Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης"

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα ΣΔΕ 2 ης τάξης με Γραμμικούς Συντελεστές Γραφική Αναπαράσταση της Απόκρισης Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης σε Αρχικές Συνθήκες Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Σε Bηματική Διέγερση Σε Αρμονική Διέγερση Παραδείγματα

4 Οι ΣΔΕ που περιγράφουν συστήματα 2 ης τάξης ΣΔΕ 2 ης τάξης με Γραμμικούς Συντελεστές

5 Συστήματα και Γραμμικές ΣΔΕ 2 ης τάξης Ένα γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης Περιέχει 2 ανεξάρτητα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Περιγράφεται από 2 μεταβλητές κατάστασης Μ.Κ. x(t) ή 1 Β.Ε. q(t) Η σχέση μεταξύ μιας διέγερσης f(t) του συστήματος και μιας εξόδου ενδιαφέροντος y(t) περιγράφεται από μια γραμμική ΣΔΕ 2 ης τάξης με σταθερούς συντελεστές a 2 y t + a 1 Παρατηρήσεις: y(t) + a 0 y(t) = f(t) Η έξοδος y(t) είναι γραμμική συνάρτηση των Μ.Κ. y(t) = H x(t) ή του Β.Ε. q(t) Στην περίπτωση Μ διεγέρσεων f t = β 1 f 1 t + + β M f M (t) η ειδική λύση γίνεται με την ίδια μεθοδολογία μέσω επαλληλίας

6 Τυπικό Μηχανικό Σύστημα 2 ης τάξης Ένα γραμμικό μηχανικό σύστημα 2 ης τάξης (1 Β.Ε. q(t)) περιγράφεται από την δυναμική εξίσωση (μέσω εξισώσεων Lagrange): m q t + c q(t) + k q(t) = f(t) αδράνεια απόσβεση ελαστικότητα Εξωτερική διέγερση

7 Κανονική Μορφή ΣΔΕ 2 ης τάξης Κάθε ΣΔΕ 2 ης τάξης μπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη μορφή (διαιρώντας με την m): y t + 2 ζ ω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) H οποία περιγράφεται από 2 παραμέτρους: ζ είναι ο λόγος απόσβεσης (αδιάστατο μέγεθος) ω είναι η φυσική κυκλική συχνότητα (μονάδες: rad/sec) Στην περίπτωση του μηχανικού συστήματος του προηγούμενου slide ω 2 = k m ω = 2 ζ ω = c m ζ = k m c 2 k m

8 Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Ο υπολογισμός της χρονικής απόκρισης της εξόδου y(t) γίνεται μέσω της αναλυτικής λύσης του προβλήματος αρχικών συνθηκών (ΠΑΣ): Υπολογίστε την απόκριση y(t) σε μια διέγερση f(t) όταν τα y(t) και f(t) συνδέονται μέσω της ΣΔΕ y t + 2 ζ ω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) δεδομένης των αρχικών συνθηκών y 0 και y 0

9 Χρονικές Αποκρίσεις Η απόκριση y(t) μιας γραμμικής ΣΔΕ σε εξωτερική διέγερση f(t) και αρχικές συνθήκες ισούται (λόγω επαλληλίας) με το άθροισμα της απόκρισης y ΑΣ (t) σε Α.Σ. και της απόκρισης y ΕΔ (t) στην Ε.Δ.: y(t) = y ΑΣ t + y ΕΔ (t) y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = 0 y(0) = u 0 y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) y(0) = y 0 y(0) = y 0 y(0) = u 0 y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) y(0) = 0 y(0) = 0 y ΑΣ (t) y ΕΔ (t) y(t)

10 Πως παρουσιάζουμε την απόκριση μέσω γραφημάτων Γραφική Παράσταση της Απόκρισης Συστήματος 2 ης Τάξης

11 Τρόποι Γραφικής Αναπαράστασης της Απόκρισης Η παράσταση της απόκρισης μπορεί να γίνει με δύο κύριους τρόπους: 1. Η γραφική παράσταση της λύσης y(t) της ΣΔΕ Συνήθης πρακτική και στην παρουσίαση της λύσης ΣΔΕ 1 ης τάξης 2. To διάγραμμα φάσεων Γραφική παράσταση της y t ως συνάρτηση του y(t)

12 Διάγραμμα Φάσεων: Mεθοδολογία Υπολογισμού 1. Επιλύεται η ΣΔΕ (για ένα σετ Α.Σ. y 0, y 0 ) ώστε να υπολογιστεί η απόκριση y t, και από αυτήν η y t 2. Ορίζεται μια ακολουθία χρονικών σημείων t = t i, i = 1,2,, N. Το πρώτο σημείο είναι ο χρόνος t = t 1 = Yπολογίζονται οι τιμές y t i και y t i της απόκρισης στις Ν στιγμές t = t i. 4. Για κάθε t i αντιστοιχεί το σημείο (y t i, y t i ) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων y t (οριζόντιος άξονας) και y t (κατακόρυφος άξονας) 5. Για την ακολουθεία των Ν χρονικών στιγμών t i αντιστοιχούν τα Ν σημεία (y t i, y t i ) τα οποία (καθώς ο αριθμός των σημείων Ν αυξάνεται) αντιστοιχούν σε μια τροχιά, η οποία περιγράφει την απόκριση του συστήματος στο 2D χώρο y t i, y t i όταν το σύστημα ξεκινά από το σετ Α.Σ. y 0, y 0 6. Τα παραπάνω 5 βήματα επαναλαμβάνονται για διαφορετικά σετ Α.Σ. Για κάθε σετ Α.Σ προκύπτει μια διαφορετική τροχιά.

13 Διάγραμμα Φάσεων: Παράδειγμα y t y(t) + y(t) = 0 y(0) = 1 y t y t ΠΑΤ y(0) = 0 Επίλυση Απόκριση y t = e 0.75 t (cos 0.66 t sin 0.66 t ) Διάγραμμα Φάσεων Σημεία (y t i, y t i ) Υπολογισμός των y t i και y t i y(t) dy(t)/dt dy(t)/dt t dy(t)/dt t 5 t 6 t 4 t 8 t 7 t 3 t 2 t 1 = y(t) y t y(t) y t t

14 y t Διάγραμμα Φάσεων: Παράδειγμα Λύνοντας την απόκριση του ίδιου συστήματος από διαφορετικές Α.Σ. προκύπτει το ακόλουθο ΔΦ: Μπλέ: y(0) = 1, y(0) = 0 Πράσινο: y(0) = 0, y(0) = 1 Κόκκινο: y 0 = 1, y(0) = 0 Πορτοκαλί: y(0) = 0, y 0 = 1 dy(t)/dt yy(t) t

15 Υπολογισμός της y ΑΣ t Απόκριση σε Αρχικές Συνθήκες

16 Ομογενής Λύση Η αντίστοιχη ομογενής γραμμική ΣΔΕ είναι: y t + 2 ζ ω y(t) + ω 2 y(t) = 0 το αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Χ.Π.) είναι: λ ζ ω λ + ω 2 = 0 oι δύο ρίζες λ 1, λ 2 του Χ.Π. είναι οι ιδιοτιμές του συστήματος, και η ομογενής λύση στην γενική περίπτωση είναι: y h t = c 1 e λ1t + c 2 e λ 2t Ανάλογα με την τιμή του ζ διακρίνουμε περιπτώσεις: 1. Σύστημα χωρίς απόσβεση: ζ = 0 2. Σύστημα με υποκρίσιμη απόσβεση: 0 < ζ < 1 3. Σύστημα με υπερκρίσιμη απόσβεση: ζ > 1 4. Ασταθές σύστημα: ζ < 0

17 Ομογενής Λύση: 1) Μηδενική Απόσβεση Στην περίπτωση μηδενικής απόσβεσης (ζ = 0) οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι ένα ζευγάρι συζηγών φανταστικών αριθμών: λ 1,2 = ±ω j Ηομογενής λύση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t = C cos(ω t + φ) Ή ισοδύναμα: y h t = c 1 cos ω t + c 2 sin ω t Οι δύο παράμετροι της ομογενούς (είτε (C, φ) είτε (c 1, c 2 )) προκύπτουν από την y p t και τις Α.Σ. Η απόκριση y h t δεν αποσβαίνεται με τον χρόνο

18 Ομογενής Λύση: 1) Μηδενική Απόσβεση Στην απόκριση σε Α.Σ. δεν υπάρχει διέγερση επομένως y p t = 0 και y ΑΣ t = y t = y h t = c 1 cos ω t + c 2 sin ω t Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = (y 0 cos ω t + y 0 ω sin ω t ) Περιγράφει συστήματα που ταλαντώνονται χωρίς απόσβεση Η περίπτωση αυτή είναι καθαρά θεωρητική. ΌΛΑ τα πραγματικά συστήματα έχουν κάποια (έστω και λίγη) απόσβεση.

19 Ομογενής Λύση: 1) Μηδενική Απόσβεση Το σύστημα ταλαντώνεται αρμονικά. Όσο αυξάνεται η ω τόσο μικραίνει η περίοδος ταλάντωσης Τ = 2π ω και αυξάνεται η ταχύτητα y για ίδιες Α.Σ = 0, = 1 rad/sec = 0, = 2 rad/sec = 0, = 4 rad/sec 10 5 y(t) u(t) y t = 0, = 1 rad/sec = 0, = 2 rad/sec = 0, = 4 rad/sec time Απόκριση y(t) για διάφορες τιμές της ω για την ίδια Α.Σ y(t) Αντίστοιχα διαγράμματα φάσης

20 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Στην περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης (0 < ζ < 1) οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι ένα ζευγάρι συζηγών μιγαδικών αριθμών: λ 1,2 = ζ ω ± j ω Πραγματικό μέρος 1 ζ 2 τ 1 ± j ω d Φανταστικό μέρος Όπου το πραγματικό & το φανταστικό μέρος των λ 1,2 περιγράφεται από τις παραμέτρους: τ = ζ ω 1 έχει μονάδες χρόνου [sec] ω d = ω 1 ζ 2 είναι η κυκλική συχνότητα με απόσβεση [rad/sec]

21 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση H ομογενής λύση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t = γ e t τ cos(ω d t + φ) Ή ισοδύναμα y h t = e t τ (c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) Οι δύο παράμετροι της ομογενούς (είτε (γ, φ) είτε (c 1, c 2 )) προκύπτουν από την y p t και τις Α.Σ. Η περίπτωση αυτή περιγράφει συστήματα που λόγω περιορισμένης απόσβεσης ταλαντώνονται με κίνηση που αποσβένεται. Η συχνότητα ταλάντωσης ισούται με ω d Ο ρυθμός απόσβεσης της ταλάντωσης εξαρτάται από την τιμή της τ

22 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Στην απόκριση σε Α.Σ. δεν υπάρχει διέγερση επομένως y p t = 0 και y ΑΣ t = y t = y h t = e t τ (c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = e t τ (y 0 cos ω d t + y 0 + ζ ω y 0 ω d sin ω d t ) Η συνάρτηση αυτή περιγράφει μια συνάρτηση που ταλαντώνεται με κυκλική ω d που αποσβένεται λόγω της εκθετικής e t τ = e ζ ω t.

23 y t Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Η απόκριση y h t περιγράφει μια ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω d (περίοδο Τ) που αποσβένεται λόγω της εκθετικής e t τ = e ζ ω t. Z = ln y t t + T = 2πζ 1 ζ 2 Τ = 2π ω d Μέτρο απόσβεσης

24 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Για δεδομένο λόγο απόσβεσης ζ, όσο αύξάνεται η φυσική κυκλική συχνότητα ω τόσο πιο γρήγορη γίνεται η απόκριση του συστήματος x(t) y t x(t) y t Μικραίνει ο χρόνος τ και αποσβένονται γρηγορότερα οι ταλαντώσεις Αυξάνεται η ω d και μικραίνει η αντίστοιχη περίοδος ταλάντωσης Τ = = 0.4, = 1 = 0.4, = 2 = 0.4, = 4 u(t) π ω d = 0.4, = 1 = 0.4, = 2 = 0.4, = time yx(t) t

25 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Για δεδομένη φυσική κυκλ. συχνότητα ω, όσο ο λόγος απόσβεσης ζ αυξάνεται (τείνει στο 1) τόσο πιο γρήγορη γίνεται η απόκριση Μικραίνει ο χρόνος τ και αποσβένονται γρηγορότερα οι ταλαντώσεις, παρόλο που μικραίνει η ω d και αυξάνεται η αντίστοιχη περίοδος ταλάντωσης Τ = 2π ω d y t x(t) y t = 0.9, = 1 = 0.5, = 1 = 0.25, = = 0.9, = 1 = 0.5, = 1 = 0.25, = 1 x(t) 0 u(t) time yx(t) t

26 y t Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Διαγράμματα φάσης για διάφορες Α.Σ. Πάντα η απόκριση y ΑΣ t τείνει προς το σημείο y t, y t = (0,0) = 1, = 0.4 = 1, = dy(t)/dt y t y t y t = 1, = dy(t)/dt 0 dy(t)/dt y(t) y t y(t) y t y(t) y t

27 Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση Στην περίπτωση υπερκρίσιμης απόσβεσης (ζ > 1) οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι δύο αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί λ 1 και λ 2 : Η ομογενής λύση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t Οι παράμετροι (c 1,c 2 ) της ομογενούς προκύπτουν από την y p t και τις Α.Σ. Επειδή οι ιδιοτιμές είναι αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, η απόκριση y h t αποσβαίνεται με τον χρόνο Η περίπτωση αυτή περιγράφει συστήματα που περιέχουν σημαντική απόσβεση.

28 Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση Στην απόκριση σε Α.Σ. δεν υπάρχει διέγερση επομένως y p t = 0 και y ΑΣ t = y t = y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = 1 λ 1 λ 2 (y 0 ( λ 2 e λ 1t + λ 1 e λ 2t ) + y 0 (e λ 1t e λ 2t )) Η συνάρτηση αυτή περιγράφει κίνηση που αποσβένεται εκθετικά χωρίς ταλάντωση.

29 y t Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση H διάρκεια της απόκρισης καθορίζεται από την πιο αργή ιδιοτιμή: min{ λ i } Όσο αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ, τόσο πιο αργό γίνεται το σύστημα τόσο περισσότερο διαφέρουν οι δύο ιδιοτιμές y(t) = 1.2, = 1 rad/sec = 2, = 1 rad/sec = 4, = 1 rad/sec time u(t) = 1.2, = 1 rad/sec = 2, = 1 rad/sec = 4, = 1 rad/sec y(t)

30 = 1, = 2 = 1, = y t y t y t Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση Διαγράμματα φάσης για διάφορες Α.Σ. Πάντα η απόκριση y ΑΣ t τείνει προς το σημείο y t, y t = (0,0) = 1, = dy(t)/dt 0 dy(t)/dt 0 dy(t)/dt y(t) y t y(t) y t y(t) y t

31 Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση y t Διαγράμματα φάσης για διάφορες Α.Σ. Πάντα η απόκριση y ΑΣ t τείνει προς το σημείο y t, y t y t = (0,0) 1 1 = 1, = = 2, = dy(t)/dt y t = 0.5, = dy(t)/dt 0 dy(t)/dt y(t) y t y(t) y t y(t) y t

32 Ομογενής Λύση: 3*)Υπερκρίσιμη Απόσβεση Ειδική περίπτωση: όταν ζ = 1 τότε το Χ.Π. έχει μια διπλή ρίζα λ 1 οπότε η ομογενής αποκριση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 t e λ 1t Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = (y 0 (1 λ 1 t) + y 0 t) e λ 1t Η συνάρτηση αυτή επίσης περιγράφει κίνηση που αποσβένεται εκθετικά χωρίς ταλάντωση.

33 Ομογενής Λύση: 4) Ασταθές Σύστημα Στην περίπτωση ζ < 0 οι ιδιοτιμές του συστήματος περιέχουν θετικά πραγματικά μέρη, επομένως η ομογενής λύση y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t τείνει στο άπειρο καθώς αυξάνεται ο χρόνος t: lim t y h t = Η απόκριση αυτή περιγράφει ένα ασταθές σύστημα

34 Ομογενής Λύση: 4) Ασταθές Σύστημα Η απόκριση y h t πάντα ξεφεύγει και τείνει στο άπειρο. y t y t Παραδείγματα απόκρισης ασταθών συστημάτων από Α.Σ. y 0 = 1, y 0 = 0 y(t) = -0.3, = 1 rad/sec = -0.5, = 0.5 rad/sec = -0.14, = 2.5 rad/sec t dy(t)/dt = 0.5, = y(t) y t

35 Απόκριση σε Αρχικές Συνθήκες: Σημείο Ισορροπίας Το μοναδικό σημείο ισορροπίας σε ένα γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης (ανεξάρτητα από τα ζ, ω) χωρίς εξωτερικές διεγέρσεις είναι: y = 0 y = 0 Το σημείο ισορροπίας αντιστοιχεί στην αρχή των αξόνων του Δ.Φ. Ευσταθές σύστημα (ζ > 0): η απόκριση τείνει προς στο σημείο ισορροπίας Ασταθές σύστημα (ζ < 0): η απόκριση αποκλίνει από το σημείο ισορροπίας

36 Ιδιοτιμές Ενός Συστήματος 2 ης Τάξης (1 Β.Ε.) Οι ιδιοτιμές λ i δίνουν πληροφορίες σχετικά με το σύστημα Im(λ i ) 1. Είδος & ταχύτητα απόκρισης Πραγματικό μέρος: εκθετικός παράγοντας Φανταστικό μέρος: αρμονικός παράγοντας ζ>1 x x 0<ζ<1 x x ζ=0 x ζ<0 Re(λ i ) 2. Ευστάθεια συστήματος Ευστάθεια: Re λ i < 0, i Αστάθεια: Re λ i > 0 x x x Ευστάθεια Αστάθεια

37 Ιδιοτιμές Ενός Συστήματος 2 ης Τάξης (1 Β.Ε.) Πως μεταβάλονται οι ιδιοτιμές ενός συστήματος 2 ης τάξης καθώς αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ: ζ < 0: ιδιοτιμές έχουν Re λ i > 0 0<ζ<1 ζ=1 x ζ=0 x Im(λ i ) ζ<0 0 ζ 1: οι λ i βρίσκονται πάνω σε κύκλο ακτίνας ω ζ>1 x x x Re(λ i ) ζ > 1: πραγματικές ιδιοτιμές Im λ i = 0 x x Ευστάθεια Αστάθεια

38 Ιδιοτιμές Ενός Συστήματος 2 ης Τάξης (1 Β.Ε.) Πως μεταβάλονται οι ιδιοτιμές ενός συστήματος 2 ης τάξης καθώς αυξάνεται η κυκλ. συχνότητα ω: Αυξάνεται η ακτίνα του κύκλου πάνω στον οποίο βρίσκονται τα λ i για 0 ζ 1 Πιο γρήγορη απόκριση ω 1 ω 3 ω 2 ω 4 Im(λ i ) Re(λ i ) ω 4 > ω 3 > ω 2 > ω 1 Ευστάθεια Αστάθεια

39 Υπολογισμός της y ΕΔ t Απόκριση σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων

40 Απόκριση σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Η απόκριση y ΕΔ t ενός συστήματος 2 ης τάξης σε εξωτερικές διεγέρσεις (μηδενικές Α.Σ. y 0 = y(0) = 0) περιέχει ομογενή & ειδική λύση: y t = y h t + y p t = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t + y p t Προσοχή! H ομογενής λύση ΔΕΝ είναι εξ ορισμού μηδενική (y h t 0) όταν οι Α.Σ. είναι μηδενικές! Η παράμετροι της y h t υπολογίζεται με βάση την y p t και τις Α.Σ. Η απόκριση y ΕΔ t έχει νόημα και ενδιαφέρον μόνο σε ευσταθή συστήματα (ζ > 0) Όταν ζ < 0 τότε y h t και το σύστημα αποκλίνει Όταν ζ > 0 τότε μετά την μεταβατική απόκριση y h t 0 και y t y p t

41 Απόκριση σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Εστιάζουμε στην απόκριση σε τρία μοντέλα εξωτερικών διεγέρσεων 1. Απόκριση σε βηματική διέγερση Χρήσιμη για περιγραφή μεταβατικών φαινομένων Βάση για τον υπολογισμό της απόκρισης σε κρουστική διέγερση, διέγερση ράμπα, διέγερση παλμό κτλ 2. Απόκριση σε κρουστική διέγερση Χρήσιμη για περιγραφή μεταβατικών φαινομένων Προκύπτει από την απόκριση σε βηματική διέγερση 3. Απόκριση σε αρμονική διέγερση Χρήσιμη για την ανάλυση απόκρισης συχνότητας Βάση για τον υπολογισμό της απόκρισης σε περιοδικές και τυχαίες διεγέρσεις

42 1) Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Στην περίπτωση βηματικής διέγερσης f t = u s t αναζητείται ειδική λύση: y p t = C t κ u s t Όπου κ είναι η πολλαπλότητα της κρίσιμης ιδιοτιμής Λ = 0 Αν το σύστημα δεν έχει ιδιοτιμή λ i = 0 (οπότε κ = 0) τότε y p t = C u s t Αντικαθιστώντας την y p t στην ΣΔΕ προκύπτει y p t + 2ζω y p t + ω 2 y p t = f(t) C ω 2 = 1 C = ω 2 Οπότε η ειδική λύση είναι y p t = u s t και η συνολική λύση είναι: y ΕΔ t = h s (t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t + ω 2 u s t Οι σταθερές c 1 και c 2 θα προκύψουν από τις Α.Σ.

43 1) Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Αν το σύστημα δεν έχει ιδιοτιμή λ i = 0, εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 = y(0) = 0 προκύπτει η απόκριση h s (t) σε βηματική διέγερση Μηδενική και Υποκρίσιμη απόκριση (0 ζ < 1) y ΕΔ t = h s (t) = ω 2 (1 e t τ (cos ω d t + Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ > 1) ζ 1 ζ 2 sin(ω d t))) y ΕΔ t = h s (t) = ω 2 (1 λ 2 e λ1 t + λ 1 e λ2 t ) λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ = 1) y ΕΔ t = h s (t) = ω 2 (1 e ω t (1 + ω t)) * Οι παραπάνω τύποι ισχύουν για t 0 οπότε ο όρος u s t παραλείπεται

44 1)Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Περίπτωση 0 < ζ < 0.7 Έντονη ταλάντωση γύρω από την τιμή μόνιμης κατάστασης Αργή απόκριση λόγω ταλάντωσης Έντονη υπερακόντηση πάνω από την τιμή μόνιμης κατάστασης h s (t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση = 0.25, = 1 rad/sec = 0.5, = 1 rad/sec t [sec]

45 1)Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Περίπτωση 0.7 < ζ < 1 Η πιο γρήγορη απόκριση για δεδομένο ω Για ζ 0.7 η ταλάντωση και υπερακόντηση είναι μικρές Για ζ 1 δεν υπάρχει ταλάντωση και υπαρακόντηση h s (t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση = 0.7, = 1 rad/sec 0.5 = , = 1 rad/sec = 1.1, = 1 rad/sec t [sec]

46 1)Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Περίπτωση ζ > 1 Εκθετική απόκριση χωρίς ταλάντωση και υπερακόντηση Καθώς αυξάνεται ο λόγος ζ η απόκριση γίνεται πιο αργή h s (t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση = 1.5, = 1 rad/sec = 2.5, = 1 rad/sec = 5.0, = 1 rad/sec t [sec]

47 1*) Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Στην ειδική περίπτωση που το σύστημα έχει την ιδιοτιμή λ i = 0 με πολλαπλότητα κ, η ειδική λύση για βηματική διέγερση είναι: y p t = C t κ u s t Η σταθερά C προκύπτει αντικαθιστώντας την y p t στην ΣΔΕ. Η απόκριση σε βηματική διέγερση (συνολική λύση) είναι: y ΕΔ t = h s t = c 1 + c 2 e λ2t + C t, κ = 1 y ΕΔ t = h s t = c 1 + c 2 t + C t 2, κ = 2 Οι σταθερές c 1 και c 2 προκύπτουν από τις Α.Σ.

48 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Επειδή η κρουστική διέγερση f t = δ t είναι η χρονική παράγωγος της βηματικής εισόδου f t = u s t, η απόκριση h(t) ενός συστήματος σε κρουστική διέγερση (μηδενικές Α.Σ.) θα είναι η παράγωγος της απόκρισης h s (t) σε βηματική διέγερση (μηδενικές Α.Σ.): h t = d dt h s(t)

49 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Αν το σύστημα δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή τότε η απόκριση h t σε κρουστική διέγερση εξαρτάται από τον λόγο απόσβεσης ζ: Μηδενική και Υποκρίσιμη απόκριση (0 ζ < 1) h(t) = 1 ω d e t τ sin(ω d t) Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ > 1) 1 h t = (e λ2 t e λ1 t ) λ 2 λ 1 Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ = 1) h(t) = t e ω t Για ζ > 0 (ευσταθές σύστημα) lim t h(t) = 0

50 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Περίπτωση 0 < ζ < 0.7 Έντονη ταλάντωση γύρω από την τιμή μόνιμης κατάστασης 0 Αργή απόκριση λόγω της ταλάντωσης h(t) 0.5 Μεταβατική απόκριση 1 0 Μόνιμη απόκριση = 0.25, = 1 rad/sec = 0.5, = 1 rad/sec t [sec]

51 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Περίπτωση 0.7 < ζ < 1 Η πιο γρήγορη απόκριση για δεδομένο ω Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση 0.6 = 0.7, = 1 rad/sec = 0.9, = 1 rad/sec 0.4 = 1.1, = 1 rad/sec h(t) t [sec]

52 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Περίπτωση ζ > 1 Καθώς αυξάνεται ο λόγος ζ η απόκριση γίνεται πιο αργή και τείνει προς μια εκθετική απόσβεση h(t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση 0.4 = 1.5, = 1 rad/sec = 2.5, = 1 rad/sec 0.3 = 5.0, = 1 rad/sec t [sec]

53 3) Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο Στην περίπτωση αρμονικής διέγερσης f t = cos(ω t + φ) u s (t) μοναδιαίου εύρους σε ένα σύστημα 2 ης τάξης που δεν έχει ιδιοτιμή την Λ = Ω j αναζητείται ειδική λύση: y p t = Γ cos Ω t + φ + Ψ u s t Αντικαθιστώντας την y p t στην ΣΔΕ και ομαδοποιώντας τους παράγοντες των cos Ωt + φ και sin(ωt + φ) προκύπτει ένα σύστημα 2 εξισώσεων από όπου προκύπτουν οι άγνωστοι παράμετροι Γ και Ψ ως συνάρτηση της κυκλικής συχνότητας Ω της διέγερσης και των παραμέτρων ζ και ω του συστήματος. 1 Γ(Ω) = (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 Ψ Ω = atan( 2ζωΩ ω 2 Ω 2)

54 3) Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο Η συνολική απόκριση είναι: y t = y h t + y p t Συστήματα με μηδενική ή υποκρίσιμη απόκριση (0 ζ < 1) y t = γ e t τ cos(ω d t + φ) + Γ(Ω) cos Ω t + φ + Ψ(Ω) Συστήματα με υπερκρίσιμη απόκριση (ζ > 1) y t = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + Γ(Ω) cos Ω t + φ + Ψ(Ω) Συστήματα με υπερκρίσιμη απόκριση (ζ = 1) y t = c 1 e λ 1 t + c 2 t e λ 1 t + Γ(Ω) cos Ω t + φ + Ψ(Ω) Οι δύο σταθερές (είτε (γ, φ) είτε (c 1, c 2 )) της ομογενούς λύσης υπολογίζονται από τις Α.Σ. y 0 = y 0 = 0

55 3) Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο Παραδείγματα απόκρισης σε αρμονική διέγερσης f t = cos(ω t + φ) u s (t) μοναδιαίου εύρους σε σύστημα 2 ης τάξης Ανεξαρτήτως της Ω, η μεταβατική απόκριση διαρκεί περίπου 12 sec Το εύρος της απόκρισης εξαρτάται ισχυρά από την τιμη του λόγου Ω/ω Μεταβατική Μόνιμη (ΗΚΜΑ) Μεταβατική Μόνιμη (ΗΚΜΑ) 0.04 = 1 rad/sec, = 0.5 = 12.5 rad/sec = 1 rad/sec, = 0.5 = 0.6 rad/sec y(t) t [sec] y(t) t [sec]

56 Από την Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο στην Ημιτονοειδή Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης Σε ένα σύστημα 2 ης τάξης, η μόνιμη απόκριση (αφού περάσει η μεταβατική φάση y h t 0) αποτελείται μόνο από την ειδική λύση: y t y p t = Γ Ω cos Ω t + φ + Ψ Ω Η διάρκεια της μεταβατικής φάσης εξαρτάται από το σύστημα, όχι από την κυκλ συχνότητα διέγερσης Ω Η απόκριση στην μόνιμη κατάσταση σε αρμονική διέγερση λέγεται Ημιτονοειδής Απόκρισης Μόνιμης Κατάστασης (ΗΑΜΚ) Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τις Α.Σ. διότι αυτές επιρεάζουν μόνο την y h t Η απόκριση y t είναι αρμονική συνάρτηση της ίδιας κυκλικής συχνότητας Ω Το εύρος Γ(Ω) και η διαφορά φάσης Ψ(Ω) της απόκρισης ως προς την διέγερση εξαρτώνται από την Ω

57 Ημιτονοειδής Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης Η ΗΑΜΚ αντιστοιχεί στην απόκριση μόνιμης κατάστασης όταν η y h (t) διέγερση είναι αρμονική y(t) x f (t) ΗΑΜΚ = + y p (t)

58 Ημιτονοειδής Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης Εύρος απόκρισης Γ(Ω) = 1 (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 Σε αργές αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Γ(Ω) ω 2 Ταυτίζεται με την απόκριση σε βηματική διέγερση ίδιου εύρους Σε γρήγορες αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Γ Ω 0 Σε αρμονικές διεγέρσεις όπου η κυκλ. Συχνότητα διέγερσης είναι ίδιας τάξης μεγέθους με την φυσ. κυκλ. συχνότητα (Ω ω) Γ(Ω) 1 2ζωΩ Όταν το σύστημα έχει λίγη απόσβεση και Ω ω τότε το εύρος Γ(Ω) παίρνει μεγάλες τιμές ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ!!

59 ΗΑΜΚ: Συντελεστής Δυναμικής Ενίσχυσης Για ένα σύστημα 2 ης τάξης y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) Απόκριση μόνιμης κατάστασης σε βηματική είσοδο (μοναδιαίο εύρος): y static ss = lim h s (t) = ω 2 t Εύρος απόκρισης στην ΗΑΜΚ σε αρμονική διέγερση μοναδιαίου εύρους y ss dynamic = Γ(Ω) Ως συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H(Ω) ορίζεται ο λόγος: H Ω = y ss dynamic static y ss = Γ(Ω) ω 2 = 1 (1 ( Ω ω )2 ) 2 +(2ζ Ω ω )2 Ο οποίος εκφράζει το πόσο θα αυξηθεί το εύρος της απόκρισης του y(t) επειδή η διέγερση ασκείται δυναμικά (αρμονική) και όχι στατικά (βηματική)

60 ΗΑΜΚ: υντελεστής Δυναμικής Ενίσχυσης Διακρίνουμε 3 περιοχές: H 1. Στατική περιοχή: ( Ω ω 1) H(q) 1 Κυριαρχούν οι ελαστικές δυνάμεις 2. Περιοχή συντονισμού: ( Ω ω 1) Όταν ζ < 1 τότε H q > 1 Ω ω Η τιμή H max = H Ω = 1 ω 2ζ2 εξαρτάται από τον λόγο ζ 3. Περιοχή υψηλών διεγέρσεων: ( Ω 1) ω H q 1 Κυριαρχούν οι αδρανειακές δυνάμεις

61 ΗΑΜΚ: Συντελεστής Δυναμικής Ενίσχυσης Όταν 0 < ζ < 1 η μορφή του H( Ω ) εξαρτάται δραματικά από τον λόγο ζ ω Ελάττωση ζ αύξηση H max = H Ω ω = 1 2ζ2 Όταν ζ 0, τότε H max = H Ω ω = 1 Σε συστήματα μικρής απόσβεσης μια αρμονική διέγερση Ω ω προκαλεί έντονους κραδασμούς H Ω ω

62 ΗΑΜΚ: Διαφορά Φάσης Η γωνία Ψ Ω περιγράφει την διαφορά φάσης διέγερσης-απόκρισης στην ΗΑΜΚ f t = cos(ω t + φ) y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) y(0) = y 0 y(0) = u 0 y p t = Γ cos Ω t + φ + Ψ stimulation f(t) response x(t) y(t) Η χρονική καθυστέρηση της απόκρισης y(t) σε σχέση με την διέγερση f(t) περιγράφεται από την διαφορά φάσης Ψ time

63 ΗΑΜΚ: Διαφορά Φάσης Διαφορά φάσης Ψ Ω = atan( 2ζωΩ ω 2 Ω 2) Σε αργές αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Ψ(Ω) 0 Η απόκριση y t είναι σε φάση με την διέγερση f t Σε γρήγορες αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Ψ Ω π Η απόκριση y t είναι 180 o εκτός φάσης από την διέγερση f t Σε αρμονικές διεγέρσεις όπου η κυκλ. συχνότητα διέγερσης είναι ίδιας τάξης μεγέθους με την φυσ. κυκλ. συχνότητα (Ω ω) Ψ(Ω) π 2 Το μέτρος της κλίσης dψ dω στην περιοχή Ω ω αυξάνεται όσο μειώνεται ο λόγος ζ

64 ΗΑΜΚ: Διαφορά Φάσης Σε συστήματα 2 ης τάξης π Ψ Ω 0 Περιγράφει πόσο υστερεί χρονικά η απόκριση ως προς την διέγερση Ψ Ω είναι φθίνουσα συνάρτηση του Ω Όταν Ω ω τότε Ψ Ω 0 Όταν Ω ω τότε Ψ Ω π/2 Όταν Ω ω τότε Ψ Ω π ( ) =0.1 =0.25 =0.5 =0.75 =1 = / Η μετάβαση γύρω από το Ω = ω είναι πιο έντονη για συστήματα με μικρότερο ζ

65 Παράδειγμα

66 Παράδειγμα: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Περιστρεφόμενων Μερών Σε περιστρεφόμενους άξονες οι οποίοι δεν είναι τέλεια ζυγοσταθμισμένοι προκαλούνται φυγόκεντρες δυνάμεις Tα μη περιστρεφόμενα μέρη της μηχανής που εδράζουν τους άξονες θα καταπονηθούν με αρμονικές διεγέρσεις f t = f 0 cos Ω t = M r Ω 2 cos Ω t Κυκλική συχνότητα διέγερσης ισούται με κυκλική συχνότητα περιστροφής άξονα Το μέγεθος της δύναμης είναι ανάλογο της αζυγοστάθμητης μάζας M r και του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής Ω της ατράκτου Δύναμη που ασκείται κατά τον κατακόρυφο ή τον οριζόντιο άξονα στις εδράσεις των αξόνων λόγω της αζυγοστάθμητης μάζας M r που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω

67 Παράδειγμα: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Περιστρεφόμενων Μερών Είναι απίθανο να εξαλειφθούν όλες πηγές αζυγοσταθμίας Οι αρμονικές δυνάμεις f t λόγω αζυγοσταθμίας προκαλούν κραδασμούς στην μηχανή: αρμονική απόκριση y t Στην ΗΑΜΚ η συχνότητα των κραδασμών y t ταυτίζεται με συχνότητα διέγερσης Ω Το εύρος των κραδασμών y t εξαρτάται από την συχνότητα Ω από μηχανικές ιδιότητες της κατασκευής, της έδρασης της H συχνότητα διέγερσης Ω εξαρτάται από την γων. ταχ. περιστροφής των περιστροφόμενων αξόνων Πηγή αρμονικής δύναμης Έδραση μηχανής

68 Παράδειγμα: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Περιστρεφόμενων Μερών Aπλούστερο μοντέλο έδρασης μηχανής y t f t f(t) Σύστημα m-c-k y(t) Επιταχυνσιόμετρα: μετρούν την επιτάχυνση a t = y(t) Το εύρος Y της απόκρισης y t μπορεί να εκτιμηθεί μετρώντας το εύρος της επιτάχυνσης A = Y Ω 2 για διάφορες γωνιακές ταχύτητες περιστροφής (σημειώσεις Βενετσάνου #4.7)

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 3o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 05 ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Αντικείμενο της άσκησης αυτής είναι η μέτρηση της διαφοράς φάσης μεταξύ δύο κυματομορφών τάσης σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Σύνθεση Ταλαντώσεων. Ομάδα Β

1.4. Σύνθεση Ταλαντώσεων. Ομάδα Β 1.4. Σύνθεση Ταλαντώσεων. Ομάδα Β 1.4.1. Σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις: y 1 =0,2

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Aπό τo βιβλίο Heinz Grohe: Otto und Dieselmotoren. 9 Auflage, Vogel Buchverlag 1990. Kεφάλαιο 2: Mechanische Grundlagen Επιμέλεια μετάφρασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικό διαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ λυκείου 009 ΘΕΜΑ 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε:

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α δ Α β Α β Α4 γ Α5. α Σ, β Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις. Η ελάττωση του πλάτους (απόσβεση)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ου ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 200 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ () Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 7/6/2005 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 7/6/2005 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 7/6/2005 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1: ΑΓ.ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ 11 -- ΠΕΙΡΑΙΑΣ -- 18532 -- ΤΗΛ. 210-4224752, 4223687 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2002 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Στις ερωτήσεις 4 να σημειώσετε την σωστή. ) Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η συνολική δύναμη που δέχεται: (α) είναι σταθερή.

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1.1. Στιγμιότυπο κύματος Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,2ημπt (μονάδες στο

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ΦΥΣΙΚΗ Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Φυσική Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση Αναστασία Αγιαννιωτάκη Μάρκος Άρχων Υπεύθυνος Έκδοσης: Θεόδωρος

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση 1. Δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με την επίδραση σταθερής οριζόντιας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ονοµατεπώνυµο: µήµα: Επιµέλεια: Παναγιώτης Παζούλης Φυσική Γ Λυκείου θετικής εχνολογικής Κατεύθυνσης 1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική αλάντωση Α) Εισαγωγικές έννοιες. Περιοδική κίνηση ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Θέμα Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που οφείλεται στη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος A και συχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 03-01-11 ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ Α ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 Απαντήσεις Α5. Σ, Σ, Λ, Λ, Σ

Μονάδες 5 Απαντήσεις Α5. Σ, Σ, Λ, Λ, Σ ΠΑΝΕΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΥΕΙΟΥ & ΕΠΑ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΕΥΗ 5 ΜΑÏΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΗ ΘΕΤΙΗΣ & ΤΕΧΝΟΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση - Φάση Αρµονικού Κύµατος 4ο Σετ Ασκήσεων - Χειµώνας 2012. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://perifysikhs.wordpress.

Εξίσωση - Φάση Αρµονικού Κύµατος 4ο Σετ Ασκήσεων - Χειµώνας 2012. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://perifysikhs.wordpress. Εξίσωση - Φάση Αρµονικού Κύµατος - Χειµώνας 2012 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α.1. Κατά τη διάδοση ενός κύµατος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 1 ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) Για τις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +

Διαβάστε περισσότερα

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα.

Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Τι ονομάζουμε κύμα; Κύμα ονομάζουμε τη διάδοση μιας διαταραχής από σημείο σε σημείο του χώρου με ορισμένη ταχύτητα. Η διαταραχή μπορεί να είναι α. Η ταάντωση των μορίων του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα

Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα ΦΥΣ 131 - Διαλ.38 1 Ηχητικά κύματα Διαμήκη κύματα Τα ηχητικά κύματα χρειάζονται ένα μέσο για να μεταδοθούν π.χ. αέρας Δεν υπάρχει ήχος στο κενό Ηχητικές συχνότητες 20Ηz 20ΚΗz Τα ηχητικά κύματα διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης

Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης ΠΩΣ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΕΤΕ ΗΛΕΚΤΡΟΔΟΝΗΤΗ ITALVIBRAS Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης Τα συστήματα στα οποία χρησιμοποιείται η δόνηση μπορούν να χωριστούν στις εξής κατηγορίες: Συστήματα ελεύθερης ταλάντωσης, τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ

1 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ 1 η ΑΣΚΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΗ Αβαρές και μη εκτατό νήμα είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο έδαφος. Το ελεύθερο άκρο

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές

ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές ΠΕΙΡΑΜΑ II-α Aπλό εκκρεµές Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το απλό ή µαθηµατικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) Θέµα 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) 1.1 Πολλαπλής επιλογής A. Ελαστική ονοµάζεται η κρούση στην οποία: α. οι ταχύτητες των σωµάτων πριν και µετά την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. Θα μελετήσουμε τώρα συστήματα που διεγείρονται σε ταλάντωση μέσω εξωτερικής ς που μπορεί να είναι (όπως θα δούμε παρακάτω) σταθερή, μεταβλητού

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματική διάταξη

1. Πειραματική διάταξη 1. Πειραματική διάταξη 1.1 Περιγραφή της διάταξης Η διάταξη του πειράματος αποτελείται από έναν αερόδρομο και ένα ή δύο κινητά τα οποία είναι συζευγμένα μέσω ελατήριου. Η κίνηση των ταλαντωτών καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα