Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού «Αριθµητική Ανάλυση» -

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 2001-02 «Αριθµητική Ανάλυση» -"

Transcript

1 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΤΙ ΕΙΝΑΙ MOTE CARLO.... ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ....3 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ....4 ΓΙΑΤΙ ΤΗΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ....5 ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΗ ΜΟΡΦΗ ΤΗΣ MOTE CARLO ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΤΡΙΑ ΚΥΡΙΟΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΜC ΠΩΣ ΠΡΟΣΠΑΘΟΥΜΕ ΝΑ ΒΕΛΤΙΩΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ Η ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΝ MOTE CARLO ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS ΚΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΩΝ 3 ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ TO ΓΕΝΙΚΟ ΣΧΗΜΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ MOTE CARLO ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ MOTE CARLO Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΟΤΑΝ ΠΑΡΟΥΜΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ Τ.Μ ΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ MOTE CARLO ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΛΕΓΜΑ (GRID BASED METHODS) ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΟ ΟΧΗΣ - ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ ΜΕΙΩΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ATITHETIC VARIABLES) ΜΕΤΑΒΛΗΤΈΣ ΕΛΈΓΧΟΥ (COTROL VARIABLES) MATCHIG MOMETS ΜΈΘΟ ΟΣ ΙΑΣΤΡΩΜΑΤΩΜΕΝΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED SAMPLIG) ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (IMPORTACE SAMPLIG)... 3 Ενα Αριθµητικό Παράδειγµα... 5 Εκτιµήσεις Σφαλµάτων ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΙΜΕΣ MOTE CARLO ΜΕΘΟ ΟΣ VEGAS QUASI-ΜOTE CARLO ΜΈΘΟ ΟΙ MOTE CARLO ΕΝΑΝΤΊΟΝ QUASI-MOTE CARLO ΑΣΥΜΦΩΝΊΑ (DISCREPACY) KOKSMA-HLAWKA ΑΝΙΣΌΤΗΤΑ ΜΕΣΟ ΣΦΑΛΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ QUASI-ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

2 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. Εισαγωγή. Τι είναι Monte Carlo Η έκφραση µέθοδος Monte Carlo είναι πολύ γενική. Περιλαµβάνει κυρίως στοχαστικές διαδικασίες, εκείνες δηλαδή που βασίζονται στην χρήση των τυχαίων αριθµών και της στατιστικής για την λύση προβληµάτων. Γενικά, η µέθοδος Monte Carlo είναι µια αριθµητική µέθοδος για την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων µέσω προσοµείωσης τυχαίων αριθµών. Χρησιµοποιείται δε στην προσοµείωση (simulation) και στην ολοκλήρωση (integration). Μιλώντας γενικά, κάθε πείραµα στο οποίο χρησιµοποιούνται τυχαίοι αριθµοί για την εξέταση του προβλήµατος, λέγεται Monte Carlo πείραµα.. Που εφαρµόζεται Μέθοδοι Monte Carlo εφαρµόζονται σε πάρα πολλούς επιστηµονικούς τοµείς, από την οικονοµία εώς την πυρηνική φυσική και την χηµεία και ακόµη ως τη ρύθµιση της κυκλοφορίας..3 Ποια είναι η προέλευσή της Η µέθοδος "γεννήθηκε" το 949, σε ένα άρθρο των. Metropolis & S. Ulam µε τίτλο "Η µέθοδος Monte Carlo" στο Journal of the American Statistics Association. Παρόλα αυτά η θεωρητική βάση της µεθόδου ήταν γνωστή πριν από το 949, αφού αρκετά προβλήµατα στατιστικής λύνονταν µέσω τυχαίας δειγµατοληψίας, που είναι στην ουσία η µέθοδος Monte Carlo. Λόγω του γεγονότος ότι η προσοµείωση τυχαίων µεταβλητών είναι µια δύσκολη διαδικασία για να γίνει χειρωνακτικά, η γενική αριθµητική χρήση της µεθόδου έγινε πρακτική µόνο µε την εµφάνιση και εξέλιξη των υπολογιστών. Η µέθοδος δανείστηκε το όνοµα της πόλης του Πριγκηπάτου του Monaco, που είναι γνωστό για τα καζίνο του, γιατί µια από τις απλούστερες συσκευές παραγωγής τυχαίων αριθµών είναι η ρουλέτα..4 Γιατί την χρησιµοποιούµε Η χρήση των µεθόδων Monte Carlo στη µοντελοποίηση φυσικών προβληµάτων µας επιτρέπει να εξετάσουµε πολύπλοκα συστήµατα που αλλιώς θα ήταν από δύσκολο εώς αδύνατο. Η επίλυση εξισώσεων που περιγράφουν την αλληλεπίδραση δύο ατόµων είναι σχετικά εύκολη Η λύση όµως των ίδιων εξισώσεων για εκατοντάδες ή χιλιάδες άτοµα είναι αδύνατη. Με τις µεθόδους Monte Carlo, ένα µεγάλο σύστηµα µπορεί να δειγµατιστεί σε έναν αριθµό τυχαίων ρυθµίσεων, και αυτά τα δεδοµένα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να περιγράψουµε το σύστηµα σαν σύνολο. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

3 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.5 Ποιά είναι η απλούστερη µορφή της Monte Carlo Η ολοκλήρωση µε τη Επιτυχία ή Αστοχία (Hit or Miss) είναι το απλούστερο είδος Monte Carlo. Παράδειγµα Επιτυχίας ή Αστοχίας: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδόν ενός επίπεδου σχήµατος Σ. Μπορεί το σχήµα να είναι τελείως αυθαίρετο µε καµπυλόγραµµα όρια, µπορεί να δίνεται γραφικά ή αναλυτικά και µπορεί να είναι είτε ενιαίο είτε να αποτελείται από πολλά τµήµατα. Έστω Σ η περιοχή που είναι σχεδιασµένη στο παρακάτω σχήµα και η οποία υποθέτουµε ότι βρίσκεται ολόκληρη εντός του µοναδιαίου τετραγώνου. ιαλέγουµε τυχαία Ν σηµεία στο τετράγωνο και ορίζουµε ως Ν' τον αριθµό των σηµείων που τυχαίνει να "πέφτουν" εντός του Σ. Τότε είναι γεωµετρικά προφανές ότι το εµβαδόν του Σ είναι προσεγγιστικά ίσο µε το λόγο: Ν / Ν. Όσο µεγαλύτερο είναι το Ν, τόσο πιο µεγάλη είναι η ακρίβεια αυτής της εκτίµησης. Ο αριθµός των σηµείων του σχήµατος είναι Ν = 40. Απο αυτά Ν = είναι µέσα στην περιοχή Σ. Ο λόγος Ν /Ν= /40 = 0.30, ενώ το πραγµατικό εµβαδόν του Σ είναι Πρακτικά, η µέθοδος Hit or Miss δεν χρησιµοποιείται για ευρεση του εµβαδού ενός επίπεδου σχήµατος, και αυτό διότι υπάρχουν µέθοδοι - τύποι σύγκλισης που αν και είναι πιο πολύπλοκοι µαθηµατικά, είναι πολύ πιο ακριβείς, Παρόλα αυτά η µέθοδος "Επιτυχίας ή Αστοχίας" του παραδείγµατος αυτού, µας επιτρέπει να εκτιµήσουµε, το ίδιο απλά, το "πολυδιάστατο όγκο" ενός σώµατος σε πολλές διαστάσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η MC είναι συχνά η µόνη αριθµητική µέθοδος που είναι χρήσιµη στην επίλυση του προβλήµατος. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 3

4 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.6 Ποιά είναι τα τρία κυριότερα χαρακτηριστικά των µεθόδων ΜC Η Monte Carlo είναι πολύ απλή. Ενα στοιχείο που χαρακτηρίζει την MC είναι η απλή δοµή του υπολογιστικού αλγόριθµου. Σαν κανόνας, το πρόγραµµα πρέπει να διεκπεραιώσει µια τυχαία δοκιµή (στο προηγούµενο παράδειγµα της "Eπιτυχίας ή Aστοχίας" πρέπει κανείς να ελέγξει αν ένα επιλεγµένο τυχαίο σηµείο του τετραγώνου βρίσκεται επίσης µέσα στην περιοχή Σ). Αυτή η δοκιµή επαναλαµβάνεται Ν φορές, µε κάθε δοκιµή ανεξάρτητη από τις προηγούµενες, και µετά τα αποτελέσµατα των δοκιµών παίρνονται κατά µέσο όρο. Η µέθοδος µπορεί να είναι εξαιρετικά αργή. Για παράδειγµα στην ολοκλήρωση, το λάθος των υπολογισµών είναι ανάλογο µε D /, όπου D είναι κάποια σταθερά και Ν ο αριθµός των δοκιµών. Γίνεται προφανές έτσι ότι για να µειώσει κανείς το λάθος κατά ένα παράγοντα 0 (δηλαδή να αποκτήσει ακόµη ένα δεκαδικό ψηφιο) απαιτείται να αυξήσει το Ν κατά 00 (και την ποσότητα εργασίας) Η µέθοδος είναι πολύ δυνατή στα πολυδιάστατα προβλήµατα, όπου και χρησιµοποιείται κυρίως, γιατί γενικά η ακρίβεια της εξαρτάται µόνο από την πολυπλοκότητα του προβλήµατος. Στην ολοκλήρωση, όπως θα δούµε / αργότερα, συγκλινει µε ρυθµό O( ) που είναι ανεξάρτητο των διαστάσεων του ολοκληρώµατος. Για αυτό το λόγο, η µέθοδος MC είναι η µόνη βιώσιµη σε ένα µεγάλο πεδίο προβληµάτων πολλών διαστάσεων, από την φυσική ως την οικονοµία. Λόγω των παραπάνω χαρακτηριστικών της µεθόδου, της εύκολης χρήσης, της εφαρµοσιµότητας σε πολλά πεδία, αλλά και της αργής σύγκλισης ένα µεγάλο ποσο υπολογιστικού χρόνου δαπανάται σε υπολογισµούς µε την Monte Carlo. Για αυτό το λόγο, ακόµα και µέτριες βελτιώσεις στην µέθοδο µπορεί να έχουν ουσιαστικό αντίκτυπο στην αποτελεσµατικότητα και την εφαρµοσιµότητά της..7 Πως προσπαθούµε να βελτιώσουµε την µέθοδο Ο κύριος τρόπος για να βελτιώσουµε την ταχύτητα των υπολογισµών Monte Carlo είναι η µείωση της διασποράς (Variance Reduction). Οι µέθοδοι Μείωσης της ιασποράς της Monte Carlo αποσκοπούν να επιταχύνουν τον ρυθµό / σύγκλισης µειώνοντας την σταθερά µπροστά από τον O( ) χρησιµοποιώντας (ψευδο-) τυχαίες (pseydo-random) ακολουθίες αριθµών. Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι να αλλάξουµε ακολουθίες από (ψευδο-) τυχαίους αριθµούς σε quasi-τυχαίους αριθµούς (quasi-random). Το χαρακτηριστικό αυτών είναι όπως θα δούµε πως δεν προσπαθούν να µιµηθούν την συµπεριφορά των Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 4

5 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - τυχαίων ακολουθιών, αλλά τα στοιχεία των quasi-τυχαίων ακολουθιών είναι συσχετισµένα ώστε να γίνουν ηθεληµένα πιο οµοιόµορφα από τις «καθαρά» τυχαίες ακολουθίες..8 Περισσότερα για το παράδειγµα Επιτυχίας ή Αστοχίας Πώς γίνεται η επιλογή των σηµείων στο παράδειγµα αυτό; Έστω ότι µια µεγενθυµένη εκδοχή του σχήµατος κρέµεται σε έναν τοίχο σαν στόχος. Σε κάποια απόσταση από τον τοίχο, ένας σκοπευτής πυροβολεί Ν φορές, στοχεύοντας στο κέντρο το τετραγώνου. Υποθέτουµε ότι η απόσταση από τον τοίχο είναι αρκετά µεγάλη (και ότι ο σκοπευτής δεν είναι ο παγκόσµιος πρωταθλητής ). Τότε, φυσικά, οι σφαίρες δεν θα πετύχουν το κέντρο, αλλά θα χτυπήσουν τον στόχο σε Ν τυχαία σηµεία. Μπορούµε να βρούµε τότε το εµβαδόν του Σ από αυτά τα σηµεία; Το αποτέλεσµα ενός τέτοιου πειράµατος φαίνεται στο παραπάνω σχήµα. Σε αυτό, έχουµε Ν = 40, Ν = 4 και ο λόγος είναι Ν /Ν = 0.60, που είναι σχεδόν διπλάσιο από το πραγµατικό εµβαδόν (0.35). Γίνεται τότε προφανές ότι εάν ο σκοπευτής ήταν πάρα πολύ ικανός, το αποτέλεσµα θα ήταν πολύ παραπλανητικό, διότι σχεδόν όλες οι σφαίρες θα χτυπούσαν τον στόχο κοντά στο κέντρο και φυσικά εντός του Σ. Αντιλαµβάνεται, λοιπόν, κανείς ότι η µέθοδος του υπολογισµού εµβαδού είναι έγκυρη, όταν τα τυχαία σηµεία είναι όχι µόνο "τυχαία" αλλά επιπλέον και "οµοιόµορφα κατανεµηµένα" σε όλο το τετράγωνο. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 5

6 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -. Στοιχεία Στατιστικής στην Monte Carlo. Νόµος των Μεγάλων αριθµών Έστω µια διακριτή τυχαία µεταβλητή Χ. Εάν παρατηρήσουµε την µεταβλητή Χ αρκετές φορές και πάρουµε τις τιµές ξ, ξ,, ξ Ν, που κάθε µια θα είναι ίση µε ένα από τους αριθµούς x, x, x3,, x n που είναι οι δυνατές τιµές της Χ, τότε ο αριθµητικός µέσος όρος αυτών των τιµών θα είναι κοντά στην µέση τιµή Ε(Χ), δηλαδή : ( ξ + ξ + + ξ Ν ) E( X ) Ν και η διασπορά Var(Χ) χαρακτηρίζει την διακύµανση των τιµών αυτών γύρω από τη µέση τιµή Ε(Χ). Επίσης για θα έχουµε ότι lim ξ j = E( X ) Η παραπάνω εξίσωση είναι µια απλή περίπτωση του Νόµου των µεγάλων αριθµών και µπορεί να επεξηγηθεί ως εξής: Υποθέτουµε ότι µεταξύ των τιµών ξ, ξ,, ξ Ν, ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές, ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές, κ.ο.κ. και ο αριθµός x εµφανίζεται k φορές. Τότε: Έτσι: j= j n ξ = x k + x k x k k k ξ j = x + x x j= Για µεγάλο Ν, η συχνότητα pi,έτσι ώστε k p. Ετσι θα έχουµε : i i j= ξ n n n n k n k i της τιµής προσεγγίζει την πιθανότητα της k x i n n i j = xi xi pi = i i= E( X ) j=. Η κατανοµή Gauss και ο κανόνας των 3 αποκλίσεων Μια κανονική (ή Gauss) τυχαία µεταβλητή είναι µια τυχαία µεταβλητή X που ορίζεται στο R και έχει πυκνότητα πιθανότητας: ( x µ ) p ( = exp σ π σ όπου µ και σ > 0 είναι πραγµατικές παράµετροι. Αποδεικνύεται ότι η µέση τιµή και η διασπορά µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής είναι αντίστοιχα: E( X ) = µ και Var( X ) = σ Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 6

7 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η συνάρτηση Φ( = π x t e 0 / dt λέγεται συνάρτηση σφάλµατος (error function) και συνήθως χρησιµοποιείται ένας πίνακας τιµών της για να πάρουµε αυθαίρετες πιθανότητες µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής X. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Έστω ότι θέλουµε να βρούµε την πιθανότητα: b ( x µ ) P a X b ( < < ) = exp dx σ π α σ Κάνουµε την αντικατάσταση: x - µ = σ t και παίρνουµε: όπου t t P a X b dt t ( < < ) = exp π = a µ ) / σ και t = ( β µ ) / σ ( t Έτσι φτάνουµε στη σχέση: P ( a < X < b) = ( Φ( ) Φ( )) t t που χρησιµοποιούµε για να πάρουµε τις ζητούµενες πιθανότητες της Χ. Οι πινακες τιµών της Φ περιέχουν µόνο θετικές τιµές του x, αφού ισχύει: Φ(- = - Φ(. Έστω τώρα ότι θέτουµε α=µ-3σ και b=µ+3σ. Τότε t = 3 και t = 3 και η σχέση που µας δίνεται την πιθανότητα της Χ γίνεται: P ( µ 3 σ < Χ < µ + 3σ ) = Φ(3) = ηλαδή µε πιθανότητα (σχεδόν ), µια τυχαία δοκιµή από την κανονική κατανοµή θα µας δώσει µια τιµή της Χ που δεν θα απέχει από την µέση τιµή της περισσότερο από τρεις αποκλίσεις («κανόνας των 3 σ»)..3 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Ας θεωρήσουµε ίδιες ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές X, X,..., X, έτσι ώστε οι κατανοµές πιθανοτήτων τους να συµπίπτουν. Συµπερασµατικά, οι µέσες τους τιµές και οι διασπορές θα συµπίπτουν επίσης (υποθέτουµε ότι είναι πεπερασµένες). Αυτές οι τυχαίες µεταβλητές µπορούν να είναι συνεχείς ή διακριτές. Ας ορίσουµε: Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 7

8 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - E( X Var( X ) = E( X ) = Var( X ) =... = E( X ) = m ) =... = Var( X ) = b ηλώνουµε το άθροισµα όλων των µεταβλητών µε S : S = X + X X Από τις ιδιότητες E ( Χ + Υ) = E( Χ) + E( Υ) και Var ( Χ + Υ) = Var( Χ) + Var( Υ) έχουµε ότι: E( S ) = E( Χ + Χ Χ ) = E( Χ) + E( Χ ) E( Χ ) = m και Var( S b ) = Var( Χ + Χ Χ ) = Var( Χ) + Var( Χ ) Var( Χ ) = Ας θεωρήσουµε τώρα µια κανονική τυχαία µεταβλητή µε τις ίδιες παραµέτρους, δηλαδή µ = m και σ = b. Η πυκνότητα πιθανότητας της συµβολίζεται µε: p (. Τότε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) λέει ότι για κάθε διάστηµα ( x', x'') και για όλα τα µεγάλα έχουµε: P( x' < S < x' ') x'' x' p ( dx Η φυσική σηµασία του θεωρήµατος αυτού είναι προφανής: το άθροισµα S ενός µεγάλου αριθµού ίδιων ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών είναι προσεγγιστικά µια κανονική τυχαία µεταβλητή. Στην πραγµατικότητα, αυτό το θεώρηµα ισχύει και κάτω από πολύ πιο αδύναµες συνθήκες: οι µεταβλητές X, X,..., X να µην είναι απαραίτητα πανοµοιότυπες και ανεξάρτητες, ουσιαστικά δηλαδή αυτό που απαιτείται είναι οι µεµονωµένες µεταβλητές µην παίζουν πολύ µεγάλο ρόλο στο άθροισµα. Αυτό το θεώρηµα είναι που εξηγεί γιατί οι κανονικές τυχαίες µεταβλητές συναντώνται τόσο συχνά στη φύση. Πράγµατι, όταν συναντάµε µια αθροιστική επίδραση ενός µεγάλου αριθµού µικρών τυχαίων παραγόντων, η προκύπτουσα (αθροιστική) τυχαία µεταβλητή είναι κανονική. Για παράδειγµα, ο διασκορπισµός των όλµων πυροβολικού είναι σχεδόν πάντα κανονική τυχαία µεταβλητή, αφού εξαρτάται από τις καιρικές συνθήκες καθ'όλες τις διαφορες περιοχές της τροχιάς όπως επίσης και απο πολλούς άλλους παράγοντες. Ζ X j να Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 8

9 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» -.4. To γενικό σχήµα των µεθόδων Monte Carlo To γενικό σχήµα των µεθόδων MC βασίζεται στον Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα και στον κανόνα των 3 αποκλίσεων. Υποθέτουµε ότι χρειάζεται να υπολογίσουµε κάποια άγνωστη ποσότητα m. Ας προσπαθήσουµε να βρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ µε µέση τιµή Ε(Χ)=m. Έστω ότι η διασπορά της Χ είναι Var ( X ) = b. Θεωρούµε ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές X, X,..., X µε κατανοµές πανοµοιότυπες µε εκείνη της Χ. Εάν το είναι αρκετά µεγάλο, τότε έπεται από το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα ότι η κατανοµή του αθροίσµατος S = X + X X θα είναι προσεγγιστικά κανονική, µε παραµέτρους: Σύµφωνα µε τον κανόνα των "τριών σ" θα έχουµε: µ = m και σ = b. ( m 3b < S < m + 3b ) P Αν διαιρέσουµε την ανισότητα της παρένθεσης µε Ν, παίρνουµε µια ισοδύναµη ανισότητα, της οποίας η πιθανότητα παραµένει η ίδια: P m 3b S < < m + 3b Ξαναγράφουµε την τελευταία έκφραση σε κάπως διαφορετική µορφή: P X m < 3b j j= Αυτή είναι µια πολύ σηµαντική σχέση για την µέθοδο MC, που µας δίνει και την µέθοδο υπολογισµού της m αλλά και µια προσέγγιση του λάθους. Πράγµατι, αρκεί να πάρουµε τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ - η επιλογή µιας τιµής από κάθε µια από τις X, X,..., X είναι ισοδύναµη µε την επιλογή Ν τιµών της Χ, αφού όλες αυτές οι τυχαίες µεταβλητές έχουν ίδιες κατανοµές και να πάρουµε τη δειγµατική µέση τιµή τους. Για αυτό και στην βιβλιογραφία, αυτό το σχήµα λέγεται και Sample Mean Monte Carlo. Από την παραπάνω εξίσωση, γίνεται φανερό ότι ο αριθµητικός µέσος αυτών των τιµών θα είναι προσεγγιστικά ίσος µε τη ζητούµενη ποσότητα m. Με κάθε πιθανότητα, το σφάλµα της προσέγγισης δεν ξεπερνά το 3 b και προσεγγίζει το µηδεν καθώς το Ν αυξάνει. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 9

10 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - 3. Ολοκλήρωση Monte Carlo 3. Η µέθοδος του υπολογισµού Θεωρούµε µια συνάρτηση f ( ορισµένη στο διάστηµα α < x < b. Θέλουµε να υπολογίσουµε προσεγγιστικά το ολοκλήρωµα: I = b a f ( dx Ξεκινάµε επιλέγοντας µια αυθαίρετη πυκνότητα κατανοµής p( ορισµένη στο διάστηµα (α, b) - µε άλλα λόγια µια αυθαίρετη συνάρτηση που ικανοποιεί τις εξισώσεις. p( > 0. b a p( dx = Θεωρούµε µια τυχαία µεταβλητή X µε πυκνότητα p( στο διάστηµα (α, b), και επιπλέον µια τυχαία µεταβλητή Y = g( X ) = f ( X ) p( X ) Από την ιδιότητα: b b f ( E ( g( X )) = g( p( dx θα έχουµε: E ( Y ) = p( dx = I p( a a Τώρα, θεωρούµε Ν ανεξάρτητες, τυχαίες µεταβλητές Y, Y,..., Y µε την ίδια κατανοµή µε την Y και εφαρµόζουµε το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα για το άθροισµά τους, το οποίο θα είναι µια τυχαία µεταβλητή προσεγγιστικά κανονική µε παραµέτρους a = I, σ = Var( Y ) Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουµε από τον κανόνα των 3σ: P a 3σ < S < a + 3σ P ( ) ( I 3 Var( Y ) < S < I + 3 Var( Y ) ) 3 P I P Var( Y ) S < Y I < 3 j j= 3 < I + Var( Y ) Var( Y ) ( II) Από την τελευταία σχέση, έχουµε ότι εάν διαλέξουµε Ν τιµές ξ, ξ,..., ξ, τότε για Ν αρκετά µεγάλο θα έχουµε ότι: f ( ξ j ) I ( III) p( ξ j= j ) Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 0

11 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η σχέση (II) επίσης µας δίνει και ένα πιθανοθεωρητικό άνω φράγµα του Var( Y ) σφάλµατος της προσέγγισης της (ΙΙΙ), το οποίο θα είναι 3. Για αυτό και λέµε ότι το σφάλµα της Monte Carlo ολοκλήρωσης είναι της τάξης O. 3. Το σχήµα της ολοκλήρωσης όταν πάρουµε οµοιόµορφη τ.µ. Θεωρούµε το µονοδιάστατο ολοκλήρωµα I = f ( dx. 0 Σύµφωνα λοιπόν µε το σχήµα των µεθόδων Monte Carlo, εάν θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της συνάρτησης f (, αρκεί να βρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ της οποίας η µέση τιµή να είναι ίση µε ολοκλήρωµα της f (. Έστω Χ να είναι µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή στο [0,], δηλαδή η πυκνότητα της θα είναι ίση µε φ ( =. Η µέση ή αναµενόµενη τιµή τότε της f ( στο διάστηµα [0,] είναι: E X [ f ( ] = = 0 0 f ( φ( dx f ( dx όπου η E X [] είναι η µέση τιµή σε σχέση µε την τυχαία µεταβλητή Χ. Έστω xi µια τυχαία δοκιµή από την κατανοµή Χ ~ U[0,]. Γνωρίζουµε από τον νόµο των µεγάλων αριθµών ότι : E X [ f ( ] = lim i= f ( x ) Άρα µπορούµε να προσεγγίσουµε το ολοκλήρωµα τυχαίες δοκιµές-αριθµούς από την Χ σύµφωνα µε τον τύπο: Iˆ n = f ( xi ) f ( dx i= 0 i 0 f ( dx χρησιµοποιώντας Σύµφωνα µε τον ισχυρό Νόµο των µεγάλων αριθµών αυτή η προσέγγιση συγκλίνει µε πιθανότητα. ηλαδή ˆ lim I = I Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

12 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Αφού η προσέγγιση βασίζεται σε µια τυχαία µεταβλητή, το προσεγγιστικό ολοκλήρωµα είναι και αυτό µια τυχαία µεταβλητή µε διασπορά ίση µε: V ( Iˆ ) = = = V ( f ( ) E E [( f ( E[ f ( ]) ] [( f ( I ) ] Ένας αµερόληπτος εκτιµητής της V ( f ( ) είναι ως γνωστόν: V ˆ( f ( ) = i= ( ˆ ) f ( ) x i I Έτσι η εκτιµώµενη διασπορά του εκτιµητή του ολοκληρώµατος (της προσέγγισης) είναι: V ˆ( Iˆ ) ( f ( xi ) Iˆ ) i= Παρατήρηση: Πρέπει να τονίσουµε ότι κάθε προσέγγιση ολοκλήρωσης Monte Carlo θα πρέπει να συνοδεύεται µε αναφορά για την διασπορά. Αλλιώς θα είναι σαν να αναφέρουµε µια εκτίµηση χωρίς το τυπικό σφάλµα, δηλαδή πάνω κάτω άσκοπο. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουµε την τάξη του προσεγγιστικού σφάλµατος. 3.3 Το σφάλµα της ολοκλήρωσης Monte Carlo Ορίζουµε το σφάλµα της Monte Carlo σαν: ε [ f ] = I ˆ, δηλαδή Ν ε [ f ] = I f ( dx d x i I i= και το το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (Root Mean Square Error (RMSE) ) της MC ολοκλήρωσης που χρησιµοποιεί (ψευδο-)τυχαίες ακολουθίες: E[ ε[ f ] ] / f ( ) Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα περιγράφει το µέγεθος και τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλµάτων της ολοκλήρωσης Monte Carlo. Θεώρηµα: Για Ν µεγάλο, έχουµε Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37

13 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - / ε Ν[ f ] σ Ν ν όπου ν είναι η τυπική (Ν(0,)) τυχαία µεταβλητή και η σταθερά σ είναι η τυπική απόκλιση, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της διασποράς της f : σ = x ( f ( I ) D dx Το θεώρηµα αυτό µας λέει ότι το σφάλµα της Monte Carlo είναι της τάξης του / O( ) µε µια σταθερά µπροστά που είναι ακριβώς η διασπορά της συνάρτησης f. Επιπλέον η κατανοµή του σφάλµατος είναι προσεγγιστικά κανονική. Αφού το φράγµα του σφάλµατος από το Κ.Ο.Θ. είναι πιθανοθεωρητικό, η ακρίβεια της µεθόδου µπορεί να διασφαλιστεί µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης c. Για να είµαστε σίγουροι ότι το σφάλµα είναι µεγέθους το πολύ ε µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης c, απαιτείται ο αριθµός των σηµείων που χρησιµοποιούµε να είναι: = ε σ s( c) όπου s είναι η συνάρτηση εµπιστοσύνης (confidence function) για µια κανονική τυχαία µεταβλητή. ηλαδή: s( c) c = e s( c) c / dx / π = erf / ( s( c) / ) Στην πράξη είναι δύσκολο να βρούµε την ακριβή τιµή της διασποράς, άρα και της απόκλισης, για αυτό οι παραπάνω τύποι δεν εφαρµόζονται άµεσα. Γι αυτό χρησιµοποιούµε την εµπειρική διασπορά και σφάλµα. Επαναλαµβάνουµε το πείραµα Monte Carlo Μ φορές χρησιµποιώντας ανεξάρτητα σηµεία για i M. Για κάθε επανάληψη παίρνουµε τιµές I για j M. Τότε το εµπειρικό µέσο τετραγωνικό σφάλµα είναι : / M ( j ) ε ( I I ) όπου έχουµε: I Ν = Μ j= M ( j) = I M j= τότε η εµπειρική διασπορά δίνεται από τη σχέση: σ = Ν / ε Ν ( j) x i Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 3

14 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Αυτήν την τιµή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε στην σχέση = ε σ s( c) για να βρούµε το πλήθος των σηµείων που απαιτούνται για µια δεδοµένη ακρίβεια ε και ένα επίπεδο εµπιστοσύνης c. 3.4 Επέκταση στην πολυδιάστατη περίπτωση Η επέκταση στην γενική πολυδιάστατη περίπτωση είναι αρκετά απλή. Έστω n D R να είναι ένα ν-διάστατο πεδίο πάνω στο οποίο θέλουµε να υπολογίσουµε ένα ολοκλήρωµα f ( dx όπου f ( : R n R. Έστω X D να είναι µια x D τυχαία µεταβλητή πάνω στο πεδίο D µε οµοιόµορφη κατανοµή φ ( = έτσι vol( D) ώστε να ισχύει: φ ( dx =. Τότε το ολοκλήρωµα είναι µια αναµενόµενη τιµή: x D f ( f ( dx = φ( dx = φ( x D i= x D f ( = E = vol( D) φ( n vol( D) f ( x i ) n E( f ( ) x i όπου να είναι µια τυχαία δοκιµή από εκείνη την κατανοµή, δηλαδή ένα διάνυσµα τυχαίων τιµών. Τα κυριότερα προβλήµατα στην ολοκλήρωση Monte Carlo είναι: Τυχαίες οκιµές: Πρέπει να δοκιµάζουµε µε τυχαίους αριθµούς από την "σωστή" κατανοµή. Μείωση ιασποράς: Για να ελαχιστοποιήσουµε το σφάλµα της προσέγγισης (τη διασπορά του εκτιµητή). 3.5 Σύγκριση µε µεθόδους που βασίζονται σε πλέγµα (grid based methods) Πως µπορεί µια µέθοδος που βασίζεται σε τυχαίους αριθµούς να είναι καλύτερη από τις κλασσικές µεθόδους που βασίζονται σε πλέγµατα; Ας συγκρίνουµε τον ρυθµό σύγκλισης της Monte Carlo µε αυτόν µιας αριθµητικής µεθόδου ολοκλήρωσης, π.χ. της µεθόδου Simpson. Ο ρυθµός σύγκλισης µιας µεθόδου k / d O, όπου k η τάξη της µεθόδου και d ο του είδους ewton-cotes είναι ( ) Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 4

15 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - αριθµός των διαστάσεων. Ο ρυθµός σύγκλισης όµως της µεθόδου Monte Carlo είναι όπως είδαµε O ( / ) και είναι ανεξάρτητος των διαστάσεων. Έτσι, µπορούµε να πούµε ότι η Monte Carlo υπερισχύει των µεθόδων ewton-cotes εάν k / d </ Μια πιο ρεαλιστική εξήγηση είναι ότι είναι πρακτικά αδύνατο να δηµιουργήσουµε ένα πλέγµα σε πολλές διαστάσεις. Το απλούστερο πλέγµα για έναν κύβο d d διαστάσεων απαιτεί σηµεία. Για 0 διαστάσεις, που δεν είναι ιδιαίτερα µεγάλος αριθµός για εφαρµογές, απαιτούνται περισσότερο από ένα εκατοµµύριο σηµεία. Επιπλέον είναι αδύνατο να εκλεπτύνουµε ένα πλέγµα σε πολλές διαστάσεις αφού µια τέτοια εκλέπτυνση απαιτεί αύξηση των σηµείων κατά ένα d παράγοντα του. Σε αντίθεση µε αυτά, η ακρίβεια της Monte Carlo δεν εξαρτάται από τις διαστάσεις και κάθε επιπλέον σηµείο που προστίθεται στον υπολογισµό προσδίνει µια αυξητική βελτίωση στην ακρίβειά της. 4. Παραγωγή τυχαίων αριθµών Όπως είδαµε, στα προηγούµενα θεωρήσαµε κυρίως για απλούστευση ότι χρησιµοποιούµε τυχαίες µεταβλητές απο την οµοιόµορφη κατανοµή στην ολοκλήρωση Monte Carlo. εν ισχύει όµως πάντα αυτό. Μπορεί να χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε τυχαίους αριθµούς από µια άλλη κατανοµή. Οι συνήθεις γεννήτριες τυχαίων αριθµών στους υπολογιστές µας δίνουν τυχαίες µεταβλητέςαριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή. Για να πάρουµε τυχαίους αριθµούς από µη-οµοιόµορφες κατανοµές κάνουµε µετασχηµατισµό των οµοιόµορφων τυχαίων µεταβλητών. Παρακάτω παρουσιάζουµε µερικές µεθόδους για την παραγωγή µη οµοιόµορφων τυχαιών µεταβλητών. 4. Μέθοδος Μετασχηµατισµού Έστω ότι θέλουµε να κάνουµε µια τυχαία δοκιµή από µια τυχαία µεταβλητή X που έχει συνάρτηση κατανοµής F (. Ξέρουµε ότι η F(X ) είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,], αφού < F P(F(X) < u) = P(X ( u)) = F( F ( u)) = u. Αυτό συνεπάγεται ότι αν η U είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,], τότε η F ( U ) είναι κατανεµηµένη σαν την X. Έτσι αρκεί να βρούµε την αντίστροφη της συνάρτησης κατανοµής F() και να εφαρµόσουµε αυτήν σε µια οµοιόµορφα κατανεµηµένη τυχαία δοκιµή u για να πάρουµε µια τυχαία δοκιµή-αριθµό από την ζητούµενη κατανοµή. Μπορεί, όµως, να υπάρχουν ουσιαστικά προβλήµατα στην Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 5

16 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - εύρεση ή την προσέγγιση της αντίστροφης συνάρτησης της F(). Παράδειγµα 4.. Πως µπορούµε να πάρουµε µια τυχαία δοκιµή από την εκθετική κατανοµή λx F( = λ e Βρίσκουµε την αντίστροφή της συνάρτηση: u F ( u) = ln λ λ Κάνοντας µια τυχαία δοκιµή παίρνουµε µια εκθετικά κατανεµηµένη τυχαία δοκιµή. u από την U[0,] και θέτοντας x = F ( ) i x i i u i Παράδειγµα 4.. Πως µπορούµε να πάρουµε τυχαίους αριθµούς από την κανονική κατανοµή; Μια standard κανονική τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα: p( = exp( x / ) π και αθροιστική συνάρτηση κατανοµής: x F( = exp( t / ) dt = + erf ( x / ) π όπου erf είναι η συνάρτηση σφάλµατος που ορίζεται από : z erf ( z) = exp( t ) dt π 0 Ένας τρόπος τότε για να πάρουµε µια δοκιµή x από την κανονική κατανοµή είναι να εφαρµόσουµε την αντίστροφη της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής F σε µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή y. Θα έχουµε y = F( = + erf ( x / ) οπότε: x = erf y ( ) Για κάποιες κοινά χρησιµοποιούµενες κατανοµές, όπως η κανονική κατανοµή, υπάρχουν περισσότερο αποτελεσµατικοί αλγόριθµοι για την παραγωγή τυχαίων δοκιµών-αριθµών. Για την κανονική περίπτωση µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει την µέθοδο Box-Muller. Μέθοδος Box - Muller Η µέθοδος Box-Muller παρέχει ένα άµεσο τρόπο για να παράγουµε κανονικές τυχαίες µεταβλητές χωρίς να αντιστρέφουµε την συνάρτηση σφάλµατος. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 6

17 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Ξεκινώντας από δύο οµοιόµορφες µεταβλητές τυχαίες µεταβλητές από τους τύπους: x = log( y ) cos(π y ) x = log( y ) sin(π y ) y, y, παίρνουµε δύο κανονικές Τα µειονεκτήµατα της µεθόδου Box-Muller είναι οτι απαιτεί τον υπολογισµό υπερβατικών συναρτήσεων και ότι παράγει δύο τυχαίες µεταβλητές, ανεξάρτητα αν χρειαζόµαστε µόνο µία. 4. Μέθοδος Αποδοχής - Απόρριψης Έστω ότι θέλουµε να πάρουµε µια τυχαία µεταβλητή y κατανεµηµένη µε πυκνότητα p y (y) στο πεδίο από y ε ώς y. Έστω p MAX η µέγιστη τιµή της πυκνότητας p y (y) στο πεδίο αυτό όπως στο σχήµα. Η µέθοδος έχει ως εξής: Παίρνουµε µια τυχαία τιµή y από το y ε ώς y Υπολογίζουµε την (y) για αυτήν την τιµή y p y Παίρνουµε ένα τυχαίο αριθµό x που είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο πεδίο [ 0, pmax ] Εάν p y ( y) < x απορρίπτουµε τον αριθµό y, αλλιώς τον αποδεχόµαστε. Ακολουθούµε αυτή τη διαδικασία και παίρνουµε την τυχαια µεταβλητή y που είναι κατανεµηµένη σύµφωνα µε πυκνότητα (y) p y Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 7

18 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Παράδειγµα: Θεωρούµε την κανονική κατανοµή µε πυκνότητα: p y ( y) = exp( ( y µ ) / σ ) σ π όπου µ είναι η µέση τιµή και σ η τυπική απόκλιση. Θέτουµε ymin = µ 4σ και ymax = µ + 4σ αφού είναι πολύ µικρή η πιθανότητα να πάρουµε τιµές του y που να απέχουν περισσότερο από τέσσερις αποκλίσεις από την µέση της τιµή. Τότε η µέγιστη τιµή θα είναι: p MAX = σ π µε το µέγιστο να προκύπτει όταν y=µ. Η παρακάτω συνάρτηση της C++ επιστρέφει µια τυχαία µεταβλητή από την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή mean και απόκλιση sigma: // Function to return random variable distributed // according to Gaussian distribution with mean mean // and standard deviation sigma. double gaussian (double mean, double sigma) { double ymin = mean - 4. * sigma; double ymax = mean + 4. * sigma; double Pymax =. / sqrt (. * M_PI) / sigma; // Calculate random value uniformly distributed // in range ymin to ymax double y = ymin + (ymax - ymin) * double (random ()) / double (RADMAX); // Calculate Py double Py = exp (- (y - mean) * (y - mean) /. / sigma / sigma) / sqrt (. * M_PI) / sigma; // Calculate random value uniformly distributed in range 0 to Pymax double x = Pymax * double (random ()) / double (RADMAX); // If x > Py reject value and recalculate if (x > Py) return gaussian (mean, sigma); else return y; } Το παρακάτω σχήµα µας δείχνει την απόδοση της παραπάνω συνάρτησης για ένα εκατοµµύριο σηµεία µε mean=5. και sigma =.5. Οι τιµές έχουν οµαδοποιηθεί σε 00 οµάδες µε εύρος 0.. Το σχήµα δείχνει τον αριθµό των σηµείων που έπεσαν σε κάθε οµάδα διαιρεµένο κατά ένα κατάλληλο παράγοντα κανονικοποίησης. Επίσης φαίνεται η αντίστοιχη Gaussιανή καµπύλη για σύγκριση. Φαίνεται καθαρά ότι η συνάρτηση αυτή πετυχαίνει να µας δώσει µια τυχαία κανονική µεταβλητή. Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 8

19 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - Η µέθοδος έχει τα εξής πλεονεκτήµατα: ) εν απαιτεί τον την αντιστροφή συναρτήσεων κατανοµής. ) ουλεύει ακόµα και αν η πυκνότητα p( δεν έχει κανονικοποιηθεί για να έχει ολοκλήρωµα. Το µόνο της µειονέκτηµα είναι ότι µπορεί να είναι αναποτελεσµατική απαιτώντας πολλές επαναλήψεις πριν έχουµε µια αποδοχή. Μια επέκταση της µεθόδου αποδοχής απόρριψης είναι ο αλγόριθµος Metropolis. 5. Μείωση ιασποράς Όπως είδαµε στα προηγούµενα το σφάλµα ε και ο αριθµός Ν των σηµείων στην ολοκλήρωση Monte Carlo συσχετίζονται µε τις σχέσεις: / ε = O( σ ) = O( σ / ε) Ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για την MC είναι ανάλογος του αριθµού των δειγµάτων και είναι της τάξης του O( σ / ε), που µας δείχνει ότι ο Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 9

20 Π.Μ.Σ. Μαθηµατικού 00-0 «Αριθµητική Ανάλυση» - υπολογιστικός χρόνος αυξάνεται ραγδαία καθώς η απαιτούµενη ακρίβεια µεγαλώνει. Υπάρχουν δύο τρόποι για να επιταχύνουµε, να µειώσουµε το σφάλµα, της MC. Ο πρώτος είναι να προσπαθήσουµε να µειώσουµε τη διασπορά, στον οποίο το ολοκλήρωµα µετασχηµατίζεται έτσι ώστε να µειωθεί η σταθερά σ. Ο δεύτερος τρόπος, που θα εξετάσουµε παρακάτω, είναι να αντικαταστήσουµε τις τυχαίες τιµές που χρησιµοποιούµε µε µια εναλλακτική ακολουθία quasi-τυχαίοι αριθµοί- που βελτιώνει τον εκθέτη ½. Μια παρατήρηση που πρέπει να κάνουµε ότι οι µέθοδοι που ακολουθούν απαιτούν επιπλέον υπολογιστικό χρόνο, που όµως εξισορροπείται από το κέρδος που έχουµε µε το µειωµένο αριθµό σηµείων Ν. Στα περισσότερα παραδείγµατα, το κέρδος λόγω της µείωσης της διασποράς είναι αρκετά σηµαντικό. 5. Αντίθετες µεταβλητές (Antithetic Variables) Οι αντίθετες µεταβλητές είναι µια από τις απλούστερες και πιο ευρέως χρησιµοποιούµενες µεθόδους µείωσης της διασποράς. Συνήθως οι υπολογισµοί MC χρησιµοποιούν σηµεία που είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Η µέθοδος των αντίθετων µεταβλητών εσκεµµένα χρησιµοποιεί συσχετισµένα σηµεία, εκµεταλλευόµενη το γεγονός ότι µια τέτοια συσχέτιση µπορεί να είναι αρνητική. Μαθηµατικά, βασιζόµαστε στο γεγονός ότι: Var ( f + f ) = Var( f) + Var( f ) + covar( f, f ) Εάν µπορούσαµε να διαλέξουµε σηµεία τέτοια ώστε CoVar( f, f ) < 0 τότε θα είχαµε µια ουσιαστική µείωση στην διασπορά. Για κάθε (πολυδιάστατη) δειγµατική τιµή-σηµείο x, χρησιµοποιούµε επίσης την τιµή x. Έτσι η µέθοδος Monte Carlo γίνεται: Iˆ = ( f ( x i ) + f ( x i )) i= Παράδειγµα: Το πιο τετριµµένο παράδειγµα αυτής της µεθόδου είναι η ολοκλήρωση MC της συνάρτησης f ( = x στο διάστηµα [0,] υπολογίζοντας τις τιµές της στα σηµεία x και x i. Αφού η f ( είναι µονότονη στο πεδίο ολοκλήρωσης [0,], τότε η CoVar( f (, f ( ) είναι αρνητική. Έτσι η ακόλουθη προσέγγιση: Iˆ a n = n / n / f ( x ) + / n / i i= n i= f ( x ) n / = ( f ( xi ) + f ( xi )) n i= έχει διασπορά V ( Iˆ a n ) = V ( f ( ) + CoVar( f (, f ( ) n που είναι µικρότερη από τον πρώτο εκτιµητή εάν CoVar( f (, f ( ) < 0. i Καλαµαράς ηµήτρης α.µ. 37 0

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ 7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια αναφέρθηκαν λεπτοµερώς τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των διαφόρων στρατηγικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα