Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού «Αριθµητική Ανάλυση» -

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 2001-02 «Αριθµητική Ανάλυση» -"

Transcript

1 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΤΙ ΕΙΝΑΙ MOTE CARLO.... ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ....3 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ....4 ΓΙΑΤΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ....5 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΗ ΜΟΡΦΗ ΤΗΣ MOTE CARLO ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΤΡΙΑ ΚΥΡΙΟΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΜC ΠΩΣ ΠΡΟΣΠΑΘΟΥΜΕ ΝΑ ΒΕΛΤΙΩΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ Η ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ MOTE CARLO ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS ΚΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΩΝ 3 ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ TO ΓΕΝΙΚΟ ΣΧΗΜΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ MOTE CARLO ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ MOTE CARLO Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΟΤΑΝ ΠΑΡΟΥΜΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ Τ.Μ ΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ MOTE CARLO ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΛΕΓΜΑ (GRID BASED METHODS) ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΟ ΟΧΗΣ - ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ ΜΕΙΩΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ATITHETIC VARIABLES) ΜΕΤΑΒΛΗΤΈΣ ΕΛΈΓΧΟΥ (COTROL VARIABLES) MATCHIG MOMETS ΜΈΘΟ ΟΣ ΙΑΣΤΡΩΜΑΤΩΜΕΝΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED SAMPLIG) ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (IMPORTACE SAMPLIG)... 3 Ενα Αριθµητικό Παράδειγµα... 5 Εκτιµήσεις Σφαλµάτων ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΙΜΕΣ MOTE CARLO ΜΕΘΟ ΟΣ VEGAS QUASI-ΜOTE CARLO ΜΈΘΟ ΟΙ MOTE CARLO ΕΝΑΝΤΊΟΝ QUASI-MOTE CARLO ΑΣΥΜΦΩΝΊΑ (DISCREPACY) KOKSMA-HLAWKA ΑΝΙΣΌΤΗΤΑ ΜΕΣΟ ΣΦΑΛΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ QUASI-ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

2 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. Εισαγωγή. Τι είναι Monte Carlo Η έκφραση µέθοδος Monte Carlo είναι πολύ γενική. Περιλαµβάνει κυρίως στοχαστικές διαδικασίες, εκείνες δηλαδή που βασίζονται στην χρήση των τυχαίων αριθµών και της στατιστικής για την λύση προβληµάτων. Γενικά, η µέθοδος Monte Carlo είναι µια αριθµητική µέθοδος για την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων µέσω προσοµείωσης τυχαίων αριθµών. Χρησιµοποιείται δε στην προσοµείωση (simulation) και στην ολοκλήρωση (integration). Μιλώντας γενικά, κάθε πείραµα στο οποίο χρησιµοποιούνται τυχαίοι αριθµοί για την εξέταση του προβλήµατος, λέγεται Monte Carlo πείραµα.. Που εφαρµόζεται Μέθοδοι Monte Carlo εφαρµόζονται σε πάρα πολλούς επιστηµονικούς τοµείς, από την οικονοµία εώς την πυρηνική φυσική και την χηµεία και ακόµη ως τη ρύθµιση της κυκλοφορίας..3 Ποια είναι η προέλευσή της Η µέθοδος "γεννήθηκε" το 949, σε ένα άρθρο των. Metropolis & S. Ulam µε τίτλο "Η µέθοδος Monte Carlo" στο Journal of the American Statistics Association. Παρόλα αυτά η θεωρητική βάση της µεθόδου ήταν γνωστή πριν από το 949, αφού αρκετά προβλήµατα στατιστικής λύνονταν µέσω τυχαίας δειγµατοληψίας, που είναι στην ουσία η µέθοδος Monte Carlo. Λόγω του γεγονότος ότι η προσοµείωση τυχαίων µεταβλητών είναι µια δύσκολη διαδικασία για να γίνει χειρωνακτικά, η γενική αριθµητική χρήση της µεθόδου έγινε πρακτική µόνο µε την εµφάνιση και εξέλιξη των υπολογιστών. Η µέθοδος δανείστηκε το όνοµα της πόλης του Πριγκηπάτου του Monaco, που είναι γνωστό για τα καζίνο του, γιατί µια από τις απλούστερες συσκευές παραγωγής τυχαίων αριθµών είναι η ρουλέτα..4 Γιατί την χρησιµοποιούµε Η χρήση των µεθόδων Monte Carlo στη µοντελοποίηση φυσικών προβληµάτων µας επιτρέπει να εξετάσουµε πολύπλοκα συστήµατα που αλλιώς θα ήταν από δύσκολο εώς αδύνατο. Η επίλυση εξισώσεων που περιγράφουν την αλληλεπίδραση δύο ατόµων είναι σχετικά εύκολη Η λύση όµως των ίδιων εξισώσεων για εκατοντάδες ή χιλιάδες άτοµα είναι αδύνατη. Με τις µεθόδους Monte Carlo, ένα µεγάλο σύστηµα µπορεί να δειγµατιστεί σε έναν αριθµό τυχαίων ρυθµίσεων, και αυτά τα δεδοµένα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να περιγράψουµε το σύστηµα σαν σύνολο. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

3 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.5 Ποιά είναι η απλούστερη µορφή της Monte Carlo Η ολοκλήρωση µε τη Επιτυχία ή Αστοχία (Hit or Miss) είναι το απλούστερο είδος Monte Carlo. Παράδειγµα Επιτυχίας ή Αστοχίας: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδόν ενός επίπεδου σχήµατος Σ. Μπορεί το σχήµα να είναι τελείως αυθαίρετο µε καµπυλόγραµµα όρια, µπορεί να δίνεται γραφικά ή αναλυτικά και µπορεί να είναι είτε ενιαίο είτε να αποτελείται από πολλά τµήµατα. Έστω Σ η περιοχή που είναι σχεδιασµένη στο παρακάτω σχήµα και η οποία υποθέτουµε ότι βρίσκεται ολόκληρη εντός του µοναδιαίου τετραγώνου. ιαλέγουµε τυχαία Ν σηµεία στο τετράγωνο και ορίζουµε ως Ν' τον αριθµό των σηµείων που τυχαίνει να "πέφτουν" εντός του Σ. Τότε είναι γεωµετρικά προφανές ότι το εµβαδόν του Σ είναι προσεγγιστικά ίσο µε το λόγο: Ν / Ν. Όσο µεγαλύτερο είναι το Ν, τόσο πιο µεγάλη είναι η ακρίβεια αυτής της εκτίµησης. Ο αριθµός των σηµείων του σχήµατος είναι Ν = 40. Απο αυτά Ν = είναι µέσα στην περιοχή Σ. Ο λόγος Ν /Ν= /40 = 0.30, ενώ το πραγµατικό εµβαδόν του Σ είναι Πρακτικά, η µέθοδος Hit or Miss δεν χρησιµοποιείται για ευρεση του εµβαδού ενός επίπεδου σχήµατος, και αυτό διότι υπάρχουν µέθοδοι - τύποι σύγκλισης που αν και είναι πιο πολύπλοκοι µαθηµατικά, είναι πολύ πιο ακριβείς, Παρόλα αυτά η µέθοδος "Επιτυχίας ή Αστοχίας" του παραδείγµατος αυτού, µας επιτρέπει να εκτιµήσουµε, το ίδιο απλά, το "πολυδιάστατο όγκο" ενός σώµατος σε πολλές διαστάσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η MC είναι συχνά η µόνη αριθµητική µέθοδος που είναι χρήσιµη στην επίλυση του προβλήµατος. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 3

4 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.6 Ποιά είναι τα τρία κυριότερα χαρακτηριστικά των µεθόδων ΜC Η Monte Carlo είναι πολύ απλή. Ενα στοιχείο που χαρακτηρίζει την MC είναι η απλή δοµή του υπολογιστικού αλγόριθµου. Σαν κανόνας, το πρόγραµµα πρέπει να διεκπεραιώσει µια τυχαία δοκιµή (στο προηγούµενο παράδειγµα της "Eπιτυχίας ή Aστοχίας" πρέπει κανείς να ελέγξει αν ένα επιλεγµένο τυχαίο σηµείο του τετραγώνου βρίσκεται επίσης µέσα στην περιοχή Σ). Αυτή η δοκιµή επαναλαµβάνεται Ν φορές, µε κάθε δοκιµή ανεξάρτητη από τις προηγούµενες, και µετά τα αποτελέσµατα των δοκιµών παίρνονται κατά µέσο όρο. Η µέθοδος µπορεί να είναι εξαιρετικά αργή. Για παράδειγµα στην ολοκλήρωση, το λάθος των υπολογισµών είναι ανάλογο µε D /, όπου D είναι κάποια σταθερά και Ν ο αριθµός των δοκιµών. Γίνεται προφανές έτσι ότι για να µειώσει κανείς το λάθος κατά ένα παράγοντα 0 (δηλαδή να αποκτήσει ακόµη ένα δεκαδικό ψηφιο) απαιτείται να αυξήσει το Ν κατά 00 (και την ποσότητα εργασίας) Η µέθοδος είναι πολύ δυνατή στα πολυδιάστατα προβλήµατα, όπου και χρησιµοποιείται κυρίως, γιατί γενικά η ακρίβεια της εξαρτάται µόνο από την πολυπλοκότητα του προβλήµατος. Στην ολοκλήρωση, όπως θα δούµε / αργότερα, συγκλινει µε ρυθµό O( ) που είναι ανεξάρτητο των διαστάσεων του ολοκληρώµατος. Για αυτό το λόγο, η µέθοδος MC είναι η µόνη βιώσιµη σε ένα µεγάλο πεδίο προβληµάτων πολλών διαστάσεων, από την φυσική ως την οικονοµία. Λόγω των παραπάνω χαρακτηριστικών της µεθόδου, της εύκολης χρήσης, της εφαρµοσιµότητας σε πολλά πεδία, αλλά και της αργής σύγκλισης ένα µεγάλο ποσο υπολογιστικού χρόνου δαπανάται σε υπολογισµούς µε την Monte Carlo. Για αυτό το λόγο, ακόµα και µέτριες βελτιώσεις στην µέθοδο µπορεί να έχουν ουσιαστικό αντίκτυπο στην αποτελεσµατικότητα και την εφαρµοσιµότητά της..7 Πως προσπαθούµε να βελτιώσουµε την µέθοδο Ο κύριος τρόπος για να βελτιώσουµε την ταχύτητα των υπολογισµών Monte Carlo είναι η µείωση της διασποράς (Variance Reduction). Οι µέθοδοι Μείωσης της ιασποράς της Monte Carlo αποσκοπούν να επιταχύνουν τον ρυθµό / σύγκλισης µειώνοντας την σταθερά µπροστά από τον O( ) χρησιµοποιώντας (ψευδο-) τυχαίες (pseydo-random) ακολουθίες αριθµών. Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι να αλλάξουµε ακολουθίες από (ψευδο-) τυχαίους αριθµούς σε quasi-τυχαίους αριθµούς (quasi-random). Το χαρακτηριστικό αυτών είναι όπως θα δούµε πως δεν προσπαθούν να µιµηθούν την συµπεριφορά των Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 4

5 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - τυχαίων ακολουθιών, αλλά τα στοιχεία των quasi-τυχαίων ακολουθιών είναι συσχετισµένα ώστε να γίνουν ηθεληµένα πιο οµοιόµορφα από τις «καθαρά» τυχαίες ακολουθίες..8 Περισσότερα για το παράδειγµα Επιτυχίας ή Αστοχίας Πώς γίνεται η επιλογή των σηµείων στο παράδειγµα αυτό; Έστω ότι µια µεγενθυµένη εκδοχή του σχήµατος κρέµεται σε έναν τοίχο σαν στόχος. Σε κάποια απόσταση από τον τοίχο, ένας σκοπευτής πυροβολεί Ν φορές, στοχεύοντας στο κέντρο το τετραγώνου. Υποθέτουµε ότι η απόσταση από τον τοίχο είναι αρκετά µεγάλη (και ότι ο σκοπευτής δεν είναι ο παγκόσµιος πρωταθλητής ). Τότε, φυσικά, οι σφαίρες δεν θα πετύχουν το κέντρο, αλλά θα χτυπήσουν τον στόχο σε Ν τυχαία σηµεία. Μπορούµε να βρούµε τότε το εµβαδόν του Σ από αυτά τα σηµεία; Το αποτέλεσµα ενός τέτοιου πειράµατος φαίνεται στο παραπάνω σχήµα. Σε αυτό, έχουµε Ν = 40, Ν = 4 και ο λόγος είναι Ν /Ν = 0.60, που είναι σχεδόν διπλάσιο από το πραγµατικό εµβαδόν (0.35). Γίνεται τότε προφανές ότι εάν ο σκοπευτής ήταν πάρα πολύ ικανός, το αποτέλεσµα θα ήταν πολύ παραπλανητικό, διότι σχεδόν όλες οι σφαίρες θα χτυπούσαν τον στόχο κοντά στο κέντρο και φυσικά εντός του Σ. Αντιλαµβάνεται, λοιπόν, κανείς ότι η µέθοδος του υπολογισµού εµβαδού είναι έγκυρη, όταν τα τυχαία σηµεία είναι όχι µόνο "τυχαία" αλλά επιπλέον και "οµοιόµορφα κατανεµηµένα" σε όλο το τετράγωνο. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 5

6 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. Στοιχεία Στατιστικής στην Monte Carlo. Νόµος των Μεγάλων αριθµών Έστω µια διακριτή τυχαία µεταβλητή Χ. Εάν παρατηρήσουµε την µεταβλητή Χ αρκετές φορές και πάρουµε τις τιµές ξ, ξ,, ξ Ν, που κάθε µια θα είναι ίση µε ένα από τους αριθµούς x, x, x3,, x n που είναι οι δυνατές τιµές της Χ, τότε ο αριθµητικός µέσος όρος αυτών των τιµών θα είναι κοντά στην µέση τιµή Ε(Χ), δηλαδή : ( ξ + ξ + + ξ Ν ) E( X ) Ν και η διασπορά Var(Χ) χαρακτηρίζει την διακύµανση των τιµών αυτών γύρω από τη µέση τιµή Ε(Χ). Επίσης για θα έχουµε ότι lim ξ j = E( X ) Η παραπάνω εξίσωση είναι µια απλή περίπτωση του Νόµου των µεγάλων αριθµών και µπορεί να επεξηγηθεί ως εξής: Υποθέτουµε ότι µεταξύ των τιµών ξ, ξ,, ξ Ν, ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές, ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές, κ.ο.κ. και ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές. Τότε: Έτσι: j= j n ξ = x k + x k x k k k ξ j = x + x x j= Για µεγάλο Ν, η συχνότητα pi,έτσι ώστε k p. Ετσι θα έχουµε : i i j= ξ n n n n k n k i της τιµής προσεγγίζει την πιθανότητα της k x i n n i j = xi xi pi = i i= E( X ) j=. Η κατανοµή Gauss και ο κανόνας των 3 αποκλίσεων Μια κανονική (ή Gauss) τυχαία µεταβλητή είναι µια τυχαία µεταβλητή X που ορίζεται στο R και έχει πυκνότητα πιθανότητας: ( x µ ) p ( = exp σ π σ όπου µ και σ > 0 είναι πραγµατικές παράµετροι. Αποδεικνύεται ότι η µέση τιµή και η διασπορά µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής είναι αντίστοιχα: E( X ) = µ και Var( X ) = σ Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 6

7 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η συνάρτηση Φ( = π x t e 0 / dt λέγεται συνάρτηση σφάλµατος (error function) και συνήθως χρησιµοποιείται ένας πίνακας τιµών της για να πάρουµε αυθαίρετες πιθανότητες µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής X. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Έστω ότι θέλουµε να βρούµε την πιθανότητα: b ( x µ ) P a X b ( < < ) = exp dx σ π α σ Κάνουµε την αντικατάσταση: x - µ = σ t και παίρνουµε: όπου t t P a X b dt t ( < < ) = exp π = a µ ) / σ και t = ( β µ ) / σ ( t Έτσι φτάνουµε στη σχέση: P ( a < X < b) = ( Φ( ) Φ( )) t t που χρησιµοποιούµε για να πάρουµε τις ζητούµενες πιθανότητες της Χ. Οι πινακες τιµών της Φ περιέχουν µόνο θετικές τιµές του x, αφού ισχύει: Φ(- = - Φ(. Έστω τώρα ότι θέτουµε α=µ-3σ και b=µ+3σ. Τότε t = 3 και t = 3 και η σχέση που µας δίνεται την πιθανότητα της Χ γίνεται: P ( µ 3 σ < Χ < µ + 3σ ) = Φ(3) = ηλαδή µε πιθανότητα (σχεδόν ), µια τυχαία δοκιµή από την κανονική κατανοµή θα µας δώσει µια τιµή της Χ που δεν θα απέχει από την µέση τιµή της περισσότερο από τρεις αποκλίσεις («κανόνας των 3 σ»)..3 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Ας θεωρήσουµε ίδιες ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές X, X,..., X, έτσι ώστε οι κατανοµές πιθανοτήτων τους να συµπίπτουν. Συµπερασµατικά, οι µέσες τους τιµές και οι διασπορές θα συµπίπτουν επίσης (υποθέτουµε ότι είναι πεπερασµένες). Αυτές οι τυχαίες µεταβλητές µπορούν να είναι συνεχείς ή διακριτές. Ας ορίσουµε: Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 7

8 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - E( X Var( X ) = E( X ) = Var( X ) =... = E( X ) = m ) =... = Var( X ) = b ηλώνουµε το άθροισµα όλων των µεταβλητών µε S : S = X + X X Από τις ιδιότητες E ( Χ + Υ) = E( Χ) + E( Υ) και Var ( Χ + Υ) = Var( Χ) + Var( Υ) έχουµε ότι: E( S ) = E( Χ + Χ Χ ) = E( Χ) + E( Χ ) E( Χ ) = m και Var( S b ) = Var( Χ + Χ Χ ) = Var( Χ) + Var( Χ ) Var( Χ ) = Ας θεωρήσουµε τώρα µια κανονική τυχαία µεταβλητή µε τις ίδιες παραµέτρους, δηλαδή µ = m και σ = b. Η πυκνότητα πιθανότητας της συµβολίζεται µε: p (. Τότε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) λέει ότι για κάθε διάστηµα ( x', x'') και για όλα τα µεγάλα έχουµε: P( x' < S < x' ') x'' x' p ( dx Η φυσική σηµασία του θεωρήµατος αυτού είναι προφανής: το άθροισµα S ενός µεγάλου αριθµού ίδιων ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών είναι προσεγγιστικά µια κανονική τυχαία µεταβλητή. Στην πραγµατικότητα, αυτό το θεώρηµα ισχύει και κάτω από πολύ πιο αδύναµες συνθήκες: οι µεταβλητές X, X,..., X να µην είναι απαραίτητα πανοµοιότυπες και ανεξάρτητες, ουσιαστικά δηλαδή αυτό που απαιτείται είναι οι µεµονωµένες µεταβλητές µην παίζουν πολύ µεγάλο ρόλο στο άθροισµα. Αυτό το θεώρηµα είναι που εξηγεί γιατί οι κανονικές τυχαίες µεταβλητές συναντώνται τόσο συχνά στη φύση. Πράγµατι, όταν συναντάµε µια αθροιστική επίδραση ενός µεγάλου αριθµού µικρών τυχαίων παραγόντων, η προκύπτουσα (αθροιστική) τυχαία µεταβλητή είναι κανονική. Για παράδειγµα, ο διασκορπισµός των όλµων πυροβολικού είναι σχεδόν πάντα κανονική τυχαία µεταβλητή, αφού εξαρτάται από τις καιρικές συνθήκες καθ'όλες τις διαφορες περιοχές της τροχιάς όπως επίσης και απο πολλούς άλλους παράγοντες. Ζ X j να Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 8

9 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.4. To γενικό σχήµα των µεθόδων Monte Carlo To γενικό σχήµα των µεθόδων MC βασίζεται στον Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα και στον κανόνα των 3 αποκλίσεων. Υποθέτουµε ότι χρειάζεται να υπολογίσουµε κάποια άγνωστη ποσότητα m. Ας προσπαθήσουµε να βρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ µε µέση τιµή Ε(Χ)=m. Έστω ότι η διασπορά της Χ είναι Var ( X ) = b. Θεωρούµε ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές X, X,..., X µε κατανοµές πανοµοιότυπες µε εκείνη της Χ. Εάν το είναι αρκετά µεγάλο, τότε έπεται από το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα ότι η κατανοµή του αθροίσµατος S = X + X X θα είναι προσεγγιστικά κανονική, µε παραµέτρους: Σύµφωνα µε τον κανόνα των "τριών σ" θα έχουµε: µ = m και σ = b. ( m 3b < S < m + 3b ) P Αν διαιρέσουµε την ανισότητα της παρένθεσης µε Ν, παίρνουµε µια ισοδύναµη ανισότητα, της οποίας η πιθανότητα παραµένει η ίδια: P m 3b S < < m + 3b Ξαναγράφουµε την τελευταία έκφραση σε κάπως διαφορετική µορφή: P X m < 3b j j= Αυτή είναι µια πολύ σηµαντική σχέση για την µέθοδο MC, που µας δίνει και την µέθοδο υπολογισµού της m αλλά και µια προσέγγιση του λάθους. Πράγµατι, αρκεί να πάρουµε τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ - η επιλογή µιας τιµής από κάθε µια από τις X, X,..., X είναι ισοδύναµη µε την επιλογή Ν τιµών της Χ, αφού όλες αυτές οι τυχαίες µεταβλητές έχουν ίδιες κατανοµές και να πάρουµε τη δειγµατική µέση τιµή τους. Για αυτό και στην βιβλιογραφία, αυτό το σχήµα λέγεται και Sample Mean Monte Carlo. Από την παραπάνω εξίσωση, γίνεται φανερό ότι ο αριθµητικός µέσος αυτών των τιµών θα είναι προσεγγιστικά ίσος µε τη ζητούµενη ποσότητα m. Με κάθε πιθανότητα, το σφάλµα της προσέγγισης δεν ξεπερνά το 3 b και προσεγγίζει το µηδεν καθώς το Ν αυξάνει. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 9

10 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - 3. Ολοκλήρωση Monte Carlo 3. Η µέθοδος του υπολογισµού Θεωρούµε µια συνάρτηση f ( ορισµένη στο διάστηµα α < x < b. Θέλουµε να υπολογίσουµε προσεγγιστικά το ολοκλήρωµα: I = b a f ( dx Ξεκινάµε επιλέγοντας µια αυθαίρετη πυκνότητα κατανοµής p( ορισµένη στο διάστηµα (α, b) - µε άλλα λόγια µια αυθαίρετη συνάρτηση που ικανοποιεί τις εξισώσεις. p( > 0. b a p( dx = Θεωρούµε µια τυχαία µεταβλητή X µε πυκνότητα p( στο διάστηµα (α, b), και επιπλέον µια τυχαία µεταβλητή Y = g( X ) = f ( X ) p( X ) Από την ιδιότητα: b b f ( E ( g( X )) = g( p( dx θα έχουµε: E ( Y ) = p( dx = I p( a a Τώρα, θεωρούµε Ν ανεξάρτητες, τυχαίες µεταβλητές Y, Y,..., Y µε την ίδια κατανοµή µε την Y και εφαρµόζουµε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα για το άθροισµά τους, το οποίο θα είναι µια τυχαία µεταβλητή προσεγγιστικά κανονική µε παραµέτρους a = I, σ = Var( Y ) Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουµε από τον κανόνα των 3σ: P a 3σ < S < a + 3σ P ( ) ( I 3 Var( Y ) < S < I + 3 Var( Y ) ) 3 P I P Var( Y ) S < Y I < 3 j j= 3 < I + Var( Y ) Var( Y ) ( II) Από την τελευταία σχέση, έχουµε ότι εάν διαλέξουµε Ν τιµές ξ, ξ,..., ξ, τότε για Ν αρκετά µεγάλο θα έχουµε ότι: f ( ξ j ) I ( III) p( ξ j= j ) Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 0

11 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η σχέση (II) επίσης µας δίνει και ένα πιθανοθεωρητικό άνω φράγµα του Var( Y ) σφάλµατος της προσέγγισης της (ΙΙΙ), το οποίο θα είναι 3. Για αυτό και λέµε ότι το σφάλµα της Monte Carlo ολοκλήρωσης είναι της τάξης O. 3. Το σχήµα της ολοκλήρωσης όταν πάρουµε οµοιόµορφη τ.µ. Θεωρούµε το µονοδιάστατο ολοκλήρωµα I = f ( dx. 0 Σύµφωνα λοιπόν µε το σχήµα των µεθόδων Monte Carlo, εάν θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της συνάρτησης f (, αρκεί να βρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ της οποίας η µέση τιµή να είναι ίση µε ολοκλήρωµα της f (. Έστω Χ να είναι µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή στο [0,], δηλαδή η πυκνότητα της θα είναι ίση µε φ ( =. Η µέση ή αναµενόµενη τιµή τότε της f ( στο διάστηµα [0,] είναι: E X [ f ( ] = = 0 0 f ( φ( dx f ( dx όπου η E X [] είναι η µέση τιµή σε σχέση µε την τυχαία µεταβλητή Χ. Έστω xi µια τυχαία δοκιµή από την κατανοµή Χ ~ U[0,]. Γνωρίζουµε από τον νόµο των µεγάλων αριθµών ότι : E X [ f ( ] = lim i= f ( x ) Άρα µπορούµε να προσεγγίσουµε το ολοκλήρωµα τυχαίες δοκιµές-αριθµούς από την Χ σύµφωνα µε τον τύπο: Iˆ n = f ( xi ) f ( dx i= 0 i 0 f ( dx χρησιµοποιώντας Σύµφωνα µε τον ισχυρό Νόµο των µεγάλων αριθµών αυτή η προσέγγιση συγκλίνει µε πιθανότητα. ηλαδή ˆ lim I = I Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

12 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Αφού η προσέγγιση βασίζεται σε µια τυχαία µεταβλητή, το προσεγγιστικό ολοκλήρωµα είναι και αυτό µια τυχαία µεταβλητή µε διασπορά ίση µε: V ( Iˆ ) = = = V ( f ( ) E E [( f ( E[ f ( ]) ] [( f ( I ) ] Ένας αµερόληπτος εκτιµητής της V ( f ( ) είναι ως γνωστόν: V ˆ( f ( ) = i= ( ˆ ) f ( ) x i I Έτσι η εκτιµώµενη διασπορά του εκτιµητή του ολοκληρώµατος (της προσέγγισης) είναι: V ˆ( Iˆ ) ( f ( xi ) Iˆ ) i= Παρατήρηση: Πρέπει να τονίσουµε ότι κάθε προσέγγιση ολοκλήρωσης Monte Carlo θα πρέπει να συνοδεύεται µε αναφορά για την διασπορά. Αλλιώς θα είναι σαν να αναφέρουµε µια εκτίµηση χωρίς το τυπικό σφάλµα, δηλαδή πάνω κάτω άσκοπο. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουµε την τάξη του προσεγγιστικού σφάλµατος. 3.3 Το σφάλµα της ολοκλήρωσης Monte Carlo Ορίζουµε το σφάλµα της Monte Carlo σαν: ε [ f ] = I ˆ, δηλαδή Ν ε [ f ] = I f ( dx d x i I i= και το το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (Root Mean Square Error (RMSE) ) της MC ολοκλήρωσης που χρησιµοποιεί (ψευδο-)τυχαίες ακολουθίες: E[ ε[ f ] ] / f ( ) Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα περιγράφει το µέγεθος και τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλµάτων της ολοκλήρωσης Monte Carlo. Θεώρηµα: Για Ν µεγάλο, έχουµε Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

13 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - / ε Ν[ f ] σ Ν ν όπου ν είναι η τυπική (Ν(0,)) τυχαία µεταβλητή και η σταθερά σ είναι η τυπική απόκλιση, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της διασποράς της f : σ = x ( f ( I ) D dx Το θεώρηµα αυτό µας λέει ότι το σφάλµα της Monte Carlo είναι της τάξης του / O( ) µε µια σταθερά µπροστά που είναι ακριβώς η διασπορά της συνάρτησης f. Επιπλέον η κατανοµή του σφάλµατος είναι προσεγγιστικά κανονική. Αφού το φράγµα του σφάλµατος από το Κ.Ο.Θ. είναι πιθανοθεωρητικό, η ακρίβεια της µεθόδου µπορεί να διασφαλιστεί µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης c. Για να είµαστε σίγουροι ότι το σφάλµα είναι µεγέθους το πολύ ε µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης c, απαιτείται ο αριθµός των σηµείων που χρησιµοποιούµε να είναι: = ε σ s( c) όπου s είναι η συνάρτηση εµπιστοσύνης (confidence function) για µια κανονική τυχαία µεταβλητή. ηλαδή: s( c) c = e s( c) c / dx / π = erf / ( s( c) / ) Στην πράξη είναι δύσκολο να βρούµε την ακριβή τιµή της διασποράς, άρα και της απόκλισης, για αυτό οι παραπάνω τύποι δεν εφαρµόζονται άµεσα. Γι αυτό χρησιµοποιούµε την εµπειρική διασπορά και σφάλµα. Επαναλαµβάνουµε το πείραµα Monte Carlo Μ φορές χρησιµποιώντας ανεξάρτητα σηµεία για i M. Για κάθε επανάληψη παίρνουµε τιµές I για j M. Τότε το εµπειρικό µέσο τετραγωνικό σφάλµα είναι : / M ( j ) ε ( I I ) όπου έχουµε: I Ν = Μ j= M ( j) = I M j= τότε η εµπειρική διασπορά δίνεται από τη σχέση: σ = Ν / ε Ν ( j) x i Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 3

14 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Αυτήν την τιµή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στην σχέση = ε σ s( c) για να βρούµε το πλήθος των σηµείων που απαιτούνται για µια δεδοµένη ακρίβεια ε και ένα επίπεδο εµπιστοσύνης c. 3.4 Επέκταση στην πολυδιάστατη περίπτωση Η επέκταση στην γενική πολυδιάστατη περίπτωση είναι αρκετά απλή. Έστω n D R να είναι ένα ν-διάστατο πεδίο πάνω στο οποίο θέλουµε να υπολογίσουµε ένα ολοκλήρωµα f ( dx όπου f ( : R n R. Έστω X D να είναι µια x D τυχαία µεταβλητή πάνω στο πεδίο D µε οµοιόµορφη κατανοµή φ ( = έτσι vol( D) ώστε να ισχύει: φ ( dx =. Τότε το ολοκλήρωµα είναι µια αναµενόµενη τιµή: x D f ( f ( dx = φ( dx = φ( x D i= x D f ( = E = vol( D) φ( n vol( D) f ( x i ) n E( f ( ) x i όπου να είναι µια τυχαία δοκιµή από εκείνη την κατανοµή, δηλαδή ένα διάνυσµα τυχαίων τιµών. Τα κυριότερα προβλήµατα στην ολοκλήρωση Monte Carlo είναι: Τυχαίες οκιµές: Πρέπει να δοκιµάζουµε µε τυχαίους αριθµούς από την "σωστή" κατανοµή. Μείωση ιασποράς: Για να ελαχιστοποιήσουµε το σφάλµα της προσέγγισης (τη διασπορά του εκτιµητή). 3.5 Σύγκριση µε µεθόδους που βασίζονται σε πλέγµα (grid based methods) Πως µπορεί µια µέθοδος που βασίζεται σε τυχαίους αριθµούς να είναι καλύτερη από τις κλασσικές µεθόδους που βασίζονται σε πλέγµατα; Ας συγκρίνουµε τον ρυθµό σύγκλισης της Monte Carlo µε αυτόν µιας αριθµητικής µεθόδου ολοκλήρωσης, π.χ. της µεθόδου Simpson. Ο ρυθµός σύγκλισης µιας µεθόδου k / d O, όπου k η τάξη της µεθόδου και d ο του είδους ewton-cotes είναι ( ) Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 4

15 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - αριθµός των διαστάσεων. Ο ρυθµός σύγκλισης όµως της µεθόδου Monte Carlo είναι όπως είδαµε O ( / ) και είναι ανεξάρτητος των διαστάσεων. Έτσι, µπορούµε να πούµε ότι η Monte Carlo υπερισχύει των µεθόδων ewton-cotes εάν k / d </ Μια πιο ρεαλιστική εξήγηση είναι ότι είναι πρακτικά αδύνατο να δηµιουργήσουµε ένα πλέγµα σε πολλές διαστάσεις. Το απλούστερο πλέγµα για έναν κύβο d d διαστάσεων απαιτεί σηµεία. Για 0 διαστάσεις, που δεν είναι ιδιαίτερα µεγάλος αριθµός για εφαρµογές, απαιτούνται περισσότερο από ένα εκατοµµύριο σηµεία. Επιπλέον είναι αδύνατο να εκλεπτύνουµε ένα πλέγµα σε πολλές διαστάσεις αφού µια τέτοια εκλέπτυνση απαιτεί αύξηση των σηµείων κατά ένα d παράγοντα του. Σε αντίθεση µε αυτά, η ακρίβεια της Monte Carlo δεν εξαρτάται από τις διαστάσεις και κάθε επιπλέον σηµείο που προστίθεται στον υπολογισµό προσδίνει µια αυξητική βελτίωση στην ακρίβειά της. 4. Παραγωγή τυχαίων αριθµών Όπως είδαµε, στα προηγούµενα θεωρήσαµε κυρίως για απλούστευση ότι χρησιµοποιούµε τυχαίες µεταβλητές απο την οµοιόµορφη κατανοµή στην ολοκλήρωση Monte Carlo. εν ισχύει όµως πάντα αυτό. Μπορεί να χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε τυχαίους αριθµούς από µια άλλη κατανοµή. Οι συνήθεις γεννήτριες τυχαίων αριθµών στους υπολογιστές µας δίνουν τυχαίες µεταβλητέςαριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή. Για να πάρουµε τυχαίους αριθµούς από µη-οµοιόµορφες κατανοµές κάνουµε µετασχηµατισµό των οµοιόµορφων τυχαίων µεταβλητών. Παρακάτω παρουσιάζουµε µερικές µεθόδους για την παραγωγή µη οµοιόµορφων τυχαιών µεταβλητών. 4. Μέθοδος Μετασχηµατισµού Έστω ότι θέλουµε να κάνουµε µια τυχαία δοκιµή από µια τυχαία µεταβλητή X που έχει συνάρτηση κατανοµής F (. Ξέρουµε ότι η F(X ) είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,], αφού < F P(F(X) < u) = P(X ( u)) = F( F ( u)) = u. Αυτό συνεπάγεται ότι αν η U είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,], τότε η F ( U ) είναι κατανεµηµένη σαν την X. Έτσι αρκεί να βρούµε την αντίστροφη της συνάρτησης κατανοµής F() και να εφαρµόσουµε αυτήν σε µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία δοκιµή u για να πάρουµε µια τυχαία δοκιµή-αριθµό από την ζητούµενη κατανοµή. Μπορεί, όµως, να υπάρχουν ουσιαστικά προβλήµατα στην Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 5

16 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - εύρεση ή την προσέγγιση της αντίστροφης συνάρτησης της F(). Παράδειγµα 4.. Πως µπορούµε να πάρουµε µια τυχαία δοκιµή από την εκθετική κατανοµή λx F( = λ e Βρίσκουµε την αντίστροφή της συνάρτηση: u F ( u) = ln λ λ Κάνοντας µια τυχαία δοκιµή παίρνουµε µια εκθετικά κατανεµηµένη τυχαία δοκιµή. u από την U[0,] και θέτοντας x = F ( ) i x i i u i Παράδειγµα 4.. Πως µπορούµε να πάρουµε τυχαίους αριθµούς από την κανονική κατανοµή; Μια standard κανονική τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα: p( = exp( x / ) π και αθροιστική συνάρτηση κατανοµής: x F( = exp( t / ) dt = + erf ( x / ) π όπου erf είναι η συνάρτηση σφάλµατος που ορίζεται από : z erf ( z) = exp( t ) dt π 0 Ένας τρόπος τότε για να πάρουµε µια δοκιµή x από την κανονική κατανοµή είναι να εφαρµόσουµε την αντίστροφη της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής F σε µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή y. Θα έχουµε y = F( = + erf ( x / ) οπότε: x = erf y ( ) Για κάποιες κοινά χρησιµοποιούµενες κατανοµές, όπως η κανονική κατανοµή, υπάρχουν περισσότερο αποτελεσµατικοί αλγόριθµοι για την παραγωγή τυχαίων δοκιµών-αριθµών. Για την κανονική περίπτωση µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει την µέθοδο Box-Muller. Μέθοδος Box - Muller Η µέθοδος Box-Muller παρέχει ένα άµεσο τρόπο για να παράγουµε κανονικές τυχαίες µεταβλητές χωρίς να αντιστρέφουµε την συνάρτηση σφάλµατος. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 6

17 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Ξεκινώντας από δύο οµοιόµορφες µεταβλητές τυχαίες µεταβλητές από τους τύπους: x = log( y ) cos(π y ) x = log( y ) sin(π y ) y, y, παίρνουµε δύο κανονικές Τα µειονεκτήµατα της µεθόδου Box-Muller είναι οτι απαιτεί τον υπολογισµό υπερβατικών συναρτήσεων και ότι παράγει δύο τυχαίες µεταβλητές, ανεξάρτητα αν χρειαζόµαστε µόνο µία. 4. Μέθοδος Αποδοχής - Απόρριψης Έστω ότι θέλουµε να πάρουµε µια τυχαία µεταβλητή y κατανεµηµένη µε πυκνότητα p y (y) στο πεδίο από y ε ώς y. Έστω p MAX η µέγιστη τιµή της πυκνότητας p y (y) στο πεδίο αυτό όπως στο σχήµα. Η µέθοδος έχει ως εξής: Παίρνουµε µια τυχαία τιµή y από το y ε ώς y Υπολογίζουµε την (y) για αυτήν την τιµή y p y Παίρνουµε ένα τυχαίο αριθµό x που είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο πεδίο [ 0, pmax ] Εάν p y ( y) < x απορρίπτουµε τον αριθµό y, αλλιώς τον αποδεχόµαστε. Ακολουθούµε αυτή τη διαδικασία και παίρνουµε την τυχαια µεταβλητή y που είναι κατανεµηµένη σύµφωνα µε πυκνότητα (y) p y Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 7

18 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Παράδειγµα: Θεωρούµε την κανονική κατανοµή µε πυκνότητα: p y ( y) = exp( ( y µ ) / σ ) σ π όπου µ είναι η µέση τιµή και σ η τυπική απόκλιση. Θέτουµε ymin = µ 4σ και ymax = µ + 4σ αφού είναι πολύ µικρή η πιθανότητα να πάρουµε τιµές του y που να απέχουν περισσότερο από τέσσερις αποκλίσεις από την µέση της τιµή. Τότε η µέγιστη τιµή θα είναι: p MAX = σ π µε το µέγιστο να προκύπτει όταν y=µ. Η παρακάτω συνάρτηση της C++ επιστρέφει µια τυχαία µεταβλητή από την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή mean και απόκλιση sigma: // Function to return random variable distributed // according to Gaussian distribution with mean mean // and standard deviation sigma. double gaussian (double mean, double sigma) { double ymin = mean - 4. * sigma; double ymax = mean + 4. * sigma; double Pymax =. / sqrt (. * M_PI) / sigma; // Calculate random value uniformly distributed // in range ymin to ymax double y = ymin + (ymax - ymin) * double (random ()) / double (RADMAX); // Calculate Py double Py = exp (- (y - mean) * (y - mean) /. / sigma / sigma) / sqrt (. * M_PI) / sigma; // Calculate random value uniformly distributed in range 0 to Pymax double x = Pymax * double (random ()) / double (RADMAX); // If x > Py reject value and recalculate if (x > Py) return gaussian (mean, sigma); else return y; } Το παρακάτω σχήµα µας δείχνει την απόδοση της παραπάνω συνάρτησης για ένα εκατοµµύριο σηµεία µε mean=5. και sigma =.5. Οι τιµές έχουν οµαδοποιηθεί σε 00 οµάδες µε εύρος 0.. Το σχήµα δείχνει τον αριθµό των σηµείων που έπεσαν σε κάθε οµάδα διαιρεµένο κατά ένα κατάλληλο παράγοντα κανονικοποίησης. Επίσης φαίνεται η αντίστοιχη Gaussιανή καµπύλη για σύγκριση. Φαίνεται καθαρά ότι η συνάρτηση αυτή πετυχαίνει να µας δώσει µια τυχαία κανονική µεταβλητή. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 8

19 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η µέθοδος έχει τα εξής πλεονεκτήµατα: ) εν απαιτεί τον την αντιστροφή συναρτήσεων κατανοµής. ) ουλεύει ακόµα και αν η πυκνότητα p( δεν έχει κανονικοποιηθεί για να έχει ολοκλήρωµα. Το µόνο της µειονέκτηµα είναι ότι µπορεί να είναι αναποτελεσµατική απαιτώντας πολλές επαναλήψεις πριν έχουµε µια αποδοχή. Μια επέκταση της µεθόδου αποδοχής απόρριψης είναι ο αλγόριθµος Metropolis. 5. Μείωση ιασποράς Όπως είδαµε στα προηγούµενα το σφάλµα ε και ο αριθµός Ν των σηµείων στην ολοκλήρωση Monte Carlo συσχετίζονται µε τις σχέσεις: / ε = O( σ ) = O( σ / ε) Ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για την MC είναι ανάλογος του αριθµού των δειγµάτων και είναι της τάξης του O( σ / ε), που µας δείχνει ότι ο Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 9

20 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - υπολογιστικός χρόνος αυξάνεται ραγδαία καθώς η απαιτούµενη ακρίβεια µεγαλώνει. Υπάρχουν δύο τρόποι για να επιταχύνουµε, να µειώσουµε το σφάλµα, της MC. Ο πρώτος είναι να προσπαθήσουµε να µειώσουµε τη διασπορά, στον οποίο το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται έτσι ώστε να µειωθεί η σταθερά σ. Ο δεύτερος τρόπος, που θα εξετάσουµε παρακάτω, είναι να αντικαταστήσουµε τις τυχαίες τιµές που χρησιµοποιούµε µε µια εναλλακτική ακολουθία quasi-τυχαίοι αριθµοί- που βελτιώνει τον εκθέτη ½. Μια παρατήρηση που πρέπει να κάνουµε ότι οι µέθοδοι που ακολουθούν απαιτούν επιπλέον υπολογιστικό χρόνο, που όµως εξισορροπείται από το κέρδος που έχουµε µε το µειωµένο αριθµό σηµείων Ν. Στα περισσότερα παραδείγµατα, το κέρδος λόγω της µείωσης της διασποράς είναι αρκετά σηµαντικό. 5. Αντίθετες µεταβλητές (Antithetic Variables) Οι αντίθετες µεταβλητές είναι µια από τις απλούστερες και πιο ευρέως χρησιµοποιούµενες µεθόδους µείωσης της διασποράς. Συνήθως οι υπολογισµοί MC χρησιµοποιούν σηµεία που είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Η µέθοδος των αντίθετων µεταβλητών εσκεµµένα χρησιµοποιεί συσχετισµένα σηµεία, εκµεταλλευόµενη το γεγονός ότι µια τέτοια συσχέτιση µπορεί να είναι αρνητική. Μαθηµατικά, βασιζόµαστε στο γεγονός ότι: Var ( f + f ) = Var( f) + Var( f ) + covar( f, f ) Εάν µπορούσαµε να διαλέξουµε σηµεία τέτοια ώστε CoVar( f, f ) < 0 τότε θα είχαµε µια ουσιαστική µείωση στην διασπορά. Για κάθε (πολυδιάστατη) δειγµατική τιµή-σηµείο x, χρησιµοποιούµε επίσης την τιµή x. Έτσι η µέθοδος Monte Carlo γίνεται: Iˆ = ( f ( x i ) + f ( x i )) i= Παράδειγµα: Το πιο τετριµµένο παράδειγµα αυτής της µεθόδου είναι η ολοκλήρωση MC της συνάρτησης f ( = x στο διάστηµα [0,] υπολογίζοντας τις τιµές της στα σηµεία x και x i. Αφού η f ( είναι µονότονη στο πεδίο ολοκλήρωσης [0,], τότε η CoVar( f (, f ( ) είναι αρνητική. Έτσι η ακόλουθη προσέγγιση: Iˆ a n = n / n / f ( x ) + / n / i i= n i= f ( x ) n / = ( f ( xi ) + f ( xi )) n i= έχει διασπορά V ( Iˆ a n ) = V ( f ( ) + CoVar( f (, f ( ) n που είναι µικρότερη από τον πρώτο εκτιµητή εάν CoVar( f (, f ( ) < 0. i Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 0

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα