Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού «Αριθµητική Ανάλυση» -

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 2001-02 «Αριθµητική Ανάλυση» -"

Transcript

1 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΤΙ ΕΙΝΑΙ MOTE CARLO.... ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ....3 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ....4 ΓΙΑΤΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ....5 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΗ ΜΟΡΦΗ ΤΗΣ MOTE CARLO ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΤΡΙΑ ΚΥΡΙΟΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΜC ΠΩΣ ΠΡΟΣΠΑΘΟΥΜΕ ΝΑ ΒΕΛΤΙΩΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ Η ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ MOTE CARLO ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS ΚΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΩΝ 3 ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ TO ΓΕΝΙΚΟ ΣΧΗΜΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ MOTE CARLO ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ MOTE CARLO Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΟΤΑΝ ΠΑΡΟΥΜΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ Τ.Μ ΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ MOTE CARLO ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΛΕΓΜΑ (GRID BASED METHODS) ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΟ ΟΧΗΣ - ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ ΜΕΙΩΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ATITHETIC VARIABLES) ΜΕΤΑΒΛΗΤΈΣ ΕΛΈΓΧΟΥ (COTROL VARIABLES) MATCHIG MOMETS ΜΈΘΟ ΟΣ ΙΑΣΤΡΩΜΑΤΩΜΕΝΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED SAMPLIG) ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (IMPORTACE SAMPLIG)... 3 Ενα Αριθµητικό Παράδειγµα... 5 Εκτιµήσεις Σφαλµάτων ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΙΜΕΣ MOTE CARLO ΜΕΘΟ ΟΣ VEGAS QUASI-ΜOTE CARLO ΜΈΘΟ ΟΙ MOTE CARLO ΕΝΑΝΤΊΟΝ QUASI-MOTE CARLO ΑΣΥΜΦΩΝΊΑ (DISCREPACY) KOKSMA-HLAWKA ΑΝΙΣΌΤΗΤΑ ΜΕΣΟ ΣΦΑΛΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ QUASI-ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

2 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. Εισαγωγή. Τι είναι Monte Carlo Η έκφραση µέθοδος Monte Carlo είναι πολύ γενική. Περιλαµβάνει κυρίως στοχαστικές διαδικασίες, εκείνες δηλαδή που βασίζονται στην χρήση των τυχαίων αριθµών και της στατιστικής για την λύση προβληµάτων. Γενικά, η µέθοδος Monte Carlo είναι µια αριθµητική µέθοδος για την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων µέσω προσοµείωσης τυχαίων αριθµών. Χρησιµοποιείται δε στην προσοµείωση (simulation) και στην ολοκλήρωση (integration). Μιλώντας γενικά, κάθε πείραµα στο οποίο χρησιµοποιούνται τυχαίοι αριθµοί για την εξέταση του προβλήµατος, λέγεται Monte Carlo πείραµα.. Που εφαρµόζεται Μέθοδοι Monte Carlo εφαρµόζονται σε πάρα πολλούς επιστηµονικούς τοµείς, από την οικονοµία εώς την πυρηνική φυσική και την χηµεία και ακόµη ως τη ρύθµιση της κυκλοφορίας..3 Ποια είναι η προέλευσή της Η µέθοδος "γεννήθηκε" το 949, σε ένα άρθρο των. Metropolis & S. Ulam µε τίτλο "Η µέθοδος Monte Carlo" στο Journal of the American Statistics Association. Παρόλα αυτά η θεωρητική βάση της µεθόδου ήταν γνωστή πριν από το 949, αφού αρκετά προβλήµατα στατιστικής λύνονταν µέσω τυχαίας δειγµατοληψίας, που είναι στην ουσία η µέθοδος Monte Carlo. Λόγω του γεγονότος ότι η προσοµείωση τυχαίων µεταβλητών είναι µια δύσκολη διαδικασία για να γίνει χειρωνακτικά, η γενική αριθµητική χρήση της µεθόδου έγινε πρακτική µόνο µε την εµφάνιση και εξέλιξη των υπολογιστών. Η µέθοδος δανείστηκε το όνοµα της πόλης του Πριγκηπάτου του Monaco, που είναι γνωστό για τα καζίνο του, γιατί µια από τις απλούστερες συσκευές παραγωγής τυχαίων αριθµών είναι η ρουλέτα..4 Γιατί την χρησιµοποιούµε Η χρήση των µεθόδων Monte Carlo στη µοντελοποίηση φυσικών προβληµάτων µας επιτρέπει να εξετάσουµε πολύπλοκα συστήµατα που αλλιώς θα ήταν από δύσκολο εώς αδύνατο. Η επίλυση εξισώσεων που περιγράφουν την αλληλεπίδραση δύο ατόµων είναι σχετικά εύκολη Η λύση όµως των ίδιων εξισώσεων για εκατοντάδες ή χιλιάδες άτοµα είναι αδύνατη. Με τις µεθόδους Monte Carlo, ένα µεγάλο σύστηµα µπορεί να δειγµατιστεί σε έναν αριθµό τυχαίων ρυθµίσεων, και αυτά τα δεδοµένα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να περιγράψουµε το σύστηµα σαν σύνολο. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

3 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.5 Ποιά είναι η απλούστερη µορφή της Monte Carlo Η ολοκλήρωση µε τη Επιτυχία ή Αστοχία (Hit or Miss) είναι το απλούστερο είδος Monte Carlo. Παράδειγµα Επιτυχίας ή Αστοχίας: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδόν ενός επίπεδου σχήµατος Σ. Μπορεί το σχήµα να είναι τελείως αυθαίρετο µε καµπυλόγραµµα όρια, µπορεί να δίνεται γραφικά ή αναλυτικά και µπορεί να είναι είτε ενιαίο είτε να αποτελείται από πολλά τµήµατα. Έστω Σ η περιοχή που είναι σχεδιασµένη στο παρακάτω σχήµα και η οποία υποθέτουµε ότι βρίσκεται ολόκληρη εντός του µοναδιαίου τετραγώνου. ιαλέγουµε τυχαία Ν σηµεία στο τετράγωνο και ορίζουµε ως Ν' τον αριθµό των σηµείων που τυχαίνει να "πέφτουν" εντός του Σ. Τότε είναι γεωµετρικά προφανές ότι το εµβαδόν του Σ είναι προσεγγιστικά ίσο µε το λόγο: Ν / Ν. Όσο µεγαλύτερο είναι το Ν, τόσο πιο µεγάλη είναι η ακρίβεια αυτής της εκτίµησης. Ο αριθµός των σηµείων του σχήµατος είναι Ν = 40. Απο αυτά Ν = είναι µέσα στην περιοχή Σ. Ο λόγος Ν /Ν= /40 = 0.30, ενώ το πραγµατικό εµβαδόν του Σ είναι Πρακτικά, η µέθοδος Hit or Miss δεν χρησιµοποιείται για ευρεση του εµβαδού ενός επίπεδου σχήµατος, και αυτό διότι υπάρχουν µέθοδοι - τύποι σύγκλισης που αν και είναι πιο πολύπλοκοι µαθηµατικά, είναι πολύ πιο ακριβείς, Παρόλα αυτά η µέθοδος "Επιτυχίας ή Αστοχίας" του παραδείγµατος αυτού, µας επιτρέπει να εκτιµήσουµε, το ίδιο απλά, το "πολυδιάστατο όγκο" ενός σώµατος σε πολλές διαστάσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η MC είναι συχνά η µόνη αριθµητική µέθοδος που είναι χρήσιµη στην επίλυση του προβλήµατος. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 3

4 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.6 Ποιά είναι τα τρία κυριότερα χαρακτηριστικά των µεθόδων ΜC Η Monte Carlo είναι πολύ απλή. Ενα στοιχείο που χαρακτηρίζει την MC είναι η απλή δοµή του υπολογιστικού αλγόριθµου. Σαν κανόνας, το πρόγραµµα πρέπει να διεκπεραιώσει µια τυχαία δοκιµή (στο προηγούµενο παράδειγµα της "Eπιτυχίας ή Aστοχίας" πρέπει κανείς να ελέγξει αν ένα επιλεγµένο τυχαίο σηµείο του τετραγώνου βρίσκεται επίσης µέσα στην περιοχή Σ). Αυτή η δοκιµή επαναλαµβάνεται Ν φορές, µε κάθε δοκιµή ανεξάρτητη από τις προηγούµενες, και µετά τα αποτελέσµατα των δοκιµών παίρνονται κατά µέσο όρο. Η µέθοδος µπορεί να είναι εξαιρετικά αργή. Για παράδειγµα στην ολοκλήρωση, το λάθος των υπολογισµών είναι ανάλογο µε D /, όπου D είναι κάποια σταθερά και Ν ο αριθµός των δοκιµών. Γίνεται προφανές έτσι ότι για να µειώσει κανείς το λάθος κατά ένα παράγοντα 0 (δηλαδή να αποκτήσει ακόµη ένα δεκαδικό ψηφιο) απαιτείται να αυξήσει το Ν κατά 00 (και την ποσότητα εργασίας) Η µέθοδος είναι πολύ δυνατή στα πολυδιάστατα προβλήµατα, όπου και χρησιµοποιείται κυρίως, γιατί γενικά η ακρίβεια της εξαρτάται µόνο από την πολυπλοκότητα του προβλήµατος. Στην ολοκλήρωση, όπως θα δούµε / αργότερα, συγκλινει µε ρυθµό O( ) που είναι ανεξάρτητο των διαστάσεων του ολοκληρώµατος. Για αυτό το λόγο, η µέθοδος MC είναι η µόνη βιώσιµη σε ένα µεγάλο πεδίο προβληµάτων πολλών διαστάσεων, από την φυσική ως την οικονοµία. Λόγω των παραπάνω χαρακτηριστικών της µεθόδου, της εύκολης χρήσης, της εφαρµοσιµότητας σε πολλά πεδία, αλλά και της αργής σύγκλισης ένα µεγάλο ποσο υπολογιστικού χρόνου δαπανάται σε υπολογισµούς µε την Monte Carlo. Για αυτό το λόγο, ακόµα και µέτριες βελτιώσεις στην µέθοδο µπορεί να έχουν ουσιαστικό αντίκτυπο στην αποτελεσµατικότητα και την εφαρµοσιµότητά της..7 Πως προσπαθούµε να βελτιώσουµε την µέθοδο Ο κύριος τρόπος για να βελτιώσουµε την ταχύτητα των υπολογισµών Monte Carlo είναι η µείωση της διασποράς (Variance Reduction). Οι µέθοδοι Μείωσης της ιασποράς της Monte Carlo αποσκοπούν να επιταχύνουν τον ρυθµό / σύγκλισης µειώνοντας την σταθερά µπροστά από τον O( ) χρησιµοποιώντας (ψευδο-) τυχαίες (pseydo-random) ακολουθίες αριθµών. Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι να αλλάξουµε ακολουθίες από (ψευδο-) τυχαίους αριθµούς σε quasi-τυχαίους αριθµούς (quasi-random). Το χαρακτηριστικό αυτών είναι όπως θα δούµε πως δεν προσπαθούν να µιµηθούν την συµπεριφορά των Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 4

5 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - τυχαίων ακολουθιών, αλλά τα στοιχεία των quasi-τυχαίων ακολουθιών είναι συσχετισµένα ώστε να γίνουν ηθεληµένα πιο οµοιόµορφα από τις «καθαρά» τυχαίες ακολουθίες..8 Περισσότερα για το παράδειγµα Επιτυχίας ή Αστοχίας Πώς γίνεται η επιλογή των σηµείων στο παράδειγµα αυτό; Έστω ότι µια µεγενθυµένη εκδοχή του σχήµατος κρέµεται σε έναν τοίχο σαν στόχος. Σε κάποια απόσταση από τον τοίχο, ένας σκοπευτής πυροβολεί Ν φορές, στοχεύοντας στο κέντρο το τετραγώνου. Υποθέτουµε ότι η απόσταση από τον τοίχο είναι αρκετά µεγάλη (και ότι ο σκοπευτής δεν είναι ο παγκόσµιος πρωταθλητής ). Τότε, φυσικά, οι σφαίρες δεν θα πετύχουν το κέντρο, αλλά θα χτυπήσουν τον στόχο σε Ν τυχαία σηµεία. Μπορούµε να βρούµε τότε το εµβαδόν του Σ από αυτά τα σηµεία; Το αποτέλεσµα ενός τέτοιου πειράµατος φαίνεται στο παραπάνω σχήµα. Σε αυτό, έχουµε Ν = 40, Ν = 4 και ο λόγος είναι Ν /Ν = 0.60, που είναι σχεδόν διπλάσιο από το πραγµατικό εµβαδόν (0.35). Γίνεται τότε προφανές ότι εάν ο σκοπευτής ήταν πάρα πολύ ικανός, το αποτέλεσµα θα ήταν πολύ παραπλανητικό, διότι σχεδόν όλες οι σφαίρες θα χτυπούσαν τον στόχο κοντά στο κέντρο και φυσικά εντός του Σ. Αντιλαµβάνεται, λοιπόν, κανείς ότι η µέθοδος του υπολογισµού εµβαδού είναι έγκυρη, όταν τα τυχαία σηµεία είναι όχι µόνο "τυχαία" αλλά επιπλέον και "οµοιόµορφα κατανεµηµένα" σε όλο το τετράγωνο. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 5

6 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. Στοιχεία Στατιστικής στην Monte Carlo. Νόµος των Μεγάλων αριθµών Έστω µια διακριτή τυχαία µεταβλητή Χ. Εάν παρατηρήσουµε την µεταβλητή Χ αρκετές φορές και πάρουµε τις τιµές ξ, ξ,, ξ Ν, που κάθε µια θα είναι ίση µε ένα από τους αριθµούς x, x, x3,, x n που είναι οι δυνατές τιµές της Χ, τότε ο αριθµητικός µέσος όρος αυτών των τιµών θα είναι κοντά στην µέση τιµή Ε(Χ), δηλαδή : ( ξ + ξ + + ξ Ν ) E( X ) Ν και η διασπορά Var(Χ) χαρακτηρίζει την διακύµανση των τιµών αυτών γύρω από τη µέση τιµή Ε(Χ). Επίσης για θα έχουµε ότι lim ξ j = E( X ) Η παραπάνω εξίσωση είναι µια απλή περίπτωση του Νόµου των µεγάλων αριθµών και µπορεί να επεξηγηθεί ως εξής: Υποθέτουµε ότι µεταξύ των τιµών ξ, ξ,, ξ Ν, ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές, ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές, κ.ο.κ. και ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές. Τότε: Έτσι: j= j n ξ = x k + x k x k k k ξ j = x + x x j= Για µεγάλο Ν, η συχνότητα pi,έτσι ώστε k p. Ετσι θα έχουµε : i i j= ξ n n n n k n k i της τιµής προσεγγίζει την πιθανότητα της k x i n n i j = xi xi pi = i i= E( X ) j=. Η κατανοµή Gauss και ο κανόνας των 3 αποκλίσεων Μια κανονική (ή Gauss) τυχαία µεταβλητή είναι µια τυχαία µεταβλητή X που ορίζεται στο R και έχει πυκνότητα πιθανότητας: ( x µ ) p ( = exp σ π σ όπου µ και σ > 0 είναι πραγµατικές παράµετροι. Αποδεικνύεται ότι η µέση τιµή και η διασπορά µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής είναι αντίστοιχα: E( X ) = µ και Var( X ) = σ Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 6

7 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η συνάρτηση Φ( = π x t e 0 / dt λέγεται συνάρτηση σφάλµατος (error function) και συνήθως χρησιµοποιείται ένας πίνακας τιµών της για να πάρουµε αυθαίρετες πιθανότητες µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής X. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Έστω ότι θέλουµε να βρούµε την πιθανότητα: b ( x µ ) P a X b ( < < ) = exp dx σ π α σ Κάνουµε την αντικατάσταση: x - µ = σ t και παίρνουµε: όπου t t P a X b dt t ( < < ) = exp π = a µ ) / σ και t = ( β µ ) / σ ( t Έτσι φτάνουµε στη σχέση: P ( a < X < b) = ( Φ( ) Φ( )) t t που χρησιµοποιούµε για να πάρουµε τις ζητούµενες πιθανότητες της Χ. Οι πινακες τιµών της Φ περιέχουν µόνο θετικές τιµές του x, αφού ισχύει: Φ(- = - Φ(. Έστω τώρα ότι θέτουµε α=µ-3σ και b=µ+3σ. Τότε t = 3 και t = 3 και η σχέση που µας δίνεται την πιθανότητα της Χ γίνεται: P ( µ 3 σ < Χ < µ + 3σ ) = Φ(3) = ηλαδή µε πιθανότητα (σχεδόν ), µια τυχαία δοκιµή από την κανονική κατανοµή θα µας δώσει µια τιµή της Χ που δεν θα απέχει από την µέση τιµή της περισσότερο από τρεις αποκλίσεις («κανόνας των 3 σ»)..3 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Ας θεωρήσουµε ίδιες ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές X, X,..., X, έτσι ώστε οι κατανοµές πιθανοτήτων τους να συµπίπτουν. Συµπερασµατικά, οι µέσες τους τιµές και οι διασπορές θα συµπίπτουν επίσης (υποθέτουµε ότι είναι πεπερασµένες). Αυτές οι τυχαίες µεταβλητές µπορούν να είναι συνεχείς ή διακριτές. Ας ορίσουµε: Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 7

8 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - E( X Var( X ) = E( X ) = Var( X ) =... = E( X ) = m ) =... = Var( X ) = b ηλώνουµε το άθροισµα όλων των µεταβλητών µε S : S = X + X X Από τις ιδιότητες E ( Χ + Υ) = E( Χ) + E( Υ) και Var ( Χ + Υ) = Var( Χ) + Var( Υ) έχουµε ότι: E( S ) = E( Χ + Χ Χ ) = E( Χ) + E( Χ ) E( Χ ) = m και Var( S b ) = Var( Χ + Χ Χ ) = Var( Χ) + Var( Χ ) Var( Χ ) = Ας θεωρήσουµε τώρα µια κανονική τυχαία µεταβλητή µε τις ίδιες παραµέτρους, δηλαδή µ = m και σ = b. Η πυκνότητα πιθανότητας της συµβολίζεται µε: p (. Τότε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) λέει ότι για κάθε διάστηµα ( x', x'') και για όλα τα µεγάλα έχουµε: P( x' < S < x' ') x'' x' p ( dx Η φυσική σηµασία του θεωρήµατος αυτού είναι προφανής: το άθροισµα S ενός µεγάλου αριθµού ίδιων ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών είναι προσεγγιστικά µια κανονική τυχαία µεταβλητή. Στην πραγµατικότητα, αυτό το θεώρηµα ισχύει και κάτω από πολύ πιο αδύναµες συνθήκες: οι µεταβλητές X, X,..., X να µην είναι απαραίτητα πανοµοιότυπες και ανεξάρτητες, ουσιαστικά δηλαδή αυτό που απαιτείται είναι οι µεµονωµένες µεταβλητές µην παίζουν πολύ µεγάλο ρόλο στο άθροισµα. Αυτό το θεώρηµα είναι που εξηγεί γιατί οι κανονικές τυχαίες µεταβλητές συναντώνται τόσο συχνά στη φύση. Πράγµατι, όταν συναντάµε µια αθροιστική επίδραση ενός µεγάλου αριθµού µικρών τυχαίων παραγόντων, η προκύπτουσα (αθροιστική) τυχαία µεταβλητή είναι κανονική. Για παράδειγµα, ο διασκορπισµός των όλµων πυροβολικού είναι σχεδόν πάντα κανονική τυχαία µεταβλητή, αφού εξαρτάται από τις καιρικές συνθήκες καθ'όλες τις διαφορες περιοχές της τροχιάς όπως επίσης και απο πολλούς άλλους παράγοντες. Ζ X j να Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 8

9 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.4. To γενικό σχήµα των µεθόδων Monte Carlo To γενικό σχήµα των µεθόδων MC βασίζεται στον Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα και στον κανόνα των 3 αποκλίσεων. Υποθέτουµε ότι χρειάζεται να υπολογίσουµε κάποια άγνωστη ποσότητα m. Ας προσπαθήσουµε να βρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ µε µέση τιµή Ε(Χ)=m. Έστω ότι η διασπορά της Χ είναι Var ( X ) = b. Θεωρούµε ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές X, X,..., X µε κατανοµές πανοµοιότυπες µε εκείνη της Χ. Εάν το είναι αρκετά µεγάλο, τότε έπεται από το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα ότι η κατανοµή του αθροίσµατος S = X + X X θα είναι προσεγγιστικά κανονική, µε παραµέτρους: Σύµφωνα µε τον κανόνα των "τριών σ" θα έχουµε: µ = m και σ = b. ( m 3b < S < m + 3b ) P Αν διαιρέσουµε την ανισότητα της παρένθεσης µε Ν, παίρνουµε µια ισοδύναµη ανισότητα, της οποίας η πιθανότητα παραµένει η ίδια: P m 3b S < < m + 3b Ξαναγράφουµε την τελευταία έκφραση σε κάπως διαφορετική µορφή: P X m < 3b j j= Αυτή είναι µια πολύ σηµαντική σχέση για την µέθοδο MC, που µας δίνει και την µέθοδο υπολογισµού της m αλλά και µια προσέγγιση του λάθους. Πράγµατι, αρκεί να πάρουµε τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ - η επιλογή µιας τιµής από κάθε µια από τις X, X,..., X είναι ισοδύναµη µε την επιλογή Ν τιµών της Χ, αφού όλες αυτές οι τυχαίες µεταβλητές έχουν ίδιες κατανοµές και να πάρουµε τη δειγµατική µέση τιµή τους. Για αυτό και στην βιβλιογραφία, αυτό το σχήµα λέγεται και Sample Mean Monte Carlo. Από την παραπάνω εξίσωση, γίνεται φανερό ότι ο αριθµητικός µέσος αυτών των τιµών θα είναι προσεγγιστικά ίσος µε τη ζητούµενη ποσότητα m. Με κάθε πιθανότητα, το σφάλµα της προσέγγισης δεν ξεπερνά το 3 b και προσεγγίζει το µηδεν καθώς το Ν αυξάνει. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 9

10 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - 3. Ολοκλήρωση Monte Carlo 3. Η µέθοδος του υπολογισµού Θεωρούµε µια συνάρτηση f ( ορισµένη στο διάστηµα α < x < b. Θέλουµε να υπολογίσουµε προσεγγιστικά το ολοκλήρωµα: I = b a f ( dx Ξεκινάµε επιλέγοντας µια αυθαίρετη πυκνότητα κατανοµής p( ορισµένη στο διάστηµα (α, b) - µε άλλα λόγια µια αυθαίρετη συνάρτηση που ικανοποιεί τις εξισώσεις. p( > 0. b a p( dx = Θεωρούµε µια τυχαία µεταβλητή X µε πυκνότητα p( στο διάστηµα (α, b), και επιπλέον µια τυχαία µεταβλητή Y = g( X ) = f ( X ) p( X ) Από την ιδιότητα: b b f ( E ( g( X )) = g( p( dx θα έχουµε: E ( Y ) = p( dx = I p( a a Τώρα, θεωρούµε Ν ανεξάρτητες, τυχαίες µεταβλητές Y, Y,..., Y µε την ίδια κατανοµή µε την Y και εφαρµόζουµε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα για το άθροισµά τους, το οποίο θα είναι µια τυχαία µεταβλητή προσεγγιστικά κανονική µε παραµέτρους a = I, σ = Var( Y ) Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουµε από τον κανόνα των 3σ: P a 3σ < S < a + 3σ P ( ) ( I 3 Var( Y ) < S < I + 3 Var( Y ) ) 3 P I P Var( Y ) S < Y I < 3 j j= 3 < I + Var( Y ) Var( Y ) ( II) Από την τελευταία σχέση, έχουµε ότι εάν διαλέξουµε Ν τιµές ξ, ξ,..., ξ, τότε για Ν αρκετά µεγάλο θα έχουµε ότι: f ( ξ j ) I ( III) p( ξ j= j ) Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 0

11 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η σχέση (II) επίσης µας δίνει και ένα πιθανοθεωρητικό άνω φράγµα του Var( Y ) σφάλµατος της προσέγγισης της (ΙΙΙ), το οποίο θα είναι 3. Για αυτό και λέµε ότι το σφάλµα της Monte Carlo ολοκλήρωσης είναι της τάξης O. 3. Το σχήµα της ολοκλήρωσης όταν πάρουµε οµοιόµορφη τ.µ. Θεωρούµε το µονοδιάστατο ολοκλήρωµα I = f ( dx. 0 Σύµφωνα λοιπόν µε το σχήµα των µεθόδων Monte Carlo, εάν θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της συνάρτησης f (, αρκεί να βρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ της οποίας η µέση τιµή να είναι ίση µε ολοκλήρωµα της f (. Έστω Χ να είναι µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή στο [0,], δηλαδή η πυκνότητα της θα είναι ίση µε φ ( =. Η µέση ή αναµενόµενη τιµή τότε της f ( στο διάστηµα [0,] είναι: E X [ f ( ] = = 0 0 f ( φ( dx f ( dx όπου η E X [] είναι η µέση τιµή σε σχέση µε την τυχαία µεταβλητή Χ. Έστω xi µια τυχαία δοκιµή από την κατανοµή Χ ~ U[0,]. Γνωρίζουµε από τον νόµο των µεγάλων αριθµών ότι : E X [ f ( ] = lim i= f ( x ) Άρα µπορούµε να προσεγγίσουµε το ολοκλήρωµα τυχαίες δοκιµές-αριθµούς από την Χ σύµφωνα µε τον τύπο: Iˆ n = f ( xi ) f ( dx i= 0 i 0 f ( dx χρησιµοποιώντας Σύµφωνα µε τον ισχυρό Νόµο των µεγάλων αριθµών αυτή η προσέγγιση συγκλίνει µε πιθανότητα. ηλαδή ˆ lim I = I Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

12 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Αφού η προσέγγιση βασίζεται σε µια τυχαία µεταβλητή, το προσεγγιστικό ολοκλήρωµα είναι και αυτό µια τυχαία µεταβλητή µε διασπορά ίση µε: V ( Iˆ ) = = = V ( f ( ) E E [( f ( E[ f ( ]) ] [( f ( I ) ] Ένας αµερόληπτος εκτιµητής της V ( f ( ) είναι ως γνωστόν: V ˆ( f ( ) = i= ( ˆ ) f ( ) x i I Έτσι η εκτιµώµενη διασπορά του εκτιµητή του ολοκληρώµατος (της προσέγγισης) είναι: V ˆ( Iˆ ) ( f ( xi ) Iˆ ) i= Παρατήρηση: Πρέπει να τονίσουµε ότι κάθε προσέγγιση ολοκλήρωσης Monte Carlo θα πρέπει να συνοδεύεται µε αναφορά για την διασπορά. Αλλιώς θα είναι σαν να αναφέρουµε µια εκτίµηση χωρίς το τυπικό σφάλµα, δηλαδή πάνω κάτω άσκοπο. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουµε την τάξη του προσεγγιστικού σφάλµατος. 3.3 Το σφάλµα της ολοκλήρωσης Monte Carlo Ορίζουµε το σφάλµα της Monte Carlo σαν: ε [ f ] = I ˆ, δηλαδή Ν ε [ f ] = I f ( dx d x i I i= και το το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (Root Mean Square Error (RMSE) ) της MC ολοκλήρωσης που χρησιµοποιεί (ψευδο-)τυχαίες ακολουθίες: E[ ε[ f ] ] / f ( ) Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα περιγράφει το µέγεθος και τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλµάτων της ολοκλήρωσης Monte Carlo. Θεώρηµα: Για Ν µεγάλο, έχουµε Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

13 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - / ε Ν[ f ] σ Ν ν όπου ν είναι η τυπική (Ν(0,)) τυχαία µεταβλητή και η σταθερά σ είναι η τυπική απόκλιση, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της διασποράς της f : σ = x ( f ( I ) D dx Το θεώρηµα αυτό µας λέει ότι το σφάλµα της Monte Carlo είναι της τάξης του / O( ) µε µια σταθερά µπροστά που είναι ακριβώς η διασπορά της συνάρτησης f. Επιπλέον η κατανοµή του σφάλµατος είναι προσεγγιστικά κανονική. Αφού το φράγµα του σφάλµατος από το Κ.Ο.Θ. είναι πιθανοθεωρητικό, η ακρίβεια της µεθόδου µπορεί να διασφαλιστεί µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης c. Για να είµαστε σίγουροι ότι το σφάλµα είναι µεγέθους το πολύ ε µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης c, απαιτείται ο αριθµός των σηµείων που χρησιµοποιούµε να είναι: = ε σ s( c) όπου s είναι η συνάρτηση εµπιστοσύνης (confidence function) για µια κανονική τυχαία µεταβλητή. ηλαδή: s( c) c = e s( c) c / dx / π = erf / ( s( c) / ) Στην πράξη είναι δύσκολο να βρούµε την ακριβή τιµή της διασποράς, άρα και της απόκλισης, για αυτό οι παραπάνω τύποι δεν εφαρµόζονται άµεσα. Γι αυτό χρησιµοποιούµε την εµπειρική διασπορά και σφάλµα. Επαναλαµβάνουµε το πείραµα Monte Carlo Μ φορές χρησιµποιώντας ανεξάρτητα σηµεία για i M. Για κάθε επανάληψη παίρνουµε τιµές I για j M. Τότε το εµπειρικό µέσο τετραγωνικό σφάλµα είναι : / M ( j ) ε ( I I ) όπου έχουµε: I Ν = Μ j= M ( j) = I M j= τότε η εµπειρική διασπορά δίνεται από τη σχέση: σ = Ν / ε Ν ( j) x i Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 3

14 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Αυτήν την τιµή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στην σχέση = ε σ s( c) για να βρούµε το πλήθος των σηµείων που απαιτούνται για µια δεδοµένη ακρίβεια ε και ένα επίπεδο εµπιστοσύνης c. 3.4 Επέκταση στην πολυδιάστατη περίπτωση Η επέκταση στην γενική πολυδιάστατη περίπτωση είναι αρκετά απλή. Έστω n D R να είναι ένα ν-διάστατο πεδίο πάνω στο οποίο θέλουµε να υπολογίσουµε ένα ολοκλήρωµα f ( dx όπου f ( : R n R. Έστω X D να είναι µια x D τυχαία µεταβλητή πάνω στο πεδίο D µε οµοιόµορφη κατανοµή φ ( = έτσι vol( D) ώστε να ισχύει: φ ( dx =. Τότε το ολοκλήρωµα είναι µια αναµενόµενη τιµή: x D f ( f ( dx = φ( dx = φ( x D i= x D f ( = E = vol( D) φ( n vol( D) f ( x i ) n E( f ( ) x i όπου να είναι µια τυχαία δοκιµή από εκείνη την κατανοµή, δηλαδή ένα διάνυσµα τυχαίων τιµών. Τα κυριότερα προβλήµατα στην ολοκλήρωση Monte Carlo είναι: Τυχαίες οκιµές: Πρέπει να δοκιµάζουµε µε τυχαίους αριθµούς από την "σωστή" κατανοµή. Μείωση ιασποράς: Για να ελαχιστοποιήσουµε το σφάλµα της προσέγγισης (τη διασπορά του εκτιµητή). 3.5 Σύγκριση µε µεθόδους που βασίζονται σε πλέγµα (grid based methods) Πως µπορεί µια µέθοδος που βασίζεται σε τυχαίους αριθµούς να είναι καλύτερη από τις κλασσικές µεθόδους που βασίζονται σε πλέγµατα; Ας συγκρίνουµε τον ρυθµό σύγκλισης της Monte Carlo µε αυτόν µιας αριθµητικής µεθόδου ολοκλήρωσης, π.χ. της µεθόδου Simpson. Ο ρυθµός σύγκλισης µιας µεθόδου k / d O, όπου k η τάξη της µεθόδου και d ο του είδους ewton-cotes είναι ( ) Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 4

15 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - αριθµός των διαστάσεων. Ο ρυθµός σύγκλισης όµως της µεθόδου Monte Carlo είναι όπως είδαµε O ( / ) και είναι ανεξάρτητος των διαστάσεων. Έτσι, µπορούµε να πούµε ότι η Monte Carlo υπερισχύει των µεθόδων ewton-cotes εάν k / d </ Μια πιο ρεαλιστική εξήγηση είναι ότι είναι πρακτικά αδύνατο να δηµιουργήσουµε ένα πλέγµα σε πολλές διαστάσεις. Το απλούστερο πλέγµα για έναν κύβο d d διαστάσεων απαιτεί σηµεία. Για 0 διαστάσεις, που δεν είναι ιδιαίτερα µεγάλος αριθµός για εφαρµογές, απαιτούνται περισσότερο από ένα εκατοµµύριο σηµεία. Επιπλέον είναι αδύνατο να εκλεπτύνουµε ένα πλέγµα σε πολλές διαστάσεις αφού µια τέτοια εκλέπτυνση απαιτεί αύξηση των σηµείων κατά ένα d παράγοντα του. Σε αντίθεση µε αυτά, η ακρίβεια της Monte Carlo δεν εξαρτάται από τις διαστάσεις και κάθε επιπλέον σηµείο που προστίθεται στον υπολογισµό προσδίνει µια αυξητική βελτίωση στην ακρίβειά της. 4. Παραγωγή τυχαίων αριθµών Όπως είδαµε, στα προηγούµενα θεωρήσαµε κυρίως για απλούστευση ότι χρησιµοποιούµε τυχαίες µεταβλητές απο την οµοιόµορφη κατανοµή στην ολοκλήρωση Monte Carlo. εν ισχύει όµως πάντα αυτό. Μπορεί να χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε τυχαίους αριθµούς από µια άλλη κατανοµή. Οι συνήθεις γεννήτριες τυχαίων αριθµών στους υπολογιστές µας δίνουν τυχαίες µεταβλητέςαριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή. Για να πάρουµε τυχαίους αριθµούς από µη-οµοιόµορφες κατανοµές κάνουµε µετασχηµατισµό των οµοιόµορφων τυχαίων µεταβλητών. Παρακάτω παρουσιάζουµε µερικές µεθόδους για την παραγωγή µη οµοιόµορφων τυχαιών µεταβλητών. 4. Μέθοδος Μετασχηµατισµού Έστω ότι θέλουµε να κάνουµε µια τυχαία δοκιµή από µια τυχαία µεταβλητή X που έχει συνάρτηση κατανοµής F (. Ξέρουµε ότι η F(X ) είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,], αφού < F P(F(X) < u) = P(X ( u)) = F( F ( u)) = u. Αυτό συνεπάγεται ότι αν η U είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,], τότε η F ( U ) είναι κατανεµηµένη σαν την X. Έτσι αρκεί να βρούµε την αντίστροφη της συνάρτησης κατανοµής F() και να εφαρµόσουµε αυτήν σε µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία δοκιµή u για να πάρουµε µια τυχαία δοκιµή-αριθµό από την ζητούµενη κατανοµή. Μπορεί, όµως, να υπάρχουν ουσιαστικά προβλήµατα στην Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 5

16 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - εύρεση ή την προσέγγιση της αντίστροφης συνάρτησης της F(). Παράδειγµα 4.. Πως µπορούµε να πάρουµε µια τυχαία δοκιµή από την εκθετική κατανοµή λx F( = λ e Βρίσκουµε την αντίστροφή της συνάρτηση: u F ( u) = ln λ λ Κάνοντας µια τυχαία δοκιµή παίρνουµε µια εκθετικά κατανεµηµένη τυχαία δοκιµή. u από την U[0,] και θέτοντας x = F ( ) i x i i u i Παράδειγµα 4.. Πως µπορούµε να πάρουµε τυχαίους αριθµούς από την κανονική κατανοµή; Μια standard κανονική τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα: p( = exp( x / ) π και αθροιστική συνάρτηση κατανοµής: x F( = exp( t / ) dt = + erf ( x / ) π όπου erf είναι η συνάρτηση σφάλµατος που ορίζεται από : z erf ( z) = exp( t ) dt π 0 Ένας τρόπος τότε για να πάρουµε µια δοκιµή x από την κανονική κατανοµή είναι να εφαρµόσουµε την αντίστροφη της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής F σε µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή y. Θα έχουµε y = F( = + erf ( x / ) οπότε: x = erf y ( ) Για κάποιες κοινά χρησιµοποιούµενες κατανοµές, όπως η κανονική κατανοµή, υπάρχουν περισσότερο αποτελεσµατικοί αλγόριθµοι για την παραγωγή τυχαίων δοκιµών-αριθµών. Για την κανονική περίπτωση µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει την µέθοδο Box-Muller. Μέθοδος Box - Muller Η µέθοδος Box-Muller παρέχει ένα άµεσο τρόπο για να παράγουµε κανονικές τυχαίες µεταβλητές χωρίς να αντιστρέφουµε την συνάρτηση σφάλµατος. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 6

17 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Ξεκινώντας από δύο οµοιόµορφες µεταβλητές τυχαίες µεταβλητές από τους τύπους: x = log( y ) cos(π y ) x = log( y ) sin(π y ) y, y, παίρνουµε δύο κανονικές Τα µειονεκτήµατα της µεθόδου Box-Muller είναι οτι απαιτεί τον υπολογισµό υπερβατικών συναρτήσεων και ότι παράγει δύο τυχαίες µεταβλητές, ανεξάρτητα αν χρειαζόµαστε µόνο µία. 4. Μέθοδος Αποδοχής - Απόρριψης Έστω ότι θέλουµε να πάρουµε µια τυχαία µεταβλητή y κατανεµηµένη µε πυκνότητα p y (y) στο πεδίο από y ε ώς y. Έστω p MAX η µέγιστη τιµή της πυκνότητας p y (y) στο πεδίο αυτό όπως στο σχήµα. Η µέθοδος έχει ως εξής: Παίρνουµε µια τυχαία τιµή y από το y ε ώς y Υπολογίζουµε την (y) για αυτήν την τιµή y p y Παίρνουµε ένα τυχαίο αριθµό x που είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο πεδίο [ 0, pmax ] Εάν p y ( y) < x απορρίπτουµε τον αριθµό y, αλλιώς τον αποδεχόµαστε. Ακολουθούµε αυτή τη διαδικασία και παίρνουµε την τυχαια µεταβλητή y που είναι κατανεµηµένη σύµφωνα µε πυκνότητα (y) p y Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 7

18 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Παράδειγµα: Θεωρούµε την κανονική κατανοµή µε πυκνότητα: p y ( y) = exp( ( y µ ) / σ ) σ π όπου µ είναι η µέση τιµή και σ η τυπική απόκλιση. Θέτουµε ymin = µ 4σ και ymax = µ + 4σ αφού είναι πολύ µικρή η πιθανότητα να πάρουµε τιµές του y που να απέχουν περισσότερο από τέσσερις αποκλίσεις από την µέση της τιµή. Τότε η µέγιστη τιµή θα είναι: p MAX = σ π µε το µέγιστο να προκύπτει όταν y=µ. Η παρακάτω συνάρτηση της C++ επιστρέφει µια τυχαία µεταβλητή από την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή mean και απόκλιση sigma: // Function to return random variable distributed // according to Gaussian distribution with mean mean // and standard deviation sigma. double gaussian (double mean, double sigma) { double ymin = mean - 4. * sigma; double ymax = mean + 4. * sigma; double Pymax =. / sqrt (. * M_PI) / sigma; // Calculate random value uniformly distributed // in range ymin to ymax double y = ymin + (ymax - ymin) * double (random ()) / double (RADMAX); // Calculate Py double Py = exp (- (y - mean) * (y - mean) /. / sigma / sigma) / sqrt (. * M_PI) / sigma; // Calculate random value uniformly distributed in range 0 to Pymax double x = Pymax * double (random ()) / double (RADMAX); // If x > Py reject value and recalculate if (x > Py) return gaussian (mean, sigma); else return y; } Το παρακάτω σχήµα µας δείχνει την απόδοση της παραπάνω συνάρτησης για ένα εκατοµµύριο σηµεία µε mean=5. και sigma =.5. Οι τιµές έχουν οµαδοποιηθεί σε 00 οµάδες µε εύρος 0.. Το σχήµα δείχνει τον αριθµό των σηµείων που έπεσαν σε κάθε οµάδα διαιρεµένο κατά ένα κατάλληλο παράγοντα κανονικοποίησης. Επίσης φαίνεται η αντίστοιχη Gaussιανή καµπύλη για σύγκριση. Φαίνεται καθαρά ότι η συνάρτηση αυτή πετυχαίνει να µας δώσει µια τυχαία κανονική µεταβλητή. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 8

19 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η µέθοδος έχει τα εξής πλεονεκτήµατα: ) εν απαιτεί τον την αντιστροφή συναρτήσεων κατανοµής. ) ουλεύει ακόµα και αν η πυκνότητα p( δεν έχει κανονικοποιηθεί για να έχει ολοκλήρωµα. Το µόνο της µειονέκτηµα είναι ότι µπορεί να είναι αναποτελεσµατική απαιτώντας πολλές επαναλήψεις πριν έχουµε µια αποδοχή. Μια επέκταση της µεθόδου αποδοχής απόρριψης είναι ο αλγόριθµος Metropolis. 5. Μείωση ιασποράς Όπως είδαµε στα προηγούµενα το σφάλµα ε και ο αριθµός Ν των σηµείων στην ολοκλήρωση Monte Carlo συσχετίζονται µε τις σχέσεις: / ε = O( σ ) = O( σ / ε) Ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για την MC είναι ανάλογος του αριθµού των δειγµάτων και είναι της τάξης του O( σ / ε), που µας δείχνει ότι ο Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 9

20 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - υπολογιστικός χρόνος αυξάνεται ραγδαία καθώς η απαιτούµενη ακρίβεια µεγαλώνει. Υπάρχουν δύο τρόποι για να επιταχύνουµε, να µειώσουµε το σφάλµα, της MC. Ο πρώτος είναι να προσπαθήσουµε να µειώσουµε τη διασπορά, στον οποίο το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται έτσι ώστε να µειωθεί η σταθερά σ. Ο δεύτερος τρόπος, που θα εξετάσουµε παρακάτω, είναι να αντικαταστήσουµε τις τυχαίες τιµές που χρησιµοποιούµε µε µια εναλλακτική ακολουθία quasi-τυχαίοι αριθµοί- που βελτιώνει τον εκθέτη ½. Μια παρατήρηση που πρέπει να κάνουµε ότι οι µέθοδοι που ακολουθούν απαιτούν επιπλέον υπολογιστικό χρόνο, που όµως εξισορροπείται από το κέρδος που έχουµε µε το µειωµένο αριθµό σηµείων Ν. Στα περισσότερα παραδείγµατα, το κέρδος λόγω της µείωσης της διασποράς είναι αρκετά σηµαντικό. 5. Αντίθετες µεταβλητές (Antithetic Variables) Οι αντίθετες µεταβλητές είναι µια από τις απλούστερες και πιο ευρέως χρησιµοποιούµενες µεθόδους µείωσης της διασποράς. Συνήθως οι υπολογισµοί MC χρησιµοποιούν σηµεία που είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Η µέθοδος των αντίθετων µεταβλητών εσκεµµένα χρησιµοποιεί συσχετισµένα σηµεία, εκµεταλλευόµενη το γεγονός ότι µια τέτοια συσχέτιση µπορεί να είναι αρνητική. Μαθηµατικά, βασιζόµαστε στο γεγονός ότι: Var ( f + f ) = Var( f) + Var( f ) + covar( f, f ) Εάν µπορούσαµε να διαλέξουµε σηµεία τέτοια ώστε CoVar( f, f ) < 0 τότε θα είχαµε µια ουσιαστική µείωση στην διασπορά. Για κάθε (πολυδιάστατη) δειγµατική τιµή-σηµείο x, χρησιµοποιούµε επίσης την τιµή x. Έτσι η µέθοδος Monte Carlo γίνεται: Iˆ = ( f ( x i ) + f ( x i )) i= Παράδειγµα: Το πιο τετριµµένο παράδειγµα αυτής της µεθόδου είναι η ολοκλήρωση MC της συνάρτησης f ( = x στο διάστηµα [0,] υπολογίζοντας τις τιµές της στα σηµεία x και x i. Αφού η f ( είναι µονότονη στο πεδίο ολοκλήρωσης [0,], τότε η CoVar( f (, f ( ) είναι αρνητική. Έτσι η ακόλουθη προσέγγιση: Iˆ a n = n / n / f ( x ) + / n / i i= n i= f ( x ) n / = ( f ( xi ) + f ( xi )) n i= έχει διασπορά V ( Iˆ a n ) = V ( f ( ) + CoVar( f (, f ( ) n που είναι µικρότερη από τον πρώτο εκτιµητή εάν CoVar( f (, f ( ) < 0. i Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 0

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ειγµατοληπτική κατανοµή

ειγµατοληπτική κατανοµή Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 ειγµατοληπτική κατανοµή 1. Εισαγωγή Με την ενότητα αυτή, µπαίνουµε στις έννοιες της επαγωγικής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Συνάρτηση και καµπύλη κόστους. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 49 Συνάρτηση και καµπύλη κόστους Πολύ χρήσιµες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα