ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ DYCK ΚΑΙ GRAND DYCK

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ DYCK ΚΑΙ GRAND DYCK ΚΩΝ/ΝΟΣ Β. ΜΑΝΕΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2014

2

3 Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Διατριβή για την απόκτηση Διδακτορικού Διπλώματος του Τμήματος Πληροφορικής Ἁπαρίθμηση προτύπων σε μονοπάτια Dyck και Grad Dyck Εξεταστική Επιτροπή Χρήστος Αθανασιάδης Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Μιχάλης Γεωργιακόδης Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Συμβουλευτική επιτροπή Επιβλέπων: Παναγιώτης-Γεώργιος Τσικούρας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Μέλη: Αριστείδης Σαπουνάκης Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Φώτης Γεωργιακώδης Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Χαράλαμπος Ευαγγελάρας Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Μιχάλης Γεωργιακόδης Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Χρήστος Κουκουβίνος Καθηγητής Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Αριστείδης Σαπουνάκης Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Παναγιώτης-Γεώργιος Τσικούρας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς

4

5 Στους γονείς μου, Βασίλη και Μερσίνη

6

7 Ευχαριστίες Ευχαριστώ ολόψυχα τους Καθηγητές κ. Παναγιώτη Τσικούρα και κ. Αριστείδη Σαπουνάκη, για τη συμβολή τους στην εκπόνηση αυτής της διατριβής. Η συνεργασία μου μαζί τους ήταν για μένα μια ανεκτίμητη εμπειρία. Επίσης, ευχαριστώ τον Ομότιμο Καθηγητή κ. Μιχάλη Γεωργιακόδη καθώς και τον Καθηγητή κ. Φώτη Γεωργιακώδη, για τη στήριξη που απλόχερα μου προσέφεραν κατά τη διάρκεια της προσπάθειας αυτής. Επιπλέον, ευχαριστώ τον Ομότιμο Καθηγητή κ. Αντώνιο Παναγιωτόπουλο, ο οποίος αποτέλεσε μια αστείρευτη πηγή γνώσεων και εμπειριών σε επιστημονικά και εκπαιδευτικά ϑέματα. Επιπρόσθετα, ευχαριστώ τον διδάκτορα Ιωάννη Τασούλα, για τη βοήθεια που μου προσέφερε για την ολοκλήρωση αυτής της διατριβής, αλλά και για τα πολύτιμα ερεθίσματα που μου έδωσε σε διάφορα επιστημονικά ϑέματα. Επίσης, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τους διδάκτορες Μιχάλη Φραγκάκη και Μαριλένα Πούλου καθώς και τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Νίκο Αρούκατο. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά μου για τη συνεχή υποστήριξη που μου προσέφεραν. 7

8 Περίληψη Οι αριθμοί Catala ϑεωρούνται ως οι πιο σημαντικοί αριθμοί της Συνδυαστικής, μετά τους διωνυμικούς συντελεστές, λόγω της εντυπωσιακά συχνής εμφάνισής τους σε διάφορα προβλήματα. Ενδεικτικά, ο R. Staley διατηρεί αρχείο [67] με περισσότερα από 100 διαφορετικά σύνολα συνδυαστικών αντικείμενων που απαριθμούνται από τους αριθμούς Catala και άρα είναι πλη- ϑικά αλλά και δομικά ισοδύναμα. Τα πιο διαδεδομένα από αυτά είναι ίσως τα μονοπάτια λέξεις Dyck και τα δυαδικά δένδρα. Το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της διατριβής αυτής είναι τα μονοπάτια Dyck, τα οποία αποτελούν απλά μια αναπαράσταση στο επίπεδο των λέξεων Dyck. Λόγω της απλής και εύληπτης γεωμετρικής τους αναπαράστασης, αποτελούν ένα αντιπροσωπευτικό αντικείμενο της οικογένειας των αντικειμένων Catala και προσφέρονται για τη μελέτη ιδιοτήτων, οι οποίες μπορούν στη συνέχεια να μεταφραστούν κατάλληλα και σε ιδιότητες των υπόλοιπων αντικειμένων της οικογένειας. Επιπλέον, με την εισαγωγή κατάλληλων περιορισμών παραμέτρων, προκύπτουν ειδικές κατηγορίες μονοπατιών Dyck που ισοδυναμούν με σύνολα άλλων γνωστών αντικειμένων, οπότε τα αποτελέσματα επεκτείνονται και στα αντικείμενα αυτά. Στη διατριβή αυτή, μελετάται η παράμετρος πλήθος εμφανίσεων του προτύπου τ, όπου ως πρότυπο ϑεωρείται μια οποιαδήποτε δυαδική λέξη Στο πρώτο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται εκτενώς οι βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στα υπόλοιπα Κεφάλαια. Στο δεύτερο Κεφάλαιο, μελετάται το πρόβλημα της απαρίθμησης των εμφανίσεων ενός προτύπου τ σε καθορισμένο ύψος j στο μονοπάτι Dyck. Το πρόβλημα απαντάται πλήρως, για κάθε πρότυπο τ και δίνεται ο τύπος της αντίστοιχης γεννήτριας συνάρτησης. Τα βασικά αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου έχουν δημοσιευθεί στην εργασία [44]. Στο τρίτο Κεφάλαιο, μελετάται το πρόβλημα της απαρίθμησης των εμφανίσεων ενός προτύπου τ ανεξαρτήτως ύψους ή όταν το ύψος τους είναι τουλάχιστον j. Το πρόβλημα απαντάται πλήρως, μέσω της αντίστοιχης γεννήτριας συνάρτησης, όταν το πρότυπο τ είναι ένα πρόθεμα Dyck ή ένα επίθεμα Dyck, καθώς και σε ορισμένες άλλες γενικές περιπτώσεις. Σημειώνεται ότι η πλήρης γενίκευση των αποτελεσμάτων που καλύπτει όλες τις δυνατές μορφές του προτύπου τ αποτελεί ανοικτό πρόβλημα. Τα βασικά αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου έχουν δημοσιευθεί στην εργασία [45]. Στο τέταρτο Κεφάλαιο, μελετάται το πρόβλημα της απαρίθμησης των εμφανίσεων ενός προτύπου τ μήκους 3 σε μονοπάτια Grad Dyck. Επιπλέον, ϑεωρώντας τη βοηθητική παράμετρο πλήθος ανόδων σε αρνητικό ύψος, προκύπτουν σε ορισμένες περιπτώσεις εκλεπτύνσεις του ϑεωρήματος Chug Feller. Τα βασικά αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου έχουν δημοσιευθεί στην εργασία [47]. Στο πέμπτο Κεφάλαιο, μελετώνται τρεις νέες παράμετροι οι οποίες αποτελούν εξειδικεύσεις της γνωστής παραμέτρου πλήθος κορυφών των μονοπατιών Dyck. Τα βασικά αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου είναι υπό κρίση προς δημοσίευση. Στο έκτο Κεφάλαιο δίδονται ακριβείς αλλά και ασυμπτωτικοί τύποι για τη μέση τιμή και τη διακύμανση των παραμέτρων που παρουσιάζονται στα υπόλοιπα κεφάλαια. Τα περισσότερα από τα αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου έχουν παρουσιαστεί στα συνέδρια [43] και [48]. 8

9 Δημοσιεύσεις - Ανακοινώσεις Δημοσιεύσεις σε περιοδικά με κριτές: 1. Recursive geeratio of k ary trees, Joural of Iteger Sequeces, Vol , Article Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 2. Coutig strigs at height j i Dyck paths, Joural of Statistical Plaig ad Iferece, Vol , pp Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 3. Geeral results o the eumeratio of strigs i Dyck paths, Electroic Joural of Combiatorics, Vol , #P74. Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 4. Strigs of legth 3 i Grad Dyck paths ad the Chug Feller property, Electroic Joural of Combiatorics, Vol , #P2. Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 5. Noleft peaks i Dyck paths: A combiatorial approach, submitted. Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. Δημοσιεύσεις σε τιμητικούς τόμους: 1. Coutig some log strigs i Dyck paths, Essays i Hoour of Prof. K. Rigas, Uiversity of Piraeus 2010 i press. Με Π. Τσικούρα. Ανακοινώσεις σε Συνέδρια: 1. A ew decompositio of k ary trees, 1st Istabul Desig Theory ad Combiatorial Coferece, Istabul, Jue 16 20, Με Π. Τσικούρα. 2. k ary trees ad geeralized Dyck paths, 22d British Combiatorial Coferece, St. Adrews, July 5 10, Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 3. Strigs i Dyck paths. 7th Iteratioal Coferece o Lattice Paths Combiatorics ad Applicatios, Siea, Italy, July 4 7, Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 4. The eumeratio of strigs at height j i Dyck paths, 3rd Polish Combiatorial Coferece, Bedlewo, September 24 30, Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 5. Mea value ad variace for some Dyck path parameters, 23rd British Combiatorial Coferece, Exeter, July 3 8, Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. 9

10 6. Coutig strigs i Dyck path usig the Goulde Jackso cluster method, 2d Europea Coferece for the Applied Mathematics ad Iformatics, Motreux, Switzerlad, December 29 31, Με Α. Σαπουνάκη, Π. Τσικούρα και Ι. Τασούλα. Δημοσιεύτηκε στο Recet Researches i Applied Mathematics ad Iformatics. 7. Data Hidig Techiques i Stegaography usig Fiboacci ad Catala umbers, The I teratioal Coferece o Iformatio Techology: New Geeratios, Las Vegas, Nevada, USA, April 15 18, Με Ν. Αρούκατο, Σ. Ζήμερα και Φ. Γεωργιακώδη. 8. Data Hidig Techiques i Stegaography usig sub Fiboacci Sequeces, Eighth Iteratioal Coferece o Itelliget Iformatio Hidig ad Multimedia Sigal Processig, Uiversity of Piraeus, July 18 20, Με Ν. Αρούκατο, Σ. Ζήμερα και Φ. Γεωργιακώδη. 9. Coutig oleft peaks i Dyck paths, 24th British Combiatorial Coferece, Royal Holloway, Uiversity of Lodo, Jue 30 July 5, Με Α. Σαπουνάκη, Ι. Τασούλα και Π. Τσικούρα. 10

11 Περιεχόμενα 1 Βασικές έννοιες Συμβολισμοί Δυναμοσειρές Το Θεώρημα Αντιστροφής Lagrage Γεννήτριες συναρτήσεις Βασικές ακολουθίες αριθμών Αριθμοί Catala Αριθμοί Narayaa Αριθμοί Motzki Αριθμοί Touchard Λέξεις και περιοδικότητα Μονοπάτια σε δικτυωτό Βασικές απαριθμήσεις μονοπατιών Μονοπάτια Dyck Διασπάσεις μονοπατιών Dyck Συνεχή κλάσματα και γεννήτριες συναρτήσεις Πολυώνυμα Chebyshev δεύτερου είδους Πολυώνυμα Fiboacci like Απαρίθμηση προτύπου σε m-αδικές λέξεις Πρότυπα σε καθορισμένο ύψος σε μονοπάτια Dyck Εισαγωγή Απαρίθμηση χαμηλών εμφανίσεων προτύπου Απαρίθμηση εμφανίσεων προτύπου σε ύψος j Πρότυπα σε μονοπάτια Dyck Εισαγωγή Απαρίθμηση προθεμάτων Dyck Εφαρμογές Πρότυπα με ϑετικό βάθος και ύψος Εμφανίσεις σε ύψος τουλάχιστον j Ενοποίηση αποτελεσμάτων Απαρίθμηση προθεμάτων Dyck με τη μέθοδο Goulde Jackso Πρότυπα σε μονοπάτια Grad Dyck Βασικές διασπάσεις μονοπατιών Grad Dyck Διάσπαση της πρώτης ϑετικής ανόδου Διάσπαση της τελευταίας αρνητικής ανόδου Διάσπαση της πρώτης επιστροφής

12 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Διάσπαση του πρώτου και του τελευταίου αρνητικού βήματος Διάσπαση του μέγιστου βάθους Γεννήτρια συνάρτηση των μονοπατιών Grad Dyck Μονοπάτια Grad Dyck περιορισμένου βάθους Το Θεώρημα Chug Feller Απαριθμήσεις για πρότυπα μήκους Το πρότυποτu µ Το πρότυποτudu Το πρότυποτduu Κατηγορίες κορυφών σε μονοπάτια Dyck Δεξιές κορυφές Ισοσκελείς κορυφές Μη αριστερές κορυφές Κατασκευή των μη αριστερών κορυφών Το σύνολοθβ, k Το σύνολοφβ, k Συνολικός αριθμός κορυφών Στατιστικά μεγέθη Μέση τιμή και διακύμανση παραμέτρου Ασυμπτωτικοί τύποι Ασυμπτωτική ισοδυναμία Κεφαλαίο Ομικρον Μήκος της πρώτης ανάβασης Πλήθος κορυφών Πυραμίδες Μονοπάτια Dyck που έχουν ως πρόθεμα μια πυραμίδα Πλήθος ανόδων που ανήκουν σε πυραμίδα Κατηγορίες κορυφών Αριστερές κορυφές Ισοσκελείς κορυφές Μη αριστερές κορυφές Εμφανίσεις προτύπου σε καθορισμένο ύψος Εμφανίσεις προτύπου Πρότυπα μήκους 2 και 3 σε μονοπάτια Grad Dyck Το πρότυπο ud Το πρότυπο u µ Το πρότυπο udu Το πρότυπο duu

13 Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες 1.1 Συμβολισμοί Αν p είναι μια λογική πρόταση, τότε ορίζεται η έκφραση 1, p αληθής, [p] 0, p ψευδής, η οποία ονομάζεται συμβολισμός Iverso. Το δέλτα του Kroeckerδ,k, όπου, k Z, ορίζεται ως 1, k, δ,k 0, k, Ισοδύναμα, είναι δ,k [k]. Το κάτω ακέραιο μέρος floor του πραγματικού x συμβολίζεται με x και ορίζεται ως ο μέγιστος ακέραιος, όχι μεγαλύτερος από το x, δηλαδή x max{ Z: x}. Το άνω ακέραιο μέρος ceilig του πραγματικού x συμβολίζεται με x και ορίζεται ως ο ελάχιστος ακέραιος, όχι μικρότερος από το x, δηλαδή x mi{ Z: x}. Ισοδύναμα, οι ακέραιοι x και x ορίζονται μονοσήμαντα από τη σχέση x 1< x x x < x+1, x R. Το ϑετικό μέρος του πραγματικού x συμβολίζεται με x + και ορίζεται ως x + max{0, x}. Αν k, Z, τότε συμβολίζουμε με [k, ] το σύνολο Ειδικά, συμβολίζουμε με [] το σύνολο [k, ]{x Z:k x }. [][1, ]{1,2,...,}. 13

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 14 Το παραγοντικό πολυώνυμο fallig factorial, βαθμού k, ως προς τη μεταβλητή x, συμβολίζεται με x k ή με [x] k και ορίζεται ως x k xx 1x 2 x k+1, k N, x 0 1, x R. Ειδικά, αν, k N, με k, τότε ο αριθμός k! k! ισούται με το πλήθος των διατεταγμένων k-άδων από στοιχεία του []. Ο διωνυμικός συντελεστής r r ανά k συμβολίζεται με k και ορίζεται ως r 0, k<0, k r k k!, k 0, k Z, r R. Ειδικά, αν, k N, με k, τότε ο αριθμός k! k! k! ισούται με το πλήθος των υποσυνόλων του [], τα οποία έχουν πληθάριθμο k. Από τον ορισμό, άμεσα προκύπτουν οι ακόλουθες ταυτότητες: r,, k N, r r 1, r R, k N, k k k k k 1 r r 1 r 1 r +, 1 k k r 1, r R, k N, k k k 1 k k r m r r k, m, k N, r R. m k k m k Η ονομασία των διωνυμικών συντελεστών προκύπτει από το διωνυμικό ϑεώρημα: x+y x k y k, N, k το οποίο γενικεύεται ως εξής: 1.2 Δυναμοσειρές x+y r k0 k0 r x k y r k, r R, k x y < 1. Στην ενότητα αυτή, δίνεται ο ορισμός της δυναμοσειράς από καθαρά αλγεβρική σκοπιά. Ο ορισμός αυτός επαρκεί για την εφαρμογή των δυναμοσειρών στα περισσότερα συνδυαστικά προβλήματα. Εντούτοις, έννοιες που αφορούν τις δυναμοσειρές στην Ανάλυση, όπως η ομοιόμορφη σύγκλιση και η ακτίνα σύγκλισης, είναι επίσης χρήσιμες, για παράδειγμα στην εύρεση ασυμπτωτικών αποτελεσμάτων. Ορισμός. Εστω R,+, ένα σώμα 1 με χαρακτηριστική 0. 2 Κάθε ακολουθία a i i N R N αναπαριστάνεται από την έκφραση a i x i, η οποία ονομάζεται δυναμοσειρά της μεταβλητής x. i 0 Τα στοιχεία a i R, ονομάζονται συντελεστές της δυναμοσειράς Ax. Το σύνολο των δυναμοσειρών με συντελεστές στο R συμβολίζεται ως R[[x]]{ a i x i : a i R, i N}. i 0 1 Ο ορισμός των δυναμοσειρών γενικεύεται και στην περίπτωση που R,+, είναι δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο. 2 Δηλαδή, ισχύει ότι a0 0, για κάθε a R\{0}, όπου N.

15 ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡ ΕΣ Ισότητα δυναμοσειρών: Οι δυναμοσειρές i 0 a i x i και i 0 b i x i είναι ίσες αν και μόνο αν a i b i, για κάθε i. Πράξεις δυναμοσειρών: Στο σύνολο R[[x]] ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού συνέλιξη ως εξής: a i x i + b i x i a i + b i x i και i 0 i 0 a i x i b i x i i 0 i 0 i 0 i 0 k0 i a k b i k x i. Οι πράξεις αυτές γενικεύονται για πεπερασμένο πλήθος όρων. Ειδικά, συμβολίζουμε με A i x το γινόμενο AxAx Ax από i παράγοντες, i N, με A 0 x1. Επιπλέον, ορίζουμε την εξωτερική πράξη πολλαπλασιασμού : R R[[x]] R[[x]] ως εξής: λ a i x i λ a i x i λa i x i, λ R. i 0 Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν στις πράξεις ακολουθιών του R N : i 0 a +b a + b πρόσθεση, a b c, με c a k b k, N συνέλιξη, Παρατηρήσεις λa λa, λ R k0 i 0 βαθμωτός πολλαπλασιασμός. Στην πράξη, το R είναι συνήθως το σύνολο R των πραγματικών, ή το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών. Επίσης, η μεταβλητή x συνήθως ϑεωρείται ότι παίρνει τιμές στο R, ή στοc. Οι δυναμοσειρές συμβολίζονται όπως και οι συναρτήσεις της μεταβλητής x συνήθως με κεφαλαίο γράμμα: Ax a i x i. Το σύμβολο του αθροίσματος στην έκφραση i 0 a i x i συμβολίζει ένα άπειρο άθροισμα δυναμοσειρών, δηλαδή a i x i a 0 + a 1 x+a 2 x 2 + +a x +, όπου a x a i [i]x i, N. i 0 Το άπειρο άθροισμα δυναμοσειρών ορίζεται, αρκεί ο συντελεστής του x i να είναι μη μηδενικός σε πεπερασμένο πλήθος όρων του αθροίσματος. Με τις πράξεις αυτές, η δομή R[[x]],+, είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος 3 με μοναδιαίο στοιχείο τη δυναμοσειρά x 0, η οποία χάριν απλότητας συμβολίζεται με 1. Πράγματι, είναι x 0 a i x i [i0]x i i a i x i [k0]a i k x i a i x i Ax. i 0 i 0 i 0 i 0 3 Μάλιστα, άμεσα προκύπτει ότι το R[[x]] είναι ακέραιη περιοχή, διότι και το R είναι ακέραιη περιοχή. i 0 k0 i 0 i 0

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 16 Ομοίως αποδεικνύεται και ότι x m a i x i a i x i+m, m N. i 0 i 0 Συμμετρική δυναμοσειρά: Ο συντελεστής a 0 της δυναμοσειράς Ax i 0 a i x i ονομάζεται σταθερός όρος της Ax και συμβολίζεται με A0. Η δυναμοσειρά Ax έχει συμμετρική ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού, η οποία συμβολίζεται με A 1 x ή 1 Ax αν και μόνο αν A0 0. Πράγματι, είναι AxBx1 a i x i i b i x i 1 a k b i k x i [i0]x i i 0 i 0 i 0 k0 i 0 a 0 b 0 1 i a 0 b 1 + a 1 b 0 0 a k b i k [i0], i 0 k0. a 0 b i + a 1 b i 1 + +a i b 0 0. Ετσι, αν AxBx1, τότε a 0 b 0 1, οπότε a 0 0, ενώ αν είναι a 0 0, τότε οι συντελεστές της Bx μπορούν να προσδιοριστούν μονοσήμαντα από το παραπάνω σύστημα εξισώσεων, έτσι ώστε να είναι AxBx1. Για παράδειγμα, η συμμετρική της i 0 x i είναι η 1 x, αφού αν ϑέσουμε 1 x i 0 a i x i, με a 0 1, a 1 1 και a i 0, για κάθε i>1, τότε i k0 a k [i0], οπότε είναι και γράφουμε 1 x x i i 0 i 0 k0 i 0 i a k x i [i0]x i x 0 1 i 0 x i 1 1 x. Η δυναμοσειρά αυτή ονομάζεται γεωμετρική σειρά και έχει ιδιαίτερα σημαντικές ιδιότητες. Για παράδειγμα, 1 a i x i x i i a i x i a k x i, 1 x i 0 i 0 i 0 i 0 δηλαδή το γινόμενό της με μια οποιαδήποτε δυναμοσειρά, με συντελεστές τους όρους της α- κολουθίας a i, δίνει μια νέα δυναμοσειρά με συντελεστές τους όρους της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων της a i. k0 Σύνθεση δυναμοσειρών: Αν Ax, Bx R[[x]], με Ax i 0 a i x i και Bx i 0 b i x i, τότε η σύνθεση ABx a i B i x είναι ένα άθροισμα δυναμοσειρών αφού η έκφραση a i B i x είναι δυναμοσειρά. Το άθροισμα αυτό ορίζεται, αρκεί κάθε μονώνυμο x i να εμφανίζεται με μη μηδενικό συντελεστή πεπερασμένες το πλήθος φορές σε αυτό, ώστε οι συντελεστές της νέας δυναμοσειράς να ανήκουν στο R. Μια ικανή συνθήκη για να ισχύει αυτό, είναι η Ax να είναι πολυώνυμο, δηλαδή να έχει πεπερασμένο i 0

17 ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡ ΕΣ πλήθος μη μηδενικών συντελεστών. Μια άλλη ικανή συνθήκη είναι η B0 0. Πράγματι, αναπτύσσοντας το δεύτερο μέλος: a i B i xa 0 + a 1 b 0 + b 1 x+ +a 2 b 0 + b 1 x+ 2 +, i 0 παρατηρούμε ότι ο σταθερός όρος προκύπτει από το άπειρο άθροισμα a 0 + a 1 b 0 + a 2 b 2 +, το 0 οποίο δεν είναι πάντα ορισμένο στο R. Από την άλλη, αν B00, τότε ο παραπάνω σταθερός όρος ισούται με a 0 και ο όρος a k B k x δεν συνεισφέρει στον συντελεστή του x i, όταν k>i, οπότε ο συντελεστής του x i στην ABx ισούται με το συντελεστή του x i στο άθροισμα i a k B k x k0 i a k b 0 + b 1 x+ k, το οποίο είναι ορισμένο ως πεπερασμένο άθροισμα δυναμοσειρών. k0 Αντίστροφη δυναμοσειρά: Αν Ax i 0 a i x i R[[x]] και υπάρχει Bx R[[x]], με B0 0, τέτοια ώστε Ax xbx δηλαδή ισχύουν a 0 0 και a 1 0, τότε υπάρχει δυναμοσειρά, η οποία συμβολίζεται με A 1 x και ονομάζεται αντίστροφη ως προς την πράξη της σύνθεσης της Ax, τέτοια ώστε AA 1 xa 1 Ax x. Οι συντελεστές της A 1 x προσδιορίζονται μονοσήμαντα από ένα σύστημα εξισώσεων, όπως στην περίπτωση της συμμετρικής δυναμοσειράς. Παράγωγος δυναμοσειράς: Αν Ax R[[x]], με Ax i 0 a i x i, τότε η παράγωγος της Ax συμβολίζεται με da dx ή A x και ισούται με A x ia i x i 1 i+1a i+1 x i. i 1 i 0 Ο τελεστής παραγώγισης ισοδύναμα ορίζεται ως η γραμμική απεικόνιση d dx : R[[x]] R[[x]], με d dx 10 και d dx xi ix i 1, i N. Κατόπιν τούτων, οι γνωστές από την Ανάλυση ιδιότητες της παραγώγισης, άμεσα προκύπτουν και για τις δυναμοσειρές: λax+µbx λa x+µb x AxBx A xbx+axb x d db ABx db ABx dx A BxB x γραμμικότητα, κανόνας γινομένου, κανόνας αλυσίδας. Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης συμβολίζονται με d A dx ή A x, N, ορίζονται επαγωγικά κατά τα γνωστά, και επιπλέον ισχύει ο γνωστός τύπος του Taylor: a 1! A 0, N.

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 18 Ολοκλήρωμα δυναμοσειράς: Αν Ax R[[x]], με Ax i 0 a i x i, τότε το ολοκλήρωμα της Ax x συμβολίζεται με Atdt και ισούται με 0 x Άμεσα προκύπτουν οι ιδιότητες: 0 1 Atdt i+1 a ix i+1 1 i a i 1x i. i 1 i 0 x 0 A tdtax A0, x Atdt Ax 0 και x 0 x A tbtdtaxbx A0B0 AtB tdt, παραγοντική ολοκλήρωση. 0 Η διωνυμική σειρά: Οταν το σύνολο R των συντελεστών είναι τοrήτοc, τότε, για s R, ορίζουμε τη δυναμοσειρά s 1+ x s x i, i η οποία ονομάζεται διωνυμική σειρά. Οπως προκύπτει, η διωνυμική σειρά ικανοποιεί όλες τις γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων, όπως παραδείγματος χάριν 1+ x s 1+ x t 1+ x s+t και 1+ x s s1+ x s 1. i 0 Αν Ax R[[x]], με A00, τότε ορίζεται η σύνθεση 1+Ax s. Γενικότερα, ορίζεται η σύνθεση a+ Ax s, για κάθε a 0, αφού είναι a+ax s a s 1+ 1 a Axs, με 1 a A00. Κατόπιν τούτων, για κάθε Bx R[[x]], με B0 0, ορίζεται η δύναμη B s x, για κάθε s R. Ρίζες δυναμοσειράς: Με βάση τα προηγούμενα, η εξίσωση A xbx, όπου N και Bx είναι μια γνωστή δυναμοσειρά με B0 0, έχει λύση την AxB 1/ x, η οποία ονομάζεται ρίζα της Bx. Μάλιστα, η λύση αυτή είναι μοναδική. Πράγματι, αν υπάρχει και μια άλλη λύση Γx, τότε είναι A xγ x, οπότε Ax ΓxA 1 x+a 2 xγx+ +Γ 2 xax+γ 1 x0. Επειδή το R[[x]] είναι ακέραιη περιοχή, έπεται ότι αν Ax Γx, τότε xa 1 x+a 2 xγx+ +Γ 2 xax+γ 1 x0, το οποίο είναι άτοπο, αφού 0 B 1/ διότι το R έχει χαρακτηριστική 0. Άρα, τελικά είναι Γx Ax. Συνεπώς, οι πολυωνυμικές εξισώσεις με αγνώστους και συντελεστές στο R[[x]] λύνονται όπως και οι γνωστές πολυωνυμικές εξισώσεις της μεταβλητής x.

19 ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦ ΗΣ LAGRANGE Δυναμοσειρές πολλών μεταβλητών: Οι δυναμοσειρές με πολλές μεταβλητές ορίζονται ανάλογα με την περίπτωση μιας μεταβλητής, αρκεί να τεθούν xx 1, x 2,..., x m, ii 1, i 2,...,i m και x i x i 1 1 xi xi m m, όπου x 1, x 2,..., x m, με m N, είναι μεταβλητές και i 1, i 2,...,i m N. Δεδομένου ότι το R[[x]] είναι φορέας αντιμεταθετικού δακτυλίου με μοναδιαίο στοιχείο, μια δυναμοσειρά πολλών μεταβλητών μπορεί να ϑεωρηθεί ως δυναμοσειρά με λιγότερες μεταβλητές και με συντελεστές που είναι δυναμοσειρές. Για παράδειγμα, είναι Ax, y a i, j x i y j a i, j y j xi A i yx i, A i y R[[y]]. i, j 0 i 0 j 0 Οι ιδιότητες των δυναμοσειρών μίας μεταβλητής επεκτείνονται και στην περίπτωση πολλών μεταβλητών. Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η έννοια της μερικής παραγώγου, η οποία ορίζεται ανάλογα και ικανοποιεί όλες τις γνωστές από την Ανάλυση ιδιότητες. Ετσι, για την Ax, y του προηγούμενου παραδείγματος, η μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x είναι x Ax, y a i, j ix i 1 y j ia i yx i 1. i 1, j 0 i 0 i 1 Ο τελεστής [x ]: Για κάθε δυναμοσειρά Ax R[[x]], με Ax i 0 a i x i, συμβολίζουμε το συντελεστή a του μονωνύμου x με [x ]Ax, για κάθε N. Πιο αυστηρά, για κάθε N, ο τελεστής [x ] ορίζεται ως η γραμμική απεικόνιση [x ] : R[[x]] R, με Ετσι, είναι [x ]x i δ,i. [x ]Ax[x ] a i x i a i [x ]x i a i δ,i a. Βάσει του ορισμού, άμεσα προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες: 1. Γραμμικότητα [x ]κax+λbxκ[x ]Ax+λ[x ]Bx. 2. Ολίσθηση [x ]x k Ax[x k ]Ax, k Z. i 0 i 0 3. Παραγώγιση [x ]A x[x +1 ]+1Ax. 4. Συνέλιξη [x ]AxBx k0 a k b k k0 [x k ]Ax[x k ]Bx. 5. Σύνθεση [x ]ABx i 0 a i [x ]B i x i0 [x i ]Ax[x ]B i x. Σημειώνεται ότι όλη η ϑεωρία που παρουσιάστηκε στα προηγούμενα, γενικεύεται και για σειρές της μορφής i m a i x i, όπου m Z, οι οποίες ονομάζονται σειρές Lauret. i Το Θεώρημα Αντιστροφής Lagrage Το Θεώρημα Αντιστροφής Lagrage παίζει ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στη Συνδυαστική Α- παρίθμηση, καθώς επιτρέπει τον προσδιορισμό των συντελεστών μιας δυναμοσειράς μέσω του προσδιορισμού των συντελεστών μιας άλλης, συνήθως απλούστερης έκφρασης.

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 20 Θεώρημα 1.1 Θεώρημα Αντιστροφής Lagrage. Αν Ax R[[x]], με A00και A 0 0, τότε ισχύει ότι [x ]A k x k x [x k ] A 1, >0, k>0, x όπου A 1 x είναι η αντίστροφη της Ax. Ενδεικτικά, διάφορες αποδείξεις του παραπάνω ϑεωρήματος παρουσιάζονται στα [28, 66, 71]. Οι συνθήκες A00και A 0 0απλώς εξασφαλίζουν την ύπαρξη της A 1 x. Η έκφραση x αντιστοιχεί στη συμμετρική της Bx x 1 A 1 x η οποία υπάρχει, διότι [x]a 1 0 A 1 x B0 0. Επιπλέον, το ϑεώρημα αυτό γενικεύεται και στην περίπτωση που η Ax είναι σειρά Lauret, οπότε οι, k μπορούν να πάρουν και αρνητικές τιμές. Το Θεώρημα 1.1 μπορεί επίσης να διατυπωθεί στην ακόλουθη ισοδύναμη μορφή: Πόρισμα 1.2. Αν Ax, Hx R[[x]], με H0 0και Ax xhax, τότε ισχύει ότι [x ]A k x k [x k ]H x, >0, k>0. Πράγματι, η 1 Hx ορίζεται, αφού H0 0. Επιπλέον, από τη σχέση Ax xhax έπεται ότι ορίζεται και η A 1 x. Ετσι, έχουμε ότι Ax xhax Ax HAx x x Hx A 1 x x A 1 x Hx. Το Πόρισμα 1.2 γενικεύεται στο επόμενο αποτέλεσμα, το οποίο εμφανίζεται στη βιβλιογραφία συνήθως με την ονομασία Τύπος Αντιστροφής Lagrage Lagrage Iversio Formula. Πρόταση 1.3 Τύπος Αντιστροφής Lagrage. Αν Ax, Hx, Gx R[[x]], με H0 0 και Ax xhax, τότε ισχύει ότι [x ]GAx 1 [x 1 ]G xh x, >0. Απόδειξη. Αν Gx i 0 g i x i, τότε, για >0, έχουμε ότι [x ]GAx[x ] g i A i x g i [x ]A i i x g i [x i ]H x i 1 i 1 i 1 i g i [x 1 ]x i 1 H x 1 [x 1 ]H x g i ix i 1 1 [x 1 ]H xg x. Στη συνέχεια, δίνεται μια παραλλαγή της Πρότασης 1.3 βλ. [17], η οποία αφορά δυναμοσειρές με σταθερό όρο 1. Πρόταση 1.4 Τύπος Αντιστροφής Lagrage - 2η μορφή. Αν Ax R[[x]], με Ax 1+xHAx, όπου Hλ είναι πολυώνυμο τουλ, με συντελεστές στο R[[x]] και H1 0, τότε ισχύει ότι [x ]A s x s [λ 1 ]1+λ s 1 H 1+λ, >0, s R i 1 i 1 και [x ]GAx 1 [λ 1 ]G 1+λH 1+λ, >0, όπου Gλ είναι πολυώνυμο του λ, με συντελεστές στο R[[x]].

21 ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦ ΗΣ LAGRANGE Απόδειξη. Αρχικά, επισημαίνεται ότι, επειδή τα Hλ, Gλ είναι πολυώνυμα, ορίζονται οι συν- ϑέσεις HAx και GAx. Θέτοντας hλh1+λ και gλg1+λ, έχουμε ότι Ax1+ xhax Ax 1 xhax 1 και GAxgAx 1, οπότε, από την Πρόταση 1.3 και με την αντικατάσταση xλ, προκύπτει ότι [x ]GAx[λ ]GAλ[λ ]gaλ 1 1 [λ 1 ]g λh λ 1 [λ 1 ]G 1+λH 1+λ. Επιπλέον, είναι [x ]A s x[λ ]A s λ[λ ]1+Aλ 1 s i 1 s [λ i ] i i h λ [λ 1 ] 1 h λ i 1 [λ 1 ] s h λ1+λ s 1. i 1 i 1 s [λ 1 ]λ i 1 i i h λ s [λ ]Aλ 1 i i s iλ i 1 [λ 1 ] 1 i h λ1+λ s Παρατηρήσεις: Στη διατριβή αυτή, χρησιμοποιείται αυτή η μορφή του Τύπου Αντιστροφής Lagrage, διότι όλες οι δυναμοσειρές που προκύπτουν έχουν σταθερό όρο 1 και ικανοποιούν κάποια πολυωνυμική εξίσωση της μορφής Ax 1 + xhax. Η εισαγωγή της μεταβλητής λ στον τύπο γίνεται προκειμένου να συμπεριληφθούν και οι περιπτώσεις όπου το πολυώνυμο Hλ έχει συντελεστές που περιέχουν το x. Ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατή η εφαρμογή του Τύπου Αντιστροφής Lagrage και η δυναμοσειρά Ax γράφεται ως Μάλιστα, για >0, είναι 1 Ax1+ i [λi 1 ]H i 1+λx i. i 1 [x ]Ax[x 1 ] i [λi 1 ]H i 1+λx i 1 i [x i ][λ i 1 ]H i 1+λ i 1 i1 i 1 1 i [x i ][λ i 1 ]H i 1+λ, δηλαδή, ο συντελεστής [x ]Ax μπορεί να υπολογιστεί με μια διαδικασία πεπερασμένων σε πλήθος βημάτων.

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Γεννήτριες συναρτήσεις Ορισμός. Συνήθης γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας a N ονομάζεται η δυναμοσειρά Ax a x. 0 Παράδειγμα: Οι αριθμοί Fiboacci ορίζονται από την αναδρομική σχέση f +2 f +1 + f, 0, f 0 0, f 1 1. Εστω f x 0 f x η γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας f 0. Με τη βοήθεια της f x, ϑα προσδιορισθεί ένας κλειστός τύπος για τον όρο f. Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω αναδρομική σχέση με x +2 και αθροίζοντας για κάθε 0, προκύπτει ότι f +2 x +2 f +1 x +2 + f x +2 f x f 0 f 1 x x f x f 0 + x 2 f x 0 f x 0 x 1 x x 2. Οι ρίζες του παρονομαστή είναι οιφ καιφ , οπότε 0 x x f x 1 x x 2 1 xφ 1 1 xφ 2 1 φ 1 φ 2 1 φ 1 x φ 2 x Επομένως, τελικά προκύπτει ο γνωστός τύπος f [x ] f x 1 5 φ 1 φ xφ xφ 2 Ορισμός. ΑνAείναι ένα αριθμήσιμο σύνολο και p :A Nμια απεικόνιση, τότε η p ονομάζεται παράμετρος του συνόλου A. Στις εφαρμογές, το σύνολο A είναι ένα σύνολο συνδυαστικών αντικειμένων και μελετώνται διάφορες παράμετροι σε αυτό. Παραδείγματα: Για το σύνολο{0,1} των δυαδικών λέξεων, ορισμένες συνηθισμένες παράμετροι είναι το πλήθος των γραμμάτων την λέξης, το πλήθος των 0 κ.τ.λ. Για το σύνολο των δυαδικών δένδρων, ορισμένες συνηθισμένες παράμετροι είναι το πλήθος των κορυφών, το πλήθος των φύλλων του δένδρου κ.τ.λ. Μια παράμετρος p στο σύνολο A ονομάζεται βασική, αν τα σύνολα A {α A: pα}, N, είναι πεπερασμένα. Στην περίπτωση αυτή, ορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου A ως προς την παράμετρο αυτή:

23 ΓΕΝΝ ΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Ορισμός. ΑνAείναι ένα αριθμήσιμο σύνολο και p :A Nείναι μια βασική παράμετρος, τότε η δυναμοσειρά Ax x pα ονομάζεται γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου A ως προς την παράμετρο p. α A Ισοδύναμα, η απεικόνιση p ορίζει την ακολουθία πληθαρίθμων A N. Κατόπιν τούτου, οι δύο παραπάνω ορισμοί των γεννητριών συναρτήσεων είναι ισοδύναμοι, αν τεθεί A a. Πράγματι, τότε είναι x pα α A α A, N x pα x pα x A x a x. 0α A 0α A 0 0 Το μονώνυμο x pα ονομάζεται βάρος του στοιχείουα Aκαι η τιμή pα ονομάζεται μέγεθος του στοιχείουα. Λέμε ότι η μεταβλητή x κωδικοποιεί την παράμετρο p και ότι η γεννήτρια συνάρτηση Ax απαριθμεί το σύνολοa, ως προς την παράμετρο p, με την έννοια ότι η απάντηση στην ερώτηση πόσα στοιχεία του συνόλουaέχουν τιμή της παραμέτρου p ίση με είναι ο συντελεστής του x στην Ax. Οι γεννήτριες συναρτήσεις μπορούν να ϑεωρηθούν είτε ως αλγεβρικές δυναμοσειρές, όπως αυτές παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα, είτε ως δυναμοσειρές της Ανάλυσης, όταν έχουν μη μηδενική ακτίνα σύγκλισης. Στην παρούσα διατριβή, όλες οι γεννήτριες συναρτήσεις που προκύπτουν έχουν μη μηδενική ακτίνα σύγκλισης, οπότε όλες οι πράξεις που αφορούν γεννήτριες συναρτήσεις τεκμηριώνονται και ως πράξεις πραγματικών συναρτήσεων. Αναμφίβολα, η σημαντικότερη γεννήτρια συνάρτηση είναι η διωνυμική σειρά r 1+ x r x k, r R, k k 0 δηλαδή η γεννήτρια συνάρτηση των διωνυμικών συντελεστών r k. Ενδεικτικά, βάσει της διωνυμικής σειράς, προκύπτουν οι γεννήτριες συναρτήσεις 1 r 1 x r x k r+k 1 x k, r R 1.1 k k k 0 k 0 και x m 1 x m+1 j 0 m+ j j x m+ j k 0 k x k, m N. 1.2 m 1 Σημειώνεται ότι η γεωμετρική σειρά αποτελεί ειδική περίπτωση της 1 x r, για r1. Ο κύριος λόγος που καθιστά τις γεννήτριες συναρτήσεις ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων είναι το γεγονός ότι οι πράξεις γεννητριών μεταφράζονται άμεσα σε πράξεις συνόλων. Πιο συγκεκριμένα, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, η ισότητα, το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο γεννητριών συναρτήσεων, αντιστοιχούν στην ισοδυναμία, την ένωση, τη διαφορά και το καρτεσιανό γινόμενο των αντίστοιχων συνόλων. Οι ιδιότητες αυτές παρουσιάζονται πιο αναλυτικά στα επόμενα δύο λήμματα. Λήμμα 1.5. ΑνA,B είναι δύο αριθμήσιμα σύνολα και p A :A N, p B :B N είναι δύο βασικές παράμετροι, τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: i A B, για κάθε N, όπουa {α A: pα},b {β B: pβ}.

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 24 ii Υπάρχει αμφιμονοσήμαντη 4 απεικόνισηϕ :A B, τέτοια ώστε p A α p B ϕα, για κάθεα A. iii AxBx, όπου Ax α A x p Aα, Bx β B x p Bβ είναι οι αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις των συνόλων A, B, ως προς τις παραμέτρους αυτές. Απόδειξη. i ii : Αν είναιa B, τότε υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνισηϕ :A B. Ομως, τότε ορίζεται η απεικόνισηϕ :A B, με ϕαϕ α p A α, η οποία είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. Επομένως, είναι p A α α A ϕα B p B ϕα. ii iii : Ο περιορισμόςϕ :A BτηςϕστοA, N, είναι ένα προς ένα, και επιπλέον ισχύει ότιϕ A B, αφού, γιαβϕα, είναι α A p A α p B ϕα p B β β B. Επομένως, είναι A B, για κάθε N, οπότε οι γεννήτριες συναρτήσεις Ax, Bx είναι ίσες, αφού οι συντελεστές τους ταυτίζονται. iii i : Αν AxBx, τότε, δεδομένου ότι AxBx A x B x A B, N, 0 0 προκύπτει ότιa B, για κάθε N. Λήμμα 1.6. ΑνEείναι ένα αριθμήσιμο σύνολο, μεa,b Eκαι p :E Nείναι μια βασική παράμετρος στο E, τότε ισχύουν τα ακόλουθα: i ΑνA B, τότε x pα x pα + x pα. ii ΑνB A, τότε α A\B α A B α A α B x pα x pα x pα. α A α B iii Η απεικόνιση r :A B N, με rα,β pα+ pβ, είναι μια βασική παράμετρος στο A B, και μάλιστα ισχύει ότι x rα,β x pα+pβ x pβ. α,β A B α,β A B x pα α A β B Απόδειξη. Τα i και ii είναι προφανή. Για το iii, η απεικόνιση r είναι μια βασική παράμετρος στοa B, διότι ορίζει την οικογένεια Γ N, όπου τα σύνολα Γ {α,β A B : pα+ pβ}, N είναι πεπερασμένα και ξένα ανά δύο και επιπλέον είναιγ 0Γ. Ομως, επειδή ισοδύναμα είναι Γ {α,β :α A k,β B k,0 k } A k B k, 4 Οταν λέμε ότι μια απεικόνιση είναι αμφιμονοσήμαντη, εννοούμε ότι είναι ένα προς ένα και επί. k0

25 ΓΕΝΝ ΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ έπεται ότι Γ k0 A k B k, και επομένως α,β A B x pα+pβ x rγ x Γ x γ A B 0γ Γ 0 0 A x B x x pα. 0 0 x pα α A β B A k B k x Αν p :A N είναι μια βασική παράμετρος και q :A N είναι μια δεύτερη παράμετρος στο A, τότε η q ονομάζεται δευτερεύουσα παράμετρος. Σημειώνεται ότι τα σύνολα {α A:qαk}, k N, που ορίζει μια δευτερεύουσα παράμετρος δεν είναι απαραίτητα πεπερασμένα. Ο περιορισμός της q στοa, για κάθε N, ορίζει μια ακολουθία a,k k N, με a,k A,k, όπου A,k {α A : qαk}, k N, άρα, ορίζει και τη γεννήτρια συνάρτηση A y y qα α A y k a,k y k k 0 α A qαk του συνόλουa ως προς την παράμετρο q. Η ακολουθία a,k k N είναι πεπερασμένη, διότι το A είναι πεπερασμένο, άρα η A y είναι ένα πολυώνυμο. Η γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου A, ως προς τις παραμέτρους p, q είναι η δυναμοσειρά Ax, y x pα y qα x y qα x A y a,k x y k. α A 0α A 0 0 k 0 Επειδή η A y είναι ένα πολυώνυμο, η μεταβλητή y μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε δυναμοσειρά. Το γεγονός αυτό επισημαίνεται διότι, όπως ϑα δούμε, τέτοιες αντικαταστάσεις έχουν σημαντικές συνδυαστικές ερμηνείες. Προς το παρόν, απλώς αναφέρουμε ενδεικτικά την αντικατάσταση y1, για την οποία έχουμε Ax,1 x a,k A x Ax, k 0 0 δηλαδή με την αντικατάσταση αυτή προκύπτει η γεννήτρια συνάρτηση μιας μεταβλητής, ως προς την παράμετρο p. Ανάλογα ορίζονται και γεννήτριες συναρτήσεις τριών ή περισσότερων μεταβλητών. Σημειώνεται ότι το πλήθος των μεταβλητών μπορεί να είναι άπειρο αλλά αριθμήσιμο. Στατιστική της δευτερεύουσας παραμέτρου q ως προς τη βασική παράμετρο p ονομάζεται η κατανομή των στοιχείωνα A στις κλάσειςa,k, με βάση την τιμή k της δευτερεύουσας παραμέτρου. Η στατιστική αυτή συμβολίζεται με N q και ταυτίζεται με τη διπλή ακολουθία a,k k, N. ΑνA,B είναι δύο αριθμήσιμα σύνολα με αντίστοιχες βασικές παραμέτρους τις p A, p B και αντίστοιχες δευτερεύουσες παραμέτρους τις q A, q B, οι οποίες ορίζουν αντίστοιχα τις στατιστικές a,k k, N και b,k k, N, τότε λέμε ότι οι παράμετροι q A, q B είναι ισοκατανεμημένες αν και μόνο αν είναι a,k b,k, για κάθε, k N. 0 k 0 k0

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 26 Στην περίπτωση αυτή, οι αντίστοιχες στατιστικές επίσης ονομάζονται ισοκατανεμημένες και γράφουμε N qa N qb. Άμεσα προκύπτει ότι οι q A, q B είναι ισοκατανεμημένες αν και μόνο αν οι αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις είναι ίσες. Πράγματι, είναι N qa N qb a,k b,k,, k N a,k x y k b,k x y k Ax, ybx, y. 0 k 0 0 k 0 Επιπλέον, οι q A, q B είναι ισοκατανεμημένες αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση ϕ : A B, τέτοια ώστε p A α p B ϕα και q A αq B ϕα, για κάθεα A. Πράγματι, τότε είναι Bx, y x pbβ y qbβ Παραδείγματα: β B ϕα B x paα y qaα Ax, y. α A x p Bϕα y q Bϕα ϕα B x p Aα y q Aα 1. ΕστωB{0,1}, το σύνολο των δυαδικών λέξεων. Κάθε δυαδική λέξηα B είναι κενή, ή έχει πρώτο γράμμα το 0, ή έχει πρώτο γράμμα το 1, δηλαδή αε ή α0β ή α1β, όπουβ B, όπουεείναι η κενή λέξη. Με άλλα λόγια, τα σύνολα σχηματίζουν μια διαμέριση του B\{ε}. Αν ϑεωρήσουμε τη βασική παράμετρο στο B και τη δευτερεύουσα παράμετρο στο B B 0 {0β :β B}, B 1 {1β :β B} α πλήθος γραμμάτων στη λέξηα α 1 πλήθος 1 στη λέξηα, τότε ορίζεται η γεννήτρια συνάρτηση Bx, y α B x α y α 1. Βάσει του Λήμματος 1.6i, προκύπτει ότι Bx, y x ε y ε 1 + x α y α 1 1+ x α y α 1 α B\{ε} α B 0 B 1 1+ x α y α 1 + x α y α 1 1+ x 0β y 0β 1 + x 1β y 1β 1 α B 0 α B 1 β B β B 1+ x β +1 y β 1 + x β +1 y β x x β y β 1 + xy x β y β 1 β B β B β B 1+ xbx, y+ xybx, y1+ xy+1bx, y, β B

27 ΓΕΝΝ ΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ οπότε τελικά, η γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου B είναι η Bx, y 1 1 xy+1. Με τη βοήθεια της γεωμετρικής και της διωνυμικής σειράς, βρίσκουμε ότι Bx, y x y k0 x y k, k οπότε έχουμε το γνωστό αποτέλεσμα, ότι το πλήθος των δυαδικών λέξεων με γράμματα, από τα οποία τα k είναι 1, ισούται με [x y k ]Bx, y k. Επίσης, ϑέτοντας y1, έχουμε 1 Bx,1 1 2x 2 x, οπότε έχουμε ότι το πλήθος των δυαδικών λέξεων με γράμματα ισούται με [x ]Bx, Εστω F το σύνολο των δυαδικών λέξεων που δεν περιέχουν δύο διαδοχικά 1. Εστω Fx, y α F x α y α 1 η γεννήτρια συνάρτηση του συνόλουf, ως προς τις παραμέτρους του προηγούμενου παραδείγματος. Ομοίως με πριν, κάθε λέξηα F ανήκει σε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: 0 αε, α1, α0β, α10β, όπουβ F. Επομένως, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με αυτή του προηγούμενου παραδείγματος, καταλήγουμε στη σχέση η οποία δίνει Fx, y1+ xy+ xfx, y+ x 2 yfx, y, Fx, y 1+ xy 1 x1+ xy. Αναπτύσσοντας την παραπάνω συνάρτηση σε σειρά, όπως και πριν, έχουμε m+1 Fx, y x m m+1 1+ xy m+1 k m 0 m 0 k0 x m+k y k. Θέτοντας m+k, οπότε k m+1 k+1 2k +1, προκύπτει ότι +1 2 k+1 Fx, y x y k, k 0 k0 οπότε το πλήθος των λέξεων χωρίς διαδοχικά 1, με γράμματα από τα οποία τα k είναι 1, ισούται με [x y k k+1 ]Fx, y. k Θέτοντας y 1, προκύπτει μια γεννήτρια συνάρτηση που σχετίζεται με τη γεννήτρια 1 συνάρτηση f x της ακολουθίας Fiboacci f 1 x x 2 0 που παρουσιάστηκε σε προηγούμενο παράδειγμα: 1+ x Fx,1 1 x x2f x+ x f x,

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 28 οπότε το πλήθος των λέξεων χωρίς διαδοχικά 1, με γράμματα, ισούται με Επιπλέον, επειδή είναι προκύπτει η γνωστή ταυτότητα [x ]Fx,1[x ] f x+[x 1 ] f x f + f 1 f k+1 Fx,1 x, k 0 k0 k k+1 f +1. k Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η αντικατάσταση y 1 τελευταίου παραδείγματος, οπότε προκύπτει ότι 1 x στη γεννήτρια συνάρτηση του 1 Fx, 1 x 1+ x 1 1 x 1 x+ x 1 x1+ x 1 1 x 1 x x1 x+ x 1 1 2x, δηλαδή η γεννήτρια συνάρτηση Bx, 1 των δυαδικών λέξεων, του προηγούμενου παραδείγματος. Η αντικατάσταση αυτή έχει την ακόλουθη συνδυαστική ερμηνεία: Το σύνολοbκατασκευάζεται από το σύνολοf και το βοηθητικό σύνολο A{ε,1,11,111,1111,...}, αν, για κάθε α F, παρεμβάλουμε μετά από κάθε 1 μία λέξη του A, δημιουργώντας έτσι ακολουθίες από διαδοχικά 1 μέσα στην παραγόμενη λέξη. Με αυτόν τον τρόπο, κάθε α F παράγει ένα σύνολο Rα από λέξεις τουb. Ομως, κάθε δυαδική λέξηβμπορεί να παραχθεί από ακριβώς μία α F. Πραγματικά, η α ανακτάται αν αντικαταστήσουμε στη β κάθε ακολουθία από 1, από το γράμμα 1. Επομένως, η οικογένεια Rα α F αποτελεί διαμέριση τουb. Τέλος, η γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου A, ως προς την ίδια βασική παράμετρο είναι προφανώς η Ax 1 1 x, η οποία και αντικαθιστά το y. Γενικά, αποδεικνύεται βλ. [28] ότι όταν υπάρχει μια τέτοια κατασκευή ενός συνόλου, η γεννήτρια συνάρτησή του ϑα προκύπτει ως σύνθεση των γεννητριών συναρτήσεων των συνόλων από τα οποία κατασκευάζεται. 1.5 Βασικές ακολουθίες αριθμών Αριθμοί Catala Οι αριθμοί Catala ακολουθία A στην [64] ϑεωρούνται ως οι πιο σημαντικοί αριθμοί της Συνδυαστικής, μετά τους διωνυμικούς συντελεστές, λόγω της εντυπωσιακά συχνής εμφάνισής τους σε διάφορα προβλήματα. Εμφανίστηκαν για πρώτη φορά σε ένα πρόβλημα που διατύπωσε και έλυσε ο Euler 1758, το οποίο αφορούσε το πλήθος των τριγωνοποιήσεων δηλαδή της υποδιαίρεσης σε τρίγωνα ενός κανονικού -γώνου, από μη τεμνόμενες διαγωνίους του. Εντούτοις, πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό Eugee Catala 1838, ο οποίος έδωσε μια διαφορετική λύση του ίδιου προβλήματος. Οι αριθμοί Catala ορίζονται από την αναδρομική σχέση, γνωστή και ως σχέση του Seger: 1 C C k C k 1, 1, C k0

29 ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘ ΙΕΣ ΑΡΙΘΜ ΩΝ Για τον προσδιορισμό της γεννήτριας συνάρτησης Cx 0 C x της ακολουθίας C N των αριθμών Catala, πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω αναδρομική σχέση με x και προσθέτοντας για όλες τις τιμές του, για τις οποίες η σχέση ισχύει δηλαδή για 1, έχουμε ότι 1 C x C k C k 1 x m k0 x m 0 k0 m 0 k0 m C k C m k x m xc 2 x. m C k C m k x m+1 Ομως, είναι 1 C x 0 C x C 0 x 0 Cx 1, οπότε τελικά η Cx ικανοποιεί την εξίσωση Λύνοντας την εξίσωση αυτή, βρίσκουμε ότι Cx1+ xc 2 x, C Cx 1 1 4x 2x 1.5 η δεύτερη ρίζα απορρίπτεται, διότι C0 1. Στη συνέχεια, ϑα υπολογίσουμε τους συντελεστές C s [x ]C s με τη βοήθεια του Τύπου Αντιστροφής Lagrage. Οι συντελεστές αυτοί συχνά ονομάζονται γενικευμένοι αριθμοί Catala. Αν ϑεωρήσουμε το πολυώνυμο Hλλ 2, τότε, βάσει της 1.4, έχουμε ότι Cx1+xHCx. Δεδομένου ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες της Πρότασης 1.4, έχουμε, για > 0, ότι C s [x ]C s x s [λ 1 ]1+λ s 1 H 1+λ s [λ 1 ]1+λ 2+s 1 s 2+ s 1 s 2+ s s Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις γνωστές ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών, έχουμε τις α- κόλουθες τρεις εκφράσεις για τους συντελεστές C s C s : [x ]C s s 2+ s 2+ s 1 x 2+ s s 2+ s 1 + s 2+ s 1 1, N, s R. 1.6 Ειδικά, για s1, προκύπτει ότι ο -οστός αριθμός Catala δίνεται από τον τύπο C 1 2, N Για συντομία, ϑα συμβολίζουμε με C Cx τη γεννήτρια συνάρτηση των αριθμών Catala, δηλαδή C Cx 1 1 4x 1 2 x. 2x +1 Η ακτίνα σύγκλισης της C είναιρ1/4, όπως άμεσα προκύπτει: ρlim C lim lim +2 C !+1!+1! 2+2!!! lim

30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αριθμοί Narayaa Η διπλή ακολουθία ακολουθία A στην [64] των αριθμών Narayaa ν,k,k N ορίζεται από την αναδρομική σχέση 1 ν,k ν 1,k 1 + i1 mi{i,k} j1 ν i, j ν i 1,k j,1 k, ν,0 δ,0. Ισοδύναμα, οι αριθμοί Narayaa ορίζονται μέσω της γεννήτριας συνάρτησής τους N Nx, y 0 k 0ν,k x y k, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση οπότε είναι Nx, y1+ xn 2 x, y+ xy 1Nx, y, 1.8 Nx, y 1+ x xy 1+ x xy 2 4x. 2x Για τον υπολογισμό των αριθμών Narayaa, ϑα χρησιμοποιηθεί ο Τύπος Αντιστροφής Lagrage. Πράγματι, ϑεωρώντας το πολυώνυμο Hλλλ+y 1, από τη σχέση 1.8, έπεται ότι Nx, y1+ xhnx, y, οπότε, με τη βοήθεια της Πρότασης 1.4, προκύπτει, για >0, s R, ότι [x ]N s x, y s [λ 1 ]1+λ s 1 H λ+1 s [λ 1 ]λ+1 +s 1 λ+y s [λ 1 ] s +s 1 i0 +s 1 i0 +s 1 i λ i λ+y s +s 1 i i 1 y i 1 s +s 1 i0 +s 1 i0 +s 1 i [λ i 1 ]λ+y +s 1 i i+1 y i+1. Κατόπιν τούτων, είναι 1 N s s + s 1 x, y1+ y i+1 x i i+1 1 i0 s + s 1 1+ y k x, k 1 k 1 k1 οπότε και έτσι προκύπτει ο γνωστός τύπος [x y k ]N s x, y s + s 1, 0<k, k 1 k [x y k ]Nx, yν,k 1, 0<k. k 1 k Οι αριθμοί Narayaa συνδέονται άμεσα με του αριθμούς Catala. Συγκεκριμένα, είναι Nx,1Cx, από όπου έπεται ότι C k1 1, >0. k 1 k

31 ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘ ΙΕΣ ΑΡΙΘΜ ΩΝ Αριθμοί Motzki Η ακολουθία ακολουθία A στην [64] των αριθμών Motzki M N ορίζεται από την αναδρομική σχέση 2 M M 1 + M k M k 2, 1, M 0 1. i0 Ισοδύναμα, οι αριθμοί Motzki ορίζονται μέσω της γεννήτριας συνάρτησής τους M Mx 0 M x, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση οπότε είναι Mx1+ xmx+ x 2 M 2 x, 1.9 Mx 1 1 x 2 4x 2 2x 2. Από τον παραπάνω τύπο, και με τη βοήθεια του τύπου 1.5, εύκολα επαληθεύονται οι ακόλου- ϑες σχέσεις: Cx1+ x 1 x M x, Mx 1 1 x 1 x C x 2. 1 x Από την πρώτη σχέση έχουμε ότι Cx 1 x x kx M k M k 1 x 1 x k 0 k x M k x M k x +1, k k k k 0 x k 1 x k+1 οπότε τελικά προκύπτει η ταυτότητα C +1 k0 M k. k Ομοίως, από τη δεύτερη σχέση έχουμε ότι Mx x 2k C k 1 x 2k+1 k 0 k 0 οπότε τελικά προκύπτει η ταυτότητα k0 C k 0 2 M C k. 2k x 2k C k x, 2k 0 k 0 Για τον προσδιορισμό των συντελεστών των δυνάμεων της Mx, ϑεωρώντας το πολυώνυμο Hλλ1+ xλ, από τη σχέση 1.9 έπεται ότι Mx1+ xhmx, οπότε, με τη βοήθεια του Τύπου Αντιστροφής Lagrage, προκύπτει, για > 0, ότι [x ]M s x s [λ 1 ]1+λ +s 1 1+ x1+λ s [λ 1 ] x i 1+λ +i+s 1 i i0 s x k [λ 1 ]1+λ +k+s 1 s +k+ s 1 x k, k k 1 k0 k0

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 32 οπότε είναι και επομένως, M s s x1+ m m 1 m+k 1+ [x ]M s x 2 k0 m k0 2 1 k0 s k m k m+k+ s 1 s k k+ s x m+k k + s 1 k k+ s k + s 1 k k+ s x,, >0. Ειδικά, για s1, έχουμε ότι [x ]Mx 2 k0 1 k k k k+1 2 k0 C k, >0, 2k αφού 1 k k k k+1 k 1 k!! k! 2k! k+1! k 1!! k!k+1! 2k!! 2k!2k! C k. 2k 2k! k!k+1! Αριθμοί Touchard Οι όροι της διπλής ακολουθίας b,k,k N, με 1 b,k 2 2k 1 C k, b 0,0 1, k ονομάζονται αριθμοί Touchard ακολουθία A στην [64]. Ισοδύναμα, οι αριθμοί Touchard ορίζονται μέσω της γεννήτριας συνάρτησής τους η οποία ικανοποιεί την εξίσωση B Bx, y b,k x y k, 0 k 0 B1+y 1x 2y 1xB+ xyb 2 1+ x1+2b 1+yB Για τον προσδιορισμό των συντελεστών των δυνάμεων της B, ϑεωρώντας το πολυώνυμο Hλ1+2λ 1+yλ 1 2, από τη σχέση 1.11 έπεται ότι B1+ xhb, οπότε, με τη βοήθεια του Τύπου Αντιστροφής Lagrage, προκύπτει, για > 0, ότι [x ]B i i [λ 1 ]1+λ i 1 H λ+1.

33 ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘ ΙΕΣ ΑΡΙΘΜ ΩΝ Ομως, οπότε Επομένως, 1+λ i 1 H 1+λ1+λ i 1 j0 k0 s0 2+i 1 m0 j0 j i 1 i 1 s m s/2 k0 2+yλ j λ j j i 1 s0 2+i 1 m s/2 i 1 m0 [λ 1 ]1+λ i 1 H 1+λ B i 1+ 1 i 1 s/2 k0 k0 j j 2 j k y k λ k+s+ j k i 1 s i 1 s s0 1 s/2 k0 i 1 s0 i 1 s0 m k s k k m 2k s m k s 2 m 2k s y k λ m k 2 m 2k s y k λ m, i 1 k 2 2k s 1 y k. s k 2k s 1 i 1 k 2 2k s 1 y k x, s k 2k s 1 και τελικά, για >0, προκύπτει ότι [x y k ]B i i 1 s0 s+1 i s+1 k k 2k s 1 2 2k s 1. Προκειμένου να εκφράσουμε τον παραπάνω συντελεστή συναρτήσει των συντελεστών των δυνάμεων της συνάρτησης Catala, έχουμε ότι s+1 k s+1! k! k 2k s 1 k! k! 2k s 1!k+ s+1! s+1 1! 2k+ s! k+ s+1 2k s 1!2k+ s! k!k+ s! s+1 1 2k+ s k+ s+1 2k+ s k 1 C s+1 2k+ s k, όπου 5 C s+1 k [x k ]C s+1. Επομένως, έχουμε ότι όπου i 1 [x y k ]B i i b,k,s, >0, 1.12 s+1 b,k,s s0 1 C s+1 2k+ s k 2 2k s Ονομάζουμε τους αριθμούς αυτούς γενικευμένους αριθμούς Touchard, αφού για s 0 ταυτίζονται με τους αριθμούς Touchard, δηλαδή ισχύει ότι b,k,0 b,k. 5 Βλ. σχέση 1.6.

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Λέξεις και περιοδικότητα Αλφάβητο ονομάζεται κάθε μη κενό πεπερασμένο σύνολο L. Τα στοιχεία του L ονομάζονται γράμματα. Κάθε πεπερασμένη ακολουθία από γράμματα του L ονομάζεται λέξη στο αλφάβητο L. Ο αριθμός των γραμμάτων μιας λέξηςαλέγεται μήκος της λέξηςακαι συμβολίζεται με α. Η λέξη με μήκος 0 ονομάζεται κενή λέξη και συμβολίζεται μεε. Το σύνολο όλων των λέξεων με γράμματα από τοl, συμπεριλαμβανομένης και της κενής λέξης, συμβολίζεται μεl. Ανα,β L, μεαα 1 α 2 α l καιββ 1 β 2 β m, τότε η λέξη αβα 1 α 2 α l β 1 β 2 β m ονομάζεται σύζευξη ή παράθεση ή γινόμενο τωνακαιβ. Προφανώς, η πράξη της σύζευξης είναι προσεταιριστική. Επιπλέον,αεεαα, για κάθεα L, οπότε το σύνολοl, εφοδιασμένο με την πράξη της σύζευξης, αποτελεί μονοειδές. Οι δυνάμεις μιας λέξης α L ορίζονται επαγωγικά ως εξής: α 0 ε και α αα 1, N. Η λέξηββ 1 β 2 β k είναι μια υπακολουθία της λέξηςαα 1 α 2 α, όπου k, αν και μόνο αν υπάρχει γνησίως αύξουσα απεικόνιση f : [k] [], μεβ i α f i, για κάθε i [k]. Ειδικά αν f : [k] [i, k+i 1], με 1 i k+1, δηλαδή είναιβα i α i+1 α i+k 1, τότε ηβονομάζεται τμήμα ή υπολέξη τηςα. Για κάθεα,β L, ηβείναι πρόθεμα αντίστοιχα επίθεμα τηςα, αν και μόνο αν υπάρχει γ L τέτοια ώστεαβγ αντίστοιχααγβ. Προφανώς, κάθε λέξηα L έχει δύο τετριμμένα προθέματα και επιθέματα, ταεκαια. Κάθε πρόθεμα ή επίθεμαβτηςα, ονομάζεται γνήσιο αν και μόνο αν β < α. Αντ,α L, λέμε ότι ηαπεριέχει μια εμφάνιση του προτύπουταν και μόνο αν υπάρχουν λέξειςβ,γ L, τέτοιες ώστε αβτγ. Πιο συγκεκριμένα, κάθε ζεύγος β, γ που ικανοποιεί την προηγούμενη σχέση, αντιστοιχεί σε μία ξεχωριστή εμφάνιση τουτστηνα. Αν ηαδεν περιέχει καμία εμφάνιση τουτ, τότε λέμε ότι το αποφεύγει. Το πλήθος των εμφανίσεων τουτστηνασυμβολίζεται με α τ. Αν η λέξηα L \{ε} γράφεται ωςα pxys, όπου p, x, y, s L \{ε}, και είναι y < p, τότε προφανώς το πρόθεμα p και το επίθεμα s της α έχουν ένα κοινό τμήμα, δηλαδή υπάρχει ένα μη κενό τμήμα τηςα, το οποίο είναι ταυτόχρονα επίθεμα του p και πρόθεμα του s. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το p επικαλύπτεται με το s ή, ισοδύναμα, ότι το s επικαλύπτεται με το p. Ορισμός. Μια μη κενή λέξη ww 1 w 2 w μήκους w, ονομάζεται περιοδική αν και μόνο αν υπάρχει ϑετικός ακέραιος p< w, τέτοιος ώστε w i+p w i, για κάθε i [ p]. Ο αριθμός p είναι μια περίοδος της λέξης w. Κάθε μη κενή λέξη v η οποία είναι πρόθεμα και επίθεμα της w, ονομάζεται σύνορο της w. Μια λέξη w είναι περιοδική αν και μόνο αν έχει ένα σύνορο. Πιο συγκεκριμένα, αν p είναι μια περίοδος της w, τότε το πρόθεμα v μήκους w p είναι ένα σύνορο της w. Αντίστροφα, αν v είναι ένα σύνορο της w, τότε ο w v αποτελεί περίοδο της w. Ισοδύναμα, όπως προκύπτει από το επόμενο Λήμμα, η w είναι περιοδική αν και μόνο αν υπάρχουν λέξειςλ,µ, μελ ε, τέτοιες ώστε wλµ k λ, για κάποιο k N. Στην έκφραση αυτή, η περίοδος p λµ καθορίζει μονοσήμαντα ταλ,µ, k. Λήμμα 1.7. Εστω w μια λέξη και v ένα σύνορο της w. Αν k είναι ο ελάχιστος ϑετικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει k w k+1 v, τότε υπάρχουν μοναδικές λέξειςλ,µ, μελ ε, τέτοιες ώστε wλµ k λ και vλµ k 1 λ.

35 Λ ΕΞΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚ ΟΤΗΤΑ Απόδειξη. Θα δειχθεί με επαγωγή ως προς το k. Προφανώς, αν k 1, η πρόταση ισχύει για λv. Για k > 1, από τον ορισμό του k, έπεται ότι k 1 w < k v, οπότε w < 2 v. Επομένως, δεδομένου ότι υπάρχουν λέξειςρ,σώστε wρvvσ, για τις λέξεις αυτές ισχύει ότι ρ σ < v, οπότε vρξζσ, για κάποιες μη κενές λέξειςξ,ζ. Συνεπώς, wρξσρζσ, που σημαίνει ότιξζ, και άρα ηζ είναι σύνορο της v. Θα δειχθεί ότι Πράγματι, και επιπλέον, k 1mi{ j N : j v j+1 ζ }. k w k+1 v k ρv k+1 ρζ k v k+1 ζ + ρ k v k ζ + v k 1 v k ζ k 1 w <k v k 1 ρ + v <k ρ + ζ k 1 v ρ <k ζ k 2 v <k 1 ζ. Κατόπιν τούτων, από την υπόθεση της επαγωγής, έπεται ότι υπάρχουν μοναδικές λέξεις λ, µ, μελ ε, τέτοιες ώστε vλµ k 1 λ και ζ λµ k 2 λ. Αφού vρζρλµ k 2 λ, είναιρλµ, οπότε τελικά wλµ k λ. Τα σύνορα της λέξης w μπορούν να διαταχθούν με βάση το μήκος τους. Προφανώς, το μεγαλύτερο σύνορο της w αντιστοιχεί στη μικρότερη περίοδο της w. Αν v είναι ένα σύνορο της w και v μια μη κενή λέξη με v < v, τότε η v είναι σύνορο της w αν και μόνο αν η v είναι σύνορο της v. Ανλείναι το μικρότερο σύνορο της w, τότε w 2 λ, έτσι ώστε η w μπορεί να γραφτεί στη μορφή wλµλ, όπουµείναι μια ενδεχομένως κενή λέξη. Πράγματι, αν ήταν k w k+1 λ, με k>1, τότε, βάσει του Λήμματος 1.7, ϑα υπήρχαν λέξειςρ ε, σ, ώστε wρσ k ρ και λρσ k 1 ρ, οπότε τορϑα ήταν σύνορο του w, με ρ < λ, το οποίο είναι άτοπο. Λήμμα 1.8. i Αν w, u είναι δύο λέξεις με wuuw, τότε υπάρχει λέξηατέτοια ώστε wα t και uα s, s, t N. ii Αν w, u είναι δύο λέξεις με wuα t, όπου t N, τότε υπάρχουν λέξειςβ,γ καιξ,ζ N τέτοιοι ώστε tξ+ζ+1, βγα, wα ξ β, uγα ζ. Απόδειξη. i Η απόδειξη ϑα γίνει με επαγωγή ως προς το μήκος wu. Αν wu 2, τότε ο ισχυρισμός προφανώς ισχύει. Εστω ότι ισχύει για κάθε ζεύγος λέξεων με συνολικό μήκος μικρότερο του >2, και έστω οι λέξεις w, u, με wu και wuuw. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι 0< u < w αφού αν κάποια είναι κενή ή έχουν το ίδιο μήκος,