ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

2 Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο αντικειμένου μπορούμε: να το μετατοπίσουμε, να αλλάξουμε το μέγεθος, να αλλάξουμε τον προσανατολισμό του.

3 Εισαγωγή 2/4 Όλες οι δισδιάστατες απεικονίσεις μπορούν να οριστούν από ένα σύνολο x, y συντεταγμένων σημείων τους (στοιχειώδη συστατικά του μοντέλου) γραμμή: δύο σημεία επιφάνεια: ένα σύνολο σημείων

4 Εισαγωγή 3/4 Αναπαράσταση τριγώνου σε ένα x, y σύστημα συντεταγμένων

5 Εισαγωγή 4/4 Ένα τρίγωνο μπορεί επίσης να παρασταθεί από ένα πίνακα [3 2] ως εξής: όπου κάθε ζεύγος x, y είναι οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

6 Ομογενείς Συντεταγμένες /4 Μερικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί προκύπτουν από πολλαπλασιασμό πινάκων, ενώ άλλοι από πρόσθεση διανυσμάτων Για να αποφύγουμε προβλήματα υπολογισμών, χρησιμοποιούνται ομογενείς συντεταγμένες παρέχουνμιαενιαίαπεριγραφή

7 Ομογενείς Συντεταγμένες 2/4 Έστω ένα σημείο P (x, y) του δισδιάστατου χώρου ορισμένο σ έναν τρισδιάστατο χώρο.

8 Ομογενείς Συντεταγμένες 3/4 Τα σημεία, που βρίσκονται πάνω στην ακτίνα και συνδέουν το P με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων, μπορούν να περιγραφούν μέσω μιας παραμέτρου h: P (x, y, z) = P (hx, hy, h) όπου h

9 Ομογενείς Συντεταγμένες 4/4 Κάθε σημείο του δισδιάστατου χώρου μπορεί να απεικονισθεί από ένα από τα σημεία που βρίσκονται κατά μήκος της ακτίνας στο τρισδιάστατο χώρο (και ο οποίος ονομάζεται ομογενής χώρος) εκτός του σημείου που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων (h = ).

10 Παράδειγμα Σημείο P(2,4) σε κανονικές συντεταγμένες. Οι ακόλουθες ομογενείς απεικονίσεις αναγνωρίζουν όλες το ίδιο σημείο: Ρ(4, 8, 2), Ρ(6, 2, 3), Ρ(2, 4, ).

11 Τρισδιάστατη αναπαράσταση ομογενούς χώρου

12 Σχέση ομογενών και κανονικών συντεταγμένων οσμένων των ομογενών συντεταγμένων ενός σημείου, όπως P(m, n, h), οι κανονικές συντεταγμένες μπορούν να βρεθούν από P(m/h, n/h, ) οπότε

13 Αναπαράσταση αντικειμένων στο ομογενές επίπεδο Στις ομογενείς συντεταγμένες, η αναπαράσταση των σημείων ενός αντικειμένου στο δισδιάστατο χώρο γίνεται με πίνακες [n 3], όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του αντικειμένου. Ενα τρίγωνο αναπαρίσταται ως εξής: [Ρ] TΡΙΓΩΝΟ =

14 Γεωμετρικός μετασχηματισμός /2 Ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός περιλαμβάνει τον υπολογισμό των νέων συντεταγμένωνγιατασημείατουαντικειμένου, από τις αρχικές θέσεις ως τις νέες θέσεις: επανατοποθέτηση κάθε σημείου σύμφωνα με καθορισμένους κανόνες για κάθε ένα από τα αρχικά σημεία παίρνουμε ένα και μόνο ένα μετασχηματιζόμενο σημείο

15 Γεωμετρικός μετασχηματισμός 2/2 Τρόποι μελέτης γεωμετρικών μετασχηματισμών:. μετασχηματισμός του αντικειμένου: αλλάζει τις συντεταγμένες των σημείων, χωρίς να αλλάξει το τρέχον σύστημα συντεταγμένων. 2. μετασχηματισμός του συστήματος συντεταγμένων: δημιουργεί ένα νέο σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια αναπαριστά όλα τα σημεία που σχηματίζουν το αντικείμενο στο καινούριο σύστημα.

16 Κλιμάκωση /4 Οι μετασχηματισμοί αλλαγής κλίμακας μετατρέπουν ένα αντικείμενο επεκτείνοντας ή συρρικνώνοντας τις διαστάσεις του. Οι σταθερές παραμόρφωσης στις κατευθύνσεις x και y προκαλούν αλλαγές στο μήκος: σταθερές >, παριστάνουν μεγέθυνση, σταθερές <, παριστάνουν σμίκρυνση. Οι σταθερές αυτές είναι πάντα θετικές αφού οι αρνητικές προκαλούν το φαινόμενο της ανάκλασης

17 Κλιμάκωση 2/4 Οι μετασχηματισμοί παραμόρφωσης ενός σημείου P(x, y) σε P*(x*, y*) μπορούν να γραφούν ως : x* = x Sx y* = y Sy ή σε μορφή πίνακα: [x* y* ] = [x y ]

18 Κλιμάκωση 3/4 Αν οι παράγοντες αλλαγής κλίμακας που εφαρμόζονται στις κατευθύνσεις x, y είναι διαφορετικοί, τότε το αρχικό μέγεθος και σχήμα αλλάζει:

19 Κλιμάκωση 4/4 Μιλάμε για αλλαγή κλίμακας ως προς την αρχή των αξόνων. Ομοιόμορφη κλιμάκωση: αν οι παράγοντες αλλαγής κλίμακας στις κατευθύνσεις x και y είναι ισοδύναμοι. εντολή magnify σε σύστημα CAD

20 Παράδειγμα Παράδειγμα κλιμάκωσης κλιμάκωσης Y X = = y x s s Γραφικά Η/Υ

21 Μεταφορά /4 Η ικανότητα να μετακινούμε μέρη ενός μοντέλου αντικειμένου είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό οποιουδήποτε συστήματος γραφικών.

22 Μεταφορά 2/4

23 Μεταφορά 3/4 Μαθηματική έκφραση: x* = x + Tx y* = y + Ty ήσεμορφήπίνακα:

24 Μεταφορά 4/4 Y Tx = 2 Ty = X

25 Περιστροφή /5 Περιστροφή γύρω από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων με μια καθορισμένη γωνία θ:

26 Περιστροφή 2/5 Αρνητικές περιστροφές: σύμφωνες με την φορά των δεικτών του ρολογιού Θετικές περιστροφές: αντίθετες με την φορά των δεικτών του ρολογιού

27 Περιστροφή 3/5 Η μετασχηματισμένη θέση P* ενός σημείου Ρ με περιστροφή, μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση απλών τριγωνομετρικών σχέσεων: x = r cos φ y = r sin φ x* = r cos (φ + θ) = r cos φ cos θ -r sin φ sin θ y* = r sin (φ + θ) = r sin φ cos θ + r cos φ sin θ

28 Περιστροφή 4/5 Αντικαθιστούμε με x και y : x* = x cosθ -y sinθ y* = x sinθ + y cosθ ήσεμορφήπίνακα:

29 Περιστροφή 5/5 Περιστροφή κατά γωνία θ Y θ = π θ X

30 Σύνθετοι μετασχηματισμοί Ακολουθίες διαδοχικών μετασχηματισμών. υο προσεγγίσεις υπολογισμού: κάθε ένα χωριστά κατάστρωση πινάκων για κάθε μ/σ, πολλαπλασιασμός με καθορισμένη σειρά, εφαρμογή στον πίνακα σημείων μείωση χρόνου υπολογισμού

31 Παράδειγμα σύνθετου μ/σ /3 Περιστρέψτε το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τα σημεία: Ρ(, ), Ρ2(2, ), Ρ3(2, 3) και Ρ4(, 3) κατά 3 ο αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το σημείο S (3, 2)

32 Παράδειγμα σύνθετου μ/σ 2/3 Λύση Ακολουθία μετασχηματισμών: )Μετατόπιση του S στην αρχή, οπότε αυτόματα κινείται το ορθογώνιο σε νέα θέση 2)Περιστροφή 3 μοιρών 3)Μετατόπιση του S πίσω στην αρχική θέση, οπότε αυτόματα κινείται το ορθογώνιο σε νέα θέση

33 Παράδειγμα σύνθετου μ/σ 3/3

34 Άλλοι μετασχηματισμοί Οι βασικοί τύποι των δισδιάστατων γεωμετρικών μετασχηματισμών είναι: αλλαγή κλίμακας, μετατόπισης και περιστροφής, Υπάρχουν και άλλοι τύποι όπως: ηανάκλασηκαι η στρέβλωση.

35 Ανάκλαση /4 Οι μετασχηματισμοί ανάκλασης είναι χρήσιμοι στη κατασκευή συμμετρικών αντικειμένων. Ανάκλαση μπορεί να υπάρξει τόσο για ένα σημείο όσο και για μια γραμμή. Ο γενικός πίνακας ανάκλασης ως προς τους άξονες x, y ή την αρχή των αξόνων:

36 Ανάκλαση 2/4 Περιπτώσεις ανακλάσεων τριγώνου: ) Ως προς τον άξονα x: οι τιμές x διατηρούνται οι τιμές y αντιστρέφονται R fx =

37 Ανάκλαση 3/4 2) Ως προς τον άξονα y οι τιμές y διατηρούνται οι τιμές x αντιστρέφονται R fy

38 Ανάκλαση 4/4 3) Ως προς την αρχή των αξόνων: οι τιμές x και y αντιστρέφονται R f(,)

39 Ανάκλαση ως προς γραμμή y = x

40 Ανάκλαση ως προς γραμμή y = x R f

41 Παράδειγμα ανάκλασης /3 ημιουργήστε το είδωλο του ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζεται από τα σημεία Α(-, -) και Β(2, ) ως προς τον άξονα x = -2. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα πριν και μετά το μετασχηματισμό.

42 Παράδειγμα ανάκλασης 2/3 Λύση ) Μετακινώ τον άξονα x=-2, ώστε να συμπέσει με τον άξονα y. 2) Ανακλώ τη γραμμή ΑΒ ως προς τον άξονα y. 3) Μετακινώ τον άξονα ανάκλασης στην αρχική θέση.

43 Παράδειγμα ανάκλασης 3/3 Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τα βήματα αυτά: [P*]=[P]*[M]= Οι μετασχηματισμένες θέσεις είναι: Α* ( -3, -) και Β* ( -6, )

44 Στρέβλωση Οι μετασχηματισμοί στρέβλωσης αλλάζουν την τιμή μιας συντεταγμένης προσθέτοντας σ αυτήν μια γραμμική συνάρτηση της άλλης συντεταγμένης. Ο γενικός πίνακας στρέβλωσης είναι:

45 Στρέβλωση x-διεύθυνσης Η x-διεύθυνσης στρέβλωση (επηρεάζει μόνο τη x συντεταγμένη) δίδεται από τον πίνακα:

46 Στρέβλωση y-διεύθυνσης η y-διεύθυνσης στρέβλωση (επηρεάζει μόνο την y συντεταγμένη) δίδεται από τον πίνακα:

47 Παράδειγμα στρέβλωσης Y θ = π 4 2 θ X

48 Ανασκόπηση Ανασκόπηση Γραφικά Η/Υ ΜΕΤΑΦΟΡΑ TRANSLATION T ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ROTATION R ΚΛΙΜΑΚΩΣΗ SCALING S ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΗ REFLECTION Rfx, Rfy ΣΤΡΕΒΛΩΣΗ SHEARING Shx, Shy = T x T y T ( ) = cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ Rϑ = y x S S S = f x R = y f R = R f(,) = x h x h S S = y y h h S S