Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων"

Transcript

1 Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα a, b, c,... ει ναι μια πεπερασμε νη ακολουθι α f 1 f 2... f n ο που κα θε f i {a, b, c,..., a 1, b 1, c 1,...}. Συμβολι ζουμε την κενη λε ξη με 1 και συνεχο μενα ι δια συ μβολα τα γρα φουμε εκθετικα, για παρα δειγμα η λε ξη abbaccba 1 a 1 a 1 bc γρα φεται ab 2 ac 2 ba 3 bc. Η αντίστροφη μιας λε ξης W = f 1... f n ει ναι η λε ξη W 1 = fn 1 fn f 1 1 ο που (a 1 ) 1 = a, (b 1 ) 1 = b, (c 1 ) 1 = c.... Αν W, U λε ξεις στα a, b, c,..., ορι ζουμε το παραθετικό γινόμενο των W, U να ει ναι η λε ξη στα a, b, c,... που προκυ πτει απο την παρα θεση των συμβο λων των δυ ο λε ξεων. Έστω ϕ μια συνα ρτηση απο τα συ μβολα a, b, c,... στην ομα δα G με ϕ(a) = g, f(b) = h, ϕ(c) = k,.... Το τε λε με ο τι το a ορίζει (με σω της ϕ) το g, το b ορι ζει το h κλπ. Επι σης, αν W ει ναι μια λε ξη W = f 1... f n το τε η W ορι ζει το στοιχει ο g 1... g n στην G αν το f i ορι ζει το g i στην G. Προφανω ς αν οι λε ξεις U, V ορι ζουν τα στοιχει α p, q αντι στοιχα στην G το τε τα U 1 και V 1 ορι ζουν τα στοιχει α p 1, q 1 και το UV ορι ζει το στοιχει ο pq στην G. Αν κα θε στοιχει ο της G ορι ζεται απο μια λε ξη στα a, b, c,... το τε τα a, b, c,... ονομα ζονται σύστημα γεννητόρων της G (με σω της ϕ) και τα a, b, c,... λε γονται γεννήτορες της G. Έστω τω ρα a, b, c,... ε να συ νολο γεννητο ρων μιας ομα δας G. Μια λε ξη R(a, b, c,...) η οποι α ορι ζει το ταυτοτικο στοιχει ο στην G καλει ται σχετιστής. Η εξι σωση R(a, b, c,...) = S(a, b, c,...) καλει ται σχέση αν η λε ξη RS 1 ει ναι σχετιστη ς της G. Σε κα θε ομα δα οι λε ξεις aa 1, a 1 a, bb 1, b 1 b,... ει ναι σχετιστε ς και ονομα ζονται τετριμμένοι σχετιστές. Ας υποθε σουμε τω ρα ο τι P, Q, R,... ει ναι σχετιστε ς στην G. Λε με ο τι μια λε ξη W προκυ πτει απο τους P, Q, R,... η εφαρμογη των παρακα τω κινη σεων πεπερασμε νες φορε ς αλλα ζει την W στην κενη λε ξη: 1. Εισαγωγη μιας απο τις λε ξεις P, P 1, Q, Q 1, R, R 1,... η ενο ς τετριμμε νου σχετιστη α- να μεσα σε δυο συνεχο μενα συ μβολα της W η στην αρχη της W η στο τε λος της W. 2. Διαγραφη μιας απο τις λε ξεις P, P 1, Q, Q 1, R, R 1,... η ενο ς τετριμμε νου σχετιστη αν αυτο ς εμφανι ζεται απο συνεχο μενα συ μβολα της W. Ει ναι προφανε ς ο τι αν η W προκυ πτει απο τους P, Q, R,... το τε ει ναι και αυτη σχετιστη ς. Αν κα θε σχετιστη ς μιας ομα δας G προκυ πτει απο τους σχετιστε ς P, Q, R,... το τε λε με ο τι τα P, Q, R,... ει ναι ε να συ νολο οριζόμενων σχέσεων η ε να πλήρες σύνολο σχετιστών της G, για τους γεννη τορες a, b, c,.... Αν τα a, b, c,... ει ναι ε να συ στημα γεννητο ρων και P, Q, R,... ε να πλη ρες συ στημα σχετιστω ν το τε η a, b, c,... P, Q, R,... ει ναι μια παρα σταση της G. 1

2 Μια ομα δα λε γεται πεπερασμένα παραγόμενη αν τα a, b, c,... ει ναι πεπερασμε νο συ νολο. Αν επιπλε ον και οι P, Q, R,... ει ναι πεπερασμε νοι το τε λε με ο τι η G ει ναι μια πεπερασμένη παράσταση. Π 1.1. Η a, b a 2 = 1, b 2 = 1, ab = ba ει ναι μια παρα σταση της Z 2 Z 2. Κα θε ομα δα ε χει μια παρα σταση. Αρκει να πα ρουμε σαν συ νολο γεννητο ρων κα θε στοιχει ο της ομα δας και να προσθε σουμε ο λους τους σχετιστε ς που προκυ πτουν απο τον πι νακα πολλαπλασιασμου της ομα δας. Αν και ο χι πολυ κομψη, εξακολουθει να ει ναι μια παρα σταση της ομα δας. Α Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b a 3 = b 2 = 1, ab = ba 2 ε χει τα ξη 6 και ει ναι ισο μορφη με την S 3 την συμμετρικη ομα δα σε τρι α στοιχει α. 2. Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b, c a 3 = b 2 = c 2 = 1, ab = ba 2, ac = ca, bc = cb ε χει τα ξη Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b a n = b 2 = 1, ab = ba 1 ε χει ( τα ) ξη 2n και ει ναι ε k ισο μορφη με την ομα δα πινα κων με στοιχει α απο το Z n της μορφη ς ο που ε = ±1 0 1 και k Z n. 2 Η ελεύθερη ομάδα Η ελευ θερη ομα δα σε n γεννη τορες x 1,..., x n ει ναι η ομα δα με παρα σταση x 1,..., x n. Με α λλα λο για, οι μο νοι σχετιστε ς που υπα ρχουν στην ομα δα ει ναι οι τετριμμένοι σχετιστές δηλαδη σχετιστε ς της μορφη ς x ε i x ε i. Για λο γους απλο τητας η παραπα νω ομα δα συμβολι ζεται με F n = x 1,..., x n. Βασικο χαρακτηριστικο της ελευ θερης ομα δας ει ναι η καθολικο τητα της: Αν G ει ναι μια ομα δα με n γεννη τορες το τε υπα ρχει ομομορφισμο ς ϕ : F n G. Ο ομομορφισμο ς αυτο ς επεκτει νει την 1-1 απεικο νιση που υπα ρχει μεταξυ των γεννητο ρων της F n και της G. Μια ελεύθερα ανηγμένη λε ξη στα x 1,..., x n ει ναι μια λε ξη στην οποι α τα συ μβολα x ε i x ε i δεν εμφανι ζονται. Μια κυκλικά ανηγμένη λε ξη ει ναι μια ανηγμε νη λε ξη που δεν ξεκινα ει με x ε i και τελειω νει με x ε i. Δυ ο λε ξεις W 1, W 2 λε γονται ελεύθερα ίσες (και συμβολι ζουμε W 1 W 2 ) αν ορι ζουν το ι διο αρχικο στοιχει ο στην F n. Με α λλα λο για, η W 1 μπορει να μετατραπει στην W 2 με εισαγωγη η διαγραφη των τετριμμε νων σχετιστω ν x ε i x ε i. Προφανω ς, κα θε λε ξη ει ναι ελευ θερα ι ση με μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Αυτο μας οδηγει στο παρακα τω: Θ 2.1. Κα θε στοιχει ο της ελευ θερης ομα δας F n με γεννη τορες x 1,..., x n ορι ζεται απο μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Δηλαδη, κα θε λε ξη στα x 1,..., x n ει ναι ελευ θερα ι ση με μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Απόδειξη. Θα περιγρα ψουμε μια διαδικασι α με την οποι α κα θε λε ξη ανα γεται σε μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Την διαδικασι α αυτη την ονομα ζουμε ρ και ορι ζεται επαγωγικα ως εξη ς: ρ(1) = 1, p(x ε i ) = xε i και αν p(u) = xn 1 m 1... x nq m q το τε { ρ(ux ε x n 1 m i ) = 1... x nq m q x ε i αν m q i η n q ε x n 1 m 1... x n q 1 m q 1 αν m q = i και n q = ε Ευ κολα μπορει να δει ξει κανει ς ο τι η ρ ικανοποιει τις παρακα τω ιδιο τητες: 2

3 1. Η ρ(w ) ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. 2. ρ(w ) W. 3. Αν η V ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη το τε ρ(v ) = V. 4. ρ(w 1 W 2 ) = ρ(p(w 1 ) W 2 ). 5. ρ(w x ε i x ε i ) = ρ(w ). 6. ρ(w x ε i x ε i W 2 ) = ρ(w 1 W 2 ). Έστω τω ρα U, T δυ ο λε ξεις της ομα δας με U T. Το τε μπορου με να βρου με ακολουθι α λε ξεων U = U 1,..., U k = T ω στε κα θε μια να προκυ πτει απο την προηγου μενη με προσθη κη η διαγραφη μιας τετριμμε νης σχε σης. Άρα απο τις ιδιο τητες της ρ ε χουμε ο τι ρ(u i ) = ρ(u i+1 ) και α ρα ρ(u) = ρ(t ). Δει ξαμε λοιπο ν ο τι αν ε χουμε δυ ο ελευ θερα ι σες σχε σεις το τε η ρ τις οδηγει στην ι δια ελευ θερα ανηγμε νη σχε ση. Τε λος, αν U V και V ελευ θερα ανηγμε νη το τε ρ(u) = ρ(v ) = V και α ρα κα θε λε ξη ει ναι ελευ θερα ι ση με μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη, την ρ(u). Α 2.1. Να αποδει ξετε τις παραπα νω 6 ιδιο τητες της ρ. Π 2.1 (Προ βλημα Λε ξης). Αν F n μια ελευ θερη ομα δα στους γεννη τορες x 1,..., x n το τε μπορω να αποφασι σω σε πεπερασμε να βη ματα αν μια λε ξη ορι ζει το ουδε τερο στοιχει ο στην F n. Απόδειξη. Αν το W ορι ζει το ταυτοτικο στοιχει ο της F n το τε το ρ(w ) πρε πει να ει ναι 1. Όμως το ρ(w ) μπορει να υπολογιστει σε πεπερασμε να βη ματα. Π 2.2. Αν F n ει ναι η ελευ θερη ομα δα στα x 1,..., x n το τε κα θε μη τετριμμε νο στοιχει ο της ομα δας ε χει α πειρη τα ξη. Απόδειξη. Έστω W = x ε 1 s 1... x ε k sk μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη με W 1. Αν η W ει ναι επι σης κυκλικα ανηγμε νη το τε s 1 s k η ε 1 ε k. Άρα W p = x ε 1 s 1... x ε k sk x ε 1 s 1... x ε k sk... x ε 1 s 1... x ε k sk. Όμως το τε η W p ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη α ρα δεν μπορει ποτε (για κανε να p > 0) να ορι ζει το ουδε τερο στοιχει ο. Συνεπω ς το στοιχει ο W ε χει α πειρη τα ξη. Αν τω ρα η W δεν ει ναι κυκλικα ανηγμε νη. Το τε το W ει ναι συζυγε ς μιας κυκλικα ανηγμε νης λε ξης V και α ρα W = UV U 1 με V 1 εφο σον W 1. Όμως η V ει ναι κυκλικα ανηγμε νη συνεπω ς ε χει α πειρη τα ξη απο το προηγου μενο. Άρα και η W ε χει α πειρη τα ξη. Παρατηρη στε ο τι μια ελευ θερη ομα δα μπορει να δι νεται απο μια παρα σταση σε α λλους, ο χι ελευ θερους γεννη τορες. Για παρα δειγμα η ομα δα a, b, c ab 2 = 1 ει ναι ελευ θερη στα a, c αλλα ο χι στα a, b, c. Ένα λιγο τερο προφανε ς παρα δειγμα ει ναι η ομα δα με παρα σταση a, b, c a 2 b(ac) 2 ab = 1, η οποι α ει ναι ελευ θερη στα ab και ac (γιατι?). Δυστυχω ς ε χει αποδειχθει ο τι δεν υπα ρχει αλγο ριθμος που να αποφασι ζει αν μια παρα σταση ορι ζει μια ελευ θερη ομα δα η ο χι. 3

4 3 Μετασχηματισμοί Tietze Μια ομα δα μπορει να ε χει πολλε ς παραστα σεις. Γενικα, αν a 1..., a n,... R 1, R 2,... και a 1..., a n,... S 1, S 2,... παραστα σεις της ομα δας G το τε το συ νολο των οριζουσω ν σχε σεων R 1, R 2,... μπορει να προκυ ψει απο το S 1, S 2,... και αντι στροφα, μιας και οι S 1, S 2,... ει ναι σχετιστε ς και α ρα προκυ - πτουν απο τις ορι ζουσες σχε σεις R 1, R 2,.... Και φυσικα και το αντι στροφο. Επιπλε ον διαφορετικε ς παραστα σεις της G μπορου ν να προκυ ψουν και απο διαφορετικα συ νολα γεννητο ρων. To 1908 o Tietze ε δειξε ο τι για οποιαδη ποτε παρα σταση της ομα δας G, οποιαδη ποτε α λλη παρα σταση της G μπορει να προκυ ψει με εφαρμογη των παρακα τω μετασχηματισμω ν: (T1) Αν οι λε ξεις S, T,... προκυ πτουν απο τις P, Q, R... το τε μπορω να προσθε σω τις S, T,... στις ορι ζουσες σχε σεις της παρα στασης. (T2) Αν κα ποιοι απο τους σχετιστε ς S, T,... που ανη κουν στις ορι ζουσες σχε σεις P, Q, R... προκυ πτουν απο τους υπο λοιπους το τε μπορου με να σβη σουμε τις S, T,... απο τις ορι ζουσες σχε σεις. (T3) Αν K, M,... ει ναι λε ξεις στα a, b, c,... το τε μπορου με να προσθε σουμε τα συ μβολα x, y,... στους γεννη τορες της παρα στασης και τους σχετιστε ς x = K, y = M,... στις ορι ζουσες σχε σεις της παρα στασης. (T4) Αν κα ποιες απο τις ορι ζουσες σχε σεις παι ρνουν την μορφη p = V, q = W,... ο που p, q,... ει ναι γεννη τορες και V, W,... ει ναι λε ξεις στους γεννη τορες εκτο ς των p, q,... το τε μπορου με να σβη σουμε τους γεννη τορες p, q,... απο τους γεννη τορες της παρα στασης και τις σχε σεις p = V, q = W,... απο τις σχε σεις της παρα στασης αφου πρω τα αντικαταστη - σουμε τα p, q,... με V, W,... στις υπο λοιπες σχε σεις της παρα στασης. Οι (T1), (Τ2), (Τ3) και (T4) λε γονται μετασχηματισμοί Tietze. Οι μετασχηματισμοι αυτοι δεν αλλα ζουν την ομα δα G που δι νεται απο την παρα σταση. Θ 3.1. Αν δι νονται δυ ο παραστα σεις για την ομα δα G, a 1, a 2,... R 1, R 2,... και b 1, b 2,... S 1, S 2,... το τε η μια παρα σταση μπορει να προκυ ψει απο την α λλη με εφαρμογη των μετασχηματισμω ν Tietze. Απόδειξη. Έστω η πρω τη παρα σταση. Εφο σον τα b 1, b 2,... ει ναι στοιχει α της G μπορου ν να γραφου ν σαν λε ξεις στα a 1, a 2,.... Έστω b 1 = B 1 (a 1, a 2,...), b 2 = B 2 (a 1, a 2,...),.... Χρησιμοποιω ντας τον (T3) μπορου με να τις προσθε σουμε στην αρχικη παρα σταση η οποι α γι νεται a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,... Τω ρα τα S 1, S 2,... ει ναι σχετιστε ς στους γεννη τορες της νε ας παρα στασης επομε νως χρησιμοποιω ντας την (T1) μπορου με να προσθε σουμε και αυτου ς στην παραπα νω παρα σταση και ε χουμε a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,..., S 1, S 2,.... 4

5 Τω ρα θε λουμε να εκφρα σουμε τα a 1, a 2,... ως προς τα b 1, b 2,.... Όμως αυτο ει ναι εφικτο μιας και τα b 1, b 2,... ει ναι συ στημα γεννητο ρων της G. Άρα ε χουμε σχετιστε ς της μορφη ς a 1 = A(b 1, b 2,...), a 2 = A(b 1, b 2,...),.... Προσθε τουμε τις παραπα νω σχε σεις στην παρα σταση χρησιμοποιω ντας την (T3) και ε χουμε a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,..., S 1, S 2,..., a 1 = A 1, a 2 = A 2,.... Όμως τω ρα μπορου με να σβη σουμε τα a 1, a 2,... αφου πρω τα τα αντικαταστη σουμε στα R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,.... Στην συνε χεια μπορου με να σβη σουμε και τους υπο λοιπους σχετιστε ς, εκτο ς των S 1, S 2,... μιας και ξε ρουμε ο τι αποτελου ν ε να πλη ρες συ στημα σχετιστω ν. Π 3.1. Η ομα δα με παρα σταση a, b aba = bab ει ναι ισομορφικη με την c, d c 3 = d 2. Πρα γματι, ξεκινα ω με την παρα σταση a, b aba = bab. Θε τω c = ab και d = ada. Προσθε τω επιπλε ον γεννη τορες και σχε σεις και ε χω a, b, c, d c = ab, d = aba, aba = bab. Παρατηρω ο τι a = cb 1, και αντικαθιστω το a παντου a, b, c, d a = cb 1, d = cb 1 bcb 1, cb 1 bcb 1 = bcb 1 b. Διαγρα φω τον γεννη τορα a και την σχε ση a = cb 1 και ε χω b, c, d d = c 2 b 1, c 2 b 1 = bc. Βλε πω ο τι c 2 d = b 1 δηλαδη b = d 1 c 2. Αντικαθιστω το b και παι ρνω b, c, d b = d 1 c 2, c 2 c 2 d = d 1 c 2 c, και στην συνε χεια διαγρα φω το b και την αντι στοιχη σχε ση και παι ρνω Π 3.1. Οι παραστα σεις c, d d = d 1 c 3 δηλαδη c, d d 2 = c 3. a 1, a 2,..., a n R 1, R 2,..., R m και b 1, b 2,..., b k S 1, S 2,..., S l μπορου ν να μετασχηματιστου ν η μια στην α λλη με πεπερασμε νο πλη θος μετασχηματισμω ν Tietze. 4 Cayley γραφήματα Ο ς 4.1. Έστω G μια ομα δα και M ε να συ νολο. Θα λε με ο τι η G δρα στο M απο τα α- ριστερα αν για κα θε g G και για κα θε m M ορι ζεται ε να στοιχει ο gm M ε τσι ω στε g 1 (g 1 m) = (g 2 g 1 )m και 1m = m για κα θε m M και για κα θε g 1, g 2 G. Όμοια μπορει να ορι σει κανει ς και την δεξια δρα ση μιας ομα δας σε ε να συ νολο. Μια δρα ση λε γεται μεταβατική αν για κα θε δυ ο στοιχει α m, m M υπα ρχει g G ω στε gm = m. Η δρα ση θα λε γεται πιστή αν για κα θε g G υπα ρχει m M ω στε gm m. Το συ νολο {g G gm = m για κα θε m M} λε γεται πυρήνας της δρα σης και ει ναι υποομα δα της G. Απο τα παραπα νω φαι νεται ο τι μια δρα ση ει ναι πιστη αν και μο νο αν ο πυρη νας ει ναι τετριμμε νος. 5

6 Α Δει ξτε ο τι ο πυρη νας της δρα σης ει ναι υποομα δα της G 2. Δει ξτε ο τι μια δρα ση ει ναι πιστη αν και μο νο αν ο πυρη νας της ει ναι η τετριμμε νη υποομα δα. H τροχιά ενο ς στοιχει ου m M ει ναι το υποσυ νολο O(m) = {gm g G} του M. Τα στοιχει α που ανη κουν στην ι δια τροχια λε γονται G-ισοδυ ναμα. Η σταθεροποιούσα ενο ς m M ει ναι το υποσυ νολο του G, St(m) = {g G gm = m}. Η σταθεροποιου σα ενο ς στοιχει ου ει ναι υποομα δα της G. Α 4.2. Δει ξτε ο τι η σταθεροποιου σα ενο ς στοιχει ου ει ναι υποομα δα. Π 4.1. Αν ε χουμε μια αριστερη δρα ση της G στο M, πα ντα μπορου με να ορι σουμε μια δεξια δρα ση του G στο M θε τοντας mg = g 1 m. Α 4.3. Δει ξτε ο τι η συνα ρτηση που ορι στηκε στην παραπα νω παρατη ρηση ει ναι δρα ση. Ο ς 4.2. Ένα γρα φημα X ει ναι μια πεντα δα που αποτελει ται απο ε να μη κενο συ νολο κορυφω ν X 0, ε να συ νολο ακμω ν X 1 και τρεις απεικονι σεις α : X 1 X 0 (την αρχικη κορυφη μιας ακμη ς), ω : X 1 X 0 (την τελικη κορυφη μιας ακμη ς) και : X 1 X 1 (την αντι στροφη μιας ακμη ς) ω στε e = e, e e και α(e) = ω(e) για κα θε e X 1. Ένα γρα φημα λε γεται πεπερασμένο αν το συ νολο των κορυφω ν και ακμω ν του γραφη ματος ει ναι πεπερασμε νο. Η ε ννοια του υπογραφήματος ορι ζεται με τον φυσικο τρο πο. Το ευθυ γινο μενο γραφημα των X και Y συμβολι ζεται με X Y και ει ναι το γρα φημα με συ - νολο κορυφω ν X 0 Y 0, συ νολο ακμω ν X 1 Y 1 ε τσι ω στε α((e, e )) = (α(e), α(e )), ω((e, e )) = (w(e), w(e )) και (e, e ) = (e, e ) για κα θε ζευ γος (e, e ) X 1 Y 1. Ένας μορφισμο ς απο το X στο Y ει ναι μια απεικο νιση p απο το συ νολο κορυφω ν και ακμω ν του στο συ νολο κορυφω ν και ακμω ν του Y που στε λνει κορυφε ς σε κορυφε ς, ακμε ς σε ακμε ς και ικανοποιει τις συνθη κες p(α(e)) = α(p(e)), p(ω(e)) = ω(p(e)), p(e) = p(e) για κα θε e X 1. Για συντομι α γρα φουμε p : X Y. Ένας μορφισμο ς λε γεται ισομορφισμός αν ει ναι 1-1 και επι. Ένας ισομορφισμο ς απο ε να γρα φημα στον εαυτο του λε γεται αυτομορφισμός. Μερικε ς φορε ς χρεια ζεται να ξεχωρι ζουμε μια κορυφη στο γρα φημα X, ε στω x. Το τε συμβολι ζουμε το γρα φημα με (X, x). Επι σης γρα φουμε p : (X, x) (Y, y) αν ο p ει ναι μορφισμο ς γραφημα των και p(x) = y. Το αστέρι μιας κορυφη ς x X 1, ει ναι το συ νολο των ακμω ν με αρχικη κορυφη το x. Η πληθυκότητα η ο βαθμός μιας κορυφη ς ει ναι η πληθυκο τητα του αστεριου της κορυφη ς. Ένας μορφισμο ς p : X Y λε γεται τοπικά 1-1 αν ο περιορισμο ς του p στο αστε ρι κα θε κορυφη ς του X ει ναι 1-1. Ένα γρα φημα λε γεται προσανατολισμένο αν για κα θε ζευ γος αντι στροφων ακμω ν {e, e} επιλε γουμε μια ακμη. Η ακμη αυτη λε γεται θετικά προσανατολισμένη και η αντι στροφη της αρνητικά προσανατολισμένη. Τα αντι στοιχα υποσυ νολα του X 1 συμβολι ζονται με X 1 + και X 1 αντι στοιχα. Το X 1 + ει ναι ε νας προσανατολισμός του X. Π 4.2. Τα γραφη ματα συμβολι ζονται ((κλασικα )) με γραμμε ς και κορυφε ς και ο ταν βα ζουμε μια γραμμη μεταξυ δυο κορυφω ν εννοου με ε να ζευ γος ακμω ν. 6

7 Π 4.1. Το γρα φημα C n ο που n Z, n 1. n Π 4.2. Το γρα φημα C Μια ακολουθι α ακμω ν l = e 1 e 2... e n ενο ς γραφη ματος X λε γεται μονοπάτι μη κους n στο X αν ω(e i ) = α(e i+1 ), i = 1,..., n 1. Λε με ο τι το μονοπα τι l ε χει αρχικη κορυφη το α(e 1 ) και τελικη το ω(e n ). Το τετριμμε νο μονοπα τι ει ναι το μονοπα τι που αποτελει ται απο μο νο μια κορυφη. Για ε να μη τετριμμε νο μονοπα τι l = e 1... e m συμβολι ζουμε με l 1 το μονοπα τι e m... e 1. Για ε να τετριμμε νο μονοπα τι, l 1 = l. Ένα μονοπα τι λε γεται ανηγμένο αν ει τε ει ναι τετριμμε νο ει τε l = e 1... e n ο που e i+1 e i για i = 1,..., n 1. Ένα μονοπα τι l ει ναι κλειστο αν η αρχη και το τε λος του συμπι πτουν. Αν το τε λος ενο ς μονοπατιου l = e 1... e k συμπι πτει με την αρχη του l = e 1... e m το τε μπορου με να ορι σουμε το γινόμενο ll των μονοπατιω ν να ει ναι το μονοπα τι ll = e 1... e k e 1... e m. Ένα γρα φημα λε γεται συνεκτικό αν για κα θε δυ ο κορυφε ς u, v X 0 υπα ρχει μονοπα τι απο το u στο v. Ένα κύκλωμα σε ε να γρα φημα ει ναι ε να υπογρα φημα ισομορφικο με το C n. Ένα δε ντρο ει ναι ε να συνεκτικο γρα φημα χωρι ς κυκλω ματα. Α 4.4. Δει ξτε ο τι αν η p : X T ει ναι τοπικα 1-1 μορφισμο ς απο ε να γρα φημα X σε ε να δε ντρο T το τε η p ει ναι 1-1 και το X ει ναι δε ντρο. Ένα μεγιστικό υποδέντρο ενο ς συνεκτικου γραφη ματος X ει ναι ε να υπογρα φημα του X ι- σομορφικο με δε ντρο, με τις περισσο τερες δυνατε ς ακμε ς. Π 4.1. Έστω T ε να μεγιστικο υποδε ντρο ενο ς συνεκτικου γραφη ματος X. Το τε το T περιε χει ο λες τις κορυφε ς του X. Απόδειξη. Ας υποθε σουμε ο τι αυτο δεν ισχυ ει. Το τε λο γω της συνεκτικο τητας του X, υπα ρχει ακμη y που ξεκινα απο το T και τελειω νει ε ξω απο το T. Άρα προσθε τοντας στο T την ακμη y και y και την κορυφη ω(y), παι ρνουμε ε να δε ντρο με περισσο τερες ακμε ς απο το T, α τοπο στην επιλογη του T σαν μεγιστικο υποδε ντρο. Ο ς 4.3. Μια ομα δα G δρα σε ε να γρα φημα X (απο τα αριστερα ) αν οι (αριστερε ς) δρα - σεις της G στα συ νολα X 0 και X 1 ορι ζονται ε τσι ω στε gα(e) = α(g(e)) και ge = ge για κα θε g G και e X 1. Θα λε με ο τι η G δρα στο X χωρίς αντιστροφές αν ge e για κα θε e X 1 και για κα θε g G. Η δρα ση θα λε γεται ελεύθερη αν gv v για κα θε v X 0 και κα θε μη τετριμμε νο στοιχει ο g G. Στην Θεωρι α Bass-Serre που θα μελετη σουμε στην συνε χεια απαιτει δρα σεις ομα δων χωρι ς αντιστροφε ς. Αυτο δεν ει ναι σοβαρο ς περιορισμο ς. Αν η ομα δα G δρα στο X το τε η G δρα στην βαρυκεντρική υποδιαίρεση B(X) του X χωρι ς αντιστροφε ς. Η δρα ση αυτη ει ναι πολυ κοντα στην αρχικη. Η βαρυκεντρικη υποδιαι ρεση του X ει ναι το γρα φημα B(X) το οποι ο προε ρχεται 7

8 απο το X με υποδιαι ρεση κα θε ακμη ς e σε δυ ο ακμε ς e 1 και e 2, προσθε τοντας μια νε α κορυφη v e στο ((με σο)) της e. Υποθε τουμε φυσικα ο τι (e) 2 = e 1, (e) 1 = e 2, v e = v e. Η δρα ση ορι ζεται θε τοντας ge 1 = (ge) 1 και ge 2 = (ge) 2, gv e = v ge και διατηρει την δρα ση του G στις κορυφε ς του B(X) που ει ναι και κορυφε ς του X. Έστω μια ομα δα G που δρα στο γρα φημα X χωρι ς αντιστροφε ς. Για κα θε x X 0 X 1 συμβολι ζουμε με O(x) την τροχια του x ως προς την δρα ση αυτη. Ορι ζουμε το γράφημα πηλίκο G\X να ει ναι το γρα φημα με κορυφε ς O(v) ο που v X 0 και ακμε ς O(e) ο που e X 1 ε τσι ω στε: 1. το O(v) ει ναι η αρχη του O(e) αν υπα ρχει g G ω στε το gv ει ναι η αρχη του e. 2. Η αντι στροφη της ακμη ς O(e) ει ναι η ακμη O(e). Οι ακμε ς O(e) και O(e) δεν ταυτι ζονται μιας και η δρα ση ει ναι χωρι ς αντιστροφε ς. Η απεικο νιση p : X G\X με p(x) = O(x), x X 0 X 1 ει ναι μορφισμο ς γραφημα των και καλει ται προβολή. Έστω y μια κορυφη η ακμη του γραφη ματος πηλι κο G\X. Οποιαδη ποτε προ-εικο να του y ως προς την p λε γεται ανο ρθωση του y στο X. Π 4.3. Το παρακα τω γρα φημα επιδε χεται μια δρα ση του Z 3 με στροφε ς κατα 180. Το γρα φημα πηλι κο ει ναι Π 4.2. Έστω μια ομα δα G που δρα σε ε να συνεκτικο γρα φημα X χωρι ς αντιστροφε ς. Για κα θε υποδε ντρο T του G\X υπα ρχει υποδε ντρο T του X τε τοιο ω στε η p T : T T να ει ναι ισομορφισμο ς. Απόδειξη. Θεωρη στε το συ νολο ο λων των υποδε ντρων του X τα οποι α προβα λλονται με 1-1 τρο πο στο T. Το συ νολο αυτο ει ναι μερικα διατεταγμε νο και οποιαδη ποτε αλυσι δα στοιχει ων ε χει α νω ο ριο. Το συ νολο αυτο ει ναι πεπερασμε νο α ρα ε χει με γιστο στοιχει ο, το T, το οποι ο αποτελει μεγιστικο υποδε ντρο του X. Αρκει να δει ξουμε ο τι p(t ) = T. Αν αυτο δεν ισχυ ει το τε υπα ρχει e με αρχικο σημει ο στο P (T ) (το δυναμοσυ νολο του T ) και τε λος στο T \ P (T ). Σε αυτη την περι πτωση μπορω να μεγαλω σω το T, πρα γμα α τοπο μιας και το T αποτελει μεγιστικο υποδε ντρο. Κα θε υποδε ντρο της παραπα νω προ τασης λε γεται ανόρθωση στο X. Ο ς 4.4. Έστω G ομα δα και S ε να συ στημα γεννητο ρων του G. Συμβολι ζουμε με Γ(G, S) το γρα φημα με συ νολο κορυφω ν G, συ νολο ακμω ν G S και συναρτη σεις α και ω να δι νονται απο τους κανο νες α((g, s)) = g και ω((g, s)) = gs ο που (g, s) G S. Η αντι στροφη της (g, s) ει ναι η (gs, s 1 ). Α 4.5. Δει ξτε ο τι το Γ(G, S) ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Η ομα δα G δρα απο αριστερα στο Γ(G, S) ως εξη ς: ε να στοιχει ο g G στε λνει την κορυφη g στην κορυφη gg και την ακμη (g, t) στην ακμη (gg, t). Α 4.6. Δει ξτε ο τι η παραπα νω δρα ση ει ναι ελευ θερη και χωρι ς αντιστροφε ς. Το γρα φημα Γ(G, S) που ορι σαμε πιο πα νω λε γεται γράφημα Cayley της G ως προς S. 8

9 Π 4.3. Το γρα φημα Cayley μιας ομα δας εξαρτα ται απο την επιλογη του συστη ματος γεννητο ρων S. Π 4.4. Τα γραφη ματα C n και C ει ναι ισομορφικα με τα γραφη ματα Cayley των κυκλικω ν ομα δων Z n και Z ως προς τα συστη ματα γεννητο ρων {1} και {1} αντι στοιχα. Π 4.5. Το παρακα τω γρα φημα ει ναι το γρα φημα Cayley της x x 6 = 1 = Z 6 ως προς το S = {x 2, x 3 } Π 4.6. Η διεδρικη ομα δα D n, n 1 η n = μπορει να θεωρηθει και σαν ομα δα αυτομορφισμω ν του γραφη ματος C n. Κα θε τε τοιος αυτομορφισμο ς προσδιορι ζεται πλη ρως απο την εικο να της ακμη ς e 0. Έστω a, b αυτομορφισμοι ω στε a(e 0 ) = e 1 και b(e 0 ) = e 1. Η ομα δα αυτομορφισμω ν D n αποτελει ται απο τους αυτομορφισμου ς b k και b k a ο που 0 k n 1 για n πεπερασμε νο και k Z για n =. Οι αυτομορφισμοι b k μπορου ν να θεωρηθου ν σαν στροφε ς για n πεπερασμε νο η σαν μεταφορε ς για n =. Οι αυτομορφισμοι b k a ει ναι ανακλα σεις. Το Cayley γρα φημα της D ως προς το συ στημα γεννητο ρων {a, b} ει ναι το Π 4.3. Έστω Γ(G, S) το γρα φημα Cayley της ομα δας G ως προς το συ στημα γεννητο ρων S. Το τε το Γ(G, S) ει ναι δε ντρο αν και μο νο αν το G ει ναι ελευ θερη ομα δα. Απόδειξη. Για μια ακμη e = (g, t) με t S S 1 ορι ζουμε την ετικε τα της να ει ναι το s(e) = t. Το τε ω(e) = α(e)s(e) και για κα θε μονοπα τι e 1... e n ε χουμε ω(e n ) = α(e 1 )s(e 1 )s(e 2 )... s(e n ). Έ- στω G ελευ θερη ομα δα με συ νολο γεννητο ρων S. Το τε το Γ(G, S) ει ναι συνεκτικο. Αν τω ρα στο Γ(G, S) υπα ρχει κλειστο ανηγμε νο μονοπα τι e 1... e n το τε ω(e n ) = α(e 1 ) και α ρα s(e 1 )... s(e n ) = 1. Εφο σον το S ει ναι βα ση του G υπα ρχει δει κτης k ω στε s(e k ) = (s(e k+1 ) 1. Το τε e k = e k+1, α τοπο διο τι το μονοπα τι ει ναι ανηγμε νο. Άρα το Γ(G, S) ει ναι δε ντρο. Το αντι στροφο ει ναι προφανε ς. 9

10 Π 4.1. Μια ελευ θερη ομα δα δρα ελευ θερα και χωρι ς αντιστροφε ς στις ακμε ς ενο ς δε ντρου. Απόδειξη. Αρκει να πα ρουμε το Γ(G, S) για ε να ελευ θερο συ στημα γεννητο ρων της G. Θ 4.1. Έστω G ομα δα που δρα ελευ θερα και χωρι ς αντιστροφε ς σε ε να δε ντρο X. Το τε η G ει ναι ελευ θερη και ο βαθμο ς της G ει ναι ι σος με το πλη θος των θετικα ορισμε νων ακμω ν του γραφη ματος πηλι κο G\X που δεν συμπεριλαμβα νονται σε ε να μεγιστικο υποδε ντρο. Ιδιαι τερα, αν το G\X ει ναι πεπερασμε νο το τε rk(g) = (G\X) 1 + (G\X) Απόδειξη. Έστω p : X X η κανονικη προβολη του δε ντρου X στο πηλι κο X = G\X. Διαλε γω στο X ε να μεγιστικο υποδε ντρο T και το ανορθω νω σε ε να υποδε ντρο T του X. Παρατηρη στε ο τι διαφορετικε ς κορυφε ς του T δεν ει ναι ισοδυ ναμες κα τω απο την δρα ση του G και κα θε κορυφη του X ει ναι ισοδυ ναμη με κα ποια κορυφη του T. Ας επιλε ξουμε ε ναν προσανατολισμο του X, και ε στω E το συ νολο των θετικω ν ακμω ν του X ε ξω απο το T. Για κα θε ακμη e E υπα ρχει ανο ρθωση του e στο X με αρχικη κορυφη στο T. Η ανο ρθωση αυτη ει ναι μοναδικη. Πρα γματι, αν υπη ρχαν δυ ο τε τοιες το τε το στοιχει ο που πηγαι νει την μια ακμη στην α λλη σταθεροποιει την κορυφη, α τοπο λο γω της ελευθερι ας της δρα σης. Έστω e η ανο ρθωση αυτη. Το τε λος της e ει ναι εκτο ς του T. Έστω E το συ νολο των θετικω ν ακμω ν του X με αρχικη κορυφη στο T και τελικη εκτο ς T. Το τε το p απεικονι ζει το E στο E με 1-1 και επι τρο πο. Επιπλε ον, GE = E. Η τελικη κορυφη κα θε ακμη ς e E ει ναι ισοδυ ναμη με μια μοναδικη κορυφη απο το T, ε στω v(e). Το στοιχει ο του G που πηγαι νει το v(e) στην τελικη κορυφη του e ει ναι επι σης μοναδικο απο την ελευθερι α της δρα σης του G στο X. Ας το συμβολι σουμε με g e. Θα δει ξουμε ο τι η G ει ναι ελευ θερη με βα ση S = {g e e E}. Τα υποδε ντρα gt, g G ει ναι ξε να μεταξυ τους και το συ νολο των κορυφω ν τους ταυτι ζεται με το συ νολο των κορυφω ν του X. Έστω f μια θετικη ακμη απο το X που δεν ανη κει στην ε νωση των δε ντρων αυτω ν. Το τε η f συνδε ει δυ ο απο αυτα, ε στω g 1 T και g 2 T. Συρρικνω νουμε κα θε δε ντρο σε μια κορυφη που την συμβολι ζουμε (gt ). Παι ρνουμε ε τσι ε να νε ο δε ντρο X T στο οποι ο κα θε ακμη f συνδε ει τις (g 1 T ) και (g 2 T ). Θα δει ξουμε ο τι το X T ει ναι ισομορφικο με το Γ(G, S). Απεικονι ζουμε το Γ(G, S) στο X T με τον εξη ς τρο πο: κα θε g Γ(G, S) απεικονι ζεται στο gt του X T. Για κα θε g e υπα ρχει e X στο E με α(e) T και ω(e) gt. Η ακμη ge του X δι νει μια ακμη του X T απο το (gt ) στο (gg e T ). Τω ρα απεικονι ζουμε την ακμη (g, g e ) του Γ(G, S) στην ακμη αυτη του X T (και την αντι στροφη στην αντι στροφη). Η απεικο νιση αυτη ει ναι 1-1 και επι στις κορυφε ς. Οι εικο νες δυ ο διακριτω ν ακμω ν (g, s) και (h, s ) ε χουν διαφορετικα αρχικα σημει α gt και ht αν g h και αν h = g ε χουν διαφορετικα τελικα σημει α gst και gs T. Άρα η απεικο νιση ει ναι 1-1 στις ακμε ς. Αν τω ρα πα ρουμε μια ακμη του X T το τε αυτη ει ναι εικο να μιας ακμη ς e με α(e) gt και ω(e) ht για g, h G, g h. Αν e E το τε g 1 e G = και g 1 h S εφο σον g 1 e ει ναι ακμη που ξεκινα απο το T και καταλη γει στο g 1 ht. Το τε η (g, g 1 h) ει ναι ακμη του Γ(G, S) της οποι ας η εικο να στο X T ει ναι η ακμη αυτη. Αν e E το τε δουλευ ουμε με την αντι στροφη της e. Άρα η απεικο νιση ει ναι επι στις ακμε ς. Tελικα η απεικο νιση ει ναι ισομορφισμο ς γραφημα των και α ρα η G ει ναι ελευ θερη. Π 4.2 (Θεω ρημα Nielsen-Schreier). Κα θε υποομα δα μιας ελευ θερης ομα δας ει ναι ε- λευ θερη. 10

11 Απόδειξη. Έστω G μια ελευ θερη ομα δα με βα ση το S. Απο προηγου μενο αποτε λεσμα, η G δρα ελευ θερα χωρι ς αντιστροφε ς στο δε ντρο Γ(G, S). Αν H υποομα δα της G το τε και η H δρα ε- λευ θερα χωρι ς αντιστροφε ς στις ακμε ς του ι διου δε ντρου. Άρα απο το προηγου μενο θεω ρημα ει ναι ελευ θερη. Π 4.3 (Τυ πος του Schreier). Αν G ελευ θερη ομα δα πεπερασμε νου βαθμου και H υ- ποομα δα δει κτη n το τε rk(h) 1 = n(rk(g) 1). Απόδειξη. Έστω S μια βα ση του G και H\G το συ νολο των δεξιω ν συμπλο κων της H στην G. Το τε η H δρα στις κορυφε ς και στις (θετικα ορισμε νες) ακμε ς του Γ(G, S) ως εξη ς g hg και (g, s) (hg, s) για h H, g G, s S. Άρα το γρα φημα πηλι κο Y = H\Γ(G, S) δι νεται απο τα Y 0 = H\G και Y 1 + = (H\G) S ο που η ακμη (Hg, s) συνδε ει τις κορυφε ς Hg και Hgs. Απο το προηγου μενο θεω ρημα ε χουμε rk(h) = n rk(g) n + 1. Ας μελετη σουμε λι γο ακο μη το γρα φημα πηλι κο Y = H\Γ(G, S). Η ετικε τα μιας ακμη ς e = (Hg, t) με t S S 1 ορι ζεται να ει ναι το στοιχει ο s(e) = t. Αν l = e 1... e k ε να μονοπα τι, το τε η ετικε τα του μονοπατιου ει ναι s(l) = s(e 1 )... s(e k ). Η ετικε τα ενο ς εκφυλισμε νου μονοπατιου ει ναι το ταυτοτικο στοιχει ο. Αν τα l 1, l 2 ει ναι μονοπα τια και ορι ζεται το l 1 l 2 το τε s(l 1 l 2 ) = s(l 1 )s(l 2 ). Στο αστε ρι κα θε κορυφη ς του Y οι ετικε τες διαφορετικω ν ακμω ν ει ναι διακριτε ς. Το συ νολο των ετικετω ν αυτω ν ταυτι ζεται με το S S 1. Π 4.4. Η ομα δα H αποτελει ται απο τις ετικε τες ο λων των μονοπατιω ν του Y με αρχικη και τελικη κορυφη H. Απόδειξη. Έστω l = e 1... e k μονοπα τι στο Y με αρχικη και τελικη κορυφη το H. Απο τα προηγου μενα ε χουμε ο τι ω(e i ) = α(e i )s(e i ) και ω(e k ) = α(e 1 )s(e 1 )... s(e k ) = α(e 1 )s(l). Εφο σον ω(e k ) = α(e 1 ) = H ε χουμε ο τι σ(l) H. Αντι στροφα, ε στω h = s 1... s k H, ο που s i S ± για κα θε i. Έστω e 1 = (H, s 1 ) και e i = (Hs 1... s i 1, s i ) για 2 i k. Το τε l = e 1... e k ει ναι μονοπα τι με αρχικη και τελικη κορυφη H και με s(l) = h. Άμεσος στο χος μας ει ναι να δει ξουμε ο τι η H παρα γεται απο τις ετικε τες κα ποιων ((απλω ν)) μονοπατιω ν στο Y. Ας πα ρουμε ε να με γιστο υποδε ντρο του Y και ας συμβολι σουμε την κορυφη H με y. Για κα θε v Y 0 υπα ρχει μοναδικο ανηγμε νο μονοπα τι απο το y στο v που ανη κει στο. Έστω p v το μονοπα τι αυτο. Για κα θε ακμη e Y 1 ορι ζουμε p e = p α(e) ep 1 ω(e) Θ 4.2. Με τον παραπα νω συμβολισμο το H ει ναι μια ελευ θερη ομα δα με βα ση {s(p e ) e Y 1 +\ 1 }. Ο ς 4.5. Έστω G μια ελευ θερη ομα δα με βα ση S και H υποομα δα του G. Ένα συ στημα Schreier αντιπροσω πων της H στην G ει ναι ε να συ νολο T ανηγμε νων λε ξεων τε τοιο ω στε κα θε δεξιο συ μπλοκο της H στην G περιε χει μια μοναδικη λε ξη T, και ο λα τα αρχικα κομμα τια της λε ξης αυτη ς ανη κουν επι σης στο. Ειδικο τερα, το 1 T και παριστα το συ μπλοκο H. Για κα θε g G, συμβολι ζουμε με g το στοιχει ο του T με την ιδιο τητα Hg = Hg. Θ Για κα θε υποομα δα H της ελευ θερης ομα δας G με βα ση S υπα ρχει συ - στημα Schreier αντιπροσω πων στην G. Επιπλε ον, αν ει ναι ε να μεγιστικο υποδε ντρο του Y = H\Γ(G, S) το τε το T ( ) = {s(p v ) v Y 0 } ει ναι ε να συ στημα Schreier αντιπροσω πων της H στην G. 11

12 2. Η αντιστοιχι α T ( ) δι νει μια 1-1 και επι απεικο νιση απο το συ νολο των μεγιστικω ν υποδε ντρων του Y στο συ νολο των Schreier αντιπροσω πων της H στην G. 3. Έστω T ε να τυχαι ο Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην G. Το τε η H ε χει βα ση Απόδειξη. {ts(ts) 1 t T, s S και ts(ts) 1 1}. 1. Εφο σον το v διατρε χει το συ νολο ο λων των δεξιω ν συμπλο κων της H στην G και v = Hs(p v ), το T ( ) ει ναι συ στημα αντιπροσω πων των κλα σεων αυτω ν. Επιπλε ον το μονοπα τι p v = e 1 e 2... e n στο δε ντρο ε χει ετικε τα s(p v ) = s(e 1 )... s(e n ) η οποι α ει ναι μια ανηγμε νη λε ξη και κα θε αρχικο κομμα τι της ει ναι η ετικε τα ενο ς υπομονοπατιου του p v. 2. Έστω T ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην G. Σε κα θε στοιχει ο t = s 1... s k του T αντιστοιχου με ε να μονοπα τι l t = e 1... e k της Y τε τοιο ω στε α(e 1 ) = H, s(e i ) = s i. Αν (T ) ει ναι ε να ελα χιστο υπογρα φημα του Y που περιε χει ο λα τα μονοπα τια l t για t T το τε το (T ) ει ναι μεγιστικο υποδε ντρο στο Y και οι αντιστοιχι ες T ( ) και T (T ) ει ναι αντι στροφες η μια στην α λλη. 3. Αν ει ναι το μεγιστικο υποδε ντρο του Y που αντιστοιχει στο συ στημα T το τε για κα θε μονοπα τι p e = p α(e) ep 1 ω(e) ε χουμε ο τι s(p e) = tst 1 1 ο που t = s(p α(e) ), s = s(e), t 1 = s(p ω(e) ). Απο το 1) ε χουμε ο τι t, t 1 T και απο προηγου μενη προ ταση tst 1 1 H, δηλαδη t 1 = ts. Άρα μας με νει να παρατηρη σουμε ο τι e Y+ 1 αν και μο νο αν s(e) Y και e 1 αν και μο νο αν s(p e ) = 1 και να εφαρμο σουμε το προηγου μενο θεω ρημα. Π 4.7. Το συ νολο {a n b m n.m Z} ει ναι ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων για την υποομα δα μεταθετω ν της ελευ θερης ομα δας F 2 σε δυ ο γεννη τορες {a, b}. Επιπλε ον a n b m a = a n+1 b m και a n b m b = a n b m+1. Άρα μια βα ση της υποομα δας αυτη ς ει ναι το {a n b m ab m a (n+1) n, m Z, m 0}. Π 4.8. Έστω H η υποομα δα της F 2 με γεννη τορες a, b η οποι α αποτελει ται απο ο λες τις λε ξεις με α ρτιο α θροισμα εκθετω ν στα a και b. Ένα Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην F 2 ει ναι το {1, a, b, ab}. Αν Γ ει ναι το γρα φημα Cayley της F 2 το τε το H\Γ ει ναι το γρα φημα Το υποδε ντρο με την κο κκινη γραμμη ει ναι ε να μεγιστικο υποδε ντρο. Το τε το H ε χει σαν βα ση τα a 2, b 2, ab 2 a 1, abab 1, bab 1 a 1. Ευ κολα βλε πουμε ο τι ο πυρη νας του ομομορφισμου ϕ : F 2 Z 2 Z 2 ο που a (1, 0) και b (0, 1) ει ναι η H. Π 4.9. Αν θεωρη σουμε H τον πυρη να του ομομορφισμου ϕ : F 2 S 3 με a (12) και b (13). Το τε το συ νολο {1, a, b, ab, ba, aba} ει ναι ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην F 2. Η ομα δα H ε χει σαν βα ση το συ νολο {a 2, ab 2 a 1, aba 2 b 1 a 1, ababa 1 b 1, b 2, ba 2 b 1, baba 1 b 1 a 1 }. 12

13 Α 4.7. Έστω D n η διεδρικη ομα δα. Θεωρη στε την D n σαν την ομα δα πηλι κο της F 2 /N ο που N η κανονικη υποομα δα της F 2 που παρα γεται απο τα {a 2, c 2, (ac) n }. Έστω H ο πυρη νας του κανονικου επιμορφισμου ϕ : F 2 D n. Δει ξτε ο τι τα παρακα τω ει ναι Schreier συστη ματα αντιπροσω πων της H στην F Το συ νολο ο λων των αρχικω ν κομματιω ν των λε ξεων (ac) k και (ca) k 1 c αν το n ει ναι α ρ- τιος και n = 2k. 2. Το συ νολο ο λων των αρχικω ν κομματιω ν των λε ξεων (ac) k a και (ca) k αν το n ει ναι περιττο ς και n = 2k Ελεύθερα Γινόμενα Έστω A, B ομα δες με A B = 1. Μια κανονική μορφή ει ναι μια ε κφραση της μορφη ς g 1 g 2... g n ο που n 0, g i (A B) \ {1} και γειτονικα στοιχει α δεν ανη κουν στην ι δια ομα δα A η B. Ο αριθμο ς n καλει ται μήκος της κανονικη ς μορφη ς. Η κανονικη μορφη μη κους 0 ει ναι το ταυτοτικο στοιχει ο. Στο συ νολο των κανονικω ν μορφω ν ορι ζουμε ε να πολλαπλασιασμο ως εξη ς: x 1 = 1 x = x για κα θε κανονικη μορφη x. Επι σης, αν x = g 1... g n και y = h 1... h m κανονικε ς μοφε ς με m, n 1 θε τουμε g 1... g n h 1... h m αν g n A, h 1 B η g 1 B, h 1 A x y = g 1... g n 1 zh 2... h m αν g n, h 1 A η g n, h 1 B και z = g n h 1 1 g 1... g n 1 h 2... h m αν g n, h 1 A η g n, h 1 B και g n h 1 = 1 Το συ νολο των κανονικω ν μορφω ν με την παραπα νω πρα ξη αποτελει ομα δα και λε γεται ελεύθερο γινόμενο των A, B. Συμβολι ζεται με A B. Επιπλε ον, οι ομα δες A και B εμφυτευ ονται με φυσιολογικο τρο πο στην A B. Π 5.1. Έστω A, B υποομα δες μιας ομα δας G ε τσι ω στε κα θε g G μπορει να γραφει με μοναδικο τρο πο σαν γινο μενο g = g 1... g n με g i (A B) \ {1} και γειτονικοι παρα γοντες δεν ανη κουν στην ι δια ομα δα A η B. Το τε G = A B. Θ 5.1. Έστω A = X R, B = Y S και X Y =. Το τε A B = X, Y R, S. Απόδειξη. Συμβολι ζουμε με N(R), N(S) και N(R S) τις κανονικε ς υποομα δες που παρα γονται απο τα R, S και R S αντι στοιχα στις ελευ θερες ομα δες F (X), F (Y ) και F (X Y ). Έστω ϕ : F (X) A, ψ : F (Y ) B ομομορφισμοι με πυρη νες N(R) και N(S) αντι στοιχα. Έστω θ : F (X Y ) A B ο ομομορφισμο ς ο οποι ος ταυτι ζεται με τον ϕ στο X και τον ψ στο. Το τε N(R S) Kerθ. Έστω g Kerθ με g = g 1... g n ο που g i (F (X) F (Y )) \ {1} και γειτονικα στοιχει α ανη κουν σε διαφορετικε ς ομα δες F (X), F (Y ). Εφο σον θ(g 1 )... θ(g n ) = 1 στο A το τε υπα ρχει i ω στε θ(g i ) = 1. Άρα g i N(R) η g i N(S). Επιπλε ον θ(g 1... g i 1 g i+1... g n ) = 1. Ε- παναλαμβα νοντας το παραπα νω επιχει ρημα πεπερασμε νες φορε ς ε χουμε τελικα ο τι g 1... g n N(R S) και α ρα g N(R S). Π 5.1. Z 2 Z 2... Α 5.1. Δει ξτε ο τι οι ομα δες A και B εμφυτευ ονται με φυσιολογικο τρο πο στην A B. 13

14 6 Ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα Έστω G, H ομα δες με διακριτε ς ισομορφικε ς υποομα δες A G και B H, ο που ϕ : A B ο αντι στοιχος ισομορφισμο ς. Το ελευ θερο γινο μενο των G και H με αμα λγαμα τις A και B ει ναι η ομα δα πηλι κο της G H προς την κανονικη θη κη του συνο λου {ϕ(a)a 1 a A}. Η ομα δα αυτη λε γεται για συντομι α ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα και συμβολι ζεται με G H a = ϕ(a), a A η G A=B H η G A H. Στις δυο τελευται ες περιπτω σεις πρε πει να ει ναι σαφω ς ορισμε νη η ϕ. Ουσιαστικα, στο ελευ θερο γινο μενο G H ταυτι ζουμε την A με την B. Έστω i : G H G A=B H = F ο φυσιολογικο ς ομομορφισμο ς. Ένα στοιχει ο του f F μπορει να γραφει σαν f = i(x 0 )i(x 1 )... i(x n ) ο που x i G H. Για απλο τητα γρα φουμε f = x 0 x 1... x n. Ας θεωρη σουμε T A ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της A στην G και T B ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της B στην H. Υποθε τουμε ο τι το 1 παριστα τα συ μπλοκα A και B. Το τε κα θε x G μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη x = xx ο που x A και x T A. Ο ς 6.1. Μια A-κανονικη μορφη ει ναι μια ακολουθι α (x 0, x 1,..., x n ) τε τοια ω στε: 1. x 0 A. 2. x i T A \{1} η x i T B \{1} για i 1 και διαδοχικοι ο ροι x i και x i+1 ανη κουν σε διακριτα συστη ματα αντιπροσω πων. Με ο μοιο τρο πο μπορου με να ορι σουμε και την B-κανονικη μορφη. Π 6.1. Έστω G = a a 12 = 1, H = b b 15 = 1 και A, B υποομα δες τα ξης 3 στην G και H αντι στοιχα. Έστω ϕ : A B με ϕ(a 4 ) = b 5. Το τε η G A=B H ε χει παρα σταση a, b a 12 = b 15 = 1, a 4 = b 5. Αν πα ρουμε T A = {1, a, a 2, a 3 } και T B = {1, b, b 2, b 3, b 4 } το τε το στοιχει ο f = a 3 ba 5 μπορει να γραφει σαν γινο μενο παραγο ντων που ορι ζουν μια κανονικη μορφη f = a 3 ba 4 a = a 3 b 6 a = a 3 b 5 ba = a 3 a 4 ba = a 4 a 3 ba. Θ 6.1. Ένα στοιχει ο f G A=B H μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη f = x 0 x 1... x n ο που (x 0, x 1,..., x n ) μια A-κανονικη μορφη. Πολλε ς φορε ς η μορφη x 0 x 1... x n καλει ται κανονικη μορφη του f. Π 6.1. Έστω G = G 1 A G 2. Αν το g G και g = g 1... g n ο που n 1 και g i G 1 \ A η g i G 2 \ B ανα λογα με το i, το τε g 1. 7 Δέντρα και ελεύθερα γινόμενα με αμάλγαμα Έστω G, H ομα δες με διακριτε ς ισομορφικε ς υποομα δες A G και B H. Έστω επι σης ϕ : A B ο ισομορφισμο ς. Το ελευ θερο γινο μενο των G, H με αμάλγαμα τα A, B με σω της ϕ 14

15 ει ναι η ομα δα πηλι κο της A B προς την κανονικη θη κη του συνο λου {ϕ(a)a 1 a A}. Η ομα δα αυτη λε γεται για συντομι α ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα και συμβολι ζεται G H a = ϕ(a), a A η G A=B H η G A H. Στις δυ ο τελευται ες περιπτω σεις πρε πει να ορι ζεται η ϕ. Ουσιαστικα, στο ελευ θερο γινο μενο G H ταυτι ζουμε την A με την B. Έστω i : G H F = G A=B H ο φυσιολογικο ς (κανονικο ς) ομομορφισμο ς. Ένα στοιχει ο f F μπορει να γραφει σαν f = i(x 0 )i(x 1 )... i(x n ) ο που x i G H. Για απλο τητα γρα φουμε f = x 0... x n. Έστω τω ρα T A ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της A στην G και T B ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της B στην H. Υποθε τουμε ο τι το 1 παριστα τα συ μπλοκα A και B. Το τε κα θε x G μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη x = xx ο που x A και x T A. Ο ς 7.1. Μια A-κανονικη μορφη ει ναι μια ακολουθι α (x 0, x 1,..., x n ) τε τοια ω στε x 0 A, x i T A \ {1} η x i T B \ {1} για i 1 και διαδοχικοι ο ροι ανη κουν σε διακριτα συστη ματα αντιπροσω πων. Με ο μοιο τρο πο μπορει κανει ς να ορι σει και μια B-κανονικη μορφη. Π 7.1. Έστω G = a a 12 = 1, = b b 15 = 1 και A, B υποομα δες τα ξης 3 στις G και H αντι στοιχα. Έστω ϕ : A B με ϕ(a 4 ) = b 5. Το τε η G A=B H ε χει παρα σταση a, b a 12 = b 15 = 1, a 4 = b 5. Αν πα ρουμε T A = {1, a, a 2, a 3 } και T B = {1, b, b 2, b 3, b 4 } το τε το στοιχει ο f = a 3 ba 5 μπορει να γραφει σαν γινο μενο παραγο ντων που ορι ζουν μια κανονικη μορφη : f = a 3 ba 4 a = a 3 b 6 a = a 3 b 5 ba = a 3 a 4 ba = a 4 a 3 ba. Θ 7.1. Ένα στοιχει ο f F = G A=B H μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη f = x 0... x n ο που (x 0, x 1,..., x n ) ει ναι μια A-κανονικη μορφη. Πολλε ς φορε ς η μορφη x 0 x 1... x n λε γεται κανονική μορφή του f. Π 7.1. Έστω G = G 1 A G 2. Κα θε g G μπορει να γραφει με μοναδικο τρο πο στην μορφη g = g 1... g n ο που n 1 και g i G i \ A και διαδοχικοι ο ροι ανη κουν σε διαφορετικου ς παρα γοντες. 8 Δέντρα και ελεύθερα γινόμενα με αμάλγαμα Έστω G ομα δα και H υποομα δα της G. Με G/H συμβολι ζουμε το συ νολο των αριστερω ν συμπλο κων της H στην G ακο μη και αν η H δεν ει ναι κανονικη. Ένα συνεκτικο γρα φημα που αποτελει ται απο δυο κορυφε ς και μια ακμη λε γεται segment. Θ 8.1. Έστω G = G 1 A G 2. Το τε υπα ρχει δε ντρο X στο οποι ο δρα η G χωρι ς αντιστροφε ς ε τσι ω στε το γρα φημα πηλι κο G\X ει ναι segment. Επιπλε ον το segment αυτο μπορει να ανορθωθει σε κα ποιο segment του X με την ιδιο τητα οι σταθεροποιου σες των κορυφω ν και της ακμη ς να ει ναι οι G 1, G 2 και A αντι στοιχα. Απόδειξη. Έστω X 0 = G/G 1 G/G 2 και X 1 + = G/A. Θε τουμε α(ga) = gg 1, ω(ga) = gg 2. Έστω T το segment στο X με κορυφε ς G 1, G 2 και ακμη A. H G δρα στο X με αριστερο πολλαπλασιασμο. Θα δει ξουμε αρχικα ο τι το X ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Αρκει να δει ξουμε ο τι 15

16 κα θε κορυφη gg 1 συνδε εται με την κορυφη G 1. Γρα φουμε το στοιχει ο g στην μορφη g 1 g 2... g n ο που g i G 1 η G 2. Το τε οι κορυφε ς g 1... g i 1 G 1 και g 1... g i 1 g i G 1 ταυτι ζονται αν g i G 1. Αν πα λι g i G 2 το τε αυτε ς συνδε ονται με την g 1... g i 1 G 2 (= g 1... g i G 2 ). Εφο σον αυτο ισχυ ει για κα θε i, ε χουμε το ζητου μενο. Θα δει ξουμε τω ρα ο τι το γρα φημα ει ναι δε ντρο. Ας υποθε σουμε ο τι υπα ρχει κλειστο (ανηγμε νο) μονοπα τι e 1,..., e n στο X. Εφαρμο ζοντας κατα λληλο στοιχει ο του G μπορου με να υποθε σουμε ο τι α(e 1 ) = G 1. Εφο σον οι γειτονικε ς κορυφε ς ει ναι συ μπλοκα διαφορετικω ν υ- ποομα δων, ε χουμε ο τι το n ει ναι α ρτιος και υπα ρχουν στοιχει α x i G 1 \ A, y i G 2 \ A ω στε α(e 2 ) = x 1 G 2, α(e 3 ) = x 1 y 1 G 1,..., α(e n ) = x 1 y 1... x n/2 G 2 = x 1 y 1... x n/2 y n/2 G 1. Αυτο ο μως ει ναι α τοπο λο γω της μοναδικο τητας της κανονικη ς μορφη ς των στοιχει ων της G. Π 8.1. Στο παραπα νω γρα φημα, ο λες οι ακμε ς με αρχικη κορυφη gg 1 ε χουν μορφη gg 1 A ο που το g 1 διατρε χει το συ νολο των αριστερω ν αντιπροσω πων του A στην G 1. Το πλη θος των ακμω ν ει ναι G 1 : A, ο δει κτης της A στην G 1. Η σταθεροποιου σα της gg 1 ει ναι gg 1 g 1. Όμοια πρα γματα ισχυ ουν και για την gg 2. Θ 8.2. Έστω ο τι η G δρα στο δε ντρο X χωρι ς αντιστροφε ς και ο τι το G \ X ει ναι segment. Έστω T μια τυχαι α ανο ρθωση του segment αυτου. Έστω P, Q οι κορυφε ς του, e η ακμη του και G P, G Q, G e οι σταθεροποιου σες τους. Το τε ο ομομορφισμο ς ϕ : G P Ge G Q G ο οποι ος ει ναι ταυτοτικο ς στις G P και G Q ει ναι ισομορφισμο ς. Απόδειξη. Θα δει ξουμε αρχικα ο τι G = G P, G Q. Έστω G = G P, G Q και ας υποθε σουμε ο τι G G. Τα γραφη ματα G T και (G \ G ) T ει ναι ξε να μεταξυ τους. Πρα γματι, η σχε ση g P = gq με g G, g G \ G δεν μπορει να ισχυ ει εφο σον κα τι τε τοιο θα ση μαινε ο τι οι κορυφε ς P, Q ει ναι ισοδυ ναμες κα τω απο την δρα ση της G, που δεν ισχυ ει. Όμοια και για την ταυτο τητα g Q = gp. Τω ρα η σχε ση g R = gr ο που R {P, Q} συνεπα γεται ο τι g g G R G το οποι ο ει ναι πα λι α τοπο. Για να δει ξουμε ο τι το X = G T ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Αυτο ει ναι προφανε ς, α ρα το X δεν μπορει να παρασταθει σαν ε νωση δυ ο ξε νων πραγμα των. Για να δει ξουμε ο τι η ϕ ει ναι 1-1, ε στω G = G P Ge G Q και X το δε ντρο που κατασκευα σαμε πριν. Ορι ζουμε ψ : X X μορφισμο με ggr ϕ(g)r ο που r {P, Q, e}, g G. Θα δει ξουμε ο τι ο μορφισμο ς ει ναι ισομορφισμο ς. Το επι ισχυ ει εφο σον X = G T και G = G P, G Q. Το 1-1 προκυ πτει απο την μοναδικο τητα της κανονικη ς μορφη ς και το γεγονο ς ο τι οι ϕ GP και ϕ GQ ει ναι 1-1. Πρα γματι, ε στω g G \ G P. Το τε οι κορυφε ς G P και gg P του X ει ναι διακριτε ς. Άρα οι κορυφε ς P και ϕ(g)p του X ει ναι διακριτε ς. Άρα ϕ(g) 1 αν g 1 α ρα η ϕ ει ναι 1-1. Π 8.1. Η ομα δα D δρα χωρι ς αντιστροφε ς στην βαρυκεντρικη υποδιαι ρεση του γραφη ματος C Το γρα φημα πηλι κο ει ναι ε να segment. Σαν ανο ρθωση μπορου με να πα ρουμε το segment 0 1/2. Οι σταθεροποιου σες των κορυφω ν αυτω ν ει ναι a και c ο που c = ba. Η σταθεροποιου σα της ακμη ς ει ναι {1}. Άρα D = a c. 16

17 9 ΗΝΝ-επεκτάσεις Έστω G ομα δα και A, B υποομα δες της G με ϕ : A B ισομορφισμο ς. Έστω t η α πειρη κυκλικη ομα δα που παρα γεται απο ε να νε ο στοιχει ο t. Η HNN-επε κταση της G με συνδεο μενες ομα δες A, B και ισομορφισμο ϕ ει ναι η ομα δα πηλι κο G της G t προς της κανονικη θη κη του συνο λου {t 1 at(ϕ(a)) 1 a A}. Η ομα δα G λε γεται βάση της G, το t λε γεται σταθερό γράμμα και οι A, B λε γονται συνδεόμενες ομάδες. Η παρα σταση της G ει ναι η G, t t 1 at = ϕ(a), a A. Στην συνε χεια θα δει ξουμε ο τι κα θε στοιχει ο του G ε χει μοναδικη κανονικη μορφη. Αυτο μας οδηγει στο να δει ξουμε ο τι οι ομα δες G και t εμφυτευ ονται στην G και οι A, B ει ναι συζυγει ς στην G. Έστω i : G t G ο κανονικο ς ομομορφισμο ς. Κα θε στοιχει ο x G μπορει να γραφει σαν x = i(g 0 )i(t) ε 1 i(g 1 )... i(t) εn i(g n ) ο που g i G, ε j = ±1. Για συντομι α και απλο τητα στον συμβολισμο γρα φουμε x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Έστω T A ε να συ στημα αντιπροσω πων των δεξιω ν συμπλο κων της A στην G και T B ε να συ στημα αντιπροσω πων της B στην G. Αν το g G, συμβολι ζουμε με g τον αντιπρο σωπο του συμπλο κου Ag και με ĝ τον αντιπρο σωπο του συμπλο κου Bg. Ο ς 9.1. Μια κανονικη μορφη της G ει ναι μια ακολουθι α g 0 t ε 1 g 1... t εn g n ε τσι ω στε: 1. Το g 0 G 2. Αν ε i = 1 το τε το g i T A. 3. Αν ε i = 1 το τε το g i T B. 4. Δεν υπα ρχουν συνεχο μενα t ε 1 t ε. Χρησιμοποιω ντας τις σχε σεις t 1 a = ϕ(a)t 1 και tb = ϕ(b) 1 t ο που a A, b B, μπορου με να γρα ψουμε κα θε στοιχει ο του G στην κανονικη μορφη g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Π 9.1. Θεωρη στε την HNN-επε κταση G = a, b, t t 1 a 2 t = b 3 ο που η βα ση ει ναι η F 2 = a, b και συνδεο μενες ομα δες ει ναι οι A = a 2 και B = b 3. Ας πα ρουμε T A να ει ναι οι ανηγμε νες λε ξεις της F 2 που ξεκινου ν με a 0 η a και T B τις ανηγμε νες λε ξεις της F 2 που ξεκινου ν με b 0 η b η b 2. Θα υπολογι σουμε την κανονικη μορφη του στοιχει ου x = b 2 t 1 a 4 tb 5 ab 7 t 1 b 3 a. Εφο σον b 5 ab 7 = b 2 ab 7 και tb 3 = a 2 t ε χουμε x = b 2 t 1 a 2 tb 2 ab 7 t 1 b 3 a = bab 7 t 1 b 3 a η οποι α ει ναι κανονικη μορφη. Θ 9.1. Έστω G = G, t t 1 at = ϕ(a), a A μια HNN-επε κταση της ομα δας G με συνδεο μενες ομα δες A, B. Το τε κα θε στοιχει ο x G ε χει μια μοναδικη κανονικη μορφη x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Επιπλε ον, η G εμφυτευ εται στην G με g g. Αν w = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n, n 1 και η ε κφραση αυτη δεν περιε χει υπολε ξεις της μορφη ς t 1 g i t με g i A η tg j t 1 με g j B το τε w 1 στην G. Απόδειξη. Για να δει ξουμε την υ παρξη της παρα στασης του x αρκει να πα ρουμε μια τυχαι α ε κφραση του x στην G t και να κινηθου με απο δεξια προς τα αριστερα ο πως στο παρα δειγμα. 17

18 Κατα την πορει α αυτη δεν ε χουμε παρα να βρου με αναπαραστα τες συμπλο κων και να αντικαταστη σουμε το t 1 a με το ϕ(a)t 1 αν a A και το tb με το ϕ(a) 1 t αν b B. Για να δει ξουμε την μοναδικο τητα, ορι ζουμε μια δρα ση του G στο συ νολο W ο λων των κανονικω ν μορφω ν ε τσι ω στε η εικο να της μορφη ς 1 δηλαδη του ουδετε ρου στοιχει ου κα τω απο την δρα ση του x να ει ναι ι ση με την κανονικη μορφη του x. Έστω τ = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n W. Ορι ζουμε τις δρα σεις των στοιχει ων g G, t, t 1 ως εξη ς: g τ = gg 0 t ε 1 g 1... t εn g n { ϕ t τ = 1 (g 0 )g 1 t ε 2... t εn g n αν ε 1 = 1, g 0 B ϕ 1 (b)tĝ 0 t ε 1 g 1... t εn g n διαφορετικα ο που b ει ναι το στοιχει ο του B ω στε g 0 = bĝ 0, { t 1 ϕ(g0 )g τ = 1 t ε 2... t εn g n αν ε 1 = 1.g 0 A ϕ(a)t 1 g 0 t ε 1 g 1... t εn g n διαφορετικα ο που a A τε τοιο ω στε g 0 = ag 0. Απο τα παραπα νω φαι νεται ο τι η G t δρα φυσιολογικα στο W. Αν τω ρα N ει ναι η κανονικη θη κη του {t 1 atϕ(a) 1 a A} στο G t το τε η υποομα δα N δρα τετριμμε να στο W. Επομε νως G N = {1} Άρα η G εμφυτευ εται στο G = (G t )/N. Επιπλε ον, εφο σον το N ανη κει στον πυρη να της δρα σης του G στο W, η ομα δα G δρα επι σης στο W. Η μοναδικο τητα της κανονικη ς μορφη ς προκυ πτει ως εξη ς. Αν x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n G, μια κανονικη μορφη το τε η εικο να της κανονικη ς μορφη ς 1 με την δρα ση του x ει ναι ι ση με g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Π 9.1. Έστω G = G, t t 1 at = ϕ(a) μια HNN-επε κταση της G με συνδεο μενες ομα δες A, B. Το τε ο κανονικο ς ομομορφισμο ς i : G t G επα γει εμφυτευ σεις των G και t στο G. Αν ταυτι σουμε τις A, B με τις εικο νες τους στην G το τε αυτε ς ει ναι συζυγει ς στην G με σω του t. 18

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17

Διαβάστε περισσότερα

Η εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες

Η εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Η εταιρεία Kiefer ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Πηγε ς Ενε ργειας στην Ελλα δα. Αναλαμβα νει ε ργα ως EPC

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων

Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων Α ντι κείμε νο του κε φα λαί ου εί ναι: Να κα τα νο ή σου με τα βα σι κά χαρα κτη ρι στι κά των α ριθ μη τι κών δεδο μέ νων (τά ση, δια σπο ρά, α συμ

Διαβάστε περισσότερα

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Ελέγχου και Επανάληψης

Δομές Ελέγχου και Επανάληψης Εργαστήριο 3 ο Δομές Ελέγχου και Επανάληψης Εισαγωγή Σκοπο ς του εργαστηρι ου αυτου ει ναι η εισαγωγη στην εκτε λεση εντολω ν υπο συνθη κη και στις δομές επανάληψης. Δομές Ελέγχου Η ικανότητα να μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 8: Random Walks

Lecture 8: Random Walks Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview

Διαβάστε περισσότερα

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ. σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικός Προπονητής

Αποτελεσματικός Προπονητής ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï

Διαβάστε περισσότερα

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ, Ν.Π.Δ.Δ. ΚΑΙ O.Τ.Α. Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ Ε ΛΗ ΦΘΗ ΣΑΝ Υ ΠO ΨΗ 1. H 15/1981

Διαβάστε περισσότερα

F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0

F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0 ΜΑ 1 Μ.2 Ν ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε Σε Κ ΠΟΙΑ ΠεΡΙΟΧ ΤΟΥ a, b Τ Τε ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ fxy fyx. Α εξετ ΣεΤε ΑΝ fxy fyx ΣΤΟ 0, 0 ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y xy x2 y 2 ΓΙΑ x, y 0, 0

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup

Διαβάστε περισσότερα

Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής

Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ ΨΥ ΧΗ η αν θο δέ σµη της ζω ής ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας-Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΙ ΚΕΣ ΕΝ ΝΟΙΕΣ Ό πως υ πάρ χει

Διαβάστε περισσότερα

οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A

οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A δ ` 3kς 3qz 3{9 ` ]l 3 # ~-?1 [ve 3 3*~ /[ [ ` ο `` ο ~ ο ```` ξα ~ ``` Πα```` α ` τρι ```ι ``` ι ` ι ~ και ``αι [D # ` 4K / [ [D`3k δδ 13` 4K[ \v~-?3[ve

Διαβάστε περισσότερα

Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να

Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να . Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Ψυχο λό γος, Δι δά κτω ρ Φι λο σο φί ας χή, στο σώ μα και στο πνεύ μα, 84 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras Στο πλαι룱綟σιο της Παγκο룱綟 σμιας Εβδομα룱綟 δας Επιχειρηματικο룱綟 τητας*, o ΕΣΥΝΕΔΕ και η Ομοσπονδι룱綟α ΕΣΥΝΕ, σε συνεργασι룱綟α

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ)

ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ) ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ) ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: ΛΕΙV Πα να γιώ της Πα σπά της Mα θη τής Γυ μνα σί ου α ντι δρού σε στις ι τα λι κές διατα γές και α πα γο ρεύ σεις. Σε μια ε πέ τειο της 25 ης Μαρ τί ου

Διαβάστε περισσότερα

Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία

Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ Βήματα για την επιτυχία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία. Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09

των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09 των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΦOΡ ΤO ΕΚ ΦOΡ ΤΩΩ ΤΩΩΝ ΠΡΑ ΚΤO ΡΕΙ ΩΩΝ ΜΕ ΤΑ ΦO ΡΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες

ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΩΝ ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες ΚΕΙΜΕΝΟ: Α να στά σιος Γ. Ρούσ σης Κοι νω νιο λό γος - Ε γκλη μα το λό

Διαβάστε περισσότερα

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ Ο Ό μη ρος και ο Η σί ο δος έ χουν δη μιουρ γή σει κα τά τον Η ρό δο το 1, τους ελ λη νι κούς θε ούς. Ο Ό μη ρος στη θε ο γο νί α του έ χει ιε ραρ

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ

Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ Στον πο λι τι σμό των μη χα νών έ χει δι α φα νεί ο ρι στι κά ό τι δεν προβλέ πε ται θέ ση γι α τη λει τουρ γί α της ψυ χής. Τους δύ ο τε λευ ταίους αι

Διαβάστε περισσότερα

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA Α. Γενικά Η VOLTERRA, ως Προμηθευτη ς Ηλεκτρικη ς Ενε ργειας και ε χοντας ως αντικειμενικο στο

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική

Διαβάστε περισσότερα

Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης**

Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης** ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 23-39 Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης** Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση

Διαβάστε περισσότερα

Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των

Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των Υ ΠΟ ΣΤΗ ΡΙ ΞΗ ΤΩΝ ΨΕ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΟ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΙΑ ΚΟ ΠΕ ΡΙ ΒΑΛ ΛΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Αν χης (ΠΖ) Ιω άν νης Ιω άν νου Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των αν θρώπων,

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Θ. Κώτσης* & Φίλιππος Β. Ευαγγέλου**

Κωνσταντίνος Θ. Κώτσης* & Φίλιππος Β. Ευαγγέλου** ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 57-90 Κωνσταντίνος Θ. Κώτσης* & Φίλιππος Β. Ευαγγέλου** Εικονικό ή πραγματικό πείραμα στη διδασκαλία της Φυσικής για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ - ΞΕΝΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ - ΞΕΝΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ - ΞΕΝΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Σύμφωνα με το ΠΔ 126 (ΦΕΚ 211/11-11-2016 ) για την αξιολο γηση της επι δοσης στις ξε νες γλω σσες κατα τη δια ρκεια των τετραμη νων ελε γχεται η ικανο τητα των μαθητω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ 12 Το γε γο νός ό τι δια βά ζεις αυ τό το βι βλί ο ση μαί νει ό τι έ χεις μολυν θεί α πό έ να μι κρόβιο το μι κρό βιο του πο δο σφαί ρου και σίγου

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ: Ευ γέ νιος Αρ. Για ρέ νης, Α ντει σαγ γε λέ ας Στρα το δι κεί ου Ιω αν νί νων, Δι δά κτο ρας στο Πά ντειο Πα νε πι στή μιο Α πό την κλα σι κή φά λαγ γα

Διαβάστε περισσότερα

áåé þñïò ÔÏÌÏÓ 2 VOLUME 2 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1

áåé þñïò ÔÏÌÏÓ 2 VOLUME 2 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 áåé þñïò ÊÅÉ ÌÅÍÁ Ð ÏËÅÏÄÏÌÉ ÁÓ, Ù ÑÏÔ ÁÎÉÁÓ ÊÁÉ ÁÍÁÐÔÕ ÎÇÓ ÔÏÌÏÓ 2 VOLUME 2 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÌÁ ÏÓ 2003 MAY 2003 ΣΥΝΤΑΚΤΙΚH ΕΠΙΤΡΟΠH - Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΚΟΚΚΩΣΗΣ ΧΑΡΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΗΜΗΤΡΗΣ ΓΟΥΣΙΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική Βιομηχανία...15 1.1 Εισαγωγή...15 1.2 Ορισμός του Όρου Βιομηχανία...16 1.3 Ένα Μοντέλο Περιγραφής της Αθλητικής Βιομηχανίας...17 1.3.1 Τμήμα Παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κάτω τα χέρια από τις Συλλογικές Συμβάσεις Εργασίας και τα ασφαλιστικά δικαιώματα.

Κάτω τα χέρια από τις Συλλογικές Συμβάσεις Εργασίας και τα ασφαλιστικά δικαιώματα. Ôo ΚΩ Ι ΚΟΣ: 6115 ΤΡΙΜΗΝΗ ΕΚ ΟΣΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ Σ.Ε.Φ.Κ. Λόντου 6, 10681 Αθήνα, τηλ. 210 3820537, 6977-652768, 6938-204777, 6974-439203 e - m a i l : s e f k @ s e

Διαβάστε περισσότερα

Πρός τούς ἀδελφούς μου

Πρός τούς ἀδελφούς μου Πρός τούς ἀδελφούς μου Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Πρός τούς ἀδελφούς μου EOρτια ΠοιμαντικA μηνyματα Ἐπιμέλεια ἔκδοσης: Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ CIMIC CIMIC CIMIC ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπλγος (ΜΧ) Ευ ρι πί δης Κ. Χα νιάς ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση CIMIC εί ναι τα αρ χι κά των λέ ξε ων Civil Military Co-operation

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Κατασκευα στε υποπρο γραμμα το οποί ο να ελε γχεί αν ε νας πί νακας εί ναί ταξίνομημε νος σε αυ ξουσα σείρα.

ΑΕΠΠ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Κατασκευα στε υποπρο γραμμα το οποί ο να ελε γχεί αν ε νας πί νακας εί ναί ταξίνομημε νος σε αυ ξουσα σείρα. ΑΕΠΠ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Κατασκευα στε υποπρο γραμμα το οποί ο να ελε γχεί αν ε νας πί νακας εί ναί ταξίνομημε νος σε αυ ξουσα σείρα. ΔΣ6. Δίνονταί οί πίνακες Σ1(Κ, Κ) καί Π1(Κ, Κ) που περίέχουν τα αποτελέσματα των

Διαβάστε περισσότερα

Χαιρετισμοί. Περιεχόμενα Ενότητας

Χαιρετισμοί. Περιεχόμενα Ενότητας Χαιρετισμοί Περιεχόμενα Ενότητας Χαιρετισμός του Διευθυντή Μέσης Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης, κ. Ηλία Μαρκάτζιη Χαιρετισμός από τον Πρόεδρο του Συνδέσμου Γονέων και Κηδεμόνων της Σχολής, κ.

Διαβάστε περισσότερα

καιρο, αυτο ς πε θανε απ ο,τι φαι νεται πολυ αργο τερα. Για ποιον λο γο συνε βη αυτο, Φαι δωνα;

καιρο, αυτο ς πε θανε απ ο,τι φαι νεται πολυ αργο τερα. Για ποιον λο γο συνε βη αυτο, Φαι δωνα; ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΦΑΙΔΩΝ ΕΧΕΚΡΑΤΗΣ: Εσυ ο ι διος, Φαι δωνα, βρε θηκες στο πλευρο του Σωκρα τη εκει νη την ημε ρα, που η πιε το δηλητη ριο στη φυλακη, η τα α κουσες απο κα ποιον α λλο; ΦΑΙΔΩΝ: Η μουν ο ι διος εκει,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ (ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΚΗΕΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ Ε.Μ.Ε) ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεήσ ςυνάρτηςη :RR, με (0)=2 η οποία ικανοποιεί τη ςέςη ( ) 4 = 6 ια κά ε R α) Να βρείτε τισ τιμέσ (2) και (-2) β) Να απο είξετε τι υπάρει

Διαβάστε περισσότερα

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε Anderson s Ltd Εφαρμογές Υψηλής Τεχνολογίας - Εκδόσεις : Γ Σεπτεμβρίου 103 Αθήνα 10434 Τ: 210-88 21 109 F: 210-88 21 718 W: www.odp.gr E: web@odp.gr 42 Γρήγορο Εγχειρίδιο για τον Διαχειριστή 24 Πλημμυρισμένα

Διαβάστε περισσότερα

H Η ΜΙΟΥΡ ΓΙ Α ΜΙΑΣ Ε ΝΩ ΜΈ ΝΗΣ ΕΥ ΡΩ ΠΗΣ ΚΑ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕ ΡΙ Ο Ο ΣΤΗ ΒΑ ΣΗ ΤΟΥ Ο ΜΟ ΣΠΟΝ ΙΑ ΚΟΥ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟΥ

H Η ΜΙΟΥΡ ΓΙ Α ΜΙΑΣ Ε ΝΩ ΜΈ ΝΗΣ ΕΥ ΡΩ ΠΗΣ ΚΑ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕ ΡΙ Ο Ο ΣΤΗ ΒΑ ΣΗ ΤΟΥ Ο ΜΟ ΣΠΟΝ ΙΑ ΚΟΥ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟΥ H Η ΜΙΟΥΡ ΓΙ Α ΜΙΑΣ Ε ΝΩ ΜΈ ΝΗΣ ΕΥ ΡΩ ΠΗΣ ΚΑ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕ ΡΙ Ο Ο 1945-1954 ΣΤΗ ΒΑ ΣΗ ΤΟΥ Ο ΜΟ ΣΠΟΝ ΙΑ ΚΟΥ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟΥ Για Ποιους Λό γους εν Τελε σφό ρη σε; ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Αν θστης (ΠΖ) Γεώργιος Δη μη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ (01/12/2012) ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΡΟΛΟΓΟΥΜΕΝΩΝ ΜΗΝOΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ (01/12/2012) ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΡΟΛΟΓΟΥΜΕΝΩΝ ΜΗΝOΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ (01/12/2012) ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΡΟΛΟΓΟΥΜΕΝΩΝ ΜΗΝOΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012. Θέμα (Αλφαβητικά) Προθεσμίες σε ειδικές υποχρεώσεις Α.Π.Δ., υποβολή Προθεσμία καταβολής εισφορών Με το Γ99/1/118/15.06.2012

Διαβάστε περισσότερα

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

των η λε κτρο νι κών πτυ χιού χων α νω τέ ρων σχολών O11R09

των η λε κτρο νι κών πτυ χιού χων α νω τέ ρων σχολών O11R09 των η λε κτρο νι κών πτυ χιού χων α νω τέ ρων σχολών O11R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α ) Η ΛΕ ΚΤΡO ΝΙ ΚΩΩΝ ΠΤYΧΙ OY ΧΩΩΝ Α ΝΩΩ ΤΕ ΡΩΩΝ ΣΧO ΛΩΩΝ Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚOΠOΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διονύσιος Λουκέρης* & Ιωάννα Συρίου**

Διονύσιος Λουκέρης* & Ιωάννα Συρίου** ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 111-131 Διονύσιος Λουκέρης* & Ιωάννα Συρίου** Η σχο λι κή α πο τε λε σμα τι κό τη τα και ο ρό λος της στην ποιο τι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟ ΛΟ ΓΟΣ ΤΗΣ ΕΛ ΛΗ ΝΙ ΚΗΣ ΕΚ ΔΟ ΣΗΣ

ΠΡΟ ΛΟ ΓΟΣ ΤΗΣ ΕΛ ΛΗ ΝΙ ΚΗΣ ΕΚ ΔΟ ΣΗΣ ΠΡΟ ΛΟ ΓΟΣ ΤΗΣ ΕΛ ΛΗ ΝΙ ΚΗΣ ΕΚ ΔΟ ΣΗΣ Η ε πο χή μας χα ρα κτη ρί ζε ται, ή του λά χι στον έ τσι θα έ πρε πε, α πό πλη θώ ρα ε πιλο γών ε λεύ θερου χρό νου. Η δια θε σι μό τη τα πα ράλ λη λα κα τάλ λη λης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ

Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Γε ώρ γιος Βα σι λεί ου Ο Μέ γας Α λέ ξαν δρος, ο τέ λειος αυ τός εκ πρό σω πος του με γα λείου του ελ λη νι κού κό σμου, εί ναι α σφα λώς μί

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Χει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10

Χει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10 Χει ρι στών Μη χα νη µά των Λα το µεί ων Μαρµάρου, Πέτρας & Χώ µα τος ό λης της χώρας O53R10& O54R10 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΧΕΙ ΡΙ ΣΤΩΩΝ ΕΚ ΣΚΑ ΠΤΙ ΚΩΩΝ, Α ΝY

Διαβάστε περισσότερα

Bonnie Kenny & Cindy Gregory. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πατσιαούρας Αστέριος, Πέτρος Νάτσης ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ. Βήματα για την επιτυχία

Bonnie Kenny & Cindy Gregory. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πατσιαούρας Αστέριος, Πέτρος Νάτσης ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ. Βήματα για την επιτυχία Bonnie Kenny & Cindy Gregory Μετάφραση - Επιμέλεια: Πατσιαούρας Αστέριος, Πέτρος Νάτσης ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ Βήματα για την επιτυχία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 ΠΕΤΟΣΦΑΙΡΙΣΗ. Βήματα για την επιτυχία. Bonnie Kenny & Cindy

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Γα υ ρι ι ε ε κε ε κρα ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου σο ο ο ο ον μου ου ει σα κου σο ον μου Κυ ρι ε ε Κυ ρι ε ε κε κρα ξα προς σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ου προ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...4 Πεζικό...9 Τεθωρακισμένα...11 Πυροβολικό...12 Μηχανικό...13 Διαβιβάσεις...14 Ειδικές Δυνάμεις...15 Στρατονομία...16

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ

ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ταξχος ε.α. Κων στα ντί νος Τέ φας H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Α πό τους πρώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Α

ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Α Ε κα το ντα ε τής ε πέτειος α πό την ε πί ση μη έναρ ξη της έ νο πλης φάσης του Μα κε δο νι κού Α γώνα στο Βέρ μιο ό ρος και στην ε παρ χία Βεροίας (1905-2005) (Η Συμ βο λή Των Κα τοίκων της Πε ριο χής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ

ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΚΕΙ ΜΕ ΝΟ-ΦΩ ΤΟΓΡΑ ΦΙΕΣ: Υ πτγος ε.α. Ορ θό δο ξος Ζω τιά δης ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ Το Με τάλ λιο Ε ξαι

Διαβάστε περισσότερα

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ ι ε α τ Τ εγνα α α ετ κ λε τ υργικ ο τημα Η οτ ρ α τ υ αρ Γ ζε τ τη Φ λα δ α απ τ α φ ιτητ τ υ Πα ετ τημ υ τ υ λ νκ ξεκ νη ε αν μ α τ ρ τ Θε α να δημ υργηθε ακαλ τερ Ενα τ υ αμτ ρε ααντατ κρ ετα καλ τερα

Διαβάστε περισσότερα

Ι διω τι κο ποί η ση του πο λέμου

Ι διω τι κο ποί η ση του πο λέμου Ι διω τι κο ποί η ση του πο λέμου μία νέ α πραγ μα τι κό τη τα ΚΕΙΜΕΝΟ: Λγος (ΠΖ) Ιω άν νης Χρή στου ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Ει σα γω γή Η δο λο φο νί α των τεσ σά ρων Α μερικα νών πο λι

Διαβάστε περισσότερα

των ο δη γών του ρι στι κ ν λεωφορείων όλης της χώρας O61R11

των ο δη γών του ρι στι κ ν λεωφορείων όλης της χώρας O61R11 των ο δη γών του ρι στι κ ν λεωφορείων όλης της χώρας O61R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) O Δ Η ΓΩΩΝ ΤOY ΡΙ ΣΤΙ ΚΩΩΝ ΛΕ ΩΩ ΦO ΡΕΙ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚOΠOΙ Η ΣΗ Ε

Διαβάστε περισσότερα

áåé þñïò ÌÁÚÏÓ 2004 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3

áåé þñïò ÌÁÚÏÓ 2004 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3 áåé þñïò ÊÅÉÌ ÅÍÁ ÐÏ ËÅÏÄÏÌÉÁÓ, ÙÑ ÏÔÁÎ ÉÁÓ Ê ÁÉ Á ÍÁÐÔÕÎ ÇÓ ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÌÁÚÏÓ 2004 ÌÁY 2004 ΣΥΝΤΑΚΤΙΚH ΕΠΙΤΡΟΠH - Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΚΟΚΚΩΣΗΣ ΧΑΡΗΣ ΜΠΕΡΙΑΤΟΣ ΗΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας

Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Είναι αλή θεια ό τι, ό ταν έχεις πίσω σου σαρά ντα χρό νια αδιά κοπης και αξιό λογης καλλιτεχνικής παραγωγής, πρέπει να μπορείς κά θε φορά να διαχειρίζεσαι τον

Διαβάστε περισσότερα

Βημα 2. Μετακίνηση Εμβόλου (Μπρος-Πίσω) και Πλάγιος Βηματισμός: Ατομικές Επιθετικές Κινήσεις... 43

Βημα 2. Μετακίνηση Εμβόλου (Μπρος-Πίσω) και Πλάγιος Βηματισμός: Ατομικές Επιθετικές Κινήσεις... 43 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγικό μέρος Πρόλογος... 11 Πρόλογος της Αμερικάνικης Έκδοσης... 12 Κλιμάκωση των Βημάτων για Επιτυχία... 14 Το Παιχνίδι της Χειροσφαίρισης (HANDBALL)... 16 Γήπεδο και εξοπλισμός... 19

Διαβάστε περισσότερα

Χη μι κός Πό λε μος. Μία ι στο ρι κή α να δρο μή στο πό τε, που και πως άρ χι σε για πρώ τη φο ρά η χρή ση χη μι κών ου σιών για πο λε μι κούς σκοπούς

Χη μι κός Πό λε μος. Μία ι στο ρι κή α να δρο μή στο πό τε, που και πως άρ χι σε για πρώ τη φο ρά η χρή ση χη μι κών ου σιών για πο λε μι κούς σκοπούς Χη μι κός Πό λε μος Μία ι στο ρι κή α να δρο μή στο πό τε, που και πως άρ χι σε για πρώ τη φο ρά η χρή ση χη μι κών ου σιών για πο λε μι κούς σκοπούς ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Σμχος ε.α. Η λί ας Σβάρ νας Τα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ Στην πε διά δα της Ισ σού, τον Νο έμ βριο του έτους 333 π.χ., έ λα βε χώ ρα μία από τις ση μα ντι κό τε ρες μά χες του έν δο ξου Έλληνα

Διαβάστε περισσότερα

JUS IN BELLO: Η Ε ΞΕ ΛΙ ΞΗ, ΤΟ ΠΕ ΡΙΕ ΧΟ ΜΕ ΝΟ & Η Ε ΦΑΡ ΜΟ ΓΗ ΤΟΥ ΙΕ ΘΝΟΥΣ ΑΝ ΘΡΩ ΠΙ ΣΤΙ ΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ

JUS IN BELLO: Η Ε ΞΕ ΛΙ ΞΗ, ΤΟ ΠΕ ΡΙΕ ΧΟ ΜΕ ΝΟ & Η Ε ΦΑΡ ΜΟ ΓΗ ΤΟΥ ΙΕ ΘΝΟΥΣ ΑΝ ΘΡΩ ΠΙ ΣΤΙ ΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ JUS IN BELLO: Η Ε ΞΕ ΛΙ ΞΗ, ΤΟ ΠΕ ΡΙΕ ΧΟ ΜΕ ΝΟ & Η Ε ΦΑΡ ΜΟ ΓΗ ΤΟΥ ΙΕ ΘΝΟΥΣ ΑΝ ΘΡΩ ΠΙ ΣΤΙ ΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ 58 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ - ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2010 ΚΕΙΜΕΝΟ: Τα ξιάρ χης Φι σκα τώ ρης, Διε θνο λό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ ΝΙ ΚΗ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗ Ε ΤΟΥΣ 2012

ΓΕ ΝΙ ΚΗ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗ Ε ΤΟΥΣ 2012 ΠΑ ΡΑΡ ΤΗ ΜΑ «Α» ΣΤΗ ΔΓΗ Φ.900/43/1084/Σ.360 Ο ΣΜΑ ΕΣ Γεν. Γραμ ματέας 4 Ιουν 2013 ΓΕ ΝΙ ΚΗ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗ Ε ΤΟΥΣ 2012 Προς ε νη μέ ρω ση των συ νεταί ρων για τις δρα στη ριό τη τες του Συ νε ται ρισμού,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Αθήνα 2008 Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Ο ΣΕΒ σύνδεσμος επιχειρήσεων και βιομηχανιών ευχαριστεί τις Εταιρίες

Διαβάστε περισσότερα

R t. H t n t Σi = l. MRi n t 100

R t. H t n t Σi = l. MRi n t 100 30. 12. 98 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των L 356/1 Ι (Πρ ξει για την ισχ των οπο ων απαιτε ται δηµοσ ευση) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 2818/98 ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ τη 1η εκεµβρ ου

Διαβάστε περισσότερα

Μακέτα εξωφύλλου - Σελιδοποίηση: Ευθύµης Δηµουλάς Διορθώσεις: Νέστορας Χούνος

Μακέτα εξωφύλλου - Σελιδοποίηση: Ευθύµης Δηµουλάς Διορθώσεις: Νέστορας Χούνος ...... Το περιβόλι της Γης «Το περιβόλι της Γης» πρωτοκυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Άγκυρα στη σειρά Σύγχρονη Λογοτεχνία για Νέους Έλληνες Συγγραφείς, με τον τίτλο «Εδώ πλανήτης Γη» Μακέτα εξωφύλλου - Σελιδοποίηση:

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αή

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑ ΤΑ ΓΗ ΜΟ ΝΙ ΜΟΥ Ι ΣΧΥΟΣ

ΔΙΑ ΤΑ ΓΗ ΜΟ ΝΙ ΜΟΥ Ι ΣΧΥΟΣ ΔΙΑ ΤΑ ΓΗ ΜΟ ΝΙ ΜΟΥ Ι ΣΧΥΟΣ ΠΡΟΣ : Α πο δέ κτες Πί να κα «Α» ΓΕ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙ ΤΕ ΛΕΙΟ ΣΤΡΑ ΤΟΥ ΔΝΣΗ ΟΙ ΚΟ ΝΟ ΜΙ ΚΟΥ/1γ Τη λέφ. 210-6552403 ΚΟΙΝ : ΓΕ Ε ΘΑ/Γ3 Φ.956.2/25/699285 ΓΕΣ/ΔΟΙ/1γ (2) Σ. 5270 Ο ΣΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

εξειδίκευση στη γνώση

εξειδίκευση στη γνώση εξειδίκευση στη γνώση Εκηβόλος Ετήσια έκδοση της Ελληνικής Ακαδημίας Φυσικής Αγωγής Τεύχος 7, Φεβρουάριος 2010 Το πε ριο δι κό διευ θύ νε ται α πό συ ντα κτι κή ε πι τρο πή Υ πεύ θυ νος σύ ντα ξης: Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΦΙΑΤΗΣ. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ θεωριes και μεθοδοι

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΦΙΑΤΗΣ. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ θεωριes και μεθοδοι ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΦΙΑΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ θεωριes και μεθοδοι ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2003 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ θεωριες και μεθοδοι ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΦΙΑΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα