ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ"

Transcript

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού f() f ( ) της, αν υπάρχει το lim και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με f ( ) f() f( ) Δηλαδή: f ( ) lim Αν στην ισότητα f ( ) lim f ( ) f ( ) θέσουμε h, τότε έχουμε f ( h) f ( ) f ( ) lim h h Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ του πεδίου ορισμού της f, τότε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια f() f( ) lim, f() f( ) lim και είναι ίσοι πραγματικοί αριθμοί Πρόβλημα εφαπτομένης Έστω f μία συνάρτηση και A (, f ( )) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης y C f y M(,f()) M ε A(,f( )) C f M(, f ()) M A(, f ( )) ε O (α) O (β) Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο M (, f ( )),, της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι: Καθώς το τείνει στο με, η τέμνουσα ΑΜ παίρνει μια οριακή θέση ε (Σχ α) Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το τείνει στο με (Σχ β) Την οριακή θέση της ΑΜ την ονομάζουμε εφαπτομένη της γραφ παράστασης της f στο Α 69

2 Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με f ( ) f ( ) A(, f ( )), η εφαπτομένη της C f στο σημείο θα έχει κλίση το f() y C Μ ε λ= εφω= ΟΡΙΣΜΟΣ lim f () - f ( - ) = f ( ) Έστω f μια συνάρτηση και A (, f ( )) ένα σημείο της C f Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f () - f ( ) lim = f ( ) - Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A(,f( )) είναι: Κατακόρυφη εφαπτομένη ( εκτός ύλης) y - f ) f ( )( - ) ( Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: f( ) Ο ω Α φ Γ f ( ) f ( ) α) lim (ή ) f ( ) f ( ) β) lim και f ( ) f ( lim ), f ( ) f ( ) γ) lim και f ( ) f ( lim ) τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο A, f ( )) την κατακόρυφη ευθεία f, ( Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του παραπάνω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένη της C στο σημείο A, f ( )) Παράγωγος και συνέχεια: ΘΕΩΡΗΜΑ f ( Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Όμως αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο δεν 7

3 Παράγωγος συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Θα λέμε ότι: H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α, ) β Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β) και επιπλέον ισχύει lim f ( )- f ( ) και lim- - f ( )- f ( ) - Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και A οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο f (), ορίζουμε τη συνάρτηση f : A, ό f ( ), η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f τo σύνολο των σημείων του Α στα df H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι d Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y f () θα τη συμβολίζουμε και με y ( f ( )) Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της f, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f (ν) Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με ν 3, και συμβολίζεται με f Δηλαδή ( ν ) ( ν) f [ f ], ν 3 7

4 Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων Η συνάρτηση f () c (σταθερή),c R, είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ), δηλαδή ( c) Η συνάρτηση δηλαδή f () (ταυτοτική) είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( ) ( ) f, Η συνάρτηση f ( ) ν ν, δηλαδή f (), N -{,} ν f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( ) Η συνάρτηση δηλαδή f () είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει f (), Προσοχή! Η f ( ) δεν είναι παραγωγίσιμη στο ενώ ορίζεται σ αυτό Η συνάρτηση f() ημ είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () συν, δηλαδή (ημ) συν Η συνάρτηση δηλαδή f() συν είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () ημ, Αποδεικνύεται ότι η δηλαδή (συν) ημ f() e είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () e, (e ) e Αποδεικνύεται ότι η f () ln είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει δηλαδή f () (ln ) 7

5 Παράγωγος αθροίσματος Αν οι συναρτήσεις ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: ( f g) ( ) f ( ) g( ) Τα παραπάνω ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Δηλαδή, αν είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε ( f f f ) k () f () f () f k () f,, f, fk, Παράγωγος γινομένου Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε: ( cf ()) cf () c R, επειδή ( c), Παράγωγος πηλίκου Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε Δ ισχύει g ( ), τότε για κάθε Δ έχουμε: f f ( ) g( ) f ( )g( ) ( ) g [ g( )] Από τους παραπάνω κανόνες παραγώγισης προκύπτουν τα παρακάτω Η συνάρτηση f (),νν * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει f (), δηλαδή ( ) Η συνάρτηση f() εφ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει f (), δηλαδή συν (εφ) συν Η συνάρτηση f() σφ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει f (), δηλαδή ημ (σφ) ημ 73

6 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g (Δ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ( f ( g( ))) f ( g( )) g( ) Δ g g() f g g(δ) f f( g ()) Δηλαδή, αν u g( ), τότε: ( f ( u)) f ( u) u Με το συμβολισμό του Leibniz, αν f (u) y και u g(), έχουμε τον τύπο: dy d dy du du d που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας Από τα παραπάνω προκύπτουν τα εξής: Η συνάρτηση f () f (), α -Z είναι παραγωγίσιμη στο, ), δηλαδή ( ) ( και ισχύει Αποδεικνύεται ότι, για η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο και η παράγωγός της είναι ίση με, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο Η συνάρτηση f(), είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () ln, δηλαδή ( ) ln Η συνάρτηση f () ln, R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει: (ln ) 74

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο ο (αν υπάρχει) : α) f() = ημ, για και f() = (ο = ) β) f ( ),, ( ο = ) γ) f() = 3 ( ο = 3) Να βρείτε τα α, β R ώστε να είναι παραγωγίσιμη στο ο =, η συνάρτηση 3, f ( ) a, 3 Αν g()= f ()ημ,, να αποδείξετε ότι g ()= όπου f παρ/μη συνάρτηση στο = με f()=f ()= 4 Αν f(3) = και f (3) = 6, να βρείτε το όριο 75 ( f ( )) lim Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα: 5 f() 5 + 4, για κάθε R Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την f () 6 Αν f,g είναι παραγωγίσιμες στο χ = και f ()= -, g ()=, f()= -, g()= - να f ()g() αποδείξετε ότι: lim f () 7 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο χ = και ισχύει : lim Να αποδείξετε ότι : i) f()= και ii) η συνάρτηση g()= f () 3 είναι παρ/μη στο σημείο χ = και να βρείτε το g () 8 Aν η συνάρτηση f είναι παρ/μη στο σημείο χ = και για κάθε χr ισχύει (f()) 3 -(f()) + f()= ημ, να αποδείξετε ότι : f ()=

8 9 Έστω f,g συναρτήσεις ορισμένες στο R και παρ/μες στο σημείο χ = Αν χ R ισχύει f()g() και f()=g(), να αποδείξετε ότι f ()=g () Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() = ln ii) g() = ημ+συν iii) h() = 3 5 iv) φ()=ημ(ημ+συν)+συν(ημ-συν) Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() = ημ+ συν ii) g() = ( + )ln iii) h() = ( - + 3)e ln v) s() = e iv) φ() = ημln vi) t() = ln ln Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() = ημ β) f() = + ημ 3 vi) f() (Tι συμπεραίνετε για το άθροισμα και το γινόμενο παραγωγισίμων και μη συναρτήσεων σε σημείο ) 3 Να βρείτε, όπου ορίζεται την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f ( ) π - ημ ii) f(), ημ iii) f() ημ συνt e m iv) f ( ) v ) f() n Να βρείτε, όπου ορίζεται την παράγωγο των συναρτήσεων: συν iv) f () ln v) f() vi) f() e ln vii) f() log i)f () ln( ) ii) f() συν iii)f =ln( 3 ) viii) f() e ( ) i) f() ) f() εφ, π 76

9 5 Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων : α), f ( ),, β) f() =, για και f() = 3 γ) f() = 5 4, δ) f() = 5 6, 5, 6, 3 3 συν, ) f ( ) στ) f(), αν < ζ) f() = η) f() = 5 4, αν 6 Έστω δύο συναρτήσεις παρ/μες στο R οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f () g() e g () - g() f () - f() [g()] [f()] Να αποδείξετε ότι: 7 Aν η πολυωνυμική συνάρτηση f(χ), βαθμού ν και η παράγωγός της έχουν κοινή ρίζα τον αριθμό ρr, να δειχθεί ότι η εξίσωση f()= έχει τη ρίζα ρ τουλάχιστον διπλή και αντίστροφα 8 Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα f( + y) = f()f(y), για κάθε, yr και f() Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του R και μάλιστα f () = f ()f(), για κάθε R 9 Αν f() = ημ και g() = συν, να δείξετε ότι : [f (3) ()] +[g (3) ()] = Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R Αποδείξτε ότι : α) Αν η f είναι άρτια τότε η f είναι περιττή β) Αν η f είναι περιττή τότε η f είναι άρτια Έστω οι συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο R τέτοιες ώστε για κάθε R ισχύει: (f()) 5 (g()) = 5 και g( - ) =, g ( - ) = - Να βρείτε την παράγωγο της f στο Βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ() με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει P()=9 και [Ρ ()] =P(), για κάθε R 77

10 3 Δίνεται η συνάρτηση f()= ln( + e ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f : α) στο σημείο Α(, f() ) β) η οποία σχηματίζει γωνία 45 ο με τον άξονα χ χ 4 Δίνεται η συνάρτηση f()= e + 5 και η ευθεία ε: y = λ + 5 Να βρείτε τον λr, ώστε η ε να εφάπτεται της C f και να προσδιορίσετε το σημείο επαφής 5 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=α +β και g()= e, έχουν κοινή εφαπτομένη στο o = Να βρείτε : α) τα α, βr β) την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f()= - και g()= e - α) Αποδείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο o = είναι η ευθεία ε: y=- β) Αποδείξτε ότι η ευθεία ε εφάπτεται της Cg Να βρείτε το σημείο επαφής 7 Αν f()=4- και g()=, να βρείτε την εξίσωση της εφ/νης της C f στο σημείο 8 της Α(,f()) και να αποδείξετε ότι εφάπτεται και της C g 8 Δίνεται η συνάρτηση f () = α 3 + β + γ + δ, α Να βρείτε τη συνθήκη για τα α, β, γ R, ώστε η C f να μην έχει σε κανένα της σημείο οριζόντια εφαπτομένη 9 Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( + e ) - f ( - e ) = - e, για κάθε R και f ()= - Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο Α(3, f (3)) είναι κάθετη στην ευθεία y = + 78

11 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Ορισμός Αν δύο μεγέθη χ και y συνδέονται με τη σχέση y=f() και f είναι συνάρτηση παρ/μη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς χ στο την παράγωγο f ( ) Παρατηρήσεις ) Όταν ζητούμε τον ρυθμό μεταβολής μιας μεταβλητής y ως προς την t, η t είναι η μεταβλητή παραγώγισης έστω και αν αυτή είναι συνάρτηση ) Όταν μας δίνουν ένα μέγεθος y=f(t) όπου t είναι ο χρόνος: α) αν αυξάνεται σταθερά κατά κ μονάδες /sec, (κ>) τότε ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς t σε κάθε t είναι : dy/dt =f (t)= κ μον /sec β) αν μειώνεται σταθερά κ μονάδες /sec, είναι ομοίως: dy/dt= f (t)= -κ μον /sec 3) Αν ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός σημαίνει <<τάση>> για αύξηση, ενώ αν είναι αρνητικός σημαίνει <<τάση>> για ελάττωση 4) Οι μονάδες του ρυθμού μεταβολής f () είναι το πηλίκο των μονάδων μέτρησης του μεγέθους y προς τις μονάδες του μεγέθους χ Παραδείγματα Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιμή t H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού Ο ρυθμός μεταβολής της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος (t ), της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος S (t ) λέγεται στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t και S συμβολίζεται με υ t ) Είναι δηλαδή υ t ) S( ) ( ( t Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος υ ( t ), της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή Η παράγωγος υ ( t ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με α t ) Είναι δηλαδή α t ) υ( t ) S( ) ( ( t t Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος Κ ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ( 79

12 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Πρόβλημα Ο όγκος V ενός μπαλονιού που φουσκώνει αυξάνει με ρυθμό cm 3 /secμε ποιο ρυθμό αυξάνει η ακτίνα του r τη χρονική στιγμή που αυτή είναι ίση με 9cm; ) Προσδιορίζουμε και συμβολίζουμε όλα τα μεταβλητά μεγέθη συναρτήσει της ανεξάρτητης μεταβλητής χ και συμβολίζουμε χ το κρίσιμο σημείο στο οποίο ζητούμε τον ρυθμό μεταβολής τον οποίο και γράφουμε με μορφή παραγώγου Έστω V(t) ο όγκος του μπαλονιού την χρονική στιγμή t οπότε η ακτίνα του είναι r(t) Έστω t η χρονική στιγμή που μας ενδιαφέρει οπότε r(t )=9cm και ο όγκος του τότε θα είναι V(t ) O ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι r (t ) Δίνονται: V (t)=cm 3 /sec, r(t )=9cm ) Βρίσκουμε εξίσωση () που συνδέει τις παραπάνω μεταβλητές V(t)= 4 / 3 π r 3 (t) () 3) Παραγωγίζουμε τα μέλη της εξίσωσης () και βρίσκουμε εξίσωση () για χ=χ V (t)=4π r (t) r (t) οπότε για t=t έχω V (t )=4π r (t ) r (t ) () 4) Υπολογίζουμε τις τιμές των μεταβλητών και βρίσκουμε το ζητούμενο ρυθμό μεταβολής αντικαθιστώντας στην εξίσωση () Αντικαθιστώντας στη () έχω cm 3 /sec=4π (9cm) r (t ) 5cm 3 /sec=8π cm r (t ) 5 r (t )= cm/sec 8π 8

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ακτίνα ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο r(t)=3-t, t[,3], r σε m και t σε sec Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού και του μήκους του ως προς το χρόνο t Δύο σημεία Α,Β κινούνται στους ημιάξονες Οχ,Οψ αντίστοιχα ξεκινώντας ταυτόχρονα από το σημείο Ο με ταχύτητες υ Α = m/sec,υ B =5 m/secνα βρεθούν: α) ο ρυθμός μεταβολής της μεταξύ τους απόστασης 6sec αργότερα β) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ την ίδια χρονική στιγμή 3 Ένα σημείο M κινείται πάνω στην υπερβολή με εξίσωση 3χ -ψ = Η ταχύτητα της τεταγμένης του είναι 6 m/sec Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του τη χρονική στιγμή t που είναι χ=4cm 4 Αντλούμε νερό από μια δεξαμενή σχήματος κώνου με ακτίνα βάσης 5m και βάθους m με σταθερό ρυθμό μεταβολής 5 m 3 /h Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του βάθους του νερού, όταν το ύψος του κώνου που σχηματίζει το νερό της δεξαμενής είναι 6m Δίνεται ότι: V= 3 E β h 5 Ένας προβολέας βρίσκεται σε ύψος 5m ψηλότερα από το έδαφος Ένας άνθρωπος που έχει ύψος,8m απομακρύνεται από το σημείο που βρίσκεται κάτω από τον προβολέα με ταχύτητα 6m/sec Αν ο προβολέας είναι στραμμένος πάνω του, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς του ανθρώπου 6 Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό π cm 3 /sec i) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας της σφαίρας ως προς τον χρόνο t τη χρονική στιγμή t που η ακτίνα της είναι r=/4 cm ii) Ποια είναι η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της είναι cm /sec 8

14 7 Δύο πουλιά Α και Β πετούν στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο σε ευθύγραμμες οριζόντιες τροχιές με υψομετρική διαφορά 3m έχοντας μέση σταθερή ταχύτητα υ=m/sec και με αντίθετη φορά Κατά τη χρονική στιγμή τα πουλιά βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο Πόσο θα απέχουν τα πουλιά, όταν ο ρυθμός μεταβολής της απόστασής τους είναι ; 8 Χρωματιστό υγρό πέφτει σε ρούχο και απλώνεται σχηματίζοντας κυκλική κηλίδα της οπoίας το εμβαδό αυξάνει με ρυθμό μεταβολής 5cm /min Nα βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας κατά τη χρονική στιγμή κατά την οπoία το εμβαδό της κηλίδας είναι 36πcm 9 Μια ευθεία κινείται γύρω από το σημείο Κ(,) και τέμνει τον θετικό ημιάξονα Οχ σ ένα σημείο Α Αν το σημείο Α κινείται με σταθερή ταχύτητα cm/sec,να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ =ΟΚΑ ως προς το χρόνο t κατά τη χρονική στιγμή t που το σημείο Α βρίσκεται στη θέση Α (5/3, ) Ένα σημείο B κινείται πάνω στον κύκλο χ +ψ =6 με σταθερή ταχύτητα cm/sec ξεκινώντας από το σημείο Α( 6,) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους της χορδής ΑΒ ως προς το χρόνο t κατά τη χρονική στιγμή t που η γωνία θ= AOB ίση με π/3 είναι 8

15 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β) και f( ) f( ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) Δηλαδή η εξίσωση f ()= έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο (α,β) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M ( ξ, f ( ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα f των y Μ(ξ,f (ξ)) Α(α,f (α)) Β(β,f (β)) O α ξ ξ β Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού ΘΜΤ Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f( ) f( ) f ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M ( ξ, f ( ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y M(ξ,f (ξ)) A(a,f (a)) Β(β,f (β)) Ο a ξ ξ β 83

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ,, Δίνεται η συνάρτηση f() =,, Για ποιες τιμές των α,β,γ ισχύει το θrolle στο [-,π/] για τη συνάρτηση f ; Έστω f,g δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες: i) Είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] ii) f(α) = f(β) = και f() (α,β) Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση h() = f()e -g(), [α,β] εφαρμόζεται το Θ ROLLE στο διάστημα [α,β] b) Υπάρχει (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C g στο σημείο της Α(,g( )) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: f ( ) - f( )ψ + κ = 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) κα f(α) - f(β) = α -β Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f ( ) = 4 Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) με f(α) = f(β)e g(β)-g(α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f ( ) + f( )g ( ) = 5 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f() 6f(5)+4f(3) για κάθε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ) = 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-,] και παραγωγίσιμη στο (-,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = 5ξ 4 (f()-f(-)) 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = f (-ξ) 8 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξr τέτοιο, ώστε: f ( ) f (ξ) = 9 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f() =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα f ( ) τουλάχιστον > τέτοιο, ώστε: f ( ) = - 84

17 Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,γ] και ισχύουν f(α) = f(γ) και f (α) = f (γ) =, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, (α,γ) τέτοια, ώστε f ( ) = f ( ) Η συνάρτηση f: [,4] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f() = και f(4) = 8 Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = 3 β και f(β) = 3 α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ,f(ξ)), να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω = 3 3 Αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο [,3], να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ, ξ 3 (,3) τέτοια ώστε: f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ 3 ) = f(3) - f() 4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,3] με f() = 6 και f () για κάθε (,3), να αποδείξετε ότι 5 f(3) 7 5 Αν η συνάρτηση f () είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι f() =, να αποδείξετε ότι: f ()<f()< f () 6 Nα αποδείξετε ότι: i) - e ln ii) - e ln 3 3 e 3 e 7 Nα αποδείξετε ότι: i) ln( ), αν > iii) ii) iv), αν -<< e ( )e, αν (,) 8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,], παραγωγίσιμη στο (,) με f() = f() Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία α,β(,) τέτοια ώστε: f (α) + f (β) = Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα 9 Αν ισχύουν α γ<β, και f (γ) = και f () για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) ( ) 85

18 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R Αν υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία έχει με τη C f δύο τουλάχιστον κοινά σημεία, να αποδείξετε ότι: i) Η f δεν είναι - ii) Υπάρχει R με f ( ) = Η συνάρτηση f: [α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής με f(α) = f(β) = Να αποδείξετε ότι: i) αν υπάρχει (α,β) με f( )>, τότε υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ)<, ii) αν υπάρχει (α,β) με f( )<, τότε υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ)> Η συνάρτηση f: [,4] είναι συνεχής στο διάστημα [,4], παραγωγίσιμη στο (,4) Αν f() = -3 και f ()> για κάθε (,4), να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει μοναδική ρίζα στο (,4) 3 Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,], με f() = και f() =, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει γ(,) τέτοιο, ώστε: f(γ) =, ii) υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε: 86 f ( ) f ( ) 4 Έστω α> και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [-α,α] συνάρτηση g Αν g() = g(α) + g(-α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-α,α) τέτοιο, ώστε: g (ξ) = 5 Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)=f(β)= Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g με g(χ)=f(χ) χ c,όπου c<α<β, να δείξετε ότι: i) Υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε να είναι g (ξ)= ii) Υπάρχει χ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σημείο (χ,f(χ )) της γραφικής 3 παράστασης c f της f να διέρχεται από το σημείο (c, f ( )) 6 Εστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) Αν υπάρχει γ(α,β) τέτοιο ώστε να είναι α,γ,β, διαδοχικοί όροι αριθμ προόδου και f(α),f(γ),f(β) διαδοχικοί όροι αριθμ προόδου, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε να ισχύει: f (ξ)= 7 Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) α β α) Αν ισχύει: f ( ) f (α) f (β) να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (α,β) τέτοιοι, ώστε να είναι : f (ξ )-f (ξ )= β) Αν ισχύει f(α)=f(β) να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (α,β) τέτοιοι, ώστε να είναι: f (ξ )+f (ξ )=

19 Σταθερές Συναρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, ΠΟΡΙΣΜΑ τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο διάστημα Δ και f () g() για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ να ισχύει: f() g() c Προσοχή!! Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων Πχ Η συνάρτηση f (χ) = δεν είναι σταθερή 9,, έχει f (χ)= για κάθε (,) (, ) ενώ Σχόλια Όταν θέλουμε να βρούμε τον τύπο μιας σταθερής συνάρτησης φ(χ) σε ένα διάστημα Δ αρκεί να βρούμε την τιμή της φ(χ )=c για κάποιο χ με χ Δ Τότε φ(χ)=c, Όταν θέλουμε να βρούμε τον τύπο μιας συνάρτησης f() για την οποία ισχύει ότι f ()=g() σε ένα διάστημα Δ, βρίσκουμε μια παράγουσα G() της g στο Δ οπότε γράφεται: f ()=G (), άρα f()=g() +c, Γενικά για την εύρεση του τύπου μιας συνάρτησης f() από μια συναρτησιακή σχέση προσπαθούμε να την μετασχηματίσουμε σε μια σχέση της μορφής: F ()=G (), οπότε αυτή δίνει ότι F()=G() +c, Από την τελευταία προσπαθούμε να βρούμε την f() Αν η συναρτησιακή σχέση είναι της μορφής f ()+α()f()=β(), () Βρίσκουμε μια παράγουσα Α(χ) της α(χ) οπότε Α (χ) = α(χ) και πολλαπλασιάζοντας την () με e A() έχουμε: e A() f ()+α() e A() f()=β(χ) e A() A() e f () ( ) οπότε: A() e f () ( ) A() e f () = ( ) +c, Βάσει εφαρμογής του σχολικού βιβλίου: Αν f ()=f(), τότε f()=ce, και επειδή ισχύει και το αντίστροφο: f ()=f(), f()=ce, 87

20 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για τη συνάρτηση f: R ισχύουν: f() = α και f () = αf() για κάθε R και α Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = f() f(-) είναι σταθερή στο R και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = (,5) και ισχύει f () f () για κάθε 3 Α και f() = -6, τότε: f () i) να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = είναι σταθερή, 3 ii) να βρεθεί η συνάρτηση f 3 Δίνεται η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f () = f(-) για κάθε R Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () + f (-), R, είναι σταθερή 4 Έστω η συνάρτηση f: (, +) R για την οπoία ισχύει: f ()+f()= για κάθε χ> και f()=4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F()= f(), (, +), είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της Επίσης να βρεθεί το f() 5 Να βρεθεί η συνάρτηση f αν : α) f () =, για κάθε και f(5) = 7 β) f () = 3, για κάθε και f() = 6 Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = (,5) [8,] και ισχύει f () = για κάθε Α Αν f(3)= και f()= 5, να βρεθεί η συνάρτηση f 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f () = για κάθε R * Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή 8 Να βρεθεί η συνάρτηση f αν : i) f () = 6 + για κάθε R και f() = ii) f (-) = 7- για κάθε R και f() = iii) f () = - για κάθε R * και f(-) = f() = iv) f () = e + συν, για κάθε και f () =, f() = 88

21 9 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R με f () = το σημείο Α(, ) να βρεθεί ο τύπος της f, Αν η C f διέρχεται από e, Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f () = -f() για κάθε R Αν f() = 3, να βρεθεί ο τύπος της f Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f: R στο τυχαίο σημείο Μ(,f()) είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της f στο Aν f() =, να βρεθεί ο τύπος της f Να βρεθεί η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f (),, και f(-) = Δίνεται η συνάρτηση f: R με f() =, για την οποία ισχύει: (f()-e ) (f ()-e ) = για κάθε R i) Να αποδείξετε ότι (f()-e ) = ii) Να αποδείξετε ότι η h() = f()-e διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο στο R iii) Να βρείτε τον τύπο της f 4 Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R i) Να αποδειχθεί ότι f ()=f() για κάθε χr αν και μόνο αν υπάρχει λr τέτοιος ώστε f()= λe ii) Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f()=+f () και f()= 5 Να βρείτε τη συνάρτηση f, αν για κάθε χ(, ) ισχύει f ()e f() =+ και η γραφι- κή της παράσταση στο σημείο Α(,f()),έχει εφαπτ/νη με συντελεστή διεύθυνσης 3/5 89

22 Μονοτονία Συνάρτησης Τοπικά Ακρότατα ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν f () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, Αν f () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A y ma τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f () f( ) για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f ) τοπικό μέγιστο της f ( a O -δ +δ min β Aν η ανισότητα f ( ) f ( ) ισχύει για κάθε A, τότε η f παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το f ) ( ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, y ma θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f () f( ) για κάθε A (, ) min Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f ) τοπικό ελάχιστο της f ( a O -δ +δ β Αν η ανισότητα f ( ) f ( ) ισχύει για κάθε A, τότε η f παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το f ) ( Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής 9

23 ΣΧΟΛΙΑ i) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης Θεώρημα Fermat Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, y τότε: f () Ο a β Σύμφωνα με το προηγούμενο π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής i) Αν f () στο, ) και f () στο (, ), ( τότε το f( ) είναι τοπικό μέγιστο της f α β f ( ) + f ( ) y O f ( ) > f ( )< α β ii) Αν f () στο, ) και f () στο (, ), ( τότε το f( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f α β f ( ) + f ( ) y O f ()< f ()> α β iii) Aν η f () διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ) 9

24 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i) f() = + iii) f() = (-)e (+)e - ii) f() = iv) f() = ln 9 v) f() = (ln- 3 ) (ln-) + Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i) f() = ln ii) f() = ln 3 e e, iii) f() = v) f() = 7, 3 Έστω η συνάρτηση f() =, *, i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 4,, *, 4 i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f() = ii) Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς, με > 3,, 3, (νν με ν ) 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ln + = ii) e + = e iii) + + 3ln 3 = 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [,e] 7 Nα βρεθούν οι τιμές του α R, ώστε η συνάρτηση f() = 4 3 3α + +, να είναι γνησίως αύξουσα στο R 8 Nα αποδείξετε ότι ισχύει: i) ii) 3 ln( ) για κάθε 3 e +ln(+) για κάθε >- iii) ημ + συν> για κάθε (, ] iv) + ln(συν) για κάθε [, 4 ] 9

25 9 i) Nα αποδείξετε ότι ln + > για κάθε > και ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f() = ln iii) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό μ που ικανοποιεί τη σχέση (μ+) ln(μ +5) = (μ +4) ln(μ +μ+) Δίνεται η συνάρτηση f: με f () < για κάθε R Να αποδείξετε ότι αν αr, τότε ισχύει f() f (α)(-α) + f(α) για κάθε R Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ισχύουν f(α)=f(β)= και f () > για κάθε [α,β], να αποδειχθεί ότι f() < για κάθε (α,β) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f () > για κάθε (,) και f() = f() =, να αποδείξετε ότι είναι f() < για κάθε (,) 3 Δίνεται η συνάρτηση f() = i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f ii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες, δύο αρνητικές και δύο θετικές 4 Αν <α<β<, να αποδειχθεί ότι: 5 Έστω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f γνησίως φθίνουσα f ( ) f ( ) στο [α,β] Να αποδειχθεί ότι: f 6 Eστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και για την οποία ισχύει : f (χ)+[f (χ)] για κάθε χr Aν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(χ)=e f()-e,να δείξε- τε ότι η συνάρτηση g δεν μπορεί να έχει περισσότερα από ένα τοπικά ακρότατα 7 Δίνεται η συνάρτηση f με f (χ)> για κάθε χ R Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης της f που να είναι συνευθειακά 8 Αν α,β,γ> και ισχύει ότι α +β +γ 3, για κάθε R, να δειχθεί ότι: αβγ= 9 Να αποδείξετε ότι αν για μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R ισχύει ότι (f()) +8f()=e τότε η f δεν έχει ακρότατα 93

26 Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει f 3 () + f() = +, τότε η f δεν έχει ακρότατα Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, Α(,)C f, και f() + για κάθε >, να αποδείξετε ότι f () = 3 Αν για κάθε > ισχύει ln + α, να βρείτε το α 3 Έστω μια συνάρτηση f: R R η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: (+e - ) f()+συνπ 3 για κάθε R Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(,) 4 Έστω οι συναρτήσεις f,g: R R οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: f() + και f() e g() e για κάθε R Αν η C f διέρχεται από το σημείο Α(,), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C f και C g στο =, τέμνονται κάθετα 5 Έστω η συνάρτηση f: R R, η οποία είναι παραγωγίσιμη δύο φορές και ισχύει f( )- f () για κάθε R Να δείξετε ότι : i) Υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f ( )= ii) f ()= f () iii) Η εξίσωση f () = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (,) 6 Έστω η συνάρτηση f: (,) R, η οποία είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f() για κάθε (,) Αν υπάρχουν, (,) με τέτοια, ώστε f( ) = f( ) =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,) με f (ξ) = 7 Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: i) f() = 4 ii) f() = 4 ln iii) f () = 94 e iv) f () = - e v) f() =, (,π) vi) f() = ( -8)ln- +8 e 8 Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων:, e, i) f() = ii) f() = ln(-), > ln(-), < 9 Δίνεται η συνάρτηση: f() = , R i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() =

27 3 Για ποια τιμή της θετικής σταθεράς α η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f() = e,, γίνεται ελάχιστη; 3 Δίνεται η συνάρτηση f() = λ -(lnλ)+, λ Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της f να γίνεται ελάχιστη 3 Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του α για την οποία ισχύει: α, 33 Δίνεται η παραβολή ψ 3 = χ και το σημείο Α(,) 4 i) Να βρείτε σημείο Β της παραβολής που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση iii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραβολής στο Β είναι κάθετη στην ΑΒ 34 Δίνεται η συνάρτηση f()= - και το σημείο Α(9,) Να βρείτε το σημείο Β της γραφικής παράστασης της f ώστε το μήκος (ΑΒ) να είναι ελάχιστο 35 Δίνεται η συνάρτηση f()=-ln i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii) Να δείξετε ότι -ln για κάθε χ> iii) Θεωρούμε το σημείο Α(,ln) και έστω Β το συμμετρικό του ως προς την ευθεία y= Να βρείτε τη θέση του σημείου Α για να είναι το μήκος (ΑΒ) ελάχιστο 36 H ημερήσια παραγωγή πηγαδιών άντλησης πετρελαίου είναι 4 βαρέλια Για κάθε νέο πηγάδι η παραγωγή κάθε πηγαδιού μειώνεται κατά 5 βαρέλια Να βρείτε τον αριθμό των νέων πηγαδιών ώστε να έχουμε την μέγιστη ημερήσια παραγωγή 37 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,3) και σχηματίζει με τους ημιάξονες Οχ και Οy τρίγωνο με το ελάχιστο εμβαδόν 38 Ένα φορτηγό καταναλώνει για καύσιμα δραχμές την ώρα, όπου υ η ταχύτητά του 4 σε km/h Τα άλλα έξοδά του ανέρχονται σε 6 δρχ την ώρα Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται προκειμένου να καλύψει μια απόσταση 54 km, με το ελάχιστο δυνατό κόστος 39 Δίνεται η παραβολή ψ=χ Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της παραβολής στην ευθεία ψ=3χ-5 υ 95

28 ΚΥΡΤΑ-ΚΟΙΛΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα - κυρτά συνάρτησης Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο διάστημα [, ) y y = y y + Ο ( a ) Κ α θ ώ ς τ ο α υ ξ ά ν ε τ α ι η ε φ α π τ ο μ έ ν η τ η ς C f σ τ ρ έ φ ε τ α ι κ α τ ά τ η θ ε - τ ι κ ή φ ο ρ ά Ο (β) Κ αθώ ς το αυξάνεται η εφ απτομένη της C g στρέφεται κατά την αρνητική φορά Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται: η κλίση f () της C f αυξάνεται, δηλαδή η f είναι γν αύξουσα στο [, ) (Σχα), η κλίση g () της C g ελαττώνεται, δηλαδή η g είναι γν φθίνουσα στο [, ) (Σχβ) Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο [, ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [, ) ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, ΣΧΟΛΙΟ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω (αντιστοίχως πάνω ) από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους ΘΕΩΡΗΜΑ Εστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Αν f () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ Αν f () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ 96

29 ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει Μπορεί μια συνάρτηση να είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ χωρίς να είναι απαραίτητα f () > για κάθε Δ Σημεία καμπής ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η f είναι κυρτή στο, ) και κοίλη στο (, ), ή αντιστρόφως, και ( η C έχει εφαπτομένη στο σημείο A(,f( )), τότε f το σημείο A(,f( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f Όταν το A (, f ( )) είναι σημείο καμπής της C f, τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο καμπή και το λέγεται θέση σημείου καμπής Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της C f διαπερνά την καμπύλη ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A(,f( )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( ) Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει y Δηλαδή αν f ( ) δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η f παρουσιάζει στο (,f ( )) σημείο καμπής y = f ( ) Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η f είναι διαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείων καμπής O Επομένως, ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: i)τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και ii)τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f Γενικά: Έστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ ένα διάστημα ( α, β) και ( α, β) Αν η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και ορίζεται εφαπτομένη της C στο (,f( )) f A, τότε το A(,f( )) είναι σημείο καμπής 97

30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη όταν: i) f() = ln ii) f() = e iii) f() = 3 iv) f() = ln Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής της C f, όταν: i) f() = ln ii) f() = συν+ e 3e 98, [, ] iii) f() = iv) f() = (+ )e Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= ln i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα ii) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής Nα αποδείξετε ότι η C f της συνάρτησης : f() = 4 +4α 3 +3(α -4α+5) +α+, α R δεν έχει σημεία καμπής Έστω g μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει : (g()) = 5g()- e -α +5 για κάθε R και α> Να αποδείξετε ότι η C g δεν έχει σημεία καμπής Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R και η συνάρτηση g κοίλη στο R Να αποδείξετε ότι: i) Οι C f,cg έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία ii) Αν οι C f και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό σημείο τους, τότε οι C f και Cg έχουν μοναδικό κοινό σημείο Να βρείτε τις τιμές του α R ώστε η συνάρτηση f() = - 4 +α να είναι κοίλη στο R Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R, να αποδείξετε ότι αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό είναι και ολικό ελάχιστο της f

31 9 Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν η f να έχει στο τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και κυρτή στο Δ i) Αν α,βδ με α<β, να αποδειχθεί ότι: f(α)+f(β)> f ( ) ii) Να αποδειχθεί ότι: α) η συνάρτηση g() = ln είναι κυρτή στο διάστημα (,+ ) β) για κάθε <α<β Έστω η συνάρτηση f() = ln(ln) i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού D f της f ii) Nα δείξετε ότι η f είναι κοίλη στο D f iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο =e iv) Nα δείξετε ότι ln ln για κάθε > e v) Aν α,β D f, να δείξετε ότι ln ln ln Δίνεται η συνάρτηση f() = ln α) Να βρείτε τα α,βr, ώστε το Α(,3) να είναι σημείο καμπής της C f β) Για α = 4 και β = -: i) Να βρείτε τα διαστήματα που η C f είναι κυρτή ή κοίλη ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο καμπής της iii) Να δείξετε ότι 4 ln 3 για κάθε f () 3 Έστω f: R παραγωγίσιμη συνάρτηση με lim 3 και f(3)=4 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο = β) Αν η f είναι κυρτή στο : i) Να δείξετε ότι f()-5+6 για κάθε R ii) Nα δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο 99

