Τρισδιάστατοι Υπολογισμοί σε Νανοφωτονικές Δομές
|
|
- Πρόκρις Σπυρόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τρισδιάστατοι Υπολογισμοί σε Νανοφωτονικές Δομές Σχεδιάζοντας τα μελλοντικά (φωτεινά) ολοκληρωμένα κυκλώματα Δρ. Θωμάς Καμαλάκης Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής
2 Μέρος Πρώτο Το Κίνητρο
3 Οπτική Τεχνολογία Τα προηγούμενα χρόνια έχουμε γίνει μάρτυρες της ραγδαίας ανάπτυξης των τηλεπικοινωνιακών τεχνολογιών. Οι οπτικές ίνες προσφέρουν την δυνατότητα αξιόπιστης μεταφοράς δεδομένων με ρυθμούς της τάξης των μερικών Tb/s(!) σε αποστάσεις εκατοντάδων K. Κομβικό σημείο στην εξέλιξη της οπτικής τεχνολογίας ήτανε η ανακάλυψη του οπτικού ενισχυτή EDFA ο οποίος αύξησε την εμβέλεια των οπτικών συστημάτων μετάδοσης. Οι οπτικές τεχνολογίες μετάδοσης χρησιμοποιούνται κατά κόρον στο δίκτυο κορμού και αρκετά συχνά στο μητροπολιτικό δίκτυο. Ωστόσο η διείσδυση τους στο δίκτυο πρόσβασης (access network) είναι περιορισμένη λόγω του αυξημένου κόστους. Εξαίρεση αποτελεί η Ιαπωνία όπου πάνω από συνδρομητές έχουν συνδεθεί μέσω οπτικής ίνας!
4 Οπτικά Ολοκληρωμένα Κυκλώματα Σε μια προσπάθεια να μειώσουμε το κόστος των δομικών στοιχείων πρέπει να αξιοποιήσουμε τις δυνατότητες που μας δίνουν τα ολοκληρωμένα οπτικά κυκλώματα. Άλλωστε η ολοκλήρωση έφερε επανάσταση στην ηλεκτρονική Μήπως μπορεί να γίνει το ίδιο στην φωτονική? Δυστυχώς όμως τα φωτόνια είναι πολύ πιο ατίθασα από τα ηλεκτρόνια
5 Παράδειγμα Οπτικής Ολοκλήρωσης Ένα παράδειγμα επιτυχημένου προϊόντος βασισμένου σε τεχνολογία οπτικής ολοκλήρωσης είναι το Φράγμα Συστοιχίας Κυματοδηγών (AWG). Επιτρέπει τον συνδυασμό πολλών καναλιών σε διαφορετικά μήκη κύματος σε μία έξοδο του, δηλαδή υλοποιεί την πολυπλεξία μήκους κύματος. Προσφέρει αναισθησία στην πόλωση του φωτός, πολύ χαμηλή διαφωνία και και έχουν επιδειχθεί AWG που μπορούν να πολυπλέξουν μέχρι και 1000 κανάλια Στο ίδιο υπόστρωμα μπορούμε να συνδυάσουμε AWG με ενισχυτές και να υλοποιήσουμε έναν add/drop ultiplexer! Ωστόσο σε σύγκριση με ένα μικροέπεξεργαστη, οι λειτουργίες αυτές είναι πολύ πρωτόγονες!
6 Προβλήματα των Οπτικών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Η λειτουργικότητα τους είναι πολύ περιορισμένη σε σχέση με τα ηλεκτρονικά ολοκληρωμένα. Υπάρχει χώρος για βελτίωση? Ποια πλατφόρμα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε? Τα υλικά ΙΙΙ V (GaAs, InP, κτλ) έχουν πολύ καλές ιδιότητες όσο αφορά την γέννηση και την κυματοδήγηση του φωτός. Ωστόσο η κατασκευή ολοκληρωμένων διατάξεων βασισμένα σε υλικά αυτά είναι αρκετά δύσκολη Μπορεί το πυρίτιο να δώσει και εκεί μία λύση? (Δυστυχώς είναι δύσκολο να υλοποιηθούν πηγές και ενισχυτές από πυρίτιο). Πως θα μικρύνουμε τις διαστάσεις των κυματοδηγών, των φίλτρων και των υπολοίπων δομικών στοιχείων των οπτικών ολοκληρωμένων? Μπορούμε να φτιάξουμε διατάξεις μνήμης ή έστω γραμμές καθυστέρησης για τα οπτικά σήματα?
7 Νανοφωτονική Αντικείμενο της νανοφωτονικής είναι οι διατάξεις των οποίων οι βασικές τους δομέςέχουνμέγεθοςτηςτάξηςτωνμερικώνεκατοντάδωνηδεκάδων νανομέτρων (~10 9!) Στόχος είναι να μικρύνουμε τις διαστάσεις των κυκλωμάτων ώστε να αυξήσουμε την λειτουργικότητα και την πολυπλοκότητα των οπτικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Δύο πολύ σημαντικές κατευθύνσεις έρευνας στην νανοφωτονική είναι η πλασμονική (plasonics) και οι φωτονικοί κρύσταλλοι (photonic crystals). Στην πλασμονική το φως περιορίζεται με την βοήθεια επαφών μεταλλικών επιφανειών με διηλεκτρικά. Στις διαχωριστικές επιφάνειες δημιουργούνται επιφανειακά κύματα τα οποία είναι ισχυρά περιορισμένα. Στους φωτονικούς κρυστάλλους τα φωτόνια περιορίζονται με μηχανισμούς παρόμοιους με αυτούς που περιορίζουν τα ηλεκτρόνια στους ηλεκτρονικούς κρυστάλλους
8 Μέρος Δεύτερο Φωτονικοί Κρύσταλλοι
9 Το φως κατά το Maxwell Ευαγγέλιο Μέσα σε μία διηλεκτρική δομή, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο μπορούν να έχουν διάφορες επιτρεπόμενες κατανομές. Για παράδειγμα, ένας μεταλλικός κυματοδηγός ή μία οπτική ίνα υποστηρίζουν μία σειρά από τρόπους διάδοσης, δηλαδή τρόπους που μπορούν να μεταφέρουν το οπτικό σήμα από την μία άκρη του κυματοδηγού στην άλλη (θεωρητικά και χωρίς απώλειες). Ωστόσο, οι τρόποι διάδοσης δεν υπάρχουν σε όλες τις συχνότητες. Σε μία συχνότητα ορισμένοι τρόποι δεν διαδίδονται, Οι τρόποι που δεν διαδίδονται ονομάζονται αποσβενόμενοι (evanescent) και δεν μεταφέρουν ισχύ
10 Φωτονικοί Κρύσταλλοι Οι φωτονικοί κρύσταλλοί είναι περιοδικές διηλεκτρικές δομές που στην απλούστερη μορφή κατασκευάζονται από δύο διαφορετικά διηλεκτρικά υλικά (το «κόκκινο» και το «κίτρινο») Αποδεικνύεται από τις εξισώσεις Maxwell πως υπάρχουν περιοχές συχνοτήτων όπου δεν υποστηρίζεται κανένας τρόπος διάδοσης! Οι περιοχές συχνοτήτων όπου δεν υποστηρίζονται τρόποι διάδοσης χαρακτηρίζονται ως «φωτονικά χάσματα» Επομένως αν το φως προσπέσει έχοντας κατάλληλη συχνότητα στον φωτονικό κρύσταλλο, τότε (αφού δεν υπάρχει τρόπος διάδοσης), η φωτεινή ισχύς δεν θα μπορέσει να διεισδύσει στο εσωτερικό του και θα ανακλαστεί.
11 Δημιουργία Ατελειών στην Περιοδικότητα Ενδιαφέρουσες ιδιότητες προκύπτουν όταν δημιουργούμε ατέλειες στην περιοδικότητα του φωτονικού κρυστάλλου. Τότε δημιουργούνται τρόποι διάδοσης μέσα στο φωτονικό χάσμα με πολύ επιθυμητά χαρακτηριστικά Όπως και στην περίπτωση των ηλεκτρονικών κρυστάλλων, τα φωτόνια που αντιστοιχούν στους τρόπους αυτούς είναι στενά περιορισμένα κοντά στις ατέλειες. Για παράδειγμα στον τέλεια περιοδικό φωτονικό κρύσταλλο που απαρτίζεται από διηλεκτρικές ράβδους (σχήμα α) μπορούμε να αφαιρέσουμε μία σειρά από ράβδους (καταστρέφοντας την περιοδικότητα) και να δημιουργήσουμε έναν κυματοδηγό που υποστηρίζει τρόπο διάδοσης εντός του φωτονικού χάσματος!
12 Απότομες Στροφές του Φωτός Οι τρόποι διάδοσης που οφείλονται στις ατέλειες είναι ισχυρά περιορισμένοι κοντά στις ατέλειες. Επομένως μπορούν να στρίψουν απότομα ακόμα και 90 0 κάτι που είναι αδύνατον με τους παραδοσιακούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς όπου οι απώλειες απότομων κάμψεων είναι τεράστιες Γιααυτότολόγοάλλωστεδενμπορούμενα κάμπτουμε τις μονότροπες οπτικές ίνες. Η απόσταση μεταξύ των δύο διηλεκτρικών ράβδων του τέλειου κρυστάλλου είναι της τάξης των 0.6μ, επομένως ο περιορισμός του φωτός λαμβάνει χώρα εντός 1.μ δηλαδή σε διαστάσεις μικρότερες του μήκος κύματος (1.55μ). Ο ισχυρός περιορισμός σημαίνει πως έχουμε αυξημένο πλάτος ηλεκτρικού πεδίου Ε σε μια μικρή περιοχή για μία τιμή ισχύος επομένως οι μη γραμμικότητες (που είναι ανάλογες του Ε ) αυξάνονται ραγδαία! Η αυξημένη μη γραμμική συμπεριφορά του μέσου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πολλές εφαρμογές αμιγώς οπτικής επεξεργασίας σήματος
13 Το Όραμα η Φωτονική Μικρόπολη Οι φωτονικοί κρύσταλλοι δίνουν την δυνατότητα πραγματοποίησης μιας σειράς φωτονικών λειτουργιών Αν συνδυαστούν όλες μαζί σε ένα ολοκληρωμένο μπορούν επομένως να οδηγήσουν σε μία νέα γενιά φωτονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων.
14 Μέρος Τρίτο Σχεδιάζοντας Νανοφωτονικές Διατάξεις
15 Εργαλεία Σχεδίασης Λίγα(?) Μαθηματικά Για να σχεδιάσουμε τις νανοφωτονικές δομές που στηρίζονται στην τεχνολογία των φωτονικών κρυστάλλων θα πρέπει να λύσουμε τις εξισώσεις Maxwell. Οι εξισώσεις αυτές καθορίζουν πως μεταβάλλονται το ηλεκτρικό Ε=(Ε x,e y,e z ) και το μαγνητικό πεδίο H=(H x,h y,h z ) σε συνάρτηση με το χρόνο αν ξέρουμε την πηγή που τα δημιούργησε (π.χ. κάποιο ηλεκτρικό ρεύμα J ) και την κατανομή της διηλεκτρική σταθεράς ε(r) = μ H E t E H = ε () r + J t E =0 H =0 Οι τελεστές των παραπάνω εξισώσεων ορίζονται ως: Ay A z A A x Az A x y A= xˆ ˆ + ˆ z y z x y z y x A A A A x y z x y = + + z
16 Εύρεση τρόπων διάδοσης μίας περιοδικής δομής Οι τρόποι διάδοσης μίας διάταξης περιγράφουν την κατανομή του πεδίου μακριά από τις πηγές (δηλαδή J=0). Οι τρόποι διάδοσης υπολογίζονται για μία συχνότητα του πεδίου ω, επομένως θα πρέπει να θεωρήσουμε αρμονικές μεταβολές e jωt. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Maxwell μπορούμε να βρούμε την εξίσωση που διέπει το μαγνητικό πεδίο των τρόπων διάδοσης 1 ω H = H ε c H =0 Το θεώρημα Bloch μας εξασφαλίζει πως αν η διηλεκτρική σταθερά ε(x,y,z) είναι περιοδική, δηλαδή υπάρχει ένα R, τέτοιο ώστε ε(r+r)=ε(r) τότε, οιτρόποι διάδοσης θα έχουν την μορφή: Hr () = hr ()exp( jk r) Το k είναι το «κυματάνυσμα» του τρόπου, και το h(r) είναι μία περιοδική συνάρτηση που διαφέρει για κάθε k και έχει περιοδικότητα ίδια με την ε(r).
17 Παραδείγματα Περιοδικών ε(r)
18 H (πιο απλή ) περίπτωση των δύο διαστάσεων Αν θεωρήσουμε πως η διάταξη μας δεν μεταβάλλεται ως προς z τότε οι εξισώσεις Maxwell για τους τρόπους διάδοσης καταλήγουν σε δύο βαθμωτές (μη διανυσματικές). E E + = ε x y c 1 z z ω E z 1 Hz 1 Hz ω + = x ε x y ε y c H z Μπορούμε να δείξουμε πως στην περίπτωση αυτή μπορούμε να ξεχωρίσουμε: Μία συνιστώσα του Η/Μ πεδίου που έχει ηλεκτρικό πεδίο Ε=(0,0,Ε z ) και μαγνητικό πεδίο Η=(H x,h y,0) και ονομάζεται ΤΜ Transverse Magnetic. Μία συνιστώσα του Η/Μ πεδίου που έχει ηλεκτρικό πεδίο Ε=(Ε x,ε y,0) και μαγνητικό πεδίο Η=(0,0,H z ) και ονομάζεται ΤΕ Transverse Electric.
19 Ανάλυση σε επίπεδα κύματα Ένας τρόπος να λύσουμε τις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων και να βρούμε τους τρόπους διάδοσης για μία συχνότητα ω είναι η μέθοδος της Ανάπτυξης σε Επίπεδα Κύματα (Plane Wave Expansion PWE) Η μέθοδος αυτή θυμίζει τη ανάπτυξη σε σειρά Fourier. Κάθε περιοδική συνάρτηση f(x) με περίοδο a η οποία είναι κατά τμήματα συνεχής μπορούμε να την γράψουμε ως μια σειρά αρμονικών όρων: + π f ( x) = f exp j x = a 1 a/ π f = dxf ( x)exp j x a a/ a Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να αναπτύξουμε με περιοδική συνάρτηση π.χ. τριών διαστάσεων: f( x, y, z) = F( G)exp( jg r) Όπου τα διανύσματα G έχουν την μορφή: π π x y π z G ˆ ˆ ˆ = x+ y+ z a a a x y z Οι διαστάσεις a x,a y και a z είναι οι περίοδοι της συνάρτησης ως προς τις μεταβλητές x,y και z. Τα x, y και z είναι ακέραιοι.
20 Ανάλυση σε επίπεδα κύματα Το άθροισμα αυτό στην ουσία είναι τριπλό: ( ) f( x, y, z) = F( G )exp jg r = π πy x π z πxx π yy πzz F + + exp j + j + a a a a a a,, x y z x y z x y z Οι συντελεστές F(G ) δίνονται από την σχέση ΟόγκοςV ορίζεται ως εξής: 1 F( G) = dvf( )exp( j ) aaa r G r x y z V V ax ax ay ay az az =,,,
21 Ανάλυση Επίπεδων Κυμάτων σε Διαστάσεις Σύμφωνα με το θεώρημα Bloch το ηλεκτρικό πεδίο E z (x,y) μπορεί να γραφεί E ( x, y) = e ( x, y)exp( jkx+ jk y) z z x y Ησυνάρτησηe z (x,y) είναι περιοδική και επομένως μπορεί να αναπτυχθεί σε επίπεδα κύματα: e () r = e ( G )exp( jg r) z z Όπου στην περίπτωση μας r=(x,y), k=(k x,k y ) Επομένως θα έχουμε: π π x y G ˆ ˆ = x+ y a a x E x y e G j G k r (, ) = ( )exp( ( + ) ) z z y
22 Από την Ανάλυση στην Άλγεβρα Η αντικατάσταση της ανάπτυξης των πεδίων σε επίπεδα κύματα στις εξισώσεις για τα ΤΕ και τα ΤΜ μας δίνει τις εξής γραμμικές εξισώσεις: E E + = ε x y c 1 z z ω E z ω ( ) ( ) ( ) κ G Gl k+ Gl ez Gl = e z G l c 1 Hz 1 Hz ω + = x ε x y ε y c H z ω ( l) l z( l) z( ) c κ G G ( k+ G ) ( k+ G ) h G = h G l κ( G) a / x y 1 1 dx dy e aa ε ( xy, ) = / x y a / a / x a y ( x y ) j G x+ G y
23 Η περίπτωση των 3 Διαστάσεων Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων (δηλαδή όπου το ε εξαρτάται από το z) το πρόβλημα είναι λίγο πιο πολύπλοκο επειδή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις βαθμωτές εξισώσεις των ΤΕ και ΤΜ. Ωστόσο μπορούμε να αναπτύξουμε την διανυσματική συνάρτηση του μαγνητικού πεδίου σε επίπεδα κύματα. Hr () = hr ()exp( jk r) () = ( ) exp( j ( + ) ) Hr h G k G r Στην ουσία με τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε αναπτύξει και τις τρεις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου σε επίπεδα κύματα. Ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση H =0 Ώστε να μειώσουμε σε δύο τις συνιστώσες του πεδίου που πρέπει να αναπτυχθούν.
24 Τρεις διαστάσεις αλλά δύο συνιστώσες H =0 ( ) j k G h ( G) j( k G) r ( + ) exp + = 0 ( k+ G ) h ( G ) = 0 Επομένως η φασματική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου που αντιστοιχεί στο διάνυσμα G είναι κάθετη στο a =(k+g )/ k+g. Ορίζοντας δύο διανύσματα p(a ) και q(a ) να είναι μεταξύ τους κάθετα και κάθετα στο a τελικά μπορούμε να γράψουμε: ( ) = h ( ) + h ( ) h G pa qa p q Χρειάζονται δύο συνιστώσες επομένως για κάθε φασματική συνιστώσα: η h p και η h q
25 Από την Ανάλυση στην Άλγεβρα (αλλά στις τρεις διαστάσεις!) Το ισοδύναμο αλγεβρικό ιδιοπρόβλημα: Θεωρούμε έναν πεπερασμένο αριθμό ιδιοδιανυσμάτων G π π x y π z G ˆ ˆ ˆ = x+ y+ z a a a Ορίζουμε τους πίνακες: x y z ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 1 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G q a q an ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G p a q an ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 3 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G qa pan ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 4 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G pa pan
26 Από την Ανάλυση στην Άλγεβρα (αλλά στις τρεις διαστάσεις!) Ορίζουμε το διάνυσμα: Και τον (Μ) (Μ) πίνακα: ( hp 1 hp M hq 1 hq M ) h = ( G ),..., ( G ), ( G ),..., ( G ) T M M M M M 1 = H = ε ω c H Mh ω = h c
27 Τι πετύχαμε μέχρι εδώ? Αναλύσαμε το πεδίο σε επίπεδα κύματα και δείξαμε πως το τελεστικό ιδιοπρόβλημα του τελεστή {(1/ε) } έχει μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο ιδιοπρόβλημα του πίνακα Μ Υπάρχουνε αρκετοί τρόποι για να βρούμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Μ στον υπολογιστή. Αυτές οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν στις επιτρεπόμενες τιμές του (ω/c). Ο πίνακας Μ εξαρτάται από την σταθερά διάδοσης k. Για κάθε k επομένως έχουμε βρει έναν τρόπο για να βρίσκουμε τις συχνότητες ω που μπορεί να έχει το κύμα Μπορεί να υπάρχουν περιοχές του ω που να μην αντιστοιχούν σε κανένα k. Οι τιμές αυτές του ω (αν είναι ένα συνεχές διάστημα) συνθέτουν ένα φωτονικό χάσμα! Για κάθε τρόπο, έχοντας την σχέση k=k(ω) μπορούμε να βρούμε τα χαρακτηριστικά του: Ταχύτητα ομάδας, διασπορά, κτλ κτλ Από τα ιδιοδιανύσματα h p και η h q μπορούμε να υπολογίσουμε τις κατανομές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου των τρόπων διάδοσης και μία σειρά από μεγέθη που αφορούν την μη γραμμική διάδοση του κύματος.
28 Παράδειγμα
29 Από τις γραμμικές στις μη γραμμικές ιδιότητες Όπως συζητήσαμε και πιο πριν, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι μη γραμμικές ιδιότητες των νανοφωτονικών διατάξεων. Οι μη γραμμικότητα μας δίνει την δυνατότητα να κάνουμε επεξεργασία σήματος (π.χ. μετατροπή μήκους κύματος, αναγέννηση σήματος, οπτικές λογικές πύλες κτλ κτλ). Η εξίσωση διάδοσης σε έναν περιοδικό νανοφωτονικό κυματοδηγό είναι: Προκύπτει από τις παραγώγους της k=k(ω) j k A n+ 1 n n = A + j γ A A n z n n! t ( 0) = 0 ds NL eω 0 γ ω ω ε S Αν ξέρουμε την συμπεριφορά των τρόπων διάδοσης (δηλαδή το k=k(ω) και την συνάρτηση Bloch του ηλεκτρικού πεδίου) μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές στην μη γραμμική εξίσωση διάδοσης 4
30 Μέρος Τέταρτο Υπολογισμός (Φωτονικών) Ιδιοτιμών
31 Μέθοδοι Λύσης των Ιδιοπροβλημάτων Άμεσος τρόπος: Αποθηκεύουμε τον πίνακα Μ στη μνήμη και χρησιμοποιούμε κάποιον αλγόριθμο εύρεσης ιδιοτιμών Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα (σχετικά) στο MATLAB (π.χ. με την eig). Φτιάχνουμε τα διανύσματα G και έπειτα υπολογίζουμε τους Ν N υποπίνακες Μ 1,,Μ 4, βάση των σχέσεων που είδαμε προηγουμένως, π.χ. ( ) M (, ) ( ) ( ) ( ) 1 Gn G = k+ G k+ Gn κ Gn G q a q an Ησυνάρτησηκ(G) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του αντίστροφου της διηλεκτρικής σταθεράς 1/ε(r). 1 1 κ( G) = dv exp( j ) aaa ε () G r r x y z V Μπορεί να υπολογιστεί αφενώς με τη χρήση 3D FFT (π.χ. στο MATLAB) Σε ορισμένες περιπτώσεις είμαστε σε θέση να βρούμε μία κλειστή μορφή για το κ(g)
32 Αναλυτικός Υπολογισμός της συνάρτησης κ(g) εb(z) ay εa(z) z az h a x ε d z > h/ ε d z > h/ εa( z) = εas z h/ εb( z) = εbs z h/ ε d z < h/ ε d z < h/ h 1 1 Gh z 1 Ga z z K1( Gz ) = sinc sinc az ε bs ε d π + ε d π K h 1 1 Gh z ( Gz ) = sinc az ε as ε bs π π rj ( G r) κ( G) = δ G K ( G ) + K ( G ) ( ) 1 D D 1 z z G Daxay G = G + G D x y Έχουμε βρει μία κλειστή μορφή για το κ. J 1 (x) είναι η συνάρτηση Bessel πρώτης τάξης και πρώτου είδους ενώ η συνάρτηση δ(g D ) είναι μηδέν παντού εκτός από το μηδέν όπου δ(0)=1. H συνάρτηση sinc ορίζεται ως sinc(x)=sin(πx)/(πx)
33 Υπολογισμός των στοιχείων κ(g G n ) Επομένως αν ο πίνακας K n =κ(g G n ) έχει ΝxN στοιχεία χρειάζεται να κάνουμε Ν υπολογισμούς για να τον υπολογίσουμε Ενδιαφέρον (ιδιαίτερα για τα επόμενα) είναι πως μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα K κάνοντας μονάχα 8N υπολογισμούς Πράγματι κάθε συνδυασμός G G n έχει τη μορφή: π π x y πz πn π n x y πnz G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Gn = x+ y+ z x y+ z a a a a a a x y z x y z ( n ) π ( y ny) π ( n ) π x x z z = xˆ + yˆ + zˆ a a a x y z Επομένως αν υποθέσουμε πως x, n x P x, y, n y P y, z, n z P z οπότε και Ν=(P x +1) (P y +1) (P z +1) τότε θα υπάρχει ένα διάνυσμα G p π p π p x y π pz G ˆ ˆ ˆ p = x+ y+ z τέτοιο ώστε G Gn = Gp a a a x y z με p x P x, p y P y, p z P z. Επομένως υπάρχουν (4P x +1) (4P y +1) (4P z +1) 8N διακριτές τιμές για το κ(g p )
34 Παράδειγμα Άμεσου υπολογισμού των Ιδιοτιμών Το αριστερό σχήμα είναι το αποτέλεσμα του ΜATLAB για την διάταξη που έχει μελετηθεί στο παρελθόν από τους Johnson et al (1999) των οποίων τα αποτελέσματα φαίνονται στο δεξί Με πράσινο χρώμα είναι οι τρόποι που έχουν άρτια συμμετρία ως προς το z=0 ενώ με κόκκινο αυτοί που έχουν περιττή.
35 Μελετώντας πιο πολύπλοκες δομές Οι διαστάσεις των πινάκων γίνονται απαγορευτικές για μεγάλο αριθμό επίπεδων κυμάτων Ο αριθμός των επίπεδων κυμάτων πρέπει να αυξηθεί αρκετά όταν θεωρούμε πιο πολύπλοκες διατάξεις όπως αυτές του διπλανού σχήματος Όταν διπλασιάζουμε τον αριθμό των επίπεδων κυμάτων ανά διάσταση, ο αριθμός των διανυσμάτων G p πολλαπλασιάζεται επί 8 και ο συνολικός αριθμός των στοιχείων του πίνακα Μ που πρέπει να αποθηκευτούνε επί 64! Ενώ για επίπεδα κύματα πρέπει να αποθηκευτούνε μιγαδικοί αριθμοί, για , ο αριθμός ανεβαίνει σε (!)
36 Επαναληπτικές Μέθοδοι Υπολογισμού Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων ΟπίνακαςΜ μπορούμε να δείξουμε πως είναι Ερμιτιανός. Δηλαδή ισχύει: M nk = M * kn Οι πίνακες αυτοί έχουνε όλες τις ιδιοτιμές τους πραγματικές Μπορούμε να φτιάξουμε μία βάση από ιδιοδιανύσματα ενός Ερμιτιανού πίνακα. Η μικρότερη ιδιοτιμή λ στο ιδιοδιάνυσμα v έχει την ιδιότητα να είναι το ελάχσιτο του λόγου Rayleigh Ritz R(v) * H n n v M v n R v v v H v λ = in ( ) = in = in v v vm Η επόμενη μεγαλύτερη ιδιοτιμή θα ελαχιστοποιεί το λόγο Rayleigh Ritz του πίνακα M = M λv v H v v
37 Επαναληπτικές Μέθοδοι Υπολογισμού Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων Το πλεονέκτημα είναι πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα και τις ιδιοτιμές χωρίς να έχουμε αποθηκεύσει όλα τα στοιχεία του Μ n * n n v M v Πρόκειται για ένα διπλό άθροισμα που μπορεί να υπολογιστεί με ένα διπλό for loop και χρειάζεται να υπολογίζουμε μονάχα ένα στοιχείο του πίνακα Μ σε κάθε βρόγχο! Επομένως το πρόβλημα ανάγεται στην ελαχιστοποίηση της συνάρτησης R( v) = n vm * n n v v
38 Επόμενα Βήματα MATLAB ή C? Ποιος είναι πιο γρήγορος? Υπάρχουνε ρουτίνες έτοιμες στην C (Nuerical Recipes, κτλ κτλ). Υλοποίηση της μεθόδου Conjugate Gradient Miniization (CGM) Εφαρμογή της μεθόδου CGM στο πηλίκο Rayleigh Ritz των πινάκων μας Χρήση του Εργαλείου για την ανάλυση τρόπων διάφορων νανοφωτονικών δομών που έχουν εξετασθεί στο παρελθόν για την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων. Εφαρμογή του εργαλείου για τον υπολογισμό των μη γραμμικών χαρακτηριστικών των νανοφωτονικών κυματοδηγών Υπολογισμός των επιδόσεων οπτικών πυλών, μετατροπέων μήκους κύματος, κτλ κτλ που στηρίζονται σε αυτήν την τεχνολογία.
39 ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΜΟΝΗ ΣΑΣ
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!
Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων
ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος [gliaperd@teikal.gr] Μάρτιος 2012 1 Ηλεκτρονικά Ελεγχόμενοι ιακόπτες Για την υλοποίηση των λογικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΜητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή
Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότερα2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα)
2. Δίκτυα Πολυπλεξίας Μήκους Κύματος (WDM Δίκτυα) Η πολυπλεξία μήκους κύματος (WDM πολυπλεξία) παρέχει συμβατότητα μεταξύ του εύρους ζώνης του οπτικού μέσου οπτική ίνα και του εύρους ζώνης του τερματικού
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ
Διαβάστε περισσότεραΟ όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.
Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
Διαβάστε περισσότερα1. Εισαγωγή: Οπτικά Δίκτυα
1. Εισαγωγή: Οπτικά Δίκτυα Τα οπτικά δίκτυα υψηλής χωρητικότητας έχουν γνωρίσει αξιοσημείωτη ανάπτυξη τις δύο τελευταίες δεκαετίας, καθώς παρέχουν εύρος ζώνης το οποίο δεν είναι δυνατόν να προσεγγιστεί
Διαβάστε περισσότεραΒελτίωση Εικόνας. Σήμερα!
Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Διαβάστε περισσότερατεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές
Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΤρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραEισηγητής: Μουσουλή Μαρία
Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης
Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΈννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν
1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή
Διαβάστε περισσότεραΜεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές
Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότερα"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότερα1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΚληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading
Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΗμέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης
Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)
ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας
Διαβάστε περισσότεραΔιανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία
ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων
Διαβάστε περισσότερα