0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ"

Transcript

1 Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα πολλώ προσθετέω. 4. Αφαίρεση ρητώ αριθµώ. 5. Απαλοιφή παρεθέσεω. 6. Πολλαπλασιασµός ρητώ αριθµώ. 7. Γιόµεο πολλώ παραγότω. 8. ιαίρεση ρητώ αριθµώ. 9. υάµεις ρητώ αριθµώ µε εκθέτη φυσικό-ακέραιο. 10. Τυποποιηµέη µορφή αριθµώ. 11. εκαδική µορφή ρητώ αριθµώ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ύο αριθµοί λέγοται οµόσηµοι α έχου το ίδιο πρόσηµο. Π.χ +3 και +8. ύο αριθµοί λέγοται ετερόσηµοι α έχου διαφορετικό πρόσηµο. Π.χ -1,+14. Φυσικοί αριθµοί είαι οι αριθµοί: { 0,1,,3,4,5,... } και συµβολίζοται µε το γράµµα N από τη αγγλική λέξη Natural Ακέραιοι αριθµοί είαι οι φυσικοί αριθµοί µαζί µε τους ατίστοιχους..., 5, 4 3,, 1,0,1,,3, 4,5,.... αρητικούς τους. ηλαδή οι αριθµοί: { } Συµβολίζοται µε το γράµµα Z από τη γερµαική λέξη zahlen που σηµαίει αριθµός. Σελίδα -1-

2 Ρητοί αριθµοί είαι οι φυσικοί αριθµοί, τα κλάσµατα και οι δεκαδικοί µαζί µε τους ατίστοιχους αρητικούς. Γεικά έας αριθµός λέγεται ρητός ότα έχει ή µπορεί α πάρει κλασµατική µορφή, δηλαδή ότα π.χ: 4=,,5=, 8,5=, 3,03= Θυµίζουµε ότι κάθε ρητός µπορεί α γραφεί είτε ως δεκαδικός είτε ως περιοδικός δεκαδικός και ατίστροφα. Κάθε ρητός αριθµός παριστάεται (απεικοίζεται) µε έα σηµείο πάω σε µια ευθεία που λέγεται άξοας Ο παραπάω άξοας µπορεί α οοµαστεί και άξοας χ χ. Α έα τυχαίο σηµείο Α του άξοα χ χ ατιστοιχίζεται σε έα αριθµό α, τότε ο αριθµός α λέγεται τετµηµέη του σηµείου α. Ο ηµιάξοας Οχ οοµάζεται θετικός ηµιάξοας και ο Οχ αρητικός ηµιάξοας. Απόλυτη Τιµή εός αριθµού α καλούµε τη απόσταση του α από τη αρχή Ο. Η απόλυτη τιµή είαι πάτα θετικός αριθµός Συµβολίζεται µε α Βρίσκω τη απόλυτη τιµή εός αριθµού παραλείποτας το πρόσηµο. π.χ + 5 = 5 και 5 = 5 Η απόλυτη τιµή του 0 είαι το 0, δηλαδή 0 = 0. ύο αριθµοί που έχου τη ίδια απόλυτη τιµή και διαφέρου στο πρόσηµο καλούται ατίθετοι αριθµοί. Βρίσκω το ατίθετο εός αριθµού αλλάζοτας το πρόσηµο του αριθµού. π.χ -5 και ο 5 Ο ατίθετος του 0 είαι το 0. Ο ατίθετος του χ είαι ο χ και ισχύει: x = x. Σελίδα --

3 Μεταξύ δύο αριθµώ µεγαλύτερος είαι εκείος που βρίσκεται δεξιότερα στο άξοα. Με τη βοήθεια του άξοα διαπιστώουµε τα εξής : Από δύο αριθµούς µεγαλύτερος είαι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα πάω στο άξοα Έτσι κάθε θετικός αριθµός είαι µεγαλύτερος από κάθε αρητικό (αφού οι θετικοί βρίσκοται δεξιότερα στο άξοα) Από δύο θετικούς αριθµούς µεγαλύτερος είαι αυτός που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή π.χ +7 > +3 αφού + 7 = 7> + 3 = 3. Από δύο αρητικούς αριθµούς µεγαλύτερος είαι αυτός που έχει τη µικρότερη απόλυτη τιµή π.χ -3 > -4 αφού 3 = 3< 4 = 4. Το µηδέ είαι µεγαλύτερο από κάθε αρητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό (αυτό φαίεται και από το καόα 1 µε τη βοήθεια του άξοα) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) = 3. = 3. Α a = 0, τότε είαι α = 0 4. Α x = 5, τότε χ = 5 ή χ = > < 0 7. ( 5) = 5 8. ( + 3) = 3 Σελίδα -3-

4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: i) ii) iii) iv) Να βρείτε τις τιµές του χ ότα: 5 i) x = 5 ii) x = iii) x = Να συγκρίεται τους αριθµούς: i) ii) iii) iv)... 3 v) vi) vii) viii) Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς κατά αύξουσα σειρά. i) 3, + 5, 5, 0,, ii), 1,,, Α δύο σηµεία έχου τετµηµέες ατίθετους αριθµούς και απέχου 10 µοάδες, α βρείτε τις τετµηµέες τους. 6. Να βρείτε όλους τους ακέραιους που έχου απόλυτη τιµή: i) µικρότερη του 5 ii) µικρότερη ή ίση του 3 Σελίδα -4-

5 0.. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α προσθέσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) αρκεί α προσθέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο που επικρατεί. π.χ: =+ 7 και 3 4= 7 Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο) αρκεί α αφαιρέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο του µεγαλύτερου αριθµού. π.χ: + 3 4= 1 και 3+ 4=+ 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α+β=β+α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α+ ( β+γ ) = ( α+β ) +γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α+ 0=α (iv) Ιδιότητα Ατιθέτου: α+ ( α ) = 0 Σελίδα -5-

6 ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α προσθέσουµε δύο κλάσµατα διακρίουµε τις εξής δύο Περιπτώσεις: (i) Ότα τα κλάσµατα είαι οµώυµα (δηλαδή έχου τους ίδιους παροοµαστές), ισχύει: α β α±β ± =, γ 0 γ γ γ (ii) Ότα τα κλάσµατα είαι ετερώυµα (δηλαδή έχου διαφορετικούς παροοµαστές), βρίσκω το Ε.Κ.Π τω παροοµαστώ, τα µετατρέπω σε οµώυµα (µε τη γωστή σε όλους µας διαδικασία µε τα καπελάκια) και εφαρµόζω τη παραπάω διαδικασία, δηλαδή: α γ αδ βγ αδ±βγ ± = ± =, β, δ 0 β δ βδ βδ βδ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Το άθροισµα δυο ετερόσηµω αριθµώ είαι θετικός αριθµός. Α το άθροισµα οµόσηµω ρητώ είαι θετικός αριθµός, τότε οι ρητοί είαι θετικοί 3. Α το άθροισµα ετερόσηµω αριθµώ είαι αρητικός, τότε µεγαλύτερη απόλυτη τιµή έχει ο αρητικός 4. Α το άθροισµα ετερόσηµω ρητώ είαι αρητικός αριθµός, τότε οι ρητοί είαι αρητικοί 5. Α α+ β = 0, τότε οι α και β είαι ατίθετοι Σελίδα -6-

7 0..3 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΟΛΛΩΝ ΠΡΟΣΘΕΤΕΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α προσθέσουµε έα άθροισµα µε περισσότερους από δύο προσθετέους, εργαζόµαστε ως εξής : 1. Προσθέτουµε τους δύο πρώτους αριθµούς,στο άθροισµα τους προσθέτουµε το τρίτο στο έο άθροισµα το τέταρτο κτλ µέχρι α εξατλήσουµε όλους τους προσθετέους Παράδειγµα (-5)+(+7)+(-3)+(+1)+(-7)= [Προσθέτω αά δυάδες!!!] (+)+(-3)+(+1)+(-7)= (-1)+(+1) +(-7) = (+0)+(-7)= -7 ή. ιαγράφουµε τους ατίθετους α υπάρχου,κατόπι προσθέτουµε ξεχωριστά όλους τους θετικούς και όλους τους αρητικούς και τέλος προσθέτουµε τα δύο αθροίσµατα Παράδειγµα (-5)+(+7)+(+4)+(-3)+(+1)+(-7)= [ ιαγραφή Ατίθετω όρω] (-5) + (+4) + (-3) + (+1) = (-5)+(-3) + (+4)+(+1)= [Χωρισµός θετικώ και αρητικώ] (-8) + (+5)= [Πρόσθεση θετικώ και αρητικώ] -3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) )5+( + 8) + ( 3) + ( ) + ( + 5) + ( 7) i) ii Σελίδα -7-

