Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων"

Transcript

1 Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα a, b, c,... ει ναι μια πεπερασμε νη ακολουθι α f 1 f 2... f n ο που κα θε f i {a, b, c,..., a 1, b 1, c 1,...}. Συμβολι ζουμε την κενη λε ξη με 1 και συνεχο μενα ι δια συ μβολα τα γρα φουμε εκθετικα, για παρα δειγμα η λε ξη abbaccba 1 a 1 a 1 bc γρα φεται ab 2 ac 2 ba 3 bc. Η αντίστροφη μιας λε ξης W = f 1... f n ει ναι η λε ξη W 1 = fn 1 fn f 1 1 ο που (a 1 ) 1 = a, (b 1 ) 1 = b, (c 1 ) 1 = c.... Αν W, U λε ξεις στα a, b, c,..., ορι ζουμε το παραθετικό γινόμενο των W, U να ει ναι η λε ξη στα a, b, c,... που προκυ πτει απο την παρα θεση των συμβο λων των δυ ο λε ξεων. Έστω ϕ μια συνα ρτηση απο τα συ μβολα a, b, c,... στην ομα δα G με ϕ(a) = g, f(b) = h, ϕ(c) = k,.... Το τε λε με ο τι το a ορίζει (με σω της ϕ) το g, το b ορι ζει το h κλπ. Επι σης, αν W ει ναι μια λε ξη W = f 1... f n το τε η W ορι ζει το στοιχει ο g 1... g n στην G αν το f i ορι ζει το g i στην G. Προφανω ς αν οι λε ξεις U, V ορι ζουν τα στοιχει α p, q αντι στοιχα στην G το τε τα U 1 και V 1 ορι ζουν τα στοιχει α p 1, q 1 και το UV ορι ζει το στοιχει ο pq στην G. Αν κα θε στοιχει ο της G ορι ζεται απο μια λε ξη στα a, b, c,... το τε τα a, b, c,... ονομα ζονται σύστημα γεννητόρων της G (με σω της ϕ) και τα a, b, c,... λε γονται γεννήτορες της G. Έστω τω ρα a, b, c,... ε να συ νολο γεννητο ρων μιας ομα δας G. Μια λε ξη R(a, b, c,...) η οποι α ορι ζει το ταυτοτικο στοιχει ο στην G καλει ται σχετιστής. Η εξι σωση R(a, b, c,...) = S(a, b, c,...) καλει ται σχέση αν η λε ξη RS 1 ει ναι σχετιστη ς της G. Σε κα θε ομα δα οι λε ξεις aa 1, a 1 a, bb 1, b 1 b,... ει ναι σχετιστε ς και ονομα ζονται τετριμμένοι σχετιστές. Ας υποθε σουμε τω ρα ο τι P, Q, R,... ει ναι σχετιστε ς στην G. Λε με ο τι μια λε ξη W προκυ πτει απο τους P, Q, R,... η εφαρμογη των παρακα τω κινη σεων πεπερασμε νες φορε ς αλλα ζει την W στην κενη λε ξη: 1. Εισαγωγη μιας απο τις λε ξεις P, P 1, Q, Q 1, R, R 1,... η ενο ς τετριμμε νου σχετιστη α- να μεσα σε δυο συνεχο μενα συ μβολα της W η στην αρχη της W η στο τε λος της W. 2. Διαγραφη μιας απο τις λε ξεις P, P 1, Q, Q 1, R, R 1,... η ενο ς τετριμμε νου σχετιστη αν αυτο ς εμφανι ζεται απο συνεχο μενα συ μβολα της W. Ει ναι προφανε ς ο τι αν η W προκυ πτει απο τους P, Q, R,... το τε ει ναι και αυτη σχετιστη ς. Αν κα θε σχετιστη ς μιας ομα δας G προκυ πτει απο τους σχετιστε ς P, Q, R,... το τε λε με ο τι τα P, Q, R,... ει ναι ε να συ νολο οριζόμενων σχέσεων η ε να πλήρες σύνολο σχετιστών της G, για τους γεννη τορες a, b, c,.... Αν τα a, b, c,... ει ναι ε να συ στημα γεννητο ρων και P, Q, R,... ε να πλη ρες συ στημα σχετιστω ν το τε η a, b, c,... P, Q, R,... ει ναι μια παρα σταση της G. 1

2 Μια ομα δα λε γεται πεπερασμένα παραγόμενη αν τα a, b, c,... ει ναι πεπερασμε νο συ νολο. Αν επιπλε ον και οι P, Q, R,... ει ναι πεπερασμε νοι το τε λε με ο τι η G ει ναι μια πεπερασμένη παράσταση. Π 1.1. Η a, b a 2 = 1, b 2 = 1, ab = ba ει ναι μια παρα σταση της Z 2 Z 2. Κα θε ομα δα ε χει μια παρα σταση. Αρκει να πα ρουμε σαν συ νολο γεννητο ρων κα θε στοιχει ο της ομα δας και να προσθε σουμε ο λους τους σχετιστε ς που προκυ πτουν απο τον πι νακα πολλαπλασιασμου της ομα δας. Αν και ο χι πολυ κομψη, εξακολουθει να ει ναι μια παρα σταση της ομα δας. Α Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b a 3 = b 2 = 1, ab = ba 2 ε χει τα ξη 6 και ει ναι ισο μορφη με την S 3 την συμμετρικη ομα δα σε τρι α στοιχει α. 2. Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b, c a 3 = b 2 = c 2 = 1, ab = ba 2, ac = ca, bc = cb ε χει τα ξη Δει ξτε ο τι η ομα δα με παρα σταση a, b a n = b 2 = 1, ab = ba 1 ε χει ( τα ) ξη 2n και ει ναι ε k ισο μορφη με την ομα δα πινα κων με στοιχει α απο το Z n της μορφη ς ο που ε = ±1 0 1 και k Z n. 2 Η ελεύθερη ομάδα Η ελευ θερη ομα δα σε n γεννη τορες x 1,..., x n ει ναι η ομα δα με παρα σταση x 1,..., x n. Με α λλα λο για, οι μο νοι σχετιστε ς που υπα ρχουν στην ομα δα ει ναι οι τετριμμένοι σχετιστές δηλαδη σχετιστε ς της μορφη ς x ε i x ε i. Για λο γους απλο τητας η παραπα νω ομα δα συμβολι ζεται με F n = x 1,..., x n. Βασικο χαρακτηριστικο της ελευ θερης ομα δας ει ναι η καθολικο τητα της: Αν G ει ναι μια ομα δα με n γεννη τορες το τε υπα ρχει ομομορφισμο ς ϕ : F n G. Ο ομομορφισμο ς αυτο ς επεκτει νει την 1-1 απεικο νιση που υπα ρχει μεταξυ των γεννητο ρων της F n και της G. Μια ελεύθερα ανηγμένη λε ξη στα x 1,..., x n ει ναι μια λε ξη στην οποι α τα συ μβολα x ε i x ε i δεν εμφανι ζονται. Μια κυκλικά ανηγμένη λε ξη ει ναι μια ανηγμε νη λε ξη που δεν ξεκινα ει με x ε i και τελειω νει με x ε i. Δυ ο λε ξεις W 1, W 2 λε γονται ελεύθερα ίσες (και συμβολι ζουμε W 1 W 2 ) αν ορι ζουν το ι διο αρχικο στοιχει ο στην F n. Με α λλα λο για, η W 1 μπορει να μετατραπει στην W 2 με εισαγωγη η διαγραφη των τετριμμε νων σχετιστω ν x ε i x ε i. Προφανω ς, κα θε λε ξη ει ναι ελευ θερα ι ση με μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Αυτο μας οδηγει στο παρακα τω: Θ 2.1. Κα θε στοιχει ο της ελευ θερης ομα δας F n με γεννη τορες x 1,..., x n ορι ζεται απο μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Δηλαδη, κα θε λε ξη στα x 1,..., x n ει ναι ελευ θερα ι ση με μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Απόδειξη. Θα περιγρα ψουμε μια διαδικασι α με την οποι α κα θε λε ξη ανα γεται σε μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. Την διαδικασι α αυτη την ονομα ζουμε ρ και ορι ζεται επαγωγικα ως εξη ς: ρ(1) = 1, p(x ε i ) = xε i και αν p(u) = xn 1 m 1... x nq m q το τε { ρ(ux ε x n 1 m i ) = 1... x nq m q x ε i αν m q i η n q ε x n 1 m 1... x n q 1 m q 1 αν m q = i και n q = ε Ευ κολα μπορει να δει ξει κανει ς ο τι η ρ ικανοποιει τις παρακα τω ιδιο τητες: 2

3 1. Η ρ(w ) ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη. 2. ρ(w ) W. 3. Αν η V ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη το τε ρ(v ) = V. 4. ρ(w 1 W 2 ) = ρ(p(w 1 ) W 2 ). 5. ρ(w x ε i x ε i ) = ρ(w ). 6. ρ(w x ε i x ε i W 2 ) = ρ(w 1 W 2 ). Έστω τω ρα U, T δυ ο λε ξεις της ομα δας με U T. Το τε μπορου με να βρου με ακολουθι α λε ξεων U = U 1,..., U k = T ω στε κα θε μια να προκυ πτει απο την προηγου μενη με προσθη κη η διαγραφη μιας τετριμμε νης σχε σης. Άρα απο τις ιδιο τητες της ρ ε χουμε ο τι ρ(u i ) = ρ(u i+1 ) και α ρα ρ(u) = ρ(t ). Δει ξαμε λοιπο ν ο τι αν ε χουμε δυ ο ελευ θερα ι σες σχε σεις το τε η ρ τις οδηγει στην ι δια ελευ θερα ανηγμε νη σχε ση. Τε λος, αν U V και V ελευ θερα ανηγμε νη το τε ρ(u) = ρ(v ) = V και α ρα κα θε λε ξη ει ναι ελευ θερα ι ση με μια μοναδικη ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη, την ρ(u). Α 2.1. Να αποδει ξετε τις παραπα νω 6 ιδιο τητες της ρ. Π 2.1 (Προ βλημα Λε ξης). Αν F n μια ελευ θερη ομα δα στους γεννη τορες x 1,..., x n το τε μπορω να αποφασι σω σε πεπερασμε να βη ματα αν μια λε ξη ορι ζει το ουδε τερο στοιχει ο στην F n. Απόδειξη. Αν το W ορι ζει το ταυτοτικο στοιχει ο της F n το τε το ρ(w ) πρε πει να ει ναι 1. Όμως το ρ(w ) μπορει να υπολογιστει σε πεπερασμε να βη ματα. Π 2.2. Αν F n ει ναι η ελευ θερη ομα δα στα x 1,..., x n το τε κα θε μη τετριμμε νο στοιχει ο της ομα δας ε χει α πειρη τα ξη. Απόδειξη. Έστω W = x ε 1 s 1... x ε k sk μια ελευ θερα ανηγμε νη λε ξη με W 1. Αν η W ει ναι επι σης κυκλικα ανηγμε νη το τε s 1 s k η ε 1 ε k. Άρα W p = x ε 1 s 1... x ε k sk x ε 1 s 1... x ε k sk... x ε 1 s 1... x ε k sk. Όμως το τε η W p ει ναι ελευ θερα ανηγμε νη α ρα δεν μπορει ποτε (για κανε να p > 0) να ορι ζει το ουδε τερο στοιχει ο. Συνεπω ς το στοιχει ο W ε χει α πειρη τα ξη. Αν τω ρα η W δεν ει ναι κυκλικα ανηγμε νη. Το τε το W ει ναι συζυγε ς μιας κυκλικα ανηγμε νης λε ξης V και α ρα W = UV U 1 με V 1 εφο σον W 1. Όμως η V ει ναι κυκλικα ανηγμε νη συνεπω ς ε χει α πειρη τα ξη απο το προηγου μενο. Άρα και η W ε χει α πειρη τα ξη. Παρατηρη στε ο τι μια ελευ θερη ομα δα μπορει να δι νεται απο μια παρα σταση σε α λλους, ο χι ελευ θερους γεννη τορες. Για παρα δειγμα η ομα δα a, b, c ab 2 = 1 ει ναι ελευ θερη στα a, c αλλα ο χι στα a, b, c. Ένα λιγο τερο προφανε ς παρα δειγμα ει ναι η ομα δα με παρα σταση a, b, c a 2 b(ac) 2 ab = 1, η οποι α ει ναι ελευ θερη στα ab και ac (γιατι?). Δυστυχω ς ε χει αποδειχθει ο τι δεν υπα ρχει αλγο ριθμος που να αποφασι ζει αν μια παρα σταση ορι ζει μια ελευ θερη ομα δα η ο χι. 3

4 3 Μετασχηματισμοί Tietze Μια ομα δα μπορει να ε χει πολλε ς παραστα σεις. Γενικα, αν a 1..., a n,... R 1, R 2,... και a 1..., a n,... S 1, S 2,... παραστα σεις της ομα δας G το τε το συ νολο των οριζουσω ν σχε σεων R 1, R 2,... μπορει να προκυ ψει απο το S 1, S 2,... και αντι στροφα, μιας και οι S 1, S 2,... ει ναι σχετιστε ς και α ρα προκυ - πτουν απο τις ορι ζουσες σχε σεις R 1, R 2,.... Και φυσικα και το αντι στροφο. Επιπλε ον διαφορετικε ς παραστα σεις της G μπορου ν να προκυ ψουν και απο διαφορετικα συ νολα γεννητο ρων. To 1908 o Tietze ε δειξε ο τι για οποιαδη ποτε παρα σταση της ομα δας G, οποιαδη ποτε α λλη παρα σταση της G μπορει να προκυ ψει με εφαρμογη των παρακα τω μετασχηματισμω ν: (T1) Αν οι λε ξεις S, T,... προκυ πτουν απο τις P, Q, R... το τε μπορω να προσθε σω τις S, T,... στις ορι ζουσες σχε σεις της παρα στασης. (T2) Αν κα ποιοι απο τους σχετιστε ς S, T,... που ανη κουν στις ορι ζουσες σχε σεις P, Q, R... προκυ πτουν απο τους υπο λοιπους το τε μπορου με να σβη σουμε τις S, T,... απο τις ορι ζουσες σχε σεις. (T3) Αν K, M,... ει ναι λε ξεις στα a, b, c,... το τε μπορου με να προσθε σουμε τα συ μβολα x, y,... στους γεννη τορες της παρα στασης και τους σχετιστε ς x = K, y = M,... στις ορι ζουσες σχε σεις της παρα στασης. (T4) Αν κα ποιες απο τις ορι ζουσες σχε σεις παι ρνουν την μορφη p = V, q = W,... ο που p, q,... ει ναι γεννη τορες και V, W,... ει ναι λε ξεις στους γεννη τορες εκτο ς των p, q,... το τε μπορου με να σβη σουμε τους γεννη τορες p, q,... απο τους γεννη τορες της παρα στασης και τις σχε σεις p = V, q = W,... απο τις σχε σεις της παρα στασης αφου πρω τα αντικαταστη - σουμε τα p, q,... με V, W,... στις υπο λοιπες σχε σεις της παρα στασης. Οι (T1), (Τ2), (Τ3) και (T4) λε γονται μετασχηματισμοί Tietze. Οι μετασχηματισμοι αυτοι δεν αλλα ζουν την ομα δα G που δι νεται απο την παρα σταση. Θ 3.1. Αν δι νονται δυ ο παραστα σεις για την ομα δα G, a 1, a 2,... R 1, R 2,... και b 1, b 2,... S 1, S 2,... το τε η μια παρα σταση μπορει να προκυ ψει απο την α λλη με εφαρμογη των μετασχηματισμω ν Tietze. Απόδειξη. Έστω η πρω τη παρα σταση. Εφο σον τα b 1, b 2,... ει ναι στοιχει α της G μπορου ν να γραφου ν σαν λε ξεις στα a 1, a 2,.... Έστω b 1 = B 1 (a 1, a 2,...), b 2 = B 2 (a 1, a 2,...),.... Χρησιμοποιω ντας τον (T3) μπορου με να τις προσθε σουμε στην αρχικη παρα σταση η οποι α γι νεται a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,... Τω ρα τα S 1, S 2,... ει ναι σχετιστε ς στους γεννη τορες της νε ας παρα στασης επομε νως χρησιμοποιω ντας την (T1) μπορου με να προσθε σουμε και αυτου ς στην παραπα νω παρα σταση και ε χουμε a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,..., S 1, S 2,.... 4

5 Τω ρα θε λουμε να εκφρα σουμε τα a 1, a 2,... ως προς τα b 1, b 2,.... Όμως αυτο ει ναι εφικτο μιας και τα b 1, b 2,... ει ναι συ στημα γεννητο ρων της G. Άρα ε χουμε σχετιστε ς της μορφη ς a 1 = A(b 1, b 2,...), a 2 = A(b 1, b 2,...),.... Προσθε τουμε τις παραπα νω σχε σεις στην παρα σταση χρησιμοποιω ντας την (T3) και ε χουμε a 1, a 2,..., b 1, b 2,... R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,..., S 1, S 2,..., a 1 = A 1, a 2 = A 2,.... Όμως τω ρα μπορου με να σβη σουμε τα a 1, a 2,... αφου πρω τα τα αντικαταστη σουμε στα R 1, R 2,..., b 1 = B 1, b 2 = B 2,.... Στην συνε χεια μπορου με να σβη σουμε και τους υπο λοιπους σχετιστε ς, εκτο ς των S 1, S 2,... μιας και ξε ρουμε ο τι αποτελου ν ε να πλη ρες συ στημα σχετιστω ν. Π 3.1. Η ομα δα με παρα σταση a, b aba = bab ει ναι ισομορφικη με την c, d c 3 = d 2. Πρα γματι, ξεκινα ω με την παρα σταση a, b aba = bab. Θε τω c = ab και d = ada. Προσθε τω επιπλε ον γεννη τορες και σχε σεις και ε χω a, b, c, d c = ab, d = aba, aba = bab. Παρατηρω ο τι a = cb 1, και αντικαθιστω το a παντου a, b, c, d a = cb 1, d = cb 1 bcb 1, cb 1 bcb 1 = bcb 1 b. Διαγρα φω τον γεννη τορα a και την σχε ση a = cb 1 και ε χω b, c, d d = c 2 b 1, c 2 b 1 = bc. Βλε πω ο τι c 2 d = b 1 δηλαδη b = d 1 c 2. Αντικαθιστω το b και παι ρνω b, c, d b = d 1 c 2, c 2 c 2 d = d 1 c 2 c, και στην συνε χεια διαγρα φω το b και την αντι στοιχη σχε ση και παι ρνω Π 3.1. Οι παραστα σεις c, d d = d 1 c 3 δηλαδη c, d d 2 = c 3. a 1, a 2,..., a n R 1, R 2,..., R m και b 1, b 2,..., b k S 1, S 2,..., S l μπορου ν να μετασχηματιστου ν η μια στην α λλη με πεπερασμε νο πλη θος μετασχηματισμω ν Tietze. 4 Cayley γραφήματα Ο ς 4.1. Έστω G μια ομα δα και M ε να συ νολο. Θα λε με ο τι η G δρα στο M απο τα α- ριστερα αν για κα θε g G και για κα θε m M ορι ζεται ε να στοιχει ο gm M ε τσι ω στε g 1 (g 1 m) = (g 2 g 1 )m και 1m = m για κα θε m M και για κα θε g 1, g 2 G. Όμοια μπορει να ορι σει κανει ς και την δεξια δρα ση μιας ομα δας σε ε να συ νολο. Μια δρα ση λε γεται μεταβατική αν για κα θε δυ ο στοιχει α m, m M υπα ρχει g G ω στε gm = m. Η δρα ση θα λε γεται πιστή αν για κα θε g G υπα ρχει m M ω στε gm m. Το συ νολο {g G gm = m για κα θε m M} λε γεται πυρήνας της δρα σης και ει ναι υποομα δα της G. Απο τα παραπα νω φαι νεται ο τι μια δρα ση ει ναι πιστη αν και μο νο αν ο πυρη νας ει ναι τετριμμε νος. 5

6 Α Δει ξτε ο τι ο πυρη νας της δρα σης ει ναι υποομα δα της G 2. Δει ξτε ο τι μια δρα ση ει ναι πιστη αν και μο νο αν ο πυρη νας της ει ναι η τετριμμε νη υποομα δα. H τροχιά ενο ς στοιχει ου m M ει ναι το υποσυ νολο O(m) = {gm g G} του M. Τα στοιχει α που ανη κουν στην ι δια τροχια λε γονται G-ισοδυ ναμα. Η σταθεροποιούσα ενο ς m M ει ναι το υποσυ νολο του G, St(m) = {g G gm = m}. Η σταθεροποιου σα ενο ς στοιχει ου ει ναι υποομα δα της G. Α 4.2. Δει ξτε ο τι η σταθεροποιου σα ενο ς στοιχει ου ει ναι υποομα δα. Π 4.1. Αν ε χουμε μια αριστερη δρα ση της G στο M, πα ντα μπορου με να ορι σουμε μια δεξια δρα ση του G στο M θε τοντας mg = g 1 m. Α 4.3. Δει ξτε ο τι η συνα ρτηση που ορι στηκε στην παραπα νω παρατη ρηση ει ναι δρα ση. Ο ς 4.2. Ένα γρα φημα X ει ναι μια πεντα δα που αποτελει ται απο ε να μη κενο συ νολο κορυφω ν X 0, ε να συ νολο ακμω ν X 1 και τρεις απεικονι σεις α : X 1 X 0 (την αρχικη κορυφη μιας ακμη ς), ω : X 1 X 0 (την τελικη κορυφη μιας ακμη ς) και : X 1 X 1 (την αντι στροφη μιας ακμη ς) ω στε e = e, e e και α(e) = ω(e) για κα θε e X 1. Ένα γρα φημα λε γεται πεπερασμένο αν το συ νολο των κορυφω ν και ακμω ν του γραφη ματος ει ναι πεπερασμε νο. Η ε ννοια του υπογραφήματος ορι ζεται με τον φυσικο τρο πο. Το ευθυ γινο μενο γραφημα των X και Y συμβολι ζεται με X Y και ει ναι το γρα φημα με συ - νολο κορυφω ν X 0 Y 0, συ νολο ακμω ν X 1 Y 1 ε τσι ω στε α((e, e )) = (α(e), α(e )), ω((e, e )) = (w(e), w(e )) και (e, e ) = (e, e ) για κα θε ζευ γος (e, e ) X 1 Y 1. Ένας μορφισμο ς απο το X στο Y ει ναι μια απεικο νιση p απο το συ νολο κορυφω ν και ακμω ν του στο συ νολο κορυφω ν και ακμω ν του Y που στε λνει κορυφε ς σε κορυφε ς, ακμε ς σε ακμε ς και ικανοποιει τις συνθη κες p(α(e)) = α(p(e)), p(ω(e)) = ω(p(e)), p(e) = p(e) για κα θε e X 1. Για συντομι α γρα φουμε p : X Y. Ένας μορφισμο ς λε γεται ισομορφισμός αν ει ναι 1-1 και επι. Ένας ισομορφισμο ς απο ε να γρα φημα στον εαυτο του λε γεται αυτομορφισμός. Μερικε ς φορε ς χρεια ζεται να ξεχωρι ζουμε μια κορυφη στο γρα φημα X, ε στω x. Το τε συμβολι ζουμε το γρα φημα με (X, x). Επι σης γρα φουμε p : (X, x) (Y, y) αν ο p ει ναι μορφισμο ς γραφημα των και p(x) = y. Το αστέρι μιας κορυφη ς x X 1, ει ναι το συ νολο των ακμω ν με αρχικη κορυφη το x. Η πληθυκότητα η ο βαθμός μιας κορυφη ς ει ναι η πληθυκο τητα του αστεριου της κορυφη ς. Ένας μορφισμο ς p : X Y λε γεται τοπικά 1-1 αν ο περιορισμο ς του p στο αστε ρι κα θε κορυφη ς του X ει ναι 1-1. Ένα γρα φημα λε γεται προσανατολισμένο αν για κα θε ζευ γος αντι στροφων ακμω ν {e, e} επιλε γουμε μια ακμη. Η ακμη αυτη λε γεται θετικά προσανατολισμένη και η αντι στροφη της αρνητικά προσανατολισμένη. Τα αντι στοιχα υποσυ νολα του X 1 συμβολι ζονται με X 1 + και X 1 αντι στοιχα. Το X 1 + ει ναι ε νας προσανατολισμός του X. Π 4.2. Τα γραφη ματα συμβολι ζονται ((κλασικα )) με γραμμε ς και κορυφε ς και ο ταν βα ζουμε μια γραμμη μεταξυ δυο κορυφω ν εννοου με ε να ζευ γος ακμω ν. 6

7 Π 4.1. Το γρα φημα C n ο που n Z, n 1. n Π 4.2. Το γρα φημα C Μια ακολουθι α ακμω ν l = e 1 e 2... e n ενο ς γραφη ματος X λε γεται μονοπάτι μη κους n στο X αν ω(e i ) = α(e i+1 ), i = 1,..., n 1. Λε με ο τι το μονοπα τι l ε χει αρχικη κορυφη το α(e 1 ) και τελικη το ω(e n ). Το τετριμμε νο μονοπα τι ει ναι το μονοπα τι που αποτελει ται απο μο νο μια κορυφη. Για ε να μη τετριμμε νο μονοπα τι l = e 1... e m συμβολι ζουμε με l 1 το μονοπα τι e m... e 1. Για ε να τετριμμε νο μονοπα τι, l 1 = l. Ένα μονοπα τι λε γεται ανηγμένο αν ει τε ει ναι τετριμμε νο ει τε l = e 1... e n ο που e i+1 e i για i = 1,..., n 1. Ένα μονοπα τι l ει ναι κλειστο αν η αρχη και το τε λος του συμπι πτουν. Αν το τε λος ενο ς μονοπατιου l = e 1... e k συμπι πτει με την αρχη του l = e 1... e m το τε μπορου με να ορι σουμε το γινόμενο ll των μονοπατιω ν να ει ναι το μονοπα τι ll = e 1... e k e 1... e m. Ένα γρα φημα λε γεται συνεκτικό αν για κα θε δυ ο κορυφε ς u, v X 0 υπα ρχει μονοπα τι απο το u στο v. Ένα κύκλωμα σε ε να γρα φημα ει ναι ε να υπογρα φημα ισομορφικο με το C n. Ένα δε ντρο ει ναι ε να συνεκτικο γρα φημα χωρι ς κυκλω ματα. Α 4.4. Δει ξτε ο τι αν η p : X T ει ναι τοπικα 1-1 μορφισμο ς απο ε να γρα φημα X σε ε να δε ντρο T το τε η p ει ναι 1-1 και το X ει ναι δε ντρο. Ένα μεγιστικό υποδέντρο ενο ς συνεκτικου γραφη ματος X ει ναι ε να υπογρα φημα του X ι- σομορφικο με δε ντρο, με τις περισσο τερες δυνατε ς ακμε ς. Π 4.1. Έστω T ε να μεγιστικο υποδε ντρο ενο ς συνεκτικου γραφη ματος X. Το τε το T περιε χει ο λες τις κορυφε ς του X. Απόδειξη. Ας υποθε σουμε ο τι αυτο δεν ισχυ ει. Το τε λο γω της συνεκτικο τητας του X, υπα ρχει ακμη y που ξεκινα απο το T και τελειω νει ε ξω απο το T. Άρα προσθε τοντας στο T την ακμη y και y και την κορυφη ω(y), παι ρνουμε ε να δε ντρο με περισσο τερες ακμε ς απο το T, α τοπο στην επιλογη του T σαν μεγιστικο υποδε ντρο. Ο ς 4.3. Μια ομα δα G δρα σε ε να γρα φημα X (απο τα αριστερα ) αν οι (αριστερε ς) δρα - σεις της G στα συ νολα X 0 και X 1 ορι ζονται ε τσι ω στε gα(e) = α(g(e)) και ge = ge για κα θε g G και e X 1. Θα λε με ο τι η G δρα στο X χωρίς αντιστροφές αν ge e για κα θε e X 1 και για κα θε g G. Η δρα ση θα λε γεται ελεύθερη αν gv v για κα θε v X 0 και κα θε μη τετριμμε νο στοιχει ο g G. Στην Θεωρι α Bass-Serre που θα μελετη σουμε στην συνε χεια απαιτει δρα σεις ομα δων χωρι ς αντιστροφε ς. Αυτο δεν ει ναι σοβαρο ς περιορισμο ς. Αν η ομα δα G δρα στο X το τε η G δρα στην βαρυκεντρική υποδιαίρεση B(X) του X χωρι ς αντιστροφε ς. Η δρα ση αυτη ει ναι πολυ κοντα στην αρχικη. Η βαρυκεντρικη υποδιαι ρεση του X ει ναι το γρα φημα B(X) το οποι ο προε ρχεται 7

8 απο το X με υποδιαι ρεση κα θε ακμη ς e σε δυ ο ακμε ς e 1 και e 2, προσθε τοντας μια νε α κορυφη v e στο ((με σο)) της e. Υποθε τουμε φυσικα ο τι (e) 2 = e 1, (e) 1 = e 2, v e = v e. Η δρα ση ορι ζεται θε τοντας ge 1 = (ge) 1 και ge 2 = (ge) 2, gv e = v ge και διατηρει την δρα ση του G στις κορυφε ς του B(X) που ει ναι και κορυφε ς του X. Έστω μια ομα δα G που δρα στο γρα φημα X χωρι ς αντιστροφε ς. Για κα θε x X 0 X 1 συμβολι ζουμε με O(x) την τροχια του x ως προς την δρα ση αυτη. Ορι ζουμε το γράφημα πηλίκο G\X να ει ναι το γρα φημα με κορυφε ς O(v) ο που v X 0 και ακμε ς O(e) ο που e X 1 ε τσι ω στε: 1. το O(v) ει ναι η αρχη του O(e) αν υπα ρχει g G ω στε το gv ει ναι η αρχη του e. 2. Η αντι στροφη της ακμη ς O(e) ει ναι η ακμη O(e). Οι ακμε ς O(e) και O(e) δεν ταυτι ζονται μιας και η δρα ση ει ναι χωρι ς αντιστροφε ς. Η απεικο νιση p : X G\X με p(x) = O(x), x X 0 X 1 ει ναι μορφισμο ς γραφημα των και καλει ται προβολή. Έστω y μια κορυφη η ακμη του γραφη ματος πηλι κο G\X. Οποιαδη ποτε προ-εικο να του y ως προς την p λε γεται ανο ρθωση του y στο X. Π 4.3. Το παρακα τω γρα φημα επιδε χεται μια δρα ση του Z 3 με στροφε ς κατα 180. Το γρα φημα πηλι κο ει ναι Π 4.2. Έστω μια ομα δα G που δρα σε ε να συνεκτικο γρα φημα X χωρι ς αντιστροφε ς. Για κα θε υποδε ντρο T του G\X υπα ρχει υποδε ντρο T του X τε τοιο ω στε η p T : T T να ει ναι ισομορφισμο ς. Απόδειξη. Θεωρη στε το συ νολο ο λων των υποδε ντρων του X τα οποι α προβα λλονται με 1-1 τρο πο στο T. Το συ νολο αυτο ει ναι μερικα διατεταγμε νο και οποιαδη ποτε αλυσι δα στοιχει ων ε χει α νω ο ριο. Το συ νολο αυτο ει ναι πεπερασμε νο α ρα ε χει με γιστο στοιχει ο, το T, το οποι ο αποτελει μεγιστικο υποδε ντρο του X. Αρκει να δει ξουμε ο τι p(t ) = T. Αν αυτο δεν ισχυ ει το τε υπα ρχει e με αρχικο σημει ο στο P (T ) (το δυναμοσυ νολο του T ) και τε λος στο T \ P (T ). Σε αυτη την περι πτωση μπορω να μεγαλω σω το T, πρα γμα α τοπο μιας και το T αποτελει μεγιστικο υποδε ντρο. Κα θε υποδε ντρο της παραπα νω προ τασης λε γεται ανόρθωση στο X. Ο ς 4.4. Έστω G ομα δα και S ε να συ στημα γεννητο ρων του G. Συμβολι ζουμε με Γ(G, S) το γρα φημα με συ νολο κορυφω ν G, συ νολο ακμω ν G S και συναρτη σεις α και ω να δι νονται απο τους κανο νες α((g, s)) = g και ω((g, s)) = gs ο που (g, s) G S. Η αντι στροφη της (g, s) ει ναι η (gs, s 1 ). Α 4.5. Δει ξτε ο τι το Γ(G, S) ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Η ομα δα G δρα απο αριστερα στο Γ(G, S) ως εξη ς: ε να στοιχει ο g G στε λνει την κορυφη g στην κορυφη gg και την ακμη (g, t) στην ακμη (gg, t). Α 4.6. Δει ξτε ο τι η παραπα νω δρα ση ει ναι ελευ θερη και χωρι ς αντιστροφε ς. Το γρα φημα Γ(G, S) που ορι σαμε πιο πα νω λε γεται γράφημα Cayley της G ως προς S. 8

9 Π 4.3. Το γρα φημα Cayley μιας ομα δας εξαρτα ται απο την επιλογη του συστη ματος γεννητο ρων S. Π 4.4. Τα γραφη ματα C n και C ει ναι ισομορφικα με τα γραφη ματα Cayley των κυκλικω ν ομα δων Z n και Z ως προς τα συστη ματα γεννητο ρων {1} και {1} αντι στοιχα. Π 4.5. Το παρακα τω γρα φημα ει ναι το γρα φημα Cayley της x x 6 = 1 = Z 6 ως προς το S = {x 2, x 3 } Π 4.6. Η διεδρικη ομα δα D n, n 1 η n = μπορει να θεωρηθει και σαν ομα δα αυτομορφισμω ν του γραφη ματος C n. Κα θε τε τοιος αυτομορφισμο ς προσδιορι ζεται πλη ρως απο την εικο να της ακμη ς e 0. Έστω a, b αυτομορφισμοι ω στε a(e 0 ) = e 1 και b(e 0 ) = e 1. Η ομα δα αυτομορφισμω ν D n αποτελει ται απο τους αυτομορφισμου ς b k και b k a ο που 0 k n 1 για n πεπερασμε νο και k Z για n =. Οι αυτομορφισμοι b k μπορου ν να θεωρηθου ν σαν στροφε ς για n πεπερασμε νο η σαν μεταφορε ς για n =. Οι αυτομορφισμοι b k a ει ναι ανακλα σεις. Το Cayley γρα φημα της D ως προς το συ στημα γεννητο ρων {a, b} ει ναι το Π 4.3. Έστω Γ(G, S) το γρα φημα Cayley της ομα δας G ως προς το συ στημα γεννητο ρων S. Το τε το Γ(G, S) ει ναι δε ντρο αν και μο νο αν το G ει ναι ελευ θερη ομα δα. Απόδειξη. Για μια ακμη e = (g, t) με t S S 1 ορι ζουμε την ετικε τα της να ει ναι το s(e) = t. Το τε ω(e) = α(e)s(e) και για κα θε μονοπα τι e 1... e n ε χουμε ω(e n ) = α(e 1 )s(e 1 )s(e 2 )... s(e n ). Έ- στω G ελευ θερη ομα δα με συ νολο γεννητο ρων S. Το τε το Γ(G, S) ει ναι συνεκτικο. Αν τω ρα στο Γ(G, S) υπα ρχει κλειστο ανηγμε νο μονοπα τι e 1... e n το τε ω(e n ) = α(e 1 ) και α ρα s(e 1 )... s(e n ) = 1. Εφο σον το S ει ναι βα ση του G υπα ρχει δει κτης k ω στε s(e k ) = (s(e k+1 ) 1. Το τε e k = e k+1, α τοπο διο τι το μονοπα τι ει ναι ανηγμε νο. Άρα το Γ(G, S) ει ναι δε ντρο. Το αντι στροφο ει ναι προφανε ς. 9

10 Π 4.1. Μια ελευ θερη ομα δα δρα ελευ θερα και χωρι ς αντιστροφε ς στις ακμε ς ενο ς δε ντρου. Απόδειξη. Αρκει να πα ρουμε το Γ(G, S) για ε να ελευ θερο συ στημα γεννητο ρων της G. Θ 4.1. Έστω G ομα δα που δρα ελευ θερα και χωρι ς αντιστροφε ς σε ε να δε ντρο X. Το τε η G ει ναι ελευ θερη και ο βαθμο ς της G ει ναι ι σος με το πλη θος των θετικα ορισμε νων ακμω ν του γραφη ματος πηλι κο G\X που δεν συμπεριλαμβα νονται σε ε να μεγιστικο υποδε ντρο. Ιδιαι τερα, αν το G\X ει ναι πεπερασμε νο το τε rk(g) = (G\X) 1 + (G\X) Απόδειξη. Έστω p : X X η κανονικη προβολη του δε ντρου X στο πηλι κο X = G\X. Διαλε γω στο X ε να μεγιστικο υποδε ντρο T και το ανορθω νω σε ε να υποδε ντρο T του X. Παρατηρη στε ο τι διαφορετικε ς κορυφε ς του T δεν ει ναι ισοδυ ναμες κα τω απο την δρα ση του G και κα θε κορυφη του X ει ναι ισοδυ ναμη με κα ποια κορυφη του T. Ας επιλε ξουμε ε ναν προσανατολισμο του X, και ε στω E το συ νολο των θετικω ν ακμω ν του X ε ξω απο το T. Για κα θε ακμη e E υπα ρχει ανο ρθωση του e στο X με αρχικη κορυφη στο T. Η ανο ρθωση αυτη ει ναι μοναδικη. Πρα γματι, αν υπη ρχαν δυ ο τε τοιες το τε το στοιχει ο που πηγαι νει την μια ακμη στην α λλη σταθεροποιει την κορυφη, α τοπο λο γω της ελευθερι ας της δρα σης. Έστω e η ανο ρθωση αυτη. Το τε λος της e ει ναι εκτο ς του T. Έστω E το συ νολο των θετικω ν ακμω ν του X με αρχικη κορυφη στο T και τελικη εκτο ς T. Το τε το p απεικονι ζει το E στο E με 1-1 και επι τρο πο. Επιπλε ον, GE = E. Η τελικη κορυφη κα θε ακμη ς e E ει ναι ισοδυ ναμη με μια μοναδικη κορυφη απο το T, ε στω v(e). Το στοιχει ο του G που πηγαι νει το v(e) στην τελικη κορυφη του e ει ναι επι σης μοναδικο απο την ελευθερι α της δρα σης του G στο X. Ας το συμβολι σουμε με g e. Θα δει ξουμε ο τι η G ει ναι ελευ θερη με βα ση S = {g e e E}. Τα υποδε ντρα gt, g G ει ναι ξε να μεταξυ τους και το συ νολο των κορυφω ν τους ταυτι ζεται με το συ νολο των κορυφω ν του X. Έστω f μια θετικη ακμη απο το X που δεν ανη κει στην ε νωση των δε ντρων αυτω ν. Το τε η f συνδε ει δυ ο απο αυτα, ε στω g 1 T και g 2 T. Συρρικνω νουμε κα θε δε ντρο σε μια κορυφη που την συμβολι ζουμε (gt ). Παι ρνουμε ε τσι ε να νε ο δε ντρο X T στο οποι ο κα θε ακμη f συνδε ει τις (g 1 T ) και (g 2 T ). Θα δει ξουμε ο τι το X T ει ναι ισομορφικο με το Γ(G, S). Απεικονι ζουμε το Γ(G, S) στο X T με τον εξη ς τρο πο: κα θε g Γ(G, S) απεικονι ζεται στο gt του X T. Για κα θε g e υπα ρχει e X στο E με α(e) T και ω(e) gt. Η ακμη ge του X δι νει μια ακμη του X T απο το (gt ) στο (gg e T ). Τω ρα απεικονι ζουμε την ακμη (g, g e ) του Γ(G, S) στην ακμη αυτη του X T (και την αντι στροφη στην αντι στροφη). Η απεικο νιση αυτη ει ναι 1-1 και επι στις κορυφε ς. Οι εικο νες δυ ο διακριτω ν ακμω ν (g, s) και (h, s ) ε χουν διαφορετικα αρχικα σημει α gt και ht αν g h και αν h = g ε χουν διαφορετικα τελικα σημει α gst και gs T. Άρα η απεικο νιση ει ναι 1-1 στις ακμε ς. Αν τω ρα πα ρουμε μια ακμη του X T το τε αυτη ει ναι εικο να μιας ακμη ς e με α(e) gt και ω(e) ht για g, h G, g h. Αν e E το τε g 1 e G = και g 1 h S εφο σον g 1 e ει ναι ακμη που ξεκινα απο το T και καταλη γει στο g 1 ht. Το τε η (g, g 1 h) ει ναι ακμη του Γ(G, S) της οποι ας η εικο να στο X T ει ναι η ακμη αυτη. Αν e E το τε δουλευ ουμε με την αντι στροφη της e. Άρα η απεικο νιση ει ναι επι στις ακμε ς. Tελικα η απεικο νιση ει ναι ισομορφισμο ς γραφημα των και α ρα η G ει ναι ελευ θερη. Π 4.2 (Θεω ρημα Nielsen-Schreier). Κα θε υποομα δα μιας ελευ θερης ομα δας ει ναι ε- λευ θερη. 10

11 Απόδειξη. Έστω G μια ελευ θερη ομα δα με βα ση το S. Απο προηγου μενο αποτε λεσμα, η G δρα ελευ θερα χωρι ς αντιστροφε ς στο δε ντρο Γ(G, S). Αν H υποομα δα της G το τε και η H δρα ε- λευ θερα χωρι ς αντιστροφε ς στις ακμε ς του ι διου δε ντρου. Άρα απο το προηγου μενο θεω ρημα ει ναι ελευ θερη. Π 4.3 (Τυ πος του Schreier). Αν G ελευ θερη ομα δα πεπερασμε νου βαθμου και H υ- ποομα δα δει κτη n το τε rk(h) 1 = n(rk(g) 1). Απόδειξη. Έστω S μια βα ση του G και H\G το συ νολο των δεξιω ν συμπλο κων της H στην G. Το τε η H δρα στις κορυφε ς και στις (θετικα ορισμε νες) ακμε ς του Γ(G, S) ως εξη ς g hg και (g, s) (hg, s) για h H, g G, s S. Άρα το γρα φημα πηλι κο Y = H\Γ(G, S) δι νεται απο τα Y 0 = H\G και Y 1 + = (H\G) S ο που η ακμη (Hg, s) συνδε ει τις κορυφε ς Hg και Hgs. Απο το προηγου μενο θεω ρημα ε χουμε rk(h) = n rk(g) n + 1. Ας μελετη σουμε λι γο ακο μη το γρα φημα πηλι κο Y = H\Γ(G, S). Η ετικε τα μιας ακμη ς e = (Hg, t) με t S S 1 ορι ζεται να ει ναι το στοιχει ο s(e) = t. Αν l = e 1... e k ε να μονοπα τι, το τε η ετικε τα του μονοπατιου ει ναι s(l) = s(e 1 )... s(e k ). Η ετικε τα ενο ς εκφυλισμε νου μονοπατιου ει ναι το ταυτοτικο στοιχει ο. Αν τα l 1, l 2 ει ναι μονοπα τια και ορι ζεται το l 1 l 2 το τε s(l 1 l 2 ) = s(l 1 )s(l 2 ). Στο αστε ρι κα θε κορυφη ς του Y οι ετικε τες διαφορετικω ν ακμω ν ει ναι διακριτε ς. Το συ νολο των ετικετω ν αυτω ν ταυτι ζεται με το S S 1. Π 4.4. Η ομα δα H αποτελει ται απο τις ετικε τες ο λων των μονοπατιω ν του Y με αρχικη και τελικη κορυφη H. Απόδειξη. Έστω l = e 1... e k μονοπα τι στο Y με αρχικη και τελικη κορυφη το H. Απο τα προηγου μενα ε χουμε ο τι ω(e i ) = α(e i )s(e i ) και ω(e k ) = α(e 1 )s(e 1 )... s(e k ) = α(e 1 )s(l). Εφο σον ω(e k ) = α(e 1 ) = H ε χουμε ο τι σ(l) H. Αντι στροφα, ε στω h = s 1... s k H, ο που s i S ± για κα θε i. Έστω e 1 = (H, s 1 ) και e i = (Hs 1... s i 1, s i ) για 2 i k. Το τε l = e 1... e k ει ναι μονοπα τι με αρχικη και τελικη κορυφη H και με s(l) = h. Άμεσος στο χος μας ει ναι να δει ξουμε ο τι η H παρα γεται απο τις ετικε τες κα ποιων ((απλω ν)) μονοπατιω ν στο Y. Ας πα ρουμε ε να με γιστο υποδε ντρο του Y και ας συμβολι σουμε την κορυφη H με y. Για κα θε v Y 0 υπα ρχει μοναδικο ανηγμε νο μονοπα τι απο το y στο v που ανη κει στο. Έστω p v το μονοπα τι αυτο. Για κα θε ακμη e Y 1 ορι ζουμε p e = p α(e) ep 1 ω(e) Θ 4.2. Με τον παραπα νω συμβολισμο το H ει ναι μια ελευ θερη ομα δα με βα ση {s(p e ) e Y 1 +\ 1 }. Ο ς 4.5. Έστω G μια ελευ θερη ομα δα με βα ση S και H υποομα δα του G. Ένα συ στημα Schreier αντιπροσω πων της H στην G ει ναι ε να συ νολο T ανηγμε νων λε ξεων τε τοιο ω στε κα θε δεξιο συ μπλοκο της H στην G περιε χει μια μοναδικη λε ξη T, και ο λα τα αρχικα κομμα τια της λε ξης αυτη ς ανη κουν επι σης στο. Ειδικο τερα, το 1 T και παριστα το συ μπλοκο H. Για κα θε g G, συμβολι ζουμε με g το στοιχει ο του T με την ιδιο τητα Hg = Hg. Θ Για κα θε υποομα δα H της ελευ θερης ομα δας G με βα ση S υπα ρχει συ - στημα Schreier αντιπροσω πων στην G. Επιπλε ον, αν ει ναι ε να μεγιστικο υποδε ντρο του Y = H\Γ(G, S) το τε το T ( ) = {s(p v ) v Y 0 } ει ναι ε να συ στημα Schreier αντιπροσω πων της H στην G. 11

12 2. Η αντιστοιχι α T ( ) δι νει μια 1-1 και επι απεικο νιση απο το συ νολο των μεγιστικω ν υποδε ντρων του Y στο συ νολο των Schreier αντιπροσω πων της H στην G. 3. Έστω T ε να τυχαι ο Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην G. Το τε η H ε χει βα ση Απόδειξη. {ts(ts) 1 t T, s S και ts(ts) 1 1}. 1. Εφο σον το v διατρε χει το συ νολο ο λων των δεξιω ν συμπλο κων της H στην G και v = Hs(p v ), το T ( ) ει ναι συ στημα αντιπροσω πων των κλα σεων αυτω ν. Επιπλε ον το μονοπα τι p v = e 1 e 2... e n στο δε ντρο ε χει ετικε τα s(p v ) = s(e 1 )... s(e n ) η οποι α ει ναι μια ανηγμε νη λε ξη και κα θε αρχικο κομμα τι της ει ναι η ετικε τα ενο ς υπομονοπατιου του p v. 2. Έστω T ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην G. Σε κα θε στοιχει ο t = s 1... s k του T αντιστοιχου με ε να μονοπα τι l t = e 1... e k της Y τε τοιο ω στε α(e 1 ) = H, s(e i ) = s i. Αν (T ) ει ναι ε να ελα χιστο υπογρα φημα του Y που περιε χει ο λα τα μονοπα τια l t για t T το τε το (T ) ει ναι μεγιστικο υποδε ντρο στο Y και οι αντιστοιχι ες T ( ) και T (T ) ει ναι αντι στροφες η μια στην α λλη. 3. Αν ει ναι το μεγιστικο υποδε ντρο του Y που αντιστοιχει στο συ στημα T το τε για κα θε μονοπα τι p e = p α(e) ep 1 ω(e) ε χουμε ο τι s(p e) = tst 1 1 ο που t = s(p α(e) ), s = s(e), t 1 = s(p ω(e) ). Απο το 1) ε χουμε ο τι t, t 1 T και απο προηγου μενη προ ταση tst 1 1 H, δηλαδη t 1 = ts. Άρα μας με νει να παρατηρη σουμε ο τι e Y+ 1 αν και μο νο αν s(e) Y και e 1 αν και μο νο αν s(p e ) = 1 και να εφαρμο σουμε το προηγου μενο θεω ρημα. Π 4.7. Το συ νολο {a n b m n.m Z} ει ναι ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων για την υποομα δα μεταθετω ν της ελευ θερης ομα δας F 2 σε δυ ο γεννη τορες {a, b}. Επιπλε ον a n b m a = a n+1 b m και a n b m b = a n b m+1. Άρα μια βα ση της υποομα δας αυτη ς ει ναι το {a n b m ab m a (n+1) n, m Z, m 0}. Π 4.8. Έστω H η υποομα δα της F 2 με γεννη τορες a, b η οποι α αποτελει ται απο ο λες τις λε ξεις με α ρτιο α θροισμα εκθετω ν στα a και b. Ένα Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην F 2 ει ναι το {1, a, b, ab}. Αν Γ ει ναι το γρα φημα Cayley της F 2 το τε το H\Γ ει ναι το γρα φημα Το υποδε ντρο με την κο κκινη γραμμη ει ναι ε να μεγιστικο υποδε ντρο. Το τε το H ε χει σαν βα ση τα a 2, b 2, ab 2 a 1, abab 1, bab 1 a 1. Ευ κολα βλε πουμε ο τι ο πυρη νας του ομομορφισμου ϕ : F 2 Z 2 Z 2 ο που a (1, 0) και b (0, 1) ει ναι η H. Π 4.9. Αν θεωρη σουμε H τον πυρη να του ομομορφισμου ϕ : F 2 S 3 με a (12) και b (13). Το τε το συ νολο {1, a, b, ab, ba, aba} ει ναι ε να Schreier συ στημα αντιπροσω πων της H στην F 2. Η ομα δα H ε χει σαν βα ση το συ νολο {a 2, ab 2 a 1, aba 2 b 1 a 1, ababa 1 b 1, b 2, ba 2 b 1, baba 1 b 1 a 1 }. 12

13 Α 4.7. Έστω D n η διεδρικη ομα δα. Θεωρη στε την D n σαν την ομα δα πηλι κο της F 2 /N ο που N η κανονικη υποομα δα της F 2 που παρα γεται απο τα {a 2, c 2, (ac) n }. Έστω H ο πυρη νας του κανονικου επιμορφισμου ϕ : F 2 D n. Δει ξτε ο τι τα παρακα τω ει ναι Schreier συστη ματα αντιπροσω πων της H στην F Το συ νολο ο λων των αρχικω ν κομματιω ν των λε ξεων (ac) k και (ca) k 1 c αν το n ει ναι α ρ- τιος και n = 2k. 2. Το συ νολο ο λων των αρχικω ν κομματιω ν των λε ξεων (ac) k a και (ca) k αν το n ει ναι περιττο ς και n = 2k Ελεύθερα Γινόμενα Έστω A, B ομα δες με A B = 1. Μια κανονική μορφή ει ναι μια ε κφραση της μορφη ς g 1 g 2... g n ο που n 0, g i (A B) \ {1} και γειτονικα στοιχει α δεν ανη κουν στην ι δια ομα δα A η B. Ο αριθμο ς n καλει ται μήκος της κανονικη ς μορφη ς. Η κανονικη μορφη μη κους 0 ει ναι το ταυτοτικο στοιχει ο. Στο συ νολο των κανονικω ν μορφω ν ορι ζουμε ε να πολλαπλασιασμο ως εξη ς: x 1 = 1 x = x για κα θε κανονικη μορφη x. Επι σης, αν x = g 1... g n και y = h 1... h m κανονικε ς μοφε ς με m, n 1 θε τουμε g 1... g n h 1... h m αν g n A, h 1 B η g 1 B, h 1 A x y = g 1... g n 1 zh 2... h m αν g n, h 1 A η g n, h 1 B και z = g n h 1 1 g 1... g n 1 h 2... h m αν g n, h 1 A η g n, h 1 B και g n h 1 = 1 Το συ νολο των κανονικω ν μορφω ν με την παραπα νω πρα ξη αποτελει ομα δα και λε γεται ελεύθερο γινόμενο των A, B. Συμβολι ζεται με A B. Επιπλε ον, οι ομα δες A και B εμφυτευ ονται με φυσιολογικο τρο πο στην A B. Π 5.1. Έστω A, B υποομα δες μιας ομα δας G ε τσι ω στε κα θε g G μπορει να γραφει με μοναδικο τρο πο σαν γινο μενο g = g 1... g n με g i (A B) \ {1} και γειτονικοι παρα γοντες δεν ανη κουν στην ι δια ομα δα A η B. Το τε G = A B. Θ 5.1. Έστω A = X R, B = Y S και X Y =. Το τε A B = X, Y R, S. Απόδειξη. Συμβολι ζουμε με N(R), N(S) και N(R S) τις κανονικε ς υποομα δες που παρα γονται απο τα R, S και R S αντι στοιχα στις ελευ θερες ομα δες F (X), F (Y ) και F (X Y ). Έστω ϕ : F (X) A, ψ : F (Y ) B ομομορφισμοι με πυρη νες N(R) και N(S) αντι στοιχα. Έστω θ : F (X Y ) A B ο ομομορφισμο ς ο οποι ος ταυτι ζεται με τον ϕ στο X και τον ψ στο. Το τε N(R S) Kerθ. Έστω g Kerθ με g = g 1... g n ο που g i (F (X) F (Y )) \ {1} και γειτονικα στοιχει α ανη κουν σε διαφορετικε ς ομα δες F (X), F (Y ). Εφο σον θ(g 1 )... θ(g n ) = 1 στο A το τε υπα ρχει i ω στε θ(g i ) = 1. Άρα g i N(R) η g i N(S). Επιπλε ον θ(g 1... g i 1 g i+1... g n ) = 1. Ε- παναλαμβα νοντας το παραπα νω επιχει ρημα πεπερασμε νες φορε ς ε χουμε τελικα ο τι g 1... g n N(R S) και α ρα g N(R S). Π 5.1. Z 2 Z 2... Α 5.1. Δει ξτε ο τι οι ομα δες A και B εμφυτευ ονται με φυσιολογικο τρο πο στην A B. 13

14 6 Ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα Έστω G, H ομα δες με διακριτε ς ισομορφικε ς υποομα δες A G και B H, ο που ϕ : A B ο αντι στοιχος ισομορφισμο ς. Το ελευ θερο γινο μενο των G και H με αμα λγαμα τις A και B ει ναι η ομα δα πηλι κο της G H προς την κανονικη θη κη του συνο λου {ϕ(a)a 1 a A}. Η ομα δα αυτη λε γεται για συντομι α ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα και συμβολι ζεται με G H a = ϕ(a), a A η G A=B H η G A H. Στις δυο τελευται ες περιπτω σεις πρε πει να ει ναι σαφω ς ορισμε νη η ϕ. Ουσιαστικα, στο ελευ θερο γινο μενο G H ταυτι ζουμε την A με την B. Έστω i : G H G A=B H = F ο φυσιολογικο ς ομομορφισμο ς. Ένα στοιχει ο του f F μπορει να γραφει σαν f = i(x 0 )i(x 1 )... i(x n ) ο που x i G H. Για απλο τητα γρα φουμε f = x 0 x 1... x n. Ας θεωρη σουμε T A ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της A στην G και T B ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της B στην H. Υποθε τουμε ο τι το 1 παριστα τα συ μπλοκα A και B. Το τε κα θε x G μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη x = xx ο που x A και x T A. Ο ς 6.1. Μια A-κανονικη μορφη ει ναι μια ακολουθι α (x 0, x 1,..., x n ) τε τοια ω στε: 1. x 0 A. 2. x i T A \{1} η x i T B \{1} για i 1 και διαδοχικοι ο ροι x i και x i+1 ανη κουν σε διακριτα συστη ματα αντιπροσω πων. Με ο μοιο τρο πο μπορου με να ορι σουμε και την B-κανονικη μορφη. Π 6.1. Έστω G = a a 12 = 1, H = b b 15 = 1 και A, B υποομα δες τα ξης 3 στην G και H αντι στοιχα. Έστω ϕ : A B με ϕ(a 4 ) = b 5. Το τε η G A=B H ε χει παρα σταση a, b a 12 = b 15 = 1, a 4 = b 5. Αν πα ρουμε T A = {1, a, a 2, a 3 } και T B = {1, b, b 2, b 3, b 4 } το τε το στοιχει ο f = a 3 ba 5 μπορει να γραφει σαν γινο μενο παραγο ντων που ορι ζουν μια κανονικη μορφη f = a 3 ba 4 a = a 3 b 6 a = a 3 b 5 ba = a 3 a 4 ba = a 4 a 3 ba. Θ 6.1. Ένα στοιχει ο f G A=B H μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη f = x 0 x 1... x n ο που (x 0, x 1,..., x n ) μια A-κανονικη μορφη. Πολλε ς φορε ς η μορφη x 0 x 1... x n καλει ται κανονικη μορφη του f. Π 6.1. Έστω G = G 1 A G 2. Αν το g G και g = g 1... g n ο που n 1 και g i G 1 \ A η g i G 2 \ B ανα λογα με το i, το τε g 1. 7 Δέντρα και ελεύθερα γινόμενα με αμάλγαμα Έστω G, H ομα δες με διακριτε ς ισομορφικε ς υποομα δες A G και B H. Έστω επι σης ϕ : A B ο ισομορφισμο ς. Το ελευ θερο γινο μενο των G, H με αμάλγαμα τα A, B με σω της ϕ 14

15 ει ναι η ομα δα πηλι κο της A B προς την κανονικη θη κη του συνο λου {ϕ(a)a 1 a A}. Η ομα δα αυτη λε γεται για συντομι α ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα και συμβολι ζεται G H a = ϕ(a), a A η G A=B H η G A H. Στις δυ ο τελευται ες περιπτω σεις πρε πει να ορι ζεται η ϕ. Ουσιαστικα, στο ελευ θερο γινο μενο G H ταυτι ζουμε την A με την B. Έστω i : G H F = G A=B H ο φυσιολογικο ς (κανονικο ς) ομομορφισμο ς. Ένα στοιχει ο f F μπορει να γραφει σαν f = i(x 0 )i(x 1 )... i(x n ) ο που x i G H. Για απλο τητα γρα φουμε f = x 0... x n. Έστω τω ρα T A ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της A στην G και T B ε να συ στημα δεξιω ν αντιπροσω πων της B στην H. Υποθε τουμε ο τι το 1 παριστα τα συ μπλοκα A και B. Το τε κα θε x G μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη x = xx ο που x A και x T A. Ο ς 7.1. Μια A-κανονικη μορφη ει ναι μια ακολουθι α (x 0, x 1,..., x n ) τε τοια ω στε x 0 A, x i T A \ {1} η x i T B \ {1} για i 1 και διαδοχικοι ο ροι ανη κουν σε διακριτα συστη ματα αντιπροσω πων. Με ο μοιο τρο πο μπορει κανει ς να ορι σει και μια B-κανονικη μορφη. Π 7.1. Έστω G = a a 12 = 1, = b b 15 = 1 και A, B υποομα δες τα ξης 3 στις G και H αντι στοιχα. Έστω ϕ : A B με ϕ(a 4 ) = b 5. Το τε η G A=B H ε χει παρα σταση a, b a 12 = b 15 = 1, a 4 = b 5. Αν πα ρουμε T A = {1, a, a 2, a 3 } και T B = {1, b, b 2, b 3, b 4 } το τε το στοιχει ο f = a 3 ba 5 μπορει να γραφει σαν γινο μενο παραγο ντων που ορι ζουν μια κανονικη μορφη : f = a 3 ba 4 a = a 3 b 6 a = a 3 b 5 ba = a 3 a 4 ba = a 4 a 3 ba. Θ 7.1. Ένα στοιχει ο f F = G A=B H μπορει να γραφει μοναδικα στην μορφη f = x 0... x n ο που (x 0, x 1,..., x n ) ει ναι μια A-κανονικη μορφη. Πολλε ς φορε ς η μορφη x 0 x 1... x n λε γεται κανονική μορφή του f. Π 7.1. Έστω G = G 1 A G 2. Κα θε g G μπορει να γραφει με μοναδικο τρο πο στην μορφη g = g 1... g n ο που n 1 και g i G i \ A και διαδοχικοι ο ροι ανη κουν σε διαφορετικου ς παρα γοντες. 8 Δέντρα και ελεύθερα γινόμενα με αμάλγαμα Έστω G ομα δα και H υποομα δα της G. Με G/H συμβολι ζουμε το συ νολο των αριστερω ν συμπλο κων της H στην G ακο μη και αν η H δεν ει ναι κανονικη. Ένα συνεκτικο γρα φημα που αποτελει ται απο δυο κορυφε ς και μια ακμη λε γεται segment. Θ 8.1. Έστω G = G 1 A G 2. Το τε υπα ρχει δε ντρο X στο οποι ο δρα η G χωρι ς αντιστροφε ς ε τσι ω στε το γρα φημα πηλι κο G\X ει ναι segment. Επιπλε ον το segment αυτο μπορει να ανορθωθει σε κα ποιο segment του X με την ιδιο τητα οι σταθεροποιου σες των κορυφω ν και της ακμη ς να ει ναι οι G 1, G 2 και A αντι στοιχα. Απόδειξη. Έστω X 0 = G/G 1 G/G 2 και X 1 + = G/A. Θε τουμε α(ga) = gg 1, ω(ga) = gg 2. Έστω T το segment στο X με κορυφε ς G 1, G 2 και ακμη A. H G δρα στο X με αριστερο πολλαπλασιασμο. Θα δει ξουμε αρχικα ο τι το X ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Αρκει να δει ξουμε ο τι 15

16 κα θε κορυφη gg 1 συνδε εται με την κορυφη G 1. Γρα φουμε το στοιχει ο g στην μορφη g 1 g 2... g n ο που g i G 1 η G 2. Το τε οι κορυφε ς g 1... g i 1 G 1 και g 1... g i 1 g i G 1 ταυτι ζονται αν g i G 1. Αν πα λι g i G 2 το τε αυτε ς συνδε ονται με την g 1... g i 1 G 2 (= g 1... g i G 2 ). Εφο σον αυτο ισχυ ει για κα θε i, ε χουμε το ζητου μενο. Θα δει ξουμε τω ρα ο τι το γρα φημα ει ναι δε ντρο. Ας υποθε σουμε ο τι υπα ρχει κλειστο (ανηγμε νο) μονοπα τι e 1,..., e n στο X. Εφαρμο ζοντας κατα λληλο στοιχει ο του G μπορου με να υποθε σουμε ο τι α(e 1 ) = G 1. Εφο σον οι γειτονικε ς κορυφε ς ει ναι συ μπλοκα διαφορετικω ν υ- ποομα δων, ε χουμε ο τι το n ει ναι α ρτιος και υπα ρχουν στοιχει α x i G 1 \ A, y i G 2 \ A ω στε α(e 2 ) = x 1 G 2, α(e 3 ) = x 1 y 1 G 1,..., α(e n ) = x 1 y 1... x n/2 G 2 = x 1 y 1... x n/2 y n/2 G 1. Αυτο ο μως ει ναι α τοπο λο γω της μοναδικο τητας της κανονικη ς μορφη ς των στοιχει ων της G. Π 8.1. Στο παραπα νω γρα φημα, ο λες οι ακμε ς με αρχικη κορυφη gg 1 ε χουν μορφη gg 1 A ο που το g 1 διατρε χει το συ νολο των αριστερω ν αντιπροσω πων του A στην G 1. Το πλη θος των ακμω ν ει ναι G 1 : A, ο δει κτης της A στην G 1. Η σταθεροποιου σα της gg 1 ει ναι gg 1 g 1. Όμοια πρα γματα ισχυ ουν και για την gg 2. Θ 8.2. Έστω ο τι η G δρα στο δε ντρο X χωρι ς αντιστροφε ς και ο τι το G \ X ει ναι segment. Έστω T μια τυχαι α ανο ρθωση του segment αυτου. Έστω P, Q οι κορυφε ς του, e η ακμη του και G P, G Q, G e οι σταθεροποιου σες τους. Το τε ο ομομορφισμο ς ϕ : G P Ge G Q G ο οποι ος ει ναι ταυτοτικο ς στις G P και G Q ει ναι ισομορφισμο ς. Απόδειξη. Θα δει ξουμε αρχικα ο τι G = G P, G Q. Έστω G = G P, G Q και ας υποθε σουμε ο τι G G. Τα γραφη ματα G T και (G \ G ) T ει ναι ξε να μεταξυ τους. Πρα γματι, η σχε ση g P = gq με g G, g G \ G δεν μπορει να ισχυ ει εφο σον κα τι τε τοιο θα ση μαινε ο τι οι κορυφε ς P, Q ει ναι ισοδυ ναμες κα τω απο την δρα ση της G, που δεν ισχυ ει. Όμοια και για την ταυτο τητα g Q = gp. Τω ρα η σχε ση g R = gr ο που R {P, Q} συνεπα γεται ο τι g g G R G το οποι ο ει ναι πα λι α τοπο. Για να δει ξουμε ο τι το X = G T ει ναι συνεκτικο γρα φημα. Αυτο ει ναι προφανε ς, α ρα το X δεν μπορει να παρασταθει σαν ε νωση δυ ο ξε νων πραγμα των. Για να δει ξουμε ο τι η ϕ ει ναι 1-1, ε στω G = G P Ge G Q και X το δε ντρο που κατασκευα σαμε πριν. Ορι ζουμε ψ : X X μορφισμο με ggr ϕ(g)r ο που r {P, Q, e}, g G. Θα δει ξουμε ο τι ο μορφισμο ς ει ναι ισομορφισμο ς. Το επι ισχυ ει εφο σον X = G T και G = G P, G Q. Το 1-1 προκυ πτει απο την μοναδικο τητα της κανονικη ς μορφη ς και το γεγονο ς ο τι οι ϕ GP και ϕ GQ ει ναι 1-1. Πρα γματι, ε στω g G \ G P. Το τε οι κορυφε ς G P και gg P του X ει ναι διακριτε ς. Άρα οι κορυφε ς P και ϕ(g)p του X ει ναι διακριτε ς. Άρα ϕ(g) 1 αν g 1 α ρα η ϕ ει ναι 1-1. Π 8.1. Η ομα δα D δρα χωρι ς αντιστροφε ς στην βαρυκεντρικη υποδιαι ρεση του γραφη ματος C Το γρα φημα πηλι κο ει ναι ε να segment. Σαν ανο ρθωση μπορου με να πα ρουμε το segment 0 1/2. Οι σταθεροποιου σες των κορυφω ν αυτω ν ει ναι a και c ο που c = ba. Η σταθεροποιου σα της ακμη ς ει ναι {1}. Άρα D = a c. 16

17 9 ΗΝΝ-επεκτάσεις Έστω G ομα δα και A, B υποομα δες της G με ϕ : A B ισομορφισμο ς. Έστω t η α πειρη κυκλικη ομα δα που παρα γεται απο ε να νε ο στοιχει ο t. Η HNN-επε κταση της G με συνδεο μενες ομα δες A, B και ισομορφισμο ϕ ει ναι η ομα δα πηλι κο G της G t προς της κανονικη θη κη του συνο λου {t 1 at(ϕ(a)) 1 a A}. Η ομα δα G λε γεται βάση της G, το t λε γεται σταθερό γράμμα και οι A, B λε γονται συνδεόμενες ομάδες. Η παρα σταση της G ει ναι η G, t t 1 at = ϕ(a), a A. Στην συνε χεια θα δει ξουμε ο τι κα θε στοιχει ο του G ε χει μοναδικη κανονικη μορφη. Αυτο μας οδηγει στο να δει ξουμε ο τι οι ομα δες G και t εμφυτευ ονται στην G και οι A, B ει ναι συζυγει ς στην G. Έστω i : G t G ο κανονικο ς ομομορφισμο ς. Κα θε στοιχει ο x G μπορει να γραφει σαν x = i(g 0 )i(t) ε 1 i(g 1 )... i(t) εn i(g n ) ο που g i G, ε j = ±1. Για συντομι α και απλο τητα στον συμβολισμο γρα φουμε x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Έστω T A ε να συ στημα αντιπροσω πων των δεξιω ν συμπλο κων της A στην G και T B ε να συ στημα αντιπροσω πων της B στην G. Αν το g G, συμβολι ζουμε με g τον αντιπρο σωπο του συμπλο κου Ag και με ĝ τον αντιπρο σωπο του συμπλο κου Bg. Ο ς 9.1. Μια κανονικη μορφη της G ει ναι μια ακολουθι α g 0 t ε 1 g 1... t εn g n ε τσι ω στε: 1. Το g 0 G 2. Αν ε i = 1 το τε το g i T A. 3. Αν ε i = 1 το τε το g i T B. 4. Δεν υπα ρχουν συνεχο μενα t ε 1 t ε. Χρησιμοποιω ντας τις σχε σεις t 1 a = ϕ(a)t 1 και tb = ϕ(b) 1 t ο που a A, b B, μπορου με να γρα ψουμε κα θε στοιχει ο του G στην κανονικη μορφη g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Π 9.1. Θεωρη στε την HNN-επε κταση G = a, b, t t 1 a 2 t = b 3 ο που η βα ση ει ναι η F 2 = a, b και συνδεο μενες ομα δες ει ναι οι A = a 2 και B = b 3. Ας πα ρουμε T A να ει ναι οι ανηγμε νες λε ξεις της F 2 που ξεκινου ν με a 0 η a και T B τις ανηγμε νες λε ξεις της F 2 που ξεκινου ν με b 0 η b η b 2. Θα υπολογι σουμε την κανονικη μορφη του στοιχει ου x = b 2 t 1 a 4 tb 5 ab 7 t 1 b 3 a. Εφο σον b 5 ab 7 = b 2 ab 7 και tb 3 = a 2 t ε χουμε x = b 2 t 1 a 2 tb 2 ab 7 t 1 b 3 a = bab 7 t 1 b 3 a η οποι α ει ναι κανονικη μορφη. Θ 9.1. Έστω G = G, t t 1 at = ϕ(a), a A μια HNN-επε κταση της ομα δας G με συνδεο μενες ομα δες A, B. Το τε κα θε στοιχει ο x G ε χει μια μοναδικη κανονικη μορφη x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Επιπλε ον, η G εμφυτευ εται στην G με g g. Αν w = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n, n 1 και η ε κφραση αυτη δεν περιε χει υπολε ξεις της μορφη ς t 1 g i t με g i A η tg j t 1 με g j B το τε w 1 στην G. Απόδειξη. Για να δει ξουμε την υ παρξη της παρα στασης του x αρκει να πα ρουμε μια τυχαι α ε κφραση του x στην G t και να κινηθου με απο δεξια προς τα αριστερα ο πως στο παρα δειγμα. 17

18 Κατα την πορει α αυτη δεν ε χουμε παρα να βρου με αναπαραστα τες συμπλο κων και να αντικαταστη σουμε το t 1 a με το ϕ(a)t 1 αν a A και το tb με το ϕ(a) 1 t αν b B. Για να δει ξουμε την μοναδικο τητα, ορι ζουμε μια δρα ση του G στο συ νολο W ο λων των κανονικω ν μορφω ν ε τσι ω στε η εικο να της μορφη ς 1 δηλαδη του ουδετε ρου στοιχει ου κα τω απο την δρα ση του x να ει ναι ι ση με την κανονικη μορφη του x. Έστω τ = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n W. Ορι ζουμε τις δρα σεις των στοιχει ων g G, t, t 1 ως εξη ς: g τ = gg 0 t ε 1 g 1... t εn g n { ϕ t τ = 1 (g 0 )g 1 t ε 2... t εn g n αν ε 1 = 1, g 0 B ϕ 1 (b)tĝ 0 t ε 1 g 1... t εn g n διαφορετικα ο που b ει ναι το στοιχει ο του B ω στε g 0 = bĝ 0, { t 1 ϕ(g0 )g τ = 1 t ε 2... t εn g n αν ε 1 = 1.g 0 A ϕ(a)t 1 g 0 t ε 1 g 1... t εn g n διαφορετικα ο που a A τε τοιο ω στε g 0 = ag 0. Απο τα παραπα νω φαι νεται ο τι η G t δρα φυσιολογικα στο W. Αν τω ρα N ει ναι η κανονικη θη κη του {t 1 atϕ(a) 1 a A} στο G t το τε η υποομα δα N δρα τετριμμε να στο W. Επομε νως G N = {1} Άρα η G εμφυτευ εται στο G = (G t )/N. Επιπλε ον, εφο σον το N ανη κει στον πυρη να της δρα σης του G στο W, η ομα δα G δρα επι σης στο W. Η μοναδικο τητα της κανονικη ς μορφη ς προκυ πτει ως εξη ς. Αν x = g 0 t ε 1 g 1... t εn g n G, μια κανονικη μορφη το τε η εικο να της κανονικη ς μορφη ς 1 με την δρα ση του x ει ναι ι ση με g 0 t ε 1 g 1... t εn g n. Π 9.1. Έστω G = G, t t 1 at = ϕ(a) μια HNN-επε κταση της G με συνδεο μενες ομα δες A, B. Το τε ο κανονικο ς ομομορφισμο ς i : G t G επα γει εμφυτευ σεις των G και t στο G. Αν ταυτι σουμε τις A, B με τις εικο νες τους στην G το τε αυτε ς ει ναι συζυγει ς στην G με σω του t. 18

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε Anderson s Ltd Εφαρμογές Υψηλής Τεχνολογίας - Εκδόσεις : Γ Σεπτεμβρίου 103 Αθήνα 10434 Τ: 210-88 21 109 F: 210-88 21 718 W: www.odp.gr E: web@odp.gr 42 Γρήγορο Εγχειρίδιο για τον Διαχειριστή 24 Πλημμυρισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας

Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Σκελετοί, μυστικά και η εορτή της αλή θειας Είναι αλή θεια ό τι, ό ταν έχεις πίσω σου σαρά ντα χρό νια αδιά κοπης και αξιό λογης καλλιτεχνικής παραγωγής, πρέπει να μπορείς κά θε φορά να διαχειρίζεσαι τον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...4 Πεζικό...9 Τεθωρακισμένα...11 Πυροβολικό...12 Μηχανικό...13 Διαβιβάσεις...14 Ειδικές Δυνάμεις...15 Στρατονομία...16

Διαβάστε περισσότερα

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

R t. H t n t Σi = l. MRi n t 100

R t. H t n t Σi = l. MRi n t 100 30. 12. 98 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των L 356/1 Ι (Πρ ξει για την ισχ των οπο ων απαιτε ται δηµοσ ευση) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 2818/98 ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ τη 1η εκεµβρ ου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓ ΓΗ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΓΡ. ΑΥ ΙΚΟΣ

ΕΙΣΑΓ ΓΗ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΓΡ. ΑΥ ΙΚΟΣ ΕΙΣΑΓ ΓΗ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΓΡ. ΑΥ ΙΚΟΣ Ο τόμος συνιστ μια απόπειρα διεπιστημονικ ς διερεύνησης της συμβολ ς του λαϊκού πολιτισμού στην κατασκευ πραγματικ ν συμβολικ ν ορ ων αν μεσα στις εθνοτικ ς ομ δες που συνυπ

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

14 Ἰουνίου. Προφήτου Ἐλισσαίου. Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα

14 Ἰουνίου. Προφήτου Ἐλισσαίου. Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα Nε ε δο ο ο ξα Πα α τρι ι ι ι και Υι υι ω και Α γι ι ω Πνε ευ µα α α τι Προ φη τα κη η η ρυ υξ Χρι ι ι στου του

Διαβάστε περισσότερα

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα)

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα) Στρα τιω τι κή Ορ χή στρα Πνευ στών (Μπά ντα) KΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Λγός (ΜΣ) Κων στα ντί νος Κε ρε ζί δης Πώς γεν νή θη κε η μπά ντα Τον χει ρι σμό των πνευ στών ορ γά νων τον συ να ντού με στην ι στο

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 2135/98 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 2135/98 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ L 274/1 I (Πράξεις για την ισχυ των οποίων απαιτείται δηµοσίευση) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 2135/98 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 24ης Σεπτεµβρίου 1998 για την τροποποίηση του κανονισµου (ΕΟΚ) αριθ. 3821/85 σχετικά µε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μπλέτσας ΠΥΓΜΑΧΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΣΚΙΑ ΤΟΥΣ Η KOINΩΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ ΧΟΛΥΓΟΥΝΤ ΝΙΚΗ ΓΟΥΛΑΝΔΡΗ ΚΡΙΣ ΣΠΥΡΟΥ

Μιχάλης Μπλέτσας ΠΥΓΜΑΧΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΣΚΙΑ ΤΟΥΣ Η KOINΩΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ ΧΟΛΥΓΟΥΝΤ ΝΙΚΗ ΓΟΥΛΑΝΔΡΗ ΚΡΙΣ ΣΠΥΡΟΥ BIMONTHLY FROM under exclusive licence to ΠΥΓΜΑΧΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΗ ΣΚΙΑ ΤΟΥΣ ΜΙΑ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΑΠΟ ΤΟΝ JEHAD NGA Η KOINΩΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ HILARY SPURLING ΧΟΛΥΓΟΥΝΤ AΠΟ ΤΟΝ DAVID THOMSON

Διαβάστε περισσότερα

J. M GIL-ROBLES G. BROWN

J. M GIL-ROBLES G. BROWN L 166/51 Ο ΗΓΙΑ 98/27/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 19η Μα ου 1998 περ των αγωγ ν παραλε ψεω στον τοµ α τη προστασ α των συµφερ ντων των καταναλωτ ν ΤΟ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Smart Shop uu ss ii nn g g RR FF ii dd Παύλος ΚΚ ατ σσ αρ όό ς Μ Μ MM Ε Ε ΞΞ ΥΥ ΠΠ ΝΝ ΟΟ ΜΜ ΑΑ ΓΓ ΑΑ ΖΖ Ι Ι ΡΡ ΟΟ ΥΥ ΧΧ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΟΟ ΥΥ E E TT HH N N ΧΧ ΡΡ ΗΗ ΣΣ ΗΗ TT OO Y Y RR FF II DD Απευθύνεται σσ

Διαβάστε περισσότερα

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι Φ Λ Ι Ι ι αγωγτ ρι μ Π λλι πρα τν πρ βλτ ματα χαι χαταστι αει τη αθημ ριν ζω μπ ρ ι ν να περιγραφ ν με τη β θεια ν διαγρι μματ ζ απ τελ μεν υ απ να ι ν λ ημε ων αι να ν λ γραμμι ν π υ να ενι ν υν υγ ε

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΔΙ ΚΤΥΩΝ Η/Υ -

Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΔΙ ΚΤΥΩΝ Η/Υ - Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΔΙ ΚΤΥΩΝ Η/Υ - ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Τχης (ΔΒ) Νικόλαος Δ. Λε ώ νης, Δι δά κτο ρας Ε.Μ.Π. 120 Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ. 2007 Το ο λο κλη ρω μέ νο σύ στη μα C4I

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΤΕΛΕΤΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΦΟΡΟΥ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΕΣΟΝΤΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΑΧΗ ΤΟΥ ΡΙΜΙΝΙ

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΤΕΛΕΤΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΦΟΡΟΥ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΕΣΟΝΤΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΑΧΗ ΤΟΥ ΡΙΜΙΝΙ ΤΕΛΕΤΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΦΟΡΟΥ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΕΣΟΝΤΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΑΧΗ ΤΟΥ ΡΙΜΙΝΙ ΕΚΔΗΛΩΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ Την Κυ ρια κή 23 Σε πτεμ βρί ου 2007, πραγ μα το ποι ή θη κε, στον χώ ρο του Ελλη νικού Στρα τιω τικού Κοι μη τηρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 1/2010 (ΙΑΝ.-ΦΕΒ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 1/2010 (ΙΑΝ.-ΦΕΒ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 1/2010 (ΙΑΝ.-ΦΕΒ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ: Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (Ε.Ε.):

Διαβάστε περισσότερα

anjologion ellhnikwn grammatoseirwn

anjologion ellhnikwn grammatoseirwn anjologion ellhnikwn grammatoseirwn Απλ µονοτυπικ Λειψίας µονοτυπικ εκαεξάρια τ ς κάσας εκαεξάρια Λειψίας τ ς κάσας Πελασγικ µονοτυπικ Αττικ µονοτυπικ Εκδ σεων «Μπ λ Λ τρ» Μα ρα 486 µονοτυπικ Μπεκκεριάνα

Διαβάστε περισσότερα

Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος

Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος Πρ. Κορομηλά 51, Τ.Κ. 546 22, Θεσσαλονίκη Κωδικός 6120 Απρίλιος-Μάιος-Ιούνιος 2011 Τεύχος 41 Τιμή: 0,01 ISSN 1109-7450 Editorial 2 Τρίμηνη έκδοση της

Διαβάστε περισσότερα

Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος

Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος Πρ. Κορομηλά 51, Τ.Κ. 546 22, Θεσσαλονίκη Κωδικός 6120 Ιανουάριος-Φεβρουάριος- Μάρτιος 2010 Τεύχος 36 Τιμή: 0,01 ISSN 1109-7450 Editorial Άδηλο το μέλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΙΚΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ενημερωτικό Φυλλάδιο

ΟΔΙΚΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ενημερωτικό Φυλλάδιο ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ 7 ο ΕΓ/2 ΟΔΙΚΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ενημερωτικό Φυλλάδιο Προλήψεως Ατυχημάτων Πρώτες Βοήθειες ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΤΥΕΣ «Δίνουμε προτεραιότητα στη ζωή» Εί ναι γνω στό ό τι κά θε χρό νο στη χώ ρα μας ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ) Απλό (Επιταγή Γενικής Τράπεζας) 26,57 Συστημένο (Επιταγή Γενικής Τράπεζας) 41,57

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ) Απλό (Επιταγή Γενικής Τράπεζας) 26,57 Συστημένο (Επιταγή Γενικής Τράπεζας) 41,57 ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 6/2010 (ΝΟΕ.-ΔΕΚ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Χαι ρε τι σμός Διοι κη τού ΑΣΔΕΝ

Χαι ρε τι σμός Διοι κη τού ΑΣΔΕΝ Χαι ρε τι σμός Διοι κη τού ΑΣΔΕΝ Aπο τε λεί ξε χω ρι στή τι μή για την ΑΣ ΔΕΝ η πα ρουσί α σή της σε κύ ριο άρ θρο του πε ριο δι κού, κα θό σον δί νε ται η ευ και ρί α να α να φερ θούν ο ρι σμέ να στοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΙ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ WHERE S THE FLAVOR?

Ο ΡΟΙ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ WHERE S THE FLAVOR? Ο ΡΟΙ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΣΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ WHERE S THE FLAVOR? 1. H ανω νυµη εταιρει α µε την επωνυµι α «ΤΣΑΚΙΡΗΣ Προ τυπος Βιοµηχανι α Τροφι µων Snacks Α.Β.Ε.Ε» που εδρευ ει στην Αταλα ντη Φθιω τιδας, στη θε ση

Διαβάστε περισσότερα

11. 6. 98 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των L 166/45 Ο ΗΓΙΑ 98/26/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 19η Μα ου 1998 σχετικ µε το αµετ κλητο του διακανονισµο στα συστ µατα

Διαβάστε περισσότερα

L 136/1 I (Πρ ξει για την ισχ των οπο ων απαιτε ται δηµοσ ευση) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 1073/1999 ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ τη 25η Μα ου 1999 σχετικ µε τι ρευνε που πραγµατοποιο νται απ την Ευρωπαϊκ Υπηρεσ

Διαβάστε περισσότερα

Ευχές του κ. Υπουργού Εθνικής Άµυνας για το Νέο Έτος

Ευχές του κ. Υπουργού Εθνικής Άµυνας για το Νέο Έτος Ευχές του κ. Υπουργού Εθνικής Άµυνας για το Νέο Έτος Mέ σα α πό αυ τό το µή νυ µα α πευ θύ νω σε ό λο το προσω πι κό των Ε νό πλων υ νά µε ων, άν δρες και γυ ναί κες, χαι ρε τι σµό τι µής και α να γνώ

Διαβάστε περισσότερα

Πε ρι γραφή των τραυ μα τι σμών στην Ι λιά δα του Ο μή ρου

Πε ρι γραφή των τραυ μα τι σμών στην Ι λιά δα του Ο μή ρου Πε ρι γραφή των τραυ μα τι σμών στην Ι λιά δα του Ο μή ρου Η Ι λιά δα, ως ε πι κό ποί η μα, δεν είναι μό νο το πρώ το δείγ μα ελ λη νι κής γρα φής, αλ λά και το πρώ το γρα πτό ελ λη νι κό κεί με νο για

Διαβάστε περισσότερα

L 83/1 Ι (Πρ ξει για την ισχ των οπο ων απαιτε ται δηµοσ ευση) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 659/1999 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 22α Μαρτ ου 1999 για τη θ σπιση λεπτοµερ ν καν νων εφαρµογ του ρθρου 93 τη συνθ κη ΕΚ ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πο λι τι κή και Στρατη γι κή

Πο λι τι κή και Στρατη γι κή Πο λι τι κή και Στρατη γι κή Σχέ ση Υψη λής και Στρα τιω τι κής Στρα τη γι κής Η γρα πτή ι στο ρί α του κό σμου εί ναι, κα τά το πλεί στον, η ι στο ρί α του πο λέ μου, δε δο μέ νου ό τι τα κρά τη στα ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ 2 - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2008

ΤΕΥΧΟΣ 2 - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΕΥΧΟΣ 2 - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΠΡΩΤΟΒΟΥΛΙΑ ΑΥΤΟ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ (Π.Α.Κ.ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ) ΤΕΥΧΟΣ 2 - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΙΑΝΕΜΕΤΑΙ ΩΡΕΑΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΤΟ ΝΟΜΟ: ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Äïýêáò Ðáíáãéþôçò

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ Αριθμ.

Διαβάστε περισσότερα

Οι τη λε πι κοι νω νί ες που χρη σι μο ποιούν ως μέ σο τις γραμμές η λε κτρι κής ι σχύ ος ό σο και τις άλ λες τύ που ψη φια κού συν δρομη τή, ε

Οι τη λε πι κοι νω νί ες που χρη σι μο ποιούν ως μέ σο τις γραμμές η λε κτρι κής ι σχύ ος ό σο και τις άλ λες τύ που ψη φια κού συν δρομη τή, ε Οι τη λε πι κοι νω νί ες που χρη σι μο ποιούν ως μέ σο τις γραμμές η λε κτρι κής ι σχύ ος ό σο και τις άλ λες τύ που ψη φια κού συν δρομη τή, ε μπλέκουν τε χνο λο γί ες που χρη σι μο ποιούν το υ πάρ χον

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΩΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΘΕΣΜΟΣ

Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΩΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΘΕΣΜΟΣ Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΩΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΘΕΣΜΟΣ 1. ÈÛ ÁˆÁ Οπως ήδη τον ορίσαμε, κοινωνικ ς θεσμ ς είναι ένα παγιωμένο πλέγμα σχέσεων μεταξ κοινωνικών ρ λων. Η παρξή του συνδέεται με την επιδίωξη εν ς (τουλάχιστον) κοινωνικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕ ΝΤΡΑ Α ΠΟ ΚΑ ΤΑ ΣΤΑ ΣΗΣ Α ΠΩ ΛΕΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ (ΚΑ ΑΥ)

ΚΕ ΝΤΡΑ Α ΠΟ ΚΑ ΤΑ ΣΤΑ ΣΗΣ Α ΠΩ ΛΕΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ (ΚΑ ΑΥ) ΚΕ ΝΤΡΑ Α ΠΟ ΚΑ ΤΑ ΣΤΑ ΣΗΣ Α ΠΩ ΛΕΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ () Τα Κέ ντρα Α πο κα τά στα σης Α πω λειών Υ γεί ας () έ χουν ι δρυ θεί σε πα ρα θαλάσσιες πε ριο χές του Ελ λα δι κού χώ ρου, εί ναι Στρα τιω τι κές Μο νά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Διπλωματική Εργασία

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Διπλωματική Εργασία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ (VLSI DESIGN) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Α Γ Ε Ν Ι Ν Ε Υ Τ Ω Ν Μ Ε Τ Ω Ν Τ Α Ν Ω Ν Υ Μ Γ Ε Ν Ι Ε Τ Α Ι Α Τ Μ Ε Ν Τ Ω Ν ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΚΤ IKΗΣ ΚΗΣ ΣΥ ΛΕ ΣΗΣ ΟΧ ΗΣ ΟΥ ΚΗΣ ΡΙ Σ ΣΙ ΗΡΑ ΚΛΗΣ Σύµφωνα µε το Νό µο 2190/1920 και το άρ θ ρ ο 26 του Καταστατι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2013. Το μαθητικο περιοδικο του Γ/Λ «Αριστοτε λης» Το μαθητικό περιοδικό του Γυμνασίου/Λυκείου «Αριστοτέλης» ALORS, C EST LA GUERRE!

ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2013. Το μαθητικο περιοδικο του Γ/Λ «Αριστοτε λης» Το μαθητικό περιοδικό του Γυμνασίου/Λυκείου «Αριστοτέλης» ALORS, C EST LA GUERRE! ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2013 Το μαθητικο περιοδικο του Γ/Λ «Αριστοτε λης» Το μαθητικό περιοδικό του Γυμνασίου/Λυκείου «Αριστοτέλης» ALORS, C EST LA GUERRE! τα νέα από τη διεύθυνση Διόρθωση/ επιμέλεια κειμένων Ειρήνη

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Πέ ρα σαν ε βδο μή ντα πέ ντε χρόνια

Πέ ρα σαν ε βδο μή ντα πέ ντε χρόνια ΤΑΓ ΜΑ ΤΑΡ ΧΗΣ ΙΩ ΑΝ ΝΗΣ ΒΕ ΛΙΣ ΣΑ ΡΙΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανχης (ΕΜ) ε.α Χρήστος Μπούκλας Πέ ρα σαν ε βδο μή ντα πέ ντε χρόνια α πό τον η ρω ι κό θά να το του Κυ μαί ου «Ή ρω α των Η ρώ ων» Ιω άν νη

Διαβάστε περισσότερα

Αυ χε ναλ γί α: Διαγνωστική προσέγγιση και θεραπευτικοί χειρισμοί

Αυ χε ναλ γί α: Διαγνωστική προσέγγιση και θεραπευτικοί χειρισμοί Α να σκό πη ση EΛΛΗΝΙΚΗ ΡΕΥΜΑΤΟΛΟΓΙΑ 2006,17(1):65-76 Αυ χε ναλ γί α: Διαγνωστική προσέγγιση και θεραπευτικοί χειρισμοί Ι. ΜΥ ΡΙΟ ΚΕ ΦΑ ΛΙ ΤΑ ΚΗΣ Σ. ΚΑ ΡΟ ΓΙΑΝ ΝΗ Μ. ΜΠΑ ΣΤΑ ΚΗΣ ΠΕ ΡΙ ΛΗ ΨΗ Η αυ χε ναλ

Διαβάστε περισσότερα

Avocat/Advocaat/Rechtsanwalt. Abogado/Advocat/Avogado/ Abokatu

Avocat/Advocaat/Rechtsanwalt. Abogado/Advocat/Avogado/ Abokatu L 77/36 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των 14. 3. 98 Ο ΗΓΙΑ 98/5/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 16η εβρουαρ ου 1998 για τη διευκ λυνση τη µ νιµη σκηση του δικηγορικο επαγγ

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2006 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π. Χριστοδουλίδη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Β ΤΑΞΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Β ΤΑΞΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Β ΤΑΞΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Κε µενο διδαγµ νο απ το πρωτ τυπο Λυσ ου π ρ Μαντιθ ου, 1-3 1 Ε µ συν δη, βουλ, το ς κατηγ ροις βουλοµ νοις κ παντ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΠΟ ΛΟ ΓΙ ΣΜΟΣ ΣΥΜ ΜΕ ΤΟ ΧΗΣ ΕΛ ΛΗ ΝΙ ΚΟΥ ΜΗ ΧΑ ΝΙ ΚΟΥ ΣΤΗΝ Α ΝΑ ΣΥ ΓΚΡΟ ΤΗ ΣΗ ΤΟΥ ΑΦ ΓΑ ΝΙ ΣΤΑΝ

Α ΠΟ ΛΟ ΓΙ ΣΜΟΣ ΣΥΜ ΜΕ ΤΟ ΧΗΣ ΕΛ ΛΗ ΝΙ ΚΟΥ ΜΗ ΧΑ ΝΙ ΚΟΥ ΣΤΗΝ Α ΝΑ ΣΥ ΓΚΡΟ ΤΗ ΣΗ ΤΟΥ ΑΦ ΓΑ ΝΙ ΣΤΑΝ Α ΠΟ ΛΟ ΓΙ ΣΜΟΣ ΣΥΜ ΜΕ ΤΟ ΧΗΣ ΕΛ ΛΗ ΝΙ ΚΟΥ ΜΗ ΧΑ ΝΙ ΚΟΥ ΣΤΗΝ Α ΝΑ ΣΥ ΓΚΡΟ ΤΗ ΣΗ ΤΟΥ ΑΦ ΓΑ ΝΙ ΣΤΑΝ Συ νο πτι κή πα ρου σί α ση των έρ γων, ερ γα σιών και κα τα σκευών για το χρο νι κό διά στη µα Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΚΛΗΣΗ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΤΕΙ ΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΠΡΟΣΟΧΗ

ΠΑΡΑΚΛΗΣΗ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΤΕΙ ΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΙΟΥΛΙΟΣ - ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011, ΤΕΥΧΟΣ 65 διάλογος ΘΕΡΜΗ ΠΑΡΑΚΛΗΣΗ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΤΕΙ ΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Θά θέ λα με νά σᾶς ἐ νη με ρώ σου με ὅ τι τό πε ρι ο δι κό μας, «Δι ά λο γος», κυ κλοφο ρεῖ σέ 6.000 ἀν τί

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΡΩΝ ΠΑΪΣΙΟΣ Ο ΑΓΙΟΡΕΙΤΗΣ (1924-1994) Ὁ Ἀσυρµατιστής τοῦ Στρατοῦ καί τοῦ Θεοῦ

ΓΕΡΩΝ ΠΑΪΣΙΟΣ Ο ΑΓΙΟΡΕΙΤΗΣ (1924-1994) Ὁ Ἀσυρµατιστής τοῦ Στρατοῦ καί τοῦ Θεοῦ ΓΕΡΩΝ ΠΑΪΣΙΟΣ Ο ΑΓΙΟΡΕΙΤΗΣ (1924-1994) Ὁ Ἀσυρµατιστής τοῦ Στρατοῦ καί τοῦ Θεοῦ Ôïõ Ó ç (ÔÈ) ÊáñáÀ óêïõ Äçìçôñßïõ EPIMELEIA SPA/TEP ÅðéëåãìÝíá êåöüëáéá áðü ôü ìüëéò åêäïèýí âéâëßï ôïõ ÉåñïìïíÜ ïõ ÉóáÜê

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ

ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ 1 ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Ή ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΛΕΞΕΩΝ 1.1 ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΣΥΛΛΑΒΗ ΟΔΗΓΙΕΣ στο παιδί: Κάθε φορά θα σου λέω δυο μικρές λέξεις. Εσύ θα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγικές Ελέγχου του Ρομποτικού Χεριού BarrettHand

Στρατηγικές Ελέγχου του Ρομποτικού Χεριού BarrettHand Α Π Θ Π Σ Τ Η Μ Μ Υ Δ Ε Στρατηγικές Ελέγχου του Ρομποτικού Χεριού BarrettHand Εκπόνηση Ια σων Σ Επιβλ. Καθηγήτρια Ζωη Δ Θεσσαλονι κη Μα ρτιος 2015 Στη μνήμη του πατέρα μου, Χρήστου, που δεν του δόθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ανα πτυξη εφαρμογών για τον κινητο παγκο σμιο ιστο

Ανα πτυξη εφαρμογών για τον κινητο παγκο σμιο ιστο Ανα πτυξη εφαρμογών για τον κινητο παγκο σμιο ιστο Δρ. Α. Κομνηνο ς Τμη μα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικη ς Πανεπιστη μιο Πατρών Μα ιος 2013 Εισαγωγη Σκοπο ς του WWW: Δια χυση της πληροφορι ας Τρο πος δια

Διαβάστε περισσότερα

340 τη 11. 12. 1997, σ. 1).

340 τη 11. 12. 1997, σ. 1). L 7/23 ΑΠΟ ΑΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 14η εκεµβρ ου 1998 για τη θ σπιση πολυετο προγρ µµατο για την προ θηση τη διεθνο συνεργασ α στον τοµ α τη εν ργεια (1998-2002) (1999/23/ΕΚ) ΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΟΗΜΕΡΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΟΗΜΕΡΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΟΗΜΕΡΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΛΟΓΟΣ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΣΧΟΛΕΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΔΙΑΛΟΓΟΣ ΜΕ ΔΙΕΥΘΥΝΟΝΤΕΣ-ΟΥΣΕΣ ΟΣ, 24/2/14

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισµένη Εγγ ηση της Lenovo

Περιορισµένη Εγγ ηση της Lenovo Περιορισµένη Εγγ ηση της Lenovo L505-0010-01 04/2008 Η παρο σα Περιορισµένη Εγγ ηση της Lenovo ισχ ει µ νο για προϊ ντα υλικο εξοπλισµο µε εµπορική επωνυµία Lenovo τα οποία αγοράσατε για δική σας χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΩΤΙΟΣ Ζ. ΛΟΥΚΟΣ Μ Δ Π Δ Σ Ο ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Επιβλε πουσα: Ελε νη Καρατζα, Καθηγη τρια ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Δεκε μβριος 2013

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Πολιτική Οικονοµία, Μαρξιστική

Κλασική Πολιτική Οικονοµία, Μαρξιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κλασική Πολιτική Οικονοµία, Μαρξιστική Πολιτική Οικονοµία και Οικονοµικά 2.1. ÔÏÈÙÈÎ ÈÎÔÓÔÌ : appleúòùë ÂÎ Ô Ì ÙÔÙÂÏÔ ÂappleÈÛÙ ÌË ÙˆÓ ÔÈÎÔÓÔÌÈÎÒÓ Û ÛÂˆÓ Εως τώρα απαντήθηκε το πρώτο ερώτηµα

Διαβάστε περισσότερα

BS-211. Aνιχνευτής καπνο δέσμης 10-100m (με καθρέπτη). Οδηγίες εγκατάστασης χρήσης

BS-211. Aνιχνευτής καπνο δέσμης 10-100m (με καθρέπτη). Οδηγίες εγκατάστασης χρήσης BS-211 Aνιχνευτής καπνο δέσμης 10-100m (με καθρέπτη). Οδηγίες εγκατάστασης χρήσης Σελίδα 2 απ 7 Περιεχ μενα Περιγραφή...2 Τρ πος λειτουργίας...2 Επιλογή της κατάλληλης θέσης για την τοποθέτηση του ανιχνευτή...3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 2014

ΕΜΒΟΛΙΑΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 2014 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Διαβάστε τους πίνακες σε συνδυασμό με τις σημειώσεις. 2. Η χρήση πολυδυνάμων εμβολίων βοηθά τον γιατρό. 3. Το εμβόλιο ηπατίτιδας Β καλό είναι να γίνεται από τη γέννηση.αν γίνει αργότερα,

Διαβάστε περισσότερα

Σκο πός του πα ρό ντος άρ θρου είναι η σε γε νι κές γραμ μές πα ρου σί α ση

Σκο πός του πα ρό ντος άρ θρου είναι η σε γε νι κές γραμ μές πα ρου σί α ση ΤΟ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟ ASD S2000M International Specification for Materiel Management Integrated Data Processing for Military Equipment ΚΕΙΜΕΝΟ: Λγος (ΥΠ) Πα να γιώ της Γκιώ νης Εφ. Αν θλγος (ΥΠ) Κων στα ντί νος

Διαβάστε περισσότερα

11. 30: Μετάβαση και επί σκεψη στο Μακεδονι κό Μουσεί ο Σύγχρονης Τέχνης ( Διεθνής Έκθεση ).

11. 30: Μετάβαση και επί σκεψη στο Μακεδονι κό Μουσεί ο Σύγχρονης Τέχνης ( Διεθνής Έκθεση ). Ε Λ Λ Η ΝΙ Κ Η Η Μ ΟΚ Ρ Α ΤΙ Α ΥΠΟΥΡΓΕΙ Ο ΠΑΙ ΕΙ ΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙ ΦΕΡΕΙ ΑΚΗ / ΝΣΗ Π/ ΘΜΙ ΑΣ & / ΘΜΙ ΑΣ ΕΚΠ/ ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙ ΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙ ΑΣ / ΝΣΗ / ΘΜΙ ΑΣ ΕΚΠ/ ΣΗΣ Ν. ΗΜΑΘΙ ΑΣ 2 ο ΓΥΜΝΑΣΙ Ο ΝΑΟΥΣΑΣ Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ ΕΣΑΙΡΕΙΩΝ ΠΟΤ ΕΛΕΓΧΟΝΣΑΙ ΑΠΟ ΟΡΚΩΣΟΤ ΕΛΕΓΚΣΕ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗ ΥΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΜΕΛΕΣΗ ΕΣΑΙΡΕΙΩΝ ΠΟΤ ΕΛΕΓΧΟΝΣΑΙ ΑΠΟ ΟΡΚΩΣΟΤ ΕΛΕΓΚΣΕ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗ ΥΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΛΕΣΗ ΕΣΑΙΡΕΙΩΝ ΠΟΤ ΕΛΕΓΧΟΝΣΑΙ ΑΠΟ ΟΡΚΩΣΟΤ ΕΛΕΓΚΣΕ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗ ΥΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΙΚΗ ΚΑΙ ΥΡΗΜΑΣΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θέμα πηςσιακήρ επγαζίαρ:

Διαβάστε περισσότερα

http://www.epil.gr Φροντιστήριο «ΕΠΙΛΟΓΗ» Ιατροπούλου 12 & σιδ. Σταθµού - Καλαµάτα τηλ.: 27210-95352 & 96390

http://www.epil.gr Φροντιστήριο «ΕΠΙΛΟΓΗ» Ιατροπούλου 12 & σιδ. Σταθµού - Καλαµάτα τηλ.: 27210-95352 & 96390 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α. τι πρ πει να ορ σουµε ν µου για την παιδε α και τι

Διαβάστε περισσότερα

Όροι Συμμετοχής στον διαγωνισμό Ξέρεις από Πήλιο;

Όροι Συμμετοχής στον διαγωνισμό Ξέρεις από Πήλιο; Όροι Συμμετοχής στον διαγωνισμό Ξέρεις από Πήλιο; 1. Διοργανωτής διαγωνισμού Η εταιρεία ΜΙΝΤ-ΙΣΤ Ε.Π.Ε. Γραφείο Ταξιδίων και Τουρισμού, που εδρεύει στην Αθήνα, Λεωφ. Βασ. Σοφίας 105-107, Τ.Κ. 115 21 (εφεξής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

14 Ο ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

14 Ο ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ 14 Ο ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ 1-3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ (ΓΩΝΙΑ ΟΔΩΝ Γ' ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΚΑΙ ΑΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ) Ημερήσιο Σεμινάριο Προπονητικής Βόλεϊ Ημερήσιο Σεμινάριο

Διαβάστε περισσότερα

Σημασιολογική ανάλυση πολυμεσικού

Σημασιολογική ανάλυση πολυμεσικού ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Θ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ Ηλεκτρολο γου Μηχανικου & Μηχανικου

Διαβάστε περισσότερα

ÅÐÁËÇÈÅÕÓÇ ÔÇÓ ÁÑ ÁÉÁÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ ÕÐÏËÏÃÉÓÔÙÍ

ÅÐÁËÇÈÅÕÓÇ ÔÇÓ ÁÑ ÁÉÁÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ ÕÐÏËÏÃÉÓÔÙÍ ÅÐÁËÇÈÅÕÓÇ ÔÇÓ ÁÑ ÁÉÁÓ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÁÓ ÕÐÏËÏÃÉÓÔÙÍ 2.300 ἐ τῶν γρα νά ζι ἀ να κα λύ πτε ται στὴ Σαρ δη νί α Εἶ ναι πα λαι ό τε ρο τοῦ Ὑ πο λο γι στῆ τῶν Ἀν τι κυ θή ρων να μι κρὸ κομ μά τι ἑ νὸς μι κροῦ ὀ

Διαβάστε περισσότερα

Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος

Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος Τρίμηνη έκδοση της Ένωσης Γυμναστών Βορείου Ελλάδος Πρ. Κορομηλά 51, Τ.Κ. 546 22, Θεσσαλονίκη Κωδικός 6120 Ιανουάριος-Φεβρουάριος-Μάρτιος 2011 Τεύχος 40 Τιμή: 0,01 ISSN 1109-7450 Editorial Σε μια χρο νι

Διαβάστε περισσότερα

ÔÈÓfiÙÔappleÔ ÂıÓÈÎÈÛÌfi

ÔÈÓfiÙÔappleÔ ÂıÓÈÎÈÛÌfi KEΦAΛAIO 3 ÔÈÓfiÙÔappleÔ ÂıÓÈÎÈÛÌfi Στο βιβλίο του Banal Nationalism (1995) ο Billig ασχολείται µε το ζήτηµα του καθηµερινο εθνικισµο που περνά απαρατήρητος, και εστιάζει στον εθνικισµ των δυτικών κρατών

Διαβάστε περισσότερα

(Final)] Martin BANGEMANN

(Final)] Martin BANGEMANN L 77/8 EL Επ σηµη Εφηµερ δα των Ευρωπαϊκ ν Κοινοτ των 23. 3. 1999 Ο ΗΓΙΑ 1999/11/ΕΚ ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 8η Μαρτ ου 1999 για την προσαρµογ στην τεχνικ πρ οδο των αρχ ν ορθ εργαστηριακ πρακτικ πω καθορ ζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑ ΚΛΑΣΗΣ J/24 ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑ ΚΛΑΣΗΣ J/24 ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΣ Σ Κ Α Φ Ω Ν ΚΛΑΣΗΣ J/24 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑ ΚΛΑΣΗΣ J/24 Α ΦΑΣΗ 17 19 2015 ΝΑΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΕΛΛΑ ΟΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 1. ΙΟΡΓΑΝΩΣΗ Ο Ναυτικός Οµιλος Ελλάδος σε συνεργασία µε τον Ελληνικό Σύνδεσµο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Ει σα γω γή στην εμ βιoμη χα νι κή Γλωσ σά ρι εμβιoμη χα νι κής

Ει σα γω γή στην εμ βιoμη χα νι κή Γλωσ σά ρι εμβιoμη χα νι κής Ε ρευ νη τι κή Θέ μα ει δικoύ εργα σί α εν δια φέρoντoς EΛΛΗΝΙΚΗ ΡΕΥΜΑΤΟΛΟΓΙΑ 2005,16(4):294-301 2005,16(4):294- Ει σα γω γή στην εμ βιoμη χα νι κή Γλωσ σά ρι εμβιoμη χα νι κής Δ.Ι. ΓOΥ ΛΕΣ Η ε πε ξή γη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικ ς θεωρ ες εν δρ σει. Εννοιολογικός και ιδεολογικός μετασχηματισμός

Κοινωνικ ς θεωρ ες εν δρ σει. Εννοιολογικός και ιδεολογικός μετασχηματισμός Κοινωνικ ς θεωρ ες εν δρ σει Εννοιολογικός και ιδεολογικός μετασχηματισμός ιόρθωση: Μαρ α Αποστολοπούλου Ηλ. επεξεργασ α: Μαρ α Παπαδ κη Εξ φυλλο: ΜΟΤΙΒΟ Α.Ε. 2010 Εκδόσεις Τόπος & Αντ νης Γεωργούλας [Οι

Διαβάστε περισσότερα

Το Άτοµο και η Ευρωπαϊκή Ένωση

Το Άτοµο και η Ευρωπαϊκή Ένωση 3η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Το Άτοµο και η Ευρωπαϊκή Ένωση Στη Γ θεµατική εν τητα δίνεται η ευκαιρία στους µαθητές να γνωρίσουν την Ευρωπαϊκή Ένωση. Η θεµατική αυτή χωρίζεται σε δ ο εν τητες µε τα ακ λουθα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

τρία µεταλλικά συστήµατα: 1) ο καν νας του δι- µεταλλισµο (Γαλλία, Bέλγιο, Iταλία, Eλβετία, HΠA), αργ ρου καθαρ τητας 9/10, που ένα ψήγµα ισο ται

τρία µεταλλικά συστήµατα: 1) ο καν νας του δι- µεταλλισµο (Γαλλία, Bέλγιο, Iταλία, Eλβετία, HΠA), αργ ρου καθαρ τητας 9/10, που ένα ψήγµα ισο ται θαρ τητα του νοµίσµατος. H υποτίµηση εν ς νοµίσµατος συσχετιζ ταν µε τη µείωση της ποσ τητας του µετάλλου που περιείχε το ν µισµα. Kατά το µεγαλ τερο µέρος του 19ου αιώνα κυριάρχησαν τρία µεταλλικά συστήµατα:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002. Κε µενο διδαγµ νο απ το πρωτ τυπο Λυσ ου π ρ Μαντιθ ου, 7-8

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002. Κε µενο διδαγµ νο απ το πρωτ τυπο Λυσ ου π ρ Μαντιθ ου, 7-8 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 Κε µενο διδαγµ νο απ το πρωτ τυπο Λυσ ου π ρ Μαντιθ ου, 7-8 7 µ το νυν ο δε ς ν ποδε ξειεν ο τ' πενεχθ ντα π τ ν φυλ ρχων ο τε

Διαβάστε περισσότερα

KABAΛΑ...πο λη μαγικη

KABAΛΑ...πο λη μαγικη KABAΛΑ...πο λη μαγικη Ε να αμφιθε ατρο γεμα το ζωντα νια. Απο το ο ρος Συ μβολο σε υπε ροχες παραλι ες. Αρχο ντισσα της Μακεδονι ας. Τη λα τρεψαν επισκε πτες, περιηγητε ς, ξε νοι και Ε λληνες. Τη λα τρεψαν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Κε µενο διδαγµ νο απ το πρωτ τυπο Λυσ ου π ρ Μαντιθ ου, 7-8 7 µ το νυν ο δε ς ν ποδε ξειεν ο τ' πενεχθ ντα π τ ν φυλ

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο 2 β Ββ βιβλίο 23

κεφάλαιο 2 β Ββ βιβλίο 23 Β ιλίο 23 Γράφω το Β, : Β ιλίο...... Β Β Β 1B2 3... 1 2............... Β Β.............................. 24 Χρωματίζω ό,τι αρχίζει από : 25 Χρωματίζω μόνο τα κομμάτια της εικόνας που έχουν. Τι λέπω; Βρίσκω

Διαβάστε περισσότερα

VITACUISINE Cocedero al vapor 3 en 1 Cozedura a vapor 3 em 1 Vaporiera Ατµοµ γειρα 3 σε 1

VITACUISINE Cocedero al vapor 3 en 1 Cozedura a vapor 3 em 1 Vaporiera Ατµοµ γειρα 3 σε 1 VITACUISINE Cocedero al vapor 3 en 1 Cozedura a vapor 3 em 1 Vaporiera Ατµοµ γειρα 3 σε 1 www.groupeseb.com 1 2 A 3 B 4 5 6 8 9 7 10 13 14 15 16 11 12 28 Σηµαντικέ συµβουλέ ιαβ στε προσεκτικ τι παρακ τω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Ο «ΚΥΚΛΟΣ» ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ

ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Ο «ΚΥΚΛΟΣ» ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Ο «ΚΥΚΛΟΣ» ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 Τι πρέπει να γνωρίζεις Θεωρία 6.1 Να αναφέρεις τις τρεις φυσικές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί ένα υλικό σώμα. Όπως και

Διαβάστε περισσότερα

01 Ἰουνίου 2014 ΚΥΡΙΑΚΗ Ζ ΑΠΟ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ

01 Ἰουνίου 2014 ΚΥΡΙΑΚΗ Ζ ΑΠΟ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ 01 Ἰουνίου 2014 ΚΥΡΙΑΚΗ Ζ ΑΠΟ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ Τῶν ἁγίων 318 θεοφόρων Πατέρων Ἰουστίνου µάρτυρος τοῦ φιλοσόφου καὶ ἑτέρου Ἰουστίνου καὶ τῶν σὺν αὐτῷ. Ἦχος πλ. βʹ. Ἑωθινὸν Ιʹ ʹΕἰς τόν Ὄρθρον. Ἦχος ου Θε ος Κυ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Αθήνα, 24/03/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ 21698/2015 ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ÚÔÛ ÁÁÈÛË ÙˆÓ ËÌÔÙÈÎÒÓ ÚÔÛ ÔÏÈÎÒÓ ÓÙÚˆÓ ÙÔ ƒ Ù ÈÔ Ì ÏÈ ÙË πù Ï

ÚÔÛ ÁÁÈÛË ÙˆÓ ËÌÔÙÈÎÒÓ ÚÔÛ ÔÏÈÎÒÓ ÓÙÚˆÓ ÙÔ ƒ Ù ÈÔ Ì ÏÈ ÙË πù Ï ÚÔÛ ÁÁÈÛË ÙˆÓ ËÌÔÙÈÎÒÓ ÚÔÛ ÔÏÈÎÒÓ ÓÙÚˆÓ ÙÔ ƒ Ù ÈÔ Ì ÏÈ ÙË πù Ï 2 37 Τ ο Ρέτζιο Εµίλια είναι µια π λη της Β ρειας Ιταλίας µε 130.000 κατοίκους, της οποίας το δηµοτικ εκπαιδευτικ σ στηµα προσχολικής αγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22379 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1577 6 Αυγούστου 2008 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Προσδιορισμός τυπικών και ουσιαστικών προσόντων του προσωπικού για τη στελέχωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ. ΕΙ ΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ αριθ. 19/98 (98/C 383/01) ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 15 5

ΕΛΕΓΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ. ΕΙ ΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ αριθ. 19/98 (98/C 383/01) ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 15 5 9.12.98 EL Επίσηµη Εφηµερίδα των Ευρωπαϊκω ν Κοινοτη των C 383/1 Ι (Ανακοινω σεις) ΕΛΕΓΚΤΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΕΙ ΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ αριθ. 19/98 σχετικά µε την κοινοτικη χρηµατοδ τηση ορισµε νων µε τρων που ελη φθησαν

Διαβάστε περισσότερα

Στην εν τητα αυτή θα περιγράψουµε το κοινωνικ και οικονοµικ πλαίσιο

Στην εν τητα αυτή θα περιγράψουµε το κοινωνικ και οικονοµικ πλαίσιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κοινωνικ Περιβάλλον και Υγεία Στην εν τητα αυτή θα περιγράψουµε το κοινωνικ και οικονοµικ πλαίσιο µελέτης της υγείας. Επίσης θα περιγραφεί και θα συζητηθεί η σχέση µεταξ της υγείας και της κοινωνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΓΛΩΣΣΑΣ ΦΩΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ. 1.1. Ικανότητα διάκρισης της ομοιότητας ή διαφοράς μεταξύ προφορικών λέξεων

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΓΛΩΣΣΑΣ ΦΩΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ. 1.1. Ικανότητα διάκρισης της ομοιότητας ή διαφοράς μεταξύ προφορικών λέξεων ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΓΛΩΣΣΑΣ ΦΩΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ 1. ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ 1.1. Ικανότητα διάκρισης της ομοιότητας ή διαφοράς μεταξύ προφορικών λέξεων 1.1.1. Ικανότητα επισήμανσης της ομοιότητας στη συλλαβή. 1. γάλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu.

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ ΠPOΛEOMENA This document is compiled from Greek texts borrowed from Perseus Digital Library 1 and drawings that I created with a geometrical drawing language named, fittingly to the

Διαβάστε περισσότερα