Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

Transcript

1 Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglykos.gr 3 / 1 0 / εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για την Κανονική Κατανομή Κατανομές Η κανονική κατανομή έχει σ.π.π. f () x ΘΕΩΡΙΑ : 1 e, ενώ η τυποποιημένη χρησιμοποιεί τον ίδιο τύπο με μέση τιμή μ=0 και τυπική απόκλιση σ=1 X N, x Z Αν έχω κατανομή τότε 0,1 Οπότε οποιαδήποτε πιθανότητα P z c () c. Το νου σου στο τυπολόγιο P z c () c P a z b ()() b a P z c 1() c () c 1() c Προσοχή στην περίπτωση που εμφανιστεί () z z 1.3 από τον πίνακα,αν όμως χρειαστεί τιμή που δεν υπάρχει στον πίνακα, πχ. z z ; τότε δημιούργησε το 1 z z 0.803()(0.85) z 0.85 z 1. Αν x N 19, 4( 18),( P x ), P x 17 P 19,5 x ;. Αν x N 10,,( P x140) 0, ( 105) P x ; 3. Αν 4. Αν x N 4,4,()() P x c ; P x c c x N 3,4,3()() P x c ; P x c c 5. Αν x N,,( P 30) ,( P 6) x 0, P 6 x ; 1

3 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν μία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με μέσο όρο 50 και διακύμανση 5, να βρεις τις πιθανότητες : P( x 4) P( x 37) P(5 x 61) 7. Η βαθμολογία σε διαγώνισμα ενός μαθήματος έγινε με κλίμακα και οι βαθμοί 80 φοιτητών ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο 7 και διακύμανση 144. Να βρεις πόσοι φοιτητές βαθμολογήθηκαν από 69 έως 81. Ποιος ο μικρότερος βαθμός που πρέπει να έχει ένας φοιτητής για να πάρει υποτροφία, δηλαδή να έχει βαθμό στους 8 καλύτερους. 8. Αν τ.μ. χ έχει σ.π.π. f () x, ( x10) 1 c e 8,8x11 0, ύ να βρεις το c, τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση, την πιθανότητα η τ.μ. να γίνει το πολύ 1, την πιθανότητα να βρεθεί ανάμεσα στο 7 και 11,5 καθώς και τη μέση τιμή της (Υπόδ: θα βρεις c=0,9384, παρατήρησε ότι η σ.π.π. έχει τη μορφή κανονικής για να βρεις μ,σ) 9. Σε τεστ προόδου φοιτητών του ΕΚΠΑ ο μέσος όρος βαθμολογίας ακολούθησε την x N 15, 5 να βρεις την πιθανότητα κάποιος φοιτητής να πήρε βαθμό από 10 έως 155. Αν οι φοιτητές ήταν 500, να βρείς πόσοι πήραν βαθμό όχι μικρότερο από Μηχανή παράγει ροδέλες με διάμετρο που ακολουθεί την x N 0.50, 510,.Καλές για πώληση θεωρούνται αυτές που έχουν διάμετρο 0,496 έως 0,508. Σε μία παραγωγή 00 τεμαχίων, να βρεις πόσες θα είναι ελαττωματικές. Αν έχω κατανομές X1 N 1, 1, X N, τότε 11 ii, ai i ΚΟΘ αν έχω πάνω από 30 μεταβλητές (η>30) που ακολουθούν την ίδια κατανομή τότε n, x N n n, x N, i i 1 n 11. Αν x N(8,9),(6,16)(),( y N P),( x y P 1) x ; y P y x 1. Ηλεκτρικές αντιστάσεις ακολουθούν κανονική με μέση τιμή 47 και διασπορά 3. Αν 0 τέτοιες αντιστάσεις συνδεθούν σε σειρά, να βρεις την πιθανότητα η ολική τους αντίσταση να μην υπερβαίνει τα Μηχανή κατασκευάζει άξονες με μήκος x N 5,1 για πώληση. Ποιο το ποσοστό των ακατάλληλων αξόνων ;. Αν ο άξονας έχει μήκος από 3 έως 7 είναι κατάλληλος Αν επιλέξω τυχαία άξονες, ποια η πιθανότητα το συνολικό μήκος να είναι μικρότερο από 58;

4 τηλ. Οικίας : κινητό : x 0,05 e, x0 14. Ανταλλακτικό ακολουθεί την τ.μ. με σ.π.π. f () x 0, ύ, όπου χ οι ώρες ζωής του ανταλλακτικού, να βρεις μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Αν διαθέτεις 50 τέτοια εξαρτήματα, ποια η πιθανότητα η συνολική διάρκεια ζωής τους, να υπερβεί τις 100 ώρες 15. Δύο ανεξάρτητες μεταβλητές Χ,Υ κατανέμονται κανονικά με μέσους όρους 4,10 και διακυμάνσεις,7 αντίστοιχα. Να υπολογίσεις τις πιθανότητες : PY 8 P X Y 11 P3X Y Δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ ακολουθούν τις πιθανότητα να λάβει η Χ μικρότερη τιμή από την Υ. 9 4 N 3,, N 4, αντίστοιχα. Να βρεις την Μετρήθηκε το βάρος 4 ατόμων που επιλέχθηκαν από πληθυσμό που κατανέμεται κανονικά με μέσο βάρος 80 και τυπική απόκλιση 10. Ποια η πιθανότητα το μέσο βάρος των 4 ατόμων να κυμαίνεται από 75 έως 90 κιλά; Υπόδ: ο πληθυσμός έχει μ=80 και σ=10 τότε το δείγμα Χ θα έχει 80, : 18. Έχουμε 100 ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, όπου η καθεμία ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 0 και διακύμανση 1/1.Να βρεις την πιθανότητα να βρίσκεται το άθροισμα των μεταβλητών αυτών στο διάστημα [0,0.1] x N n, n, x N, i1 n n Υπόδ: σύμφωνα με ΚΟΘ αν έχω πάνω από 30 μεταβλητές (η>30) που ακολουθούν την ίδια κατανομή τότε i 19. Δύο ανεξάρτητοι πληθυσμοί ακολουθούν x N(3,14),(4,1), y N 5, n 10 n P, x y P x1 y; 0. Σε δύο κανονικές κατανομές x N(3,14),(4,1) y N P x y P x y 1. x y Αν λάβεις ένα δείγμα μεγέθους 10 από το χ, να βρεις την P x 15. Αν λάβεις ένα δείγμα μεγέθους 5 από τη χ και μεγέθους 10 από την y, να βρεις Px y 1. Αν τ.μ. χ έχει σ.π.π. x,0 x f () x 1 0, ύ, να βρεις μέση τιμή, τυπική απόκλιση. Αν πάρεις 8 τ.μ.χ της προηγούμενης μορφής,να βρεις την 1 P x ; Υπόδ : δεν παίζει ρόλο που οι τ.μ. χ δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή, απλά εφαρμόζω το ΚΟΘ, 3

5 τηλ. Οικίας : κινητό : Στη Bernoulliέχω p,(1) p p τότε για τη Διωνυμική με πλήθος πάνω από 30 ισχύει το ΚΟΘ με np,(1) np p, δηλαδή x b( n,), p n 30 x N np, npq Στην Poisson : x P(), 10 x N, Προσοχή : επειδή Bernoulli, Poisson είναι διακριτές και εμείς πηγαίνουμε σε συνεχείς μπορούμε αρχικά να κάνουμε διόρθωση συνέχειας (Yates) με άνοιγμα των διαστημάτων κατά 0,5 όταν η τιμή έχει το =. Δηλαδή : 8 P x 7.5 ( 8) ( 8) P x P x P x P x P x P x. Αν τ.μ. ακολουθεί την διωνυμική με πιθανότητα 0,3 και πλήθος 500, να βρεις την πιθανότητα η μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση του Αν τ.μ. ακολουθεί την Poisson με λ=14, να βρεις την πιθανότητα η τ.μ. να είναι το πολύ Μηχανή παράγει ελαττωματικά εξαρτήματα σε ποσοστό 0%.Επιλέγουμε στην τύχη 400 εξαρτήματα. Να βρεις την πιθανότητα να βρούμε από 80 έως 85 ελαττωματικά. Υπόδ: επειδή το δείγμα έχει η>30 τότε ισχύει πάλι το ΚΟΘ με μ=ηp, σ =npqγιατί ακολουθείς την κανονική κατανομή 5. Έστω ότι δίνεις εξετάσεις τύπου Σ-Λ με 100 ερωτήσεις. Αν μαντεύεις στην τύχη τις απαντήσεις ποια η πιθανότητα να κάνεις σκορ πάνω από 75 ; 6. Τεστ με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (4 επιλογών) περιέχει 00 ερωτήσεις. 80 απ αυτές δεν τις γνωρίζει. Ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά από 5 έως 30 σ αυτές τις 80 που θα απαντήσει στην τύχη. Λυμένες ασκήσεις 7. Η κατανομή βαρών μαθητών σχολείου έχει μέση τιμή 60 και τυπική απόκλιση 5. Να βρεις την πιθανότητα ένας μαθητής να είναι βαρύτερος από 70 κιλά Άσκ.1 8. Σε παραλία τα χαλίκια ακολουθούν N 30,100. Ποια η πιθανότητα να πάρεις ένα χαλίκι Με βάρος πάνω από 30 Να έχει βάρος από 8 έως 40 Να πάρεις μία χούφτα 10 χαλικιών και να έχουν βάρος πάνω από 300 Να πάρεις 4 χαλίκια τυχαία και να βρεις με βάρος από 8 έως 40 Άσκ. 9. Τα αποτελέσματα σε τεστ ακολουθούν N 50,100, ποιος ο μεγαλύτερος βαθμός ώστε να βρεθεί κάποιος στο 0% των χειρότερων βαθμών Άσκ Σε ιατρείο η πιθανότητα αναμονής για έναν ασθενή πάνω από 0 λεπτά είναι 0,039. Αν ο χρόνος ακολουθεί N,3.75, να βρεις Μέσο χρόνο αναμονής Πιθανότητα ασθενής να περιμένει από 10 έως 15 λεπτά Άσκ Ανδρικά πουκάμισα ταξινομούνται σε S,M,L,XL με μήκος περιφέρειας λαιμού που ακολουθεί N 15.75, 0.49 S 15,15 M 16,16 L 17, XL 17in. Να βρεις πόσα πουκάμισα από κάθε κατηγορία θα φτιαχτούν σε παραγωγή τεμαχίων 4

6 τηλ. Οικίας : κινητό : Ποια θα έπρεπε να είναι τα όρια ανά κατηγορία ώστε σε πουκάμισα να αντιστοιχούν 5% Άσκ.5 3. Ημερήσια ζήτηση κρέατος ακολουθεί 5000,300 N σε κιλά. Ποια η πιθανότητα αν εφοδιαστείς με 5300 να καλυφθεί όλη η ζήτηση Ποια η ποσότητα εφοδιασμού ώστε να καλυφθεί η ζήτηση με πιθανότητα 90% Άσκ Ύψος στρατιωτών κατά 8,08% είναι μικρότερο από 67, ίντσες, 13,57% έχει ύψος μεγαλύτερο από 7,. Αν το ύψος ακολουθεί N x, y, να βρεις την κανονική κατανομή 34. Διάρκεια ζωής κινητήρα τύπου Α ακολουθεί N 50,5, ενώ τύπου Β την N 30,5 5, αν το 5% των κινητήρων είναι τύπου Β, να βρεις την πιθανότητα να έχει ένας κινητήρας ανταλλακτικό τύπου Β αν γνωρίζεις ότι η διάρκεια ζωής ήταν μικρότερη από 40 Άσκ Βάρος ατόμων ακολουθεί N 81,100. Να βρεις την πιθανότητα να επιλέξεις 6 άτομα και το συνολικό τους βάρος να υπερβαίνει τα 500 κιλά 36. X N,, Y N, Var XY Άσκ Έστω, Έστω,.. x x y y x y y x x y X Y που παίρνουν τις τιμές -1,1. E X E Y 0 P x 1, y 1 P x 1, y 1 P x 1, y 1 P x 1, y 1, να αποδείξεις ότι : Αν επιπλέον p P x 1, y 1 V x, V y,cov x, y ; X Y, όπου X Bn, p, Y Bm, p, να αποδείξεις ότι X Y Bn m, p Άσκ Ρίχνεις ζάρια 180 φορές και καταγράφεις το άθροισμα των εδρών. Να βρεις την πιθανότητα το άθροισμα 9 να εμφανιστεί Τουλάχιστον 30 φορές Το πολύ 30 φορές Από 0 έως 30 φορές Να βρεις πιθανότητα το συνολικό άθροισμα των εδρών (180*) και των ζαριών να είναι μεγαλύτερο από Το 10% των προιόντων μηχανής είναι ελαττωματικά. Να βρεις προσεγγιστικά σε 400 προιόντα την πιθανότητα να είναι ελαττωματικά : Το πολύ έως έως 45 Περισσότερα από 50 Άσκ.16 t 41. Αριθμός ελαττωμάτων μιας ταινίας μήκους t μέτρων ακολουθεί P. Να βρεις την πιθανότητα ο 00 συνολικός αριθμός ελαττωμάτων σε 100 ταινίες 800 μέτρων στην κάθε μία να μην υπερβαίνει τα Σε τηλεφωνικό κέντρο στη διάρκεια 1 λεπτού δέχονται κατά μέσο όρο 1 κλήση.το κέρδος από κάθε κλήση είναι 0.08 ευρώ. Να βρεις την πιθανότητα σε 10 ώρες το κέρδος να είναι τουλάχιστον 8 ευρώ Άσκ Εταιρία με 5000 πελάτες έχει πιθανότητα να δεχτεί κλήση από πελάτη της 0,1% με το άνοιγμα της γραμμής. Να βρεις τον ελάχιστο αριθμό υπαλλήλων ώστε το λιγότερο το90% των πελατών να εξυπηρετούνται άμεσα Άσκ.19 Άσκ.7 Άσκ.9 Άσκ.1 Άσκ.14 Άσκ.17

7 τηλ. Οικίας : κινητό : Ο χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη από ταμείο τραπέζης είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο 5 λεπτών και τυπικής απόκλισης λεπτών. Στην αναμονή υπάρχουν 55 πελάτες, ποια η πιθανότητα ο ταμίας να χρειαστεί περισσότερο από 5 ώρες. Άσκ Τ.μ. ακολουθεί κατανομή με μέση τιμή3 και διασπορά. Με τη βοήθεια της ανισότητας Chebyshev να υπολογίσεις το άνω φράγμα για τις : P x 3 P x 3 1 Άσκ. 46. Αν ανεξάρτητες τ.μ. X,... X P1, να βρεις την P X... X 10 Άσκ Αν τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή Z N 0,1 τότε Z X 1 δηλαδή την Χ-τετράγωνο με 1 βαθμό ελευθερίας. Αν προσθέσεις τυχαίες μεταβλητές της Χ-τετράγωνο τότε προκύπτει πάλι Χ-τετράγωνο αλλά με άθροισμα των βαθμών ελευθερίας. Z N Z 0,1, U X n T U δηλαδή ακολουθείς την κατανομήt (student) με η βαθμούς n ελευθερίας U / n1 Αν U X n, W X 1 n F ακολουθεί την κατανομή F (fisher) με n 1, n βαθμούς W / n Αν έχεις ελευθερίας : 1 F n1, n (το νου σου : F,3 ) F Προσοχή : στην τυπική κανονική : Pa Z ()(), σε οποιαδήποτε άλλη : P a W P W P W a και γενικά κινείσαι με το σκεπτικό «τι πίνακας δίνεται και τι στοιχεία περιέχει» SOS SOS SOS SOS SOS SOS Στην κατανομή Γ(α,β) πρέπει να δώσεις ιδιαίτερη προσοχή όταν 1 α=1 γιατί τότε η χ ακολουθεί την εκθετική E b πχ. : 1 x (1,3) x E 3 Αν β= τότε η τ.μ. ακολουθεί την χ τετράγωνο με ν=α πχ. : 48. Έστω V,Wδύο ανεξάρτητες μεταβλητές της Ν(0,1) και U V W P U 49. Έστω Έστω τυχαία μεταβλητή W t P 8 w P w 3,, 5,99 ; Z N(0,1), V X, W X, P Z V W c 0.90 c ;, 1,86 ;, 1,86 ; x 5, x X 10 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : Z 0,1, 5,, ; W / Έστω Z N W X V P V 5. Έστω τυχαία μεταβλητή F F,5, να βρεις τα α,β όταν : PF a P F b 53. Έστω τυχαία μεταβλητή W F P W a P a W,, F / 54. Αν Z N 0,4, W X, W X X 55. Αν 3,9 1 1 υπολογίσεις : P X 1, Αν x N (0, 4),(0, y 4), N z P4.6 z ; 0,90, 0,90, 0,01, 0,98, ; 1, n 3, αν το PZ W Z x y 4 4 4z x 57. Αν x (, ),(0,1), z N y P7.7 y ; W 1 0, 0 0,90 n ; ποια κατανομή είναι και επιπλέον να ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 58. Ρίχνεις νόμισμα 100 φορές με πιθανότητα εμφάνισεις γραμμάτων 0%. Να βρεις την πιθανότητα να φέρουμε από 16 έως 4 φορές γράμματα 59. Ο χρόνος εκτύπωσης αρχείων ακολουθεί την x N, 6.5 αρχείο να χρειαστεί περισσότερο από,3 min 60. Αν x N 50,100,() P x c ; c 61. Μετοχή έχει απόδοση που ακολουθεί x N 1., 7. αρνητική 6. Αν οι δαπάνες ακολουθούν την x N P x 63. Τιμή μετοχής ακολουθεί την x N 3000, 5 κατά μέσο όρο να βρεθεί στα 700 έως , ; σε min. Να βρεις την πιθανότητα το επόμενο. Να βρεις την πιθανότητα η απόδοση να είναι. Ποια η πιθανότητα σε ένα μήνα (30 μέρες) η τιμή της μετοχής 64. Σε δείγμα 00 ατόμων, οι ψηφοφόροι του κόμματος Κ είναι 45%. Ποια η πιθανότητα το Κ να περάσει το 50% στο σύνολο των 00 ψηφοφόρων. Υπόδ : x bn, p, n 30 u x N ;,;,( P u 0.50) ; 65. Ο αριθμός των τηλεφωνημάτων σε τηλεφωνικό κέντρο από 10 έως 11 είναι κατά μέσο όρο 30 τηλέφωνα. Ποια η πιθανότητα αύριο την ίδια ώρα ο αριθμός των τηλεφωνημάτων να είναι μεγαλύτερος του Αν x N 50,100, P x c c ; i 7

9 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν x N 50,100, P 50 c x 50 c c ; 68. Εταιρία παράγει εξαρτήματα για τηλεοράσεις με το χρόνο ζωής x N,. Αν το,5% έχει χρόνο ζωής μέχρι 975 ώρες και το 1% έχει χρόνο ζωής μεγαλύτερο από 5060 ώρες, να βρεις μέση τιμή και τυπική απόκλιση 69. Εταιρία παράγει εξάρτημα με χρόνο ζωής x N 398.3, Αν η εταιρία δώσει εγγύηση για χρόνο ζωής 3770 ώρες και παράγει εξαρτήματα, να υπολογίσεις πόσα είναι πιθανό να αντικαταστήσει. 70. Τα ύψη φοιτητών ακολουθούν την x N 175, Σε δείγμα 7000 φοιτητών πόσοι θα έχουν ύψος πάνω από 05. Ποιο το ποσοστό αυτών που έχουν ύψος από 165 έως 71. Ποσότητα ραδιενέργειας που μπορεί να δεχθεί εργαζόμενος σε 1 μέρα ακολουθεί τ.μ. με μέση τιμή 0,1 και τυπική απόκλιση 0,01. Ποια η πιθανότητα το συνολικό ποσό ραδιενέργειας σε 100 μέρες εργασίας να είναι μεγαλύτερο του 10,0 7. Το βάρος ατόμων ακολουθεί την x N 81,100. Ποια η πιθανότητα σε 6 άτομα το συνολικό βάρος να υπερβαίνει τα 500 κιλά. Ποια η πιθανότητα το μέσο βάρος των 6 ατόμων να είναι μικρότερο από 79 κιλά 73. Σε κατάστημα ρούχων το 10% κατά μέσο όρο σε διάρκεια μιας μέρας ψωνίζουν. Σε 300 πελάτες ποια η πιθανότητα αυτοί που θα ψωνίσουν να ξεπεράσουν το 1% 74. 8