8 0..4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Για α βρούµε τη διαφορά (αφαίρεση) α-β, προσθέτουµε στο α το ατίθετο του β, δηλαδή α β = α + (-β) π.χ (+6) - (+5) = (+6) + (-5) = +1 (-5) - (-4) = (-5) + (+4) = -1 (-3) - (+1) = (-3) + (-1) = -4 (+) - (-7) = (+) + (+7) =+9 (-1) - (-) = (-1) +? =? (+7) - (+9) =? =? Ο α οοµάζεται µειωτέος και ο β αφαιρετέος. Για τις εξισώσεις έχουµε: x+ α = β ή x= β α α x= β ή x= α β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) ii + ( ) + ( ) ( + ) ) 1, + ( ) ( 3, 4) ( 1 ) iv) ( ) + ( ) ( + ) ( ) vi + ( ) ( ) ( ) + i) ) iii v) ) Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) i) x+ 3 = 5 ii) x+ 7= 4 iii) x 3= 10 iv)5 x= 7 ( ) v)13 x= 18 vi) x + 3 = 7 Σελίδα -8-

9 0..5 ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α απαλείψουµε παρεθέσεις ακολουθούµε τη εξής διαδικασία. Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (+), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της όπως είαι. π.χ + ( ) = Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (-), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της µε ατίθετα πρόσηµα. π.χ ( ) = Ότα µπροστά από µια παρέθεση δε υπάρχει πρόσηµο παραλείπουµε απλώς τη παρέθεση. π.χ (α + β + γ - δ) = α + β + γ δ Ότα τώρα µια παράσταση περιέχει και παρεθέσεις και αγκύλες, η απαλοιφή γίεται από το εσωτερικό της παράστασης προς το εξωτερικό (δηλαδή από µέσα προς τα έξω το πιάσαµε το υποοούµεο ) οπότε η αγκύλη θα γίεται παρέθεση. Για όσους τους φαίεται Chinese ας δούε το επόµεο παραδειγµατάκι π.χ ( x ) ( x ) = = 3 1 = βγαλαµε τη µεσα παρεθεση και εγιε η αγκυλη παρεθεση = 3+ x+ 1 = κααµε απαλοιφη της παρεθεσης = x 4 κααµε πραξεις µεταξυ τω αριθµω Σελίδα -9-

10 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τη τιµή τω παραστάσεω, αφού πρώτα απαλείψετε τις παρεθέσεις και τις αγκύλες. ( + ) ( ) + ( ) ii ( + ) + ( + ) ) 6 ( 3) + ( ) ( 5+ 3 ) iv)1+ 5 ( 6+ ) + ( + ) ( + ) vi + ( ) ( ) i) ) iii v) ) Α x= 1+ ( 3 5) και 5 ( 7 3) παράστασης A= 5 ( x 3) + ( 1 y). y= +, α υπολογίσετε τη τιµή της 3. Α x= 5 ( 3) ( 5+ 8) 1 και y= 1 + ( 7 10) παράστασης A= + ( x 3) ( y 1)., α υπολογίσετε τη τιµή της 4. Να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης A= 3 a ( β x) ( y a) ( β 1) ότα x+ y= Α a b=, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: A= 3+ + a 5 γ + b γ. ( ) ( ) 6. Α a b= 3, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: A= 3 ( a+ 5) 7 ( b 3). 7. Να θέσετε τους δύο τελευταίους όρους της παράστασης A= x+ 5 y µέσα σε παρέθεση, η οποία α έχει µπροστά: i) + ii) - 8. Στις παρακάτω παραστάσεις α βάλετε το ο και το 3 ο όρο σε παρέθεση που α έχει µπροστά και τους δύο τελευταίους όρους σε παρέθεση που α έχει µπροστά +. i) A= 3 x+ 5+ y ii) B= 5+ 7 x y+ Σελίδα -10-

11 0..6 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ ύο αριθµοί λέγοται ατίστροφοι ότα έχου γιόµεο ίσο µε τη µοάδα, δηλαδή α α,β ατίστροφοι, τότε ισχύει: α β = 1. π.χ το 5 και το 1 5 είαι ατίστροφοι διότι 1 5 = 1. Το 0 έχει ατίστροφο??? 5 Από το παραπάω ορισµό προκύπτει ότι οι ατίστροφοι αριθµοί είαι πάτα οµόσηµοι. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α πολλαπλασιάσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (+). π.χ: ( + 3) ( + 4) =+ 1 και ( ) ( ) 3 4 =+ 1 Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο)πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (-). π.χ: ( + 3) ( 4) = 1 και ( ) ( ) = 1 Γεικά όσο ααφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού έχουµε: ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) Σελίδα -11-

12 α 0= 0 α 1=α ΙΣΧΥΟΥΝ: α α=α προσοχη: αλλο το α+α= α Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α β=β α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β) γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α 1=α (iv) Ιδιότητα Ατιστρόφου: 1 α = 1, α 0 α (v) α 0= 0 και 0 = 0, α 0 α ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δε µας εδιαφέρει α είαι οµώυµα. Άπλα πολ\ζουµε τους αριθµητές και τους παροοµαστές µεταξύ τους. ηλαδή θα ισχύει: α γ αγ =, β, δ 0 β δ βδ κλάσµα. β αβ ή α =, γ 0 γ γ α έχουµε α πολλ\σουµε αριθµό µε Ι ΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Επιµεριστική Ιδιότητα: α( β±γ ) =αβ±αγ ή αβ±αγ=α( β±γ ) (ii) ιπλή Επιµεριστική Ιδιότητα: ( α+β)( γ+δ ) =αγ+αδ+βγ+βδ Σελίδα -1-

13 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Το πρόσηµο του γιοµέου δύο αρητικώ ρητώ είαι -. Το πρόσηµο του γιοµέου δύο ετερόσηµω αριθµώ είαι - 3. Οι ατίστροφοι αριθµοί είαι ετερόσηµοι 4. Α α β = 5, τότε οι αριθµοί α και β είαι πάτοτε θετικοί 5. Α α β = 3, τότε οι αριθµοί α και β είαι ετερόσηµοι 0..7 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΟΛΛΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α υπολογίσουµε έα γιόµεο πολλώ παραγότω διαφόρω του µηδεός, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω παραγότω και στο γιόµεο βάζουµε: Το πρόσηµο (+), α το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι άρτιο Το πρόσηµο (-), α το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι περιττό 0, α έστω και έας από τους παράγοτες είαι µηδέ. Σελίδα -13-

14 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γιόµεα. ( + ) ( + ) ( ) ii ( ) ( + ) ( ) )( ) ( + 3) ( 5) ( 1 ) iv) ( 5) ( + 1) ( ) ( 6) ( 4) i) 3 4 ) 6 3 iii v) 4 ( 1) ( + ) ( 3 ) vi) Να κάετε τις πράξεις: ( ) ii ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) iv ( + ) + ( ) i) ) iii) ) Α α =, β = 3 και γ = 1, α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: i) Α= 3α β + 5 γ ii) Β= αβ βγ + γ ( α β) ( β γ) iii) Γ= γ αβγ + β iv) = 3 4. Α x= α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i) Α= x+ 1 x+ x+ 3 x+ 013 ii) Β= x x+ 1 3x 10 iii) Γ= x 3 x x+ 1 x Α οι αριθµοί α, β είαι ατίθετοι και οι x, y ατίστροφοι, α υπολογίσετε τη A= a 5 β x 3 y + 3x. τιµή της παράστασης ( ) ( ) Σελίδα -14-

15 0..8 ΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Το πηλίκο της διαίρεσης α : β ή α, λέγεται λόγος του α προς το β και β ορίζεται ως η µοαδική λύση της εξίσωσης x a α =. β β = ή x ( β 0) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α διαιρέσουµε δύο ακέραιους αριθµούς, διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους και στο πηλίκο βάζουµε: Το πρόσηµο (+), α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι Το πρόσηµο (-), α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι. Γεικά όσο ααφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού έχουµε: + : + = + ( ) ( ) ( ) ( ) :( ) = ( + ) ( + ) :( ) = ( ) ( ) :( + ) = ( ) ΠΡΟΣΟΧΗ: ιαίρεση µε διαιρέτη το 0 ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΙΣΧΥΟΥΝ: α : 0= ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ 0 : α= 0 α :1=α α : α= 1 Για α διαιρέσουµε δύο αριθµούς, αρκεί α πολλαπλασιάσουµε το διαιρετέο µε 1 το ατίστροφο του διαιρέτη. ηλαδή: α : β=α. Προφαώς β 0, δηλαδή β β ΟΧΙ 0 Σελίδα -15-

16 Για α διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αρκεί α ατιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσµατος και α κάω πολλαπλασιασµό. ηλαδή θα ισχύει: α γ α δ αδ : = =, β, γ, δ 0 β δ β γ βγ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Το πηλίκο δύο αρητικώ αριθµώ είαι αρητικός αριθµός α. Α α < 0 και β > 0, τότε 0 β < 3. Α 1 < 0, τότε και α < 0 α 4. Η εξίσωση α x β( a 0) = έχει µοαδική λύση τη x Σελίδα -16- β = α

17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις i)3x= 6 ii) x= 5 iii) 6x= iv)5 x= v) x= vi) x= Να κάετε τις πράξεις: i)1 + ii) ( 4) iii) + + iv) 1 : Να κάετε τις πράξεις: i)1 3 + ( 5 ) : ii) iii)1 + ( 4 ) iv) : ( 3) ( 1) ( 3) ( 4) v)1 3 5 ( ) ( 3 ) : vi) : Να κάετε τις πράξεις: i) 3 ii) iii) ( ) ( ) Α α = 1 και β =, α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: α i) Α= α+ β ii) Β= αβ iii) Γ= β 1 6. Α α =, β = και γ = 5, α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω 3 παραστάσεω: α γ i) Α= 1 α β+ β : α+ γ ii) Β= 1 γ β 1 αγ γ iii) Γ= α β : γ β iv) = α β α β α 3 7. Α = α υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: β α+ β α β α + 3β 3α β i) Α= ii) Β= iii) Γ= iv) = β α 5β α Σελίδα -17- ( )

18 ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ ΚΑΙ ΑΚΕΡΑΙΟ ΟΡΙΣΜΟΙ Α ο α είαι πραγµατικός αριθµός και ο φυσικός µε > 1, ορίζουµε ότι α Εκθετης =α α α... α βαση παραγοτες Η δύαµη a διαβάζεται ιοστή δύαµη του α. Η δύαµη Η δύαµη a λέγεται και τετράγωο του α ή α στο τετράγωο. 3 a λέγεται και κύβος του α ή α στο κύβο. Ορίζουµε τα εξής : 0 α = 1, 1 α =α και 1 α = µε α 0. α ΠΡΟΣΟΧΗ: X X X 3 = X αλλά X+ X+ X= 3X Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ιδιότητες που στηρίζοται στη ίδια βάση: i) µ +µ α α =α ii) α µ µ =α α Ιδιότητες που στηρίζοται στο ίδιο εκθέτη : i) ( ) α β = α β ii) α β α = β Σελίδα -18-

19 Μία άσχετη (όχι για άσχετους..!!) ( ) µ α =α µ Με τη βοήθεια του ορισµού µε α, β 0 1 α = µε α 0 προκύπτει και η α α β β = α Επίσης ισχύου: ( ) α =α, οπου αρτιος ( α ) = α, οπου περιττος 1 10 = = = και 1 10 = 0,1 10 = 0, , = 10 = µηδεικα 10 = 0, µηδεικα ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Σελίδα -19-

20 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Α α < 0 και άρτιος, τότε α < 0. µ µ α α = α α β = α β 3. ( ) 4. α α = β β 5. ( α ) µ α µ = 6. ( ) = 7 7. ( ) 13 = ( ) = 7 9. ( ) = ( 1) 100 = = 9 1. ( ) = ( ) = = 15. ( 35) 0 = = = = = 3 10 = 0, = ( ) Σελίδα -0- Σ Σ Σ Λ Λ Λ

21 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ 1. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα µε το πρόσηµο της κάθε παράστασης. Παράσταση ( + 7) 9 ( 5) 11 ( 3) ( 5) 8 ( 7) 3 Πρόσηµο. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κεά, ώστε α προκύψου αληθείς προτάσεις. µ ( α ) 0 ) =... ) =..., 0 i v a a ( α β) ii) =... vi) a =... =..., α 0 µ α α iii) =... vii)..., α, β 0 = α β α α iv) =... viii) =..., α, β 0 β β 1 3. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κεά µε έα από τα σύµβολα < ή >. ( + ) ( ) ( ) ( ) i)...0 ii) iii) iv) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάετε τις πράξεις: ( + ) + ( ) + ( ) ii ( ) ( ) i) 5 ) ( ) ( ) iv ( ) + ( ) ( ) iii) ) Να κάετε τις πράξεις: 3 ( ) ( ) + ii i) ) 3. Να υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: i)1 + + ( ) ii) 3 ( 3) ( ) + iv ( ) iii)3 ) 1 Σελίδα -1-

22 4. Να κάετε τις πράξεις: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σελίδα -- ( ) ( ) i) ( ) ii) ( ) iii) + iv) ( ) ( ) Να κάετε τις πράξεις: i) ( 7 3 ) 1 ii)5 ( 1 3 ) iii) ( 1 ) iv) 1 3 ( ) Α χ = - α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: A= x x 3x 1 B= 3x + 5x 3x Α x= α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: 3 3 A= x x x+ 1 B= 8x 4x 4x Α x= α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: A= x x 1 B= 7x 3x x Α α = -, β = -3 και γ = -1, α υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: 3 3 A= α β γ B= 3α β 3γ Γ= + = γ αβ βα β αγ 10. Α α = - και β = -3, α επαληθεύσετε τη ισότητα: ( ) α β = α 3α β + 3αβ β 11. Να βρείτε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω: x x 1 x x 3 x 4 A= ότα χ = x x B= x + x ότα x = -3 x+ 1 x+ Γ= 3 x + 6 ότα χ = - ( ) x 3y x y+ 1 5 y+ = + 3 ότα χ = -5 και y = Α x=, y=, z= α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: 3 x x xy A= +. y z 13. Α aβ =, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: A 53 α β 3 3 = 5a β.

23 0..11 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατά απόλυτη τιµή αριθµούς, είαι βολικό α τους γράφουµε µε τυποποιηµέη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: α 10 µε 1 α 10 και ακέραιο. π.χ =,5 10 0, = 3, Από θετικούς αριθµούς µε τυποποιηµέη µορφή µεγαλύτερος είαι εκείος που έχει το µεγαλύτερο εκθέτη στο 10. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε σε τυποποιηµέη µορφή τους αριθµούς: i) ii) iii) iv)0, 0000 v)0, vi)0, Σελίδα -3-

24 0..1 ΕΚΑ ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Α έας ρητός είαι ακέραιος, τότε προφαώς γράφεται ως δεκαδικός. Α έας ρητός είαι κλάσµα της µορφής α β (µε α αάγωγο), τότε διακρίουµε β τις εξής δύο περιπτώσεις: Α ο παροοµαστής του κλάσµατος γράφεται ως γιόµεο δυάµεω του κ και του 5, δηλαδή β = 5, τότε ο ρητός α γράφεται ως δεκαδικός. β π.χ = = 1, Α ο παροοµαστής του κλάσµατος δε γράφεται ως γιόµεο δυάµεω του και του 5, τότε ο ρητός α δε γράφεται ως δεκαδικός. Στη περίπτωση β αυτή έχουµε τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθµούς όπου επααλαµβάεται έας αριθµός η πλήθος αριθµώ. π.χ 1 0, = ή 0,3 και ο αριθµός 163 = 1, ή 1,64 ακόµα και 99 ο αριθµός 91, = ή,0681. Το πλήθος τω επααλαµβαόµεω δεκαδικώ ψηφίω κάθε περιοδικού αριθµού οοµάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθµός µπορεί α γραφτεί ως δεκαδικός ή ως περιοδικός δεκαδικός αριθµός. Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθµός µπορεί α γραφτεί ως ρητός µε κλασµατική µορφή. Το σύολο τω ρητώ αριθµώ αποτελείται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς αριθµούς. Σελίδα -4-

25 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α µετατρέψουµε έα περιοδικό δεκαδικό αριθµό σε κλάσµα ακολουθούµε τη παρακάτω διαδικασία. i) Θέτουµε το περιοδικό αριθµό α ίσο µε χ, δηλαδή χ = α (1). ii) Α ο χ είαι µικτός, πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης (1) µε τη κατάλληλη δύαµη του 10 ώστε ο µικτός α γίει απλός περιοδικός. iii) Α ο χ είαι απλός περιοδικός, πολλαπλασιάζουµε τα δύο µέλη της (1) µε µια δύαµη του 10 που έχει εκθέτη όσα τα ψηφία της περιόδου. iv) Γράφουµε το ο µέλος ως άθροισµα εός φυσικού και εός άλλου που εκφράζεται µε τη βοήθεια του χ. v) Λύουµε τη εξίσωση που προκύπτει. vi) Ας δούµε µερικά παραδείγµατα γιατί ούτε εγώ κατάλαβα (Σωστός??) Π.χ Να γραφού σε κλασµατική µορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθµοί. α) 0,7 β) 1,53 Έστω χ = 0,7 Έστω χ = 1,53 x= 0, x= 7, x= 7+ 0, x= 7+ x 10x x= 7 9x= 7 x= 7 9 x= 1, x= 153, x= , ( x ) 100x= x= 153+ x 1 100x x= x= 15 x= Άρα 7 0,7= Άρα ,53= 99 Πολλές φορές σε ασκήσεις ατικαθιστούµε τους δεκαδικούς περιοδικούς µε περίοδο το 9 στο πλησιέστερο δεκαδικό. Π.χ i)1,9 = ii)0, 79= 0,8 iii)5, 469= 5, 47 Σελίδα -5-

26 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε σε δεκαδικοί µορφή τους ρητούς: i) ii) iii) iv) v) vi) Να βρείτε τη κλασµατική µορφή τω αριθµώ: i)3, ii) 5, 4 iii)0,047 iv)1,5 v)3, 6 vi)9,73 vii)1, Να βρείτε µια άλλη δεκαδική µορφή για τους αριθµούς: i)0,9 ii)1, 9 iii ),309 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιοι αριθµοί λέγοται ρητοί.. Τι λέγεται απόλυτη τιµή εός αριθµού χ. 3. Ποιοι αριθµοί λέγοται ατίθετοι. 4. Πώς συγκρίουµε τους ρητούς αριθµούς. 5. Πώς προσθέτουµε οµόσηµους και πώς ετερόσηµους αριθµούς. 6. Ποιες ιδιότητες της πρόσθεσης γωρίζεται. 7. Πώς προσθέτουµε περισσότερους από δύο ρητούς. 8. Πώς γίεται η αφαίρεση δύο ρητώ. 9. Τι είαι το αλγεβρικό άθροισµα ρητώ αριθµώ. 10. Πώς απαλείφουµε τις παρεθέσεις από µια παράσταση. 11. Πώς πολλαπλασιάζουµε οµόσηµους και πώς ετερόσηµους αριθµούς. 1. Ποίες είαι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού. 13. Πότε δύο ρητοί λέγοται ατίστροφοι. 14. Ποιο καόα εφαρµόζουµε για α υπολογίσουµε το γιόµεο πολλώ παραγότω. 15. Πώς διαιρούµε δύο οµόσηµους και πώς δύο ετερόσηµους αριθµούς. 16. Τι οοµάζουµε λόγο του αριθµού α προς το β. 17. Τι οοµάζουµε ιοστή δύαµη εός ρητού α, για φυσικό µεγαλύτερο του Ποιες είαι οι ιδιότητες τω δυάµεω. 19. Πώς ορίζεται η δύαµη ρητού α 0, µε εκθέτη αρητικό ακέραιο και πώς ορίζεται µε εκθέτη µηδέ. 0. Ποιοι αριθµοί λέγοται περιοδικοί δεκαδικοί. 1. Πώς γράφουµε έα αριθµό σε τυποποιηµέη µορφή. Σελίδα -6-

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí ÊåöÜëáéï 8 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 24: -Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß -ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò -ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ -Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý -áíôßèåôïé áñéèìïß -Óýãêñéóç

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Περιεχόμεα 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ... 5. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ... 1. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ... 1 4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ Τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( ) Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο TEI

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Βασικές γώσεις Μαθηµατικώ Α και Β Λυκείου που πρέπει α ξέρουµε για α ξεκιήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Επιµέλεια Όµηρος Κορακιαίτης Προσθήκες διορθώσεις: Θεολόγος Πααγιωτίδης Άλγεβρα και πράξεις: (ή το

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ίου σεις Θεωρίας Ερωτήσ Επιµέλεια

ίου σεις Θεωρίας Ερωτήσ Επιµέλεια ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυµνασί ίου Ερωτήσ σεις ς Επιµέλεια Θ Ε Μ Ε Λ Η Σ Ε Υ Ρ Ι Π Ι Η Σ 1 ο Κεφάλαιο Φυσικοί Αριθµοί 1.1 Φυσικοί αριθµοί ιάταξη φυσικών Στρογγυλοποίηση 1. Ποιοι φυσικοί αριθµοί ονοµάζονται άρτιοι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 5 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Δουκάκης Σπυρίδων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα