Ανάλυση των Γενετικών Αλγορίθµων

Transcript

1 Ανάλυση των Γενετικών Αλγορίθµων Σηµερινό Μάθηµα ΠρόβληµαΒελτιστοποίησης Βελτιστοποίηση συνάρτησης µιας µεταβλητής Βελτιστοποίηση συνάρτησης k µεταβλητών Περιορισµοίτουπεδίουορισµού Περιορισµοί πλεοναζουσών τιµών 1

2 Πρόβληµα Βελτιστοποίησης Είναι ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης της τιµής µιας συνάρτησης f(x) Ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης µιας συνάρτησης f, ισοδυναµεί µετηµεγιστοποίηση της συνάρτησης g, όπου g = f. Σεαυτέςτιςπεριπτώσειςωςαντικειµενική συνάρτηση χρησιµοποιείται η ίδια συνάρτηση. θα υποθέσουµεότιηαντικειµενική συνάρτηση παίρνει µόνο θετικές τιµές, διαφορετικά µπορεί να αντικατασταθεί από τη g(x)=f(x)+c Παράδειγµα Παρουσίαση Προβλήµατος Βελτιστοποίηση συνάρτησης µιας µεταβλητής: f ( x ) = x sin ( 10 πx ) Ζητείται να βρεθεί η τιµήτουx, µε ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων, στο διάστηµα [ 1, 2] που µεγιστοποιεί την τιµή της συνάρτησης f ΗχρήσηΓA δεν απαιτεί τη λύση της εξίσωσης. 2

3 Παράδειγµα Κωδικοποίηση Προβλήµατος Θα χρησιµοποιήσουµε ένα δυαδικό διάνυσµαωςτο χρωµόσωµα που θα αναπαραστήσει τις πραγµατικές τιµές της µεταβλητής x Το µήκος του διανύσµατος εξαρτάται από την επιθυµητή ακρίβεια (έξι δεκαδικά ψηφία) Το πεδίο ορισµού της µεταβλητής x έχει µήκος 3 Τα δεδοµένα αυτά υπαγορεύουν το χωρισµότου διαστήµατος [ 1, 2] σε τουλάχιστον ισοµεγέθη υποδιαστήµατα Άρα απαιτούνται 22 δυαδικά ψηφία για το δυαδικό διάνυσµα της αναπαράστασης, αφού = 2 21 < = Παράδειγµα Κωδικοποίηση Προβλήµατος Ηαντιστοίχησηµιας δυαδικής συµβολοσειράς <b 21 b 20 b 0 > στον αντίστοιχο πραγµατικό αριθµό x µέσα από το διάστηµα [ 1, 2] πραγµατοποιείται σε δύο βήµατα: 1. Μετατροπή της δυαδικής συµβολοσειράς από δυαδικό σε δεκαδικό αριθµό: 21 i ( < b21 b20... b0 > ) 2 = ( = b i 2 ) = x' Εύρεση ενός αντίστοιχου πραγµατικού αριθµού x τέτοιου ώστε 3 x = x' i 3

4 Παράδειγµα Κωδικοποίηση Προβλήµατος Έτσι, τα χρωµοσώµατα: & αντιπροσωπεύουν τα όρια του πεδίου ορισµού, 1 και 2 Για να βρούµε που αντιστοιχεί το χρωµόσωµα το µετατρέπουµε στο αντίστοιχο δεκαδικό: x = βρίσκουµετοναντίστοιχοx στο διάστηµα [-1 2] 3 x = = Παράδειγµα Συνάρτηση Αξιολόγησης Όπως αναφέρθηκε, ηαντικειµενική συνάρτηση αξιολογεί την καταλληλότητά των πιθανών λύσεων Η συνάρτηση αξιολόγησης eval γιαταδυαδικά διανύσµατα v ισούται µετησυνάρτησηf: eval(v)=f(x) 4

5 Παράδειγµα Αρχικοποίηση ΓΑ ηµιουργείται ένας πληθυσµός από χρωµοσώµατα, όπου κάθε χρωµόσωµα είναι ένα δυαδικό διάνυσµα 22 δυαδικών ψηφίων Και τα 22 δυαδικά ψηφία κάθε χρωµοσώµατος αρχικοποιούνται οµοιόµορφα Παράδειγµα Αξιολόγηση Γιαταχρωµοσώµατα v 1 =( ) 2 =x 1 = v 2 =( ) 2 =x 2 = v 3 =( ) 3 =x 3 = Έχουµε eval(v 1 )=f(x 1 )= eval(v 2 )=f(x 2 )= eval(v 3 )=f(x 3 )= το χρωµόσωµα v 3 είναι το καλύτερο 5

6 Παράδειγµα Αναπαραγωγή - ιασταύρωση Έστω ότι είχε επιλεχθεί, το πέµπτο γονίδιο ως το γονίδιο της διασταύρωσης. Τότε από τα: v 2 =( ) v 3 =( ) Προκύπτουν τα v 2 =( ) v 3 =( ) Με απόδοση f(v 2 )=f( )= f(v 3 )=f( )= Παράδειγµα Αναπαραγωγή - Μετάλαξη Η µετάλλαξη έχει ως αποτέλεσµατηνµετατροπή ενός ή περισσοτέρων γονιδίων µεπιθανότηταίσηµετορυθµό µετάλλαξης Έστωότιέχειεπιλεγείγιαµετάλλαξη το πέµπτο γονίδιο από το χρωµόσωµα v3: v 3 =( ) v 3 =( ) µε eval(v 3 )= < eval(v 3 )= Εάν επιλεγεί το δέκατο γονίδιο του v 3 για µετάλλαξη, τότε v 3 =( ) v 3 =( ) µε eval(v 3 )= > eval(v 3 )=

7 Παράδειγµα Παράµετροι Για το συγκεκριµένο παράδειγµα χρησιµοποιήθηκαν οι παρακάτω τιµές για τις βασικότερες παραµέτρους του ΓA: Μέγεθος πληθυσµού pop_size=50 Πιθανότητα διασταύρωσης p c =0.25 Πιθανότητα µετάλλαξης p m =0.01 Παράδειγµα Αποτελέσµατα 7

8 Παράδειγµα Αποτελέσµατα Το καλύτερο χρωµόσωµα µετά από 150 γενεές ήταν το: v max = ( ) που αντιστοιχεί στην πραγµατική τιµή x max = Συµπεράσµατα Παρουσιάστηκαν οι τέσσερις διαφορές που διαχωρίζουν τους Γενετικούς Αλγορίθµους από τις περισσότερο συµβατικές τεχνικές βελτιστοποίησης: 1. Απευθείας χειρισµός µιας κωδικοποίησης 2. Αναζήτηση από έναν πληθυσµόκαιόχιένα απλό σηµείο 3. Αναζήτηση µέσω δειγµατοληψίας, όχι µια τυφλή αναζήτηση 4. Αναζήτηση χρησιµοποιώντας στοχαστικούς τελεστές, όχι ντετερµινιστικούς κανόνες 8

9 Ορισµός Προβλήµατος Θέλουµεναµεγιστοποιήσουµε µια συνάρτηση k µεταβλητών: f(x 1,,x k ): R k R Κάθε µεταβλητή x i παίρνει τιµές από το διάστηµα D i =[a i b i ] R και f(x 1,,x k )>0, x i D i, i=1,,k µε ακρίβεια q δεκαδικών ψηφίων ιαδικασία επίλυσης προβλήµατος 1. Καθορισµός κωδικοποίησης µεταβλητών 2. Καθορισµός δοµών δεδοµένων που θα χρησιµοποιηθούν 3. Επιλογή αντικειµενικής συνάρτησης 4. Αρχικοποίηση 5. Υλοποίηση αξιολόγησης και επιλογής 6. Υλοποίηση τελεστών διασταύρωσης και µετάλλαξης 7. Κριτήριο τερµατισµού 9

10 Κωδικοποίηση µεταβλητών Για ακρίβεια q δεκαδικών ψηφίων για κάθε µεταβλητή, θα πρέπει κάθε διάστηµατιµών D i =[α i b i ] να διαχωριστεί σε ίσα υποδιαστήµατα: (b i -α i ) 10 q Έστω m ο µικρότερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει ότι (b i -α i ) 10 q 2 m Κωδικοποίηση µεταβλητών Κάθε συµβολοσειρά µετατρέπεται στον αντίστοιχο πραγµατικό αριθµό µετησχέση: x i = a i bi + decimal ( bin _ str ) 2 ai 1 m i 10

11 Κωδικοποίηση µεταβλητών Για µια συνάρτηση k µεταβλητών, κάθε χρωµόσωµα αναπαρίσταται από µια δυαδική συµβολοσειρά µήκους m = k i = 1 m i Υλοποίηση αλγορίθµου µε προγραµµατισµό 1. ηλώνουµετοµέγιστο µέγεθος του πληθυσµού pop_size και το µέγιστο µήκος της συµβολοσειράς m. 2. ηλώνουµετοντύπο(type) του πληθυσµού 3. Για την αρχικοποίηση του πληθυσµού, αρκεί η τυχαία επιλογή pop_size m δυαδικών ψηφίων. 4. Σε κάθε γενιά, αξιολογούµεκάθεχρωµόσωµα. 5. Στη συνέχεια, επιλέγουµε ένα νέο πληθυσµό µε χρήση της εξαναγκασµένης ρουλέτας. 6. Οι τελεστές της διασταύρωσης και µετάλλαξης δηµιουργούν τον πληθυσµότηςεπόµενης γενιάς. 7. Μετά από κάποιον αριθµόγενιών, ηδιαδικασία τερµατίζεται. 11

12 ιαδοχή Γενιών Εξαναγκασµένη ρουλέτα µεσχισµές (slotted roulette wheel) 1. Υπολογίζουµε την απόδοση eval(v i ) για κάθε χρωµόσωµα 2. Υπολογίζουµε τη συνολική απόδοση του πληθυσµού: F = pop _ size i= 1 eval( 3. Υπολογίζουµετηνπιθανότηταεπιλογήςp i για κάθε χρωµόσωµα: 4. Τέλος, υπολογίζουµετησυσωρευµένη πιθανότητα q i για κάθε χρωµόσωµα: v i pi = eval( vi ) / F q i = p j i j= 1 ) 12

13 Eπιλογή Xρωµοσωµάτων Για την επιλογή των χρωµοσωµάτων που θα αποτελέσουν το νέο πληθυσµόεκτελούµε pop_size περιστροφές της ρουλέτας: 1. Επιλέγουµετυχαίαέναναριθµό r µεταξύ 0 και Αν r < q 1, τότε επιλέγουµετοπρώτοχρωµόσωµα v 1, διαφορετικά επιλέγουµετοv i, έτσι ώστε q i-1 <r q i. ιασταύρωση Xρωµοσωµάτων Στη συνέχεια ορίζεται η πιθανότητα διασταύρωσης p c και εφαρµόζεται ο τελεστής διασταύρωσης στο νέο πληθυσµό: 1. Επιλέγουµετυχαίαέναναριθµό r µεταξύ 0 και Αν r < p c, επιλέγουµετοχρωµόσωµαγια διασταύρωση. 3. Σχηµατίζουµεζεύγηαπόχρωµοσώµατα 4. Για κάθε ζεύγος επιλέγεται τυχαία ένας ακέραιος pos που το σηµείο διασταύρωσης: (b 1 b 2 b pos b pos+1 b m ) (b 1 b 2 b pos c pos+1 c m ) (c 1 c 2 c pos c pos+1 c m ) (c 1 c 2 c pos b pos+1 b m ) 13

14 Μετάλλαξη Xρωµοσωµάτων Στη συνέχεια ορίζεται η πιθανότητα µετάλλαξης p m και εφαρµόζεται ο τελεστής µετάλλαξης στο νέο πληθυσµό: 1. Για κάθε χρωµόσωµα και κάθε δυαδικό ψηφίο επιλέγουµε τυχαία έναν αριθµό r µεταξύ 0 και Αν r < p m, τότε αντιστρέφουµετοδυαδικόψηφίο. Οαναµενόµενος αριθµός των αντιστραµµένων ψηφίων µετάτηδιαδικασίατηςµετάλλαξης είναι p m m pop_size Ολοκλήρωση εξελικτικής διαδικασίας Αφού ολοκληρωθούν τα προηγούµενα βήµατα, ακολουθεί µια νέα αξιολόγηση του πληθυσµού. Η υπόλοιπη εξελικτική διαδικασία αποτελεί απλή κυκλική επανάληψη των παραπάνω βηµάτων. 14

15 Παράδειγµα ορισµός προβλήµατος Θέλουµεναµεγιστοποιήσουµετη συνάρτηση δύο µεταβλητών: f(x 1,x 2 )=21.5+x 1 sin(4πx 1 )+x 2 sin(20πx 2 ) µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων για κάθε µεταβλητή και -3.0 x & 4.1 x Παράδειγµα ορισµός παραµέτρων θα χρησιµοποιηθούν οι παράµετροι: pop_size=20 p c =0.25 p m =

16 Παράδειγµα Κωδικοποίηση Μεταβλητών Σύµφωνα µετησχέση(b i -α i ) 10 q 2 m Το x 1 απαιτεί για την αναπαράσταση του 18 δυαδικά ψηφία: 2 17 < Το x 2 απαιτεί για την αναπαράσταση του 15 δυαδικά ψηφία: 2 14 < Συνολικά απαιτούνται 18+15=33 ψηφία. Σε ποιο σηµείο αντιστοιχεί και τι απόδοση έχει το άτοµο ; Αρχικοποίηση Πληθυσµού v 1 = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ) v 4 = ( ) v 5 = ( ) v 6 = ( ) v 7 = ( ) v 8 = ( ) v 9 = ( ) v 10 = ( ) v 11 = ( ) v 12 = ( ) v 13 = ( ) v 14 = ( ) v 15 = ( ) v 16 = ( ) v 17 = ( ) v 18 = ( ) v 19 = ( ) v 20 = ( ) 16

17 Αποκωδικοποίηση και αξιολόγηση eval(v 1 ) = f( , ) = eval(v 2 ) = f( , ) = eval(v 3 ) = f( , ) = eval(v 4 ) = f( , ) = eval(v 5 ) = f( , ) = eval(v 6 ) = f( , ) = eval(v 7 ) = f( , ) = eval(v 8 ) = f( , ) = eval(v 9 ) = f( , ) = eval(v 10 ) = f( , ) = eval(v 11 ) = f( , ) = eval(v 12 ) = f( , ) = eval(v 13 ) = f( , ) = eval(v 14 ) = f( , ) = eval(v 15 ) = f( , ) = eval(v 16 ) = f( , ) = eval(v 17 ) = f( , ) = eval(v 18 ) = f( , ) = eval(v 19 ) = f( , ) = eval(v 20 ) = f( , ) = Κατασκευή Ρουλέτας Η συνολική απόδοση (fitness) του πληθυσµού είναι: 20 F = eval( ) = i= 1 v i Η πιθανότητα επιλογής κάθε µέλους του πληθυσµού είναι: p 1 = eval(v 1 )/F = p 11 = eval(v 11 )/F = p 2 = eval(v 2 )/F = p 12 = eval(v 12 )/F = p 3 = eval(v 3 )/F = p 13 = eval(v 13 )/F = p 4 = eval(v 4 )/F = p 14 = eval(v 14 )/F = p 5 = eval(v 5 )/F = p 15 = eval(v 15 )/F = p 6 = eval(v 6 )/F = p 16 = eval(v 16 )/F = p 7 = eval(v 7 )/F = p 17 = eval(v 17 )/F = p 8 = eval(v 8 )/F = p 18 = eval(v 18 )/F = p 9 = eval(v 9 )/F = p 19 = eval(v 19 )/F = p 10 = eval(v 10 )/F = p 20 = eval(v 20 )/F =

18 Κατασκευή Ρουλέτας Οι συσωρευµένες πιθανότητες (cumulative probabilities) για κάθε άτοµοείναι: q1 = q6 = q11 = q16 = q2 = q7 = q12 = q17 = q3 = q8 = q13 = q18 = q4 = q9 = q14 = q19 = q5 = q10 = q15 = q20 = Έστω ότι η ρουλέτα παράγει την εξής ακολουθία 20 τυχαίων αριθµών στο διάστηµα [0, 1]: Νέος πληθυσµός µετά από επιλογή v1* = ( ) (v11) v2* = ( ) (v4) v3* = ( ) (v7) v4* = ( ) (v11) v5* = ( ) (v19) v6* = ( ) (v4) v7* = ( ) (v15) v8* = ( ) (v5) v9* = ( ) (v11) v10* = ( ) (v3) v11* = ( ) (v15) v12* = ( ) (v9) v13* = ( ) (v6) v14* = ( ) (v8) v15* = ( ) (v20) v16* = ( ) (v1) v17* = ( ) (v10) v18* = ( ) (v13) v19* = ( ) (v15) v20* = ( ) (v16) 18

19 Τελεστής ιασταύρωσης Για κάθε άτοµο επιλέγουµεέναντυχαίοαριθµό r (p c = 0.25): Αυτό σηµαίνει ότι επιλέγονται τα άτοµα v 2, v 11, v 13, v 18. Τελεστής ιασταύρωσης Έστω ότι ζευγαρώνουν τα πρώτα δύο (v 2 και v 11 ) και επιλέχθηκε, ως σηµείο διασταύρωσης, pos = 11: v 2 = ( ) v 11 =( ) δίνει v 2 = ( ) v 11 =( ) 19

20 Τελεστής ιασταύρωσης Έστω ότι ζευγαρώνουν τα επόµενα δύο (v 13 και v 18 ) και επιλέχθηκε, ως σηµείο διασταύρωσης, pos = 20: v 13 =( ) v 18 =( ) δίνει v 13 =( ) v 18 =( ) Πληθυσµός µετά από διασταύρωση v1 = ( ) v2 = ( ) v3 = ( ) v4 = ( ) v5 = ( ) v6 = ( ) v7 = ( ) v8 = ( ) v9 = ( ) v10 = ( ) v11 = ( ) v12 = ( ) v13 = ( ) v14 = ( ) v15 = ( ) v16 = ( ) v17 = ( ) v18 = ( ) v19 = ( ) v20 = ( ) 20

21 Τελεστής Μετάλαξης Οπληθυσµός µας αποτελείται από πλήθος δυαδικών ψηφίων: m*pop_size=33*20=660 Για κάθε δυαδικό ψηφίο επιλέγουµεέναν τυχαίο αριθµό r από 0 ως 1 (p m = 0.01): δυαδικό ψηφίο άτοµο θέση Πληθυσµός µετά από µετάλαξη v1 = ( ) v2 = ( ) v3 = ( ) v4 = ( ) v5 = ( ) v6 = ( ) v7 = ( ) v8 = ( ) v9 = ( ) v10 = ( ) v11 = ( ) v12 = ( ) v13 = ( ) v14 = ( ) v15 = ( ) v16 = ( ) v17 = ( ) v18 = ( ) v19 = ( ) v20 = ( ) 21

22 Aξιολόγηση νέου πληθυσµού eval(v 1 ) = f( ) = eval(v 2 ) = f( ) = eval(v 3 ) = f( ) = eval(v 4 ) = f( ) = eval(v 5 ) = f( ) = eval(v 6 ) = f( ) = eval(v 7 ) = f( ) = eval(v 8 ) = f( ) = eval(v 9 ) = f( ) = eval(v 10 ) = f( ) = eval(v 11 ) = f( ) = eval(v 12 ) = f( ) = eval(v 13 ) = f( ) = eval(v 14 ) = f( ) = eval(v 15 ) = f( ) = eval(v 16 ) = f( ) = eval(v 17 ) = f( ) = eval(v 18 ) = f( ) = eval(v 19 ) = f( ) = eval(v 20 ) = f( ) = Παράδειγµα - Συµπεράσµατα η συνολική απόδοση του νέου πληθυσµού είναι έναντι το χρωµόσωµα µε την καλύτερη απόδοση στον νέο πληθυσµόέχειµεγαλύτερη απόδοση έναντι

23 Τερµατισµός Αλγορίθµου Τα βήµατα του αλγορίθµου επαναλαµβάνονται, µέχρι να ικανοποιηθεί το κριτήριο τερµατισµού Το κριτήριο τερµατισµού ενός ΓA είναι είτε ένας συγκεκριµένος αριθµός γενιών, είτε ένα συγκεκριµένο ποσοστό βελτίωσης του καλύτερου ατόµου ή του συνολικού πληθυσµού Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στην επιλογή του κριτηρίου τερµατισµούκαθώςηκαλύτερη γενιά δεν είναι πάντα η τελευταία Είναι σύνηθες να αποθηκεύουµετο«µέχρι τώρα καλύτερο» άτοµο Περιορισµοί Συχνά στα προβλήµατα βελτιστοποίησης οι αντικειµενικές συναρτήσεις έχουν κάποιους περιορισµούς, όσον αφορά το πεδίο ορισµού τους Επίσης, το πρόβληµατωνπεριορισµών εµφανίζεται σε προβλήµατα διακριτών µεταβλητών δυαδικής κωδικοποίησης µε τη µορφή των πλεοναζουσών τιµών Οι περιορισµοί τίθενται µε ανισότητες αφού κάθε ισότητα µπορεί να µετατραπεί σε δύο ανισότητες 23

24 Περιορισµοίτουπεδίουορισµού Τα µη «νόµιµα» σηµεία αντιµετωπίζονται ως σηµεία χαµηλής απόδοσης Αυτό υλοποιείται µε την εκχώρηση σε αυτά χαµηλής απόδοσης που είναι ανάλογη του βαθµού παραβίασης των περιορισµών. Η µέθοδος αυτή ενσωµάτωσης των περιορισµών ονοµάζεται µέθοδος της ποινής (penalty method). Περιορισµοίτουπεδίουορισµού Πρόβληµα: Eλαχιστοποίησε το g(x) µετον περιορισµό h i (x) 0, i = 1, 2,, n, όπου x διάνυσµαδιάστασηςm. Ενσωµάτωση Περιορισµών: Eλαχιστοποίησε το ( x) + r Φ[ h i ( x) ] i= 1 Φ: συνάρτηση ποινής r: ο συντελεστής ποινής g n 24

25 Περιορισµοί πλεοναζουσών τιµών Όταν εµφανίζεται µια συµβολοσειρά µε µία ή περισσότερες πλεονάζουσες τιµές, υπάρχουν οι εξής επιλογές: 1. Απορρίπτεται η συµβολοσειρά ως µη νόµιµηκαιστηθέσητηςπαράγεταιµε επιλογή µια άλλη. 2. Καταχωρείται στη συµβολοσειρά τιµή ικανότητας πολύ µικρή, ώστε να έχει πολύ µικρές πιθανότητες στην επιλογή. 3. Αντιστοιχείται η µηνόµιµησυµβολοσειρά σε µία νόµιµη. Περιορισµοί πλεοναζουσών τιµών Κατά την αντιστοιχία της µηνόµιµης συµβολοσειράς σε νόµιµη, υπάρχουν οι δυνατότητες: Με σταθερή αντιστοίχηση (fixed remapping) Με τυχαία αντιστοίχηση (random remapping) 25

26 Άσκηση 1 Αναφέρεται ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης του οποίου η λύση µπορεί να κωδικοποιηθεί µεένα χρωµόσωµα και ένα του οποίου η κωδικοποίηση της λύσης απαιτεί ένα γονότυπο. Άσκηση 2 α) Αν κατά το τρέξιµοενόςγ.α. σε κάποια γενιάτακαλύτεραάτοµαπουθα προκύψουν δίνουν χειρότερες τιµές για την αντικειµενική συνάρτηση, σε σχέση µετους προγόνους τους, πρέπει να διακοπεί η εκτέλεση του αλγορίθµου; β) Όταν τελειώσει η εκτέλεση του αλγορίθµου, αφού πρώτα ικανοποιηθεί η συνθήκη τερµατισµού, πως µπορούµεναείµαστε σίγουροιότιτοκαλύτεροχρωµόσωµατης τελευταίας γενιάς είναι το καλύτερο που έχει εµφανιστεί σε όλες τις γενιές; 26

27 Άσκηση 3 Θέλετε να ελαχιστοποιήσετε τη συνάρτηση τριών µεταβλητών f(x,y,z). η µεταβλητή x παίρνει τιµές στο διάστηµα [-20.0, 125.0] η µεταβλητή y στο διάστηµα [0, 1.2 x 10 6 ] η µεταβλητή z στο διάστηµα [-1.0, 1.0]. Ηεπιθυµητή ακρίβεια (δηλαδή το βήµα µεταβολής της µεταβλητής) είναι 0.5, 104 και αντίστοιχα. 1. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός δυαδικών ψηφίων που απαιτούνται για να επιτευχθεί η επιθυµητή ακρίβεια; 2. Με την κωδικοποίηση που πραγµατοποιήσατε, να καθορίσετε τις συµβολοσειρές, οι οποίες αναπαριστούν κάθε ένα από τα ακόλουθα σηµεία: (-20, 0, -1), (125, 1.2 x 10 6, 1) και (50, , 0.597). Προκύπτει πρόβληµαπεριορισµών στην παραπάνω κωδικοποίηση; 27