είναι τυχαία µεταβλητή µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή και διακύµανση σ =9. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: 0.3.α) P =(v>5) (0.7 µονάδες) 0.3.β) P =(v<-5) (.0 µονάδες) 0.3.γ) P 3 =(3<v<6) (.6 µονάδες) Σύµφωνα µε τον γνωστό τύπο υπολογισµού της πιθανότητας στο συγκεκριµένο πρόβληµα, έχουµε: 0.3.α 0.3.β 0.3.γ
5 Οµάδα Ασκήσεων Προβληµα. ίνεται ένα σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε ισοπίθανα µιγαδικά σύµβολα, τα: { s =, s = j }. Στην είσοδό του φωρατή του συστήµατος το διαβιβαζόµενο σύµβολο συνοδεύεται από θόρυβο, τον µιγαδικό v, του οποίου τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος είναι τυχαίες µεταβλητές, στατιστικά ανεξάρτητες µεταξύ τους, µε Gaussan κατανοµή. Επίσης κάθε µέρος έχει µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. Εποµένως για ένα άγνωστο σύµβολο s που αποστέλλει ο ποµπός ο φωρατής λαµβάνει τον µιγαδικό =s+ν=( +j )..α) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι για να γίνει η φώραση του άγνωστου συµβόλου s από το ληφθέν σύµβολο µε ελάχιστη πιθανότητα σφάλµατος, πρέπει να εφαρµοστεί το κριτήριο της µέγιστης πιθανοφάνειας (Maxmum Lkelhood-ML). (0.5 µονάδες).β) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας επιτρέπουν να απλοποιήσουµε το κριτήριο ML σε κριτήριο ελάχιστης απόστασης. (0.9 µονάδες).γ) Να αποδείξετε ότι το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης στο σύστηµα αυτό απλοποιείται στο κριτήριο της µεγαλύτερης συνιστώσας του, δηλαδή: Αν > s=, αλλιώς s= j (.0 µονάδες)..α Η ισχύς του κριτηρίου ML εξασφαλίζεται από το δεδοµένο ότι τα σύµβολα είναι ισοπίθανα...β Η ισχύς του κριτηρίου ελάχιστης απόστασης εξασφαλίζεται από τα δεδοµένα ότι οι συνιστώσες του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν την ίδια µέση τιµή και διασπορά και είναι στατιστικά ανεξάρτητες...γ Με βάση το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης αποφασίζουµε j < s= jαλλιώς s= ή ισοδύναµα ή ή τελικά ( ) ( ) + < + s= jαλλιώς s= < s= jαλλιώς s= > s= jαλλιώς s= Προβληµα. Στο Φωρατή του συστήµατος του Προβλήµατος λαµβάνεται η ακολουθία µιγαδικών { n }: = 0.04+j.5, = 0.88+j0.44, 3 = j.03, 4 = -0.0+j0.03, 5 = 0.06+j0.73,.α) Να υπολογίσετε την πιο πιθανή ακολουθία συµβόλων {s n } που έχει φθάσει στον φωρατή. (.0 µονάδες).β) Να υπολογίσετε την αντίστοιχη ακολουθία θορύβου {v n }. (.5 µονάδες).γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την διακύµανση σ. (.0 µονάδες)
6 . α Σύµφωνα µε το κριτήριο της µεγαλύτερης συνιστώσας, ο ποµπός έχει στείλει εκτιµούµε την πιο πιθανή τιµή και την καταγράφουµε στον πίνακα (γραµµή ) j j j j j0.73 s j j j j v=-s 0.04+j j j j j0.7. β Ισχύει οτι. Συνεπώς:. Έτσι συµπληρώνεται η Τρίτη γραµµή του Πίνακα...γ Θυµηθείτε ότι τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν µηδενική µέση τιµή, τηνίδια διακύµανση σ και είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Εποµένως η διακύµανση µπορεί να εκτιµηθεί από τον τύπο: 5 σ = ( Re( v) ) ( Im( v) ) + 0 ι= Και αντικαθιστώντας βρίσκουµε σ =0.5. Προβληµα.3 Να αποδείξετε ότι στο πιο πάνω σύστηµα η πιθανότητα σφάλµατος P b δίνεται από τη σχέση Pb = Q (. µονάδες) σ Υπόδειξη: Θυµηθείτε ότι αν ν=ν +ν ή ν=ν -ν όπου ν και ν τυχαίες µεταβλητές στατιστικά ανεξάρτητες και µε µέση τιµή µ και µ και διακυµάνσεις σ και σ, τότε η ν είναι επίσης τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ=µ + µ, αντίστοιχα µ=µ - µ και διακύµανση σ = σ + σ. Κατά τα γνωστά η πιθανότητα σφάλµατος, P e µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: P = P Y X & X = + P Y X & X = j b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = P Y X X = P Y X X = j 0.5 b Pb = 0.5 P Y = j X = + P Y = X = j Όµως όταν Χ= =+v +jv και όταν Χ=j =v +j(+v ) Pb = 0.5 P( v > + v) + P( v > + v) ( ) ( ) Pb = 0.5 P v v > + P v v < Επειδή όµως v και v είναι τυχαίες µεταβλητές, µε Gaussan κατανοµή µέση τιµή µηδέν και στατιστικά ανεξάρτητες ισχύει ότι η v=v -v τους είναι τυχαία µεταβλητή µε Gaussan κατανοµή µέση τιµή µηδέν και διακύµανση το άθροισµα των διακυµάνσεων, δηλαδή σ = σ. Εποµένως: v Pb = 0.5 P( v v > ) = Q = Q = Q = Q σ v σ v σ σ
7 Οµάδα Ασκήσεων Πρόβληµα. Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε ισοπίθανα σύµβολα, τα στοιχεία του αστερισµού {0,}, ο θόρυβος στην είσοδο του καναλιού 3 6 για v 8 3 ακολουθεί κατανοµή µε οµοιόµορφο PDF fv( ν) =. Παρατηρείστε ότι 0 για v > 8 3 η αναµενόµενη τιµή της κατανοµής αυτής είναι ίση µε µηδέν...α) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πυκνότητας της υπό συνθήκη πιθανότητας 0 f z s= (.0 µονάδες) f ( z s= ) και ( )..β) Πώς διαµορφώνεται το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας στο σύστηµα αυτό; (.0 µονάδες)..γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος για το πιο πάνω σύστηµα αν ακολουθήσουµε το κριτήριο: Αν > s=, αλλιώς s= 0 (.4 µονάδες).α. Για την f ( z s= 0) έχουµε f ( z s 0) Ενώ για την ( ) f ( z s ) 3 6 για v 8 3 = = 0 για v > 8 3 f z s= ολισθαίνει η κατανοµή ώστε η µέση τιµή να γίνει 3 6 για - 3 v 4 3 = = 0 αλλού.β Για f s= 0 > f s= s= 0 ( ) ( ) αλλιώς s=.γ P = P Y X & X = 0 + P Y X & X = = P Y = 0 s= 0.5+ P Y = s= b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pb = 0.5 P < s= + P s= 0 = 0.5 P + v< + P v δηλαδή: Pb = 0.5 P( v< ) + P( v ) Με βάση την κατανοµή του v 3 5 P( v < ) = fv( v) dv = dv 6 = και P( v ) = f ( ) v v dv= dv 6 = 6 και τελικά 5 P b = 6
8 Πρόβληµα. Σε ένα σύστηµα µε ισοπίθανα σύµβολα που ανήκουν στον αστερισµό {0,,,3} τα σύµβολα φθάνουν στον φωρατή συνοδευόµενα από προσθετικό θόρυβο µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και διακύµανση σ...α). Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ } =,,3 που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση. (.6 µονάδες)..β). Σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. (.7 µονάδες)..α Για να εφαρµοστεί η αρχή της ελάχιστης απόστασης τα κατώφλια πρέπει να τοποθετηθούν στα µέσα των αποστάσεων των γειτονικών συµβόλων του αστερισµού: s+ s+ T = T, T, T3= 0.5,.5,.5..β s Πρόβληµα.3 Αν ο φωρατής του Προβλήµατος. λάβει την ακολουθία { n } ={-.0.,., 0.9,.,.7, 3., 0.,-0.,.9}.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες).3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }(0.9 µονάδες).3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης. (.7 µονάδες).3.α&β s v=-s γ Αφού η µέση τιµή της ν είναι µηδέν, η διακύµανση υπολογίζεται ως: 5 σ = v = [ ] = ι=
9 Οµάδα Ασκήσεων 3 Πρόβληµα 3. Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε 4 ισοπίθανα σύµβολα, τα στοιχεία του αστερισµού {-3,-,,3}, ο θόρυβος στην είσοδο του φωρατή ακολουθεί Laplacan κατανοµή ( fv( ν) = e ν ) 3.α) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πυκνότητας της υπό συνθήκη πιθανότητας 3 f z s= 3 (.7 µονάδες). f ( z s= ), f ( z s= ), f ( z s= ), ( ) 3.β) Να αποδείξετε ότι για την πιο πάνω κατανοµή το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας απλοποιείται σε κριτήριο ελάχιστης απόστασης. (.6 µονάδες) 3.γ) Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ } =,,3 που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση και σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. (. µονάδες) 3.α. Κατά τα γνωστά έχουµε ίδια κατανοµή µε τον θόρυβο αλλά η µέση τιµή αυξάνει κατά την τιµή του συµβόλου: 3 f( s= 3) = e +, f( s ) e + = =, f( s= ) = e 3 f( s= 3) = e 3.β Κριτήριο Μέγ. Πιθανοφάνειας: f s= > f s= j j=,,3,4, j s= Αν ( ) ( ) οπότε αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις: j e > e j=,,3,4, j s= j ln ln,,3, 4, e > e j= j s= ln > ln j j=,, 3, 4, j s= < j j=,,3,4, j s= 3..γ Για να εφαρµοστεί η αρχή της ελάχιστης απόστασης τα κατώφλια πρέπει να τοποθετηθούν στα µέσα των αποστάσεων των γειτονικών συµβόλων του αστερισµού: s+ s+ T = T, T, T3= -, 0, s
10 Πρόβληµα 3. Για το σύστηµα του Προβλήµατος 3. Να υπολογίσετε τις υποσυνθήκη πιθανότητες P(Y=-3 X=-) Θέτουµε ( ) και P(Y= X=). (. µονάδες) ( = 3 = ) = ( < = ) = ( = ) P Y X P s f s d ( 3 ) + ( + ) P Y = X = = e d= e d + = w w ( ) exp w P( Y = 3 X = ) = e dw = ( ) ( 0 ) ( ) P Y = X = = P < < s= = f s= d ( ) P Y = X = = e d 0 [0,] = και [,] = Επειδή για ( ) Θέτουµε ( ) Θέτουµε ( ) P( Y = X = ) = e d+ e 0 0 ( ) ( ) = w w 0και 0 w = w w 0και w ( ) 0 w w e e 0 P Y = X = = e dw e dw= ( = = ) = P Y X e Πρόβληµα 3.3 Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα µε 4 σύµβολα, αυτά του αστερισµού { +j, -+j, --j, -j}. Στο φωρατή τα σύµβολα συνοδεύονται από µιγαδικό θόρυβο µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος τυχαίες µεταβλητές µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. ίνεται ότι η ακολουθία λήψης { n }={0.8+j., -0.8+j0.9, -0.9-j0.9,.3 j0.9}. 3.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες) 3.3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }} (0.9 µονάδες) 3.3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης (.7 µονάδες). 3.3α&β 3.3.γ 0.8+j j j0.9.3-j0.9 s +j -+j --j -j v=-s 0.+j0. 0.-j j j0. Θυµηθείτε ότι τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν µηδενική µέση τιµή, την ίδια διακύµανση σ και είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Εποµένως η διακύµανση µπορεί να εκτιµηθεί από τον τύπο:
11 σ 4 = + 8 ι= Και αντικαθιστώντας βρίσκουµε σ = ( Re( v) ) Im( v) ( )
12 Οµάδα Ασκήσεων 4 Πρόβληµα 4. Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε 3 ισοπίθανα σύµβολα, αυτά του αστερισµού {-3,0,3}, ο θόρυβος στην είσοδο του φωρατή ακολουθεί Gaussan κατανοµή µε µέση τιµή µηδέν και διακύµανση σ = α) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πυκνότητας της υπό συνθήκη πιθανότητας 3 0 f z s= 3, (.5 µονάδες). f ( z s= ), f ( z s= ), ( ) 4..β) Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ } που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση και σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. (.0 µονάδες) 4..α Ο γενικός τύπος για την εύρεση της συνάρτησης πυκνότητας της υποσυνθήκη πιθανότητας είναι ο ακόλουθος: ( z s ) σ f ( z s) = e πσ Έτσι έχουµε: ( 3) f z s e π.5 ( z) ( 3) z = =, f ( z s= 0) = e και ( z 3) π f ( z s= 3) = e π.5 4.β Σύµφωνα µε την αρχή της ελάχιστης απόστασης τα κατώφλια βρίσκονται στο µέσον της απόστασης των γειτονικών συµβόλων. Συγκεκριµένα: T =(s +s + )/ =, T ={-.5,,5} Και αντίστοιχα η χαρακτηριστική µεταφοράς θα είναι: V ou V
13 Πρόβληµα α) Για το σύστηµα του Προβλήµατος 4. Να υπολογίσετε τις υπό συνθήκη πιθανότητες P(Y=-3 X=-3) 4..β) Αν ισχύει και P(Y=-3 X=3). (. µονάδες) P(Y=-3 & X=-3)= P(Y=3 & X=3)=0. και P(Y=0 & X=0)=0.4 Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος P e του διακριτού καναλιού..0 µονάδες) 4..α) Γνωρίζουµε ότι στον δέκτη λαµβάνεται =s+v, όπου s, v το σύµβολο που έστειλε ο ποµπός και ο θόρυβος από τον αποδιαµορφωτή. Για να αποφασιστεί Y=-3 πρέπει να ισχύει <-.5. P Y = 3 X = 3 = P <.5 s= 3 = P s+ v<.5 s= 3 ( ) ( ) ( ).5 P( Y = 3 X = 3) = P( v<.5) = P( v>.5) = Q = Q( ).5 P Y = 3 = 3 = 0.6 ηλαδή ( X ) ( X ) P Y = 3 = 3 = 0.84 Οµοίως για να αποφασιστεί Y=-3 πρέπει να ισχύει <-.5. P Y = 3 X = 3 = P <.5 s = 3 = P s+ v<.5 s = 3 ( ) ( ) ( ) 4.5 P( Y = 3 X = 3) = P( v< 4.5) = P( v> 4.5) = Q = Q( 3).5 ( ) ( ) ( ) ( ) P Y = 3 X = 3 = Q 3 = Q 3 = ηλαδή 4..β) ( X ) P Y = 3 = 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) Pe = P X = Y = P Y = 0 & X = 0 + P Y = 3 & X = 3 + P Y = 3 & X = 3 = = 0. Πρόβληµα 4.3 Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα µε 4 σύµβολα, αυτά του αστερισµού {, j, -,-j}. Στο φωρατή τα σύµβολα συνοδεύονται από µιγαδικό θόρυβο µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος τυχαίες µεταβλητές µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. ίνεται ότι η ακολουθία λήψης { n }={0.+j., -.+j0., -0.-j.9,.3 j0.}. 4.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες) 4.3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }} (0.9 µονάδες) 4.3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης (.7 µονάδες). Για να βρούµε την λύση θα πρέπει να εφαρµόσουµε το κριτήριο ελάχιστης απόστασης... Θεωρούµε την ακολουθία k=, j, -,-j όπως δίνεται στην εκφώνηση. Έτσι παίρνουµε κατά σειρά και στην Η ακολουθία πιθανώ συµβόλων δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα:
14 j. -.+j j.9.3-j0. s j - -j ν=-s j j j j Για να βρούµε την προσέγγιση της τιµής της διακύµανσης θα πάρουµε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του θορύβου.παίρνουµε λοιπόν: 4 σ = σ Re = σ Im = ( v Re + v Im) 4 ( ) = = ( ) = ηλαδή σ =0.4.
15 Οµάδα Ασκήσεων 5 Πρόβληµα 5. Σε ένα διακριτό κανάλι µε 4 ισοπίθανα σύµβολα ο πίνακας των υπό συνθήκη πιθανοτήτων P(Y=j X=) είναι ο ακόλουθος: 5.α) Να καταγράψετε τον Πίνακα της απόκοινού Πιθανότητας P(Y=j &X=),j=,,3,4 (.6 µονάδες) 5.β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος του καναλιού(.0 µονάδες) 5..γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα εµφάνισης των συµβόλων στην έξοδο του καναλιού. (0.8 µονάδες) 5..α Για να ( = & = ) θα πρέπει να κάνουµε: ( = & = ) = ( = = ) ( = ) P Y j X P Y j X P Y j X P X βρούµε το: Αφού µιλάµε για 4 ισοπίθανα σύµβολα έχουµε P(X=)=0.5. Έτσι ο πίνακας που θα πάρουµε θα είναι ο ακόλουθος: 5..β P = P X = Y e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pe = P Y = & X = + P Y = & X = + P Y = 3 & X = 3 + P X = 4 & Y = 4 P = [ ] e P(Y=j X=) Υ= Υ= Υ=3 Υ=4 Χ= Χ= Χ= Χ= P(Y=j&X=) Υ= Υ= Υ=3 Υ=4 Χ= Χ= Χ= Χ= P e = 0. 5.γ Από τον κανόνα περιθωριακής πιθανότητας προκύπτει: 4 ( ) ( ) P Y = = P Y = & X = j, j =,,3, 4 j= Προσθέτοντας λοιπόν τα στοιχεία της κάθε στήλης του Πίνακα της αποκοινού πιθανότητας προκύπτει: P(Y=)= P(Y=)= P(Y=3)= P(Y=4)=0.5 Πρόβληµα 5. Το v είναι τυχαία µεταβλητή µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή - και διακύµανση σ =4. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: 5..α) P =(v>3) (0.7 µονάδες)
16 5..β) P =(v<-) (.0 µονάδες) 5..γ) P 3 =(<v<4) (.6 µονάδες) Αφού µας δίνεται η διακύµανση και η µέση τιµή µπορούµε εύκολα από τη συνάρτηση Q(κ) να βγάλουµε τα αποτελέσµατα µας: 5..α 3+ P( ν > 3) = Q = Q( ) = β ( ) P( ν < ) = P( ν > ) = Q = Q( 0.5) = Q( 0.5) P < = Q(0.5) = 0.3 ( ν ) 5..γ ( ) ( ) 4 P( < ν < 4) = P( ν > ) P( ν > 4) = Q Q = 5 Q( ) Q = 0.5 Πρόβληµα 5.3 Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα µε 4 σύµβολα, αυτά του αστερισµού { +j, -+j, --j, -j}. Στο φωρατή τα σύµβολα συνοδεύονται από µιγαδικό θόρυβο µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος τυχαίες µεταβλητές µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. ίνεται ότι η ακολουθία λήψης { n }={.-j., 0.8-j0.9, +0.9-j0.9, -.3 j0.9}. 5.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες) 5.3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }} (0.9 µονάδες) 5.3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης (.7 µονάδες). Παίρνουµε το κριτήριο ελάχιστης απόστασης. Έτσι έχουµε: 3 4.-j. 0.8-j j j0.9 s -j -j -j --j ν=-s 0.-0.j j j j Για να βρούµε την προσέγγιση της τιµής της διακύµανσης θα πάρουµε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του θορύβου. Λαµβάνουµε λοιπόν: 4 σ = σ Re = σ Im = ( v Re + v Im) 4 ( ) = = ( ) = ηλαδή σ =0.05
Συστήματα Επικοινωνιών
Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα : Φώραση Εμμανουήλ Σαγκριώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σκοποί ενότητας 1. Γνωριμία με τεχνικές εκτίμησης της τιμής συμβόλου όταν αυτό
Διαβάστε περισσότεραΟ Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο Βέλτιστος Φωρατής Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε να µεγιστοποιείται
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότερα+ r=s+v ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 30/11/ :27 µµ Πρόβληµα 1
Πρόβληµα 1 Ο ποµπός στέλνει στο δέκτη µέσω του καναλιού του σχήµατος την ακολουθία συµβόλων {s t } t=1,2,,10 που ανήκουν στο αλφάβητο {-3,-1,1,3} Στον δέκτη λαµβάνεται η ακολουθία {r i } i=1,2,,10 του
Διαβάστε περισσότερα( x) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής cumulaive diribuio ucio CDF µίας τυχαίας µεταβλητής X ορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΑναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες
Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 2009 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» G F = 0.8 T F = 73 0 K
Λύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 9 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» Θέµα 1 ο (3%) A =6 o K P R = 1pWatt SNR IN G LNA =13dB LNA =3 K LNA G F =.8 F = 73 K Φίλτρο G = db F = 8 db Ενισχυτής IF SNR OU 1.
Διαβάστε περισσότεραΣύνδεση με τα Προηγούμενα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Εισαγωγή (2) Εισαγωγή. Βέλτιστος Δέκτης. παρουσία AWGN.
Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστος Δέκτης για Ψηφιακά Διαμορφωμένα Σήματα παρουσία AWGN Σύνδεση με τα Προηγούμενα Στις «Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες», αναφερθήκαμε στο βέλτιστο δέκτη ψηφιακά διαμορφωμένων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson
Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραΕξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Πρόβλημα 1 ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ s + r Ο πομπός στέλνει στο δέκτη μέσω του καναλιού του σχήματος την ακολουθία συμβόλων {st} t=1,2,,10 που ανήκουν στο
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xο
ΜΑΘΗΜΑ 9.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ο R Θεωρία Σχόλια - Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός f ( ) ο σηµαίνει ότι οι τιµές f ( ) της συνάρτησης f γίνονται µεγαλύτερες από κάθε θετικό αριθµό Μ, καθώς.. Ορισµός f ( )
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς
Διαβάστε περισσότεραΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 15 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η
Διαβάστε περισσότεραPROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραεξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου 2001
Μαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου Ζήτηµα ο A.. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z z z. Μονάδες 7,5 Α.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΜπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.
Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότερα0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία
ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000
Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.
Διαβάστε περισσότερα2 η Εργαστηριακή Άσκηση
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ 2 η Εργαστηριακή Άσκηση Σύγκριση Ομόδυνων Ζωνοπερατών Συστημάτων 8-PSK και 8-FSK Στην άσκηση αυτή καλείστε
Διαβάστε περισσότεραA(θ) = n log θ B(x ) = 0. T (x ) = x i. Γ(n)θ n =
ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι : ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ» Πέµπτη 24 Ιουνίου 24 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 24 ΘΕΜΑΤΑ. Θεωρώντας ως κριτήριο το µέσο τετραγωνικό σφάλµα : (α ( µονάδες Εστω, 2 δύο εκτιµητές τού g(θ.
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΟ Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο Βέλτιστος Φωρατής Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΡΗ Α&DC /1/ :18 πµ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΕΣ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Η απόσβεση, L, των καναλιών εν γένει αυξάνει εκθετικά µε το µήκος τους. Το αποτέλεσµα είναι ότι, όταν χρειαστούµε να διαβιβάσουµε σήµατα σε µακρινές
Διαβάστε περισσότερα1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Διαβάστε περισσότεραP( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων
ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότερα(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων
Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα 5 η Ανιχνευτές Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟΔΙΟΡΘΩΣΗΣ +ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Οδηγίες αυτοδιόρθωσης+λύσεις των θεμάτων προσοσμοίωσης στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 05 ΟΔΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟΔΙΟΡΘΩΣΗΣ +ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 9 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.9: Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Θεµατικές Ενότητες:. Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Ρητή αλγεβρική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΚριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση. R R τέτοια, ώστε να ισχύει. f(x) x. lim. ii) x 0. lim f (x) = 0. x 0. lim. ( x + x + 4) = 4. x 0.
ΜΑΘΗΜΑ 8.4.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Κριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση R ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κριτήριο παρεµβολής. 4 f () Να βρείτε το i) i) ( 4 ) ( 4 ) R R τέτοια, ώστε να ισχύει f () 0 4 0 0 4 για κάθε κοντά στο
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων
ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις
Διαβάστε περισσότερα5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ
5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΣτροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή
Στροφορµή Στροφορµή υλικού σηµείου Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή ως προς σηµείο ή ως προς άξονα, που το µέτρο της υπολογίζεται από την εξίσωση L = mυr Όπου
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικά Αντίποδα Σήματα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι. r s n E n. P r s P r s.
Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Βασικής Ζώνης) : s (t)=-s (t) Παράδειγμα: Δυαδικό PA s (t)=g T (t) (παλμός με ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή
Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2010-11 Χειµερινό Εξάµηνο Τελική εξέταση Τρίτη, 21 εκεµβρίου 2010,
Διαβάστε περισσότεραΣτροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.
Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001
Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 8 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό σελ. 65 Α. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότερα( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. ίνονται οι συναρτήσεις f() = ln(e e + 3) και g() = ln3 + ln(e 1) i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού τους. ii. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των f, g
Διαβάστε περισσότερα