32 ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim f(), lim g() (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή Αν ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ) lim f (), lim g() (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: ΣΧΟΛΙΑ, {-, } και υπάρχει το f() lim g() f () lim g(), {-, } και υπάρχει το f() lim g() Το θεώρημα ισχύει και για τις μορφές f () lim g(),, f () lim g() f () lim g() Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται, να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: e ln i) lim ii) lim iii) lim iv) lim e e Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: i) 3 ln lim ln ii) e lim 4e 3 iii) 3 ln( ) lim ln( ) 3 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: i) lim( ln ) e iv) lim ln ii) v) lim (e ) lim (ημ) iii) lim ln ln( )

33 4 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: i) lim ii) lim iii) lim α f () f (α) 5 Nα υπολογίσετε το lim α -α συναρτήσει των α, f(α), f (α) i) αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α-δ,α+δ) με δ> και με συνεχή παράγωγο στο α ii) αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α 6 Έστω η συνάρτηση f : R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη f ( h) 3f () f ( h) Να αποδείξετε ότι: lim 3f () h h, 7 Δίνεται η συνάρτηση f() = Να δείξετε ότι f () = ln ln, = 8 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R για την οποία ισχύει (-συν)f() = ln(+)- για κάθε >- Να βρείτε την f() 9 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R για την οποία ισχύει f()+e ημ =f()ημ+e για κάθε Να βρείτε την f() Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f () = 3 και f() =f () = f () f ( ) Να αποδειχθεί ότι: lim 3 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f () = και f() =f () = f () i) Να βρείτε το όριο lim f (), ii) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g:(, ) με g()=, = Είναι η συνάρτηση g () συνεχής στο = ;

34 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f(), lim f() ΟΡΙΣΜΟΣ είναι ή, τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f y f ( ) M O y Αν lim f() (αντιστοίχως lim f() ), τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ) f ( ) O ( a ) C f + ΟΡΙΣΜΟΣ y Η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αντιστοίχως στο, αν lim [f() ( )] C f αντιστοίχως : lim [f() ( )] ασύμπτωτη y είναι οριζόντια αν λ, ενώ αν λ λέγεται πλάγια ασύμπτωτη Ο f ()(λ+β) ΘΕΩΡΗΜΑ (Σημαντικό για την εύρεση των ασυμπτώτων) Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αντιστοίχως στο, αν και μόνο αν αντιστοίχως: lim lim f() f() R και R και lim [f() ] R, lim [f() ] R

35 ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικνύεται ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες Οι ρητές συναρτήσεις P( ) Q( ), με βαθμό του αριθμητή P () μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε: Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής Στο,, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, ) αντιστοίχως (, α) α, ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, όταν: i) f()= 3 ii) f() 3 7 iii) f()= Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f() = 3 ii) f() = 3 iii) f() = e 3 ( ) 3 Nα βρεθεί η τιμή του α R, ώστε η γραφική παράσταση της f()= να έχει ασύμπτωτη την ευθεία ψ=3-7 4 Nα προσδιοριστούν οι α,β R ώστε i) lim ( α-β) ii) lim (e ) iii) lim ( )

36 5 Αν η ευθεία ψ=3χ+4 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f: R στο +, να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε: f () 6 lim f () Έστω οι συναρτήσεις f: (,+ ) για τις οποίες ισχύει g () = f ()- για κάθε (,+ ) και οι C f και C g τέμνονται πάνω στην ευθεία = Αν η C f έχει ασύμπτωτη στο + τον άξονα χ χ, να βρείτε στο + την ασύμπτωτη της C g Έστω μια συνάρτηση f: (,+ ) για την οποία ισχύει > Να δείξετε ότι ο άξονας χ χ είναι ασύμπτωτη της C f e f () για κάθε 8 Έστω μια συνάρτηση f: (,+ ) με f () = 3 για κάθε > Αν η ευθεία ε: ψ = - είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f να βρείτε την f 9 Έστω οι συναρτήσεις f,g: (,+ ) με g() = f()++ln(+)-ln για κάθε > Αν η ευθεία ψ = +3 είναι ασύμπτωτη της C f στο +, να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο + 4

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ. 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.

ΟΡΙΣΜΟΣ. 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια. ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Αν f : R R παραγωγίσιμη συνάρτηση, να δείξετε ότι: α) Αν f άρτια τότε f περιττή β) Αν f περιττή τότε f άρτια.. Aν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0 και f(0) 0, να δείξετε ότι η συνάρτηση g()= f()

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης. Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 2ος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης. Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 2ος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος ος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Παν/μίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης lisari.blogspot@gmail.com 13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο ο - Κατεύθυνσης (Τελευταία ενημέρωση: 3/1/16) 13 Μαθήματα 34 Ερωτήσεις θεωρίας 177 Άλυτες ασκήσεις _+ 5 ασκήσεις σχολικού βιβλίου Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού 4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

3) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (3,5) με f (x)>0, για κάθε x (3,5). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 4 με

3) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (3,5) με f (x)>0, για κάθε x (3,5). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 4 με Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 1) Δίνεται η συνάρτηση με '(0) 0. 3, ( ) 0, 0 0. Να δείξετε ότι ) Δίνεται η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0. a, ( ) 5,.α, β=; ώστε η να 3) Μία συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R. 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ρυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής)

Ρυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής) Ρυθμός μεταβολής (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.4 Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής lisari.blogspot@gmail.com Περιεχόμενα. Θεωρία.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα